均值-方差

均值-方差理论

马克维茨开创性的提出了证券组合的均值方差模型，将证券及其组合用收益率均值和方差来描述，并在此基础上给出了组合的可行域空间及其有效组合，但是它的缺点就是没有描述在拥有无风险证券的情况下组合的状态，也没有给出期望收益与系统风险之间的关系(只有系统风险才会受到补偿，非系统风险不会得到补偿)，只是给出了一定的期望收益和一定风险会画出怎么样的图形，得到什么样的有效组合，再次就是该模型计算太复杂。

传统的证券投资基金的绩效评价方法孕育于“金融大爆炸”的1952年，即投资组合理论的开端。自美国经济学家马科维茨（Harry Markowtitz）在其《资产选择：有效的多样化》一文中，第一次使用边际分析的原理，用期望收益率（均值）和方差（或标准差）代表的风险来研究投资组合的报酬。这在当时引起了极大反响，属于金融界上里程碑式的伟大发现。它在很大程度上帮助了基金管理公司的基金管理者、经理人们和投资者们合理组合其持有的金融资产，确保在具有一定的风险时还能取得最大的收益。

马科维茨的投资组合理论需要两个重要的假设前提：第一，投资者们都使用预期收益率的均值来衡量未来的实际收益率水平，使用预期收益率的方差或标准差来衡量未来的实际收益率的所需要承担的风险；第二，每个投资者都是风险厌恶者，投资者在追求收益率最大化的同时也在追求风险的最小化，即希望收益率均值越大越好，其方差获标准差越小越好。在满足上述假设条件后，马科维茨发现了收益和风险的度量方法，并建立了均值—方差模型。每一项投资结果都可以用收益率来衡量，投资组合的投资收益率计算公式如下：

（2—1）

其中

表示投资组合P的预期收益率，

表示证券i在投资组合中所占比例，

表示证券

的收益率。

投资组合方差的计算公式如下：

（2—2）

其中

表示投资组合

的方差，

表示

与

的相关系数。

当投资者们只关心收益和风险时，马科维茨的均值—方差模型可以比较精确地计算出收益与风险的大小。当时在20世纪50年代的早期，计算机技术尚未普及，该模型的计算量是相当之大的，故当时仅用于小单位之间，并未广泛运用于大规模市场。

在考虑多项资产的组合时，达到同一预期收益可能的组合有很多种，风险厌恶者将选取风险最小的组合（最小方差组合），这样的组合（不同预期收益）放到

一起，就形成了最小方差边界（minimum variance frontier）（限制条件：预期值、权重之和为1）。这样形成如下图形：

在上面形成的最小方差边界中，有一部分是无效的，因为同一风险情况下，有更加高回报的组合可以选择，因此，有效边界（efficient frontier）就是全球最小方差组合global minimum variance portfolio（上图最左边的一点）上方的部分。这样，选择组合的程序就很简单了，根据投资者的风险承受能力和风险厌恶程度，选择有效边界上的一点，即确定了组合中各类资产的权重。

无差异曲线：

(1) 无差异曲线向右上方倾斜；

(2) 无差异曲线随着风险水平增加越来越陡；

(3) 无差异曲线之间互不相交；

(4) 无差异曲线代表单个投资者对期望收益和风险之间的均衡的个人评估，也就是说，无差异曲线是主观确定的，曲线的形状因投资者的不同而不同．

最优证券组合：

有效边界上位于最靠上的无差异曲线上的证券组合便是所有有效组合中该投资者认为

最满意的组合，即在该投资者看来最优的组合，这一组合事实上就是无差异曲线族与有效边界相切的切点所对应的组合．

马克维茨分别用期望收益率和收益率的方差来度量投资的预期收益水平和风险，建立了均值–方差模型，进而决策．在投资者只关心“期望收益率” 和“方差” 的假设前提下，马克维茨创造的理论和方法是准确和科学的，但是这种理论和方法在实践应用过程中最大的不足是计算量太大，尤其是在规模巨大的市场，在存在上千种证券的情况和一定时间的要求下，运算的实现几乎是不可能的．因而这严重地限制了马克维茨方法的应用空间．

局限性：

1、风险用预期收益率的方差或者标准差来表示，意味着它将高于预期收益率的那部分有益于投资者的变动也划入风险范畴；

2、用方差来度量风险只有在投资收益率的概率分布服从正态分布时才适用，很多实证分析证明了预期收益率是呈非对称分布的；

3、即使收益率是对称均值的，可以想象理性的投资者出于规避风险、避免资产损失的考虑，其效用函数可能赋予负偏差一个大权重，赋予正偏差一个小权重；

4、用方差度量证券投资组合的风险太过简单，因为风险是受很多因素影响的。

这种方法存在一定的问题，即对每项资产的预期值是随着时间变化的，由此有效边界的位置也会随时间变化，而且，在资产种类很多的时候，计算相当复杂。

多样化（diversification）为什么能分散投资风险呢? 回顾一下方差的公式，答案就很清楚了，在相关系数不为1的时候，组合的标准差总是小于各项资产标准差相应权重的和。但是，多样化的效果取决于两个方面：

第一，资产间的相关系数。相关系数越小，多样化收益越大。（方差越小）

第二，资产数目越多，多样化收益越大，但加速度越来越慢，越来越接近整个市场的风险。（也就是多样化效果越来越小，这也是投资基金一般不会选取整个市场，而是选取几十只股票进行组合的原因）。