中考压轴共顶点模型典型例题

1.如图，△ABC为等边三角形，D为AC边上一点，连接BD，M为BD的中点，连接AM．

(1)如图1，若AB＝2√3+2，∠ABD＝45°，求△AMD的面积；

(2)如图2，过点M作MN⊥AM与AC交于点E，与BC的延长线交于点N，求证：AD＝CN；

(3)如图3，在（2）的条件下，将△ABM沿AM翻折得△AB′M，连接B'N，当B'N取得最小

的值．

值时，直接写出BN−DE

MN

【答案】(1)3+√3；

(2)证明见解析；

(3)3√21

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【分析】（1）过点D作DH⊥AB，根据∠ABD＝45°，∠BAC＝60°解三角形求出HD=

√3AH=2√3，可得S△ABD=6+2√3再结合三角形中学性质即可解得；

（2）过点A作AG⊥BC，垂足为G，连接MG，又中位线性质和∠ACB=60°，得∠AGM= 30°，再通过四点共圆证明∠ANM=∠AGM=30°，进而可得∠MAN=60°，从而可证明△APN为等边三角形，延长AM到P，使MP=AM，连接PN，构造△PMB≅△AMD，得

AD=BP，继而证明△BAP≅△CAN（SAS），从而可得BP=CN，由此即可得出结论；（3）取AC的中点Q，连接BQ，取BQ的中点K，连接KM，通过构造△AMQ∼△ANB′，得出即D为AC的中点时，B′N取最小值，再结合题目条件解三角形即可求解．

(1)

解：如解图1，过点D作DH⊥AB，

∵∠ABD＝45°，

∴BH=HD，

∵在△ABC为等边三角形中，∠BAC＝60°，

∴tan∠BAC=HD

AH

=√3，

∴HD=√3AH，

∴AB=BH+AH=√3AH+AH，

又∵AB＝2√3+2，

∴√3AH+AH=2√3+2，

∴AH=2，

∴HD=√3AH=2√3，

∴S△ABD=1

2AB·HD=1

2

(2√3+2)×2√3=6+2√3，

∵M为BD的中点，

∴S△AMD=1

2S△ABD1

2

(6+2√3)=3+√3；

(2)

如解图2，过点A作AG⊥BC，垂足为G，连接MG，∵△ABC为等边三角形，

∴BG=GC，

∵BM=DM，

∴MG//AC，

∴∠BGM=∠ACB=60°，

∴∠AGM=∠AGB−∠BGM=90°−60°=30°，

又∵AM⊥MN，AG⊥BC，

∴∠AMN=∠AGN=90°，

∴A、M、G、N四点共圆，

∴∠ANM=∠AGM=30°，

∴∠MAN=90°−∠ANM=60°，

又∵MP=AM，AM⊥MN，

∴AN=PN，

又∵∠MAN=60°，

∴△APN为等边三角形，AP=AN，

∵∠BAC=∠PAN=60°，

∴∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAN，

∴∠BAP=∠CAN，

如解图2，延长AM到P，使MP=AM，连接PN，∵BM=DM，∠AMD=∠PMB，

∴△AMD≅△PMB（SAS）

∴AD=BP，

在△BAP和△CAN中，

{

AB=AC

∠BAP=∠CAN

AP=AN

，

∴△BAP≅△CAN（SAS）∴BP=CN，

∴AD=CN；

(3)

取AC的中点Q，连接BQ，取BQ的中点K，连接KM，

∵将△ABM沿AM翻折得△AB'M，，

∴∠BAM=∠MAB′，AB′=AB=AC，

又∵∠BAM=∠CAN，

∴∠MAB′=∠CAN，

∴∠MAN−∠CAN=∠MAN−∠MAB′，即：∠MAC=∠NAB′，

又∵∠ANM=30°，AQ=1

2AC=1

2

AB′，

∴AM

AN =AQ

AB′

=1

2

，

∴△AMQ∼△ANB′，

∴B′N=2MQ，

又∵BM=MD，BK=KQ，

∴KM//QD，

又∵AB=BC，

∴BQ⊥AC，

∴BQ⊥KM，

∴KQ≤MQ，当M点与K点重合时，MQ取最小值，此时B′N=2MQ取最小值，∴D点与Q点重合，即D为AC的中点时，B′N取最小值，如解图3-2；

设AD=a，

∵△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，

∴∠ADM=∠MDE=90°，∠ABD=30°

∴BD=√3a，AB=BC=2a，

∴MD=1

2BD=√3

2

a，

∴AM=√MD2+AD2=√(√3

2a)2+a2=√7

2

a，

∴MN=AMtan∠MAN=√7

2a×√3=√21

2

a，

∵∠MAE=∠DAM，∠AME=∠ADM=90°，∴△AME∼△ADM，

∵MD

AD =DE

MD

，

∴DE=3

4

a，

∵CN=AD=a，

∴BN−DE

MN =BC+CN−DE

MN

=2a+a−

3

4

a

√21

2

a

=3√21

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【点睛】本题主要考查了三角形综合，涉及了等边三角形、全等三角形、相似三角形的性质和判定以及解三角形等知识点，难度大，综合性强，需要平时积累和训练．解题关键是根据题目的已知条件添加辅助线构造适当的三角形转化线段和角的关系．

【例2】（2022·江苏·八年级专题练习）（1）问题发现：

如图1，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AD，BE，点A、D、E在同一条直线上，则∠AEB的度数为__________，线段AD、BE之间的数量关系__________；

（2）拓展探究：

如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AD，BE，点A、D、E不在一条直线上，请判断线段AD、BE之间的数量关系和位置关系，并说明理由．

（3）解决问题：

如图3，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=α，则直线AD和BE的夹角为__________．（请用含α的式子表示）