最新人教版高一数学必修1第一章《函数的单调性》夯实基础

最新人教版高一数学必修1第一章《函数的单调性》夯实基础

2.3 函数的单调性

巩固·夯实基础

一、自主梳理

1.单调性的定义

设函数f(x)的定义域为I:如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量x 1、x 2,当 x 1f(x 2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.

2.判断函数单调性的方法

(1)定义法.

(2)利用基本函数的单调性,如:二次函数y=x 2-2x 在(-∞,1)上是减函数.

(3)利用复合函数同增异减这个结论判断.

(4)利用函数图象上升增下降减进行判断.另外利用导数值的符号也能判断函数的单调性.

二、点击双基

1．下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是( ) A.y=-x+1

B.y=x

C.y=x 2-4x+5

D.y=x

2 答案:B

2．函数y=log a (x 2+2x-3)，当x=2时，y ＞0，则此函数的单调递减区间是( )

A.(-∞，-3)

B.(1，+∞)

C.(-∞，-1)

D.(-1，+∞)

解析:当x=2时，y=log a 5＞0，∴A ＞1.

由x 2+2x-3＞0?x ＜-3或x ＞1，易见函数t=x 2+2x-3在(-∞，-3)上递减，故函数y=log a (x 2+2x-3)(其中a ＞1)也在(-∞，-3)上递减.

答案:A

3．（2005上海高考）若函数f(x)=1

21+x ,则该函数在(-∞,+∞)上是( ) A.单调递减无最小值B.单调递减有最小值

C.单调递增无最大值

D.单调递增有最大值

解析：由于u(x)=2x +1在R 上递增且大于1,则f(x)=

1

21+x 在R 上递减,无最小值,选A. 答案：A 4．（2006北京海淀模拟）函数y=lgsin(

4

π-2x)的单调增区间是( ) A.(k π-85π,k π-8π)(k ∈Z) B.［k π-8π,k π+8

π］(k ∈Z) C.(k π-83π,k π-8π)(k ∈Z) D.［k π-8

π,k π+83π］(k ∈Z) 解析:令y=lg μ,μ=sin(4

π-2x). 根据复合函数单调区间的求法,只需使2k π+2π≤4

π-2x<2k π+π即可. ∴-k π-83π<="" ≤-k="">

答案:C

诱思·实例点拨

【例1】如果二次函数f(x)=x 2-(a-1)x+5在区间(

21，1）上是增函数，求f(2)的取值范围. 剖析:由于f(2)=22-(a-1)×2+5=-2a+11,求f(2)的取值范围就是求一次函数y=-2a+11的值

域，当然就应先求其定义域.

解:二次函数f(x)在区间(

2

1，1)上是增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，故其对称轴x=21-a 或与直线x=21重合或位于直线x=21的左侧，于是21-a ≤21,解之得a ≤2,故f(2)≥-2×2+11=7,即f(2)≥7.

【例2】讨论函数f(x)=

12-x ax (a>0)在x ∈(-1,1)上的单调性. 解:设-1<1,<=""

bdsfid="108" p="">

则f(x 1)-f(x 2)=1

1222211---x ax x ax =)

1)(1(222122121221--+--x x ax x ax ax x ax =)

1)(1()1)((22212112--+-x x x x x x a . ∵-1<1,<="" bdsfid="113" p="">

∴x 2-x 1>0,x 1x 2+1>0,(x 12-1)(x 22-1)>0.

又a>0，

∴f(x 1)-f(x 2)>0,函数f(x)在(-1，1)上为减函数.

【例3】求函数y=x+x

1的单调区间. 剖析:求函数的单调区间(亦即判断函数的单调性)，一般有三种方法:

(1)图象法；(2)定义法；(3)利用已知函数的单调性.但本题图象不易作，利用y=x 与y=x

1的单调性(一增一减）也难以确定，故只有用单调性定义来确定，即判断f(x 2)-f(x 1)的正负.

解:首先确定定义域:{x|x ≠0},

∴在(-∞,0)和(0，+∞)两个区间上分别讨论.任取x 1、x 2∈(0,+∞)且x 1<="" 1-11x="(x" 2)-f(x="" 2+21x="" 2,则f(x="" 2-x="" bdsfid="123" p="">

121x x x x -=(x 2-x 1)(1-211x x )，要确定此式的正负只要确定1-2

11x x 的正负即可.

这样，又需要判断2

11x x 大于1，还是小于1.由于x 1、x 2的任意性，考虑到要将(0，+∞)分为(0，1)与(1，+∞)(这是本题的关键).

(1)当x 1、x 2∈(0,1)时，1-2

11x x <0, ∴f(x 2)-f(x 1)<0为减函数.

(2)当x 1、x 2∈(1,+∞)时，1-2

11x x >0, ∴f(x 2)-f(x 1)>0为增函数.

同理可求(3)当x 1、x 2∈(-1,0)时，为减函数;(4)当x 1、x 2∈(-∞,-1)时，为增函数. 讲评:解答本题易出现以下错误结论:f(x)在(-1，0）∪(0，1）上是减函数，在(-∞,-1)∪(1,+∞)上是增函数，或说f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上是单调函数.避免错误的关键是要正确理解函数的单调性概念:函数的单调性是对某个区间而言的，而不是两个或两个以上不相交区间的并.

链接·拓展

求函数y=x+x

a (a>0)的单调区间. 提示:函数定义域x ≠0，可先考虑在(0,+∞)上函数的单调性，再根据奇偶性与单调性的关系得到在(-∞,0)上的单调性.

答案:在(-∞,-a )，(a ,+∞)上是增函数，在(0,a ),(-a ,0)上是减函数.

【例4】（2004北京东城模拟）已知定义在R 上的函数f(x)对任意的实数x 1、x 2满足关系f(x 1+x 2) =f(x 1)+f(x 2)+2.

(1)证明f(x)的图象关于点(0,-2)成中心对称图形;

(2)若x>0,则有f(x)>-2,求证:f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.

剖析:对于(1),只要证明2

)()(x f x f -+=-2即可;对于(2),注意到f(x)是抽象函数,欲证单调性,需对f(x)进行适当的变形.

证明:(1)令x 1=x 2=0,则f(0+0)=f(0)+f(0)+2,

所以f(0)=-2.

对任意实数x,令x 1=x,x 2=-x,有f(x-x)=f(x)+f(-x)+2,

即f(0)-2=f(x)+f(-x),得

2)()(x f x f -+=-2. 又2

)(x x -+=0, 这表明点M(x,f(x))与点N(-x,f(-x))的中点是(0,-2),即点M 1N 关于点(0,-2)成中心对称.

由点M 的任意性知:函数f(x)的图象关于点(0,-2)成中心对称.

(2)对任意实数x 1、x 2,且x 1<="" bdsfid="150" p="">

由x 2-x 1>0,有f(x 2-x 1)>-2.

于是f(x 2)=f ［(x 2-x 1)+x 1］=f(x 2-x 1)+f(x 1)+2.