高中数学1.7《小结与复习》教案苏教版必修
高中数学第一章解三角形第一章小结与复习(教师版)导学案苏教版必修
必修5 第一章小结与复习 1 第 7 课时一、学习目标1.进一步熟悉正、余弦定理内容，能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化，判断三角形的形状；2.能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦定理、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题．二、课前预习（一） 三角形中的定理1.正弦定理： ，其中R 为 . 正弦定理的作用： ⑴ ⑵ 正弦定理的变形： ①2sin a R A =， ， ；②sin 2a A R =， ， ； ③::a b c = . 2.余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，余弦定理的作用：⑴⑵⑶ .⑷ .余弦定理的变形：①cos A = 等；②222a b c +-= 等.3.三角形面积公式： 1sin 2S ab C ∆== = 4. 在已知两边a,b 及角A 解三角形时，需要讨论.(1)若Ａ≥９０°，则有①a>b 时有 解；②a ≤b 时 解.（2）若Ａ＜９０°时，则有①若a ＜bsinA ，则 解； ②若a ＝bsinA ，则 解；③若bsinA ＜a ＜b ，则有 解；④若a ≥b ，则有 解.预习题：1.(2009年广东卷文)已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若62a c ==+且75A ∠=，则b =_______000000026sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos304A +==+=+= 62a c ==+可知,075C ∠=,所以030B ∠=,1sin 2B =由正弦定理得261sin 2sin 226a b B A +=⋅=⨯=+2.（2008浙江）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()C a A c b cos cos 3=-，则=A cos _________. 33.（2007湖南）在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，b =7，3c =，则B = ．答案 65π 4.（2009长郡中学第六次月考）△ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+,(,)q b a c a =--，若//p q ，则角C 的大小为_____3π三、数学运用例1.（2009全国卷Ⅰ理）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b【随堂记录】：分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)222a c b -=左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) sin cos 3cos sin ,A C A C =过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解法一：在ABC ∆中sin cos 3cos sin ,A C A C =则由正弦定理及余弦定理有:2222223,22a b c b c a a c ab bc+-+-=化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）. 例2. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若).(R k k BC BA AC AB ∈=⋅=⋅（Ⅰ）判断△ABC 的形状； （Ⅱ）若k c 求,2=的值. 解：（I ）B ca BC BA A cb AC AB cos ,cos =⋅=⋅Bac A bc BC BA AC AB cos cos =∴⋅=⋅又B A A B cos sin cos sin =∴ 即0cos sin cos sin =-A B B A 0)sin(=-∴B ABA B A =∴<-<-ππ ABC ∆∴为等腰三角形.（II ） 由（I ）知b a =22cos 2222c bc a c b bc A bc AC AB =-+⋅==⋅∴2=c 1=∴k 例3.（2009湖南卷文）在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则cos AC A的值等 于 ，AC 的取值范围为 .【随堂记录】：解析 设,2.A B θθ∠=⇒=由正弦定理得,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC AC θθθθ=∴=⇒= 由锐角ABC ∆得0290045θθ<<⇒<<，又01803903060θθ<-<⇒<<，故233045cos θθ<<⇒<<， 2cos 2,3).AC θ∴=∈四、巩固训练1.（2009北京理） 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c B π=，4cos ,35A b ==（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）求ABC ∆的面积. 【解析】 本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力．解（Ⅰ）∵A 、B 、C 为△ABC 的内角，且4,cos 35B A π==， ∴23,sin 35C A A π=-=，∴213sin sin cos sin 32210C A A A π+⎛⎫=-=+= ⎪⎝⎭.（Ⅱ）由（Ⅰ）知33sin ,sin 510A C +==，又∵,3B b π==ABC 中，由正弦定理，得 ∴sin 6sin 5b A a B ==.∴△ABC 的面积116336sin 2251050S ab C ++==⨯=. 五、反思总结熟悉了正、余弦定理在进行边角关系转换时的桥梁作用，并利用正、余弦定理对三角恒等式进行证明以及对三角形形状进行判断。
高中数学 集合单元小结(2)教案 苏教版必修1
教案 集合单元小结（二）教学目标：归纳集合子、交、并、补的基本题型，能解决一些综合问题 教学重点：归纳基本题型教学难点：运用所学理论解决综合问题 课 型：复习课教学手段：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、创设情境集合是数学是的一个重要概念，它不仅跟高中数学的绝大部分内容都有联系，更在于集合思想当今已经渗透到自然科学的各个领域．因此让学生掌握集合知识不仅是数学教学本身的需要，同时也成了提高学生素质的一部分.由于集合这一节教材概念较抽象，出现的符号术语比较多，致使部分学生一时难以适应，解题中常常出现因不能理解题意而造成的错误，为了使学生能顺利地学好这一节内容，教学中应当注意：①正确进行集合中符号语言的转译，熟练运用集合与集合的关系解题； ②借助数轴和文氏图等图形思考有利于集合运算； ③不要忘掉空集的特殊性，空集是任何集合的子集；④集合中元素的确定性、互异性、无序性是解题的依据，注意解题后的检验； ⑤对于含字母的题目，要充分注意字母的取值范围，必要时进行分类讨论；集合作为数学中很重要的基础内容，是会考和高考的必考内容.试题一般有两种类型：第一种是集合知识本身；第二种是集合语言与其它数学知识的综合运用.高一数学的目的是以完成第一种类型为主的，鉴于高一学生数学知识的局限并不宜过多补充，应对学生正确使用集合语言，规范书写格式等方面严格要求.这样做对以后运用集合思想解第二类型的习题是有益的.从近几年的考题看，通常用列举法或描述法给出集合后考查空集与全集的概念；元素与集合、集合与集合之间的关系；集合的交、并、补运算，集合的运算是重点考查内容．在解集合问题时，常将集合化简或转化为熟知的代数、三角、几何问题，同时涉及到数形结合、方程与不等式、化归等数学思想的应用，集合作为数学问题解决的工具．另外定义新运算是一个新的命题背景． 二、师生探究考点题型1 集合与元素的关系判定由集合中元素的确定性知，对于一个集合，它的元素必须是确定的，特别是对于描述法表示的集合，一定要抓住集合的公共属性和本质特征，灵活应用． 例1（２００４镇江统测）已知集合{},22≤≤-∈=x N x A 则必有 ( )Ａ．1A -∈ Ｂ．0A ∈ A Ｄ．2A ∈[试题解析] 在集合Ａ中x N ∈，则在x ≤0,1x =，选Ｂ[规律说明] 此类问题主要有两类，一是元素和集合之间的关系；二是集合与集合之间的关系．关键在于确定集合的元素，并真正认识集合中元素的属性．然后依据集合的有关概念，特别是集合中元素的三要素。
苏教版高中数学必修一第二章学生教案第课时函数与方程小结与复习
第三十二课时函数与方程小结与复习【学习导航】 学习要求1．了解函数的零点与方程根的关系； 2．根据具体的函数图象，能够用二分法求相应方程的近似解；3．体会函数与方程的内在联系，初步建立用函数方程思想解决问题的思维方式．自学评价1．一元二次函数与一元二次方程一元二次函数与一元二次方程（以后还将学习一元二次不等式）的关系一直是高中数学函数这部分内容中的重点，也是高考必考的知识点．我们要弄清楚它们之间的对应关系：一元二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标． 2．函数与方程两个函数()y f x =与()y g x =图象交点的横坐标就是方程()()f x g x =的解；反之，要求方程()()f x g x =的解，也只要求函数()y f x =与()y g x =图象交点的横坐标．3．二分法求方程的近似解二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的区间(,)m n ，则必有()()0f m f n ⋅<，再取区间的中点2m np +=，再判断()()f p f m ⋅的正负号，若()()0f p f m ⋅<，则根在区间(,)m p 中；若()()0f p f m ⋅>，则根在(,)p n 中；若()0f p =，则p 即为方程的根．按照以上方法重复进行下去，直到区间的两个端点的近似值相同（且都符合精确度要求），即可得一个近似值．【精典范例】例1：已知二次函数()y f x =的图象经过点(0,8),(1,5),(3,7)--三点，（1）求()f x 的解析式； （2）求()f x 的零点；（3）比较(2)(4)f f ，(1)(3)f f ，(5)(1)f f -，(3)(6)f f -与0的大小关系．分析：可设函数解析式为2y ax bx c =++，将已知点的坐标代入方程解方程组求a 、b 、c ．点评：当二次函数()y f x =的两个零点12,x x 12()x x ≠都在（或都不在）区间(,)m n 中时，()()0f m f n >；有且只有一个零点在区间(,)m n 中时，()()0f m f n <．听课随笔例2：利用计算器，求方程2670x x -+=的近似解（精确到0.1）．分析一：可先找出方程的根所在的一个区间，再用二分法求解．解法一：设2()67f x x x =-+，通过观察函数的草图得：(1)20f =>，(2)10f =-<，∴方程2670x x -+=有一根在(1,2)内，设为1x ，∵(1.5)0.250f =>，∴11.52x <<， 又∵ 1.52()(1.75)0.437502f f +==-<，∴11.5 1.75x <<，如此继续下去，得1(1)0,(2)0(1,2)f f x ><⇒∈， 1(1.5)0,(2)0(1.5,2)f f x ><⇒∈， 1(1.5)0,(1.75)0(1.5,1.75)f f x ><⇒∈ 1(1.5)0,(1.625)0(1.5,1.625)f f x ><⇒∈(1.5625)0,(1.625)0f f <> 1(1.5625,1.625)x ⇒∈∵1.5625,1.625精确到0.1的近似值都为1.6，所以方程2670x x -+=的一个近似值都为1.6，用同样的方法，可求得方程的另一个近似值为4.4．点评：解题过程中要始终抓住重点：区间两端点的函数值必须异号．分析二：还可以用方程近似解的另一种方法——“迭代法”来求解．解法二：将原方程写成276x x +=①取12x =代入等式右边得2111.8333336x =≈，再将2x 代入方程①右边，得3 1.72685x ≈，……如此循环计算数十次后，可得计算结果稳定在1.58583，∴该方程的近似解为1.58583，精确到0.1后为1.6．用同样的方法可以求出方程的另一个近似解为4.4． 点评：“迭代法”也是一种常用的求近似解的方法． 例3：已知函数2()(3)1f x kx k x =+-+的图象与x 轴在原点的右侧有交点，试确定实数k 的取值范围． 分析：听课随笔追踪训练一1．函数22()log (45)f x x x =-+的图象与x 轴交点横坐标为 （ ））A .1B .0C .2或0D . 22．已知01a <<则方程0log =+x a a x的解的个数是（ ）A .1B . 2C .3D . 不确定 3．直线23+=kx y 与曲线223y y x --+ 0=只有一个公共点，则k 的值为（ ）A . 0，41,21-B . 0，41-C . 41,21-D . 0，41,21-4．函数265y x x =-+与x 轴交点坐标是 ，方程2650x x -+=的根为 ．5．已知方程220x kx -+=在区间(0,3)中有且只有一解，则实数k 的取值范围为 .6．已知函数()2xf x a =-过点(1,0)，则方程()f x x =的解为 ． 7．求方程22850x x -+=的近似解（精确到0.1）．8．判断方程2(22)250x a x a -+++=（其中2a >）在区间(1,3)内是否有解． ．听课随笔。
苏教版数学高一苏教版必修一教案 第3章 复习与小结(1)
第3章 复习与小结（1）复习重点：分数指数幂与根式，对数的运算及其运算法则；指数函数、对数函数和幂函数的概念、图象及简单性质．复习过程：一、分数指数幂与根式已知x ＋x -1＝3，求下列各式的值：（1；（2）32x ＋32x -；（3）x －x -1；（4）(a 3－a -3)(a 2＋a -2－3)a 4－a -4． 二、对数的概念与运算法则1．若2lg b －a 2＝lg a ＋lg b ，求ab 的值．2．设a ，b ，c 都是不等于1的正数，求证：log c b a ＝log c a b ． 三、指数函数的概念、图象与性质1．若函数f (x )＝(2a 2－3a ＋2)a x 是指数函数，则实数a ＝ ． 2．求下列函数的定义域与值域．（1）y ＝1218x -（2）y 3．已知函数f (x )的图象过定点(0，2)，则函数f (2x －1)＋1的图象过定点 ．四、对数函数的概念、图象与性质1．下列关系：(1)0＜a ＜b ＜1；(2)1＜a ＜b ；(3)0＜b ＜a ＜1； (4)1＜b ＜a ．能满足log a 3＞log b 3的有 （写出所有正确结论的序号）．2．已知y ＝log a (2－x )是x 的增函数，则实数a 的取值范围是 ． 变式 如果函数f (x )＝log a (2－ax )在区间(－∞，4)上是增函数，则实数a 的取值范围是 ．3．设f (x )＝lg(ax 2－2x ＋a )（1）若f (x )的定义域是R ，求实数a 的取值范围； （2）若f (x )的值域是R ，求实数a 的取值范围． 注：注意二者的区别．五、指数函数与对数函数的互为反函数关系已知f (x )＝log a x 是单调增函数，g (x )是f (x )的反函数，则g (x )的单调性是____，单调区间为 ．六、幂函数的概念、图象与性质已知函数f (x )满足：对任意的实数a ，b ，都有f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，试写出一个满足上述条件的f (x )＝ ．练习：（1）已知函数f (x )＝|2x －1|，当a ＜b ＜c 时，有f (a )＞f (c )＞f (b )，下列结论：①2a ＞2c ；②2a ＞2b ； ③2-a ＜2c ；④2a ＋2c ＜2．其中一定不正确的结论序号有 (写出所有不正确结论的序号) ．（2）已知0＜a ＜b ＜1， 则a a ，a b ，b a 三个数的大小关系为_____________． （3）已知函数y ＝a x ，y ＝b x ， y ＝c x ， y ＝d x 的图象在同一坐标系内如图1所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系为 ．（4）已知函数y ＝log a x ，y ＝log b x ， y ＝log c x ， y ＝log d x 的图象在同一坐标系内如图2所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系为_____________．（5）已知函数y ＝x a ，y ＝x b ， y ＝x c 与 y ＝x 与 y ＝x -1位于第一象限内的图象在同一坐标系内如图3所示，则a ，b ，c 与0，1和－1的大小关系为 ． （6）已知定义在实数集上的函数y ＝f (x )满足对于任意的x 、y ∈R ，f (x ＋y )＝f (x ) f (y )．求证：①f (0)＝1；②对任意的实数x ，f (x )＞0；③若当x ＞0时，有f (x )yx -1＞1，求证f(x)是增函数．七、作业课本P110习题3，5，6，7，9，P111第15题．。
(新课程)高中数学 第十二课时 小结与复习教案(2) 苏教版必修4
小结与复习（二）●教学目标（一）知识目标1.构造向量法；2.平面几何性质应用.（二）能力目标1.熟悉向量的性质及运算律；2.能根据向量性质特点构造向量；3.熟练平面几何性质在解题中应用；4.熟练向量求解的坐标化思路.（三）德育目标1.认识事物之间的内在联系；2.认识向量的工具性作用，加强数学在实际生活中的应用意识.●教学重点1.向量的坐标表示的应用；2.构造向量法的应用.●教学难点构造向量法的适用题型特点的把握.●教学方法启发引导式针对向量坐标表示的应用，通过非坐标形式解法与坐标化解法的比较来加深学生对于向量坐标表示的认识，同时要加强学生选择建立坐标系的意识.对于“构造向量法”的应用，本节例题选择了本章的重点内容数量积的坐标表示，目的要使学生把握坐标表示的数量积性质的形式特点，同时增强学生的解题技巧，提高解题能力.●教具准备投影仪、幻灯片第一张：数量积的性质（记作§5.13.2 A）第二张：本节例题（记作§5.13.2 B）●教学过程Ⅰ.复习回顾［师］上一节，我们一起复习了本章的基本概念、性质、运算律及重要定理、公式，这一节我们将通过例题分析重点学习平面几何性质及构造向量法在解题时的应用.Ⅱ.例题分析［师］首先，我们一起回顾一下向量的数量积的有关性质（给出幻灯片§5.13.2 A）.［例2］利用向量知识证明（a 1b 1＋a 2b 2）2≤（a 12＋a 22）·（b 12＋b 22）分析：此题形式对学生较为熟悉，在不等式证明部分常用比较法证明，若利用向量知识求证，则关键在于根据其形式与数量积的坐标表示产生联系，故需要构造向量.证明：设a ＝（a 1，a 2），b ＝（b 1，b 2）则a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2，|a |2＝a 12＋a 22，|b |2＝b 12＋b 22∵a ·b ＝|a ||b |cos θ≤|a ||b |.（其中θ为a ，b 夹角）∴（a ·b ）2≤|a 2|b |2∴（a 1b 1＋a 2b 2）2≤（a 12＋a 22）·（b 12＋b 22）评述：此题证法难点在于向量的构造，若能恰当构造向量，则利用数量积的性质容易证明结论.这一技巧应要求学生注意体会.［例3］已知f （x ）＝21x +求证：|f （a ）－f （b ）|＜|a －b |（a ≠b ）分析：此题若用分析法证明，则需采用平方的手段以去掉绝对值，但由于f （a ）、f （b ）是含有根式的式子，故需再次平方才能达到去根号的目的.也可考虑构造向量法，利用向量的性质求证.下面给出两种证法.证法一：∵f （a ）＝21a +， f （b ）＝21b +，∴要证明|f （a ）－f （b ）|＜|a －b |只需证明|21a +－21b +|2＜|a －b |2即1＋a 2＋1＋b 2－2)1)(1(22b a ++＜a 2＋b 2－2ab即)1)(1(22b a ++＞1＋ab只需证明［)1)(1(22b a ++］2＞（1＋ab ）2即1＋a 2＋b 2＋a 2b 2＞1＋2ab ＋a 2b 2即a 2＋b 2＞2ab∵a 2＋b 2≥2ab ，又a ≠b∴a 2＋b 2＞2ab∴|f （a ）－f （b ）|＜|a －b |证法二：设a ＝（1，a ），b ＝（1，b ）则|a |＝21a +，|b |＝21b + a －b ＝（0，a －b ）|a －b |＝|a －b |由||a |－|b ||≤|a －b |，其中当|a |＝|b |即a ＝b 时，取“＝”，而a ≠b∴||a |－|b ||＜|a －b |即|2211b a +-+|＜|a －b |∴|f （a ）－f （b ）|＜|a －b |.评述：通过两种证法的比较，体会“构造向量法”的特点，加深对向量工具性作用的 认识.［师］上述三个例题，主要通过“构造向量”解决问题，要求学生在体验向量工具性作用的同时，注意解题方法的灵活性.下面，我们通过下面的例题分析，让大家体会向量坐标运算的特点，以及“向量坐标化”思路在解题中的具体应用.［例4］已知：如图所示，ABCD 是菱形，AC 和BD 是它的两条对角线.求证AC ⊥BD .分析：对于线段的垂直，可以联想到两个向量垂直的充要条件，而对于这一条件的应用，可以考虑向量式的形式，也可以考虑坐标形式的充要条件. 证法一：∵-=+=, ∴0||||)()(22=-=-⋅+=⋅ ∴⊥证法二：以OC 所在直线为x 轴，以B 为原点建立直角坐标系，设B （0，0），A （a ，b ），C （c ，0）则由|AB |＝|BC |得a 2＋b 2＝c 2∵-=＝（c ，0）－（a ，b ）＝（c －a ，－b ），+=＝（a ，b ）＋（c ，0）＝（c ＋a ，b ）∴·＝c 2－a 2－b 2＝0 ∴AC ⊥BD即：AC ⊥BD评述：如能熟练应用向量的坐标表示及运算，则将给解题带来一定的方便.通过向量的坐标表示，可以把几何问题的证明转化成代数式的运算，体现了向量的数与形的桥梁作用，有助于提高学生对于“数形结合”解题思想的认识和掌握.［例5］若非零向量a 和b 满足|a ＋b |＝|a －b |.证明：a ⊥b .分析：此题在综合学习向量知识之后，解决途径较多，可以考虑两向量垂直的充要条件的应用，也可考虑平面图形的几何性质，下面给出此题的三种证法.证法一：（根据平面图形的几何性质） 设＝a ，＝b ，由已知可得a 与b 不平行，由|a ＋b |＝|a －b |得以、为邻边的平行四边形OACB 的对角线和相等. 所以OACB 是矩形， ∴⊥∴a ⊥b证法二：∵|a ＋b |＝| a －b |∴（a ＋b ）2＝（a －b ）2∴a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2∴a ·b ＝0∴a ⊥b证法三：设a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），|a ＋b |＝221221)()(y y x x +++，|a －b |＝221221)()(y y x x -+-， ∴221221221221)()()()(y y x x y y x x -+-=+++，化简得：x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴a ·b ＝0，∴a ⊥b .［例6］已知向量a 是以点A （3，－1）为起点，且与向量b ＝（－3，4）垂直的单位向量，求a 的终点坐标.分析：此题若要利用两向量垂直的充要条件，则需假设a 的终点坐标，然后表示a 的坐标，再根据两向量垂直的充要条件建立方程.解：设a 的终点坐标为（m ，n ）则a ＝（m －3，n ＋1）由①得n ＝41（3m －13），代入②得 25m 2－150m ＋209＝0 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.52,51911n m 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.58,51122n m∴a 的终点坐标是（52,519-）或（58,511-） 评述：向量的坐标表示是终点坐标减去起始点的坐标，所以向量的坐标与点的坐标既有联系又有区别，二者不能混淆.［师］上述例题，主要体现了两向量垂直的充要条件的应用，在突出本章这一重点知识的同时，应引导学生注意解题方法的灵活性，尤其是向量的坐标化思路在解题时的应用，将几何与代数知识沟通起来.Ⅲ.课堂练习1.已知a ＝（1，0），b ＝（1，1），当λ为何值时，a ＋λb 与a 垂直.解：a ＋λb ＝（1，0）＋λ（1，1）＝（1＋λ，λ）∵（a ＋λb ）⊥a ，∴（a ＋λb ）·a ＝0∴（1＋λ）＋0·λ＝0，∴λ＝－1即当λ＝－1时，a ＋λb 与a 垂直.2.已知|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为30°，求|a ＋b |，|a －b |.解：|a ＋b |2＝（a ＋b ）2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a |2＋2|a ||b |cos30°＋|b |2＝（3）2＋2×3×2×23＋22＝13 ∴|a ＋b |＝13，∵|a －b |2＝（a －b ）2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝|a |2－2|a ||b |cos30°＋b 2＝（3）2－2×3×2×23＋22＝1 ∴|a －b |＝13.已知|a |＝3，|b |＝2，a |与b 的夹角为60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝m a －3b .当m 为何值时，c 与d 垂直?解：若c ⊥d ，则c ·d ＝0∴（3a ＋5b ）·（m a －3 b ）＝0∴3m |a |2＋（5m －9）a ·b －15|b |2＝0∴3m |a |2＋（5m －9）|a || b |cos60°－15|b |2＝0即27m ＋3（5m －9）－60＝0解得m ＝1429. 4.已知a ＋b ＝c ，a －b ＝d求证：|a |＝|b |⇔c ⊥d证明：（1）c ⊥d ⇒（a ＋b ）（a －b ）＝0⇒a 2－b 2＝0⇒a 2＝b 2⇒|a |＝|b |，（2）|a |＝|b |⇒a 2＝b 2⇒a 2－b 2＝0⇒（a ＋b ）（a －b ）＝0⇒c ⊥d .Ⅳ.课时小结［师］通过本节学习，要求大家进一步熟悉向量的性质及运算律，熟悉平面几何性质在解题中的应用，能够掌握向量坐标化的思路求解问题，掌握构造向量并利用向量性质解题、证题的方法.Ⅴ.课后作业课本P 150 A 组 27，28.B 组 5，6，7，8.●备课资料1.三角形内角和性质定理：在△ABC 中，A 、B 、C 分别为三个内角，则A ＋B ＋C ＝180°推论（1）：B ＝60°⇔2B ＝A ＋C推论（2）：若A ＜90°，则有sin B ＞cos C ，cos B ＜sin C ，tan B ＞cot C ，cot B ＜tan C .推论（3）：sin （A ＋B ）＝sin C ，cos （A ＋B ）＝－cos C ，tan （A ＋B ）＝－tan C ，cot （A ＋B ）＝－cot C .推论（4）：sin 2B A +＝cos 2C ，cos 2B A +＝sin 2C ， tan 2B A +＝cot 2C ，cot 2B A +＝tan 2C . 2.三角形内角和性质应用举例［例1］△ABC 中，若ac a C B C B -=+-tan tan tan tan ，求证：A 、B 、C 成等差数列. 证明：由条件得AC A C B C B sin sin sin )sin()sin(-=+-， 由推论（3）得sin （B ＋C ）＝sin A .∴sin （B －C ）＝sin A －sin C∴sin （B －C ）－sin （B ＋C ）＝－sin C即2cos B sin C ＝sin C∵sin C ≠0，∴cos B ＝21，∴B ＝3π. 故由推论（1）得2B ＝A ＋C .所以A 、B 、C 成等差数列.［例2］在锐角△ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C 证明：∵△ABC 是锐角三角形，∴A ＜90°，根据推论（2）有：sin B ＞cos C ①B ＜90°，根据推论（2）有：sinC ＞cos A ②C ＜90°，根据推论（2）有：sin A ＞cos B ③∴①＋②＋③得：sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C .［例3］已知△ABC ，求证（a －b ）cot2C ＋（b －c ）cot 2A ＋（c －a ）cot 2B ＝0. 证明：根据正弦定理和推论（4）， 有（a －b ）cot2C ＝2R （sin A －sin B ）·tan 2B A + ＝4R sin 2B A -sin 2B A +， ∴（a －b ）cot 2C ＝2R （cos B －cos A ） 同理，（b －c ）cot 2A ＝2R （cos C －cosB ）； （c －a ）cot 2B ＝2R （cos A －cosC ）. 三式相加可得（a －b ）cot2C ＋（b －c ）cot 2A ＋（c －a ）·cot 2B ＝0.。
高中数学 平面向量复习与小结教案 苏教版必修4
平面向量复习与小结教学目标：1．进一步了解平面向量的基本定理及其几何意义，掌握平面向量的分解及其坐标表示，掌握平面向量的坐标运算，理解向量共线的坐标表示；2．进一步理解平面向量数量积的概念及其几何意义，掌握平面向量数量积的坐标表示，并会简单应用；3．进一步掌握将物理问题、实际问题转化为数学问题．教学重点：1．向量共线定理的应用；2．向量基本定理的应用；3．向量的数量积及其坐标表示的应用．教学难点：1．如何将结论和条件建立联系，如何利用图形将未知向量关系转化为已知向量关系；2．如何利用向量知识解决物理问题及平面几何问题．教学方法：启发教学，谈话式教学相结合．教学过程：（1）向量是指既有、又有的量，向量的模是指向量的 ；零向量是指 的向量，方向 ；单位向量是指 的向量；（2）向量共线定理： ；（3）平面向量的基本定理： ．（4）若A (x 1，y 1 )，B (x 2，y 2)，则＝ ，||＝ ．（5）向量与的夹角为θ，则θcos ＝ ． 二、学生活动1．命题：①若b ≠0，且a ·b ＝c ·b ，则a ＝c ； ②若a ＝b ，则3a ＜4b ；③(a ·b ) ·c ＝a ·(b ·c ), 对任意向量a ，b ，c 都成立； ④a 2·b 2＝(a ·b )2； 其中正确命题的个数为____ ；2．设)2,1(-=a ，)1,1(-=b ，)2,3(-=c ，用a ，b 作基底可将c 表示b q a p c +=，则实数p ＝ ，q ＝ ；3．已知＝（1，1），＝（0，－2）当k ＝ 时, k -与+共线； 4．若2||=，1||=，且1)(=+，则向量与的夹角为 ．三、数学应用例1 已知点O （0，0），A （1，2），B （4，5），AB t OA OP +=，试问： （1）t 为何值时，P 在x 轴上？在y 轴上？在第二象限？（2）四边形OABP 能否为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．例2 （1）在ΔABC 中，设=，=，若41=，BM 43=，试以向量a 、b 为基底表示向量MN ．（2）已知O 为△ABC 所在平面内的一点，且满足0)2()(=-+⋅-，试判断△ABC 的形状．例3 （1）已知非零向量a 、b 满足：(a –b )⊥b ，且(a ＋2b )⊥(a –2b )，求向量与的夹角．（2）已知向量＝(1，2)，＝(–2，–4)，||＝5，若(＋)· ＝25，求向量与的夹角．例4 （1）设向量a 、b 不共线，已知 AB ＝ 2a ＋k b ，BC ＝a ＋b ，CD ＝a –2b ，且A ，B ，D 三点共线，求实数k 的值．（2）已知＝21e – 32e ，＝ 21e +32e ，其中1e ，2e 不共线，向量＝21e – 92e ，问是否存在这样的实数λ，μ，使b a d μλ+=与c 共线． 四、小结1．向量共线的两种处理方法：共线定理和坐标关系；2. 向量的两种表现形态：几何表示与坐标表示．要善于转化，向量是处理角的问题重要工具．。
苏教版高中数学必修一第2章 复习与小结(1).docx
课题： 第2章 复习与小结（1）主备课人：戴勇光 备课日期 月 日 授课日期 月 日教学目标：1．梳理本章知识结构，找出重点；2．函数的概念、图象及其性质、映射的概念．复习重点： 函数的概念与图象及函数的简单性质． 复习过程： 知识梳理本章需要掌握的知识要点：1、函数的概念；2、定义域、简单函数值域的求法； 3、复合函数定义域的求法；4、几种求函数解析式的方法；5、带绝对值的函数和分段函数图像；6、函数单调性、单调区间的判断及证明；7、最值的概念及求法；8、函数奇偶性的判断及证明；9、函数单调性和奇偶性的综合应用；10、函数性质的综合运用。
（函数的定义域）1.求下列函数定义域： （1）f （x ）=（2） f （x ）=1x+4(3)2.（1）已知()f x 的定义域是（-1,1），求(2)(1)y f x f x =--的定义域。
（2）已知函数)(x f y -=的定义域为[－1，2]，求)1()(x f x f -+的定义域．（函数的解析式）3. ①求函数[]()2x+1x 1,5f x =∈，试求函数(23)f x -的表达式。
②已知函数(1)34f x x -=-，求()f x 的表达式 4、设)(x f 是一次函数，且34)(+=x x f f ）（，求)(x f 。
5.已知2211()f x x x x+=+, 求()f x 的表达式6.已知1()2()5,f x f x x+=求()f x 的表达式。
（函数的图像）7.画出函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>-=0,10,20,43)(2x x x x x f 的图像，并求))2((),1(),2(f f f f -的值。
8.根据函数()221f x x x =--的图像作出下列函数的图像： ①()y=f x -； ②()y=-f x ③()1y f x =+ ④()2y f x =- ⑤()y f x =导学案编号 20 班级：高一（ ）班 姓名：____________ 课题： 第2章 复习与小结（2）主备课人：戴勇光 备课日期 月 日 授课日期 月 日教学目标：1．梳理本章知识结构，找出重点；2．函数的概念、图象及其性质、映射的概念．复习重点： 函数的概念与图象及函数的简单性质．（函数的值域）1.求下列函数的值域①[)2,1,2y x x =∈- ② 2()21x f x x +=+， [)1,0x ∈- 2.求函数1-+=x x y 的定义域与值域．若函数是1--=x x y 呢？3.利用函数图像求值域，①()|3||21|f x x x =+-+ ②2()2||1f x x x =--，(2,4]x ∈-.（函数的奇偶性） 4.判断函数的奇偶性： （1）()f x =1x x+(2) ()f x =2x +2x -3 （3）()f x = （4）()(f x x =-（5）⎪⎩⎪⎨⎧>-+-=<++=0,320,20,32)(22x x x x x x x x f2.已知()f x 是奇函数，g()x 是偶函数，()+()21f x g x x =+，求(2)f 的值。
高中数学 第二章 统计复习与小结教案 苏教版必修3
第2章统计教学目标：1．结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性．2．学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；3．通过对实际问题的分析，了解分层抽样和系统抽样方法．教学重点、难点：1．简单随机抽样，分层抽样和系统抽样的准确应用；2．会列频率分布表，画频率分布直方图，频率折线图，茎叶图；3．计算数据的标准差和方差；4．利用散点图直观认识变量间的相关关系．能根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程．教学方法：讲练结合．教学过程：一、复习统计相关知识点1．抽样方法．（1）简单随机抽样（2）系统抽样（3）分层抽样2．样本分布估计总体分布．（1）频率分布表（2）直方图（3）折线图（4）散点图（5）茎叶图3．样本特征数估计总体特征数．（1）平均数（2）方差（标准差）（3）众数（4）中位数二、数学运用例1 在一次有奖明信片的100000个有机会中奖的号码(编号00000—99999)中，邮政部门按照随机抽取的方式确定后两位是23的作为中奖号码，这是运用了________抽样方法.例2 某单位有500名职工，其中不到35岁的有125人，35岁～49岁的有280人，50岁以上的有95人.为了了解该单位职工与身体状况有关的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本，应该用___________抽样法.例3 某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取1个容量为100户的样本，记做①；某学校高一年级有12名女排运动员，要从中选出3个调查学习负担情况，记做②.那么完成上述2项调查应采用的抽样方法是①__________②______________．例4 某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆．为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取______________辆．例5 两名跳远运动员在10次测试中的成绩分别如下（单位：m）：甲：5.58 5.93 6.07 5.91 5.99 6.13 5.89 6.05 6.00 6.19乙：6.11 6.08 5.83 5.92 5.84 5.81 6.18 6.17 5.85 6.21试估计哪位运动员的成绩比较稳定．例6 如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：（1）79.5～89.5这一组的频数、频率分别是多少？（2）估计这次环保知识竞赛的及格率（60分及以上为及格）练习：1．如图，是某单位职工年龄（取正整数）的频数分布图，根据图形提供的信息，回答下列问题（直接写出答案）注：每组可含最低值，不含最高值．（1）该单位职工共有多少人？（2）不小于38岁但小于44岁的职工人数占职工总人数的百分比是多少？（3）如果42岁的职工有4人，那么年龄在42岁以上的职工有几人？2.为了解某地初三年级男生的身高情况，从其中的一个学校选取容量为60的样本(60名男生的身高)，分组情况如下：（1）求出表中a，m的值．（2）画出频率分布直方图和频率折线图．三、归纳小结根据简单随机抽样，分层抽样和系统抽样的特点准确应用；会列频率分布表，画频率分布直方图，能够根据数据的平均数及方差对总体估计．。
高中数学平面向量复习与小结教案苏教版必修4
平面向量复习与小结教学目标：1．进一步了解平面向量的基本定理及其几何意义，掌握平面向量的分解及其坐标表示，掌握平面向量的坐标运算，理解向量共线的坐标表示；2．进一步理解平面向量数量积的概念及其几何意义，掌握平面向量数量积的坐标表示，并会简单应用；3．进一步掌握将物理问题、实际问题转化为数学问题．教学重点：1．向量共线定理的应用；2．向量基本定理的应用；3．向量的数量积及其坐标表示的应用．教学难点：1．如何将结论和条件建立联系，如何利用图形将未知向量关系转化为已知向量关系；2．如何利用向量知识解决物理问题及平面几何问题．教学方法：启发教学，谈话式教学相结合．教学过程：（1）向量是指既有、又有的量，向量的模是指向量12的 ；零向量是指 的向量，方向 ；单位向量是指 的向量；（2）向量共线定理： ；（3）平面向量的基本定理： ．（4）若A (x 1，y 1 )，B (x 2，y 2)，则＝ ，||＝ ．（5）向量与的夹角为θ，则θcos ＝ ． 二、学生活动1．命题：①若b ≠0，且a ·b ＝c ·b ，则a ＝c ； ②若a ＝b ，则3a ＜4b ；③(a ·b ) ·c ＝a ·(b ·c ), 对任意向量a ，b ，c 都成立； ④a 2·b 2＝(a ·b )2； 其中正确命题的个数为____ ；2．设)2,1(-=a ，)1,1(-=b ，)2,3(-=c ，用a ，b 作基底可将c 表示b q a p c +=，则实数p ＝ ，q ＝ ；3．已知＝（1，1），＝（0，－2）当k ＝ 时, k -与+共线； 4．若2||=，1||=，且1)(=+，则向量与的夹角为 ．三、数学应用例1 已知点O （0，0），A （1，2），B （4，5），AB t OA OP +=，试问： （1）t 为何值时，P 在x 轴上？在y 轴上？在第二象限？（2）四边形OABP 能否为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．例2 （1）在ΔABC 中，设=，=，若41=，BM 43=，试以向量a 、b 为基底表示向量MN ．（2）已知O 为△ABC 所在平面内的一点，且满足30)2()(=-+⋅-，试判断△ABC 的形状．例3 （1）已知非零向量a 、b 满足：(a –b )⊥b ，且(a ＋2b )⊥(a –2b )，求向量与的夹角．（2）已知向量＝(1，2)，＝(–2，–4)，||＝5，若(＋)· ＝25，求向量与的夹角．例4 （1）设向量a 、b 不共线，已知 AB ＝ 2a ＋k b ，BC ＝a ＋b ，CD ＝a –2b ，且A ，B ，D 三点共线，求实数k 的值．（2）已知＝21e – 32e ，＝ 21e +32e ，其中1e ，2e 不共线，向量＝21e – 92e ，问是否存在这样的实数λ，μ，使b a d μλ+=与c 共线． 四、小结1．向量共线的两种处理方法：共线定理和坐标关系；2. 向量的两种表现形态：几何表示与坐标表示．要善于转化，向量是处理角的问题重要工具．。
第7课时《小结与复习课》教师版(苏教版必修1).doc
【学习导航】集合的概念解决问题；2.掌握集合的包含关系（了集、真了集）；3.掌握集合的运算（交、并、补）；4.再解决有关集合问题时，要注意各各类知识的融会贯通.【精典范例】例L 设 U={1, 2, 3, 4, 5},且 AI"IB={2}, （睥）*={4},（睥）口（睥）种思想方法（数形集结合、补集思想、分类讨论）的运用.={1, 5},则下列结论正确的是（）【课堂互动】自学评价1.对于集合的问题：要确定属于哪一类集A.3£A, 3EBB.2e C U A,3£B合（数集，点集，或某类图形集），然后再确定处理此类问题的方法.2.关于集合中的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简形式，然后再进行运算.3.含参数的集合问题，多根据集合的的互异性处理，有时需要用到分类讨论、数形集结合的思想.C.3e C U B ,3£AD.3e C U A , 3^C U B分析：按题意画出Venn图即可找出选择的分支.第七谍时水结与复习谍听课随笔知识网络1.掌握集合的有关基本义概念，运用【解】画出满题意足Venn图:听课随山图可知：36A 且3£B,即3£A 且 3(C U B ,:.选 C.点评：本题可用排除法来解，若选A,则36 AAB,与已知AAB={2}矛盾， ......... 显然这种方法没有Venn 图形象直观， 这也突出数形集结合的思想在集合中 的运用.追踪训练~'1. 设 U ={xl0<x<10,xGN +},若 AI~IB={3},(0,3)口4={1,5,7},(qA)n(Cu3) ={9},求集合A, B. 【解】A=(1, 3, 5, 7}, B={2, 3, 4, 6, 8}.2. 某校有A 、B 两项课外科技制作小组，50名学生中报名参加A 组的人数是全体 学生人数的3/5,报名参加B 组的人数 比报名参加A 组的人数多3人，两组都 没有报名的人数是同时报名的人数的 1/3还多1人，求同时报名参加A 、B 两 组人数及两组都没有报名的人数. 【解】同时报名参加A 、B 组的人数为21人， 两组都没有报名的人数为8人.。
高中数学 第一章 算法初步复习与小结教案 苏教版必修3(2021年最新整理)
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第1章算法初步教学目标：1．进一步体会算法的思想，能设计解决简单问题的算法；2．进一步学习有条理地、清晰地表达问题，提高逻辑思维能力;3．在理解的基础上进一步熟练几种算法的使用,并能根据程序框图来编写循环结构及伪代码．教学重点：1．系统化本章的知识结构;2．提高对几种常见算法思想的认识；3．提升算法设计、优化和表达的能力．教学难点：1．算法的设计和优化；2．对算法思想的认识．教学方法：1．通过实例，发展对解决具体问题的过程与步骤进行分析的能力；2．通过模仿、操作、探索、经历设计算法、设计框图、编写程序以解决具体问题的过程发展应用算法的能力;3．在解决具体问题的过程中学习一些程序框图及循环结构，感受算法的重要意义．教学过程：一、问题情境在算法初步这一章里，我们都学习了哪些主要内容？二、学生活动能不能把这些内容画到一个结构图中？三、建构数学2．三种基本逻辑结构；3．五种基本算法语句；4．三个算法案例．四、数学运用例1 1．下面对流程图中的图形符号的说法错误的是 ( ）A．起、止框是任何流程不可少的，表明程序开始和结束;B．输入、输出可用在算法中任何需要输入、输出的位置；C．算法中间要处理数据或计算，可分别写在不同的注释框内;D．当算法要求对两个不同的结果进行判断时，要写在判断框内．2．算法共有三种逻辑结构，即顺序结构、条件结构、循环结构，下列说法正确的是（ )A．一个算法只能含有一种逻辑结构；B．一个算法最多可以包含两种逻辑结构;C．一个算法必须含有上述三种逻辑结构；D．—个算法可以含有上述三种逻辑结构的任意组合．3．下列给出的赋值语句中正确的是（ )A．3←A B．M←-MC．B←A←2 D．x+y←0例2 算法、程序框图和算法语句的设计、编写1．设计一个程序语句,输入任意三个实数,将它们按从小到大的顺序排列后输出．2．某市电信部门规定：拨打市内电话时，如果通话时间不超过3分钟，则收取通话费0．2元，如果通话时间超过3分钟,则不超过部分收取0．2元，超过部分以每分钟0．1元收取通话费（通话时间以分钟计，不足1分钟时按1分钟计),试设计一个计算通话费用的算法．要求写出算法,画出流程图，编制程序．3.适合方程a2＋b2＝c2的一组正整数称为勾股数或商高数，设计一个满足a≤30，b≤40，c≤50的勾股数的算法．五、要点归纳与方法小结1．算法思想作为数学的一种基本思想,就是探求解决问题的一般性方法，并将解决问题的步骤用具体化、程序化的语言加以表述，主要作用是使计算机能代替人完成某些工作,这也是学习算法的重要原因之一．算法思想在解决某些问题时，只要能设计出一系列可操作或可计算的有限而明确的步骤，就可以通过实施这些步骤来解决问题．2．算法设计并不是一次就能成功的．我们应先有一个基本的框架，其中含有最典型最重要或最核心的算法语句或结构．然后再来思考其中的每一步的执行情况,增添一些细节，逐步完善流程图与程序．。
高中数学湘教版必修1第1章小结与复习《复习题一》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲教案
高中数学湘教版必修1第1章小结与复习《复习题一》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲教案
【名师授课教案】
1教学目标
根据教学大纲的要求以及本教材的地位和作用,结合学生的认知特点确定教学目标如下:
知识目标:复习初等函数变换的一般规律,进而分析、判断、归纳结论。
强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。
能力目标:能运用规律解决实际问题,从中体会转化化归和数形结合的思想方法,提高思维品质,发展应用意识。
情感目标:通过经典考题的回顾,激发学生学习热情和求知欲望,通过练习考题的解决,培养学生发现问题,及时解决问题的良好习惯。
通过问题解决,培养合作交流、独立思考等良好的个性品质,以及勇于批判、敢于创新的科学精神。
2学情分析
根据我校重点高中学生的特点,以及学生已有的知识结构,现在进一步复习研究函数图象变换及应用,是由知识上升到能力的过程,对学生有一定的难度。
学生在学习时问题是难于用抽象的规律解决实际问题,体现“数形结合”的数学思想。
3重点难点
教学重点、难点: 函数的图象变换及其应用是这节课的重点。
由于学生已掌握基本初等函数的图象,积累了感性认识的基础,能揭示不同函数图象变换的共性,从而促使学生对规律表述的严密性进行探索,自然地得出结论。
利用基本初等函数的图象,通过步骤分解,进行变换,研究一般函数性质是这节课的难点。
为突破难点,强化其应用,通过示例,步步设问,师生互动,层层深入,通过这些例题让学生深刻体会,体现数形结合的思想。
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】经典回顾、引入课题.。
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第七小结与复习课
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．掌握集合的有关基本义概念，运用集合的概念解决问题； 2．掌握集合的包含关系（子集、真子集）； 3．掌握集合的运算(交、并、补)；
4．再解决有关集合问题时，要注意各种思想方法（数形集结合、补集思想、分类讨论）的运用.
【课堂互动】
自学评价
1．对于集合的问题：要确定属于哪一类集合（数集，点集，或某类图形集然后再确定处理此类问题的方法.
2．关于集合中的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简形式，然后再进行运算. 3．含参数的集合问题，多根据集合的的互异性处理，有时需要用到分类讨论、数形集结合的思想.
4.集合问题多与函数、方程有关，要注意
各类知识的融会贯通.
【精典范例】
例1． 设U={1，2，3，4，5}，且A ∩B={2}，
()U C A B ={4}，()()U U C A C B
={1，5}，则下列结论正确的是 （ ）
A ．3∈A ，3∈B
B ．2∈U
C A ，3∈B C ．3∈U C B ，3∈A
D ．3∈U C A ，3∈U C B
分析：按题意画出Venn 图即可找出选择
的分支.
【解】
画出满题意足Venn 图：
由图可知：3∈A 且3 B ，即3∈A 且 3∈U C B ， ∴ 选C.
点评:
本题可用排除法来解，若选A ，则3∈
A ∩
B ，与已知A ∩B={2}矛盾，……显然这种方法没有Venn 图形象直观，这也突出数形集结合的思想在集合中的运用.
追踪训练一
1． 设U={x|0<x<10，x ∈N +}，若A ∩B={3}，
()U C B A ={1，5，7}，()()U U C A C B
={9}，求集合A ，B . 【解】
A={1，3，5，7}，
B={2，3，4，6，8}.
2．某校有A 、B 两项课外科技制作小组，50名学生中报名参加A 组的人数是全体学生人数的3/5，报名参加B 组的人数比报名参加A 组的人数多3人，两组都没有报名的人数是同时报名的人数的1/3还多1人，求同时报名参加A 、B 两组人数及两组都没有报名的人数. 【解】
同时报名参加A 、B 组的人数为21人， 两组都没有报名的人数为8人.
例2：已知全集U=R ，集合A={x|x 2-x -6<0}， B={x|x 2+2x -8>0}，C={x|x 2-4ax+3a 2<0}， (1)试求a 的取值范围，使A ∩B ⊆C ； (2)试求a 的取值范围，使U U C A C B C ⊆
分析：
U=R ，A=（-2，3B=（-∞，-4）∪（2，+∞故A ∩B=（2，3U C A = （-∞，-2]∪[3，+∞U C B =[-4，2]，
()()U U C A C B =[-4，-2]，
x 2-4ax+3a 2<0即(x -3a)(x -a)<0， ∴当a<0时，C=（3a ，a 当a=0时，C=∅， 当a>0时，C=（a ，3a
(1) 要使A ∩B ⊆C ，集合数轴知，
0233a a a >⎧⎪
≤⎨⎪≥⎩
解得 1≤a ≤2； (2) 类似地，要使U U C A
C B C ⊆必有
342
a a a <⎧⎪
<-⎨⎪>-⎩
解得 423a -<<-
【解】
解答过程只需要将上面的分析整理一下
即可. 点评:
①研究不等式的解集的包含关系或进行集 合的运算时，充分利用数轴的直观性，便 于分析与转化.
②注意分类讨论的思想在解题中的运用，在 分类时要满足不重复、不遗漏的原则.
追踪训练二
1． 设A={x|x 2-x -2<0}，B={x||x|=y+1，y ∈A}，
求：
R C B ，A ∪B ，A ∩R C B ，()R C A B R C B ∩R C A 【解】
R C B =（-∞，-3]∪[3，+∞）∪{0}；
A ∪B=（-3，3）； A ∩R C
B ={0}； ()R
C A
B =（-∞，-3]∪[3，+∞）.
2． 已知A={x|-x 2+3x+10≥0}，
B={x|m ≤x ≤2 m -1}，若B ⊆A, 求实数m 的取值范围. 【解】
实数m 的取值范围：（-∞， 3） . 例3： 已知集合A={x|x 2+4ax -4a+3=0}， B={x|x 2+(a -1)x+a 2=0}，C={x|x 2+2ax -2a=0}， 其中至少有一个集合不是空集，求实数a 的取值范围. 分析：
此题若从正面入手，要对七种可能情况逐 一进行讨论，相当繁琐；若考虑其反面，则 只有一种情况，即三个集合全是空集. 【解】
当三个集合全是空集时，所以对应的三个 方程都没有实数解， 即
2122
223164(43)0(1)40480a a a a a a ⎧∆=--+<⎪∆=--<⎨⎪∆=+<⎩
解此不等式组，得 3
12
a -
<<- ∴所求实数a 的取值范围为： a ≤3
2
-
,或a ≥-1.
点评:
采用“正难则反”的解题策略，具体地说，就是将所研究的对象的全体视为全集，求出使问题反面成立的集合，那么这个集合的补集便为所求.
【师生互动】。