一元二次方程知识点总结
一元二次方程知识点总结
一元二次方程1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边加一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
二、一元二次方程的解法1、直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式5、韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a ，二根之积=c/a 也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a 。
一元二次方程知识点总结
一元二次方程知识点总结一元二次方程是代数学中的基础内容之一，其包含了一元变量的二次项、一次项和常数项。
在解决实际问题时，一元二次方程经常被用来建立数学模型。
以下是对一元二次方程的知识点进行总结：一、一元二次方程的基本形式一元二次方程的基本形式可以表示为：ax² + bx + c = 0，其中a、b 和c是常数，而x是未知变量。
二、一元二次方程的求解方法1. 因式分解法：如果方程可以进行因式分解，则可以直接求得方程的解。
2. 完全平方公式：适用于方程无法进行因式分解时，利用完全平方公式求解。
3. 直接求根公式：一元二次方程的根可以通过以下公式直接求得：x = (-b ± √(b²-4ac)) / (2a)三、一元二次方程解的性质1. 实根与复根：一元二次方程的解可以是实数也可以是复数。
具体取决于方程中的判别式(b²-4ac)的值。
若判别式大于零，则方程有两个不相等的实根；若判别式等于零，则方程有两个相等的实根；若判别式小于零，则方程有两个共轭复根。
2. 关系式：一元二次方程的根与系数之间存在一定的关系，如根的和等于系数b的相反数，根的乘积等于常数项c。
四、一元二次方程的图像特征一元二次方程的图像为抛物线，其开口的方向和抛物线的顶点位置与方程中的系数相关。
具体来说：1. a的正负：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 顶点坐标：抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)是方程的函数。
五、应用实例一元二次方程在实际问题中的应用广泛，尤其是用于建立数学模型。
以下是几个常见的应用实例：1. 求解抛物线运动的高度、飞行时间等问题。
2. 求解面积和周长的关系，如矩形或正方形的最大面积问题。
3. 求解抛物线拱桥的最高点坐标。
六、注意事项在应用一元二次方程解决问题时，需要注意以下几点：1. 确定方程中的未知数和已知数。
一元二次方程知识点总结(全章齐全)
一元二次方程知识点总结定义：两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项．注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.基本解法①直接开平方法:对于形如的方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平方法求解。
②配方法：(1)现将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1；(3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．③公式法:(1)把一元二次方程化为一般式。
(2)确定a,b,c的值。
(3)代入中计算其值，判断方程是否有实数根。
(4)若代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。
【小试牛刀】方程ax2+bx+c=0的根为④因式分解法·因式分解法解一元二次方程的依据:如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个0，即:若ab=0，则a=0或b=0。
·步骤：(1)将方程化为一元二次方程的一般形式。
(2)把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于0。
(3)令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程。
(4)解出这两个一元一次方程的解，即可得到原方程的两个根。
根的判别情况判别式：b2-4ac的值x1、x2的关系根的具体值一元二次方程两根与系数的关系：。
一元二次方程知识点归纳
一元二次方程知识点归纳一、一元二次方程的概念：1、含有1个未知数；2、未知数最高次数是2；3、必须整式方程（分母不能含有未知数）4、形式：）（002≠=++a c bx ax5、二次项：2ax ；一项：bx ；常数项 ：c6、二次项系数：0≠a ；一次项系数 ：b （全体实数）；常数项 ：c （全体实数）二、解方程的方法：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法（1）02=+c ax c ax —=2 a c x —=2 ac x -±= （2）02=+bx ax 0=+）（b ax x a b x x -==210； （3）p n mx =+2)（ p n mx ±=+ n p mx —±= mn p x -±=（4）0)()(=+++b ax N b ax M 0)(=++b ax N M ）（（5）02=++n mx x n m m mx x -=++222)2()2( 44)2(22n m m x —=+ 4422n m m x —±=+ 242m n m x --±= （6）)0(02≠=++a c bx ax ）（ac b b x 422-=∆∆±-=三、一元二次方程根的判别式——ac b 42-=∆1、一元二次方程根的情况： ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<∆⎪⎩⎪⎨⎧==∆≠>∆≥∆（无解））（有两个相等实数根：）：（有两个不相等实数根（有两个实数根）00002121x x x x 2、规律：（1）当0<ac 时，必定0>∆，即一元二次方程有两个不相等实数根（2）当c=0时，ab x x -==210；，即一元二次方程有一根为0 （3）当b=0时，ac x —±=，即一元二次方程两根互为相反数 （4）当a=c 时，一元二次方程两根互为倒数四、一元二次方程的“根”（1）“根”：代入原方程使得左右两边相等的未知数的值（2）韦达定理：a b x x -=+21；a c x x =21；cb x x —=+2111； 2122122212x x x x x x —）（+=+ ；212212214)(x x x x x x —）（+=-五、配方法的应用（1）解一元二次方程（2）讨论∆（3）讨论恒值（4）平方的非负性六、应用题（1）“围栏”问题①设宽为x ；利用周长用x 的代数式表示长（注意：有围墙与无围墙区别） ②利用矩形面积公式列出并列出方程③结合实际，列出关于长、宽取值范围的不等式组，解得x 的取值范围（2）“边框问题”（挖角）（3）“挖路问题”（平移计算）（4）平均增长率：n x a M )1(+=（M ：后量；a ：现量；x ：增长率；n ：经过次数）（5）“握手”问题——单循环：2)1(-n n ；双循环：）（1-n n （6）直角三角形问题（7）“黄金分割”：215-=x （8）多边形的对角线条数：2)3(-n n （9）利润问题：调价幅度与销量增减成比例关系①设调价为x ；根据题意得，销量增幅：kx②调价后单价=原售价±调价；调价后销量=原销量±销量增幅调价后总收入=调价后单价×调价后销量③进货量=调价后销量④总成本=单成本×进货量5调价后总利润=调价后总收入-总成本（2）①单利润=单售价—单成本②总利润=单利润×销量。
一元二次方程知识点整理笔记
一元二次方程是初中数学的重要知识点之一，以下是一些关于一元二次方程的知识点整理笔记：一、一元二次方程的定义一元二次方程是一个整式方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2。
一元二次方程的一般形式为：ax²+bx+c=0（a≠0），其中a、b、c为常数。
二、一元二次方程的解一元二次方程的解也称为根，是指使方程成立的未知数的值。
一元二次方程的解可以通过公式法、配方法、因式分解法等方法求解。
一元二次方程的解的个数取决于判别式b²-4ac的值。
当b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实根；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实根；当b²-4ac<0时，方程没有实根。
三、一元二次方程的图像一元二次函数的图像是一条抛物线。
抛物线的开口方向取决于二次项系数a的正负。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
抛物线的顶点坐标可以通过配方法或公式法求解。
四、一元二次方程的应用一元二次方程在实际问题中有广泛的应用，如求解物体运动的最大高度、最大距离等问题。
在解决实际问题时，需要根据问题的实际意义来设定未知数和建立方程。
在解决实际问题时，需要注意方程的解是否符合问题的实际意义。
五、一元二次方程的解法直接开平方法：对于形如x²=a（a≥0）的方程，可以直接开平方求解。
因式分解法：对于可以因式分解的一元二次方程，可以通过因式分解法求解。
公式法：对于一般形式的一元二次方程，可以通过公式法求解。
公式为：x=[-b±√(b²-4ac)]/2a。
配方法：对于可以配成完全平方的一元二次方程，可以通过配方法求解。
具体步骤为：将常数项移到等号的右边；将含x的项的系数化为1；等式两边同时加上一次项系数一半的平方；用直接开平方法求解。
一元二次方程知识点总结
一元二次方程知识点总结
一元二次方程是数学中的一个重要概念，它在数学、物理、化学等领域中都有广泛的应用。
以下是一元二次方程的知识点总结:
1. 一元二次方程的基本概念：一元二次方程是一个含有一个未
知数的二次方程，通常表示为 ax2+bx+c=0(a、b、c 为已知常数，x 为未知数)。
2. 一元二次方程的解法：一元二次方程的解法包括配方法、公
式法、因式分解法等。
其中，配方法是最常用的解法，它可以使一元二次方程化为一个完全平方公式的形式，从而方便解出未知数的值。
3. 一元二次方程的性质：一元二次方程的性质包括根的分布性质、根的符号性质、根的近似计算等。
其中，根的分布性质指出，一元二次方程的根的分布情况取决于系数 a、b、c 的大小。
4. 一元二次方程的应用：一元二次方程在数学、物理、化学等
领域中都有广泛的应用。
例如，在物理中，一元二次方程可以用来描述物体的运动轨迹;在化学中，一元二次方程可以用来表示化学反应
的平衡状态等。
5. 一元二次方程的判别式：一元二次方程的判别式是指 b2-4ac，它可以用来判断一元二次方程是否有实数根、有几个实数根等。
6. 一元二次方程的逆用：一元二次方程的逆用是指利用一元二
次方程的根的判别式和根的分布性质来求解未知数的方法。
例如，如果已知一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不等实数根，可以利用逆用定理求解未知数的值。
以上是一元二次方程的知识点总结。
在学习一元二次方程时，需要掌握基本概念、解法、性质、应用和判别式等方面的知识，并且结合实际问题进行理解和应用。
一元二次方程的知识点总结
一元二次方程知识点的总结知识结构梳理（1）含有 个未知数。
（2）未知数的最高次数是1、概念 （3）是 方程。
（4）一元二次方程的一般形式是 。
（1） 法，适用于能化为 的一元.二次方程(2) 法，即把方程变形为ab=0的形式， 2、解法 （a ，b 为两个因式）， 则a=0或(3） 法 （4) 法,其中求根公式是 当 时,方程有两个不相等的实数根.（5) 当 时，方程有两个相等的实数根。
当 时，方程有没有的实数根。
可用于解某些求值题（1） 一元二次方程的应用 (2） （3) 可用于解决实际问题的步骤 （4）（5）（6） 知识点归类建立一元二次方程模型知识点一 一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。
注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。
②它只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是2。
同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式.例 下列关于的方程,哪些是一元二次方程？ ⑴；⑵；（3)；（4)；（5）知识点二 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为(a ，b ，c 是已知数，)。
其中a ，b,c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项.注意:（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。
（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项,必须把它先化为一般形式。
（3)形如不一定是一元二次方程,当且仅当时是一元二次方程。
例1 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。
（1）; （2）； （3)例2 已知关于的方程是一元二次方程时,则知识点三 一元二次方程的解一元二次方程使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解,如：当时,所以是方程的解。
一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
知识点四建立一元二次方程模型建立一元二次方程模型的步骤是：审题、设未知数、列方程。
一元二次方程知识点总结
一元二次方程知识点总结一元二次方程是初中数学中的重要内容，它在解决实际问题和进一步学习数学知识中都有着广泛的应用。
接下来，让我们系统地梳理一下一元二次方程的相关知识点。
一、一元二次方程的定义只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程。
一般形式为$ax^2 ＋ bx ＋ c ＝0$（＄a ≠ 0$），其中$a$是二次项系数，＄b$是一次项系数，＄c$是常数项。
需要注意的是，判断一个方程是否为一元二次方程，需要满足以下三个条件：1、是整式方程。
2、只含有一个未知数。
3、未知数的最高次数是 2。
例如，方程$x^2 2x ＋ 1 ＝ 0$是一元二次方程，而方程$＼frac{1}｛x^2} ＋ 2x ＝ 1$不是一元二次方程，因为它不是整式方程。
二、一元二次方程的解法1、直接开平方法对于形如$x^2 ＝ p$（＄p ≥ 0$）或$（x ＋ m)＾2 ＝ n$（＄n ≥ 0$）的方程，可以使用直接开平方法求解。
当$x^2 ＝ p$时，＄x ＝ ±＼sqrt{p}＄；当$（x ＋ m)＾2 ＝ n$时，＄x ＋ m ＝ ±＼sqrt{n}＄，即$x ＝ m ±＼sqrt{n}＄。
2、配方法配方法是一种通过配方将一元二次方程转化为完全平方式来求解的方法。
对于方程$ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$（＄a ≠ 0$），我们可以通过在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方式。
例如，对于方程$x^2 ＋ 6x 7 ＝ 0$，可以将方程变形为$x^2 ＋ 6x ＋ 9 9 7 ＝ 0$，即$（x ＋ 3)＾2 16 ＝ 0$，然后再用直接开平方法求解。
3、公式法一元二次方程$ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$（＄a ≠ 0$）的求根公式为$x ＝＼frac{b ±＼sqrt{b^2 4ac}｝｛2a}＄。
在使用公式法求解时，需要先计算判别式$＼Delta ＝ b^2 4ac$。
一元二次方程知识点
一元二次方程一、相关概念1.定义：把含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.2、一般形式： ax 2 +bx+c=0(a ≠0).（1.判断一个方程是否是一元二次方程抓住的五点: “化简后”；“一个未知数”； “未知数的最高次数是2” ； “二次项系数不等于0” ； “整式方程”.2.确定一元二次方程各项的系数的方法是：将一元二次方程化成一般形式ax 2 +bx+c=0(a ≠0)..） 二、直接开平方法1.利用直接开平方法求一元二次方程的解时,必须把方程化为x ²=a(a ≥0),(x-a)²=b(b ≥0)的形式,否则不能用直接开平方法求一元二次方程的解. 三、配方法1. 配方法: 通过配成完全平方公的形式来解一元二次方程的方法叫做配方法.2. 解二次项系数是1的方程的具体配方方法是:方程两边同时加上一次项系数一半的平方,使方程左边化为完全平方,右边化为非负数.（1、注意学生对求一个数的一半的方法逐一的要求,检查是否达到目的. 2.用配方法解一元二次方程时,最关键的一步是必须把二次项的系数化为1;再把方程化为(x-a)²=b(b ≥0)的形式后,就可用直接开平方法求一元二次方程的解.3.一次项系数的符号决定了左边的完全平方式是完全平方和或完全平方差.4.配方作为一种求解的方法,比其它方法要复杂,为此,一般不用该方法,除非是题目指明用配方法,但配方法是一种重要的数学方法,应用较广,应掌握好.）四、公式法1. 判别式ac b 42-=∆判断方程的根的情况（1）ac b 42-=∆＞0⇔方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有两个不相等的实数根. （2）ac b 42-=∆=0⇔方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有两个相等的实数根.（3）ac b 42-=∆＜0⇔方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有实数根. （4）ac b 42-=∆≥0⇔方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根.一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根分别为x 1,x 2,aac b b x 2421-+-=,aac b b x 24-22--=（1.用公式解方程时,在教学中应注意两个问题:①a ≠0,②Δ=b ²-4ac ≥0. 2.代入公式时一定先把方程化为一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0),才能准确的确定a 、b 、c 的符号.3.学生容易把表示的字母都写成x ，如解方程t 2+2t=3，写成x 1=1,x 2=-3.4.当Δ=b ²-4ac=0时,,方程的根要写成x 1=x 2= 的形式,从而说明方程有两个根,而不是一个根.）五、因式分解法解方程的步骤: 1. 因式分解法:将一个一元二次方程化为两个一次因式的积等于0的形式,再使这两个一次因式分别等于0,从而实现降次,这种解法叫做因式分解法. ①移项使方程的右边为0;②将方程的左边分解为两个一次因式的积;③令每个因式分别为0,得到两个一元一次方程;④解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.展开方程(x-x 1)(x-x 2)=0得x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0,其中p=-( x 1+x 2),q= x 1x 2.实际上x 1,x 2是方程x 2+px+q=0的两根.即x 1+x 2 =-p , x 1x 2= q 用十字相乘法解一元二次方程我们知道()()22356x x x x ++=++，反过来，就得到二次三项式256x x ++的因式分解形式，即()()25623x x x x ++=++，其中常数项6分解成2,3两个因数的积，而且这两个因数的和等于一次项的系数5，即6=2×3，且2+3=5。
一元二次方程 知识点总结
一元二次方程知识点总结一元二次方程是高中数学中的重要概念之一，它是由形如ax^2 + bx + c = 0的方程组成，其中a、b、c都是实数且a不等于0。
本文将总结一元二次方程的相关知识点，并详细介绍其求解方法和应用。
一、一元二次方程的一般形式与基本性质1.1 一元二次方程的一般形式: ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c都是实数且a不等于0。
1.2 一元二次方程的次数为2，被称为二次方程。
1.3 一元二次方程的系数：a、b、c分别是方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
1.4 一元二次方程的根：方程的解叫做方程的根，方程可能有两个相等的实根、两个不等的实根、两个复数根或无解。
二、一元二次方程的求解方法2.1 因式分解法通过将一元二次方程进行因式分解，将方程转化为两个一次方程相乘的形式，从而求解方程的根。
例如：x^2 + 7x + 12 = 0，可因式分解为(x+3)(x+4) = 0，方程的根为x=-3和x=-4。
2.2 公式法（求根公式）利用一元二次方程的根与系数之间的关系，可以通过求根公式来求解方程的根。
一元二次方程的求根公式为：x = (-b ±√(b^2 - 4ac))/(2a)。
例如：x^2 + 7x + 12 = 0，代入a=1，b=7，c=12，可得x = (-7± √(7^2 - 4*1*12))/(2*1)，计算后得方程的根为x=-3和x=-4。
2.3 完全平方方法对于一些特殊的一元二次方程，可以利用完全平方公式来求解方程的根。
完全平方公式是指：(a ± b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2。
例如：x^2 + 10x + 25 = 0，可写为(x+5)^2 = 0，方程的根为x=-5。
三、一元二次方程的判别式一元二次方程的判别式是通过方程的系数来判断方程的根的情况。
3.1 判别式的定义：Δ = b^2 - 4ac。
一元二次方程 知识点总结
一元二次方程知识点总结一、一元二次方程的概念。
1. 定义。
- 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
- 一般形式：ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
2. 判断方程是否为一元二次方程。
- 首先看方程是否为整式方程。
- 然后看是否只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，同时二次项系数不为0。
例如x^2+2x - 1 = 0是一元二次方程；而x^2+(1)/(x)=1不是一元二次方程，因为它是分式方程。
二、一元二次方程的解法。
1. 直接开平方法。
- 对于方程x^2=p(p≥0)，解为x=±√(p)。
- 例如方程(x - 3)^2=4，则x - 3=±2，解得x = 1或x = 5。
2. 配方法。
- 步骤：- 把方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)的常数项移到等号右边，得到ax^2+bx=-c。
- 二次项系数化为1，即x^2+(b)/(a)x =-(c)/(a)。
- 在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即x^2+(b)/(a)x+((b)/(2a))^2=((b)/(2a))^2-(c)/(a)。
- 左边写成完全平方式(x +(b)/(2a))^2=frac{b^2-4ac}{4a^2}，然后用直接开平方法求解。
- 例如解方程x^2+6x - 7 = 0，移项得x^2+6x = 7，配方得x^2+6x + 9 = 7+9，即(x + 3)^2=16，解得x = 1或x=-7。
3. 公式法。
- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}(b^2-4ac≥0)。
- 步骤：- 确定a、b、c的值。
- 计算b^2-4ac的值，判断方程是否有实数根。
- 当b^2-4ac≥0时，代入求根公式求解。
一元二次方程知识点总结
考点四、一元二次方程根与系数的关系
两边同时除于 a ，展开后可得：
x2
b c x 0 x 2 ( x1 x2 ) x x1 x2 0 a a
2
b c x1 x2 ； x1 x2 a a
法 3：如果一元二次方程 ax bx c 0 ( a 0) 定的两个根为 x1 , x2 ；那么
（4）因式分解法：提公因式，平方公式，平方差，十字相乘法
步骤：把方程右边化为 0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字 相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式 如： ax bx 0( a, b 0) x( ax b) 0
2
此类方程适合用提供因式，而且其中一个根为 0
b b 2 4ac b b 2 4ac (b) 2 ( b 2 4ac ) 2 4ac c 2 2a 2a a (2a) 2 4a
2
法 2：如果一元二次方程 ax bx c 0 ( a 0) 定的两个根为 x1 , x2 ；那么
ax 2 bx c 0 a ( x x1 )( x x2 ) 0
4 x 2 12 x 9 0 (2 x 3) 2 0 2 x 2 5 x 12 0 (2 x 3)( x 4) 0
考点三、一元二次方程解的情况，即根的判别式
一元二次方程 ax 2 bx c 0(a 0) 中， b 2 4ac 叫做一元二次方程 ax 2 bx c 0(a 0) 的根的 判别式，通常用“ ”来表示，即 b 2 4ac
（完整版）一元二次方程知识点总结
（完整版）⼀元⼆次⽅程知识点总结⼀元⼆次⽅程1、⼀元⼆次⽅程：含有⼀个未知数，并且未知数的最⾼次数是2的整式⽅程叫做⼀元⼆次⽅程。
2、⼀元⼆次⽅程的⼀般形式：，它的特征是：等式左边⼗⼀个关)0(02≠=++a c bx ax 于未知数x 的⼆次多项式，等式右边是零，其中叫做⼆2ax 次项，a 叫做⼆次项系数；bx 叫做⼀次项，b 叫做⼀次项系数；c 叫做常数项。
3.⼀元⼆次⽅程的解法(1)直接开平⽅法:利⽤平⽅根的定义直接开平⽅求⼀元⼆次⽅程的解的⽅法叫做直接开平⽅法。
直接开平⽅法适⽤于解形如的⼀元⼆次⽅程。
根据b a x =+2)(平⽅根的定义可知，是b 的平⽅根，当时，，a x +0≥b b a x ±=+，当b<0时，⽅程没有实数根。
b a x ±-=(2)配⽅法:配⽅法的理论根据是完全平⽅公式，把公式中的a 看222)(2b a b ab a +=+±做未知数x ，并⽤x 代替，则有。
222)(2b x b bx x ±=+±配⽅法的步骤：先把常数项移到⽅程的右边，再把⼆次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的⼀半的平⽅，最后配成完全平⽅公式(3)公式法:公式法是⽤求根公式解⼀元⼆次⽅程的解的⽅法，它是解⼀元⼆次⽅程的⼀般⽅法。
⼀元⼆次⽅程的求根公式：)0(02≠=++a c bx ax )04(2422≥--±-=ac b aac b b x 公式法的步骤：就把⼀元⼆次⽅程的各系数分别代⼊，这⾥⼆次项的系数为a ，⼀次项的系数为b ，常数项的系数为c(4)因式分解法:因式分解法就是利⽤因式分解的⼿段，求出⽅程的解的⽅法，这种⽅法简单易⾏，是解⼀元⼆次⽅程最常⽤的⽅法。
分解因式法的步骤：把⽅程右边化为0，然后看看是否能⽤提取公因式，公式法（这⾥指的是分解因式中的公式法）或⼗字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式4.⼀元⼆次⽅程根的判别式:⼀元⼆次⽅程中，叫做⼀)0(02≠=++a c bx ax ac b 42-元⼆次⽅程的根的判别式，通常⽤“)0(02≠=++a c bx ax ”来表⽰，即?acb 42-=?I 当△>0时，⼀元⼆次⽅程有2个不相等的实数根；II 当△=0时，⼀元⼆次⽅程有2个相同的实数根；III 当△<0时，⼀元⼆次⽅程没有实数根5.⼀元⼆次⽅程根与系数的关系如果⽅程的两个实数根是，那么，)0(02≠=++a c bx ax 21x x ，ab x x -=+21。
(完整版)一元二次方程知识点总结
一元二次方程1. 一元二次方程的定义及一般形式：（1）等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2 （二次）的方程，叫做一元二次方程。
（2）一元二次方程的一般形式：ax2 bx c 0（a 0）。
其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2;③是整式方程。
2. 一元二次方程的解法（1 ）直接开平方法：形如（x a）2 b（b 0）的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得x a b或者x a 、、b，x a , b。
注意：若b<0,方程无解（2）因式分解法：一般步骤如下：①将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0 ；②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。
（3）配方法:用配方法解一元二次方程ax2 bx c 0（a 0）的一般步骤①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为(x m)2 n(n 0)的形式；④用直接开平方法解变形后的方程。
注意：当n 0时，方程无解(4)公式法：一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)根的判别式：b24ac0方程有两个不相等的实根:x b甘4/( b2 4ac 0)2af(x)的图像与x轴有两个交点0方程有两个相等的实根f(x)的图像与x轴有一个交点0方程无实根f(x)的图像与x轴没有交点3. 韦达定理(根与系数关系)我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c = 0之后，设它的两个根是x i 和X2，则&和X2与方程的系数a, b, c之间有如下关系：X i+X2 = b；X i?X2 = 2a a4. 一元二次方程的应用列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。
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一元二次方程知识点总结
一元二次方程是初中数学中的重要内容，也是高中、大学数学中
的基础知识。
掌握一元二次方程的概念、性质和解法对于数学学习的
深入和应用具有重要意义。
本文将从定义、特点、求解等方面对一元
二次方程进行总结。
一、概念与特点
一元二次方程是指形如ax²+bx+c=0（其中a、b、c是已知实数，且a≠0）的方程。
这种方程中最高次项是二次项，方程中只有一个未
知数。
一元二次方程的特点首先表现在二次项的系数a上，它决定了方
程的开口方向和开口程度。
当a>0时，方程的抛物线开口向上，开口
程度随绝对值越大而越深；当a<0时，方程的抛物线开口向下，开口
程度随绝对值越小而越深。
其次，一元二次方程的常数项c可以反映出方程的根的性质。
当
c=0时，方程的根之一为0，称为方程的零点。
当c≠0时，方程的根
与c的符号有关。
若c>0，则方程存在两个不同符号的实根；若c<0，
则方程存在两个相同符号的实根；若c=0，则方程存在两个相同的实根，且这两个实根均为0。
二、解的判别式和求解方法
在解一元二次方程时，我们经常会用到判别式。
一元二次方程
ax²+bx+c=0的判别式Δ=b²-4ac，它可用于判断方程的根的性质。
1. 当Δ>0时，方程有两个不同的实根。
这是因为当Δ>0时，方程的零点必然是两个不同的实数。
2. 当Δ=0时，方程有两个相等的实根。
这是因为当Δ=0时，方程的零点只有一个实数。
3. 当Δ<0时，方程无实根。
这是因为当Δ<0时，方程的零点只有复数。
求解一元二次方程的常用方法有：
1. 因式分解法：适用于方程能够进行因式分解的情况。
通过将方程进行因式分解，并使得等式两边的乘积等于0，得到方程的解。
2. 完全平方式：适用于方程左边可以整理成完全平方式的情况。
通过将方程左边进行完全平方，使得方程变为平方和等于某个数的形式，进而得到方程的解。
3. 公式法：适用于所有的一元二次方程。
通过使用求根公式，即：x = (-b±√Δ) / 2a，求得方程的解。
其中±表示两个相反的符号取值。
三、应用与拓展
一元二次方程不仅仅是学习数学的一种理论，更是一种实用的工具。
在实际生活和工作中，我们经常会遇到需要解决一元二次方程的问题。
比如在物理学、经济学、几何学等领域，一元二次方程都有广泛的应用。
此外，一元二次方程还可进一步拓展到二元、多元二次方程的求解。
二元二次方程是指含有两个未知数的二次方程，可以通过相同的
方法求解。
而多元二次方程是指含有多个未知数的二次方程，其求解方法则需要借助线性代数等更高级的数学工具。
总之，一元二次方程是我们学习数学不可或缺的基础知识。
通过掌握方程的概念、特点和解法，我们能够更好地理解数学中的抽象概念和运算规律，拓宽思维，提高解决问题的能力。
同时，在实际应用中，一元二次方程可以帮助我们解决各种实际问题，实现数学与生活的结合，展现数学的伟大魅力。