高考数学复习典型题型专题讲解与练习54 空间向量及其线性运算

高考数学复习典型题型专题讲解与练习 专题54 空间向量及其线性运算

题型一 空间向量共线的判定

1．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP mOA nOB =+，其中m ＋n ＝1，则（ ） A ．P ∈AB B ．P ∉AB

C ．点P 可能在直线AB 上

D ．以上都不对 【答案】A

【解析】因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ， 所以(1)OP n OA nOB =-+，即()OP OA n OB OA -=-， 即AP nAB =，所以AP 与AB 共线． 又AP ，AB 有公共起点A ，

所以P ，A ，B 三点在同一直线上，即P ∈AB . 故选：A.

2．满足下列条件，能说明空间不重合的A 、B 、C 三点共线的是( ) A ．AB BC AC +=B ．AB BC AC -= C ．AB BC =D ．AB BC = 【答案】C

【解析】对于空间中的任意向量，都有 AB BC AC +=，说法A 错误；

若AB BC AC -=，则AC BC AB +=，而AC CB AB +=，据此可知BC CB =，即,B C 两点重合，

选项B错误；

AB BC

=，则A、B、C三点共线，选项C正确；

AB BC

=，则线段AB的长度与线段BC的长度相等，不一定有A、B、C三点共线，选

项D错误；

本题选择C选项.

3．AB与CD共线是直线AB∥CD的()

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】根据向量共线的定义，可知若AB与CD共线，则它们所在的直线可能平行，也

可能重合；

若AB∥CD，则AB与CD共线；

根据充分条件和必要条件的概念，可知AB与CD共线是直线AB∥CD的必要不充分条件，故选B

4．在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，请判断EF与AD BC

+是否共线.

【答案】证明见解析.

【解析】解：连接AC，取AC的中点G，连接EG、FG，

∵E、F分别为AB、CD的中点.

∴

11

,

22

GF AD EG BC ==.

又∵E、F、G三点共面，

∴

1

()

2

EF GF EG AD BC

=+=+，即EF与AD BC

+共线.

5．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且112A E ED =，F 在对角线A 1C 上，且123

A F FC =，求证：E ，F ，

B 三点共线.

【答案】证明见解析.

【解析】设1,,AB a AD b AA c ===， ∵112A E ED =，123

A F FC =，

∴11123A E A D =，11

25

A F AC =，而11A D AD b == ∴123

A E b =，111222()()()555

A F AC AA A

B AD AA a b c =-=+-=+-. ∴1122()5

3

EF A F A E a b c =-=--,又1123

EB EA A A AB a b c =++=--, ∴2

5

EF EB =，即E ，F ，B 三点共线. 题型二 由空间向量共线求参数值

6．已知非零向量324a m n p =--，(1)82b x m n y p =+++，且m 、n 、p 不共面．若//a b ，则x y +=（ ）．

A ．13-

B ．5-

C ．8

D ．13 【答案】 B

【解析】//a b 且0a ≠，∴b a λ=，即(1)82324x m n y p m n p λλλ+++=--，

又m 、n 、p 不共面，∴138224x y λλλ+=⎧⎪

=-⎨⎪=-⎩

，解得13x =-，8y =，5x y +=-.

故选：B .

7．在四面体ABCD 中,E,F 分别是棱BC,AD 的中点,设AB =a,AC =b,AD =c,且EF =xa+yb+zc,则x,y,z 的值分别为( ) A ．-12

,-11,22

B ．-

11,22

,-12

C ．11,22

,-12

D ．12

,-11,22

【答案】A

【解析】根据题意，画出图形如下图所示：

由图可知

11

22

EF EC CD DF

BC CD AD =++=+- ()

1122

111222AC AB AD AC AD AB AC AD =

-+--=-+

111222

a b c =--+ 所以1

11,,222

x y z =-=-= 所以选A

8．设1e ,2e 是两个不共线的空间向量，若122AB e ke =-，1233CB e e =+，12CD ke e =+，且

,,A B D 三点共线，则实数k 的值为_______．

【答案】4或-1

【解析】因为,,A B D 三点共线，所以存在实数λ使得12 2AB BD AB e ke λ==-，

()1232BD CD CB k e e =-=--，()

232k k λλ⎧=-⎨-=-⎩

所以2340k k --=，解得1k =-或4. 题型三 空间向量共面的判定

9．A ，B ，C 不共线，对空间内任意一点O ，若3

114

8

8

OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，

C 四点（ ）

A ．不共面

B ．共面

C ．不一定共面

D ．无法判断是否共面 【答案】B

【解析】因为3114

8

8

OP OA OB OC =++， 所以()()()6OP OA OB OP OC OP -=-+-，