实数复习课
实数(单元复习)标准教案
实数(单元复习)标准教案一、教学目标：1. 理解实数的定义及分类，掌握有理数和无理数的特点。
2. 掌握实数的运算规则，包括加、减、乘、除、乘方和开方等。
3. 能够运用实数解决实际问题，提高运用数学知识解决问题的能力。
二、教学内容：1. 实数的定义及分类2. 有理数和无理数的特点3. 实数的运算规则4. 实数在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 教学重点：实数的定义及分类，实数的运算规则，实数在实际问题中的应用。
2. 教学难点：实数的运算规则，特别是乘方和开方运算。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解实数的定义、分类和运算规则。
2. 运用案例分析法，分析实数在实际问题中的应用。
3. 组织学生进行小组讨论，培养学生的合作意识。
4. 利用信息技术手段，如PPT、网络资源等，辅助教学。
五、教学过程：1. 导入新课：回顾实数的定义及分类，引导学生思考实数在生活中的应用。
2. 讲解实数的运算规则，通过例题展示运算过程，让学生熟练掌握。
3. 开展小组讨论：让学生运用实数解决实际问题，分享解题心得。
4. 总结课堂内容：回顾本节课所学，强调实数的重要性。
5. 布置作业：设计适量作业，巩固课堂所学。
6. 课后反思：根据学生作业完成情况，总结教学效果，调整教学策略。
六、教学评价：1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 作业评价：检查学生作业的完成质量，评估学生对实数运算规则的掌握程度。
3. 测试评价：组织单元测试，评估学生对实数知识的整体掌握情况。
七、教学资源：1. 教材：实数相关章节教材，用于引导学生学习。
2. PPT：制作精美PPT，辅助讲解实数概念和运算规则。
3. 网络资源：收集相关实数应用案例，供学生课后拓展学习。
4. 练习题库：准备各类实数练习题，巩固学生所学知识。
八、教学进度安排：1. 第1-2课时：讲解实数的定义及分类。
2. 第3-4课时：讲解实数的运算规则。
实数的复习课件(共38张PPT)
你知道算术平方根、平方根、立方根联系和区别吗？
算术平方根
平方根
立方根
表示方法
a 的取值
性 正数
0
质
负数
a
a
3a
a≥ 0
a≥ 0
a 是任何数
正数（一个） 互为相反数（两个） 正数（一个）
0
0
0
没有
没有
负数（一个）
开方
求一个数的平方根 求一个数的立方根 的运算叫开平方 的运算叫开立方
是本身
0,1
0
律
则3 5250的值是 17.38
1.已知 x 和 a 2 的和为0,则x的范围是为( B )
A.任意实数 B.非正实数 C .非负实数 D. 0
2.若- 3 m
=
7
3
8
,则m的值是
(B )
A 7
7 B
7
C
8
8
8
D
343 512
3. 若 (x 2)2 2 x成立,则x的取值范围是( A )
5.已知满足 3 a a 4 a ,求a的值
6、a、b互为相反数，c与d互为倒数，则a+1+b+
cd= 2
。
8、已知 a - 2 b 3 0,
则（a b)2 25 ;
9、计算： 1- x x 1 x2 1 0 ;
10、计算： 5 5 2 33
二.已知实数a、b、c，在数轴上的位置如下图所示， 试化简：
a
b0 c
（1） a2－ |a－b|+|c－a|+ (b c)2
（2）|a+b－c|+|b－2c|+ (b a)2 －2 a2
(完整版)《实数》复习课教案
《实数》复习课教案一、教学目标1．理解平方根、算术平方根、立方根的概念，能用平方或立方运算求某些数的平方根或立方根；2．会用计算器进行数的加、减、乘、除、乘方及开方运算；3．了解无理数的意义，会对实数进行分类，了解实数的相反数和绝对值的意义；4．了解实数与数轴上的点一一对应，了解有理数的运算律适用于实数范围．会按结果所要求的精确度用近似的有限小数代替无理数进行实数的四则运算．二、教学重难点1．平方根和算术平方根的概念、性质，无理数与实数的意义；2．算术平方根的意义及实数的性质．三、教学准备课件、计算器．四、教学过程一、知识疏理,形成体系（课前要求学生对本章知识进行总结）师：本章的主要内容是开方运算．从定义出发解题是解本章有关题目的基本方法，我们注意掌握用计算器进行数的计算的方法的同时，还必须注意区分清楚有理数与无理数的概念，掌握实数的四则运算．下面，我们以组为单位小结一下本章的知识点．生：我们认为这一章主要学习了一种新的运算——开方，开方与乘方是互为逆运算的关系．开方包括开平方与开立方．通过开平方可求一个非负实数的平方根；通过开立方可求一个实数的立方根．依据这一思路，我们画出的知识结构图是：()⎩⎨⎧−−−−−→←立方根开立方算术平方根平方根开平方开方乘方互为逆运算________ 师：好!他们组是以运算为线索总结的，侧重总结了开方运算，还有补充吗？ 生：我们认为平方根、算术平方根、立方根的定义、性质也都非常重要．因此我们是这样总结的：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−−−−−→←.00;;___00;.;00:,的立方根是方根负数有一个负的立方根正数有一个正的立性质定义立方根开立方的算术平方根是的正的平方根正数性质定义算术平方根负数没有平方根的平方根是们互为相反数根一个正数有两个平方性质定义平方根开平方开方乘方互为逆运算a 师：当求一个非负数的平方根时，可能会出现无理数，使得数的范围从有理数扩大到实数，所以实数的意义、分类以及相关的内容也需总结．生：我们是这样总结的：1．分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负无理数正无理数无理数负有理数正有理数有理数实数02．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点又都可以表示成一个实数，它们之间是一一对应的．师：有理数都可以表示成有限小数或无限循环小数．无理数是无限不循环小数，它不能表示成分数形式，任何一个无理数，都可以用给定精确度的有理数来近似地表示．二、强化基础，巩固拓展．（也可以由学生提出典型薄弱题型进行讲解） 1．求下列各数的平方根：（1）972；（2）25；（3）252⎪⎭⎫ ⎝⎛-． 师：本题要审清是求哪个实数的平方根，只有非负实数才有平方根． 生：（1）是求925的平方根；（2）是求5的平方根；（3）是求254的平方根． 由学生独立完成．2．x 取何值时，下列各式有意义．（1）x -2； （2）12+x ．师：a 在什么情况下有意义？生：对于a ，必须满足a ≥0，它才有意义，所以被开方数必须是非负数． （1）2－x ≥0；（2）x 2＋1≥0．师：如何求出x 的范围呢？生：我们讨论后，得出如下结论：（1）x ≤2；（2）不论x 取什么实数，x 2≥0，x 2＋1＞0，即x 的取值范围是：x 为全体实数．3．求下列各数的值：（1）()23π-；（2）122+-x x （x ≥1）．师：如何化简2a 呢？生：我们认为首先应考虑2a 中a 的范围．（1）当a ≥0时，2a ＝a ；（2）当a ＜0时，2a ＝－a ．师：求下列各数的值，必须先确定a 的范围．生：因为3－π＜0，所以()23π-＝－（3－π）＝π－3．师：如何化简122+-x x 呢？生：将122+-x x 化为2a 的形式，即()22112-=+-x x x再考虑x －1的范围，由学生独立完成．4．已知：|x －2|＋3-y ＝0，求：x ＋y 的值．师：认真审题，考虑一下所给的这些数有什么特点．生：|x －2|和3-y 都是非负数．师：两个非负数的和可能是0吗？生：只有当两个非负数都取0时，其和才为0，其他情况下，都大于0． 由学生独立完成．师：哪些数为非负数呢？生：实数a 的绝对值，表示为|a |，|a |是非负数；实数a 的平方，表示为a 2，a 2是非负数；非负实数a 的算术平方根表示为a ，a 是非负数．师：非负数有什么特点？生：（1）几个非负数的和仍为非负数；（2）若几个非负数的和为0，则每一个非负数都必须为0．师：绝对值、平方数、算术平方根都是非负数，解题时要注意这一隐含条件，不可把0漏掉．5．计算：32725-+（精确到0.01）． 师：无理数是开方开不尽的数，那么如何计算呢？生：在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算．因为精确到0.01，所以在计算过程中可用2.236代替、5，1.732代替3． 由学生独立完成．6．在实数2-、13.0 、3π、71、0.80108中，无理数的个数为_______个． 师：如何判断一个数是无理数？生：一个无理数不能表示成分数形式，或者说成数位无限，且不循环． 7．|x |＜2π，x 为整数，求x师：|x |＝2π，x 的值是多少？生：当x ＝2π，x ＝－2π时，|x |＝2π，所以|x |＜2π时，x ＝±2π．师：|x |＝2π的含义？生：实数x在数轴上所对应点到原点的距离等于2π．师：|x|＜2π的含义呢？生：实数x在数轴上所对应点到原点的距离小于2π．师：结合数轴，你能说出满足|x|＜2π这一条件的点在数轴的什么位置上吗？生：→在如图所示的范围内，因为x为整数，所以x＝6、5、4、3、2、1、0、－1、－2、－3、－4、－5、－6．师：非常好!三、查缺补漏，归纳提升．1．通过今天的探究学习，你们有哪些收获？2．非负数的和等于零的条件是：当且仅当每个非负数的值都等于零．此性质在解题时经常会被用到．3．对于本章的内容你还有那些疑问？四、作业1．教科书第19页复习题A组五、板书设计第6章实数1．知识疏理2．巩固训练3．归纳提升六、教学反思（略）七、课堂小卷（1）填一填:1.16的平方根记作_______,等于________.16________.3.31-2-3(1)_______.55.两个无理数的和为有理数,这两个无理数可以是______和_______.6.若│x 2-则x=_______,y=_______.7.已知x 的平方根是±8，则x 的立方根是________.（2）选一选:8.4的平方根是（ ）A.2B.-2C.±29.下列各式中,无意义的是（ ）B. 10.下列各组数中,互为相反数的一组是（ ）A.-2与B.-2C.-2与-12D.│-2│与2 11. 下列说法正确的是 （ ）A.1的平方根是1;B.1的算术平方根是1;C.-2是2的平方根;D.-1的平方根是-1（3）做一做：12. 求下列各数的平方根:（1）81;（2）1625;（3）1.44;（4）214; （513. 求下列各式中的x:①x 2=1.21; ②27（x+1）3+64=0.14. a≥0a 的算术平方根.由此你会求下列各式有意义时x 的取值范围吗？试试看:（1 （2; （3 （415.已知2a-1的平方根是±3,3a+b-1的平方根是±4,求a+2b 的平方根.。
第1讲走进实数世界复习课件
考 点 训 练
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考 点 知 识 精 讲 中 考 典 例 精 析
2．按正负分类 正整数 正实数正有理数 正分数 正无理数 实数零既不是正数也不是负数 负整数 负有理数 负实数 负分数 负无理数
正确理解实数的分类，特别注意π 是无理数，22是分数； 2 7
D．± 16
3 (4)(2010· 桂林)在实数 5、 、 3、 4中，无理数是( 7 3 A．5 B. C. 3 D. 4 7
)
举 一 反 三
【点拨】做此类题的关键是熟练掌握实数的有关概念．
【解答】(1)A (2)A (3)B (4)C
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B
)
举 一 反 三
9．通过世界各国卫生组织的协作和努力，甲型 H1N1 流感疫情得到了有效的控制，到目 前为止， 全球感染人数约为 200 000 人左右， 占全球人口的百分比约为 0.000 031， 将数字 0.000 031 用科学记数法表示为( A ) － － A．3.1×10 5 B．3.1×10 6 － － C．3.1×10 7 D．3.1×10 8 考
A． 13＝3＋ 10 C．36＝ 15＋ 21
B．25＝ 9＋16 D．49＝ 18＋ 31
举 一 反 三
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13．(2009 中考变式题 )下列命题正确的是( A．9 的平方根是 3 B．任何数都有倒数 C．a 的相反数是－ a D．若 |x|＝3，则 x＝3
北师大版数学八年级上册第二章实数单元复习课课件
④8的立方根是___2____.
图Z2-2
6. (202X湘潭)在数轴上到原点的距离小于4的整数可以为
_3_（__答__案__不__唯__一__）____.（任意写出一个即可）
7. 下列数中：①-|-3|；②-0.3；③
④
⑦0；⑧1.202 002 000 2…（每两个2之间依次多一个0），⑨
无理数是__③__④__⑧___，整数是__①__⑥__⑦___，负分数是___②__⑨____.（
知识导航
无理数 概念：无限不循环小数
算术平方根
实
定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即
数 平方根 x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根.
规定：0的算术平方根是0.
表示方法：正数a的算术平方根表示为 读作
“根号a”
续表
平方根 定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2 = a，那么这个 数叫做a 的平方根（二次方根）. 平 性质: 实 方 ①一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 数 根 ②0只有一个平方根，它是0本身； ③负数没有平方根
运算：实数的运算法则及运算律对二次根式仍然适用
专题1 平方根、立方根
1. （202X南京）3的平方根是( D )
A. 9
B.
C.
D. ±
2.
的算术平方根的倒数是（ C ）
A.
B. ±
C.
D. ±
3.有理数8的立方根为（ B ）
A.-2
B.2
C.±2
D.±4
4. 下列计算正确的是（ D ）
A.
=-3 B.
+(7-c)2=0，求-2a-b-c的立方根.
解：因为|a+3|+
复习课：实数
复习课：实数教学课题 复习课：实数教学目标 巩固实数知识点，归纳相关经典题型进行针对性练习 教学重、难点题型的变式与解法的变通性【知识点】一、有理数无理数的判别概念：有理数是指有限小数和无限循环小数。
无限不循环小数叫做无理数。
无理数可分为正无理数和负无理数。
无理数形式上有三种：①无限不循环小数；1.101001000100001……②开方开不尽的数；23，③含有圆周率π的代数式. 35π『练习』1. 在-1.732，2，，3.14，2+3,3.212212221，3.14π这些数中，无理数的个数为( )A. 5B. 2C. 3D. 4 2．下列实数317，π-，3.14159 ，8，327-，21中无理数有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个二、实数的定义1. 有理数和无理数统称为实数2. 实数的分类： （1） 按定义分类：0正整数整数负整数有理数有限循环小数或无限循环小数实数正分数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩⎭⎪⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩（2） 按大小分类：⎧⎪⎨⎪⎩正实数实数负实数【注意】 (1)整数可分为奇数，偶数，零是偶数，偶数一般用2n (n 为整数)表示；奇数一般用2-1n 或2+1n (n 为整数)表示．(2)正数和零常称为非负数．『练习』1．下列命题中，正确的是（ ）。
A 、两个无理数的和是无理数B 、两个无理数的积是实数C 、无理数是开方开不尽的数D 、两个有理数的商有可能是无理数 2．下列命题错误的是（ ）A 、3是无理数B 、π＋1是无理数C 、23是分数 D 、2是无限不循环小数3. 有下列说法：（1）无理数就是开方开不尽的数； （2）无理数是无限不循环小数；（3）无理数包括正无理数、零、负无理数； （4）无理数都可以用数轴上的点来表示。
其中正确的说法的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．下列说法错误的是（ ）A ．负数不能开偶次方B ．有理数和无理数统称实数C ．无限小数是无理数D ．数轴上的点和实数一一对应 5.如果有理数与它的倒数相等，那么这种有理数共有_________6.下列各数349,3.1415926,0.131131113,100--中有理数的个数是_________三、算术平方根、平方根的概念1. 算术平方根的定义：正数a 有两个平方根，其中正数a 的正的平方根a 叫做a 的算术平方根。
北师大版八年级上册数学《平方根》实数教学说课复习课件巩固
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方， a叫做被开方数.
新知探究
平方根与算术平方根的联系与区别 【联系】 1.包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方 根的一种. 2.只有非负数才有平方根和算术平方根. 3.0的平方根是0，算术平方根也是0.
（来自《点拨》）
知3－讲
例4 (1)已知y＝ x 2 ＋ 2 x ＋5，求2x＋y的算术平 方根．
导引：由于只有非负数才有算术平方根，因此本题中x －2≥0，且2－x≥0.求得x的值后从而可得y的 值，进而问题得解．
解：由 a 中a≥0知，等式成立的条件是x－2≥0且
2－x≥0.所以x≥2且x≤2. 所以x＝2.所以y＝5. 所以2x＋y＝2×2＋5＝9. 因为9的算术平方根是3，所以2x＋y的算术平
根的定义知它具有“双重”非负性：a≥0，
a ≥0，即算术平方根及它的被开方数都
为非负数． 2.对于所有的算术平方根，被开方数越大，对
应的算术平方根也越大；反之亦然．
1.必做: 完成教材P27 T1-T4 2.补充:请完成《点拨训练》P19-P20对应习题
八年级数学北师版·上册
第二章 实数
平方根
第2课时
课件
新课引入
1. 什么叫算术平方根？ 若一个正数的平方等于a 则这个数叫做a的算 术平方根,表示为 a (a≥0）. 0的平方根是0，即 0 =0 .
新知探究
2.我们已经学习过哪些运算？它们中互为逆运算的是什么？
答：加、减、乘、除、乘方五种运算.加与减互逆；乘与除互逆.
课堂小测
2.4的平方根是 （ B ）
A. 2 B. 2 C. 16 D. 16
《实数》复习课
多一份睿智 少一份嬉戏 展一份风采
第 2 页 共 2 页
审核人：
复核人：
C． 4 个 D．±5 D． 6 3 D． 3 a ） ． D．5 个
A．2 个 B ．3 个 2．25 的算术平方根是（ ） ． A． 5 B．5 C．－5 3． 6 3 的相反数是（ ） ．
1 16
⑵ (81) 2 2 3 83 解：原式=
解：原式=
A． 6 3 B． 6 3 C． 6 3 4．如果 a 是实数，则下列各式中一定有意义的是（ ） ． A． a 2008 B． ( a ) 2 C． b D． 2a b C． a a
仪陇县大罗乡小学校
初中七年级(下)数学
导学案
制作人：吴春伶
组别：初中数学组
制作时间：2014-3-1
课题： 《实数》复习课（1） 第一课时 平方根、立方根、实数 学习目标： 1.归纳和整理本章知识点，形成系统知识 2.强化对平方根、算术平方根、立方根、实数等相关概念的理解 3.能够进行简单的实数相关运算 学习重点： 1、强化对本章所有概念的理解 2、能够熟练地进行相关的实数运算 学习难点：实数大小的比较 一、复习内容 1.平方根： _； 平方根的性质：①________________ ② ； ③ ； 平方根与算术平方根的关系： 2.算术平方根的定义：___________________________________________________________________。 a 的双重非负性的理解： a ≥0 (a≥0) 3.立方根的定义：__________________________________________________________________。 ___； 立方根的性质：①___________________ __ ______________________ ② ； __________； ③__________ 4.无理数：______ _____________________； 实数：_____________________________________________． 实数性质：_____________与数轴上的点是一一对应的，有理数的运算法则、运算律等在实数范围内同样适用。 二、专题复习 【专题一：平方根与算术平方根】 错误！未指定书签。 ．(1)16 的平方根是 ，算术平方根是____________________． (2) 16 的平方根是 ，算术平方根是____________________． 2．下列说法正确的是（ ） A．1 的平方根是 1 B．1 是 1 的平方根 C． (2) 2 的平方根是 2 D．0 没有算术平方根 3．化简： (2)2
人教版七年级数学下册复习课优秀教学案例：6.3实数
我鼓励学生进行小组合作，共同探讨和解决问题。在教学过程中，我设计了多个小组讨论的活动，让学生在小组内交流自己的想法和理解，共同探讨实数的分类和实数与数轴的关系。
例如，在讲解实数的分类时，我让学生在小组内讨论并总结实数的分类，每个小组成员都能发表自己的观点，共同得出实数的分类结果。通过小组合作，学生能够互相学习、互相启发，提高他们的合作能力和团队精神。
在教学过程中，我采用了“问题驱动”的教学方法，通过设置一系列具有启发性的问题，引导学生主动思考、探究和交流。同时，我还运用了数形结合的方法，让学生直观地理解实数与数轴的关系。
本节课结束后，学生对实数的认识得到了加深，他们在实数的分类、实数与数轴的关系等方面的理解更加清晰。此外，通过本节课的学习，学生的数学思维能力得到了锻炼，他们能更好地运用实数解决实际问题。总体来说，本节课达到了预期的教学目标，取得了较好的教学效果。
然后，我组织学生进行小组讨论，让他们共同探讨和解决问题。我提出了与实数相关的问题，引导学生进行思考和交流，培养他们的合作能力和团队精神。
在总结归纳环节，我将学生的小组讨论结果进行总结和归纳，突出实数的重要性和应用。我通过总结归纳，帮助学生形成系统的知识结构，提高他们的理解和记忆能力。
最后，我布置作业小结，让学生在课后进行自主学习和复习。我设计了相关的练习题和思考题，使学生能够巩固所学知识，提高他们的实际应用能力。
在课程开始之前，我通过调查了解到学生对实数的认识存在一定的模糊地带，特别是在实数的分类、实数与数轴的关系等方面。因此，我决定以这些问题为切入点，引导学生进行自主探究，从而提高他们的数学素养。
针对这一章节的内容，我设计了以下教学目标：一是使学生掌握实数的分类，理解有理数和无理数的概念；二是让学生了解实数与数轴的关系，能正确地在数轴上表示实数；三是培养学生运用实数解决问题的能力，提高他们的数学思维品质。
《实数》复习课教案
《实数》期末复习教案二中苏元实验学校 陈颍【教学分析】《实数》一章概念较多，且比较抽象，主要是学生对于无理数的认知还缺乏实际经验的积累，算术平方根和平方根概念混淆。
本节为复习课，学生有一定的知识储备，但是预计因理解不到位容易出错，所以这节课定位在：帮助学生构筑知识体系，通过学生自主学习和合作学习暴露学习中的知识性问题，加强理解，归纳典型问题的方法，领会数学思想在解决问题中的作用。
【复习目标】1. 进一步巩固算术平方根，平方根，立方根和实数的的相关概念及性质2. 熟练用根号表示并求数的平方根，立方根3. 能进行实数的简单四则运算，对实数的大小进行比较4. 掌握估算的方法，加强估算能力的培养5. 领会分类思想、类比迁移、数形结合等数学思想方法的运用【教学重点】平方根、算术平方根、立方根及实数的概念与性质，以及实数的运算，大小比较【教学难点】平方根和实数的概念，对符号的认识【教学准备】学案【教学过程】环节一：引导回顾，构筑知识框架师：在《实数》这一章，我们认识了哪些关于数的新知识？学生回忆，师生共同构筑知识线：()⎩⎨⎧−−−−−→←立方根开立方算术平方根平方根开平方开方乘方互为逆运算________ ⎩⎨⎧无理数有理数实数 （设计意图：本节概念较多，先建立知识框架，后面以题带点覆盖知识点）环节二：强化基础，巩固拓展，完善知识框架题组（一）：基本概念过关先让学生独立思考完成，老师巡视发现问题，然后学生小组讨论交流，找出易错点，消化部分呈现问题，接着先请每个小组派代表展示错点，归纳总结易错点，师生一起归纳和完善知识体系。
1. 16的算术平方根是______________.2. 2)9(-的平方根是x , 64的立方根是y ，则y x +=________.3. 式子1-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是________.4. 下列计算中：①2)7(-=－7；②2)2(2=-；③196=±14；④39-=－3；⑤25425=--；⑥2581-=59-；⑦）21)21(33±=，⑧5)5(2±=，正确的是 .（填序号即可） 5. 已知一个正数的平方根分别是13+a 和11+a ，则a 的值是_______.6. 下列实数：4-，3，113，2π，•7.1，38-，0.3737737773…(相邻两个3之间的7的个数逐次加1)，其中属于无理数的是_____________________________________________________.7. 数轴上的点与______一一对应。
实数复习课公开课教案
实数复习课教案活动目标1．复习平方根、算术平方根、立方根的概念，能用平方或立方运算求某些数的平方根或立方根；2．复习无理数的意义，会对实数进行分类，了解实数的相反数和绝对值的意义；3．复习数轴、相反数、绝对值的性质，并在实数范围内准确运用。
4. 能对实数进行运用和比较大小。
活动重点1． 平方根、立方根的概念、性质，会求一个实数的平方根、立方根。
2.对实数准确分类和比较大小。
活动难点：掌握实数的有关概念及会进行实数大小比较；会进行开平方和开立方运算，会求一个非负数的算术平方根；能够运用实数的有关性质解决问题教学准备课件、导学案活动过程一、 知识疏理（一） 平方根、算术平方根、立方根⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−−−−−→←.00;;___00;.;00:,的立方根是方根负数有一个负的立方根正数有一个正的立性质定义立方根开立方的算术平方根是的正的平方根正数性质定义算术平方根负数没有平方根的平方根是们互为相反数根一个正数有两个平方性质定义平方根开平方开方乘方互为逆运算a 设计意图：对比复习平方根、算术平方根、立方根让学生对知识之间的联系，进一步掌握它们之间的区别，达到正确求一个数的方根的目的。
一点一练我能行！1.明辩事非3是9的算术平方根 （ ）0的平方根是0，0的算术平方根也是0 （ ）（-2）2的平方根是2- （ ）64的立方根是4± （ ）-10是1000的一个立方根 （ ）2.填一填25的平方根是 16的算术平方根是 27的立方根是______ 327 的平方根是_________3.火眼睛睛（1）A ．3B ．3-C ．3±D ． 9（2）下列说法中正确的是（ ）A ．81的平方根是±3B ．1的立方根是±1C ．1=±1D ．－5是5的平方根的相反数（3）下列式子中① 4是16的算术平方根，即4= ②4是16的算术平方根，即4=③－7是49的算术平方根，即7= ④7是（-7）²的算术平方根，即7= 其中正确的是（ ）A. ①③B. ②③C. ②④D. ①④（二）实数的分类、性质、比较大小、运算1．实数分类（按定义分和按正负分）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负无理数正无理数无理数负有理数正有理数有理数实数0分类中特别强调无理数的形式针对练习：(2) 73是（ ）: A ．无理数B ．有理数C ．整数D ．负数1、在下列各数、、、、、、、、27111311010010001.672232.0051525354.0 π 中无理数的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52、把下列各数填在相应的大括号内： 1010010001.2,64,333.3,14.3,,75,13---π 整数集合：{ ……}；分数集合：{ ……}；有理数集合：{ }；无理数集合：{ }。
实数(复习课)
常州龙文教育个性化辅导教学案教师：方海欧学生：年级：初二学科：数学日期：星期：时段：一、课题实数（复习课）二、教学目标1、熟练平方根、立方根的概念及其应用。
2、熟练实数有关概念，近似数与有效数字的概念。
3、增强应用意识，提高解决问题的能力，体会数学的应用价值。
三、教学重难点理解平方根、立方根、实数、近似数、有效数字等概念，并能灵活运用。
四、教学课时第10课时五、教学方法讲授法、讨论法、练习法六、教学过程【知识要点】平方根1.平方根如果一个数的平方根等于a,那么这个数叫做a的平方根,也可叙述为：“如果2x a=,那么x就叫做a的平方根.”2.开平方求一个数a的平方根的运算叫做开平方,a叫做被开方数.3.平方根的性质一个正数有两个平方根,它们互为相反数.正数a的两个平方根可以用“a±”表示,其中a表示a的正平方根（又叫算术平方根）,读作“根号a”; a-表示a的负平方根,读作“负根号a”.零的平方根记作0,00=.因为任何一个正数、负数或零的平方都不是负数,所以负数没有平方根.4.开平方与平方的关系开平方与平方互为逆运算,根据平方根的意义,“如果2x a=,那么x叫做a的平方根”, x记作a±,我们得到：（1）一个正数的平方根的平方等于这个数,即：当0a>时,()22,();a a a a=-=教学过程（2）一个正数的平方的正平方根等于这个数,即：当0a>时,2.a a=一个负数的平方的正平方根等于这个数的相反数,即：当0a<时,2.a a=-立方根1.立方根与平方根类似,有：如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根,用“3a”表示,读作“三次根号a”,3a 中的a叫做被开方数,“3”叫做根指数;也可叙述为“如果3x a=,那么x就叫做a的立方根”,x记作3a.2.开立方求一个数a的立方根的运算叫做开立方.开立方与立方互为逆运算.3.立方根的性质我们已学过正数的立方是一个正数,负数的立方是一个负数,零的立方等于零,由立方运算可知正数有一个正立方根,负数有一个负立方根,零的立方根是零,也就是说任意一个数都有立方根,而且只有一个立方根.类似于平方与开平方之间的关系,根据立方根的意义,可以得到()3333,a a a a==.（以上a是实数）注意：一个数的立方根记作“3a”,根指数3不能忽略.实数1. 无理数：无限不循环小数叫做无理数,也就是不能用两整数比表示的数.无理数可分为正无理数和负无理数.只有符号不同的两个无理数是互为相反数.2. 实数：有理数和无理数统称为实数.3.实数分类：⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数n次方根1.n次方根如果一个数的n次方(n是大于1的整数)等于a,那么这个数叫做a的n次方根,也可叙述为“如果n x a=(n是大于1的整数),那么x就叫做a的n次方根”,x记作n a.平方根和立方根是n次方教学过程2.开n次方求一个数a的n次方根的运算叫做开n次方,a叫做被开方数, n叫做根指数.n次方根简称为“方根”;开n次方简称“开方”.3.n次方根的性质由于n次方根包含平方根和立方根在内,而平方根和立方根有不同的性质,这使得研究n次方根的性质时,必然要把指数按奇数或偶数分别进行研究.与立方根类比：实数a的奇次方根有且只有一个,用“n a”表示,其中被开方数a是任意一个实数,根指数n是大于1的奇数.与平方根类比：正数a的偶次方根有两个,它们互为相反数,正n次根用“n a”表示,读作“n次根号a”,负n次根用“n a-”表示,其中被开方数0a>,根指数n是正偶数（当2n=时,在n a±中省略n）,负数的偶次方根不存在.因为零的n次方等于零,所以零的n次方根等于零,表示为00n=方法与技能：研究n次方根,必须用分类思想把指数分为奇数和偶数来考虑,学习奇次根式时与立方根类比,学习偶次根式时与平方根类比,这种类比方法是数学思维重要方法之一.综上,无论n为奇数还是偶数,对于正数a的正n次方根都记作n a,称为正数a的n次算术根.（0的n次算术根为零）正数a的n次算术根,有下列重要性质：.nk nmk ma a=（n为大于或等于2的整数）即根指数与被开方数的指数如果有公因数则可以约去,这一公式可以顺用,即将nk mka化为.n ma反过来,也可以将n ma化为nk mka.【典型例题】【例1】求值：（1）32的五次方根（2）-32的五次方根（3）16的四次方根（4）64的六次方根（4）0.000064的六次方根（6）32243-的五次方根【分析】运用乘方运算求方根的值是常用的方法,对于正数的偶次方根有两个,它们互为相反数要充分理解,求n次方根的值必须考虑指数的奇、偶性,增强分类的意识,学会正确的语言表述是很重要的,给书写也带来简便.【解答】（1）5232=∴32的五次方根5322==（2）()5232-=-∴-32的五次方根5322=-=-教学过程（3）()4216±=∴16的四次方根6642=±=±（4）()6264±=∴64的六次方根6642=±=±（5）()60.20.000064±=∴0.000064的六次方根60.0000640.2=±=±（6）52323243⎛⎫-=-⎪⎝⎭∴32243-的五次方根53222433=-=-【例2】选择题：1.下列语句中,正确的是（）（A）正数a的n次方根记作n a（B）如果n是偶数,当且仅当a是非负实数时,则n a有意义（C）零的n次方根无意义（D）任何实数都能开方2.5x-在实数范围内能开偶次方根的条件是（）（A）x为任意实数（B）5x≥（C）5x≤（D）0x≤【分析】理解立方根和开立方的概念【解答】1.（B）当n是奇数时,正数a的n次方根记作“n a”, 当n是偶数时,正数a的n次方根记作“n a±”,故（A）错.当a为非负实数时,a有偶次方根,所以n a（n是偶数）有意义,故（B）对.零的n次方为零,故（C）错.负数没有偶次方根,任何实数不一定都能开方,故（D）错.2.（C）由被开方数50x-≥解得5x≤,故选（C）.【例3】求适合下列等式中的x.（1）3910x-=（2）4810x=【分析】理解开n次方与n次乘方互为逆运算的关系【解答】（1）x是910-的立方根,因为3391010--=（）,所以310-是910-的立方根,因此310x-= ,即教学过程0.001x=.（2）由已知可知,x是810的四次方根,由于248(10)10±=,所以210±是810的四次方根,因此210x=±,即100x=±.近似数的精确度近似数与准确数的接近程度即近似程度,近似的程度的要求叫做精确度.近似数的精确度有以下两种表达方式：一种是精确到哪一个数位.例如精确到千分位（即保留3位小数）,那么准确数与近似数的误差不大于0.0005（即万分之五）,这是因为近似数是经过四舍五入截取得到的.另一种是指定保留几个有效数字.对于一个近似数,从左边第一个不是零的数字起,往右到末尾数字为止的所有数字,叫做这个近似数的有效数字.如果保留五个有效数字,π的近似值为 3.1416.那么π的准确值在 3.14155与 3.14165之间,绝对误差为0.00005.如用π代表圆周率的准确值,则3.14160.00005.π-<利用无理数的近似数作计算时,中间过程中,应比最后要求精确度多保留一位数字,到最后再按四舍五入法,按最后要求取近似值.例题：1.求下列各数的平方根：2.求下列各数的算术平方根：5．解答题：6、比较两个数大小的方法很多，最常见的方法是：（1）类比法；（2）“作差”比较法.下面先学习用类比法比较两个数的大小.解：169,3723,21,0,65,36,12149,81225,1625,1632,196,36125,0,49324,289,521,49,81121,25;11-132=-+-+xxx计算：、.5323554=-+计算：、)32)(32()1(-+2)525()2(-(1)6 2.5;比较与的大小22.5 2.5 6.25==6 6.25<6 2.5∴<练习：比较下列两数的大小.思考：比较215- 和 21的大小；你是怎么比较的？用“作差”比较两数的大小，其步骤是：第一步：求差 第二步：判断值的正负 第三步：做出结论 解：练习：比较解：8、判断下列说法是否正确：（1）无限小数都是无理数； （2）无理数都是无限小数； （3）带根号的数都是无理数； （4）实数都是无理数；（5）无理数都是实数; （6）没有根号的数都是有理数. （7）一个数的立方根不一定是无理数 （8）任何实数都有唯一的立方根（9）只有正实数才有算术平方根 （10）任何数的平方根有两个，它们互为相反数 （11）两个无理数的和一定是无理数 （12）两个无理数的积一定是无理数 （13）若正数a 的一个平方根是b ，那么a 的另一个平方根是-b. （14）若a 为有理数,b 为无理数,则 ab 必为无理数 ()123,4.5()231,5.6515(2)..28-比较与的大小=--85215 =-8954224598⨯-=165818⨯-=88180-0<85215<-∴2323,55-. )( , 32 7的值求代数式部分为，小数的整数部分为记、b a b b a ++（第5题）七、课后练习 1.下列实数722，3，38，4，3π，0.1， 010010001.0-，其中无理数有（ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个2. 对0.000009进行开平方运算，对所得结果的绝对值再进行开平方运算……随着开方次数的增加，其运算结果（ ）A.越来越接近1B.越来越接近0C.越来越接近0.1D.越来越接近0.33.地球七大洲的总面积约是1494800002km ，如对这个数据保留3个有效数字可表示为（ ） A ．1492km B ．1.5×1082km C ．1.49×1082km D ．1.50×1082km4、对于10.08与0.1008这两个近似数,它们的（ ）A ．有效数字与精确位数都不相同B ．有效数字与精确位数相同C ．精确位数不同,有效数字相同D ．有效数字不同,精确位数相同5. 右图是2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标,它取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，由四个全等的直角三角形和一个小正方形的拼成的大正方形,如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短边为a ，较长边为b ，那么（a +b ）2的值是（ ）A ．13B ．19C ．25D ．169第6题6．如图，阴影部分是以直角三角形的三边为直径的半圆，两个小半圆的直径之比是3∶4，面积和为100，则大的半圆面积是___________.7．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形（涂上阴影）．⑴在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；图2图3图18、如图，是4个完全相同的直角三角形适当拼接后形成的图形，这些直角三角形的两直角边分别为a 、b,斜边为c 。
实数的基本概念 复习课
3 无理数的个数有 ___ 个。
无限不循环小数叫做无理数 ( 强调: 无限 、 不循环.) 无理数常见的4种典型:
2 1、带根号的（指开方开不尽的数）：2，
3 3+1，9
(3)、无限不循环小)
(4)、三角函数型：tan60°，sin45 °．．．
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1 4 3+ 2 、含有的数： ，，
二、实数的基本概念
一.负数：在正数前面加“—”的数； 0既不是正数，也不是负数。 1、判断： 1）a一定是正数； （× 2）－a一定是负数； （× 3）－（－a）一定大于0； （ × 4）0是正整数。 （×
） ） ） ）
2、（1）如果零上5℃记作5℃，则零下2℃记作_____ （2） 如果上升10m记作10m，那么-5m表示____
已知 x a(a 0), 求x时，注意x a。 即绝对值的原数是双值性。
1、已知数轴上的Ａ点所表示的数是２，那么在数 B 轴上到Ａ点的距离是３的点所表示的数有（） Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个 2、若x的相反数是3,∣y∣=5，则x+y的值为 -8或2 . 3、若3，ｍ，5为三角形三边，化简： 2m-10 •绝对值的性质——要注意正确区分数的三种情 况，尤其是负数去掉绝对值应变为其相反数。
１、下列各组数中，互为相反数的是（ c ） 1 2 2 A.2与 B. 1 与1 C. 1与 1 D.2与 2 2
２、若|a-3|-3+a＝０，则a的取值范围是（ ） c A.a≥3 B.a<3 C.a≤3 D.a>3
3、 3 的相反数是 A.－3 B. －1/3 （ A ） C. 3 D. 3 （2004广东）
要点、考点聚焦 一、实数的分类：
实数复习课件
三、实数与数轴上的点的对应 实数 a
-2
-1 A 0
1
2
（数点）每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。
（点数）反过来 ，数轴上的每一个点都表示一个实数。
实数a一一对应点 A
B
1
-2
-1
0
1 2A 2
在数轴上作出 5 对应的点。
2
-2
-1
0
1
2
点M在数轴上与原点相距 5 个单位，则点M表示 的实数是
1 , 5 , 42
4, 9
0,
3 8,
3 2, 7 , , 2, 20 , 3
5, 0.3737737773
有理数集合
无理数集合
一、实 数 的 分 类 （按 定义 分）
有限小数及无限循环小数
整数
有理数
实
分数
数
正整数 0
负整数 正分数
负分数
自然数
无理数
无限不循环小数
１．圆周率 及一些含有 的数
27
3
3 100
相反数 绝对值 倒数
（1） 如图，OA=OB ，数轴上的点A介于
哪两个整数之间？ 点A对应的数是什么？
∵OB = 2 ，OA=OB
B
∴OA= 2
∴点A 对应的数是 2
1
-2
-1
0
1 A2
（2） 如果将所有有理数都标到数轴上 ，那么数轴被 填满了吗？ 答： 填不满。 数轴上还有无数多个无理数对应的点。
四、比较实数的大小
1.在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。 2.正实数大于0，负实数小于0，正实数大于负实 数。 3.两个负实数，绝对值大的反而小。
第六章《实数》总复习课件
从数的发展和数的研
究两个方面对本节课
进行小结，让学生感
悟数学的发展经历了
漫长的历史，是数学
家们智慧的结晶。同
时，通过回顾本章的
内容，感受学习实数
的过程同样遵循并体
现了学习一类数的方
式方法。
6
教学反思
1.本节课从实数的存在、概念、分类、表示、比较大小、运算几个角
度展开复习，帮助学生头脑中形成研究数的逻辑和方法。
0
0
负数
开立方
开平方
问题4 在数轴上能找到数
吗？
0
实数
1
一一对应
22
3
数轴上的点
表示的点
问题5
2有多大？
追问 我们是怎么得到 2的近似值的？
. . . . . . . . .
1.21 1.44 1.69 1.96 2.25 2.56 2.89 3.24 3.61
了数的范围，但有
理数的相关概念及
运算同样适用于实
数。利用数轴，我
们建立起了数与形
的桥梁。
5
教学过程设计
数的大小是研究数的重要
方面，该环节通过再现学
生之前的学习经验，复习
用夹逼的方式估计无理数
的大小，学以致用，根据
该方法解决更实际更复杂
的问题。另外，借用华罗
庚的故事也能激发学生的
学习积极性。
5
教学过程设计
.
1.9881
.
2.0164
.
2.0449
.
2.0736
.
2.1025
.
.
.
.
.
1.993744 1.996569 1.999396 2.002225 2.005056
实数复习课教案
实数复习教学目标1．理解平方根、算术平方根、立方根的概念，能用平方或立方运算求某些数的平方根或立方根；2．会用计算器进行数的加、减、乘、除、乘方及开方运算；3．了解无理数的意义，会对实数进行分类，掌握实数的相反数和绝对值的意义；4．理解实数与数轴上的点一一对应，理解有理数的运算律适用于实数范围．教学重难点：1．平方根和算术平方根的概念、性质，无理数与实数的意义；2．算术平方根的意义及实数的性质．一、基础知识1、有理数(1) 有限小数：小数部分的位数是有限的小数。
(2) 无限循环小数：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
例如：…，…等等。
2、无理数（1）无理数：无限不循环小数叫做无理数。
（2）无理数的特征：1)无理数的小数部分位数不限；2)无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式。
3、实数有理数和无理数统称为实数。
（1）实数的分类：（2）实数的性质：在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义，和在有理数范围内是一样的。
数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示；反过来，每一个实数都可以在数轴上找到表示它的点。
（实数与数轴上的点一一对应。
）（3）实数大小比较的方法：1）有理数大小的比较法则在实数范围内同样适用，即：法则1：在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。
法则2：正实数都大于0，负实数都小于0；正实数大于一切负实数；两个负实数，绝对值大的反而小。
2）平方比较法。
3）作差比较法。
（4）运算：有理数的运算法则，运算顺序，运算性质在实数中同样适用。
二、典型例题…，，3π，，，其中，无理数的个数有（）A、1 B、2 C、3 D、4练习：1、在，，π，3.，2+…，这些数中，无理数的个数为( ).2、下列实数，，，，，中无理数有（）Ａ．个Ｂ．个Ｃ．个Ｄ．个3.数， 2 ，π，…，17，9 中，无理数的个数为（）Ａ．2个B．3个C．4个D．5个例2．x取何值时，下列各式有意义．（1）； （2）；. 例3 已知，求的值；例4．求下列各数的平方根，算术平方根：（1）；（2）；（3）．例5.=________.)0(233<•-a a a =________.练习： 1、36的平方根是 ；16的算术平方根是 ；2、8的立方根是 ；327-＝ ；3、37-的相反数是 ；绝对值等于3的数是4、的倒数的平方是 ，2的立方根的倒数的立方是 。
实数复习课件
【解析】20160+2|1-sin
0
1 ( )1 -2cos45°. 2
【自主解答】原式= 2 +1+2-2〓 2
2
= 2 +3- 2
=3.
【答题关键指导】实数运算的三个关键
(1)运算法则:乘方和开方运算、幂的运算、指数(特别
是负整数指数,0指数)运算、根式运算、特殊三角函数 值的计算以及绝对值的化简等.
(2)运算顺序:乘方、开方为三级运算,乘、除为二级运
(×)
(√) (×)
9.用科学记数法表示-0.00059=-5.9×10-3.
考点一
实数的分类
【示范题1】(2016·岳阳中考)下列各数中为无理数的 是 ( )
A.-1
B.3.14
C.π
D.0
【自主解答】选C.π是无限不循环小数.
【答题关键指导】无理数常见的四个类型
(1)π 及与π 有关的某些数.如π ,π -1, 等.
乘方、开方 再算_____, 乘除 最后算_____, 加减 先算___________, 运算顺 如果有括号,先算括号里边的.若没有括号, 序 从左到右 进行运算 在同一级运算中,要_________ b+a 交换律 a+b=____ 加法 a+(b+c) 结合律 (a+b)+c= ________ ba 运算律 交换律 ab=___ a(bc) 乘法 结合律 (ab)c= ______ 分配律 ab+ac a(b+c)= ______
2.(2016·天津中考)估计
19的值在
(
)
A.2和3之间
C.4和5之间
B.3和4之间
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第三章实数复习课教学目标1.使学生进一步理解一个数的平方根、算术平方根及立方根的意义；2.理解无理数和实数的意义；3.熟练地求出一个正数的平方根、算术平方根和实数的立方根；4.会对实数分类以及进行实数的近似计算.教学重点和难点重点：平方根、算术平方根、实数的概念及其计算.难点：算术平方根、实数的综合运算和代数与几何的综合运用.教学过程设计一、复习基本概念1.什么叫一个数a的平方根，怎样表示?什么叫数a的算术平方根?怎样表示?其中a可以分别表示什么数?2.什么叫一个数a的立方根?怎样表示?其中a可以表示什么数?3.任何实数都有平方根吗?都有立方根吗?4.什么叫无理数?什么叫实数?实数与数轴的点有什么关系?答：1.如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，表示为±a数.的非负的平方根叫做算术平方根，表示为a，其中a≥0.2.如果一人数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根，表示为3a，其中a为任意实数.3.正数和0有平方根，正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根，任何实数都有一个立方根.4.无限不循环小数叫做无理数.有理数和无理数统称为实数.实数与数轴上的点一一对应.二、例题例1 a为何值时，下列各式有意义?(1)a2；(2)－a；(3)a+2；(4)3 a－1；(5)a+－a；(6)3 2a+1 a.要判断a为何值时各式有意义，首先要弄清各式都表示什么，成立的条件是什么.(1)，(2)，(3)式都表示算术平方根，(5)为两个算术平方根的和，各式被开方数都应为非负数，(4)，(6)式都表示立方根.任何实数都可以进行立方运算，但应注意，当被开方数是分数时，分数的分母不能为0.解 (1)因为a为任何实数时，a2≥0，所以a为任意实数时，a2有意义.(2)因为要使－a有意义，必须使－a≥0，即a≤0，所以当a≤0时，－a有意义.(3)因为要使a+2有意义，必须a+2≥0，即a≥－2，所以当a≥－2时，a+2有意义.(4)因为3 a－1有意义，a－1可取任意实数，即a为任意实数，所以当a为任意实数时3a－1的意义.(5)因为要使a有意义，必须使a≥0；要使－a有意义，必须使－a≥0，即a≤0，所以要使a+-a有意义，a必须等于0.因此仅当a=0时，a+-a有意义.(6)因为2a+1a是分式，当a≠0时有意义，所以当a≠0时，3 2a+1a有意义.例2 计算：(1)求5的算术平方根与2的平方根之和；(保留三位有效数字)(2)｜2－5｜－｜5+2｜；(精确到0.01)(3)｜a－π｜+｜2－a｜(2<a<π).(精确到0.001)上列各题是进行实数运算.问：计算各式的思路和方法是什么?答：根据各题的要求分别取其近似值，转化为有理数进行计算.含有绝对值的式子应先根据实数绝对值的意义，去掉绝对值的符号，再进行计算.解 (1)因为5的算术平方根为5，2的平方根是±2.所以5的算术平方根与2的平方根之和为5±2.又因为5≈2.236，2≈1.414，所以5+2≈2.236+1.414=3.65，5－2≈2.236－1.414≈0.82.(2)因为2＜5所以2－5=－(5－2).所以｜2－5｜－｜5+2｜=5－2－5－2=－22≈－2×1.414≈－2.83.(3)因为2＜a＜π，所以｜a－π｜=－(a－π)=π－a,｜2－a｜=－(2－a)=－2+a.因此｜a－π｜+｜2－a｜=π－a－2+a=π－2≈3.142－1.414=1.73.指出：1.例2中的有关运算实际是进行实数运算，有理数的运算律和运算性质，在实数范围内仍然成立.2.无理数的运算，可以转化为用相应的(或题目指定)近似有限小数进行，有的题目可根据问题的要求取其近似值，转化成有理数进行运算.例3 (1)如图，已知正方形ABCD的面积是4a2，E，F，G，H分别为正方形四条边的中点，依次连结E，F，G，H得到一个正方形.求这个正方形的边长(用带根号的数表示).(2)当a=4时，正方形EFGH的边长是多少?(精确到0.01).分析：求正方形EFGH的边长，首先应求出正方形ABCD的边长.由于正方形的面积等于它的一边的平方，所以它的一条边是面积的算术平方根.已知E，F，G，H是正方形ABCD的各边的中点，所以BF=BE,再在直角三角形EBF中，用勾股弦定理可求出EF的长.解 (1)在正方形ABCD中，AB=BC=CD=DA,∠A=∠B=∠C=∠D=90°.因为正方形ABCD的面积=AB2抽以AB2=4a2.因为4a2＞0,a＞0，所以AB=4a2=2a.同理，BC=2a.因为E是AB中点，F是B中点，所以BE=12AB=a，BF=12BC=a. 在Rt△EBF中，EF2=BE2+BF2=a2+a2=2a2,所以EF=2a2=2a(a＞0).(2)当a=4时，EF=42≈4×1.414=5.66.三、课堂练习1.判断下列说法是否正确?并说明理由.(1)－1的立方根是－1. ( )(2)－1的立方是－1. ( )(3)－1的平方是1. ( )(4)－1的平方根是－1. ( )(5)－1是1的一个平方根. ( )(6)无理数是开方开不尽的数. ( )(7)9=±3.( )(8)实数都有平方根. ( )(9)实数都有立方根. ( )(10)若x=x，则x=1. ( )(11)若3x=x，则x=－1. ( )(12)实数m的倒数是1m。
( )(13)3.1415926可以用分数表示. ( )(14)有理数与数轴上的点一一对应. ( )(15)a2的算术平方根是a. ( )(16)若｜x｜=(y)2，则x=y. ( )(17)x为任何实数，x表示x的算术平方根.(18)x为任何实数，3－x都有意义.2.选择题：(1)对实数进行分类，不正确的是( )A.实数有理数无理数B.实数有限小数无限循环小数无限不循环不数C.实数小数分数D.实数正实数 0 负实数(2)121的平方根是( )A.11B.±1C.11D.±1(3)下列等式正确的是( ).A.－－9=3B.－9=±3C.3 －27=－3D.－3 －64=－4(4)下列说法错误的是( ).A.3是无理数B.3是3的算术平方根C.3等于1.732D.3是实数(5)下列各式中无意义的是( )A.－3B.(－3)2C.3－2D.－32(6)下列判断中，错误的是( )A.两个实数之间有无数个实数B.两个有理数之间有无数个有理数C.两个无理数之间有无数个无理数D.两个整数之间有无数个整数3.填空：(1)25 36的平方根是，算术平方根是 .(2)－5的立方根是，－5是的立方根.(3)若x=6 则x .(4)若3x=0.2，则x .(5) 的平方根等于它的立方根.(6)3-2的相反数是，绝对值是 .(7)负数a和它的相反数的差绝对值等于 .(8)把下列各数分别填在相应的括号内：0.32，－5，233，－π3，16，3 －9，0.121 5926……，－512，0，8，0.46.整数( ) ，分数( )，有理数( )，无理数( )，实数( ).4.已知实数a，b，c在数轴上的位置，如图所示且｜c｜＞｜a｜＞｜b｜，化简｜a｜－｜a+b｜+｜(c－a)2－c2. 缺图5.(1)已知3 0.8452=0.9452，求3 －845200的值.(2)已知3 56.771=3.842，求3 －0.056771的值.四、小结1.在解答有关被开方数是字母的式子是否有意义的问题，要根据所涉及的概念的意义去考虑，如例1中的(1)，(2)，(3)，(5)各式都表示算术平方根，因此被开方数必须是非负数，从这个意义去考虑使式子有意义的字母的取值范围.2.在进行实数运算时，可根据各题的要求分别取无理数的近似值，转化成有理数进行计算.对于含绝对值的式子，应先根据实数的绝对值的意义，去掉绝对值的符号再进行计算，有理数的运算性质和运算律在实数范围内仍然成立.3.在代数中解答几何题，是代数和几何的综合，是数和形的结合，在解答过程中一定要结合图形的几何性质，把论证和计算结合起来.五、作业1.判断下列说法是否正确，并说明现由.(1)π=3.14；( )(2)无理数包括正无理数、负无理数和零；( )(3)无限小数是无理数；( )(4)25的平方根是±5；( )(5)实数与数轴的点一一对应；( )(6)若3x3=3y3，侧 x=y；( )(7)若x2=y2,则x=y. ( )2.填空：(1)任何正数的两个平方根的和等于；(2)无理数是小数；(3)｜3.14－π｜= ；(4)3+2的相反数是；(5)若m2=9，则 m= ；(6)若a2=3，则a= ；(7)若－3a=2,则a= ；(8)若3a2=3(－4)2，则a= .3.解下列各题：(1)分别求出下列各式的平方根和算术平方根：64，0.25，5，(－3)2，(25)2，(－413)2.(2)求出下列各数的立方根：27，－0.125，9，(－6)3，(23)3，(－45)3(3)求下列各数的绝对值：－25，3 －7，5－7，π2－1.6.(4)如果3.2=1.789,32=5.567,3 －3.2=1.474,3 －32=－3.175.试求0.032的平方根、算术平方根及立方根.4.求下列各式中的x：(1)x2=169; (2)121x2－25=0; (3)9x2=64;(4)x2－1.69=0; (5)x3=64000; (6)x3=－0.125.5.比较下列各组内两个实数的大小：(1)1.574，1.5；(2)－5，－2.24；(3)－π，－3.1415926；(4)29，5413.6.计算：(精确到0.01)(1)π+10－13+0.145；(2)5+17－(4.375－43).7.已知一个正方体的棱长是5cm，再做一个正方体，使它的体积是原正方体的体积的2倍，求所做的正方体的棱长.(精确到0.1cm)8.球的体积公式是V=43πR3(R是球的半径).已知一个钢球的体积是200cm3，求它的半径.(π取3.14，结果保留3个有效数字).。