关于用初等变换求向量组的极大无关组的方法
3.4极大线性无关组
2 4 2
例如：
向量组
1
-1 3
,
2
-2 5
,
3
-1 4
的
1
4
-1
秩为2。
2. 矩阵的秩
2.1. 行秩、列秩、矩阵的秩
把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些行向量组成， 把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些列向量组成。
（2）用非零常数k乘以A的第i行
引理2：矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。
（列）
（行）
证：设矩阵A经过初等行变换变为B，
即存在有限个初等矩阵 P1, P2 , , PS 使得 P1P2 PS A B 令 P P1P2 PS 则 PA B
把 Amn 按列分块，设 Amn (1, 2 , , n ) 不妨设A的列向量组的极大无关组为 1,2 , ,r ,
a11 x1 a12 x 2
a21
x1
a22 x2
an1 x1 an2 x2
a1m xm b1 a2m xm b2 有解,
anm xm bn
或者，令
a11 a12
A
a21
a22
an1
an2
a1m
a2m
(1
,
2
,
anm
,m )
得方程组 Ax 有解.
x1
x
等价向量组的基本性质
定理：设 1,2 , , s 与 1, 2 , , t 是两个向量组，如果 (1) 向量组1,2 , , s 可以由向量组 1, 2 , , t 线性表示；
(2) s t
则向量组 1,2 , , s 必线性相关。
线性代数 第3.4节 向量组的极大线性无关组(修改)
, s 线性无关 r (1 , 2 , , s 线性相关 r (1 , 2 ,
, s ) s , s ) s
（3）如果向量组 1 , 2 , 线性表示，则
, s 可以由向量组 1 , 2 , , s ) r ( 1 , 2 , , t )
定义4：
矩阵的行向量组的秩，就称为矩阵的行秩; 矩阵的列向量组的秩，就称为矩阵的列秩。
1 0 例2：讨论矩阵 A 0 0
（1） 矩阵A的行秩为3
矩阵A的行向量组是
1 2 0 0
3 1 1 4 0 5 0 0
的行秩和列秩
1 2 3 4
(1,1, 3,1) (0, 2, 1, 4) (0, 0, 0, 5) (0, 0, 0, 0)
1 2
向量组的等价关系具有以下三个性质：
（1）自反性：一个向量组与其自身等价； （2）对称性：若向量组 A 与 B 等价，则 B 和 A 等价； （3）传递性：A 与 B 等价, B 与 C 等价，则 A 与 C 等价。
定理1： 设 1 , 2 , (1) 向量组 1 , 2 , (2) s t 则向量组
, s )
2 4 2 1 2 1 , 2 , 3 的 例如： 向量组 1 3 5 4 1 4 1
秩为2。
注：
（1）零向量组的秩为0。 （2）向量组 1 , 2 , 向量组 1 , 2 ,
0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 A 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4 1 6 4 1 4 1 1 0 4 3 2 0 1 5 3 3 2 0 5 0
线性代数-第2章
第2章对阶梯形矩阵进行考察，发现阶梯形矩阵的行秩等于列秩，并且都等于阶梯形的非零行的数目，并且主元所在的列构成列向量组的一个极大线性无关组。
矩阵的初等行变换不会改变矩阵的行秩，也不会改变矩阵的列秩。
任取一个矩阵A，通过初等行变换将其化成阶梯形J，则有：A的行秩=J的行秩=J的列秩=A的列秩，即对任意一个矩阵来说，其行秩和列秩相等，我们统称为矩阵的秩。
通过初等行变换化矩阵为阶梯形，即是一种求矩阵列向量组的极大线性无关组的方法。
考虑到A的行秩和A的转置的列秩的等同性，则初等列变换也不会改变矩阵的秩。
总而言之，初等变换不会改变矩阵的秩。
因此如果只需要求矩阵A的秩，而不需要求A的列向量组的极大无关组时，可以对A既作初等行变换，又作初等列变换，这会给计算带来方便。
矩阵的秩，同时又可定义为不为零的子式的最高阶数。
满秩矩阵的行列式不等于零。
非满秩矩阵的行列式必为零。
既然矩阵的秩和矩阵的列秩相同，则可以把线性方程组有解的充分必要条件更加简单的表达如下：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩。
另外，有唯一解和有无穷多解的条件也可从秩的角度给出回答：系数矩阵的秩r等于未知量数目n，有唯一解，r<n，有无穷多解。
齐次线性方程组的解的结构问题，可以用基础解系来表示。
当齐次线性方程组有非零解时，基础解系所含向量个数等于n-r，用基础解系表示的方程组的解的集合称为通解。
通过对具体实例进行分析，可以看到求基础解系的方法还是在于用初等行变换化阶梯形。
非齐次线性方程组的解的结构，是由对应的齐次通解加上一个特解。
在之前研究线性方程组的解的过程当中，注意到矩阵及其秩有着重要的地位和应用，故还有必要对矩阵及其运算进行专门探讨。
矩阵的加法和数乘，与向量的运算类同。
矩阵的另外一个重要应用：线性变换（最典型例子是旋转变换）。
即可以把一个矩阵看作是一种线性变换在数学上的表述。
矩阵的乘法，反映的是线性变换的叠加。
如矩阵A对应的是旋转一个角度a，矩阵B对应的是旋转一个角度b，则矩阵AB对应的是旋转一个角度a+b。
线性代数第三章第二节 向量组及其最大无关组(2014版)
等价向量组 极大线性无关组性质 向量空间的基与维数
3.2.1. 极大线性无关组
定义 对向量组A，如果在A中有r个向量 1 , 2 , , r 满足：（1）A0 :1,2 , ,r 线性无关。
（2）任意r＋1个向量都线性相关。（如果有的话）
那么称部分组 A0为向量组A 的一个最大（极大）线性
显
然
1
,
2
,
的
s
极
大
无
关
组
一
定
是
1 , 2 , s，1 , 2 , t
的
极
大
无
关
组
，
所
以
向量
组
1
,
2
,
可
t
由
它线性表示
即
1
,
2
,
t
可由
1
,
2
,
线性表示
s
定理咋还这 么多？烦人!
例 2 设1,2 , n 与 1, 2 , n 为两向量组，且
1 a111 a122 a1nn
2
a211
小结
１．最大线性无关向量组的概念： 最大性、线性无关性．
２． 矩阵的秩与向量组的秩的关系： 矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩 ＝矩阵行向量组的秩
３． 关于向量组秩的一些结论：
４． 求向量组的秩以及最大无关组的方法： 将向量组中的向量作为列向量构成一个矩 阵，然后进行初等行变换．
思考题
总结证明向量组等价的方法
如零向量组等价，但D=0.
例 4 设 1,2 , ,n是n个n维向量，证明：1,2 , ,n 线性无关 的充分必要条件是任意一个n维向量都可由它线性表示。
3.3 向量组的极大无关组与秩
矩阵 C的列向量组能由 A的列向量组线性表示，
因此r ( C ) r ( A). 又因为 C T B T AT ,由上段证明知 r ( C T ) r ( B T ), 25 即r ( C ) r ( B).
练习
1.求下列向量组的秩:
T T (1) 1 (2, 1, 1) , 2 (5, 4, 2, ) , 3 (3, 6, 0) T T ( 3 , 1 , 0 , 2 ) ( 1 , 1 , 2 , 1 ) (2) 1 , , 2 3 (1, 3, 4, 4) T .
20
得
1 1 3 2 , 2 1 2 .
1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1
1 0 1 2 2 3 1 1 2 2 , 0 0 0 0 0 0
2 0 1 1 而 ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 3 1 3 1
9
定理3.10
若向量组A可由向量组B线性表示，则
r(A) ≤ r(B)。 推论 若向量组A与向量组B等价，则 r(A) = r(B)。
10
回顾
α1 α2
αm
矩阵A既对应一个行向量组,又对应一 个列向量组: 其中 i ( a i 1 , a i 2 , , a in ), i 1, , m a1 j 1 a2 j 2 j 1, 2, , n
28
23
则r 1 1 , 2 2 , , n n r t r ( A) r ( B) r ( A B) r ( A) r ( B)
r i 1 , i 2 , ir , j 1 , j 2 , jt
矩阵的秩及向量组的极大无关组求法
位于k行k列交叉位置上的k2个元素，按原有的次序组成的k阶行列
式，称为A的k阶子式. 如矩阵
1 A 1
1 1
0 2
2 1
0 0 3 2
第1,3行及第2,4列交叉位置上的元素组成的一个二阶子式为
12
三阶子式共有4个
02
1 10
1 12
102 1 02
1 1 2 1 1 1
1 2 1 1 2 1
0 4 4
0 4 4
3 0 6
0 3 3
3 21 2 3 2 1 2
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结束
矩阵A2
矩阵A3
矩阵B
1 0
1 4
1 (1/ 4)r2 1
4
0
1 1
1 1
r3 3r2
1 0
1 1
1 1
r1 r2 1
0
0 1
2 1
0 3 3
0 3 3
0 0 0
0 0 0
二、单选题
１．设A是n阶方阵且|A|＝0，则（ ） ． 1) A中必有两行（列）元素对应成比例． 2) A中至少有一行（列）的元素全为0 ． 3) A中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合． 4) A中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合．
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2．设n阶矩阵A的秩为r，则结论（ ）成立. ①|A| ≠0; ② |A| ＝0; ③ r>n; ④ r≤n.
00
c1n
c2n
crn
0
0
结论：行阶梯形矩阵Br的非零行的个数，即为矩阵A的秩.
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线性代数解题技巧及典型题解析01-向量组的秩及极大线性无关组的求法_12
1 0 0 2
A 1 2 3 4
行变换
B
行变换
0
0
1 0
0 1
6
,
5
故4 21 62 53.
0
0
0
0
求向量组 1 (1,2,3,1)，2 ( 1, 2, 3, 1)，3 ( 1,1,1,1)，4 (0,2,4,1),
5 (3,4,5,8), 6 ( 1,2,3,2)的秩及向量组的极大无关组，并将其余向量用该
极大无关组. 由题设 j1,, js 可由i1,,is 线性表示，设表示式为
j1 a11 a1s i1
,
js
as1
ass is
1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一定的 条件后可以等价. 因此，一定要注意：向量组的等价仅由秩相 等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
B=
0
0
1
2
2
0
行变换
0
0
10
4
2
,
0 0 0 3 9 3
0 0 0 1 3 1
0
0
0
0
0
0
0
0
00
0
0
2 = 1 ,5 71 43 34 ,6 1 23 4 .
此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来解决向量组的 问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来解决矩阵的问题. r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
例6 设矩阵 A (1,2,3,4 ) 经过初等行变换得到矩阵 B，且
1 0 0 2
0
1
0
3
B 2
因此1,2 ,,s , 与 1,2 ,,s , 等价. 从而
3-3 向量组的秩和极大线性无关组
显然 Rn的最大无关组很多 任何n个线性无关的n维向量 都是Rn的极大无关组
Henan Agricultural University
3.性质
（1）只含零向量的向量组没有极大无关组 规定它的秩为0 （2）一个线性无关向量组的极大线性无关组是向量组本身. （3）向量组的极大无关组一般不是唯一的。 例如 a1(1 1 1)T a2(0 2 5)T a3(2 4 7)T 因为a1 a3和a2 a3都是线性无关组 而a1 a2 a3线性相关 所以a1 a3和a2 a3都是向量组a1 a2 a3的极大无关组
k11 k (b1, b2, , bl ) (a1, a2, , am ) 21 km1 k12 k22 km 2 k1l k2l km l
B =AK
注
bj k1ja1k2ja1 kmjam
的极大无关组提供了方法。 Henan Agricultural University
四、向量组极大线性无关组的求法
矩阵A经行初等变换化为B，则A的列向量组与 B对应的列向量组有相同的线性组合关系.
1.把向量组按列排成矩阵A; 2.用初等行变换把A化为简化的行阶梯形矩阵C; 3.求出C的列向量组的一个极大线性无关组; 4.与其相应的A中的列就是A的列向量组的一个极大线性无关组.
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例2 求矩阵A的列向量组的 一个极大无关组 并把不属于 极大无关组的列向量用极大 无关组线性表示 其中
2 1 1 1 1 1 2 1 A 4 6 2 2 3 6 9 7 2 4 4 9
可见B中1，2，4列有单位矩 阵，对应B的一个最高阶(三 阶)非零子式，即B中1，2，4 列为B的一个极大线性无关组。 相应地，A的1、2、4列 为A的一个极大无关组
向量组的极大线性无关组
例1 考虑R4中的向量组
1 (1,2,1,2)T,2 (2,4,1,1)T,3 (2,4,2,4)T, 4 (1,2,2,1)T其中线性无关的 最部 多分 可组 以
包含多少个向量？
定义2.11 如 果 一 个 向 量 组 的 部 分 组 1 ,2 ,3 ,..., r
r(1,2,...,s)
注：
1 、 向 量 组 1 ， 2 ， ， s 线 性 无 关 r 1 ， 2 ， ， s ＝ s . 2 、 向 量 组 1 ， 2 ， ， s 线 性 相 关 r 1 ， 2 ， ， s s .
例
定理2.10 如 { 1 ,2 果 ,3 ,.s . } .{ ,1 ,2 ,.t} .则 .,,
例4 设矩阵
1 0 0 0
A 0 2 0 0
0 0 0 3
求A的行秩和A的列秩、A的秩。 定理2.11 初等变换不改变矩阵的行秩和列秩.
定理2.12 矩阵的行秩与列秩相等且为矩阵的秩. 例5 将矩阵A化为等价标准形,并求r(A), 其中
1 2 1 4
A
1
1 1 2
r (1 ,2 ,3 ,..s ). r ,(1 ,2 ,.. t).,
例3 Rn中的任n意 1个向量一定线性. 相关
例：P113：21
二、向量组的秩与矩阵的秩的关系
定义2.14 矩 阵 A(aij)m n的 行 向 量 组 1,2,3,...,m
的 秩 称 为 矩 阵 A 的 行 秩 ;A 的 列 向 量 组 的 秩 称 为 矩 阵 A 的 列 秩 .
满 足 以 下 两 个 条 件
( 1 ) 1 ,2 ,3 ,...,r 线 性 无 关 ；
浅谈矩阵的初等行变换在线性代数中的应用
浅谈矩阵的初等行变换在线性代数中的应用张亚龙(北京科技大学天津学院基础部㊀３０１８３０)摘㊀要:本文从矩阵的初等行变换出发ꎬ分别提出在矩阵㊁向量组㊁线性方程组㊁矩阵的特征向量㊁二次型中的一些应用ꎬ并呈现对应例题ꎬ加强学生对矩阵的初等行变换的理解与应用.关键词:初等行变换ꎻ矩阵ꎻ向量组ꎻ线性方程组中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２２)２１－００２９－０３收稿日期:２０２２－０４－２５作者简介:张亚龙(１９９２－)ꎬ男ꎬ硕士ꎬ助教ꎬ从事计算数学研究.㊀㊀目前ꎬ«线性代数»这门课程是理工科和经管类必开设的一门课程ꎬ主要内容包括行列式㊁矩阵㊁线性方程组㊁向量组㊁相似矩阵㊁二次型等.矩阵的初等行变换贯穿在整个线性代数的内容中ꎬ为了方便学生学习ꎬ下面归纳总结了关于矩阵初等行变换在线性代数中的应用.１矩阵中的应用１.１求矩阵的逆若矩阵Ａ可逆ꎬ则Ａ－１也可逆ꎬＡ－１可以表示成若干个初等矩阵的乘积ꎬ因此可由矩阵的初等行变换求Ａ－１ꎬ即(ＡꎬＥ)初等行变换ң(ＥꎬＡ－１)ꎬ我们将矩阵Ａ和单位矩阵Ｅ都做初等行变换ꎬ当矩阵Ａ化为单位矩阵Ｅ时ꎬ单位矩阵Ｅ就变成了Ａ－１.例１㊀求矩阵Ａ＝１－２０１２０２２１éëêêêùûúúú的逆.解㊀作一个３ˑ６的矩阵(ＡꎬＥ)ꎬ并对其做矩阵的初等行变换.(ＡꎬＥ)＝１－２０１００１２００１０２２１００１éëêêêùûúúúң１００１２１２００１０－１４１４０００１－１２－３２１éëêêêêêêêùûúúúúúúú＝(ＥꎬＡ－１).因此ꎬＡ－１＝１２１２０－１４１４０－１２－３２１éëêêêêêêêùûúúúúúúú.１.２求矩阵的秩矩阵秩的定义是非零子式的最高阶数ꎬ我们知道初等变换不改变矩阵的秩ꎬ对矩阵Ａ做初等行变换化为行阶梯形矩阵Ｂꎬ由行列式的性质可知ꎬ矩阵Ａ和矩阵Ｂ的非零子式最高阶数相同ꎬ所以矩阵Ａ与矩阵Ｂ的秩相等.例２㊀求矩阵Ａ＝１－１２１０１００１１２－２４２００３００１éëêêêêêùûúúúúú的秩.解㊀对矩阵Ａ做初等行变换化为行阶梯形矩阵.９２Ａ＝１－１２１０１００１１２－２４２００３００１éëêêêêêùûúúúúúң１－１２１００１－２０１００６０－２０００００éëêêêêêùûúúúúú＝Ｂ因为矩阵Ｂ中有三个非零行ꎬ即Ｒ(Ｂ)＝３ꎬ所以Ｒ(Ａ)＝３.２在向量组中应用２.１求向量组的秩由于任何矩阵Ａꎬ它的行秩＝列秩＝Ｒ(Ａ)ꎬ因此我们只需将向量组中的向量均按列构成一个矩阵Ａꎬ向量组的秩就等于矩阵Ａ的秩.例３㊀求向量组α１＝(１ꎬ－２ꎬ２)ꎬα２＝(１ꎬ－４ꎬ０)ꎬα３＝(１ꎬ－２ꎬ２)的秩.解㊀以αＴ１ꎬαＴ２ꎬαＴ３为列向量构成矩阵Ａꎬ并对矩阵Ａ进行初等行变换ꎬ把Ａ化为阶梯形矩阵Ｂ.Ａ＝１１１－２－４－２２０２éëêêêùûúúúң１１１０－２００－２０éëêêêùûúúúң１１１０１００００éëêêêùûúúú＝Ｂꎬ得Ｒ(Ａ)＝Ｒ(Ｂ)＝２ꎬ又因为向量组α１ꎬα２ꎬα３的秩等于矩阵Ａ的秩ꎬ即向量组α１ꎬα２ꎬα３的秩为２.２.２求向量组的极大无关组由于初等行变换不改变矩阵列向量的线性关系ꎬ因此可由初等行变换求解向量组的极大无关组.例４㊀求向量组α１＝(１ꎬ２ꎬ３ꎬ０)ꎬα２＝(－１ꎬ－２ꎬ０ꎬ３)ꎬα３＝(２ꎬ４ꎬ６ꎬ０)ꎬα４＝(１ꎬ－２ꎬ－１ꎬ０)的一个极大线性无关组.解㊀以αＴ１ꎬαＴ２ꎬαＴ３ꎬαＴ４为列向量构成矩阵Ａꎬ并对矩阵Ａ进行初等行变换ꎬ把Ａ化为行最简形矩阵Ｂ.㊀Ａ＝１－１２１２－２４－２３０６－１０３００éëêêêêêùûúúúúúң１０２００１０００００１００００éëêêêêêùûúúúúú＝Ｂ非零行首非零元１所在的列作极大线性无关组ꎬ因此向量组α１ꎬα２ꎬα３ꎬα４的一个极大线性无关组为α１ꎬα２ꎬα４.３在线性方程组中的应用通过一系列的初等行变换ꎬ将系数矩阵或增广矩阵化为行最简形矩阵ꎬ判断方程组是否有解ꎬ有解的情况下ꎬ求出通解.３.１解齐次线性方程组例５㊀求解齐次线性方程组２ｘ１＋ｘ２－ｘ３＋３ｘ４＝０ｘ１＋２ｘ２＋３ｘ３＋ｘ４＝０３ｘ２＋７ｘ３－ｘ４＝０ｘ１－ｘ２－４ｘ３＋２ｘ４＝０ìîíïïïïïï解㊀对系数矩阵Ａ进行初等行变换ꎬ化为行最简形矩阵ꎬＡ＝２１－１３１２３１０３７－１１－１－４２éëêêêêêùûúúúúúң１２３１０１７３－１３００００００００éëêêêêêêùûúúúúúúң１０－５３５３０１７３－１３００００００００éëêêêêêêêùûúúúúúúú得同解方程组为ｘ１＝５３ｘ３－５３ｘ４ｘ２＝－７３ｘ３＋１３ｘ４ìîíïïïï其中ｘ３ꎬｘ４为自由未知量ꎬ令自由未知量ｘ３ｘ４æèççöø÷÷依次取１０æèçöø÷ꎬ０１æèçöø÷ꎬ得基础解系η１＝５３－７３１０æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷ꎬη２＝－５３１３０１æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷ꎬ所以齐次线性方程组的通解为ｃ１η１＋ｃ２η２ꎬ(ｃ１ꎬｃ２为任意常数).３.２解非齐次线性方程组例６㊀求非齐次线性方程组ｘ１＋ｘ２＝５２ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋２ｘ４＝１５ｘ１＋３ｘ２＋２ｘ３＋２ｘ４＝３ìîíïïïï的通解.解㊀对增广矩阵Ｂ进行初等行变换ꎬ化为行最简形矩阵.０３Ｂ＝１１００５２１１２１５３２２３éëêêêùûúúúң１０１２－４０１－１－２９０００－２－４éëêêêùûúúúң１０１０－８０１－１０１３０００１２éëêêêùûúúú可以得出系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩ꎬ并且小于未知量的个数ꎬ因此方程组有无数个解.即它的同解方程组为ｘ１＝－ｘ３－８ｘ２＝ｘ３＋１３ｘ４＝２ìîíïïïïꎬ其中ｘ３为自由未知量ꎬ令自由未知量ｘ３＝０ꎬ得特解α０＝－８１３０２æèççççöø÷÷÷÷.导出组的同解方程组为ｘ１＝－ｘ３ｘ２＝ｘ３ｘ４＝０ìîíïïïïꎬ其中ｘ３为自由未知量ꎬ令ｘ３＝１ꎬ得对应齐次线性方程组的基础解系η＝－１１１０æèççççöø÷÷÷÷ꎬ所以线性方程组的通解为α０＋ｃη＝－８１３０２æèççççöø÷÷÷÷＋ｃ－１１１０æèççççöø÷÷÷÷ꎬ其中ｃ为任意常数.４在矩阵特征向量中的应用上面我们介绍了用初等行变换求解线性方程组ꎬ计算矩阵的特征向量就会涉及到解齐次线性方程组.例７㊀求矩阵Ａ＝２２－２２５－４－２－４５éëêêêùûúúú的特征向量.解㊀由Ａ－λＥ＝２－λ２－２２５－λ－４－２－４５－λ＝－(１－λ)２(λ－１０)＝０ꎬ得矩阵的特征值λ１＝１０ꎬλ２＝λ３＝１.当特征值λ１＝１０时ꎬ解齐次线性方程组(Ａ－１０Ｅ)Ｘ＝０ꎬ即Ａ－１０Ｅ＝－８２－２２－５－４－２－４５éëêêêùûúúúң２０１０１１０００éëêêêùûúúúң１０１２０１１０００éëêêêêêùûúúúúú得基础解系η１＝－１２－１１æèççççöø÷÷÷÷ꎬ故Ａ的对应于特征值λ１＝１０的全部特征向量为ｃ１－１２－１１æèççççöø÷÷÷÷ꎬ其中ｃ１为任意非零常数.当λ２＝λ３＝１时ꎬ解齐次线性方程组(Ａ－Ｅ)Ｘ＝０ꎬ即Ａ－Ｅ＝１２－２２４－４－２－４４éëêêêùûúúúң１２－２００００００éëêêêùûúúúꎬ其基础解系为η２＝－２１０æèçççöø÷÷÷ꎬη３＝２０１æèçççöø÷÷÷ꎬ故Ａ的对应于特征值λ２＝λ３＝１的全部特征向量为ｃ２－２１０æèçççöø÷÷÷＋ｃ３２０１æèçççöø÷÷÷ꎬ其中ｃ２ꎬｃ３是不全为零的任意常数.㊀矩阵的初等行变换贯穿于整个线性代数章节中ꎬ熟练应用初等行变换是学好线性代数的基础ꎬ学生要在平时学习中ꎬ学会归纳总结ꎬ使每个知识点建立联系.参考文献:[１]同济大学数学系.工程数学线性代数[Ｍ].北京:高等教育出版社ꎬ２０１４.[２]郝秀梅ꎬ姜庆华.线性代数[Ｍ].北京:经济科学出版社ꎬ２０１７.[责任编辑:李㊀璟]１３。
高等代数教学大纲2014 - 副本
高等代数教学大纲代数教研室[本大纲以北大数学系编《高等代数》第四版为依据拟定，共需约216学时 (讲授144学时+习题课72学时)][本大纲以北大数学系编《高等代数》第四版为依据拟定，共需约216学时 (讲授144学时+习题课72学时)]课程总体目标1.理解和掌握高等代数中的一些基本概念和基础知识，如数域、多项式、n阶行列式、线性方程组、矩阵、二次型、向量空间、线性变换、 矩阵、欧氏空间、以及双线性函数与辛空间等抽象代数基本概念。
2.具备逻辑推理、抽象思维与综合分析的能力，能运用高等代数中的基础知识、基本理论进行推理和证明。
3.熟练掌握高等代数中常用的方法。
4.了解近世代数研究的对象和基本方法.第一章多项式(26学时)（一）教学目的和要求1)熟练掌握一元多项式的基本概念及其运算。
2)熟练掌握一元多项式的整除，最大公因子，互素的概念，性质及有关的证明。
3)熟练掌握不可约多项式的概念，性质，理解因式分解定理的意义，掌握复数域，实数域上的多项式的标准分解式及复数域，实数域上不可约多项式4)会直接利用艾森斯坦因判别法，会求Q[x]中的多项式的有理根。
（二）教学内容1)多项式的概念及其运算：多项式的定义，多项式相等，零多项式，多项式次数。
2)多项式和与积的定义；带余除法，用带余除法求商和余式，商与余存在及唯一性定理；多项式的值与多项式的根的定义，余数定理，综合除法，用综合除法求多项式的值；多项式的次数与根的个数的关系，多项式相等的定义。
3)多项式整除的定义，性质；最大公因式的定义；用辗转相除法求最大公因式，最大公因式的存在与唯一性定理；最大公因式的性质;互素的定义及等价条件；不可约多项式的定义及等价条件；不可约多项式的性质；因式分解定理及标准分解式。
4)重因式：重因式的定义，系数与重因式的关系；无重因式的充要条件，去掉重因式的方法；重根的定义，重根与系数的关系。
5)复数域和实数域上的多项式的因式分解：代数学基本定理，C[x]上的不可约多项式，多项式的标准分解式，C上的n次多项式有n个根；R上的不可约多项式，多项式的标准分解式。
线性代数中向量组的线性表示、极大无关组及线性方程组快速求解
线性代数中向量组的线性表示、极大无关组及线性方程组快速求解晏建学;王云秋【摘要】通过对线性代数中“向量与向量组的线性表示、向量组的极大无关组及线性方程组求解”过程加以改进,将传统的“对列向量构成的矩阵或线性方程组增广矩阵①用行初等变换化成阶梯形;②再用初等行变换化成行简化阶梯形”的两步求解过程简化为“对列向量构成的矩阵转置或线性方程组增广矩阵转置①用行初等变换化成阶梯形”一步求解,不仅节约了一定的工作量,还有效地降低了求解难度.【期刊名称】《曲靖师范学院学报》【年(卷),期】2018(037)006【总页数】5页(P17-21)【关键词】向量组;极大无关组;线性方程组;矩阵;转置;初等行变换;阶梯形;行简化阶梯形【作者】晏建学;王云秋【作者单位】云南财经大学商学院,云南昆明650221;云南财经大学统计与数学学院,云南昆明650221【正文语种】中文【中图分类】O151.20 引言线性代数中向量组与线性方程组、矩阵三者密不可分，一个线性方程组可以有一般形式矩阵形式Ax =b，向量形式α1x1+α2x2+…+αnxn=b共三种不同的表示形式．一个矩阵同样不仅可以用行向量组表示，也同样用列向量组表示，且矩阵的行秩=列秩=矩阵的秩[1]．n维向量β可以由n维向量组α1,α2,…,αn线性表示⟺非齐次线性方程组α1x1+α2x2 +…+αnxn =β有解⟺r(α1,α2 ,…,αn)= r(α1,α2,…,αn , β) ．n维向量组α1,α2,…,αs 线性相关⟺齐次线性方程组α1x1 +α2x2 +… +αnxs=0 有非零解⟺r(α1,α2,…,αs )<s⟺向量组α1,α2,…,αs中至少有一个向量能够被其余s-1 个向量线性表示．n维向量组α1,α2,…,αs 线性无关⟺齐次线性方程组α1x1 +α2x2+…+αnxs=0只有零解⟺r(α1,α2…αs)=s⟺向量组α1,α2,…,αs中每一个向量都不能够被其余s-1个向量线性表示[2] ．线性代数传统教材中求“向量与向量组的线性表示、向量组的秩和极大无关组及线性方程组求解”的传统方法是：“对列向量构成的矩阵或方程组增广矩阵①用行初等变换化成阶梯形；②再用初等行变换化成行简化阶梯形”的两步求解过程[3]，不仅求解步骤多，尤其是第二步“②再用初等行变换化成行简化阶梯形”比起第一步“①用行初等变换化成阶梯形”更加麻烦．其根本原因在于：“列向量用初等行变换化阶梯形，不化到最简的行简化阶梯形就不能说明问题．”笔者在多年的教学实践中不断摸索总结[4-8]，将传统的两步求解过程改进为将“对列向量构成的矩阵转置或线性方程组增广矩阵转置后①用行初等变换化成阶梯形”一步求解，不仅节约一定的工作量，还有效地降低了求解难度．能够改进的原因在于：行向量只需用行初等变换化成阶梯形就能说明问题．1 向量组线性相关无关的判别n维向量组α1,α2 ,…,αs线性无关⟺齐次线性方程组α1x1+α2x2+…+αnxs=0只有零解⟺r(α1,α2,…,αs)=s⟺向量组α1,α2,…,αs中每一个向量都不能够被其余s-1个向量线性表示．例1[1] 判断向量组α1=(1 0 0 2 5)T,α2=(0 1 0 3 4)T,α3=(0 0 1 4 7)T，α4=(2 -3 4 11 12)T是否线性相关？传统解法：线性无关.改进解法：线性无关.2 向量组的秩及极大无关组的求解线性代数教材中求向量组的秩和极大无关组的传统方法是：“对列向量构成的矩阵或方程组增广矩阵①用行初等变换化成阶梯形；②再用初等行变换化成行简化阶梯形”的两步求解过程．例2[1] 求向量组α1=(2,1,3,-1)T,α2 =(3,-1,2,0)T,α3 =(1,3,4,-2)T,α4 =(4,-3,1,1)T 的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示．传统解法：A = (α1,α2 ,α3 ,α4 )，对矩阵A“①用行初等变换化阶梯形；②再用初等行变换化行简化阶梯形”．由此可知r(A)=r(α1,α2 ,α3 ,α4 )=2，向量组的极大无关组为{α1,α2} ，且改进解法：“对列向量构成的矩阵转置或线性方程组增广矩阵转置后用行初等变换化成阶梯形”一步求解．r(α1,α2,α3,α4)=r(A)=r(AT)=2.向量组的极大无关组为{α1,α2}.3 齐次线性方程组的求解例3[1] 求解齐次线性方程组传统解法：改进解法：4 向量与向量组的线性组合n维向量β可以由n维向量组α1,α2,…,αn线性表示⟺非齐次线性方程组α1x1+α2x2+…+αnxn=β有解⟺r(α1,α2,…,αn)=r(α1,α2,…,αn,β)．例4[1] 判断向量β=(4,7,9,8)T与向量组α1=(1,2,4,2)T,α2=(,2,3,3,5)T,α3=(-3,-5,-9,-8)T的关系．传统解法：A=1 2-32 3-54 3-92 5-84798→1 2-30-1 10-5 30 1-2 4-1-7 0→1 2-30-1 10 0-20 0-1 4-1-2-1→1 2-30 1-10 0 10 0 04110→1 2-30 1 00 0 10 0 04210→10 00 1 00 0 10 0 03210.β=3α1+2α2+1α3.改进解法：β-4α1=-α1+2α2+1α3,β=3α1+2α2+1α3.5 非齐次线性方程组的求解例5[1] 求解非齐次线性方程组传统解法：A=1 2 1 1 13 2 1 1-30 1 2 2 65 4-3 3-1 7-22312→1 1 1 1 10-1-2-2-60 1 2 2 60-1-8-2-67-2323-23 →1 1 1 1 10-1-2-2-60 0 0 0 00 0-6 0 07-2300→1 0 0-1-50 1 02 60 0 1 0 00 0 0 0 0-162300,改进解法：两种解法结果一模一样！6 特征向量的求解例6[3] 求矩阵的特征值和特征向量．解：例7[3] 求实对称矩阵的特征值与特征向量．解：=λ(λ-2)2=07 结论综上所述，将传统的两步求解过程改进为“对列向量构成的矩阵转置或线性方程组增广矩阵转置后用行初等变换化成阶梯形”一步求解过程，不仅节约一定的工作量，还有效地降低了求解难度．【相关文献】[1] 赵云河.线性代数：第2版[M].北京，科学出版社，2017：35-139.[2] 卢刚.线性代数：第2版[M].北京，高等教育出版社，2004：1-95.[3] (苏)普罗斯库烈柯夫.线性代数习题集[M].周晓钟，译.北京，人民教育出版社，1981：10-15.[4] 晏建学，王云秋.线性代数教学中的几个简便计算方法[J].云南财贸学院学报，2000增刊：236-239.[5] 王刚，晏建学.某些特殊矩阵幂运算的简便方法[J].云南财贸学院学报:经济管理版，2001综合刊：178-179.[6] 晏建学，王云秋. 阶排列中有相同逆序数的排列个数新递推算法[J].云南民族大学学报，2004，13(4)：295-298.[7] 晏建学，王云秋.从逆序数到排列的生成[J].云南民族大学学报，2014，23(S1)：119-120.[8] 晏建学，王云秋，张宏宇.《微积分、线性代数、概率论与数理统计解题指导及提高》[M].昆明，云南科技出版社，2018：114-120.。
向量组的极大线性无关组怎么求
向量组的极大线性无关组怎么求
具体方法：
矩阵初等行变换化成行阶梯矩阵
然后从同一层台阶只取一个对应的列向量，总共取矩阵的秩个
重新组成一个矩阵
然后重新画一画阶梯，看看阶梯数是否依旧等于秩的值
是的话，这些个向量组就是一个极大无关线性组，否则就不是啦~
（当然有些新矩阵可以重新再行变换一下，就又是秩等于原矩阵的秩了，所以也是的）
所以直接取行阶梯矩阵每行第一个非0所在列所组成的新矩阵，阶梯数一定等于新矩阵的秩，就一定是原矩阵的一个极大线性无关组。
这样取得的首非零元所在列组成的必然是极大线性无关组，但题目要求我们找出所有的极大线性无关组，所以除了这一线性无关组，我们应继续寻找，就是从所有列中任取矩阵的秩个列，组成一个组，但是这样组成的组可能不是线性无关组，因此每一组都需要进行一下验证（验证他是不是秩等于总秩）。
同时这样的任取过程应该是有顺序可言的，在下文的注解中有详细的介绍。
举个例子⑧
（注：这里说明一下列举的顺序。
1.首先是找到所有含第一列的极大线性无关组。
而本例也是只列举了包含①的极大线性无关组。
2.其次，如要列出所有，则需要先去掉第一列，再按此方法化成阶梯
型，再寻找，就能找出所有含②的极大无关组，同理在此基础上去掉第二列...以此类推，就能找出所有极大线性无关组）。
4.3 向量组的极大无关组与向量组的秩
1 1 2 一次行 B = 2 A= ① r r ③ kr ② k r i j i m m
则显然有
1, 2 ,, m 1 , 2 ,, m
行秩(A)=行秩(B)。
所以，初等行变换不改变矩阵的行秩与列秩。 类似有： 定理2.12 初等列变换不改变矩阵的行秩与列秩。
定理4 初等列变换不改变矩阵的行秩与列秩。 定理5 初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。 定理6
① 将向量组以列向量构成矩阵
② 对矩阵A 施以初等行变换化为行最简形矩阵;
A = (1, 2 ,, s ) ;
行
A = (1, 2 ,, s ) B = ( 1, 2 ,, s )
③ 所得矩阵的列向量组中基本单位向量对应 位置的向量即为所求 极大无关组，即
1, 2 ,, s 的极大无关组对应
2 n ) 则称向量组 1, 2 ,, m 为矩阵A的行向量组；
则称向量组 1, 2 ,, n 为矩阵A的列向量组。
1．矩阵的行秩与列秩 定义2 矩阵A的行向量组的秩，称为A的行 秩，记为行秩A); 矩阵A的列向量组的秩，称为A的列秩，记 为列秩A)。 例如，矩阵
r ( A) = 2 ,
推论3 向量组中任两个极大无关组等价。 【由等价的传递性】 推论4 向量组的极大线性无关组所含向量的 个数唯一。 【上节定理5？】 【称这个唯一的数为向量组的秩】
【称这个唯一的数为向量组的秩】 3. 向量组的秩 （1）秩的概念 定义2 向量组 1, 2 ,, s 的极大无关组 所含向量的个数称为该向量组的秩, 记为
1 0 1 1 A= 0 1 3 2
行秩A)＝2， 列秩A)＝2
3.3向量组的极大线性无关组
容易地知道一个列向量组的秩、极大线性无关组以及它 们之间的线性组合关系。
引例1
1 2 3 4
1 0 0 0 0 1 0 0 2 1 3 4 0 0 0 0
(1) 向量组的秩为 2;
(2) 极大线性无关组为 1 , 2 ;
(3) 其余的向量是如何由这些独立向量组合出来的？
一、极大线性无关组的概念
定义 如果向量组 1 , 2 , , r 中的一个部分组 i 1 , i 2 , , is 满足: (1) i 1 , i 2 , , is 线性无关； (2) 向量组 1 , 2 , , r 中的每一个向量都可由
存在矩阵 C m s , 使得
Bn s Anm C m s ,
其中 n 为向量的维数。
二、向量组的秩
1. 向量组之间的线性表示 例如 设向量组 1 , 2 , 3 , 4 能由 1 , 2 , 3 , 4 线性表示：
1 1 2 ,
3 3 4 ,
§3.3 向量组的极大线性无关组
一、极大线性无关组的概念 二、向量组的秩 三、如何求向量组的极大无关组及线性组合关系
一、极大线性无关组的概念
上一节讨论了向量组的线性相关与线性无关的概念，其
中线性无关也称为线性独立。如果以线性方程组中各方程的 系数及右端项构成行向量，则线性相关与线性无关的概念实 反映了线性方程组中各个方程是否关联或是否独立。 本节将讨论如果一个给定的向量组线性相关，那么， (1) 该向量组中到底有多少个向量是独立的？ (2) 具体哪些向量是独立的？
~ ~ 即得 r ( A) r ( P A R Q ) s 1 , 2 , , n 的秩 .
线性代数第一次答疑
线性代数第一次语音答疑答疑提纲一、关于课程自学线性代数主要研究了三种对象：矩阵、方程组和向量。
这三种对象在一定情况下可以相互转化。
熟练地从一种理论的叙述转移到另一种去，是学习线性代数时应养成的一种重要习惯和素质。
也是大家应该掌握和熟悉的。
三种对象表述问题的形式不同，视角也不同，向量偏向于从整体性和结构性考虑方面来考虑问题，矩阵则是更易于表示和操作的方式，而线性方程组则是一种更为直观、清楚地表示方式。
大家掌握矩阵、方程组和向量其中的的内在联系，遇到问题就能左右逢源，举一反三，化难为易。
在学习的过程中，大家对书中的一些定义定理及重要结论，首先记忆、在记忆的基础上理解、通过做题练习来巩固所学。
不能硬背，数学课程的考试不会纯考概念、定理的证明等，一定是在具体的题目中应用这些概念。
因此大家一定要多动手练习，同一类型的题目反复练习，做到熟能生巧。
二、课程资源教材课本《线性代数》杨荫华著这本书是我们课程的主要教材，大家需要认真阅读，弄懂书上面的定义、定理，能够独立做出书上面的例题，对于课后主要习题认真练习。
完成这些，线性代数基本上就学的不错了。
课程录像自学时可以参照课程录像学习，关于课程录像的下载地址，找相关老师询问。
课程论坛，上面公共课程->线性代数板块这是我跟大家沟通交流的主要场所，大家在学习中遇到什么问题可以在论坛上提出来，我会帮大家进行解答。
面授课这是根据大纲的内容来对课程做一个讲解，对于北京地区的的学生，有时间希望大家周六上午尽量来北大听课，本学期有五次面授课程，听课之前最好做好预习，课上有问题可以随时提问，这样效率也会比较高。
作业作业希望大家一定要独立完成，弄懂作业中的问题，学会举一反三，灵活运用。
三、课程主要内容《线性代数》书本总共七章，学习范围是前六章，考试范围是前五章，重点是行列式计算，线性方程组求解，线性相关与无关，矩阵的计算及矩阵逆的求法。
行列式的重点是计算，利用性质熟练准确的计算出行列式的值。
关于用初等变换求向量组的极大无关组的方法
关于用初等变换求向量组的极大无关组的方法
向量组的极大无关组是一种常见的线性代数问题，在现实应用中，经常用初等变换来求解。
这里我们就介绍一下用初等变换求向量组的极大无关组的方法。
假设我们要计算极大无关组，求解过程采用分治思想，即向量组中元素成组，每组采用初等变换求解极大无关组。
首先介绍初等变换的基本步骤。
要将向量组T中的一个n元组A=(a1,a2,a3,…,an)变换为（b1,b2,b3,…,bn），只需执行以下操作：
（1）将a1乘以某正数个数，再加上某向量（若该向量为零向量则不需要加上）使其变换为b1。
（2）将a2乘以某正数个数，再加上某向量（若该向量为零向量则不需要加上）使其变换为b2。
（3）将a3乘以某正数个数，再加上某向量（若该向量为零向量则不需要加上）使其变换为b3。
以此类推，直到将an乘以某正数个数，加上某向量（若该向量为零向量则不需要加上）使其变换为bn。
其次，介绍如何使用初等变换求解向量组的极大无关组。
如果要对向量组T中的n元组求解极大无关组，采用“每组采用初等变换求解极大无关组”进行分治处理：
（1）将n元组拆分为m个m元组，分别求解m个m元组的极大无关组。
（2）将分别求解出来的m个极大无关组合并在一起，即构成最终的极大无关组。
（3）由m个m元组的极大无关组构及的n元组的极大无关组（即新的n元组）也不能线性表示原n元组，所以应当重复执行以上步骤，直到所得到的n元组可以线性表示原n元组停止步骤，此时的n元组就是该向量组的极大无关组。
最后，经过上述步骤，就可以用初等变换解决向量组的极大无关组问题，将大问题拆解成小问题，再分别求解小问题，从而得到大问题的答案，大大提高了求解的效率。
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关于用初等变换求向量组的极大无关组的方法在研究中，研究者经常需要通过求解向量组的极大无关组来实现向量组元素的排序，以便于更好地研究和进一步分析该类数据。
由于向量组的极大无关组的求解相对比较严格，因此需要考虑到更加效率的求解方法。
于此，本文将针对用初等变换求解向量组的极大无关组进行深入分析，旨在为研究者提供一种更有效的求解方法。
首先，本文确定了初等变换方法的具体运用，即在向量组矩阵中，每行对应1个向量，每列对应1个属性，对应元素为该属性对应的分量值。
通过行列式的性质，可以把行列式分解为一系列的初等变换，将原矩阵变换为“阶梯”矩阵。
其次，本文做出了一个重要的假设：向量组全部元素均不相同，也即矩阵中没有相同的行或列。
借助这一假设，初等变换就变得更加方便，且可快速完成。
紧接着，本文提出了一种很简单、快捷的解法，即将矩阵拆分成多个不同的小矩阵，每个小矩阵分别求解一组极大无关组，最后将求得的多组无关组合并，获得最终的极大无关组。
最后，本文总结了用初等变换求解向量组的极大无关组的方法，包括原矩阵的行列式的分解，基于假设的初等变换，以及将矩阵拆分成多个不同的小矩阵求解等步骤。
此外，本文还指出，经过多次的实验和验证，该方法在求解向量组的极大无关组时候比传统方法效率更高，具有很强的可行性。
本文提出用初等变换求向量组的极大无关组的方法，为研究者提
供了一种更有效的求解方案。
未来，可以进一步深入探索初等变换方法在求解向量组的极大无关组这一领域的应用，以及在此基础上深入研究出更多种方法，从而给研究者提供更多的求解选项。