对质点系角动量定理的讨论
07. 质点角动量与角动量守恒定律
mv2r2 mv1r1
v2r2 v1r1
表明小球对圆心的 角动量保持不变。
例：行星运动的开普勒第二定律。
解：太阳作为力心，行星受到有心引力， 万有引力，行星相对力心（太阳）的角动 量守恒。行星作平面运动，其轨道是以太 阳为焦点的椭圆。
0
r α
L mvr sin r r sin dr mr sin m lim t 0 dt t 2s m lim t 0 t ds 2m dt
显然，上关系中的Ｌ，Ｍ是相对同一参考 点而言。 类似质点的动量定理的讨论，有
dL Mdt
t2 L 2 L 2 Mdt t1
（冲量矩）
上关系用的不多，但基本概念应清楚。 如已知ｔ１～ｔ２的Ｌ变化，求平均力矩。
三、 角动量守恒定律 对某一参考点，若质点受的合外力矩为零， 则质点相对此点的角动量不变， Ｌ＝常矢 即质点相对此点的角动量守恒。 质点角动量守恒定律又表明了运动中存在 的一个不变量。 ∵Ｌ＝ｍｒ×ｖ 其方向也不变，决定了 质点在ｒ与ｖ确定的平面上运动。
§2－7 质点的角动量 角动量定理 一、力矩 角动量 力矩的定义：Ｍ＝ｒ×Ｆ
F M r 0 ｒＯ
α
Ｍ的大小：
Ｍ＝ｒＦｓｉｎα＝ｒ Ｆ ｒ ，力臂，０到力作用线的垂直距离。 Ｍ的方向： 右手螺旋法则。右手四指由ｒ向Ｆ方向 （小于π）转，拇指的方向，显然Ｍ垂直ｒ， Ｆ构成的平面。
Ｏ Ｏ
ＳＩ：ｍＮ（量纲同功，物理量不同。） 力矩的定义与力的三要素（力的大小、方 向、力作用点的位置（坐标）有关。）
ds/dt行星对太阳的位矢在单位时间扫过的面 积，掠面速度。 ∵Ｌ大小不变，ds/dt不变。
行星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积
3.4 角动量定理 角动量守恒定律
L r P sin
r， P
S
P
r
O
特例：质点作圆周运动
方向：垂直
组成的平面
L M L2 T
L rp mr v
1
SI
k g m /s
2
量纲：
讨论
惯性参照系
(1) 质点的动量矩（角动量）与质点的动量及位矢(取决 于固定点的选择)有关； (2) 当质点作平面运动时，质点对运动平面内某参考点 O 的动量矩也称为质点对过O 垂直于运动平面的轴的 动量矩 ； L
dr dt
二、力对定点的力矩
dL dt
d r p dt
dr dt
o
p r
dp dt
p v p 0
dL dt r dp dt rF M
M
F
O .
定义
为力对定点O的力矩 M rF 力对O 点的力矩 大小： M r F sin
M
A
r Lo T
A
R T 0
R
r
mg
O
m gR sin m gr
LA R mv
r
对于O点：
M
g
M
A
r T
rT cos
LO r m v
r mg
m gr
质点作任何运动都可以用角动量来描述其运动状态。 例 质点对圆心的动量矩。 行星在椭圆轨道上的动量矩。
F 0 P 0
M 0 L 0
形式上完全相同，所以记忆上就可简化。从动量定理变换到 角动量定理，只需将相应的量变换一下，名称上改变一下。
§2-5角动量定理 角动量守恒定律
太原理工大学物理系
L r P
在直角坐标系中
L ( xi yj zk ) ( Px i Py j Pz k )
L x y z
i j k p x p y p z
太原理工大学物理系
L
v
方向：垂直 r ，P 组成的平面
太原理工大学物理系
r
讨论: 1) 同一质点相对于不同的点，角动量不同。 2) 在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个 点而言的。
3）质点以角速度作半径为r的圆运动，相对 圆心的角动量
L = mvr
L
p
mr J
2
o r
2）在具体的坐标系中，角动量在各坐标轴的分 量称作对轴的角动量。力矩在各坐标轴的分量， 称作对轴的力矩。
L Lx i Ly j Lz k L 是质点对o点的角动量
Lx Ly Lz
分别是质点对x、y、z轴的角动量.
M M x i M y j M z k M 是力对o点的力矩
三、质点的角动量定理 dP 由牛顿第二定律 F dt
dP 两边用位矢叉乘 r F r dt dp d dr r (r p) p dt dt dt
dr 由速度定义 v dt
v p 0 dL dp d r (r p) dt dt dt
i
ri fi 质点系受到的内力矩的矢量和
i
矩
太原理工大学物理系
可以证明：内力对定点的力矩之和为零，即
ri fi 0
i
质点系内的重要结论之三
5.2 质点的角动量定理与角动量定理定律
M r F M r F i j k
x Fx
y Fy
z Fz
L r p r mv Lrp i j k x y z p x p y pz
15
5.2 质点的角动量定理与角动量守恒定律
dp dL F, ? Lrp dt dt dL d dp dr ( r p) r p dt dt dt dt dr dL dp υ, υ p 0 r r F dt dt dt 表述： 作用在质点上的合力对某参 dL M 考点 的力矩 ，等于质点对同一参考 dt 点的角动量随时间的变化率。
(质点角动量定理的微分形式)
16
三、质点的角动量定理
5.2 质点的角动量定理与角动量守恒定律
在实际过程中，要研究的是力矩对时间的积累效应。
dL M dt
t2
t1
M dt L2 L1
冲量矩：
t1
t2
M dt
质点的角动量定理：质点所受合力矩的冲量矩 等于质点角动量的增量。 注意：定理中的力矩和角动量都必须是相对于同 一参考点而言的。 说明:
解： 摆球受力如图。
1）以O为参考点。
c l
T 重力矩： M R mg 逆时针方向。 m R o M Rmg υ 张力矩：M R T 顺时针方向。 mg
M RT sin( 900 ) RT cos θ Rmg
对Ｏ点的合力矩为零，角动量守恒。
M x yFz zFy M y zFx xFz M xF yF y x z
质点系角动量定理
由上例可以看出，并非质点仅在圆周运动时才具有角动量， 质点作直线运动时，对于不在此直线上的参考点也具有角动量。
另外，还可以看出，如果把参考点选在该直线上，则sin 0，
质点对该点的角动量永远等于零。因此，当谈到角动量时，必 须指明是对哪个参考点而言的，否则没有意义。
二、力对一参考点的力矩
轴线的一个分量，下面将给出力矩的一般定义。
如右图所示，O 是空间一点，F 是作
z
F
用力，A 表示受力点，受力点相对于 τ 参考点O 的位置矢量 r 与力 F 矢量的
φ
矢量积τ 叫做力 F 对参考点O的矩，
rA
其数学表达式为τ= r× F
xO
y
由定义可知，同一个力对于不同的参考点有不同的力矩，
因此讲到力矩时必须指明是相对哪一点而言的。当力 F不为零 时，力矩τ仍可能为零，这有两种情况：一是力的作用点就在参 考点 O ，此时位置矢量 r =0；另一种是沿力的方向的延长线通
L
于参考点的位置，故又与参考点的
φ
选择有关。例如，图（b）中对 o点
r
的角动量与对 o点角动量是不相同
O
y
的。
x
（a）
z
Lz L
o r mv s
L Lz r
o （b）
应当指出的是，虽然质点相 对于任一直线（例如 z 轴） 上的不同参考点的角动量是
不相等的，但是这些角动量
在该直线上的投影却是相等 的。如图（b）所示，取 S 平
三、质点对参考点的角动量定理和守恒定律
1
rv
常量
dt
dt
dt
2
因在平面内运动，故 r v 恒矢量 2
第6节 角点系的角动量定理
则整个圆盘对中心轴的转动惯量为
I dI R 2 r3dr 1 mR2
0
2
以上计算表明，质量相同，转轴位置相同的刚体，由于质量分布不同，转 动惯量不同.
10
以上各例说明： (1)刚体的转动惯量
与刚体的总质量有关， 与刚体的质量分布有关， 与轴的位置有关。
(2)质量元的选取： 线分布 面分布 体分布
解 (1)求质量为m，半径为R的圆环对中心轴的转动惯量.如图2.36(a)所 示，在环上任取一质元，其质量为dm，该质元到转轴的距离为R，则该质 元对转轴的转动惯量为
dI R2dm
考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对中心轴的转动惯量为
I dI R2dm R2 dm mR2
m
I miri2
命名为对轴的转动惯量，
（式中 ri 为 mi 到轴的距离）
此时质点系对轴的角动量定理为
Miz
d dt
(miri2 )
dILeabharlann dt54、转动惯量的计算 对于单个质点 质点系
若物体质量连续分布，
I mr2 n
I m r2 ii
i1
2
I r2dm r dV m m
转动惯量的单位：千克·米2（kg·m2）
n
ri
Fi外
n
i 1
i
n1 ri
j 1
f ji
d dt
n i 1
(ri mivi )
由于内力成对出现，每对内力对O的力矩之和为零，因此内 力矩之总和为零，于是有
n
i 1
ri
Fi外
d dt
n
(
i 1
ri mivi )
第5讲 质点的角动量角动量守恒定律
5.1 质点的角动量定理 5.2 质点系的角动量定理 5.3 角动量守恒定律
Law of Conservation of Angular Momentum
在自然界中经常会遇到质点围绕着一定的中心运转 的情况。例如，行星绕太阳的公转，人造卫星绕地 球转动，电子绕原子核转动以及刚体的转动等等。 在这些问题中，动量定理及其守恒定律未必适用， 这时若采用角动量概念讨论问题就比较方便。
r F v mv r F 令 r F M ─力矩 dL 于是有 M 可见: 引起转动状态改变的原 dt 因是由于力矩的作用
dL M —角动量定理的微分形式 dt 质点所受的合力矩等于其角动量对时间的变化率。
例题4 用绳系一小球使它在光滑的水平面上做匀速 率圆周运动，其半径为 r0 ，角速度为ω0 。 现通过圆心处的小孔缓慢地往下拉绳使半径 逐渐减小。求当半径缩为 r 时的角速度。 解： 以小孔 o 为原点 绳对小球的拉力为有心力，
r o
v
r0 m
其力矩为零。 则小球对o 点的角动量守恒。
初态
mv0r0 mr0 20
n ——各个质点所受的各内力矩 M int ri fij 的矢量和。 i 1 j i
考察一对内力矩的矢量和。内力是成对出现的
ri f ij rj f ji ri rj f ij
角动量也是一个重要概念。□
5.1 质点的角动量定理
一 质点的角动量 对于作匀速直线运动的质点，可以用动量也可用 角动量的概念进行描述。 设质点沿 AB 作匀速直线运动， 在相等的时间间隔Δt 内，走过的 距离 ΔS = vΔt 都相等。 选择O 为原点，从O 到质点处引 位矢 r 。 r 在单位时间内扫过的 面积，称为掠面速度。
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
v2
地球
o
太阳
M Fd 0
v1
§2.5 质点角动量定理 角动量守恒（一角动量 二力矩）
2.5.3 质点的角动量定理 想法：动量随时间的变化率
力矩M
r
F
角动量 L
r
p
dp
d
(mv)
F
— — dL ？
推导：
dL
d
(r
p)
dt dt dr p r dp
dt
dt dt
dt
dt
其中
v mv 0
从而
M
dL
dt
——定理
r
F
M
质点角动量定理：质点对固定点的角动量随时间的变化率
等于质点所受合力对该点的力矩。
§2.52.当.45 质M质点点的角0 角动时量动定量理守恒d角L定动dt律量守0恒（L一 角恒动矢量量—二力—矩角三动定量M理守）恒ddLt定律 即：当质点所受合力矩为零时，质点的角动量守恒
r1
1
O
例：（P53：例2-12）已求知：：v光滑平面m、k、v0 、l0（原长）、l.
解：物块受有心力作用——对O点角动量守恒
LA LB rA mv0 rB mv
Ol
v
B
大小 rAmv0 sin 90 rBmv sin l0 , k
l0mv0 lmv sin 两个未知量？
Байду номын сангаас
v0 mA
大小 方向 大小 方向
LA rAm1v1 sin(
—— 里 LB Rm2v2 —— 外
) Rm1v1
G1
(2)选向里为正方向 M 合外 (m2 m1)Rg
G2
质点系的角动量定理
质点系的角动量定理质点系的角动量定理引言角动量是物理学中一个非常重要的概念，它描述了物体围绕某一轴旋转时所具有的特定性质。
在实际应用中，我们经常需要研究由多个质点组成的系统的角动量变化，这就涉及到了质点系的角动量定理。
定义首先，我们来回顾一下单个质点的角动量定义：对于一个质量为m、速度为v、距离某一轴距离为r的质点，它的角动量L可以表示为L = mvr sinθ，其中θ是速度方向与轴线方向之间的夹角。
然后再考虑由N个质点组成的系统，每个质点都有自己的速度和位置。
此时，整个系统所具有的总角动量可以表示为L = Σi=1N L_i，即每个质点所具有的角动量之和。
推导接下来我们来推导一下质点系的角动量定理。
假设一个由N个质点组成的系统，在某一瞬间t1时刻它们所具有的总角动量为L1，在另一瞬间t2时刻它们所具有的总角动量为L2。
那么根据牛顿第二定律和牛顿运动定律，我们可以得到以下的式子：F = ma = m(dv/dt) = d(mv)/dt其中F是质点所受的合力，m是质量，v是速度。
将上式两边同时乘以r sinθ，再对所有质点的角动量求和，可以得到：Σi=1N (r_i x F_i) = d/dt (Σi=1N L_i)其中r_i是第i个质点距离某一轴的距离向量，F_i是它所受的合力向量。
右边表示总角动量随时间的变化率。
根据矢量积的性质，r_i x F_i可以表示为m_iv_ir_isinθ_i，其中θ_i是速度方向与轴线方向之间的夹角。
将其代入上式中可得：Σi=1N m_iv_ir_isinθ_i = d/dt (Σi=1N L_i)这就是质点系的角动量定理。
应用利用质点系的角动量定理，我们可以研究各种旋转系统中角动量随时间变化的规律。
例如，在自由陀螺运动中，陀螺在自身重力作用下绕着固定轴线旋转。
由于陀螺具有一定的自旋角速度，它的角动量会随时间变化。
根据质点系的角动量定理，我们可以推导出陀螺的进动和章动规律。
第五章质点的角动量角动量守恒定1
第五章质点的⾓动量⾓动量守恒定1第五章质点的⾓动量⾓动量守恒定理§5-1 质点的⾓动量⾓动量定理⼀质点的⾓动量我们已经知道，在讨论单个质点或质点系统（包括刚体）的平动运动时，线动量是很有⽤的物理量，例如，在碰撞中线动量是守恒的。
对于单个质点，线动量为v P m =对于质点系统，线动量为v P M =其中M 为系统的总质量⽽v 是质⼼的速度。
在转动运动中，什么量和线动量相类似呢？我们将这个量称之为⾓动量。
下⾯就单个质点这⼀特殊情况来定义⾓动量，以后推⼴到质点系统。
假设有⼀质量为m 和线动量为P 的质点A ，这质点相对于惯性参考系的原点O 的位置⽮量为r 如图()15-所⽰图 ()15-定义这个质点对原点0的⾓动量为v r p r L m ?=?= （5-1）讨论 1）其中r 是代表以给定点0为原点到质点的位置⽮量2）其⼤⼩θsin rmv L = 式中θ是r 与v 之间的夹⾓，它的⽅向垂直与r 与p 所组成的平⾯，并由右⼿螺旋法则确定,见图（5-1）3）我们也可将L 的⼤⼩表⽰为 ()p r p r L ⊥==θsin 或 ()⊥==rp p r L θsin 式中的⊥r 为r 垂直于p 的分量，⊥p 为p 垂直于r 的分量，故⾓动量也可称为动量矩。
4）应当指出，质点的⾓动量与位置⽮量r 和动量p 有关，也就是与参考点0的选择有关。
因此在讲述质点的⾓动量时，必须指明是对哪⼀点的⾓动量。
5）在国际单位制中，⾓动量的量纲为12-T ML ，符号是kg ·sm 2，也可表⽰为J ·s⼆质点的⾓动量定理质点在运动时导致⾓动量L 随时间变化的根本原因是什么？由 v r L m ?= 对其两边微分则 (r L dt d dt d =×)v m =dtd r×r v +m ×()dt m d v 其中 dt=v 故 v ×=v m 0 ()F P v ==dt d dt m d得 r L=dtd ×F （5-2）即：质点m 对参考点o 的⾓动量随时间变化率dtd L等于位置⽮量r 和质点所受的合外⼒F 的⽮量积。
5-2 质点系的角动量定理及角动量守恒定律
若质点系的所有质点均分别在与 z 轴垂直的平 面内运动，且一共同的角速度绕 z 轴作圆周运动， 则质点系对 z 轴的角动量为
Lz ri mi vi mi ri
i i
2
当质点系对轴的角动量守恒时：
ri 变小，则
M z 0 ，Lz 常量
增大；
ri 变大，则
减小.
质点系对轴的角动量定理
质点系对轴的角动量定理
dLz Mz dt
如果在一个过程中，质点系所受的外力 对 z 轴的力矩始终保持为零，则质点系对该 轴的角动量守恒.
M z 0 ，Lz 常量
质点系对轴的角动量守恒定律
当内力矩远大于外力矩时，质点系对轴的角动量 也是守恒的. （例：P170例1）
在直角坐标系中，上式沿三个坐标轴的投影式为
dLy dLx dLz M x M ix , My , Mz . dt dt dt
• 如果只考虑上式中某一个分量，例如 z 分量，则 表现为对轴的特征：即质点系对于 z 轴的角动量对时 间的变化率等于质点系所受一切外力对 z 轴力矩的代 数和，叫做质点系对 z 轴的角动量定理。
ri fij rj f ji (ri rj ) fij 0
ri fij 0
i i j
成对出现的内力对参考点的力矩矢量和为零. 由于系统内力总是成对出现，则系统内力矩的矢量和为零. • 可见，系统的内力矩只能使系统内各质点的角动量改变， 但不能改变质点系总的角动量。
如果在一个过程中，始终无外力矩作用或所受 的外力矩为零，则质点系的总角动量守恒 .
M外 0 ，L 常矢量
质点系对某一固定点的角动量守恒定律
角动量守恒定律
tt12M dtL L 12d L L 2L 1 t2M dt为 质t内 点O 对 在 点 的 冲 量 矩
t1
质点的角动量
力是物体平动运动状态（用动量来描述）发生改
变的原因。力矩是引起物体转动状态（用角动量 来描述）改变的原因。
1. 质点的圆周运动 动量：pmv
L
Or v
（对圆心的）角动量：
m
行星对太阳的径矢在相等的时间内扫过相等的面积. —–开普勒第二定律 Kepler laws
讨论：行星受力方向与矢径在一条直线（中心力），
永远与矢径是反平行的。故对力心质点所受的力矩为
零。则对力心角动量守恒！
注意
L
力心
v
m
r
F
r
Lmsvir nm rsin
1rrs 2m2
t in2mS
t
t
——开普勒第二定律
小结：
质点角动量 质点角动量定理：
L rpm r v
dL M rF dt
一对作用力、反作用力对定点（定轴）的合力
矩等于零。
质点→质点系
角动量守恒的几种可能情况：
1 孤立系. 2 有心力场,对力心角动量守恒.
重点！
3 由分量式：
M ix0; L x 常量
即：虽然 Mi 0,但对某轴外力矩为零,则总角动
解:对象: 滑轮+绳+A+B,
z轴正向: O点向外 .
受外力:mAg=mBg=mg, N, 对z 轴的合力为0. 对z轴,系统角动量守恒,A,B对O点速率 v'A,v'B,初始时刻系统角动量为零,则:
rm vA rm vB 0 则 vA vB
可见,不论A、B对绳的速率vA、vB如何, 二人对O的速率相同, 故将同时到达O点.
质点的角动量
i
ri p i ,
对于标号为i的质点，它不仅受到来自系统外的作用力，而且 还受到系统内其它质点的作用力（内力）
fi
j
f ij ,
利用质点的角动量定理 可得
d dt
d Li dt
ri Fi f i ,
i
i
Li
i
ri ( Fi f i )
r1 , 以角速度 1旋转，然后慢慢向下拉 离为 r2时，拉力对质点所做的
v
绳，求质点离圆心距
功。
选小孔为参考点，任意 时刻质点受力矩 M r f 0 , 质点的角动量守恒，因 而有：
o r f
f
mr 1 1 mr 2 2
2 2
根据动能定理，外力做功为
v
O
rห้องสมุดไป่ตู้m
若一个质量为m的粒子在半径为r的圆周上以速 v 运动，则它的动量为 P m v ,相对于圆心的 度 位置矢量 r 与粒子运动速度 v 互相垂直 ，角 动量大小为： L m rv m r 2
是质点运动的角速度
角动量的方向由右手螺旋法则判断，垂直于物体转动 所在的平面
2
1
4、推广到质点系情形
利用牛顿第三定律，我们还可以将质点角动量定律推广到质 点系的情况，得到质点系总角动量的时间变化率与合外力 矩的简单关系，即质点系的角动量定理。 我们定义质点系对给定参考点O的总角动量为系统内所有质 点对选定参考点O的角动量的矢量和，即 ：
L
i
Li
多个外力作用于同一个质点的合力矩等于各 力的力矩的矢量和，即如果
质点系的角动量定理
fi
j i
fij
ri
fi
i
ji
r
i
dLi
dt
fij
ddti
L
i
fi
mi fij
ri ri rj
fji
mj
fj
i
ji
ri
合fi内j 力12矩i,j为(i j零) ri
fij
rj
O f ji
即证。
1 2i, j(i j)
r i
rj
f 0
ij
rj
4
内力矩可影响质点系中某质点的角动量，但 合内力矩等于零，对总角动量无影响。
当质点系相对于惯性系中某定点所受的合外 力矩为零时，该质点系相对于该定点的角动量 将不随时间改变—质点系的角动量守恒定律
孤立或在有心力作用下的系统角动量守恒。
宇宙中的天体可以认为是孤立体系。它Βιβλιοθήκη 具 有旋转盘状结构，成因是角动量守恒。
5
盘状星系
6
L
球形原始气云具有初始角动量L，在垂直于L方向， 引力使气云收缩 角动量守恒 粒子的旋转速度 惯性离心力，离心力与引力达到平衡，维持一 定的半径。 但在与L平行的方向无此限制，所 以形成了旋转盘状结构。
7
例题
讨论行星运动
F与
r在一直线上
M rF 0
rF
L 常矢量
S
v
1面、LL方向不r 变m v 轨道面是平 v远
r远
2、 L = 常量= r m v sin r v sin = 常量
量矢径单位时间行扫过的面积是常量
v近
o
r近
S= 常
在近日点与远日点 sin =1
5.3质点系对质心的角动量定理
u
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第五章 角动量 关于对称性
（2）
rc
r1
r2
m1r1 m2r2
r1 r2
m1 rc
rc
m2 m2 (r1 r2 )
m1 m2 m1(r2 r1 )
m1 m2
m 2 r12 m1 m 2 m1r12 m1 m2
m1 r1 O
r1 rc
rc r2
r2 rc m2
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第五章 角动量 关于对称性
故两质点相对于它们质心的角动量为
Lc
r1
p1
r2
p2
m2r12
(
u)
(
m1r12
)
(
u)
m1 m2
m1 m2
r12 u r12 ( u)
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（1）每个质点相对于它们质心的动量.
（2）两质点相对于它们的质心的角动量.
[解]（1）在质心系中两质点的速度分别为
v1
m2 m1 m2
u
其中
u
v12
v1
v2
v1
v2 v2
m1 m1 m2
u
p'1
m1v '1
Hale Waihona Puke m1m2 m1 m2u
u
p2
m2v2
m1m2 m1 m2
u
第五章 角动量 关于对称性
§5.3质点系对质心的角动量定理 和守恒定律
1.质心系中的角动量定理
角动量定理和角动量守恒定律只在惯性系中成立.
以质心C为参考点，建质心坐标系，各坐标
轴与基本参考系平行. 由于质心具有加速度，所以
质点系的角动量定理
质点系的角动量定理介绍质点系的角动量定理是力学中的一项基本原理，用于描述质点系在外力作用下角动量的变化规律。
本文将全面、详细、完整地探讨质点系的角动量定理。
角动量的定义角动量是描述物体旋转状态的物理量，表示物体围绕某一轴旋转时具有的转动能力。
对于一个质点，其角动量可以定义为质点的质量乘以质点的位置矢量与旋转轴之间的叉乘。
角动量的数学表达式为：L=r×p其中，L表示角动量，r表示质点相对于某一轴的位置矢量，p表示质点的动量。
角动量定理的表述质点系的角动量定理可以表示为：dLdt=M其中，dLdt表示角动量的变化率，M表示作用在质点系上的合外力矩。
角动量定理的推导为了推导角动量定理，我们需要使用牛顿第二定律和角动量的定义。
考虑一个质点系，由n个质点组成。
对于其中的第i个质点，根据牛顿第二定律，可以得到：m i d2r idt2=F i其中，m i表示第i个质点的质量，r i表示第i个质点的位置矢量，F i表示作用在第i个质点上的合外力。
将角动量的定义代入上式可得：m i d 2r i dt 2=d dt (r i ×m i dr i dt) 对上式进行展开和简化可以得到：m i d 2r i dt 2=m i dr i dt ×dr i dt +r i ×m i d 2r i dt 2 根据向量恒等式A ×(B ×C )=B (A ⋅C )−C (A ⋅B )，可以得到：m i d 2r i dt 2−r i ×m i d 2r i dt 2=m i dr i dt ×dr i dt将上式对所有质点求和，并利用质点系的总动量定义p =∑m in i=1dr i dt 和质点系的质心位置矢量定义R =1M ∑m i n i=1r i （其中M =∑m i n i=1），可以得到：dp dt=F −R ×F 其中，F 表示质点系的合外力。
质点系的角动量定理及角动量守恒定律
对质点系
Mi内z
Mi外z
d dt
(ri
mi vi
sin
i
)
而
Mi内 0
Mi内z 0
Mi外z
d dt
(ri mivi
sin
i
)
d dt
Lz
——称质点系对z 轴的角动量定理.
3.质点系对轴的角动量守恒定律
若
Mi外z 0
Lz rimivi sin i 常量
若质点系各质点绕 z 作圆周运动
Liz ri mivi sin i
质点系对轴的角动量
Lz rimivi sin i
2.质点系对轴的角动量定理 质点在垂直于z 轴的平面内运动，第i个 质点
Miz
dLi dt
d dt
(ri
mivi
sin
i
)
M iz M i外z M i内z
M i内z
M
sin
i)
m 2gh v
2m m
本题也可以利用对点的角动量守恒求解，读者可自行完成.
§5.2质点系的角动量定理 及角动量守恒定律
§5.2.1质点系对参考点的角动量定理及守恒律
1.质点系对参考点的角动量
对参考点
L Li ri pi ri mivi
i
i
i
对质点系中的第 i 个质点,有
Mi
dLi dt
其中
Mi Mi外 Mi内
M i内
M i外
dLi dt
对质点系，有
M i内
M i外
dLi dt
2.内力的力矩
ri
Fij i
因质点i与质点 j 间的相互 作用力
i
质心系角动量定理
质心系角动量定理是经典力学中的一个重要定理，它表述了质点系在质心参考系中的角动量守恒定律。
这个定理在许多领域都有着广泛的应用，例如行星运动、陀螺仪、碰撞等问题。
首先，让我们了解一下质心系角动量定理的基本概念。
质心系角动量是描述质点系相对于质心转动的物理量，由质点的位置、速度和质心位置决定。
在质心参考系中，质点系的角动量是一个常数，这个常数不随时间变化。
接下来，我们探讨质心系角动量定理的证明过程。
首先，我们选取一个质点系和一个与质心固连的参考系，该参考系的原点即为质心的位置。
然后，我们计算质点系相对于质心参考系的角动量，得到每个质点的位置、速度和质心位置的函数。
由于质心参考系是惯性系，我们可以利用牛顿第二定律分析质点系的动力学行为。
通过对角动量表达式进行微分，我们发现角动量的时间导数为零，从而证明了质心系角动量定理。
最后，我们探讨质心系角动量定理的应用。
首先，在行星运动问题中，行星绕太阳的转动可以看作是一个质点系，太阳的位置即为质心。
应用质心系角动量定理，我们可以得到行星轨道的稳定性，进而研究行星运动的规律。
其次，在陀螺仪问题中，应用质心系角动量定理可以研究陀螺仪的进动和章动问题，进而设计高性能的陀螺仪。
此外，在碰撞问题中，应用质心系角动量定理可以研究碰撞后物体的运动状态，进而分析碰撞的力学性质。
综上所述，质心系角动量定理是经典力学中的一个重要定理，它表述了质点系在质心参考系中的角动量守恒定律。
这个定理在许多领域都有着广泛的应用，例如行星运动、陀螺仪、碰撞等问题。
通过深入理解质心系角动量定理，我们可以更好地掌握经典力学的原理和应用。
角动量
※匀速直线运动质点相对任意固定点 的角动量守恒
如图, 圆锥摆. 例： 如图, 圆锥摆. 点的角动量是否守恒? 是 m对于 o 点的角动量是否守恒? (是) 点的角动量是否守恒? 否 m对于 o’ 点的角动量是否守恒?(否) m动量是否守恒? (否) 动量是否守恒? 否 质点绕行半周时间内的绳的张 力冲量是多少?(A --B ?(A点 力冲量是多少?(A点--B点) mA r v
r r r Lo' = l × m v
≠0
方向随时间变化, 大小 Lo’=mvl 方向随时间变化 不守恒 *合外力矩、角动量均对同一点而言 合外力矩、角动量均对同一点而言 均对同一点
解: 绕行半周时间
∆t =
πR
v
r r rr 绕行半周动量增量为: 绕行半周动量增量为 − m v k − mv k = −2mv k
r r
(4)行星在公转轨道上的角动量 行星在公转轨道上的角动量
r p r p
ϕ
ϕ
r r
d
O
dr r
L= pd = pr sinϕ
质点做直线运动时， 质点做直线运动时，该质点对直线上 一点和直线外一点的角动量分别是多 少？
在讲力矩和角动量时一定指明对那一个点而言. 在讲力矩和角动量时一定指明对那一个点而言.
2-7质点的角动量与角动量守恒定律
一、力矩
r M
r r
o
r F
α
r r r M = r ×F
※力矩大小 ※力矩方向 右手螺旋法 的选择（点力矩） ※取决于固定点 的选择（点力矩） 单位: ※单位:
质点的角动量
L mR
2
L mR (2 g sin )
2g 12 ( sin ) R
三、质点角动量守恒定律
law of conservation of angular momentum of particle
由角动量定理可知，
若： M 0 （条件) dL 0 dL 0 （结论） 则： 或 dt
由动量定理:
mg
R
v
j IT 2mvk
R IT 2mvk mg j v
例： 用细绳系一小球在光滑的水平面上作圆周运动,
圆半径 r0 , 速率 v0 . 今缓慢地拉下绳的另一端, 使圆半径逐步减小. 求圆半径缩至 r 时, 小球的 速率 v 是多大?
M mgRcos
由质点的角动量定理
dL mgR cos dt
dL mgR cos dt
dL m gRcosdt
考虑到
d dt, L mRv mR2
得
LdL m gR cosd
2 3
由题设条件积分上式
L
0
LdL m gR
2
32
3
0
cosd
于是:
d (r p) dt
dr dp pr dt dt
dr v, v p 0 dt
Lrp
dL M dt
d ( r p ) dr dp pr dt dt dt
d (r p) dp 于是: r r F dt dt
N P r r (t ) r (t t )
M
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目录摘要 (1)Abstract (1)1 引言 (1)2 惯性系中质点系角动量定理 (1)2.1惯性系中角动量定理的推导 (1)2.2在惯性系中角动量表达式的一点讨论 (2)2.3惯性系中质点对轴的角动量定理 (3)2.4刚体定轴转动时对转轴的角动量 (3)3 非惯性系中的角动量定理 (4)4 应用 (5)4.1质点系质心系的角动量定理在刚体定轴转动中的应用 (5)4.2刚体做定轴转动时对轴上任一点的角动量定理和应用 (5)5 结论 (6)参考文献 (7)对质点系角动量定理的讨论摘 要：通过对质点系角动量定理推导以及讨论其在具，体问题中的应用，并且结合其在惯性系、非惯性系以及质心系的情况下的公式和它们之间的联系，明确了解了角动量定理在解决力学相关问题的重要性，从而为解决相关力学问题提供帮助。
关键词：质点系；角动量；参考点；轴；质心Discussion on the Theorem of Angular Momentum of ParticleAbstract : Through to discuss of the particle system and angular moment theorem andits specific problems, and to combinate with the application in the inertial system, noninertial system under the conditions of the heart and the quality of the formula and the relationship between them, we understanded the angular momentum in solving problems which related to the mechanical theorems and its importance clearly , and proved a lot of help to solve the related mechanical problems.Key W ords : Particle; Angular momentum; Reference points; Axis; centroid.1引言角动量定理在质点系中的应用在力学相关问题中非常重要，本论文主要是通过上学期对质点系角动量在惯。
性系，非惯性系，以及质心系内的研究与讨论，总结出的一些公式和规律，为掌握解决问题方法提供方便。
2惯性系中质点系角动量定理2.1惯性系中角动量定理的推导质点系内各质点对参考点O 的角动量的矢量和看作质点系对O 点的角动量，设由n 个质点组成的质点系，在惯性参考系中，各质点的速度分别用1v ，2v ……i v …n v表示，相对于参考点O 的位置矢量分别为1r ，2r ……i r …n r，质量分别为1m ，2m ……i m ……n m 将质点系的角动量记作L。
则∑⨯i i i v m r L =(1)而任一质量对于参考点O 的角动量定理用于质点系内的质点I ：dtLd M i i = (2)i L 表示质点i 的角动量，质点i 所受的力矩可分为内力矩内i M 和外力矩外i M，于是dtL d M M ii i=+外内 (3) 根据牛顿第三定律，质点i 与质点j 之间的相互作用力ji ij F F-=，且二力作用在一条直线上，ij F 与ji F 到点O 的垂直距离都等于d ，故作用力ij F 与反作用力ji F对O 点的力矩大小相等方向相反，可见成对出现的内力对O 点的力矩矢量和为0，将求和与导数运算交换顺序后，并考虑到∑i L 即质点系的角动量L，得∑∑==dtL d dt L d dtL d ii (4)为力矩的矢量和，成为质点系对参考点O 的角动量定理[1]。
2.2在惯性系中角动量表达式的一点讨论各种表达式之间有一定的联系。
在惯性系中对动点P 的角动量PL可表示为()C P O i i P i i i i i P ii i Pi P v m r L v m r v m r v m r r v m r L⨯-=⨯-⨯=⨯-=⨯=∑∑∑∑ (5)(5)式表明：质点系相对于惯性系中变动参考点P 的角动量P L，等于其相对于点O 的角动量OL 与其总动量C v m 平移到点P 后相对同一定点O 的角动量v m r P⨯之差[2]。
当动点P 就是质心C 时，由公式得到一般的结果C C C O v m r L L⨯⨯= (6)若把(6)式代入(5)式，可得一个非常有用的公式，即C PC C C P C C C O v m r L v m r v m r L L⨯+=⨯-⨯+=' (7)(7)式表明：质点系相对于惯性系中动点P 的角动量PL等于其对质心C的角动量CL 与质点系动量C v m 对P 点的角动量C PC v m r⨯'之矢量和。
2.3惯性系中质点对轴的角动量定理现在仅研究几个质点分别与Z 轴的垂直的平面内运动的情况，将其应用于某一点i 得()()dtv m r d dt d L M i i i i iz iz γsin==]3[ (8)质点i 所有的合力对Z 轴的力矩可分为内力矩内i M和外力矩外i M，故上式可写作()()∑=+dtv m r d MMi i i i i i γsin外内(9)由于0=∑内i M，其在Z 轴上的投影也等于0，再将求和与求导运算交换顺序，(9)式可写作()()dt L d dt v m r d z M zi i i i i=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑γsin 外 (10) 其表示质点系所受一切外力对Z 轴的力矩之和，()∑i i i i v m r γsin为质点系对Z 轴的角动量，上式表示质点系对于Z 轴的角动量对时间的变化率等于参考点所受一切外力对于Z 轴的力矩之和，叫做质点对Z 轴的角动量定理[3]。
2.4刚体定轴转动时对转轴的角动量对轴的角动量是作为对点的角动量在坐标轴上的投影而引入的。
由于刚体是较为特殊的质点系所以通过下面的综述使解决刚体的问题变得更为简单。
设OZ 轴即刚体转轴，将公式应用于刚体，刚体对轴的角动量为∑⨯=i i i z v r m L(11)因z i i r v ω⨯=，故有()z i i i r m L ω2= (12)(12)式右括号内为各质元质量与其到转动轴线垂直距离平方乘积之和，显然，它决定与刚体本身的质量分布以及转动轴线的位置，i m 叫作刚体对定轴Z 的转动惯量。
用z I 表示r m iiZ I 2∑=(13)式中2i i r m为转动惯量[4]。
刚体对Z 轴的角动量可写作z z z I L ω=，将它与动量相比，转动惯量和角速度分别可与惯性质量和速度相比拟。
这转动惯量恰是对一定转轴转动惯性的度量，正是由于这种特性导致刚体这种质点系的角动量定理变得简单了：zz i i I dtdr m ω⨯=∑2 (14)将其变形后可得()z z iz I d M ω⨯=∑(15)(15)式中dt M iz称为作用于刚体地i 个外力矩的冲量矩。
上式意为刚体对Z 轴角动量的增量等于该轴外力矩冲量矩的代数和，式用冲量矩表述的角动量定理。
并由此又进而推出了转动定理：他表示刚体绕定轴转动时刚体对该轴的转动惯量与角加速度的乘积在数量上等于对此转动轴线的合力矩，叫做刚体定轴转动的转动定理。
由此可以与牛顿第二定律相比：力使质点产生加速度，而力矩产生角加速度。
3非惯性系中的角动量定理在非惯性系(或质心系)中对定点P (设与上述惯性系中i 点是同一点)的角动量PL ' 可表示为()pcPC p i i PC i i Ci ii PC Ci i i Pi p v m r L v m r v m r v m r r v m r L ''''''''''⨯+=⨯+⨯=⨯+=⨯=∑∑∑∑ (16)(16)式表明：在非惯性系中对定点P 的角动量PL，等于其对质心C 的角动量C L '与质心C 对点P 的位矢PC r '与PC v m '叉积之矢量和]5[。
虽然(16)式与(7)式形式相似，但其本质不同。
(7)式为在惯性系中对动点P 计算角动量P L，为在非惯性系中对同一点P 为定点计算角动量PL ' 。
可见，在不同参考系中即便是对同一点如P 点计算角动量，一般也不相等。
但对质心C，这个特殊点则恒有C C L L '=这是因为()i i cic i cii c i cii i ci C v m r v m r v v m r v m r L⨯+⨯=+⨯=⨯=∑∑∑'''''(17)显然(17)式等号右边第一项为00'''=⨯=⨯=⨯c c c i i ci v v r m v m r，第二项为C i i ci L v m r '''=⨯，即有C C L L ' =。
这说明：在惯性系中对质心C 计算角动量C L 与在质心系中对质心C 计算角动量C L '总是相等的[6]，这正是质心的一个重要特征，考虑到C C L L '=。
则由(9)式与(10)式可得()ppc pc c PC P P v m r v m v m r L L ⨯=-⨯=''''- (18)从(1)式可以看出，在两个相互平动的参考系中对同一点P 计算角动量所得值一般是不等的，除非是对质心C 或PCr ' 与PCv 平行时才有C C L L '=，这一点应当特别注意，表中式c pc p C a m r m dtJ d⨯-=''' (19)在平动加速参考系中对质心以外的其他参考点来说，合外力矩不等于角动量的时间变化率，出现附加项(惯性力力矩)c c M dtL d ''= (20)若参考点P 与质心C 重合，则0'=pc r，此时附加项为零，(17)式与(18)式等价；若pc r '平行于c a ，则附加项也为零，(19)式与(20)式等价；若0=c a （p v不一定为零），则附加项也为零，(19)式与(20)式也等价。
这说明，一般情况下附加项与点C 的加速度有关，与点C 的速度无关[7]。
4应用4.1质点系质心系的角动量定理在刚体定轴转动中的应用角动量定理的数学表达式为：dtL d Ma a= (21)其中：i i a F r M⨯=∑外，i i i o v m r L⨯=∑分别为质点系外力矩的矢量和与质点系的角动量。