用卷积法证明中心极限定理
中心极限定理和蒂莫夫拉普拉斯中心极限定理
中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它描述了当从一个总体中随机抽取大量样本时，样本均值的分布会趋向于一个正态分布。
而蒂莫夫拉普拉斯中心极限定理是中心极限定理的一个特殊情况，它对二项分布和泊松分布进行了精确的描述和推导。
本文将详细介绍中心极限定理和蒂莫夫拉普拉斯中心极限定理的基本概念、证明过程和实际应用。
一、中心极限定理的基本概念中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它指出对于任意具有有限方差的总体，当从总体中抽取大量的样本进行均值的抽样分布，这些样本均值将会近似服从正态分布。
在具体说明之前，我们先来解释一下什么是总体、样本和样本均值。
总体是指我们研究的对象的整体，例如全国人口的身高数据或者某种产品的质量数据等；而样本则是从总体中抽取出的一部分数据；而样本均值就是这些样本数据的平均值。
在中心极限定理中，我们关心的是当从总体中抽取大量的样本时，这些样本均值的分布情况。
中心极限定理的核心内容可以总结为：当样本量足够大时，不论总体的分布形态是什么样子，抽样均值的分布都近似服从正态分布。
二、中心极限定理的证明过程中心极限定理有多种不同的证明方法，其中最著名的是林德伯格-列维中心极限定理和莫亚-李维中心极限定理。
林德伯格-列维中心极限定理是以两数相加得到一数为基本原理，从而证明了中心极限定理的一般形式；而莫亚-李维中心极限定理则是以特征函数的相乘得到一函数为基本原理，从而得出了中心极限定理的另一种形式。
无论哪种证明方法，它们的核心思想都是利用数学推导和统计学的方法，通过对样本均值进行适当的转换和处理，最终将证明样本均值的分布近似服从正态分布。
这些证明方法都需要一定的数学基础和技巧，对概率论和数理统计有一定的了解才能够深入理解其证明过程。
三、中心极限定理的实际应用中心极限定理在实际应用中有着广泛的用途。
例如在工程、经济、医学、环境科学等领域中，我们经常需要对一定的数据进行抽样统计，然后利用样本均值来推断总体的特征值，比如总体的均值、方差等。
中心极限定理
中心极限定理第一篇：中心极限定理中心极限定理中心极限定理（Central Limit Theorems）什么是中心极限定理大数定律揭示了大量随机变量的平均结果，但没有涉及到随机变量的分布的问题。
而中心极限定理说明的是在一定条件下，大量独立随机变量的平均数是以正态分布为极限的。
中心极限定理是概率论中最著名的结果之一。
它提出，大量的独立随机变量之和具有近似于正态的分布。
因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么有很多自然群体的经验频率呈现出钟形(即正态)曲线这一事实，因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使正态分布有了广泛的应用。
中心极限定理的表现形式中心极限定理也有若干个表现形式，这里仅介绍其中四个常用定理：（一）辛钦中心极限定理设随机变量相互独立，服从同一分布且有有限的数学期望a和方差σ2，则随机变量，在n无限增大时，服从参数为a和的正态分布即n→∞时，将该定理应用到抽样调查，就有这样一个结论：如果抽样总体的数学期望a和方差σ2是有限的，无论总体服从什么分布，从中抽取容量为n的样本时，只要n足够大，其样本平均数的分布就趋于数学期望为a，方差为σ2 / n的正态分布。
（二）德莫佛——拉普拉斯中心极限定理设μn是n次独立试验中事件A发生的次数，事件A在每次试验中发生的概率为P，则当n无限大时，频率设μn / n趋于服从参数为的正态分布。
即：该定理是辛钦中心极限定理的特例。
在抽样调查中，不论总体服从什么分布，只要n充分大，那么频率就近似服从正态分布。
（三）李亚普洛夫中心极限定理设差：是一个相互独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方。
记，如果能选择这一个正数δ>0，使当n→∞时，则对任意的x有：该定理的含义是：如果一个量是由大量相互独立的随机因素影响所造成的，而每一个别因素在总影响中所起的作用不很大，则这个量服从或近似服从正态分布。
中心极限定理的内容
中心极限定理的内容一、引言中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它描述了大量独立随机变量之和的分布情况。
该定理在统计学、自然科学、社会科学等领域都有广泛应用。
本文将对中心极限定理进行全面详细的介绍。
二、定义1. 独立随机变量：若随机变量X1，X2，...，Xn相互独立，则称它们是独立随机变量。
2. 标准正态分布：若随机变量Z服从期望为0，方差为1的正态分布，则称Z服从标准正态分布。
3. 中心极限定理：设X1,X2,...,Xn是独立同分布的随机变量，且具有期望E(Xi)=μ和方差Var(Xi)=σ^2(σ>0)，则当n充分大时，其样本均值（Xi的平均数）服从正态分布N(μ,σ^2/n)近似成立。
三、证明中心极限定理有多种证明方法，其中比较常用的是利用特征函数进行证明。
以下是一种比较简单易懂的证明方法：假设X1,X2,...,Xn是独立同分布的随机变量，其期望为μ，方差为σ^2。
设S_n=X1+X2+...+Xn，则其期望为E(S_n)=nμ，方差为Var(S_n)=nσ^2。
我们定义随机变量Y_n=(S_n-nμ)/(σ√n)，则有：E(Y_n)=E[(S_n-nμ)/(σ√n)]=0Var(Y_n)=Var[(S_n-nμ)/(σ√n)]=1因此，Y_n服从标准正态分布。
即：P(Y_n≤x)=(1/√(2π))*∫(-∞)^x exp(-t^2/2)dt将Y_n表示成X1,X2,...,Xn的函数：Y_n=(X1+X2+...+Xn-nμ)/(σ√n)则有：P(Y_n≤x)=P[(X1+X2+...+Xn-nμ)/(σ√n)≤x]=P[(Xi-μ)/σ≤(x√n)] (i=1,2,...,n)由于Xi是独立同分布的随机变量，因此它们的特征函数相同。
设它们的特征函数为φ(t)，则有：φ(t)=E(exp(itXi))考虑到独立性，我们可以得到：φ(t)^n=E[exp(it(X1+X2+...+Xn))]=E[exp(itX1)]*E[exp(itX2)]*...*E[exp(itXn)]=[φ(t)]^n因此，有：φ(t)=[φ(t)]^n即：φ(t)=exp(inLog[φ(t)])当n充分大时，由于对数函数的泰勒展开式中高阶项的系数比较小，因此可以将其截断为一阶项，得到：Log[φ(t)]=in(1+itμ-σ^2t^2/2)+o(1)其中o(1)表示高阶项。
中心极限定理的证明
林德伯格中心极限定理的证明
中心极限定理：概率论中关于独立的随机变量序列()1,2,,
1,,i i n n ξ=- 的部分和
1
n
i
i ξ
=∑的分布渐近于正态分布的一类定理，是概率论中最重要的一类定理，
有广泛的实际应用背景，常见的是关于独立同分布随机变量之和的中心极限定理，即林德伯格—列维定理。
林德伯格—列维定理: 设()1,2,,
1,,i i n n ξ=- 为独立同分布的随机变
机变量n η依分布收敛于服从标准正态分布的随机变量X ，即
()lim 0 ,1.L
n n X N η→∞
−−→ 随机变量
引理（—特征函数的定义及性质）
随机变量X 的特征函数()()iXt
X t E e
ϕ=；
独立随机变量和的特征函数等于每个随机变量特征函数的乘积。
证明：用特征函数来证明。
令=i i λξμ-，于是有：i λ独立同分布，且2
()0,() i i E D λλσ==。
设=i i
λξμ-的特征函数为()t ϕ(()t ϕ正态随机变量的概率密度函数)，则n η的特征函数为
开。
正好是服从标准正态分布()0,1N 的随机变量X 的特征函数，即n η的特征函数收敛于标准正态分布随机变量的特征函数，所以由特征函数理论可得知，n η的分布函数()n F η弱收敛于（依分布收敛于）标准正态分布随机变量X 的分布函数()x Φ，即
n
ηL
−−→随机变量() 0,1. X N
证毕。
中心极限定理课件
期值来检验总体的假设。
在金融数学中的应用
1 2
资产收益率分估投资组合的风险。
风险评估
中心极限定理可以用来评估投资组合的风险，通 过计算资产收益率的方差和相关性。
3
资本资产定价模型（CAPM）
中心极限定理是资本资产定价模型的基础，用于 评估资产的预期收益率和风险。
详细描述
当独立同分布的随机变量数量趋于无 穷时，这些随机变量的平均值的分布 趋近于正态分布，不论这些随机变量 的分布本身是什么。
弱收敛和依概率收敛
总结词
这是中心极限定理的两种收敛方式，弱收敛强调的是分布函数之间的收敛，而依概率收敛则关注事件发生的概率 。
详细描述
弱收敛是指当独立同分布的随机变量数量趋于无穷时，这些随机变量的平均值的分布函数趋近于正态分布函数。 依概率收敛则是指当独立同分布的随机变量数量趋于无穷时，这些随机变量的平均值以概率1趋近于某个常数。
05 中心极限定理的扩展和展 望
中心极限定理的推广和改进
推广到多元分布
将中心极限定理从一元分布推广到多元分布，研究多维随机变量 的分布性质。
考虑非独立随机变量
研究非独立随机变量的中心极限定理，探索它们之间的依赖关系对 极限分布的影响。
考虑不同收敛速度
研究不同收敛速度下的中心极限定理，以更准确地描述随机变量的 分布特性。
资产配置。
人口统计学
中心极限定理用于研究人口增长、 人口普查数据的分布等，帮助科学 家了解人口变化的规律。
生物学和医学
中心极限定理用于研究生物变异、 遗传基因频率的变化以及医学中的 临床试验和流行病学调查等。
02 中心极限定理的数学表述
独立同分布的中心极限定理
总结词
概率论与数理统计 6.2 中心极限定理
则X～B(n,0.005), 近似地，X ~ N(0.005n,0.005 0.995n)
PX 5 1 PX 5
1
P
X 0.005n
5 0.005n
0.005 0.995n 0.005 0.995n
1
5 0.005n 0.005 0.995n
0.005n 5
0.005
近似地，X ~ N(10000 0.005,10000 0.0050.995)
即 X ~ N(50,49.75), 设死亡人数超过k人的概率小于0.003,
PX k 1 PX k
1
P
X
50
49.75
k 50 49.75
1
k 50 49.75
0.003
k 50 49.75
( x)
2
n
Xi n
定理表明，n足够大时，r.v. i1
近似服从N (0,1)，
n
注意到E n X i n, D n X i n 2 ,
i1
i1
n
从而 X i近似服从 N (n , n 2 ). i 1
中心极限定理是概率论中最重要的一类极限定理，此定 理告诉我们，在一定条件下，相互独立的随机变量之和在个 数很多时近似服从正态分布，揭示了为什么正态分布是最
P( i1 n/3
3n) 2( 3n ) 1
(2)当n 36, 1时， 所求概率为
6
P(
1 36
36 i 1
Xi
a
1) 2(1.732) 1 0.92 6
(3)要求n， 使得
P(
1 n
n i 1
Xi
a
) 2(
3n ) 1 0.95
（完整版）8-第五章大数定律和中心极限定理解析
（完整版）8-第五章⼤数定律和中⼼极限定理解析第五章⼤数定律和中⼼极限定理⼤数定律和中⼼极限定理是概率论中两类极限定理的统称，前者是从理论上证明随机现象的“频率稳定性”，并进⼀步推⼴到“算术平均值法则”；⽽后者证明了独⽴随机变量标准化和的极限分布是正态分布或近似正态分布问题，这两类极限定理揭⽰了随机现象的重要统计规律，在理论和应⽤上都有很重要的意义。
§5.1 ⼤数定律设ΛΛ,,,,21n X X X 是互相独⽴的⼀列随机变量，每个随机变量取值于⼆元集合{0，1}，并有相同的概率分布函数()()0,1,1j j P X q P X p p q ====+=易计算它们的数学期望和⽅差为 (),()j j E X p D X pq ==如果取这些j X 的部分和 n n X X X S +++=Λ21并考虑它们的平均值∑==n j j n n Xn S 1/)(/，易知它的数学期望和⽅差为;nnS S pq E p D n n n == ? ?利⽤定理4.2.13给出的切⽐雪夫不等式可知：对任何⼀个正数t 有2n S pq P p t n t n-≥≤ ? 令∞→n ，有2lim lim 0n n n S pq P p t n t n→∞→∞??-≥≤= 即lim 0n n S P p t n →∞??-≥=(5.1.1) 可见当n 很⼤时，部分和的平均值/n S n 与p 相距超过任何⼀个数0>t 的概率都很⼩，⽽当∞→n 时, 这个概率趋于0。
(5.1.1)式的结果称为弱⼤数定律，也称伯努利⼤数定律, 因为这个定律是伯努利在1713年⾸先证明的，是从理论上证明随机现象的频率具有稳定性的第⼀个定律。
注意式(5.1.1)等价于lim 1n n S P p t n →∞??-≤=(5.1.2) 把它完整地叙述如以下定理：定理5.1.1（伯努利⼤数定律）设ΛΛ,,,,21n X X X 是互相独⽴的取值于⼆元集合{0，1}的⼀列随机变量，并有相同的概率分布函数()()0,1,1j j P X q P X p p q ====+=⼜设 n n X X X S +++=Λ21则 lim 0n n S P p t n →∞??-≥=或等价地lim 1n n S P p t n →∞??-≤=。
中心极限定理(27页PPT)
§5.2 中心极限定理
一. 中心极限定理的定义与意义
定义5.2.1 设随机变量X, X1, X2, …的分布函 数分别为F( x ),F1( x ), F2( x ), …, 若极限式
lim
n
Fn
(
x)
F
(
x
)
在F( x )的每一个连续点上都成立，称随机变 量序列{Xk}, k = 1,2,…依分布收敛于X .
中心极限定理
二. 中心极限定理
定理5.2.1（林德伯格—列维定理、独立
同分布中心极限定理）
设{ Xk }, k =1,2…为相互独立, 具有相同分
布的随机变量序列, 且E( Xk ) = m, D( Xk ) = s2,
则{ Xk }满足中心极限定理，即 有
n
lim
P
k
1
X
k
nm
x
Φ( x)
100
X Xi
i 1
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中心极限定理
并且随机变量 X1, X2, ···, X100 独立同分布,
具有分布律:
P{ X i
k}
1 (2)k1, 33
k 1,2,
因 1
E( X i ) 1 3, 3
2
D( X i )
3
(
1 3
)2
6
i = 1, 2, ···, 100;
根据林德伯格—列维定理, 所求概率
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中心极限定理
100
P{280 Xi 300}
i 1
(0) (0.8165)
0.5 1 (0.8165) 0.293
电子科技大学
中心极限定理
中心极限定理及其应用
中心极限定理及其应用中心极限定理是概率论和数理统计中重要的一条定理，它描述了大量独立随机变量之和的分布趋于正态分布的现象。
本文将介绍中心极限定理的基本概念、证明方法以及其在实际问题中的应用。
一、中心极限定理的基本概念中心极限定理是指在一定条件下，大量独立随机变量的和的分布会逐渐接近于正态分布。
这个定理是概率论和统计学中非常重要的一条定理。
二、中心极限定理的证明方法1.特征函数法特征函数法是中心极限定理证明的一种重要方法。
特征函数是一个复数函数，可以完全描述一个随机变量的分布特性。
利用特征函数的性质，我们可以推导出随机变量之和的特征函数，并通过特征函数的极限形式得到中心极限定理。
2.特征值法特征值法也是中心极限定理证明的一种常用方法，它通过矩阵的特征值来分析随机变量之和的分布性质。
通过矩阵的运算和特征值的性质，我们可以得到随机变量之和的分布收敛于正态分布。
三、中心极限定理的应用1.统计推断中心极限定理为统计推断提供了理论基础。
在实际问题中，我们往往只能获得样本数据，而无法获得全部总体数据。
利用中心极限定理，我们可以通过样本数据的统计量（如均值、方差）来近似推断总体的分布情况。
2.假设检验假设检验是统计学中常用的一种方法，用于根据样本数据判断总体参数的真实情况。
中心极限定理可以用于推导出检验统计量的分布近似为正态分布，从而进行假设检验。
3.财务风险评估中心极限定理在财务风险评估中也有着广泛的应用。
通过对大量单个事件的风险评估，可以利用中心极限定理来估计整体风险的分布情况，从而帮助决策者制定相应的风险管理策略。
四、中心极限定理的局限性中心极限定理在应用中也存在一定的局限性。
首先，适用于中心极限定理的随机变量必须是独立同分布的。
其次，中心极限定理只是给出了随机变量之和的分布趋近于正态分布，并且收敛的速度是较慢的。
因此，在实际应用中需要注意对样本数据的合理处理和精确计算。
总结：中心极限定理是概率论和统计学中重要的一条定理，它描述了大量独立随机变量之和的分布趋于正态分布的现象。
卷积
其次我们还需引入单位样值函数 ； 单位样值函数 的定义是；
狄拉克函数与单位样值函数的区别在于， 前者作用于连续函数， 后者作用于离散序列； 的卷积性质如下；
显然我们将会利用这个在方法（3）里； 方法（3）；
结果也就出来了 方法 4； 它的思路就如同做乘法一样， 但是最后相加的不进位
（注意中间少了一横线， 打不出来，，，） 这个方法本身不神奇， 但它给了我们计算大序列卷积， 提高算法效率的思路（分治法， 著名的 FFT（快速傅里叶变换）就是其中之一） 简述分治法如下；
为计算 ， 正常的步骤为 xxxxxxxx,八个 x相乘得到结果；
但显然有更好的办法， 我们可以先算 ,再算
=，
=
这样总共需要三次乘法 。
在这里， 我们正常的思路也是拆开， 把四位数与四位数的乘法（姑且这么乘）分解为四个两位 数字相乘（哈哈， 这里我好像犯错了， 不过思路以后我会补上来）。
此页 用以感谢耐心阅读至 此的童鞋！！！
而在其它领域意义又不同， 所以最好概括它物理意义的一句话是 convolutiondoeswhatIt does!
（卷积做卷积应该做的）
但我认为至少在谈到它的物理意义及其应用时它的形式结构是不变的 。
离散卷积的表达式实则经常写为；
， 其中 h(n)经常是不改变的， 改变的只是输入 x(k). 而连续卷积在接下来的热传导相关的例子中更加明显； Eg;求解， 一维热传导方程泊松边界条件（不推导）
看出输入与响应之间的关系 。
也许上面一个例子， 你觉得陌生， 因为你不确信 g(x,t)是否真的放映了热传导的物理机制 。
故我再举个模型的例子；
放射物的倾倒；
如某核电站以从 0时刻开始以 f(t)速率倾倒核废料（核废料类型唯一），求在 t时刻核废料的量 。
中心极限定理证明（精选篇）
中心极限定理证明中心极限定理证明中心极限定理证明一、例子例1] 高尔顿钉板试验.图中每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子.每排钉子等距排列,下一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉子之间.假设有排钉子,从入口中处放入小圆珠.由于钉板斜放,珠子在下落过程中碰到钉子后以的概率滚向左边,也以的概率滚向右边.如果较大,可以看到许多珠子从处滚到钉板底端的格子的情形如图所示,堆成的曲线近似于正态分布. 如果定义:当第碰到钉子后滚向右边,令;当第碰到钉子后滚向左边,令.则是独立的,且那么由图形知小珠最后的位置的分布接近正态.可以想象,当越来越大时接近程度越好.由于时,.因此,显然应考虑的是的极限分布.历史上德莫佛第一个证明了二项分布的极限是正态分布.研究极限分布为正态分布的极限定理称为中心极限定理.二、中心极限定理设是独立随机变量序列,假设存在,若对于任意的,成立称服从中心极限定理.例2] 设服从中心极限定理,则服从中心极限定理,其中为数列. 解:服从中心极限定理,则表明其中.由于,因此故服从中心极限定理.三、德莫佛-拉普拉斯中心极限定理在重贝努里试验中,事件在每试验中出现的概率为为试验中事件出现的数,则例3] 用频率估计概率时的误差估计.由德莫佛—拉普拉斯极限定理,由此即得第一类问题是已知,求,这只需查表即可.第二类问题是已知,要使不小于某定值,应至少做多少试验?这时利用求出最小的.第三类问题是已知,求.解法如下:先找,使得.那么,即.若未知,则利用,可得如下估计: .例4] 抛掷一枚均匀的骰子,为了至少有0.95的把握使出现六点的概率与之差不超过0.01,问需要抛掷多少?解:由例4中的第二类问题的结论,.即.查表得.将代入,便得. 由此可见,利用比利用契比晓夫不等式要准确得多.例5] 已知在重贝努里试验中,事件在每试验中出现的概率为为试验中事件出现的数,则服从二项分布:的随机变量.求.解:因为很大,于是所以利用标准正态分布表,就可以求出的值.例6] 某单位内部有260架电话分机,每个分机有0.04的时间要用外线通话,可以认为各个电话分机用不用外线是是相互独立的,问总机要备有多少条外线才能以0.95的把握保证各个分机在使用外线时不必等候.解:以表示第个分机用不用外线,若使用,则令;否则令.则.如果260架电话分机同时要求使用外线的分机数为,显然有.由题意得,查表得,,故取.于是取最接近的整数,所以总机至少有16条外线,才能有0.95以上的把握保证各个分机在使用外线时不必等候.例7] 根据孟德尔遗传理论,红黄两种番茄杂交第二代结红果植株和结黄果植株的比率为3:1,现在种植杂交种0株,试求结黄果植株介于83和117之间的概率.解:将观察一株杂交种的果实颜色看作是一试验,并假定各试验是独立的.在0株杂交种中结黄果的株数记为,则.由德莫佛—拉普拉斯极限定理,有其中,即有四、林德贝格-勒维中心极限定理若是独立同分布的随机变量序列,假设,则有证明:设的特征函数为,则的特征函数为又因为,所以于是特征函数的展开式从而对任意固定的,有而是分布的特征函数.因此,成立.例8] 在数值计算时,数用一定位的小数来近似,误差.设是用四舍五入法得到的小数点后五位的数,这时相应的误差可以看作是上的均匀分布.设有个数,它们的近似数分别是,.,.令用代替的误差总和.由林德贝格——勒维定理,以,上式右端为0.997,即以0.997的概率有例9] 设为独立同分布的随机变量序列,且互相独立,其中,证明:的分布函数弱收敛于.证明:为独立同分布的随机变量序列,且互相独立,所以仍是独立同分布的随机变量序列,易知有由林德贝格——勒维中心极限定理,知的分布函数弱收敛于,结论得证.作业:P222 EX 32,33,,五、林德贝尔格条件设为独立随机变量序列,又令,对于标准化了的独立随机变量和的分布当时,是否会收敛于分布?例10] 除以外,其余的均恒等于零,于是.这时就是的分布函数.如果不是正态分布,那么取极限后,分布的极限也就不会是正态分布了.因而,为了使得成立,还应该对随机变量序列加上一些条件.从例题中看出,除以外,其余的均恒等于零,在和式中,只有一项是起突出作用.由此认为,在一般情形下,要使得收敛于分布,在的所有加项中不应该有这种起突出作用的加项.因为考虑加项个数的情况,也就意味着它们都要“均匀地斜.设是独立随机变量序列,又,,这时(1)若是连续型随机变量,密度函数为,如果对任意的,有(2)若是离散型随机变量,的分布列为如果对于任意的,有则称满足林德贝尔格条件.例11] 以连续型情形为例,验证:林德贝尔格条件保证每个加项是“均匀地斜.证明: 令,则于是从而对任意的,若林德贝尔格条件成立,就有这个关系式表明, 的每一个加项中最大的项大于的概率要小于零,这就意味着所有加项是“均匀地斜.六、费勒条件设是独立随机变量序列,又,,称条件为费勒条件.林德贝尔格证明了林德贝尔格条件是中心极限定理成立的充分条件,但不是必要条件.费勒指出若费勒条件得到满足,则林德贝尔格条件也是中心极限定理成立的必要条件.七、林德贝尔格-费勒中心极限定理引理1 对及任意的,证明:记,设,由于因此, ,其,对,用归纳法即得.由于,因此,对也成立.引理2 对于任意满足及的复数,有证明:显然因此,由归纳法可证结论成立.引理3 若是特征函数,则也是特征函数,特别地证明定义随机变量其中相互独立,均有特征函数,服从参数的普哇松分布,且与诸独立,不难验证的特征函数为,由特征函数的性质即知成立.林德贝尔格-费勒定理定理设为独立随机变量序列,又 .令 ,则(1)与费勒条件成立的充要条件是林德贝尔格条件成立.证明:(1)准备部分记(2)显然(3)(4)以及分别表示的特征函数与分布函数,表示的分布函数,那么 (5) 这时因此林德贝尔格条件化为:对任意,(6)现在开始证明定理.设是任意固定的实数.为证(1)式必须证明(7)先证明,在费勒条件成立的假定下,(7)与下式是等价的:(8)事实上,由(3)知,又因为故对一切,把在原点附近展开,得到因若费勒条件成立,则对任意的,只要充分大,均有(9)这时(10)对任意的,只要充分小,就可以有(11)因此,由引理3,引理2及(10),(11),只要充分大,就有(12)因为可以任意小,故左边趋于0,因此,证得(7)与(8)的等价性.(2)充分性先证由林德贝尔格条件可以推出费勒条件.事实上,(13)右边与无关,而且可选得任意小;对选定的,由林德贝尔格条件(6)知道第二式当足够大时,也可以任意地小,这样,费勒条件成立.其证明林德贝尔格条件能保证(1)式成立.注意到(3)及(4),可知,当时,当时,因此(14)对任给的,由于的任意性,可选得使,对选定的,用林德贝尔格条件知只要充分大,也可使.因此,已证得了(8),但由于已证过费勒条件成立,这时(8)与(7)是等价的,因而(7)也成立.(3)必要性由于(1)成立,因此相应的特征函数应满足(7).但在费勒条件成立时,这又推出了(8),因此,(15)上述被积函数的实部非负,故而且(16)因为对任意的,可找到,使,这时由(15),(16)可得故林德贝尔格条件成立.八、李雅普诺夫定理设为独立随机变量序列,又.令,若存在,使有则对于任意的,有。
4-3中心极限定理
由中心极限定理, X X k N (150,100)
近似 k 1
100
故 P{ X k 120} P{ X 120}
k 1
100
X 150 120 150 P{ } 10 10
120 150 ( ) ( 3) 0.0013 10
nA n (3)估计频率与概率的误差: P{ p } 2( )1 n p(1 p)
证 : nA代表n重伯努利试验中A发生的次数,
1 第i次试验A发生 设X i 0 第i次试验A没有发生
nA : B(n, p)
(i 1, 2, ..., n)
X i : B(1, p)
则100次轰炸命中目标的次数 X X k
k 1 100
由题意 E( X k )=2, D( X k )=1.69
{ X k }独立同分布, 满足中心极限定理条件.
E ( X ) E ( X k ) 200
k 1 100
D( X ) D( X k ) 169 132
近似 k 1
20
或
Z
V E (V ) D(V )
V
k 1
20
k
100
近似 N (0,1)
10 20 / 12
V E (V ) 105 E (V ) } P{V 105} 1 P{V 105} 1 P{ D(V ) D(V ) V E (V ) 105 100 1 P{ } 1 ( 105 100 ) D(V ) 10 20 / 12 10 20 / 12
i 1
近似 根据独立同分布的中心极限定理,nA N (np, np(1 p))
概率论中心极限定理
中解得
16,18
三、给定 y 和概率，求 n
例5 用调查对象中的收看比例 k/n 作为某电视节
目的收视率 p 的估计。 要有 90％ 的把握，使k/n与p 的差异不大于0.05，问至少要调查多少对象
解：用 Yn表示n 个调查对象中收看此节目的人数，则
§4.4 中心极限定理
独立随机变量和
设 {Xn} 为独立随机变量序列，记其和为
Ø 讨论独立随机变量和的极限分布,
Ø 并指出极限分布为正态分布.
独立同分布下的中心极限定理
定理1 林德贝格—勒维中心极限定理 设 {Xn} 为独立同分布随机变量序列，数学期
望为, 方差为 2>0，则当 n 充分大时，有
且 E(Xi) =9.62，Var(Xi) =0.82，故
= 0.99979
二项分布的正态近似
定理2 棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理 设sn 为服从二项分布 b(n, p) 的随机变量，则当 n 充 分大时，有
是林德贝格—勒维中心极限定理的特例.
注 意 点 (1)
二项分布是离散分布，而正态分布是连续分布， 所以用正态分布作为二项分布的近似时，可作 如下修正：
Yn 服从 b(n, p) 分布，k 为Yn的实际取值。根据题意
从中解得 又由
可解得
17,20
n = 271
独立不同分布下的中心极限定理
定理3 林德贝格中心极限定理
设{Xn }为独立随机变量序列，若任对 > 0，有
林德贝格条件
则
李雅普诺夫中心极限定理
林德贝格条件较难验证. 定理4 李雅普诺夫中心极限定理
中心极限定理 证明
中心极限定理证明中心极限定理（Central Limit Theorem）是概率论中的一个重要定理，指的是当样本容量足够大时，样本均值的分布逼近于正态分布。
这一定理的证明可以从两个方面入手，一是通过独立随机变量的和的特点，二是通过特征函数的性质。
下面将依次介绍这两种证明方法。
首先从独立随机变量的和的特点进行证明。
设X1, X2, ..., Xn为独立同分布的随机变量序列，其期望和方差分别为μ和σ^2，定义Sn = (X1 + X2 + ... + Xn) / n为这n个随机变量的均值。
根据大数定理，当n趋向于无穷大时，Sn的极限为μ，即Sn依概率收敛于μ。
根据协方差的性质，有Var(Sn) = Var((X1 + X2 + ... + Xn) / n) = (1/n^2) * (Var(X1) + Var(X2) + ... + Var(Xn))。
由于X1,X2, ..., Xn为独立同分布的随机变量，它们的方差都相等，即Var(X1) = Var(X2) = ... = Var(Xn) = σ^2，所以Var(Sn) = σ^2 / n。
根据切比雪夫不等式，对于任意ε > 0，有P(|Sn - μ| ≥ ε) ≤ Var(Sn) / ε^2 = σ^2 / (nε^2)。
当n趋向于无穷大时，右边的概率趋近于0，即Sn依概率收敛于μ。
接下来，我们通过特征函数的性质进行证明。
设X1, X2, ..., Xn 为独立同分布的随机变量序列，其特征函数分别为φ(t) = E(e^itX1)，则Sn的特征函数为φ(t/n)^n。
根据独立随机变量和的特征函数的性质，有φ(t/n)^n = φ(t/n) * φ(t/n) * ... * φ(t/n)，其中有n个φ(t/n)相乘。
考虑到φ(t)的级数展开形式为φ(t) = 1 + itμ - (t^2σ^2)/ 2 + R(t)，其中R(t)为误差项。
将φ(t/n)带入展开形式得到：φ(t/n) = 1 + itμ/n - (t^2σ^2) / (2n^2) + R(t/n)。
第47讲中心极限定理
第47讲中⼼极限定理§5.2 中⼼极限定理中⼼极限定理的概念Central Limit Theorems在客观实际中有许多随机变量，它们是由⼤量相互独⽴的随机因素的综合影响所形成，⽽其中每⼀个别因素在总的影响中所起的作⽤是微⼩的。
这种随机变量往往近似地服从正态分布。
这种现象就是中⼼极限定理的客观背景。
本节将⽤中⼼极限定理来说明这种现象。
四川⼤学徐⼩湛中⼼极限定理是说：在⼀定条件下，充分多的相互独⽴的随机变量的算术平均值将服从正态分布，不管这些随机变量本⾝服从什么分布。
本节介绍了三个中⼼极限定理1.列维-林德伯格定理（独⽴同分布的中⼼极限定理）2.李雅普诺夫定理（独⽴不同分布的中⼼极限定理）3.棣莫弗-拉普拉斯定理(⼆项分布的极限分布)列维-林德伯格定理独⽴同分布的中⼼极限定理定理 1 列维-林德伯格 (Levy -Lindberg) 定理（独⽴同分布的中⼼极限定理）设随机变量 X 1, X 2, …, X n , … 相互独⽴，服从同⼀分布，且 E (X k )=µ , D (X k )=σ 2 >0 (k =1,2, …)，的分布函数 F n (x ) =P {Y n ≤x }满⾜当 n 很⼤时， Y n 近似地服从标准正态分布 N (0, 1) 则随机变量n n →∞ n →∞ lim F (x ) = lim P {Y ≤ x }= Φ(x ) = n定理 1 （独⽴同分布的中⼼极限定理）设随机变量 X 1, X 2, …, X n , … 相互独⽴，服从同⼀分布，且 E (X k )=µ , D (X k )=σ2 >0 (k =1,2, …)，则随机变量n n 的分布函数 F (x ) =P {Y ≤x }满⾜n n n →∞ n →∞ n →∞lim F (x ) = lim P {Y ≤ x }= lim以上定理表⽰：若随机变量 X 1, X 2, …, X n , … 相互独⽴同分布，且 E (X k )=µ , D (X k )=σ 2 >0 (k =1,2, …)，则当n 很⼤时，近似地有n n k X 的标准化变量 1n Y 是 X = ∑ k =1 n k 1 n = D ( ∑ k =1 2 1 n k D (X ) n X ) = ∑ k =1 = D (X ) 独⽴性 k k =1 nk 1 n k =1 X ) = ∑ E (X ) = n E (X ) = E (1∑ nnnk 1nk=1Y 是X = ∑以上定理表明，在定理的条件下，⽆论{Xk} 服从什么分布，当n很⼤时，其前n项的算术均值X的准化服从正态分布N(0,1)。
chap5-2 中心极限定理
Q 比如, 盈利的概率要到95%, 即 1 n 0.95, 500
查表得 Q 1 n 1.645, 500 500 1.645 Q 500 n
例2
某市保险公司开办一年人身保险业务. 被保险人每年需交付保险费160元. 若一年内 发生重大人身事故,其本人或家属可获2万元赔 金. 己知该市人员一年内发生重大人身事故的 概率为0.005.现有5000人参加此项保险. 求:保险公司一年内从此项业务所得到的 总收益在20万元到40万元之间的概率.
i
5000 i 1
20 np np (1 p )
X
i
np
np (1 p )
5000
30 np } np (1 p )
5 5 i 1 P{ } 25 0.995 25 0.995 25 0.995
X
25
(1) (1) 2(1) 1 0.6826
定理1（独立同分布下的中心极限定理）
且E(Xi)= ，Var(Xi)=
Yn
设X1,X2, …是独立同分布的随机变量序列，
X
i 1
n
， i=1,2,…，则
2
i
n
的分布函数 Fn ( x) 收敛到标准正态分布函数即
n
lim Fn ( x) lim P{Yn x} -
第五章 第二节 中心极限定理
中心极限定理的客观背景 在实际问题中，常常需要考虑许多随机 因素所产生总影响.
例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受 着许多随机因素的影响.
如瞄准时的误差，
空气阻力所产生的误差，
炮弹或炮身结构所引起的误差等等. 对我们来说重要的是这些随机因素的总影响.
用卷积法证明中心极限定理
用卷积法证明中心极限定理郝越 B10050724 （Q3-32） naotilus9112@ Dec, 26th, 2011中心极限定理是概率论中十分重要的一个定理，它揭示了大量独立同概率分布的随机变量之和（或平均值）逼近正太分布的规律，具有非常高的理论和实用价值。
然而在高等教育出版社的《概率论与数理统计教程》这本教材中的227页举例解释了通过卷积公式导出中心极限定理的来历，然而书中指出“由于卷积计算相当复杂，无法写出当随机变量数趋于无限时其和或平均值的概率分布函数形式”，这给证明带来了困难。
本文将信号与系统中的观点，通过Matlab 实验给出直觉，并使用傅里叶变换的方法“化积为乘”求出卷积，以证明该定理。
中心极限定理（Central Limit Theorem ）数学定义如下：设{}n X 是独立同分布（identically independent distributed, IID ）的随机变量序列，且()i E X μ=，2()0i Var X σ=>。
记*n Y =…则对任意实数y ，有2*2()().limt yn n P Y y y e dt --∞→+∞≤=Φ=卷积公式如下()()().g x f y h x y dy ∞-∞=-⎰在频域()()().G w F w H w =为证明该定理，首先要说明随机变量和的概率密度分布和卷积的关系。
在概率论中，我们知道两个随机变量和的分布是其各自概率分布的卷积。
证明方法也很简单：设1X 是2X 是独立随机变量，其概率分布为11()P x ，22()Px 那么对于任何t 有：1212112212()()().x x tP X X t P x P x dx dx +≤+≤=⎰⎰用换元法：1u x =，12v x x =+；那么1212()()()tP X X t P u P v u dudv +∞-∞-∞+≤=-⎰⎰()12()()tP u P v u du dv +∞-∞-∞=-⎰⎰()()12*tP P v dv -∞=⎰可见求出12*P P 便可以得到12()P x x +。
中心极限定理
n
n
若
δ > 0, 1 Bn2+δ
∑ E (| X k μ k |
k =1
n
2+δ
) → 0
n →∞
则对于任意实数 x ,
n n ∑ X k ∑ μk k =1 ≤ x lim P k =1 n→ ∞ Bn
=
1 2π
∫
t2 x 2 e dt ∞
= Φ (x)
定理3
德莫佛 — 拉普拉斯中心极限定理 （DeMoivre-Laplace ）
P (0 ≤ rX ≤ a ) = 99.9%
由于将 X 近似地看成正态分布，故 a 120 0 120 r P(0 ≤ rX ≤ a ) = Φ Φ 48 48 a 120 ≈Φ r 0 120 48 Φ 48
≈ 0
= Φ ( 1 7 .3 2 )
X ~ N ( 28500 , 47500 )
P(10 ×1900 ≤ X ≤ 3600 × 8) = p(19000 ≤ X ≤ 28800)
28800 28500 19000 28500 ≈ Φ Φ 47500 47500
≈ Φ (1.376) Φ ( 43.589)
≈ 0.9162
k =1 n
近似
定理2
李雅普诺夫(Liapunov)定理
设随机变量序列 X 1 , X 2 ,
和方差：
E ( X k ) = μ k , D( X k ) = σ > 0 , k = 1,2,
记
Bn2 = ∑ D( X k ) = ∑ σ k2
k =1 k =1
解法二
X 19000 — 1900个产品中需重复检查的个数 10 X 19000 近似 ~ B (1900,0.5) ~ N ( 950, 475 ) 10
中心极限定理的证明
中心极限定理的证明中心极限定理在统计学中是一项非常重要的理论，它描述了一群样本的平均值会随着样本数量的增加而越来越趋近于正态分布。
而这种趋势是非常普遍的，不受样本的概率分布的影响。
现在，我们来一起探讨一下中心极限定理的证明。
首先，我们需要明确一个概念，即抽样分布。
抽样分布描述的是一个样本所采集的数据分布情况，而所有可能的样本具有的分布，我们称之为总体分布。
如果我们采集了足够多的样本，那么这些样本的平均值就可以作为总体分布的一个估计值。
而平均值的抽样分布就是中心极限定理的核心。
假设我们有一个具有总体分布为 X 的总体，我们从中取出 n 个样本，并计算他们的平均数。
这些平均数构成了一个新的分布，即抽样平均数的分布。
但是，我们肯定不可能知道这个分布的具体样子。
然而，根据中心极限定理，我们可以知道这个分布的形态大致上为正态分布，满足均值为总体的均值，标准差为总体标准差除以平方根 n。
中心极限定理的证明可以采用两种方法：方法一：独立同分布的证明为了证明中心极限定理，我们需要了解两个概念：独立性和同分布。
当一个样本中的各个数据之间相互独立时，我们称它们为独立的。
同分布则表明多个样本的概率密度函数相同。
独立同分布的概念是中心极限定理得以证明的基础。
假设对于一个由数学期望为μ、方差为σ^2 的总体，我们独立抽样 n 个样本，样本的均值为X̄。
那么样本的均值X̄的期望为μ，方差为σ^2/n。
根据切比雪夫不等式，我们可以得出：P(|X̄-μ|≥ε)≤σ^2/nε^2其中，P(|X̄-μ|≥ε)即为样本均值与总体均值之差的绝对值大于等于ε 的概率。
由此，我们可以得出任意ε 值下的概率极限为0，即样本均值X̄越来越靠近总体均值μ，以至于ε 足够小时可以近似为 0，即样本均值趋近于总体均值。
这证明了样本均值的中心极限定理成立。
方法二：特征函数的证明特征函数在概率密度函数中具有广泛的应用，中心极限定理中也不例外。
特征函数表示为：ϕ(t)=E(e^(itX))考虑一个均值为μ、标准差为σ的总体 X，我们进行独立同分布的抽样，得到一个大小为 n 的样本。
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那么对于任何t有：
用换元法： ， ；那么
可见求出 便可以得到 。
如果大量这样的随机分布卷积是不是真的逼近高斯分布呢？
事实上在“信号与系统”这门课中通过Matlab对信号进行卷积的实验可以直观地告诉我们答案是肯定的。我们将门函数信号看作某个随机变量的分布，当这样两个门函数卷积时，得出一个三角波函数（如下图），这个我们也可以通过计算得出，而三个门函数相卷积时，一个不太容易预见的情况出现了，图中竟然出现一个钟形函数。经过实验，当足够多的相同门函数卷积时，最终的曲线会无限逼近高斯函数曲线。
"我给你一个数学函数f，时间域无限的输入信号在f域有限的。时间域波形混乱的输入信号在f域是整齐的容易看清楚的。这样你就可以计算了"
"同时，时间域的卷积在f域是简单的相乘关系，我可以证明给你看看"
"计算完有限的程序以后，取f(-1)反变换回时间域，你就得到了一个输出波形，剩下的就是你的数学计算了！"
经理拿来了一个小的电子设备，接到示波器上面，对张三说: "看，这个小设备产生的波形根本没法用一个简单的函数来说明，而且，它连续不断的发出信号！不过幸好，这个连续信号是每隔一段时间就重复一次的。张三，你来测试以下，连到我们的设备上，会产生什么输出波形！"
张三摆摆手:"输入信号是无限时长的，难道我要测试无限长的时间才能得到一个稳定的，重复的波形输出吗?"
上帝接着说:"给产品一个脉冲信号，能量是1焦耳（注1），输出的波形图画出来！"
张三照办了，"然后呢?"
上帝又说，"对于某个输入波形，你想象把它微分成无数个小的脉冲，输入给产品，叠加出来的结果就是你的输出波形。你可以想象这些小脉冲排着队进入你的产品，每个产生一个小的输出，你画出时序图的时候，输入信号的波形好像是反过来进入系统的。"
用卷积法证明中心极限定理
郝越B10050724（Q3-32）
naotilus9112@Dec, 26th,2011
中心极限定理是概率论中十分重要的一个定理，它揭示了大量独立同概率分布的随机变量之和（或平均值）逼近正太分布的规律，具有非常高的理论和实用价值。然而在高等教育出版社的《概率论与数理统计教程》这本教材中的227页举例解释了通过卷积公式导出中心极限定理的来历，然而书中指出“由于卷积计算相当复杂，无法写出当随机变量数趋于无限时其和或平均值的概率分布函数形式”，这给证明带来了困难。本文将信号与系统中的观点，通过Matlab实验给出直觉，并使用傅里叶变换的方法“化积为乘”求出卷积，以证明该定理。
讲一个故事:
张三刚刚应聘到了一个电子产品公司做测试人员，他没有学过"信号与系统"这门课程。一天，他拿到了一个产品，开发人员告诉他，产品有一个输入端，有一个输出端，有限的输入信号只会产生有限的输出。
然后，经理让张三测试当输入sin(t)(t<1秒)信号的时候(有信号发生器)，该产品输出什么样的波形。张三照做了，花了一个波形图。
张三领悟了:"哦，输出的结果就积分出来啦！感谢上帝。这个方法叫什么名字呢?"
上帝说:"叫卷积！"
从此，张三的工作轻松多了。每次经理让他测试一些信号的输出结果，张三都只需要在A4纸上做微积分就是提交任务了！
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张三愉快地工作着，直到有一天，平静的生活被打破。
有人认为门函数的傅里叶变换是Sa函数，并且Sa函数本身就形似高斯函数虚线，而高斯函数有一个奇怪的性质就是其在时域和频域中的形状是相同的，那么，是不是上述情况只是门函数的特例？事实上足够多的随机信号连续卷积，最终也会无线逼近高斯函数。
可以猜想，任何信号无限自卷积，就可以得到高斯函数信号。通过严格的数学证明也可以得到相同的结论。当计算连续卷积时，信号与系统中的理论告诉我们，运用傅里叶变换，在频域计算卷积将会相对容易。
经理怒了:"反正你给我搞定，否则炒鱿鱼！"
张三心想:"这次输入信号连公式都给出出来，一个很混乱的波形；时间又是无限长的，卷积也不行了，怎么办?"
及时地，上帝又出现了:"把混乱的时间域信号映射到另外一个数学域上面，计算完成以后再映射回来"
"宇宙的每一个原子都在旋转和震荡，你可以把时间信号看成若干个震荡叠加的效果，也就是若干个可以确定的，有固定频率特性的东西。（注2）"
"很好！"经理说。然后经理给了张三一叠A4纸: "这里有几千种信号，都用公式说明了，输入信号的持续时间也是确定的。你分别测试以下我们产品的输出波形是什么吧！"
这下张三懵了，他在心理想"上帝，帮帮我把，我怎么画出这些波形图呢?"
于是上帝出现了: "张三，你只要做一次测试，就能用数学的方法，画出所有输入波形对应的输出波形"。
中心极限定理（Central LimitTheorem）数学定义如下：
设 是独立同分布（identicallyindependentdistributed, IID）的随机变量序列，且 ， 。记
则对任意实数y，有
卷积公式如下
在频域
为证明该定理，首先要说明随机变量和的概率密度分布和卷积的关系。在概率论中，我们知道两个随机变量和的分布是其各自概率分布的卷积。证明方法也很简单：
这里给出证明方法：
为了便于证明首先对问题进行归一简化，设 是n个独立随机变量，他们的概率密度同为P(x)。
则其均值为：
标准差为：
另外：
记
， 为其概率密度
则有
要证明中心极限定理即证明
当
对 傅里叶变换得变换对 ，则由
得
而
对 泰勒展开，得
由归一化条件则其均值为 和
最终得
当 ，所以
对上式求傅里叶反变换，得当 时
结论：在证明中可以发现，傅里叶变换将函数投影（或者说分解）到正交函数系上的功能为运算带来了极大的便利。因此在工程数学计算中，我们常常使用傅里叶变换或者拉普拉斯变换解决一些涉及到卷积、微分方程的计算问题。而卷积具有促使信号平滑化的特点，我们可以据此设计信号滤波器，达到降噪处理的目的。
附文：
在写完这篇文章之后，我发现我只是在讨论信号与系统中的数学方法，并没有什么深层次的东西。我在网上找了一篇文章，能够深层次的揭示信号与系统的设计哲学，不妨拿来分享一下。以下是全文和我的一些理解批注。