5-练习册-第十二章 气体动理论

第十二章 气体动理论
§12-1 平衡态 气体状态方程
【基本内容】
热力学：以观察和实验为基础，研究热现象的宏观规律，总结形成热力学三大定律，对
热现象的本质不作解释。

统计物理学：从物质微观结构出发，按每个粒子遵循的力学规律，用统计的方法求出系
统的宏观热力学规律。

分子物理学：是研究物质热现象和热运动规律的学科，它应用的基本方法是统计方法。

一、平衡态 状态参量
1、热力学系统：由大量分子组成的宏观客体（气体、液体、固体等），简称系统。

外界：与系统发生相互作用的系统以外其它物体（或环境）。

从系统与外界的关系来看，热力学系统分为孤立系统、封闭系统、开放系统。

2、平衡态与平衡过程
平衡态：在不受外界影响的条件下，系统的宏观热力学性质（如P 、V 、T ）不随时间变化的状态。

它是一种热动平衡，起因于物质分子的热运动。

热力学过程：系统从一初状态出发，经过一系列变化到另一状态的过程。

平衡过程：热力学过程中的每一中间状态都是平衡态的热力学过程。

3、状态参量
系统处于平衡态时，描述系统状态的宏观物理量，称为状态参量。

它是表征大量微观粒子集体性质的物理量（如P 、V 、T 、C 等）。

微观量：表征个别微观粒子状况的物理量（如分子的大小、质量、速度等）。

二、理想气体状态方程
1、气体实验定律
（1）玻意耳定律：
一定质量的气体，当温度保持不变时，它的压强与体积的乘积等于恒量。

即PV =恒量，亦即在一定温度下，对一定量的气体，它的体积与压强成反比。

（2）盖.吕萨克定律： 一定质量的气体，当压强保持不变时，它的体积与热力学温度成正比。

即
V T =恒量。

（3）查理定律： 一定质量的气体，当体积保持不变时，它的压强与热力学温度成正比，即P T
=恒量。

气体实验定律的适用范围：只有当气体的温度不太低（与室温相比），压强不太大（与大气压相比）时，方能遵守上述三条定律。

2、理想气体的状态方程
（1）理想气体的状态方程
在任一平衡态下，理想气体各宏观状态参量之间的函数关系；也称为克拉伯龙方程
M PV RT RT νμ=
=
（2）气体压强与温度的关系 P nkT =
玻尔兹曼常数23/ 1.3810
A k R N -==⨯J/K ；气体普适常数8.31/.R J mol K = 阿伏加德罗常数236.02310/A N mol =⨯
质量密度与分子数密度的关系
nm ρ=
分子数密度/n N V =，ρ气体质量密度，m 气体分子质量。

三、理想气体的压强
1、理想气体微观模型的假设
（a ）分子本身的大小比起它们之间的距离可忽略不计，可视为质点。

（b ）除了分子碰撞瞬间外，分子之间的相互作用以忽略；因此在相邻两次碰撞之间，
分子做匀速直线运动。

（c ）分子与分子之间或分子与器壁间的碰撞是完全弹性的。

理想气体可看作是由大量的、自由的、不断做无规则运动的，大小可忽略不计的弹性
小球所组成。

大量分子构成的宏观系统的性质，满足统计规律。

统计假设：
（a ）分子按位置的分布是均匀的，即分子沿空间各个方向运动的数目相等。

（b ）分子按速度方向的分布是均匀的，即分子沿空间各个方向运动的机会相等。

2、理想气体的压强
21233
t P nmv n ε== （a ）分子的平均平动动能：212
t mv ε= （b ）压强的统计意义：压强是大量气体分子对器壁碰撞而产生的。

它反映了器壁所受
大量分子碰撞时所给冲力的统计平均效果。

四、理想气体的温度
1、分子平均平动动能与温度的关系（理想气体温度公式）
21322
t mv kT ε==
（a ）温度的微观本质和统计意义：理想气体的温度是气体分子平均平动动能的量度。

气体的温度越高，分子的平均平动动能就越大；分子的平均平动动能越大，分子热运动的程度越激烈。

因此，可以说温度是表征大量分子热运动激烈程度的宏观物理量，是大量分子热运动的集体表现。

与压强一样，温度也是一个统计量。

对个别分子，说它有多少温度是没有意义的。

（b ）不同种类的两种理想气体，只要温度T 相同，则分子的平均平动动能相同；反之，当它们的分子的平均平动动能相同时，则它们的温度一定相同。

2、方均根速率
方均根速率：气体分子热运动时，一个与速度有关的平统计均值
=
五、分子间的碰撞 1、平均碰撞频率
任意一个分子单位时间内与其它分子的平均碰撞次数，称为平均碰撞频率。

2Z d vn =
d ：分子有效直径，v ：分子平均速率，：分子数密度。

2、平均自由程
在平衡状态下，由于分子碰撞的随机性，一个分子在连续两次碰撞之间所经过的直线路程（即自由程）不尽相同，将各段自由程取平均值，即为平均自由程，以λ表示。

v Z λ=
= 六、能量均分定理 1、自由度
决定物体在空间位置所需要独立坐标的数目，称为该物体的自由度。

2在温度为T 的平衡态下，气体分子每个自由度的平均动能均为
12kT 。

分子的平均动能：2
k i kT ε= * 注意平均动能、平均平动动能、平均转动动能的区分
3、内能及内能的改变量
物体的内能：任何宏观物体（气体、液体、固体）除了整体作宏观运动而具有机械能
外，物体内部由于分子、原子的运动所具有的能量，叫做物体的内能；从微观角度来看，系统的内能包括分子热运动能量、分子间的相互作用势能，分子和原子内部运动的能量，以及电场能和磁场能等。

在温度不太高的情况下，对一定质量的气体分子组成的系统，内能是系统内分子热运
动动能和分子间相互作用势能的总和；系统内能是温度（T ）和体积（V ）的函数，即：(,)E E T V =。

理想气体的内能：组成系统的所有分子的热运动的总动能之和。

22
i i E NkT RT ν=
= 理想气体的内能E 是温度的单值函数：()E E T = 内能的改变量：决定于系统的始未状态，与系统经历的过程无关。

2
i E R T ν∆=∆ 物体的内能不同于机械能，物体的内能和机械能之间可以互相转换。

【典型例题】
【例12-1】某容器内装有质量为0.1kg 、压强为10atm 、温度为470C 的氧气。

因容器
漏气，一段时间后，压强减少为原来的5/8，温度为270C 。

求：（1）容器的体积；（2）漏
出了多少氧气。

【解】 根据理想气体的状态方程
漏气前状态：)(102.8331111111m P T R M V RT M V P -⨯==⇒=μ
μ 漏气后状态：)(1066.632
22222kg RT V P M RT M V P -⨯==⇒=μμ )(4.3321kg M M M =-=∆
【例12-2】图例12-2所示容器内，当左边容器温度增到50C ，右边气体增到300C 时，中央水银是否会移动？如何移动？
【解】 由理想气体的状态方程，
在初始状态：
左边气体：1111RT M V P μ= 右边气体：2222RT M V P μ
=
水银处于中央平衡位置时：1212,P P V V ==
由以上各式可求：1221M T M T =
对未状态： 左边气体：'11'1'1RT M V P μ= 右边气体：'22
'2'2RT M V P μ=
平衡时：'1'2P P =
由以上各式得： '''11121'''222122932780.98471273303
V M T T T V M T T T ===⨯=< 故水银向左边移动少许。

【例12-3】有3210-⨯m 3的刚性双原子理想气体，内能为26.7510⨯J 。

（1）求该气体的压强；
（2）设分子总数为235.410⨯个，求分子的平均平动动能及气体的温度。

【解】 （1）由理想的的压强、内能和温度的关系P nkT =、2
i E NkT =得： 52 1.3510E P iV
=
=⨯（Pa ） （2）分子的平均平动动能为：3/2t kT ε=，故：
21537.510()25t E E NkT J N ε-=⇒==⨯ 2362()5E T K NkT
== 【例12-4】容器内有1mol 的氮气，压强为1.33Pa ，温度为70C.求：（1）1m 3氮气的分子数；（2）容器中氮气的密度；（3）1m 3
氮气中，分子的总平动动能。

【解】 视氮气为刚性双原子分子：3t =、2r =，5i =
（1）1m 3氮气的分子数：203.4410PV P nkT n kT
=⇒=
=⨯个 （2）容器中N 2的密度：M PV RT μ
= 531.610(/)M P kg m V RT μρρ-=⇒==⨯ （3）1m 3氮气（N 2）气中，分子的总平动动能333222
k NkT RT PV εν=== 32()2k PV J ε⇒=≈
例12-2图 0 度 氮气 氦气 0 度 0 0
【分类习题】
一、选择题
1．一个容器内贮有1mol 氢气和1mol 氦气，若两种气体各自对器壁产生的压强分别为
p 1和p 2，则两者的大小关系是[ ]
（A ） p 1＞p 2 . （B ） p 1＜p 2 . （C ） p 1= p 2 . （D ）不确定的.
2．关于温度的意义，有下列几种说法：
（1）气体的温度是分子平动动能的量度.
（2）气体的温度是大量气体分子热运动的集体表现，具有统计意义.
（3）温度的高低反映物质内部分子运动剧烈程度的不同.
（4）从微观上看，气体的温度表示每个气体分子的冷热程度.
上述说法中正确的是[ ]
（A ）（1）、（2）、（4） . （B ）（1）、（2）、（3） .
（C ）（2）、（3）、（4） . （D ）（1）、（3）、（4） .
3．一容器内装有N 1个单原子理想气体分子和N 2个刚性双原子理想气体分子，当该系
统处在温度为T 的平衡态时，其内能为[ ]
（A ）（N 1+N 2) [(3/2)kT+(5/2)kT]. （B ）(1 /2 ) (N 1+N 2) [(3/2)kT+(5/2)kT].
（C ）N 1(3/2)kT+ N 2(5/2)kT. （D ）N 1(5/2)kT+ N 2(3/2)kT.
4．温度、压强相同的氦气和氧气，分子的平均动能ε和平均平动动能w 正确的是[ ]
(A) ε和w 都相等。

(B) ε相等，而w 不等。

(C) w 相等，而ε不相等。

(D) ε和w 都不相等。

5、下列各式中哪一式表示气体分子的平均平动动能？（试中M 为气体的质量，m 为气
体分子的质量，N 为气体分子的总数目，n 为气体分子数密度，0N 为阿伏伽得罗常数）[ ]
（A ）
PV M m 23 （B ）PV M M 23 （C ）nPV 23 （D ）PV N M
M 023 6、理想气体的内能是状态的单值函数,下面对理想气体内能的理解错误的是[ ]
(A) 气体处于一定状态，就具有一定的内能；
(B) 对应于某一状态的内能是可以直接测量的；
(C) 当理想气体的状态发生变化时，内能不一定随之变化；
(D) 只有当伴随着温度变化的状态变化时，内能才发生变化；
7．一容器贮有某种理想气体，其分子平均自由程为λ0，当气体的热力学温度降到原来
的一半，但体积不变，分子作用球半径不变，则此时平均自由程为[ ] （A ）λ0 / 2. （B ）λ0 . （C ）2λ 0. （D ）λ0 /2.
8．气缸内盛有一定量的氢气（可视作理想气体），当温度不变而压强增大一倍时，氢气分子的平均碰撞次数Z 和平均自由程λ的变化情况是[ ]
（A ）Z 和λ都增大一倍. （B ）Z 和λ都减为原来的一半.
（C ）Z 增大一倍而λ减为原来的一半. （D ）Z 减为原来的一半而λ增大一倍.
9．在一个容积不变的容器中，储有一定量的理想气体，温度为0T 时，气体分子的平均速率为0v ，分子平均碰撞次数为0Z ，平均自由程为0λ。

当气体温度升高为04T 时，气体分子的平均速率为v ，平均碰撞次数z 和平均自由程λ分别为[ ] (A) 04v v =，04Z Z =，04λλ=。

(B) 000,2,2λλ===Z Z v v 。

(C) 0004,2,2λλ===Z Z v v 。

(D) 000,2,4λλ===Z Z v v 。

二、填空题
1．某理想气体在温度为27℃和压强为21.010-⨯atm 情况下，密度为11.3g ⋅m -3，则这
气体的摩尔质量mol M ＝ 。

[摩尔气体常量R ＝ 8.31 (J·mol 1-·K 1-)]
2
450=m/s ，气体压强为4
710P =⨯Pa ，则
该气体的密度为ρ= 。

3．如图12.1所示，两个容器容积相等，分别储有相同质量的N 2和O 2气体，它们用光滑细管相连通，管子中置一小滴水银，两边的温度差为30K ，当水银滴在正中不动时，N 2和O 2的温度为
2N T ，2O T = .（ N 2的摩尔质量为32810-⨯kg/mol ，O 2的摩尔质量为33210-⨯kg/mol.）
4．常温下（将分子看作刚性分子），单原子理想气体分子的自由度为 ， 双
原子理想气体分子的自由度为 ， 多原子理想气体分子的自由度为
5．自由度为i 的一定量刚性分子理想气体，当其体积为V 、压强为p 时，其内能
E = .
6．分子平均动能2/ikT =ε的适用条件是 。

室温下，mol 1双原子理
想气体分子的压强为P ，体积为V ，求此气体分子的平均动能为 。

7．容积为10升的容器内，充满50g 、18℃的氢气，当它以200s m /匀速运动时忽
然停止，全部定向运动的动能转化为气体分子热运动动能，容器与外界无热交换，则达到平衡后，氢气的温度增加了 K ；压强增加了 Pa ；分子的平均平动动能增加了 J 。

8．理想气体经等压过程由体积0V 膨胀到02V ，求下列物理量末状态与初状态之比：平均自由程=0
λλ ，平均速率=0v v ，平均动能=0εε 。

三、计算题 1．一瓶氢气和一瓶氧气温度相同，若氢气分子的平均平动动能为216.2110-⨯J 。

试求：
氧气分子的温度、平均平动动能和方均根速率。

2．当氢气和氦气的压强、体积和温度都相等时， 求它们的质量比M (H2) /M (He) 和内能
比E (H2)/ E (He) ，将氢气视为刚性双原子分子气体。

3．容积为21.210V -=⨯m 3的容器储有氧气，压强58.3110P =⨯Pa ，温度为300K ，
求：（1）单位体积中的分子数n ；（2）分子的平均平动动能；（3）气体的内能。

4．质量为0.1kg ，温度为27℃的氮气，装在容积为0.01m 3的容器中，容器以100u =m/s
的速率作匀速直线运动，若容器突然停下来，定向运动的动能全部转化为分子热运动的动能，则平衡态氮气的温度和压强各增加了多少？
图12.1
5．标准状况下，氮气的平均碰撞频率和平均自由程分别为Hz 81042.5⨯和cm 6
106-⨯。

若温度不变，气压降为0.1atm ，则其平均碰撞频率和平均自由程各为多少？
§12-2 麦克斯韦—玻耳兹曼分布定律
【基本内容】
处于热动平衡态下，一定量的气体分子，由于无规则热运动和频繁碰撞，单个分子的
速度大小和方向随机变化不可预知；1859年，麦克斯韦指出：对大量气体分子整体，在一定温度的平衡态下，它们的速度分布遵循一定的统计规律。

一、麦克斯韦速率分布律
研究在平衡态下，理想气体分子按速率分布的规律。

1、麦克斯韦速率分布函数 ()v dN f v Ndv =
由统计规律可求：23/2/2()4()2mv kT m f v e kT
π-= ()f v ：表示速率在v 附近的单位速率区间内的分子
数占总分子数的百分比；或：一个分子速率出现在v 附
近的单位速率区间内的概率。

2、麦克斯韦速率分布律曲线
如图12.2所示，特征：
0v =时，()0f v =；v →∞时，()0f v → 小矩形面积的意义：()v dN f v dv N =表示在速率区间v v dv →+内的分子数占总分子数的百分比。

整个曲线下面积的意义：表示速率在0→∞区间内的分子数占总分子数的百分比为1。

归一化条件： 0()1f v dv ∞
=⎰
3、最可几速率（最概然速率）
麦克斯韦速率分布函数()f v 为极大值处所对应的速率值p v 。

表示：在相同速率区间内，p v 所在区间内的分子数占总分子数的百分比最大。

p v =
=4、统计平均值
若微观量()g g v =，则其统计平均值为 0()()()g v f v g v dv ∞=
⎰ 若在区间12v v →内求()g v 的统计平均值，则；2121()()()()v v v v f v g v dv
g v f v dv
=⎰⎰
5、气体分子的特征速率
最可几速率：讨论气体分子速率分布：p v =
==
图12.2
0P
平均速率：讨论气体分子平均自由程：v===
===
p
v v
>>
二、玻耳兹曼分布定律
1、状态空间
当以速度和位置来确定分子的运动状态时，由x、y、z及v x、v y、v z为相互垂直的坐标构成一坐标系，该坐标系所代表的空间叫状态空间。

2、分子按能量的分布定律：玻耳兹曼分布定律
在温度为T的平衡态下，在状态空间
x y z
dv dv dv dxdydz内的分子数为：
()/
3/2
()
2
k p
E E kT
x y z
m
dN n e dv dv dv dxdydz
kT
π
-+
=
k
E、
p
E：表示分子的动能和势能。

n：表示E p =0处的分子数密度。

3、分子按势能的分布定律
在温度为T的平衡态下，分子数密度为：/
p
E kT
n n e-
=
推论：重力场中，分子按高度的分布定律//
00
mgh kT gh RT
n n e n eμ
--
==
恒温气压公式：/
gh RT
P Peμ-
=
【分类习题】
一、选择题
1．如图12.3所示的两条平衡态下理想气体的麦克
斯韦速率分布曲线，则以下说法正确的是[ ]
（A）当它们表示同种理想气体不同温度的麦克斯
韦速率分布曲线时，温度T1>T2；当它们表示不同种理
想气体相同温度的麦克斯韦速率分布曲线时，分子质
量m1>m2，
（B）当它们表示同种理想气体不同温度的麦克斯
韦速率分布曲线时，温度T1<T2；当它们表示不同种理想气体相同温度的麦克斯韦速率分布曲线时，分子质量m1>m2，
（C）当它们表示同种理想气体不同温度的麦克斯韦速率分布曲线时，温度T1>T2；当它们表示不同种理想气体相同温度的麦克斯韦速率分布曲线时，分子质量m1<m2，（D）当它们表示同种理想气体不同温度的麦克斯韦速率分布曲线时，温度T1<T2；当它们表示不同种理想气体相同温度的麦克斯韦速率分布曲线时，分子质量m1<m2，2．麦克斯韦速率分布曲线如图12.4所示，图中A、B
两部分面积相等，则该图表示[ ]
（A）v0为最可几速率. （B）v0为平均速率.
（C）v0为方均根速率.
（D）速率大于和小于v0的分子数各占一半.
3．图12.5所示的速率分布曲线，哪一选项中的两条曲
线是同一温度下氮气和氦气的分子速率分布曲线？[ ]
图12.4
图12.3
4．两瓶质量密度ρ相等的氮气和氧气，若它们的方均根速率也相等，则[ ]
（A ）它们的压强P 和温度T 都相等，
（B ）它们的压强P 和温度T 都都不等，
（C ）压强P 相等，氧气的温度比氮气的高，
（D ）温度T 相等，氧气的压强比氮气的高.
二、填空题
1．已知气体分子总数N ，用速率分布函数()f v 表示：速率在21v v →区间内分子的
平均速率为 ；速率大于0V 的分子几率为 ；设分子质量为m ，则()dv v Nf mv v v 22
12
1⎰的意义是 。

2．图12.5表示相同温度下，氦气和氧气按速率的分布曲线，其中曲线I 表示 分子的速率分布曲线；阴影部分面积的意义是 ；分布曲线下面的面积的意义
是 。

3．若某种理想气体分子的方均根速率12s m 450-⋅=v ，气
体压强为Pa 1074⨯=p ，则该气体的密度为ρ＝ 。

三、计算题 1．一密封房间的体积为533⨯⨯m 3， 室温为20℃，室内
空气分子热运动的平动动能的总和是多少？（已知空气的密度 1.29ρ=kg/m 3，平均摩尔质量3
2910μ-=⨯kg / mol ， 且空气分子可视为刚性双原子分子）
2．许多星球的温度达到K 108。

在这温度下原子已经不存在了，而氢核(质子)是存在的。

若把氢核视为理想气体，求：(1) 氢核的方均根速率是多少？(2) 氢核的平均平动动能是多少电子伏特？(J 106.1eV 119-⨯=，玻尔兹曼常量123K J 1038.1--⋅⨯=k )
图12.5
v (v f (A)v (v f (C)v ()v f (B)(v f v (D)图12.5。