独立增量过程归纳.ppt
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第三章泊松(Poisson)过程.
基础部张守成 2020年2月28日星期五
4. 齐次泊松过程的两个相关随机变量
设{N (t), t 0}是强度为的泊松过程，Wn(n 1)
表示事件第n次出现的等待时间.
W0 0
记 Ti Wi Wi1, i 1,2, 则Ti 表示第n-1次
事件发生到第n次事件发生的时间间隔.
（每小时）的泊松过程 {N(t), t 0}, 若每个人消费 的金额（元）为独立同分布的随机变量 Yn：
f ( y) 0.05e0.05 y ( y 0)
设 X(t) 表示 [0,t) 时间内该超市的总营业额，求3 小时内总营业额的期望和方差.
基础部张守成 2020年2月28日星期五
令 s 0, 根据假设 N (0) 0 可得
均值函数: E[N (t)] t,
方差函数: DN (t) Var[N (t )] t
E[ N (t)].
t
泊松过程的强度等于单位长时间间隔内发生的事件 数目的均值.
基础部张守成 2020年2月28日星期五
(2) 协方差函数:
设{N(t), t0}是强度的泊松过程,{Yk,k=1,2,}是
独立同分布随机变量序列,且与{N(t), t0}独立,令
N (t)
X (t) Yk , t 0 k 1
则称为复合泊松过程. 例 设N(t)是在(0, t]内来到某商店的顾客数,Yk是
N (t)
第k个顾客的花费,则 X (t) 是Yk (0, t]内的营业额. k 1
如果对任意的实数h 和 0 s h t h,
X (t h) X (s h) 和 X (t) X (s) 具有相同的分布, 则称增量具有平稳性.
4. 齐次泊松过程的两个相关随机变量
设{N (t), t 0}是强度为的泊松过程，Wn(n 1)
表示事件第n次出现的等待时间.
W0 0
记 Ti Wi Wi1, i 1,2, 则Ti 表示第n-1次
事件发生到第n次事件发生的时间间隔.
（每小时）的泊松过程 {N(t), t 0}, 若每个人消费 的金额（元）为独立同分布的随机变量 Yn：
f ( y) 0.05e0.05 y ( y 0)
设 X(t) 表示 [0,t) 时间内该超市的总营业额，求3 小时内总营业额的期望和方差.
基础部张守成 2020年2月28日星期五
令 s 0, 根据假设 N (0) 0 可得
均值函数: E[N (t)] t,
方差函数: DN (t) Var[N (t )] t
E[ N (t)].
t
泊松过程的强度等于单位长时间间隔内发生的事件 数目的均值.
基础部张守成 2020年2月28日星期五
(2) 协方差函数:
设{N(t), t0}是强度的泊松过程,{Yk,k=1,2,}是
独立同分布随机变量序列,且与{N(t), t0}独立,令
N (t)
X (t) Yk , t 0 k 1
则称为复合泊松过程. 例 设N(t)是在(0, t]内来到某商店的顾客数,Yk是
N (t)
第k个顾客的花费,则 X (t) 是Yk (0, t]内的营业额. k 1
如果对任意的实数h 和 0 s h t h,
X (t h) X (s h) 和 X (t) X (s) 具有相同的分布, 则称增量具有平稳性.
更新过程ppt课件
则称 {N (t), t 0} 为更新过程
7
定理：
更新过程是一计数过程，并有：
{N (t) n} {Sn t}
{N (t) n} {Sn t S } n1 {Sn t} {Sn1 t}
记： Fn (s) 为 Sn 的分布函数，由
易知：
F1(x) F (x)
n
Sn Xk k 1
Fn
(
x)
Fx 0 n1
(
x
u)d
F
(
x)
(n 2)
8
证明：由全概率公式有
Fn (x) P{Sn x} P{Sn1 X n x}
P{S n 1
x
u
X n u} f Xn (u)d u
0 P{Sn1
x
u}d
F
(x)
x 0
P{S
n1
x
u}d
F
(x)
x
0
Fn1
(
x
u
)d
F
(
x)
即
Fn (x) 是 F (x) 的 n重卷积，记作： Fn Fn1 F
4
实际意义：
1 如 { N (t), t 0} 表示粒子流， N (t) 表示 [0,t] 内到达的粒子数，Yi 表示第 i 个粒子的能量，
则 X (t) 表示 [0,t] 内到达的粒子的总能量。
2 若 { N (t), t 0} 表示顾客流，Yi 表示第 i
个顾客的行李重量，则 X (t) 表示 [0,t] 内到达的 顾客的行李总重量。
P{N (t t) N (t) 1} (t)t (t) P{N (t t) N (t) 2} (t)
其中 (t) 0 （称为强度常数）
7
定理：
更新过程是一计数过程，并有：
{N (t) n} {Sn t}
{N (t) n} {Sn t S } n1 {Sn t} {Sn1 t}
记： Fn (s) 为 Sn 的分布函数，由
易知：
F1(x) F (x)
n
Sn Xk k 1
Fn
(
x)
Fx 0 n1
(
x
u)d
F
(
x)
(n 2)
8
证明：由全概率公式有
Fn (x) P{Sn x} P{Sn1 X n x}
P{S n 1
x
u
X n u} f Xn (u)d u
0 P{Sn1
x
u}d
F
(x)
x 0
P{S
n1
x
u}d
F
(x)
x
0
Fn1
(
x
u
)d
F
(
x)
即
Fn (x) 是 F (x) 的 n重卷积，记作： Fn Fn1 F
4
实际意义：
1 如 { N (t), t 0} 表示粒子流， N (t) 表示 [0,t] 内到达的粒子数，Yi 表示第 i 个粒子的能量，
则 X (t) 表示 [0,t] 内到达的粒子的总能量。
2 若 { N (t), t 0} 表示顾客流，Yi 表示第 i
个顾客的行李重量，则 X (t) 表示 [0,t] 内到达的 顾客的行李总重量。
P{N (t t) N (t) 1} (t)t (t) P{N (t t) N (t) 2} (t)
其中 (t) 0 （称为强度常数）
2.独立增量过程
相关函数
R X ( s , t ) = C X ( s , t ) = σ 2 min( s , t ) .
s, t ≥ 0
四、正态过程 定义：如果随机过程 X (t ) 的任何 有限维分布都是正态分布，则称 X (t ) 为正态过程，或称高斯（Gauss)过程。
注：维纳过程是正态过程.
正态过程的全部统计特性完全由其 均值函数和协方差函数（相关函数）所 确定。
例3: 设 X ( t ) = A cos ω t + B sin ω t , t ∈ T = ( −∞ , ∞ ) 其中 A,B 是相互独立，且都服从正态分布 N ( 0, σ 2 ) 的随机变量，ω 是常数。试证明 X (t ) 是正态过程，并且求它的均值函数和相关 函数. 解： A,B 是相互独立的正态变量， 变量。对 ∀ n ∈ N , t1 , t2 ,L, tn ∈ T ,
S(t2 ) − S(t1 ) ~ π ((λ + μ)(t2 − t1 ))
∴ S(t2 ) − S(t1 ) = Z1 + Z2 ~ π ((λ + μ)(t2 − t1 ))
∴ S ( t ) = X ( t ) + Y ( t ) 是具有强度 λ + μ 的泊松过程 .
例 2：设{ X ( t ), t ≥ 0}是泊松过程，且对任意 的t 2 > t1 > 0 E[ X ( t 2 ) − X ( t1 )] = 2( t 2 − t1 )}
③对充分小的 Δt 有
∑ Pj (t , t + Δt ) = ∑ P{ X (t , t + Δt ) = j} = ο (Δt )
j =2 j =2
ห้องสมุดไป่ตู้
第三章 Poission过程(Poission信号流)1
第三章 Poission 过程（Poission 信号流）一、 基本概念（1） 独立增量过程定义：设}),({T t t X ∈是一随机过程，如果对于任意的N n t t t n ∈∀<<<,21Λ，n i T t i ≤≤∈1,，有随机过程)(t X 的增量：)()(,),()(),()(12312----n n t X t X t X t X t X t X Λ相互独立，则称随机过程}),({T t t X ∈是独立增量过程。
注意：若独立增量过程的参数集-∞>=a b a T ),,[，一般假定0)(=a X ，则独立增量过程是一马氏过程。
特别地，当0)0(=X 时，独立增量过程}0),({≥t t X 是一马氏过程。
形式上我们有：})()(,,)(,)({})()(,,)(,)(,)({})(,,)(,)({})(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤=======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P ΛΛΛΛΛ因此，我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与2,,2,1,)(-=n j t X j Λ相互独立即可。
由独立增量过程的定义可知，当2,,2,1,1-=<<<-n j t t t a n n j Λ时，增量)()(a X t X j -与)()(1--n n t X t X 相互独立，由于在条件11)(--=n n x t X 和0)(=a X 下，即有)(j t X 与1)(--n n x t X 相互独立。
21独立增量过程
f1x 1 ;t1 fn 1x n 1 x n 2 ;tn 1 ,tn 2fnx n x n 1 ;tn ,tn 1 f1x 1 ;t1 fn 1x n 1 x n 2 ;tn 1 ,tn 2
f n x n x n 1 ; t n , t n 1 f X x n ; t n |x n 1 , t n 1 无后效性
数学期望： E X t 1 P X t 1 ( 1 ) P X t 1
e tc h (t) s h (t) e 2 t
自相关函数：R X t1 ,t2 e 2 t1 t2 e 2 R X
功率谱密度：G X e 2 ej d 4 2 4 2
举例〔随机电报信号〕
随 机 变 量 A 与 半 随 机 电 报 信 号 X ( t ) 独 立 ， 其 中 A 的 分 布 律 ： A 1 1 P 0 .5 0 .5
定 义 随 机 电 报 信 号 为 Y (t) A X (t)
数学期望： E Yt E A X (t)0
自相关函数：R Y t 1 ,t2 e 2 t 1 t2 e 2 R Y R X
此外，维纳过程是一个非平稳的高斯过程。
苏格兰植物学家罗伯特•布朗1827年夏天对各种植物的花粉颗粒浸在水中 时的运动做了研究。这种浸泡在水中花粉粒子的奇异的、不规那么的运 动后来被称为“布朗运动〞。
维纳过程
定义1：假设独立增量过程X(t)，其增量的概率分布服从高 斯分布，那么称X (t) 为维纳过程。 定义2：对所有样本函数几乎处处连续的齐次独立增量过程 称为维纳过程。〔两种定义等价，证明见书P266)
增量的概率分布唯一确定。
证 明 ： 令 增 量 X t i X t i 1 Y t i Y t 1 ,Y t2 , ,Y tn 相 互 独 立
f n x n x n 1 ; t n , t n 1 f X x n ; t n |x n 1 , t n 1 无后效性
数学期望： E X t 1 P X t 1 ( 1 ) P X t 1
e tc h (t) s h (t) e 2 t
自相关函数：R X t1 ,t2 e 2 t1 t2 e 2 R X
功率谱密度：G X e 2 ej d 4 2 4 2
举例〔随机电报信号〕
随 机 变 量 A 与 半 随 机 电 报 信 号 X ( t ) 独 立 ， 其 中 A 的 分 布 律 ： A 1 1 P 0 .5 0 .5
定 义 随 机 电 报 信 号 为 Y (t) A X (t)
数学期望： E Yt E A X (t)0
自相关函数：R Y t 1 ,t2 e 2 t 1 t2 e 2 R Y R X
此外，维纳过程是一个非平稳的高斯过程。
苏格兰植物学家罗伯特•布朗1827年夏天对各种植物的花粉颗粒浸在水中 时的运动做了研究。这种浸泡在水中花粉粒子的奇异的、不规那么的运 动后来被称为“布朗运动〞。
维纳过程
定义1：假设独立增量过程X(t)，其增量的概率分布服从高 斯分布，那么称X (t) 为维纳过程。 定义2：对所有样本函数几乎处处连续的齐次独立增量过程 称为维纳过程。〔两种定义等价，证明见书P266)
增量的概率分布唯一确定。
证 明 ： 令 增 量 X t i X t i 1 Y t i Y t 1 ,Y t2 , ,Y tn 相 互 独 立
12.3独立增量过程(易)
L | s t | | L | s t || ( L | s t |) | s t | 2 0
RY(s,t)=CY(s,t)+Y(s)Y(t), Y(t)= L
| s t | L | s t | L
2 L2 L | s t | | s t | L 所 以 R X ( s, t ) 2 2 L | s t | L
s, s t CN (s, t ) DN (min(s, t )) min(s, t ). t , s t RN (s, t ) E[ N (s) N (t )] 2 st min(s, t ), s, t 0.
N (t ) N (s)～π( (t s)), t s 0. N (0) 0 N (t )～π(t ), t 0. s t | s t | E ( N (t )) t , DN (t ) t. min( s, t )
12.3独立增量过程
一、独立增量过程 二、泊松过程的数学模型
三、维纳过程的数学模型
一、独立增量过程 1．定义 设{X(t),t0}为一随机过程,对于0s<t,称随机变量X(t)X(s)为随机过程在区间[s,t]上的增量. 若对于任意的正整数n≥2及任意的0t0<t1<t2<…<tn,n个增量 X(t1)-X(t0)，X(t2)-X(t1)，…，X(tn)-X(tn-1) 相互独立，称{X(t),t0}为独立增量过程。 2．定义:若对于任意的实数s, t 和0s+h＜t+h, X(t+h)－X(s+h) 与X(t)－X(s)具有相同的分布,(即X(t)－X(s)的分布只与t-s
随机过程第二章
B Z (s ,t) E [Z ( s m Z (s)() Z t m Z (t)])
B Z(s,t)R Z(s,t) m Z(s)m Z(t)
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复随机过程的性质
复随机过程{XT,,t∈T}的协方差函数B(s,t)具有性质： （1）对称性（埃米特性）， B(s,t) B(t,s) （2）非负定性，对任意ti ∈T及复数ai，i=1,2, …,n，n≥1，有
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在时间上离散， 状态上连续
连续型随机序列
当前您正浏览第8页，共31页。
在时间上离散， 状态上离散
离散型随机序列
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有限个随机变量 随机过程
联合分布函数 有限维分布函数族
统计规律 统计规律
设XT={X(t),t∈T}是随机过程，对任意n≥1和t1,t2, …,tn ∈T，随机向量 (X(t1),X(t2), …,X(tn))的联合分布函数为
1?i复随机过程的数字特征函数均值函数方差函数相关函数协方差函数tttzieyexzetmtt2????????????z???mtmzemzetdztztztztszzzetsr????????????z??tmsmzetsbztzsz??t????m?smtsrtsbzzzz相互之间的关系16复随机过程的性质复随机过程xttt的协方差函数bst具有性质
例题2.8： 设X(t)为信号过程，Y(t)为噪声过程，令W(t)=X(t)+Y(t)，求W(t)的均值 函数和相关函数。
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复随机过程
定义： 设{Xt, t∈T}，{Yt, t∈பைடு நூலகம்}是取实数值的两个随机过程，若对任意t∈T
B Z(s,t)R Z(s,t) m Z(s)m Z(t)
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复随机过程的性质
复随机过程{XT,,t∈T}的协方差函数B(s,t)具有性质： （1）对称性（埃米特性）， B(s,t) B(t,s) （2）非负定性，对任意ti ∈T及复数ai，i=1,2, …,n，n≥1，有
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在时间上离散， 状态上连续
连续型随机序列
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在时间上离散， 状态上离散
离散型随机序列
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有限个随机变量 随机过程
联合分布函数 有限维分布函数族
统计规律 统计规律
设XT={X(t),t∈T}是随机过程，对任意n≥1和t1,t2, …,tn ∈T，随机向量 (X(t1),X(t2), …,X(tn))的联合分布函数为
1?i复随机过程的数字特征函数均值函数方差函数相关函数协方差函数tttzieyexzetmtt2????????????z???mtmzemzetdztztztztszzzetsr????????????z??tmsmzetsbztzsz??t????m?smtsrtsbzzzz相互之间的关系16复随机过程的性质复随机过程xttt的协方差函数bst具有性质
例题2.8： 设X(t)为信号过程，Y(t)为噪声过程，令W(t)=X(t)+Y(t)，求W(t)的均值 函数和相关函数。
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复随机过程
定义： 设{Xt, t∈T}，{Yt, t∈பைடு நூலகம்}是取实数值的两个随机过程，若对任意t∈T
独立增量过程
对任意0≤s<t,有
CY (s, t) Cov(Y (s),Y (t)) Cov( X (s L) X (s), X (t L) X (t))
Cov( X (s L), X (t L)) Cov( X (s), X (t L)) Cov( X (s L), X (t)) Cov( X (s), X (t))
域内它又就是构造一类重要噪声(散粒噪声)得基础。
例、设{X(t)}就是强度为得泊松过程,定义Y(t)=X(t+L)-
X(t),其中L>0为常数,求Y(t),RY(s,t)、
解: Y(t)=E[Y(t)]=E[X(t+L)-X(t)]=(t+L)-t=L;
RY(s,t)=CY(s,t)+Y(s)Y(t),
所以
RX
(
s,
t
)
2
L2
2
L
L2
|
s
t
|
| s t | L | s t | L
三、维纳过程 又称布朗运动
引言 维纳过程就是布朗运动得数学模型、 英国植
物学家布朗在显微镜下, 观察漂浮在平静得液面 上得微小粒子, 发现它们不断地进行着杂乱无章 得运动, 这种现象后来称为布朗运动、
以W(t)表示运动中一微粒从时刻t=0到时刻t>0
2、泊松过程数字特征
3、泊松过程得一些定理
设{N(t),t≥0}为泊松过程,N(t)表示到t时刻时质点出 现得个数,W1,W2,、、、分别表示第一个,第二个,…质点出 现得时间,Tn(n≥1)表示从第n－1个质点出现到第n个质点 出现得时间间隔、
T1
T2
Tk
0 W1
W2
Wk-1 Wk
CY (s, t) Cov(Y (s),Y (t)) Cov( X (s L) X (s), X (t L) X (t))
Cov( X (s L), X (t L)) Cov( X (s), X (t L)) Cov( X (s L), X (t)) Cov( X (s), X (t))
域内它又就是构造一类重要噪声(散粒噪声)得基础。
例、设{X(t)}就是强度为得泊松过程,定义Y(t)=X(t+L)-
X(t),其中L>0为常数,求Y(t),RY(s,t)、
解: Y(t)=E[Y(t)]=E[X(t+L)-X(t)]=(t+L)-t=L;
RY(s,t)=CY(s,t)+Y(s)Y(t),
所以
RX
(
s,
t
)
2
L2
2
L
L2
|
s
t
|
| s t | L | s t | L
三、维纳过程 又称布朗运动
引言 维纳过程就是布朗运动得数学模型、 英国植
物学家布朗在显微镜下, 观察漂浮在平静得液面 上得微小粒子, 发现它们不断地进行着杂乱无章 得运动, 这种现象后来称为布朗运动、
以W(t)表示运动中一微粒从时刻t=0到时刻t>0
2、泊松过程数字特征
3、泊松过程得一些定理
设{N(t),t≥0}为泊松过程,N(t)表示到t时刻时质点出 现得个数,W1,W2,、、、分别表示第一个,第二个,…质点出 现得时间,Tn(n≥1)表示从第n－1个质点出现到第n个质点 出现得时间间隔、
T1
T2
Tk
0 W1
W2
Wk-1 Wk
概率论与数理统计经典课件随机过程
3
一维、二维或一般的多维随机变量的研究是概率论的研究内容，而 随机序列、随机过程则是随机过程学科的研究内容。从前面的描述中看 到，它的每一样本点所对应的，是一个数列或是一个关于t的函数。
定义：设T是一无限实数集，X (e,t), e S,t T是对应于e和t的实数，
即为定义在S 和T 上的二元函数。
DX
(t)
E
[ X (t) X (t)]2
---方差函数
X (t)
2 X
(t
)
---标准差函数
又设任意t1,t2 T RXX (t1,t2 ) E[ X (t1) X (t2 )] (自)相关函数
CXX (t1,t2 ) Cov[ X (t1), X (t2 )]
E [ X (t1) X (t1)][ X (t2 ) X (t2 )] (自)协方差函数
定义： X (t),t T是一随机过程，若它的每一个有限维分布
都是正态分布，即对任意整数n 1及任意t1,t2,
X (t1), X (t2 ), X (tn )服从n维正态分布， 则称X (t),t T是正态过程
tn T ,
正态过程的全部统计特性完全由它的均值函数和自协方差函数所确定。
16
例3：设A, B是两个随机变量，试求随机过程:
当A
N 1,4, B
U 0, 2时，E(A) 1, E( A2 ) 5, E(B) 1, E(B2)
4 3
又因为A, B独立， 故E(AB) E(A)E(B) 1
X (t) t 3, RX (t1, t2 ) 5t1t2 3(t1 t2 ) 12 t1, t2 T
17
例4：求随机相位正弦波X (t) acos(t ) t ,
一维、二维或一般的多维随机变量的研究是概率论的研究内容，而 随机序列、随机过程则是随机过程学科的研究内容。从前面的描述中看 到，它的每一样本点所对应的，是一个数列或是一个关于t的函数。
定义：设T是一无限实数集，X (e,t), e S,t T是对应于e和t的实数，
即为定义在S 和T 上的二元函数。
DX
(t)
E
[ X (t) X (t)]2
---方差函数
X (t)
2 X
(t
)
---标准差函数
又设任意t1,t2 T RXX (t1,t2 ) E[ X (t1) X (t2 )] (自)相关函数
CXX (t1,t2 ) Cov[ X (t1), X (t2 )]
E [ X (t1) X (t1)][ X (t2 ) X (t2 )] (自)协方差函数
定义： X (t),t T是一随机过程，若它的每一个有限维分布
都是正态分布，即对任意整数n 1及任意t1,t2,
X (t1), X (t2 ), X (tn )服从n维正态分布， 则称X (t),t T是正态过程
tn T ,
正态过程的全部统计特性完全由它的均值函数和自协方差函数所确定。
16
例3：设A, B是两个随机变量，试求随机过程:
当A
N 1,4, B
U 0, 2时，E(A) 1, E( A2 ) 5, E(B) 1, E(B2)
4 3
又因为A, B独立， 故E(AB) E(A)E(B) 1
X (t) t 3, RX (t1, t2 ) 5t1t2 3(t1 t2 ) 12 t1, t2 T
17
例4：求随机相位正弦波X (t) acos(t ) t ,
概率论与数理统计演示文稿
解：以上午8点作为0时刻, 以1小时作为单位时间, 以Nt 表示(0, t ]中完成取款的人数,则{Nt ; t 0}是 6 的泊松过程. A {N1 10},B {N0.5 4}
10 6 P （A） e 6 10!
P( AB) P{N0.5 4}P{N1 N0.5 6} P （B | A）= P( A) P{N1 10}
2 8 4
(2)P[W (2) 1] P[ N (1) 2] 1 e 4e 1 5e
4 4 4
(3)P[W1 0.5,W2 1] P[ N (0.5) 1, N (1) 2] P[ N (0.5) 1, N (1) N (0.5) 1] P[ N (0.5) 2] 0.5 e
解： (3)P{S1 1, S4 2, S8 2}
P{S1 1, S4 S1 1, S8 S4 0}
P{S1 1}P{S4 S1 1}P{S8 S4 0}
18 p5 q3
§2 泊松过程
以N (t ) 表示在时间间隔 0, t 内事件发生的数目，
4 6 3 3 (e3 )(e3 ) 10 1 10 4! 6! ( ) 10 4 2 6 6 e 10!
泊松过程合成和分解
合成: 设{N1 (t )}和{N 2 (t )}是强度为1和2 的泊松过程, 且相互独立, 则 {N1 (t ) N 2 (t )}是1 2的泊松过程.
P{T1 s | N (t ) 1} s , 0 s t t 即若已知在(0, t]内恰有一事件发生,
3
则此事件发生时刻在(0, t ]内均匀分布
例：上午8点开始某台取款机开始工作,此时 有一大堆人排队等待取款，设每人取款时间 独立且都服从均值为10分钟的指数分布,记A 为事件“到上午9点钟为止恰有10人完成取款”, B为事件“到上午8:30为止恰有4人完成取款”, 求（ P A），（ P B | A）。
2独立增量过程解析
生的次数。
例如：若用N1(t)表某电话交换台在[0,t]内接到的电话呼 唤次数；
若用N2(t)表示[0,t]这段时间内到达某商场的顾客数； 若用N3(t)表示时间[0,t]内某放射性物质放射出的粒子数； 若用N4(t)表示在时间[0,t]内某地段出现的交通事故次数等, 这些Ni(t)均为计数过程。 为了建模方便，我们把“事件A”发生一次说成质点出现 一个，于是计数过程N(t)看作在时间轴上区间[0,t]内质点 出现的个数。
DX ( s)
同理，当0t＜s时，有 C X ( s, t ) DX (t )
于是可知对于任意的s,t≧0,协方差函数可表示为： C X ( s, t ) DX (min( s, t )).
二、泊松过程
1.定义
定义1. 称随机过程{N(t),t≧0}为计数过程,若N(t)表示 [0,t]时段内“事件A”发生的次数,且N(t)满足下列条件 (1) N(t)≧0； (2) N(t)取整数； (3) 若0≤s＜t,则 N(s)≤N(t)； (4) 当s＜t 时, N(t)-N(s)等于在间隔(s,t)上“事件A”发
DY(t)= E[Y2(t )].所以，当0s＜t 时，有
C X ( s, t ) E[Y ( s)Y (t )] E [Y ( s) Y (0)][(Y (t ) Y ( s)) Y ( s)]
E[Y ( s) Y (0)]E[Y (t ) Y ( s)] E[Y 2 ( s)]
所以, T1具有参数为的指数分布。 (2)为求T2的分布,先求T1的条件下T2的条件分布,由独立增量
性有 P T2 t 0 T1 s P 在s, s t 内无质点出现 T1 s
P 在s, s t 内无质点出现
增量分析PPT课件
2020/2/14
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内部收益率(IRR) 是收益率的另一种形式，它强调我们关心的是 项目的内部投资所能获得的利率水平，而不是项目中的借款部分。
正确运用收益率分析方法，我们需要将投资分为常规投资或非常 规投资。
一个常规投资定义是初始现金流量是负的，只发生一次符号变化 的净现金流量序列，而非常规投资是指符号变化发生一次以上的 净现金流量系列。
✓第 2步:计算增量投资的内部收益率 (IRRB-A ).
✓第 3步: 如果IRR B-A > MARR，接受投资项目B。
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IRR增量分析：两个方案比较
• 项目新金流
给定MARR=10%，哪一个方案 是更好的选择
• 结论：因为RRB2-B1=15% > 10%, 并且 IRRB2 > 10%, 选择 B2.
2020/2/14
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例7.14 IRR增量分析：方案服 务寿命不同
• 问题：我们可以基于IRR判据原理比较 不同服务寿命的项目吗？
• 给定：MARR=15%，服务项目的增量现 金流（B型-A型）
• 求：选择哪一个设备？
• 假定：项目具有可重复性，并使用12年 的最小公倍数分析期-增量现金流量（模 型B - A模型）导致混合投资。我们需要 计算MARR=15%时的RIC 。
多重i*只发生在非常规投资情况。然而，并不是所有的非常规投 资都有多重i*。一个项目有一个特有的I *并不意味着它是一个常 规投资。
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对于纯投资项目，它的项目收益率就是内部收益率， 所以决策准则如下： 如果IRR > MARR,接受项目. 如果IRR = MARR, 是否接受无差异. 如果IRR < MARR, 拒绝项目. 内部收益率分析得到的结果与NPW和其他等值方法是一 致的。
2014第七章 马尔可夫过程
E[( X (ta ) X (tb ))( X (tc ) X (td ))] 2 (ta tb )(tc td )
若 ta tc tb td，则时间间隔 (ta tb ) 和 (tc td ) 相重叠（图2b）），因此， 上式不再成立。
td td tc tb (b) tb (a) tc ta ta
PX n X 1 ,, X n1 xn ; t n x1 , , xn 1 ; t1 , , t n 1
Pn xn xn1; tn1 , tn
PX n X n1 xn ; t n xn 1 ; t n 1
PX n X n1 xn , xn 1 ; t n 1 , t n PX n1 xn 1 ; t n 1
k
e
(k 1)!
k 1
k 1
= e e (ta tb ) ②. 均方值与方差 令 (ta tb ) ，故均方值为
k k k E[( X (ta ) X (tb )) ] k e k (k 1) e k e k! k! k! k 0 k 0 k 0 k 2 2 2 2 (ta tb )2 (ta tb ) = e k 2 (k 2)!
a b
先来讨论服从泊松分布的随机变量[ X (ta ) X (tb )] 及 [ X (tc ) X (td )] 的数学期望，方差和相关函数等统计量。
(ta tb ) ，因此，均值为 ①．数学期望 令
E[ X (ta ) X (tb )] k e k! k 0
2 2
而方差为
若 ta tc tb td，则时间间隔 (ta tb ) 和 (tc td ) 相重叠（图2b）），因此， 上式不再成立。
td td tc tb (b) tb (a) tc ta ta
PX n X 1 ,, X n1 xn ; t n x1 , , xn 1 ; t1 , , t n 1
Pn xn xn1; tn1 , tn
PX n X n1 xn ; t n xn 1 ; t n 1
PX n X n1 xn , xn 1 ; t n 1 , t n PX n1 xn 1 ; t n 1
k
e
(k 1)!
k 1
k 1
= e e (ta tb ) ②. 均方值与方差 令 (ta tb ) ，故均方值为
k k k E[( X (ta ) X (tb )) ] k e k (k 1) e k e k! k! k! k 0 k 0 k 0 k 2 2 2 2 (ta tb )2 (ta tb ) = e k 2 (k 2)!
a b
先来讨论服从泊松分布的随机变量[ X (ta ) X (tb )] 及 [ X (tc ) X (td )] 的数学期望，方差和相关函数等统计量。
(ta tb ) ，因此，均值为 ①．数学期望 令
E[ X (ta ) X (tb )] k e k! k 0
2 2
而方差为
几类重要的随机过程
C
C(t1, C (t2 ,
t1) t1)
C(t1,t2 ) C(t2,t2 )
2
2 cos(t2
t1)
2
cos(t2 2
t1
)
f
( x1 ,
x2 , t1, t2 )
2
1 |C
|1
2
exp
1 2
x1
x2
C1
x1 x2
4.2 独立过程
定义：如果随机过程{X(t), t∊T}，对应于任意n个时刻t1, t2,…, tn ∊T的n个随机变量X(t1), X(t2),…, X(tn)相互独立，则称该
4 几种重要的随机过程
正态过程（高斯过程） 独立过程 独立增量过程 维纳过程 泊松过程 马尔可夫过程 生灭过程
4.1 正态过程(高斯过程)
4.1.1 正态分布（高斯分布）
定义1：如果随机变量X的概率密度为
f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
2
x
则称X为服从参数的正态分布，记为 X N (, 2，)
E[Y ] aμ, D[Y ] aCa 。
若e=(ejk)是m × n矩阵, Z eX 是m × 1的列矩阵，即m 维向量，则， E[Z] eμ, D[Z] eCe 。
4.1.1 正态分布（高斯分布）
n维正态随机变量的性质：
（3）（线性变换）
定理1：X ( X1, X 2 , , X n )服从n维正态分布N(μ,C)
次试验结果互不影响，伯努利随机序列{X(n), n=1,2,…}是
独立随机序列。 定义概率分布：
P[ X (n) 0] q, P[ X (n) 1] p,
泊松分布 ppt课件
1.计数过程:设
为一随机过程,
如果N(t)是取非负整数值的随机变量,且满足s<t时,
N(s) ≤N(t),则称 XT {N(t),t T [0,)} 为计数过程(counting process).
若用N(t)表示电话交换台在时间[0,t]中接到
电话呼叫的累计次数,则{N(t) ,t≥0}就是一计数过程.
定义1 称随机过程{N(t),t0}为计数过程,若N(t)表示到 时刻t为止已发生的“事件A”的总数,且N(t)满足下列条件: (1) N(t)0 (2)N(t)取正整数; (3)若s<t,则N(s)<N(t); (4)当s<t,N(t)-N(s)等于区间(s,t]中发生的“事件A”的次数.
若t1<t2t3<t4,则在(t1,t2]内事件A发生的次数N(t2)-N(t1) 与在(t3,t4]内时间A发生的次数N(t4)-N(t3)相互独立,此时 计数过程N(t)是独立增量过程.
P{N(t) - N(s) k} [(t s)]k e(ts) , k 0,1, 2,
k!
则称{N(t),t0}为参数(或平均率、强度)为的(齐次) 泊松过程。[泊松过程的第二种定义方式]
注:由条件(3)知,泊松过程是平稳增量过程且E[X(t)]= t. 由于, =E[X(t)]/t表示单位时间内事件A发生的平均个数, 故称为此过程的速率或强度
X(t)-X(s),0≤s<t 为随机过程在 (s , t] 的增量.如果对 任意选定的正整数n和任意选定的0≤t0<t1<t2<…<tn, n个增量X(t1)-X(t0),X(t2)-X(t1), …,X(tn)-X(tn-1)相互 独立,则称 {X(t),t≥0}为独立增量过程.
第三章 泊松(Poisson)过程
E[ N ( t )] t ,
DN (t ) Var[ N (t )] t
E[
N (t ) ]. t
泊松过程的强度等于单位长时间间隔内发生的事件 数目的均值.
基础部张守成 2014年6月18日星期三
(2)
协方差函数:
C N ( s, t ) mins, t , s, t 0.
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(1) 7时至9时为t(2,4],则由非齐次泊松过程的 性质可得7时至9时乘车人数的数学期望为
E[ N (4) N (2)] m(4) m(2)
( t )dt
2
4
(200 400t )dt 1400dt
2 3
3
4
由于Wn Ti , 利用矩母函数容易证明
i 1
n
Wn ~ (n, ), 即Wn具有概率密度
t ( t )n 1 ,t 0 e fWn ( t ) ( n 1)! 0 , t 0
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二、泊松过程的推广
由于 N ( s, t ) N ( t ) N ( s) ~ ( (t s )) ， (1) E[ N (t ) N ( s )] Var[ N (t ) N ( s )] (t s ).
令 s 0, 根据假设 N (0) 0 可得
均值函数: 方差函数:
P Yn 2 0.4，P Yn 3 0.4， P Yn 4 0.1.
设X (t)表示 [0, t )时间内移民到该地的人口数， 求在五周内移民到该地人口数的的期望和方差.
X ( t ) Yn 是复合泊松过程, 解： 由Yn的分布律可得
DN (t ) Var[ N (t )] t
E[
N (t ) ]. t
泊松过程的强度等于单位长时间间隔内发生的事件 数目的均值.
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(2)
协方差函数:
C N ( s, t ) mins, t , s, t 0.
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(1) 7时至9时为t(2,4],则由非齐次泊松过程的 性质可得7时至9时乘车人数的数学期望为
E[ N (4) N (2)] m(4) m(2)
( t )dt
2
4
(200 400t )dt 1400dt
2 3
3
4
由于Wn Ti , 利用矩母函数容易证明
i 1
n
Wn ~ (n, ), 即Wn具有概率密度
t ( t )n 1 ,t 0 e fWn ( t ) ( n 1)! 0 , t 0
基础部张守成 2014年6月18日星期三
二、泊松过程的推广
由于 N ( s, t ) N ( t ) N ( s) ~ ( (t s )) ， (1) E[ N (t ) N ( s )] Var[ N (t ) N ( s )] (t s ).
令 s 0, 根据假设 N (0) 0 可得
均值函数: 方差函数:
P Yn 2 0.4，P Yn 3 0.4， P Yn 4 0.1.
设X (t)表示 [0, t )时间内移民到该地的人口数， 求在五周内移民到该地人口数的的期望和方差.
X ( t ) Yn 是复合泊松过程, 解： 由Yn的分布律可得
独立增量过程
四 高斯过程（正态过程）
一、定义：
设{X(t)}为随机过程，如果对任意的正整数n及任意 t1,t2,…,tnT，n 维随机变量(X(t1),X(t2),…,X(tn))服 从n维正态分布，则称{X(t)}为正态过程。
正态过程是二阶矩过程。 记其均值函数为μX(t),协方差函数为CX(s,t)。
二、正态过程的性质：
(2)独立增量过程{X(t),t≧0}在X(0)=0的条件下,{X(t)}的协
方差函数为 C X (s, t) DX (min( s, t)).
证明: 记Y(t )=X(t)-X(t),当X(t)具有独立增量时， Y(t )也具有独立增量；且Y(0)=0,E[Y(t )]=0, DY(t)= E[Y2(t )]=DX(t) .所以，当0s＜t 时，有
生的次数。
例如：若用N1(t)表某电话交换台在[0,t]内接到的电话呼 唤次数；
若用N2(t)表示[0,t]这段时间内到达某商场的顾客数；
若用N3(t)表示时间[0,t]内某放射性物质放射出的粒子数；
若用N4(t)表示在时间[0,t]内某地段出现的交通事故次数等, 这些Ni(t)均为计数过程。
为了建模方便，我们把“事件A”发生一次说成质点出现 一个，于是计数过程N(t)看作在时间轴上区间[0,t]内质点 出现的个数。
例.设{X(t)}是强度为的泊松过程，定义Y(t)=X(t+L)-
X(t),其中L>0为常数，求Y(t),RY(s,t).
解： Y(t)=E[Y(t)]=E[X(t+L)-X(t)]=(t+L)-t=L；
RY(s,t)=CY(s,t)+Y(s)Y(t),
对任意0≤s<t，有
CY (s, t) Cov(Y (s),Y (t)) Cov( X(s L) X(s), X(t L) X(t)) Cov( X (s L), X (t L)) Cov( X (s), X (t L)) Cov( X (s L), X (t)) Cov( X (s), X (t))
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机发生），则形成一个随机质点流． 例如：商店接待的顾客流、
等车的乘客流、 数字通信中已编码信号的误码流、 经过中国上空的流星流、 放射性物质所放射出的粒子流、 要求在机场降落的飞机流，等等。
随机质点流的强度：通常称单位时间内平均出现的
质点的个数为随机质点流的强度，记为
..........
7
1.计数过程定义
即：增量X(t)－X(s)的分布函数实际上只依赖于时间差t-
s，而不依赖于t与s本身,即与观察的起始时刻无关。
2．独立增量过程的性质 (1)独立增量过程{X(t),t≧0}在X(0)=0的条件下,{X(t)}的有限维分 布函数可以由增量X(t)－X(s)， 0s＜t 的分布确定.
证：令Yk= X(tk )- X(tk-1 ), k=1,2, …,n. t0=0.
定义1. 称随机过程{N(t),t≧0}为计数过程,若N(t)表示 [0,t]时段内“事件A”发生的次数,且N(t)满足下列条件
(1) N(t)≧0； (2) N(t)取整数； (3) 若0≤s＜t,则 N(s)≤N(t)； (4) 当s＜t 时, N(t)-N(s)等于在间隔(s,t)上“事件A”发
i
为了建模方便，我们把“事件A”发生一次说成质点出现 一个，于是计数过程N(t)看作在时间轴上区间[0,t]内质点 出现的个数。
..........
9
随机事件的来到数都可以得到一个计数过程,而同一 时刻只能至多发生一个来到的就是简单计数过程.
计数过程的一个典型的样本函数如图 N(t)
..........
..........
12
定义2: 称计数过程{N(t),t≧0}为具有参数>0的泊松过程， 若它满足下列条件
(1) N(0)=0；零初值性
(2) N(t)是(平稳)独立增量过程；
(3) 对于任意的s,t≥0, N(t+s)-N(s)服从参数为t的泊松
分布
PN (t
s)
N (s)
k
e t
t k
量
X(t1)-X(t0)，X(t2)-X(t1)，…，X(tn)-X(tn-1)
相互独立，称{X(t),t0}为独立增量过程。
..........
2
若对于任意的实数s, t 和0s+h＜t+h, X(t+h)－X(s+h)与X(t)－X(s)
具有相同的分布,则称增量具有平稳性,并称相应的独立增量过程为齐 次的或时齐的。
第十章 随机过程及统计描述 一、独立增量过程 二、泊松过程 三、维纳过程 四、高斯过程（正态过程）
..........
1
一、独立增量过程
1．定义
设{X(t),t0}为-X(s)为随机过程在区间[s,t]上的增量. 若对于任意的正整数n及任意的0t0<t1<t2<…<tn,n个增
生的次数。
例如：若用N1(t)表示某电话交换台在[0,t]内接到的电话 呼唤次数；
..........
8
若用N2(t)表示[0,t]这段时间内到达某商场的顾客数； 若用N3(t)表示时间[0,t]内某放射性物质放射出的粒子数； 若用N4(t)表示在时间[0,t]内某地段出现的交通事故次数等,这些 N (t)均为计数过程。
..........
5
二、泊松过程
泊松过程是研究随机质点流的计数性质的 基本数学模型之一，是一类重要的随机过程。 在通信工程、服务行业、生物学、物理学、公 用事业等领域的许多问题都可以用泊松过程来 描述。如：商店接待的顾客流，数字通信中已 编码信号的误码流等
..........
6
随机质点流：质点（或事件）陆续地随机到达（或随
若它满足下列条件 (1) N(0)=0；零初值性 (2) N(t)是独立增量过程；
由条件，增量的分布已知，且具有独立增量，则
..........
3
Y1,Y2, …,Yn的联合分布即可确定，
而 X(t1)=Y1， X(t2) =Y1+ Y2， ……
X(tn) =Y1+ Y2 + …+ Yn，即X(tn) 是Y1 ，…Yn的线性函数，
推广结果：
Y1,Y2, …,Yn的联合分布确定了{X(t)}的有限维分布函数。
(2)独立增量过程{X(t),t≧0}在X(0)=0的条件下,{X(t)}的协
方差函数为 C X (s, t) DX (min( s, t)).
..........
4
证明: 记Y(t )=X(t)-X(t),当X(t)具有独立增量时， Y(t )也具有独立增量；且Y(0)=0,E[Y(t )]=0, DY(t)= E[Y2(t )]=DX(t) .所以，当0s＜t 时，有
C X (s, t) E[Y (s)Y (t)]
E[Y (s) Y (0)][(Y (t) Y (s)) Y (s)]
E[Y (s) Y (0)]E[Y (t) Y (s)] E[Y 2 (s)]
DX (s)
同理，当0t＜s时，有 C X (s, t) DX (t)
于是可知对于任意的s,t≧0,协方差函数可表示为： C X (s, t) DX (min( s, t)).
,
k 1,2,,
k!
从条件(3)：泊松过程的均值函数为 N (t) t
E[N (t)] ,表示单位时间内质点出现的平均个数,故称
t 为此过程的强度。
..........
13
令N(s,t)=N(t)－N(s),0≤s<t,给出泊松过程的另一定义:
定义3. 称计数过程{N(t),t≥0}为具有参数>0的泊松过程,
t
10
计数过程N(t)是独立增量过程
如果计数过程在不相重叠的时间间隔内，事件A发生的次 数是相互独立的。
计数过程N(t)是平稳增量过程
若计数过程N(t)在(t,t+s]内（S>0），事件A发生的次 数N(t+s)-N(t)仅与时间差s有关，而与t无关。
..........
11
例：设为N(t)为[0,t)时段内某电话交换台收到的呼 叫次数，t>=0， N(t)的状态空间为{0,1,2,…}， 具有如下性质： (1) N(0)=0，即初始时刻未收到任何呼叫； (2) 在[t,s)这段时间内收到的呼叫次数只与时间间 隔s-t有关，而与时间起点t无关； (3) 在任意多个不相重叠的时间间隔内收到的呼叫 次数相互独立；
等车的乘客流、 数字通信中已编码信号的误码流、 经过中国上空的流星流、 放射性物质所放射出的粒子流、 要求在机场降落的飞机流，等等。
随机质点流的强度：通常称单位时间内平均出现的
质点的个数为随机质点流的强度，记为
..........
7
1.计数过程定义
即：增量X(t)－X(s)的分布函数实际上只依赖于时间差t-
s，而不依赖于t与s本身,即与观察的起始时刻无关。
2．独立增量过程的性质 (1)独立增量过程{X(t),t≧0}在X(0)=0的条件下,{X(t)}的有限维分 布函数可以由增量X(t)－X(s)， 0s＜t 的分布确定.
证：令Yk= X(tk )- X(tk-1 ), k=1,2, …,n. t0=0.
定义1. 称随机过程{N(t),t≧0}为计数过程,若N(t)表示 [0,t]时段内“事件A”发生的次数,且N(t)满足下列条件
(1) N(t)≧0； (2) N(t)取整数； (3) 若0≤s＜t,则 N(s)≤N(t)； (4) 当s＜t 时, N(t)-N(s)等于在间隔(s,t)上“事件A”发
i
为了建模方便，我们把“事件A”发生一次说成质点出现 一个，于是计数过程N(t)看作在时间轴上区间[0,t]内质点 出现的个数。
..........
9
随机事件的来到数都可以得到一个计数过程,而同一 时刻只能至多发生一个来到的就是简单计数过程.
计数过程的一个典型的样本函数如图 N(t)
..........
..........
12
定义2: 称计数过程{N(t),t≧0}为具有参数>0的泊松过程， 若它满足下列条件
(1) N(0)=0；零初值性
(2) N(t)是(平稳)独立增量过程；
(3) 对于任意的s,t≥0, N(t+s)-N(s)服从参数为t的泊松
分布
PN (t
s)
N (s)
k
e t
t k
量
X(t1)-X(t0)，X(t2)-X(t1)，…，X(tn)-X(tn-1)
相互独立，称{X(t),t0}为独立增量过程。
..........
2
若对于任意的实数s, t 和0s+h＜t+h, X(t+h)－X(s+h)与X(t)－X(s)
具有相同的分布,则称增量具有平稳性,并称相应的独立增量过程为齐 次的或时齐的。
第十章 随机过程及统计描述 一、独立增量过程 二、泊松过程 三、维纳过程 四、高斯过程（正态过程）
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1
一、独立增量过程
1．定义
设{X(t),t0}为-X(s)为随机过程在区间[s,t]上的增量. 若对于任意的正整数n及任意的0t0<t1<t2<…<tn,n个增
生的次数。
例如：若用N1(t)表示某电话交换台在[0,t]内接到的电话 呼唤次数；
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8
若用N2(t)表示[0,t]这段时间内到达某商场的顾客数； 若用N3(t)表示时间[0,t]内某放射性物质放射出的粒子数； 若用N4(t)表示在时间[0,t]内某地段出现的交通事故次数等,这些 N (t)均为计数过程。
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二、泊松过程
泊松过程是研究随机质点流的计数性质的 基本数学模型之一，是一类重要的随机过程。 在通信工程、服务行业、生物学、物理学、公 用事业等领域的许多问题都可以用泊松过程来 描述。如：商店接待的顾客流，数字通信中已 编码信号的误码流等
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随机质点流：质点（或事件）陆续地随机到达（或随
若它满足下列条件 (1) N(0)=0；零初值性 (2) N(t)是独立增量过程；
由条件，增量的分布已知，且具有独立增量，则
..........
3
Y1,Y2, …,Yn的联合分布即可确定，
而 X(t1)=Y1， X(t2) =Y1+ Y2， ……
X(tn) =Y1+ Y2 + …+ Yn，即X(tn) 是Y1 ，…Yn的线性函数，
推广结果：
Y1,Y2, …,Yn的联合分布确定了{X(t)}的有限维分布函数。
(2)独立增量过程{X(t),t≧0}在X(0)=0的条件下,{X(t)}的协
方差函数为 C X (s, t) DX (min( s, t)).
..........
4
证明: 记Y(t )=X(t)-X(t),当X(t)具有独立增量时， Y(t )也具有独立增量；且Y(0)=0,E[Y(t )]=0, DY(t)= E[Y2(t )]=DX(t) .所以，当0s＜t 时，有
C X (s, t) E[Y (s)Y (t)]
E[Y (s) Y (0)][(Y (t) Y (s)) Y (s)]
E[Y (s) Y (0)]E[Y (t) Y (s)] E[Y 2 (s)]
DX (s)
同理，当0t＜s时，有 C X (s, t) DX (t)
于是可知对于任意的s,t≧0,协方差函数可表示为： C X (s, t) DX (min( s, t)).
,
k 1,2,,
k!
从条件(3)：泊松过程的均值函数为 N (t) t
E[N (t)] ,表示单位时间内质点出现的平均个数,故称
t 为此过程的强度。
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令N(s,t)=N(t)－N(s),0≤s<t,给出泊松过程的另一定义:
定义3. 称计数过程{N(t),t≥0}为具有参数>0的泊松过程,
t
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计数过程N(t)是独立增量过程
如果计数过程在不相重叠的时间间隔内，事件A发生的次 数是相互独立的。
计数过程N(t)是平稳增量过程
若计数过程N(t)在(t,t+s]内（S>0），事件A发生的次 数N(t+s)-N(t)仅与时间差s有关，而与t无关。
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例：设为N(t)为[0,t)时段内某电话交换台收到的呼 叫次数，t>=0， N(t)的状态空间为{0,1,2,…}， 具有如下性质： (1) N(0)=0，即初始时刻未收到任何呼叫； (2) 在[t,s)这段时间内收到的呼叫次数只与时间间 隔s-t有关，而与时间起点t无关； (3) 在任意多个不相重叠的时间间隔内收到的呼叫 次数相互独立；