外方内圆与外圆内方教案

解决问题

——外方内圆与外圆内方

解决问题

——外方内圆与外圆内方

学习目标

1、学会解决圆的内接正方形、外切正方形与圆之间部分的面积的问题。

2、经历问题解决的全过程，并在解决具体问题的基础上发现更为一般的数学规律。

3、提高发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。

学习内容

教科书第69-70页，练习十五第9—14题。

教材解读

A、读懂教材，理清结构。

认真填写教材有关空白处。

1、教材内容从字面上看可能有哪些不明白的地方？

2、教材中需要学习的新知识是什么？

圆的内接正方形、外切正方形与圆之间部分的面积。

3、教材内容可以分为几部分，每一部分又包含几个环节？

（1）可以分为二部分：

第69页的例3是第一部分，第70页的做一做是第二部分。

（2）各部分又包含哪几个环节？

第一部分可以分为四个环节：

①信息和提出问题；②阅读与理解；③分析与解答；④回顾与反思。

B、研读教材，理解内容。

1、分析第一部分

（1）第一部分是什么？它分几个环节呈现内容？

第一部分是圆的内接正方形、外切正方形与圆之间部分的面积，前面已说过它分四个环节。

（2）看第一环节。

①第一环节是什么？

信息和提出问题：

②中国建筑中经常能见到“外方内圆”和“外圆内方”的设计。上图中的两个圆半径都是1m，你能求出正方形和圆之间部分的面积吗？

③谁来说一说“外方内圆”和“外圆内方”是什么意思？能指一指正方形和圆之间部分的面积吗？

（3）看第二环节。

①第二环节是什么？

是阅读与理解。

②两个图中的圆的大小相同，但正方形的位置不一样，左图求的是正方形比圆多的面积，即正方形的面积-圆多的面积；右图求的是圆比正方形多的面积，即圆的面积-正方形多的面积。

（4）看第三环节。

①第三环节是什么？

分析与解答。

②左图中的正方形的边长就是圆的直径

×1=2（m）(圆的直径，也就是正方形的边长)

2×2=4（m2）（正方形的面积）

图（1） 3.14×12=3.14（m2）（圆的面积）

4-3.14=0.86（m2）（正方形比圆多的面积）

③可是右图的正方形的边长是多少呢？能用边长的平方直接计算面积吗？

正方形的边长不知道，不能用边长的平方直接计算面积，所以要转化思路，可以把右图中的正方形看成两个三角形，它的底和高分别是圆的直径和半径。

从图（2）看出，底是圆的直径，高是圆的半径

（1

2

×2×1）×2=2（m2）（两个三角形的面积）

图（2） 3.14-2=1.14（m2（圆比正方形多的面积）

④你能说一说1

2×2×1是什么意思吗？

2是圆的直径，也就是分成的三角形的底，1是圆的半径，也就是分成的三角

形的高，三角形的面积是底×高÷2，也就是底×高×1 2。

括号外面乘2是什么意思？

因为正方形是分成两个完全一样的三角形，刚才算出的是一个三角形的面积，所以乘2。

你怎么知道你连接的半径是三角形的高？

分成的三角形是等腰直角三角形，可以对折，折痕就是高，也就是圆的半径。

⑤对比两种方法，为什么要把正方形分成两个完全一样的直角三角形？

正方形的边长不知道，不能用边长的平方直接计算面积，我们要换一个角度思考问题，利用题目已知的条件，解决问题。

（5）看第四环节。

①第四环节是什么？

回顾与反思。

②从第三环节发现正方形和圆之间部分的面积与圆的半径有关。到底什么关系呢？

半径为r 左图（2r）2-3.14×r2=0.86 r2

右图3.14×r2- 1

2

×2r×r）×2=1.14 r2

当r=1时，和前面的结果完全一致。

③对比两个环节，解题思路是一样的，但为什么半径是1时，已经会利用两种方法计算，还要用r表示呢？

对，r=1只是一种特殊情况，不管圆的大小如何改变，外方内圆时，正方形和圆之间部分的面积都是0.86 r2，外圆内方时，圆与正方形之间部分的面积都是1.14 r2。我们就把结论从特殊推广到一般，总结出规律。

（6）回顾整个第一部分内容，进一步弄清楚是什么、什么方法步骤，应注意哪些比较重要的问题？

第一部分是求正方形和圆之间部分的面积。例题把实际问题用数学的方式表达出来，外方内圆用正方形的面积减圆的面积，外圆内方用圆的面积减正方形的面积。

重要的是找到两幅图中正方形的面积。

2、分析第二部分

（1）第二部分是什么？

第二部分是做一做。

右图是一面我国唐代外圆内方的铜镜，铜镜的直径是24厘米，外面的圆与内部的正方形之间的面积是多少？

24÷2=12（cm）

3.14×122-24×12÷2×2

=452.16-288

=164.16（cm2）

有没有其他方法？

是外圆内方时，圆与正方形之间部分的面积都是1.14 r2。直接是1.14×（24÷2）2。

C、把握重点，突破难点。

1、哪些部分、哪些内容是比较重要的？如何理解？

找到两幅图中正方形的面积是重要内容。左图中的正方形的边长就是圆的直径，右图中的正方形看成两个三角形，它的底和高分别是圆的直径和半径。

2、哪些问题是难点、关键点、易混点？

难点是外圆内方时把正方形的面积转化为两个三角形的面积。

3、需注意的相关联的部分与部分、问题与问题之间的联系是什么吗？

第二部分是对的一部分的巩固。

D、新旧联系，结合实际。

1、教材内容与过去学过的哪些知识有直接联系？

圆的面积正方形的面积

2、教材中的知识有哪些应用？

解决问题

3、还发现了其他的问题吗？

练习设计

一、巩固练习

1、求出下列圆的圆心和直径。

2、练习十五的第10、11题

二、课堂检测

教科书第72页练习十五第9题。

三、探究练习

1、一张可折叠的圆桌，直径是1.2m，折下后便成了一个正方形，折叠后的桌面的面积是多少平方米？折叠的部分是多少平方米？（得数保留两位小数）