相交线与平行线及相交线造成的有关角的概念与性质
相交线与平行线笔记整理
相交线与平行线笔记整理
相交线与平行线是几何学中的重要概念，下面是有关相交线和平行线的笔记整理：
一、相交线：
1. 定义：在平面上，如果两条直线有一个公共的交点，则称这两条直线为相交线。
2. 特性：
- 两条相交线的交点只有一个。
- 两条相交线的两个交线角互为补角。
- 如果两条相交线的交线角互为补角，则这两条直线相交。
二、平行线：
1. 定义：在平面上，如果两条直线没有交点，且方向相同或者重合，则称这两条直线为平行线。
2. 特性：
- 平行线不相交，也没有公共的交点。
- 平行线的交线角为零度。
- 平行线的交线角是对应角，即对应于同一边的内角互为补角。
三、判定平行线的方法：
1. 对称判定法：如果两条直线作为一条直线的平分线，且分出的同侧角相等，则这两条直线平行。
2. 次对称法：如果两条直线与另外一条直线作为一对同位角，且同位角相等，则这两条直线平行。
3. 逆定理法：如果两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线
平行。
4. 夹角法：如果两条直线与另外一条直线的夹角相等，则这两条直线平行。
5. 给定角的补角法：如果两条直线与另外一条直线的同侧内角互为补角，则这两条直线平行。
四、平行线性质：
1. 平行线的任意一对内错线互为消角。
2. 平行线的任意一对内错线互为内错角。
3. 平行线与切线的夹角等于对应弧所对的圆心角。
4. 平行线所夹平行线上的交线角相等。
以上是有关相交线与平行线的笔记整理，希望对你有所帮助。
相交线与平行线的知识点
相交线与平行线的知识点一、相交线。
1. 邻补角。
- 定义：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角。
- 性质：邻补角互补，即它们的和为180°。
例如，∠AOC和∠BOC是邻补角，那么∠AOC+∠BOC = 180°。
2. 对顶角。
- 定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角。
- 性质：对顶角相等。
如∠AOC和∠BOD是对顶角，则∠AOC = ∠BOD。
3. 垂直。
- 定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
- 性质：- 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
- 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简单说成：垂线段最短。
- 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
二、平行线。
1. 平行线的定义。
- 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
用符号“∥”表示平行关系，如直线a平行于直线b，记作a∥b。
2. 平行公理及推论。
- 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
- 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
即如果a∥b，b∥c，那么a∥c。
3. 平行线的判定。
- 同位角相等，两直线平行。
例如，直线a、b被直线c所截，如果∠1 = ∠2（∠1和∠2是同位角），那么a∥b。
- 内错角相等，两直线平行。
如直线a、b被直线c所截，若∠2 = ∠3（∠2是内错角，∠3是同位角），则a∥b。
- 同旁内角互补，两直线平行。
当直线a、b被直线c所截，若∠2+∠4 = 180°（∠2和∠4是同旁内角），那么a∥b。
4. 平行线的性质。
- 两直线平行，同位角相等。
若a∥b，则∠1 = ∠2（∠1和∠2是同位角）。
平行线与相交线知识总结
平行线与相交线知识要点一．余角、补角、对顶角1，余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角.2，补角：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角.3，对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.4，互为余角的有关性质：①∠1＋∠2＝90°，则∠1、∠2互余；反过来，若∠1，∠2互余，则∠1+∠2＝90°；②同角或等角的余角相等，如果∠l十∠2＝90°，∠1+∠3＝90°，则∠2＝∠3.5，互为补角的有关性质：①若∠A+∠B＝180°，则∠A、∠B互补；反过来，若∠A、∠B互补，则∠A+∠B＝180°.②同角或等角的补角相等.如果∠A+∠C＝180°，∠A+∠B＝180°，则∠B＝∠C.6，对顶角的性质：对顶角相等.二．同位角、内错角、同旁内角的认识及平行线的性质7，同一平面内两条直线的位置关系是：相交或平行.8，“三线八角”的识别：三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而成的八个角.正确认识这八个角要抓住：同位角位置相同，即“同旁”和“同规”；内错角要抓住“内部，两旁”；同旁内角要抓住“内部、同旁”.三．平行线的性质与判定9，平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线是平行线.10，平行线的性质：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.11，过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.12，两条平行线之间的距离是指在一条直线上任意找一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线之间的距离.13，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.14，平行线的判定：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；如果内错角相等．那么这两条直线平行；如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.这三个条件都是由角的数量关系（相等或互补）来确定直线的位置关系（平行）的，因此能否找到两直线平行的条件，关键是能否正确地找到或识别出同位角，内错角或同旁内角.15，常见的几种两条直线平行的结论：（1）两条平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线平行；（2）两条平行线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行.四．尺规作图16，只用没有刻度的直尺和圆规的作图的方法称为尺规作图.用尺规可以作一条线段等于已知线段，也可以作一个角等于已知角.利用这两种两种基本作图可以作出两条线段的和或差，也可以作出两个角的和或差.考点例析：题型一 互余与互补例1（内江市）一个角的余角比它的补角的12少20°.则这个角为（ ）A.30°B.40°C.60°D.75° 分析 若设这个角为x ，则这个角的余角是90°－x ，补角是180°－x ，于是构造出方程即可求解. 解 设这个角为x ，则这个角的余角是90°－x ，补角是180°－x .则根据题意，得12(180°－x )－(90°－x )＝20°.解得：x ＝40°.故应选B .说明 处理有关互为余角与互为补角的问题，除了要弄清楚它们的概念，通常情况下不要引进未知数，构造方程求解.题型二 平行线的性质与判定例2（盐城市）已知：如图1，l 1∥l 2，∠1＝50°，则∠2的度数是（ ） A.135° B.130° C.50° D.40° 分析 要求∠2的度数，由l 1∥l 2可知∠1+∠2＝180°，于是由∠1＝50°，即可求解. 解 因为l 1∥l 2，所以∠1+∠2＝180°， 又因为∠1＝50°，所以∠2＝180°－∠1＝180°－50°＝130°.故应选B . 说明 本题是运用两条直线平行，同旁内角互补求解. 例3（重庆市）如图2，已知直线l 1∥l 2，∠1＝40°，那么∠2＝ 度.分析 如图2，要求∠2的大小，只要能求出∠3，此时由直线l 1∥l 2，得∠3＝∠1即可求解. 解 因为l 1∥l 2，∠1＝40°，所以∠1＝∠3＝40°. 又因为∠2＝∠3，所以∠2＝40°.故应填上40°.说明 本题在求解过程中运用了两条直线平行，同位角相等求解.例4（烟台市）如图3，已知AB ∥CD ，∠1＝30°，∠2＝90°，则∠3等于（ ） A.60° B.50° C.40° D.30° 分析 要求∠3的大小，为了能充分运用已知条件，可以过∠2的顶点作EF ∥AB ，由有∠1＝∠AEF ，∠3＝∠CEF ，再由∠1＝30°，∠2＝90°求解.解 如图3，过∠2的顶点作EF ∥AB .所以∠1＝∠AEF ， 又因为AB ∥CD ，所以EF ∥CD ，所以∠3＝∠CEF ， 而∠1＝30°，∠2＝90°，所以∠3＝90°－30°＝60°.故应选A .说明 本题在求解时连续两次运用了两条直线平行，内错角相等求解.例5（南通市）如图4，AB ∥CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于E ，F 两点，∠BEF 的平分线交CD 于点G ，若∠EFG ＝72°，则∠EGF 等于（ ） A.36° B.54° C.72° D.108°分析 要求∠EGF 的大小，由于AB ∥CD ，则有∠BEF +∠EFG ＝180°，∠EGF ＝∠BEG ，而EG 平分∠BEF ，∠图2图 1 F EEFG ＝72°，所以可以求得∠EGF ＝54°.解 因为AB ∥CD ，所以∠BEF +∠EFG ＝180°，∠EGF ＝∠BEG ， 又因为EG 平分∠BEF ，∠EFG ＝72°，所以∠BEG ＝∠FEG ＝54°.故应选B .说明 求解有关平行线中的角度问题，只要能熟练掌握平行线的有关知识，灵活运用对顶角、角平分线等知识就能简洁获解.题型三 尺规作图例6（杭州市）已知角α和线段c 如图5所示，求作等腰三角形ABC ，使其底角∠B ＝α，腰长AB ＝c ，要求仅用直尺和圆规作图，写出作法，并保留作图痕迹.分析 要作等腰三角形ABC ，使其底角∠B ＝α，腰长AB ＝c ，可以先作出底角∠B ＝α，再在底角的一边截取BA ＝c ，然后以点A 为圆心，线段c 为半径作弧交BP 于点C ，即得. 作法（1）作射线BP ，再作∠PBQ ＝∠α； （2）在射线BQ 上截取BA ＝c ；（3）以点A 为圆心，线段c 为半径作弧交BP 于点C ； （4）连接AC .则△ABC 为所求.如图6.例7（长沙市）如图7，已知∠AOB 和射线O ′B ′，用尺规作图法作∠A ′O ′B ′＝∠AOB （要求保留作图痕迹）.分析 只要再过点O ′作一条射线O ′A ′，使得∠A ′O ′B ′＝∠AOB 即可. 作法（1）以O 为圆心，任意长为半径，画弧，交OA 、OB 于点C 、D ； （2）以O ′为圆心，同样长为半径画弧，交O ′B ′于点D ′； （3）以D ′为圆心，CD 长为半径画弧与前弧交于点C ′；（4）过点O ′C ′作一条射线O ′A ′.如图7中的∠A ′O ′B ′即为所求作.说明 在实际答题时，根据题目的要求只要保留作图的痕迹即可了.C A A OB 图7D C 图5 c α A 图6 c αc B CP相交线与平行线测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．•在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列说法中，正确的是（）A．一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线;B．P是直线L外一点，A、B、C分别是L上的三点，已知PA=1，PB=2，PC=3，则点P•到L的距离一定是1; C．相等的角是对顶角; D．钝角的补角一定是锐角.4．如图，哪一个选项的右边图形可由左边图形平移得到（）14．已知，如图，∠1=∠ABC=∠ADC，∠3=∠5，∠2=∠4，∠ABC+∠Array BCD=180°．将下列推理过程补充完整：（1）∵∠1=∠ABC（已知），∴AD∥______（2）∵∠3=∠5（已知），∴AB∥______,（_______________________________）（3）∵∠ABC+∠BCD=180°（已知），∴_______∥________,（________________________________）20．如图，∠ABD=•∠CBD，•DF•∥AB，•DE•∥BC，•则∠1•与∠2•的大小关系是________．三、解答题（本大题共6小题，共40分，解答应写出文字说明，•证明过程或演算步骤）22．（7分）如图，AB∥A′B′，BC∥B′C′，BC交A′B′于点D，∠B与∠B•′有什么关系？为什么？23．（6分）如图，已知AB∥CD，试再添上一个条件，使∠1=∠2成立（•要求给出两个答案）．24．（6分）如图，AB∥CD，∠1：∠2：∠3=1：2：3，说明BA平分∠EBF的道理．25．（7分）如图，CD⊥AB于D，点F是BC上任意一点，FE⊥AB于E，且∠1=∠2，•∠3=80°．求∠BCA的度数．26．（8分）如图，EF⊥GF于F．∠AEF=150°，∠DGF=60°，试判断AB和CD的位置关系，并说明理由．答案:1．D2．D 点拨：图中的邻补角分别是：∠AOC与∠BOC，∠AOC与∠AOD，∠COE与∠DOE，∠BOE与∠AOE，∠BOD 与∠BOC，∠AOD与∠BOD，共6对，故选D．3．D 4．C 5．C 6．A7．C 点拨：本题的题设是AB∥CD，解答过程中不能误用AD∥BC这个条件．8．B 点拨：∵AB∥CD，∠1=72°，∴∠BEF=180°-∠1=108°．∵ED 平分∠BEF ， ∴∠BED=12∠BEF=54°． ∵AB ∥CD ，∴∠2=∠BED=54°．故选B ．9．C 点拨：如答图，L 1，L 2两种情况容易考虑到，但受习惯性思维的影响，L 3这种情况容易被忽略． 10．B11．D 点拨：∠FCD=∠F=∠A=∠1=∠ABG=45°．故选D ． 12．C 点拨：由题意，知,230A B A B ∠=∠⎧⎨∠=∠-︒⎩或180,230A B A B ∠+∠=︒⎧⎨∠=∠-︒⎩解之得∠B=30°或70°．故选C ． 13．120° 14．（1）BC ；同位角相等，两直线平行 （2）CD ；内错角相等，两直线平行（3）AB ；CD ；同旁内角互补，两直线平行 15．（2），（3），（5） 16．115；65点拨：设∠BOC=x °，则∠AOC=x °+50°． ∵∠AOC+∠BOC=180°． ∴x+50+x=180，解得x=65． ∴∠AOC=115°，∠BOC=65°． 17．145° 18．102 19．133点拨：如答图，延长A B 交L 2于点F ． ∵L 1∥L 2，AB ⊥L 1，∴∠BFE=90°． ∴∠FBE=90°-∠1=90°-43°=47°． ∴∠2=180°-∠FBE=133°． 20．∠1=∠221．解：如答图，由邻补角的定义知∠BOC=100°． ∵OD ，OE 分别是∠AOB ，∠BOC 的平分线， ∴∠DOB=12∠AOB=40°，∠BOE=12∠BOC=50°． ∴∠DOE=∠DOB+∠BOE=40°+50°=90°．22．解：相等理由 ∵AB ∥A ′B ′，BC ∥B ′C ′， ∴∠B=∠A ′DC ，∠A ′DC=∠B ′， ∴∠B=∠B ′．23．CF ∥BE 或CF 、BE 分别为∠BCD 、∠CBA 的平分线等．24．解：设∠1、∠2、∠3分别为x°、2x°、3x°．∵AB∥CD．∴由同旁内角互补，得2x+3x=180，解得x=36．∴∠1=36°，∠2=72°．∵∠EBG=180°，∴∠EBA=180°-（∠1+∠2）=72°．∴∠2=∠EBA．∴BA平分∠EBF．25．解：CD⊥AB，FE⊥AB，∴CD∥EF，∴∠2=∠FCD．∵∠1=∠2，∴∠1=∠FCD．∴DG∥BC．∴∠BCA=∠3=80°．26．解：AB∥CD．理由：如答图，过点F作FH∥AB，则∠AEF+∠EFH=180°．∵∠AEF=150°，∴∠EFH=30°．又∵EF⊥GF，∴∠HFG=90°-30°=60°．又∵∠DGF=60°，∴∠HFG=∠DGF．∴HF∥CD，从而可得AB∥CD．。
初一数学下册相交线与平行线基础知识点
初一数学下册相交线与平行线基础知识点
相交线与平行线基础知识点
一、关于相交线
1. 相交线是指两个不同的直线在一个面上产生交叉；
2. 交叉点就是两条直线之间的公共点，表示相交的位置；
3. 相交的角的性质：（1）相交的角是对角线；（2）两个交叉点连接形成的夹角，称之为"夹角"；（3）两条相交线各自交叉点形成的夹角是相等的，称为"交叉角"；
4. 直角定理是建立在相交线上的，它讲的是，在三角形中，两边为直角时，斜边的平方等于两边相加的平方；
二、关于平行线
1. 平行线指的是两条以上的不同线段，他们没有交叉点；
2. 两条平行线之间形成的夹角就是“平行角”，这个夹角的大小一般都是0°；
3. 对行定理：两条平行直线与一条横线所包围的锐角几何体，对边之和等于邻边之和；
4. 三角形相似定理也是建立在平行线这一基础上的，两个三角形的定义有两个平行直线，这时三角形的边长相等，那么两个三角形也是相似的。
平行线上的角
平行线上的角在几何学中，平行线是指在同一个平面内永不相交的直线。
而平行线上的角，指的是两条平行线之间的角度关系。
本文将探讨平行线上的角以及相关性质和定理。
一、相交线与平行线当两条直线相交时，我们可以通过它们的交点以及与交点相邻的角来确定它们之间的关系。
如果这两条相交线的其他角是对应角、内错角或同位角之一，并且它们的度数相等，那么这两条直线就是平行线。
二、平行线上的角的性质平行线上的角具有以下性质：1. 对应角性质：当一条横切两条平行线的直线与这两条平行线相交时，所形成的对应角是相等的。
这意味着对应角的度数相等，以及它们的内部所夹的两条平行线是等长的。
2. 内错角性质：当一条横切两条平行线的直线与这两条平行线相交时，所形成的内错角是互补的。
这意味着内错角的度数之和等于180°。
3. 同位角性质：当一条横切两条平行线的直线与这两条平行线相交时，所形成的同位角是相等的。
这意味着同位角的度数相等。
三、平行线上的角的定理在研究平行线上的角时，我们也会遇到一些重要的定理：1. 垂直角定理：当两条直线相交时，所形成的四个角中，如果其中两个角是相邻补角，并且其中一个角是直角，那么这两条直线是垂直线。
在平行线中，具有相同顶点和相同直线的两个对应角一定是垂直角。
2. 外错角定理：当一条横切两条平行线的直线与这两条平行线相交时，所形成的外错角是互补的。
这意味着外错角的度数之和等于180°。
以上定理和性质为我们提供了研究平行线上的角和直线关系时的基础。
通过理解和运用这些定理，可以帮助我们解决与平行线相关的几何问题。
四、实例分析让我们通过一个实例来进一步理解平行线上的角。
假设有两条平行线AB和CD，直线EF与这两条平行线相交。
根据对应角性质，我们知道∠AEF = ∠DCF，∠EFA = ∠CDE。
根据内错角性质，我们知道∠AEF + ∠EFA = 180°，∠DCF + ∠CDE = 180°。
平行线与相交线的知识梳理
第二章平行线与相交线知识梳理一、简单概念1、两角互余、互补的概念及性质（1）定义：如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角.（如图）简称互补.如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角.（如图）简称互余.注：互余、互补是指两个角的数量关系. 与其位置无关.几何语言表述：若∠α＋∠β=180°，则∠α与∠β互补；反之，若∠α与∠β互补，则∠α＋∠β=180°.若∠α＋∠β =90°，则∠α与∠β互余；反之若∠α与∠β互余，则∠α＋∠β=90°. （2）性质：①同角或等角的补角相等. ②同角或等角的余角相等.2、对顶角的概念如果一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.如图中的∠1和∠3，∠2和∠4是对顶角.注：只有两条直线相交时，才能产生对顶角，对顶角是成对出现的.对顶角特征是：两个角有公共顶点，其两边互为反向延长线.对顶角的性质：对顶角相等.二、探索直线平行的条件和性质1、平行线：在同一个平面内永不相交的两条直线叫做平行线。
平行线公理：经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行。
2、垂直：垂直是相交的一种特殊情况，两条直线相互垂直，其中一条叫做另一条的垂线，它们的交点叫做垂足。
如图所示，图中AB⊥CD，垂足为O。
垂直的两条直线共形成四个直角，每个直角都是90︒垂线相关的基本性质：经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；从直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
3、三线八角（1）同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同位角. 如∠1和∠5，∠3和∠7，∠4和∠8，∠2和∠6.（2）内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角. 如∠3和∠5，∠4和∠6.（3）同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同旁内角.如∠4和∠5，∠3和∠6. 4、两条直线平行的判定两条直线被第三条直线所截，如果判定一：同位角相等，两直线平行. ∵∠1=2，∴a ∥b （同位角相等，两直线平行） 判定二：内错角相等，两直线平行. ∵∠2=∠3，∴a ∥b （内错角相等，两直线平行）判定三：同旁内角互补，两直线平行. ∵∠2＋∠4=180°，∴a ∥b （两直线平行，同旁内角互补）判定四：两条直线同时垂直于第三条直线，两条直线平行这是两直线与第三条直线相交时的一种特殊情况，由上图中∠1＝∠2＝90︒即可得到。
鲁教版(五四制)数学六年级下册相交线与平行线及相交线造成的有关角的概念与性质课件
动脑思考，得出性质
A
如图，直线AB与CD相交于点O.
问题：∠1+∠3=_1_8_0_°_,
则∠1=_1_8_0_°__-_∠__3.
∠2+∠3=__1_8_0_°____,
D
则∠2=__1_8_0_°__-∠__3.
结论： ∠1=∠2
对顶角相等
C 2
4 o1 3
B
作用：得到角相等的一种方法
对应训练，巩固新知
7.1《两条直线的位置关系》
走进生活，引入课题
电梯
双杠 铁轨
相交线
学习目标： 1.了解两条直线的的相交和平行关系； 2.理解对顶角、补角、余角的概念； 3.探索并掌握对顶角相等、同角（等角）的 余角相等、同角（等角）的补角相等的性质， 并能解决相关问题。
细心视察，得出定义
A
如图，直线AB与CD相交于点O. 问题1：有哪些我们学过的几何图形？
∠1=40°
a
2 4
3
所以∠4=40°
所以∠2=180°-∠1=140°
所以∠3=∠2=140（°对顶角相等）
合作探究，得到性质三
如图，直线AB与CD相交于点O. 问题1：我们知道∠1+∠3=__1_8_0_°° 同角的补角相等
∠2+∠3=__1_8_0_°°
A C
2
4 o1 3
补D 角：如果两个角的和B是180°，那么这两个角互为补角
互补
典例解析
E
直线AB、CD交于点O，OE是 A
D
∠AOD的平分线，已知
∠AOC=50°。求∠DOE与 ∠BOE的度数。
CO
图2
B
解：因为∠AOC=50°
初中数学知识归纳平行线与相交线的角关系分析
初中数学知识归纳平行线与相交线的角关系分析初中数学知识归纳：平行线与相交线的角关系分析数学作为一门精密的学科，其中的知识体系既有严密的逻辑性，又有很强的实际运用价值。
在初中数学中，平行线与相交线的角关系是一个重要的概念，对于几何图形的理解和计算都起着关键的作用。
本文将系统地总结和归纳平行线与相交线的角关系，以帮助读者更好地理解和运用这一知识。
一、平行线的定义和性质平行线是指在同一个平面内，永不相交的两条直线。
学生们在学习平行线的过程中，需要掌握以下几个基本定义和性质：1. 定义一：若两条直线在一个平面内，且不相交，则它们是平行线。
2. 定义二：若两条直线被一条直线所截，且内错角相等，则这两条直线是平行线。
3. 性质一：平行线上的任意两条直线都是相交线。
4. 性质二：平行线之间的夹角是相等的。
5. 性质三：平行线之间的垂直角是相等的。
通过以上定义和性质，我们可以更好地理解平行线的概念，并能够根据这些性质进行推理和计算。
二、平行线与相交线的角关系接下来，我们将重点探讨平行线与相交线之间的角关系。
对于平行线与相交线的角关系，我们可以归纳为以下几个常见的情况：1. 同位角：同位角是指在两条平行线相交的两条直线间，位于相同位置的角。
根据平行线的性质，同位角是相等的。
2. 内错角：内错角是指两条平行线相交的两条直线间，内侧相对的角。
根据平行线的定义和性质二，内错角是相等的。
3. 同旁内角：同旁内角是指两条平行线相交的两条直线间，同一旁边的相对的角。
同旁内角的和等于180度或π弧度。
4. 垂直角：垂直角是指两条相交直线的内错角中，与直线垂直相交的两个角。
根据平行线的性质三，垂直角是相等的。
通过理解和掌握以上平行线与相交线的角关系，我们可以根据已知条件推导出更多的角关系，解决一些几何图形的计算问题。
三、应用实例为了更好地理解和应用平行线与相交线的角关系，下面通过一些实例来展示具体的计算方法：例1：在图中，AB ∥ CD，∠1 = 80°，求∠3的度数。
中考数学中的平行线与相交线性质总结
中考数学中的平行线与相交线性质总结平行线与相交线是中考数学中的重要概念，它们之间存在一系列的性质和规律。
本文将对平行线与相交线的性质进行总结。
一、同位角性质在平行线与相交线形成的图形中，同位角有以下性质：1. 同位角互等性质：当两条平行线被一条相交线切割时，同位角相等。
2. 内错角互补性质：当两条平行线被一条相交线切割时，内错角互补，即它们的和为180度。
二、对顶角性质当两条平行线被一条相交线切割时，形成的对顶角具有以下性质：1. 对顶角互等性质：对顶角相等。
2. 对顶角补角性质：对顶角的补角也相等。
三、内错角性质当两条平行线被一条相交线切割时，内错角有以下性质：1. 内错角互补性质：内错角互补，即它们的和为180度。
2. 内错角对位性质：内错角的对位角也互补。
四、同旁内角和性质当两条平行线被一条相交线切割时，同旁内角和有以下性质：1. 同旁内角和等于180度：同旁内角和等于180度。
五、平行线与平行线的性质两条平行线之间的性质如下：1. 平行线具有传递性质：如果有两条平行线，其中一条与第三条线平行，则第一条线也与第三条线平行。
2. 平行线与自身平行：每一条线都与自身平行。
六、平行线与相交线的角性质1. 同位角相等性质：两条相交线与平行线所形成的同位角相等。
2. 内错角互补性质：两条相交线与平行线所形成的内错角互补。
3. 对位角相等性质：两条相交线与平行线所形成的对位角相等。
综上所述，平行线与相交线在中考数学中具有一系列的性质。
在解题过程中，我们可以利用这些性质进行推理和计算，从而快速解决问题。
熟练掌握平行线与相交线的性质，能够提高中考数学的应试能力。
因此，对这些性质进行总结和理解是非常重要的。
总之，平行线与相交线性质是中考数学中的重要内容，通过对其性质的总结，我们可以更好地应用它们解决各类问题。
在备考中考数学时，要牢记这些性质，并灵活运用于解题过程中。
只有充分理解和熟练掌握平行线与相交线的性质，才能在考试中取得好成绩。
相交线与平行线及相交线造成的有关角的概念与性质
3.① ∵ ∠1+ ∠3=180º ∠2+ ∠3=180º
∴∠＿1 = ∠＿2 （同角的补角相等）
② ∵ ∠1= ∠2 ∠1+ ∠3=180º ∠2+ ∠4=180º
∴ ∠＿3 = ∠＿4 （等角的补角相等 ）
如图所示，有一个破损的扇形零件，利用 图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心 角的度数吗？你能说出所量角的度数是多少 吗？为什么？
AO B
3.已知∠AOC=∠BOD= 90º，你能找出
∠BOC的余角吗？
C
D
答评委批评指正！
aocbod等角的补角相等12903290同角的余角相等等角的余角相等同角的补角相等等角的补角相等如图所示有一个破损的扇形零件利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数吗
平 行
A
C
O
相
交
D
B
学习目标
1.在具体情景中，了解在同一平面内两条 直线相交和平行的两种位置关系； 2.理解对顶角、补角、余角等概念，掌握 对顶角的性质、余角和补角的性质； 3.经历观察、操作、推理、交流等过程， 进一步发展空间观念、推理能力和初步的 有条理表达的能力。
1.在同一个平面内两条直线有哪几种位置关系？请你试着用 手中的学具摆一摆，画一画。 2.什么叫对顶角 ？对顶角有什么性质？请你试着画出一个角 的对顶角。 3.如果两个角的和等于 180º，那么称这两个角互为____， 简称_____，其中一个角叫另一个角的_____。 4.如果两个角的和等于90º，那么称两个角互为_____，简称 _____，其中一个角叫另一个角的 _____。
为什么？
答：∠3= ∠4（等角的余角相等）
（2） ∠AOC与∠BOD有什么关系？ 为什么？
平行线与交线之间的角关系
平行线与交线之间的角关系平行线与交线是几何学中常见的概念，它们之间的角关系也是我们研究的重点之一。
在本文中，我们将探讨平行线与交线之间的角关系，并深入讨论它们的性质和应用。
一、垂直角垂直角是指两条相交线之间的四个角中，位于相交线两旁且互相垂直的两个角。
用符号表示，如∠A和∠B，它们满足∠A = ∠B = 90°。
例如，在图1中，AB和CD是相交的两条直线，∠ACB和∠ADB是互相垂直的角，即∠ACB = ∠ADB = 90°。
二、对顶角对顶角是指两条相交线之间的四个角中，位于相交线的同一侧并且互相相等的两个角。
用符号表示，如∠A和∠C，它们满足∠A = ∠C。
例如，在图1中，AB和CD是相交的两条直线，∠ACB和∠CDA是对顶角，即∠ACB = ∠CDA。
三、内错角与外错角内错角是指两条平行线被一条交线截断所形成的四个角中，位于两条平行线之间的两个角。
外错角是指两条平行线被一条交线截断所形成的四个角中，位于两条平行线之外的两个角。
在图2中，AB和CD是平行线，EF是它们的交线。
∠BEC和∠AED是内错角，∠BCE和∠EDF是外错角。
内错角和外错角之间有一些特殊的角关系：1. 内错角互补，即∠BEC + ∠AED = 180°。
2. 外错角互补，即∠BCE + ∠EDF = 180°。
3. 内错角与外错角互为对顶角，即∠BEC = ∠EDF，∠AED =∠BCE。
四、同位角同位角是指两条平行线被一条交线截断所形成的四个角两两对应相等的角。
在图2中，∠BEC和∠DEF，∠CED和∠DFE是同位角。
即∠BEC = ∠DEF，∠CED = ∠DFE。
同位角具有以下一些性质：1. 同位角的和等于180°，即∠BEC + ∠DEF = 180°，∠CED +∠DFE = 180°。
2. 同位角互补，即∠BEC + ∠CED = 180°，∠DEF + ∠DFE = 180°。
《相交线与平行线同位角、内错角、同旁内角》
04
05
如果两条相交直线互相垂直， 则它们所成的四个角都是直
角。
平行线定义及性质
01
定义：在同一平面内， 两条永不相交的直线叫 做平行线。
02
性质：平行线具有以下 性质
03
平行线之间的距离是恒 定的，即两平行线间的 任意两点间的距离都相 等。
04
平行线被第三条直线所 截，同位角相等，内错 角相等，同旁内角互补。
《相交线与平行线同位角、 内错角、同旁内角》
contents
目录
• 引言 • 相交线与平行线基本概念 • 同位角、内错角、同旁内角概念解析 • 图形中的特殊角度关系探讨 • 典型例题解析与思路拓展 • 练习题与答案解析
01 引言
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
目的和背景
探究相交线和平行线 的性质
掌握相关定理和性质， 为解决几何问题提供 工具
练习题
两条平行线被第三条直线所截得的同旁内角的角平分 线____。
练习题
已知直线a、b被直线c所截，且a∥b，∠1=70°，则∠2=____°。
THANKS
感谢观看
研究同旁内角的关系。当两条平行线被 一条横线所截时，同旁内角的和等于 180°，这也是一个重要的定理。
通过以上的学习和拓展，我们可以进一 步探索平行线和相交线的其他性质和应 用，例如平行线的判定、相交线的角平 分线等。同时，也可以将这些知识应用 到实际生活中，例如在建筑设计、工程 测量等领域中利用平行线和相交线的性 质进行绘图和计算。
04
内错角
两条直线被第三条直线所截，位于这 两条直线之间且分别在第三条直线的 两侧的两个内角称为内错角。
02 相交线与平行线 基本概念
相交线与平行线知识点归纳
相交线与平行线知识点小结一、相交线1.相交线：两条直线相交，有且只有一个交点。
（反之，若两条直线只有一个交点，则这两条直线相交。
）2.对顶角----特点：（1）有一个公共定点（2）两边互为反向延长线 -----性质：对顶角相等3.邻补角：两条直线相交，产生邻补角和对顶角的概念。
要注意区分互为邻补角与互为补角的异同。
----特点：（1）有一个公共定点（2）有一条公共边（3另一边互为反向延长线-----性质：邻补角互补（和为180°）4.垂线：同一平面内，两条直线相交，所成的夹角均为90°时，称这两条直线互相垂直。
垂直是两直线相交的特殊情况。
注意：两直线垂直，是互相垂直，即：若线a垂直线b，则线b垂直线a 。
垂足：两条互相垂直的直线的交点叫垂足。
垂直时，一定要用直角符号表示出来。
---性质：（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直（2）垂线段最短----点到直线的距离：就是点到直线的垂线段的长度。
注：①、同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等；等角的对顶角相等。
反过来亦成立。
②、表述邻补角、对顶角时，要注意相对性，即“互为”，要讲清谁是谁的邻补角或对顶角。
二、平行线1.平行线：在同一平面内，不相交的两条直线。
-----特点：没有交点，平行线永不相交。
2.平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
推论----如果有一条直线与其它两条直线平行，那么另外两条直线也平行。
3.三线六面八角：平面内，两条直线被第三条直线所截，将平面分成了六个部分，形成八个角形成方式-------两条直线被第三条直线所截（这两条直线不一定平行，）特别注意：①三角形的三个内角均互为同旁内角；②同位角、内错角、同旁内角的称呼并不一定要建立在两条平行的直线被第三条直线所截的前提上才有的，这两条直线也可以不平行，也同样的有同位角、内错角、同旁内角。
名称-----同位角（4对）内错角（2对）同旁内角（2对）（成对出现）4.平行线的判定方法----（1）同位角相等，两直线平行（2）内错角相等，两直线平行（3）同旁内角互补，两直线平行（4）如果两条直线分别与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
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1
A2
12 B
1 C2
1 2
D
问题3 剪子可以看成图 中的两条相交线，那么 剪子在剪东西的过程中， ∠1和∠2还保持相等吗？ ∠3和∠4呢？你有何结论。
对顶角相等
对顶角为什么 相等？
A2 C
4 o3
1
D
B
如图所示，有一个破损 的扇形零件，利用图中 的量角器可以量出这个 扇形零件的圆心角的度 数吗？你能说出所量角 的度数是多少吗？为什 么？
（3） 对顶角相等。
1、必做题： 习题7.1 第1、2题
2、选做题：用你手中的三角板，画一个直角三角形，
如图.则∠A是∠B的
。
变式训练：在上题的基ຫໍສະໝຸດ 上，做∠CDA=900。 1.则∠A的余角有哪几个？为什么？ 2.请找出互补的角，并说明理由。
3.你C还能提出哪些问题？试C 试看吧！
A
B AD
B
• 1.垂直的定义，垂直的表示方法是 什么？
• 2.你知道体育课上老师是怎样测量 跳远成绩的吗？说说其中的道理？
• 3.仔细看课本68页的想一想。
（1） 如果两个角的和为900，那么称这两个角互为余角；
（2）如果两个角的和为1800，那么称这两个角互为补角；
（3） 两直线相交有多少对对顶角？
余角、补角、对顶互角余的与性互质补只：与角的数量有
（1） 同角或等角的余关是角，根相与据等位角置的；无位关置。 来而 判对 断顶 的角 （2） 同角或等角的补角相等；
问题1：求∠1与∠3的和 ；求∠2与∠4的和 ？ 问题2：∠3与∠4有什么关系？为什么？ 问题3：求∠1与∠AOC的和 ；求∠2与∠BOD的和 问题4：∠AOC与∠BOD有什么关系？ 为什么？
1、判断正误
× （1）相等的角是对顶角.（ ）
√ (2)若∠1+∠2=180º，则∠1和∠2互为补角.( ) × (3) 如果∠1＋∠2＋∠3=180°,
鲁教版 六年级下册第七章
濮阳市第五中学 龙俊萍
活动１：图片欣赏
图三：楼梯扶手 图四：桥
动手实践一----摆一摆 请每个同学拿出两支笔，用它们代表两条
直线，随意移动这两支笔，观察笔与笔有 几种位置关系？各种位置关系，分别叫做 什么？ 在同一平面内，两条直线有什么位置 关系
在同一平面内， 两条直线的位置关系
那么∠1，∠2，∠3互为补角.（ ）
× （4）如果∠1是∠2的补角, 那么∠1一定是钝角( ）
× （5）如果∠1＋∠2=90°,则∠2是余角.（
）
互余与互补是指两个角之间的数量关系，
与它们的位置关系无关。
2.如图，直线a，b相交，∠1=42º,求 ∠2，∠3，∠4的度数.
a 1
b
2 43
余角、补角、对顶角的概念：
动手实践三-----剪一剪
⑴拿出直角纸片，沿直角顶点将直 角折一折，压出折痕，折痕与直角 边形成的两个角大小有什么关系？ ⑵再拿出一张长方形纸片，沿任意 一边上的点进行折叠，压出折痕， 折痕与边形成的两个角大小有什么 关系?
如果两个角的
如果两个角的和 是1800，那么称 这两个角互为补
和是900，那么 称这两个角互 为余角.
相交 平行
1.若两条直线只有一个公共点， 我们称这两条直线为相交线.
2.在同一平面内，不相交的两条直线 叫做平行线.
A
在图中，直线m和n位置的关系是 ；
C'
A
直线a和b位置的关系是 ；
B
C
直线a和n位置的关B系是 C 。
m A'
ba n
动手实践二-------画一画
请画出两条直线：直线AB和直线CD，且 交于点O.
问题1：在你所画图形中， 除了平角之外，还有几 个角？
问题2： 观察你所画图形,
其中∠1和∠2的位置有什
么关系？大小有何关系？
小组合作交流。
A2 C
直线AB与CD相交于点O，∠1与∠2有公 4 o 3
共顶点O，它们的两边互为反向延长线，
这样的两个角叫做对顶角.
D
1
B
1、下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
角.
A2 C
4 o3
在图中，∠1和∠3有什么 数量关系？
1
D
B
图中还有哪些角 是互为补角？
∠1=∠2
将实物图抽象简化成几何图形，ON与DC交于 点O，∠DON=∠CON=900，∠1=∠2
将实物图抽象简化成几 何图形，ON与DC交于点 O，∠DON=∠CON=900， ∠1=∠2
小组合作交流，解决下列问题：