最大无关组
线代§4[1].3-4
![线代§4[1].3-4](https://img.taocdn.com/s3/m/f5e1c48a8762caaedd33d473.png)
一、最大线性无关向量组
定义1: 设有向量组A, 如果在A中能选出 r 个向量 A0: 1, 2,· · · , r, 满足 (1)向量组A0: 1, 2,· · · , r 线性无关; (2)向量组A中任意r+1个向量(如果存在)都线性相 关. 则称向量组A0是向量组A的一个最大线性无关向量 组(简称最大无关组). 向量组的秩: 最大无关组所含向量的个数 r , 记作RA. 规定:只含零向量的向量组没有最大无关组, 其秩为0. 说明(1) 最大无关组不唯一. (2) 向量组与它的最大无关组是等价的.
性质1. 若x = 1, x = 2为Ax = 0的解, 则 x =1 + 2也是 Ax = 0的解. 性质2. 若x = 1为Ax = 0的解, k为数, 则 x = k1 也是 Ax = 0的解. 解集S :齐次方程组 Ax = 0 的全体解所构成的集合.
二、基础解系及其求法
1. 定义: Ax = 0的解集的最大无关组S0 ：1, 2, · · · , t 称为齐次线性方程组Ax = 0的基础解系. 若向量组S0：1, 2, · · · ,t 为Ax = 0的一组基础解系, 则 Ax = 0的通解可表示为: x = k1 1 + k2 2 + · · · + kt t 其中k1, k2, · · · , kt为任意常数.
定理2: 向量组B: 1, 2, · · · , s能由向量组A: 1, 2, · · · , m线性表示的充分必要条件是 R(1, 2, · · · , m)=R(1, 2, · · · , m, 1, · · · , s). 推论: 向量组A: 1, 2,· · · , m与向量组B: 1, 2, · · · , s 等价的充分必要条件是 R(1,2,· · · ,m)=R(1,2,· · · ,s)=R(1,2,· · · ,m,1,2,· · · ,s).
4.3 向量组的秩和最大无关组
设1, 2, …, n为Rn的一组基，则
Rn = L(1, 2, …, n)
返回
又，
Rn = L(ε1, ε2, …, εn)
Rn 的标准基
Rn, 1, 2, …, n为一组基， = x11+ x22+ …+ xnn 在基1, 2, …, n下的坐标 一个向量在确定基下的坐标是唯一的(坐标的唯一性).
矩阵A的列秩：A的列向量组的秩；
矩阵A的行秩：A的行向量组的秩.
返回
定理2 矩阵的 行秩 = 列秩 = 矩阵的秩.
证 设 R(A) = r,
A 行初等变换 B(行阶梯形矩阵),
B有 r 个非零行，B的r 个非零行的非零首元素所在 的r 个列向量线性无关， 为什么？ 为B的列向量组的最大无关组. 为什么？
1, 2, …, r 可由1, 2 , …, s线性表出,有
R(B)=R(B, A) 则R( A) ≤ R(B) ≤ s
1, 2, …, r 线性无关，则 R(A)=r
r≤ s
返回
两向量组秩的关系： 若向量组(Ⅰ)可由组(Ⅱ)线性表出，则 组(Ⅰ)的秩 r1≤ 组(Ⅱ)的秩 r2. 证 设 1 ,..., r1 为(Ⅰ) 的最大无关组， 1 ,..., r2 为(Ⅱ) 的最大无关组. 组(Ⅰ)可由组(Ⅱ)线性表出,所以
4.3
向量组的秩与最大无关组
一、向量组的秩与最大无关组的概念
二、Rn 的基、维数与坐标
返回
一、向量组的秩与最大无关组的概念
例1 1 =(1,0,1), 2 =(1,-1,1), 3 =(2,0,2) 。
1, 2, 3 线性相关. 1, 2 线性无关； 2 ，3 线性无关，
向量组的秩向量组的最大无关向量组向量组的秩
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1 0 A~ 0 0
1 2 1
4 1 1 1 0 , 0 0 1 3 0 0 0 0
§3 向量组的秩
★向量组的最大无关向量组 ★向量组的秩
请同学们注意向量组的秩与矩阵的秩,以及向 量组的最大无关向量组与矩阵的最高阶非零子式 的密切联系
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向量组的秩
定义5
A0 : 1 , 2 ,
若向量组 A中有r 个向量组成的向量组 , r , 满足
(1) 向量组A0 线性无关； (2) 向量组A 中任意 r +1 个向量（如果存在 的话）都线性相关，那么称 A0 是向量组 A 的一个最 大无关向量组，简称最大无关组；最大无关组所含向 量个数 r 称为向量组 A 的秩。 规定：只含零向量的向量组的秩为 0 。
2 4 . 4 9
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2 3 5 1 0 Ex.3 设A 2 6 2 0 2 , 3 6 0 4 3
求A 的列向量组的一个最大无关组及A 的其余列向量 用它们线性表示的表达式。 解
对A 施行初等行变换变为行阶梯形矩阵。
r2 r1
可知a1 , a2 ; a2 , a3 ; a1 , a3都是向量组a1 , a2 , a3 的最大无关组 .
但向量组的秩不变。
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矩阵的秩与向量组的秩的关系是:
定理4 矩阵的秩等于它的行向量组的秩，也 等于列向量组的秩。 证 设A (a1 , a2 ,, am ), R( A) r , 并设 r 阶子式 Dr ≠0 ,根据定理2，由Dr ≠0 知Dr 所在的 r 列线性无关； 又由 A 中所有 r + 1阶子式均为零，知 A 中任意 r + 1 个列向量都线性相关。 因此Dr 所在的 r 列是 A 的列向量组的一个最大 无关组，所以列向量组的秩等于 r 。 类似可得矩阵 A 的行向量组的秩也等于R(A)。
线性代数4-3
那么称向量组A0 是向量组 A 的一个最大线性无关 向量组 （简称最大无关组） ; 最大无关组所含向量个 数 r 称为向量组A 的秩，记作 A 。 R 只含零向量的向量组没 有最大无关组，规定它 的秩 为0。
1
矩 阵 的 秩 与 向 量 组 秩 的 关 系
定理１ 矩阵的秩等于它的列向 量组的秩，也等于
a1 a2 a3 a4 a5
2 4 4 9
~
1 r 0 0 0
b1 b2 b3 b4 b5
0 1 0 4 1 1 0 3 0 0 1 3 0 0 0 0
易知 a1 x1 a2 x2 a3 x3 a4 x4 a5 x5 o 与 b1 x1 b2 x2 b3 x3 b4 x4 b5 x5 o 同解, 故 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 与 b1 , b2 , b3 , b4 , b5有完全相同的线性关系
证一 设向量组 A 与向量组B 合成向量组C，
因为B能由A线性表示, 故 RA RC ,
而 RA RB , 故 RA RB RC ,
由定理 2 的推论可知，A 组与 B 组等价。
11
例2 设向量组 B 能由向量组A 线性表示 且它们的 ,
秩相等，证明向量组 与向量组 B 等价. A 证二 设两个向量组的秩都为，并设 A 组和 B 组的 r
说明
最大无关组不唯一; 若向量组 A 的秩为 r , 则 A 中任意 r 个线性无关的 向量都是A的一个最大无关组.
3
例1
全体 n 维向量构成的向量组记 R ，求 R 的 作
n n n
一个最大无关组及 的秩. R
解 因为n维单位坐标向量构成的 向量组
E : e1 , e2 , , en 是线性无关的， 知 R n 中的任意n 1 个向量都 又
最大线性无关组
第十二讲 向量组的最大线性无关组一、考试内容与考试要求考试内容向量组的最大线性无关组；等价向量组；向量组的秩；向量组的秩与矩阵的秩之间的关系；向量的内积；向量空间及其相关概念；n 维向量空间的基变换和坐标变换；过渡矩阵；规范正交基．考试要求（1）理解向量组的最大线性无关组的概念，会求向量组的最大线性无关组；（2）理解向量组的秩的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系，会求向量组的秩；（3）理解向量组等价的概念；（4）了解内积的概念，了解规范正交基；（5）了解n 维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念；（6）了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵．注 考研数学二、三不考向量空间等概念，对数学一的考生要求掌握向量空间的有关内容．二、知识要点引入 当方程组Ax o =（Ax b =）有无穷解时，可以用有限个解表示出来，这有限个解就是解集的基础解系，一个基础解系也就是一个最大线性无关向量组．向量组的秩：是这有限个解的个数，也就是最大无关组中向量的个数，或基础解系中解向量的个数．复习 首先简单复习本讲需要用到的一些知识。
线性表示：1122m m k k k βααα=+++L ，对12,,m k k k L 没有要求，且()(,)()R A R A b m ==<线性相关：1122m m k k k o ααα+++=L ，存在12,,m k k k L 不全为零；线性无关：1122m m k k k o ααα+++=L ，12,,m k k k L 只能全为零．n 维向量组12,,,m αααL 0,0,A m n A m n ⎧≠⎧⎪⎪⎨≠=⎪⎩⎪⎨≠⎧⎪⎪⎨⎪==⎪⎩⎩R(A)=m,m n 线性无关:Ax=o 有唯一零解R(A)<m,m n 线性相关：Ax=o 有非零解 1．定义定义1 设有向量组（I ）：12,,,,r m ααααL L ，满足（1）有r 个向量线性无关，不妨设向量组T ：12,,r αααL 线性无关；（2）向量组（I ）中任意1r +个向量（若有的话）都线性相关．称向量组T 是向量组（I ）的一个最大线性无关向量组（也称最大无关组或极大线性无关向量组）．最大无关组所含向量的个数r 称为向量组的秩，记作R 或12(,,,)m R αααL ．例：向量组10⎛⎫⎪⎝⎭，01⎛⎫ ⎪⎝⎭，23⎛⎫ ⎪⎝⎭是线性相关的． 但1T ：10⎛⎫ ⎪⎝⎭，01⎛⎫ ⎪⎝⎭；2T ：01⎛⎫ ⎪⎝⎭，23⎛⎫ ⎪⎝⎭；3T ：10⎛⎫ ⎪⎝⎭，23⎛⎫ ⎪⎝⎭都是线性无关，都是最大无关组．定义1有等价的描述形式如下：定义1' 设有向量组（I ）：12,,,,r m ααααL L ，满足（1）有r 个向量线性无关，不妨设向量组T ：12,,,r αααL 线性无关；（2）向量组（I ）中任一向量都能由向量组T 线性表示；称向量组T 是向量组（I ）的一个最大线性无关向量组．证明 由定义1证明定义1'．在向量组（I ）中任取一个向量α，若α在12,,r αααL 中，则α可由所在的向量组线性表示，如11001r r r αααα-=+++L ．若α不在12,,,r αααL 中，由12,,,r αααL 的线性无关性及向量组（I ）中任意1r +都线性相关性，知α可由12,,,r αααL 线性表示．由定义1'证明定义1自己证明． 2．注意（1）向量组最大无关组一般不惟一；（2）最大无关组中所含向量个数相同，即向量组的秩惟一；（3）若向量组线性无关，它的最大无关组是惟一的，就是它本身；（4）判断向量组的线性相关与线性无关性的方法：① 由Ax o =的解是有惟一零解或有非零解来判断向量组的线性相关与线性无关性： n 维向量组12,,,m αααL ⎧⎨⎩线性无关:Ax=o 有唯一零解线性相关:Ax=o 有非零解② 由向量组的秩来判断来判断向量组的线性相关与线性无关性：若12(,,,)m R m ααα<L ，向量组线性相关；若12(,,,)m R m ααα=L ，向量组线性无关．（5）矩阵的等价与向量组的等价有区别：两个矩阵的等价是它们同型且秩相等．而两个向量组的等价是它们的秩相等且能相互线性表示．但应注意，若矩阵A 与矩阵B 行（或列）等价，则A 的行（或列）向量组与B 的行（或列）向量组等价。
§3.4 向量组的最大无关组与秩
2 1 1 1 2
A
(a1
,
a2
,
a3
,
a4
,
a5
)
1 4
1 6
2 2
1 2
4
4
3
6 9
7 9
思考：如何把 a3, a5 表示成a1, a2, a4 的线性组合？
思路1：利用P.83 定理1 的结论
向量 b 能由 向量组 A 线性表示
线性方程组 Ax = b 有解
令 A0 = (a1, a2, a4) 求解 A0x = a3
注: 1. 只含零向量的向量组没有最大无关组. 规定它的秩为0.
2. 向量组{1,,m } 线性无关 R(1,,m ) = m . 3. 向量组{1,,m } 线性相关 R(1,,m ) < m .
例： 全体 n 维向量构成的向量组记作 Rn，求 Rn 的一 个最大无关组及 Rn 的秩．
1 0 L
列向量组的最大无关组具体求法: 将矩阵 A 用
初等行变换化为行阶梯形矩阵 B, 即可找出 B 的最 高阶非零子式所在的列, 其对应于A 所在的列向量 就是A的列向量组的一个最大无关组.
三、向量组秩的一些结论
§3.2的定理3.6中矩阵的秩均可改为向量组的秩.
定理3.14 向量组 1, 2, , s 能由向量组 1, 2, , m 线性表示的充分必要条件是 R(1, 2, , m ) =R(1, 2, , m, 1, 2, , s) .
0
00
0
于是 Ax = 0 与 Bx = 0 ，即 x1a1 + x2a2 + x3a3 + x4a4 + x5a5 = 0
x1b1 + x2b2 + x3b3 + x4b4 + x5b5 = 0
最大线性无关组
第十二讲向量组的最大线性无关组一、考试内容与考试要求考试内容向量组的最大线性无关组；等价向量组；向量组的秩；向量组的秩与矩阵的秩之间的关系；向量的内积；向量空间及其相关概念；n 维向量空间的基变换和坐标变换；过渡矩阵；规范正交基．考试要求（1）理解向量组的最大线性无关组的概念，会求向量组的最大线性无关组；（2）理解向量组的秩的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系，会求向量组的秩；（3）理解向量组等价的概念；（4）了解内积的概念，了解规范正交基；（5）了解n 维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念；（6）了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵．注考研数学二、三不考向量空间等概念，对数学一的考生要求掌握向量空间的有关内容．二、知识要点引入当方程组Ax o（Ax b ）有无穷解时，可以用有限个解表示出来，这有限个解就是解集的基础解系，一个基础解系也就是一个最大线性无关向量组．向量组的秩：是这有限个解的个数，也就是最大无关组中向量的个数，或基础解系中解向量的个数．复习首先简单复习本讲需要用到的一些知识。
线性表示：k1 1 k2 2 L k m m ，对k1,k2,L k m 没有要求，且R（A） R（A,b）（）m线性相关：k1 1 k2 2 L k m m o，存在k1,k2,L k m不全为零；线性无关：k1 1 k2 2 L k m m o，k1,k2,L k m只能全为零．1．定义定义 1 设有向量组（ I ）：1, 2,L r ,L , m ，满足2）向量组（ I ）中任意 r 1 个向量（若有的话）都线性相关．称向量组 T 是向量组（ I ）的一个最大线性无关向量组（也称最大无关组或极大线性无关向（ 1）有 r 个向量线性无关，不妨设向量组 T ： 1, 2,L , r 线性无关； （ 2）向量组（ I ）中任一向量都能由向量组 T 线性表示；称向量组 T 是向量组（ I ）的一个最大线性无关向量组．证明 由定义 1证明定义 1 ．在向量组（ I ）中任取一个向量 ，若 在 1, 2,L r 中，则 可由所在的向量组线 性表示， 如 r 0 1 L 0 r 1 1 r ．若 不在 1, 2,L , r 中，由 1, 2,L , r 的线性 无关性及向量组（ I ）中任意 r 1 都线性相关性，知可由 1, 2,L , r 线性表示．由定义 1 证明定义 1 自己证明． 2．注意1）有 r 个向量线性无关，不妨设向量组T ： 1, 2,Lr线性无关； n 维向量组2,L , m线性无关 :Ax=o 有唯一零解线性相关： Ax=o 有非零解 R(A)=m,m n A 0,mR(A)<m,mA 0,m量组）．最大无关组所含向量的个数 r 称为向量组的秩， 记作 R 或R( 1, 2,L , m ) ． 例：向量组是线性相关的．组．但 T 1： 10都是线性无关，都是最大无关定义 1 有等价的描述形式如下：定义 1 设有向量组（ I ）： 2,L r ,L , 满足1）向量组最大无关组一般不惟一；2）最大无关组中所含向量个数相同，即向量组的秩惟一； 3）若向量组线性无关，它的最大无关组是惟一的，就是它本身； 4）判断向量组的线性相关与线性无关性的方法：① 由 Ax o 的解是有惟一零解或有非零解来判断向量组的线性相关与线性无关性：线性无关 :Ax=o 有唯一零解 线性相关 :Ax=o 有非零解② 由向量组的秩来判断来判断向量组的线性相关与线性无关性：若 R （ 1, 2,L , m ） m ，向量组线性相关；若 R （ 1, 2,L , m ） m ，向量组线性无 关．（5）矩阵的等价与向量组的等价有区别：两个矩阵的等价是它们同型且秩相等．而两 个向量组的等价是它们的秩相等且能相互线性表示．但应注意，若矩阵 A 与矩阵 B 行（或 列）等价，则 A 的行（或列）向量组与 B 的行（或列）向量组等价。
极大无关组是什么意思
极大无关组是什么意思
极大无关组言简意赅，就是一个向量组中所有线性无关向量的集合，剩下的就是线性相关的，这个线性相关不是指它们线性相关，是指剩下的向量都可以由无关组的向量线性表示出来。
其内涵有：
1、只含零向量的向量组没有极大无关组。
2、一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。
3、极大线性无关组对于每个向量组来说并不唯一。
但是每个向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量。
4、齐次方程组的解向量的极大无关组为基础解系。
齐次线性方程组的解集的最大无关组
线性代数-向量组的线性相关性定义2：给定向量组A:a→1,a→2,a→3,…,a→m和向量b→，如果存在一组数λ1,λ2,λ3,…,λm（不要求∑i=1mλi2≠0），使得b→=λ1a→1+λ2a →2+⋯+λma→m，则向量b→是向量组A的线性组合linear combination，称向量b→能由向量组A线性表示。
对于两个向量组：两个向量组A、B，若A组中每一个向量都可以由向量组B线性表示，则称向量组A可由向量组B线性表示。
等价向量组：若向量组A、B可以相互线性表示，则称两个向量组等价。
定理1：向量b→能由向量组A:a→1,a→2,…,a→m线性表示的充分必要条件为矩阵A=[a→1a→2⋯a→m]的秩等于矩阵A的增广矩阵[A∣b →]=[a→1a→2⋯a→mb→]的秩.定理2：向量组B:b→1,b→2,…,b→l能由向量组A:a→1,a→2,…,a→m线性表示的充分必要条件为矩阵A=[a→1a→2⋯a→m]的秩等于矩阵[A∣B]=[a→1a→2⋯a→mb→1b→2⋯b→l]的秩，即R(A)=R(A,B).P86定理3：设向量组B能由向量组A线性表示，则R(B)≤R(A).P87定义4：给定向量组A，如果存在不全为0 的数k1,k2,…,km使k1a →1+k2a→2+⋯+kma→m=0，一个向量线性相关的充要条件是a→=0.包含零向量的向量组必线性相关.如果一个向量组的部分向量线性相关，则该向量组线性相关。
如果一个向量组线性无关，则其中任一个部分向量组线性无关。
向量组A:a→1,a→2,a→3,…,a→m (m≥2) 线性相关的充要条件是，向量组A至少有一个向量可以由其余向量线性表示。
证明思路：必要性：不妨设λi≠0，移项即可线性表示出a→i。
充分性：a→i=λ1a→1+⋯+λma→m移项得λ1a→1+⋯+λma→m−a→i=0→.设向量组A:a→1,a→2,a→3,…,a→m线性无关，而向量组B:a→1,a→2,a→3,…,a→m,b→线性相关，则向量b→一定可以由向量组A线性表示，且表示式唯一。
求极大无关组的方法
求极大无关组的方法极大无关组（Maximal Irredundant Set，MIS）是指一个集合中的元素两两不可作为同一个子集的元素。
简单来说，如果一个集合中的元素可以通过去掉其中的任何一个元素而得到另一个极大无关组，那么这个元素就是多余的。
如何求解一个集合的极大无关组呢？下面我将介绍两种常见的方法：贪心算法和团算法。
1. 贪心算法：贪心算法是一种常用的求解极大无关组的方法。
具体步骤如下：（1）选择一个度数最大的顶点放入极大无关组集合中。
（2）删除该顶点及其相关的边。
（3）重复以上步骤，直到图中的所有顶点都被删除。
贪心算法的时间复杂度取决于每次选择顶点的策略，一般情况下是O(n^2)，其中n是顶点的个数。
2. 团算法：团算法是一种使用图来求解极大无关组的方法。
具体步骤如下：（1）构建一个无向图，其中每个顶点表示集合中的一个元素，边表示两个元素之间有关系。
（2）找到所有的最大团。
（3）对于每个最大团，如果它没有和其他最大团交集，则将其加入极大无关组中。
团算法的时间复杂度取决于图的构建和最大团的搜索方法，一般情况下是O(2^n)，其中n是集合中的元素个数。
总结：贪心算法和团算法都是常用的求解极大无关组的方法。
贪心算法相对简单，适用于规模较小的问题；而团算法适用于规模较大的问题，但时间复杂度较高。
在实际应用中，可以根据问题的规模和复杂度要求选择合适的算法。
同时，还可以探索其他算法，比如基于模拟退火的算法、遗传算法等，来求解极大无关组问题。
这些算法在探索解空间和优化问题时具有一定的优势，但也需要根据具体情况进行选择和调优。
在实际问题中，极大无关组可以用于任务分配、资源分配、决策分析等方面。
通过求解极大无关组，可以得到最优的任务、资源或决策分配方案，提高工作效率和决策准确性。
线性代数同济大学第五版课件4-3‘
四、定理的不同表现形式
设向量组 A : a1 , a2 , · , am 构成矩阵 · ·
例 9 设齐次线性方程组
x1 2 x2 x3 2 x4 0 , x4 0 , 2 x1 3 x2 x x 5x 7 x 0 2 3 4 1
的全体解向量构成的向量组为 S，求 S 的秩.
解
把系数矩阵A化为行最简形
1 A 2 1
矩阵 B = (a1 , a2 , · , am , b) 的秩. · ·
定理 1 向量 b 能由向量组 A 线性表示的
充要条件是
R (a1 , a2 , · , am) = R (a1 , a2 , · , am , b). · · · ·
注：记号R(a1 , a2 , · , am )既可理解为矩阵的秩，也 · · 可理解成向量组的秩．
B 的最大无关组依次为 A0：a1 , a2 , · , as 和 B0：b1 , b2 , · , bt . · · · · 由于 B0 组能由 B 组表示， B 组能由 A 组表示，
A 组能由 A0 组表示，因此 B0 组能由 A0 组表示,
根据定理3，
有 R(b1,b2, · ,bt) ≤ R(a1,a2, · ,as), · · · ·
1 0 2 (a 1 ,a 2 ,a 3 ) 1 2 4 , 由 R(a1,a2 , a3) =2 1 5 7
由R(a1 , a2) =2, R(a1 , a3) = 2,R(a2 , a3) = 2 可知 a1, a2 与a1, a3 及 a2 , a3 都是a1 , a2 , a3 的最大无关组.
最大无关组的定义_GAOQS
所以ξ1 , ,ξn−r 是齐次线性方程组解集的一个最大无关组
所以ξ1 , ,ξn−r 是齐次线性方程组的一个基础解系.
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定理7
n元齐次线性方程组 Am×n x = 0的系数矩阵的秩 R( Am×n) = r时, 解集^_^ S的秩Rs = n − r.
0 0 ≠0
00 1
所以丆R乮ξ1 ,ξ2 , ,ξn−r乯= n − r丆
即 ξ1 ,ξ2 , ,ξn−r 亦线性无关.
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下面证明 ξ1 ,ξ2 , ,ξn−r 是齐次线性方程组的基础解系．
(1)证明 ξ1 ,ξ2 , ,ξn 线性无关 .
^_^
(2)证明Ax = 0的任一解都可由 ξ1 ,ξ 2 , ,ξn−r线性表示 .
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P98-12：定理7是解方程组的理论基础
例1 求齐次线性方程组
⎧ ⎪⎨2
x1 +
^_^
x1
−
5
x2 x2
− +
x3 − x4 = 0, 3 x3 + 2 x4 =
0,
⎪⎩ 7 x1 − 7 x2 + 3 x3 + x4 = 0
的基础解系与通解.
解 对系数矩阵 A作初等行变换，变为行最简矩 阵，有
证明：设B
=
(b^_^ 1
,
b2
,
bl ),则
Am×n Bn×l=O ⇔ A(b1 ,b2 , bl ) = (0,0, 0).
4.3向量组的最大无关组(1)
（证明:见教材P144）
推论1： 若向量组1, 2, …, r 可由1, 2 , …, s 线性表出，且 r>s 则1, 2, …, r 线性相关. 即“多”的可由”少”的线性表出, 则“多”的必线 性相关.
推论2：若向量组(Ⅰ)可由组(Ⅱ)线性表出，则 R(Ⅰ）≤R(Ⅱ)
推论3：若组(Ⅰ)与组(Ⅱ)等价，则 R(Ⅰ)= R(Ⅱ)
1, 2 , …, m 线性相关 1, 2 , …, m中至少有一个
向量可以由其余的m-1个向量线性表出.
问题: 线性相关的向量组中最多有几个成员 是线性无关的？ (即需明确该向量组的“核心成员”及“个数”)
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例如： 向量组{1 =(1,0,1), 2 =(1,-1,1), 3 =(2,0,2) } 。
行阶梯形矩阵B的秩 = B的行秩=B的列秩. 问题：行初等变换是否会改变矩阵列向量组的相关性？
结论：行初等变换不会改变矩阵的列秩。
（不会）
A
行初等变换
B （行阶梯阵）
则 R(A )=R(B) =B的列秩 =A的列秩 又 R（A）=R(AT ) =AT的列秩 =A的行秩
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定理1 矩阵的 行秩 = 列秩 = 矩阵的秩.
向量组的等价：
定义 (Ⅰ): 1, 2, …, r , (Ⅱ): 1, 2, …, s ,
若组(Ⅰ) 中每一个向量都可由(Ⅱ)中的向量线性表出 则称组(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表出.若组(Ⅰ)与组(Ⅱ) 可以互相线性表出，则称组(Ⅰ)与组(Ⅱ)等价. 等价关系有性质： (1) 反身性：每一向量组都与自身等价；
即 矩阵的三秩相等！
求{1 ，2 ，…，m }，的秩和最大无关组的方法:
令 A=（1, 2, …, m）
线代第四章(2)向量组的秩
求该方程组的全体解向量构成的向量组S的秩。 求该方程组的全体解向量构成的向量组 的秩。 的秩 解
1 2 1 −2 A = 2 3 0 −1 1 −1 −5 7 x1 3 −4 x −2 3 2= c +c x3 1 1 2 0 x4 0 1
2
最大无关组的等价定义: 最大无关组的等价定义
设向量组 A0 : α 1 ,α 2 ,L ,α r
的一个部分组， 是向量组 A 的一个部分组，且满足 线性无关。 （i）向量组 A0 线性无关。 ） 线性表示。 （ii）向量组 A 的任一向量都能由向量组 A0 线性表示。 ） 的一个最大无关组。 那么向量组 A0 便是向量组 A 的一个最大无关组。 定理6 矩阵的秩等于它的列向量组的秩， 定理6：矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它行向量 组的秩。 组的秩。
1 2 3 2 1 3 5→ 0 0 1 2 0 3 2 0 1 1 → 0 1 1 0 0 0 0 1 2
向量用该最大无关组线性表示。 向量用该最大无关组线性表示。
2 解：设 A = 4 2 2 1 2 → 0 1 1 0 0 0
15
前面我们建立定理1、 、 时 前面我们建立定理 、2、3时，限制向量组只 含有限个向量，现在我们要去掉这一限制， 含有限个向量，现在我们要去掉这一限制，把定 推广到一般的情形. 理1、2、3推广到一般的情形 推广的方法是利用 、 、 推广到一般的情形 向量组的最大无关组作过渡. 如定理 3 可推广为 向量组的最大无关组作过渡
16
定理 3
设向量组 B：b1 , b2 , ··· , bl 能由向
行向量组的极大无关组原理
行向量组的极大无关组原理行向量组的极大无关组原理是线性代数中的一个重要定理，用于确定行向量组中的极大无关向量组并进行相关的运算和推导。
极大无关组是指在一个向量组中，任何一个向量都不可由其他向量线性表示出来的向量组合集合。
在具体操作中，我们可以通过以下步骤来确定行向量组的极大无关组：1. 将行向量组写成矩阵形式，假设该行向量组中有n个向量，每个向量有m个分量，那么可以得到一个n ×m 的矩阵A。
\[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1m} \\ a_{21} &a_{22} & \dots & a_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nm} \end{bmatrix} \]2. 对A进行初等变换，使得A的行阶梯形矩阵形式为\[ \begin{bmatrix} 1 & a_{12}' & \dots & a_{1m}' \\ 0 & 1 & \dots &a_{2m}' \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1\end{bmatrix} \]其中，'表示通过初等变换得到的新的分量。
3. 根据行阶梯形矩阵的性质，从上到下找到第一个主元（非零首个元素）所在的行，将该行作为极大无关组的首个向量。
4. 从上一个确定的向量的下一行开始，找到下一个主元所在的行，将该行作为极大无关组的下一个向量。
5. 重复以上步骤，直到不能再找到主元为止。
向量的极大无关组
向量的极大无关组向量是数学中一个重要的概念，它是一组有序数的数组成，可以用于表示空间中的点、线、面等等。
在向量的应用中，我们经常需要对大量的向量数据进行分析和处理，而向量的极大无关组就是一种重要的方法，可以帮助我们在向量数据中提取出最为重要的信息，从而进行有效的数据分析和处理。
一、向量的极大无关组的定义向量的极大无关组是指一个向量集合中，所包含的最大数量的线性无关向量的集合。
也就是说，在一个向量集合中，如果存在若干个向量是线性无关的，并且这些向量无法再添加任何其他向量使其依然线性无关，那么这些向量就是该向量集合的极大无关组。
二、向量的极大无关组的性质1. 向量的极大无关组是唯一的。
也就是说，对于同一个向量集合，它的极大无关组是唯一的。
2. 向量的极大无关组可以帮助我们提取出向量集合中最为重要的信息。
在一个向量集合中，由于存在大量的冗余信息，我们需要通过筛选出相对重要的向量，从而有效地处理向量数据。
因此，通过寻找向量集合的极大无关组，我们可以得到向量集合中最为重要的信息。
3. 向量的极大无关组和向量的秩是相等的。
在向量的线性代数中，秩是指一个矩阵中的线性无关行（向量）的最大数目。
因此，在向量的线性代数中，我们可以通过求解向量的秩，来寻找向量的极大无关组。
三、向量的极大无关组的求解方法1. 高斯消元法。
高斯消元法是一种通过线性方程组的变换，将矩阵化为行阶梯矩阵的方法。
在高斯消元法中，我们可以通过对向量矩阵进行初等变换，得到向量的行阶梯矩阵。
通过对行阶梯矩阵进行分析，我们可以得到向量的秩，从而寻找向量的极大无关组。
2. 基变换法。
基变换法是一种通过变换向量空间的基底，将向量表示为标准形式的方法。
在基变换法中，我们可以通过寻找向量空间的基底，将向量表示为由基向量线性组合的形式。
通过对基向量进行初等变换，我们可以得到向量的标准形式，从而找到向量的极大无关组。
3. 奇异值分解法。
奇异值分解法是一种将矩阵分解成三个矩阵的方法。
列向量的极大无关组
列向量的极大无关组
要找出列向量的极大无关组，可以通过一系列步骤来实现。
首先，将矩阵进行行变换，将其转换为行阶梯形式或者行最简形式。
然后，找出矩阵中的主元列，也就是首次出现的非零元素所在的列。
这些主元列就构成了列向量的极大无关组。
可以进一步对主元列进
行线性组合，得到原矩阵的其他列向量，从而验证哪些列向量是冗
余的。
另一种方法是利用矩阵的秩来确定列向量的极大无关组。
矩阵
的秩等于其极大无关组的列数，因此可以通过计算矩阵的秩来确定
极大无关组的列向量。
在实际问题中，找出列向量的极大无关组可以帮助我们简化矩
阵运算，解决线性方程组，计算矩阵的逆等问题。
同时，极大无关
组的概念也在线性代数和相关领域的理论研究中扮演着重要的角色。
总之，列向量的极大无关组是指矩阵中线性无关的列向量的最
大组合，可以通过行变换、主元列的确定或者计算矩阵的秩来找出
极大无关组，对于简化矩阵运算和解决线性方程组等问题有重要意义。
3.6用MATLAB求向量组的极大无关组
例 已知向量组
，
1
3
2
9
6
1
4
3
3
2
，
1
0 2
,
2
0 8
,
3
0 6
,
4
2 1
,
5
2 9
,
2
3
1
2
2
，
求出它的最大无关组，并用该最大无关组来线性表示其它向量。
，
解1 用笔计算（初等行变换不改变列向量组的线性相关性）
1 3 2 9 6
1 0 1 0 3
end
for i=1:r
% 从矩阵A中取出最大无关组赋给A0
A0(:,i)=A(:,s(i));
end
A0
% 显示最大无关组矩阵A0
s0=[1,2,3,4,5];
% 构造行向量s0
for i=1:r
s0(s(i))=0;
% s(i)是最大无关组的列号
end
% 若s0的某元素不为0，表示该元素为矩阵A中
解2 用MATLAB计算
clear a1=[1;1;0;2;2];
% 输入5个列向量
a2=[3;4;0;8;3];
a3=[2;3;0;6;1];
a4=[9;3;2;1;2];
a5=[6;-2;2;-9;2];
A=[a1,a2,a3,a4,a5];
% 由5个列向量构造矩阵A
[R,s]=rref(A);
% 除最大无关组以外其它列向量的列号
s0=find(s0); for i=1:5-r
% 删除s0中的零元素 % 此时s0中元素为其它向量的列号