离散数学 课程简介(祝清顺版)ppt课件
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离散数学 第6章 格(祝清顺版)
格与布尔代数的简介
离散数学
第六章 格与布尔代数
2007年8月20日
Discrete Mathematics
第1节 格的基本概念
科学出版社
主讲：祝清顺 教授
本节主要内容
1. 概念 一.格的定义
2. 对偶原理
3. 基本性质
二.格是代数系统
1. 作为代数系统的格的定义 2. 偏序集合的格与代数集合的格的关系 1. 子格 三.子格
离散数学 第六章 格与布尔代数 2007年8月20日
对偶原理
格的对偶原理表述如下: 设P是对任意格都为真的命题, 如果在命题P中把≤换成 ≥ (或把≥换成≤), ∨换成∧, ∧换成∨, 就得到另一个命 题P, 我们把P称为P的对偶命题, 则P对任意格也是真的命 题. 例如, P: a∧b＝b∧a P: a∨b＝b∨a
用盖住的性质画出偏序集图或称哈斯图，其作图规则为：
(1)小圆圈代表元素。 (2) 如果 x≤y 且x≠y，将代表 y 的小圆圈画在代表 x 的小 圆圈之上。 (3)如果<x, y>∈covA，则在x与y之间用直线连结。
离散数学 第六章 格与布尔代数 2007年8月20日
知识回顾
4. 上界、下界
定义 4 ：设 (A ，≤ ) 是一偏序集，对于 BA ，如有a∈A， 且对任意元素x∈B，都有x≤a ，则称a为 B的上界。同理， 对任意元素x∈B，都有a≤x，则称a为B的下界。 5.最小上界和最大下界 定义 5 ：设 (A ，≤ ) 是一偏序集且 BA ， a 是 B 的任一上 界，若对B的所有上界 y均有a≤y ，则称 a是B 的最小上界，
离散数学 第六章 格与布尔代数 2007年8月20日
格与布尔代数的简介
离散数学-课程简介(祝清顺版)
研究离散结构的数学分科。
——辞海
离散数学研究的对象是离散量，一切以离散现象作为研 究对象或对象之一的数学均称为离散数学。
离散数学
课程简介
2007年8月20日
连续数学VS离散数学印象
剪不断 理还乱 是离愁 恰似一江春水向东流
枯藤老树昏鸦 小桥流水人家 古道西风瘦马 夕阳西下 断肠人在天涯
离散数学
课程简介
离散数学
课程简介
2007年8月20日
四、离散数学的内容
离散数学各部分内容的关系
并非相互独立，有着密切联系
它们分别从不同角度出发，研究各种离散量之间 数与形的关系。
离散数学是计算机科学中一些课程的必备基础
数理逻辑是自动机理论、编译原理、人工智能的 基础课程之一；
集合论是数据库的基础课程之一；
诉你各种模式的本质特征和它们之间的关系，以及选用 它们的策略；告诉你哪些问题是可解的，哪些是当前在 图灵机模型上无（最优）解的，哪些是可以得到近似较 优的解。
离散数学
课程简介
2007年8月20日
六、为什么要学习离散数学
掌握离散数学知识，为后续课程（数据结构、操作系 统、编译理论、算法分析、系统结构、容错判断、机 器定理证明、数据库原理、人工智能等）打下坚实的 基础。
离散数学
课程简介
2007年8月20日
四、离散数学的内容
离散结构：用来表示离散对象以及它们之间关系的抽象 数学结构，包括：集合、排列、关系、树、图。
组合分析：解决问题的一个重要方面就是计数或枚举对 象，一种重要的数据结构 。
算法化思维：许多问题都可以通过构造一个可以被程序 实现的算法来解决。它的三个步骤是：构造（选择合适 的离散模型和操作步骤）、验证（算法的正确性）、评 估（时间和空间的复杂性）。
离散数学ppt课件
02
集合论基础
集合的基本概念
总结词
集合是离散数学中的基本概念， 是研究离散对象的重要工具。
详细描述
集合是由一组确定的、互不相同 的、可区分的对象组成的整体。 这些对象称为集合的元素。例如 ，自然数集、平面上的点集等。
集合的运算和性质
总结词
集合的运算和性质是离散数学中的重要内容，包括集合的交、并、差、补等基本运算，以及集合的确定性、互异 性、无序性等性质。
生，1表示事件一定会发生。
离散概率论的运算和性质
概率的加法性质
如果两个事件A和B是互斥的，那么P(A或B)等于P(A)加上 P(B)。
概率的乘法性质
如果事件A和B是独立的，那么P(A和B)等于P(A)乘以P(B) 。
全概率公式
对于任意的事件A，存在一个完备事件组{E1, E2, ..., En}， 使得P(Ai)>0 (i=1,2,...,n)，且E1∪E2∪...∪En=S，那么 P(A)=∑[i=1 to n] P(Ai)P(A|Ei)。
工程学科
离散数学在工程学科中也有着重要的 应用，如计算机通信网络、控制系统 、电子工程等领域。
离散数学的重要性
基础性
离散数学是数学的一个重要分支 ，是学习其他数学课程的基础。
应用性
离散数学在各个领域都有着广泛的 应用，掌握离散数学的知识和方法 对于解决实际问题具有重要的意义 。
培养逻辑思维
学习离散数学可以培养人的逻辑思 维能力和问题解决能力，对于个人 的思维发展和职业发展都有很大的 帮助。
详细描述
邻接矩阵是一种常用的表示图的方法，它是 一个二维矩阵，其中行和列对应于图中的节 点，如果两个节点之间存在一条边，则矩阵 中相应的元素为1，否则为0。邻接表是一 种更有效的表示图的方法，它使用链表来存 储与每个节点相邻的节点。
离散数学 第4章 代数系统(祝清顺版)
离散数学 第四章 代数系统 2007年8月20日
代数结构的知识体系
半群与群 环与域 格与布尔代数
分类 成分：载体及运算 公理：运算性质 产生 代数系统的构成
子集
子代数
同 种 的 同 类 型 的
等价关系
映射
代数系统的 同态与同构 代数系统间的关系
离散数学 第四章 代数系统 2007年8月20日
商代数 新代数系统
，有限域理论是差错控制编码理论的数学基础，在通讯中发 挥了重要作用。而电子线路设计、电子计算机硬件设计和通 讯系统设计更是离不开布尔代数。
离散数学 第四章 代数系统 2007年8月20日
学习本篇的方法
1、要按照数学的思维方式学习, 即观察客观世界, 抽象出模型 , 再分析、推理揭示内在规律的过程。 2、领会“抽象”性：代数的抽象性不仅体现在元素的抽象上, 还体现在相应运算的抽象上, 是在最纯粹的形式下研究代数结 构中的运算的规律与性质, 从运算的角度来考虑代数结构中的 元素。因此, 初等代数的相应概念、结论不能直接应用在抽象 代数中。如何跨越从直观到抽象是学习抽象代数的重要一步。 3、教材的基本思路是： 首先严格定义什么是代数结构, 并讨 论一般代数结构的基本性质。然后讨论代数结构研究的两个方 面：其一是通过一些基本性质来规定一类特定的代数结构, 并 对这类代数结构的性质进行研究。其二是研究代数结构之间的 各种关系, 通过对代数结构之间关系的研究 , 就可以把一个代 数结构中的某些性质推广到另一个代数结构中。
离散数学
第四章 代数系统
2007年8月20日
例题
例2 实数集R和两个二元运算: 普通加法＋和普通乘法 ×, 构成一代数系统, 记作(R, ＋, ×).
(1) 载体是实数集R.
代数结构的知识体系
半群与群 环与域 格与布尔代数
分类 成分：载体及运算 公理：运算性质 产生 代数系统的构成
子集
子代数
同 种 的 同 类 型 的
等价关系
映射
代数系统的 同态与同构 代数系统间的关系
离散数学 第四章 代数系统 2007年8月20日
商代数 新代数系统
，有限域理论是差错控制编码理论的数学基础，在通讯中发 挥了重要作用。而电子线路设计、电子计算机硬件设计和通 讯系统设计更是离不开布尔代数。
离散数学 第四章 代数系统 2007年8月20日
学习本篇的方法
1、要按照数学的思维方式学习, 即观察客观世界, 抽象出模型 , 再分析、推理揭示内在规律的过程。 2、领会“抽象”性：代数的抽象性不仅体现在元素的抽象上, 还体现在相应运算的抽象上, 是在最纯粹的形式下研究代数结 构中的运算的规律与性质, 从运算的角度来考虑代数结构中的 元素。因此, 初等代数的相应概念、结论不能直接应用在抽象 代数中。如何跨越从直观到抽象是学习抽象代数的重要一步。 3、教材的基本思路是： 首先严格定义什么是代数结构, 并讨 论一般代数结构的基本性质。然后讨论代数结构研究的两个方 面：其一是通过一些基本性质来规定一类特定的代数结构, 并 对这类代数结构的性质进行研究。其二是研究代数结构之间的 各种关系, 通过对代数结构之间关系的研究 , 就可以把一个代 数结构中的某些性质推广到另一个代数结构中。
离散数学
第四章 代数系统
2007年8月20日
例题
例2 实数集R和两个二元运算: 普通加法＋和普通乘法 ×, 构成一代数系统, 记作(R, ＋, ×).
(1) 载体是实数集R.
离散数学第2章 关系(祝清顺版)
第二章 二元关系 2007年8月20日
离散数学
关系矩阵的实例
例9 设A={3, 5, 6, 9}, A上的二元关系
R={<x, y｜x＞y},
试求出关系矩阵。
[解] 关系的集合表示为:
R＝{9, 3, 9, 5, 9, 6, 6, 3, 6, 5, 5, 3}.
关系矩阵为: 0 1 MR= 1 1
关系的三种表示方法： 集合表达式 关系矩阵
关系图
关系矩阵和关系图可以表示有限集合上的关系。
离散数学
第二章 二元关系
2007年8月20日
关系矩阵
设给定集合A={a1,a2,…,an}，B={b1,b2,…,bm}，R为从A到B
的一个二元关系，构造一个n×m矩阵。用集合A的元素标注矩
阵的行，用集合B的元素标注矩阵的列，对于aiA和bjB，令
n2 n2
个. 不
每一个子集代表一个A上的二元关系，所以A上有 2 同的二元关系。 |Ai|=mi，则A1×A2×…×An上有 2 二元关系。
离散数学 第二章 二元关系 2007年8月20日
m1m2…mn
个不同的
常用的关系
定义 对任意集合A，定义 (1) 空关系 (2) 全域关系 EA={<x, y>|x∈A且y∈A}=A×A (3) 恒等关系 IA={<x, x>|x∈A} (4) 小于或等于关系：LA={<x, y>|x, y∈A且x≤y}, 其中 AR。 (5) 整除关系：DA={<x, y>|x, y∈A且x整除y}, 其中 AZ* , Z*是非零整数集 (6) 包含关系：R＝{<x, y>|x, y∈A且xy}, 其中A是集 合族。
离散数学
关系矩阵的实例
例9 设A={3, 5, 6, 9}, A上的二元关系
R={<x, y｜x＞y},
试求出关系矩阵。
[解] 关系的集合表示为:
R＝{9, 3, 9, 5, 9, 6, 6, 3, 6, 5, 5, 3}.
关系矩阵为: 0 1 MR= 1 1
关系的三种表示方法： 集合表达式 关系矩阵
关系图
关系矩阵和关系图可以表示有限集合上的关系。
离散数学
第二章 二元关系
2007年8月20日
关系矩阵
设给定集合A={a1,a2,…,an}，B={b1,b2,…,bm}，R为从A到B
的一个二元关系，构造一个n×m矩阵。用集合A的元素标注矩
阵的行，用集合B的元素标注矩阵的列，对于aiA和bjB，令
n2 n2
个. 不
每一个子集代表一个A上的二元关系，所以A上有 2 同的二元关系。 |Ai|=mi，则A1×A2×…×An上有 2 二元关系。
离散数学 第二章 二元关系 2007年8月20日
m1m2…mn
个不同的
常用的关系
定义 对任意集合A，定义 (1) 空关系 (2) 全域关系 EA={<x, y>|x∈A且y∈A}=A×A (3) 恒等关系 IA={<x, x>|x∈A} (4) 小于或等于关系：LA={<x, y>|x, y∈A且x≤y}, 其中 AR。 (5) 整除关系：DA={<x, y>|x, y∈A且x整除y}, 其中 AZ* , Z*是非零整数集 (6) 包含关系：R＝{<x, y>|x, y∈A且xy}, 其中A是集 合族。
离散数学 第8章 树(祝清顺版)88页PPT文档
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离散数学
第八章 树
2007年8月20日
生成树的存在条件
定理3 任何无向连通图G 至少存在一棵生成树.
[证] 若连通图G中无回路, 则G为自身的生成树. 若G中包含回路, 则随意地删除回路上的一条边, 而
vVdeg(vi) =2m =2(n1). 另一方面, 设T有x片树叶, 可得
2(n1)= vVdeg(vi) ≥x+2(nx) 由上式解出x≥2.
离散数学
第八章 树
2007年8月20日
例题
例2 设T为6条边的树, 其顶点度为1, 2, 3. 如果T恰有3个 度为2的顶点，那么T有多少片树叶？并画出满足要求的 非同构的无向树. [解] 设T有x片树叶, 于是结点总数为
本章将对树进行详细的讨论，主要包括：
树的基本性质和生成树，
根树、有向树中的n元树、有序树和搜索树等。
离散数学
第八章 树
2007年8月20日
Discrete Mathematics
科学出版社
第1节 树
主讲：祝清顺 教授
树的概念
定义1 连通而无简单回路的无向图称为无向树, 简称树, 常用T表示树. 在树中度数为1的结点称为树叶, 度数大于1的结点称为分支结点.
e1
e4 e2 e7 e8
e6
e5 e3Fra biblioteke10
e9 e11
e1 e4 e2 e5
e3
e9
生成树T1
离散数学
第八章 树
离散数学 第8章 树(祝清顺版)
说明
G的生成树一般不惟一. 余树不一定是树, 因为余树不一定连通, 也可能包 含回路.
离散数学
第八章
树
2007年8月20日
例题
例4 在下图中, 可以看到该图的绿线所示的一个生成树 T. 其中e1, e2, e3, e4, e5, e9都是T的树枝, e6, e7, e8, e10, e11都是T的弦.
树
2007年8月20日
例题
例4 利用破圈法求下图的生成树。
依次删去边e6,e7,e8,e10,e11, 所得到的生成树就是例
9.1.3中所给出一棵生成树T1.
e4 e2 e7 e8 e10 e9 e5 e6 e3 e11
e1 e1
e4
e2
e9
e5 e3
T的余树如右图所示, 余树是不连通的, 同时也包含回路.
e 4 e2 e7 e8 e10 e9 e5 e6 e3 e11
离散数学 第八章 树
e1
e7 e 8 e6 e10 e11
2007年8月20日
生成树的存在条件
定理3 任何无向连通图G 至少存在一棵生成树. [证] 若连通图G中无回路, 则G为自身的生成树. 若G中包含回路, 则随意地删除回路上的一条边, 而 不影响图的连通性. 若上仍有回路, 则再删除回路上的一条边, 直到无 回路为止, 最后得到的图是无回路、连通的且为G的生 成子图, 故为G的生成树.
离散数学 第八章 树 2007年8月20日
树简介
而系统地研究树，把树当成一个纯数学对象来研究的是法 国数学家约当(Jordan)。 1869年，约当(Jordan)作为一个纯数学对象独立地发现 了树，并给出了树的概念。 约当所研究的成果就是凯莱(Caylay Arthur)所要研究的，但他并不知道树
G的生成树一般不惟一. 余树不一定是树, 因为余树不一定连通, 也可能包 含回路.
离散数学
第八章
树
2007年8月20日
例题
例4 在下图中, 可以看到该图的绿线所示的一个生成树 T. 其中e1, e2, e3, e4, e5, e9都是T的树枝, e6, e7, e8, e10, e11都是T的弦.
树
2007年8月20日
例题
例4 利用破圈法求下图的生成树。
依次删去边e6,e7,e8,e10,e11, 所得到的生成树就是例
9.1.3中所给出一棵生成树T1.
e4 e2 e7 e8 e10 e9 e5 e6 e3 e11
e1 e1
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e5 e3
T的余树如右图所示, 余树是不连通的, 同时也包含回路.
e 4 e2 e7 e8 e10 e9 e5 e6 e3 e11
离散数学 第八章 树
e1
e7 e 8 e6 e10 e11
2007年8月20日
生成树的存在条件
定理3 任何无向连通图G 至少存在一棵生成树. [证] 若连通图G中无回路, 则G为自身的生成树. 若G中包含回路, 则随意地删除回路上的一条边, 而 不影响图的连通性. 若上仍有回路, 则再删除回路上的一条边, 直到无 回路为止, 最后得到的图是无回路、连通的且为G的生 成子图, 故为G的生成树.
离散数学 第八章 树 2007年8月20日
树简介
而系统地研究树，把树当成一个纯数学对象来研究的是法 国数学家约当(Jordan)。 1869年，约当(Jordan)作为一个纯数学对象独立地发现 了树，并给出了树的概念。 约当所研究的成果就是凯莱(Caylay Arthur)所要研究的，但他并不知道树
离散数学的ppt课件
科学中的许多问题。
03
例如，利用图论中的最短路径算法和最小生成树算法
等，可以优化网络通信和数据存储等问题。
运筹学中的应用
01
运筹学是一门应用数学学科， 主要研究如何在有限资源下做 出最优决策，离散数学在运筹 学中有着广泛的应用。
02
利用离散数学中的线性规划、 整数规划和非线性规划等理论 ，可以解决运筹学中的许多问 题。
并集是将两个集合中的所有元素合 并在一起，形成一个新的集合。
详细描述
例如，{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的并集是 {1, 2, 3, 4}。
总结词
补集是取一个集合中除了某个子集 以外的所有元素组成的集合。
详细描述
例如，对于集合{1, 2, 3}，{1, 2}的 补集是{3}。
集合的基数
总结词
）的数学分支。
离散数学的学科特点
03
离散数学主要研究对象的结构、性质和关系，强调推
理和证明的方法。
离散数学的应用领域
计算机科学
01
离散数学是计重要的工具和方法。
通信工程
02
离散数学在通信工程中广泛应用于编码理论、密码学、信道容
量估计等领域。
集合的基数是指集合中元素的数量。
详细描述
例如，集合{1, 2, 3}的基数是3，即它包含三个元素。
03 图论
图的基本概念
顶点
图中的点称为顶点或节点。
边
连接两个顶点的线段称为边。
无向图
边没有方向，即连接两个顶点的线段可以是双向 的。
有向图
边有方向，即连接两个顶点的线段只能是从一个顶 点指向另一个顶点。
研究模态算子（如necessity、possibility）的语义和语法。
《离散数学讲义》课件
离散概率分布的定义
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
图论离散数学离散数学第四版清华出版社PPT课件
12/19/2020
28
b
e1
e4
a
e2
d
e5
e3
c
e5, e1, e2, e3, e4是简单通路，不是基本通路， 因为c, a, b, c, d, b中b, c均出现了两次。但c,
d, b, c是基本通路，也是基本回路。
12/19/2020
29
[定理] 在一个n阶图中，若从顶点u到v (uv)
❖ 起始状态是“人狼羊菜”，结束状态是“空”。
❖ 问题的解：找到一条从起始状态到结束状态的 尽可能短的通路。
12/19/2020
26
“巧渡河”问题的解
❖ 注意：在“人狼羊菜”的16种组合中允 许出现的只有10种。
人羊狼菜 人狼菜 人羊狼 人羊菜 人羊
狼菜
狼
12/19/2020
菜
羊
空(成功)
27
[定义] 简单通路(Simple Path)
在无向图G中，若e=(a, b)∈E，则称a与 b彼此相邻(adjacent)，或边e关联 (incident) 或联结(connect) a, b。a, b称为边e的端点或 结束顶点(endpoint)。
在有向图D中，若e=<a, b>∈E，即箭头 由a到b，称a邻接到b，或a关联或联结b。a 称为e的始点(initial vertex)，b称为e的终点 (terminal/end vertex)。
12/19/2020
30
[定义] 连通性(connectivity)
设G=<V，E>，若从vi到vj存在一条通 路，则称vi到vj连通(connective)或可达。
说明：对无向图而言，若vi到vj可达，则 vj到vi也可达。对有向图而言则未必。
离散数学引言ppt课件
离散数学
总学时: 56 理论学时:50
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
绪论内容目录
• 离散数学概述 • 离散数学研究内容 • 教学内容 • 教材及参考书目
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
– 耿素云，离散数学，高等教育出版社 – 参考书目 – 王遇科，离散数学，北京理工大学出版
社 – 离散数学，王孝喜等译，电子工业出版
社
– Discrete Mathematical Structures, Bernard Kolman, Robert C.Busby, Sharon Ross, Prentice Hall Inc.
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
• 图论
___对于解决许多实际问题很有用处，对于 学习数据结构、编译原理课程也很有帮助。 要求掌握有关图、树的基本概念，以及如 何将图论用于实际问题的解决，并培养其 使用数学工具建立模型的思维方式。
数理逻辑 齐人固善盗乎?
___<<晏子春秋 内篇杂下第六>>
论辩中的复杂问语
___<<哲学演讲录>>(二)中曾叙述了一个 复杂问语:
梅内德谟:你已停止打你父亲,是吗?
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
总学时: 56 理论学时:50
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
绪论内容目录
• 离散数学概述 • 离散数学研究内容 • 教学内容 • 教材及参考书目
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
– 耿素云，离散数学，高等教育出版社 – 参考书目 – 王遇科，离散数学，北京理工大学出版
社 – 离散数学，王孝喜等译，电子工业出版
社
– Discrete Mathematical Structures, Bernard Kolman, Robert C.Busby, Sharon Ross, Prentice Hall Inc.
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
• 图论
___对于解决许多实际问题很有用处，对于 学习数据结构、编译原理课程也很有帮助。 要求掌握有关图、树的基本概念，以及如 何将图论用于实际问题的解决，并培养其 使用数学工具建立模型的思维方式。
数理逻辑 齐人固善盗乎?
___<<晏子春秋 内篇杂下第六>>
论辩中的复杂问语
___<<哲学演讲录>>(二)中曾叙述了一个 复杂问语:
梅内德谟:你已停止打你父亲,是吗?
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
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供具体指导。 离散数学结构实际上就是通用的抽象的模式的集合。告
诉你各种模式的本质特征和它们之间的关系，以及选用 它们的策略；告诉你哪些问题是可解的，哪些是当前在 图灵机模型上无（最优）解的，哪些是可以得到近似较 优的解。
离散数学
课程简介
2007年8月20日
六、为什么要学习离散数学
掌握离散数学知识，为后续课程（数据结构、操作系 统、编译理论、算法分析、系统结构、容错判断、机 器定理证明、数据库原理、人工智能等）打下坚实的 基础。
离散数学
课程简介
2007年8月20日
三、离散数学与计算机的关系
计算机是一个离散的结构，计算机的研究对象大都是离 散形式，离散数学当之无愧地可以充分描述计算机科学的 离散性的特点，它是研究计算机科学的基本数学工具和最 合适的理论手段。因此，离散数学是是计算机科学的专业 基础核心课程，也是信息科学的数学基础。
它在计算机理论研究及软硬件开发的各个领域都有广泛 的应用。
在计算机科学发展的过程中，各种理论问题的研究交错
地使用着近代数学中的不同论题，这些论题都构成了离散
数学的内容。
离散数学
课程简介
2007年8月20日
四、离散数学的内容
离散数学由多门数学分支组成 主要研究分支包括： 数理逻辑、集合论、代数(近世代数)、图论、算法、 组合数学、形式语言与自动机等等。 每个分支基本上可以看成是一门独立的学科。
一门科学, 只有当它成功地运用数学时,才能
达到真正完善的地步 .
马克思
要辨证而又唯物地了解自然 , 就必
须熟悉数学.
恩格斯
7. 学数学最好的方式是做数学.
离散数学
华罗庚
聪明在于学习 , 天才在于积累 . 学而优则用 , 学而优则创 . 由薄到厚 , 由厚到薄 .
课程简介
2007年8月20日
八、教材与参考书
20世纪30年代, 图灵提出计算机的理论模型——图灵 机。
离散数学
课程简介
2007年8月20日
二、离散数学的发展过程
图灵机这种模型早于实际制造计算机十多年, 现实的计 算机的计算能力, 本质上和图灵机的计算能力一样。
由于在计算机内, 机器字长总是有限的, 它代表离散的 数或其它离散对象，因此随着计算机科学和技术的迅猛 发展, 离散数学就显得重要。
数理逻辑：是计算机科学的基础，应熟练掌握将现实 生活中的条件化成逻辑公式，并能做适当的推理，这对 程序设计等课程是极有用处的。
离散数学
课程简介
2007年8月20日
四、离散数学的内容
离散结构：用来表示离散对象以及它们之间关系的抽象 数学结构，包括：集合、排列、关系、树、图。
组合分析：解决问题的一个重要方面就是计数或枚举对 象，一种重要的数据结构 。
Discrete Mathema讲：祝清顺 教授
一、现代数学的两大分类
现代数学可以分为两大类：
❖ 一类是研究连续对象的，如分析、方程等。
❖ 另一类是研究离散对象的离散数学。
离散数学：Discrete Mathematics.
研究离散对象及其相互间关系的一门数学学科。
代数结构
数理逻辑
集合论
图论
离散数学
课程简介
2007年8月20日
课程结构
离散数学
集合论
代数系统
图 论 数理逻辑
集二函 代 典布 图
元
数 型尔论
树
关
结 系代基
合系 数构 统数 础
离散数学
.
课程简介
2007年8月20日
命谓 题词 逻逻 辑辑
六、为什么要学习离散数学
计算机求解的基本模式是： 实际问题 数学建模 算法设计 编程实现 离散数学可以为数学建模打下知识基础、为算法设计提
2007年8月20日
二、离散数学的发展过程
18世纪以前, 数学基本上是研究离散对象的数量和空间 关系的科学。
之后, 因天文学, 物理学的发展, 如行星轨道, 牛顿三大 力学定律等研究, 极大地推动了连续数学(以微积分, 数 学物理方程, 实、复变函数论为代表)的发展。
离散对象的研究则处于停滞状态。
算法化思维：许多问题都可以通过构造一个可以被程序 实现的算法来解决。它的三个步骤是：构造（选择合适 的离散模型和操作步骤）、验证（算法的正确性）、评 估（时间和空间的复杂性）。
离散数学
课程简介
2007年8月20日
四、离散数学的内容
离散数学各部分内容的关系
并非相互独立，有着密切联系
它们分别从不同角度出发，研究各种离散量之间 数与形的关系。
学习方法：
1. 准确掌握每个概念(包括内涵及外延).
2. 要有刻苦钻研精神, 不断总结经验.
3. 在理解内容的基础上, 要较多地做些习题, 从而再进 一步加深理解所学内容.
4. 注意培养分析问题和解决问题的能力.
离散数学
课程简介
2007年8月20日
七、学习方法
6. 认识离散数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.
❖简而言之，离散数学的作用就在于训练运用离散结 构作为问题的抽象模型、构造算法、解决问题的能力.
❖通过离散数学的学习，培养抽象思维，缜密概括和 严密逻辑推理能力，掌握证明问题的方法。
离散数学
课程简介
2007年8月20日
七、学习方法
课程特点：定义+定理+例题
内容较杂，概念多，定理多，比较抽象，给学习带来一 定难度。
研究离散结构的数学分科。
——辞海
离散数学研究的对象是离散量，一切以离散现象作为研 究对象或对象之一的数学均称为离散数学。
离散数学
课程简介
2007年8月20日
连续数学VS离散数学印象
剪不断 理还乱 是离愁 恰似一江春水向东流
枯藤老树昏鸦 小桥流水人家 古道西风瘦马 夕阳西下 断肠人在天涯
离散数学
课程简介
授课教材 ❖祝清顺、贾利新、刘楠编著．离散数学．科学出版社。 参考教材
❖左孝凌等编著．离散数学．上海科技文献出版社 ❖耿素云，屈婉玲编著．离散数学(修订版)．高等教育出 版社, 2004 ❖耿素云，屈婉玲编著．离散数学学习指导与习题解析． 高等教育出版社, 2005
离散数学是计算机科学中一些课程的必备基础
数理逻辑是自动机理论、编译原理、人工智能的 基础课程之一；
集合论是数据库的基础课程之一；
代数是密码学的基础课程之一；
离散数学
图论是逻辑设计的基础课程之一(通信网理论的 基础)。
课程简介
2007年8月20日
五、教学内容
教学内容 分为四个相对独立的部分： 集合论、代数、 图论与数理逻辑。
诉你各种模式的本质特征和它们之间的关系，以及选用 它们的策略；告诉你哪些问题是可解的，哪些是当前在 图灵机模型上无（最优）解的，哪些是可以得到近似较 优的解。
离散数学
课程简介
2007年8月20日
六、为什么要学习离散数学
掌握离散数学知识，为后续课程（数据结构、操作系 统、编译理论、算法分析、系统结构、容错判断、机 器定理证明、数据库原理、人工智能等）打下坚实的 基础。
离散数学
课程简介
2007年8月20日
三、离散数学与计算机的关系
计算机是一个离散的结构，计算机的研究对象大都是离 散形式，离散数学当之无愧地可以充分描述计算机科学的 离散性的特点，它是研究计算机科学的基本数学工具和最 合适的理论手段。因此，离散数学是是计算机科学的专业 基础核心课程，也是信息科学的数学基础。
它在计算机理论研究及软硬件开发的各个领域都有广泛 的应用。
在计算机科学发展的过程中，各种理论问题的研究交错
地使用着近代数学中的不同论题，这些论题都构成了离散
数学的内容。
离散数学
课程简介
2007年8月20日
四、离散数学的内容
离散数学由多门数学分支组成 主要研究分支包括： 数理逻辑、集合论、代数(近世代数)、图论、算法、 组合数学、形式语言与自动机等等。 每个分支基本上可以看成是一门独立的学科。
一门科学, 只有当它成功地运用数学时,才能
达到真正完善的地步 .
马克思
要辨证而又唯物地了解自然 , 就必
须熟悉数学.
恩格斯
7. 学数学最好的方式是做数学.
离散数学
华罗庚
聪明在于学习 , 天才在于积累 . 学而优则用 , 学而优则创 . 由薄到厚 , 由厚到薄 .
课程简介
2007年8月20日
八、教材与参考书
20世纪30年代, 图灵提出计算机的理论模型——图灵 机。
离散数学
课程简介
2007年8月20日
二、离散数学的发展过程
图灵机这种模型早于实际制造计算机十多年, 现实的计 算机的计算能力, 本质上和图灵机的计算能力一样。
由于在计算机内, 机器字长总是有限的, 它代表离散的 数或其它离散对象，因此随着计算机科学和技术的迅猛 发展, 离散数学就显得重要。
数理逻辑：是计算机科学的基础，应熟练掌握将现实 生活中的条件化成逻辑公式，并能做适当的推理，这对 程序设计等课程是极有用处的。
离散数学
课程简介
2007年8月20日
四、离散数学的内容
离散结构：用来表示离散对象以及它们之间关系的抽象 数学结构，包括：集合、排列、关系、树、图。
组合分析：解决问题的一个重要方面就是计数或枚举对 象，一种重要的数据结构 。
Discrete Mathema讲：祝清顺 教授
一、现代数学的两大分类
现代数学可以分为两大类：
❖ 一类是研究连续对象的，如分析、方程等。
❖ 另一类是研究离散对象的离散数学。
离散数学：Discrete Mathematics.
研究离散对象及其相互间关系的一门数学学科。
代数结构
数理逻辑
集合论
图论
离散数学
课程简介
2007年8月20日
课程结构
离散数学
集合论
代数系统
图 论 数理逻辑
集二函 代 典布 图
元
数 型尔论
树
关
结 系代基
合系 数构 统数 础
离散数学
.
课程简介
2007年8月20日
命谓 题词 逻逻 辑辑
六、为什么要学习离散数学
计算机求解的基本模式是： 实际问题 数学建模 算法设计 编程实现 离散数学可以为数学建模打下知识基础、为算法设计提
2007年8月20日
二、离散数学的发展过程
18世纪以前, 数学基本上是研究离散对象的数量和空间 关系的科学。
之后, 因天文学, 物理学的发展, 如行星轨道, 牛顿三大 力学定律等研究, 极大地推动了连续数学(以微积分, 数 学物理方程, 实、复变函数论为代表)的发展。
离散对象的研究则处于停滞状态。
算法化思维：许多问题都可以通过构造一个可以被程序 实现的算法来解决。它的三个步骤是：构造（选择合适 的离散模型和操作步骤）、验证（算法的正确性）、评 估（时间和空间的复杂性）。
离散数学
课程简介
2007年8月20日
四、离散数学的内容
离散数学各部分内容的关系
并非相互独立，有着密切联系
它们分别从不同角度出发，研究各种离散量之间 数与形的关系。
学习方法：
1. 准确掌握每个概念(包括内涵及外延).
2. 要有刻苦钻研精神, 不断总结经验.
3. 在理解内容的基础上, 要较多地做些习题, 从而再进 一步加深理解所学内容.
4. 注意培养分析问题和解决问题的能力.
离散数学
课程简介
2007年8月20日
七、学习方法
6. 认识离散数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.
❖简而言之，离散数学的作用就在于训练运用离散结 构作为问题的抽象模型、构造算法、解决问题的能力.
❖通过离散数学的学习，培养抽象思维，缜密概括和 严密逻辑推理能力，掌握证明问题的方法。
离散数学
课程简介
2007年8月20日
七、学习方法
课程特点：定义+定理+例题
内容较杂，概念多，定理多，比较抽象，给学习带来一 定难度。
研究离散结构的数学分科。
——辞海
离散数学研究的对象是离散量，一切以离散现象作为研 究对象或对象之一的数学均称为离散数学。
离散数学
课程简介
2007年8月20日
连续数学VS离散数学印象
剪不断 理还乱 是离愁 恰似一江春水向东流
枯藤老树昏鸦 小桥流水人家 古道西风瘦马 夕阳西下 断肠人在天涯
离散数学
课程简介
授课教材 ❖祝清顺、贾利新、刘楠编著．离散数学．科学出版社。 参考教材
❖左孝凌等编著．离散数学．上海科技文献出版社 ❖耿素云，屈婉玲编著．离散数学(修订版)．高等教育出 版社, 2004 ❖耿素云，屈婉玲编著．离散数学学习指导与习题解析． 高等教育出版社, 2005
离散数学是计算机科学中一些课程的必备基础
数理逻辑是自动机理论、编译原理、人工智能的 基础课程之一；
集合论是数据库的基础课程之一；
代数是密码学的基础课程之一；
离散数学
图论是逻辑设计的基础课程之一(通信网理论的 基础)。
课程简介
2007年8月20日
五、教学内容
教学内容 分为四个相对独立的部分： 集合论、代数、 图论与数理逻辑。