矩形装箱算法
一种求解矩形块装填问题的启发式快速算法
２ ０ １ ３ 年９ 月
科 技 通 报
Ｂ ＵＬ Ｌ Ｅ ＴＩ Ｎ ０Ｆ Ｓ ＣＩ Ｅ ＮＣ Ｅ ＡＮＤ Ｔ Ｅ ＣＨＮ０Ｌ ＯＧＹ
Ｖｏ １ ． ２ ９ Ｎｏ ． ９ Ｓ ｅ ｐ ．２ ０１ ３
一
种 求解 矩形块 装填 问题 的启发式快速算 法
陈战胜 ， 钮文良 ， 王 辉 ， 胡 正坤
（ １ ． 北京联合大学 应用科技学院 ， 北京 １ ０ ２ ２ ０ ０ ； ２ ． 北京交通大学 计算机与信息技术学院 ， 北京 １ ０ ０ ０ ４ ４ ）
摘 要： 在最 低水平线算法基 础上 ， 结合工 匠砌墙策 略 ， 引入 矩形块聚类思想 ， 提 出 了一种矩形块装填 问题的改进算法 。该算法能使得矩形块装 填紧凑 ， 有效提升容器的利用率和提高算 法执行 速度 。实验
仿真结果表 明 ， 与Ｂ Ｌ 、 Ｓ Ａ ＋ Ｂ Ｌ Ｆ 及Ｐ Ｈ相 比， 本文提 出的改进算 法对于求解矩形块装填 问题十分有效。 关键词 ： 矩形 装填； 最低水平线； 砌墙 策略； 聚类； Ｂ Ｌ算法
中图分 类号 ： Ｔ Ｐ ３ ９ １ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ １ — ７ １ １ ９ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ９ — ０ ０ ６ ８ — ０ ４
Ａｎ Ｆａ ｓ ｔ Ｈｅ ｕ ｒ ｉ ｓ ｔ ｉ ｃ Ａｌ ｇ ｏ ｒ ｉ ｔ ｈ ｍ ｆ ｏ ｒ Ｒｅ ｃ ｔ ａ ｎ ｇ ｌ ｅ Ｐａ ｃ ｋ ｉ ｎ ｇ Ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ
Ｃ ｈ ｅ ｔ ｒ Ｚ ｈ ａ ｎ ｓ ｈ ｅ ｎ ｆ ＇ ２ ， Ｎ ｉ ｕ Ｗ ｅ ｎ Ｌ ｉ ａ ｎ ｇ ， Ｗ ａ ｎ ｇ Ｈ ｕ ｉ Ｉ ， Ｈ ｕ Ｚ ｈ ｅ ｎ ｇ ｋ ｕ ｎ
装箱计算公式
装箱计算公式嘿，咱们今天来聊聊装箱计算公式这个看似有点枯燥，但其实挺有意思的话题。
要说装箱计算公式，那咱们得先从生活中的一个小场景说起。
就说前段时间我去超市买水果，那种成箱装的水果。
我就好奇啊，这商家是怎么把一堆大小不一的水果，整整齐齐地装进箱子里，还能保证空间利用最大化的呢？其实啊，装箱计算公式就是用来解决这类问题的。
它就像是一个魔法公式，能告诉我们怎么在有限的空间里，装下最多的东西。
比如说，一个长方体形状的箱子，长、宽、高分别是 a、b、c，要装一些同样是长方体形状的小物件，小物件的长、宽、高分别是x、y、z。
那能装下的小物件数量 N 就可以通过这样的公式来计算：N =（[a/x]×[b/y]×[c/z]）。
这里的中括号 [ ] 表示向下取整，就是说不管小数部分是多少，都只取整数部分。
听起来有点复杂？咱们举个具体的例子。
假设箱子的长是50 厘米，宽 30 厘米，高 20 厘米，小物件的长 10 厘米，宽 8 厘米，高 5 厘米。
那按照公式来算，能装下的数量就是：（[50/10]×[30/8]×[20/5]）=（5×3×4）= 60 个。
但实际情况往往没这么简单。
因为物件的形状可能不规则，或者有些空隙没办法完全利用。
就像我买的那箱水果，有的水果稍微有点突出，有的地方就空了一点。
还有的时候，我们不仅要考虑能装多少，还要考虑怎么装更稳当，怎么装不容易损坏物品。
比如装易碎品，可能就得在周围多留点缓冲空间。
而且啊，装箱计算公式在不同的行业里，应用还不太一样。
在物流行业，要考虑货物的重量分布，保证运输过程中的平衡；在工厂生产线上，要快速计算出装箱数量，提高生产效率。
想象一下，一个工厂里，成千上万的零件等着装箱发货，如果没有准确的装箱计算公式，那得多乱套啊！可能会浪费好多箱子，增加成本；也可能装得不稳当，运输途中出问题。
再回到咱们生活中，搬家的时候是不是也得考虑怎么把东西装箱更合理？把大大小小的家具、衣物、杂物都装进去，还不能太挤，也不能太空。
基于动作空间的求解三维矩形装箱问题的穴度算法
（ ｃ ｏ ｆＣｏ ｐ ｔｒＳ ｉｎ ｅａ ｄ Ｔｅｈ ｏｌｇ ， ａ ｈ ｎ Ｓ ｈ ｏｌ ｍ ｕ ｅ ｃｅ ｃ ｎ ｃ ｎ ｏ ｙ Ｈｕ ｚ ｏ ｇ Ｕｎｉｅ ｓｔ ｆＳ ｉｎ ｅａ ｄ Ｔｅ ｈ ｏｌｇｙ Ｗ ｕ ａ ０ ４， ｉａ ｏ ｖ ｒｉｙ ｏ ｃｅ ｃ ｎ ｃ ｎ ｏ ， ｈ ｎ４３ ０７ Ｃｈｎ ）
ｎ ｎ ｈ ｘ ｍａ ｅ ｔ ｎ ｕ ａ ｐ ｃ ｓａ ｕ ｒ ｎ ｅ ａ ｉ ｎ ｔ ｅ ａ ｔ ｎ ｓ ａ ｅ ｗｅ ｉ ｒ ｖ ｄ ｏ ｒｃ ｖｎ ｅ ｒ ｅａ ｐ ｏ ｃ ｕ ｈ ｉ ｇ ｔ ｅ ｍａ ｉ ｌ ｃ ａ ｇ ｌ ｒｓ ａ ｅ ｔｃ ｒｅ ｔｉ ｒ ｔ ， ｈ ｃ ｉ ｐ ｃ ， ｒ ｔ ｏ ｏ ｍｐ ｏ ｅ ｕ ａ ｉ ｇ ｄ ｇ ｅ ｐ ｒ ａ ｈ ｓ ｃ ｔ ａ ｈ ｏ ｕ ａ ｉｎ ｉ ａ ｇ ｌ ｐ ｅ ｅ ｐ ａ ｈ ａ ｅｔ ｈ ｘ ｅｌｎ ｈ ｒ ｃ ｅ ｉｔ ｆｔ ｅ ｃ ｖｎ ｅ ｒ ｅｉ ｔｌ ｋ ｐ ． ｈ ｔｔ ｅｃ ｍｐ ｔ ｔ ｓｌ ｒ ｅｙ ｓ ｅ ｄ ｄ ｕ ｔ ｅ ｓ ｍ ｉ ｔ ｅｅ ｃ ｌ ｔｃ ａ ａ ｔ ｒｓ ｉ ｏ ｈ ａ ｉ ｇ ｄ ｇ ｅ ｓ ｉ ｅ ｔ ｏ ｔ ｍｅ ｅ ｃ ｓ ｌ Ｉ ｈ ｓｗａ ｏ ｄ ｓ ｌ ｔ ｎ ｃ ｕ ｄ ｂ ｃ ｉｖ ｄ ｉ ｈ ｒ ｅ ｉ ． ｎ ｔ ｅ ｅ ｐ ｒ ｅ ｔ ， ｅ ｔ ｄ ｔ ｅ ｉ ｒ ｖ ｄ ａ ｇ ｒ ｈ ｎｔｉ ｙ ａ ｇ ｏ ｏ ｕ ｉ ｏ ｌ ｅ ａ ｈ ｅ ｅ ｎ ａ ｓ ｏ ｔ ｒｔｍｅ Ｉ ｈ ｘ ｅ ｉ ｎ ｓ ｗｅ ｔ ｓ ｅ ｈ ｍｐ ｏ ｅ ｌ ｏ ｉ ｍ ｏ ｍ ｔ ｗｉ ７ ｗｉｈ ｕ — ｒｅ ｔ ｔ ｎ ｃ ｎ ｔ ａｎ ｎ ｔｎ ｅ ｎ ｔ ｅ ＯＲ－ ｂ ａ ｙ Ｃ ｍｐ ｔ ｔ ｎ ｌｒ ｓ ｌｓ ｓ ｏ ａ ｖ ｒ ｇ ｐ ｃ ｔｌ ｔ ４ ｔ ｏ ｔｏ ｉｎ ａ ｉ － ｏ ｓ ｒ ｉ ｔｉ ｓａ ｃ ｓ ｉ ｈ ｈ ｏ Ｌｉ ｒ ｒ ． ｏ ｕ ａ ｉ ａ ｅ ｕｔ ｈ ｗ ｎ ａ ｅ ａ ｅ ｓ ａ ｅ ｕ ｉ — ｏ ｉ ｚ ｔ ｎ ｏ ５ ２ ， ｉｈ ｉ ｒ ｖ ｓ ｃ ｒ ｅ ｔｂ ｓ ｅ ｕ ｔｒ ｐ ｒ ｅ ｈ ｉ ｒ ｔ ｒ ｙ ０ ３ ． ｎ ａ ｄ ｔ ｎ ｔ ｅ ｒ ｓ ｌ ｌｏ ａ ｉ ｆ９ ． ４ ｏ ｗｈ ｃ ｍｐ ｏ ｅ ｕ ｒ ｎ ｅ ｔ ｒ ｓ ｌ ｅ ｏ ｔｄ ｉ ｔ ｅ ｌ ｅ ａ ｕ ｅ ｂ ． ２ ｎ ｔ Ｉ ｄ ｉ ｏ ， ｈ ｅ ｕ ｔ ａ ｓ ｉ ｓ ｓ ｏ ｌ ｓ ｕ ｎ ｎ ｉ ｅｃ ｍ ｐ ｒ ｄ ｗｉ ｔ ｅ ｌ ｏ ｉｈ ． ｈ ｗ ｅ ｓ ｒ ｎ ｉｇ ｔ ｏ ａ ｅ ｔ ｏ ｈ ｒａ ｇ ｒｔ ｍｓ ｍ ｈ
求解矩形装箱问题的一种近似算法
Ａｎ Ｅｖ ｌ ｔ ｎ ｒ ｐ ｏ ｉ ａ ｉ ｎＡｌ ｏ ｉｈ ｆ ｒＳ ｒ ｐ ｏ ｕ ｉ ａ ｙＡｐ ｒ ｘ ｍ ｔｏ ｇ ｒ ｔ ｍ ｏ ｔ ｉ ｏ
Ｒｅ ｔ ｎ ｕ ａ ａ ｋ ｎ ｏ ｌ ｍ ｃ ａ ｇ ｌ ｒＰ ｃ ｉ ｇ Ｐｒ ｂ ｅ
Ｃ Ｎ Ｓ ｅｇ ａ Ｚ ＮＧ Ｄ ｆ， Ｉ ａ ｊ ａ ＨＥ ｈ ｎ ｄ ， ＨＡ ｅｕ Ｌ Ｕ Ｙ ｎｕ ｎ
ｐ ｏ ｌ ｍｓ ｉ ｐ ｒ ｏ ｍ ｓｂ ｔ ｒ ｒ ｂｅ ，ｔ ｅｆ ｒ ｅｔ ， ｅ
［ ｙｗｏｄ ｌＰ ｃ ｉｇｐｏ ｌｍｓ Ｈ ｕ ｓｃ Ｒ ｃｒｉｅ Ｇ ｎ ｔ ｌｏｉ ｍ Ｋｅ ｒｓ ａｋｎ ｒｂｅ ； ｅ ｒ ｔ ； ｅｕｓ ； ｅ ｅｉ ａ ｒｈ ｉｉ ｖ ｃ ｇ ｔ
上合理安排 ；在航运 业上 ，大小不同的一批货物如何尽可能 多地放置在大的集装箱 中；在通信业 中，一束光纤如何放置 在周长尽可能小的圆管中；在超大规模集成 电路板 规划 上，
集成 电路如何布置等。这些应用都可以形 式化为装箱问题。
注意到正交矩形装箱问题规 定装箱过程必须保证每 个矩
形 的边都要和 Ｘ轴和 Ｙ轴平行 ， 即所有矩形不能倾斜地装入。
（ ｅ ａｔ ｎ ｆ ｏ ｕｅ ｃｅ ｃ ， ａ ｎＵ ｉｅ ｓ ｙ Ｘｉｍｅ ６ ０ ５ Ｄ ｐｒ ｍｅ ｔ ｍｐ ｔｒ ｉ ｅ Ｘｉｍｅ ｎ ｖ ｒｉ ， ａ ｎ３ １ ０ ） ｏＣ Ｓ ｎ ｔ
［ ｓ ａｔＡ ｖ ｌｔ ｎｒ ｐｒｘｍａｏ ｌｏｉ ｍ ｔ ｆ ｄａｍｉｉ ｍ ｅｇ ｔ ｒｗｏｄｍｅ ｓ ｎｌ ｔｐｒｃａｇ ｌ ａｋｎ ｒｂｅ ｒｓｎｅ ． Ａｂｔ ｃ ｎｅ ｏｕｉ ａｙａ ｐｏ ｉ ｔ ｎａｇ ｒｈ ｎ ｎｍｕ ｈ ｉｈ ｆ —ｉ ｎｉ ａ ｓ ｔｎ ｕａ ｐ ｃｉｇｐｏ ｌｍ ｉｐｅｅ ｔ ｒ Ｉ ｏ ｉ ｔ Ｏｉ ｔ ｏ ｏ ｒ ｅ ｉ ｒ ｓ ｄ
矩形排样综述
目录1. 矩形件排样的问题描述： (2)2. 算法分类 (2)2.1. 启发式算法 (2)2.1.1.基于最低水平线算法[2] (2)2.1.1.1. 基于最低水平线的二维搜索算法[3] (2)2.1.1.2. 文献[8] (4)2.1.1.3.基于二维装箱问题的矩形件排样算法[9] (6)2.1.2. Best-fit算法 (9)2.1.2.1.A squeaky wheel optimisation packing methodology（SWP）[4] (9)2.1.3. 分层排布算法 (11)2.1.3.1. Modified size-alternating stack algorithm(SASm)[5] (11)2.1.3.2.Best fit with stacking algorithm (BFS) [5] (12)2.1.4. 其他启发式算法 (13)2.1.4.1. 文献[10] (13)2.1.4.2. 文献[11] (16)2.2. 智能算法 (19)2.2.1. PSO算法 (19)2.2.1.1. 文献[12] (19)3. 上述算法在矩形排样件中的应用分类 (21)4. 参考文献 (22)部分2010年矩形件优化排样算法的研究进展1.矩形件排样的问题描述：参见文献[1]:矩形件排样题指在给的矩形板材上将一系列矩形零件按最优方式进行排布。
即给定n个零件R=（R1，R2，，…，Rn)，将零件置于宽度为W，高度为L的板材P上，使得板材的利用率最高，并要求满足下列约束条件:(1)Ri、Rj互不重叠, i≠j, i, j=1,2,…,n;(2)Ri能够且必须放在P内, i= 1,2,…,n;(3)满足一定工艺要求。
2.算法分类2.1.启发式算法2.1.1.基于最低水平线算法[2]2.1.1.1.基于最低水平线的二维搜索算法[3]为了提高矩形件排样时材料的利用率,针对定序列矩形件优化排样问题,本文在＂基于最低水平线的搜索算法＂的基础上,提出了一种改进的矩形件优化排样算法——基于最低水平线的二维搜索算法.此改进算法在＂基于最低水平线的搜索算法＂基础上,进行了排样宽度的二维搜索,即有如下改进：基于最低水平线的搜索算法只进行入排宽度的搜索(即矩形宽度的搜索)，而本文提出的排样算法不仅优先进行入排宽度的搜索，而且在入排宽度均不符合排样要求时，还进行了待排宽度的搜索(即矩形高度的搜索)。
单一尺寸长方体三维装箱问题的一种求解算法
单一尺寸长方体三维装箱问题的一种求解算法单一尺寸长方体三维装箱问题是一种经典的组合优化问题，常常出现在物流、包装、生产等领域中。
该问题的目的是将一系列商品（通常为长方体）尽可能地装箱，使得所需要的箱子最少，同时避免商品之间的重叠或者空隙。
为了解决这个问题，我们可以采取下面的求解算法：1. 构建三维坐标系。
为了方便表示商品的位置和箱子的大小，我们需要构建一个三维坐标系。
假设我们的货物都是长方体，那么我们需要知道每个长方体的长、宽、高以及重量，以便于计算重心和位置。
同时，我们还需要确定我们的箱子大小，可以根据需要调整大小，从而适应货物的大小。
在确定每个长方体的位置之前，首先要确定它们之间的相对位置，这样可以决定它们之间是否存在空隙或者重叠。
2. 选择一种合适的装箱算法。
目前常用的装箱算法有贪心算法、回溯算法、遗传算法等，其中贪心算法的效率较高，但是不能保证得到最优解；回溯算法可以得到最优解，但是效率较低；遗传算法则是一种高效的启发式算法，可以保证得到比较优的解。
在实际应用中可以根据需要选择不同的算法。
3. 将长方体逐个装入箱子。
为了尽量减少使用的箱子数量，我们需要将每个长方体按照一定规则装入箱子中。
一种常用的方式是通过二叉树来表示盒子。
假设我们需要装入n个长方体，我们从第一个长方体开始往箱子中放。
此时我们将先选取一个长方体，作为根节点，并将其放入一个空盒子中。
接下来，我们将每一个长方体都放入箱子中，直到所有的长方体都被装入箱子中，或者已经没有可以放入的长方体。
在放置长方体的过程中，我们需要遵循一定的规则，例如优先放置最大/最小的长方体或者根据某些贪心策略来选择放置位置和方向。
4. 调整长方体位置。
在将长方体放入箱子中之后，我们需要检查是否存在重叠或者空隙。
如果存在，则需要对长方体进行一定的调整，例如旋转或移动。
在调整长方体位置的过程中，需要根据长宽高等因素，以及已经放置的长方体的位置和方向等因素，来确定合适的位置和方向，以尽量减少空隙和重叠。
矩形排料问题,组合优化问题
《二维矩形条带装箱问题的底部左齐择优匹配算法_蒋兴波》matlab的实现，不包括遗传算法部分。
fun cti on area =Packi ngAlgorithm(le ngth,width,le ngth1,width1,le ngth2,width2,le ngth3,width3,restrict1,restrict2)area = 0;frameCou nt = 1;cou nt1 = 0;cou nt2 = 0;run LLABF;fun ction run LLABFrectBig.le ngth = len gth;rectBig.width = width;rectSmall(1).le ngth = len gth1;rectSmall(1).width = width1;rectSmall(1).color = 'r';rectSmall(2).le ngth = len gth2;rectSmall(2).width = width2;rectSmall(2).color = 'b';rectSmall(3).le ngth = len gth3;rectSmall(3).width = width3;rectSmall(3).color = 'g';edges⑴.x = 0;edges⑴.y = 0;edges(1) .len gth = rectBig .len gth;edges (2).x = -100;edges (2).y = 10000;edges(2 ).len gth = 0;edges (3) .x = rectBig.le ngth+100;edges (3).y = 10000;edges(3 ).len gth = 0;while (1)flag = -1; if(flag < 0)[sortedEdges,lowestEdge,id] = edgesSort(edges); [edges,flag] =FullFitFirst(sortedEdges,lowestEdge,id,rectSmall);if(flag<0)[sortedEdges,lowestEdge,id] = edgesSort(edges);[edges,flag] = WidthFitFirst(sortedEdges,lowestEdge,id,rectSmall); endif(flag<0)[sortedEdges,lowestEdge,id] = edgesSort(edges);[edges,flag] = HeightFitFirst(sortedEdges,lowestEdge,id,rectSmall); end if(flag<0)[sortedEdges,lowestEdge,id] = edgesSort(edges);[edges,flag] = PlaceabelFirst(sortedEdges,lowestEdge,id,rectSmall); end if(flag<0)[sortedEdges,lowestEdge,id] = edgesSort(edges);[edges,flag] = cann otPalce(sortedEdges,lowestEdge,id,rectSmall,flag) end endif cou nt1 >= restrict1rectSmall(1).le ngth = 100000;rectSmall(1).width = 100000;endif cou nt2 >= restrict2rectSmall(2).le ngth = 100000;rectSmall(2).width = 100000;endsortRect = sort([rectSmall(1).le ngth,rectSmall(1).width, ...rectSmall(2).le ngth,rectSmal l(2) .width, ...rectSmal l( 3).le ngth,rectSmal l(3) .width]);min Rect = sortRect(1);min Rect2 = sortRect(2);[sortedEdges,lowestEdge,id] = edgesSort(edges);[~,h] = size(sortedEdges);for i = 1:hif (sortedEdges(i).y+mi nRect <= width )break ;endendif i == hbreak ;endif i == h-1 && lowestEdge.x + minRect2 > length breakendif frameCou nt > 300break ;endendendfun cti on in itialrectBig.le ngth = 30;rectBig.width = 20;rectSmall(1).le ngth = 4;rectSmall(1).width = 3;rectSmall(2).le ngth = 3;rectSmall(2).width = 3;rectSmall(3).le ngth = 4;rectSmall(3).width = 1;edges(1).x = 0;edges ⑴.y = 0;edges(1) .len gth = rectBig .len gth;edges(1).x = 12; edges(1).y = 10; edges(1) .len gth = 2;edges(2).x = 3;edges (2).y = 8; edges(2 ).len gth = 2;%edges (3).x = 6;%edges (3).y = 4; % edges(3).le ngth = 1; %%% %%%%%% edges (4).x = 1;% edges ⑷.y = 8;% edges ⑷.le ngth = 2;endfun cti on [sortedEdges,lowestEdge,id] = edgesSort(edges)sortedEdges = edges;[~,m] = size(sortedEdges);for j = 1:mfor i = j:mif (sortedEdges(i).x<sortedEdges(j).x)tmpedge = sortedEdges(j);sortedEdges(j) = sortedEdges(i); sortedEdges(i) = tmpedge;endendend[~,m] = size(sortedEdges);disp(m)if(m>=2)i = 2;while (1)if ( sortedEdges(i-1).y == sortedEdges(i).y ) sortedEdges(i-l) .len gth = sortedEdges(i-l) .len gth + sortedEdges(i ).len gth;for j = i:(m-1)sortedEdges(j) = sortedEdges(j+1);endsortedEdges(m)=[];卜,n] = size(sortedEdges);m = n;con ti nue ;end卜,n] = size(sortedEdges);m = n;if i == nbreak ;endi = i+1;endelselowestEdge = sortedEdges(l);endlowestEdges = sortedEdges;卜,n] = size(lowestEdges);y = lowestEdges(1).y;for i = 2:nif (y>lowestEdges(i).y)y = lowestEdges(i).y;endendfor i = 1:nif (lowestEdges(i).y == y )lowestEdge = lowestEdges(i);id = i;break ;endendendfun cti on [Edges,flag] = FullFitFirst(Edges,IEdge,IEdgeld,rectSmall)for i = 1:3if (( rectSmall(i) .len gth == lEdge .len gth ) ...&& ((lEdge.y+rectSmall(i).width == Edges(lEdgeld-l).y) ||(lEdge.y+rectSmall(i).width == Edges(lEdgeId+1).y )))if ( lEdge.y+rectSmall(i).width <= width ) Edges(lEdgeId).y = lEdge.y+rectSmall(i).width; flag = 1;figurePlot(lEdge,rectSmall(i),rectSmall(i).color);area = area+rectSmall(i).width*rectSmall(i).le ngth;if i == 1cou nt1 = cou nt1+1;endif i == 2cou nt2 = cou nt2+1;endbreak ;elseflag = -1;endelseflag = -1;endif (( rectSmall(i).width == lEdge .len gth ) ...&& ((lEdge.y+rectSmall(i).length == Edges(lEdgeld-l).y) || (lEdge.y+rectSmall(i).le ngth == Edges(lEdgeId+1).y )))if ( lEdge.y+rectSmall(i ).len gth <= width )Edges(lEdgeId).y = lEdge.y+rectSmall(i) .len gth;flag = 1;figurePlotRotati on( lEdge,rectSmall(i),rectSmall(i).color);area = area+rectSmall(i).width*rectSmall(i).le ngth;if i == 1cou nt1 = cou nt1+1;endif i == 2cou nt2 = cou nt2+1;endbreak ;elseflag = -1;endelseflag = -1;endendendfun ction [Edges,flag] = WidthFitFirst(Edges,lEdge,lEdgeld,rectSmall) cou nt = 1;% selected = zeros(1,3);for i = 1:3if ( rectSmall(i).le ngth == lEdge .len gth && rectSmall(i).width + lEdge.y <=width)selected(cou nt).i ndex = i;selected(cou nt).area = rectSmall(i).le ngth * rectSmall(i).width;selected(cou nt).rotati on = 0;cou nt = cou nt + 1;flag = 1;con ti nue ;elseflag = -1;endif ( rectSmall(i).width == lEdge .len gth && rectSmall(i).le ngth + lEdge.y <= width) selected(cou nt).i ndex = i;selected(cou nt).area = rectSmall(i).le ngth * rectSmall(i).width;selected(cou nt).rotati on = 1;cou nt = cou nt + 1;flag = 1;elseflag = -1;endendif (flag == 1)卜,n] = size(selected);for i =1: nfor j = i:nif (selected(i).area>selected(j).area)tmpSelected = selected(i);selected(i) = selected(j);selected(j) = tmpSelected;endendendin dex = selected( n).i ndex;if(selected( n).rotatio n == 0)if IEdge.y+rectSmall(i ndex).width <= widthEdges(IEdgeld).y = IEdge.y+rectSmaII(i ndex).width;flag = 1;figurePIot(IEdge,rectSmaII(i ndex),rectSmaII(i ndex).color);area = area+rectSmaII(i ndex).width*rectSmaII(i ndex).le ngth;if in dex == 1cou nt1 = cou nt1+1;endif in dex == 2cou nt2 = cou nt2+1;endelseflag = -1;endendif(selected( n).rotati on == 1)if IEdge.y+rectSmaII(i ndex).le ngth <= widthEdges(IEdgeId).y = IEdge.y+rectSmaII(i ndex).le ngth;flag = 1;figurePIotRotatio n( IEdge,rectSmaII(i ndex),rectSmaII(i ndex).color); area =area+rectSmaII(i ndex).width*rectSmaII(i ndex).le ngth;if in dex == 1cou nt1 = cou nt1+1;endif in dex == 2cou nt2 = cou nt2+1;endelseflag = -1;endendendendfun cti on [Edges,flag] = HeightFitFirst(Edges,IEdge,IEdgeld,rectSmaII)[〜,n] = size(Edges);for i = 1:3if ( rectSmaII(i).Ie ngth < lEdge.Ie ngth ) && (IEdge.y+rectSmaII(i).width ==Edges(IEdgeld-l).y)Edges( n+1).x = Edges(IEdgeld).x+rectSmaII(i).Ie ngth;Edges( n+1).y = Edges(IEdgeId).y;Edges( n+1) .Ien gth = Edges(IEdgeId ).Ien gth-rectSmaII(i ).Ien gth;Edges(IEdgeId).y = IEdge.y+rectSmaII(i).width;Edges(IEdgeId ).Ien gth = rectSmaII(i) .Ien gth;fIag = 1;figurePIot(IEdge,rectSmaII(i),rectSmaII(i).coIor);area = area+rectSmaII(i).width*rectSmaII(i).Ie ngth;if i == 1cou nt1 = cou nt1+1;endif i == 2cou nt2 = cou nt2+1;endelseflag = -1;endif (flag == 1)break ;endif ( rectSmaII(i).width <= lEdge.Iength )&& (IEdge.y+rectSmaII(i).Iength == Edges(IEdgeId-1).y)Edges( n+1).x = Edges(IEdgeId).x+rectSmaII(i).width;Edges( n+1).y = Edges(IEdgeId).y;Edges( n+1) .Ien gth = Edges(IEdgeId ).len gth-rectSmaII(i).width;Edges(IEdgeId).y = IEdge.y+rectSmaII(i) .Ien gth;Edges(IEdgeId ).len gth = rectSmaII(i).width;flag = 1;figurePIotRotati on( IEdge,rectSmaII(i),rectSmaII(i).coIor);area = area+rectSmaII(i).width*rectSmaII(i).Ie ngth;if i == 1cou nt1 = cou nt1+1;endif i == 2cou nt2 = cou nt2+1;endelseflag = -1;endif (flag == 1)break ;endendendfun cti on [Edges,flag] = PlaceabelFirst(Edges,lEdge,lEdgeld,rectSmall)cou nt = 1;[~,m] = size(Edges);selected(1).i ndex = 1;selected⑴.area = 0;selected(1).rotati on = 0;selected(2).i ndex = 1;selected(2).area = 0;selected(2).rotati on = 0;selected(3).i ndex = 1;selected(3).area = 0;selected(3).rotati on = 0;for i = 1:3if ( rectSmall(i).length < lEdge.length) && (rectSmall(i).width+lEdge.y <= width )selected(cou nt).i ndex = i;selected(cou nt).area = rectSmall(i).le ngth * rectSmall(i).width;selected(cou nt).rotati on = 0;cou nt = cou nt + 1;flag = 1;con ti nue ;elseflag = -1;endif ( rectSmall(i).width < lEdge.le ngth ) && ( rectSmall(i).le ngth+lEdge.y <= width)selected(cou nt).i ndex = i;selected(cou nt).area = rectSmall(i).le ngth * rectSmall(i).width;selected(cou nt).rotati on = 1;cou nt = cou nt + 1;flag = 1;elseflag = -1;endendif flag == 1n = cou nt -1;for i =1: nfor j = i:nif (selected(i).area>selected(j).area)tmpSelected = selected(i);selected(i) = selected(j); selected(j) = tmpSelected; endendendin dex = selected( n).i ndex;if(selected( n).rotatio n == 0)Edges(m+1).x = lEdge.x+rectSmall(i ndex).le ngth;Edges(m+1).y = lEdge.y;Edges(m+1) .len gth = lEdge.le ngth-rectSmall(i ndex).le ngth; Edges(lEdgeld).y =lEdge.y+rectSmall(i ndex).width;Edges(lEdgeId ).len gth = rectSmall(i ndex).le ngth; figurePlot(lEdge,rectSmall(index),rectSmall(i ndex).color); area = area+rectSmall(i ndex).width*rectSmall(i ndex).le ngth; if in dex == 1cou nt1 = cou nt1+1;endif in dex == 2cou nt2 = cou nt2+1;endendif(selected( n).rotati on == 1)Edges(m+1).x = lEdge.x+rectSmall(i ndex).width;Edges(m+1).y = lEdge.y;Edges(m+1) .len gth = lEdge.le ngth-rectSmall(i ndex).width;Edges(IEdgeld).y = IEdge.y+rectSmall(i ndex).le ngth;Edges(IEdgeld ).len gth = rectSmaII(i ndex).width; figurePIotRotation( IEdge,rectSmaII(i ndex),rectSmaII(i ndex).color); area = area+rectSmaII(index).width*rectSmaII(i ndex).le ngth;if in dex == 1cou nt1 = cou nt1+1;endif in dex == 2cou nt2 = cou nt2+1;endendendendfun cti on [Edges,flag] = canno tPaIce(Edges,IEdge,IEdgeld,rectSmaII,fIag2)cou nt = 0;for i = 1:3if (rectSmall(i).width > lEdge.Iength) && (rectSmall(i).Iength > lEdge.Iength) || (flag2 == -1)cou nt = cou nt + 1;endendif cou nt == 3flag = 1;if Edges(IEdgeId-1).y < Edges(IEdgeId+1).yEdges(IEdgeId).y = Edges(IEdgeId-1).y;elseEdges(IEdgeId).y = Edges(IEdgeId+1).y;endendflag = 1;endfun cti on figurePIot(IEdge,rect,coIor)x1 = lEdge.x;y1 = lEdge.y;x2 = x1+rect.le ngth;y2 = y1;x3 = x2;y3 = y2 + rect.width;x4 = x1;y4 = y3;x = [x1,x2,x3,x4];y = [yi,y2,y3,y4]；patch(x,y,color, 'facealpha' ,0.5);axis([-1 len gth+1 -1 width+1])% set(gca,'XTick',0:2:le ngth);% set(gca,'YTick',0:2:width);% m(frameCou nt) = getframe;m = getframe(gcf);im = frame2im(m);[I,map] = rgb2 in d(im,256);if frameCou nt == 1imwrite(I,map, 'out.gif' ,'gif' ,'loopcount' ,inf, 'Delaytime' ,0.2)elseimwrite(I,map, 'out.gif' ,'gif' ,'writemode' ,'append' ,'Delaytime' end,0.2) frameCou nt = frameCou nt+1;% hold on% pause(0.1);axis equal ;endfun cti on figurePlotRotatio n( lEdge,rect,color)x1 = lEdge.x;y1 = lEdge.y;x2 = x1+rect.width;y2 = y1;x3 = x2;y3 = y2 + rect.len gth;x4 = x1;y4 = y3;axis([-1 len gth+1 -1 width+1])x = [x1,x2,x3,x4];y = [y1,y2,y3,y4];patch(x,y,color, 'facealpha' ,0.5);% set(gca,'XTick',0:2:le ngth);set(gca,'YTick',0:2:width);% m(frameCou nt) = getframe;m = getframe(gcf);im = frame2im(m);[l,map] = rgb2 in d(im,256);if frameCou nt == 1imwrite(I,map, 'out.gif' ,'gif' ,'loopcount' ,inf, 'Delaytime' ,0.2)elseimwrite(I,map, 'out.gif' ,'gif' ，‘writemode' ,'append' ，‘Delaytime',0.2) endframeCou nt = frameCou nt+1;hold onpause(0.1);axis equal ;endend。
箱子的摆放问题数学建模
箱子的摆放策略摘要本文针对箱子的摆放的优化铺设问题，采用了循环嵌套式算法，建立了利用率最优化的整数规划模型，使用LINGO、MATLAB求解，并用Excel进行画图，实现了箱子最优摆放与评价。
对于问题一，建立在不允许箱子超出底边的情况下，所能摆放最多箱子的数学模型。
借助于循环嵌套式算法，采用改进后的由外至内逐步优化的模型：首先对各边的外层进行摆放，使其边界利用率最高，再对内层剩余矩形空间进行摆放，一直循环，至内部剩余空间无法放入箱子为止。
用MATLAB编程、求解分析：以此模型摆放，第一种箱子个数为16、第二种箱子个数为4、第三种箱子个数为20。
对于问题二，建立在允许箱子超出上、左、右边的情况下，所能摆放最多箱子的数学模型。
建立由下至上逐步优化模型：以底边为基，将其两边各向外扩充半个长边的长度，先对底边进行摆放，使其边界利用率最高，再向上堆叠，使箱子间无空隙，使面积利用率最大，至上侧最多超出半个箱子边长为止。
用lingo编程、求解分析：以此模型摆放，第一种箱子个数为23、第二种箱子个数为8、第三种箱子个数为28。
对于问题三，我们采用左右对称，箱子横放，向上堆叠，左、右、上边各超出少许的方案。
引入箱子个数、稳定性两个指标，通过线性加权评价的方式，对此方案与模型一进行评价分析。
得出了在在实际情况中，当考虑不同权重的综合指数时，模型一与模型三的摆放方式各有优劣性的结论。
关键词：利用率最高循环嵌套式算法线性加权评价一、问题重述叉车是指对成件货物进行装卸、堆垛和作业的各种轮式搬运车辆。
如何摆放箱子，使得叉车能将最多的货物从生产车间运输至仓库是众多企业关心的问题。
现将箱子的底面统一简化为形状、尺寸相同的长方形，叉车底板设定为一个边长为1.1米的正方形。
要求建立一个通用的优化模型，在给定长方形箱子的长和宽之后，就能利用这个模型算出使得箱子数量最多的摆放方法。
本题需要解决的问题有：问题一：在不允许箱子超出叉车底板，也不允许箱子相互重叠的情况下，构建一个优化模型，并根据题目中提供的三种型号箱子的数据，确定可以摆放的个数及摆放示意图。
二维装箱问题时间序列
二维装箱问题时间序列一、引言二维装箱问题是指将一系列不同大小的矩形箱子尽可能紧密地放入一个或多个矩形容器中的问题。
本文将探讨二维装箱问题在时间序列场景下的应用。
二、时间序列问题时间序列是指一系列按照时间顺序排列的数据点或事件。
在实际应用中，往往需要对时间序列进行分析和预测。
二维装箱问题在时间序列场景下的应用是将时间序列数据按照一定的规则进行划分和组合，以便更好地理解和分析数据。
三、二维装箱问题二维装箱问题是一个经典的组合优化问题，其目标是将一系列不同大小的矩形物品放入一个或多个矩形容器中，要求物品不重叠、尽可能紧密地填充容器，并且使得所需的容器数量最少。
这个问题在物流、仓储、装箱等领域有着广泛的应用。
四、时间序列的划分和组合在时间序列问题中，可以将时间序列数据看作是矩形物品，而时间段可以看作是矩形容器。
我们需要将时间序列数据按照一定的规则进行划分和组合，以便更好地理解和分析数据。
下面介绍几种常见的时间序列划分和组合方法：1. 滑动窗口滑动窗口是将时间序列分成固定长度的子序列，然后依次滑动窗口进行分析。
通过滑动窗口，我们可以观察子序列的变化趋势和周期性，从而更好地了解整个时间序列的特征。
2. 分解方法分解方法将时间序列分解为趋势、季节性和随机成分。
通过分解方法，我们可以进一步分析和预测各个分量的变化趋势和周期性。
3. 聚类分析聚类分析将时间序列数据进行聚类，将相似的时间序列归为一类。
通过聚类分析，我们可以找到不同类别的时间序列之间的关联性和差异性，进而研究它们之间的规律和相互影响。
五、应用举例下面通过一个例子来说明二维装箱问题在时间序列场景下的应用。
假设我们有一系列销售数据，需要将其按照月份进行分析和可视化。
我们可以使用滑动窗口的方法，将时间序列数据按照月份进行划分，然后计算每个月的销售总额。
接下来，我们可以将每个月的销售总额作为一个矩形物品，将每年的时间段作为一个矩形容器。
然后，使用二维装箱算法将这些矩形物品尽可能紧密地放入矩形容器中，以便更好地观察不同年份和月份的销售趋势和变化。
高效求解三维装箱问题的剩余空间最优化算法
高效求解三维装箱问题的剩余空间最优化算法尚正阳; 顾寄南; 唐仕喜; 孙晓红【期刊名称】《《计算机工程与应用》》【年(卷),期】2019(055)005【总页数】7页(P44-50)【关键词】三维装箱问题; 启发式算法; 快速求解; 调度优化【作者】尚正阳; 顾寄南; 唐仕喜; 孙晓红【作者单位】安徽工程大学机械与汽车工程学院安徽芜湖 241000; 江苏大学制造业信息化研究中心江苏镇江 212000【正文语种】中文【中图分类】TP3011 引言装箱问题是指将一组二维矩形或者三维长方体，放置到二维或者三维空间中，以使得空间的填充率最大或者容积最小。
它作为一个传统的优化组合问题，不仅得到了大量的理论研究，还被广泛地应用在了实际生产和生活的各个领域。
特别是针对三维装箱问题，由于其更加贴近真实情况，已经在工业中得到了大量使用，例如以三维空间利用率为目标的集装箱放置和木材切割问题，或是将第三维看作是时间的时空调度问题等等。
随着智能制造和精益生产的不断推进，这类以三维装箱为模型的资源配置问题日益受到重视，而相关的算法研究与实践也就有着积极的现实意义。
三维装箱问题是装箱问题的一个子问题，Dyckhoff等[1]根据装箱过程中的不同约束和目标，进行了详细分类：容器装载问题、箱柜装载问题、背包装载问题。
本文所研究的是以体积为价值的三维背包装载问题（Three-Dimensional Knapsack Loading Problems，3D-KLP），即将一组不同尺寸的小长方体放入到一个给定尺寸的大长方体中，旨在使所有被放入的小长方体的总体积最大。
在此，将小长方体称为箱子，大长方体称为容器，装载的目标是使容器的空间填充率最大。
这是一个典型的NP-hard问题，传统算法往往因其解空间的“组合爆炸”而难于求解。
所以三维装箱问题的求解通常被分为两个部分：启发式的放置方法和较优解的搜索算法。
综合国内外相关研究，George等[2]提出了基于“层”和“墙”的启发式放置方法。
二维矩形条带装箱问题的底部左齐择优匹配算法
ISSN 1000-9825, CODEN RUXUEW E-mail: jos@Journal of Software, Vol.20, No.6, June 2009, pp.1528−1538 doi: 10.3724/SP.J.1001.2009.03395 Tel/Fax: +86-10-62562563© by Institute of Software, the Chinese Academy of Sciences. All rights reserved.∗二维矩形条带装箱问题的底部左齐择优匹配算法蒋兴波1,2, 吕肖庆1,3+, 刘成城11(北京大学计算机科学技术研究所,北京 100871)2(第二军医大学卫生勤务学系,上海 200433)3(北京大学电子出版新技术国家工程研究中心,北京 100871)Lowest-Level Left Align Best-Fit Algorithm for the 2D Rectangular Strip Packing ProblemJIANG Xing-Bo1,2, LÜ Xiao-Qing1,3+, LIU Cheng-Cheng11(Institute of Computer Science and Technology, Peking University, Beijing 100871, China)2(Faculty of Health Services, Second Military Medical University, Shanghai 200433, China)3(National Engineering Research Center of New Technology in Electronic Publishing, Peking University, Beijing 100871, China)+ Corresponding author: E-mail: lvxiaoqing@Jiang XB, Lü XQ, Liu CC. Lowest-Level left align best-fit algorithm for the 2D rectangular strip packingproblem. Journal of Software, 2009,20(6):1528−1538. /1000-9825/3395.htmAbstract: In this paper, a heuristic placement algorithm for the two-dimensional rectangular strip packingproblem, lowest-level left align best fit (LLABF) algorithm, is presented. The LLABF algorithm is based on thebest-fit priority principle with overall consideration of several heuristic rules, such as full-fit first rule, width-fit firstrule, height-fit first rule, joint-width-fit first rule and placeable first rule. Unlike the bottom-left (BL), theimproved-bottom-left (IBL) and the bottom-left-fill (BLF) heuristic placement algorithms, LLABF algorithmdynamically selects the best-fit rectangle for packing. The computation result shows that 2DR-SPP can be solvedmore effectively by combining the LLABF algorithm with the genetic algorithm (GA).Key words: lowest-level left align best fit (LLABF) algorithm; genetic algorithm; 2D rectangular strip packingproblem; heuristic placement algorithm摘要: 针对二维矩形条带装箱问题提出了一种启发式布局算法,即底部左齐择优匹配算法(lowest-level left alignbest fit,简称LLABF). LLABF算法遵循最佳匹配优先原则,该原则综合考虑完全匹配优先、宽度匹配优先、高度匹配优先、组合宽度匹配优先及可装入优先等启发式规则.与BL(bottom-left),IBL(improved-bottom-left)与BLF(bottom-left-fill)等启发算法不同的是,LLABF能够在矩形装入过程中自动选择与可装区域匹配的下一个待装矩形.计算结果表明,LLABF结合遗传算法(genetic algorithm,简称GA)解决二维条带装箱问题更加有效.关键词: 最低左对齐最佳匹配(LLABF)算法;遗传算法;二维矩形条带装箱问题;启发式布局算法中图法分类号: TP18文献标识码: A二维矩形条带装箱问题(2D rectangular strip packing problem,简称2DR-SPP)是一个典型的组合优化问题,∗ Received 2008-02-29; Revised 2008-04-15; Accepted 2008-06-03蒋兴波等:二维矩形条带装箱问题的底部左齐择优匹配算法1529其应用相当广泛,如工业领域中的新闻组版、布料切割、金属下料等.2DR-SPP通常是指将若干个不同规格的矩形{π1,π2,…,πn}装入宽度W固定、长度L不限的矩形容器C中,要求装完所有矩形后占用高度H packing最小,从而达到节省材料的目的.在矩形的装入过程中,要求满足:①πi,πj互不重叠,i≠j,i,j=1,2,…,n;②πi必须装入在矩形容器C内,即矩形在装入过程中不能超出容器C的宽度W;③πi的边必须与矩形容器C的边平行,πi可以90°旋转.2DR-SPP是一个NP完全问题,其计算复杂度随着问题规模的增大呈指数增长.针对该类问题,国内外相关学者作了大量的研究.Hifi[1]给出了一种基于分支定界方法(branch-and-bound procedure)的精确算法,适用于解决中小规模的2D装箱问题;Lesh等人[2]针对2D矩形完美装箱问题,提出了基于分支定界的穷举搜索算法,该算法已证明对于低于30个矩形的装箱是有效的.为了解决大规模的矩形装箱问题,一些启发式算法也相继提出来.Zhang等人[3]提出了一种启发式递归算法HR(heuristic recursive algorithm),该方法基于启发式策略和递归结构,实验结果表明,该算法能够在较短时间内获得较为理想的装箱高度,但其平均运行时间却达到了O(n3).陈端兵等人[4]根据先占角后占边的原则,提出了一种针对矩形装箱的贪心算法.Chen等人[5]给出了一种two-level搜索算法来求解2DR-SPP.Cui[6]给出了一种启发式递归分支定界算法HRBB(heuristic recursive branch-and-bound algorithm),该算法将递归结构和分支定界技术结合在一起来求解2DR-SPP,取得了较好的实验结果.Beltrán等人[7]按照随机搜索原则设计的GRASP(greedy randomized adaptive search procedure)算法与VNS(variable neighbourhood search)结合在一起来求解2DR-SPP.而Alvarez-Valdes等人[8]提出了Reactive GRASP算法,该算法分为构建和改进两个阶段,其测试结果优于文献[7].张德富等人[9]则提出了一种有效的砌墙式启发式算法PH,实验结果表明,该算法对规模较大的2DR-SPP能够获得较好的装箱效果.针对2DR-SPP,目前广泛采用的是遗传算法GA(genetic algorithm)、模拟退火算法SAA(simulated annealing algorithm)等搜索算法与BL(bottom-left)、IBL(improved BL)、BLF(bottom-left-fill)等启发式布局算法相结合的方式.Bortfeldt[10]采用了无任何编码的遗传算法来解决矩形装箱问题.Jackobs[11]提出了一种混合算法,通过GA 与BL启发式布局算法相结合,从而将矩形的装箱问题转换成相对简单的装入序列问题.由于BL算法容易出现即使穷举所有情况仍不能得到最优解的现象,因此,Liu[12]提出了一种IBL算法,并与GA相结合,取得了优于文献[11]的装箱效果.Yeung等人[13]针对布料切割问题提出了一种布局算法LFLA,该布局算法的计算复杂度为O(n),相对于BL算法(其复杂度为O(n2)),效率上有了较大的提高.Zhang等人[14]针对矩形装箱问题给出了meta-heuristic算法,该算法主要基于启发式递归策略和SAA.Dereli等人[15]则采用SAA与递归布局方法相结合来解决2DR-SPP.针对不同数量及不同类型的矩形排样,Hopper[16]分别使用了BL,BLF启发式布局算法和GA,NE(naïve evolution),SA,HC(hill-climbing),RS(random search)启发式搜索算法相结合的方式进行求解.迄今为止,虽然对2DR-SPP进行了大量的研究,但从相关文献给出的测试结果来看,该问题仍然有进一步研究的必要.例如,BL,IBL,BLF,LFLA以及贾志欣等人[17]提出的最低水平线LHL(lowest-horizontal-line)等常见的启发式布局算法,它们在对矩形装入的过程中严格按照矩形的某个排列序列进行,容易产生较大的空洞,浪费空间,因此装箱效果不够理想.相对于BL而言,BLF算法可以取得较好的装箱效果,但其算法的时间复杂度却达到了O(n3)[18],不适宜解决规模较大的2DR-SPP.本文针对上述问题设计出一种启发式布局算法,即底部左齐择优匹配算法(lowest-level left align best fit,简称LLABF).本文第1节重点介绍LLABF算法设计.第2节介绍GA+LLABF算法的实现.第3节主要对标准数据集进行模拟测试,并与相关文献结果进行对比分析.第4节给出结论.1 LLABF算法设计1.1 定义设容器宽度所在方向为横坐标X,长度方向为纵坐标Y,容器的左下角为坐标原点(0,0).容器的底部在y=0处,容器可以在Y轴正方向无限延伸.1530 Journal of Software软件学报 V ol.20, No.6, June 2009队列I={π1,π2,…,πn}表示n个矩形的某个装入序列,其中,πi是矩形编号,πi∈[1,n],对任意i,j∈[1,n],当i≠j时, πi≠πj.设I(i)表示队列I中第i个位置上对应的矩形,它由五元组构成,即I(i)={x,y,w,h,θ},其中,I(i).x,I(i).y分别表示该矩形装入后,其左下角的横、纵坐标;I(i).w,I(i).h,I(i).θ分别表示该矩形的宽度、高度和旋转角度.设队列E={e1,e2,…,e m}表示装入过程中产生的轮廓线集合,元素e k为水平线线段(与X坐标轴平行),它由三元组构成,即e k={x,y,w},其中,e k.x,e k.y表示第k个水平线线段的左端点坐标(起点坐标);e k.w表示第k个水平线线段的宽度;并且对任意0<k<m,有e k.x<e k+1.x,即按轮廓线起点的x坐标从小到大排列.队列E具有以下特征:其y坐标具备唯一性,如果相邻线段具有相同的高度y,则进行合并;所有线段在X坐标上的投影不重叠;所有线段的宽度之和刚好等于矩形容器宽度W.最低水平线定义为队列E中其y坐标最小的水平线.最优高度H opt表示穷举所有可能情况得到的最小装箱高度,也称为最优解.装箱高度H packing表示根据当前装入序列,按照布局算法将所有矩形装入矩形容器C内所得到的最小高度.空洞是指在装箱过程中,由矩形或者矩形与容器边界(如x=0,y=0,x=W或者y=H packing)围成的空白区.空洞越多,材料浪费的程度就越严重.1.2 LLABF启发规则设计1.2.1 基本思想一般情况下,对NP难问题很难直接构造出一个最优解或满意解,所以只能通过搜索的方法在整个解空间中寻找最优解或者满意解.当问题规模较大时,这种盲目搜索或者遍历就变得十分困难,甚至根本不可行.因此,相关学者常利用问题解本身的某些结构特征来构造出一些启发式规则,并按照该规则设计出启发式算法,由该算法求得问题的一个满意解.对于矩形条带装箱问题,它有以下几个可以利用的结构特征:(1) 面积较大的矩形装入后产生的空洞较大,面积较小的矩形装入后产生的空洞较小;(2) 面积较大的矩形装入后产生的空洞常常可以装入面积较小的矩形;(3) 装入过程中产生的轮廓线越规整,即组成轮廓线的水平线数量越少,就越有利于后期矩形的装入.本文中,LLABF启发式算法利用了矩形条带装箱问题的3个结构特征,采用了动态选择方法.该方法遵照最佳匹配优先原则来动态选择下一个待装矩形,使得在矩形装入的每一步都尽可能地获得一个较优的装箱结果.重复执行,直至最终获得整体较优解.最佳匹配优先原则(best-fit priority,简称BFP)即在矩形的装入过程中,优先考虑与当前可装入区域宽度或高度相匹配以及可装入的未排矩形,它包括完全匹配优先、宽度匹配优先、高度匹配优先、组合宽度匹配优先以及可装入优先这5种启发式规则.5种启发式规则中完全匹配优先、宽度匹配优先以及组合宽度匹配优先可以减少空洞的产生,特别是在装入初期,由于用来与可装区域进行比较的矩形较多,因此,其匹配的概率越高,就越不容易产生空洞;完全匹配优先以及高度匹配优先使得装箱轮廓相对规整;高度匹配优先以及可装入优先可以将较小矩形延后装入.5种启发式规则结合起来不但可以使矩形装入后产生的空洞数量较少,而且所有的空洞总面积相对也较小.1.2.2 启发规则设计完全匹配优先(full-fit first,简称FFF). 在可装入的轮廓线中选取最低的水平线e k,如果有多个线段,则优先选取最左边的一段.从待装矩形中按照装入序列依次将矩形与e k进行比较,如果存在宽度或者高度与该线段宽度e k.w相等且装入后刚好左填平或者右填平的矩形则优先装入.完全匹配优先能够减少装入后产生的轮廓线数量,使得装入轮廓朝着顶部平齐的方向发展.宽度匹配优先(width-fit first,简称WFF). 在装入过程中,优先装入宽度或者高度与最低水平线e k等宽的矩形,如果存在多个匹配矩形,则优先装入面积最大的.与完全匹配优先规则不同的是,宽度匹配优先并不要求装入后能够实现左填平或者右填平;同时,该规则使得较小矩形有推迟装入的趋势.另外,WFF不会增加装入轮廓线数量.蒋兴波 等:二维矩形条带装箱问题的底部左齐择优匹配算法1531高度匹配优先(height -fit first ,简称HFF ). 在待装矩形中,按照装入序列查询宽度或高度不大于最低水平线e k 宽度且装入后能够实现左填平的矩形,若存在则装入查询到的首个矩形.与FFF 和WFF 不同,HFF 可能会在最低水平线上产生新的、更小的可装入区域,但却增加了轮廓线e k −1的宽度.组合宽度匹配优先(joint -width -fit first ,简称JWFF ). 按装入序列对两个矩形进行组合,如果组合后的宽度与最低水平线宽度e k 相等,则优先装入组合序列中的首个矩形.例如,存在两种组合I (i 1).w +I (j 1).w =e k .w , I (i 2).w +I (j 2).w =e k .w ,如果I (i 1)的面积大于I (i 2),则首先装入I (i 1),否则装入I (i 2).JWFF,FFF 与WFF 规则避免了在最低水平线e k 上产生新的、更小的可装入区域,从而减少了整个装箱过程产生空洞的可能性.为了保证时效性,算法中设置了查询范围searchNum ,即从当前位置开始,最多可以进行searchNum ×searchNum 次连续矩形的两两组合查询.可装入优先(placeable first ,简称PF ). 在一定范围内,从待装矩形件中按照装入序列依次查找宽度或高度不大于最低水平线e k 宽度的矩形,若存在,则将其装入;若存在多个,则装入面积最大的矩形.PF 可能在最低水平线上产生新的、更小的可装入区域,同时使得较小矩形延迟装入.在矩形的装入过程中,满足FFF,WFF,HFF 以及JWFF 规则的矩形可能并不存在,此时就必须考虑PF.如果满足PF 规则的矩形仍不存在,那么必然会在最低水平线上产生空洞.与BL,IBL,LFLA 以及LHL 算法不同,该空洞是在一定范围内由于不存在可装入的矩形而产生的,因此其面积更小.与BLF 算法不同,LLABF 算法并不需要保存新产生的空洞.图1给出了按照最佳匹配优先原则的部分启发规则实现矩形装入的示意图,其中,矩形的装入序列是4 2 7 6 5 1 8 3.图1(a)表示已经装入了4个矩形,产生了由4个线段e 1,e 2,e 3,e 4组成的装入轮廓,其中,e 2为最低水平线,其对应的区域是接下来首先要考虑的区域.图1(b)采用完全匹配优先:与最低水平线e 2等宽的矩形有1号和3号,但由于只有3号矩形装入后能够实现左填平,因此首先选择该矩形装入.图1(c)采用宽度匹配优先:满足该条件的矩形有1号和3号,但由于1号矩形面积较大,所以优先装入.图1(d)采用高度优先:1,8,3这3个矩形都满足其宽度不大于e 2.w ,但只有8号和3号矩形装入后能够实现左填平,且8号矩形位置在3号之前,所以优先装入.(a) (b)(c) (d)Fig.1 Packing result according to BFP principle图1 按BFP 原则的装箱结果图1.3 LLABF 算法的实现LLABF 算法是按照BFP 原则进行装箱的启发式布局算法,其算法实现如下所示.1532 Journal of Software软件学报 V ol.20, No.6, June 2009LLABF (input: I; output: H packing)beginInitContours(E); InitCoordinate(I); H packing=0; // 初始化;H packing:装箱高度① for (ii=1; ii≤n; ii++)begin②if (I(ii).x>−1) goto ①; // 当前矩形件已被装入在E中取最低水平线e k;j=−1; //记录用于装入的矩形件所在序列号FullFitFirst(ii,I,e k,j); if (j>−1) goto ④;//完全匹配FFFWidthFitFirst(ii,I,e k,j); if (j>−1) goto ④; //宽度匹配WFFHeightFitFirst(ii,I,e k,j); if (j>−1) goto ④; //高度匹配HFFJointWidthFitFirst(ii,I,e k,7,j); if (j>−1) goto ④; // 组合宽度匹配JWFFPlaceableFirst(ii,I,e k,n/6,j); if (j>−1) goto ④; //可装入优先PF③合并E中的边,转②;④将I集合中第j位元素对应的矩形件I(j)装入在E中的最低水平线e k上;如果未旋转,则H packing=max(H packing,I(j).x+I(j).h),否则,H packing=max(H packing,I(j).x+I(j).w);更新集合I和E;如果j>ii,则转②;endend其中,InitCoordinate(I)是对所有矩形块的坐标x,y进行初始化.在初始阶段,由于所有的矩形都未进行装入, InitCoordinate(I)将其坐标x,y全部初始化为−1,即对任意i∈[1,n],I(i).x=I(i).y=−1.InitContours(E)对装箱轮廓线进行初始化.在初始阶段,由于容器C未被装入,因此,其轮廓线仅由一个水平线线段构成,即E={e1},其中,e1={0,0,W},W为容器C的宽度.FullFitFirst,WidthFitFirst,HeightFitFirst,JointWidthFitFirst,PlaceableFirst分别表示按照FFF,WFF,HFF, JWFF以及PF等启发式规则在队列I中第ii位开始向后依次查找与最低水平线e k相匹配矩形的查询过程,其返回值为j.其中,JointWidthFitFirst,PlaceableFirst中的查询范围分别设置为7,n/6,为多次实验后取得的经验值.1.4 LLABF算法举例图2(a)是5个矩形构成的一个完美装箱图,其装箱高度H packing等于最优高度H opt,空间的利用率为100%.对于BL,IBL,LFLA以及LHL算法,要实现图2(a)的完美装箱(不考虑旋转),其装入序列就必须为1 2 3 4 5.对于序列为1 3 4 5 2和1 3 2 4 5,其装箱结果分别如图2 (b)和图2(c)所示,这两种装入序列都会产生较大的空洞.(a)(b) (c)Fig.2 Packing result according to BL, IBL, LFLA or LHL algorithm图2 BL,IBL,LFLA或LHL算法的装箱结果图对于同样的装入序列,采用LLABF算法则能得到如图2(a)所示的完美装箱.图3显示了装入序列为1 3 4 5蒋兴波 等:二维矩形条带装箱问题的底部左齐择优匹配算法15332、采用LLABF 算法得到的装箱结果(其中,*表示该位置上的矩形已经装入容器中).初始化:E ={e 1},e 1={0,0,W };对任意i ∈[1,n ],I (i ).x =I (i ).y =−1; 开始阶段虽然所有矩形都不满足完全匹配FFF 、宽度匹配WFF 以及高度匹配,但I (1).w +I (5).w =e 1.w ,满足两两组合宽度匹配JWFF,所以将编号为1的矩形装入在矩形容器C 的左下角;装入结果如图3(c)所示,此时,E ={e 1,e 2};取最低水平线e 2,按照LLABF 启发式规则依次查询匹配矩形,其中I (5),即编号为2的矩形满足WFF,故将其装入在e 2上;装入结果如图3(d)所示,此时,E ={e 1,e 2};以此类推,其装入过程如图3(e)~图3(g)所示.根据LLABF 算法,如果装入序列符合1 2 3 * *或者1 3 * * * 模式(其中,*代表未列出的矩形编号),其结果都与1 2 3 4 5序列的装箱结果相同,即都能得到如图3(a)所示的完美装箱.在图3中,满足第1种模式的装入序列包括1 2 3 4 5,1 2 3 5 4两种,满足第2种模式的装入序列包括1 3 2 4 5,1 3 4 2 5,1 3 2 5 4,1 3 5 2 4,1 3 5 4 2,1 3 4 5 2这6种.针对图2中的5个矩形的装箱问题,LLABF 找到最优解的概率是BL,IBL,LFLA 以及LHL 的8倍之多.因此,相对于传统布局算法,LLABF 算法更容易找到最优解.Fig.3 Packing result according to LLABF algorithm图3 LLABF 算法的装箱结果图2 GA +LLABF 算法实现2.1 算法的总体流程 本文采用遗传算法GA 与LLABF 相结合的方式来解决二维矩形条带装箱问题.其中,GA 用来实现矩形装入序列的初步确定,LLABF 则根据自身的启发式规则将矩形装入到矩形容器中.GA+LLABF 的算法流程如下所示.(1) 个体染色体编码.(2) k =0;随机产生m 个个体组成初始群体pop (k )={I 1,I 2,…,I m }.(3) 对单个个体I i 执行LLABF(Ii ,H packing );记录个体适应度f (I i )(f (I i )=1/H packing ).(4) 判断是否满足停止条件.若是,则停止计算,输出最佳结果;否则,继续.(5) 利用排序选择操作选择m 个个体形成新的群体selpop (k +1).(6) 根据交叉概率P c 进行交叉操作,产生群体crosspop (k +1).(a) (b) 1 3 4 5 2(c) * 3 4 5 2 (d) * 3 4 5 * (e) * * 4 5 * (f) * * * 5 * (g) * * * * *1534 Journal of Software软件学报 V ol.20, No.6, June 2009(7) 根据变异概率P m进行变异操作,产生群体mutpop(k+1).(8) pop(k+1)=mutpop(k+1);k=k+1;转(3),循环.2.2 编码及适应度函数矩形装箱采用整数编码(encoding),即n个矩形分别用整数1,2,…,n编号,矩形的一个装箱方案对应于一个染色体编码,I j=(π1,π2,…,πn),其中,|πi|表示矩形编号(1≤|πi|≤n),当πi<0时,矩形旋转90°,否则不旋转;I j表示第j个个体.例如:个体I j的染色体编码为(−5 3 −7 6 1 10 8 −2 4 −9),表示装入序列为5 3 7 6 1 10 8 2 4 9.在装入过程中,编号为5,7,2,9的矩形进行90°旋转.适应度函数(fitness function)可以由装箱高度的倒数表示,即f(I j)=1/H packing(I j).2.3 选择为了避免丢失上一代产生的最佳个体,本文在采用排序选择方法(rank-based select model)的同时,还混合使用了最优保存策略(elitist model).排序选择方法主要依据个体适应度值之间的大小关系,对个体适应度是否取正值或负值以及个体适应度之间的数值差异程度并无特别要求.其步骤如下:(1) 对群体中所有个体按照适应度从大到小排序.(2) 根据下列公式计算每个个体的选择概率:()iP=α×(1−α/m)I,sP表示排列在第i个位置的个体的选择概率,m表示群体大小,α为调节参数.其中,()is(3) 根据步骤(2)计算得出的个体概率值作为其能够被遗传到下一代的概率,基于该值应用比例选择(赌盘选择)的方法产生下一代群体.2.4 交叉(crossover)交叉是产生新个体的主要方法.本文主要采用环形部分交叉(circular-based part crossover):①随机生成起始交叉点P cr∈[1,n];②随机生成交叉长度L cr∈[1,n];③将P cr后的L cr位基因进行交换,如果P cr+L cr>n,则将染色体前P cr+L cr−n位基因进行互换;④然后依次将未出现的基因填入空白基因座.2.5 变异(mutation)变异是产生新个体的辅助方法,它决定了遗传算法的局部搜索能力,保持群体的多样性.本文中的变异包括两部分:一是旋转变异,二是装入序列变异.(1) 旋转变异旋转变异采用了单点取反和环形部分取反两种方式.单点取反(single point reversion)变异:①随机生成变异点P mu∈[1,n];②取反.例如,对于个体I j=(π1,π2,…, πi,…,πn),P mu=i,则变异后产生的新个体为I′=(π1,π2,…,−πi,…,πn).j环形部分取反(circular-based part reversion)变异:①随机生成变异点P mu∈[1,n];②随机生成变异长度L mu∈[1,n];③将P mu后的L mu位取反,如果P mu+L mu>n,则将染色体首部的P mu+L mu−n位基因取反.(2) 装入序列变异装入序列变异采用了两点位置互换与环形部分逆转两种方式.两点位置互换(two point exchange)变异:①随机生成两个变异点i,j∈[1,n];②将两个基因互换.例如:I j=(π1, π2,…,πi1,…,πi2,…,πn),i1,i2∈[1,n],则变异后产生的新个体为I′=(π1,π2,…,πi2,…,πi1,…,πn).j环形部分逆转(circular-based part inversion)变异:①随机生成变异点P mu∈[1,n];②随机生成变异长度L mu∈[1,n];③将P mu后的L mu位逆转,即将(P mu+i) mod n(即P mu+i对n取模)与(P mu+L mu−i) mod n互换,i∈[0,L mu/2].蒋兴波等:二维矩形条带装箱问题的底部左齐择优匹配算法15353 实验结果实验平台:Pentium 4 3.0GHz,512M,Windows Server 2003.运行参数:交叉概率P c=0.95,变异概率P m=0.85.本文的实验针对两组标准测试问题来进行,第1组来自文献[11],第2组来自文献[16].3.1 实验1文献[11]给出了两组标准测试实例,均由40×15的大矩形切割而成.其中,第1组实例由25个矩形组成,第2组实例由50个矩形组成.本文实验中,GA的群体大小和运行代数参照文献[12],分别设为20和100.对每组实例皆重复运行100次.实验结果对比见表1.Table 1Computational results of four algorithms表14种算法的计算结果Jakobs S[11] GA+BL Liu DQ[12]GA+IBLBortfeldt A[10]SPGALGA+LLABFW×H nH min H avg H min H avg H min H avg H min H avg H max40×15 25 17 17.481616.9716 16.001515.001540×15 50 17 17.281617.0115 15.001515.0015 表1中,H min,H max,H avg分别指多次运行中得到的最小H packing、最大H packing及平均H packing.由表1可以看出,GA+LLABF算法在对2组标准实例进行的100次测试中均找到了最优解15,而其他3种算法中,除了SPGAL找到了第2组数据集的最优解之外,其余算法求得的H packing均大于H opt.因此,实验结果表明,本文的GA+LLABF算法更加有效.3.2 实验2在文献[16]中,Hopper等人给出了21组不同尺寸的测试实例,这些实例分成7个大类,每个大类由3组实例组成,其矩形个数从16个~197个不等.每个实例的最优高度H opt已经给出,其相关数据见文献[16].在本文的算法中,初始种群大小参照文献[16],设为50,终止条件为进化代数等于 2 500代,或者装箱高度H packin等于最优解H opt.对每组测试实例重复运行10次,记录每个大类30次(每个大类3个实例,每个实例进行10次测试)测试的平均装箱高度到最优解的相对距离RDBSOH,RDBSOH(%)=100×(30次平均H packing−H opt)/H opt.实验结果对比见表2.Table 2Computational results of 12 algorithms (relative distance of best solution to optimum height (%))表2 12种算法的计算结果(RDBSOH(%))Algorithm C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 AverageGA+BLF[16] 4 7 5 3 4 4 5 4.57 SA+BLF[16] 4 6 5 3 3 3 4 4.00 GRASP+VNS[7]14.40 17.33 12.93 6.80 4.51 3.55 2.89 8.92 HR[3]8.33 4.45 6.67 2.22 1.85 2.5 1.8 3.97 Hybrid SA[15] 1.66 4.88 4.00 3.94 3.18 3.30 3.38 3.48SA+HR[14] 5.00 4.47 2.23 2.22 1.86 2.5 3.24 3.07 PH[9] 5.00 4.44 4.44 3.33 1.11 1.11 1.25 2.95HRBB[6] 1.70 0.00 1.10 2.20 1.90 1.40 1.30 1.40GRASP[8]0.00 0.00 1.08 1.64 1.10 1.56 1.36 1.33SPGAL[10] 1.70 0.90 2.20 1.40 0.00 0.70 0.50 1.00 A1[5]0.00 0.00 1.11 1.67 1.11 0.83 0.42 0.73 GA+LLABF 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.40 0.06 从表2可以看出,在现有的算法中,按照Averag e即平均RDBSOH,位居前4位的较优算法依次为A1, SPGAL,GRASP与HRBB,它们对7大类实例计算得出的Average分别为0.73,1.0,1.33和1.4.而本文给出的GA+LLABF算法计算得出的Average为0.06,其中6大类实例的RDBSOH为0,即对应的所有实例其10次实验结果皆取得了最优解.因此,实验结果进一步表明,针对2DR-SPP,本文提出的GA+LLABF算法优于其他算法.1536Journal of Software 软件学报 V ol.20, No.6, June 2009表3给出了GRASP+VNS,GRASP,HRBB 以及本文的GA+LLABF 对21组实例求得的实际测试结果H packing .在GA+LLABF 算法对21组实例的测试中,10次实验皆能获得最优解H opt 的有18组(21组中,除C 71,C 72,C 73外),占全部实例的86%(18/21),而GRASP 为38%(8/21)、HRBB 为33%(7/21);10次实验中至少获得1次最优解的实例有19组(即最小高度H min =最优高度H opt ),占全部实例的91%(19/21),而GRASP 为38%(8/21)、HRBB 为43%(9/21);10次实验获得的最大高度H max 与最优解H opt 之间的距离最多为1个基本单位.因此,无论是最优解所占比例还是最小高度H min 、平均高度H avg 以及最大高度H max ,GA+LLABF 求得的结果均具有明显的优势.Table 3 Computational results (H packing ) of 21 instances表3 21组实例计算结果 Beltrán DJ GRASP+VNS [7] (20 runs) Alvarez-Valdes R GRASP [8] (10 runs) Cui YD HRBB [6] (6 runs) GA+LLABF(20 runs) CategoryH opt n H min H avg H max H min H avg H min H avg H max H min H avg H max C 1120 16 21 22.30 23 20 20.00 2020.0020 20 20.00 20 C 1220 17 21 23.20 25 20 20.00 2121.0021 20 20.00 20 C 1320 16 22 23.15 24 20 20.00 2020.0020 20 20.00 20 C 2115 25 16 17.20 19 15 15.00 1515.0015 15 15.00 15 C 2215 25 16 18.00 20 15 15.00 1515.0015 15 15.00 15 C 2315 25 16 17.60 20 15 15.00 1515.0015 15 15.00 15 C 3130 28 32 32.55 34 30 30.00 3030.0030 30 30.00 30 C 3230 29 32 34.25 37 31 31.00 3131.0031 30 30.00 30 C 3330 28 33 34.85 37 30 30.00 3030.0030 30 30.00 30 C 4160 49 63 63.55 66 61 61.00 6060.5061 60 60.00 60 C 4260 49 61 64.60 68 61 61.00 6161.3362 60 60.00 60 C 4360 49 62 64.10 66 61 61.00 6161.0061 60 60.00 60 C 5190 73 92 93.45 95 91 91.00 9090.6791 90 90.00 90 C 5290 73 93 94.75 97 91 91.00 9292.0092 90 90.00 90 C 5390 73 92 94.00 98 91 91.00 9191.1792 90 90.00 90 C 61120 97 123 124.40 130121121.90121121.00121120 120.00 120C 62120 97 123 124.65 128121121.90121121.83122120 120.00 120C 63120 97 122 123.75 126121121.90121121.33122120 120.00 120C 71240 196 244 246.45 248244244.00242242.17243241 241.00 241C 72240 197 244 247.05 255242242.90245245.00245241 241.00 241C 73 240 196 245 247.30 258243243.00241241.33242240 240.90 241图4(H packing =H opt =120)、图5(H packing =H opt =240)显示了由GA+LLABF 算法求得的部分实例装箱图,其装箱高度皆为最优高度.Fig.4 Packing result of C 63 Fig.5 Packing result of C 73图4 C 63的装箱结果图 图5 C 73的装箱结果图 LLABF 算法在对矩形的装入过程中,每一步均按照FFF,WFF,HFF,JWFF 以及PF 规则依次查询与最低水平蒋兴波等:二维矩形条带装箱问题的底部左齐择优匹配算法1537线相匹配的矩形.对于FFF,如果某个阶段存在i个待装矩形,那么最坏情况下将比较i次;其余4个启发式规则除了JWFF的比较次数为常数K以外,皆与完全匹配优先类似,因此,单步比较次数最坏情况下为4i+K.将所有n 个矩形全部装入容器中,总的比较次数最坏情况下为4×(n+n−1+n−2+…+2+1)+n×K,共2n×(n+1)+n×K,因此其复杂度为O(n2).对于矩形在容器中的装入,主要的比较次数在于查找最低水平线,而最低水平线的数量不会超过n,所以,其复杂度最坏情况下为O(n2).整体上,LLABF的时间复杂度为O(n2).同时,对于GA,由于群体规模和进化代数皆为常数,其本身的比较次数也为常数,所以GA+LLABF算法的复杂度主要由LLABF决定,即最坏情况下为O(n2).表4给出了表2中所有算法的计算时间.由于算法的实现方式、测试平台与环境的不同,要对算法的快慢进行精确比较是不科学也是不可行的.但是从表4中,我们能够大致看出各种算法的运行快慢程度.由于本文算法采用了装箱高度等于最优解作为终止运行条件之一,因此,虽然C5的规模大于C4,但其获得最优解的速度明显快于C4,所以运行时间相对较小.Table 4Run times of 12 algorithms (s)表412种算法的运行时间(s)Algorithm C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 Averagea[16]a SA+BLF[16]42.00 144.00 240.00 1 980.00 6 900.0022 920.00250 860.00 40 441.86b GRASP+VNS[7] 0.00 0.00 0.00 0.00 0.02 0.07 1.37 0.21c HR[3]0.000.000.03 0.14 0.69 2.21 36.07 5.59dHybrid SA[15] 3.64 6.36 18.78101.20287.27 757.20 1650.6 403.57e SA+HR[14] 23.20 42.80 59.20170.00343.60 444.90 1328.80 344.64f PH[9]0.00 0.00 0.00 1.51 5.69 23.74 707.12 105.45g HRBB[6] 0.27 0.33 0.88 2.19 2.83 2.24 4.26 1.86h GRASP[8]- - -- ---60.00i SPGAL[10]--- ----139.00j A1[5]0.370.611.71 0.15 0.40 3.98 45.02 7.46GA+LLABF0.000.032.233.6 1.3 33.2 328.3 52.67a—Pentium Pro 200MHz and 65MB memory c—Dell GX260 with a 2.4GHz CPUe—Dell GX270 with a 3.0GHz CPU g—Pentium 4 2.8GHZ, 512MB memory i—Pentium PC with 2GHz b—Pentium 166MHz and 96MB RAM d—Pentium Ⅲ 797MHZf—Pentium 4 1.6GHZ, 256MB memory h—Pentium 4 mobile 2.0GHZ, 512MB memory j—2.4GHz PC with 512MB memory4 结论与展望本文分析了传统布局算法的不足,提出了一种启发式布局算法LLABF,并将其与GA相结合.实验结果表明,GA+LLABF算法解决2DR-SPP问题更加有效.但是要评价一种算法的优劣,除了要考虑算法的求解结果以外,还应兼顾算法的运行效率.因此,改进算法以进一步提高运算速度,将是我们下一步的研究重点.References:[1] Hifi M. Exact algorithms for the guillotine strip cutting/packing problem. Computers & Operations Research, 1998,25(11):925−940.[2] Lesh N, Marks J, McMahon A, Mitzenmacher M. Exhaustive approaches to 2D rectanglar perfect packings. Information ProcessingLetters, 2004,90:7−14.[3] Zhang DF, Kang Y, Deng AS. A new heuristic recursive algorithm for the strip rectangular packing problem. Computers &Operations Research, 2006,33(8):2209−2217.[4] Chen DB, Huang WQ. Greedy algorithm for recatngle-packing problem. Computer Engineering, 2007,33(4):160−162 (in Chinesewith English abstract).[5] Chen M, Huang WQ. A two-level search algorithm for 2D rectangular packing problem. Computers & Industrial Engineering, 2007,53(1):123−136.。
装箱问题算法实现讲解
装箱问题算法实现讲解有一个箱子容量为V(正整数，0≤V≤20000），同时有n个物品（0≤n≤30),每个物品有一个体积（正整数）。
要求从n个物品中，任取若干个装入箱内，使箱子的剩余空间为最小。
[样例]输入：24 一个整数，表示箱子容量6 一个整数，表示有n个物品8 接下来n行，分别表示这n个物品的各自体积。
312797输出：0 一个整数，表示箱子剩余空间算法分析：本题是经典问题：0-1背包的特殊例子（加强了已知条件）。
用整形数组volume存储各件物品的体积，用布尔型函数h(i,k)表示前i个物品通过组合能否恰好装满容量k的空间，则考虑第i件物品，如果没有被选中，则问题转化为h(i-1,k);如果第i件物品被选中了，则问题转化为h(i-1,k-volume[i]),因此有如下的表达式：h(i,k)=h(i-1,k-volume[i]) || h(i-1,k);k从V开始递减，判断h(n,k)是否为真，第一个符号要求的k即为剩余空间最小时消耗的体积。
如果此时直接编写程序，就要定义一个二维数组，空间复杂度时n*v,注意到了n,v的取值范围很大，所以用二维数组存储就会有问题。
我们注意到，h(i,k)的取值仅与h(i-1,0)～h(i-1,k)有关，且如果h(i-1,k)=true,必然有h(i,k)=true,h(i,k)的值存在继承性，而程序结束时，我们也只关心h(n,k),因此，我们可以用一维数组h(k)来存储中间信息。
为了避免重复计算，可以让k从大到小变化，为了避免出现负数，k的变化范围为v～volume[i].示例程序：#include<iostream>#include<cstring>using namespace std;int v,n;int volume[31];//存储n件物品的体积int h[20001];//h[i]=1,表示n件物品通过某种组合，所构成的体积和正和等于i;//h[i]=0,表示n件物品无论如何组合，体积和都无法等于iint main(){freopen(\"in.txt\",\"r\",stdin);freopen(\"out.txt\",\"w\",stdout);int v,n,i,j,k;while(cin>>v>>n){for(i=1;i<=n;i++)cin>>volume[i];memset(h,0,sizeof(h));h[0]=1;for(i=1;i<=n;i++)for(k=v;k>=volume[i];k--)h[k]=h[k]||h[k-volume[i]];[Page]j=v;while(j>0&&h[j]==0)j--;cout<<v-j<<endl;}return 0;。
求解装箱问题的启发式算法研究
ｐｅｒｓｏｎｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｈｅｕｒｉｓｔｉｃｓ，ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｉｎｓｐｉｒｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｄａｉｌｙ
ｓｔｒａｔｅｇｙ
ｏｆ
ｂｕｉｌｄｉｎｇ ｗａｌｌ ｉｎ ｔｈｅ ２Ｄ・ｐａｃｋｉｎｇ
ｌｉｆｅ．Ｓｉｍｉｌａｒ
ｔｏ
ｔｈｅ ｐｅｒｓｏｎｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｈｅｕｒｉｓｔｉｃｓ ｆｏｒ ｔｈｅ
ａ
ａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ｗｅ
ｂａｓｅｄ
ｔｒａｎｓｆｏｒｍ
ｔｈｅ ２Ｄ ｓｔｒｉｐ ｐａｃｋｉｎｇ
ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｎｔｏ
ｐｒｏｂｌｅｍ．Ｔｈｅｎ，ｆｏｒ ｔｈｅ ２Ｄ
ｏｎ
ｋｎａｐｓａｃｋ
ｐａｃｋｉｎｇ ｐｒｏｂｌｅｍ，ｗｅ ｐｒｅｓｅｎｔ
ｔｏ ｐａｃｋ
ｌｅａｓｔ
ｗａｓｔｅｄ
ｆｉｒｓｔ ｓｔｒａｔｅｇｙ
等制造行业都有广泛应用。
与切割相对应的是填充（排样、布局）问题，随着超大规模集成电路的出现， 一块电路板中的元器件有成千上万个。怎么样合理地安排每个元器件在电路板上 的位置，最大化利用电路板的空间，即电路板的布局问题，成为集成电路版图设 计中的一个重要步骤。该问题也同样出现在报纸的排版中。 在数学的王国中，有一个问题一直困扰着人们，即“完美正方形”【２ｌ的寻找。 所谓“完美正方形＂是指可以用一些大小各不相同，并且边长为整数的小正方形 铺满的正方形，有趣的是，该问题也跟装箱问题有密切联系，事实上，２１阶的 “完美正方形’’正是用大型电子计算机算出来的。 由此可见，装箱问题的应用非常广泛，研究该问题有着重要的实际意义。随 着应用领域的不同，装箱问题的目标和约束条件也不同，因此人们抽象出了一些 通用的数学模型并把该问题分成了很多类型来分别研究。装箱问题一般可描述如
ａｎｄ ｔｈｅ ｎｅｗｓｐａｐｅｒ
数学建模 - 第八章 装箱问题
而且存在 zopt ( I ) 任意大的实例 I ，使
17 z FF ( I ) ( zopt
17 . 10
第八章 装箱问题
物品
Example 2 Solution :
I : C = 10
J1
J2
J3
J4
J5
J6
wj
6
7
4
有最小标号的箱子 .
计算复杂性为 O(nlogn).
但精度比NF
算法更高
§3
装箱问题的近似算法
Theorem 3.4 Theorem 3.5 对任意实例 I ，
zFF ( I ) 7 . zopt ( I ) 4
7 17 1 4 10 20
17 z FF ( I ) zopt ( I ) 1 10
4
J4
2
J5
8
J6
3
wj
首先，将 J1 放入 B1; 由于 J2 在 B1 中放不下, 所
J1 J2 J3 J4 J5 J6
以关闭 B1 , 将 J2 放入 B2 ,
J3 在 B2 中放不下(不考虑
B1 是否能装), 所以关闭 B2
将 J3 放入 B3，…
J1 J2
J4 J3 B3 J5 J6 B5
n w 易证 zopt (I ) N 1 z ( I ) 2 N NF w Ck 显然，由 k z ( I ) 得 i i 1
i 1 opt
zNF ( I ) z 2 N 2 k ,( N 反证 如果 NF ( I ) 则 对任意 k 2 ) 得 i R= 2,…, 2 NF 1, zopt ( I ) N 1 由于起用第 2i 个箱子是因为第 2i -1 个箱子放不下第2i
集装箱装箱计算 java开源算法
集装箱装箱计算 java开源算法
关于集装箱装箱计算的Java开源算法，目前有一些开源的库和
算法可以用来进行集装箱装箱计算。
其中比较常用的是Jenetics库，它是一个用Java编写的遗传算法库，可以用于解决优化问题，包括
集装箱装箱问题。
另外，还有一些其他的开源算法可以用于集装箱
装箱计算，比如Apache Commons Math库中的优化算法，以及OR-Tools库中的约束编程算法等。
在实际应用中，集装箱装箱计算涉及到一些复杂的算法和数据
结构，比如二维装箱问题、三维装箱问题、多维装箱问题等。
在选
择合适的开源算法时，需要根据具体的需求和问题进行选择。
一般
来说，遗传算法、优化算法和约束编程算法都可以用来解决集装箱
装箱计算问题，但具体的选择需要根据问题的规模、复杂度和实时
性等因素来进行权衡。
在使用开源算法时，需要注意算法的性能、稳定性和可维护性
等方面的问题。
另外，还需要考虑算法的适用性和可扩展性，以便
在实际应用中进行定制和优化。
因此，在选择开源算法时，需要进
行充分的调研和评估，以确保选择到合适的算法来解决集装箱装箱
计算问题。
总之，针对集装箱装箱计算的Java开源算法，可以选择一些常
见的遗传算法库、优化算法库或约束编程算法库来进行应用。
在选
择算法时需要充分考虑算法的性能、稳定性、适用性和可维护性等
因素，以确保选择到合适的算法来解决实际的集装箱装箱计算问题。
二维矩形条带装箱问题的底部左齐择优匹配算法
决中小规模 的 ２ Ｄ装箱 问题；ｅｈ等人ｆ针对 ２ Ｌｓ ］ Ｄ矩 形完美装 箱 问题 ， 出了基于 分支定界 的穷举搜 索算法， 提 该算 法 已证明对于低 于 ３ ０个矩形 的装 箱是有 效的． 为 了解 决大规模 的矩形装 箱 问题， 一些 启发式算 法也相继 提 出来 ．ｈ ｎ 等人 『提 出了一种启 发式递 归算 法 Ｚ ａｇ ３ ］ ＨＲｈ ｕｉｉ ｒｃ ｒｉｅ ａｇ ｒｈ ， （ｅｒ ｔ ｅｕｓ ｌｏｉ ｍ） ｓｃ ｖ ｔ 该方法基 于启 发式策略 和递 归结构， 实验 结果表 明， 该算法 能够在 较短 时间 内 获得 较为理想 的装箱 高度， 但其平均运 行 时间却达到 了 Ｏ ｎ） （ ． 陈端兵 等人【根据先 占角后 占边的原则 ， 出了一 】 提 种针对 矩形装 箱的贪心 算法．ｈ ｎ等人 ＿给 出了一种 ｔ ． ｖ ｌ Ｃｅ ５ ］ ｗｏ１ ｅ 搜索 算法 来求解 ２ ．Ｐ ．ｕＬ给 出了一种启 发 ｅ ＤＲ Ｓ Ｐ ｉＪ Ｃ ６ 式递 归分支定 界算法 Ｈ ＢＢ ｈ ｕｉ ｉ ｃｒｉｅ ｒｎ ｈａｄｂ ｕ ｄａｇ ｒｈ ， Ｒ （ｅ ｒ ｔ ｒ ｕｓ ａ ｃ —ｎ ．ｏ ｎ ｌｏｉ ｍ） ｓｃ ｅ ｖｂ ｔ 该算法 将递 归结构和分支 定界技 术 结合 在一起 来求解 ２ Ｒ ｓ Ｐ取得 了较 好 的实验结 果．ｅｔ ｎ等 人【按照 随机搜索 原则设 计的 Ｇ ＡＳ （ｒｅ ｙ Ｄ ．Ｐ， Ｂ ｌｆ ｒ ｉ Ｒ Ｐｇｅｄ ｒｎ ｏ ｚｄａ ａｔ ｅｓａｃ ｒｃｄ ｒ） ａ ｄ ｍｉｅ ｄ ｐｉ ｅｒｈｐｏ ｅ ｕｅ算法 与 Ｖ （ａｉｂｅｎ ｉｈ ｏ ｒｏ ｄｓａｃ ） 合在一起 来求解 ２ ．Ｐ ｖ ＮＳｖ ｒ ｌ ｅｇ ｂ ｕｈ ｏ ｅｒｈ结 ａ ＤＲ Ｓ Ｅ 而 Ａｌａｅ． ａｄ ｓ ｖ ｒｚＶ ｌｅ 等人 【提 出 了 Ｒ ａｔ ｅ ＧＲ Ｐ算法 ， 法分为 构建和 改进 两个 阶段， 测试结果 优于文献 ８ Ｊ ｅｃｉ ＡＳ ｖ 该算 其
集装箱装箱计算公式
集装箱装箱计算公式
集装箱的装箱计算是一个重要的环节，它涉及到货物的体积、
重量和集装箱的容积等因素。
一般来说，装箱计算的公式可以分为
两种情况，计算货物体积和重量是否适合集装箱，以及计算在给定
的集装箱内可以装载多少货物。
首先，计算货物体积和重量是否适合集装箱，一般需要考虑货
物的长度、宽度、高度和重量。
如果货物是规则形状（如长方体），可以使用以下公式计算货物的体积，体积 = 长× 宽× 高。
如果
货物是不规则形状，可以通过测量不同部位的长度、宽度和高度，
然后进行适当的近似计算。
另外，需要确保货物的重量不超过集装
箱的承重限制，这个限制一般可以在集装箱的规格表中找到。
其次，计算在给定的集装箱内可以装载多少货物，需要考虑集
装箱的内部容积和货物的形状。
一般来说，集装箱的内部容积可以
在集装箱规格表中找到，然后根据货物的形状和大小进行合理的摆
放和堆放，以最大限度地利用集装箱的空间。
对于规则形状的货物，可以直接计算其体积，然后将集装箱的容积除以货物的体积得到大
致的装载数量。
对于不规则形状的货物，可能需要进行适当的近似
计算，以确保货物能够有效地装载在集装箱内。
总的来说，集装箱的装箱计算涉及到多个因素，包括货物的体积、重量、形状，以及集装箱的容积和承重限制等。
在实际操作中，可以根据具体情况灵活运用这些因素，以确保货物能够安全、高效
地装载在集装箱内。
装箱体积计算公式
装箱体积计算公式在物流和运输行业中，装箱体积计算是非常重要的一项工作。
通过准确计算货物的体积，可以有效地安排货物的装载和运输，避免浪费空间和提高运输效率。
本文将介绍装箱体积计算的公式及其应用。
装箱体积计算公式通常是指长方体或立方体的体积计算公式。
对于长方体，其体积计算公式为V = l w h，其中V表示体积，l表示长度，w表示宽度，h表示高度。
而对于立方体，其体积计算公式为V = a^3，其中a表示边长。
这两个公式是我们在计算装箱体积时经常会用到的基本公式。
在实际应用中，我们通常会遇到各种形状和尺寸的货物，因此需要根据实际情况进行适当的计算。
下面将通过几个实际案例来介绍装箱体积计算的具体应用。
案例一，长方体货物。
假设我们有一批长方体形状的货物，其尺寸分别为长10米、宽2米、高3米。
我们可以通过长方体的体积计算公式V = l w h来计算其体积。
代入具体数值，得到V = 10 2 3 = 60立方米。
因此，这批货物的体积为60立方米。
案例二，立方体货物。
现在假设我们有一批立方体形状的货物，其边长为5米。
我们可以通过立方体的体积计算公式V = a^3来计算其体积。
代入具体数值，得到V = 5^3 = 125立方米。
因此，这批货物的体积为125立方米。
案例三，不规则形状货物。
有时候我们会遇到一些不规则形状的货物，这时就需要通过适当的方法来计算其体积。
一种常用的方法是将不规则形状的货物分割成若干个规则形状的部分，分别计算它们的体积，然后将它们的体积相加得到整个货物的体积。
除了以上介绍的基本计算公式外，我们在实际应用中还需要考虑一些其他因素。
例如，在装载货物时，我们需要考虑货物的摆放方式，以最大限度地利用空间。
此外，还需要考虑货物的包装方式和保护措施，以确保货物在运输过程中不受损坏。
在现代物流和运输行业中，计算装箱体积已经成为一项非常重要的工作。
通过准确计算货物的体积，可以避免浪费空间，提高运输效率，降低运输成本。
二维矩形条带装箱问题的底部左齐择优匹配算法
二维矩形条带装箱问题的底部左齐择优匹配算法蒋兴波;吕肖庆;刘成城【期刊名称】《软件学报》【年(卷),期】2009(0)6【摘要】针对二维矩形条带装箱问题提出了一种启发式布局算法,即底部左齐择优匹配算法(lowest-level left align best fit,简称LLABF).LLABF算法遵循最佳匹配优先原则,该原则综合考虑完全匹配优先、宽度匹配优先、高度匹配优先、组合宽度匹配优先及可装入优先等启发式规则.与BL(bottom-left).IBL(improved-bottom-left)与BLF(bottom-left-fill)等启发算法不同的是,LLABF能够在矩形装入过程中自动选择与可装区域匹配的下一个待装矩形.计算结果表明,LLABF结合遗传算法(genetic algorithm,简称GA)解决二维条带装箱问题更加有效.【总页数】11页(P1528-1538)【作者】蒋兴波;吕肖庆;刘成城【作者单位】北京大学,计算机科学技术研究所,北京,100871;第二军医大学,卫生勤务学系,上海,200433;北京大学,计算机科学技术研究所,北京,100871;北京大学,电子出版新技术国家工程研究中心,北京,100871;北京大学,计算机科学技术研究所,北京,100871【正文语种】中文【中图分类】TP18【相关文献】1.求解矩形条带装箱问题的动态匹配启发式算法 [J], 蒋兴波;吕肖庆;刘成城;李沫楠2.二维矩形条带装箱问题的离散化左下角定位模型 [J], 李明;张曼曼;亓晓莹;唐秋华3.单一规格物体二维矩形条带装箱问题解法研究 [J], 胡锦超;贾春玉4.求解二维矩形件装箱问题的布谷鸟算法 [J], 冯文健5.求解二维矩形件装箱问题的布谷鸟算法 [J], 冯文健因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
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矩形装箱算法
简介
矩形装箱算法（Rectangle Packing Algorithm）是一种用于解决装箱问题的算法。
装箱问题是指将一系列矩形物体放置到一个或多个矩形容器中，使得物体之间不重叠且尽可能紧密地填充容器的问题。
矩形装箱算法的目标是找到一种最优的方式来放置这些物体，以最大程度地减少容器的浪费。
矩形装箱算法在物流、运输、仓储等领域具有广泛的应用。
通过合理地安排物体的摆放，可以节省空间、减少运输次数，从而提高效率和降低成本。
常见的矩形装箱算法
1. 最佳适应算法（Best Fit Algorithm）
最佳适应算法是一种贪心算法，它在每次放置物体时选择一个最佳的位置。
具体步骤如下： 1. 遍历所有的物体，对于每个物体，找到一个已有容器中剩余空间最小且能够容纳该物体的容器。
2. 将物体放置到选定的容器中，更新容器的剩余空间。
3. 如果找不到合适的容器，则创建一个新的容器，并将物体放置其中。
最佳适应算法的优点是能够尽可能地紧密填充容器，但缺点是计算复杂度较高。
2. 最均匀装箱算法（Most Uniform Packing Algorithm）
最均匀装箱算法是一种启发式算法，它通过将物体按照尺寸进行排序，并将尺寸相似的物体放置在相邻的位置，以实现均匀的装箱效果。
具体步骤如下： 1. 将所有物体按照尺寸进行排序。
2. 从第一个物体开始，将其放置在第一个容器中。
3. 对于每个后续物体，选择一个已有容器，使得容器中的物体尺寸与该物体尺寸最接近，并将物体放置在该容器中。
4. 如果找不到合适的容器，则创建一个新的容器，并将物体放置其中。
最均匀装箱算法的优点是能够实现均匀的装箱效果，但缺点是可能会导致容器利用率较低。
3. 旋转装箱算法（Rotation Packing Algorithm）
旋转装箱算法是一种考虑物体旋转的装箱算法。
它通过将物体旋转90度，以获得
更好的放置效果。
具体步骤如下： 1. 将所有物体按照尺寸进行排序。
2. 从第一个物体开始，将其放置在第一个容器中。
3. 对于每个后续物体，选择一个已有容器，使得容器中的物体尺寸与该物体尺寸最接近，并将物体放置在该容器中。
4. 如果找不到合适的
容器，则将物体旋转90度，并再次尝试放置。
5. 如果仍然找不到合适的容器，则创建一个新的容器，并将物体放置其中。
旋转装箱算法的优点是能够充分利用容器空间，但缺点是计算复杂度较高。
算法性能评估
评估矩形装箱算法的性能通常使用以下指标： - 容器利用率：容器利用率是指装满容器的物体总面积与容器总面积之比。
较高的容器利用率表示算法具有较好的装箱效果。
- 运行时间：运行时间是指算法完成装箱的所需时间。
较短的运行时间表示算法具有较高的效率。
算法应用场景
矩形装箱算法广泛应用于以下场景： - 物流和运输：在货物配送过程中，合理地组织货物的装箱可以节省运输空间和运输成本。
- 仓储管理：在仓库中，优化货物的存储方式可以提高仓库的容量利用率和工作效率。
- 电子设备布局：在电子设备的设计和布局过程中，合理地安排电子元件的位置可以减小电路板的面积和尺寸。
总结
矩形装箱算法是一种用于解决装箱问题的算法。
常见的矩形装箱算法包括最佳适应算法、最均匀装箱算法和旋转装箱算法。
这些算法通过不同的策略来实现尽可能紧密地填充容器，以提高容器利用率和效率。
矩形装箱算法在物流、运输、仓储等领域具有广泛的应用，可以有效地节省空间和降低成本。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的算法，并评估其性能和效果。