均值-方差
均值方差分析方法
（2）各种证券投资组合的预期收益率：
4
R P X iR i 1 % 8 4 % 0 6 % 5 % 0 3 0 9 3 % 7 6 % 7 3 .9 % 4 i 1
Return
.
23
二、资产组合的风险与收益衡量
2、组合资产的风险 ➢（1）两种证券组合的风险测定 ① 协方差：两种证券收益变动相互关系的指标 若以A、B两种证券组合为例，则其协方差为：
.
Return 12
二、资产组合的风险与收益衡量
（一）单项资产的投资风险与期望收益
1、不确定条件下的期望收益（均值）：各种可能结 果的期望值（通常用E(X)表示），即所有可能的收益值 与其发生的概率的乘积。
离散型概率分布的期望值：
n
E(X) P(Xi)Xi i1
其中，Xi为随机事件的值，P(Xi)为随机事件i发生的 概率
.
13
二、资产组合的风险与收益衡量
例1：现有S和U两项资产收益率概率分布情况如下 表所示:
资产的收益状况
资产的收益率
经济状况 概 率
S
U
繁荣 0.2
0.25 0.05
适度增长 0.3
0.20 0.10
缓慢增长 0.3
0.15 0.15
衰退 0.2
0.10 0.20
S、U两资产的期望收益率分别为： 17.5E％(RS)＝0.2X0.25+0.3X0.20+0.3X0.15+0.2X0.10＝ 12.5E％(RU)==0.2X0.05+0. .3X0.10+0.3X0.15+0.2X0.2614＝
E（Rp）= XA E（RA） +XBE（RB）
均值与方差的关系公式
平均方差是标准偏差。
而方差和标准差都是一组(一维)数据的统计，反映的是一维数组的离散程度；协方差是对二维数据进行的，反映的是两组数据之间的相关性。
与标准差和均值的量纲(单位)一致，标准差比方差更方便描述一个波动范围。
方差可以看作是协方差的一个特例，即两组数据是相同的。
协方差只表示线性相关的方向，取值范围从正无穷大到负无穷大。
一、均方差公式均值方差的公式为：s=((x1-x的平均值)2(x2-x的平均值)2(x3-x的平均值)^2 ……(xn-x的xn-x平均值)2)/n的算术平方根，其中xn表示第n个元素。
均值方差，又称标准差，是指偏离均方的算术平均值的算术平方根。
均方差的定义均值方差，也称为标准差或标准差，是偏离均方的算术平均值的算术平方根。
均方差是概率统计中最常用的统计分布的度量基础。
标准差可以反映数据集的离散程度。
均值相同的两组数据的标准差可能不一样。
均方差反映了群体内个体间的分散程度。
原则上，测量分布程度的结果具有两个性质：1 .它是非负值，与测量数据具有相同的单位。
2.总量或随机变量的标准偏差与样本子集的标准偏差之间存在差异。
二、均方差怎么计算计算均方差，要看样本量是等概率还是概率。
如果没有概率，直接计算离差平方=(样本量-平均值)，然后对样本量离差平方求和，除以(样本数-1)，再开根号，就是标准差。
如果有概率，计算总数时只需要考虑加权平均，不用除以数-1，直接开根号即可。
三、什么是最小均方差准则最小均方误差准则是最小均方误差准则，即选取一组时域采样值，采用最小均方误差算法使均方误差最小，从而达到更优设计。
这种方法着眼于整个频率范围内总误差的全局最小，但不能保证局部频点的性能，有些频点可能会有较大的误差。
均值-方差
均值-方差理论马克维茨开创性的提出了证券组合的均值方差模型，将证券及其组合用收益率均值和方差来描述，并在此基础上给出了组合的可行域空间及其有效组合，但是它的缺点就是没有描述在拥有无风险证券的情况下组合的状态，也没有给出期望收益与系统风险之间的关系(只有系统风险才会受到补偿，非系统风险不会得到补偿)，只是给出了一定的期望收益和一定风险会画出怎么样的图形，得到什么样的有效组合，再次就是该模型计算太复杂。
传统的证券投资基金的绩效评价方法孕育于“金融大爆炸”的1952年，即投资组合理论的开端。
自美国经济学家马科维茨（Harry Markowtitz）在其《资产选择：有效的多样化》一文中，第一次使用边际分析的原理，用期望收益率（均值）和方差（或标准差）代表的风险来研究投资组合的报酬。
这在当时引起了极大反响，属于金融界上里程碑式的伟大发现。
它在很大程度上帮助了基金管理公司的基金管理者、经理人们和投资者们合理组合其持有的金融资产，确保在具有一定的风险时还能取得最大的收益。
马科维茨的投资组合理论需要两个重要的假设前提：第一，投资者们都使用预期收益率的均值来衡量未来的实际收益率水平，使用预期收益率的方差或标准差来衡量未来的实际收益率的所需要承担的风险；第二，每个投资者都是风险厌恶者，投资者在追求收益率最大化的同时也在追求风险的最小化，即希望收益率均值越大越好，其方差获标准差越小越好。
在满足上述假设条件后，马科维茨发现了收益和风险的度量方法，并建立了均值—方差模型。
每一项投资结果都可以用收益率来衡量，投资组合的投资收益率计算公式如下：（2—1）其中表示投资组合P的预期收益率，表示证券i在投资组合中所占比例，表示证券的收益率。
投资组合方差的计算公式如下：（2—2）其中表示投资组合的方差，表示与的相关系数。
当投资者们只关心收益和风险时，马科维茨的均值—方差模型可以比较精确地计算出收益与风险的大小。
当时在20世纪50年代的早期，计算机技术尚未普及，该模型的计算量是相当之大的，故当时仅用于小单位之间，并未广泛运用于大规模市场。
均值与方差的计算公式
均值与方差的计算公式均值和方差是数学中经常使用的重要概念，可用于描述数据的分布和变化程度。
均值是一组数据的平均值，方差是数据与其平均值的差的平方和的平均值。
在这篇文章中，我们将详细介绍这两个概念的计算方法和含义，帮助您更好地理解和应用它们。
均值 - 数据的中心点均值是一组数据的平均值，是数据的中心点，通常用符号μ表示。
计算均值的方法是将所有数据加起来，然后除以数据数量。
可以用以下公式计算均值：μ = (x1 + x2 + ... + xn) / n其中，x1、x2、...、xn是数据，n是数据数量。
例如，有一组数据为1、2、3、4、5，我们可以使用上述公式计算这些数据的均值如下：μ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) / 5 = 3因此，这组数据的均值是3。
均值是一个重要的统计指标，可以帮助我们了解一组数据的数据中心和分布情况。
在数据分析和研究中，均值可以用来研究数据的特征，并用来比较和推断不同数据集之间的差异。
方差 - 数据的离散程度方差是一组数据与其均值之间差的平方和的平均值，可用来衡量数据的离散程度。
这是一个非常重要的概念，因为它可以帮助我们了解数据变量之间的差异，从而更好地理解数据。
方差的计算公式是：σ^2 = [(x1 - μ)^2 + (x2 - μ)^2 + ... + (xn - μ)^2] / n其中，x1、x2、...、xn是数据，μ是这些数据的均值，n是数据的数量。
例如，如果我们有一组数据为2、4、6、8、10，我们可以使用上述公式计算这些数据的方差如下：μ = (2 + 4 + 6 + 8 + 10) / 5 = 6σ^2 = [(2-6)^2 + (4-6)^2 + (6-6)^2 + (8-6)^2 + (10-6)^2] / 5= [16 + 4 + 0 + 4 + 16] / 5= 8因此，这组数据的方差是8。
方差为正数，通常用来度量数据的离散程度。
使用方差，我们可以比较两组数据之间变量的差异。
方差和均值的公式
方差和均值的公式方差和均值的公式统计学中，方差和均值是两个常见而重要的概念。
对于任何一组数据，它们能够展现出该数据的集中程度和分散程度。
在本文中，我们将学习方差和均值的公式以及如何运用它们进行数据分析。
均值的公式均值，又称平均数，是指所有数据的算术平均值。
它是一组数据最基本的描述性统计量，可以用来表示数据的集中程度。
均值的公式为：$$\bar{x} =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$$其中，$\bar{x}$ 表示均值，$n$表示数据的个数，$x_i$表示数据中第i个值。
用这个公式，我们可以计算出给定数据的平均值。
举个例子，若有一组数据：3，5，9，11，13，21。
我们可以使用公式计算出它们的均值：$$\bar{x} = \frac{3 + 5 + 9 + 11 + 13 + 21}{6} = \frac{62}{6} = 10.33$$因此，这个数据的均值为10.33。
方差的公式方差是用来表示一组数据的离散程度或分散程度的概念。
方差的值越大，表示该组数据的离散程度越大，反之则表示离散程度越小。
方差的公式为：$$S^2 =\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n-1}$$其中，$S^2$表示方差，$\bar{x}$表示均值，$n$表示数据的个数，$x_i$表示数据中第i个值。
用这个公式，我们可以计算出给定数据的方差。
为什么公式中要除以$n-1$而不是$n$呢？这是因为$n-1$可以使得计算结果更加精确。
当只有一个数据集合时，我们无法对该集合的方差进行计算，因此只能使用 $n$ 除以 $n-1$ 进行近似计算。
接着上述例子，我们来计算这个数据的方差：$$S^2 = \frac{(3-10.33)^2 + (5-10.33)^2 + (9-10.33)^2 + (11-10.33)^2 + (13-10.33)^2 + (21-10.33)^2}{6-1} = \frac{223.2}{5} = 44.64$$因此，这个数据的方差为44.64。
均值–方差准则
均值–方差准则
方差是均值准则的未来，可以解决的问题比均值准则要多。
均值准则是建立在简单的统计
学和经济理论基础上的，它实际上是一种贪心算法：实时估计系统中的所有变量的期望值，并做出最适当的抉择。
然而，它只考虑了简单的统计学，而忽略了更加深入、复杂的考虑
因素，比如变量之间的相关性、数据误差、微小却又影响最终结果的变量等。
因此，方差准则被引入，它是建立在比简单统计学更复杂的数学理论基础上的。
方差准则
的目的是最小化系统中变量之间的差异，也就是说，它强调变量之间的一致性，即变量差
异越小，系统效果越好。
由于考虑了变量之间的相关性、数据误差、微小变量等复杂因素，因此方差准则比均值准则更加精准，可以很好地满足客户的需求。
总之，方差准则是一种更加先进更加精准的均值准则，它可以更好地考虑变量之间的相关性、数据误差以及微小变量等复杂因素，从而更好地满足客户的需求。
方差和均值关系
方差和均值关系嘿，朋友们！今天咱来唠唠方差和均值这对好“兄弟”。
你说这方差啊，就像是班级里的捣蛋鬼，一会儿上蹿下跳，一会儿又安静得让人觉得奇怪。
它呀，专门衡量数据的离散程度。
啥叫离散程度呢？简单说就是数据们有多不老实，是老老实实排排站呢，还是到处乱跑。
那均值呢，就像是班里的好好学生，稳稳当当的，代表着数据的平均水平。
咱就打个比方吧，你去买苹果，这苹果有大有小，那怎么知道这一堆苹果的平均大小呢？这均值就派上用场啦！咱想想啊，如果一堆数据的方差很小很小，那说明啥？说明这些数据都跟均值很亲近呀，都围在均值身边，没怎么乱跑。
就好比一个很乖的班级，同学们都安安静静地学习，没什么调皮捣蛋的。
可要是方差很大呢？那不得了，这些数据就像撒了欢的野马，离均值老远老远了。
就像一个班级里，有特别调皮的孩子，到处捣乱，和好好学生差距老大了。
你说这方差和均值的关系多有意思啊！它们俩就像一对欢喜冤家。
有时候方差大了，均值就有点孤零零的，好像在喊：“你们都回来呀！”有时候方差小了，均值就挺得意：“嘿嘿，看你们多听话。
”咱过日子不也这样嘛！有时候生活平稳得很，每天都差不多，这就像方差小，均值能很好地代表我们的生活状态。
可有时候呢，突然发生个大事，一下子就把生活搅得乱七八糟，这方差不就大了嘛！再比如咱上班挣工资，要是每个月都差不多，那均值就能反映出你的收入水平。
可要是这个月发了好多奖金，下个月又没啥收入，这方差可就大了去了。
那你能光看均值说自己收入咋样吗？肯定不行啊！所以说啊，方差和均值这俩家伙，咱可得好好研究研究。
别光看均值就觉得万事大吉了，还得瞅瞅方差，看看数据到底稳不稳定。
这就跟咱看人一样，不能光看表面，还得了解了解他平时到底是啥样，性格稳不稳定。
总之呢，方差和均值这对组合，在生活中到处都能看到它们的影子。
咱可得把它们弄明白，这样才能更好地理解周围的世界，不是吗？你说呢？。
第8章 均值-方差分析
第8章 均值－方差分析
本章制作：陈召洪
本章大纲
偏好与分布 证券组合前沿 证券组合前沿的一些数学性质
8.1 偏好与分布
一般来说，仅仅用证券组合的预期回报率和预期回报率的 方差并不能包含经济行为主体投资行为所需的全部信息。
但是马可维茨通过效用函数和投资收益的分布作了相应假 设之后证明，经济行为主体的预期效用能够仅仅表示为证 券组合的预期回报率和预期回报率的方差的函数。
全刻画，我们必须假定经济行为主体的效用函数是一
个二次型效用函数，即经济行为主体的效用函数或以
表达为 u(z)z(b2)z2
。
此时 E[R3]0
于是经济行为主体的预期效用可以由时期1的财富变 量的两个中心矩来定义
E [ u ( w ~ ) ] E [ w ~ ] b (E [ ( w ~ ]2 )2 ( w ~ )) ( 8 .2 ) 2
h p g w [ ~ r p ] E ( 8 .8 )
其中 g 1D [B (V 1 1 )A (V 1 e)]
w 1D [C (V 1 e)A (V 1 1 )]
从以上（8.8）式人们可以看出， g 是预期收益率为0
的前沿证券组合的权重向量； gw是预期收益率为1
率严格大于最小方差证券组合收益率 A C 的证券组合称之为有
效证券组合；
无效证券组合：那些既不是有效证券组合，又不是最小方差组合 的证券组合称之为无效证券组合。
前沿证券的线性组合也落在证券前沿上。
任意一支有效证券组合的凸组合仍然是一支有效证券组合。因此 有效证券组合的集合是一个凸组合。
8.3 证券组合前沿的一些数学性质
关系式（8.20）、（8.21）、（8.23）是等价的关系式。
均值、方差、标准方差、协方差和相关系数
均值、方差、标准方差、协方差和相关系数均值、方差、标准方差、协方差和相关系数是统计学中常用的概念，能够帮助我们更好地理解和描述数据的分布特征以及不同变量之间的关系。
一、均值均值是一组数据中各个数值的平均数。
它是描述数据集中趋势的一种方式，通过计算所有数据点的总和，然后除以数据点的个数来得到。
二、方差方差是衡量一组数据中数据点与其均值之间差异程度的度量。
它是各个数据点与均值差的平方的平均值。
方差越大，说明数据点与均值之间的离散程度越高。
三、标准方差标准方差是方差的平方根。
它衡量数据集中的观测值与均值之间的差异程度，并将其以与原始数据相同的单位进行测量。
标准方差可以帮助我们评估数据集的离散性。
四、协方差协方差是衡量两个变量之间关系的统计量。
它描述了这两个变量的变化趋势是否同向或反向。
具体地说，协方差是各个变量的差与其均值差的乘积的平均值。
协方差公式为：cov(X, Y) = E((X - E(X))(Y - E(Y)))E表示期望，X和Y分别代表两个变量。
五、相关系数相关系数是衡量两个变量之间关系强度和方向的数值。
它取值范围为-1到1之间，接近1表示两个变量正相关，接近-1表示两个变量负相关，接近0表示两个变量没有线性相关性。
相关系数公式为：cor(X, Y) = cov(X, Y) / [σ(X) * σ(Y)]cov(X, Y)表示X和Y的协方差，σ(X)表示X的标准方差，σ(Y)表示Y的标准方差。
相关系数的绝对值越接近于1，表示两个变量之间的线性关系越强。
如果相关系数为0，说明两个变量之间没有线性关系。
以上是关于均值、方差、标准方差、协方差和相关系数的基本介绍。
它们是统计学中常用的工具，能够帮助我们更好地理解和分析数据。
在实际应用中，我们可以利用这些统计量来描述数据的分布特征和变量之间的关系，并进行相应的推断和决策。
均值-方差分析方法讲解
（2）各种证券投资组合的预期收益率：
RP X i Ri 18% 40% 6% 50% 39 0 37% 67% 34.99%
i 1 4
Return
二、资产组合的风险与收益衡量
2、组合资产的风险 （1）两种证券组合的风险测定
① 协方差：两种证券收益变动相互关系的指标
σAB代表A、B两种证券收益率的协方差。
二、资产组合的风险与收益衡量
注： 协方差>0，则两种证券的回报率正相关
协方差<0，则两种证券的回报率负相关
协方差=0，则两种证券没有任何互动关系
二、资产组合的风险与收益衡量
② 相关系数（测量两种股票收益共同变动的趋势 ） ：协方差的标准化
AB
COV ( A, B)
在 -1和 +1之间的相关性可减 少风险但不是全部
A B
1 AB 1
相关系数的符号取决于协方差的符号：
AB 0 ，两个变量负相关 1 ，完全负相关
AB
AB 0 ，两个变量完全不相关
AB 0 ，两个变量正相关 AB 1 ， 完全正相关
二、资产组合的风险与收益衡量
1、组合资产的收益
（1）两种证券形成的投资组合的收益率的测定
投资者将资金投资于A、B两种证券，其投资比重分 别为XA和XB，XA+XB=1，则两证券投资组合的预期收益 率Rp等于每个预期收益率的加权平均数，即： E（Rp）= XA E（RA） +XBE（RB）
其中：Rp代表两种证券投资组合预期收益率；
均值-方差分析方法
一、均值-方差分析的一般性释义
（一）问题的提出 Markowitz(1952)发展了一
均值-方差等
均值-方差等样本均值样本均值又叫样本均数。
即为样本的均值。
均值是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数。
它是反映数据集中趋势的一项指标。
例如 1、2、3、4 四个数据的均值为（1+2+3+4）/4=2.5。
样本（sample），是指从总体中抽出的一部分个体。
样本中所包含个体数目称样本容量或含量，用符号N或n表示。
总体（population）是指客观存在的，并在同一性质的基础上结合起来的许多个别单位的整体，即具有某一特性的一类事物的全体，又叫母体或全域。
简单地说，总体也就是我们所研究的性质相同个体的总和。
样本是受审查客体的反映形象或其自身的一部分。
按一定方式从总体中抽取的若干个体，用于提供总体的信息及由此对总体作统计推断。
又称子样。
例如因为人力和物力所限，不能每年对全国的人口进行普查，但可以通过抽样调查的方式来得到需要的信息。
从总体中抽取样本的过程叫抽样。
最常用的抽样方式是简单随机抽样，按这种方式抽样，总体中每个个体都有同等的机会被抽入样本，这样得到的样本称简单随机样本。
样本的平均值称样本均值，样本偏离样本均值的平方的平均值称为样本方差，在数理统计中，常常用样本均值来估计总体均值，用样本方差来估计总体方差。
样本方差样本方差定义样本方差样本关于给定点x在直线上散布的数字特征之一，其中的点x称为方差中心。
样本方差数值上等于构成样本的随机变量对离散中心x之方差的平方和。
设X、，…，各是同分布实随机变量，点x是选定的方差中心(x〔R’)。
那么，量s。
(x)=艺(x一x)z 称为关于点x的样本方差(sample variance)，由于s。
(x)=s。
(见)+n(无一x)，)s。
(无)二s。
，其中了二(X、+…十戈)加，可见当x二了时关于x 的样本方差取最小值.较小的S。
说明样本元素关于见集中；相反，较大的S。
说明样本元素分散，样本方差的概念，可以自然地推广到多维样本的样本协方差矩阵。
方差定义，设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]^2}存在，则称E{[X-E(X)]^2}为X的方差，记为V（X），是衡量一组数据的离散程度的统计量编辑本段样本方差计算方法设X1 ,X2,…,Xn是一个样本，S^2=sum((xi-E(x))^2)/(n-1)称为样本方差，其中E(x)是样本均值。
均值--方差模型(金融经济学导论-对外经济贸易大学
异常年份
股市的牛市
股市的熊市
糖的生产危机
概率
0.5
0.3
0.2
收益率
10
-5
20
一、价格与回报率
对于单期投资而言，假设你在时间0（今天）以价格S0购买一种资产，在时间1（明天）卖出这种资产，得到收益S1。那么，你的投资回报率为 r=(S1-S0)/S0 。对于证券组合而言，它的回报率可以用同样的方法计算：
注4 均值-方差模型不是一个资产选择的一般性模型。它在金融理论中之所以扮演重要的角色，是因为它具有数理分析的简易性和丰富的实证检验。
第二节 证券收益与风险的度量及证券组合的风险分散化效应
一、价格与回报率二、期望收益率三、方差四、协方差五、相关系数六、证券组合的方差 、协方差和风险的分散化
一个资产组合预期收益和风险的案例
四、二次效用函数和市场的资产回报率服从正态分布
M-V模型以资产回报的均值和方差作为选择对象，但是一般而言，资产回报和方差不能完全包含个体做选择时的所有个人期望效用函数信息。在什么条件下，期望效用分析和均值方差分析是一致的？
假设2或假设3之一成立可保证期望效用仅仅是财富期望和方差的函数
假设个体的初始财富为W0,个体通过投资各种金融资产来最大化他的期末财富 .设个体的VNM效用函数为u,在期末财富的期望值这点，对效用函数进行Taylor展开
二、证券的期望收益率
第一个概念：单个证券的期望值定义为：
式中：
E(r)－收益率期望值；
R(s)－s状态下的收益率；
Pr(s)－r(s)状态的发生概率
或者;E(rp)=X’E(r)第二个概念：一个证券组合的预期收益率：是其所含证券的预期收益率的加权平均，以构成比例为权重.每一证券对组合的预期收益率的贡献依赖于它的预期收益率，以及它在组合初始价值中所占份额，而与其他一切无关。那么，一位仅仅希望预期收益率最大的投资者将持有一种证券，这种证券是他认为预期收益率最大的证券。很少有投资者这样做，也很少有投资顾问会提供这样一个极端的建议。相反，投资者将分散化投资，即他们的组合将包含不止一种证券。这是因为分散化可以减少由标准差所测度的风险。
均值和方差的字母
均值和方差的字母
均值和方差的字母分别是μ和σ²。
均值是一组数据的平均数，也就是将所有数据相加后除以数据个数得
到的结果。
用字母μ表示，它是统计学中最基本的概念之一。
均值可
以用来描述一组数据的集中趋势，它越大表示数据越集中在均值附近，越小表示数据越分散。
方差是一组数据与其均值之差的平方和的平均数，用字母σ²表示。
方
差可以用来描述一组数据的离散程度，它越大表示数据越分散，越小
表示数据越集中在均值附近。
方差的平方根被称为标准差，用字母σ
表示，它是衡量数据离散程度的常用指标。
均值和方差是统计学中最基本的概念之一，它们在数据分析和建模中
扮演着重要的角色。
在实际应用中，我们经常需要计算一组数据的均
值和方差，以便更好地理解数据的特征和规律。
例如，在金融领域中，我们可以用均值和方差来描述股票价格的波动情况，以便进行风险管
理和投资决策。
除了均值和方差，统计学中还有许多其他的概念和指标，例如中位数、众数、标准差等。
这些概念和指标可以帮助我们更全面地理解数据的
特征和规律，从而更好地应用于实际问题中。
总之，均值和方差是统计学中最基本的概念之一，它们在数据分析和建模中扮演着重要的角色。
了解均值和方差的概念和计算方法，可以帮助我们更好地理解数据的特征和规律，从而更好地应用于实际问题中。
统计学基础：均值与方差
统计学基础：均值与方差统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科，它在各个领域都有广泛的应用。
在统计学中，均值和方差是两个重要的概念，它们用于描述数据的集中趋势和离散程度。
本文将介绍均值和方差的概念、计算方法以及它们在实际问题中的应用。
一、均值均值是一组数据的平均值，它是描述数据集中趋势的一个重要指标。
均值的计算方法是将所有数据相加，然后除以数据的个数。
假设有n个数据，分别为x1、x2、...、xn，那么均值的计算公式为：均值 = (x1 + x2 + ... + xn) / n均值可以用来表示数据的中心位置，它是数据集中的一个典型值。
例如，某班级的学生考试成绩为80、85、90、95、100，那么这些成绩的均值为(80+85+90+95+100)/5=90，可以认为90是这个班级的平均水平。
均值的计算方法简单直观，但它对极端值比较敏感。
如果数据中存在极端值，那么均值可能会被拉向极端值的方向。
因此，在某些情况下，均值可能不是一个很好的描述数据集中趋势的指标。
二、方差方差是一组数据的离散程度的度量，它描述了数据与均值之间的差异程度。
方差的计算方法是将每个数据与均值的差的平方相加，然后除以数据的个数。
假设有n个数据，分别为x1、x2、...、xn，均值为μ，那么方差的计算公式为：方差 = ((x1-μ)^2 + (x2-μ)^2 + ... + (xn-μ)^2) / n方差可以用来衡量数据的离散程度，它越大表示数据的离散程度越大，反之亦然。
例如，某班级的学生考试成绩为80、85、90、95、100，这些成绩的均值为90，那么方差的计算为((80-90)^2 + (85-90)^2 + (90-90)^2 + (95-90)^2 + (100-90)^2) / 5 = 50，可以认为这个班级的成绩离散程度较大。
方差的计算方法中，将差的平方相加的目的是为了消除正负差值的抵消效应，使得方差能够真实地反映数据的离散程度。
方差与均值之间的计算公式
方差与均值之间的计算公式在咱们的数学世界里，方差和均值那可都是相当重要的概念。
咱先来说说均值，均值啊，简单说就是一堆数的平均水平。
比如说，咱班这次考试的数学成绩分别是 80 分、90 分、75 分、85 分和 95 分，把这几个数加起来，再除以 5 ，得到的这个数就是均值啦。
那方差又是啥呢？方差其实反映的是这组数据的离散程度。
还是拿刚才考试成绩的例子来说，如果这几个成绩离均值都比较近，那方差就小，说明大家的成绩比较集中；要是有的特别高，有的特别低，离均值都挺远的，那方差就大，说明成绩的差异比较大。
那它们之间的计算公式是啥呢？先说均值，设一组数据为 $x_1$ ，$x_2$ ， $x_3$ ，...... ， $x_n$ ，那均值 $\overline{x}$ 就等于（ $x_1 + x_2 + x_3 + ...... + x_n$ ） / $n$ 。
再来看方差，方差用 $S^2$ 表示，它的计算公式是：$S^2 =\frac{1}{n} [ (x_1 - \overline{x})^2 + (x_2 - \overline{x})^2 + ...... + (x_n - \overline{x})^2 ]$ 。
记得我之前教过一个学生小明，这孩子啊，脑子挺灵，就是对方差和均值的公式老是搞混。
有一次做作业，明明是让求方差，他给我算出个均值来。
我就问他：“小明啊，你是不是把这两个公式当成双胞胎，分不清啦？”小明挠挠头，不好意思地笑了。
我就给他举了个特别好玩的例子。
我说：“你看啊，咱们把这组数据想象成一群小朋友，均值呢，就像是这群小朋友的平均身高。
方差呢，就像是看看这些小朋友的身高差距大不大。
如果大家都差不多高，那方差就小；要是有的特别高，有的特别矮，那方差就大。
” 小明听了，眼睛一下子亮了，说：“老师，我懂啦！”从那以后，小明再遇到这类问题，就很少出错啦。
其实啊，学习方差和均值的计算公式，就得像这样，多联系实际，多想想例子，才能真正搞明白。
平均方差的公式
平均方差的公式
均值（mean）与方差（variance）是统计的基础概念和基本指标，是非常重要的抽象概念。
均值，也叫平均值，是一组数据中每个数字
出现的概率，可以用来衡量和描述数据集的中心程度；方差是一组数
据的离散程度，可以用来显示一组数据在平均值上的离散程度，衡量
数据分布的程度。
均值的计算方法是取每个数据的算术平均值，均值的计算公式为：均值＝1/n ∑Xi
其中，n为数据的个数，Xi为每个数据。
方差的计算方法是取样本每个数据与其均值之间的差的平方和，
把所有差的平方和除以样本个数，即可求出方差，方差的计算公式为：方差＝1/n ∑（Xi- 均值）2
其中，n为数据的个数，Xi为每个数据，均值为数据的均值。
均值和方差是用来衡量数据分布的一种重要统计指标，它们可以
用来描述一组数据的中心偏差程度和离散程度，进而分析数据的分布
特征，提取数据的可靠统计结论。
除了均值和方差这两个基本的统计量，还有很多其他的特征值，比如最大值、最小值、众数等，这些特征值也可以用于分析和描述数据的分布特点。
均值和方差的大小直接反映数据分布的特性，是数据分析的重要依据，是统计实验中重要的量化指标，它们可以帮助我们理解数据之间的关系，更好地进行数据分析，为统计决策提供依据，促进科学研究发展。
证明平均值与方差相互独立
证明平均值与方差相互独立证明平均值与方差相互独立，可以从数学上来理解这一关系。
在概率论中，均值(μ)和方差(σ^2)是两个独立的参数，它们之间没有关系，也就是说，一个变量的均值与方差完全是独立的。
例如，考虑n个实数x_1, x_2, ..., x_n，其中每个实数表示一个随机变量，我们可以用下面的公式计算其中一个变量X的均值和方差：均值= μ = (x_1 + x_2 + … + x_n)/n方差= σ^2 = (x_1 - μ)^2 + (x_2 - μ)^2 + … + (x_n - μ)^2 / n可以看到，均值和方差之间没有任何直接关系，即使当把均值加入方程式中时，也无法改变其它变量的值。
因此得出结论，在数学概率论中，均值和方差是独立的，不存在任何联系。
另一方面，在实际参数估计中，均值与方差间也存在一种独立关系。
我们可以通过非参数估计方法，即样本抽样法，来检验均值与方差间是否存在独立关系。
对于一组样本x_1, x_2, ..., x_n，X的样本均值和样本方差的计算公式为：样本均值 = X¯ = (x_1 + x_2 + ... + x_n) / n样本方差 = S² = (x_1 - X¯)² + (x_2 - X¯)² + ... + (x_n - X¯)² / (n-1)可以看出，X的样本均值和样本方差之间并没有任何直接关系，即使当把样本均值加入样本方差公式中时，也无法改变其它变量的值。
因此得出结论，X的样本均值与样本方差也是独立的，不存在任何联系。
综上所述，可以看出，在数学概率论和非参数估计中，均值与方差都是独立的，不存在任何联系。
平均值方差和方差关系
平均值方差和方差关系
在概率论和统计学中，平均值和方差是两个非常常见的描述数据分布的量。
平均值（mean）通常表示一组数据的中心位置，而方差（variance）则表示这组数据的离散程度。
平均值和方差之间有很重要的关系。
设一组数据为x1,x2,...,xn，它们的平均值为μ，方差为σ^2，则有下列关系式：1.方差的计算式：σ^2=(1/n) *Σ(xi-μ)^2其中，Σ表示求和，i从1到n，xi为第i个数据点，μ为所有数据的平均值。
2.样本方差的计算式：s^2=(1/(n-1))*Σ(xi-x)^2其中，x为样本数据的平均值。
可以看出，方差和样本方差都可以用平均值来计算，它们都是通过平均值与数据点之间的差的平方值来描述数据的离散程度。
此外，方差和样本方差还可以通过开方来计算出标准差和样本标准差，它们也是常见的数据分析量。
总的来说，方差和样本方差是描述数据分布离散程度的重要量，它们与平均值之间有密切的关系，可以帮助我们更好地理解和分析数据。
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均值-方差理论
马克维茨开创性的提出了证券组合的均值方差模型，将证券及其组合用收益率均值和方差来描述，并在此基础上给出了组合的可行域空间及其有效组合，但是它的缺点就是没有描述在拥有无风险证券的情况下组合的状态，也没有给出期望收益与系统风险之间的关系(只有系统风险才会受到补偿，非系统风险不会得到补偿)，只是给出了一定的期望收益和一定风险会画出怎么样的图形，得到什么样的有效组合，再次就是该模型计算太复杂。
传统的证券投资基金的绩效评价方法孕育于“金融大爆炸”的1952年，即投资组合理论的开端。
自美国经济学家马科维茨（Harry Markowtitz）在其《资产选择：有效的多样化》一文中，第一次使用边际分析的原理，用期望收益率（均值）和方差（或标准差）代表的风险来研究投资组合的报酬。
这在当时引起了极大反响，属于金融界上里程碑式的伟大发现。
它在很大程度上帮助了基金管理公司的基金管理者、经理人们和投资者们合理组合其持有的金融资产，确保在具有一定的风险时还能取得最大的收益。
马科维茨的投资组合理论需要两个重要的假设前提：第一，投资者们都使用预期收益率的均值来衡量未来的实际收益率水平，使用预期收益率的方差或标准差来衡量未来的实际收益率的所需要承担的风险；第二，每个投资者都是风险厌恶者，投资者在追求收益率最大化的同时也在追求风险的最小化，即希望收益率均值越大越好，其方差获标准差越小越好。
在满足上述假设条件后，马科维茨发现了收益和风险的度量方法，并建立了均值—方差模型。
每一项投资结果都可以用收益率来衡量，投资组合的投资收益率计算公式如下：
（2—1）
其中
表示投资组合P的预期收益率，
表示证券i在投资组合中所占比例，
表示证券
的收益率。
投资组合方差的计算公式如下：
（2—2）
其中
表示投资组合
的方差，
表示
与
的相关系数。
当投资者们只关心收益和风险时，马科维茨的均值—方差模型可以比较精确地计算出收益与风险的大小。
当时在20世纪50年代的早期，计算机技术尚未普及，该模型的计算量是相当之大的，故当时仅用于小单位之间，并未广泛运用于大规模市场。
在考虑多项资产的组合时，达到同一预期收益可能的组合有很多种，风险厌恶者将选取风险最小的组合（最小方差组合），这样的组合（不同预期收益）放到
一起，就形成了最小方差边界（minimum variance frontier）（限制条件：预期值、权重之和为1）。
这样形成如下图形：
在上面形成的最小方差边界中，有一部分是无效的，因为同一风险情况下，有更加高回报的组合可以选择，因此，有效边界（efficient frontier）就是全球最小方差组合global minimum variance portfolio（上图最左边的一点）上方的部分。
这样，选择组合的程序就很简单了，根据投资者的风险承受能力和风险厌恶程度，选择有效边界上的一点，即确定了组合中各类资产的权重。
无差异曲线：
(1) 无差异曲线向右上方倾斜；
(2) 无差异曲线随着风险水平增加越来越陡；
(3) 无差异曲线之间互不相交；
(4) 无差异曲线代表单个投资者对期望收益和风险之间的均衡的个人评估，也就是说，无差异曲线是主观确定的，曲线的形状因投资者的不同而不同．
最优证券组合：
有效边界上位于最靠上的无差异曲线上的证券组合便是所有有效组合中该投资者认为
最满意的组合，即在该投资者看来最优的组合，这一组合事实上就是无差异曲线族与有效边界相切的切点所对应的组合．
马克维茨分别用期望收益率和收益率的方差来度量投资的预期收益水平和风险，建立了均值–方差模型，进而决策．在投资者只关心“期望收益率” 和“方差” 的假设前提下，马克维茨创造的理论和方法是准确和科学的，但是这种理论和方法在实践应用过程中最大的不足是计算量太大，尤其是在规模巨大的市场，在存在上千种证券的情况和一定时间的要求下，运算的实现几乎是不可能的．因而这严重地限制了马克维茨方法的应用空间．
局限性：
1、风险用预期收益率的方差或者标准差来表示，意味着它将高于预期收益率的那部分有益于投资者的变动也划入风险范畴；
2、用方差来度量风险只有在投资收益率的概率分布服从正态分布时才适用，很多实证分析证明了预期收益率是呈非对称分布的；
3、即使收益率是对称均值的，可以想象理性的投资者出于规避风险、避免资产损失的考虑，其效用函数可能赋予负偏差一个大权重，赋予正偏差一个小权重；
4、用方差度量证券投资组合的风险太过简单，因为风险是受很多因素影响的。
这种方法存在一定的问题，即对每项资产的预期值是随着时间变化的，由此有效边界的位置也会随时间变化，而且，在资产种类很多的时候，计算相当复杂。
多样化（diversification）为什么能分散投资风险呢? 回顾一下方差的公式，答案就很清楚了，在相关系数不为1的时候，组合的标准差总是小于各项资产标准差相应权重的和。
但是，多样化的效果取决于两个方面：
第一，资产间的相关系数。
相关系数越小，多样化收益越大。
（方差越小）
第二，资产数目越多，多样化收益越大，但加速度越来越慢，越来越接近整个市场的风险。
（也就是多样化效果越来越小，这也是投资基金一般不会选取整个市场，而是选取几十只股票进行组合的原因）。