高考数学复习典型题型专题讲解与练习54 空间向量及其线性运算

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2024年高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》空间向量及其运算

2024年高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》§8.5空间向量及其运算最新考纲1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程.2.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.3.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.4.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．1．空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量a ＝b相反向量方向相反且模相等的向量a 的相反向量为－a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量a ∥b 共面向量平行于同一个平面的向量2．空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb .(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p ＝x a ＋y b ，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量．(3)空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .②两向量的数量积已知空间两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)空间向量数量积的运算律①(λa )·b ＝λ(a ·b )；②交换律：a ·b ＝b ·a ；③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c .4．空间向量的坐标表示及其应用设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).向量表示坐标表示数量积a·ba 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3共线a ＝λb (b ≠0，λ∈R )a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3垂直a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0模|a |a 21＋a 22＋a 23夹角〈a ，b 〉(a ≠0，b ≠0)cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23概念方法微思考1．共线向量与共面向量相同吗？提示不相同．平行于同一平面的向量就为共面向量．2．零向量能作为基向量吗？提示不能．由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量．3．空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗？提示无关．这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简，不会影响结果．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)空间中任意两个非零向量a ，b 共面．(√)(2)在向量的数量积运算中(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．(×)(3)对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，则a ＝c .(×)(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．(×)(5)若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.(√)(6)若a·b <0，则〈a ，b 〉是钝角．(×)题组二教材改编2．如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是()A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c 答案A解析BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .3．正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，则EF 的长为________．答案2解析|EF →|2＝EF →2＝(EC →＋CD →＋DF →)2＝EC →2＋CD →2＋DF →2＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，∴|EF →|＝2，∴EF 的长为2.题组三易错自纠4．在空间直角坐标系中，已知A (1，2，3)，B (－2，－1，6)，C (3，2，1)，D (4，3，0)，则直线AB 与CD 的位置关系是()A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直答案B解析由题意得，AB →＝(－3，－3，3)，CD →＝(1，1，－1)，∴AB →＝－3CD →，∴AB →与CD →共线，又AB 与CD 没有公共点，∴AB ∥CD .5．已知a ＝(2，3，1)，b ＝(－4，2，x )，且a ⊥b ，则|b |＝________.答案26解析∵a ⊥b ，∴a ·b ＝2×(－4)＋3×2＋1·x ＝0，∴x ＝2，∴|b |＝(－4)2＋22＋22＝2 6.6．O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且OP →＝34OA →＋18OB →＋tOC →，若P ，A ，B ，C四点共面，则实数t ＝______.答案18解析∵P ，A ，B ，C 四点共面，∴34＋18＋t ＝1，∴t ＝18.题型一空间向量的线性运算例1如图所示，在空间几何体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，各面为平行四边形，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)MP →＋NC 1→.解(1)因为P 是C 1D 1的中点，所以AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)因为M 是AA 1的中点，所以MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP→＝－12a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c .又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ，所以MP →＋NC 1→＋12b ＋＋12c ＝32a ＋12b ＋32c .思维升华用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形．(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．跟踪训练1(1)如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→＝________________.答案12AB →＋12AD →＋AA 1→解析∵OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)，∴OC 1→＝OC →＋CC 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→＝12AB →＋12AD →＋AA 1→.(2)如图，在三棱锥O —ABC 中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用a ，b ，c 表示NM →，则NM →等于()A.12(－a ＋b ＋c )B.12(a ＋b －c )C.12(a －b ＋c )D.12(－a －b ＋c )答案B解析NM →＝NA →＋AM →＝(OA →－ON →)＋12AB→＝OA →－12OC →＋12(OB →－OA →)＝12OA →＋12OB →－12OC→＝12(a ＋b －c )．题型二共线定理、共面定理的应用例2如图，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)求证：BD ∥平面EFGH .证明(1)连接BG ，则EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH→＝EF →＋EH →，由共面向量定理的推论知E ，F ，G ，H 四点共面．(2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →，所以EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ，所以BD ∥平面EFGH .思维升华证明三点共线和空间四点共面的方法比较三点(P ，A ，B )共线空间四点(M ，P ，A ，B )共面PA →＝λPB →且同过点P MP →＝xMA →＋yMB→对空间任一点O ，OP →＝OA →＋tAB →对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋(1－x )OB→对空间任一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋(1－x －y )OB→跟踪训练2如图所示，已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →(0≤k ≤1)．(1)向量MN →是否与向量AB →，AA 1→共面？(2)直线MN 是否与平面ABB 1A 1平行？解(1)∵AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →，∴MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝kC 1A →＋AB →＋kBC →＝k (C 1A →＋BC →)＋AB →＝k (C 1A →＋B 1C 1→)＋AB →＝kB 1A →＋AB →＝AB →－kAB 1→＝AB →－k (AA 1→＋AB →)＝(1－k )AB →－kAA 1→，∴由共面向量定理知向量MN →与向量AB →，AA 1→共面．(2)当k ＝0时，点M ，A 重合，点N ，B 重合，MN 在平面ABB 1A 1内，当0<k ≤1时，MN 不在平面ABB 1A 1内，又由(1)知MN →与AB →，AA 1→共面，∴MN ∥平面ABB 1A 1.综上，当k ＝0时，MN 在平面ABB 1A 1内；当0<k ≤1时，MN ∥平面ABB 1A 1.题型三空间向量数量积的应用例3如图所示，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M ，N 分别是AB ，CD 的中点．(1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ；(2)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值．(1)证明设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →＝r .由题意可知，|p |＝|q |＝|r |＝a ，且p ，q ，r 三个向量两两夹角均为60°.MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB→＝12(q ＋r －p )，∴MN →·AB →＝12(q ＋r －p )·p ＝12(q ·p ＋r ·p －p 2)＝12(a 2cos 60°＋a 2cos 60°－a 2)＝0.∴MN →⊥AB →，即MN ⊥AB .同理可证MN ⊥CD .(2)解设向量AN →与MC →的夹角为θ.∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r )，MC →＝AC →－AM →＝q －12p ，∴AN →·MC →＝12(q ＋r －12p2－12q ·p ＋r ·q －12r ·2－12a 2cos 60°＋a 2cos 60°－12a 2cos2－a 24＋a 22－＝a 22.又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ，∴AN →·MC →＝|AN →||MC →|cos θ＝32a ×32a ×cos θ＝a 22.∴cosθ＝23.∴向量AN →与MC →的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23.思维升华(1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置．(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角．(3)可以通过|a |＝a 2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解．跟踪训练3如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1→的长；(2)求BD 1→与AC →夹角的余弦值．解(1)记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2＋12＋6，∴|AC 1→|＝6，即AC 1的长为6.(2)BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ，∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3，BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b )＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1，∴cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1，→·AC →|BD 1→||AC →|＝66.即BD 1→与AC →夹角的余弦值为66.1．已知a ＝(2，3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x 等于()A ．(0，3，－6)B ．(0，6，－20)C ．(0，6，－6)D ．(6，6，－6)答案B解析由b ＝12x －2a ，得x ＝4a ＋2b ＝(8，12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0，6，－20)．2．在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面；③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c .其中正确命题的个数是()A ．0B ．1C ．2D ．3答案A解析a 与b 共线，a ，b 所在的直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a ，b 都共面，故②不正确；三个向量a ，b ，c 中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.3．已知向量a ＝(2m ＋1，3，m －1)，b ＝(2，m ，－m )，且a ∥b ，则实数m 的值等于()A.32B ．－2C ．0 D.32或－2答案B解析当m ＝0时，a ＝(1，3，－1)，b ＝(2，0，0)，a 与b 不平行，∴m ≠0，∵a ∥b ，∴2m ＋12＝3m ＝m －1－m ，解得m ＝－2.4．在空间直角坐标系中，已知A (1，－2，1)，B (2，2，2)，点P 在z 轴上，且满足|PA |＝|PB |，则P 点坐标为()A ．(3，0，0)B ．(0，3，0)C ．(0，0，3)D ．(0，0，－3)答案C 解析设P (0，0，z )，则有(1－0)2＋(－2－0)2＋(1－z )2＝(2－0)2＋(2－0)2＋(2－z )2，解得z ＝3.5．已知a ＝(1，0，1)，b ＝(x ，1，2)，且a·b ＝3，则向量a 与b 的夹角为()A.5π6 B.2π3 C.π3 D.π6答案D解析∵a·b ＝x ＋2＝3，∴x ＝1，∴b ＝(1，1，2)，∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝32×6＝32，又∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为π6，故选D.6.如图，在大小为45°的二面角A －EF －D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是()A.3B.2C ．1 D.3－2答案D 解析∵BD →＝BF →＋FE →＋ED →，∴|BD →|2＝|BF →|2＋|FE →|2＋|ED →|2＋2BF →·FE →＋2FE →·ED →＋2BF →·ED →＝1＋1＋1－2＝3－2，故|BD→|＝3－2.7．已知a＝(2，1，－3)，b＝(－1，2，3)，c＝(7，6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝________.答案－9解析由题意知c＝x a＋y b，即(7，6，λ)＝x(2，1，－3)＋y(－1，2，3)，x－y＝7，＋2y＝6，3x＋3y＝λ，解得λ＝－9.8．已知a＝(x，4，1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，则c＝________.答案(3，－2，2)解析因为a∥b，所以x－2＝4y＝1－1，解得x＝2，y＝－4，此时a＝(2，4，1)，b＝(－2，－4，－1)，又因为b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝(3，－2，2)．9．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，VP→＝13VC→，VM→＝23VB→，VN→＝23VD→.则VA与平面PMN的位置关系是________．答案平行解析如图，设VA→＝a，VB→＝b，VC→＝c，则VD→＝a＋c－b，由题意知PM→＝23b－13c，PN→＝23VD→－13VC→＝23a－23b＋13c.因此VA→＝32PM→＋32PN→，∴VA→，PM→，PN→共面．又VA⊄平面PMN，∴VA∥平面PMN.10．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，①(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2；②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；③向量AD 1→与向量A 1B →的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →·AA 1→·AD →|.其中正确的序号是________．答案①②解析①中，(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝A 1A →2＋A 1D 1→2＋A 1B 1→2＝3A 1B 1→2，故①正确；②中，A 1B 1→－A 1A →＝AB 1→，因为AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中，两异面直线A 1B 与AD 1所成的角为60°，但AD 1→与A 1B →的夹角为120°，故③不正确；④中，|AB →·AA 1→·AD →|＝0，故④也不正确．11．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM →＝13(OA →＋OB →＋OC →)．(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面；(2)判断点M 是否在平面ABC 内．解(1)由题意知OA →＋OB →＋OC →＝3OM →，∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)，即MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →，∴MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知MA →，MB →，MC →共面且过同一点M ，∴M ，A ，B ，C 四点共面．∴点M 在平面ABC 内．12．已知a ＝(1，－3，2)，b ＝(－2，1，1)，A (－3，－1，4)，B (－2，－2，2)．(1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE →⊥b ？(O 为原点)解(1)2a ＋b ＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)，故|2a ＋b |＝02＋(－5)2＋52＝5 2.(2)令AE →＝tAB →(t ∈R )，所以OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋tAB→＝(－3，－1，4)＋t (1，－1，－2)＝(－3＋t ，－1－t ，4－2t )，若OE →⊥b ，则OE →·b ＝0，所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得t ＝95.因此存在点E ，使得OE →⊥b ，此时E －65，－145，13.如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别为OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ＋y ＋z ＝________.答案56解析连接ON ，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－12OA →＝12b ＋12c －12a ，OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN →＝12a＋12c －12a ＝16a ＋13b ＋13c .又OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，所以x ＝16y ＝13，z ＝13，因此x ＋y ＋z ＝16＋13＋13＝56.14．A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，M 为BC 中点，则△AMD 是()A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定答案C 解析∵M 为BC 中点，∴AM →＝12(AB →＋AC →)，∴AM →·AD →＝12(AB →＋AC →)·AD →＝12AB →·AD →＋12AC →·AD →＝0.∴AM ⊥AD ，△AMD 为直角三角形．15．已知O (0，0，0)，A (1，2，1)，B (2，1，2)，P (1，1，2)，点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB→取最小值时，点Q 的坐标是________．答案(1，1，2)解析由题意，设OQ →＝λOP →，则OQ →＝(λ，λ，2λ)，即Q (λ，λ，2λ)，则QA →＝(1－λ，2－λ，1－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，∴QA →·QB →＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(1－2λ)(2－2λ)＝6λ2－12λ＋6＝6(λ－1)2，当λ＝1时取最小值，此时Q 点坐标为(1，1，2)．16．如图，在直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为棱AB ，BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值．(1)证明设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ，根据题意得|a |＝|b |＝|c |，且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a ，∴CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0，∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)解∵AC ′→＝－a ＋c ，|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |，AC ′→·CE →＝(－a ＋c ＋12c ＝12c 2＝12|a |2，∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝AC ′，→·CE →|AC ′→||CE →|＝12|a |22×52|a |2＝1010，即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.。

2024版高考数学总复习：空间向量及其运算课件

)
1
2
1
A． a－ b＋ c
2
3
2
2
1
1
B．－ a＋ b＋ c
3
2
2
1
1
1
C． a＋ b－ c
2
2
2
2
2
1
D． a＋ b－ c
3
3
2
B
解析：＝ −
1
＝ (
2
+
2
2
1
1
)－＝－ a＋ b＋ c.
3
3
2
2
2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心．若＝
( × )
1
2
3
4
2．设u＝(－2，2，t)，v＝(6，－4，4)分别是平面α，β的法向
量．若α⊥β，则t＝(
)
A．3
B．4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C．5
D．6
C
解析：因为α⊥β，所以u·v＝－2×6＋2×(－4)＋4t＝0，解得t＝
5.
1
2
3
4
3．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空
空间向量基本
间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p
定理
＝xa＋yb＋zc
推论
空间向量基本定理的3点注意
(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．
(2)由于零与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故
零不能作为基向量．
(3)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示.

2025年高考数学一轮复习第八章 -第五节空间向量及其运算【课件】

2.共面向量定理:如果两个向量,不共线,那么向量与向量,共面的充要条件是存在
唯一
= +
______的有序实数对
, ,使____________.
3.空间向量基本定理
如果三个向量,,不共面,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组 , , ,
= + +
相反
（ⅱ）当 < 0时,与的方向______.

②当 = 0或 = 时, =___.
（4）空间向量的线性运算满足如下运算律:对于实数与 ,向量与,有
① + = + ；②( + ) = + .
四、空间向量的数量积及运算律
1.数量积
非零向量,的数量积 ⋅ = cos⟨,⟩.
边的平行六面体中,与这三个向量有共同始点的体对角线所表示的向量.
（3）给定一个实数与任意一个空间向量,则实数与空间向量相乘的运算称为数
乘向量,记作.其中:

①当 ≠ 0且 ≠ 时,的模为______,而且的方向如下:
相同
（ⅰ）当 > 0时,与的方向______；
第八章立体几何与空间向量
第五பைடு நூலகம் 空间向量及其运算
1
1 强基础知识回归
2
2 研考点题型突破
1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其
课坐标表示.
标 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示,掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能用向量
解的数量积判断向量的共线和垂直.
+ + = 1）,为空间中任意一点.
3.若 = + 且点或点不在平面内,则//平面.

空间向量线性表示例题和知识点总结

空间向量线性表示例题和知识点总结一、空间向量的基本概念空间向量是在空间中具有大小和方向的量。

与平面向量类似，空间向量也用有向线段来表示。

其具有长度（模）和方向。

空间向量的模长计算公式为：若向量＄＼overrightarrow{a}＝（x,y,z)＄，则其模长＄｜＼overrightarrow{a}｜＝＼sqrt{x^2 ＋ y^2 ＋z^2}＄。

空间向量的加减法遵循三角形法则或平行四边形法则。

二、空间向量的线性运算空间向量的线性运算包括加法、减法和数乘运算。

加法：＄＼overrightarrow{a} ＋＼overrightarrow{b} ＝（x_1 ＋x_2, y_1 ＋ y_2, z_1 ＋ z_2)＄减法：＄＼overrightarrow{a} ＼overrightarrow{b} ＝（x_1 x_2,y_1 y_2, z_1 z_2)＄数乘：＄k\overrightarrow{a} ＝（kx_1, ky_1, kz_1)＄三、空间向量线性表示的例题例 1：已知空间三点＄A(1,0,1)＄，＄B(2,1,－1)＄，＄C(0,1,3)＄，求向量＄＼overrightarrow{AB}＄和＄＼overrightarrow{AC}＄，并用向量＄＼overrightarrow{AB}＄和＄＼overrightarrow{AC}＄线性表示向量＄＼overrightarrow{BC}＄。

首先，＄＼overrightarrow{AB} ＝（2 1, 1 0, －1 1) ＝（1, 1, －2)＄＄＼overrightarrow{AC} ＝（0 1, 1 0, 3 1) ＝（－1, 1, 2)＄＄＼overrightarrow{BC} ＝＼overrightarrow{AC} ＼overrightarrow{AB} ＝（－1 1, 1 1, 2 （－2)）＝（－2, 0, 4)＄设＄＼overrightarrow{BC} ＝ m\overrightarrow{AB} ＋n\overrightarrow{AC}＄，即＄（－2, 0, 4) ＝ m(1, 1, －2) ＋ n(－1, 1, 2)＄可得方程组：＄＼begin{cases}m n ＝－2 ＼＼ m ＋ n ＝ 0 ＼＼－2m ＋ 2n ＝4\end{cases}＄解得＄m ＝－1$，＄n ＝ 1$所以＄＼overrightarrow{BC} ＝＼overrightarrow{AB} ＋＼overrightarrow{AC}＄例 2：在平行六面体＄ABCD A'B'C'D'＄中，＄＼overrightarrow{AB} ＝＼overrightarrow{a}＄，＄＼overrightarrow{AD} ＝＼overrightarrow{b}＄，＄＼overrightarrow{AA'｝＝＼overrightarrow{c}＄，点＄M$ 是＄CD'＄的中点，试用＄＼overrightarrow{a}＄，＄＼overrightarrow{b}＄，＄＼overrightarrow{c}＄表示向量＄＼overrightarrow{AM}＄。

高考理科数学总复习《空间向量及运算》课件

π (4)错误．两异面直线夹角范围为(0，2 ]，两向量夹角范围[0， π]． (5)正确.A→B＋B→C＋C→D＋D→A＝A→C＋C→D＋D→A＝A→D＋D→A＝0. (6)错误．充要条件应为 a 与 b 反向且|a|≥|b|.
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高考调研 ·高三总复习·数学（理）
2.在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，B→A＋B→C＋D→D1＝(
)
→ A.D1B1
→ C.DB1
→ B.D1B
→ D.BD1
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高考调研 ·高三总复习·数学（理）
答案 D 解析 B→A＋B→C＋D→D1＝C→D＋B→C＋D→D1＝B→D＋D→D1＝B→D1，故选 D.
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高考调研 ·高三总复习·数学（理）
3．在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，向量D→1A，D→1C，A→1C1 是( )
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高考调研 ·高三总复习·数学（理）
两个向量的数量积 (1)非零向量 a，b 的数量积：a·b＝|a||b|cos a，b ． (2)向量的数量积的性质： ①a·e＝|a|cos a，e e 为单位向量； ②a⊥b⇔a·b＝0； ③|a|2＝a·a． (3)向量的数量积满足如下运算律： ①(λ·a)·b＝λ(a·b)； ②a·b＝b·a(交换律)； ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．
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高考调研 ·高三总复习·数学（理）
(4)a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)或ba11＝ab22＝ ab33(b1·b2·b3≠0)；
(5)a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a≠0，b≠0)； (6)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， A→B＝O→B－O→A＝(x2，y2，z2)－(x1，y1，z1)＝(x2－x1，y2－y1， z2－z1)．

数学复习：空间向量及其线性运算

数学复习：空间向量及其线性运算学习目标1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程.3.掌握空间向量的线性运算．导语国庆期间，某游客从上海世博园(O )游览结束后乘车到外滩(A )观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B )游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？如果游客还要登上东方明珠顶端(D )俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那么他实际发生的位移是什么？又如何表示呢？一、空间向量的有关概念知识梳理1．在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模．空间向量用字母a ，b ，c ，…表示，也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模，若向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也可以记作AB →，其模记为|a |或|AB →|.2．几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量规定长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量叫做单位向量相反向量与向量a 长度相等而方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记为－a 共线向量如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a ，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量叫做相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量注意点：(1)平面向量是一种特殊的空间向量．(2)两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同．(3)向量不能比较大小．(4)向量共线不具备传递性(非零向量除外)．例1下列关于空间向量的说法中正确的是()A ．单位向量都相等B ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等而方向相同或相反C ．若向量AB →，CD →满足|AB →|>|CD →|，则AB →>CD →D ．相等向量其方向必相同答案D解析A 中，单位向量长度相等，方向不确定；B 中，|a |＝|b |只能说明a ，b 的长度相等而方向不确定；C 中，向量不能比较大小．反思感悟空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念．跟踪训练1(多选)下列说法错误的是()A ．任意两个空间向量的模能比较大小B ．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C ．空间向量就是空间中的一条有向线段D ．不相等的两个空间向量的模必不相等答案BCD解析对于选项A ，向量的模即向量的长度，是一个数量，所以任意两个向量的模可以比较大小；对于选项B ，其终点构成一个球面；对于选项C ，零向量不能用有向线段表示；对于选项D ，两个向量不相等，它们的模可以相等．二、空间向量的加减运算问题空间中的任意两个向量是否共面？为什么？提示共面，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，因此空间中向量的加减运算与平面中一致．知识梳理加法运算三角形法则语言叙述首尾顺次相接，首指向尾为和图形叙述平行四边形法则语言叙述共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和图形叙述减法运算三角形法则语言叙述共起点，连终点，方向指向被减向量图形叙述加法运算交换律a ＋b ＝b ＋a 结合律(a ＋b )＋c ＝a＋(b ＋c )注意点：(1)求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，可以共起点．(2)三角形法则、平行四边形法则在空间向量中也适用．例2(1)(多选)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式运算结果为BD 1—→的是()A.A 1D 1——→－A 1A —→－AB →B.BC →＋BB 1—→－D 1C 1——→C.AD →－AB →－DD 1—→D.B 1D 1——→－A 1A —→＋DD 1—→答案AB解析A 中，A 1D 1——→－A 1A —→－AB →＝AD 1—→－AB →＝BD 1—→；B 中，BC →＋BB 1—→－D 1C 1——→＝BC 1—→＋C 1D 1——→＝BD 1—→；C 中，AD →－AB →－DD 1—→＝BD →－DD 1—→＝BD →－BB 1—→＝B 1D —→≠BD 1—→；D 中，B 1D 1——→－A 1A —→＋DD 1—→＝BD →＋AA 1—→＋DD 1—→＝BD 1—→＋AA 1—→≠BD 1—→.(2)对于空间中的非零向量AB →，BC →，AC →，其中一定不成立的是()A.AB →＋BC →＝AC →B.AB →－AC →＝BC→C ．|AB →|＋|BC →|＝|AC →|D ．|AB →|－|AC →|＝|BC →|答案B解析根据空间向量的加减法运算，对于A ，AB →＋BC →＝AC →恒成立；对于C ，当AB →，BC →方向相同时，有|AB →|＋|BC →|＝|AC →|；对于D ，当AB →，AC →方向相同且|AB →|≥|AC →|时，有|AB →|－|AC →|＝|BC →|；对于B ，由向量减法可知AB →－AC →＝CB →，所以B 一定不成立．反思感悟空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加法、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．跟踪训练2如图，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，E ，F ，G 分别是BC ，CD ，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果．(1)AB →＋BC →－DC →；(2)AB →－DG →－CE →.解(1)AB →＋BC →－DC →＝AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →，如图中向量AD →.(2)如图，连接GF ，GF ＝12BC ，AB →－DG →－CE →＝AB →＋BG →＋EC →＝AG →＋GF →＝AF →，如图中向量AF →.三、空间向量的数乘运算知识梳理定义与平面向量一样，实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为空间向量的数乘几何意义λ>0λa 与向量a 的方向相同λa 的长度是a 的长度的|λ|倍λ<0λa 与向量a 的方向相反λ＝0λa ＝0，其方向是任意的运算律结合律λ(μa )＝(λμ)a 分配律(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ，λ(a ＋b )＝λa ＋λb注意点：(1)当λ＝0或a ＝0时，λa ＝0．(2)λ的正负影响着向量λa 的方向，λ的绝对值的大小影响着λa 的长度．(3)向量λa 与向量a 一定是共线向量．例3如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1—→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N —→；(3)MP →.解(1)∵P 是C 1D 1的中点，∴AP →＝AA 1—→＋A 1D 1——→＋D 1P —→＝a ＋AD →＋12D 1C 1——→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋12b ＋c .(2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N —→＝A 1A —→＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC→＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(3)∵M 是AA 1的中点，∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A —→＋AP→＝－12a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c .延伸探究1．例3的条件不变，试用a ，b ，c 表示向量PN →.解因为P ，N 分别是D 1C 1，BC 的中点，所以PN →＝PC 1—→＋C 1C —→＋CN →＝12AB →＋(－AA 1—→)－12AD a ＋12b －12c .2．若把例3中“P 是C 1D 1的中点”改为“P 在线段C 1D 1上，且C 1P PD 1＝12，其他条件不变，如何表示AP →？解AP →＝AD 1——→＋D 1P —→＝AA 1—→＋AD →＋23AB →＝a ＋c ＋23b .反思感悟利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．跟踪训练3已知四边形ABCD 为正方形，P 是四边形ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O ，Q 是CD 的中点，求下列各题中x ，y 的值．(1)OQ →＝PQ →＋xPC →＋yPA →；(2)PA →＝xPO →＋yPQ →＋PD →.解(1)由图可知，OQ →＝PQ →－PO→＝PQ →－12(PA →＋PC →)＝PQ →－12PA →－12PC →，∴x ＝y ＝－12.(2)∵PA →＋PC →＝2PO →，∴PA →＝2PO →－PC →.∵PC →＋PD →＝2PQ →，∴PC →＝2PQ →－PD →，∴PA →＝2PO →－(2PQ →－PD →)＝2PO →－2PQ →＋PD →.∴x ＝2，y ＝－2.1．知识清单：(1)向量的相关概念．(2)向量的线性运算(加法、减法和数乘)．(3)向量的线性运算的运算律．2．方法归纳：类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想．3．常见误区：应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数．1．(多选)下列命题中，真命题是()A ．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C ．只有零向量的模等于0D ．共线的单位向量都相等答案ABC解析容易判断D 是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量．2．化简PM →－PN →＋MN →所得的结果是()A ．PM →B ．NP→C ．0D ．MN→答案C解析PM →－PN →＋MN →＝NM →＋MN →＝NM →－NM →＝0．3．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是()A ．平行四边形B ．空间四边形C ．等腰梯形D ．矩形答案A解析∵AO →＋OB →＝DO →＋OC →，∴AB →＝DC →.∴AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|.∴四边形ABCD 为平行四边形．4．在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，E 为PD 的中点，若PA →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，则BE →＝________.答案12a －32b ＋12c 解析BE →＝12(BP →＋BD →)＝12(－b ＋BA →＋BC →)＝－12b ＋12(PA →－PB →＋PC →－PB →)＝－12b ＋12(a ＋c －2b )＝12a －32b ＋12c .练习1．下列说法中正确的是()A ．空间中共线的向量必在同一条直线上B ．AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合C ．数乘运算中，λ既决定大小，又决定方向D ．在四边形ABCD 中，一定有AB →＋AD →＝AC →答案C解析对于A ，向量共线是指表示向量的有向线段所在直线平行或重合，所以A 错误；对于B ，AB →＝CD →的充要条件是|AB →|＝|CD →|，且AB →，CD →同向．但A 与C ，B 与D 不一定重合，所以B 错误；对于C ，λ既决定大小又决定方向，所以C 正确；对于D ，满足AB →＋AD →＝AC →的一定是平行四边形，一般四边形是不满足的，因而D 错误．2．向量a ，b 互为相反向量，已知|b |＝3，则下列结论正确的是()A ．a ＝bB ．a ＋b 为实数0C ．a 与b 方向相同D ．|a |＝3答案D解析向量a ，b 互为相反向量，则a ，b 模相等，方向相反．3.如图，在四棱柱的上底面ABCD 中，AB →＝DC →，则下列向量相等的是()A ．AD →与CB →B ．OA →与OC →C ．AC →与DB →D ．DO →与OB→答案D解析对于A ，AD →与CB →的方向相反，因而不是相等向量，所以A 错误；对于B ，OA →与OC →的方向相反，因而不是相等向量，所以B 错误；对于C ，AC →与DB →的方向不同，因而不是相等向量，所以C 错误；对于D ，DO →与OB →的方向相同，大小相等，是相等向量，因而D 正确．4.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1—→＝c ，则A 1B —→等于()A ．a ＋b －cB ．a －b ＋cC ．b －a －cD ．b －a ＋c答案C解析A 1B —→＝AB →－AA 1—→＝(CB →－CA →)－AA 1—→，∵AA 1—→＝CC 1—→＝c ，∴A 1B —→＝b －a －c .5.如图，在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M ，N 分别为OA ，BC 的中点，则MN →等于()A ．12a －12b ＋12cB ．－12a ＋12b ＋12cC ．12a ＋12b －23cD ．12a ＋12b －12c答案B解析MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝12a ＋(b －a )＋12(c －b )＝－12a ＋12b ＋12c .6．(多选)已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，则下列四式中正确的有()A ．AB →－CB →＝AC →B ．AC ′——→＝AB →＋B ′C ′———→＋CC ′——→C ．AA ′——→＝CC ′——→D ．AB →＋BB ′——→＋BC →＋C ′C ——→＝AC ′——→答案ABC解析作出平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′的图象如图，可得AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，故A 正确；AB →＋B ′C ′———→＋CC ′——→＝AB →＋BC →＋CC ′——→＝AC ′——→，故B 正确；C 显然正确；AB →＋BB ′——→＋BC →＋C ′C ——→＝AB →＋BC →＝AC →，故D 不正确．7．设A ，B ，C ，D 为空间任意四点，则AC →－BC →＋BD →＝________.答案AD→解析AC →－BC →＋BD →＝AC →＋CB →＋BD →＝AD →.8．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M 是AA 1的中点，已知AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c ，用a ，b ，c 表示CM →，则CM →＝________.答案－a －b ＋12c解析∵CM →＝CB →＋BA →＋AM →＝－BC →－AB →＋AM →，又∵M 是AA 1的中点，∴AM →＝12AA 1—→，∴CM →＝－BC →－AB →＋12AA 1—→，∵AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c ，∴CM →＝－a －b ＋12c .9.如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1.(1)化简AB →＋CC 1—→＋B 1D 1——→；(2)若AA 1—→＋x ＋BC →＋C 1D ——→＋D 1A 1——→＝0，则x 可以是图中有向线段所示向量中的哪一个？(至少写出两个)解(1)AB →＋CC 1—→＋B 1D 1——→＝AB →＋BB 1—→＋B 1D 1——→＝AB 1—→＋B 1D 1——→＝AD 1—→.(2)因为BC →＝B 1C 1——→，D 1A 1—→＝DA →，所以AA 1—→＋x ＋BC →＋C 1D —→＋D 1A 1——→＝AA 1—→＋x ＋B 1C 1——→＋C 1D —→＋DA →＝0．所以AA 1—→＋x ＋B 1A —→＝0，所以x ＝A 1B 1——→.又因为A 1B 1——→＝AB →＝DC →＝D 1C 1——→，所以x 可以是A 1B 1——→，AB →，DC →，D 1C 1——→中的任一个．10．如图，设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，若AE →＝12OD →＋xOB →＋yOA →，求x ，y 的值．解∵AE →＝AB →＋BC →＋CE→＝OB →－OA →＋OC →－OB →－12OC →＝－OA →＋12OC →＝－OA →＋12(OD →＋DC →)＝－OA →＋12(OD →＋AB →)＝－OA →＋12OD →＋12(OB →－OA →)＝12OD →＋12OB →－32→，又AE →＝12OD →＋xOB →＋yOA →，∴x ＝12，y ＝－32.11．已知空间中任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →等于()A ．DB→B ．AB →C ．AC →D ．BA →答案D 解析方法一DA →＋CD →－CB →＝(CD →＋DA →)－CB →＝CA →－CB →＝BA →.方法二DA →＋CD →－CB →＝DA →＋(CD →－CB →)＝DA →＋BD →＝BA →.12.如图，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AC 与BD 的交点为O ，点M 在BC ′上，且BM ＝2MC ′，则OM →等于()A ．－12AB →＋76AD →＋23AA ′——→B ．－12AB →＋56AD →＋13AA ′——→C ．12AB →＋16AD →＋23AA ′——→D ．12AB →－16AD →＋13AA ′——→答案C 解析因为BM ＝2MC ′，所以BM →＝23BC ′——→，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，OM →＝OB →＋BM →＝OB →＋23BC ′——→＝12DB →＋23(AD →＋AA ′——→)＝12(AB →－AD →)＋23(AD →＋AA ′——→)＝12AB →＋16AD →＋23AA ′——→.13．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．用AB →，AD →，AA 1—→表示OC 1—→，则OC 1—→＝________________.答案12AB →＋12AD →＋AA 1—→解析因为OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)，所以OC 1—→＝OC →＋CC 1—→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1—→＝12AB →＋12AD →＋AA 1—→.14．如图，在四面体ABCD 中，E ，G 分别是CD ，BE 的中点，若记AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c ，则AG →＝________.答案12a ＋14b ＋14c 解析在四面体ABCD 中，E ，G 分别是CD ，BE 的中点，则AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋12BE →＝AB →＋12×12(BC →＋BD →)＝AB →＋14(AC →－AB →＋AD →－AB →)＝AB →＋14AC →＋14AD →－12AB →＝12AB →＋14AD →＋14AC →＝12a ＋14b ＋14c .15．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，若AC ′——→＝xAB →＋y 2BC →＋z 3CC ′——→，则x ＋y ＋z ＝________.答案6解析在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AC ′——→＝AB →＋BC →＋CC ′——→，又AC ′——→＝xAB →＋y 2BC →＋z 3CC ′——→，x ＝1，y 2＝1，z 3＝1，x ＝1，y ＝2，z ＝3，∴x ＋y ＋z ＝6.16．如图，在空间四边形SABC 中，AC ，BS 为其对角线，O 为△ABC 的重心．(1)求证：OA →＋OB →＋OC →＝0；(2)化简：SA →＋12AB →－32CO →－SC →.(1)证明OA →＝－13(AB →＋AC →)，①OB →＝－13(BA →＋BC →)，②OC →＝－13(CA →＋CB →)，③由①＋②＋③得OA →＋OB →＋OC →＝0．(2)解因为CO →＝23×12(CA →＋CB →)＝13(CA →＋CB →)，所以SA →＋12AB →－32CO →－SC→＝(SA →－SC →)＋12(CB →－CA →)－32×13(CA →＋CB →)＝CA →＋12(CB →－CA →)－12(CA →＋CB →)＝0．。

2024届高考数学一轮复习+第七章《立体几何与空间向量》第五节+空间向量及其运算+课件

（5）空间向量基本定理定理:如果三个向量 , , 不共面,那么对空间任一向量 ,存在唯一有序实数组使得 _____________.推论:设 , , , 是不共面的四点,则对平面内任一点都存在唯一的有序实数组，使，且 .
2.数量积及坐标运算
（1）两个向量的数量积； _________（ , 为非零向量）; ____.
10
[解析] ，，， .
关键能力·突破
考点一空间向量的线性运算
1. （2022广东深圳重点中学高三联考）如图，空间四边形中，，，，点在上，且满足，点为的中点，则 ( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由题意得，，又，，， .
③ ,正确；④ 与不是一对相反向量,是相等向量，错误.正确结论的个数为1，故选A.
4. 已知四边形为正方形，是正方形所在平面外一点，在平面上的射影恰好是正方形的中心，是的中点，求下列各题中，的值：
（1）；
[解析] 如图，， .
（2） .
迁移应用
2. （2022江苏南通期末）试写出一个点的坐标：_ _______________________，使之与点，共线.
（答案不唯一）
[解析] 设 ,令，则，故， ,不妨令，则，故 .
3. （2022山西运城二模）如图，在几何体中，，，均为边长为2的等边三角形，平面平面，平面平面 .求证：，，，四点共面.
5. （2022福建宁德期末）如图，在平行六面体中，，，，点是中点，则异面直线与所成角的余弦值是_ ____.
[解析] ， .又，，从而有，， .
方法感悟用已知向量表示某一向量的三个关键点（1）用已知向量来表示某一向量，一定要结合空间图形，以图形为指导是解题的关键.（2）要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.（3）在空间中，向量的三角形法则、平行四边形法则仍然成立.

直击2024年高考——高三数学空间向量考点精讲(全国版)

空间向量考点精讲1．空间向量的线性运算已知空间向量，a b ，我们可以把它们移到同一个平面α内，以任意点O 为起点，作向量OA AB ==，a b ．类似于平面向量，定义空间向量的加法、减法以及数乘运算： ① OA AB OB +=+=a b ；② OA OC CA −=−=a b ；③ 当0λ>时，λa 与向量a 方向相同；当0λ<时，λa 与向量a 方向相反；当0λ=时，λ0a =；λa 的长度是a 的长度的λ倍．2．空间向量线性运算的运算律交换律：+=+a b b a ；结合律：()()++=++a b c a b c ，()()λμλμ=a a ；分配律：()λμλμ+=+a a a ，()λλλ+=+a b a b 。

3．空间向量的数量积运算已知两个非零向量，a b ，则cos ，a b a b 叫做，a b 的数量积，记作⋅a b ．即cos ⋅=，a b a b a b ．特别地，零向量与任何向量的数量积为0．由向量的数量积定义，可以得到：=0⊥⇔⋅a b a b ；2cos ⋅==，a a a a a a a ．4．空间向量数量积的运算律()()λλ⋅=⋅a b a b ；⋅=⋅a b b a （交换律）；()+⋅=⋅+⋅a b c a c b c （分配律）．5．空间向量基本定理如果三个向量，，a b c 不共面，那么对任意一个空间向量p ，存在唯一的有序实数组{}x y z ，，，使得x y z =++p a b c ．由此可知，如果三个向量，，a b c 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{}x y z x y z =++∈R ，，，p p a b c ．这个集合可看作是由向量，，a b c 生成的，把{}，，a b c 叫做空间的一个基底，，，a b c 都叫做基向量．空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．6．空间向量的坐标运算设123123()()a a a b b b ==，，，，，a b ，则 ①112233()a b a b a b +=+++，，a b ．②112233()a b a b a b −=−−−，，a b ．③123()a a a λλλλ=，，a ．④112233a b a b a b ⋅=++a b ．⑤112233()a b a b a b λλλλλ⇔=⇔===∈≠R 0∥，，，a b a b b ． ⑥11223300a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔++=a b a b ．⑦==a ⑧cos ⋅==，a b a b a b ⑨设11112222()()P x y z P x y z ，，，，，是空间中任意两点，则 1212(PP PP x ==.7．空间向量解平行垂直问题设直线l m ，的方向向量分别为，a b ，平面αβ，的法向量分别为，u v ，则（1）l m k k ⇔⇔=∈R ∥∥，a b a b ；（2）0l m ⊥⇔⊥⇔⋅=a b a b ；（3）0l α⇔⊥⇔⋅=∥a u a u ；（4）l k k α⊥⇔⇔=∈R ∥，a u a u ；（5）k k αβ⇔⇔=∈R ∥∥，u v u v ；（6）0αβ⊥⇔⊥⇔⋅=u v u v ．8．空间向量解距离夹角问题（1）点到直线的距离已知直线l 的单位方向向量为u ，A 是直线l 上的定点，P 是直线l 外一点，向量AP 在直线l 上的投影向量为AQ . 设AP =a ，则点P 到直线l 的距离为 22PQ AP AQ =−=a （2）点到平面的距离已知平面α的法向量为n ，A 是平面α内的定点，P 是平面α外一点. 过点P 作平面α的垂线l ，交平面α于点Q ，则点P 到平面α的距离为 AP AP PQ AP ⋅⋅=⋅==n n n n n n.（3）异面直线所成角若异面直线12l l ，所成的角为θ，其方向向量分别是，u v ，则cos cos θ⋅==，u v u v u v .（1）直线与平面所成角设直线l 的方向向量为u ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为θ，则sin cos θ⋅==，u n u n u n ．（4）两平面间的夹角平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角。

高二数学复习典型题型与知识点专题讲解1---空间向量及其运算(解析版)

高二数学复习典型题型与知识点专题讲解 01空间向量及其运算+空间向量基本定理+空间向量及其运算的坐标表示一、典例精析拓思维（名师点拨）知识点1 回路法求模与夹角知识点2 共线与共面知识点3 空间向量基本定理知识点4 建系设点二、题型归类练专练一、典例精析拓思维（名师点拨）知识点1 回路法求模与夹角例1．（2021·湖北省直辖县级单位·高二阶段练习）如图，平行六面体ABCD A B C D ''''-，其中4AB =，3AD =，3AA '=，90BAD ∠=︒，60BAA '∠=︒，60DAA '∠=︒，则AC '的长为________【详解】根据题意，''AC AC CC AB BC AA =+='++'AC AB BC AA ∴=++'根据题中的数据可知，()()()()2'22'2'2222'2?··433243cos9033cos 6043cos 6055AB BC AA AB BC AA AB BC BC AA AB AA AC AB BC AA ++=+++++=+++⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒=∴=++=名师点评：回路法求模，比如AD AB BC CD =++,则有22||()AD AB BC CD =++。

也如本例中：AC AB BC CC '=+'+，特别提醒：找向量夹角时，注意共起点才能找夹角，当两个向量不共起点时，需平移成共起点条件下找夹角.例2．（2021·重庆南开中学高二阶段练习）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60︒，则AC 与1BD 所成角的余弦值___________.【详解】因为111,AC AB AD BD AD AB AA AD AB =+=-=+-，所以()()()()111AC BD AB AD AA AD AB AB AD AA AD AB ⋅=+⋅+-=+⋅+-，2211AB AA AB AD AA AD =⋅-+⋅+， 2222cos60222cos6024=⨯⨯-+⨯⨯+=， ()22222AC AB AD AB AB AD AD =+=+⋅+， 222222cos60212=+⨯⨯⨯+=，所以23AC =()2211BD AA AD AB =+-，222111222AA AD AB AA AD AA AB AD AB =+++⋅-⋅-⋅，222222222cos60222cos60222cos60=+++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯， 8= 所以122BD =设AC 与1BD 所成的角为θ,所以111cos cos ,2AC BD AC BD AC BD θ⋅====⋅. 名师点评：利用向量求异面直线所成角时注意：①0,a b π≤<>≤，利用公式cos ,||||a b a b a b ⋅<>=，求出的cos ,a b <>可正可负可为零；②异面直线a ，b 所成角02πθ<≤，在利用向量求异面直线所成角时注意转化cos |cos ,|a b θ=<>. 知识点2 共线与共面例1．（2021·辽宁·大连市第一中学高三期中）在ABC ∆中，点D 是线段BC 上任意一点（不包含端点），若AD mAB nAC=+，则41m n+的最小值为______．【答案】9【详解】 D 是线段BC 上一点，B ∴，C ，D 三点共线，AD mAB nAC =+，1m n ∴+=，且0m >，0n >，∴14()()52459441n m n m n m n m n m+=++=+++=，当且仅当4m n n m=时取等号． ∴41m n+的最小值为9．故答案为：9．练习1-1．（2021·广东深圳·高三阶段练习）如图，在ABC ∆中，点P 满足2BP PC =，过点P 的直线与AB AC ，所在的直线分别交于点M N ，若AM AB λ=，,(0,0)AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为__________．【答案】1 【详解】 BP BA AP =+，PC PA AC =+，又2BP PC =，∴()2AB AP AC AP -+=-， ∴12123333AP AB AC AM AN λμ=+=+，又P 、M 、N 三点共线， ∴12133λμ+=，∴12122()11333333μλλμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当233μλλμ=，即1233λμ==时取等，∴λμ+的最小值为1故答案为：1练习1-2．（2021·全国·高二单元测试）已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使OA λ+mOB +nOC =0，那么m n λ++的值为________.【答案】0【详解】因A ，B ，C 三点共线，则存在唯一实数k 使AB k AC =，显然0k ≠且1k ≠，否则点A ，B 重合或点B ，C 重合，则()OB OA k OC OA -=-，整理得：(1)0k OA OB kOC -+-=，令λ=k -1，m =1，n =-k ，显然实数λ，m ，n 不为0，因此，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA +m OB +n OC =0，此时λ+m +n = k -1+1+(-k )=0，所以λ+m +n 的值为0.故答案为：0另解：由A ，B ，C 三点共线，且OA λ+mOB +nOC =0⇒mnOA OB OC λλ=--()10mn m n m n λλλλ⇒-+-=⇒+=-⇒++= 名师点评：①空间中三点,,P A B 共线⇔PA PB λ=;②空间中三点,,P A B 共线⇔对于空间中任意一点O ,(1)OP OA OB λμλμ=++=合理的利用好三点共线向量的充要条件，在解题时可以迅速得出结论。

高考数学专题复习《空间向量及其运算》PPT课件

(3)a·b= x1x2+y1y2+z1z2
;
(4)|a|= ·=
(5)当 a≠0 且 b≠0
12 + 12 + 12
·
时,cos<a,b>=||||
;
=
1 2 +1 2 +1 2
12 +12 +12 22 +22 +22
.
9.空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
第七章
7.5 空间向量及其运算
内
容
索
引
01பைடு நூலகம்
必备知识预案自诊
02
关键能力学案突破
【知识梳理】
1.空间向量
(1)定义:空间中既有大小
又有方向
(2)向量的模(或长度):向量的大小
.
的量称为空间向量.
(3)表示方法:
①几何表示法:可以用有向线段
来直观的表示向量,如始点为A终点
为B的向量,记为 ,向量的模用 | | 表示.
(ⅰ)当λ>0时,与a的方向相同
;
(ⅱ)当λ<0时,与a的方向相反
,而且λa的方向:
.
②当λ=0或a=0时,λa= 0 .
(4)空间向量的线性运算满足如下运算律:
对于实数λ与μ,向量a与b,有λa+μa=(λ+μ)a,λ(a+b)=λa+λb.
4.空间向量的数量积
(1)空间向量的夹角
非零
<a,b>
x2=λx1
(1)当 a≠0 时,a∥b⇔b=λa⇔(x2,y2,z2)=λ(x1,y1,z1)⇔ y2=λy1

高中空间向量及其运算知识点+例题+练习

教学内容空间向量及其运算教学目标.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.重点.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，运用向量的共线与垂直证明直线、平面的平行和垂直关系难点.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，运用向量的共线与垂直证明直线、平面的平行和垂直关系教学准备教学过程自主梳理1．空间向量的有关概念及定理(1)空间向量：在空间中，具有________和________的量叫做空间向量．(2)相等向量：方向________且模________的向量．(3)共线向量定理对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是________________________．(4)共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使得p＝x a＋y b，推论的表达式为MP→＝xMA→＋yMB→或对空间任意一点O有，OP→＝________________或OP→＝xOA→＋yOB→＋zOM→，其中x＋y＋z＝____.(5)空间向量基本定理如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝________________________，把{e1，e2，e3}叫做空间的一个基底．2．空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a·b＝________________________________________________.(2)共线与垂直的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，若b≠0，则a∥b⇔________⇔__________，________，______________，a⊥b⇔__________⇔________________________(a，b均为非零向量)．(3)模、夹角和距离公式设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝a·a＝________________________________，cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝__________________________.若A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则|AB→|＝______________________________.教学效果分析教学过程3．利用空间向量证明空间中的位置关系若直线l，l1，l2的方向向量分别为v，v1，v2，平面α，β的法向量分别为n1，n2，利用向量证明空间中平行关系与垂直关系的基本方法列表如下：平行垂直直线与直线l1∥l2⇔v1∥v2⇔v1＝λv2(λ为非零实数)l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0直线与平面①l∥α⇔v⊥n1⇔v·n1＝②l∥α⇔v＝x v1＋y v2其中v1，v2为平面α内不共线向量，x，y均为实数l⊥α⇔v∥n1⇔v＝λn1(λ为非零实数)平面与平面α∥β⇔n1∥n2⇔n1＝λn2(λ为非零实数)α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0 自我检测1．若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，且a∥b，则x＝_________，y＝________.2．如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1→＝a，A1D1→＝b，A1A→＝c，则B1M→用a，b，c表示为________．3．在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，已知∠BAD＝∠A′AB＝∠A′AD＝60°，AB＝3，AD＝4，AA′＝5，则|AC′→|＝________.4．下列4个命题：①若p＝x a＋y b，则p与a、b共面；②若p与a、b共面，则p＝x a＋y b；③若MP→＝xMA→＋yMB→，则P、M、A、B共面；④若P、M、A、B共面，则MP→＝xMA→＋yMB→.其中真命题是________(填序号)．5．A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)这四个点________(填共面或不共面).教学效果分析教学过程探究点一空间基向量的应用例1已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，若AB＝OC，求证：PM⊥QN.变式迁移1如图，在正四面体ABCD中，E、F分别为棱AD、BC的中点，则异面直线AF和CE所成角的余弦值为________．教学效果分析教学过程探究点二利用向量法判断平行或垂直例2两个边长为1的正方形ABCD与正方形ABEF相交于AB，∠EBC＝90°，点M、N分别在BD、AE上，且AN＝DM.(1)求证：MN∥平面EBC；(2)求MN长度的最小值．变式迁移2如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥面BDF.教学效果分析教学过程探究点三利用向量法解探索性问题例3如图，平面P AC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为P A，PB，AC的中点，AC＝16，P A＝PC＝10.(1)设G是OC的中点，证明FG∥平面BOE；(2)在△AOB内是否存在一点M，使FM⊥平面BOE？若存在，求出点M到OA，OB的距离；若不存在，说明理由．变式迁移3已知在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D为A1C1的中点，E为B1C的中点．(1)求直线BE与A1C所成的角的余弦值；(2)在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF？若存在，求出AF；若不存在，请说明理由．1．向量法解立体几何问题有两种基本思路：一种是利用基向量表示几何量，简称基向量法；另一种是建立空间直角坐标系，利用坐标法表示几何量，简称坐标法．2．利用坐标法解几何问题的基本步骤是：(1)建立适当的空间直角坐标系，用坐标准确表示涉及到的几何量．(2)通过向量的坐标运算，研究点、线、面之间的位置关系．(3)根据运算结果解释相关几何问题．教学效果分析教学过程(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．下列命题：①若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0；②|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件；③若a、b共线，则a与b所在直线平行；④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(其中x、y、z∈R)则P、A、B、C四点共面．其中不正确命题的序号为________．2．若A、B、C、D是空间中不共面的四点，且满足AB→·AC→＝0，AC→·AD→＝0，AB→·AD→＝0，则△BCD的形状是______________三角形．3. 如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角等于________．4．设点C(2a＋1，a＋1,2)在点P(2,0,0)、A(1，－3,2)、B(8，－1,4)确定的平面上，则a＝____________.5．在直角坐标系中，A(－2,3)，B(3，－2)，沿x轴把直角坐标系折成120°的二面角，则AB的长度为________．6. (2010·信阳模拟)如图所示，已知空间四边形ABCD，F为BC的中点，E为AD的中点，若EF→＝λ(AB→＋DC→)，则λ＝________.7．(2010·铜川一模)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，给出以下向量表达式：①(A1D1→－A1A→)－AB→；②(BC→＋BB1→)－D1C1→；③(AD→－AB→)－2DD1→；④(B1D1→＋A1A→)＋DD1→.其中能够化简为向量BD1→的是________．(填所有正确的序号) 8．(2010·丽水模拟) 如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈DP→，AE→〉＝33，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为________．二、解答题(共42分)9．(14分) 如图所示，已知ABCD—A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点教学效果分析E 在AA 1上，点F 在CC 1上，且AE ＝FC 1＝1.(1)求证：E 、B 、F 、D 1四点共面；(2)若点G 在BC 上，BG ＝23，点M 在BB 1上，GM ⊥BF ，垂足为H ，求证：EM ⊥平面BCC 1B 1.10．(14分)(2009·福建)如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且MD ＝NB ＝1，E 为BC 的中点．(1)求异面直线NE 与AM 所成角的余弦值；(2)在线段AN 上是否存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ？若存在，求线段AS 的长；若不存在，请说明理由．11. (14分)如图所示，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M 、N 分别是AB 、CD 的中点．(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．。

2021年高考数学总复习：空间向量的运算及应用

B. (a＋b－c)
C. (a－b＋c)
D. (－a－b＋c)
B[ ＝＋＝( － )＋＝－＋ ( － )＝＋－＝ (a＋b－c)．]
5．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足 · ＝0， · ＝0， · ＝0，M为BC中点，则△AMD是()
A．钝角三角形B．锐角三角形
C．直角三角形D．不确定
A．相交
B．平行
C．垂直
D．不能确定
B[∵正方体棱长为a，A1M＝AN＝，
∴ ＝，＝，＋ )＋＋＝＋ .
又∵ 是平面B1BCC1的法向量，
且 · ＝ · ＝0，
∴ ⊥ ，
∴MN∥平面B1BCC1.故选B.]
3．△ABC的顶点分别为A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD等于________．
法二：(特值法)在三棱锥ABCD中，不妨令其各棱长都相等，则正四面体的对棱互相垂直．
所以 · ＝0， · ＝0， · ＝0.
所以 · ＋ · ＋ · ＝0.]
2. (2019·四川名校联考)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()
(2)求证：A1F⊥C1E；
(3)若A1，E，F，C1四点共面，求证：＝＋ .
[解](1)E(a，x，0)，F(a－x，a，0)．
(2)证明：∵A1(a，0，a)，C1(0，a，a)，
∴ ＝(－x，a，－a)，＝(a，x－a，－a)，
∴ · ＝－ax＋a(x－a)＋a2＝0，
∴ ⊥ ，∴A1F⊥C1E.
C[∵M为BC中点，∴ ＝ ( ＋ )，

高考数学复习考点知识与题型专题讲解56---空间向量及其应用

r
r
rr
向量或平行向量， a 平行于 b ，记作 a / /b .
4.共线向量定理
( ) r r r r r r
rr
对空间中任意两个向量 a ，b b ≠ 0 ， a / /b 的充要条件是存在实数 λ ，使 a = λb .
5.直线的方向向量
r 如图 8-153 所示， l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线.对空间任意
命题趋势探究立体几何试题中，证明线面、面面的位置关系一般利用传统方法（非向量法）证明，
对于空间角和距离的计算，既可用传统方法解答，也可以用向量法解答，而且多数情况下向量法会更容易一些.预测在 2021 年高考对本专题的考查会在解答题中以中档题出现，分值保持在 12 分左右.
知识点精讲
1 / 33
（2）已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A ， B ， C ，满足向量关系式
uuur uuur uuur uuur OP = xOA + yOB + zOC （其中 x + y + z = 1 ）的点 P 与点 A ， B ，C 共面；反之也成立.
三、空间向量的数量积运算
1.两向量夹角
rr
uuur r uuur r
OP = OA + t AB = OA + t OB − OA = (1− t )OA + tOB ②
①和②都称为空间直线的向量表达式，当 t = 1 ，即点 P 是线段 AB 的中点时，
2
( ) uuur
OP
=
1
uuur uuur OA + OB
，此式叫做线段 AB 的中点公式.
2
6.共面向量

2025年高考数学复习核心考点全题型突破(新教材新高考)第03讲空间向量及其应用(解析版)

第03讲空间向量及其应用目录题型一：空间向量的线性运算 (1)题型二：共线、共面向量定理的应用 (3)题型三：求数量积 (6)题型四：求长度 (9)题型五：求夹角 (12)题型六：向量的投影和投影向量 (16)题型七：空间向量夹角为钝角（锐角）求参数 (18)题型八：求平面的法向量 (20)题型九：利用空间向量证明平行与垂直 (21)A．131 242 a b c-+【答案】D【详解】如图，连接ONN Q 是BC 的中点，∴ON 3OM MA =，∴34OM = ∴12MN ON OM OB =-=+ 故选：D ．精练核心考点【详解】如图所示，因为点M 在平面BCD ()(AB x AC AB y -=-+ AB，AC ，AD 表示AM ．2023秋·高一单元测试）下列条件能使点【详解】12PC = ，23PN PD = ，2132PN PM PD PC =-=-= )()12AP AB AD AP --+-=- x【答案】12m n ==【详解】因为点E 是上底面所以()111111122A E A B A D += =又因为11AA A E AE +=,11精练核心考点2．（2023春·福建福州·高二校联考期中）已知【答案】2【详解】因为(1,1,2a =因为2a b -= ，所以a -【答案】1【详解】∵1A A ⊥平面ABC 12,AC AB AA BC === 又22BC AE ＝＝，∴E 为112,2,AA AC =∴= 又112AE AC AB AC ()∴⋅=+⋅(1)用a ，b ，c 表示BM；(2)求BM .【答案】(1)1122BM a b =-+ (2)52BM =精练核心考点2．（2023春·陕西安康·高二校联考期末）已知空间向量2a b c -+= ．【答案】5【详解】因为1a b c === ，且a 所以11cos 60a b b c a c ⋅=⋅=⋅=⨯⨯∴11AC AD AB CC AD =++= 设AB a =，则1AD AA a == 所以212AB AD a ⋅= ，1AB AA ⋅ AC AB AD AA =++【答案】37【详解】正三棱锥ABCD 因为::1:AE EB AF FD ==所以11,33AE AB AF AD == 所以()()CA AE BA AF +⋅+【答案】66.【详解】记AB a=，AD b = ，1AA = 12a b b c a c ∴⋅=⋅=⋅= ，BD b c a =+- ，AC a b =+ ，精练核心考点1．（多选）（2023秋·湖南衡阳·高二统考期末）（多选）已知()1,0,2a = ，()2,1,1b =是平面α内的两个向量，则平面α的一个法向量可以是（）【答案】证明见解析【详解】因为在底面ABCD 内，连接OC ，因为O 为AD 的中点，所以四边形ABCO 是平行四边形，所以π所以131,,22CE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，(1,0,0AB = 设平面PAB 的法向量为(,,n x y z = ·0·30AB n x AP n y z ⎧==⎪⎨=+=⎪⎩ ，令1z =，得因为3300CE n =-+= ，所以【答案】证明见解析【详解】证明：建立如图所示的空间直角坐标系则()()(000310C A B ,,,,,,所以()3,1,2,EA CE =-=uu ruur 设平面ECA 的一个法向量是则1111113220n EA x y z n CE z ⎧⋅=+-⎪⎨⋅==⎪⎩(1)求证：1EF B C ⊥；(2)求EF 与CG 所成角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)33【详解】（1）建立以D 点为坐标原点所以11(2)0(1)EF B C ⋅=⨯-++-⨯ （2）由（1）知，3(0,,0),2G CG 则cos ,||||EF CG EF CG EF CG ⋅<>==⋅ 因为EF 与CG 所成角的范围为0,⎡⎢⎣【答案】证明见解析【详解】以A 为原点，AB ，AD ，1AA 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图则(1B ,0,0)，(0D ,1,0)，(0E ,0,2)，1(1B ,0,4)，1(0D ,1,4)，(1F ,1,2)，1(0,1,2)DE FB ==- ，1//DE FB ∴，同理11//BD B D ，DE ⊄ 平面11B D F ，1FB ⊂平面11B D F ，//DE ∴平面11B D F ，BD ⊄ 平面11B D F ，11B D ⊂平面11B D F ，//BD ∴平面11B D F ，又,,DE BD D DE BD ⋂=⊂平面BDE∴平面BDE 与平面11B D F 平行．2．（2023春·高二课时练习）在正方体1111ABCD A B C D -中，,,M N P 分别是11111,,CC B C C D 的中点，试建立适当的空间直角坐标系，求证：平面//MNP 平面1A BD .【答案】证明见解析【详解】证明:如图，以1D 为坐标原点，11111,,D A D C D D 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，则有()11,0,0A ，()1,1,1B ，D 于是()10,1,1A B = ，(1A D =- 显然有112NM A D = ，12PM = 由1//NM A D ，NM ⊄平面1A 【答案】证明见解析.【详解】连接FC ，∵CD 又PD FD ⊥，CD FD 、∴PD ⊥平面CFD即PD ⊥平面ABCD ，∴∴以D 为坐标原点，以∴0DF EC ⋅= ，∴DF EC ⊥.。

1.1.1空间向量及其线性运算7题型分类(讲+练)(学生版)24-25学年高二必修一数学同步知识题型

1.1.1 空间向量及其线性运算7题型分类一、空间向量的概念1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．2．长度或模：向量的大小．3．表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a ，b ，c ，…表示；若向量a 的起点是A ，终点是B ，也可记作AB → ，其模记为|a |或|AB→|.4．几类特殊的空间向量二、空间向量的线性运算1．空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb .2．直线的方向向量在直线l 上取非零向量a ，我们把与向量a 平行的非零向量称为直线 l 的方向向量．四、共面向量1．共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA →所在的直线OA 与直线l 平行或重合，那么称向量a 平行于直线l .如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．2．向量共面的充要条件如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .（一）空间向量的概念(1)判断有关向量的命题时，要抓住向量的两个主要元素，即大小和方向，两者缺一不可;(2)要注意零向量的特殊性。

对于零向量，我们应明确:①零向量不是没有方向，它的方向是任意的;②零向量与任何向量都共线.(3)对于共线向量我们应明确:①当我们说a 与b 共线时，表示a ,b 的两条有向线段所在的直线有可能是同一直线，也可能是平行直线，当我们说a //b 时，也具有相同的意义;②共线(平行)向量不具有传递性，如a //b ,b //c .那么a //c 就不一定成立，因为当b =0时，虽然有a //b //c ,但a 不一定与c 共线，若a ,b ,c 都不是零向量，则具有传递性.(4)在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是模相等、方向相反．题型1：利用空间向量有关概念判断命题1-1．（2024高二上·全国·课后作业）给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量,a b r r 满足a b =r r ，则a b =r r ；④若空间向量,,m n p r r r 满足,m n n p == r r r r ，则m p = r r；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．11-2．（2024高二·全国·课后作业）下列关于空间向量的命题中，正确的序号是 .①若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②a b =r r 是向量a b =r r 的必要非充分条件；③向量a r、b r 相等的充要条件是a b a bì=ïíïîP v v vv ④若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则AB DC = r r是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件.1-3．（2024高二·全国·课后作业）已知a r为三维空间中的非零向量，下列说法不正确的是（）A ．与a r共面的单位向量有无数个B ．与a r垂直的单位向量有无数个C ．与a r 平行的单位向量只有一个D ．与a r 同向的单位向量只有一个1-4．（2024高三上·广东·阶段练习）如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的中心为O ，则下列结论中①OA r +OD r 与OA r 1+OD r1是一对相反向量；②OB r -OC r 1与OC r -OBr 1是一对相反向量；③OA r 1+OB r 1+OC r 1+OD r 1与OD r +OC r +OBr +OA r 是一对相反向量；④OC r -OAr 与OC r 1-OA r 1是一对相反向量．正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4（二）空间向量的加减运算空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．题型2：利用空间向量的加减法运算求解化简2-1．（2024高二上·北京大兴·期末）空间向量OA OB AC -+= r r r（）A ．ABrB ．CB rC ．OC rD ．BCr2-2．（2024高二下·安徽亳州·开学考试）在长方体1111ABCD A B C D -中，O 为线段AC 的中点，则1OA AD AB ++= r r r（）A ．1AD uuur B ．1OB r C ．1OC r D ．1OD uuur2-3．（2024高二下·江苏连云港·期中）正方体1111ABCD A B C D -中，化简1AB BD AC +-= r r r（）A ．1CB rB ．1BC r C ．1C DrD ．1DC r（三）空间向量的线性运算（1）利用数乘运算进行向量表示的注意点①数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．②明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙利用线段的中点进行解题．（2）进行向量的线性运算，实质上是在正确运用数乘运算律的基础上进行向量求和，即通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和．运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中．题型3：利用空间向量数乘运算化简求解空间向量3-1．（2024高二下·全国·单元测试）若,,,A B C D 为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（）A ．22AB BC CD DC+++ r r r r B ．2233AB BC CD DA AC++++ r r r r r C ．AB DA BD++ r r r D ．AB CB CD AD -+- r r r r 3-2．（2024高二·全国·课后作业）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，M 是1BB 的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量.(1)1CB BA + r r ；(2)112AC CB AA ++ r r r ；(3)111122AA B B AC CB --- r r rr .3-3．（2024高二上·全国·阶段练习）已知在空间四边形ABCD 中，12CG CD = r r ，则2BD BC AB ++= r r r （）A ．2AG rB ．2GC r C ．2BC rD ．12r BC3-4．（辽宁省沈阳市东北育才学校2023-2024学年高二上学期第二次段考数学试题（理科））已知正方体ABCD A B C D -¢¢¢¢，点E 是A C ¢¢的中点，点F 是AE 的三等分点，且12AF EF =，则AF r 等于（）．A ．1122AA AB AD ¢++ r r rB ．111222AA AB AD ¢++ rr r C ．111266AA AB AD ¢++ r r r D ．111366AA AB AD ¢++ r r r 3-5．（2024高二上·广东深圳·期末）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别是BC 、1CC 的中点，G 为ABC V 的重心，则GF = r（）A ．1121332AB AC AA -++ r r r B ．1121332AB AC AA ++r r r C ．1211332AB AC AA -+- r r r D ．1121332AB AC AA -+ r r r （四）向量共线的判定及应用1、向量共线的判定及应用(1)利用向量的共线证明了线线平行，解题时应注意向量共线与两直线平行的区别．(2)判断或证明两向量a ，b (b ≠0)共线，就是寻找实数λ，使a ＝λb 成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达．(3)判断或证明空间中的三点(如P ，A ，B )共线的方法：是否存在实数λ，使PA → ＝λPB →；2、判断向量共线的策略:（1）熟记共线向量的充要条件:①若a //b ,b ≠0，则存在唯一实数l 使a =l b ;②若存在唯一实数l ，使a =l b ，则a //b .（2）判断向量共线的关键:找到实数l .3、三点共线与直线平行的判断:（1）线线平行:证明两直线平行要先证明两直线的方向向量a ,b 平行，还要证明一直线上有一点不在另一条直线上.（2）三点共线:证明三点,,A B C 共线，只需证明存在实数l ，使AB BC l = r r 或AB AC l = r r即可.题型4：向量共线的判定4-1．（2024高二·全国·课后作业）已知向量a r 、b r 满足2AB a b =+ r r r ，56BC a b =-+ r r r，72CD a b =- r r r ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，DB ．A ，B ，CC ．B ，C ，DD ．A ，C ，D4-2．（2024高二·全国·课后作业）如图，四边形ABCD ､ABEF 都是平行四边形且不共面，M ､N 分别是AC ､BF的中点，判断CE r与MN r 是否共线？4-3．（2024高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 在11A D 上，且112A E ED = r r，点F 在体对角线1AC 上，且123A F FC = r r．求证：E ，F ，B 三点共线．4-4．（2024高二·甘肃武威·课后作业）满足下列条件，能说明空间不重合的A 、B 、C 三点共线的是( )A ．AB BC AC += v v vB ．AB BC AC-= v v v C ．AB BC= v v D ．AB BC= v v 题型5：向量共线的应用5-1．（2024高二·全国·课后作业）设,a b r r 是空间中两个不共线的向量，已知9AB a mb =+ r r r ，2BC a b =--r r r ，2DC a b =- r r r，且,,A B D 三点共线，则实数m = ．．5-2．（2024高二上·贵州黔南·期中）设1e r ，2e r 是两个不共线的空间向量，若122A e e B -= rr r ，1233BC e e =+ r r r ，12CD e ke =+uuu r u r ur，且A ，C ，D 三点共线，则实数k 的值为.5-3．（2024高二上·广东广州·期末）已知{},,a b c r r r 是空间的一个基底，若23ma b c=+- rr r r ，()()3()n x a b y b c a c =+-+++r r r r r r r ，若m n r r ∥，则xy =（）A ．3-B ．13-C ．3D ．13（五）向量共面的判定及应用1、向量共面的充要条件如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b ．2、证明空间向量共面、点共面的常用方法(1)证明空间三个向量共面常用的方法①证明其中一个空间向量可以表示成另两个空间向量的线性组合，即若a ＝x b ＋y c ，则空间向量a ，b ，c 共面；②寻找平面α，证明这些空间向量与平面α平行．(2)对空间四点P ，M ，A ，B 可通过证明下列结论成立来证明四点共面①MP → ＝xMA → ＋yMB →；②对空间任一点O ，OP → ＝OM → ＋xMA → ＋yMB →；③对空间任一点O ，OP → ＝xOA → ＋yOB → ＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)；④PM → ∥AB → (或PA → ∥MB → ，或PB → ∥AM →)．题型6：向量共面的判定6-1．（2024高二上·全国·课后作业）已知,,i j k r r r 是不共面向量，2,32,37=-+=-++=-+r r r r r r r r r r r a i j k b i j k c i j ，证明这三个向量共面.6-2．（2024高二下·江苏·课后作业）设空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若点P 满足向量关系OP xOA yOB zOC =++ r r r r（其中1x y z ++=），试问：P ，A ，B ，C 四点是否共面？6-3．（2024高二下·上海杨浦·期中）下列条件中，一定使空间四点P ､A ､B ､C 共面的是（）A ．OA OB OC OP++=-uur uuu r uuu r uuu rB ．OA OB OC OP++=uur uuu r uuu r uuu r C ．2OA OB OC OP ++=uur uuu r uuu r uuu r D ．3OA OB OC OP++= r r r r 6-4．（湖北省云学新高考联盟2023-2024学年高二上学期期末联考数学试题）在下列条件中，能使M 与A ，B ，C 一定共面的是（）A ．2OM OA OB OC=-- r r r r B ．111532OM OA OB OC =++ r r r rC ．0MA MB MC ++= r r r r D ．0OM OA OB OC +++= r r r r r 题型7：向量共面的应用7-1．（2024高二上·湖北黄冈·期末）{},,a b c r r r 是空间向量的一组基底，2OA a mb c =++r r r r ，2OB a b =+ r r r ，OC a b c =++ r r r r，已知点O 在平面ABC 内，则m = .7-2．（2024高二上·山东烟台·期中）已知O 为空间中一点，,,,A B C D 四点共面且任意三点不共线，若2BD xOA OB OC =++ r r r r，则x 的值为．7-3．（2024高二上·重庆北碚·阶段练习）在三棱锥P ABC -中，M 是平面ABC 上一点，且52PM PA tPB PC =++ r r r r，则t = （）A ．1B ．2C ．17D ．127-4．（2024高二下·江苏淮安·期中）已知,,A B C 三点不共线，O 是平面ABC 外任意一点，若由1153OP OA OB OC l =++ r r r r确定的一点P 与,,A B C 三点共面，则l 等于（）A ．23-B ．23C ．715D ．715-7-5．（江西省宜春市八校2023-2024学年高二上学期第一次（12月）联合考试数学试题）如图,平面ABC 内的小方格均为正方形,点P 为平面ABC 内的一点,O 为平面ABC 外一点,设2OP mOA nOB OC =++ r r r r,则m n +的值为（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-7-6．（2024高二上·辽宁大连·期中）已知,,A B C 三点不共线，O 是平面ABC 外任意一点，若21256OM OA OB OC l =++ r r r r，则,,,A B C M 四点共面的充要条件是（）A ．1360l =B ．1760l =C ．1760l =-D ．1360l =-一、单选题1．（2024高二·全国·课后作业）下面关于空间向量的说法正确的是（）A ．若向量,a b r r 平行，则,a b r r所在直线平行B ．若向量,a b r r 所在直线是异面直线，则,a b r r不共面C ．若A ，B ，C ，D 四点不共面，则向量AB r，CD r 不共面D ．若A ，B ，C ，D 四点不共面，则向量AB r，AC r ，AD r 不共面2．（2024高二下·河南焦作·开学考试）已知在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD xCD yCC zBD =++ r r r r，则x y z ++=（）A ．3B ．2C ．1D ．2-3．（河北省石家庄市二十三中2023-2024学年高二上学期期末数学试题）如图，已知空间四边形ABCD 的对角线为AC ，BD ，设G 是CD 的中点，则1()2AB BD BC ++ r r r等于（）A ．AG rB ．CG rC ．BCr D ．12r BC4．（2024·山东枣庄·模拟预测）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，化简1AB AD CC -+= r r r（）A ．1BD rB ．1DB rC ．1AC uuurD ．1CA r 5．（2024高二上·全国·课后作业）当||||0a b =¹r r ，且a b r r 、不共线时，a b +rr 与a b -r r 的关系是（）A ．共面B ．不共面C ．共线D ．无法确定6．（2024高二上·河南新乡·期末）下列条件能使点M 与点,,A B C 一定共面的是（）A ．OM OA OB OC=-- r r r r B ．OM OA OB OC=++ r r r r C ．12OM OA OB OC=--+ r r r r D ．3OM OA OB OC=--+ r r r r 7．（2024高二上·山东济南·期中）下列关于空间向量的说法中正确的是（）A ．方向相反的两个向量是相反向量B ．空间中任意两个单位向量必相等C ．若向量,AB CD r r 满足AB CD > r r ，则AB CD > r rD ．相等向量其方向必相同8．（2024高二上·四川遂宁·阶段练习）已知O 为空间任一点，A ，B ，C ，D 四点满足任意三点不共线，但四点共面，且234OA xBO yCO zDO =++ rrrr，则234x y z ++的值为（）A ．1B ．1-C ．2D ．−29．（2024高二上·安徽宿州·期末）已知点D 在ABC V 确定的平面内，O 是平面ABC 外任意一点，实数,x y满足OD xOA yOB OC =+- r r r r，则22x y +的最小值为（）A ．45B C ．1D ．210．（2024高二上·山东威海·期末）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点E 满足1111133AE AA AB AD =-++ r r rr ，则（）A ．1113B E BC = r r B ．11132B E B C = r r C ．1113B E B C = r rD ．11123B E B C = r r 11．（2024高二上·北京·期中）在三棱柱111A B C ABC -中，D 是四边形11BB C C 的中心，且1AA a = r r ，AB b = r r，AC c = r r，则1A D = r （）A ．111222a b c++r r r B ．111222a b c-+r r rC ．111222a b c+-r r r D ．111222a b c-++r r r 12．（2024高二上·河南洛阳·期中）已知点D 在ABC V 确定的平面内，O 是空间任意一点，实数,x y 满足2OD xOA yOB OC =+- r r r r，则22x y +的最小值为（）A ．45B C ．1D ．213．（2024高二上·福建三明·开学考试）下列命题中为真命题的是（）A ．空间向量AB v 与BAr 的长度相等B ．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C ．空间向量就是空间中的一条有向线段D ．不相等的两个空间向量的模必不相等14．（2024高二·全国·课后作业）给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量,a b r r 满足a b =r r ，则a b =r r；③在正方体1111ABCD A B C D -中，必有11AC AC = r r ；④若空间向量,,m n p r r r 满足m n = r r ，n p =rr ，则m p = r r ．其中正确的个数为（）．A ．4B ．3C ．2D ．115．（2024高二上·福建福州·期末）已知O 为空间任意一点，,,,A B C P 四点共面，但任意三点不共线．如果BP mOA OB OC =++ r r r r，则m 的值为（）A ．-2B ．-1C ．1D ．216．（2024高二上·浙江台州·期末）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，E 是11C D 的中点，则AE =r（）A ．112AB AD AA ++r r r B ．112AB AD AA ++ r r r C ．112AB AD AA ++ r r r D ．1AB AD AA ++ r r r 17．（2024高二下·上海闵行·开学考试）已知、、A B C 是空间中不共线的三个点，若点O 满足230OA OB OC ++= r r r r，则下列说法正确的一项是（）A ．点O 是唯一的，且一定与、、ABC 共面B ．点O 不唯一，但一定与、、A B C 共面C ．点O 是唯一的，但不一定与、、A B C 共面D ．点O 不唯一，也不一定与、、A B C 共面18．（2024高二下·江苏宿迁·阶段练习）已知向量1e r ，2e r 不共线，12AB e e =+ r r r ，1228AC e e =+ rr r ，1235AD e e =- r r r，则（）A ．AB r与AC r 共线B ．AB r与CD r 共线C ．A ，B ，C ，D 四点不共面D ．A ，B ，C ，D 四点共面19．（2024·江西新余·二模）已知长方体1111ABCD A B C D -，2AB AD ==，14AA =，M 是1BB 的中点，点P满足1BP BC BB l m =+ r r r，其中[]0,1l Î，[]0,1m Î，且MP ∥平面11AB D ，则动点P 的轨迹所形成的轨迹长度是（）A B ．C ．D ．220．（2024高二下·江苏淮安·阶段练习）四面体O ABC -中，3= r rOP PA ，Q 是BC 的中点，M 是PQ 的中点，设OA a = r r ，OB b = r r ，OC c = r r ，则OM = r（）A ．111466a b c++r r r B ．311444++r r ra b cC ．311844++r r r a b cD ．111344a b c++r r r 21．（2024·浙江温州·二模）如图，在四面体ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，过EF 的平面a 分别交棱DA 、BC 于G 、H （不同于A 、B 、C 、D ），P 、Q 分别是棱BC 、CD 上的动点，则下列命题错误的是（）A ．存在平面a 和点P ，使得//AP 平面aB ．存在平面a 和点Q ，使得AQ//平面aC ．对任意的平面a ，线段EF 平分线段GHD ．对任意的平面a ，线段GH 平分线段EF22．（2024高二上·北京海淀·期末）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点M 满足2AM AC = r r ．若11111,,A B a A D b A A c === r r r r r r，则下列向量中与1B M r 相等的是（）A ．1122a b c-+r r r B ．1122a b c++r r rC ．1122-++r r r a b cD ．1122a b c--+r r r 二、多选题23．（2024高二上·山东潍坊·期中）如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,2,1AB AD AA ===，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中（）A ．单位向量有8个B ．与AB r相等的向量有3个C ．与1AA r的相反向量有4个D ．向量11111,,A D A B CC r r r共面24．（2024高二下·江苏·课后作业）下列说法错误的是（）A ．空间的任意三个向量都不共面B ．空间的任意两个向量都共面C ．三个向量共面，即它们所在的直线共面D ．若三向量两两共面，则这三个向量一定也共面25．（2024高二上·山东济宁·阶段练习）空间四点,,,A B C D 及空间任意一点O ，由下列条件一定可以得出,,,A B C D 四点共面的有（）A ．23AB AC AD=+ r r rB ．3OA OB OC DO=-- r r r r C ．AB AC∥ r r D ．OC 35BO AO DO=+- r r r r 26．（2024高二上·安徽·期中）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，P 为空间一点，且满足1BP BC BB l m =+ r r r，[],0,1l m Î，则（）A ．当1l =时，点P 在棱1BB 上B ．当1m =时，点P 在棱11BC 上C ．当1l m +=时，点P 在线段1B C 上D ．当l m =时，点P 在线段1BC 上27．（2024高二上·辽宁本溪·期末）下列命题中正确的是（）A ．若AB ∥CD ，则AB r ∥CDr B ．a b a b +=+r r r r 是,a b r r共线的必要条件C ．,,A B C 三点不共线，对空间任一点O ，若111244OP OA OB OC =++ r r r r，则,,,P A B C 四点共面D ．若,,,P A B C 为空间四点，且有PA PB PC l m =+ r r r （,PB PCr r 不共线），则1l m +=是,,A B C 三点共线的充要条件三、填空题28．（2024高二·全国·课后作业）如图所示，在平行六面体ABCD A B C D -¢¢¢¢的棱中，与向量AA ¢ r模相等的向量有个.29．（2024高二上·河北沧州·阶段练习）已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任意一点，若由16)1(23OP OA OB OC l =++- r r r r确定的一点P 与A ，B ，C 三点共面，则l = ．30．（2024高二上·山东聊城·期中）已知,,i j k r r r是不共面向量，,42,72a i j k b i j k c i j k l =-+=-+-=++r r r r r r r r r r r r ，若,,a b c r r r三个向量共面，则实数l = .31．（2024高二上·山东烟台·期末）如图所示的平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知1AB AA AD ==，160BAD DAA Ð=Ð=°，130BAA Ð=°，N 为11A D 上一点，且111AN A D l =．若BD AN ^，则l 的值为；若M 为棱1DD 的中点，//BM 平面1AB N ，则l 的值为．32．（2024高一下·河北衡水·期末）在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP mBC nBB =+ r r r，其中1,[0,1]m n =Î，则三角形1AB P 周长最小值是.33．（2024高二上·天津静海·阶段练习）已知P 为空间中任意一点，A 、B 、C 、D 四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且4136PA x P DB PB C ®®®=-+r ，则实数x 的值为.34．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面1111D C B A 为平行四边形，E 为棱AB 的中点，13AF AD = r r ，12AG GA = r r ，1AC 与平面EFG 交于点M ，则1AMAC =.四、解答题35．（2024高二·全国·课后作业）如图所示，已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且PA ^平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且:2:1PM MC =，PN ND =，求满足MN x AB y AD z AP=++ r r r r 的实数,,x y z 的值．36．（2024高二·江苏·专题练习）已知O 、A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 为空间的9个点（如图所示），并且OE kOA = r r ，OF kOB = r r ，OH kOD = r r ，AC AD m AB =+ r r r ，EG EH mEF =+r r r ．求证：//AC EG ．37．（2024高二下·江苏·课后作业）设21,e e r r是空间两个不共线的非零向量，已知122AB e ke =+ r r r ，123B e e C += r r r ，122D e C e -= rr r ，且A ， B ， D 三点共线，求实数k 的值．38．（2024高二上·全国·课前预习）如图所示，已知1111ABCD A B C D -为平行六面体，若以此平行六面体的顶点为向量的起点、终点，求：（1）与1BB r相等的向量；（2）与1 rBC 相反的向量；（3）与1BA r平行的向量．39．（2024高二上·广东深圳·开学考试）如图，在三棱锥P ABC -中，点G 为ABC V 的重心，点M 在PG 上，且3PM MG =，过点M 任意作一个平面分别交线段PA ，PB ，PC 于点D ，E ，F ，若PD m PA ®®=，PE n PB ®®=，PF t PC ®®=，求证：111m n t++为定值，并求出该定值.40．（2024高二上·湖南长沙·阶段练习）如图，已知,,,,,,,,O A B C D E F G H 为空间的9个点，且OE kOA = r r，OF kOB = r r ，OH kOD = r r ，AC AD m AB =+ r r r ，EG EH mEF =+ r r r，0,0k m ¹¹.求证：（1）//AC EG r r；（2）OG kOC = r r .。

专题1.1.1 空间向量及其线性运算4种常见考法归类(78题)(学生版) 24-2025学年高二数学

专题1.1.1 空间向量及其线性运算4种常见考法归类（78题）题型一空间向量的概念辨析题型二空间向量的线性运算（一）空间向量的加减运算（二）空间向量的数乘运算（三）空间向量的线性表示题型三空间向量共线问题（一）空间向量共线的判断（1）判断空间向量共线（2）证明三点共线（二）由空间向量共线求参数值（三）空间共线向量定理的推论及其应用题型四空间向量共面问题（一）空间向量共面的判断（二）空间向量共面求参数（三）空间共面向量定理的推论及其应用(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法：①几何表示法：用有向线段AB uuu r来表示，A 叫向量的起点，B 叫向量的终点；②字母表示法：用字母a ，b ，c ，…表示；若向量a 的起点是A ，终点是B ，也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|.(4)几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为－a共线向量如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么(平行向量)这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a ，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量【注】(1)空间中点的一个平移就是一个向量；(2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量.题型一空间向量的概念辨析解题策略：1.处理空间向量概念问题要关注的两个要素和两个关系(1)两个要素判断与空间向量有关的命题时，要抓住空间向量的两个主要要素，即大小与方向，两者缺一不可．(2)两个关系①模相等与空间向量相等的关系：两个空间向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个空间向量(非零向量)的模相等是两个空间向量相等的必要不充分条件．②向量的模与空间向量大小的关系：由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对空间向量来说是没有意义的．但空间向量的模是可以比较大小的． 2.理解空间向量相关概念的注意点(1)注意单位向量有无数个，它们的方向并不确定，它们不一定相等；零向量也有无数个，它们的方向是任意的，但规定所有的零向量都相等.(2)在空间中仍然有：(AB,CD 不共线)→四边形 ABCD 为平行四边形.(3)若两个空间向量相等，则它们的方向相同，且模相等，但起点、终点未必相同.1.（2024·高二课时练习）已知a r为三维空间中的非零向量，下列说法不正确的是（）A ．与a r共面的单位向量有无数个B ．与a r 垂直的单位向量有无数个C ．与a r平行的单位向量只有一个D ．与a r同向的单位向量只有一个2．【多选】（2024·福建宁德·高二校联考期中）下列说法正确的是（）A ．空间向量AB uuu r与BA uuu r 的长度相等B ．平行于同一个平面的向量叫做共面向量C ．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆D ．空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底3．（2024·高二课时练习）下列命题中是假命题的是（）A ．任意向量与它的相反向量不相等B ．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小C ．如果0a =r ，则0a rr =D ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同4．（2024·全国·高二专题练习）下列命题为真命题的是（）A ．若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B ．若a b =r r ，则a r ､b r的长度相等且方向相同C ．若向量AB uuu r ､CD uuu r 满足AB CD >uuu r uuu r ，且AB uuu r 与CD uuur 同向，则AB CD>uuu r uuu r D ．若两个非零向量AB uuu r 与CD uuu r 满足0AB CD +=uuu r uuu r r，则AB CD ∥uuu r uuu r .5．（2024·高二课时练习）给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量,a b r r 满足a b =r r ，则a b =r r ；③在正方体1111ABCD A B C D -中，必有11AC AC =uuu r uuuu r ；④若空间向量,,m n p u r r u r 满足m n =u r r ，n p =r ur ，则m p =u r u r ．其中正确的个数为（）．A ．4B ．3C ．2D ．16．（2024·高二课时练习）如图所示，以长方体1111ABCD A B C D -的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，(1)试写出与AB uuu r相等的所有向量；(2)试写出1AA uuur的相反向量；(3)若121AB AD AA ===，，求向量1AC uuur的模．7．（2024·江苏·高二专题练习）如图所示，已知1111ABCD A B C D -为平行六面体，若以此平行六面体的顶点为向量的起点、终点，求：（1）与1BB uuur相等的向量；（2）与1uuuu rBC 相反的向量；（3）与1BA uuu r平行的向量．8．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的中心为O ，则下列结论中①OA uuu r +OD uuu r 与OA uuu r 1+OD uuu r1是一对相反向量；②OB uuu r -OC uuu r 1与OC uuu r -OB uuur 1是一对相反向量；③OA uuu r 1+OB uuu r 1+OC uuu r 1+OD uuu r 1与OD uuu r +OC uuu r +OB uuur +OA uuu r 是一对相反向量；④OC uuu r -OA uuur 与OC uuu r 1-OA uuu r 1是一对相反向量．正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．49．（2024·江苏·高二专题练习）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，下列四对向量：①AB uuu r 与11C D uuuur；②1AC uuur 与1BD uuuu r ；③AD uuu r 与1C B uuur；④1A D uuuu r 与1B C uuur .其中互为相反向量的有n 对，则n 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4已知空间向量,a b r r，可以把它们平移到同一平面a 内，以任意点O 为起点，作向量OA a =uuu r r ，OB b=uuu r r2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量AC b =uuu r r ，则向量OC uuu r 叫做向量,a b r r 的和．记作a b +r r，即OC AC a b==+uuu r uuu r r r 3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量BA uuu r 叫做a r 与b r 差，记作a b -r r，即BA OA OB a b=-=-uuu r uuu r uuu r r r 4、空间向量的加法运算律（1）加法交换律：a b b a+=+r r r r（2）加法结合律：()a b c a b c++=++r r r r r r注：(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并.(2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则.(3)空间向量加法的运算的小技巧：的（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；即：（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即：．5、空间向量的数乘运算（1）定义：与平面向量一样，实数l 与空间向量a r 的乘积a l r仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．（2）数乘向量a l r 与向量a r的关系l 的范围a l r的方向a l r 的模l >a l r 与向量a r的方向相同l =0a l =r r，其方向是任意的l <al r 与向量a r 的方向相反||||||a a l l =r r （3）对数乘向量a l r 与向量a r的关系的进一步理解：①可以把向量a r 模扩大（当||1l >时），也可缩小（当||1l <时）；可以不改变向量a r的方向（当0l >时），也可以改变向量a r的方向（当0l <时）．②实数与向量的积的特殊情况：当0l =时，0a l =r r ；当0l ¹时，若0a =r r ，则0a l =r r．③实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，a l +r ，a l -r没有意义，无法运算．题型二空间向量的线性运算解题策略：1.空间向量的线性运算加法a ＋b ＝OA → ＋ AB → ＝OB→（首尾相接首尾连）空间向量的线性运算减法a －b ＝OA → －OC → ＝CA→ （共起点，连终点，指向被减向量）12233411n n nAA A A A A A A A A -++++=uuuur uuuuu r uuuuu r uuuuuur uuuur L 122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++=uuuur uuuuu r uuuuu r uuuuuur uuuur uu r L 的数乘当λ>0时，λa ＝λOA → ＝PQ →；当λ<0时，λa ＝λOA → ＝MN →；当λ＝0时，λa ＝0运算律交换律：a ＋b ＝b ＋a ；结合律：a ＋(b ＋c )＝(a ＋b )＋c ，λ(μa )＝(λμ)a ；分配律：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ，λ(a ＋b)＝λa ＋λb .2.空间向量线性运算中的三个关键点3.向量线性运算的解题技巧（1）向量加法的三角形法则是解决空间向量加法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接．（2）利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量的方向，必要时可对空间向量自由平移进而获得更准确的结果．（3）利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则或平行四边形法则将目标向量转化为已知向量．（一）空间向量的加减运算解题策略：空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加减法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．10.（2023秋·北京大兴·高二统考期末）空间向量OA OB AC -+=uuu r uuu r uuu r（）A ．AB uuu rB ．CB uuu rC ．OC uuu rD ．BCuuu r 11．（2024·江苏淮安·高二校考阶段练习）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD BB ++uuu r uuu r uuur等于（）A ．АCuuu r B ．1АC uuuu r C ．1uuuu r BC D ．1BD uuuu r12.（2024·高二课时练习）在平行四边形ABCD 中,,,OA a OB b OC c OD d ====uuu r uuu r uuu r uuu r r rr r ，则下列运算正确的是( )A ．0a b c d +++=r r rr r B ．0a b c d -+-=r r r r r C ．0a b c d +--=r r r r r D ．0a b c d --+=r r r r r 13．（2024·高二课时练习）根据如图的平行六面体ABCD A B C D -¢¢¢¢，化简下列各式：(1)AB BB D A D D BC ¢¢+¢-+-¢uuu r uuur uuuu r uuuu r uuu r ；(2)AC AC AD AA ¢-+¢-uuuu r uuu r uuu r uuur .14．（2024·高二课时练习）已知平行六面体ABCD A B C D -¢¢¢¢，则下列四式中：①AB CB AC -=uuu r uuu r uuu r ；②AC AB B C CC ¢¢¢¢=++uuuu r uuu r uuuu r uuuu r ；③AA CC ¢¢=uuur uuuu r ；④AB BB BC CC AC ¢¢¢+++=uuu r uuur uuu r uuuu r uuuu r ．正确的是__________．（二）空间向量的数乘运算解题策略：利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．15．（2024·全国·高三对口高考）()()123322a b c a b c +----=r r r r rr （）A ．542a c--r rB ．5422a b c -+-r r rC ．53722a b c -++r r r D ．59522a b c---r r r 16.（23-24高二上·河南南阳·月考）求()()3122322323a b c a b c a b c +--+-+æö+´-ç÷èør r r r r r r r r为（）A ．3222a b c+-r r r B ．5222a b c+-r r r C ．5222a b c--r r r D ．3222a b c--r r r 17．（2024·高二课时练习）已知,,i j k r r r 是三个不共面向量，已知向量1,522a i j kb i j k =-+=--rr r r r r 则43a b -=rr _________.18．（2024·江苏常州·高二华罗庚中学校考阶段练习）在正方体1111ABCD A B C D -中，下列各式中运算的结果为向量1BD uuuu r的是（）.①()111A D A A AB --uuuur uuur uuu r ；②()111BC BB D C +-uuu r uuur uuuur ；③()12AD AB DD --uuu r uuu r uuuu r；④()1111B D A A DD ++uuuur uuur uuuu r .A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④19.（23-24高二上·云南昆明·期末）已知四面体ABCD 中，G 是BD 的中点，则()12CA AB AD ++=uuu r uuu r uuu r（）A ．AG uuu rB ．CG uuu rC ．BG uuu rD ．CBuuu r 20.（2023秋·湖南湘潭·高二校联考期末）已知在空间四边形ABCD 中，12CG CD =uuu r uuu r ，则2BD BC AB ++=uuu r uuu r uuu r（）A ．2AG uuu rB ．2GC uuu r C ．2BCuuu r D ．12uuur BC21.（23-24高二上·河南周口·月考）在四面体ABCD 中，E ，F 分别是BC ，BD 上的点，且2BE BFEC FD==，则EF AC AD -+=uuu r uuu r uuu r（）A ．43EF uuu rB ．52EF uuu rC ．89CD uuu r D ．53CD uuu r （三）空间向量的线性表示解题策略：化简空间向量的常用思路(1)分组：合理分组，以便灵活利用三角形法则、平行四边形法则进行化简．(2)多边形法则：在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则．若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和．(3)走边路：灵活运用空间向量的加法、减法法则，尽量走边路(即沿几何体的边选择途径)．22.（23-24高二上·山东济南·期末）在三棱柱111ABC A B C -中，若AC a =uuu r r ，AB b =uuu r r ，1AA c =uuur r，则1CB =uuur （）A ．a b c +-r r rB ．a b c -+r r rC ．a b c -+-r r rD ．a b c-++r r r 23．（2024·河南信阳·高二统考期中）在斜三棱柱111A B C ABC -中，BC 的中点为M ，11111,,A B a AC b A A c ===r r ruuuu r uuuu r uuur ，则 1B M uuuur 可用,,a b c r r r表示为_______________．24．（2024·山东滨州·高二统考期末）如图，在四面体OABC 中，OA a =uuu r r ，OB b =uuu r r ，OC c =uuur r ．点M 在OA 上，且满足3OM MA =uuuu r uuu r，N 为BC 的中点，则MN =uuuu r （）A ．131242a b c-+r r r B ．211322a b c-++r r rC ．121232a b c-+r r rD ．311422a b c-++r r r 25.（2023秋·北京·高二中央民族大学附属中学校考期末）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点M 满足2AM AC =uuuu r uuu r．若11111,,A B a A D b A A c ===uuuu r uuuu r uuu r r r r ，则下列向量中与1B M uuuur 相等的是（）A ．1122a b c-+r r r B ．1122a b c++r r r C ．1122-++r r ra b c D ．1122a b c --+r r r 26．（2024·江苏淮安·高二淮阴中学校联考阶段练习）四面体O ABC -中，3=uuu r uuu rOP PA ，Q 是BC 的中点，M是PQ 的中点，设OA a =uuu r r ，OB b =uuu r r ，OC c =uuu r r ，则OM =uuuu r（）A ．111466a b c++r r r B ．311444++r r ra b cC ．311844++r r r a b cD ．111344a b c++r rr 27．（2024·江苏徐州·高二统考期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，P 是1CA 的中点，点Q 在1CA 上，且1:4:1CQ OA =，设AB a uuu r r=，AD b =uuu r r ，1AA c =uuur r ．则（）A ．333101010QP a b c=++r r uuu r r B ．777101010QP a b c=+-uuu r r r rC ．333101010QP a b c =+-uuu r r r r D ．111101010QP a b c =++uuu r r r r 28．（2024·辽宁鞍山·高二鞍山一中校联考期末）在四面体ABCD 中，E 是棱CD 的中点，且BE xAB y AC z AD =++uuu r uuu r uuu r uuu r，则x y z ++的值为__________.29．（2024·安徽宣城·高三统考期末）四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，点E 为棱PC 的中点，若AE x AB y AD z AP =++uuu r uuu r uuu r uuu r，则x y z ++等于（）A ．32B ．1C ．52D ．230.（23-24高二上·河北·月考）在四面体OABC 中，OA a =uuu r r ，OB b =uuu r r ，OC c =uuu r r ，()0OM MA l l =>uuuu r uuu r ，N 为BC 的中点，若311422MN a b c =-++uuuu r r r r ，则l =（）A ．13B ．3C ．12D ．2若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若a r 与b r 是共线向量，则记为//a b r r．注：在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点：（1）零向量和空间任一向量是共线向量．（2）共线向量不具有传递性，如//,//a b b c r r r r ，那么//a c r r 不一定成立，因为当0b =r r时，虽然//,//a b b c r r r r ，但a r 不一定与c r 共线（特别注意0r ，0r与任何向量共线）．2、共线向量(1)空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb .(2)直线的方向向量在直线l 上取非零向量a ，我们把与向量a 平行的非零向量称为直线 l 的方向向量．规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a ，都有0//a . (3)直线的方向向量的求法求直线AB 的方向向量，就是找与平行的任意非零向量，因此可以在直线AB 上任取不同的两点，分别以这两点为起点和终点的向量就是直线AB 的方向向量，也可以在与直线AB 平行的直线上任取不同的两点，分别以这两点为起点和终点的向量也是直线AB 的方向向量.3、共线向量定理推论：如果l 为经过点A 平行于已知非零向量a r的直线,那么对于空间任一点O ,点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,使OP OA ta =+uuu r uuu r r ①，若在l 上取AB a =uuu r r ，则①可以化作：OP OA t AB=+uuu r uuu r uuu r注：拓展(高频考点）：对于直线外任意点O ，空间中三点,,P A B 共线的充要条件是OP OA AB l μ=+uuu r uuu r uuu r，其中1l μ+=4、共线向量定理的用途：①判定两条直线平行；②证明三点共线.注：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点.题型三空间向量共线问题（一）空间向量共线的判断解题策略：1.判断空间向量共线的策略(1)熟记空间向量共线的充要条件：①a ∥b ，b ≠0，则存在唯一实数λ，使a ＝λb ；②若存在唯一实数λ，使a ＝λb ，b ≠0，则a ∥b .(2)判断空间向量共线的关键：找到实数λ.2.证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P ，A ，B 可通过证明下列结论来证明三点共线．(1)存在实数λ，使PA → ＝λPB →成立．(2)对空间任一点O ，有OP → ＝OA → ＋tAB →(t ∈R )．(3)对空间任一点O ，有OP → ＝xOA → ＋yOB →(x ＋y ＝1)．（1）判断空间向量共线31.（2023·江苏·高二专题练习）如图，四边形ABCD ､ABEF 都是平行四边形且不共面，M ,N 分别是AC､BF 的中点，判断CE uuu r与MN uuuu r 是否共线？32．（2024·江苏·高二专题练习）下列向量中，真命题是______．（填序号）①若A 、B 、C 、D 在一条直线上，则AB uuu r与CD uuu r 是共线向量；②若A 、B 、C 、D 不在一条直线上，则AB uuu r与CD uuu r 不是共线向量；③向量AB uuu r与CD uuu r 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一条直线上；④向量AB uuu r与CD uuu r 是共线向量，则A 、B 、C 三点必在一条直线上．33．（2024·江苏·高二专题练习）已知O 、A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 为空间的9个点（如图所示），并且OE kOA =uuu r uuu r ，OF kOB =uuu r uuu r ，OH kOD =uuur uuu r ，AC AD m AB =+uuu r uuu r uuu r ，EG EH mEF =+uuur uuur uuu r ．求证：//AC EG ．34．（2024·福建莆田·高二校考阶段练习）已知不共线向量1e u r ，2e u u r ，3e ur ，1232OP e e e =-+uuu r u r u u r ur，123564PQ e e e =--+uuu r u r u u r ur ，123722QR e e e =+-uuu ru r u u r ur ，则一定共线的三个点是（）A ．,,O P QB ．,,P Q RC ．,,O Q RD ．,,O P R（2）证明三点共线35．（2024·高二课时练习）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，O 为1AC 上一点，且1123A O A C =uuur uuur，BD 与AC 交于点M .求证：1,,C O M 三点共线．36.（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 在11A D 上，且112A E ED =uuur uuuu r，点F 在体对角线1AC uuur上，且123A F FC =uuuu r uuu r ．求证：E ，F ，B 三点共线．37．（2024·高二课时练习）如图，已知M ，N 分别为四面体A -BCD 的面BCD 与面ACD 的重心，G 为AM 上一点，且:1:3GM GA =.求证：B ，G ，N 三点共线.38.（23-24高二上·上海·课后作业）四棱柱ABCD A B C D -¢¢¢¢的六个面都是平行四边形，点M 在对角线A B ¢上，且12A M MB ¢=，点N 在对角线A C ¢上，且13A N NC ¢=．(1)设向量AB a =uuu r r ，AD b uuu r r =，AA c ¢=uuu r r ，用a r 、b r 、c r表示向量D M ¢uuuuu r 、D N ¢uuuu r ；(2)求证：M 、N 、D ¢ 三点共线．（二）由空间向量共线求参数值39．（2024·高二课时练习）对于空间任意两个非零向量a r ，b r，“a b r r ∥”是“,0a b =r r ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件40．（2024·高二课时练习）若空间非零向量21,e e u r u u r不共线，则使122ke e -u r ur 与()1221e k e ++u r ur 共线的k 的值为________．41.（2024·高二课时练习）如果空间向量,a b rr 不共线，且3a yb xa b -=+r r r r ，那么x ，y 的值分别是( )A ．1x =-，3y =B ．1x =-，3y =-C ．1x =，3y =-D ．1x =，3y =42.（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知,,x y z r r r 是不共面的空间向量，若324p x y z =--r r r r 与(1)8q m x y nz=+++rr r r （,m n 是实数）是平行向量，则m n +的值为（）A ．16B ．-13C ．3D ．-343.（2024·江苏南京·高二南京市第一中学校考阶段练习）已知{},,a b c r r r是空间的一个基底，若23m a b c=+-ur r r r ，()()3()n x a b y b c a c =+-+++r r r r r r r ，若m n u r r ∥，则xy=（）A ．3-B ．13-C ．3D ．1344．（2024·高二课时练习）设21,e e u r u u r 是空间两个不共线的非零向量，已知122AB e ke =+uuu r u r u u r ，123B e e C +=u u uuu r r ru ，122D e C e -=uuuu r u ur r ，且A ， B ， D 三点共线，求实数k 的值．45．（2024·高二课时练习）设1e u r ，2e u u r 是两个不共线的空间向量，若122A e e B -=u r u u u u r r u ，1233BC e e =+uuur u r u u r ，12CD e ke =+uuu r u r ur，且A ，C ，D 三点共线，则实数k 的值为______.46.（2024·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校考阶段练习）设,a b r r是空间中两个不共线的向量，已知9AB a mb =+uuu r r r ，2BC a b =--uuu r r r ，2DC a b =-uuu r r r ，且,,A B D 三点共线，则实数m =______．．47.（23-24高二下·福建龙岩·期中）设向量1e u r ，2e u u r ，3e ur 不共面，已知123AB e e e =++uuu r u r u u r ur ，123BC e e e l =++uuu r u r u u r ur，123484CD e e e =++uuu r u r u u r ur，若A ，C ，D 三点共线，则l =（）A ．1B ．2C ．3D ．4（三）空间共线向量定理的推论及其应用48．（2024·高二课时练习）已知A 、B 、P 共线，O 为空间任意一点（O 、A 、B 不共线），且存在实数a 、b ，使OP OA OB a b =+uuu r uuu r uuu r，求a b +的值．49．（2024·江苏·高二专题练习）在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 在对角线1D B 上，且113D E EB =，点F 在棱11D C 上，若A 、E 、F 三点共线，则1D F =________1FC ．50．【多选】（2024·高二课时练习）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，P 为空间一点，且满足1BP BC BB l μ=+uuu r uuu r uuur，[],0,1l μÎ，则（）A ．当1l =时，点P 在棱1BB 上B ．当1μ=时，点P 在棱11BC 上C ．当1l μ+=时，点P 在线段1B C 上D ．当l μ=时，点P 在线段1BC 上如图，如果表示向量a 的有向线段OA →所在的直线OA 与直线l 平行或重合，那么称向量a 平行于直线l .如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．（共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．）2、共面向量定理如果两个向量,a b r r 不共线，那么向量p u r 与向量,a b r r共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(,)x y ，使p xa yb=+u r r r 3、空间共面向量的表示如图空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对(,)x y ，使AP xAB y AC =+uuu r uuu r uuu r．或者等价于：对空间任意一点O ，空间一点P 位于平面ABC 内（,,,P A B C 四点共面）的充要条件是存在有序实数对(,)x y ，使OP OA xAB y AC =++uuu r uuu r uuu r uuu r，该式称为空间平面ABC 的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．注：拓展：对于空间任意一点O ，四点,,,P C A B 共面（其中,,C A B 不共线）的充要条件是OP xOC yOA zOB =++uuu r uuu r uuu r uuu r（其中1x y z ++=）．4、共面向量定理的用途：（1）证明四点共面；（2）证明线面平行.5、向量共面证明思路（1）证明点P 在平面ABC 内，可以用AP xAB y AC =+uuu r uuu r uuu r ，也可以用OP OA xAB y AC =++uuu r uuu r uuu r uuu r，若用OP xOA yOB zOC =++uuu r uuu r uuu r uuu r，则必须满足1x y z ++=．（2）判断三个向量共面一般用p xa yb =+u r r r，证明三线共面常用AP xAB y AC =+uuu r uuu r uuu r，证明四点共面常用OP xOA yOB zOC =++uuu r uuu r uuu r uuu r（其中1x y z ++=）．6、证明三点共线和空间四点共面的方法比较题型四空间向量共面问题解题策略：证明空间向量共面、点共面的常用方法(1)证明空间三个向量共面常用的方法①证明其中一个空间向量可以表示成另两个空间向量的线性组合，即若a ＝x b ＋y c ，则空间向量a ，b ，c 共面；②寻找平面α，证明这些空间向量与平面α平行．(2)对空间四点P ，M ，A ，B 可通过证明下列结论成立来证明四点共面①MP → ＝xMA → ＋yMB →；②对空间任一点O ，OP → ＝OM → ＋xMA → ＋yMB →；③对空间任一点O ，OP → ＝xOA → ＋yOB → ＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)；④PM → ∥AB → (或PA → ∥MB → ，或PB → ∥AM →)．（一）空间向量共面的判断51．【多选】（2024·高二课时练习）下列说法错误的是（）A ．空间的任意三个向量都不共面B ．空间的任意两个向量都共面C ．三个向量共面，即它们所在的直线共面D ．若三向量两两共面，则这三个向量一定也共面52．（2024·高二课时练习）当||||0a b =¹r r ，且a b r r 、不共线时，a b +rr 与a b -r r 的关系是（）A ．共面B ．不共面C ．共线D ．无法确定53．（2024·高二课时练习）如图，在长方体ABCD A B C D -¢¢¢¢中，向量¢uuur AB ，AD ¢uuuu r ，BD uuur 是________向量(填“共面”或“不共面”)．54．（2024·高二课时练习）已知,,i j k r r u r是不共面向量，2,32,37=-+=-++=-+r r r r r r r r r r r a i j k b i j k c i j ，证明这三个向量共面.55．（2024·高二课时练习）已知向量,AB CD uuu r uuu r分别在两条异面直线上，,M N 分别为线段,AC BD 的中点，求证：向量,,AB CD MN uuu r uuu r uuuu r共面．56．（2024·江苏宿迁·高二校考阶段练习）已知向量1e u r ，2e u u r 不共线，12AB e e =+uuu r u r u u r ，1228AC e e =+uuu ru r u u r ，1235AD e e =-uuu r u r u u r，则（）A ．AB uuu r与AC uuu r 共线B ．AB uuu r与CD uuu r 共线C ．A ，B ，C ，D 四点不共面D ．A ，B ，C ，D 四点共面57.【多选】（2023秋·江西吉安·高二井冈山大学附属中学校考期末）空间四点,,,A B C D 及空间任意一点O ，由下列条件一定可以得出,,,A B C D 四点共面的有（）A ．23AB AC AD =+uuu r uuu r uuu rB ．3OA OB OC DO=--uuu r uuu r uuu r uuur C ．AB AC ∥uuu r uuu r D ．OC 35BO AO DO=+-uuu r uuu r uuu r uuur 58.（2024·高一课时练习）下列条件中，一定使空间四点P ､A ､B ､C 共面的是（）A ．OA OB OC OP++=-uur uuu r uuu r uuu r B ．OA OB OC OP++=uur uuu r uuu r uuu r C ．2OA OB OC OP ++=uur uuu r uuu r uuu r D ．3OA OB OC OP++=uuu r uuu r uuu r uuu r 59．（2024·江苏淮安·高二校联考期中）下列命题中是真命题的为（）A ．若p u r 与,a b r r共面，则存在实数,x y ，使p xa yb =+u r r r B ．若存在实数,x y ，使向量p xa yb =+u r r r ，则p u r 与,a b r r共面C ．若点,,,P M A B 四点共面，则存在实数,x y ，使MP xMA yMB =+uuu r uuu r uuu rD ．若存在实数,x y ，使MP xMA yMB =+uuu r uuu r uuu r，则点,,,P M A B 四点共面60．（2024·高二课时练习）设空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若点P 满足向量关系OP xOA yOB zOC =++uuu r uuu r uuu r uuu r（其中1x y z ++=），试问：P ，A ，B ，C 四点是否共面？（二）空间向量共面求参数61．（2024·辽宁锦州·高二统考期末）已知向量a r ，b r ，c r 是空间向量的一组基底，2AB a b =+uuu r rr ，AC a c =+uuu r r r ，AD b c l =+uuu r r r，若A ，B ，C ，D 四点共面．则实数l 的值为__________．62．（2024·全国·高二专题练习）已知,,i j k r r u r 是不共面向量，,42,72a i j k b i j k c i j k l =-+=-+-=++r r r r r r r r r r r r ，若,,a b c r r r 三个向量共面，则实数l =______.63.（23-24高二下·江苏·阶段练习）已知向量,,a b c r r r 不共面，则使向量2,,53m a b n b c p xa b c =-=+=++u r r r r r r r r r r 共面的实数x 的值是（）A ．4-B ．3-C ．2-D ．464．（2024·上海奉贤·高二校考阶段练习）已知A ，B ，C ，D 四点共面且任意三点不共线，平面ABCD 外一点O ，满足32OD OA OB OC l =++uuu r uuu r uuu r uuu r ，则l =_____________．65.（23-24高二下·江苏淮安·期中）已知,,A B C 三点不共线，O 是平面ABC 外任意一点，若由1153OP OA OB OC l =++uuu r uuu r uuu r uuu r 确定的一点P 与,,A B C 三点共面，则l 等于（）A ．23-B ．23C ．715D ．715-66．（2024·高一课时练习）已知,,A B C 三点不共线，O 是平面ABC 外任意一点，若21256OM OA OB OC l =++uuuu r uuu r uuu r uuu r ，则,,,A B C M 四点共面的充要条件是（）A ．1360l =B ．1760l =C ．1760l =-D ．1360l =-67．（2024·山西吕梁·高二统考期末）在三棱锥-P ABC 中，M 是平面ABC 上一点，且342PM PA tPB MC =++uuuu r uuu r uuu r uuu u r ，则t =（）A ．1B ．1-C ．15D ．1268.（23-24高二上·重庆北碚·阶段练习）在三棱锥-P ABC 中，M 是平面ABC 上一点，且52PM PA tPB PC =++uuuu r uuu r uuu r uuu r ，则t = （）A ．1B ．2C ．17D ．1269．（2024·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知O 为空间任意一点，,,,A B C P 四点共面，但任意三点不共线．如果BP mOA OB OC =++uuu r uuu r uuu r uuu r ，则m 的值为（）A ．-2B ．-1C ．1D ．270．（2024·高二课时练习）如图,平面ABC 内的小方格均为正方形,点P 为平面ABC 内的一点,O 为平面ABC外一点,设2OP mOA nOB OC =++uuu r uuu r uuu r uuu r ,则m n +的值为（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-71．（2024·全国·高二专题练习）已知点D 在ABC V 确定的平面内，O 是平面ABC 外任意一点，实数,x y 满足OD xOA yOB OC =+-uuu r uuu r uuu r uuu r ，则22x y +的最小值为（）A ．45B C ．1D ．272．（2024·江苏·高二专题练习）已知点,,A B C 不共线，O 是空间任意一点，点P 在平面ABC 内，且2OP yOA x OB xOC =-+uuu r uuu r uuu r uuu r ，则（）A ．y 有最小值34B ．y 有最大值34C ．y 有最小值1D ．y 有最大值1（三）空间共面向量定理的推论及其应用73．（2024·高二校考课时练习）对于空间任意一点O 和不共线的三点,,A B C ，有如下关系：111632OP OA OB OC =++uuu r uuu r uuu r uuu r ，则（）A ．,,,O A B C 四点必共面B ．,,,P A BC 四点必共面C ．,,,O P B C 四点必共面D ．,,,,O P A B C 五点必共面74．（2024·宁夏银川·高二银川一中校考期中）对于空间一点O 和不共线三点A ，B ，C ，且有22OP OA OB OC =-++uuu r uuu r uuu r uuu r ，则（）A ．O ，A ，B ，C 四点共面B ．P ，A ，B ，C 四点共面C ．O ，P ，B ，C 四点共面D ．O ，P ，A ，B ，C 五点共面75．（2024·上海闵行·高二上海市七宝中学校考开学考试）已知、、A B C 是空间中不共线的三个点，若点O满足230OA OB OC ++=uuu r uuu r uuu r r ，则下列说法正确的一项是（）A ．点O 是唯一的，且一定与、、ABC 共面B ．点O 不唯一，但一定与、、A BC 共面C ．点O 是唯一的，但不一定与、、A B C 共面D ．点O 不唯一，也不一定与、、A B C 共面76．【多选】（2024·高二课时练习）下列条件中，使M 与A ，B ，C 一定共面的是（）A ．3OM OA OB OC=--uuuu r uuu r uuu r uuu r B ．111532OM OA OB OC =++uuuu r uuu r uuu r uuu r C ．0MA MB MC ++=uuu r uuu r uuu r r D ．0OM OA OB OC +++=uuuu r uuu r uuu r uuu r r 77．【多选】（2024·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）以下能判定空间四点P 、M 、A 、B 共面的条件是（）A ．23MP MA MB =+uuu r uuu r uuu r B ．111236OP OA OB OM =++uuu r uuu r uuu r uuuu r C ．0PM AB ×=uuur uuu r D ．PM uuuu r P AB uuu r 78.（2024·高二课时练习）对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且有(OP xOA yOB zOC x =++uuu r uuu r uuu r uuu r ，y ，)z R Î，则2x =，3y =-，2z =是P ，A ，B ，C 四点共面的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件。