大学物理简谐振动知识点及试题带答案

简谐振动
一、基本要求
1、掌握简谐振动的定义，描述简谐振动的各物理量及其相互关系，会根据定义来判断一各物体的运动是不是简谐振动。

2、掌握简谐振动的旋转矢量表示法。

3、掌握简谐振动的基本特征，能根据一定的初始条件写出简谐振动的运动方程。

4、掌握同方向频率的两个简谐振动的合成，了解相互垂直同频率的简谐振动的合成。

二、主要内容
1、简谐振动的表达式（运动方程） cos()x A t ωϕ=+
三个特征量：
振幅A ，决定与振动的能量；角频率ω，决定于振动系统的固有属性； 初相位ϕ，决定于振动系统初始时刻的状态。

简谐运动可以用旋转矢量来表示。

2、振动的相位：()t ωϕ+
两个振动的相差：同相2k ϕπ∆=，反相(21)k ϕπ∆=+
3、简谐振动的运动微粉方程：22
20d x x dt
ω+=
4、简谐振动的实例
弹簧振子：220,2d x k x T dt m π+==
单摆小角度振动：220,2d g T dt l θθ+==LC
振荡：221
0,2d q q T dt LC
π+
== 5、简谐振动的能量：222
111()222
k P dx E E E m kx kA dt =+=
+= 6、两个简谐振动的能量
（1）同方向同频率的简谐振动的合成
合振动是简谐振动，合振动的振幅和初相位由下式决定
A =1122
1122
sin sin tan cos cos A A A A ϕϕϕϕϕ+=
+
（2）相互垂直的两个同频率的简谐振动的合成
合运动的轨迹一般为椭圆，其具体形状决定于两个分振动的相差和振幅。

当2k ϕπ∆=或
(21)k π+时，合运动的轨迹为直线，这时质点在做简谐振动。

三、习题与解答
1、两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同。

第一个质点的振动方程为
)cos(1ϕω+=t A x 。

某时刻当第一个质点正在平衡位置向负方向运动时，第二个质点正在
最大位移处。

则第二个质点的振动方程为：（ B ）
（A ）)2cos(2π
ϕω++=t A x （B ）)2
cos(2π
ϕω-+=t A x
（C ）)2
3cos(2π
ϕω-
+=t A x （D ）)cos(2πϕω++=t A x 2、一物体做简谐振动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为2
A
-且向x 轴的正方向运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为：（ D ）
3、一质点作简谐振动，振动方程)cos(
ϕω+=t A x ，当时间 t =T/4 时，质点的速度为：( C )
（A ） ϕωsin A - (B) ϕωsin A （C ）ϕωcos A - （D ）ϕωcos A
4、一质点作谐振动，周期为T ，当它由平衡位置向 x 轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为（ A ）
（A ）T /6
（B ）T /12 （
C
）
T /4 （D ）T /8
5、有两个沿x 轴做简谐运动的质点，其频率、振幅皆相同，当第一个质点自平衡位置向负方向运动时，第二个质点在处（A 为振幅）也向负方向运动，则两者的相位差（12ϕϕ-）为：（ C ）
2
A
x -=
（A ）2π （B ）32π （C ）6π （D ）6
5π
6、质量为10×10－
3 kg 的小球与轻弹簧组成的系统，按20.1cos(8)3
x t π
π=+
(SI)的规律做谐振动，求：
(1)振动的周期、振幅、初位相及速度与加速度的最大值；
(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等？ (3)t 2＝5 s 与t 1＝1 s 两个时刻的位相差. 解：(1)设谐振动的标准方程为)cos(0φω+=t A x ，则知：
3/2,s 4
1
2,8,m 1.00πφωπ
πω===
∴==T A 又 πω8.0==A v m 1
s m -⋅ 51.2=1
s m -⋅
2.632==A a m ω2s m -⋅
(2) N 63.0==ma F m
J 1016.32
122
-⨯==
m mv E J 1058.121
2-⨯===E E E k p
当p k E E =时，有p E E 2=， 即
)2
1(212122kA kx ⋅= ∴ m 20
2
22±=±
=A x (3) ππωφ32)15(8)(12=-=-=∆t t
7、一个沿x 轴做简谐振动的弹簧振子，振幅为A ，周期为T ，其振动方程用余弦函数表出.如果t ＝0时质点的状态分别是：
(1)x 0＝－A ；
(2)过平衡位置向正向运动；
(3)过2A
x =
处向负向运动； (4)过
x =处向正向运动.
试求出相应的初位相，并写出振动方程.
解：因为 ⎩⎨⎧-==00
0sin cos ϕωϕA v A x
将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有
)2cos(1ππ
πϕ+==t T A x
)23
2cos(2
32πππϕ+==t T A x
)32cos(3
3π
ππ
ϕ+==t T A x
)4
5
2cos(4
54πππϕ+==
t T A x
8、一质量为10×10－
3 kg 的物体做谐振动，振幅为2
4 cm ，周期为4.0 s ，当t ＝0时位移为＋24 cm.求：
(1)t ＝0.5 s 时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向； (2)由起始位置运动到x ＝12 cm 处所需的最短时间； (3)在x ＝12 cm 处物体的总能量. 解：由题已知 s 0.4,m 10242
=⨯=-T A ∴ 1s rad 5.02-⋅==ππ
ωT
又，0=t 时，0,00=∴+=ϕA x 故振动方程为
m )5.0cos(10242t x π-⨯=
(1)将s 5.0=t 代入得
0.17m m )5.0cos(102425.0=⨯=-t x π
N
102.417.0)2
(10103
23
2--⨯-=⨯⨯⨯-=-=-=π
ωx
m ma F
方向指向坐标原点，即沿x 轴负向． (2)由题知，0=t 时，00=ϕ，
t t =时 3
,0,20πϕ=<+
=t v A x 故且 ∴ s 3
2
2/3==∆=ππωϕt (3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为
J
101.7)24.0()2(10102121
214223222--⨯=⨯⨯⨯===
π
ωA m kA E
9、有一轻弹簧，下面悬挂质量为1.0 g 的物体时，伸长为4.9 cm.用这个弹簧和一个质量为8.0 g 的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开1.0 cm 后，给予向上的初速度v 0＝
5.0 cm·s －
1，求振动周期和振动表达式. 解：由题知
12
311m N 2.010
9.48.9100.1---⋅=⨯⨯⨯==x g m k 而0=t 时，-1
2020s m 100.5m,100.1⋅⨯=⨯-=--v x ( 设向上为正)
又 s 26.12,510
82.03===⨯==
-ωπωT m k 即 m
102)5100.5()100.1()(
2222
22
2
0---⨯=⨯+⨯=+=∴
ω
v x A
4
5,15100.1100.5tan 0
22000π
φωϕ==⨯⨯⨯=-=--即x v ∴ m )4
5
5cos(1022π+⨯=
-t x
10、图为两个谐振动的x －t 曲线，试分别写出其谐振动方程.
题10图
解：由题10图(a)，∵0=t 时，s 2,cm 10,,2
3
,0,0000===∴>=T A v x 又πφ 即 1s rad 2-⋅==
ππωT
故 m )2
3
cos(
1.0ππ+=t x a 由题10图(b)∵0=t 时，3
5,0,2000πϕ=∴>=
v A x 01=t 时，3
5,0,2000π
ϕ=∴>=v A x
又 ππωϕ2
5
3511=+⨯=
∴ πω6
5=
故 m t x b )3
565cos(
1.0ππ+=
11、有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为0.20 m ，位相与第一振动的位相差为
6
π
，已知第一振动的振幅为0.173 m ，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振动的位相差.
解：由题意可做出旋转矢量图如下． 由图知
01
.02/32.0173.02)2.0()173.0(30cos 222122122=⨯⨯⨯-+=︒
-+=A A A A A ∴ m 1.02=A 设角θ为O AA 1，则
θcos 2212
2212A A A A A -+=
即 0
1
.0173.02)02.0()1.0()173.0(2cos 2
222122
221=⨯⨯-+=
-+=A A A A A θ 即2
π
θ=
，这说明，1A 与2A 间夹角为
2π，即二振动的位相差为2
π
.
12、试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅：
(1)125cos(3),375cos(3);3x t cm x t cm ππ⎧
=+⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩
(2)
125cos(3),3
45cos(3).3x t cm x t cm ππ⎧
=+⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩
解： (1)∵ ,23
3712ππ
πϕϕϕ=-=
-=∆ ∴合振幅 cm 1021=+=A A A (2)∵ ,3
34ππ
πϕ=-=
∆
∴合振幅 0=A
13、一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为
120.4cos(2),650.3cos(2).6x t m x t m ππ⎧
=+⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振幅和初相，并写出谐振动方程. 解：∵ πππ
ϕ=--=
∆)6
5
(6 ∴ m 1.021=-=A A A 合
3
365cos 3.06cos 4.065sin
3.06sin
4.0cos cos sin sin tan 22122211=+-⨯=
++=πππ
π
ϕϕϕϕφA A A A ∴ 6
π
ϕ=
其振动方程为
m )6
2cos(1.0π
+
=t x
14、若简谐运动方程为0.10cos(200.25)()x t m ππ=+，求：（1）振幅、频率、角频率、周期和初相；（2）2t s =时的位移、速度和加速度。

解：（1）将0.10cos(200.25)()x t m ππ=+与cos()x A t ωϕ=+比较后可得：振幅
0.10A m =，角频率120rad s ωπ-=⋅，初相0.25ϕπ=，周期2/0.1T s πω==，频率
1/10T Hz ν==。

（2）2t s =时的位移、速度、加速度分别为
20.10cos(200.25)()7.0710x t m m ππ-=+=⨯
1/2sin(400.25) 4.44dx dt m s υπππ-==-+=-⋅
22222/40cos(400.25) 2.7910a d x dt m s πππ-==-+=-⨯⋅
15、 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅2
2.010A m -=⨯，周期0.50T s =。

当0t =时，（1）物体在正方向端点；（2）物体在平衡位置、向负方向运动；（3）物体在2
1.010x m -=⨯处，向负方向运动；（4）物体在2
1.010x m -=-⨯处，向正方向运动。

求以上各情况的运动方程。

解：由题给条件知2
2.010A m -=⨯，2/4T ωππ==1
rad s -⋅而初相ϕ可采用两种不同方法来求。

解析法：
根据简谐运动方程cos()x A t ωϕ=+，当0t =时有0cos x A ϕ=，0sin A υωϕ=-。

当 （1） 0x A =时，1cos 1ϕ=，则10ϕ=； （2） 00x =时，2cos 0ϕ=，则22
π
ϕ=±
，因00υ<，取22
π
ϕ=
；
（3） 20 1.010x m -=⨯时，3cos 0.5ϕ=，33
π
ϕ=±
，由00υ<，取33
π
ϕ=
；
（3） 20 1.010x m -=-⨯时，4cos 0.5ϕ=-，43
π
ϕπ=±
，由00υ>，取443
πϕ=。

旋转矢量法：分别画出四个不同初始状态的旋转矢量图，如图（b ）所示，它们所对应的初相分别为10ϕ=，22
π
ϕ=
，33
π
ϕ=
，443
πϕ=。

振幅A 、角频率ω、初相ϕ均确定后，则各相应状态下的运动方程为 （1） 2
2.010cos4x t π-=⨯ ()m （2） 2
2.010cos(4/2)x t ππ-=⨯+ ()m （3） 22.010cos(4/3)x t ππ-=⨯+ ()m （4） 22.010cos(44/3)x t ππ-=⨯+ ()m
16、 某振动质点的x t -曲线如图（a ）所示，试求：（1）运动方程；（2）点P 对应的相位；（3）到达点P 相应位置所需的时间。

解：（1）质点振动振幅0.10A m =。

而由振动曲线可画出00t =和14t s =时旋转矢量，如图
（b ）所示。

由图可见初相0/3ϕπ=-（或05/3ϕπ=），而由10()/2/3t t ωππ-=+得ω=
5/24π1rad s -⋅，则运动方程为50.10cos(
)243
x t ππ
=- ()m （2）图（a ）中点P 的位置是质点从/2A 出运动到正向的端点处。

对应的旋转矢量图如图（c ）所示。

当初相取0/3ϕπ=-时，点P 的相位为0P ϕϕ=+(0)0P t ω-=（如果初相取成05/3ϕπ=，则点P 相应的相位应表示为0P ϕϕ=+(0)2P t ωπ-=）。

（3）由旋转矢量图可得(0)/3P t ωπ-=，则 1.6P t s =。

17、 质量为0.10kg 的物体，以振幅2
1.010m -⨯作简谐运动，其最大加速度为2
4.0m s -⋅。

求：（1）振动的周期；（2）物体通过平衡位置时的总能量与动能；（3）物体在何处其动能和
势能相等？（4）当物体的位移大小为振幅的一半时，动能、势能各占总能量的多少？ 在简谐运动过程中，物体的最大加速度2max a A ω=，由此可确定振动的周期T 。

另外，在简谐运动过程中机械能时守恒的，其中动能和势能互相交替转化，其总能量2
/2E kA =。

当动能与势能相等时，2/4k P E E kA ==。

因而可求解本题。

解：（1
）振动周期2/20.314T s πω===
（2）当物体处于平衡位置时，系统的势能为零，由机械能守恒可得系统的动能等于总能量，即22max 11
22
k E E mA mAa ω==
-32.010J -=⨯ （3）设振子在位移0x 处动能与势能相等，则有220/2/4kx kA =
30/27.0710x m -==±⨯
（4）物体位移的大小为振幅的一半（即/2x A =）时的势能为
22011()2224
P A E
E kx k === 则动能为 3/4k P E E E E =-=
18、一质量为0.01kg 的物体作简谐运动，其振幅为0.08m ，周期为4s ，起始时刻物体在m x 04.0=处，向x 轴负方向运动（如图）。

试求（1）s t
1=时，物体所处的位置和所
受的力；（2）由起始位置运动到m x 04.0-=处所需要的最短时间。

m
/x v
（1）m 08.0=A 1
s 2
ππ2-==T ω 3
π
=
ϕ m t t A x )3
2cos(08.0)cos(π
πϕω+=+=
s t 1=时 m 069.0-=x N 1070.132-⨯=-=-=x m kx F ω
（2）]3
π)s 2πcos[()m 08.0(m 04.01+=--t s t 32s 2π3π
)21(arccos =-
-=
19、一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数1
72.0-⋅=m N k ，物体的质量g m 20=。

（1）把物体从平衡位置向右拉到m x 05.0=处停下后再释放，求简谐运动方程；（2）求物体从初位置运动到第一次经过2
A
处时的速度。

解：（1）11
s 0.6kg
02.0m N 72.0--=⋅==
m k ω A=0.05m 0=ϕ cos()0.05cos(6.0)x A t t m ωϕ=+=
(2) 2
cos )cos(A
t A t A x =
=+=ωϕω 2
1cos =
t ω 3πω=t 126.0sin -⋅-=-=s m t A v ω。