2019年高考数学(理)真题汇编：专题02 函数的概念与基本初等函数

合集下载

2019年数学函数的概念与基本初等函数Ⅰ高考真题和模拟题分项汇编数学文Word版含解析

2019年数学函数的概念与基本初等函数Ⅰ高考真题和模拟题分项汇编专题02 函数的概念与基本初等函数I1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,c <=<=即01,c <<则a c b <<．故选B ．【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养．采取中间量法，根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小．2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )= A ．e 1x -- B ．e 1x -+ C ．e 1x --- D ．e 1x --+【答案】D【解析】由题意知()f x 是奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当0x <时，0x ->，则()e 1()xf x f x --=-=-，得()e 1xf x -=-+．故选D ．【名师点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为 A ．2 B ．3 C ．4D ．5【答案】Ba b c <<a c b <<c a b <<b c a <<【解析】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=，得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2πx ∈Q ，0πx ∴=、或2π．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3.故选B ．【名师点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养，直接求出函数的零点可得答案.4．【2019年高考天津文数】已知0.223log 7,log 8,0.3a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为A ．c b a <=， 331log 8log 92b <=<=，∴c b a <<. 故选A .【名师点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时，要根据底数与1的大小进行判断. 5．【2019年高考北京文数】下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是 A ．12y x = B ．y =2x - C ．12log y x =D ．1y x=【答案】A【解析】易知函数122,log xy y x -==，1y x=在区间(0,)+∞上单调递减，函数12y x =在区间(0,)+∞上单调递增. 故选A.【名师点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题. 6．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，可知应为D 选项中的图象．故选D ．【名师点睛】本题考查函数的性质与图象的识别，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法和赋值法，利用数形结合思想解题．7．【2019年高考北京文数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为k m 的星的亮度为k E （k =1,2）．已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ．1010.1B ．10.1C ．lg10.1D ．10−10.1【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=，令211.45,26.7m m =-=-，则()121222lg( 1.4526.7)10.1,55E m m E =-=⨯-+= 2sin cos ++x xx x从而10.11210E E =. 故选A.【名师点睛】本题以天文学问题为背景，考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及对数的运算.8．【2019年高考浙江】在同一直角坐标系中，函数1x y a =，1(2log )a y x =+(a >0，且a ≠1)的图象可能是【答案】D【解析】当01a <<时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=的图象过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a=的图象过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合. 综上，选D.【名师点睛】易出现的错误：一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟练，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.9．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314） D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314）【答案】C【解析】()f x Q 是定义域为R 的偶函数，331(log )(log 4)4f f ∴=．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>Q ，又()f x 在(0，+∞)上单调递减，∴23323(log 4)22f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，先利用函数的奇偶性化为同一区间，再利用中间量比较自变量的大小，最后根据单调性得到答案．10．【2019年高考天津文数】已知函数01,()1,1.x f x x x⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程1()()4f x x a a =-+∈R 恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为 A ．59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．59,44⎛⎤⎥⎝⎦ C ．59,{1}44⎛⎤⎥⎝⎦U D ．59,{1}44⎡⎤⎢⎥⎣⎦U【答案】D【解析】作出函数01,()1,1x f x x x⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩的图象，以及直线14y x =-，如图，关于x 的方程1()()4f x x a a =-+∈R 恰有两个互异的实数解，即为()y f x =和1()4y x a a =-+∈R 的图象有两个交点，平移直线14y x =-，考虑直线经过点(1,2)和(1,1)时，有两个交点，可得94a =或54a =，考虑直线1()4y x a a =-+∈R 与1y x =在1x >时相切，2114ax x -=，由210a ∆=-=，解得1a =（1-舍去），所以a 的取值范围是{}59,149⎡⎤⎢⎥⎣⎦U .故选D.【名师点睛】根据方程实数根的个数确定参数的取值范围，常把其转化为曲线的交点个数问题，特别是其中一个函数的图象为直线时常用此法.11．【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则 A ．a <–1，b <0 B ．a <–1，b >0 C ．a >–1，b <0 D ．a >–1，b >0【答案】C【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x =b 1−a，则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2﹣b ，2(1)y x a x =+-'，当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增，则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意；当a +1＞0，即a >﹣1时，令y ′＞0得x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增，令y ′＜0得x ∈[0，a +1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点⇔函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，如图：∴b1−a＜0且{−b ＞013(a +1)3−12(a +1)(a +1)2−b ＜0，解得b ＜0，1﹣a ＞0，b ＞−16（a +1）3，则a >–1，b <0. 故选C ．【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2﹣b ，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解．12．【2019年高考江苏】函数y =的定义域是 ▲ .【答案】[1,7]-【解析】由题意得到关于x 的不等式，解不等式可得函数的定义域. 由已知得2760x x +-≥,即2670x x --≤，解得17x -≤≤，故函数的定义域为[1,7]-.【名师点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．13．【2019年高考浙江】已知a ∈R ，函数3()f x ax x =-，若存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是___________. 【答案】43【解析】存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，即有332|(2)(2)|3a t t at t +-+-+≤，化为()22|23642|3a t t ++-≤，可得()2222364233a t t -≤++-≤，即()22436433a t t ≤++≤，由223643(1)11t t t ++=++≥，可得403a <≤. 则实数a 的最大值是43. 【名师点睛】本题考查函数的解析式及二次函数，结合函数的解析式可得33|(2)(2)|a t t at t +-+-+23≤，去绝对值化简，结合二次函数的最值及不等式的性质可求解. 14．【2019年高考北京文数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】①130；②15【解析】①10x =时，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付()608010130+-=元. ②设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，当120y <元时，李明得到的金额为80%y ⨯，符合要求；当120y ≥元时，有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立，即()87,8y y x y x -≥≤，因为min158y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以x 的最大值为15.综上，①130；②15.【名师点睛】本题主要考查函数的最值，不等式的性质及恒成立，数学的应用意识，数学式子变形与运算求解能力.以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养. 15．【2019年高考江苏】设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，()f x =，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 ▲ .【答案】1,34⎡⎪⎢⎪⎣⎭【解析】作出函数()f x ，()g x 的图象，如图：由图可知，函数()f x =的图象与1()(12,34,56,78)2g x x x x x =-<≤<≤<≤<≤的图象仅有2个交点，即在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有2个不同的实数根，要使关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则()(0,2]f x x =∈与()(2),(0,1]g x k x x =+∈的图象有2个不同的交点，由(1,0)到直线20kx y k -+=的距离为11=，解得(0)4k k =>， ∵两点(2,0),(1,1)-连线的斜率13k =，∴134k ≤<，综上可知，满足()()f x g x =在(0,9]上有8个不同的实数根的k 的取值范围为134⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，. 【名师点睛】本题考查分段函数，函数的图象，函数的性质，函数与方程，点到直线的距离，直线的斜率等，考查知识点较多，难度较大.正确作出函数()f x ，()g x 的图象，数形结合求解是解题的关键因素.16．【云南省玉溪市第一中学2019届高三第二次调研考试数学】函数()23xf x x =+的零点所在的一个区间是A ．（-2，-1）B ．（-1,0）C ．（0,1）D ．（1,2）【答案】B【解析】易知函数()23xf x x =+在定义域上单调递增且连续，且2(2)260f --=-<，1(1)230f --=-<，f (0)=1>0，所以由零点存在性定理得，零点所在的区间是（-1,0）. 故选B.【名师点睛】本题考查函数的单调性和零点存在性定理，属于基础题.17．【云南省玉溪市第一中学2019届高三第二次调研考试数学】下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数是 A ．3x y =B ．1ln||y x = C ．||2x y =D ．cos y x =【答案】B【解析】易知1ln||y x =，||2x y =，cos y x =为偶函数，在区间(0,)+∞上，1ln ||y x =单调递减，||2x y =单调递增，cos y x =有增有减. 故选B.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题.18．【山东省德州市2019届高三第二次练习数学】设函数()()2log 1,04,0x x x f x x ⎧-<=⎨≥⎩，则()3f -+()2log 3f =A ．9B ．11C ．13D ．15【答案】B【解析】∵函数()()2log 1,04,0x x x f x x ⎧-<=⎨≥⎩，∴()2l 23og 2(3)log 3log 44f f -+=+=2+9=11．故选B ．【名师点睛】本题考查分段函数、函数值的求法，考查对数函数的运算性质，是基础题．19．【山东省济宁市2019届高三二模数学】已知f(x)是定义在R 上的周期为4的奇函数，当x ∈(0,2)时，f(x)=x 2+lnx ，则f(2019)= A ．−1 B ．0 C ．1D ．2【答案】A【解析】由题意可得：f(2019)=f(505×4−1)=f(−1)=−f(1)=−(12+ln1)=−1. 故选A ．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟数学】函数22()log (34)f x x x =--的单调减区间为A ．(,1)-∞-B ．3(,)2-∞- C ．3(,)2+∞D ．(4,)+∞【答案】A【解析】函数()()22log 34f x x x =--，则2340(4)(1)04x x x x x -->⇒-+>⇒>或1x <-，故函数()f x 的定义域为4x >或1x <-，由2log y x =是单调递增函数，可知函数()f x 的单调减区间即234y x x =--的单调减区间，当3(,)2x ∈-∞时，函数234y x x =--单调递减，结合()f x 的定义域，可得函数()()22log 34f x x x =--的单调减区间为(),1-∞-.故选A.【名师点睛】本题考查了复合函数的单调性，要注意的是必须在定义域的前提下，去找单调区间. 21．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模）数学】若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，1()14f =，当0x <时，2()log ()f x x m =-+，则实数m = A ．1- B ．0 C ．1D ．2【答案】C【解析】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，1()14f =，且0x <时，2()log ()f x x m =-+， ∴211log 2144f m m ⎛⎫-=+=-+=- ⎪⎝⎭， ∴1m =．故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及已知函数值求参数的方法，熟记函数奇偶性的定义即可，属于常考题型.22．【北京市房山区2019届高三第一次模拟测试数学】关于函数f(x)=x −sinx ，下列说法错误的是A．f(x)是奇函数B．f(x)在(−∞,+∞)上单调递增C．x=0是f(x)的唯一零点D．f(x)是周期函数【答案】D【解析】f(−x)=−x−sin(−x)=−x+sinx=−f(x)，则f(x)为奇函数，故A正确；由于f′(x)=1−cosx≥0，故f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，故B正确；根据f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，f(0)=0，可得x=0是f(x)的唯一零点，故C正确；根据f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，可知它一定不是周期函数，故D错误.故选D.【名师点睛】本题考查函数性质的综合应用，关键是能够利用定义判断奇偶性、利用导数判断单调性、利用单调性判断零点.23．【河南省郑州市2019届高三第三次质量检测数学】我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数()441xxf x=-的图象大致是A．B．C．D．【答案】D【解析】因为函数()441xxf x=-，44()()()4141x xx xf x f x----==≠--，所以函数()f x不是偶函数，图象不关于y轴对称，故排除A、B选项；又因为9256(3),(4),7255f f ==所以(3)(4)f f >，而选项C 在0x >时是递增的，故排除C. 故选D.【名师点睛】本题考查了函数的图象和性质，利用函数的奇偶性和取特值判断函数的图象是解题的关键，属于基础题.24．【四川省百校2019届高三模拟冲刺卷】若函数()y f x =的大致图象如图所示，则()f x 的解析式可以是A ．()e ex xxf x -=+ B ．()e ex xxf x -=- C ．()e e x xf x x-+=D ．()e e x xf x x--=【答案】C【解析】当x →0时，f （x ）→±∞，而A 中的f （x ）→0，排除A ；当x ＜0时，f （x ）＜0，而选项B 中x ＜0时，()e e x xxf x -=->0，选项D 中，()e e x xf x x--=>0，排除B ，D ，故选C ．【名师点睛】本题考查了函数的单调性、函数值的符号，考查数形结合思想，利用函数值的取值范围可快速解决这类问题．25．【天津市北辰区2019届高考模拟考试数学】已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0,+∞)上单调递增，则三个数a =f (−log 313)，b =f (log 1218)，c =f (20.6)的大小关系为A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．c >a >b【答案】C【解析】∵2=log 39<log 313<log 327=3，log 1218=log 28=3，0<20.6<21=2，∴0<20.6<log 313<log 1218，∵f (x )为偶函数，∴a =f (−log 313)=f (log 313)，又f (x )在[0,+∞)上单调递增，∴f (log 1218)>f (log 313)>f (20.6)，即b >a >c .故选C.【名师点睛】本题考查利用函数的单调性比较大小的问题，关键是能够利用奇偶性将自变量变到同一单调区间内，再通过指数、对数函数的单调性，利用临界值确定自变量的大小关系.26．【宁夏银川一中2018届高三第二次模拟考试数学】已知不等式xy ≤ax 2+2y 2对于x ∈[1,2],y ∈[2,3]恒成立，则a 的取值范围是 A ．[1,+∞) B ．[−1,4) C ．[−1,+∞) D ．[−1,6]【答案】C【解析】不等式xy ≤ax 2+2y 2对于x ∈[1,2],y ∈[2,3]恒成立，等价于a ≥y x−2(y x )2对于x ∈[1,2],y ∈[2,3]恒成立，令t =yx ，则1≤t ≤3，∴a ≥t −2t 2在[1,3]上恒成立，∵y =−2t 2+t =−2(t −14)2+18，∴t =1时，y max =−1，∴a ≥−1，故a 的取值范围是[−1,+∞). 故选C ．【名师点晴】本题主要考查二次函数的性质以及不等式恒成立问题，不等式恒成立问题的常见解法：①分离参数，a ≥f (x )恒成立，即a ≥f (x )max ，或a ≤f (x )恒成立，即a ≤f (x )min ； ②数形结合，f (x )>g (x )，则y =f (x )的图象在y =g (x )图象的上方； ③讨论最值，f (x )min ≥0或f (x )max ≤0恒成立.27．【北京市朝阳区2019届高三第二次（5月)综合练习（二模）数学】已知函数2,(),x x af x x x a⎧≥=⎨-<⎩，若函数()f x 存在零点，则实数a 的取值范围是 A ．(),0-∞ B ．(),1-∞ C ．()1,+∞D ．()0,+∞【答案】D【解析】函数2,(),x x af x x x a⎧≥=⎨-<⎩的图象如图：若函数()f x 存在零点，则实数a 的取值范围是（0，+∞）．故选D ．【名师点睛】本题考查分段函数，函数的零点，考查数形结合思想以及计算能力．28．【山东省烟台市2019届高三5月适应性练习（二）数学】已知函数()y f x =的定义域为R ,)1(+x f 为偶函数，且对121x x ∀<≤，满足()()01212<--x x x f x f .若(3)1f =，则不等式()2log 1f x <的解集为 A ．1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．)8,1(C ．10,(8,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U D ．(,1)(8,)-∞+∞U【答案】A【解析】因为对121x x ∀<≤，满足()()01212<--x x x f x f ，所以()y f x =当1≤x 时，是单调递减函数，又因为)1(+x f 为偶函数，所以()y f x =关于直线1x =对称，所以函数()y f x =当1>x 时，是单调递增函数，又因为(3)1f =，所以有1)1(=-f ，当2log 1x ≤，即当02x <≤时，()()222log 1log (11lo 1g ,22)12f x f x x x f x <⇒<-⇒>-⇒>∴<≤；当2log 1x >，即当2x >时，()()222log 1log (3)log 38,28x x f x f x x f <<⇒⇒<∴<⇒<<，综上所述：不等式()2log 1f x <的解集为1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选A ．【名师点睛】本题考查了抽象函数的单调性、对称性、分类讨论思想. 对于()y f x =来说，设定义域为I ，D I ⊆，1212,,x x D x x ∀∈≠，若21212121()()(()())()0(0)f x f x f x f x x x x x --⋅->>-，则()y f x =是D 上的增函数；若21212121()()(()())()0(0)f x f x f x f x x x x x --⋅-<<-，则()y f x =是D 上的减函数.29．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是A ．2()(2)3-∞+∞U ，，B ．2(2)3，C ．22()33-，D ．22()()33-∞-+∞U ，，【答案】D【解析】因为(2)f x +是偶函数，所以()f x 的图象关于直线2x =对称，因此，由(0)0f =得(4)0f =，又()f x 在(]2-∞，上单调递减，则()f x 在[)2,+∞上单调递增，所以，当232x -≥即0x ≤时，由(23)0f x ->得(23)(4)f x f ->，所以234x ->，解得23x <-；当232x -<即0x >时，由(23)0f x ->得(23)(0)f x f ->，所以230x -<，解得23x >，因此，(23)0f x ->的解集是22()()33-∞-+∞U ，，. 故选D.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，不等式的求解，先根据函数的奇偶性得到函数在定义域上的单调性，从而分类讨论求解不等式.30．【山东省德州市2019届高三第二次练习数学】已知定义在R 上的函数()f x 在区间)[0+∞，上单调递增，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，若实数a 满足()()2log 2f a f <，则a 的取值范围是 A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．1,44⎛⎫⎪⎝⎭D ．()4,+∞【答案】C【解析】根据题意，()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，则函数()f x 的图象关于y 轴对称，即函数()f x 为偶函数，又由函数()f x 在区间)[0+∞，上单调递增，可得()()2log 2||f a f <，则2log |2|a <，即22log 2a -<<，解得144a <<，即a 的取值范围为1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选C ．【名师点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查对数不等式的解法.31．【陕西省西安市2019届高三第三次质量检测数学】若定义在R 上的函数f (x )满足f(x +2)=f(x)且x ∈[−1,1]时，f (x )=|x |，则方程f (x )=log 3|x |的根的个数是 A ．4 B ．5 C ．6D ．7【答案】A【解析】因为函数f (x )满足f (x +2)=f (x )，所以函数f (x )是周期为2的周期函数.又x ∈[−1,1]时，f (x )=|x|，所以函数f (x )的图象如图所示.再作出y =log 3|x |的图象，如图，易得两函数的图象有4个交点，所以方程f(x)=log 3|x|有4个根．故选A ．【名师点睛】本题考查函数与方程，函数的零点、方程的根、函数图象与x 轴交点的横坐标之间是可以等价转化的.32．【广东省汕头市2019届高三第二次模拟考试（B 卷)数学】已知函数()211,02,0x x x f x xx +⎧+-<⎪=⎨⎪≥⎩，()22g x x x =--，设b 为实数，若存在实数a ，使得()()2g b f a +=成立，则b 的取值范围为A ．[]1,2-B ．37,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．37,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．3,42⎛⎤-⎥⎝⎦【答案】A【解析】因为()211,02,0x x x f x xx +⎧+-<⎪=⎨⎪≥⎩，所以当0x ≥时，()12x f x +=单调递增，故()122x f x +=≥；当0x <时，()()21112x f x x x x x x ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=-=-+=-+-≥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当1x x-=-，即1x =-时，取等号，综上可得，f(x)∈[2,+∞).又因为存在实数a ，使得g(b)+f(a)=2成立，所以只需g(b)≤2−f(a)min ，即g(b)=b 2−b −2≤0，解得−1≤b ≤2. 故选A.【名师点睛】本题主要考查分段函数的值域，将存在实数a ，使得g(b)+f(a)=2成立，转化为g(b)≤2−f(a)min 是解题的关键，属于常考题型.33．【云南省玉溪市第一中学2019届高三第二次调研考试数学】若()f x =，则()f x 的定义域为____________. 【答案】1(,0)2-【解析】要使函数有意义，需12210log (21)0x x +>⎧⎪⎨+>⎪⎩，解得102x -<<. 则()f x 的定义域为1(,0)2-.【名师点睛】本题考查函数的定义域，属于基础题.34．【山东省滨州市2019届高三第二次模拟（5月）考试数学】若函数f(x)=x 2−(a −2)x +1(x ∈R)为偶函数，则log a 27+log 1a87=__________．【答案】-2【解析】函数f(x)为偶函数，则f(x)=f(−x)，即：x 2−(a −2)x +1=x 2+(a −2)x +1恒成立， ∴a −2=0,a =2.则log a 27+log 1a87= log 227+log 278=log 2(27×78)=log 214=−2.【名师点睛】本题主要考查偶函数的性质与应用，对数的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.35．【湖南省长沙市第一中学2019届高三下学期高考模拟卷（一）数学】若函数()f x 称为“准奇函数”，则必存在常数a ，b ，使得对定义域的任意x 值，均有()(2)2f x f a x b +-=，已知1)(-=x xx f 为准奇函数”，则a ＋b ＝_________. 【答案】2【解析】由()(2)2f x f a x b +-=知“准奇函数”()f x 关于点),(b a 对称. 因为1)(-=x x x f =111x +-关于(1,1)对称，所以1a =，1b =，则2a b +=.故答案为2.【名师点睛】本题考查新定义的理解和应用，考查了函数图象的对称性，属于基础题．36．【甘肃、青海、宁夏2019届高三上学期期末联考数学】若函数()()212(0,0)f x mx n x m n =+-+>>的单调递增区间为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，则11m n+的最小值为__________．【答案】4 【解析】由题意知函数()f x 的图象的对称轴为1122n x m -=-=，故1m n +=，则()1111224n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当12m n ==时等号成立，从而11m n+的最小值为4. 【名师点睛】利用二次函数的单调增区间求得1m n +=，再由()11112n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式可求最小值．37．【广东省深圳市深圳外国语学校2019届高三第二学期第一次热身考试数学】函数()211log 1ax f x x x +=+-为奇函数，则实数a =__________．【答案】1【解析】Q 函数()211log 1ax f x x x +=+-为奇函数，()()f x f x ∴-=-，即()()0f x f x -+=，则221111log log 011ax ax x x x x -+-+++=+-，即211log 011ax ax x x +-⎛⎫⋅= ⎪-+⎝⎭， 2221111111ax ax a x x x x+--∴⋅==-+-，则22211a x x -=-，21a ∴=，则1a =±.当1a =-时，()211log 1x f x x x-=+-，则()f x 的定义域为：{0x x ≠且}1x ≠，此时定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，不满足题意；当1a =时，()211log 1x f x x x+=+-，满足题意， 1a \=.【名师点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性求解函数解析式，根据条件建立方程关系是解决本题的关键，易错点是忽略定义域关于原点对称的前提，造成求解错误．38．【东北三省三校（辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中)2019届高三第三次模拟考试数学】若函数f (x )={2x +1mx +m −1 ,x ≥0,x <0在(−∞,+∞)上单调递增，则m 的取值范围是__________．【答案】(0,3]【解析】∵函数f (x )={2x +1mx +m −1 ,x ≥0,x <0在(−∞,+∞)上单调递增， ∴函数y =mx +m −1在区间(−∞,0)上为增函数，∴{m >0m −1≤20+1=2，解得0<m ≤3， ∴实数m 的取值范围是(0,3]．故答案为(0,3]．【名师点睛】解答此类问题时要注意两点：一是根据函数f (x )在(−∞,+∞)上单调递增得到在定义域的每一个区间上函数都要递增；二是要注意在分界点处的函数值的大小，这一点容易忽视，属于中档题．39．【河南省濮阳市2019届高三5月模拟考试数学】已知直线l 与曲线31y x x =-+有三个不同的交点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，且||||AB AC =，则()31i i i x y =+=∑__________.【答案】3【解析】由题意，函数3y x x =-是奇函数，则函数3y x x =-的图象关于原点对称，所以函数31y x x =-+的函数图象关于点(0,1)对称，因为直线l 与曲线31y x x =-+有三个不同的交点()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，且||||AB AC =，所以点A 为函数的对称点，即(0,1)A ，且,B C 两点关于点(0,1)A 对称，所以1231230,3x x x y y y ++=++=，于是()313i ii x y =+=∑. 【名师点睛】本题主要考查了函数对称性的判定及应用，其中解答中根据函数的基本性质，得到函数图象的对称中心，进而得到点A 为函数的对称点，且,B C 两点关于点(0,1)对称是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.。

2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(理)专题02 函数的概念与基本初等函数I (原卷版)

专题02 函数的概念与基本初等函数I1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c <b ，则 A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │4．【2019年高考北京理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=2152lg E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ．1010.1B ．10.1C ．lg10.1D ．10−10.15．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ．C ．D ．6．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 2sin cos ++x xx xA ．B ．C ．D ．7．【2019年高考浙江】在同一直角坐标系中，函数1x y a =，1(2log )a y x =+(a >0，且a ≠1)的图象可能是8．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++.设rRα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 A 21M R M B 212M R MC 2313M R M D 2313M R M9．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314）D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314）10．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-．若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦11．【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则 A ．a <–1，b <0 B ．a <–1，b >0 C ．a >–1，b <0D ．a >–1，b >012．【2019年高考江苏】函数276y x x =+-的定义域是 ▲ .13．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________．14．【2019年高考北京理数】设函数()e e xxf x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．15．【2019年高考浙江】已知a ∈R ，函数3()f x ax x =-，若存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是___________.16．【2019年高考北京理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．17．【2019年高考江苏】设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，2()1(1)f x x =--，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 ▲ .18．【云南省玉溪市第一中学2019届高三第二次调研考试数学】函数()23xf x x =+的零点所在的一个区间是A ．（-2，-1）B ．（-1,0）C ．（0,1）D ．（1,2）19．【云南省玉溪市第一中学2019届高三第二次调研考试数学】下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数是 A ．3x y =B ．1ln||y x = C ．||2x y =D ．cos y x =20．【山东省德州市2019届高三第二次练习数学】设函数()()2log 1,04,0xx x f x x ⎧-<=⎨≥⎩，则()3f -+()2log 3f =A ．9B ．11C ．13D ．1521．【山东省济宁市2019届高三二模数学】已知f(x)是定义在R 上的周期为4的奇函数，当x ∈(0,2)时，f(x)=x 2+lnx ，则f(2019)= A ．−1 B ．0 C ．1D ．222．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟数学】函数22()log (34)f x x x =--的单调减区间为A ．(,1)-∞-B ．3(,)2-∞- C ．3(,)2+∞D ．(4,)+∞23．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模）数学】若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，1()14f =，当0x <时，2()log ()f x x m =-+，则实数m = A ．1- B ．0 C ．1D ．224．【北京市房山区2019届高三第一次模拟测试数学】关于函数f(x)=x −sinx ，下列说法错误的是A ．f (x )是奇函数B ．f (x )在(−∞,+∞)上单调递增C ．x =0是f (x )的唯一零点D ．f (x )是周期函数25．【河南省郑州市2019届高三第三次质量检测数学】我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数()441x x f x =-的图象大致是A ．B ．C ．D ．26．【四川省百校2019届高三模拟冲刺卷】若函数()y f x =的大致图象如图所示，则()f x 的解析式可以是A ．()e ex xxf x -=+ B ．()e ex xxf x -=- C ．()e e x xf x x -+=D ．()e e x xf x x--=27．【天津市北辰区2019届高考模拟考试数学】已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0,+∞)上单调递增，则三个数a =f (−log 313)，b =f (log 1218)，c =f (20.6)的大小关系为A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．c >a >b28．【宁夏银川一中2018届高三第二次模拟考试数学】已知不等式xy ≤ax 2+2y 2对于x ∈[1,2],y ∈[2,3]恒成立，则a 的取值范围是 A ．[1,+∞) B ．[−1,4) C ．[−1,+∞)D ．[−1,6]29．【北京市朝阳区2019届高三第二次（5月)综合练习（二模）数学】已知函数2,(),x x a f x x x a⎧≥=⎨-<⎩，若函数()f x 存在零点，则实数a 的取值范围是 A ．(),0-∞ B ．(),1-∞ C ．()1,+∞D ．()0,+∞30．【山东省烟台市2019届高三5月适应性练习（二）数学】已知函数()y f x =的定义域为R ,)1(+x f 为偶函数，且对121x x ∀<≤，满足()()01212<--x x x f x f .若(3)1f =，则不等式()2log 1f x <的解集为A ．1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．)8,1(C ．10,(8,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U D ．(,1)(8,)-∞+∞U31．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是 A ．2()(2)3-∞+∞U ，， B ．2(2)3，C ．22()33-，D ．22()()33-∞-+∞U ，，32．【山东省德州市2019届高三第二次练习数学】已知定义在R 上的函数()f x 在区间)[0+∞，上单调递增，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，若实数a 满足()()2log 2f a f <，则a 的取值范围是 A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．1,44⎛⎫⎪⎝⎭D ．()4,+∞33．【陕西省西安市2019届高三第三次质量检测数学】若定义在R 上的函数f (x )满足f(x +2)=f(x)且x ∈[−1,1]时，f (x )=|x |，则方程f (x )=log 3|x |的根的个数是 A ．4 B ．5 C ．6D ．734．【广东省汕头市2019届高三第二次模拟考试（B 卷)数学】已知函数()211,02,0x x x f x xx +⎧+-<⎪=⎨⎪≥⎩，()22g x x x =--，设b 为实数，若存在实数a ，使得()()2g b f a +=成立，则b 的取值范围为A ．[]1,2-B ．37,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．37,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．3,42⎛⎤-⎥⎝⎦35．【云南省玉溪市第一中学2019届高三第二次调研考试数学】若()log ()f x x 12=2+1，则()f x 的定义域为____________.36．【山东省滨州市2019届高三第二次模拟（5月）考试数学】若函数f(x)=x 2−(a −2)x +1(x ∈R)为偶函数，则log a 27+log 1a87=__________．37．【湖南省长沙市第一中学2019届高三下学期高考模拟卷（一）数学】若函数()f x 称为“准奇函数”，则必存在常数a ，b ，使得对定义域的任意x 值，均有()(2)2f x f a x b +-=，已知1)(-=x xx f 为准奇函数”，则a ＋b ＝_________.38．【广东省深圳市深圳外国语学校2019届高三第二学期第一次热身考试数学】函数()211log 1ax f x x x+=+-为奇函数，则实数a =__________．39．【东北三省三校（辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中)2019届高三第三次模拟考试数学】若函数f (x )={2x +1mx +m −1 ,x ≥0,x <0在(−∞,+∞)上单调递增，则m 的取值范围是__________．40．【河南省濮阳市2019届高三5月模拟考试数学】已知直线l 与曲线31y x x =-+有三个不同的交点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，且||||AB AC =，则()31i i i x y =+=∑__________.。

2019年直击新课标高考数学2.第二章基本初等函数(理科)

第二章基本初等函数一、2019年最新考试大纲函数概念与基本初等函数I（指数函数、对数函数、幂函数）（1）函数①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。

②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。

③了解简单的分段函数，并能简单应用。

④理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义。

⑤会运用函数图像理解和研究函数的性质。

（2）指数函数①了解指数函数模型的实际背景。

②理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

③理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点。

（3）对数函数①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。

②理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点。

③了解指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数（a >0，a ≠1）。

（4）幂函数①了解幂函数的概念。

②结合函数21321x y xy x y x y x y =====，，，，的图象，了解它们的变化情况。

(5）函数与方程①结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数。

②根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解。

（6）函数模型及其应用①了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。

②了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。

二、真题汇编1.【2016课标Ⅱ理12】已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()miii x y =+=∑（）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m2.【2016课标III 理6】已知432a =，254b =，1325c =，则（）（A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D ）c a b <<3.【2015课标Ⅰ理13】若函数()ln(f x x x =为偶函数，则a = .4.【2015课标Ⅱ理5】设函数()()2111log 2,12,x x x f x x -⎧+-<⎪=⎨⎪⎩…，则()()22log 12f f -+=（）A.3B. 6C. 9D. 125.【2015课标Ⅱ理10】如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边,BC CD 与DA 运动，记BOP x ∠=.将动点P 到,A B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（）．OA424424424424A. B. C. D.6.【2014课标Ⅰ理3】设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C.()f x |()g x |是奇函数 D .|()f x ()g x |是奇函数7.【2014课标Ⅱ理15】已知偶函数()f x 在[0,)+∞单调递减，(2)0f =．若(1)0f x ->，则x 的取值范围是．8.【2013课标Ⅰ理11】已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若ax x f ≥)(，则a 的取值范围是【】A.](0，∞-B.](1，∞-C.[]12，- D.[]02，- 9.【2013课标Ⅱ理8】设357log 6log 10log 14a b c ===，，则（）. A. >>c b a B. >>b c a C. >>a c b D. >>a b c10.【2013课标II 理 19】经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品．以x （单位：t ，100≤x ≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T （单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．（Ⅰ）将T 表示为x 的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率；（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x ∈[100，110））则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入[100，110）的频率，求T 的数学期望．三、详解品评1.【答案】B【考点】函数的对称性【解析】由()2()f x f x -=-可得函数()f x 关于点(0,1)对称，且函数111x y xx+==+也关于点(0,1)对称，则两个图象的交点两两关于点(0,1)对称，所以1110,,()mm mii i i i i i xy m x y m =====+=∑∑∑，故选B.【试题分析与点评】：本题考查抽象函数的运用；考查函数的对称性的应用以及化简整理的运算能力，属于中档题.本题问求和结果，且求和项数未定（较多），由此我们确定应找到题中两个函数的性质与图像特点来进行化简整理运算.由()2()f x f x -=-可推()f x 有对称中心，确定本题应由对称性解决. 2.【答案】A【考点】指数函数、幂函数的图象与性质【解析】因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ．【试题分析与点评】：比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性．本题三个数据进行化简对比即可得到答案. 3. 【答案】1 【考点】函数的奇偶性【解析】解法一：带特殊值(1)(1)f f -=解得；1a =；解法二：因为()ln(f x x x =+是偶函数，则()ln(g x x =+是奇函数，在0处有定义，需满足(0)0g =，计算得1a =.【试题分析与点评】：本题难度0.939，区分度0.373.本题考查了偶函数的定义、性质及对数的运算，属于基础题型.带特殊值可以解决本题，但能否运用本题函数的特殊性更快速解题可以用来区分学生知识掌握是否灵活. 4.【答案】C【考点】分段函数；对数运算【解析】因为2log 121>，所以2log 12122(log 12)26,(2)1log 43f f -==-=+=，()()22log 12f f -+=9.【试题分析与点评】：本题难度0.801，区分度0.494.本题考查分段函数的求值，考查指对数的运算，属于基础题，细心计算即可. 5.【答案】B【考点】函数图象的识别与判断【解析】观察图象，先取特殊点，()()124f f ππ==，有()()24f f ππ<，排除C 和D,剩余A,B 选项发现是“直” 与“曲”的区别，考虑当[0,]4x π∈时，()tan f x x =+ B.【试题分析与点评】：本题难度0.439，区分度0.428.本题考查函数的图象的识别与判断，这一题型多数按照奇偶性，特殊值，单调性的顺序采用排除法处理，本题也不例外.排除CD 后，剩余AB 选项的对比中，求出[0,]4x π∈上的解析式并判断出其大概图形是解决问题的关键. 6.【答案】C【考点】函数的奇偶性【解析】两个具备奇偶性的函数相乘有如下规律：奇*奇=偶，奇*偶=奇，偶*偶=偶.题中，()f x 奇,()f x 偶，()g x 偶，()g x 偶，选C. 【试题分析与点评】：本题考查函数的奇偶性，注意利用函数的奇偶性规律解题，属于基础题.7.【答案】{13}x x -<<或(1,3)- 【考点】函数奇偶性与单调性的运用【解析】单调性解不等式，需将(1)0f x ->转换为(1)(2),f x f ->又()f x 是偶函数，在[0,)+∞上单减，继续转换为 (1)(2),f x f ->得：12x -<，解得13x -<<，注意写成集合或者区间形式. 【试题分析与点评】：本题问不等式的求解，主要考察函数的奇偶性和单调性之间关系的应用，将不等式转化为(1)(2)f x f ->是解决本题的关键. 8.【答案】D【考点】分段函数，恒成立问题【解析】当0x > ，()ln(1)f x x =+，y ax = 只有当0a ≤时，才能满足()f x ax ≥；当0x ≤时，2()2f x x x =-，()f x ax ≥等价于2(2)0x a x -+≥在0x ≤上恒成立，考虑二次函数根2(2)y x a x =-+开口向上，且过点(0,0)，使其对称轴在y 轴上或y 轴右边即可，202a+≥ ，解得2a ≥-；综上[2,0]a ∈-,选D 【试题分析与点评】：本题难度0.561，区分度0.497.本题考查分类讨论，数形结合思想以及恒成立问题，需要学生基础扎实的同时可以灵活运用解题，属于中档题. 9.【答案】D【考点】对数运算，对数函数的图象与性质【解析】根据公式变形，lg 6lg 21lg 3lg 3a ==+，lg10lg 21lg5lg5b ==+，lg14lg 21lg 7lg 7c ==+，因为lg 7lg5lg3>>，所以lg 2lg 2lg 2lg 7lg5lg3<<，即>>a b c .故选D.【试题分析与点评】：本题难度0.678，区分度0.461.比较对数的大小常常根据三个数的结构联系相关的对数函数的单调性来判断．本题三个数底与真数各不相同，因此选用换底公式构造底相同的形式，再运用单调性即可得到最终答案.属于较灵活的题目. 10.【答案】80039000,100130,65000,130150.X X T X -≤<⎧=⎨≤≤⎩【考点】函数解析式【解析】(1)当[100,130)X ∈时，500300(130)80039000T X X X =--=-，当(130,150]X ∈时,500*13065000T ==.所以80039000,100130,65000,130150.X X T X -≤<⎧=⎨≤≤⎩（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利润T 不少于57000元，当且仅当120≤x ≤150．由直方图知需求量X ∈[120，150]的频率为0.7，所以下一个销售季度的利润T 不少于57000元的概率的估计值为0.7．（Ⅲ）依题意可得T 的分布列如图，×0.3+65000×0.4=59400．【试题分析与点评】：本题难度0.297，区分度0.684.本题考查频率分布直方图的意义和作用、用样本频率分布估计总体分布的思想以及取有限个值的离散型随机变量的概率分布和数学期望，考查考生准确解读统计图表的统计意义的能力．题目以某种农产品的销售量与利润问题为实际背景，以频率分布直方图这一常用的数据统计的基本形式为载体命制而成．第（ 1）问对考生的简单统计建模能力进行考查；第（ 2 ）问考查考生对用频率估计概率的思想、方法的理解与掌握程度；第（3）问考查考生对用频率直方图描述总体分布特征的思想、方法的理解与掌握程度．合理选取抽样方法和安排试验以获取有效的统计数据，整理、分析这些数据，并对统计问题做出尽可能准确、可靠的统计结论，指导社会实践、生产活动是统计的基本要求．本题以某农产品在一个销售季度内的市场需求量与利润预测为载体，展示了数据的获取、整理、分析等统计的基本内容，体现了《课程标准》对统计教学的核心精神．可以说，本题以产品需求以及产品的利润为背景，有浓厚的时代气息，体现了数学源于生活又高于生活，体现了新课程注重情感态度与价值观，过程、实践与能力的教学理念．四、名师团队分析试题热点1、表格分析2、热点论述热点1、指数函数、对数函数的图像及性质指数函数和对数函数是每年高考的必考内容，也是高考的重点。

(2017-2019)高考文数真题分类汇编专题02 函数的概念与基本初等函数I(教师版)

专题02 函数的概念与基本初等函数I1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,c <=<=即01,c <<则a c b <<．故选B ．【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养．采取中间量法，根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小．2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设f ()为奇函数，且当≥0时，f ()=e 1x -，则当<0时，f ()= A ．e 1x -- B ．e 1x -+ C ．e 1x --- D ．e 1x --+【答案】D【解析】由题意知()f x 是奇函数，且当≥0时，f ()=e 1x -，则当0x <时，0x ->，则()e 1()xf x f x --=-=-，得()e 1xf x -=-+．故选D ．【名师点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为 A ．2 B ．3 C ．4D ．5【答案】B【解析】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=，a b c <<a c b <<c a b <<b c a <<得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2πx ∈Q ，0πx ∴=、或2π．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3.故选B ．【名师点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养，直接求出函数的零点可得答案.4．【2019年高考天津文数】已知0.223log 7,log 8,0.3a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为A ．c b a <=， 331log 8log 92b <=<=，∴c b a <<. 故选A .【名师点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时，要根据底数与1的大小进行判断. 5．【2019年高考北京文数】下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是 A ．12y x = B ．y =2x - C ．12log y x =D ．1y x=【答案】A【解析】易知函数122,log xy y x -==，1y x=在区间(0,)+∞上单调递减，函数12y x =在区间(0,)+∞上单调递增. 故选A.【名师点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题.6．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数f ()=在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，可知应为D 选项中的图象．故选D ．【名师点睛】本题考查函数的性质与图象的识别，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法和赋值法，利用数形结合思想解题．7．【2019年高考北京文数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度描述．两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为k m 的星的亮度为k E （=1,2）．已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ．1010.1B ．10.1C ．lg10.1D ．10−10.1【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=，令211.45,26.7m m =-=-，则()121222lg( 1.4526.7)10.1,55E m m E =-=⨯-+= 2sin cos ++x xx x从而10.11210E E =. 故选A.【名师点睛】本题以天文学问题为背景，考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及对数的运算.8．【2019年高考浙江】在同一直角坐标系中，函数1x y a =，1(2log )a y x =+(a >0，且a ≠1)的图象可能是【答案】D【解析】当01a <<时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=的图象过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a=的图象过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合. 综上，选D.【名师点睛】易出现的错误：一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟练，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.9．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314） D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314）【答案】C【解析】()f x Q 是定义域为R 的偶函数，331(log )(log 4)4f f ∴=．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>Q ，又()f x 在(0，+∞)上单调递减，∴23323(log 4)22f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，先利用函数的奇偶性化为同一区间，再利用中间量比较自变量的大小，最后根据单调性得到答案．10．【2019年高考天津文数】已知函数01,()1,1.x f x x x⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩若关于的方程1()()4f x x a a =-+∈R 恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为 A ．59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．59,44⎛⎤⎥⎝⎦ C ．59,{1}44⎛⎤⎥⎝⎦U D ．59,{1}44⎡⎤⎢⎥⎣⎦U【答案】D【解析】作出函数01,()1,1x f x x x⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩的图象，以及直线14y x =-，如图，关于的方程1()()4f x x a a =-+∈R 恰有两个互异的实数解，即为()y f x =和1()4y x a a =-+∈R 的图象有两个交点，平移直线14y x =-，考虑直线经过点(1,2)和(1,1)时，有两个交点，可得94a =或54a =，考虑直线1()4y x a a =-+∈R 与1y x =在1x >时相切，2114ax x -=，由210a ∆=-=，解得1a =（1-舍去），所以a 的取值范围是{}59,149⎡⎤⎢⎥⎣⎦U .故选D.【名师点睛】根据方程实数根的个数确定参数的取值范围，常把其转化为曲线的交点个数问题，特别是其中一个函数的图象为直线时常用此法.11．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】下列函数中，其图象与函数ln y x =的图象关于直线1x =对称的是A ．()ln 1y x =-B ．()ln 2y x =-C ．()ln 1y x =+D ．()ln 2y x =+【答案】B【解析】函数ln y x =过定点（1，0），（1，0）关于直线=1对称的点还是（1，0），只有()ln 2y x =-的图象过此点. 故选项B 正确.【名师点睛】本题主要考查函数的对称性和函数的图象，属于中档题.求解时，确定函数ln y x =过定点（1，0）及其关于直线=1对称的点，代入选项验证即可.12．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的的取值范围是A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，【答案】D【解析】将函数()f x 的图象画出，观察图象可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的的取值范围是()0-∞，. 故选D ．【名师点睛】该题考查的是通过函数值的大小推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图象，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，最后求得结果.13．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】函数()2e e x xf x x --=的图像大致为【答案】B【解析】()()()2e e 0,,x xx f x f x f x x --≠-==-∴Q 为奇函数，舍去A ； ()11e e 0f -=->Q ，∴舍去D ；()()()()()243e e e e 22e 2e ,xx x x x x x xx x f x x x ---+---++=='Q 2x ∴>时，()0f x '>，()f x 单调递增，舍去C. 因此选B.【名师点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的周期性. 14．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】函数422y x x =-++的图像大致为【答案】D【解析】函数图象过定点(0,2)，排除A ，B ；令42()2y f x x x ==-++，则32()422(21)f x x x x x '=-+=--，由()0f x '>得22(21)0x x -<，得2x <-或02x <<，此时函数单调递增，由()0f x '<得22(21)0x x ->，得2x >或02x -<<，此时函数单调递减，排除C. 故选D.【名师点睛】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象过的定点及由导数判断函数的单调性是解决本题的关键.15．【2018年高考浙江】函数y =2xsin2的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】令()2sin2xf x x =，因为()()(),2sin22sin2xxx f x x x f x -∈-=-=-=-R ，所以()2sin2xf x x =为奇函数，排除选项A,B; 因为π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，所以排除选项C ，故选D ．【名师点睛】先研究函数的奇偶性，再研究函数在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上的符号，即可判断选择.有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的周期性．16．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】设函数()()321f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x =【答案】D【解析】因为函数()f x 是奇函数，所以10a -=，解得1a =，所以()3f x x x =+，()231f x x '=+，所以()()01,00f f '==，所以曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为()()00y f f x '-=，化简可得y x =，故选D ．【名师点睛】该题考查的是函数的奇偶性以及有关曲线()y f x =在某个点()()00,x f x 处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论：多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得()f x '，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.17．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()11f x f x -=+．若()12f =，则()()()123f f f ++()50f ++=LA ．50-B ．0C ．2D ．50【答案】C【解析】因为()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，且()()11f x f x -=+，所以()()()()()113114f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=，，,因此()()()()()()()()()()1235012123412f f f f f f f f f f ⎡⎤++++=+++++⎣⎦L ，因为()()()()3142f f f f =-=-，，所以()()()()12340f f f f +++=，因为()()200f f ==，从而()()()()()1235012f f f f f ++++==L . 故选C ．【名师点睛】先根据奇函数的性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解． 18．【2018年高考天津文数】已知13313711log ,,log 245a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】D【解析】由题意可知：3337log 3log log 92<<，即12a <<， 1131110444⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即01b <<，133317log log 5log 52=>，即c a >，综上可得：c a b >>. 故本题选择D 选项.【名师点睛】由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a ,b ,c 的大小关系.对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 19．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是A ．(,2)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞【答案】D【解析】要使函数有意义，则2280x x -->，解得：2x <-或4x >，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调递增区间为()4,+∞.故选D.【名师点睛】求函数单调区间的常用方法：(1)定义法和导数法，通过解相应不等式得单调区间；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；(3)利用复合函数“同增异减”的原则，此时需先确定函数的单调性.20．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意知，函数sin 21cos xy x=-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，故排除D ；当1x =时，sin 201cos 2y =>-，故排除A ．故选C ．【名师点睛】函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 21．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】函数2sin 1xy x x =++的部分图像大致为【答案】D【解析】当1x =时，()111sin12sin12f =++=+>，故排除A,C ；当x →+∞时，1y x →+，故排除B,满足条件的只有D. 故选D.【名师点睛】（1）运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.（2）在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化进行研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去f “”，即将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系.22．【2017年高考浙江】若函数f ()=2+ a +b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – mA ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关.故选B ．【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值．23．【2017年高考北京文数】已知函数1()3()3x xf x =-，则()f xA ．是偶函数，且在R 上是增函数B ．是奇函数，且在R 上是增函数C ．是偶函数，且在R 上是减函数D ．是奇函数，且在R 上是减函数【答案】B【解析】()()113333xxx x f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以该函数是奇函数，并且3xy =是增函数，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数. 故选B.【名师点睛】本题属于基础题型，根据()f x -与()f x 的关系就可以判断出函数的奇偶性，判断函数单调性的方法：（1）利用平时学习过的基本初等函数的单调性；（2）利用函数图象判断函数的单调性；（3）利用函数的四则运算判断函数的单调性，如：增函数+增函数=增函数，增函数−减函数=增函数；（4）利用导数判断函数的单调性.24．【2017年高考天津文数】已知奇函数()f x 在R 上是增函数．若221(log ),(log 4.1),5a fb f =-=0.8(2)c f =，则，，的大小关系为A ．a b c <>，0.8122<<，所以0.822log 5log 4.12>>，a b c结合函数的单调性可得0.822(log 5)(log 4.1)(2)f f f >>，即a b c >>，即c b a <<．故选C ．【名师点睛】比较大小是高考的常见题型，指数式、对数式的大小比较要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性、奇偶性等进行大小比较，要特别关注灵活利用函数的奇偶性和单调性，数形结合进行大小比较或解不等式． 25．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则A ．()f x 在（0，2）单调递增B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．()y f x =的图像关于直线=1对称D ．()y f x =的图像关于点（1，0）对称【答案】C【解析】由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图像关于直线1x =对称，故C 正确，D 错误；又()ln[(2)]f x x x =-（02x <<），由复合函数的单调性可知()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以A ，B 错误. 故选C ．【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图像有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图像有对称中心(,0)2a b+．26．【2017年高考山东文数】设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知, 若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a =+-,解得14a =, 则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==⨯-=⎪⎝⎭. 故选C.【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．27．【2017年高考北京文数】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093【答案】D【解析】设36180310M x N ==，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即MN最接近9310. 故选D ．【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令36180310x =，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log na a M n M =. 28．【2017年高考天津文数】已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 A ．[2,2]-B．[2]-C ．[2,-D ．[-【答案】A【解析】当a =±0x =时，()||2xf x a ≥+即2|≥±，即2≥，显然上式不成立，由此可排除选项B 、C 、D. 故选A ．【名师点睛】涉及分段函数问题要遵循分段处理的原则，分别对x 的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据x 的范围，利用极端原理，求出对应的a 的取值范围．本题具有较好的区分度，所给解析采用了排除法，解题步骤比较简捷，口算即可得出答案，解题时能够节省不少时间．当然，本题也可画出函数图象，采用数形结合的方法进行求解．29．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =A ．12- B ．13C ．12D ．1【答案】C【解析】由211()2(ee )x xf x x x a --+=-++，得()221(2)1211(2)(2)2(2)e e 4442e e x x x x f x x x a x x x a ----+--⎡⎤-=---++=-+-+++=⎣⎦()2112e e x x x x a --+-++，所以(2)()f x f x -=，即1x =为()f x 图象的对称轴.由题意，()f x 有唯一零点，所以()f x 的零点只能为1x =，即()21111(1)121e e 0f a --+=-⨯++=，解得12a =. 故选C.【名师点睛】本题主要考查函数的图象与性质、函数的零点，意在考查考生的运算求解能力与数形结合能力.30．【2017年高考山东文数】若函数e ()xf x （e 2.71828=L 是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中具有M 性质的是 A ．()2xf x -= B ．2()f x x = C ．()3x f x -=D ．()cos f x x =【答案】A【解析】对于A ，e e ()e 2()2x x x x f x -=⋅=在R 上单调递增，故()2xf x -=具有性质；对于B ，2e ()e x x f x x =⋅，令2()e x g x x =⋅，则2()e 2e e (2)xxxg x x x x x '=⋅+⋅=+，∴当2x <-或0x >时，()0g x '>，当20x -<<时，()0g x '<，∴2e ()e xxf x x =⋅在(,2)-∞-，(0,)+∞上单调递增，在(2,0)-上单调递减，故2()f x x =不具有性质；对于C ，e e ()e 3()3x x x x f x -=⋅=在R 上单调递减，故()3xf x -=不具有性质；对于D ，易知()cos f x x =在定义域内有增有减，故()cos f x x =不具有性质．故选A.【名师点睛】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的动向，它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．31．【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则 A ．a <–1，b <0 B ．a <–1，b >0 C ．a >–1，b <0 D ．a >–1，b >0【答案】C【解析】当＜0时，y ＝f （）﹣a ﹣b ＝﹣a ﹣b ＝（1﹣a ）﹣b ＝0，得=b1−a ，则y ＝f （）﹣a ﹣b 最多有一个零点；当≥0时，y ＝f （）﹣a ﹣b =133−12（a +1）2+a ﹣a ﹣b =133−12（a +1）2﹣b ，M M M M2(1)y x a x =+-'，当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （）﹣a ﹣b 在[0，+∞）上单调递增，则y ＝f （）﹣a ﹣b 最多有一个零点，不合题意；当a +1＞0，即a >﹣1时，令y ′＞0得∈(a +1，+∞），此时函数单调递增，令y ′＜0得∈[0，a +1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y ＝f （）﹣a ﹣b 恰有3个零点⇔函数y ＝f （）﹣a ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，如图：∴b1−a ＜0且()3211(1)1(1)032b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩，解得b ＜0，1﹣a ＞0，b ＞−16（a +1）3，则a >–1，b <0. 故选C ．【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当＜0时，y ＝f （）﹣a ﹣b ＝﹣a ﹣b ＝（1﹣a ）﹣b 最多有一个零点；当≥0时，y ＝f （）﹣a ﹣b =133−12（a +1）2﹣b ，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解． 32．【2019年高考江苏】函数y =的定义域是 ▲ .【答案】[1,7]-【解析】由题意得到关于的不等式，解不等式可得函数的定义域. 由已知得2760x x +-≥,即2670x x --≤，解得17x -≤≤，故函数的定义域为[1,7]-.【名师点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．33．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则a =________．【答案】7-【解析】根据题意有()()23log 91f a =+=，可得92a +=，所以7a =-. 故答案是7-.【名师点睛】该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.34．【2018年高考江苏】函数()f x =________．【答案】[2，+∞）【解析】要使函数()f x 有意义，则需2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为[)2,+∞.【名师点睛】求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.求解本题时，根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.35．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数())ln1f x x =+，()4f a =，则()f a -=________．【答案】2-【解析】由题意得()()))()22ln1ln1ln 122f x f x x x x x +-=+++=+-+=，()()2f a f a ∴+-=,则()2f a -=-. 故答案为−2.【名师点睛】本题主要考查函数的性质，由函数解析式计算发现()()2f x f x +-=是关键，属于中档题.36．【2017年高考江苏】记函数()f x =的定义域为D ．在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是．【答案】59【解析】由260x x +-≥，即260x x --≤，得23x -≤≤，根据几何概型的概率计算公式得x D ∈的概率是3(2)55(4)9--=--．【名师点睛】（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积或体积等时，应考虑使用几何概型求解．（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：①无限性，②等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．37．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+,则(2)f = . 【答案】12【解析】(2)(2)[2(8)4]12f f =--=-⨯-+=.【名师点睛】(1)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于()f x 的方程，从而可得()f x 的值或解析式.(2)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值.38．【2017年高考山东文数】已知f ()是定义在R 上的偶函数,且f (+4)=f (-2).若当[3,0]x ∈-时,()6xf x -=,则f (919)= ______ . 【答案】6【解析】由f (+4)=f (-2)可知,()f x 是周期函数,且6T =, 所以(919)(61531)(1)f f f =⨯+=(1)6f =-=.【名师点睛】与函数奇偶性有关问题的解决方法：①已知函数的奇偶性,求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．②已知函数的奇偶性求解析式：将待求区间上的自变量,转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于f ()的方程(组),从而得到f ()的解析式．39．【2019年高考浙江】已知a ∈R ，函数3()f x ax x =-，若存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是___________. 【答案】43【解析】存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，即有332|(2)(2)|3a t t at t +-+-+≤，化为()22|23642|3a t t ++-≤，可得()2222364233a t t -≤++-≤，即()22436433a t t ≤++≤，由223643(1)11t t t ++=++≥，可得403a <≤. 则实数a 的最大值是43. 【名师点睛】本题考查函数的解析式及二次函数，结合函数的解析式可得33|(2)(2)|a t t at t +-+-+23≤，去绝对值化简，结合二次函数的最值及不等式的性质可求解. 40．【2019年高考北京文数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则的最大值为__________．【答案】①130；②15【解析】①10x =时，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付()608010130+-=元. ②设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，当120y <元时，李明得到的金额为80%y ⨯，符合要求；当120y ≥元时，有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立，即()87,8y y x y x -≥≤，因为min158y ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以x 的最大值为15. 综上，①130；②15.【名师点睛】本题主要考查函数的最值，不等式的性质及恒成立，数学的应用意识，数学式子变形与运算求解能力.以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养. 41．【2018年高考浙江】我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。

专题02 函数的概念与基本初等函数I-三年(2017-2019)高考真题数学(文)分项汇编(解析版)

专题02 函数的概念与基本初等函数I1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,c <=<=即01,c <<则a c b <<．故选B ．【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养．采取中间量法，根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小．2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )= A ．e 1x -- B ．e 1x -+ C ．e 1x --- D ．e 1x --+【答案】D【解析】由题意知()f x 是奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当0x <时，0x ->，则()e 1()xf x f x --=-=-，得()e 1xf x -=-+．故选D ．【名师点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为 A ．2 B ．3 C ．4D ．5【答案】B【解析】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=，a b c <<a c b <<c a b <<b c a <<得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2πx ∈，0πx ∴=、或2π．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3.故选B ．【名师点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养，直接求出函数的零点可得答案.4．【2019年高考天津文数】已知0.223log 7,log 8,0.3a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为A ．c b a <=， 331log 8log 92b <=<=，∴c b a <<. 故选A .【名师点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时，要根据底数与1的大小进行判断. 5．【2019年高考北京文数】下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是 A ．12y x = B ．y =2x - C ．12log y x =D ．1y x=【答案】A【解析】易知函数122,log xy y x -==，1y x=在区间(0,)+∞上单调递减，函数12y x =在区间(0,)+∞上单调递增. 故选A.【名师点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题.6．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，可知应为D 选项中的图象．故选D ．【名师点睛】本题考查函数的性质与图象的识别，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法和赋值法，利用数形结合思想解题．7．【2019年高考北京文数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为k m 的星的亮度为k E （k =1,2）．已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ．1010.1B ．10.1C ．lg10.1D ．10−10.1【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=，令211.45,26.7m m =-=-，则()121222lg( 1.4526.7)10.1,55E m m E =-=⨯-+= 2sin cos ++x xx x从而10.11210E E =. 故选A.【名师点睛】本题以天文学问题为背景，考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及对数的运算.8．【2019年高考浙江】在同一直角坐标系中，函数1xy a =，1(2log )a y x =+(a >0，且a ≠1)的图象可能是【答案】D【解析】当01a <<时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=的图象过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a=的图象过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合. 综上，选D.【名师点睛】易出现的错误：一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟练，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.9．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314） D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314）【答案】C 【解析】()f x 是定义域为R 的偶函数，331(log )(log 4)4f f ∴=．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>，又()f x 在(0，+∞)上单调递减，∴23323(log 4)22f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，先利用函数的奇偶性化为同一区间，再利用中间量比较自变量的大小，最后根据单调性得到答案．10．【2019年高考天津文数】已知函数01,()1,1.x f x x x⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程1()()4f x x a a =-+∈R 恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为 A ．59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．59,44⎛⎤⎥⎝⎦ C ．59,{1}44⎛⎤⎥⎝⎦D ．59,{1}44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】作出函数01,()1,1x f x x x⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩的图象，以及直线14y x =-，如图，关于x 的方程1()()4f x x a a =-+∈R 恰有两个互异的实数解，即为()y f x =和1()4y x a a =-+∈R 的图象有两个交点，平移直线14y x =-，考虑直线经过点(1,2)和(1,1)时，有两个交点，可得94a =或54a =，考虑直线1()4y x a a =-+∈R 与1y x =在1x >时相切，2114ax x -=，由210a ∆=-=，解得1a =（1-舍去），所以a 的取值范围是{}59,149⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选D.【名师点睛】根据方程实数根的个数确定参数的取值范围，常把其转化为曲线的交点个数问题，特别是其中一个函数的图象为直线时常用此法.11．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】下列函数中，其图象与函数ln y x =的图象关于直线1x =对称的是A ．()ln 1y x =-B ．()ln 2y x =-C ．()ln 1y x =+D ．()ln 2y x =+【答案】B【解析】函数ln y x =过定点（1，0），（1，0）关于直线x =1对称的点还是（1，0），只有()ln 2y x =-的图象过此点. 故选项B 正确.【名师点睛】本题主要考查函数的对称性和函数的图象，属于中档题.求解时，确定函数ln y x =过定点（1，0）及其关于直线x =1对称的点，代入选项验证即可.12．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，【答案】D【解析】将函数()f x 的图象画出来，观察图象可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，. 故选D ．【名师点睛】该题考查的是通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图象，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，最后求得结果.13．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】函数()2e e x xf x x--=的图像大致为【答案】B【解析】()()()2e e 0,,x xx f x f x f x x--≠-==-∴为奇函数，舍去A ； ()11e e 0f -=->，∴舍去D ；()()()()()243e e e e 22e 2e ,xx x x x x x xx x f x xx---+---++=='2x ∴>时，()0f x '>，()f x 单调递增，舍去C. 因此选B.【名师点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的周期性. 14．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】函数422y x x =-++的图像大致为【答案】D【解析】函数图象过定点(0,2)，排除A ，B ；令42()2y f x x x ==-++，则32()422(21)f x x x x x '=-+=--，由()0f x '>得22(21)0x x -<，得2x <-或02x <<，此时函数单调递增，由()0f x '<得22(21)0x x ->，得2x >或02x -<<，此时函数单调递减，排除C. 故选D.【名师点睛】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象过的定点及由导数判断函数的单调性是解决本题的关键.15．【2018年高考浙江】函数y =2xsin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】令()2sin2xf x x =，因为()()(),2sin22sin2xxx f x x x f x -∈-=-=-=-R ，所以()2sin2xf x x =为奇函数，排除选项A,B; 因为π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，所以排除选项C ，故选D ．【名师点睛】先研究函数的奇偶性，再研究函数在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上的符号，即可判断选择.有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的周期性．16．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】设函数()()321f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x =【答案】D【解析】因为函数()f x 是奇函数，所以10a -=，解得1a =，所以()3f x x x =+，()231f x x '=+，所以()()01,00f f '==，所以曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为()()00y f f x '-=，化简可得y x =，故选D ．【名师点睛】该题考查的是函数的奇偶性以及有关曲线()y f x =在某个点()()00,x f x 处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论：多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得()f x '，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.17．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()11f x f x -=+．若()12f =，则()()()123f f f ++()50f ++=A ．50-B ．0C ．2D ．50【答案】C【解析】因为()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，且()()11f x f x -=+，所以()()()()()113114f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=，，, 因此()()()()()()()()()()1235012123412f f f f f f f f f f ⎡⎤++++=+++++⎣⎦，因为()()()()3142f f f f =-=-，，所以()()()()12340f f f f +++=，因为()()200f f ==，从而()()()()()1235012f f f f f ++++==.故选C ．【名师点睛】先根据奇函数的性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解． 18．【2018年高考天津文数】已知13313711log ,,log 245a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】D【解析】由题意可知：3337log 3log log 92<<，即12a <<， 1131110444⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即01b <<，133317log log 5log 52=>，即c a >，综上可得：c a b >>. 故本题选择D 选项.【名师点睛】由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a ,b ,c 的大小关系.对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 19．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是A ．(,2)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞【答案】D【解析】要使函数有意义，则2280x x -->，解得：2x <-或4x >，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调递增区间为()4,+∞.故选D.【名师点睛】求函数单调区间的常用方法：(1)定义法和导数法，通过解相应不等式得单调区间；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；(3)利用复合函数“同增异减”的原则，此时需先确定函数的单调性.20．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意知，函数sin 21cos xy x=-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，故排除D ；当1x =时，sin 201cos 2y =>-，故排除A ．故选C ．【名师点睛】函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 21．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】函数2sin 1xy x x =++的部分图像大致为【答案】D【解析】当1x =时，()111sin12sin12f =++=+>，故排除A,C ；当x →+∞时，1y x →+，故排除B,满足条件的只有D. 故选D.【名师点睛】（1）运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.（2）在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化进行研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去f “”，即将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系.22．【2017年高考浙江】若函数f (x )=x 2+ ax +b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – mA ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关.故选B ．【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值．23．【2017年高考北京文数】已知函数1()3()3x xf x =-，则()f xA ．是偶函数，且在R 上是增函数B ．是奇函数，且在R 上是增函数C ．是偶函数，且在R 上是减函数D ．是奇函数，且在R 上是减函数【答案】B【解析】()()113333xxx x f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以该函数是奇函数，并且3xy =是增函数，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数. 故选B.【名师点睛】本题属于基础题型，根据()f x -与()f x 的关系就可以判断出函数的奇偶性，判断函数单调性的方法：（1）利用平时学习过的基本初等函数的单调性；（2）利用函数图象判断函数的单调性；（3）利用函数的四则运算判断函数的单调性，如：增函数+增函数=增函数，增函数−减函数=增函数；（4）利用导数判断函数的单调性.24．【2017年高考天津文数】已知奇函数()f x 在R 上是增函数．若221(log ),(log 4.1),5a fb f =-=0.8(2)c f =，则，，的大小关系为A ．a b c <>，0.8122<<，a b c所以0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性可得0.822(log 5)(log 4.1)(2)f f f >>，即a b c >>，即c b a <<．故选C ．【名师点睛】比较大小是高考的常见题型，指数式、对数式的大小比较要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性、奇偶性等进行大小比较，要特别关注灵活利用函数的奇偶性和单调性，数形结合进行大小比较或解不等式． 25．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则A ．()f x 在（0，2）单调递增B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．()y f x =的图像关于直线x =1对称D ．()y f x =的图像关于点（1，0）对称【答案】C【解析】由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图像关于直线1x =对称，故C 正确，D 错误；又()ln[(2)]f x x x =-（02x <<），由复合函数的单调性可知()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以A ，B 错误. 故选C ．【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图像有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图像有对称中心(,0)2a b+．26．【2017年高考山东文数】设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知, 若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a =+-,解得14a =, 则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==⨯-=⎪⎝⎭. 故选C.【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．27．【2017年高考北京文数】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093【答案】D【解析】设36180310M x N ==，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即MN最接近9310. 故选D ．【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令36180310x =，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log na a M n M =. 28．【2017年高考天津文数】已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是A ．[2,2]-B．[2]-C ．[2,-D ．[-【答案】A【解析】当a =±0x =时，()||2xf x a ≥+即2|≥±，即2≥ 显然上式不成立，由此可排除选项B 、C 、D. 故选A ．【名师点睛】涉及分段函数问题要遵循分段处理的原则，分别对x 的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据x 的范围，利用极端原理，求出对应的a 的取值范围．本题具有较好的区分度，所给解析采用了排除法，解题步骤比较简捷，口算即可得出答案，解题时能够节省不少时间．当然，本题也可画出函数图象，采用数形结合的方法进行求解．29．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =A ．12- B ．13C ．12D ．1【答案】C【解析】由211()2(ee )x xf x x x a --+=-++，得()221(2)1211(2)(2)2(2)e e 4442e e x x x x f x x x a x x x a ----+--⎡⎤-=---++=-+-+++=⎣⎦()2112e e x x x x a --+-++，所以(2)()f x f x -=，即1x =为()f x 图象的对称轴.由题意，()f x 有唯一零点，所以()f x 的零点只能为1x =，即()21111(1)121e e 0f a --+=-⨯++=，解得12a =. 故选C.【名师点睛】本题主要考查函数的图象与性质、函数的零点，意在考查考生的运算求解能力与数形结合能力.30．【2017年高考山东文数】若函数e ()xf x （e 2.71828=是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中具有M 性质的是 A ．()2xf x -= B ．2()f x x = C ．()3x f x -=D ．()cos f x x =【答案】A【解析】对于A ，e e ()e 2()2x x x x f x -=⋅=在R 上单调递增，故()2xf x -=具有性质；对于B ，2e ()e x x f x x =⋅，令2()e x g x x =⋅，则2()e 2e e (2)xxxg x x x x x '=⋅+⋅=+，∴当2x <-或0x >时，()0g x '>，当20x -<<时，()0g x '<，∴2e ()e xxf x x =⋅在(,2)-∞-，(0,)+∞上单调递增，在(2,0)-上单调递减，故2()f x x =不具有性质；对于C ，e e ()e 3()3x x x x f x -=⋅=在R 上单调递减，故()3xf x -=不具有性质；对于D ，易知()cos f x x =在定义域内有增有减，故()cos f x x =不具有性质．故选A.【名师点睛】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的动向，它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．31．【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则 A ．a <–1，b <0 B ．a <–1，b >0 C ．a >–1，b <0 D ．a >–1，b >0【答案】C【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x =b1−a ，则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2﹣b ，M M M M2(1)y x a x =+-'，当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增，则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意；当a +1＞0，即a >﹣1时，令y ′＞0得x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增，令y ′＜0得x ∈[0，a +1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点⇔函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，如图：∴b1−a ＜0且()3211(1)1(1)032b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩，解得b ＜0，1﹣a ＞0，b ＞−16（a +1）3，则a >–1，b <0. 故选C ．【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2﹣b ，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解． 32．【2019年高考江苏】函数y =的定义域是 ▲ .【答案】[1,7]-【解析】由题意得到关于x 的不等式，解不等式可得函数的定义域. 由已知得2760x x +-≥,即2670x x --≤，解得17x -≤≤，故函数的定义域为[1,7]-.【名师点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．33．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则a =________．【答案】7-【解析】根据题意有()()23log 91f a =+=，可得92a +=，所以7a =-. 故答案是7-.【名师点睛】该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.34．【2018年高考江苏】函数()f x =________．【答案】[2，+∞）【解析】要使函数()f x 有意义，则需2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为[)2,+∞.【名师点睛】求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.求解本题时，根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.35．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数())ln1f x x =+，()4f a =，则()f a -=________．【答案】2-【解析】由题意得()()))()22ln1ln1ln 122f x f x x x x x +-=+++=+-+=，()()2f a f a ∴+-=,则()2f a -=-. 故答案为−2.【名师点睛】本题主要考查函数的性质，由函数解析式计算发现()()2f x f x +-=是关键，属于中档题.36．【2017年高考江苏】记函数()f x =的定义域为D ．在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是．【答案】59【解析】由260x x +-≥，即260x x --≤，得23x -≤≤，根据几何概型的概率计算公式得x D ∈的概率是3(2)55(4)9--=--．【名师点睛】（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积或体积等时，应考虑使用几何概型求解．（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：①无限性，②等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．37．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+,则(2)f = . 【答案】12【解析】(2)(2)[2(8)4]12f f =--=-⨯-+=.【名师点睛】(1)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于()f x 的方程，从而可得()f x 的值或解析式.(2)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值.38．【2017年高考山东文数】已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x +4)=f (x -2).若当[3,0]x ∈-时,()6xf x -=,则f (919)= ______ . 【答案】6【解析】由f (x +4)=f (x -2)可知,()f x 是周期函数,且6T =, 所以(919)(61531)(1)f f f =⨯+=(1)6f =-=. 【名师点睛】与函数奇偶性有关问题的解决方法：①已知函数的奇偶性,求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．②已知函数的奇偶性求解析式：将待求区间上的自变量,转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组),从而得到f (x )的解析式．39．【2019年高考浙江】已知a ∈R ，函数3()f x ax x =-，若存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是___________. 【答案】43【解析】存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，即有332|(2)(2)|3a t t at t +-+-+≤，化为()22|23642|3a t t ++-≤，可得()2222364233a t t -≤++-≤，即()22436433a t t ≤++≤，由223643(1)11t t t ++=++≥，可得403a <≤. 则实数a 的最大值是43. 【名师点睛】本题考查函数的解析式及二次函数，结合函数的解析式可得33|(2)(2)|a t t at t +-+-+23≤，去绝对值化简，结合二次函数的最值及不等式的性质可求解. 40．【2019年高考北京文数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】①130；②15【解析】①10x =时，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付()608010130+-=元. ②设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，当120y <元时，李明得到的金额为80%y ⨯，符合要求；当120y ≥元时，有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立，即()87,8y y x y x -≥≤，因为min158y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以x 的最大值为15.综上，①130；②15.【名师点睛】本题主要考查函数的最值，不等式的性质及恒成立，数学的应用意识，数学式子变形与运算求解能力.以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养. 41．【2018年高考浙江】我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。

2017-2019全国高考典型的函数的概念与基本初等函数题目分类汇编

2017-2019全国高考典型的函数的概念与基本初等函数题目分类汇编1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c <=0.3000.20.21,c <=<=即01,c <<则a c b <<．2．【2019年高考天津理数】已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为 A ．a c b <=，10.200.50.50.5c <=<，即112c <<，所以a c b <<.3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若a >b ，则 A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0 D ．│a │>│b │【答案】C【解析】取2,1a b ==，满足a b >，但ln()0a b -=，则A 错，排除A ；由219333=>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，但|1||2|<-，则D 错，排除D ；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，即a 3−b 3>0，C 正确.4．【2019年高考北京理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=2152lg E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ．1010.1B ．10.1C ．lg10.1D ．10−10.1【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=，令211.45,26.7m m =-=-，则()121222lg( 1.4526.7)10.1,55E m m E =-=⨯-+= 从而10.11210E E =. 5．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图像大致为 A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，可知应为D 选项中的图象． 6．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】设32()22x x x y f x -==+，则332()2()()2222x x x xx x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ， 7．【2019年高考浙江】在同一直角坐标系中，函数1x y a =，1(2log )a y x =+(a >0，且a ≠1)的图象可能是【答案】D【解析】当01a <<时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递减，则函数1xy a =的图象过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a=的图象过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合. 8．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++.设rRα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 ABCD【答案】D 【解析】由rRα=，得r R α=，因为121223()()M M M R r R r r R +=++，所以12122222(1)(1)M M M R R R ααα+=++，即543232221133[(1)]3(1)(1)M M αααααααα++=+-=≈++，解得α=所以.r R α==9．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314）D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314）【答案】C【解析】()f x Q 是定义域为R 的偶函数，331(log )(log 4)4f f ∴=．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>Q ，又()f x 在(0，+∞)上单调递减，∴23323(log 4)22f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.10．【2017年高考山东理数】设函数y =A ，函数ln(1)y x =-的定义域为B ,则A B I = A ．（1,2） B ．(1,2] C ．（-2,1） D ．[-2,1)【答案】D【解析】由240x -≥得22x -≤≤，由10x ->得1x <，故{|22}{|1}{|21}A B x x x x x x =-≤≤<=-≤Q ，∴舍去D ； ()()()()()243e e e e 22e 2e ,xx x x x x x xx x f x xx---+---++=='Q 2x ∴>时，()0f x '>，()f x 单调递增，舍去C.12．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】函数422y x x =-++的图像大致为【答案】D【解析】函数图象过定点(0,2)，排除A ，B ；令42()2y f x x x ==-++，则32()422(21)f x x x x x '=-+=--，由()0f x '>得22(21)0x x -<，得2x <-或20x <<，此时函数单调递增，由()0f x '<得22(21)0x x ->，得22x >或202x -<<，此时函数单调递减，排除C. 13．【2018年高考浙江】函数y =2xsin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】令()2sin2xf x x =，因为()()(),2sin22sin2xxx f x x x f x -∈-=-=-=-R ，所以()2sin2xf x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，所以排除选项C ，故选D ．14．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数()()321f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x =【答案】D【解析】因为函数()f x 是奇函数，所以10a -=，解得1a =，所以()3f x x x =+，()231f x x '=+，所以()()01,00f f '==，所以曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为()()00y f f x '-=，化简可得y x =，故选D ．15．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()11f x f x -=+．若()12f =，则()()()123f f f ++()50f ++=LA ．50-B ．0C ．2D ．50【答案】C【解析】因为()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，且()()11f x f x -=+，所以()()()()()113114f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=，，,因此()()()()()()()()()()1235012123412f f f f f f f f f f ⎡⎤++++=+++++⎣⎦L ，因为()()()()3142f f f f =-=-，，所以()()()()12340f f f f +++=，因为()()200f f ==，从而()()()()()1235012f f f f f ++++==L . 16．【2018年高考天津理数】已知2log e a =，ln2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】D【解析】由题意结合对数函数的性质可知：2log e 1a =>，()21ln20,1log eb ==∈，12221log log 3log e 3c ==>，据此可得：c a b >>.17．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则A ．0a b ab +<<Q ，0ab ∴<， ∴0ab a b <+<.18．【2017年高考北京理数】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093【答案】D【解析】设36180310M x N ==，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即MN最接近9310. 19．【2017年高考全国Ⅰ卷理数】设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z【答案】D【解析】令235(1)x y zk k ===>，则2log x k =，3log y k =，5log z k =∴22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <. 20．【2017年高考浙江】若函数f (x )=x 2+ ax +b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – mA ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关.21．【2017年高考全国Ⅰ卷理数】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D【解析】因为()f x 为奇函数且在(,)-∞+∞单调递减，要使1()1f x -≤≤成立，则x 满足11x -≤≤，从而由121x -≤-≤得13x ≤≤，即满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围为[1,3].22．【2017年高考北京理数】已知函数1()3()3x xf x =-，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A【解析】()()113333xxx x f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以该函数是奇函数，并且3xy =是增函数，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数.23．【2017年高考天津理数】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a b c <时，()0f x >，从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以0.8202log 5.13<<<，0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<，所以b a c <<.24．【2017年高考山东理数】已知当[0,1]x ∈时，函数2(1)y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是A ．(0,1])+∞UB ．(0,1][3,)+∞UC ．)+∞UD ．[3,)+∞U【答案】B【解析】当01m <≤时，11m≥，2(1)y mx =-在[0,1]x ∈时单调递减，且22(1)(1),1y mx m ⎡⎤=-∈-⎣⎦，y m =在[0,1]x ∈时单调递增，且[,1]y m m m =∈+，此时有且仅有一个交点；当1m >时，101m <<，2(1)y mx =-在1,1m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需2(1)13m m m -≥+⇒≥.25．【2017年高考山东理数】若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是A ．()21log 2a ba ab b +<<+ B ．()21log 2a b a b a b<+<+ C ．()21log 2a ba ab b +<+<D ．()21log 2a ba b a b +<+<【答案】B【解析】因为0a b >>，且1ab =，所以1,01,a b ><<所以221,log ()log 12a ba b <+>=， 12112log ()a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+， 26．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-．若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A．9,4⎛⎤-∞⎥⎝⎦B．7,3⎛⎤-∞⎥⎝⎦C．5,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦D．8,3⎛⎤-∞⎥⎝⎦【答案】B【解析】∵(1) 2 ()f x f x+=，()2(1)f x f x∴=-．∵(0,1]x∈时，1()(1)[,0]4f x x x=-∈-；∴(1,2]x∈时，1(0,1]x-∈，1()2(1)2(1)(2),02f x f x x x⎡⎤=-=--∈-⎢⎥⎣⎦；∴(2,3]x∈时，1(1,2]x-∈，()2(1)4(2)(3)[1,0]f x f x x x=-=--∈-，如图：当(2,3]x∈时，由84(2)(3)9x x--=-解得173x=，283x=，若对任意(,]x m∈-∞，都有8()9f x≥-，则73m≤.则m的取值范围是7,3⎛⎤-∞⎥⎝⎦.27．【2019年高考浙江】已知,a b∈R，函数32,0()11(1),032x xf xx a x ax x<⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b=--恰有3个零点，则A．a<–1，b<0 B．a<–1，b>0C．a>–1，b<0 D．a>–1，b>0【答案】C【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x 错误!未找到引用源。

五年(2019-2023)年高考真题函数的基本概念与基本初等函数I(解析版)

五年（2019-2023）年高考真题分项汇编专题02函数的基本概念与基本初等函数I 高频考点：考点精析考点一函数的值域1．（2019•上海）下列函数中，值域为[0，)+∞的是()A ．2x y =B ．12y x =C ．tan y x =D ．cos y x=【解析】A ，2x y =的值域为(0,)+∞，故A 错B ，y =的定义域为[0，)+∞，值域也是[0，)+∞，故B 正确．C ，tan y x =的值域为(,)-∞+∞，故C 错D ，cos y x =的值域为[1-，1]+，故D 错．故选：B ．2．（2023•上海）已知函数1,0,()2,0x x f x x ⎧=⎨>⎩，则函数()f x 的值域为．【解析】当0x 时，()1f x =，当0x >时，()21x f x =>，所以函数()f x 的值域为[1，)+∞．故答案为：[1，)+∞．3．（2022•上海）设函数()f x 满足1()(1f x f x=+对任意[0x ∈，)+∞都成立，其值域是f A ，已知对任何满足上述条件的()f x 都有{|()y y f x =，0}f x a A =，则a 的取值范围为．【解析】法一：令11x x =+，解得x =，当151]2x -∈时，2111x x =∈+，当1)x ∈+∞时，2111x x =∈+，且当151(,)2x -∈+∞时，总存在2111)12x x -=∈+，使得12()()f x f x =，故51|(),02f y y f x x A ⎧⎫-⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭，若a <{}|(),0f y y f x x a ∉=，所以a 即实数a的取值范围为1[,)2-+∞；法二：原命题等价于任意10,()()1a f x a f x a>+=++，所以11(1)1a x a x a a ⇒-+++恒成立，即1(1)0a a-+恒成立，又0a >，所以a即实数a 的取值范围为51[,)2-+∞．故答案为：51[,)2-+∞．考点二函数的图象与图象的变换4．（2021•浙江）已知函数21()4f x x =+，()sin g x x =，则图象为如图的函数可能是()A ．1()()4y f x g x =+-B ．1()()4y f x g x =--C ．()()y f x g x =D ．()()g x y f x =【解析】由图可知，图象关于原点对称，则所求函数为奇函数，因为21()4f x x =+为偶函数，()sin g x x =为奇函数，函数21()()sin 4y f x g x x x =+-=+为非奇非偶函数，故选项A 错误；函数21()()sin 4y f x g x x x =--=-为非奇非偶函数，故选项B 错误；函数21()()()sin 4y f x g x x x ==+，则212sin ()cos 04y x x x x '=++>对(0,)4x π∈恒成立，则函数()()y f x g x =在(0,)4π上单调递增，故选项C 错误．故选：D ．5．（2020•浙江）函数cos sin y x x x =+在区间[π-，]π上的图象可能是()A ．B ．C ．D ．【解析】()cos sin y f x x x x ==+，则()cos sin ()f x x x x f x -=--=-，()f x ∴为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除C ，D ，当x π=时，()cos sin 0y f πππππ==+=-<，故排除B ，故选：A ．6．（2019•浙江）在同一直角坐标系中，函数1x y a =，1log (02a y x a =+>且1)a ≠的图象可能是()A ．B ．C ．D ．【解析】由函数1x y a =，1log (2a y x =+，当1a >时，可得1x y a =是递减函数，图象恒过(0,1)点，函数1log (2a y x =+，是递增函数，图象恒过1(2，0)；当10a >>时，可得1x y a =是递增函数，图象恒过(0,1)点，函数1log (2a y x =+，是递减函数，图象恒过1(2，0)；∴满足要求的图象为：D故选：D ．考点三．复合函数的单调性7．（2023•新高考Ⅰ）设函数()()2x x a f x -=在区间(0,1)单调递减，则a 的取值范围是()A ．(-∞，2]-B ．[2-，0)C ．(0，2]D ．[2，)+∞【解析】设2()t x x a x ax =-=-，对称轴为2ax =，抛物线开口向上，2t y = 是t 的增函数，∴要使()f x 在区间(0,1)单调递减，则2t x ax =-在区间(0,1)单调递减，即12a，即2a ，故实数a 的取值范围是[2，)+∞．故选：D ．8．（2020•海南）已知函数2()(45)f x lg x x =--在(,)a +∞上单调递增，则a 的取值范围是()A ．(2,)+∞B ．[2，)+∞C ．(5,)+∞D ．[5，)+∞【解析】由2450x x -->，得1x <-或5x >．令245t x x =--，外层函数y lgt =是其定义域内的增函数，∴要使函数2()(45)f x lg x x =--在(,)a +∞上单调递增，则需内层函数245t x x =--在(,)a +∞上单调递增且恒大于0，则(a ，)(5+∞⊆，)+∞，即5a ．a ∴的取值范围是[5，)+∞．故选：D ．考点四函数的最值及其几何意义9．（2021•新高考Ⅰ）函数()|21|2f x x lnx =--的最小值为．【解析】法一、函数()|21|2f x x lnx =--的定义域为(0,)+∞．当102x <时，()|21|2212f x x lnx x lnx =--=-+-，此时函数()f x 在(0，12上为减函数，当12x >时，()|21|2212f x x lnx x lnx =--=--，则22(1)()2x f x x x -'=-=，当1(2x ∈，1)时，()0f x '<，()f x 单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，()f x 在(0,)+∞上是连续函数，∴当(0,1)x ∈时，()f x 单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()f x 单调递增．∴当1x =时()f x 取得最小值为f （1）211211ln =⨯--=．故答案为：1．法二、令()|21|g x x =-，()2h x lnx =，分别作出两函数的图象如图：由图可知，()f x f （1）1=，则数()|21|2f x x lnx =--的最小值为1．故答案为：1．10．（2019•浙江）已知a R ∈，函数3()f x ax x =-．若存在t R ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-，则实数a 的最大值是．【解析】存在t R ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-，即有332|(2)(2)|3a t t at t +-+-+，化为22|2(364)2|3a t t ++-，可得2222(364)233a t t -++-，即224(364)33a t t ++，由223643(1)11t t t ++=++，可得403a<，可得a 的最大值为43．故答案为：43．考点五函数奇偶性的性质与判断11．（2023•新高考Ⅱ）若21()()21x f x x a lnx -=++为偶函数，则(a =)A ．1-B ．0C ．12D ．1【解析】由21021x x ->+，得12x >或12x <-，由()f x 是偶函数，()()f x f x ∴-=，得2121()()2121x x x a lnx a ln x x ----+=+-++，即121212121()()()()()21212121x x x x x a ln x a ln x a ln x a ln x x x x -+----+=-+=-=+-+++，x a x a ∴-=+，得a a -=，得0a =．故选：B ．12．（2021•上海）以下哪个函数既是奇函数，又是减函数()A ．3y x =-B ．3y x =C ．3log y x =D ．3xy =【解析】3y x =-在R 上单调递减且为奇函数，A 符合题意；因为3y x =在R 上是增函数，B 不符合题意；3log y x =，3x y =为非奇非偶函数，C 不符合题意；故选：A ．13．（2019•上海）已知R ω∈，函数2()(6)sin()f x x x ω=-⋅，存在常数a R ∈，使()f x a +为偶函数，则ω的值可能为()A ．2πB ．3πC ．4πD ．5π【解析】由于函数2()(6)sin()f x x x ω=-⋅，存在常数a R ∈，()f x a +为偶函数，则：2()(6)sin[()]f x a x a x a ω+=+-⋅+，由于函数为偶函数，故：6a =，所以：62k πωπ=+，当1k =时．4πω=故选：C ．14．（2021•新高考Ⅱ）写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x ．①1212()()()f x x f x f x =；②当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>；③()f x '是奇函数．【解析】2()f x x =时，22212121212()()()()f x x x x x x f x f x ===；当(0,)x ∈+∞时，()20f x x '=>；()2f x x '=是奇函数．故答案为：2()f x x =．另解：幂函数()(0)a f x x a =>即可满足条件①和②；偶函数即可满足条件③，综上所述，取2()f x x =即可．15．（2021•新高考Ⅰ）已知函数3()(22)x x f x x a -=⋅-是偶函数，则a =．【解析】函数3()(22)x x f x x a -=⋅-是偶函数，3y x =为R 上的奇函数，故22x x y a -=⋅-也为R 上的奇函数，所以000|2210x y a a ==⋅-=-=，所以1a =．法二：因为函数3()(22)x x f x x a -=⋅-是偶函数，所以()()f x f x -=，即33(22)(22)x x x x x a x a ---⋅-=⋅-，即33(22)(22)0x x x x x a x a --⋅-+⋅-=，即3(1)(22)0x x a x --+=，所以1a =．故答案为：1．16．（2023•上海）已知a ，c R ∈，函数2(31)()x a x c f x x a+++=+．（1）若0a =，求函数的定义域，并判断是否存在c 使得()f x 是奇函数，说明理由；（2）若函数过点(1,3)，且函数()f x 与x 轴负半轴有两个不同交点，求此时c 的值和a 的取值范围．【解析】（1）若0a =，则2()1x x c c f x x x x++==++，要使函数有意义，则0x ≠，即()f x 的定义域为{|0}x x ≠，c y x x=+ 是奇函数，1y =是偶函数，∴函数()1c f x x x=++为非奇非偶函数，不可能是奇函数，故不存在实数c ，使得()f x 是奇函数．（2）若函数过点(1,3)，则f （1）13132311a c a c a a +++++===++，得3233a c a ++=+，得321c =-=，此时2(31)1()x a x f x x a+++=+，若数()f x 与x 轴负半轴有两个不同交点，即2(31)1()0x a x f x x a+++==+，得2(31)10x a x +++=，当0x <时，有两个不同的交点，设2()(31)1g x x a x =+++，则21212(31)4010(31)03102a x x x x a a ⎧=+->⎪=>⎪⎪⎨+=-+<⎪+⎪-<⎪⎩ ，得312312310a a a +>+<-⎧⎨+>⎩或，得11313a a a ⎧><-⎪⎪⎨⎪>-⎪⎩或，即13a >，若0x a +=即x a =-是方程2(31)10x a x +++=的根，则2(31)10a a a -++=，即2210a a +-=，得12a =或1a =-，则实数a 的取值范围是13a >且12a ≠且1a ≠-，即1(3，11(22⋃，)+∞．考点六奇偶性与单调性的综合17．（2021•新高考Ⅱ）已知函数()f x 的定义域为(()R f x 不恒为0)，(2)f x +为偶函数，(21)f x +为奇函数，则()A ．1(02f -=B ．(1)0f -=C ．f （2）0=D ．f （4）0=【解析】函数(2)f x +为偶函数，(2)(2)f x f x ∴+=-，(21)f x + 为奇函数，(12)(21)f x f x ∴-=-+，用x 替换上式中21x +，得(2)()f x f x -=-，(2)()f x f x ∴+=-，(4)(2)()f x f x f x +=-+=，即()(4)f x f x =+，故函数()f x 是以4为周期的周期函数，(21)f x + 为奇函数，(12)(21)f x f x ∴-=-+，即(21)(21)0f x f x ++-+=，用x 替换上式中21x +，可得，()(2)0f x f x +-=，()f x ∴关于(1,0)对称，又f （1）0=，(1)(21)f f f ∴-=-+=-（1）0=．故选：B ．18．（2020•海南）若定义在R 的奇函数()f x 在(,0)-∞单调递减，且f （2）0=，则满足(1)0xf x -的x 的取值范围是()A ．[1-，1][3 ，)+∞B ．[3-，1][0- ，1]C ．[1-，0][1 ，)+∞D ．[1-，0][1 ，3]【解析】定义在R 的奇函数()f x 在(,0)-∞单调递减，且f （2）0=，()f x 的大致图象如图：()f x ∴在(0,)+∞上单调递减，且(2)0f -=；故(1)0f -<；当0x =时，不等式(1)0xf x -成立，当1x =时，不等式(1)0xf x -成立，当12x -=或12x -=-时，即3x =或1x =-时，不等式(1)0xf x -成立，当0x >时，不等式(1)0xf x -等价为(1)0f x -，此时0012x x >⎧⎨<-⎩，此时13x <，当0x <时，不等式(1)0xf x -等价为(1)0f x -，即0210x x <⎧⎨--<⎩，得10x -<，综上10x -或13x ，即实数x 的取值范围是[1-，0][1 ，3]，故选：D ．考点七分段函数的应用19．（2022•上海）若函数210()000a x x f x x a x x ⎧-<⎪=+>⎨⎪=⎩，为奇函数，求参数a 的值为．【解析】函数210()000a x x f x x a x x ⎧-<⎪=+>⎨⎪=⎩，为奇函数，()()f x f x ∴-=-，(1)f f ∴-=-（1），21(1)a a ∴--=-+，即(1)0a a -=，求得0a =或1a =．当0a =时，1,0()0,0,0x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪>⎩，不是奇函数，故0a ≠；当1a =时，1,0()0,01,0x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，是奇函数，故满足条件，综上，1a =，故答案为：1．20．（2022•浙江）已知函数22,1,()11,1,x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨+->⎪⎩则1(())2f f =3728；若当[x a ∈，]b 时，1()3f x ，则b a -的最大值是．【解析】函数22,1()11,1x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨+->⎪⎩，117()2244f ∴=-+=，177437(())()1244728f f f ∴==+-=；作出函数()f x的图象如图：由图可知，若当[x a ∈，]b 时，1()3f x ，则b a -的最大值是2(1)3+-=+故答案为：3728；3+考点八抽象函数及其应用21．（2022•新高考Ⅱ）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()f x y f x y f x f y ++-=，f （1）1=，则221()(k f k ==∑)A ．3-B ．2-C ．0D ．1【解析】令1y =，则(1)(1)()f x f x f x ++-=，即(1)()(1)f x f x f x +=--，(2)(1)()f x f x f x ∴+=+-，(3)(2)(1)f x f x f x +=+-+，(3)()f x f x ∴+=-，则(6)(3)()f x f x f x +=-+=，()f x ∴的周期为6，令1x =，0y =得f （1）f +（1）f =（1）(0)f ⨯，解得(0)2f =，又(1)()(1)f x f x f x +=--，f ∴（2）f =（1）(0)1f -=-，f （3）f =（2）f -（1）2=-，f （4）f =（3）f -（2）1=-，f （5）f =（4）f -（3）1=，f （6）f =（5）f -（4）2=，∴61()1121120k f k ==---++=∑，∴221()30(19)(20)(21)(22)k f k f f f f f ==⨯++++=∑（1）f +（2）f +（3）f +（4）3=-．故选：A ．22．【多选】（2023•新高考Ⅰ）已知函数()f x 的定义域为R ，22()()()f xy y f x x f y =+，则()A ．(0)0f =B ．f （1）0=C ．()f x 是偶函数D ．0x =为()f x 的极小值点【解析】由22()()()f xy y f x x f y =+，取0x y ==，可得(0)0f =，故A 正确；取1x y ==，可得f （1）2f =（1），即f （1）0=，故B 正确；取1x y ==-，得f （1）2(1)f =-，即1(1)2f f -=（1）0=，取1y =-，得()()f x f x -=，可得()f x 是偶函数，故C 正确；由上可知，(1)(0)f f f -==（1）0=，而函数解析式不确定，不妨取()0f x =，满足22()()()f xy y f x x f y =+，常数函数()0f x =无极值，故D 错误．故选：ABC ．23．（2020•上海）已知非空集合A R ⊆，函数()y f x =的定义域为D ，若对任意t A ∈且x D ∈，不等式()()f x f x t +恒成立，则称函数()f x 具有A 性质．（1）当{1}A =-，判断()f x x =-、()2g x x =是否具有A 性质；（2）当(0,1)A =，1()f x x x=+，[x a ∈，)+∞，若()f x 具有A 性质，求a 的取值范围；（3）当{2A =-，}m ，m Z ∈，若D 为整数集且具有A 性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的m 的值．【解析】（1）()f x x =- 为减函数，()(1)f x f x ∴<-，()f x x ∴=-具有A 性质；()2g x x = 为增函数，()(1)g x g x ∴>-，()2g x x ∴=不具有A 性质；（2）依题意，对任意(0,1)t ∈，()()f x f x t +恒成立，∴1()()f x x x a x=+为增函数（不可能为常值函数），由双勾函数的图象及性质可得1a ，当1a 时，函数单调递增，满足对任意(0,1)t ∈，()()f x f x t +恒成立，综上，实数a 的取值范围为[1，)+∞．（3）D 为整数集，具有A 性质的函数均为常值函数，当0m 时，取单调递减函数()f x x =-，两个不等式恒成立，但()f x 不为常值函数；当m 为正偶数时，取()0,1,n f x n ⎧=⎨⎩为偶数为奇数，两个不等式恒成立，但()f x 不为常值函数；当m 为正奇数时，根据对任意t A ∈且x D ∈，不等式()()f x f x t +恒成立，可得()()()(1)(1)()f x m f x f x m f x f x f x m -++--，则()(1)f x f x =+，所以()f x 为常值函数，综上，m 为正奇数．考点九函数的周期性24．（2019•上海）已知函数()f x 周期为1，且当01x <时，2()log f x x =，则3()2f =．【解析】因为函数()f x 周期为1，所以31((22f f =，因为当01x <时，2()log f x x =，所以1()12f =-，故答案为：1-．考点十函数恒成立问题25．（2021•上海）已知1x ，2x R ∈，若对任意的21x x S -∈，21()()f x f x S -∈，则有定义：()f x 是在S 关联的．（1）判断和证明()21f x x =-是否在[0，)+∞关联？是否有[0，1]关联？（2）若()f x 是在{3}关联的，()f x 在[0x ∈，3)时，2()2f x x x =-，求解不等式：2()3f x ．（3）证明：()f x 是{1}关联的，且是在[0，)+∞关联的，当且仅当“()f x 在[1，2]是关联的”．【解析】（1）()f x 在[0，)+∞关联，在[0，1]不关联，任取12[0x x -∈，)+∞，则1212()()2()[0f x f x x x -=-∈，)+∞，()f x ∴在[0，)+∞关联；取11x =，20x =，则121[0x x -=∈，1]，1212()()2()2[0f x f x x x -=-=∉ ，1]，()f x ∴在[0，1]不关联；（2）()f x 在{3}关联，∴对于任意123x x -=，都有12()()3f x f x -=，∴对任意x ，都有(3)()3f x f x +-=，由[0x ∈，3)时，2()2f x x x =-，得()f x 在[0x ∈，3)的值域为[1-，3)，()f x ∴在[3x ∈，6)的值域为[2，6)，2()3f x ∴仅在[0x ∈，3)或[3x ∈，6)上有解，[0x ∈，3)时，2()2f x x x =-，令2223x x -13x +<，[3x ∈，6)时，2()(3)3818f x f x x x =-+=-+，令228183x x -+，解得35x ，∴不等式2()3f x 的解为1，5]，（3）证明：①先证明：()f x 是在{1}关联的，且是在[0，)+∞关联的()f x ⇒在[1，2]是关联的，由已知条件可得，(1)()1f x f x +=+，()()f x n f x n ∴+=+，n Z ∈，又()f x 是在[0，)+∞关联的，∴任意21x x >，21()()f x f x >成立，若2112x x -，12112x x x ∴++，121(1)()(2)f x f x f x ∴++，即121()1()()2f x f x f x ++，211()()2f x f x ∴-，()f x ∴是[1，2]关联，②再证明：()f x 在[1，2]是关联的()f x ⇒是在{1}关联的，且是在[0，)+∞关联的，()f x 在[1，2]是关联的，∴任取12[1x x -∈，2]，都有12()()[1f x f x -∈，2]成立，即满足1212x x -，都有121()()2f x f x -，下面用反证法证明(1)()1f x f x +-=，若(1)()1f x f x +->，则(2)()(2)(1)(1)()2f x f x f x f x f x f x +-=+-+++->，与()f x 在[1，2]是关联的矛盾，若(1)()1f x f x +-<，而()f x 在[1，2]是关联的，则(1)()1f x f x +-，矛盾，(1)()1f x f x ∴+-=成立，即()f x 是在{1}关联的，再证明()f x 是在[0，)+∞关联的，任取12[x x n -∈，)()n N +∞∈，则存在n N ∈，使得任取12[x x n -∈，1]()n n N +∈，121(1)2x n x --- ，1212[(1)]()()(1)()[1f x n f x f x n f x ∴---=---∈，2]，12()()[f x f x n ∴-⊆，1][0n +⊆，)+∞，()f x ∴是在[0，)+∞关联的；综上所述，()f x 是{1}关联的，且是在[0，)+∞关联的，当且仅当“()f x 在[1，2]是关联的”，故得证．考点十一对数的运算性质26．（2022•浙江）已知25a =，8log 3b =，则34(a b -=)A ．25B ．5C ．259D ．53【解析】由25a =，8log 3b =，可得3823b b ==，则22333224(2)52544(2)39a a a bb b -====，故选：C ．考点十二对数值大小的比较27．（2022•新高考Ⅰ）设0.10.1a e =，19b =，0.9c ln =-，则()A ．a b c<，则211()f x x x '=-，0x >，当()0f x '=时，1x =，01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，()f x ∴在1x =处取最小值f （1）1=，∴11lnx x>-，(0x >且1)x ≠，110.910.99ln ∴>-=-，10.99ln ∴-<，c b ∴<；10910.9191010ln ln -=>-= ，∴0.1109e >，0.110.19e ∴<，a b ∴<；设()(1)(01)x g x xe ln x x =+-<<，则21(1)1()(1)11x xx e g x x e x x -+'=++=--，令2()(1)1x h x e x =-+，2()(21)x h x e x x '=+-，当01x <<-时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，11x <<时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，(0)0h = ，∴当01x <<-时，()0h x <，当01x <<-时，()0g x '>，()(1)x g x xe ln x =+-单调递增，(0.1)(0)0g g ∴>=，0.10.10.9e ln ∴>-，a c ∴>，c a b ∴<<．故选：C ．28．（2021•新高考Ⅱ）已知5log 2a =，8log 3b =，12c =，则下列判断正确的是()A ．c b a<=，a cb ∴<<．故选：C ．考点十三反函数29．（2021•上海）已知3()2f x x=+，则1f -（1）=．【解析】因为3()2f x x=+，令()1f x =，即321x+=，解得3x =-，故1f -（1）3=-．故答案为：3-．30．（2020•上海）已知函数3()f x x =，1()f x -是()f x 的反函数，则1()f x -=．【解析】由3()y f x x ==，得x =，把x 与y 互换，可得3()f x x =的反函数为1()f x -=．．考点十四函数与方程的综合运用31．（2019•浙江）设a ，b R ∈，函数32,0,()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++⋅⎪⎩若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则()A ．1a <-，0b C ．1a >-，0b <D ．1a >-，0b >【解析】当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1bx a=-；()y f x ax b =--最多一个零点；当0x 时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-，2(1)y x a x '=-+，当10a +，即1a -时，0y '，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；当10a +>，即1a >-时，令0y '>得(1,)x a ∈++∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点⇔函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点，如右图：∴01b a <-且3211(1)(1)(1)032b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩，解得0b <，10a ->，31(1)6b a >-+．31(1)06a b ∴-+<<，11a -<<故选：C ．32．（2019•上海）已知2()||(1,0)1f x a x a x =->>-，()f x 与x 轴交点为A ，若对于()f x 图象上任意一点P ，在其图象上总存在另一点(Q P 、Q 异于)A ，满足AP AQ ⊥，且||||AP AQ =，则a =．【解析】由题意，可知：令2()||01f x a x =-=-，解得：21x a=+，∴点A 的坐标为：2(1a +，0)．则2,11()2,1AAa x x x f x a x x x ⎧-<⎪⎪-=⎨⎪-+>⎪-⎩．()f x ∴大致图象如下：由题意，很明显P 、Q 两点分别在两个分段曲线上，不妨设点P 在左边曲线上，点Q 在右边曲线上．设直线AP 的斜率为k ，则2:(1)AP l y k x a=--．联立方程：2(1)21y k x ay a x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩，整理，得：222[(2)](1)20kx a k x k a a a +-+++--=．2(2)22P A a k a a x x k a k -+∴+=-=+-．21A x a=+ ，221P A a a x x a k k∴=+--=-．再将1P ax k=-代入第一个方程，可得：2P k y a a=--．∴点P 的坐标为：(1a k -，2k a a--．||AP ∴===．AP AQ ⊥ ，∴直线AQ 的斜率为1k -，则12:(1)AQ l y x k a=---．同理类似求点P 的坐标的过程，可得：点Q 的坐标为：2(1,ak a ak-+．||AQ ∴===||||AP AQ = ，及k 的任意性，可知：224a a=，解得：a =．．33．（2019•上海）已知1()1f x ax x =++，a R ∈．（1）当1a =时，求不等式()1(1)f x f x +<+的解集；（2）若()f x 在[1x ∈，2]时有零点，求a 的取值范围．【解析】（1）1()()1f x ax a R x =+∈+．当1a =时，1()1f x x x =++．所以：()1(1)f x f x +<+转换为：111112x x x x ++<++++，即：1112x x <++，解得：21x -<<-．故：{|21}x x -<<-．（2）函数1()1f x ax x =++在[1x ∈，2]时，()f x 有零点，即函数在该区间上有解，即：1(1)a x x =-+，即求函数()g x 在[1x ∈，2]上的值域，由于：(1)x x +在[1x ∈，2]上单调递减，故：(1)[2x x +∈，6]，所以：111[,](1)26x x -∈--+，故：11[,26a ∈--考点十五根据实际问题选择函数类型34．（2020•山东）基本再生数0R 与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：()rt I t e =描述累计感染病例数()I t 随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与0R ，T 近似满足01R rT =+．有学者基于已有数据估计出0 3.28R =，6T =．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为()(20.69)ln ≈A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天【解析】把0 3.28R =，6T =代入01R rT =+，可得0.38r =，0.38()t I t e ∴=，当0t =时，(0)1I =，则0.382t e =，两边取对数得0.382t ln =，解得2 1.80.38ln t =≈．故选：B ．35．【多选】（2023•新高考Ⅰ）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级020p p L lg p =⨯，其中常数00(0)p p >是听觉下限阈值，p 是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m 声压级/dB燃油汽车1060~90混合动力汽车1050~60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为1p ，2p ，3p ，则()A ．12p p B ．2310p p >C ．30100p p =D ．12100p p 【解析】由题意得，10602090p lg p ，92010100010p p p ，20502060p lg p ，52020101000p p p ，302040p lg p =，30100p p =，可得12p p ，A 正确；230101000p p p =，B 错误；30100p p =，C 正确；952210021010010100p p p p =⨯，12100p p ，D 正确．故选：ACD ．36．（2023•上海）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数”00F S V =，其中0F 为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），0V 为建筑物的体积（单位：立方米）．（1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为R ，高度为H ，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑体的“体形系数”S ；（结果用含R 、H 的代数式表示）（2）定义建筑物的“形状因子”为2L f A=，其中A 为建筑物底面面积，L 为建筑物底面周长，又定义T 为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）．设n 为某宿舍楼的层数，层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为13S n=+．当18f =，10000T =时，试求当该宿舍楼的层数n 为多少时，“体形系数”S 最小．【解析】（1）由圆柱体的表面积和体积公式可得：22002F RH R V R H πππ=+⋅=，所以020(2)2F R H R H R S V R H HRππ++===．（2）由题意可得132131003S n n=+=+，*n N ∈，所以32221922003600n S n n -'==，令0S '=，解得 6.27n =≈，所以S 在[1，6.27]单调递减，在[6.27，)+∞单调递增，所以S 的最小值在6n =或7取得，当6n =时，32610.3110036S =+≈⨯，当7n =时，32710.1610037S =+≈⨯，所以在6n =时，该建筑体S 最小．37．（2021•上海）已知一企业今年第一季度的营业额为1.1亿元，往后每个季度增加0.05亿元，第一季度的利润为0.16亿元，往后每一季度比前一季度增长4%．（1）求今年起的前20个季度的总营业额；（2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18%？【解析】（1）由题意可知，可将每个季度的营业额看作等差数列，则首项1 1.1a =，公差0.05d =，20120(201)2020 1.110190.0531.52S a d -∴=+=⨯+⨯⨯=，即营业额前20季度的和为31.5亿元．（2）解法一：假设今年第一季度往后的第*()n n N ∈季度的利润首次超过该季度营业额的18%，则0.16(14%)(1.10.05)18%n n ⨯+>+⋅，令()0.16(14%)(1.10.05)18%n f n n =⨯+-+⋅，*()n N ∈，即要解()0f n >，则当2n 时，1()(1)0.0064(14%)0.009n f n f n ---=⋅+-，令()(1)0f n f n -->，解得：10n ，即当19n 时，()f n 递减；当10n 时，()f n 递增，由于f （1）0<，因此()0f n >的解只能在10n 时取得，经检验，(24)0f <，(25)0f >，所以今年第一季度往后的第25个季度的利润首次超过该季度营业额的18%．解法二：设今年第一季度往后的第*()n n N ∈季度的利润与该季度营业额的比为n a ，则1 1.04(1.050.05) 1.04261.0410.04(1)1.10.052222n n a n a n n n++==-=+-+++，∴数列{}n a 满足1234567a a a a a a a >>>=<<<⋯⋯，注意到，250.178a =⋯，260.181a =⋯，∴今年第一季度往后的第25个季度利润首次超过该季度营业额的18%．38．（2020•上海）在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为q v x=，x 为道路密度，q 为车辆密度，交通流量801100135(),040()3(40)85,4080x x v f x k x x ⎧⎪-⋅<<==⎨⎪--+⎩．（1）若交通流量95v >，求道路密度x 的取值范围；（2）已知道路密度80x =时，测得交通流量50v =，求车辆密度q 的最大值．【解析】（1）按实际情况而言，交通流量v 随着道路密度x 的增大而减小，故()v f x =是单调递减函数，所以0k >，当4080x 时，v 最大为85，于是只需令801100135()953x -⋅>，解得803x <，故道路密度x 的取值范围为80(0,)3．（2）把80x =，50v =代入()(40)85v f x k x ==--+中，得504085k =-⋅+，解得78k =．801100135(),04037(40)85,40808x x x x q vx x x x x ⎧-⋅⋅<<⎪⎪∴==⎨⎪--+⎪⎩，①当040x <<时，801100135()1003x v =-⋅<，100404000q vx =<⨯=．②当4080x 时，q 是关于x 的二次函数，271208q x x =-+，对称轴为4807x =，此时q 有最大值，为2748048028800(12040008777-⨯+⨯=>．综上所述，车辆密度q 的最大值为288007．。

专题02 函数的概念与基本初等函数(原卷版)

专题02函数的概念与基本初等函数1．【2019年天津文科05】已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b2．【2019年天津文科08】已知函数f（x）若关于x的方程f（x）x+a（a∈R）恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为（）A．[，] B．（，] C．（，]∪{1} D．[，]∪{1}3．【2019年新课标3文科12】设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（）A．f（log3）＞f（2）＞f（2）B．f（log3）＞f（2）＞f（2）C．f（2）＞f（2）＞f（log3）D．f（2）＞f（2）＞f（log3）4．【2019年新课标2文科06】设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝e x﹣1，则当x＜0时，f（x）＝（）A．e﹣x﹣1 B．e﹣x+1 C．﹣e﹣x﹣1 D．﹣e﹣x+15．【2019年新课标1文科03】已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a6．【2019年北京文科03】下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝x B．y＝2﹣x C．y＝log x D．y7．【2018年新课标2文科12】已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（）A．﹣50 B．0 C．2 D．508．【2018年新课标1文科12】设函数f（x），则满足f（x+1）＜f（2x）的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（0，+∞）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，0）9．【2018年新课标3文科07】下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是（）A．y＝ln（1﹣x）B．y＝ln（2﹣x） C．y＝ln（1+x）D．y＝ln（2+x）10．【2018年北京文科05】“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（）A．f B．f C．f D．f11．【2018年天津文科05】已知a，b，c，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b12．【2017年北京文科05】已知函数f（x）＝3x﹣（）x，则f（x）（）A．是偶函数，且在R上是增函数B．是奇函数，且在R上是增函数C．是偶函数，且在R上是减函数D．是奇函数，且在R上是减函数13．【2017年北京文科08】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：lg3≈0.48）A．1033B．1053C．1073D．109314．【2017年天津文科06】已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a＝﹣f（），b＝f（log24.1），c＝f （20.8），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b15．【2017年天津文科08】已知函数f（x），设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A ．[﹣2，2]B ．C ．D ．16．【2018年新课标1文科13】已知函数f （x ）＝log 2（x 2+a ），若f （3）＝1，则a ＝． 17．【2018年新课标3文科16】已知函数f （x ）＝ln （x ）+1，f （a ）＝4，则f （﹣a ）＝．18．【2018年天津文科14】已知a ∈R ，函数f （x ）．若对任意x ∈[﹣3，+∞），f （x ）≤|x |恒成立，则a 的取值范围是．19．【2017年新课标2文科14】已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ∈（﹣∞，0）时，f （x ）＝2x 3+x 2，则f （2）＝．20．【2017年新课标3文科16】设函数f （x ），则满足f （x ）+f （x ）＞1的x 的取值范围是．21．【2017年北京文科11】已知x ≥0，y ≥0，且x +y ＝1，则x 2+y 2的取值范围是．1．【山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试】若函数(()sin ln f x x ax =⋅的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为（） A ．2B ．4C ．2±D ．4±2．【广东省东莞市2019届高三第二学期高考冲刺试题（最后一卷)】己知()f x 是定义在R 上的偶函数，在区间(]0-∞，为增函数，且()30f =，则不等式(12)0f x ->的解集为（） A ．()10-，B ．()12-，C ．()02，D ．()2，+∞ 3．【天津市河北区2019届高三一模】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞内单调递减，则（）A ．()()()320log 2log 3f f f <<-B ．()()()32log 20log 3f f f <<-C ．()()()23log 3log 20f f f -<<D ．()()()32log 2log 30f f f <-<4．【天津市红桥区2019届高三二模】已知 1.22a =，52log 2=b ，1ln3c =，则（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>5．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】已知函数()221log 2xf x x+=-，若()f a b =，则()4f a -=（）A ．bB ．2b -C ．b -D ．4b -6．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】已知函数()21x f x x =-，则（）A ．()f x 在()0,1单调递增B ．()f x 的最小值为4C ．()y f x =的图象关于直线1x =对称D ．()y f x =的图象关于点()1,2对称7．【山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷（新课标I)】已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，2()f x x =，则(1)(2)(3)(2019)f f f f ++++=L （）A ．2019B ．0C ．1D ．-18．【天津市红桥区2019届高三一模】若方程2121x kx x -=--有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是（） A ．(),1-∞-B ．()1,0-C ．()0,4D ．()()0,11,49．【天津市部分区2019届高三联考一模】设,m n R ∈，则“m n <”是“112m n-⎛⎫> ⎪⎝⎭”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．【广东省2019届高考适应性考试】某罐头加工厂库存芒果()m kg ，今年又购进()n kg 新芒果后，欲将芒果总量的三分之一用于加工为芒果罐头。

三年高考(2017-2019)理数真题分项版解析——专题02 函数的概念与基本初等函数I (解析版)

专题02 函数的概念与基本初等函数I1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c <=0.3000.20.21,c <=<=即01,c <<则a c b <<．故选B ．【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养．采取中间量法，根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小．2．【2019年高考天津理数】已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为 A ．a c b <=，10.20.50.50.5c <=<，即112c <<，所以a c b <<. 故选A.【名师点睛】本题考查比较大小问题，关键是选择中间量和利用函数的单调性进行比较. 3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若a >b ，则 A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0 D ．│a │>│b │【答案】C【解析】取2,1a b ==，满足a b >，但ln()0a b -=，则A 错，排除A ；由219333=>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，但|1||2|<-，则D 错，排除D ；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，即a 3−b 3>0，C 正确. 故选C ．【名师点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的性质、幂函数的性质及绝对值的意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．4．【2019年高考北京理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=2152lg E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ．1010.1B ．10.1C ．lg10.1D ．10−10.1【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=，令211.45,26.7m m =-=-，则()121222lg( 1.4526.7)10.1,55E m m E =-=⨯-+= 从而10.11210E E =. 故选A.【名师点睛】本题以天文学问题为背景，考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及对数的运算.5．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ．【答案】D【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，可知应为D 选项中的图象．故选D ．【名师点睛】本题考查函数的性质与图象的识别，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法和赋值法，利用数形结合思想解题．6．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ． C ． D ．【答案】B【解析】设32()22x xx y f x -==+，则332()2()()2222x x x x x x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ； 36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ．【名师点睛】本题通过判断函数的奇偶性，排除错误选项，通过计算特殊函数值，作出选择．本题注重基础知识、基本计算能力的考查．7．【2019年高考浙江】在同一直角坐标系中，函数1x y a =，1(2log )a y x =+(a >0，且a ≠1)的图象可能是【答案】D【解析】当01a <<时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递减，则函数1xy a =的图象过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a=的图象过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合. 综上，选D.【名师点睛】易出现的错误：一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟练，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.8．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++.设r Rα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为ABCD【答案】D 【解析】由rRα=，得r R α=，因为121223()()M M M R r R r r R +=++，所以12122222(1)(1)M M M R R R ααα+=++，即543232221133[(1)]3(1)(1)M M αααααααα++=+-=≈++，解得α=所以.r R α== 故选D.【名师点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形易出错．9．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314）D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314）【答案】C【解析】()f x Q 是定义域为R 的偶函数，331(log )(log 4)4f f ∴=．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>Q ，又()f x 在(0，+∞)上单调递减，∴23323(log 4)22f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，先利用函数的奇偶性化为同一区间，再利用中间量比较自变量的大小，最后根据单调性得到答案．10．【2017年高考山东理数】设函数y =A ，函数ln(1)y x =-的定义域为B ,则A B I = A ．（1,2） B ．(1,2] C ．（-2,1）D ．[-2,1)【答案】D【解析】由240x -≥得22x -≤≤，由10x ->得1x <，故{|22}{|1}{|21}A B x x x x x x =-≤≤<=-≤Q ，∴舍去D ； ()()()()()243e e e e 22e 2e ,xx x x x x x xx x f x x x ---+---++=='Q 2x ∴>时，()0f x '>，()f x 单调递增，舍去C. 因此选B.【名师点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的周期性. 12．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】函数422y x x =-++的图像大致为【答案】D【解析】函数图象过定点(0,2)，排除A ，B ；令42()2y f x x x ==-++，则32()422(21)f x x x x x '=-+=--，由()0f x '>得22(21)0x x -<，得x <0x <<由()0f x '<得22(21)0x x ->，得x >或0x <<，此时函数单调递减，排除C. 故选D.【名师点睛】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象过的定点及由导数判断函数的单调性是解决本题的关键.13．【2018年高考浙江】函数y =2xsin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】令()2sin2xf x x =，因为()()(),2sin22sin2xxx f x x x f x -∈-=-=-=-R ，所以()2sin2xf x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，所以排除选项C ，故选D ．【名师点睛】先研究函数的奇偶性，再研究函数在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上的符号，即可判断选择.有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的周期性．14．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数()()321f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x =【答案】D【解析】因为函数()f x 是奇函数，所以10a -=，解得1a =，所以()3f x x x =+，()231f x x '=+，所以()()01,00f f '==，所以曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为()()00y f f x '-=，化简可得y x =，故选D ．【名师点睛】该题考查的是函数的奇偶性以及有关曲线()y f x =在某个点()()00,x f x 处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论：多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得()f x '，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.15．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()11f x f x -=+．若()12f =，则()()()123f f f ++()50f ++=LA ．50-B ．0C ．2D ．50【答案】C【解析】因为()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，且()()11f x f x -=+，所以()()()()()113114f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=，，,因此()()()()()()()()()()1235012123412f f f f f f f f f f ⎡⎤++++=+++++⎣⎦L ，因为()()()()3142f f f f =-=-，，所以()()()()12340f f f f +++=，因为()()200f f ==，从而()()()()()1235012f f f f f ++++==L . 故选C ．【名师点睛】先根据奇函数的性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．16．【2018年高考天津理数】已知2log e a =，ln2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】D【解析】由题意结合对数函数的性质可知：2log e 1a =>，()21ln20,1log eb ==∈，12221log log 3log e 3c ==>，据此可得：c a b >>. 本题选择D 选项.【名师点睛】由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.对于对数的大小的比较，我们通常都是运用对数函数的单调性，但很多时候，因对数的底数或真数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较，这就必须掌握一些特殊方法．在进行对数的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据对数函数的单调性进行判断．对于不同底而同真数的对数的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．17．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则A ．0a b ab +<<Q ，0ab ∴<， ∴0ab a b <+<. 故选B ．【名师点睛】本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题.18．【2017年高考北京理数】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093【答案】D【解析】设36180310M x N ==，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即MN最接近9310. 故选D ．【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令36180310x =，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log na a M n M =. 19．【2017年高考全国Ⅰ卷理数】设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z【答案】D【解析】令235(1)xyzk k ===>，则2log x k =，3log y k =，5log z k = ∴22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <. 故选D ．【名师点睛】对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.20．【2017年高考浙江】若函数f (x )=x 2+ ax +b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – mA ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关.故选B ．【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值．21．【2017年高考全国Ⅰ卷理数】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D【解析】因为()f x 为奇函数且在(,)-∞+∞单调递减，要使1()1f x -≤≤成立，则x 满足11x -≤≤，从而由121x -≤-≤得13x ≤≤，即满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围为[1,3]. 故选D.【名师点睛】奇偶性与单调性的综合问题，要充分利用奇、偶函数的性质与单调性解决不等式和比较大小问题，若()f x 在R 上为单调递增的奇函数，且12()()0f x f x +>，则120x x +>，反之亦成立.22．【2017年高考北京理数】已知函数1()3()3x xf x =-，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A【解析】()()113333xxx x f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以该函数是奇函数，并且3xy =是增函数，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数.故选A.【名师点睛】本题属于基础题型，根据()f x -与()f x 的关系就可以判断出函数的奇偶性，判断函数单调性的方法：（1）利用平时学习过的基本初等函数的单调性；（2）利用函数图象判断函数的单调性；（3）利用函数的四则运算判断函数的单调性，如：增函数+增函数=增函数，增函数−减函数=增函数；（4）利用导数判断函数的单调性.23．【2017年高考天津理数】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a b c <时，()0f x >，从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以0.8202log 5.13<<<，0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<，所以b a c <<. 故选C ．【名师点睛】比较大小是高考的常见题型，指数式、对数式的大小比较要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性、奇偶性等进行大小比较，要特别关注灵活利用函数的奇偶性和单调性，数形结合进行大小比较或解不等式．24．【2017年高考山东理数】已知当[0,1]x ∈时，函数2(1)y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是A ．(0,1])+∞UB ．(0,1][3,)+∞UC ．)+∞UD ．[3,)+∞U【答案】B【解析】当01m <≤时，11m≥，2(1)y mx =-在[0,1]x ∈时单调递减，且22(1)(1),1y mx m ⎡⎤=-∈-⎣⎦，y m =在[0,1]x ∈时单调递增，且[,1]y m m m =∈+，此时有且仅有一个交点；当1m >时，101m <<，2(1)y mx =-在1,1m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需2(1)13m m m -≥+⇒≥.故选B.【名师点睛】已知函数有零点求参数的取值范围常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；（2）分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 25．【2017年高考山东理数】若，且，则下列不等式成立的是A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】因为0a b >>，且1ab =，所以1,01,a b ><<所以221,log ()log 12aba b <+>=， 12112log ()a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+，所以选B.【名师点睛】比较幂或对数值的大小，若幂的底数相同或对数的底数相同，通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同，可考虑利用中间量进行比较.本题虽小，但考查的知识点较多，需灵活利用指数函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断.26．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-．若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】∵(1) 2 ()f x f x +=，()2(1)f x f x ∴=-． ∵(0,1]x ∈时，1()(1)[,0]4f x x x =-∈-；∴(1,2]x ∈时，1(0,1]x -∈，1()2(1)2(1)(2),02f x f x x x ⎡⎤=-=--∈-⎢⎥⎣⎦；∴(2,3]x ∈时，1(1,2]x -∈，()2(1)4(2)(3)[1,0]f x f x x x =-=--∈-，如图：当(2,3]x ∈时，由84(2)(3)9x x --=-解得173x =，283x =，若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则73m ≤.则m 的取值范围是7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选B.【名师点睛】本题考查了函数与方程，二次函数.解题的关键是能够得到(2,3]x ∈时函数的解析式，并求出函数值为89-时对应的自变量的值. 27．【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则 A ．a <–1，b <0 B ．a <–1，b >0 C ．a >–1，b <0 D ．a >–1，b >0【答案】C【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x ，则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣bx 3（a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣bx 3（a +1）x 2﹣b ，2(1)y x a x =+-'，当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增，则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意；当a +1＞0，即a >﹣1时，令y ′＞0得x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增，令y ′＜0得x ∈[0，a +1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点⇔函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，如图：∴0且()32011(1)1(1)032b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩，解得b ＜0，1﹣a ＞0，b （a +1）3，则a >–1，b <0. 故选C ．【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣bx 3（a +1）x 2﹣b ，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解．28．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数()e 0ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0） B ．[0，+∞） C ．[–1，+∞） D ．[1，+∞）【答案】C【解析】画出函数()f x 的图象，e xy =在y 轴右侧的图象去掉，再画出直线y x =-，之后上下移动，可以发现当直线过点（0,1）时，直线与函数图象有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图象有两个交点，即方程()f x x a =--有两个解，也就是函数()g x 有两个零点，此时满足1a -≤，即1a ≥-. 故选C ．【名师点睛】该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图象以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.即：首先根据g （x ）存在2个零点，得到方程()0f x x a ++=有两个解，将其转化为()f x x a =--有两个解，即直线y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数()f x 的图象，再画出直线y x =-，并将其上下移动，从图中可以发现，当1a -≤时，满足y x a=--与曲线()y f x =有两个交点，从而求得结果.29．【2017年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()π(3cos )f x x =+，则下列结论错误的是A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图象关于直线8π3x =对称 C ．(π)f x +的一个零点为π6x = D ．()f x 在(π2,π)单调递减【答案】D【解析】函数()f x 的最小正周期为2π2π1T ==，则函数()f x 的周期为()2πT k k =∈Z ，取1k =-，可得函数()f x 的一个周期为2π-，选项A 正确；函数()f x 图象的对称轴为()ππ3x k k +=∈Z ，即()ππ3x k k =-∈Z ，取3k =，可得y =f (x )的图象关于直线8π3x =对称，选项B 正确； ()πππcos πcos 33f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，函数()f x 的零点满足()πππ32x k k +=+∈Z ，即()ππ6x k k =+∈Z ，取0k =，可得(π)f x +的一个零点为π6x =，选项C 正确；当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，π5π4π,363x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，函数()f x 在该区间内不单调，选项D 错误.故选D.【名师点睛】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为(n )si y A x ωϕ=+或(s )co y A x ωϕ=+的形式，则最小正周期为2πT ω=；奇偶性的判断关键是看解析式是否为sin y A x ω=或cos y A x b ω=+的形式.（2）求()()sin 0()f x A x ωϕω+≠=的对称轴，只需令()ππ2x k k ωϕ+=+∈Z ，求x 即可；求f (x )的对称中心的横坐标，只需令π()x k k ωϕ+=∈Z 即可.30．【2017年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =A ．12- B ．13C ．12D ．1【答案】C【解析】函数()f x 的零点满足()2112e e x x x x a --+-=-+，设()11eex x g x --+=+，则()()21111111e 1eeee ex x x x x x g x ---+----'=-=-=，当()0g x '=时，1x =；当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，当1x =时，函数()g x 取得最小值，为()12g =.设()22h x x x =-，当1x =时，函数()h x 取得最小值，为1-，若0a ->，函数()h x 与函数()ag x -没有交点；若0a -<，当()()11ag h -=时，函数()h x 和()ag x -有一个交点，即21a -⨯=-，解得12a =. 故选C.【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.31．【2017年高考天津理数】已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 A ．47[,2]16-B ．4739[,]1616-C．[2]- D．39[]16-【答案】A【解析】不等式()||2xf x a ≥+可化为()()2x f x a f x -≤+≤ (*)，当1x ≤时，(*)式即22332x x x a x x -+-≤+≤-+，即2233322x x a x x -+-≤≤-+，又22147473()241616x x x -+-=---≤-（当14x =时取等号）， 223339393()241616x x x -+=-+≥（当34x =时取等号），所以47391616a -≤≤，当1x >时，(*)式为222x x a x x x --≤+≤+，32222x x a x x--≤≤+．又3232()22x x x x --=-+≤-3x =，222x x +≥=（当2x =时取等号），所以2a -≤≤．综上，47216a -≤≤．故选A ．【名师点睛】首先将()||2x f x a ≥+转化为()()22x xf x a f x --≤≤-，涉及分段函数问题要遵循分段处理的原则，分别对x 的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据x 的范围，利用极端原理，求出对应的a 的取值范围．32．【2019年高考江苏】函数y =的定义域是 ▲ .【答案】[1,7]-【解析】由题意得到关于x 的不等式，解不等式可得函数的定义域. 由已知得2760x x +-≥,即2670x x --≤，解得17x -≤≤，故函数的定义域为[1,7]-.【名师点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．33．【2018年高考江苏】函数()f x =________．【答案】[2，+∞）【解析】要使函数()f x 有意义，则需2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为[)2,+∞. 【名师点睛】求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.求解本题时，根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.34．【2017年高考江苏】记函数()f x =的定义域为D ．在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是．【答案】59【解析】由260x x +-≥，即260x x --≤，得23x -≤≤，根据几何概型的概率计算公式得x D ∈的概率是3(2)55(4)9--=--．【名师点睛】（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积或体积等时，应考虑使用几何概型求解．（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：①无限性，②等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．35．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________．【答案】3-【解析】由题意知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-，又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 2e 8a --=-，两边取以e 为底数的对数，得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即3a =-．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性，对数的计算．36．【2019年高考北京理数】设函数()e e xxf x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．【答案】(]1;,0--∞【解析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用()0f x '≥可得a 的取值范围.若函数()e e xxf x a -=+为奇函数，则()(),f x f x -=-即()ee e e xx x x a a --+=-+，即()()1e e0xxa -++=对任意的x 恒成立，则10a +=，得1a =-.若函数()e e xxf x a -=+是R 上的增函数，则() e e 0x xf x a -'=-≥在R 上恒成立，即2e x a ≤在R 上恒成立，又2e 0x >，则0a ≤，即实数a 的取值范围是(],0-∞.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中，需利用转化与化归思想，转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查.37．【2019年高考浙江】已知a ∈R ，函数3()f x ax x =-，若存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是___________. 【答案】43【解析】存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，即有332|(2)(2)|3a t t at t +-+-+≤，化为()22|23642|3a t t ++-≤，可得()2222364233a t t -≤++-≤，即()22436433a t t ≤++≤，由223643(1)11t t t ++=++≥，可得403a <≤. 则实数a 的最大值是43. 【名师点睛】本题考查函数的解析式及二次函数，结合函数的解析式可得33|(2)(2)|a t t at t +-+-+23≤，去绝对值化简，结合二次函数的最值及不等式的性质可求解.38．【2019年高考北京理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】①130；②15【解析】①10x =时，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付()608010130+-=元. ②设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，当120y <元时，李明得到的金额为80%y ⨯，符合要求；当120y ≥元时，有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立，即()87,8y y x y x -≥≤，因为min158y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以x 的最大值为15.综上，①130；②15.【名师点睛】本题主要考查函数的最值，不等式的性质及恒成立，数学的应用意识，数学式子变形与运算求解能力.以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养. 39．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．【答案】3【解析】0πx ≤≤Q ，ππ19π3666x ∴≤+≤，由题可知πππ3π336262x x +=+=，或π5π362x +=，解得π4π,99x =或7π9，故有3个零点.【名师点睛】本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题.解题时，首先求出π36x +的范围，再由函数值为零，得到π36x +的取值可得零点个数. 40．【2018年高考浙江】我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。

三年(2017-2019)高考真题数学(理)分项汇编专题02 函数的概念与基本初等函数I (原卷版)

专题02 函数的概念与基本初等函数I1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c <b ，则 A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │4．【2019年高考北京理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=2152lg E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ．1010.1B ．10.1C ．lg10.1D ．10−10.15．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ．C ．D ．6．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 2sin cos ++x xx xA ．B ．C ．D ．7．【2019年高考浙江】在同一直角坐标系中，函数1x y a =，1(2log )a y x =+(a >0，且a ≠1)的图象可能是8．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++.设r Rα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为ABCD9．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314）D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314）10．【2017年高考山东理数】设函数y =A ，函数ln(1)y x =-的定义域为B ,则A B =A ．（1,2）B ．(1,2]C ．（-2,1）D ．[-2,1)11．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】函数()2e e x xf x x --=的图像大致为12．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】函数422y x x =-++的图像大致为13．【2018年高考浙江】函数y =2xsin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．14．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数()()321f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x =D ．y x =15．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()11f x f x -=+．若()12f =，则()()()123f f f ++()50f ++=A ．50-B ．0C ．2D ．5016．【2018年高考天津理数】已知2log e a =，ln2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >>D ．c a b >>17．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+18．【2017年高考北京理数】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）A ．1033B ．1053C ．1073D ．109319．【2017年高考全国Ⅰ卷理数】设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z20．【2017年高考浙江】若函数f (x )=x 2+ ax +b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – mA ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关21．【2017年高考全国Ⅰ卷理数】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]22．【2017年高考北京理数】已知函数1()3()3x xf x =-，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数23．【2017年高考天津理数】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a b c <>，且1ab =，则下列不等式成立的是A ．()21log 2a ba ab b +<<+ B ．()21log 2a b a b a b<+<+ C ．()21log 2a ba ab b +<+< D ．()21log 2aba b a b +<+< 26．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-．若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦27．【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则 A ．a <–1，b <0 B ．a <–1，b >0 C ．a >–1，b <0D ．a >–1，b >028．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数()e 0ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0） B ．[0，+∞） C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）29．【2017年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()π(3cos )f x x =+，则下列结论错误的是A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图象关于直线8π3x =对称 C ．(π)f x +的一个零点为π6x =D ．()f x 在(π2,π)单调递减30．【2017年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数211()2(ee )x xf x x x a --+=-++有唯一零点，则a =A ．12- B ．13C ．12D ．131．【2017年高考天津理数】已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 A ．47[,2]16-B ．4739[,]1616-C．[2]- D．39[]16- 32．【2019年高考江苏】函数y =的定义域是 ▲ . 33．【2018年高考江苏】函数()f x =________．34．【2017年高考江苏】记函数()f x =D ．在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是．35．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________．36．【2019年高考北京理数】设函数()e e xxf x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．37．【2019年高考浙江】已知a ∈R ，函数3()f x ax x =-，若存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是___________.38．【2019年高考北京理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．39．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________． 40．【2018年高考浙江】我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。

2019年高考数学理真题分项解析：专题02 函数

专题二函数1.【2019高考新课标Ⅰ，理3】已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. b c a <<【答案】B 【解析】【分析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c 【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．2.【2015高考新课标Ⅰ，理5】函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A.B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．【详解】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又221422()1,2()2f πππππ++==>2()01f πππ=>-+．故选D ．【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．3.【2019高考新课标Ⅱ，理4】2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++.设rRα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 A.21M R M B.212M R M C.2313M R M D.2313M R M 【答案】D 【解析】【分析】本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立α的方程，解方程、近似计算．题目所处位置应是“解答题”，但由于题干较长，易使考生“望而生畏”，注重了阅读理解、数学式子的变形及运算求解能力的考查．【详解】由rRα=，得r R α= 因为121223()()M M M R r R r r R +=++，所以12122222(1)(1)M M M R R R ααα+=++，即543232221133[(1)]3(1)(1)M M αααααααα++=+-=≈++，解得3213M M α=，所以321.3M r R R M α==【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错．4.【2019高考新课标Ⅱ，理6】若a >b ，则 A. ln(a −b )>0 B. 3a <3b C. a 3−b 3>0 D. │a │>│b │【答案】C 【解析】【分析】本题也可用直接法，因为a b >，所以0a b ->，当1a b -=时，ln()0a b -=，知A 错，因为3xy =是增函数，所以33a b >，故B 错；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，知C 正确；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错．【详解】取2,1a b ==，满足a b >，ln()0a b -=，知A 错，排除A ；因为9333a b =>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错，排除D ，因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，故选C ．【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．5.【2019高考新课标Ⅱ，理12】设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A. 9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. 5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D. 8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决．【详解】(0,1]x ∈Q 时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦，故选B ．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．6.【2019高考新课标Ⅲ，理7】函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A. B. C.D.【答案】B 【解析】【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果．【详解】设32()22x x x y f x -==+，则332()2()()2222x x x xx x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ．【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．7.【2019高考新课标Ⅲ，理11】设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（）A. 233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B. 233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C. 23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D. 23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】由已知函数为偶函数，把233231log ,2,24f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，转化为同一个单调区间上，再比较大小．【详解】()f x Q 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭． 223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>Q ，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．8.【2019高考北京卷，理6】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A. 1010.1 B. 10.1C. lg10.1D. 10–10.1【答案】A 【解析】【分析】由题意得到关于12,E E 的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值. 【详解】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=,令211.45,26.7m m =-=-, ()10.111212222lg( 1.4526.7)10.1,1055E E m m E E =⋅-=-+==. 故选：A.【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.9.【2019高考天津卷，理6】已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（） A. a c b << B. a b c << C. b c a << D. c a b <<【答案】A 【解析】【分析】利用10,,12等中间值区分各个数值的大小。

2010-2019高考数学理科真题分类汇编专题二函数概念与基本初等函数第五讲函数与方程含答案

专题二函数概念与基本初等函数Ⅰ第五讲函数与方程2019年1.（2019全国Ⅱ理12）设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦2.（2019江苏14）设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，()1)f x ，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 .3.（2019浙江9）已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则A ．a <-1，b <0B ．a <-1，b >0C ．a ＞-1，b <0D ．a ＞-1，b >02010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)已知函数0()ln 0⎧=⎨>⎩，≤，，，x e x f x x x ()()=++g x f x x a ．若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[1,0)-B ．[0,)+∞C ．[1,)-+∞D ．[1,)+∞2．（2017新课标Ⅲ）已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．13．（2017山东）已知当[0,1]x ∈时，函数2(1)y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是 A ．(])0,123,⎡+∞⎣B ．(][)0,13,+∞C ．()23,⎡+∞⎣D ．([)3,+∞4．(2016年天津)已知函数()f x =2(4,0,log (1)13,03)ax a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（0a >,且1a ≠）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是 A ．(0，23] B ．[23，34] C ．[13，23]{34} D ．[13，23）{34} 5．（2015安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是A ．y cos x =B ．y sin x =C ．y ln x =D ．21y x =+ 6．（2015福建）若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于A ．6B ．7C ．8D ．97．（2015天津）已知函数()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中 b R ∈ ，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是A ．7(,)4+∞ B ．7(,)4-∞ C ．7(0,)4 D ．7(,2)48．（2015陕西）对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是 A ．－1是()f x 的零点 B ．1是()f x 的极值点 C ．3是()f x 的极值 D ．点(2,8)在曲线()y f x =上9．(2014山东)已知函数()12+-=x x f ，()kx x g =．若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是A ．），（210B ．），（121C ．），（21D ．），（∞+210．（2014北京）已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是 A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,4 D ．()4,+∞11．（2014重庆）已知函数13,(1,0]()1,(0,1]x f x x x x ⎧-∈-⎪=+⎨⎪∈⎩, 且()()g x f x mx m =--在(1,1]-内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是A ．]21,0(]2,49(⋃--B ．]21,0(]2,411(⋃-- C ．]32,0(]2,49(⋃-- D ．]32,0(]2,411(⋃--12．（2014湖北）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()=3f x x x -．则函数()()+3g x f x x =-的零点的集合为A ．{1,3}B ．{3,1,1,3}-- C．{23} D．{21,3}- 13．（2013安徽）已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，若112()f x x x =<，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为A ．3B ．4C ．5D ．614．（2013重庆）若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间A ．(),a b 和(),b c 内B ．(),a -∞和(),a b 内C ．(),b c 和(),c +∞内D ．(),a -∞和(),c +∞内15．(2013湖南)函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图象的交点个数为A ．3B ．2C ．1D ．0 16．（2013天津）函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为A ．1B ．2C ．3D ．417．（2012北京）函数121()()2xf x x =-的零点个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 18．（2012湖北）函数2()cos f x x x =在区间[0,4]上的零点个数为A ．4B ．5C ．6D ．719．（2012辽宁）设函数)(x f ()x R ∈满足()()f x f x -=，()(2)f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，()3=f x x ．又函数()()=cos g x x x π，则函数()()()h x g x f x =-在13[,]22-上的零点个数为A ．5B ．6C ．7D ．8 20．(2011天津)对实数a 与b ，定义新运算“⊗”：,1,, 1.a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩ 设函数()()22()2,.f x x x x x R =-⊗-∈若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是 A ．(]3,21,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭ B ．(]3,21,4⎛⎫-∞-⋃-- ⎪⎝⎭C ．11,,44⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ D ．311,,44⎛⎫⎡⎫--⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭21．（2011福建）若关于x 的方程210x mx ++=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是A ．（-1,1）B ．（-2,2）C ．（-∞，-2）∪（2，+∞）D ．（-∞，-1）∪（1，+∞） 22．(2011全国新课标)函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于A ．2B ．4C ．6D ．823．(2011山东)已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x <≤时，3()f x x x =-，则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为A ．6B ．7C ．8D ．924．（2010年福建）函数223,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧+-=⎨-+>⎩≤，的零点个数为A ．0B ．1C ．2D ．325．(2010天津)函数()23xf x x =+的零点所在的一个区间是A ．（-2，-1）B ．（-1，0）C ．（0，1）D ．（1，2） 26．（2010广东）“14m <”是“一元二次方程20x x m ++=有实数解”的 A ．充分非必要条件 B ．充分必要条件 C ．必要非充分条件 D ．非充分非必要条件27．（2010浙江）设函数()4sin(21)f x x x =+-，则在下列区间中函数()f x 不．存在零点的是A ．[]4,2--B ．[]2,0-C ．[]0,2D ．[]2,4 二、填空题28．(2018全国卷Ⅲ)函数()cos(3)6f x x π=+在[0,]π的零点个数为________．29．(2018天津)已知0a >，函数222,0,()22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++=⎨-+->⎩≤若关于x 的方程()f x ax=恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是．30．(2018江苏)若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为．31．(2018浙江)已知λ∈R ，函数24,()43,x x f x x x x λλ-⎧=⎨-+<⎩≥，当2λ=时，不等式()0f x <的解集是_____．若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是______．32．(2018浙江)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x ，y ，z ，则1001531003x y z x y z ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩，当81z =时，x = ，y = ．33．（2017江苏）设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,(),x x Df x x x D⎧∈=⎨∉⎩其中集合1{|,}n D x x n n-==∈*N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是． 34．(2016年山东)已知函数2||,()24,x x m f x x mx m x m ⎧=⎨-+>⎩≤ 其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则m 的取值范围是_________. 35．（2015湖北）函数2π()4coscos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为． 36．（2015北京）设函数()()()2142 1.xa x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--⎪⎩≥‚‚‚①若1a =，则()f x 的最小值为；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是．37．（2015湖南）已知函数32,(),x x af x x x a ⎧=⎨>⎩≤，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是．38．（2014江苏）已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数，当)3,0[∈x 时，|212|)(2+-=x x x f ．若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是．39．（2014福建）函数()⎩⎨⎧>+-≤-=0,ln 620,22x x x x x x f 的零点个数是_________．40．（2014天津）已知函数2()|3|f x x x =+，x ∈R .若方程()|1|0f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为__________.41．（2012福建）对于实数a 和b ，定义运算“*”：22,,,,a ab a b a b b ab a b ⎧-*=⎨->⎩… 设()f x =(21)(1)x x -*-，且关于x 的方程为()f x m =（m ∈R ）恰有三个互不相等的实数根123,,x x x ，则123x x x 的取值范围是____________．42．(2011北京)已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x =k 有两个不同的实根，则数k 的取值范围是_______．43．(2011辽宁)已知函数a x e x f x +-=2)(有零点，则a 的取值范围是_____．专题二函数概念与基本初等函数Ⅰ第五讲函数与方程答案部分 2019年1.解析：因为(1)2()f x f x +=，所以()2(1)f x f x =-，当(0,1]x ∈时，1()(1),04f x x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，当(1,2]x ∈时，1(0,1]x -∈，1()2(1)2(1)(2),02f x f x x x ⎡⎤=-=--∈-⎢⎥⎣⎦，当(2,3]x ∈时，1(1,2]x -∈，[]()2(1)4(2)(3)1,0f x f x x x =-=--∈-，当(2,3]x ∈时，由84(2)(3)9x x --=-解得73x =或83x =，若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x -…，则73m …．故选B ．2.解析作出函数()f x 与()g x 的图像如图所示，由图可知，函数()f x 与1()(12,34,56,78)2g x x x x x =-<<<<剟剟仅有2个实数根；要使关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则()f x =，(0,2]x ∈与()(2)g x k x =+，(0,1]x ∈的图象有2个不同交点，由(1,0)到直线20kx y k -+=的距离为11=，解得0)k k =>，因为两点(2,0)-，(1,1)连线的斜率13k =，所以13k <…，即k的取值范围为1[3.3.解析：当0x <时，()(1)y f x ax b x ax b a x b =--=--=--，最多一个零点；当0x …时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-， 2(1)y x a x '=-+，当10a +…，即1a -…时，0y '>，()y f x ax b =--在上递增，()y f x ax b=--最多一个零点不合题意；当10a +>，即1a >-时，令0y '>得(1,)x a ∈++∞，函数递增，令0y '<得(0,1)x a ∈+，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0,)+∞上有2个零点，如下图：所以01b a <-且3211(1)(1)(1)032b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩，解得0b <，10a ->，31(1)6b a >-+．故选C ．2010-2018年1．C 【解析】函数()()=++g x f x x a 存在 2个零点，即关于x 的方程()=--f x x a 有2个不同的实根，即函数()f x 的图象与直线=--y x a 有2个交点，作出直线=--y x a 与函数()f x 的图象，如图所示，由图可知，1-≤a ，解得1≥a ，故选C ． 2．C 【解析】令()0f x =，则方程112()2x x a ee x x --++=-+有唯一解，设2()2h x x x =-+，11()x x g x e e --+=+，则()h x 与()g x 有唯一交点，又11111()2x x x x g x ee e e--+--=+=+≥，当且仅当1x =时取得最小值2．而2()(1)11h x x =--+≤，此时1x =时取得最大值1，()()ag x h x =有唯一的交点，则12a =．选C ． 3．B 【解析】当01m <≤时，11m≥，函数2()(1)y f x mx ==-，在[0,1]上单调递减，函数()y g x m ==，在[0,1]上单调递增，因为(0)1f =，(0)g m =，2(1)(1)f m =-，(1)1g m =+，所以(0)(0)f g >，(1)(1)f g <，此时()f x 与()g x 在[0,1]x ∈有一个交点；当1m >时，101m<<，函数2()(1)y f x mx ==-，在 1[0,]m 上单调递减，在1[,1]m 上单调递增，此时(0)(0)f g <，在1[0,]m无交点，要使两个函数的图象有一个交点，需(1)(1)f g ≥，即2(1)1m m -+≥，解得3m ≥．选B ．4．C 【解析】当0x <时，()f x 单调递减，必须满足4302a --…，故304a <…，此时函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，若()f x 在R 上单调递减，还需31a …，即13a …，所以1334a 剟．当0x …时，函数|()|y f x =的图象和直线2y x =-只有一个公共点，即当0x …时，方程|()|2f x x =-只有一个实数解．因此，只需当0x <时，方程|()|2f x x =-只有一个实数解，根据已知条件可得，当0x <时，方程2(43)x a x +-+32a x =-，即22(21)320x a x a +-+-=在(,0)-∞上恰有唯一的实数解．判别式24(21)4(32)4(1)(43)a a a a ∆=---=--，当34a =时，0∆=，此时12x =-满足题意；令2()2(21)32h x x a x a =+-+-，由题意得(0)0h <，即320a -<，即23a <时，方程22(21)320x a x a +-+-=有一个正根、一个负根，满足要求；当(0)0h =，即23a =时，方程22(21)320x a x a +-+-=有一个为0、一个根为23-，满足要求；当(0)0h >，即320a ->，即2334a <<时对称轴(21)0a --<，此时方程22(21)320x a x a +-+-=有两个负根，不满足要求；综上实数a 的取值范围是123[,]{}334． 5．A 【解析】cos y x =是偶函数且有无数多个零点，sin y x =为奇函数，ln y x =既不是奇函数又不是偶函数，21y x =+是偶函数但没有零点．故选A ．6．D 【解析】由韦达定理得a b p +=，a b q ⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ⋅==，4b a=．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a=-，解得1a =，4b =；当4a是等差中项时，82a a =-，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=，选D ．7．D 【解析】由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩，所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩，即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧++<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩， ()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--，所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知724b <<． x8．A 【解析】由A 知0a b c -+=；由B 知()2f x ax b '=+，20a b +=；由C 知()2f x ax b '=+，令()0f x '=可得2b x a =-，则()32bf a-=，则2434ac b a -=；由D 知428a b c ++=，假设A 选项错误，则2020434428a b c a b ac b a a b c -+≠⎧⎪+=⎪⎪⎨-=⎪⎪++=⎪⎩，得5108a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，满足题意，故A 结论错误，同理易知当B 或C 或D 选项错误时不符合题意，故选A ． 9．B 【解析】如图所示，方程()()f x g x =有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y kx =的斜率大于坐标原点与点(2,1)的连续的斜率，且小于直线1y x =-的斜率时符合题意，故选112k <<．10．C 【解析】∵2(1)6log 160f =-=>，2(2)3log 220f =-=>，231(4)log 4022f =-=-<，∴()f x 零点的区间是()2,4． 11．A 【解析】()()g x f x mx m =--在(1,1]-内有且仅有两个不同的零点就是函数()y f x =的图象与函数(1)y m x =+的图象有两个交点，在同一直角坐标系内作出函数13,(1,0]()1,(0,1]x f x x x x ⎧-∈-⎪=+⎨⎪∈⎩，和函数(1)y m x =+的图象，如图，当直线(1)y m x =+与13,(1,0]1y x x =-∈-+和,(0,1]y x x =∈都相交时 102m <≤；当直线(1)y m x =+与13,(1,0]1y x x =-∈-+有两个交点时，由(1)131y m x y x =+⎧⎪⎨=-⎪+⎩，消元得13(1)1m x x -=++，即2(1)3(1)10m x x +++-=，化简得2(23)20mx m x m ++++=，当940m ∆=+=，即94m =-时直线 (1)y m x =+与13,(1,0]1y x x =-∈-+相切，当直线(1)y m x =+过点(0,2)- 时，2m =-，所以9(,2]4m ∈--，综上实数m 的取值范围是91(,2](0,]42--⋃．12．D 【解析】当0x ≥时，函数()g x 的零点即方程()3f x x =-的根，由233x x x -=-，解得1x =或3；当0x <时，由()f x 是奇函数得2()()3()f x f x x x -=-=--，即()f x =23x x --，由()3f x x =-得2x =--． 13．A 【解析】2'()32f x x ax b =++，12,x x 是方程2320x ax b ++=的两根，由23(())2()0f x af x b ++=，则又两个()f x 使得等式成立，11()x f x =，211()x x f x >=，其函数图象如下：x21)=x 1如图则有3个交点，故选A.14．A 【解析】由a b c <<，可得()()()0f a a b a c =-->，()()()0f b b c b a =--<，()()()0f c c a c b =-->．显然()()0f a f b ⋅<，()()0f b f c ⋅<，所以该函数在(,)a b 和(,)b c 上均有零点，故选A ．15．B 【解析】二次函数()245g x x x =-+的图像开口向上，在x 轴上方，对称轴为2x =，(2)1g =； (2)2ln 2ln 41f ==>．所以(2)(2)g f <，从图像上可知交点个数为2．16．B 【解析】令()0f x =，可得0.51log 2x x =，由图象法可知()f x 有两个零点． 17．B 【解析】因为()f x 在[0,)+∞内单调递增，又1(0)10,(1)02f f =-<=>，所以()f x 在[0,)+∞内存在唯一的零点．18．C 【解析】0)(=x f ，则0=x 或0cos 2=x ，Z k k x ∈+=,22ππ，又[]4,0∈x ，4,3,2,1,0=k 所以共有6个解.选C ．19．B 【解析】由题意()()f x f x -=知，所以函数()f x 为偶函数，所以()(2)(2)f x f x f x =-=-，所以函数()f x 为周期为2的周期函数，且(0)0f =，(1)1f =，而()|cos()|g x x x π=为偶函数，且113(0)()()()0222g g g g ==-==，在同一坐标系下作出两函数在13[,]22-上的图像，发现在13[,]22-内图像共有6个公共点，则函数()()()h x g x f x =-在13[,]22-上的零点个数为6，故选B ．20．B 【解析】由题意知，若222()1x x x ---≤，即312x -≤≤时，2()2f x x =-；当222()1x x x --->，即1x <-或32x >时，2()f x x x =-，要使函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，只须方程()0f x c -=有两个不相等的实数根即可，即函数()y f x =的图像与直线y c =有两个不同的交点即可，画出函数()y f x =的图像与直线y c =，不难得出答案B ．21．C 【解析】由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式0∆>，即240m ->，解得2m <-或2m >，故选C ． 22．D 【解析】图像法求解．11y x =-的对称中心是(1,0)也是2sin (24)y x x π=-≤≤的中心，24x -≤≤他们的图像在1x =的左侧有4个交点，则1x =右侧必有4个交点．不妨把他们的横坐标由小到大设为1,2345678,,,,,,x x x x x x x x ，则182736452x x x x x x x x +=+=+=+=，所以选D23．B 【解析】因为当02x ≤<时, 3()f x x x =-,又因为()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且(0)0f =,所以(6)(4)(2)(0)0f f f f ====,又因为(1)0f =,所以(3)0f =,(5)0f =,故函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为7个,选B ．24．C 【解析】当0x ≤时，令2230x x +-=解得3x =-；当0x >时，令2ln 0x -+=解得100x =，所以已知函数有两个零点，选C ． 25．B 【解析】因为1(1)230f --=-<，0(0)2010f =-=>，所以选B ． 26．A 【解析】20x x m ++=有实数解等价于140m ∆=-≥，即14m ≤．当14m <时，14m ≤成立，但14m ≤时，14m <不一定成立，故选A ．27．A 【解析】(0)4sin10f =>，(2)4sin 52f =-，由于52ππ<<，所以(2)0f <，故函数()f x 在[0,2]上存在零点；由于(1)4sin(1)10f -=-+<，故函数()f x 在[1,0]-上存在零点，在[0,2]上也存在零点，令52[2,4]4x π-=∈，则52552()4sin 0424f πππ--=->，而(2)0f <，所以函数在[2,4]上存在零点，故选A ． 28．3【解析】由题意知，cos(3)06x π+=，所以362x k πππ+=+，k ∈Z ，所以93k x ππ=+，k ∈Z ，当0k =时，9x π=；当1k =时，49x π=；当2k =时，79x π=，均满足题意，所以函数()f x 在[0,]π的零点个数为3．29．(48)，【解析】当0x ≤时，由22x ax a ax ++=，得2a x ax =--；当0x >时，由222x ax a ax -+-=，得22a x ax =-+．令22,0(),0x ax x g x x ax x ⎧--=⎨-+>⎩≤，作出直线y a =，2y a =，函数()g x 的图象如图所示，()g x 的最大值为222424a a a -+=，由图象可知，若()f x ax =恰有2个互异的实数解，则224a a a <<，得48a <<． 30．3-【解析】2()622(3)f x x ax x x a '=-=-(a ∈R )，当0a ≤时()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，则()f x 在(0,)+∞上单调递增，又(0)1f =，所以此时()f x 在(0,)+∞内无零点，不满足题意．当0a >时，由()0f x '>得3a x >，由()0f x '<得03a x <<，则()f x 在(0,)3a上单调递减，在(,)3a +∞上单调递增，又()f x 在(0,)+∞内有且只有一个零点，所以3()10327a a f =-+=，得3a =，所以32()231f x x x =-+，则()6(1)f x x x '=-，当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增，当(0,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，则max ()(0)1f x f ==，(1)4f -=-，(1)0f =，则min ()4f x =-，所以()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为3-．31．(1,4)；(1,3](4,)+∞【解析】若2λ=，则当2x ≥时，令40x -<，得24x <≤；当2x <时，令2430x x -+<，得12x <<．综上可知14x <<，所以不等式()0f x <的解集为(1,4)．令40x -=，解得4x =；令2430x x -+=，解得1x =或3x =．因为函数()f x 恰有2个零点，结合函数的图象（图略）可知13λ<≤或4λ>．32．8；11【解析】因为81z =，所以195373x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得811x y =⎧⎨=⎩．33．8【解析】由于()[0,1)f x ∈，则需考虑110x ≤<的情况，在此范围内，x ∈Q 且x D ∈时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质，若lg x ∈Q ，则由lg (0,1)x ∈，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质，因此10n mq p=，则10()nm q p =，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等，只需考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉的部分，且1x =处11(lg )1ln10ln10x x '==<，则在1x =附近仅有一个交点，因此方程()lg 0f x x -=的解的个数为8．34．(3,)+∞【解析】由题意，当x m >时，222()24()4f x x mx m x m m m =-+=-+-，其顶点为2(,4)m m m -；当x m …时，函数()f x 的图象与直线x m =的交点为(,)Q m m ．①当24m m m m>⎧⎨-⎩…，即03m <…时，函数()f x 的图象如图1所示，此时直线y b =与函数()f x 的图象有一个或两个不同的交点，不符合题意；②当240m m m m ⎧-<⎨>⎩，即3m >时，函数()f x 的图象如图2所示，则存在实数b 满足24m m b m -<…，使得直线y b =与函数()f x 的图象有三个不同的交点，符合题意．综上，m 的取值范围为(3,)+∞．图1 图235．2【解析】因为2()4coscos()2sin |ln(1)|22x f x x x x π=---+ 2(1cos )sin 2sin |ln(1)|x x x x =+⋅--+=sin 2|ln(1)|x x -+36．1- 1[,1)2[2,)+∞【解析】①若1a =，则21()4()(2) 1.x a x f x x a x a x ⎧-<=⎨--⎩≥‚‚‚，作出函数()f x 的图象如图所示，由图可知()f x 的最小值为1-．②当1a ≥时，要使()f x 恰好有3个零点，需满足120a -≤，即2a ≥．所以2a ≥；当1a <时，要使()f x 恰好有2个零点，需满足11220a a a <⎧⎨->⎩≤，解得112a <≤．37．),1()0,(+∞-∞ 【解析】分析题意可知，问题等价于方程)(3a xb x ≤=与方程)(2a x b x >=的根的个数和为2，若两个方程各有一个根：则可知关于b 的不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤->≤a b a b a b 31有解，从而1>a ；若方程)(3a x b x ≤=无解，方程)(2a xb x >=有2个根：则可知关于b 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>->ab ab 31有解，从而0<a ；综上，实数a 的取值范围是),1()0,(+∞-∞ ．38．1(0,)2【解析】函数()y f x a =-在区间[3,4]-上有互不相同的10个零点，即函数()y fx =与y a =的图象有10个不同的交点，在坐标系中作出函数()y f x =在一个周期内的图象，可知102a <<．39．2【解析】当0x ≤时，令220x -=，解得x =当0x >时，()26ln f x x x =-+，∵1()20f x x'=+>，∴()f x 在(0,)+∞上单调递增，因为(1)40f =-<，(3)ln30f =>，所以函数()26ln f x x x =-+在(0,)+∞有且只有一个零点，所以()f x 的零点个数为2．40．01a <<或9a >【解析】法一显然0a >．(ⅰ)当(1)y a x =--与23y x x =--相切时，1a =，此时()|1|0f x a x --=恰有3个互异的实数根．（ⅱ）当直线(1)y a x =-与函数23y x x =+相切时，9a =，此时()|1|0f x a x --=恰有2个互异的实数根.结合图象可知01a <<或9a >．法二：显然1a ¹，所以231x xa x +=-.令1t x =-，则45a t t =++．因为4(,4]t t +∈-∞-[4,)+∞，所以45t t++Î(,1][9,)-∞+∞．结合图象可得01a <<或9a >.41．116-（）【解析】由定义运算“*”可知 22(21)(21)(1),211()(1)(21)(1),211x x x x x f x x x x x x ⎧------=⎨----->-⎩…=222,0,0x x x x x x ⎧-⎨-+>⎩…，如图可知满足题意的m 的范围是104m <<，不妨设123x x x <<，当0x >时，2x x -+=m ，即20x x m -+=∴231x x +=；∴2232310()24x x x x +<<= 当0x …时，由212,(0)4x x x -=<，得14x -= 10x <<1230x x x << 42．(0,1)【解析】当2x <时，2()3(1)0f x x '=-≥，说明函数在(,2)-∞上单调递增，函数的值域是(,1)-∞，又函数在[2,)+∞上单调递减，函数的值域是(0,1]，因此要使方程()f x k =有两个不同实根，则01k <<．43．(,2ln 22]-∞-【解析】由原函数有零点，可将问题转化为方程20xe x a -+=有解问题，即方程2x a x e =-有解．令函数()2x g x x e =-，则()2x g x e '=-，令()0g x '=，得ln 2x =，所以()g x 在(,ln 2)-∞上是增函数，在(ln 2,)+∞上是减函数，所以()g x 的最大值为(ln 2)2ln 22g =-，所以(,2ln 22]a ∈-∞-．。

专题02 函数的概念与基本初等函数(解析版)-三年(2022–2024)高考数学真题分类汇编(通用)

专题02函数的概念与基本初等函数I 考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：已知奇偶性求参数2023年全国Ⅱ卷2023年全国乙卷（理）2024年上海卷2022年全国乙卷（文）2023年全国甲卷（理）从近三年高考命题来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性是高考的必考内容，重点关注周期性、对称性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查．考点2：函数图像的识别2022年天津卷2023年天津卷2024年全国甲卷（理）2024年全国Ⅰ卷2022年全国乙卷（文）2022年全国甲卷（理）考点3：函数模型及应用2022年北京卷2024年北京卷2023年全国Ⅰ卷考点4：基本初等函数的性质：单调性、奇偶性2023年全国乙卷（理）2022年北京卷2023年北京卷2024年全国Ⅰ卷2024年天津卷2023年全国Ⅰ卷考点5：分段函数问题2022年浙江卷2024年上海夏季考点6：函数的定义域、值域、最值问题2022年北京卷2022年北京卷考点7：函数性质（对称性、周期性、奇偶性）的综合运用2023年全国Ⅰ卷2022年全国I卷2024年全国Ⅰ卷2022年全国II卷考点8：指对幂运算2022年天津卷2022年浙江卷2024年全国甲卷（理）2023年北京卷考点1：已知奇偶性求参数1．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若()()21ln 21x f x x a x -=++为偶函数，则=a （）．A ．1-B ．0C ．12D ．1【答案】B【解析】因为()f x 为偶函数，则1(1)(1)(1)ln (1)ln 33f f a a =-∴+=-+，，解得0a =，当0a =时，()21ln21x x x f x -=+，()()21210x x -+>，解得12x >或12x <-，则其定义域为12x x ⎧⎨⎩或12x ⎫<-⎬⎭，关于原点对称.()()()()()()()121212121ln ln ln ln 21212121f x x x x x x x x x f x x x x x ---+⎫-=---⎛==== ⎪-+-++⎝-⎭-，故此时()f x 为偶函数.故选：B.2．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知e ()e 1xax x f x =-是偶函数，则=a （）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】D【解析】因为()e e 1x ax x f x =-为偶函数，则()()()()1e e e e 0e 1e 1e 1a x x x x ax ax axx x x f x f x ---⎡⎤--⎣⎦--=-==---，又因为x 不恒为0，可得()1e e 0a x x --=，即()1e e a x x -=，则()1x a x =-，即11a =-，解得2a =.故选：D.3．（2024年上海夏季高考数学真题）已知()3f x x a =+，x ∈R ，且()f x 是奇函数，则=a ．【答案】0【解析】因为()f x 是奇函数，故()()0f x f x -+=即()330x a x a ++-+=，故0a =，故答案为：0.4．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）若()1ln 1f x a b x++-=是奇函数，则=a ，b =．【答案】12-；ln 2．【解析】[方法一]：奇函数定义域的对称性若0a =，则()f x 的定义域为{|1}x x ≠，不关于原点对称a ∴≠若奇函数的1()||1f x ln a b x =++-有意义，则1x ≠且101a x+≠-1x ∴≠且11x a≠+，函数()f x 为奇函数，定义域关于原点对称，111a ∴+=-，解得12a =-，由(0)0f =得，102ln b +=，2b ln ∴=，故答案为：12-；2ln ．[方法二]：函数的奇偶性求参111()111a ax ax a f x ln a b ln b ln b x x x-+--=++=+=+---1()1ax a f x lnbx++-=++ 函数()f x 为奇函数11()()2011ax a ax a f x f x lnln b x x--++∴+-=++=-+2222(1)201a x a lnb x -+∴+=-22(1)1210112a a a a +∴=⇒+=⇒=-1222241,22b ln b ln a b ln ln -==-⇒=∴=-=[方法三]：因为函数()1ln 1f x a b x++-=为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由101a x+≠-可得，()()110x a ax -+-≠，所以11a x a +==-，解得：12a =-，即函数的定义域为()()(),11,11,-∞-⋃-⋃+∞，再由()00f =可得，ln 2b =．即()111ln ln 2ln 211xf x x x+=-++=--，在定义域内满足()()f x f x -=-，符合题意．故答案为：12-；ln 2．5．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）若()()2π1sin 2f x x ax x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭为偶函数，则=a ．【答案】2【解析】因为()()()22π1sin 1cos 2y f x x ax x x ax x ⎛⎫==-+++=-++ ⎪⎝⎭为偶函数，定义域为R ，所以ππ22f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22ππππππ222222s a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ -⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--⎝+⎭，则22πππ2π1212a -⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎭⎝⎭= ⎝，故2a =，此时()()2212cos 1cos f x x x x x x =-++=++，所以()()()()221cos s 1co f x x x x x f x -=-++++-==，又定义域为R ，故()f x 为偶函数，所以2a =.故答案为：2.考点2：函数图像的识别6．（2022年新高考天津数学高考真题）函数()21x f x x-=的图像为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】函数()21x f x x-=的定义域为{}0x x ≠，且()()()2211x x f x f x xx----==-=--，函数()f x 为奇函数，A 选项错误；又当0x <时，()210x f x x -=≤，C 选项错误；当1x >时，()22111x x f x x xx x--===-函数单调递增，故B 选项错误；故选：D.7．（2023年天津高考数学真题）已知函数()f x 的部分图象如下图所示，则()f x 的解析式可能为（）A ．25e 5e 2x xx --+B ．25sin 1x x +C ．25e 5e 2x xx -++D ．25cos 1x x +【答案】D【解析】由图知：函数图象关于y 轴对称，其为偶函数，且(2)(2)0f f -=<，由225sin()5sin ()11x xx x -=--++且定义域为R ，即B 中函数为奇函数，排除；当0x >时25(e e )02x x x -->+、25(e e )02x x x -+>+，即A 、C 中(0,)+∞上函数值为正，排除；故选：D8．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）函数()()2e e sin x xf x x x -=-+-在区间[2.8,2.8]-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】()()()()()22e e sin e e sin x x x xf x x x x x f x ---=-+--=-+-=，又函数定义域为[]2.8,2.8-，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42e f ⎛⎫⎛⎫=-+->-+-=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可排除D.故选：B.9．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）当[0,2]x πÎ时，曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点个数为（）A ．3B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】因为函数sin y x =的的最小正周期为2πT =，函数π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为2π3T =，所以在[]0,2πx ∈上函数π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C10．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]-的大致图像，则该函数是（）A ．3231x xy x -+=+B ．321x xy x -=+C ．22cos 1x x y x =+D ．22sin 1x y x =+【答案】A【解析】设()321x x f xx -=+，则()10f =，故排除B;设()22cos 1x x h x x =+，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0cos 1x <<，所以()222cos 2111x x xh x x x =<≤++，故排除C;设()22sin 1xg x x =+，则()2sin 33010g =>，故排除D.故选：A.11．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）函数()33cos x xy x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】令()()33cos ,,22x xf x x x ππ-⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，则()()()()()33cos 33cos x x x xf x x x f x ---=--=--=-，所以()f x 为奇函数，排除BD ；又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，330,cos 0x x x -->>，所以()0f x >，排除C.故选：A.考点3：函数的实际应用12．（2022年新高考北京数学高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T 和lg P 的关系，其中T 表示温度，单位是K ；P 表示压强，单位是bar ．下列结论中正确的是（）A ．当220T =，1026P =时，二氧化碳处于液态B ．当270T =，128P =时，二氧化碳处于气态C ．当300T =，9987P =时，二氧化碳处于超临界状态D ．当360T =，729P =时，二氧化碳处于超临界状态【答案】D【解析】当220T =，1026P =时，lg 3P >，此时二氧化碳处于固态，故A 错误.当270T =，128P =时，2lg 3P <<，此时二氧化碳处于液态，故B 错误.当300T =，9987P =时，lg P 与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C 错误.当360T =，729P =时，因2lg 3P <<,故此时二氧化碳处于超临界状态，故D 正确.故选：D13．（2024年北京高考数学真题）生物丰富度指数1ln S d N-=是河流水质的一个评价指标，其中,S N 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S 没有变化，生物个体总数由1N 变为2N ，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（）A ．2132N N =B ．2123N N =C ．2321N N =D ．3221N N =【答案】D 【解析】由题意得12112.1, 3.15ln ln S S N N --==，则122.1ln 3.15ln N N =，即122ln 3ln N N =，所以3221N N =.故选：D.14．（多选题）（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级020lg p pL p =⨯，其中常数()000p p >是听觉下限阈值，p 是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB 燃油汽车1060~90混合动力汽车105060电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为123,,p p p ，则（）．A ．12p p ≥B ．2310p p >C ．30100p p =D ．12100p p ≤【答案】ACD【解析】由题意可知：[][]12360,90,50,60,40p p p L L L ∈∈=，对于选项A ：可得1212100220lg 20lg 20lg p p p p pL L p p p =-⨯=⨯-⨯，因为12p p L L ≥，则121220lg 0p p p L L p =-⨯≥，即12lg 0pp ≥，所以121p p ≥且12,0p p >，可得12p p ≥，故A 正确；对于选项B ：可得2332200320lg20lg 20lg p p p p pL L p p p =-⨯=⨯-⨯，因为2324010p p p L L L -=-≥，则2320lg10p p ⨯≥，即231lg 2p p ≥，所以2310p p ≥且23,0p p >，可得2310p ≥，当且仅当250p L =时，等号成立，故B 错误；对于选项C ：因为33020lg 40p p L p =⨯=，即30lg 2pp =，可得3100p p =，即30100p p =，故C 正确；对于选项D ：由选项A 可知：121220lg p p p L L p =-⨯，且12905040p p L L ≤-=-，则1220lg 40p p ⨯≤，即12lg2p p ≤，可得12100pp ≤，且12,0p p >，所以12100p p ≤，故D 正确；故选：ACD.考点4：基本初等函数的性质：单调性、奇偶性15．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设()0,1a ∈，若函数()()1xx f x a a =++在()0,∞+上单调递增，则a 的取值范围是.【答案】512⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭【解析】由函数的解析式可得()()()ln 1ln 10xx f x a a a a '=+++≥在区间()0,∞+上恒成立，则()()1ln 1ln xxa a a a ++≥-，即()1ln ln 1xa a a a +⎛⎫≥-⎪+⎝⎭在区间()0,∞+上恒成立，故()01ln 1ln 1a a a a +⎛⎫=≥- ⎪+⎝⎭，而()11,2a +∈，故()ln 10a +>，故()ln 1ln 01a a a ⎧+≥-⎨<<⎩即()1101a a a ⎧+≥⎨<<⎩，故5112a ≤<，结合题意可得实数a 的取值范围是512⎫-⎪⎪⎣⎭.故答案为：512⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭.16．（2022年新高考北京数学高考真题）已知函数1()12xf x =+，则对任意实数x ，有（）A ．()()0f x f x -+=B ．()()0f x f x --=C ．()()1f x f x -+=D ．1()()3f x f x --=【答案】C【解析】()()1121112121212x x x x xf x f x --+=+=+=++++，故A 错误，C 正确；()()11212121121212122121x x x x x x x xf x f x ----=-=-==-++++++，不是常数，故BD 错误；故选：C ．17．（2023年北京高考数学真题）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（）A ．()ln f x x =-B ．1()2xf x =C ．1()f x x=-D ．|1|()3x f x -=【答案】C【解析】对于A ，因为ln y x =在()0,∞+上单调递增，y x =-在()0,∞+上单调递减，所以()ln f x x =-在()0,∞+上单调递减，故A 错误；对于B ，因为2x y =在()0,∞+上单调递增，1y x=在()0,∞+上单调递减，所以()12xf x =在()0,∞+上单调递减，故B 错误；对于C ，因为1y x=在()0,∞+上单调递减，y x =-在()0,∞+上单调递减，所以()1f x x=-在()0,∞+上单调递增，故C 正确；对于D ，因为1112213332f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭()()112101331,233f f --=====，显然()13x f x -=在()0,∞+上不单调，D 错误.故选：C.18．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩在R 上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．(,0]-∞B ．[1,0]-C ．[1,1]-D ．[0,)+∞【答案】B【解析】因为()f x 在R 上单调递增，且0x ≥时，()()e ln 1xf x x =++单调递增，则需满足()02021e ln1aa -⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩，解得10a -≤≤，即a 的范围是[1,0]-.故选：B.19．（2024年天津高考数学真题）下列函数是偶函数的是（）A ．22e 1x x y x -=+B ．22cos 1x x y x +=+C ．e 1x xy x -=+D ．||sin 4e x x x y +=【答案】B【解析】对A ，设()22e 1x x f x x -=+，函数定义域为R ，但()112e 1f ---=，()112e f -=，则()()11f f -≠，故A 错误；对B ，设()22cos 1x x g x x +=+，函数定义域为R ，且()()()()()2222cos cos 11x x x x g x g x x x -+-+-===+-+，则()g x 为偶函数，故B 正确；对C ，设()e 1x xh x x -=+，函数定义域为{}|1x x ≠-，不关于原点对称，则()h x 不是偶函数，故C 错误；对D ，设()||sin 4e x x x x ϕ+=，函数定义域为R，因为()sin141e ϕ+=，()sin141eϕ---=，则()()11ϕϕ≠-，则()x ϕ不是偶函数，故D 错误.故选：B.20．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则a 的取值范围是（）A ．(],2-∞-B ．[)2,0-C ．(]0,2D ．[)2,+∞【答案】D【解析】函数2x y =在R 上单调递增，而函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则有函数22()()24a a y x x a x =-=--在区间()0,1上单调递减，因此12a ≥，解得2a ≥，所以a 的取值范围是[)2,+∞.故选：D考点5：分段函数问题21．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知函数()22,1,11,1,x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；若当[,]x a b ∈时，1()3f x ≤≤，则b a -的最大值是．【答案】37283333+【解析】由已知2117(2224f ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，77437()144728f =+-=，所以137()228f f ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当1x ≤时，由1()3f x ≤≤可得2123x ≤-+≤，所以11x -≤≤，当1x >时，由1()3f x ≤≤可得1113x x≤+-≤，所以123x <≤+1()3f x ≤≤等价于123x -≤≤[,][1,23]a b ⊆-，所以b a -的最大值为33故答案为：3728，3322．（2024年上海夏季高考数学真题）已知(),0,1,0x x f x x >=≤⎪⎩则()3f =．3【解析】因为()0,1,0x x f x x >=≤⎪⎩故()33f =3考点6：函数的定义域、值域、最值问题23．（2022年新高考北京数学高考真题）函数1()1f x x x=-的定义域是．【答案】()(],00,1-∞⋃【解析】因为()11f x x x =-100x x -≥⎧⎨≠⎩，解得1x ≤且0x ≠，故函数的定义域为()(],00,1-∞⋃；故答案为：()(],00,1-∞⋃24．（2022年新高考北京数学高考真题）设函数()()21,,2,.ax x a f x x x a -+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩若()f x 存在最小值，则a 的一个取值为；a 的最大值为．【答案】0（答案不唯一）1【解析】若0a =时，21,0(){(2),0x f x x x <=-≥，∴min ()0f x =；若a<0时，当x a <时，()1f x ax =-+单调递增，当x →-∞时，()f x →-∞，故()f x 没有最小值，不符合题目要求；若0a >时，当x a <时，()1f x ax =-+单调递减，2()()1f x f a a >=-+，当x a >时，min 20(02)(){(2)(2)a f x a a <<=-≥∴210a -+≥或2212a a -+≥-（），解得01a <≤，综上可得01a ≤≤；故答案为：0（答案不唯一），1考点7：函数性质（对称性、周期性、奇偶性）的综合运用25．（多选题）（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x f y =+，则（）．A ．()00f =B ．()10f =C ．()f x 是偶函数D ．0x =为()f x 的极小值点【答案】ABC 【解析】方法一：因为22()()()f xy y f x x f y =+，对于A ，令0x y ==，(0)0(0)0(0)0f f f =+=，故A 正确.对于B ，令1x y ==，(1)1(1)1(1)f f f =+，则(1)0f =，故B 正确.对于C ，令1x y ==-，(1)(1)(1)2(1)f f f f =-+-=-，则(1)0f -=，令21,()()(1)()y f x f x x f f x =--=+-=，又函数()f x 的定义域为R ，所以()f x 为偶函数，故C 正确，对于D ，不妨令()0f x =，显然符合题设条件，此时()f x 无极值，故D 错误.方法二：因为22()()()f xy y f x x f y =+，对于A ，令0x y ==，(0)0(0)0(0)0f f f =+=，故A 正确.对于B ，令1x y ==，(1)1(1)1(1)f f f =+，则(1)0f =，故B 正确.对于C ，令1x y ==-，(1)(1)(1)2(1)f f f f =-+-=-，则(1)0f -=，令21,()()(1)()y f x f x x f f x =--=+-=，又函数()f x 的定义域为R ，所以()f x 为偶函数，故C 正确，对于D ，当220x y ≠时，对22()()()f xy y f x x f y =+两边同时除以22x y ，得到2222()()()f xy f x f y x y x y=+，故可以设2()ln (0)f x x x x =≠，则2ln ,0()0,0x x x f x x ⎧≠=⎨=⎩，当0x >肘，2()ln f x x x =，则()212ln (2ln 1)x x x x xf x x =+⋅=+'，令()0f x '<，得120e x -<<；令()0f x ¢>，得12e x ->；故()f x 在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，因为()f x 为偶函数，所以()f x 在12,0e -⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在12,e -⎛⎫ ⎪⎝∞⎭-上单调递减，显然，此时0x =是()f x 的极大值，故D 错误.故选：ABC .26．（多选题）（2022年新高考全国I 卷数学真题）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（）A ．(0)0f =B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=【答案】BC【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于()f x ，因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①，所以()()3f x f x -=，所以()f x 关于32x =对称，则(1)(4)f f -=，故C 正确；对于()g x ，因为(2)g x +为偶函数，(2)(2)g x g x +=-，(4)()g x g x -=，所以()g x 关于2x =对称，由①求导，和()()g x f x '=，得333333222222fx f x f x f x g x g x ''⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''-=+⇔--=+⇔--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，所以()()30g x g x -+=，所以()g x 关于3(,0)2对称，因为其定义域为R ，所以302g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合()g x 关于2x =对称，从而周期34222T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误.故选：BC.[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知()g x 周期为2，关于2x =对称，故可设()()cos πg x x =，则()()1sin ππf x x c =+，显然A ，D 错误，选BC.故选：BC.[方法三]：因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)(2)g x g x +=-，所以()()3f x f x -=，(4)()g x g x -=，则(1)(4)f f -=，故C 正确；函数()f x ，()g x 的图象分别关于直线3,22x x ==对称，又()()g x f x '=，且函数()f x 可导，所以()()30,32g g x g x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以()(4)()3g x g x g x -==--，所以()(2)(1)g x g x g x +=-+=，所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误.故选：BC.【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．27．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（）A ．(10)100f >B ．(20)1000f >C ．(10)1000f <D ．(20)10000f <【答案】B【解析】因为当3x <时()f x x =，所以(1)1,(2)2f f ==，又因为()(1)(2)f x f x f x >-+-，则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f >+=>+>，(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+>(14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>，(16)(15)(14)15971000f f f >+>>，则依次下去可知(20)1000f >，则B 正确；且无证据表明ACD 一定正确.故选：B.28．（2022年新高考全国II 卷数学真题）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（）A ．3-B ．2-C ．0D ．1【答案】A【解析】[方法一]：赋值加性质因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++-==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=--，()()14f x f x -=--，故()()24f x f x +=-，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =-=-=-，()()()321112f f f =-=--=-，()()()4221f f f =-==-，()()()5111f f f =-==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++= ．由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由()()()()f x y f x y f x f y ++-=，联想到余弦函数和差化积公式()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++-=，可设()cos f x a x ω=，则由方法一中()()02,11f f ==知2,cos 1a a ω==，解得1cos 2ω=，取3πω=，所以()2cos3f x x π=，则()()()()2cos 2cos 4cos cos 333333f x y f x y x y x y x y f x f y ππππππ⎛⎫⎛⎫++-=++-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2cos 3f x xπ=符合条件，因此()f x 的周期263T ππ==，()()02,11f f ==，且()()()()()21,32,41,51,62f f f f f =-=-=-==，所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++=，由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；29．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则()221k f k ==∑（）A ．21-B ．22-C ．23-D ．24-【答案】D【解析】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称，所以()()22g x g x -=+，因为()(4)7g x f x --=，所以(2)(2)7g x f x +--=，即(2)7(2)g x f x +=+-，因为()(2)5f x g x +-=，所以()(2)5f x g x ++=，代入得[]()7(2)5f x f x ++-=，即()(2)2f x f x +-=-，所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=- ，()()()()46222510f f f +++=-⨯=- .因为()(2)5f x g x +-=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =--=-.因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=，联立得，()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =-=-.所以()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑ .故选：D考点8：指对幂运算30．（2022年新高考天津数学高考真题）化简()()48392log 3log 3log 2log 2++的值为（）A ．1B ．2C ．4D ．6【答案】B【解析】原式2233111(2log 3log 3)(log 2log 2)232=⨯++2343log 3log 2232=⨯=，故选：B31．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知825,log 3ab ==，则34a b -=（）A ．25B ．5C ．259D ．53【答案】C【解析】因为25a=，821log 3log 33b ==，即323b=，所以()()22323232452544392a aa b b b -====．故选：C.32．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知1a >且8115log log 42a a -=-，则=a ．【答案】64【解析】由题28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-，整理得()2225log 60log a a --=，2log 1a ⇒=-或2log 6a =，又1a >，所以622log 6log 2a ==，故6264a ==故答案为：64.33．（2023年北京高考数学真题）已知函数2()4log x f x x =+，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．【答案】1【解析】函数2()4log xf x x =+，所以12211()4log 21122f =+=-=.故答案为：1。

高考数学(理)真题专题汇编：函数的概念与基本初等函数

高考数学（理）真题专题汇编：函数的概念与基本初等函数一、选择题1.【来源】2019年高考真题——数学（浙江卷）设,a b R ∈，数列{a n }中，21,n n n a a a a b +==+，b N *∈ ,则（）A. 当101,102b a => B. 当101,104b a => C. 当102,10b a =->D. 当104,10b a =->2.【来源】2019年高考真题——数学（浙江卷）已知,a b R ∈，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（） A. 1,0a b <-< B. 1,0a b <-> C. 1,0a b >->D. 1,0a b >-<3.【来源】2019年高考真题——数学（浙江卷）在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且0)a ≠的图象可能是（） A. B.C. D.4.【来源】2019年高考真题——理科数学（北京卷）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D. 10–10.15.【来源】2019年高考真题——理科数学（天津卷）已知a R ∈，设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为A.[0,1]B.[0,2]C.[0,e ]D.[1, e ] 6.【来源】2019年高考真题——理科数学（天津卷）已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为A.a c b <<B.a b c <<C.b c a <<D.c a b << 7.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅱ）设函数f (x )的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅱ）若a >b ，则A ．ln(a −b )>0B ．3a <3bC ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │9.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅱ）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行．L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++.设r Rα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为A ．21M R M B ．212M R MC ．2313M R M D ．2313M R M 10.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅲ）设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则 A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-） C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314） D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314） 11.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅲ）函数3222x xx y -=+在[－6,6]的图象大致为 A ．B ．C ．D ．12.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅰ）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（51-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是51-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190cm13.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅰ）已知0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<14.【来源】2018年高考真题——数学理（全国卷Ⅲ）设a =log 0.20.3，b =log 20.3，则 A ．a +b ＜ab ＜0 B ． ab ＜a +b ＜0 C ．a +b ＜0＜abD ． ab ＜0＜a +b15.【来源】2018年高考真题——数学理（全国卷Ⅲ）函数422y x x =-++的图像大致为16.【来源】2018年高考真题——理科数学（天津卷）已知2log e=a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为(A) a b c >>(B) b a c >>(C) c b a >>(D) c a b >>17.【来源】2018年高考真题——理科数学（全国卷II ）已知f (x )是定义域为(－∞,+∞)的奇函数，满足 f (1－x )= f (1+x )．若f (1)=2，则f (1)+ f (2)+ f (3)+…+f (50)=A ．－50B ．0C ．2D ．5018.【来源】2018年高考真题——理科数学（全国卷II ）函数()2e e x xf x x --=的图像大致为19.【来源】2018年高考真题——理科数学（全国卷Ⅰ）已知函数⎩⎨⎧>≤=0,ln 0,)(x x x e x f x ，g (x )=f (x )+x +a ，若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是 A.[－1,0) B. [0,+∞) C. [－1,+∞) D. [1,+∞)二、填空题20.【来源】2019年高考真题——数学（浙江卷）已知a R ∈，函数3()f x ax x =-，若存在t R ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____.21.【来源】2019年高考真题——理科数学（北京卷）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．22.【来源】2019年高考真题——理科数学（北京卷）设函数f （x ）=e x+a e −x（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R上的增函数，则a 的取值范围是___________．23.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅱ）已知f (x )是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________.24.【来源】2019年高考真题——数学（江苏卷）设f (x )，g (x )是定义在R 上的两个周期函数，f (x )的周期为4，g (x )的周期为2，且f (x )是奇函数.当(0,2]x ∈时，()f x =(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程f (x )=g (x )有8个不同的实数根，则k 的取值范围是_____.25.【来源】2019年高考真题——数学（江苏卷）函数y =_____. 26.【来源】2018年高考真题——数学（江苏卷）函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(－2,2]上，cos ,02,2()1||,20,2x x f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪⎩-则((15))f f 的值为▲ ．27.【来源】2018年高考真题——数学（江苏卷）函数()f x =的定义域为 ▲ ．28.【来源】2018年高考真题——理科数学（天津卷）已知0a >，函数222,0,()22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++≤=⎨-+->⎩若关于x 的方程()f x ax =恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是 . 29.【来源】2016年高考真题——理科数学（天津卷）已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调递增.若实数a满足1(2)(a f f ->，则a 的取值范围是______.三、解答题30.【来源】2019年高考真题——数学（江苏卷）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求:线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位:百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q 两点间的距离．试卷答案1. A 【分析】本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想的考查.本题从确定不动点出发，通过研究选项得解.【详解】选项B ：不动点满足2211042x x x ⎛⎫-+=-= ⎪⎝⎭时，如图，若1110,,22n a a a ⎛⎫=∈< ⎪⎝⎭，排除如图，若a 为不动点12则12n a = 选项C ：不动点满足22192024x x x ⎛⎫--=--= ⎪⎝⎭，不动点为ax 12-，令2a =，则210n a =<，排除选项D ：不动点满足221174024x x x ⎛⎫--=--= ⎪⎝⎭，不动点为1712x =±，令1712a =，则171102n a =±<，排除. 选项A ：证明：当12b =时，2222132431113117,,12224216a a a a a a =+≥=+≥=+≥≥，处理一：可依次迭代到10a ；处理二：当4n ≥时，221112n n n a a a +=+≥≥，则117117171161616log 2log log 2n n n n a a a -++>⇒>则12117(4)16n na n -+⎛⎫≥≥ ⎪⎝⎭，则626410217164646311114710161616216a ⨯⎛⎫⎛⎫≥=+=++⨯+⋯⋯>++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选A【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解. 2. D 【分析】本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想及数形结合思想的考查.研究函数方程的方法较为灵活，通常需要结合函数的图象加以分析. 【详解】原题可转化为()y f x =与y ax b =+，有三个交点.当BC AP λ=时，2()(1)()(1)f x x a x a x a x '=-++=--，且(0)0,(0)f f a ='=，则（1）当1a ≤-时，如图()y f x =与y ax b =+不可能有三个交点（实际上有一个），排除A ，B（2）当1a >-时，分三种情况，如图()y f x =与y ax b =+若有三个交点，则0b <，答案选D下面证明：1a >-时，BC AP λ=时3211()()(1)32F x f x ax b x a x b =--=-+-，2()(1)((1))F x x a x x x a '=-+=-+，则(0)0 ,(+1)<0F >F a ，才能保证至少有两个零点，即310(1)6b a >>-+，若另一零点在0<【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及,a b 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.. 3. D 【分析】本题通过讨论a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当01a <<时，函数xy a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数xy a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a=过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性. 4. D 【分析】先求出12lgE E ，然后将对数式换为指数式求12E E ，再求12E E . 【详解】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -= , 令2 1.45m =- ，126.7m =- ，()1212221g( 1.4526.7)10.155E m m E =-=-+=， 10.110.112211010E EE E -=⋅= ，故选D. 5. C∵(0)0f ≥，即0a ≥，（1）当01a ≤≤时，2222()22()22(2)0f x x ax a x a a a a a a a =-+=-+-≥-=->，当1a <时，(1)10f =>，故当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立；若ln 0x a x -≥(1,)+∞上恒成立，即ln xa x≤在(1,)+∞上恒成立，令()ln xg x x=，则2ln 1'()(ln )x g x x -=，当,x e >函数单增，当0,x e <<函数单减，故max ()()g x g e e ==，所以a e ≤。

2019年高考真题理科数学分类汇编专题2 函数的概念与基本初等函数I (解析版)

专题2 函数的概念与基本初等函数I1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c <=0.3000.20.21,c <=<=即01,c <<则a c b <<．故选B ．【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养．采取中间量法，根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小．2．【2019年高考天津理数】已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为 A ．a c b <=， 10.200.50.50.5c <=<，即112c <<，所以a c b <<. 故选A.【名师点睛】本题考查比较大小问题，关键是选择中间量和利用函数的单调性进行比较. 3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若a >b ，则 A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0 D ．│a │>│b │【答案】C【解析】取2,1a b ==，满足a b >，但ln()0a b -=，则A 错，排除A ；由219333=>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，但|1||2|<-，则D 错，排除D ；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，即a 3−b 3>0，C 正确.故选C ．【名师点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的性质、幂函数的性质及绝对值的意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．4．【2019年高考北京理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=2152lg E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ．1010.1B ．10.1C ．lg10.1D ．10−10.1【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=，令211.45,26.7m m =-=-，则()121222lg( 1.4526.7)10.1,55E m m E =-=⨯-+= 从而10.11210E E =. 故选A.【名师点睛】本题以天文学问题为背景，考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及对数的运算.5．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．2sin cos ++x xx xC ．D ．【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，可知应为D 选项中的图象．故选D ．【名师点睛】本题考查函数的性质与图象的识别，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法和赋值法，利用数形结合思想解题．6．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】设32()22x xx y f x -==+，则332()2()()2222x x x x x x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ．【名师点睛】本题通过判断函数的奇偶性，排除错误选项，通过计算特殊函数值，作出选择．本题注重基础知识、基本计算能力的考查．7．【2019年高考浙江】在同一直角坐标系中，函数1x y a =，1(2log )a y x =+(a >0，且a ≠1)的图象可能是【答案】D【解析】当01a <<时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=的图象过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a=的图象过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合. 综上，选D.【名师点睛】易出现的错误：一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟练，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.8．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++.设rRα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 ABCD【答案】D 【解析】由rRα=，得r R α=，因为121223()()M M M R r R r r R +=++，所以12122222(1)(1)M M M R R R ααα+=++，即543232221133[(1)]3(1)(1)M M αααααααα++=+-=≈++，解得α=所以.r R α== 故选D.【名师点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形易出错．9．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314）D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314）【答案】C 【解析】()f x 是定义域为R 的偶函数，331(log )(log 4)4f f ∴=．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>，又()f x 在(0，+∞)上单调递减，∴23323(log 4)22f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，先利用函数的奇偶性化为同一区间，再利用中间量比较自变量的大小，最后根据单调性得到答案．10．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-．若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】∵(1) 2 ()f x f x +=，()2(1)f x f x ∴=-． ∵(0,1]x ∈时，1()(1)[,0]4f x x x =-∈-；∴(1,2]x ∈时，1(0,1]x -∈，1()2(1)2(1)(2),02f x f x x x ⎡⎤=-=--∈-⎢⎥⎣⎦； ∴(2,3]x ∈时，1(1,2]x -∈，()2(1)4(2)(3)[1,0]f x f x x x =-=--∈-，如图：当(2,3]x ∈时，由84(2)(3)9x x --=-解得173x =，283x =，若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则73m ≤.则m 的取值范围是7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选B.【名师点睛】本题考查了函数与方程，二次函数.解题的关键是能够得到(2,3]x ∈时函数的解析式，并求出函数值为89-时对应的自变量的值.11．【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则 A ．a <–1，b <0 B ．a <–1，b >0 C ．a >–1，b <0 D ．a >–1，b >0【答案】C【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x，则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣bx 3（a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣bx 3（a +1）x 2﹣b ，2(1)y x a x =+-'，当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增，则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意；当a +1＞0，即a >﹣1时，令y ′＞0得x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增，令y ′＜0得x ∈[0，a +1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点⇔函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，如图：∴＜0且＞＜，解得b ＜0，1﹣a ＞0，b ＞（a +1）3，则a >–1，b <0. 故选C ．【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b x 3（a +1）x 2﹣b ，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解．12．【2019年高考江苏】函数y =的定义域是 ▲ .【答案】[1,7]-【解析】由题意得到关于x 的不等式，解不等式可得函数的定义域. 由已知得2760x x +-≥,即2670x x --≤，解得17x -≤≤，故函数的定义域为[1,7]-.【名师点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．13．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________．【答案】3-【解析】由题意知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-，又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 2e 8a --=-，两边取以e 为底数的对数，得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即3a =-．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性，对数的计算．14．【2019年高考北京理数】设函数()e e xxf x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．【答案】(]1,0--∞【解析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用()0f x '≥可得a 的取值范围.若函数()e e xxf x a -=+为奇函数，则()(),f x f x -=-即()ee e e xx x x a a --+=-+，即()()1e e0xxa -++=对任意的x 恒成立，则10a +=，得1a =-.若函数()e e xxf x a -=+是R 上的增函数，则() e e 0x xf x a -'=-≥在R 上恒成立，即2e x a ≤在R 上恒成立，又2e 0x >，则0a ≤，即实数a 的取值范围是(],0-∞.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中，需利用转化与化归思想，转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查.15．【2019年高考浙江】已知a ∈R ，函数3()f x ax x =-，若存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是___________. 【答案】43【解析】存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，即有332|(2)(2)|3a t t at t +-+-+≤，化为()22|23642|3a t t ++-≤，可得()2222364233a t t -≤++-≤，即()22436433a t t ≤++≤，由223643(1)11t t t ++=++≥，可得403a <≤. 则实数a 的最大值是43. 【名师点睛】本题考查函数的解析式及二次函数，结合函数的解析式可得33|(2)(2)|a t t at t +-+-+23≤，去绝对值化简，结合二次函数的最值及不等式的性质可求解. 16．【2019年高考北京理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】①130；②15【解析】①10x =时，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付()608010130+-=元. ②设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，当120y <元时，李明得到的金额为80%y ⨯，符合要求；当120y ≥元时，有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立，即()87,8y y x y x -≥≤，因为min158y ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以x 的最大值为15. 综上，①130；②15.【名师点睛】本题主要考查函数的最值，不等式的性质及恒成立，数学的应用意识，数学式子变形与运算求解能力.以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.17．【2019年高考江苏】设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，()f x =，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 ▲ .【答案】1,34⎡⎪⎢⎪⎣⎭【解析】作出函数()f x ，()g x 的图象，如图：由图可知，函数()f x =的图象与1()(12,34,56,78)2g x x x x x =-<≤<≤<≤<≤的图象仅有2个交点，即在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有2个不同的实数根，要使关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则()(0,2]f x x =∈与()(2),(0,1]g x k x x =+∈的图象有2个不同的交点，由(1,0)到直线20kx y k -+=的距离为11=，解得(0)4k k =>， ∵两点(2,0),(1,1)-连线的斜率13k =，∴134k ≤<，综上可知，满足()()f x g x =在(0,9]上有8个不同的实数根的k 的取值范围为134⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，. 【名师点睛】本题考查分段函数，函数的图象，函数的性质，函数与方程，点到直线的距离，直线的斜率等，考查知识点较多，难度较大.正确作出函数()f x ，()g x 的图象，数形结合求解是解题的关键因素.。

(2017-2019)高考文数真题分类汇编专题02 函数的概念与基本初等函数I(学生版)

专题02 函数的概念与基本初等函数I1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．B ．C ．D ．2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设f ()为奇函数，且当≥0时，f ()=e 1x -，则当<0时，f ()= A ．e 1x -- B ．e 1x -+ C ．e 1x ---D ．e 1x --+3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为 A ．2 B ．3 C ．4D ．54．【2019年高考天津文数】已知0.223log 7,log 8,0.3a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<5．【2019年高考北京文数】下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是 A ．12y x = B ．y =2x - C ．12log y x =D ．1y x=6．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数f ()=在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ．C ．D ．7．【2019年高考北京文数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度描述．两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为k m 的星的亮度为k E （=1,2）．已知太阳的星等是–26.7，天狼星的a b c <<a c b <<c a b <0，且a ≠1)的图象可能是9．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314） D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314） 10．【2019年高考天津文数】已知函数01,()1,1.x f x x x⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩若关于的方程1()()4f x x a a =-+∈R 恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为 A ．59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．59,44⎛⎤⎥⎝⎦C ．59,{1}44⎛⎤⎥⎝⎦UD ．59,{1}44⎡⎤⎢⎥⎣⎦U11．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】下列函数中，其图象与函数ln y x =的图象关于直线1x =对称的是A ．()ln 1y x =-B ．()ln 2y x =-C ．()ln 1y x =+D ．()ln 2y x =+12．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的的取值范围是A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，13．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】函数()2e e x xf x x--=的图像大致为14．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】函数422y x x =-++的图像大致为15．【2018年高考浙江】函数y =2xsin2的图象可能是A ．B ．C ．D ．16．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】设函数()()321f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x =D ．y x =17．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()11f x f x -=+．若()12f =，则()()()123f f f ++()50f ++=LA ．50-B ．0C ．2D ．5018．【2018年高考天津文数】已知13313711log ,,log 245a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >>D ．c a b >>19．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是A ．(,2)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞20．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．21．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】函数2sin 1xy x x =++的部分图像大致为22．【2017年高考浙江】若函数f ()=2+ a +b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – mA ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关23．【2017年高考北京文数】已知函数1()3()3x xf x =-，则()f xA ．是偶函数，且在R 上是增函数B ．是奇函数，且在R 上是增函数C ．是偶函数，且在R 上是减函数D ．是奇函数，且在R 上是减函数24．【2017年高考天津文数】已知奇函数()f x 在R 上是增函数．若221(log ),(log 4.1),5a fb f =-=0.8(2)c f =，则，，的大小关系为A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<25．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则A ．()f x 在（0，2）单调递增B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．()y f x =的图像关于直线=1对称D ．()y f x =的图像关于点（1，0）对称26．【2017年高考山东文数】设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2B ．4C ．6D ．827．【2017年高考北京文数】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）A ．1033B ．1053C ．1073D ．109328．【2017年高考天津文数】已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 A ．[2,2]- B．[2]- C．[2,-D．[-29．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =a b cA ．12- B ．13C ．12D ．130．【2017年高考山东文数】若函数e ()xf x （e 2.71828=L 是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中具有M 性质的是 A ．()2xf x -= B ．2()f x x = C ．()3x f x -=D ．()cos f x x =31．【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则 A ．a <–1，b <0 B ．a <–1，b >0 C ．a >–1，b <0D ．a >–1，b >032．【2019年高考江苏】函数y =的定义域是 ▲ .33．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则a =________． 34．【2018年高考江苏】函数()f x =________． 35．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数())ln1f x x =+，()4f a =，则()f a -=________．36．【2017年高考江苏】记函数()f x =D ．在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是．37．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+,则(2)f = .38．【2017年高考山东文数】已知f ()是定义在R 上的偶函数,且f (+4)=f (-2).若当[3,0]x ∈-时,()6xf x -=,则f (919)= ______ .39．【2019年高考浙江】已知a ∈R ，函数3()f x ax x =-，若存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是___________.40．【2019年高考北京文数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则的最大值为__________．41．【2018年高考浙江】我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。

(2017-2019)高考文数真题分类汇编专题02 函数的概念与基本初等函数I(学生版)

专题02 函数的概念与基本初等函数I1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．B ．C ．D ．2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设f ()为奇函数，且当≥0时，f ()=e 1x -，则当<0时，f ()= A ．e 1x -- B ．e 1x -+ C ．e 1x ---D ．e 1x --+3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为 A ．2 B ．3 C ．4D ．54．【2019年高考天津文数】已知0.223log 7,log 8,0.3a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<5．【2019年高考北京文数】下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是 A ．12y x = B ．y =2x - C ．12log y x =D ．1y x=6．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数f ()=在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ．C ．D ．7．【2019年高考北京文数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度描述．两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为k m 的星的亮度为k E （=1,2）．已知太阳的星等是–26.7，天狼星的a b c <<a c b <<c a b <0，且a ≠1)的图象可能是9．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314） D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314） 10．【2019年高考天津文数】已知函数01,()1,1.x f x x x⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩若关于的方程1()()4f x x a a =-+∈R 恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为 A ．59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．59,44⎛⎤⎥⎝⎦C ．59,{1}44⎛⎤⎥⎝⎦UD ．59,{1}44⎡⎤⎢⎥⎣⎦U11．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】下列函数中，其图象与函数ln y x =的图象关于直线1x =对称的是A ．()ln 1y x =-B ．()ln 2y x =-C ．()ln 1y x =+D ．()ln 2y x =+12．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的的取值范围是A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，13．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】函数()2e e x xf x x--=的图像大致为14．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】函数422y x x =-++的图像大致为15．【2018年高考浙江】函数y =2xsin2的图象可能是A ．B ．C ．D ．16．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】设函数()()321f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x =D ．y x =17．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()11f x f x -=+．若()12f =，则()()()123f f f ++()50f ++=LA ．50-B ．0C ．2D ．5018．【2018年高考天津文数】已知13313711log ,,log 245a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >>D ．c a b >>19．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是A ．(,2)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞20．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．21．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】函数2sin 1xy x x =++的部分图像大致为22．【2017年高考浙江】若函数f ()=2+ a +b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – mA ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关23．【2017年高考北京文数】已知函数1()3()3x xf x =-，则()f xA ．是偶函数，且在R 上是增函数B ．是奇函数，且在R 上是增函数C ．是偶函数，且在R 上是减函数D ．是奇函数，且在R 上是减函数24．【2017年高考天津文数】已知奇函数()f x 在R 上是增函数．若221(log ),(log 4.1),5a fb f =-=0.8(2)c f =，则，，的大小关系为A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<25．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则A ．()f x 在（0，2）单调递增B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．()y f x =的图像关于直线=1对称D ．()y f x =的图像关于点（1，0）对称26．【2017年高考山东文数】设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2B ．4C ．6D ．827．【2017年高考北京文数】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）A ．1033B ．1053C ．1073D ．109328．【2017年高考天津文数】已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 A ．[2,2]- B．[2]- C．[2,-D．[-29．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =a b cA ．12- B ．13C ．12D ．130．【2017年高考山东文数】若函数e ()xf x （e 2.71828=L 是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中具有M 性质的是 A ．()2xf x -= B ．2()f x x = C ．()3x f x -=D ．()cos f x x =31．【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则 A ．a <–1，b <0 B ．a <–1，b >0 C ．a >–1，b <0D ．a >–1，b >032．【2019年高考江苏】函数y =的定义域是 ▲ .33．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则a =________． 34．【2018年高考江苏】函数()f x =________． 35．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数())ln1f x x =+，()4f a =，则()f a -=________．36．【2017年高考江苏】记函数()f x =的定义域为D ．在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是．37．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+,则(2)f = .38．【2017年高考山东文数】已知f ()是定义在R 上的偶函数,且f (+4)=f (-2).若当[3,0]x ∈-时,()6xf x -=,则f (919)= ______ .39．【2019年高考浙江】已知a ∈R ，函数3()f x ax x =-，若存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是___________.40．【2019年高考北京文数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则的最大值为__________．41．【2018年高考浙江】我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。

2019年高考数学(理)真题汇编：专题02 函数的概念与基本初等函数

2019年数学函数的概念与基本初等函数Ⅰ高考真题和模拟题分项汇编数学文Word版含解析

2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(理)专题02 函数的概念与基本初等函数I (原卷版)

2019年直击新课标高考数学2.第二章 基本初等函数(理科)

(2017-2019)高考文数真题分类汇编专题02 函数的概念与基本初等函数I(教师版)

专题02 函数的概念与基本初等函数I-三年(2017-2019)高考真题数学(文)分项汇编(解析版)

2017-2019全国高考典型的函数的概念与基本初等函数题目分类汇编

五年(2019-2023)年高考真题 函数的基本概念与基本初等函数I(解析版)

专题02 函数的概念与基本初等函数(原卷版)

三年高考(2017-2019)理数真题分项版解析——专题02 函数的概念与基本初等函数I (解析版)

三年(2017-2019)高考真题数学(理)分项汇编 专题02 函数的概念与基本初等函数I (原卷版)

2019年高考数学理真题分项解析：专题02 函数

2010-2019高考数学理科真题分类汇编专题二 函数概念与基本初等函数 第五讲函数与方程含答案

专题02 函数的概念与基本初等函数(解析版)-三年(2022–2024)高考数学真题分类汇编(通用)

高考数学(理)真题专题汇编：函数的概念与基本初等函数

2019年高考真题理科数学分类汇编专题2 函数的概念与基本初等函数I (解析版)

(2017-2019)高考文数真题分类汇编专题02 函数的概念与基本初等函数I(学生版)

(2017-2019)高考文数真题分类汇编专题02 函数的概念与基本初等函数I(学生版)

2019年直击新课标高考数学2.第二章基本初等函数(理科)

五年(2019-2023)年高考真题函数的基本概念与基本初等函数I(解析版)

三年(2017-2019)高考真题数学(理)分项汇编专题02 函数的概念与基本初等函数I (原卷版)

2010-2019高考数学理科真题分类汇编专题二函数概念与基本初等函数第五讲函数与方程含答案