实数复习课

第三章实数复习课

教学目标

1.使学生进一步理解一个数的平方根、算术平方根及立方根的意义；

2.理解无理数和实数的意义；

3.熟练地求出一个正数的平方根、算术平方根和实数的立方根；

4.会对实数分类以及进行实数的近似计算.

教学重点和难点

重点：平方根、算术平方根、实数的概念及其计算.

难点：算术平方根、实数的综合运算和代数与几何的综合运用.

教学过程设计

一、复习基本概念

1.什么叫一个数a的平方根，怎样表示?什么叫数a的算术平方根?怎样表示?其中a

可以分别表示什么数?

2.什么叫一个数a的立方根?怎样表示?其中a可以表示什么数?

3.任何实数都有平方根吗?都有立方根吗?

4.什么叫无理数?什么叫实数?实数与数轴的点有什么关系?

答：1.如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，表示为±a数.的非负的平方根叫做算术平方根，表示为a，其中a≥0.

2.如果一人数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根，表示为3a，其中a为任意实

数.

3.正数和0有平方根，正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数

没有平方根，任何实数都有一个立方根.

4.无限不循环小数叫做无理数.有理数和无理数统称为实数.实数与数轴上的点一一

对应.

二、例题例1 a为何值时，下列各式有意义?

(1)a2；(2)－a；(3)a+2；(4)3 a－1；(5)a+－a；(6)3 2a+1 a.

要判断a为何值时各式有意义，首先要弄清各式都表示什么，成立的条件是什么.

(1)，(2)，(3)式都表示算术平方根，(5)为两个算术平方根的和，各式被开方数都应

为非负数，(4)，(6)式都表示立方根.

任何实数都可以进行立方运算，但应注意，当被开方数是分数时，分数的分母不能为

0.

解 (1)因为a为任何实数时，a2≥0，所以a为任意实数时，a2有意义.

(2)因为要使－a有意义，必须使－a≥0，即a≤0，所以当a≤0时，－a有意义.

(3)因为要使a+2有意义，必须a+2≥0，即a≥－2，所以当a≥－2时，a+2有意义.

(4)因为3 a－1有意义，a－1可取任意实数，即a为任意实数，所以当a为任意实数

时3a－1的意义.

(5)因为要使a有意义，必须使a≥0；要使－a有意义，必须使－a≥0，即a≤0，所

以要使a+-a有意义，a必须等于0.因此仅当a=0时，a+-a有意义.

(6)因为2a+1a是分式，当a≠0时有意义，所以当a≠0时，3 2a+1a有意义.

例2 计算：

(1)求5的算术平方根与2的平方根之和；(保留三位有效数字)

(2)｜2－5｜－｜5+2｜；(精确到0.01)

(3)｜a－π｜+｜2－a｜(2

上列各题是进行实数运算.

问：计算各式的思路和方法是什么?

答：根据各题的要求分别取其近似值，转化为有理数进行计算.含有绝对值的式子应先

根据实数绝对值的意义，去掉绝对值的符号，再进行计算.

解 (1)因为5的算术平方根为5，2的平方根是±2.所以5的算术平方根与2的平方根之和为5±2.又因为5≈2.236，2≈1.414，所以

5+2≈2.236+1.414=3.65，

5－2≈2.236－1.414≈0.82.

(2)因为2＜5所以2－5=－(5－2).所以

｜2－5｜－｜5+2｜=5－2－5－2

=－22≈－2×1.414≈－2.83.

(3)因为2＜a＜π，所以

｜a－π｜=－(a－π)=π－a,｜2－a｜=－(2－a)=－2+a.

因此｜a－π｜+｜2－a｜=π－a－2+a=π－2≈3.142－1.414=1.73.

指出：

1.例2中的有关运算实际是进行实数运算，有理数的运算律和运算性质，在实数范围内仍然成立.

2.无理数的运算，可以转化为用相应的(或题目指定)近似有限小数进行，有的题目可根据问题的要求取其近似值，转化成有理数进行运算.

例3 (1)如图，已知正方形ABCD的面积是4a2，E，F，G，H分别为正方形四条边的中点，依次连结E，F，G，H得到一个正方形.求这个正方形的边长(用带根号的数表示).

(2)当a=4时，正方形EFGH的边长是多少?(精确到0.01).

分析：求正方形EFGH的边长，首先应求出正方形ABCD的边长.由于正方形的面积等于它的一边的平方，所以它的一条边是面积的算术平方根.

已知E，F，G，H是正方形ABCD的各边的中点，所以BF=BE,再在直角三角形EBF中，用勾股弦定理可求出EF的长.

解 (1)在正方形ABCD中，

AB=BC=CD=DA,∠A=∠B=∠C=∠D=90°.

因为正方形ABCD的面积=AB2抽以AB2=4a2.

因为4a2＞0,a＞0，所以AB=4a2=2a.

同理，BC=2a.

因为E是AB中点，F是B中点，所以BE=12AB=a，BF=12BC=a. 在Rt△EBF中，EF2=BE2+BF2=a2+a2=2a2,所以

EF=2a2=2a(a＞0).

(2)当a=4时，EF=42≈4×1.414=5.66.

三、课堂练习

1.判断下列说法是否正确?并说明理由.

(1)－1的立方根是－1. ( )

(2)－1的立方是－1. ( )

(3)－1的平方是1. ( )

(4)－1的平方根是－1. ( )

(5)－1是1的一个平方根. ( )

(6)无理数是开方开不尽的数. ( )

(7)9=±3.( )

(8)实数都有平方根. ( )

(9)实数都有立方根. ( )

(10)若x=x，则x=1. ( )

(11)若3x=x，则x=－1. ( )

(12)实数m的倒数是1m。( )

(13)3.1415926可以用分数表示. ( )

(14)有理数与数轴上的点一一对应. ( )

(15)a2的算术平方根是a. ( )

(16)若｜x｜=(y)2，则x=y. ( )

(17)x为任何实数，x表示x的算术平方根.

(18)x为任何实数，3－x都有意义.

2.选择题：(1)对实数进行分类，不正确的是( )