2014高考数学理(真题讲练 规律总结 名师押题)热点专题突破：第十二讲 空间几何体
2014高考数学理(真题讲练 规律总结 名师押题)热点专题突破：第十五讲 直线与圆
第十五讲直线与圆1．(直线方程)(2013·福建高考)设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x ＋y－1＝0上”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当x＝2且y＝－1时，满足方程x＋y－1＝0, 即点P(2，－1)在直线l上．点P′(0,1)在直线l上，但不满足x＝2且y＝－1，∴“x＝2且y＝－1”是“点P(x，y)在直线l上”的充分而不必要条件．【答案】 A2．(直线与圆的位置关系)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3，0)的直线，则() A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能【解析】圆的方程可化为(x－2)2＋y2＝4，易知圆心为(2,0)，半径为2，圆心到点P 的距离为1，所以点P在圆内．所以直线与圆相交．故选A.【答案】 A3．(弦长计算)(2013·安徽高考)直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为( )A ．1B ．2C ．4D ．4 6【解析】 圆的方程可化为C ：(x －1)2＋(y －2)2＝5，其圆心为C (1,2)，半径R ＝ 5.如图所示，取弦AB 的中点P ，连接CP ，则CP ⊥AB ，圆心C 到直线AB 的距离d ＝|CP |＝|1＋4－5＋5|12＋22＝1.在Rt △ACP 中，|AP |＝R 2－d 2＝2，故直线被圆截得的弦长|AB |＝4.【答案】 C4．(两直线的位置关系)已知直线l 1：x －2my ＋3＝0，直线l 2的方向向量为a ＝(1,2)，若l 1⊥l 2，则m 的值为________．【解析】 由直线l 2的方向向量为a ＝(1,2)，知直线l 2的斜率k 2＝2，∵l 1⊥l 2，∴直线l 1的斜率存在，且k 1＝12m，由k 1·k 2＝－1，即12m ·2＝－1，得m ＝－1.【答案】 －15．(圆的方程)(2013·江西高考)若圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________．【解析】 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m )．又因为圆与直线y ＝1相切，所以(4－2)2＋(0－m )2＝|1－m |，所以m 2＋4＝m 2－2m ＋1，解得m ＝－32，所以圆的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254. 【答案】 (x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254(1)(2013·济南调研)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y ＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)距离为2的直线方程为________．【思路点拨】 (1)先求出两条直线平行的充要条件，再判断；(2)联立l 1，l 2的方程，求交点坐标，利用待定系数法求直线方程．【自主解答】 (1)若直线l 1与l 2平行，则a (a ＋1)－2×1＝0，即a ＝－2或a ＝1， ∴a ＝1是直线l 1与直线l 2平行的充分不必要条件．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴l 1与l 2交点为(1,2)， 直线x ＝1显然不适合．设所求直线为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0， ∵P (0,4)到直线距离为2，∴2＝|－2－k |1＋k 2，∴k ＝0或k ＝43.∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0. 【答案】 (1)A (2)y ＝2或4x －3y ＋2＝01．第(1)题利用两直线平行的充要条件，避免了分类讨论．第(2)题利用点斜式求直线方程，要注意判定直线的斜率是否存在．2．直线与直线的位置关系的判定方法(1)给定两条直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1和l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则有下列结论： l 1∥l 2⇔k 1＝k 2且b 1≠b 2；l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.(2)若给定的方程是一般式，即l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则有下列结论：l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0或A 1C 2－A 2C 1≠0； l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.变式训练1 (1)(2013·天津高考)已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．－12B ．1C ．2 D.12(2)(2013·四川高考)在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．【解】 (1)由题意知圆心为(1,0)，由圆的切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，可设圆的切线方程为x ＋ay ＋c ＝0，由切线x ＋ay ＋c ＝0过点P (2,2)，∴c ＝－2－2a ，∴|1－2－2a |1＋a 2＝5，解得a ＝2. (2)设平面上任一点M ，因为|MA |＋|MC |≥|AC |，当且仅当A ，M ，C 共线时取等号，同理|MB |＋|MD |≥|BD |，当且仅当B ，M ，D 共线时取等号，连接AC ，BD 交于一点M ，若|MA |＋|MC |＋|MB |＋|MD |最小，则点M 为所求．又k AC ＝6－23－1＝2，∴直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.①又k BD ＝5－(－1)1－7＝－1，∴直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)， 即x ＋y －6＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，∴M (2,4)．【答案】 (1)C (2)(2,4)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴相切，则圆C 的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x －1)2＋(y －2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －1)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1【思路点拨】 设圆心坐标，利用直线与圆相切的条件，得圆心坐标的方程，进而求待定系数，得圆C 的方程．【自主解答】 因为圆C 与x 轴相切，半径r ＝1，且圆心在第一象限， ∴圆心的纵坐标为1，设圆心为C (a,1)(a ＞0)． 又直线4x －3y ＝0与圆C 相切，∴d ＝|4a －3×1|5＝1，解之得a ＝2或a ＝－12(舍)．故点C (2,1)，则圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1. 【答案】 A1．本题抓住圆C 与x 轴相切，确定圆心纵坐标为1，减少待定参数，优化了解题过程． 2．求解圆的方程，一般利用待定系数法，即确定待定方程中的参数取值，但一定要注意圆的几何性质的灵活应用，要熟练掌握平面几何中确定圆心和半径的基本方法，如圆心在弦的中垂线上、直线和圆相切、其切点在圆上且圆心到直线的距离等于圆的半径等．变式训练2 已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被该圆所截得的弦长为22，则圆C 的标准方程为________．【解析】 设圆心坐标为(a,0)(a >0)，由于圆过点(1,0)，则半径r ＝|a －1|，圆心到直线x －y －1＝0的距离为d ＝|a －1|2.由弦长为22可知⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －1|22＝(a －1)2－2，解得(a －1)2＝4，∴a ＝3或a ＝－1(舍去)． 故圆心为(3,0)，半径为2，所求圆的方程为(x －3)2＋y 2＝4. 【答案】 (x －3)2＋y 2＝4在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为圆心的圆与直线：x －3y ＝4相切．(1)求圆O 的方程；(2)若圆O 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，且|MN |＝23，求直线MN 的方程；(3)圆O 与x 轴相交于A ，B 两点，圆内的动点P 使|P A |，|PO |，|PB |成等比数列，求P A →·PB →的取值范围．【思路点拨】 (1)直线与圆相切→求半径→求圆方程 (2)设MN 的方程2x －y ＋m ＝0→利用|MN |＝23，求m →写MN的方程(3)利用|PO |2＝|P A ||PB |建立动点P (x ，y )中变量x ，y 的等量关系，利用点与圆的位置关系求P A →·PB →的范围．【自主解答】 (1)依题意，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离， 即r ＝41＋3＝2. 所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)由题意，可设直线MN 的方程为2x －y ＋m ＝0. 则圆心O 到直线MN 的距离d ＝|m |5. 由垂径分弦定理得：m 25＋(3)2＝22，即m ＝±5.所以直线MN 的方程为：2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0. (3)不妨设A (x 1,0)，B (x 2,0)，x 1<x 2.由x 2＝4得A (－2，0)，B (2,0)． 设P (x ，y )，由|P A |，|PO |，|PB |成等比数列，得 (x ＋2)2＋y 2·(x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2，即x 2－y 2＝2. 因为P A →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝2(y 2－1)．由于点P 在圆O 内，故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2<4，x 2－y 2＝2.由此得y 2<1.所以P A →·PB →的取值范围为[－2,0)．1．本题(3)在求解过程中常因忽视条件x 2－y 2＝2的限制作用使所求P A →·PB →的范围变大．2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，及半弦长l2构成直角三角形的关系来处理． 3．讨论点与圆、直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．变式训练3 (1)(2013·重庆高考)设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2(2)(2013·课标全国卷Ⅱ)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.①求圆心P 的轨迹方程； ②若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程．【解析】 (1)如图，圆心M (3，－1)与定直线x ＝－3的最短距离为|MQ |＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.【答案】 B【解】 (2)①设P (x ，y )，圆P 的半径为r . 由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3. 故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. ②设P (x 0，y 0)．由已知得|x 0－y 0|2＝22.又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，此时，圆P 的半径r ＝ 3. 故圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3或x 2＋(y －1)2＝3.从近两年高考看，直线与圆是高考的热点，主要涉及直线方程、圆的方程、直线与圆相切(交)的切线方程(或弦长计算)．预计2014年高考仍以直线和圆的位置关系为核心，以客观题的形式进行命题．求解时应注意几何图形的性质的应用，重视数形结合的数学思想．以形助数巧求最小值已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为________．【解析】 设P (x,0)，C 1(2,3)关于x 轴的对称点为C 1′(2，－3)，那么|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C ′1C 2|＝(2－3)2＋(－3－4)2＝5 2. 而|PM |＝|PC 1|－1，|PN |＝|PC 2|－3， ∴|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4. 【答案】 52－4 【阅卷心语】易错提示 (1)弄不清圆C 外一点A 到圆上一点距离的最小值为|AC |－r ，最大值为|AC |＋r ，难以将所求问题转化为求|PC 1|＋|PC 2|的最小值．(2)数形结合思想意识差，难以作出C 1关于x 轴的对称点C ′1，求不出|PC 1|＋|PC 2|的最小值．防范措施 (1)涉及圆的几何最值，要充分考虑圆的几何性质由形思数；(2)若两点P 1，P 2在直线l 的同侧，直线l 上的点P 到P 1与P 2的距离和最小，宜作P 1关于l 的对称点P 1′，则|P 1′P 2|为所求的最小值．1．已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是________． 【解析】 由题意知点在圆外，则a 2＋b 2>1，圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b 2<1，故直线与圆相交．【答案】 相交2．已知直线l 经过坐标原点，且与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0相切，切点在第四象限，则直线l 的方程为________．【解析】 由题易知，圆的方程为(x －2)2＋y 2＝1，圆心为(2,0)，半径为1，如图，经过原点的圆的切线的倾斜角为150°，切线的斜率为tan 150°＝－33，故直线l 的方程为y ＝－33x .【答案】 y ＝－33x。
2014高考数学理(真题讲练 规律总结 名师押题)热点专题突破：第九讲 等差数列、等比数列
第九讲 等差数列、等比数列数列等差数列通项公式定义前n 项和公式性质等比数列通项公式定义前n 项和公式性质1．(等比数列的前n 项和)(2013·北京高考)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝______；前n 项和S n ＝________.【解析】 设出等比数列的公比，利用已知条件建立关于公比的方程求出公比，再利用前n 项和公式求S n .设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则： 由a 2＋a 4＝20得a 1q (1＋q 2)＝20.① 由a 3＋a 5＝40得a 1q 2(1＋q 2)＝40.② 由①②解得q ＝2，a 1＝2.故S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.【答案】 2 2n ＋1－22．(等差数列的性质)在等差数列{a n }中，若a 2，a 2 014为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 1＋a 1 008＋a 2 015＝________.【解析】 由题意知a 2＋a 2 014＝10，所以a 1 008＝5. 所以a 1＋a 1 008＋a 2 015＝3a 1 008＝3×5＝15. 【答案】 153．(等比数列的性质)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3＝2－1，a 5＝2＋1，则a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝________.【解析】 在等比数列{a n }中，a 3a 7＝a 25；a 2a 6＝a 3a 5，所以a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝(22)2＝8.【答案】 84．(等差数列的通项公式)若数列{a n }满足1a n ＋1＝2a n ＋1a n ，且a 1＝3，则a n ＝________ .【解析】 由1a n ＋1＝2a n ＋1a n ，得1a n ＋1－1a n＝2，∴数列{1a n }是首项为13，公差为2的等差数列．∴1a n ＝13＋(n －1)×2＝2n －53， ∴a n ＝36n －5.【答案】36n －55．(等差数列前n 项和)已知正数组成的等差数列{a n }，其前20项和为100，则a 7·a 14的最大值是__________．【解析】 ∵S 20＝20(a 1＋a 20)2＝100，∴a 1＋a 20＝10. ∵a n >0，∴a 7·a 14≤(a 7＋a 142)2＝(a 1＋a 202)2＝25，当且仅当a 7＝a 14时取“＝”． 【答案】 25(1)(2013·课标全国卷Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6(2)(2013·湖北高考)已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125. ①求数列{a n }的通项公式．②是否存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．【思路点拨】 (1)先求a m ，a m ＋1，再根据a m ，a m ＋1，S m 列方程组求m .(2)①先求得a 1和公比q ，再求通项公式；②根据数列 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 仍然构成等比数列可求得数列 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前m 项和，进而作出判断． 【自主解答】 (1)∵{a n }是等差数列，S m －1＝－2，S m ＝0， ∴a m ＝S m －S m －1＝2.∵S m ＋1＝3，∴a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3， ∴d ＝a m ＋1－a m ＝1.又S m ＝m (a 1＋a m )2＝m (a 1＋2)2＝0，∴a 1＝－2，∴a m ＝－2＋(m －1)·1＝2，∴m ＝5. 【答案】 C(2)①设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 31q 3＝125，|a 1q －a 1q 2|＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝53，q ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，q ＝－1.故a n ＝53·3n －1，或a n ＝－5·(－1)n －1.②若a n ＝53·3n －1，则1a n ＝35·⎝⎛⎭⎫13n －1，故数列 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为35，公比为13的等比数列．从而∑n ＝1m 1a n＝35·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13m 1－13＝910·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13m <910<1.若a n ＝(－5)·(－1)n －1，则1a n ＝－15(－1)n －1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为－15，公比为－1的等比数列，从而∑n ＝1m 1a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－15，m ＝2k －1(k ∈N ＋)，0，m ＝2k (k ∈N ＋).故∑n ＝1m 1a n <1.故不存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1成立．1．本例(2)中，通项公式含(－1)n －1，故需分n 为奇数与偶数两种情况讨论．2．涉及等差(比)数列的运算，一般是利用等差(比)数列的通项公式、求和公式“知三求二”．体现了方程思想的应用．3．在使用等比数列前n 项和公式时，若公比q 不能确定是否为1，应分q ＝1和q ≠1两种情况讨论．变式训练1 (2013·潍坊模拟)在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝84，a 9＝73. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中落入区间(9m,92m )内的项的个数记为b m ，求数列{b m }的前m 项和S m .【解】 (1)因为{a n }是一个等差数列， 所以a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝84，所以a 4＝28. 设数列{a n }的公差为d ，则5d ＝a 9－a 4＝73－28＝45，故d ＝9. 由a 4＝a 1＋3d 得28＝a 1＋3×9，即a 1＝1， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋9(n －1)＝9n －8(n ∈N *)． (2)对m ∈N *，若9m <a n <92m ， 则9m ＋8<9n <92m ＋8， 因此9m －1＋1≤n ≤92m －1，故得b m ＝92m －1－9m －1.于是S m ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b m＝(9＋93＋…＋92m －1)－(1＋9＋…＋9m －1)＝9×(1－81m )1－81－(1－9m )1－9＝92m ＋1－10×9m ＋180.【命题要点】 ①利用等差数列的性质求某一项，求和；②利用等比数列的性质，求值.(1)等差数列{a n }中，如果a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，数列{a n }前9项的和为( )A ．297B ．144C ．99D ．66(2)(2013·三门峡模拟)在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 29a 11的值为( )A ．9B ．1C ．2D ．3【思路点拨】 (1)先求a 4和a 6，然后再根据a 1＋a 9＝a 4＋a 6求S 9.(2)先求a 7，再利用a 29＝a 11·a 7求解．【自主解答】 (1)由a 1＋a 4＋a 7＝39，得3a 4＝39，a 4＝13. 由a 3＋a 6＋a 9＝27，得3a 6＝27，a 6＝9. 所以S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9(a 4＋a 6)2＝9×(13＋9)2＝99.(2)由a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243得a 7＝3， 所以a 29a 11＝a 11·a 7a 11＝a 7＝3.【答案】 (1)C (2)D1．本例(2)用a 29＝a 11a 7求解，过程简单，当然也可以把a 9、a 11用a 7、公比q 表示出来，求解．2．等差、等比数列的性质n 123345＝18，则a 2a 3a 4＝( ) A ．512 B ．64 C ．1 D.1512【解析】 因为a 1a 2a 3＝a 32＝8，a 3a 4a 5＝a 34＝18. 由题意知数列{a 3n }也是等比数列，且各项为正．故a 2a 3a 4＝a 33＝1.【答案】 C【命题要点】 ①判定或证明一个数列是等差数列；②判定或证明一个数列是等比数列.(2013·北京高考)给定数列a 1，a 2，…，a n ，对i ＝1,2，…，n －1，该数列前i 项的最大值记为A i ，后n －i 项a i ＋1，a i ＋2，…，a n 的最小值记为B i ，d i ＝A i －B i .(1)设数列{a n }为3,4,7,1，写出d 1，d 2，d 3的值；(2)设a 1，a 2，…，a n (n ≥4)是公比大于1的等比数列，且a 1>0，证明：d 1，d 2，…，d n－1是等比数列；(3)设d 1，d 2，…，d n －1是公差大于0的等差数列，且d 1>0，证明：a 1，a 2，…，a n －1是等差数列．【思路点拨】 (1)根据d i 的定义求解．(2)需根据题意求出d n 的通项公式后利用定义证明． (3)利用等差数列的定义证明．【自主解答】 (1)d 1＝2，d 2＝3，d 3＝6. (2)证明：因为a 1>0，公比q >1， 所以a 1，a 2，…，a n 是递增数列．因此，对i ＝1,2，…，n －1，A i ＝a i ，B i ＝a i ＋1. 于是对i ＝1,2，…，n －1， d i ＝A i －B i ＝a i －a i ＋1＝a 1(1－q )q i －1.因此d i ≠0且d i ＋1d i ＝q (i ＝1,2，…，n －2)，即d 1，d 2，…，d n －1是等比数列．(3)证明：设d 为d 1，d 2，…，d n －1的公差． 对1≤i ≤n －2，因为B i ≤B i ＋1，d >0， 所以A i ＋1＝B i ＋1＋d i ＋1≥B i ＋d i ＋d >B i ＋d i ＝A i . 又因为A i ＋1＝max{A i ，a i ＋1}， 所以a i ＋1＝A i ＋1>A i ≥a i .从而a 1，a 2，…，a n －1是递增数列． 因此A i ＝a i (i ＝1,2，…，n －2)． 又因为B 1＝A 1－d 1＝a 1－d 1<a 1， 所以B 1<a 1<a 2<…<a n －1. 因此a n ＝B 1.所以B 1＝B 2＝…＝B n －1＝a n . 所以a i ＝A i ＝B i ＋d i ＝a n ＋d i .因此对i ＝1,2，…，n －2都有a i ＋1－a i ＝d i ＋1－d i ＝d ， 即a 1，a 2，…，a n －1是等差数列．1．等差数列的判断方法：(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)． (4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)． 2．等比数列的判定方法：(1)定义法：a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)．(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2≠0(n ∈N *)． (3)通项公式：a n ＝cq n －1(c 、q 均为非零的常数，n ∈N *)．3．要证明一个数列是等差(比)数列必须用定义法或等差(比)中项法．变式训练3 已知数列{a n }满足a 1＝14，a 2＝34，a n ＋1＝2a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b 1＝12，3b n －b n －1＝n (n ≥2，n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：数列{b n －a n }为等比数列，并求出数列{b n }的通项公式． 【解】 (1)由a n ＋1＝2a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)， 可得a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)．∴数列{a n }是首项为a 1＝14，公差为d ＝a 2－a 1＝12的等差数列．∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝12n －14(n ∈N *)，即a n ＝12n －14(n ∈N *)．(2)由3b n －b n －1＝n ，得b n ＝13b n －1＋13n (n ≥2，n ∈N *)，∴b n －a n ＝13b n －1＋13n －12n ＋14＝13b n －1－16n ＋14＝13(b n －1－12n ＋34) ＝13[b n －1－12(n －1)＋14] ＝13(b n －1－a n －1)． 又b 1－a 1＝14≠0，∴b n －a n ≠0(n ∈N *)，得b n －a n b n －1－a n －1＝13(n ≥2，n ∈N *)，即数列{b n －a n }是首项为b 1－a 1＝14，公比为13的等比数列．于是，b n －a n ＝14·(13)n －1，即b n ＝2n －14＋14·(13)n －1＝14[(13)n －1＋2n －1](n ∈N *).等差、等比数列的通项公式a n 与前n 项和S n 是高考必考内容，其中把非等差、等比数列的求和问题转化为等差、等比数列的求和问题，体现了转化与化归的数学思想，是高考命题的生长点．可转化为等差、等比数列的求和问题(12分)等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数不在下表的同一列．n (2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 【规范解答】 (1)当a 1＝3时，不合题意；当a 1＝2时，当且仅当a 2＝6，a 3＝18时，符合题意； 当a 1＝10时，不合题意．因此a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18，所以公比q ＝3. 故a n ＝2·3n －1.4分(2)因为b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ＝2·3n －1＋(－1)n ln(2·3n －1)＝2·3n －1＋(－1)n [ln 2＋(n －1)ln 3]＝2·3n －1＋(－1)n (ln 2－ln 3)＋(－1)n n ln 3，所以S n ＝2(1＋3＋…＋3n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n ](ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)n n ]ln 3.8分所以当n 为偶数时，S n ＝2×1－3n 1－3＋n 2ln 3＝3n ＋n2ln 3－1；10分当n 为奇数时，S n ＝2×1－3n 1－3－(ln 2－ln 3)＋(n －12－n )ln 3＝3n －n －12ln 3－ln 2－1.综上所述，S n＝⎩⎨⎧3n ＋n2ln 3－1，n 为偶数，3n－n －12ln 3－ln 2－1，n 为奇数.12分【阅卷心语】易错提示 (1)在确定a 1，a 2，a 3的值时，不会分类讨论导致无法求解．(2)在求数列{b n }的前n 项和S n 时，不会把S n 拆分成几个可求和的数列的和的形式，从而无法求解．(3)在求数列{b n }的前n 项和S n 时，对n 没分偶数和奇数两种情况求解导致答案错误． 防范措施 (1)当a 1的值不确定时，应对a 1的所有可能取值逐一进行讨论．(2)当通项公式a n 是多项和的形式时，常把前n 项和S n 拆分成几个等差(比)数列和的形式求解．(3)数列问题中若遇到(－1)n 则需考虑n 的奇偶性对所求数值的影响．必要时应分n 为奇数和n 为偶数两种情况讨论．1．若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9＝－36，S 13＝－104，则a 5与a 7的等比中项为( ) A ．42 B ．±42 C ．4 D ．±4 【解析】 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意知 ⎩⎨⎧S 9＝9a 1＋9×82d ＝－36，S 13＝13a 1＋13×122d ＝－104，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝－2.∴a 5＝a 1＋4d ＝－4，a 7＝a 1＋6d ＝－8， ∴a 5a 7＝32，故a 5与a 7的等比中项为±4 2. 【答案】 B2．数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n， 0≤a n＜12，2a n－1， 12≤a n＜1，若a 1＝35，则数列的第2 013项为( )A.15B.25C.35D.45【解析】 由题意知a 2＝2a 1－1＝2×35－1＝15，a 3＝2a 2＝25，a 4＝2a 3＝45，a 5＝2a 4－1＝2×45－1＝35，a 6＝2a 5－1＝2×35－1＝15，…从而数列{a n }的各项周期性出现，周期为4，故a 2 013＝a 1＝35.【答案】 C第11 页共11 页。
2014高考数学理(真题讲练 规律总结 名师押题)热点专题突破：第十一讲 推理与证明
第十一讲 推理与证明合情推理与演绎推理合情推理归纳推理类比推理演绎推理三段论直接证明与间接证明直接证明综合法分析法间接证明反证法数学归纳法数学归纳法的原理数学归纳法的应用1．(反证法)用反证法证明命题“若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0”时，假设的内容应为________．【解析】 “x ＝y ＝0”的否定是“x ，y 中至少有一个不为0”． 【答案】 x ，y 中至少有一个不为02．(三段论推理)“三角函数是周期函数(大前提)，y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2是三角函数(小前提)，所以y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2是周期函数(结论)”，上面推理的错误是________． 【解析】 y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2不是三角函数，故小前提错误． 【答案】 小前提错误 3．(归纳推理)观察下列不等式 1＋122＜32， 1＋122＋132＜53， 1＋122＋132＋142＜74， … …照此规律，第五个不等式为________．【解析】 观察所给每个不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的底数与右端值的分母相同，且每行右端分数的分子构成以a 1＝3，公差d ＝2的等差数列，故第5个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162＜116.【答案】 1＋122＋132＋142＋152＋162＜1164．(类比推理)设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c；类比这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为r ，四面体S －ABC 的体积为V ，则r ＝________.【解析】 设四面体S －ABC 的内切球球心为O ，那么由V S －ABC ＝V O －ABC ＋V O －SAB ＋V O－SAC＋V O －SBC ，即：V ＝13S 1r ＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ，可得：r ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.【答案】3VS 1＋S 2＋S 3＋S 45．(直接证明)在△ABC 中，sin A sin C ＜cos A cos C ，则△ABC 一定是________(形状)． 【解析】 ∵sin A sin C ＜cos A cos C ， ∴cos(A ＋C )＞0，即cos B ＜0， ∴∠B 为钝角，△ABC 为钝角三角形．【答案】 钝角三角形【命题要点】 ①归纳等式；②归纳不等式.(2013·湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ， ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________.【思路点拨】 重点分析k 与n 2及n 的导数的关系，从而归纳出N (n ，k )，则N (10,24)可求．【自主解答】 由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，…，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝⎝⎛⎭⎫k 2－1n 2－⎝⎛⎭⎫k2－2n ，于是N (n ，24)＝11n 2－10n .故N (10,24)＝11×102－10×10＝1 000. 【答案】 1 0001．归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别事物发现某些相同的性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．并且在一般情况下，如果归纳的个别事物越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠．2．归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明．这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用．其思维模式是“观察——归纳——猜想——证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想．变式训练1 (2013·南昌模拟)观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *,12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝________.【解析】 观察所给等式知，第n 个等式的右边有n 项，右边的结果的绝对值恰好等于左边的各项的所有底数的和，即右边的结果的绝对值等于1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2＝n 2＋n 2，注意到右边的结果的符号的规律是：当n 为奇数时，符号为正；当n 为偶数时，符号为负，因此所填的结果是(－1)n ＋1n2＋n2. 【答案】 (－1)n ＋1n2＋n 2【命题要点】 ①类比过程；②类比结论.(2013·金华模拟)在Rt △ABC 中，CA ⊥CB ，斜边AB 上的高为h 1，则1h 21＝1CA 2＋1CB 2；类比此性质，如图3－3－1，在四面体P —ABC 中，若P A ，PB ，PC 两两垂直，底面ABC 上的高为h ，则得到的正确结论为________．图3－3－1【思路点拨】 由直角三角形的高联想到空间四面体的高，连结CO 并延长构造直角三角形，充分利用直角三角形中的已知结论求解．【自主解答】 连结CO 且延长交AB 于点D ，连结PD ，由已知可得PC ⊥PD ，在直角三角形PDC 中，由已知可得1h 2＝1PC 2＋1PD2.易知AB ⊥平面PDC ，所以AB ⊥PD .在Rt △APB 中，由已知可得1PD 2＝1P A 2＋1PB 2，故1h 2＝1P A 2＋1PB 2＋1PC 2. 【答案】 1h 2＝1P A 2＋1PB 2＋1PC 21．类比推理的一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．2．常见的类比的知识点：(1)平面几何中的有关定义、定理、性质、公式可以类比到空间，在学习中要注意通过类比去发现、探索新问题．通过类比得到的结论不一定正确．因此需要对结论加以证明．(2)等差数列与等比数列之间的类比等差数列→用减法定义→性质用加法表述(若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m＋a n ＝a p ＋a q )；等比数列→用除法定义→性质用乘法表述(若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n＝a p ·a q )．(3)椭圆与圆、椭圆与双曲线的定义与性质间的类比． (4)实数运算律与向量的运算律．变式训练2 (2013·无锡模拟)先阅读第①题的解法，再解决第②题： ①已知“a ＝(3,4)，b ＝(x ，y )，a·b ＝1，求x 2＋y 2的最小值．” 解：由|a·b |≤|a |·|b |⇒1≤5x 2＋y 2⇒x 2＋y 2≥125，故x 2＋y 2的最小值为125.②已知实数x ，y ，z 满足：2x ＋3y ＋z ＝1，则x 2＋y 2＋z 2的最小值为________； 【解析】 设a ＝(x ，y ，z )，b ＝(2,3,1)， 则a·b ＝1，由|a·b |≤|a |·|b |⇒1≤14 x 2＋y 2＋z 2⇒x 2＋y 2＋z 2≥114，故x 2＋y 2＋z 2的最小值为114.【答案】 114【命题要点】 ①证明与数列有关的命题；②利用导数证明不等式；③证明立体几何问题.(2013·江苏高考)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项的和．记b n ＝nS nn 2＋c，n ∈N *，其中c 为实数．(1) 若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)； (2)若{b n }是等差数列，证明：c ＝0.【思路点拨】 (1)利用a ，d 表示b n ，然后根据b 1，b 2，b 4成等比数列，得到a 与d 的关系，最后求S nk 与S k 的关系．(2)设出b n ，将b n 与S n 代入b n ＝nS nn 2＋c ，利用等式恒成立证明．【自主解答】 (1)由c ＝0，得b n ＝S nn ＝a ＋n －12d .又因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即⎝⎛⎭⎫a ＋d 22＝a ⎝⎛⎭⎫a ＋32d ，化简得d 2－2ad ＝0. 因为d ≠0，所以d ＝2a .因此，对于所有的m ∈N *，有S m ＝m 2a . 从而对于所有的k ，n ∈N *， 有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k .(2)设数列{b n }的公差是d 1，则b n ＝b 1＋(n －1)d 1， 即nS nn 2＋c＝b 1＋(n －1)d 1，n ∈N *，代入S n 的表达式，整理得，对于所有的n ∈N *，有 ⎝⎛⎭⎫d 1－12d n 3＋⎝⎛⎭⎫b 1－d 1－a ＋12d n 2＋cd 1n ＝c (d 1－b 1)．令A ＝d 1－12d ，B ＝b 1－d 1－a ＋12d ，D ＝c (d 1－b 1)，则对于所有的n ∈N *，有An 3＋Bn 2＋cd 1n ＝D .(*)在(*)式中分别取n ＝1,2,3,4，得A ＋B ＋cd 1＝8A ＋4B ＋2cd 1＝27A ＋9B ＋3cd 1＝64A ＋16B ＋4cd 1， 从而有⎩⎪⎨⎪⎧ 7A ＋3B ＋cd 1＝0，19A ＋5B ＋cd 1＝0，21A ＋5B ＋cd 1＝0，①②③由②③得A ＝0，cd 1＝－5B ，代入方程①，得B ＝0，从而cd 1＝0，即d 1－12d ＝0，b 1－d 1－a ＋12d ＝0，cd 1＝0.若d 1＝0，则由d 1－12d ＝0，得d ＝0，与题设矛盾，所以d 1≠0.又因为cd 1＝0，所以c＝0.1．解答本例第(2)小题时，把b n ＝nS nn 2＋c 转化为关于n 的等式是解题的关键，再利用多项式恒等列方程组证明．2．对充分必要条件的证明应分两步完成：一是证充分性；二是证必要性． 3．在证明与数列有关的命题时，要充分利用等差、等比数列的性质，及求和方法．变式训练3 已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n (a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数．(1)对任意实数λ，证明数列{a n }不是等比数列； (2)试判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论．【证明】 (1)假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列，则有a 22＝a 1a 3，即⎝⎛⎭⎫23λ－32＝λ⎝⎛⎭⎫49λ－4⇔49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ⇔9＝0，矛盾，所以{a n }不是等比数列． (2)因为b n ＋1＝(－1)n ＋1[a n ＋1－3(n ＋1)＋21]＝(－1)n ＋1⎝⎛⎭⎫23a n －2n ＋14 ＝－23(－1)n ·(a n －3n ＋21)＝－23b n .又b 1＝－(λ＋18)，所以 当λ＝－18时，b n ＝0(n ∈N *)， 此时{b n }不是等比数列；当λ≠－18时，b 1＝－(λ＋18)≠0，由b n ＋1＝－23b n ，可知b n ≠0，所以b n ＋1b n ＝－23(n ∈N *)．故当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列.(2013·无锡模拟)已知数列{a n }满足关系式a n ＋1＝na n＋2，n ∈N *，且a 1＝2.(1)求a 2，a 3，a 4；(2)求证：n ＋1≤a n ＜n ＋1＋1；(3)求证：n ＋1－1＜1a 1＋1a 2＋…＋1a n＜2(n ＋3－3)．【思路点拨】 (1)根据递推式和初始值求解即可；(2)根据已知的递推式a n ＋1＝na n＋2，使用数学归纳法进行证明；(3)根据(2)的结果进行证明．【自主解答】 由题意，知a 2＝52，a 3＝145，a 4＝4314.(2)证明由a n＋1＝na n＋2及a1＝2，知a n＞0.下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，a1＝2满足1＋1≤a1＜1＋1＋1，成立．②假设当n＝k(k∈N*)时，k＋1≤a k＜k＋1＋1成立，则当n＝k＋1时，a k＋1＝ka k＋2＞kk＋1＋1＋2＝k＋1＋1.a k＋1＝ka k＋2≤kk＋1＋2.下面用分析法证明：kk＋1＋2＜k＋2＋1.欲证kk＋1＋2＜k＋2＋1，只需证k＋k＋1＜(k＋1)k＋2，只需证(k＋k＋1)2＜[(k＋1)k＋2]2，只需证2k＋1＞0，此式显然成立．所以kk＋1＋2＜k＋2＋1成立．从而a k＋1＝ka k＋2≤kk＋1＋2＜k＋2＋1.由①②可知，对一切k∈N*，n＋1≤a n＜n＋1＋1成立．(3)证明由(2)，知1n＋1＋1＜1a n≤1n＋1，而1n＋1＋1≥1n＋1＋n＝n＋1－n，1n＋1＝2(n＋1)＋(n＋1)＜2n＋3＋n＋2＝2(n＋3－n＋2)，所以n＋1－n＜1a n＜2(n＋3－n＋2)，所以(2－1)＋…＋(n＋1－n)＜1a1＋1a2＋…＋1a n＜2(4－3)＋…＋2(n ＋3－n ＋2)，所以n ＋1－1＜1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜2(n ＋3－3)．1．本例中已知a n ＋1与a n 的关系，但无法求出a n ，故第(2)小题适合用数学归纳法证明，第(3)小题是有关和式的不等式，适合用不等式放缩证明．2．在用数学归纳法证明的第2个步骤中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确n ＝k ＋1时证明的目标，充分考虑由n ＝k 到n ＝k ＋1时，命题形式之间的区别和联系，并且在递推过程中，必须用上归纳假设，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．变式训练4 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)．证明：对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n >n ＋1成立．【解】 (1)由题意，S n ＝b n ＋r ， 当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r ，所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)，由于b >0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列， 又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)，a 2a 1＝b ，即b (b －1)b ＋r＝b ，解得r ＝－1. (2)证明 由(1)知当b ＝2时，a n ＝2n －1， 因此b n ＝2n (n ∈N *)，所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n >n ＋1.①当n ＝1时，左式＝32，右式＝2，左式>右式，所以结论成立． ②假设n ＝k 时结论成立， 即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k>k ＋1，则当n ＝k ＋1时，2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋32(k ＋1)>k ＋1·2k ＋32(k ＋1)＝2k ＋32k ＋1， 要证当n ＝k ＋1时结论成立， 只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥(k ＋1)(k ＋2)，由均值不等式2k ＋32＝(k ＋1)＋(k ＋2)2≥(k ＋1)(k ＋2)成立，故2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立，所以，当n ＝k ＋1时，结论成立． 由①②可知，n ∈N *时，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立.证明题是考查学生条理的逻辑思维能力、规范的书写运算能力的有效载体，它涉及到函数、数列、不等式、立体几何、解析几何等知识，特别是不等式与数列知识的综合证明，命题形式灵活多样，需在复习备考过程中引起高度重视．利用放缩法证明不等式(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝3，点(S n ，S n ＋1)在直线y＝n ＋1nx ＋n ＋1(n ∈N *)上．(1)求证：数列{S nn}是等差数列；(2)若数列{b n }满足b n ＝a n ·2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ； (3)设C n ＝T n 22n ＋3，求证：C 1＋C 2＋…＋C n >2027.【规范解答】 (1)证明 ∵点(S n ，S n ＋1)在直线y ＝n ＋1nx ＋n ＋1(n ∈N *)上，∴S n ＋1＝n ＋1n ·S n ＋n ＋1，2分两边同除以n ＋1，得S n ＋1n ＋1－S nn＝1.∴{S nn }是以3为首项，1为公差的等差数列.4分(2)由(1)可知，S nn ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2，即S n ＝n 2＋2n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，a 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1， 经检验，当n ＝1时也成立，∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)， 于是b n ＝a n ·2a n ＝(2n ＋1)·22n ＋1，5分∵T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n －1＋b n ＝3·23＋5·25＋…＋(2n －1)·22n －1＋(2n ＋1)·22n ＋1，①∴4T n ＝3·25＋…＋(2n －3)·22n －1＋(2n －1)·22n ＋1＋(2n ＋1)·22n ＋3.②两式相减，解得：T n ＝(23n ＋19)·22n ＋3－89.8分 (3)证明 ∵C n ＝T n 22n ＋3＝2n 3＋19－19·(14)n，9分∴C 1＋C 2＋…＋C n ＝23·n (n ＋1)2＋19·n －19·14[1－(14)n ]1－14＝3n 2＋4n 9－127＋127·(14)n >3n 2＋4n 9－127≥79－127＝2027.12分【阅卷心语】易错提示 (1)不能利用(S n ，S n ＋1)在直线上来推导{S nn }相邻项的关系；(2)错位相减求和操作不当致误；(3)因{C n }的通项公式比较复杂不会恰当的进行变形．防范措施 (1)注意{S nn}是一个数列，整体代换寻找递推关系式；(2)运用错位相减法应注意以下三点：①错位，即幂指数相同的项要对齐；②差的符号；③新等比数列的项数；(3)与和式有关的不等式，有两种处理方式，一是先求和，再证明结论成立；二是若不易求和，可用放缩法转化和式，再求和证明．1．观察下列等式1＝13＋5＝85＋7＋9＝217＋9＋11＋13＝409＋11＋13＋15＋17＝65……按此规律，第12个等式的右边等于________．【解析】观察等式右边的数1＝1×1,8＝2×4,21＝3×7,40＝4×10,65＝5×13，每一个数为等式的序号与以1为首项，公差为3的等差数列相应项的乘积，故第12个等式的右边为12×(1＋11×3)＝408.【答案】4082．△ABC内有任意三点都不共线的2 014个点，加上A、B、C三个顶点，共2 017个点，把这 2 017个点连线形成互不重叠的小三角形，则一共可以形成小三角形的个数为________．【解析】三角形内部每增加一个点，可比原来多出2个三角形，设三角形内部n个点，形成小三角形的个数为a n，则a n＋1＝a n＋2，且a1＝3，数列{a n}是以3为首项，公差为2的等差数列，从而a2 014＝3＋(2 014－1)×2＝4 029.【答案】 4 029。
2014高考数学理(真题讲练_规律总结_名师押题)热点专题突破：第十六讲_椭圆、双曲线与抛物线
第十六讲椭圆、双曲线与抛物线曲线与方程曲线与方程求曲线与方程椭圆椭圆的定义与几何图形椭圆的几何性质椭圆的标准方程双曲线双曲线的定义与几何图形双曲线的几何性质双曲线的标准方程抛物线抛物线的定义与几何图形抛物线的几何性质抛物线的标准方程1．(椭圆的标准方程)(2013·广东高考)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1D.x 24＋y 23＝1 【解析】 右焦点为F (1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x 轴上；c ＝1.又离心率为c a ＝12，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，故选D.【答案】 D2．(双曲线的性质)(2013·福建高考)双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )A.25B.45C.255D.455【解析】 双曲线的渐近线为直线y ＝±12x ，即x ±2y ＝0，顶点为(±2,0)，∴所求距离为d＝|±2±0|5＝255.【答案】 C3．(抛物线定义)(2013·江西高考)已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM |∶|MN |＝( )A ．2∶ 5B ．1∶2C ．1∶ 5D ．1∶3【解析】 如图所示，由抛物线定义知|MF |＝|MH |，所以|MF |∶|MN |＝|MH |∶|MN |.由于△MHN ∽△FOA ，则|MH ||HN |＝|OF ||OA |＝12，则|MH |∶|MN |＝1∶5， 即|MF |∶|MN |＝1∶ 5. 【答案】 C4．(椭圆的定义与性质)(2013·辽宁高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则椭圆C 的离心率e ＝__________. 【解析】 设椭圆的右焦点为F 1，因为直线过原点，所以|AF |＝|BF 1|＝6，|BO |＝|AO |.在△ABF 中，设|BF |＝x ，由余弦定理得36＝100＋x 2－2×10x ×45，解得x ＝8，即|BF |＝8.所以∠BF A ＝90°，所以△ABF 是直角三角形，所以2a ＝6＋8＝14，即a ＝7.又因为在Rt △ABF 中，|BO |＝|AO |，所以|OF |＝12|AB |＝5，即c ＝5.所以e ＝57.【答案】 575．(圆锥曲线的应用)(2013·天津高考改编)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝________.【解析】由已知得ca＝2，所以a2＋b2a2＝4，解得ba＝3，即渐近线方程为y＝±3x.而抛物线准线方程为x＝－p2，于是A⎝⎛⎭⎫－p2，－3p2，B⎝⎛⎭⎫－p2，3p2，从而△AOB的面积为12·3p·p2＝3，可得p＝2.【答案】 2(2013·课标全国卷Ⅰ)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P、圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.【思路点拨】(1)第(1)问，注意到圆M与圆N的圆心关于原点对称，暗示曲线C可解是椭圆或双曲线．依据两圆的位置关系的几何性质建立关系式，利用定义求曲线C 的方程．(2)在第(2)问中，先求圆P 的方程，然后利用直线l 与圆相切，求出直线l 的方程，进而求弦AB 的长．【自主解答】 由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切， 所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左，右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．(2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2，所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝2 3.若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则|QP ||QM |＝R r 1，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y＝k (x ＋4)．由l 与圆M 相切得|3k |1＋k 2＝1，解得k ＝±24.当k ＝24时，将y ＝24x ＋2代入x 24＋y 23＝1，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝－4±627，所以|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝187. 当k ＝－24时，由图形的对称性可知|AB |＝187. 综上，|AB |＝23或|AB |＝187.1．(1)本题易出现两点错误：①利用定义求曲线C ，不能剔除点(－2,0)；②求弦AB 的长，忽视斜率的讨论，遗漏|AB |＝2 3.(2)求解第(2)问的关键有两点：①求圆P 的方程；②利用坐标法，解方程组，灵活利用弦长公式．2．求椭圆的标准方程，常用定义和待定系数法．确定椭圆的标准方程，需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a ，b 的值．运用待定系数法时，常结合椭圆性质、已知条件，列关于a ，b ，c 的方程．变式训练1 (1)(2013·辽宁高考)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．(2)(2013·陕西高考)已知动点M (x ，y )到直线l ：x ＝4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍．①求动点M 的轨迹C 的方程；②过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A ，B 两点，若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率． 【解】 (1)由双曲线方程知，b ＝4，a ＝3，c ＝5，则虚轴长为8，则|PQ |＝16.由左焦点F (－5,0)，且A (5,0)恰为右焦点，知线段PQ 过双曲线的右焦点，则P ，Q 都在双曲线的右支上．由双曲线的定义可知|PF |－|P A |＝2a ，|QF |－|QA |＝2a ，两式相加得，|PF |＋|QF |－(|P A |＋|QA |)＝4a ，则|PF |＋|QF |＝4a ＋|PQ |＝4×3＋16＝28，故△PQF 的周长为28＋16＝44.【答案】 44图a(2)①如图a，设点M到直线l的距离为d，根据题意，d＝2|MN|，由此得|4－x|＝2(x－1)2＋y2，化简得x24＋y23＝1，∴动点M的轨迹C的方程为x24＋y23＝1.②由题意，设直线m的方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，如图b.图b将y＝kx＋3代入x24＋y23＝1中，有(3＋4k2)x2＋24kx＋24＝0.其中Δ＝(24k )2－4×24(3＋4k 2)＝96(2k 2－3)>0， 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－24k3＋4k 2，①x 1x 2＝243＋4k 2.② 又A 是PB 的中点，故x 2＝2x 1.③ 将③代入①②，得x 1＝－8k 3＋4k 2，x 21＝123＋4k 2， 可得⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 3＋4k 22＝123＋4k 2，且k 2>32， 解得k ＝－32或k ＝32，∴直线m 的斜率为－32或32.(1)(2013·课标全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x(2)抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.【思路点拨】 (1)由离心率的概念得a ，c 之间的关系，转化为a ，b 之间的关系，从而求出其渐近线方程．(2)注意到△ABF 为等边三角形和双曲线的对称性，用p 表示点A (或B )的坐标，代入双曲线方程，求p 的值．【自主解答】 (1)由e ＝52，得c a ＝52，∴c ＝52a ，b ＝c 2－a 2＝12a .而x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±b a x ， ∴所求渐近线方程为y ＝±12x .(2)由于x 2＝2py (p >0)的准线为y ＝－p 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－p 2，x 2－y 2＝3，解得准线与双曲线x 2－y 2＝3的交点为A ⎝⎛⎭⎫－3＋14p 2，－p 2，B ⎝⎛⎭⎫3＋14p 2，－p 2，所以|AB |＝23＋14p 2.由△ABF 为等边三角形，得32|AB |＝p ，解得p ＝6. 【答案】 (1)C (2)61．第(2)题充分注意到双曲线与△ABF 的对称性，数形结合，巧求点B 的坐标，优化了解题过程．2．求椭圆、双曲线的离心率：一是利用定义、方程、性质求出a ，c ，进而求e ；二是运用条件构建关系a ，c 的齐次方程，变形求e .变式训练2 (2013·湖南高考)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点．P是C 上一点．若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________．【解析】 由双曲线定义，|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ， ∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，由余弦定理，得 |PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1|·|F 1F 2|cos 30°， 化简得3a 2－23ac ＋c 2＝0，则3a －c ＝0. ∴双曲线的离心率e ＝ca ＝ 3.【答案】3在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )(a＞b ＞0)为动点 ，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的左、右焦点．已知△F 1PF 2为等腰三角形．(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足AM →·BM →＝－2，求点M 的轨迹方程．【思路点拨】 ①在△F 1PF 2中，可知|PF 2|＝|F 1F 2|，从而得关于a ，c 的方程，求离心率e .②设动点M (x ，y )，进而表示向量AM →，BM →，依条件AM →·BM →＝－2，求得轨迹方程．【自主解答】 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0)．由题意，可得|PF 2|＝|F 1F 2|，即(a －c )2＋b 2＝2c ，整理得2(c a )2＋c a －1＝0，得c a ＝－1(舍去)或c a ＝12.所以e ＝12.(2)由(1)知，a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3(x －c ).消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝85c .得方程组的解⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，或⎩⎨⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A (85c ，335c )，B (0，－3c )．设点M 的坐标为(x ，y )，则AM →＝(x －85c ，y －335c )，BM →＝(x ，y ＋3c )． 由y ＝3(x －c )，得c ＝x －33y . 于是AM →＝(8315y －35x ，85y －335x )，BM →＝(x ，3x )．由AM →·BM →＝－2，即(8315y －35x )·x ＋(85y －335x )·3x ＝－2，化简得18x 2－163xy －15＝0.将y ＝18x 2－15163x 代入c ＝x －33y ，得c ＝10x 2＋516x＞0，所以x ＞0.因此，点M 的轨迹方程是18x 2－163xy －15＝0(x ＞0)．1．求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预知，若能预先知道轨迹为何种圆锥曲线，则可考虑用定义法求解或用待定系数法求解；否则利用直接法或代入法．2．讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应，要注意字母的取值范围．变式训练3 (2013·辽宁高考)如图5－2－1，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py (p >0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B (M 为原点O 时，A ，B 重合于O )．当x 0＝1－2时，切线MA 的斜率为－12.图5－2－1(1)求p 的值；(2)当M 在C 2上运动时，求线段 AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重 合于O 时，中点为O )．【解】 (1)因为抛物线C 1：x 2＝4y 上任意一点(x ，y )的切线斜率为y ′＝x2，且切线MA的斜率为－12，所以A 点坐标为⎝⎛⎭⎫－1，14，故切线MA 的方程为y ＝－12(x ＋1)＋14. 因为点M (1－2，y 0)在切线MA 及抛物线C 2上，于是 y 0＝－12(2－2)＋14＝－3－224，①y 0＝－(1－2)22p ＝－3－222p .②由①②得p ＝2.(2)设N (x ，y )，A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 214，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 224，x 1≠x 2，由N 为线段AB 中点知x ＝x 1＋x 22，③ y ＝x 21＋x 228.④切线MA ，MB 的方程为 y ＝x 12(x －x 1)＋x 214，⑤y ＝x 22(x －x 2)＋x 224.⑥由⑤⑥得MA ，MB 的交点M (x 0，y 0)的坐标为 x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 1x 24.因为点M (x 0，y 0)在C 2上，即x 20＝－4y 0，所以x 1x 2＝－x 21＋x 226.⑦由③④⑦得x 2＝43y ，x ≠0.当x 1＝x 2时，A ，B 重合于原点O ，AB 中点N 为O ，坐标满足x 2＝43y .因此AB 中点N 的轨迹方程为x 2＝43y .从近两年的高考看，抛物线的定义、标准方程及几何性质是高考的热点，且常以选择题、填空题的形式出现，属中档题目．有时与圆、向量等综合交汇，考查定点、定(最)值、或开放性问题，以解答题的形式出现，突出数学思想与创新探究能力考查．抛物线中定点问题的求解策略(12分)如图5－2－2，等边三角形OAB的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上．(1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q ，证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．【规范解答】 (1)依题意，|OB |＝83，∠BOy ＝30°， 设B (x ，y )，∠BOx ＝60°，由三角函数定义 x ＝|OB |cos 60°＝43，y ＝|OB |sin 60°＝12，2分因为点B (43，12)在x 2＝2py 上， 所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2. 故抛物线E 的方程为x 2＝4y .4分(2)由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x .设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝14x 20，k l ＝12x 0. ∴直线l ：y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.6分由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1，得⎩⎨⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q (x 20－42x 0，－1)．设M (0，y 1)，若以|PQ |为直径的圆恒过定点M ，则MP →·MQ →＝0对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立．8分由于MP →＝(x 0，y 0－y 1)，MQ →＝(x 20－42x 0，－1－y 1)，由MP →·MQ →＝0，得x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0， 即(y 21＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0. (*) 10分由于(*)式对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的y 0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－y 1＝0，y 21＋y 1－2＝0，解之得y 1＝1.故以|PQ |为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)． 12分【阅卷心语】易错提示 (1)不会运用等边三角形及抛物线的对称性而错误表达B 点坐标，导致错求p 值 .(2)不能正确运用导数工具表示切线方程，求出Q 点坐标思维受阻，或表示出P ，Q 点坐标后不能把|PQ |为直径的条件转化为MP →·MQ →＝0恒成立来正确求出定点M 的坐标．防范措施 (1)强化知识间交汇转化训练，对于圆锥曲线的切线问题，应重视导数的工具作用．(2)①充分利用圆的几何性质，重视向量数量积在解决垂直关系中的转化作用；②对于定点的探求：一是由特殊寻求点的坐标，然后证明所求点满足一般性，二是设出含参数的点坐标，利用恒成立直接求解．必须注意，两种方法都要重视方程思想的应用．1．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22 B.2 C.322D ．2 2 【解析】 如图所示，由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)，又|AF |＝3，由抛物线定义知：点A 到准线x ＝－1的距离为3，∴点A 的横坐标为2.将x ＝2代入y 2＝4x 得y 2＝8，由图知点A 的纵坐标y ＝22， ∴A (2,22)，∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．联立直线与抛物线的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2 2. 由图知B ⎝⎛⎭⎫12，－2，∴S △AOB ＝12|OF |·|y A －y B |＝12×1×|22＋2|＝32 2. 【答案】 C2．已知椭圆x 24＋y 29＝1上任一点P ，由点P 向x 轴作垂线PQ ，垂足为Q ，设点M 在PQ 上，且PM →＝2MQ →，点M 的轨迹为C .(1)求曲线C 的方程；(2)过点D (0，－2)作直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，设N 是过点⎝⎛⎭⎫0，－417且平行于x 轴的直线上一动点，且满足四边形OANB 为矩形，求直线l 的方程．【解】 (1)设点M (x ，y )∵PM ⊥x 轴，且PM →＝2MQ →，所以点P 的坐标为(x,3y )．又点P 在椭圆x 24＋y 29＝1上，所以x 24＋(3y )29＝1， 因此曲线C 的方程是x 24＋y 2＝1. (2)当直线l 的斜率不存在时，显然不满足条件，所以设直线l 的方程为y ＝kx －2，直线l 与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0， 依题意Δ＝(16k )2－48(1＋4k 2)＞0，得k 2＞34.(*) 此时x 1＋x 2＝16k 1＋4k 2，x 1x 2＝121＋4k 2. 又四边形OANB 是矩形，所以OA →·OB →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2x 1x 2－2k (x 1＋x 2)＋4＝(1＋k 2)x 1x 2－2k (x 1＋x 2)＋4＝0，∴(1＋k 2)·121＋4k 2－2k ·16k 1＋4k 2＋4＝0，解之得k 2＝4，∴k ＝±2，满足(*)式．设N (x 0，y 0)，由ON →＝OA →＋OB →，得y 0＝y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝16k 21＋4k 2－4＝－417， 从而点N 在直线y ＝－417上，满足题设． 故直线l 的方程为y ＝±2x －2.。
2014高考数学典型题精讲课件12-6数学归纳法(理)
[解析] (1)证明 ①当 n＝1 时，a2＋(a＋1)1＝a2＋a＋ 1 可被 a2＋a＋1 整除．
②假设 n＝k(k∈N＋)时，ak+1＋(a＋1)2k－1 能被 a2＋a＋1 整除，则当 n＝k＋1 时，ak+2＋(a＋1)2k+1＝a·ak+1＋(a＋1)2(a ＋1)2k－1＝a·ak+1＋a·(a＋1)2k－1＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1
由归纳假设，f(k)能被 17 整除， 17·3·52k＋1 也能被 17 整除，所以 f(k＋1)能被 17 整除．
由(1)(2)可知，对任意 n∈N＋，f(n)都能被 17 整除．
[点评] 用数学归纳法证明整除问题，当 n＝k＋1 时， 应先构造出归纳假设的条件，再进行插项、补项等变形整 理，即可得证.
用数学归纳法证明恒等式
[例 1] 用数学归纳法证明：n∈N＋时，1×1 3＋3×1 5 ＋…＋2n－112n＋1＝2nn＋1.
[解析] (1)当 n＝1 时，左边＝1×1 3， 右边＝2×11＋1＝13，左边＝右边．∴等式成立．
(2)假设 n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立 ，即有 1×1 3＋3×1 5＋…＋2k－112k＋1＝2kk＋1
由(1)(2)可知对一切正整数 n 都有 f(n)＝(2n＋7)·3n＋9 能被 36 整除，m 的最大值为 36.
[点评] (1)用数学归纳法证明整除性问题，关键在于
p(k) ⇒ p(k＋1)过程中归纳假设的运用，一般通过“整体
凑假设”的手段进行代数式的变形． (2)解决的关键是通过 n 的取特殊值猜想这样的正整数
2014新课标高考压轴最后一卷 理科数学 Word版含解析 2014
2014新课标1高考压轴卷理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，则∁U（M∪N）=（）2. 复数的共轭复数是a+bi（a，b∈R），i是虛数单位，则点（a，b）为（）3. 的值为（）4. 函数f（x）=log2（1+x），g（x）=log2（1﹣x），则f（x）﹣g（x）是（）5.在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好落在正方形与曲线围成的区域内（阴影部分）的概率为（）A. B. C. D.6.一个空间几何体的三视图如右图所示，其中主视图和侧视图都是半径为1的圆，且这个几何体是球体的一部分，则这个几何体的表面积为( )A.3πB.4πC.6πD.8π7. 已知函数的图象（部分）如图所示，则ω，φ分别为（）B8. “”是“数列{a n}为等比数列”的（）9. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，如果cos（2B+C）+2sinAsinB＜0，那么三边长a、b、c之间满足的关系是（）10. 等腰Rt△ACB，AB=2，．以直线AC为轴旋转一周得到一个圆锥，D为圆锥底面一点，BD⊥CD，CH⊥AD于点H，M为AB中点，则当三棱锥C﹣HAM的体积最大时，CD 的长为（）D11.定义域为R 的偶函数f （x ）满足∀x ∈R ，有f （x+2）=f （x ）﹣f （1），且当x ∈[2，3]时，f （x ）=﹣2x 2+12x ﹣18．若函数y=f （x ）﹣log a （x+1）至少有三个零点，则a 的取值范围是（ ） ，，，12. 设双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A 、B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若=λ+μ（λ，μ∈R ），λμ=，则该双曲线的离心率为（ ）B13. 函数22631y x x =++的最小值是14.执行如图所示的程序框图,则输出的结果S 是________．15.已知平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，=m，=n（m•n≠0），若∥，则=___________________.16. 设不等式组表示的平面区域为M ，不等式组表示的平面区域为N ．在M 内随机取一个点，这个点在N 内的概率的最大值是________________.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．17.已知(3,cos())a x ω=-，(sin(b x ω=，其中0ω>，函数()f x a b =⋅的最小正周期为π.(1)求()f x 的单调递增区间；(2)在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．且()2Af =，a =，求角A 、B 、C 的大小．18.某市为准备参加省中学生运动会，对本市甲、乙两个田径队的所有跳高运动员进行了测试，用茎叶图表示出甲、乙两队运动员本次测试的跳高成绩（单位：cm ，且均为整数），同时对全体运动员的成绩绘制了频率分布直方图．跳高成绩在185cm 以上（包括185cm ）定义为“优秀”，由于某些原因，茎叶图中乙队的部分数据丢失，但已知所有运动员中成绩在190cm 以上（包括190cm ）的只有两个人，且均在甲队．（Ⅰ）求甲、乙两队运动员的总人数a 及乙队中成绩在[160,170）（单位：cm ）内的运动员人数b ；（Ⅱ）在甲、乙两队所有成绩在180cm 以上的运动员中随机选取2人，已知至少有1人成绩为“优秀”，求两人成绩均“优秀”的概率；（Ⅲ）在甲、乙两队中所有的成绩为“优秀”的运动员中随机选取2人参加省中学生运动会正式比赛，求所选取运动员中来自甲队的人数X 的分布列及期望．19.等边三角形ABC 的边长为3,点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点,且满足12AD CE DB EA == (如图1)．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置,使二面角1A DE B --为直二面角,连结11A B AC 、 (如图2)．（Ⅰ）求证:1A D ⊥平面BCED ；（Ⅱ）在线段BC 上是否存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60?若存在,求出PB 的长,若不存在,请说明理由．20.在平面直角坐标系xOy 中，从曲线C 上一点P 做x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为N M ,，点)0,(),0,(a B a A -（a a ,0>为常数），且02=+⋅ON BM AM λ（0≠λ） （1）求曲线C 的轨迹方程，并说明曲线C 是什么图形；（2）当0>λ且1≠λ时，将曲线C 绕原点逆时针旋转︒90得到曲线1C ，曲线C 与曲线1C 四个交点按逆时针依次为G F E D ,,,，且点D 在一象限 ①证明：四边形DEFG 为正方形； ②若D F AD ⊥，求λ值． 21. 已知21(),()2f x lnxg x ax bx ==+ (0),()()().a h x f x g x ≠=- （Ⅰ）当42a b ==，时，求()h x 的极大值点；（Ⅱ）设函数()f x 的图象1C 与函数()g x 的图象2C 交于P 、Q 两点，过线段PQ 的中点做x 轴的垂线分别交1C 、2C 于点M 、N ，证明：1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线不平行.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22.已知AB 是圆O 的直径，C 为圆O 上一点，CD ⊥AB 于点D ， 弦BE 与CD 、AC 分别交于点M 、N ，且MN = MC（1）求证：MN = MB ； （2）求证：OC ⊥MN 。
2014高考数学理(真题讲练 规律总结 名师押题)热点专题突破：第十四讲 空间向量与立体几何
第十四讲空间向量与立体几何空间向量及运算空间向量的数乘运算空间向量的加减运算空间向量的数量积运算平行与垂直的条件向量的模与两向量的夹角空间向量的坐标运算立体几何中的向量方法直线的方向向量与平面的法向量求空间角用空间向量证明平行与垂直问题1．(用法向量判断平行或垂直)若平面α、β的法向量分别为n1＝(2，－3,5)，n2＝(3,7,3)，则平面α与平面β的位置关系是________．【解析】n1·n2＝2×3－3×7＋5×3＝0，即n1⊥n2.则平面α⊥平面β.【答案】垂直2．(空间向量平行的充要条件)若空间三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(p,3，q＋2)共线，则p＋q＝________.【解析】∵A，B，C三点共线，则AB→＝λAC→，即(1，－1,3)＝λ(p－1，－2，q＋4)．∴求得p＝3，q＝2，即p＋q＝5.【答案】 53．(异面直线所成的角)如图4－3－1所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是________．图4－3－1【解析】 以BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系．设AB ＝BC ＝AA 1＝2，则C 1(2,0,2)，E (0,1,0)，F (0,0,1)， 则EF →＝(0，－1,1)，BC 1→＝(2,0,2)． ∴EF →·BC 1→＝2.∴cos<EF →，BC 1→>＝22×22＝12.∴EF 和BC 1所成的角为60°. 【答案】 60°4．(空间向量的数量积)已知ABCD —A 1B 1C 1D 1为正方体，①(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2；②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；③向量AD 1→与向量A 1B →的夹角是60°；④正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →·AA 1→·AD →|.其中正确命题的序号是________．【解析】 设正方体的棱长为1，①中(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3(A 1B 1→)2＝3，故①正确；②中A 1B 1→－A 1A →＝AB 1→，由于AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中A 1B 与AD 1两异面直线所成的角为60°，但AD 1→与A 1B →的夹角为120°，故③不正确；④中|AB →·AA 1→·AD →|＝0.故④也不正确．【答案】 ①②5．(二面角)过正方形ABCD 的顶点A ，引P A ⊥平面ABCD .若P A ＝BA ，则平面ABP 和平面CDP 所成的二面角的大小是________．图4－3－2【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，不难求出平面APB 与平面PCD 的法向量n 1＝(0,1,0)，n 2＝(0,1,1)，故平面ABP 与平面CDP 所成二面角(锐角)的余弦值为|n 1·n 2||n 1||n 2|＝22，故所求的二面角的大小是45°.【答案】 45°【命题要点】 ①利用空间向量求线线角；②利用空间向量求线面角.(2013·郑州模拟)如图4－3－3，已知点P 在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′的对角线BD ′上，∠PDA ＝60°.图4－3－3(1)求DP 与CC ′所成角的大小；(2)求DP 与平面AA ′D ′D 所成角的大小．【思路点拨】 (1)建立空间直角坐标系，延长DP 交B ′D ′于H ，求DH →的坐标． (2)DC →是平面AA ′D ′D 的一个法向量，求DP →与DC →的夹角余弦值．【自主解答】 如图，以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系D —xyz ，设正方体棱长为1，则DA →＝(1,0,0)，CC ′→＝(0,0,1)．连结BD ，B ′D ′，在平面BB ′D ′D 中，延长DP 交B ′D ′于H . 设DH →＝(m ，m,1)(m ＞0)， 由已知〈DH →，DA →〉＝60°，由DA →·DH →＝|DA →||DH →|cos 〈DH →，DA →〉， 可得2m ＝2m 2＋1.解得m ＝22，所以DH →＝⎝⎛⎭⎫22，22，1.(1)因为cos 〈DH →，CC ′→〉＝22×0＋22×0＋1×11×2＝22，所以〈DH →，CC ′→〉＝45°. 即DP 与CC ′所成的角为45°.(2)平面AA ′D ′D 的一个法向量是DC →＝(0,1,0)． 因为cos 〈DH →，DC →〉＝22×0＋22×1＋1×01×2＝12，所以〈DH →，DC →〉＝60°.可得DP 与平面AA ′D ′D 所成的角为30°.1．解答本题的关键是求向量DH →的坐标，也可根据点P 在线段BD ′上直接求点P 的坐标．2．利用空间向量求两异面直线所成的角，直线与平面所成的角的方法及公式为：(1)异面直线所成角θ(0°＜θ≤90°)设a，b分别为异面直线a，b的方向向量，则：cos θ＝|cos〈a，b〉|＝|a·b||a|·|b|.(2)线面角θ(0°≤θ≤90°)设a是直线l的方向向量，n是平面的法向量，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝|a·n||a|·|n|.变式训练1(2013·课标全国卷Ⅰ)如图4－3－4，三棱柱ABC—A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；图4－3－4(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．【解】(1)证明如图(1)，取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.因为CA＝CB，所以OC⊥AB.图(1)由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .(2)解：由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB ，又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA →的方向为x 轴的正方向，|OA →|为单位长，建立如图(2)所示的空间直角坐标系O —xyz .图(2)由题设知A (1,0,0)，A 1(0，3，0)，C (0,0，3)，B (－1,0,0)，则BC →＝(1,0，3)，BB 1→＝AA 1→＝(－1，3，0)，A 1C →＝(0，－3，3)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，则⎩⎨⎧n ·BC →＝0，n ·BB 1→＝0，即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，－x ＋3y ＝0.可取n ＝(3，1，－1)，故cos 〈n ，A 1C →〉＝n ·A 1C →|n ||A 1C →|＝－105.所以A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为105.【命题要点】 ①利用空间向量求二面角；②已知二面角的大小求参数的值.(2013·湖北高考)如图4－3－5，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是P A ，PC 的中点．图4－3－5(1)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面P AC 的位置关系，并加以证明．(2)设(1)中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足DQ →＝12CP →.记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E －l －C 的大小为β，求证：sin θ＝sin αsin β.【思路点拨】 (1)从EF ∥AC 入手，利用线面平行的判定定理与性质定理进行判断与证明；(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求解．【自主解答】 (1)直线l ∥平面P AC .证明如下：连接EF ，因为E ，F 分别是P A ，PC 的中点，所以EF ∥AC . 又EF ⊄平面ABC ，且AC ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC . 而EF ⊂平面BEF ，且平面BEF ∩平面ABC ＝l ， 所以EF ∥l .因为l ⊄平面P AC ，EF ⊂平面P AC ， 所以直线l ∥平面P AC .(2)如图所示，由DQ →＝12CP →，作DQ ∥CP ，且DQ ＝12CP .连接PQ ，EF ，BE ，BF ，BD .由(1)可知交线l 即为直线BD .以点C 为原点，向量CA →，CB →，CP →所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CA ＝a ，CB ＝b ，CP ＝2c ，则有C (0,0,0)，A (a,0,0)，B (0，b,0)，P (0,0,2c )，Q (a ，b ，c )，E ⎝⎛⎭⎫12a ，0，c ，F (0,0，c )．于是FE →＝⎝⎛⎭⎫12a ，0，0，QP →＝(－a ，－b ，c )，BF →＝(0，－b ，c )， 所以cos α＝|FE →·QP →||FE →||QP →|＝aa 2＋b 2＋c 2，从而sin α＝1－cos 2α＝b 2＋c 2a 2＋b 2＋c 2.取平面ABC 的一个法向量为m ＝(0,0,1)， 可得sin θ＝|m ·QP →||m ||QP →|＝ca 2＋b 2＋c 2 .设平面BEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． 由⎩⎨⎧n ·FE →＝0，n ·BF →＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧12ax ＝0，－by ＋cz ＝0，取n ＝(0，c ，b )．于是|cos β|＝|m·n ||m ||n |＝bb 2＋c2， 从而sin β＝1－cos 2β＝cb 2＋c 2.故sin αsin β＝b2＋c2a2＋b2＋c2·cb2＋c2＝ca2＋b2＋c2＝sin θ，即sin θ＝sin αsin β.1．本题中线段CA、CB、CP的长度关系不确定，因此应分别设出后，再求点的坐标．2．求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．其计算公式为：设m，n分别为平面α，β的法向量，则θ与〈m，n〉互补或相等，|cosθ|＝|cos〈m，n〉|＝|m·n| |m||n|.变式训练2(2013·浙江高考)如图4－3－6，在四面体A—BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.(1)证明：PQ∥平面BCD；(2)若二面角C—BM—D的大小为60°，求∠BDC的大小．图4－3－6【解】(1)证明如图所示，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O—xyz.由题意知A (0，2，2)，B (0，－2，0)，D (0，2，0)． 设点C 的坐标为(x 0，y 0,0)， 因为AQ →＝3QC →，所以Q ⎝⎛⎭⎫34x 0，24＋34y 0，12.因为点M 为AD 的中点，故M (0，2，1)． 又点P 为BM 的中点，故P ⎝⎛⎭⎫0，0，12， 所以PQ →＝⎝⎛⎭⎫34x 0，24＋34y 0，0.又平面BCD 的一个法向量为a ＝(0,0,1)，故PQ →·a ＝0. 又PQ ⊄平面BCD ，所以PQ ∥平面BCD . (2)设m ＝(x ，y ，z )为平面BMC 的一个法向量． 由CM →＝(－x 0，2－y 0,1)，BM →＝(0,22，1)，知⎩⎨⎧－x 0x ＋(2－y 0)y ＋z ＝0，22y ＋z ＝0.取y ＝－1，得m ＝⎝⎛⎭⎪⎫y 0＋2x 0，－1，22.又平面BDM 的一个法向量为n ＝(1,0,0)，于是 |cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 0＋2x 09＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋2x 02＝12，即⎝⎛⎭⎪⎫y 0＋2x 02＝3.①又BC ⊥CD ，所以CB →·CD →＝0，故(－x 0，－2－y 0,0)·(－x 0，2－y 0,0)＝0，即x 20＋y 20＝2.②联立①②，解得⎩⎨⎧x 0＝0，y 0＝－2(舍去)或⎩⎨⎧x 0＝±62，y 0＝22.所以tan ∠BDC ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 02－y 0＝ 3.又∠BDC 是锐角，所以∠BDC ＝60°.【命题要点】 ①探索线面位置关系是否成立；②探索空间角的大小是否成立.(2013·长沙模拟)如图4－3－7所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E是棱DD 1的中点．图4－3－7(1)求直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值；(2)在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论． 【思路点拨】 (1)建立空间直角坐标系后，用向量法求解． (2)假设存在点F ，证明B 1F →与平面A 1BE 的法向量垂直即可．【自主解答】 设正方体的棱长为1，如图所示，以AB →，AD →，AA 1→为单位正交基底建立空间直角坐标系．(1)依题意，得B (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，1，12，A (0,0,0)，D (0,1,0)， 所以BE →＝⎝⎛⎭⎫－1，1，12，AD →＝(0,1,0)．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，因为AD ⊥平面ABB 1A 1，所以AD →是平面ABB 1A 1的一个法向量，设直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角为θ，则sin θ＝|BE →·AD →||BE →|·|AD →|＝132×1＝23.即直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为23.(2)依题意，得A 1(0,0,1)，BA 1→＝(－1,0,1)，BE →＝⎝⎛⎭⎫－1，1，12. 设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 的一个法向量，则由n ·BA 1→＝0，n ·BE →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－x ＋y ＋12z ＝0. 所以x ＝z ，y ＝12z ，取z ＝2，得n ＝(2,1,2)．设F 是棱C 1D 1上的点，则F (t,1,1)(0≤t ≤1)． 又B 1(1,0,1)，所以B 1F →＝(t －1,1,0)． 而B 1F ⊄平面A 1BE ，于是B 1F ∥平面A 1BE ⇔B 1F →·n ＝(t －1,1,0)·(2,1,2)＝0⇔2(t －1)＋1＝0⇔t ＝12⇔F 为C 1D 1的中点，这说明在棱C 1D 1上存在点F (C 1D 1的中点)，使B 1F ∥平面A 1BE .1．解答本题(2)时先假设在棱C 1D 1上存在一点F ，则向量B 1F →与平面A 1BE 的法向量垂直，从而列方程求解．2．空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断．解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，所以使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题．变式训练3 (2013·潍坊模拟)已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝2，AA 1＝3，点D 为AC 的中点，点E 在线段AA 1上．图4－3－8(1)当AE ∶EA 1＝1∶2时，求证DE ⊥BC 1；(2)是否存在点E ，使二面角D —BE —A 等于60°，若存在求AE 的长；若不存在，请说明理由．【解】 (1)证明：连结DC 1，因为ABC —A 1B 1C 1为正三棱柱，所以△ABC 为正三角形， 又因为D 为AC 的中点，所以BD ⊥AC ，又平面ABC ⊥平面ACC 1A 1，所以BD ⊥平面ACC 1A 1， 所以BD ⊥DE .因为AE ∶EA 1＝1∶2，AB ＝2，AA 1＝3，所以AE ＝33，AD ＝1， 所以在Rt △ADE 中，∠ADE ＝30°，在Rt △DCC 1中，∠C 1DC ＝60°， 所以∠EDC 1＝90°，即ED ⊥DC 1，所以ED ⊥平面BDC 1，BC 1⊂面BDC 1，所以ED ⊥BC 1. (2)假设存在点E 满足条件，设AE ＝h .取A 1C 1的中点D 1，连结DD 1，则DD 1⊥平面ABC ，所以DD 1⊥AD ，DD 1⊥BD ， 分别以DA 、DB 、DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D —xyz ，则A (1,0,0)，B (0，3，0)，E (1,0，h )，所以DB →＝(0，3，0)，DE →＝(1,0，h )，AB →＝(－1，3，0)，AE →＝(0,0，h )， 设平面DBE 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧n 1·DB →＝0，n 1·DE →＝0，⎩⎨⎧3y 1＝0，x 1＋hz 1＝0，令z 1＝1，得n 1＝(－h,0,1)，同理，平面ABE 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎨⎧n 2·AB →＝0，n 2·AE →＝0，⎩⎨⎧－x 2＋3y 2＝0，hz 2＝0.∴n 2＝(3，1,0)．∴cos〈n1，n2〉＝|－3h|h2＋1·2＝cos 60°＝12.解得h＝22＜3，故存在点E，当AE＝22时，二面角D—BE—A等于60°.建立空间直角坐标系后用空间向量求空间角是高考重点考查内容，但已知空间角求相关量的题目，体现了逆向思维，更能考查学生分析问题和解决问题的能力，对此我们应高度重视．利用空间向量求解空间角问题(12分)如图4－3－9所示，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，AD ⊥CD ，AB ∥CD ，AB ＝AD ＝12CD ＝2，点M 在线段EC 上且不与E 、C 重合．图4－3－9(1)当点M 是EC 中点时，求证：BM ∥平面ADEF ； (2)当平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角的余弦值为66时，求三棱锥M —BDE 的体积． 【规范解答】 (1)以DA 、DC 、DE 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． 则A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,4,0)，E (0,0,2)，M (0,2,1)，2分 ∴BM →＝(－2,0,1)，平面ADEF 的一个法向量DC →＝(0,4,0)．∵BM →·DC →＝0，∴BM →⊥DC →，∴BM ⊥DC ， 即BM ∥平面ADEF .4分(2)依题意设M ⎝⎛⎭⎫0，t ，2－t2(0＜t ＜4)，设平面BDM 的法向量n 1＝(x ，y ，z )，则DB →·n ＝2x ＋2y ＝0，DM →·n ＝ty ＋⎝⎛⎭⎫2－t2z ＝0， 令y ＝－1，则n 1＝⎝⎛⎭⎫1，－1，2t4－t .平面ABF 的法向量n 2＝(1,0,0).6分∵|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝12＋4t2(4－t )2＝66， 解得t ＝2.8分∴M (0,2,1)为EC 的中点，S △DEM ＝12S △CDE ＝2，B 到平面DEM 的距离h ＝2，∴V M —BDE ＝V B —DEM ＝13·S △DEM ·h ＝43.12分【阅卷心语】易错提示 (1)解答本题(2)时，易因设不出点M 的坐标而无法求解． (2)不能把条件“平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角的余弦值为66”转化为方程，从而求出点M 的坐标，导致无法求解．防范措施 (1)欲要设出在线段上某点的坐标，可利用三点共线向量满足的条件，求出该点坐标，如本例中，可设EM →＝tEC →从而求出点M 的坐标(用t 表示)．(2)已知空间角的大小和求空间角的大小，在解题思路上完全一致，不同点是“已知空间角大小”最后应列出一个方程求参数的值．1．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，AA 1＝6，M 是CC 1的中点，则异面直线AB 1与A 1M 所成的角为________．【解析】 建立坐标系如图所示， 易得M ⎝⎛⎭⎫0，0，62，A 1(0，3，0)， A (0，3，6)，B 1(1,0,0)， 所以AB 1→＝(1，－3，－6)， A 1M →＝⎝⎛⎭⎫0，－3，62.所以AB 1→·A 1M →＝1×0＋3－62＝0，所以AB 1→⊥A 1M →，即AB 1⊥A 1M . 【答案】 90°2．在如图4－3－10所示的几何体中，△ABC 是边长为2的正三角形，AE ＞1，AE ⊥平面ABC ，平面BCD ⊥平面ABC ，BD ＝CD ，且BD ⊥CD .图4－3－10(1)若AE ＝2，求证：AC ∥平面BDE ； (2)若二面角A —DE —B 为60°，求AE 的长．【解】 (1)分别取BC ，BA ，BE 的中点M ，N ，P ，连接DM ，MN ，NP ，DP ，则MN ∥AC ，NP ∥AE ，且NP ＝12AE ＝1.因为BD ＝CD ，BC ＝2，M 为BC 的中点， 所以DM ⊥BC ，DM ＝1. 又因为平面BCD ⊥平面ABC ， 所以DM ⊥平面ABC . 又AE ⊥平面ABC ， 所以DM ∥AE ，所以DM ∥NP ，且DM ＝NP ，因此四边形DMNP 为平行四边形， 所以MN ∥DP ，所以AC ∥DP ，又AC ⊄平面BDE ，DP ⊂平面BDE ， 所以AC ∥平面BDE .(2)由(1)知DM ⊥平面ABC ，AM ⊥MB ， 建立如图所示的空间直角坐标系M —xyz .第 21 页 共 21 页设AE ＝h ，则M (0,0,0)，B (1,0,0)，D (0,0,1)，A (0，3，0)，E (0，3，h )，BD →＝(－1,0,1)，BE →＝(－1，3，h )．设平面BDE 的法向量n 1＝(x ，y ，z )．则⎩⎨⎧ BD →·n 1＝0，BE →·n 1＝0.所以⎩⎨⎧－x ＋z ＝0，－x ＋3y ＋zh ＝0. 令x ＝1，所以n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1－h 3，1， 又平面ADE 的法向量n 2＝(1,0,0)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝112＋12＋(1－h )23＝12. 解得h ＝6＋1，即AE ＝6＋1.。
2014高考数学理(真题讲练 规律总结 名师押题)热点专题突破：第一讲 集合与常用逻辑用语
第一讲 集合与常用逻辑用语集合元素与集合的关系集合的概念集合的表示方法集合与集合的关系包含关系子集真子集相等集合的运算交集补集并集常用逻辑用语四种命题及其相互关系逻辑联结词充分、必要条件全称量词与存在量词1．(集合的运算)设集合A ＝{x |1<x <4}，集合B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．(1,4) B ．(3,4) C ．(1,3)D ．(1,2)∪(3,4)【解析】 由x 2－2x －3≤0，得－1≤x ≤3. ∴B ＝[－1,3]，则∁R B ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)， 因此A ∩(∁R B )＝(3,4)． 【答案】 B2．(四种命题)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是________．【解析】 互换条件与结论，并进行否定． 逆否命题为：若tan α≠1，则α≠π4.【答案】 若tan α≠1，则α≠π43．(充要条件)已知p ：x 2>9，q ：x 2－56x ＋16>0，则p 是q 的__________条件．【解析】 ∵x 2>9⇒x >3或x <－3，x 2－56x ＋16>0⇒x <13或x >12.∴p ⇒q ，而q p ，故p 是q 的充分不必要条件．【答案】 充分不必要4．(逻辑联结词)设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则命题p ∨(綈q )是________命题(填“真”、“假”)【解析】 函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π，p 假．又x ＝π2不是函数y ＝cos x 的图象的对称轴，q 假，从而綈q 为真，故p ∨(綈q )是真命题．【答案】 真5．(命题的否定)已知命题p：∃n∈N*,2n＞1 000，则綈p为________．【解析】由于特称命题的否定是全称命题，因而綈p为∀n∈N*,2n≤1 000.【答案】∀n∈N*,2n≤1 000(1)(2013·山东高考)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是()A．1B．3C．5D．9(2)(2013·宝鸡模拟)设集合M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|，x∈R}，N＝{x||x－1i|<2，i为虚数单位，x∈R}，则M∩N为() A．(0,1) B．(0,1]C．[0,1) D．[0,1]【思路点拨】 1.弄清集合B中元素的构成，用列举法把集合B中的元素一一列举出来．2．求函数y＝|cos2x－sin2x|的值域得集合M，解不等式|x－1i|＜2，得集合N.【自主解答】(1)当x＝0，y＝0时，x－y＝0；当x＝0；y＝1时，x－y＝－1；当x＝0，y＝2时，x－y＝－2；当x＝1，y＝0时，x－y＝1；当x＝1，y＝1时，x－y＝0；当x＝1，y＝2时，x－y＝－1；当x＝2，y＝0时，x－y＝2；当x＝2，y＝1时，x－y＝1；当x＝2，y＝2时，x－y＝0.根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2,1,2，共5个．专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数(2)∵y＝|cos2x－sin2x|＝|cos2x |，则M ＝[0,1]． 又|x －1i |<2，得x 2＋1<2，∴－1<x <1，则N ＝(－1,1)， 因此 M ∩N ＝[0,1)． 【答案】 (1)C (2)C1．解答第(1)题一定要注意集合元素的互异性．2．进行集合运算，判定集合间关系，一定要重视数形结合思想方法的应用：(1)若给定集合涉及不等式的解集，要借助数轴；(2)若涉及抽象集合，要充分利用Venn 图；(3)若给定集合是点集，要注意借助函数图象．变式训练1 (1)(2013·济南模拟) 已知集合A ＝{x ||x －1|＜2}，B ＝{x |log 2x ＜2}，则A ∩B ＝( )A ．(－1,3)B ．(0,4)C ．(0,3)D ．(－1,4)(2)(2013·浙江高考)设集合S ＝{x |x ＞－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝( ) A ．(－2,1]B ．(－∞，－4]C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)【解析】 (1)由|x －1|＜2得－1＜x ＜3，∴A ＝(－1,3)． 由log 2x ＜2得0＜x ＜4，∴B ＝(0,4) ∴A ∩B ＝(0,3)．(2)因为S ＝{x |x ＞－2}，所以∁R S ＝{x |x ≤－2}．而T ＝{x |－4≤x ≤1}，所以(∁R S )∪T ＝{x |x ≤－2}∪{x |－4≤x ≤1}＝{x |x ≤1}．【答案】 (1)C (2)C错误!(1)(2013·武汉模拟)设m ，n 是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不正确．．．的是( ) A ．当m ⊂α时，“n ∥α”是“m ∥n ”的必要不充分条件 B ．当m ⊂α时，“m ⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件 C ．当n ⊥α时，“n ⊥β”是“α∥β”成立的充要条件 D ．当m ⊂α时，“n ⊥α”是“m ⊥n ”的充分不必要条件(2)(2013·安徽高考)“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【思路点拨】(1)利用线面、面面平行与垂直的判定、性质定理逐一判定p⇒q与q⇒p 是否成立．(2)利用函数的图象确定字母的取值范围，再利用充要条件的定义进行判断．【自主解答】(1)对于选项A，当m⊂α时，n∥αm∥n，且m∥n n∥α.故A 错；对于选项B，当m⊂α时，m⊥β⇒α⊥β，但α⊥βm⊥β.故B正确；对于选项C，当n⊥α时，n⊥β⇒α∥β，且α∥β⇒n⊥β.故C正确；对于选项D，当m⊂α时，n⊥α⇒m⊥n，但m⊥n n⊥α.故D正确．(2)当a＝0时，f(x)＝|(ax－1)x|＝|x|在区间(0，＋∞)上单调递增；当a＜0时，结合函数f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|的图象知函数在(0，＋∞)上单调递增，如图(1)所示：当a＞0时，结合函数f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|的图象知函数在(0，＋∞)上先增后减再增，不符合条件，如图(2)所示．所以，要使函数f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)上单调递增只需a≤0.即“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)上单调递增”的充要条件．【答案】(1)A(2)C1．判定充要条件应注意：(1)首先弄清条件p和结论q分别是什么，然后再判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假；(2)要善于举反例．2．判定p⇔q常用的方法：(1)定义；(2)等价的逆否命题的判定；(3)运用集合的包含关系．变式训练2 若实数a ，b 满足a ≥0，b ≥0，且ab ＝0，则称a 与b 互补，记φ(a ，b )＝a 2＋b 2－a －b ，那么φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的( )A ．必要而不充分的条件B ．充分而不必要的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件【解析】 若φ(a ，b )＝0，则a 2＋b 2＝a ＋b ，两边平方整理，得ab ＝0，且a ≥0，b ≥0，∴a ，b 互补．若a ，b 互补，则a ≥0，b ≥0，且ab ＝0， 即a ＝0，b ≥0或b ＝0，a ≥0， 此时都有φ(a ，b )＝0，∴φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的充要条件． 【答案】 C(1)(2013·湖北高考)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(綈p )∨(綈q )B ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨q(2)(2013·济宁模拟)已知命题“∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12＞0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．【思路点拨】 (1)根据逻辑联结词“或”“且”“非”的含义判断． (2)命题的否定是真命题，由此可求a 的取值范围．【自主解答】 (1)依题意得綈p ：“甲没有降落在指定范围”，綈q ：“乙没有降落在指定范围”，因此“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(綈p )∨(綈q )．(2)由题意知命题“∃x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是真命题．从而Δ＝(a －1)2－4≥0，∴a ≥3或a ≤－1. 【答案】 (1)A (2)(－∞，－1]∪[3，＋∞)1．命题真假的判断主要有以下几种方法：(1)涉及一个命题p 的真假，可根据命题特征进行判断．(2)关于四种命题真假的判断，可根据互为逆否命题的两个命题同真同假判断． (3)形如p ∧q ，p ∨q ，綈p 命题真假用真值表判断．(4)判断一个全称命题和特称命题的真假，要注意举特例方法的应用．2．利用命题的真假求参数的取值范围的方法： (1)对命题进行合理转化，求出命题为真时参数的范围． (2)根据真值表确定命题的真假，从而确定相应参数的范围．变式训练3 (2013·四川高考)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )A ．綈p ：∀x ∈A,2x ∉B B ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉BC ．綈p ：∃x ∉A,2x ∈BD ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉B【解析】 命题p 是全称命题： ∀x ∈A,2x ∈B ，则綈p 是特称命题：∃x ∈A,2x ∉B .故选D.【答案】 D全称命题和特称命题是新课标新增内容，其命题的否定和真假判断，体现了数学的两种思维方式，是高考重点考查的内容，2013年，山东、辽宁、安徽等省份对此作了考查，预测2014年高考，根据命题的真假求参数的取值范围，是命题的一个方向，应引起高度重视．用等价转化的方法求参数的取值范围(12分)已知函数f (x )＝m (x －2m )·(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2，若同时满足条件：①∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0；②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0.求m 的取值范围．【规范解答】 由g (x )＝2x －2<0，得x <1， 在条件①中，∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0， 当x ≥1时，必有f (x )<0恒成立，则m <0.3分 因此⎩⎪⎨⎪⎧2m <0，－(m ＋3)<1.解之得－4<m <0(*).5分在条件②中，∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0. ∵g (x )＝2x －2<0恒成立，因此，问题转化为∃x ∈(－∞，－4)时，f (x )>0， ∴f (x )＝0的最小实根小于－4.8分(i)当－1<m <0时，有－m －3<2m ，∴－m－3<－4，m>1与m<0矛盾，舍去．(ii)当m<－1时，有2m<－m－3，∴应有2m<－4，∴m<－2.(iii)当m＝－1时，f(x)＝－(x＋2)2≤0恒成立，不满足条件②，所以由(i)、(ii)、(iii)知，满足条件②，应有m<－2(**).11分根据(*)、(**)知－4<m<－2.故实数m的取值范围为(－4，－2). 12分【阅卷心语】易错提示(1)全称命题，特称命题理解不清，难以把条件转化为判定f(x)与0大小关系．(2)数形结合与化归能力差．不能判定m<0，将条件①化为f(x)＝0的较大根小于1，条件②中的较小根小于－4.防范措施(1)全称命题强调的是“任意性”，从而可把问题转化为恒成立问题解决；特称命题强调的是“存在性”，从而可把问题转化为方程f(x)＝0在(－∞，－4)上有一个实根．(2)结合二次函数的图象，形象直观进行不等式与方程之间相互转化；对于f(x)＝0的最小实根小于－4，一定要根据m的取值范围，确定2m与－m－3的大小．1．下列有关命题的说法正确的是()A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2＝1，则x≠1”B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得：x2＋x＋1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2＋x＋1＜0”D．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题【解析】对于选项A，命题的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故A错；对于选项B，x＝－1⇒x2－5x－6＝0但x2－5x－6＝0x＝－1，故B错；对于选项C，命题的否定是“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0”，故C错；对于选项D，命题“若x＝y，则sin x＝sin y”是真命题，从而其逆否命题也是真命题，故D正确．【答案】 D2．设集合A＝{5，log2(a＋3)}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝________.【解析】由A∩B＝{2}知，log2(a＋3)＝2，∴a＝1，b＝2.从而A＝{2,5}，B＝{1,2}，∴A∪B＝{1,2,5}．【答案】{1,2,5}。
2014年高考押题精粹(数学理)答案及解析
2014年金太阳高考押题精粹(数学理课标版)（30道选择题+20道非选择题）【参考答案及点评】二．选择题（30道）1. 【答案】B2. 【答案】A【点评】:集合问题是高考必考内容之一，题目相对简单.集合的表示法有列举法、描述法、图示法三种，高考中与集合的子，交，并，补相结合，侧重考查简单的不等式的有关知识。
3. 【答案】C4. 【答案】A【点评】:3、4题考查的是复数有关知识。
复数主要内容有：复数的四则运算、复数的模、共轭复数、复平面、复数概念等，理科一般都只考简单的复数乘除法运算，且比较常规化。
5. 【答案】C 6. 【答案】B【点评】:上面5、6题是简易逻辑的内容，简易逻辑内容有：命题的或、且、非；四种命题；充分、必要条件；全称命题和特称命题。
作为高考内容的重要组成部分，也是各省高考常见题型，特别是对充分、必要条件与全称命题和特称命题的考查。
单独考查简易逻辑相关的概念不多见，按照近几年高考真题的特点来讲，结合其他知识点一同考查是总趋势，如5题。
一般和不等式相结合的也时有出现，如6题。
7. 【答案】B 8. 【答案】B【点评】:7,8题考查的内容是程序框图。
程序框图题型一般有两种，一种是根据完整的程序框图计算，如题7；一种是根据题意补全程序框图，如题8.程序框图一般与函数知识和数列知识相结合，一般结合数列比较多见，特别经过多年的高考，越来越新颖、成熟。
9. 【答案】D【解析】根据sin(π+α）=αsin -可知“若函数的图像)3x sin()(πω+=x f 向右平移3π个单位后与原函数的图像关于x轴对称”则至少变为）ππω-+=3sin()(x x g ，于是.3333x 的最小正值是则ωππωππω-+→+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 10. 【答案】A 11. 【答案】A【解析】.6,0232cos ,3sin 3sin sin sin 222222A C C ab c b a C ab c b a B a C c B b A a ，选故，又所以即ππ=<<=-+==-+=-+ 【点评】:三角函数内容在新课标全国高考试卷中，一般考察三角函数图象的平移，函数单调性，依据函数图象确定相关系数等问题，另外三角函数在解三角形中的应用也不容忽视。
高考考前复习：2014年高考数学押题复习技巧_答题技巧
高考考前复习：2014年高考数学押题复习技巧_答题技巧高考考前复习：2014年高考数学押题复习技巧【摘要】查字典数学网为大家带来高考考前复习：2014年高考数学押题复习技巧，希望大家喜欢下文!函数与导数押题范围：函数主要考查函数与方程、函数与数列、函数与不等式的相互渗透和交叉。
抽象函数问题、函数与向量结合、函数与概率统计结合。
导数主要考查导数的定义、导数的几何意义、导数的物理意义、求导的公式和求导的法则、函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性。
这些部分都以简单、中等题出现。
难题部分将导数与不等式、函数、解析几何等知识有机地结合在一起，设计综合试题。
有了这些我们整理出来的内容做指引，那么我们很容易将题归类，容易根据自己的优缺点重点去押题，去突破。
再说技巧，过于特殊的技巧，针对性过于特殊的技巧或技巧就不要考虑了，奉劝诸位，一天一道题、一天一个思想只能害了你。
只有一天一类题、思想归类才是做题的根本。
如我们玖久教育提倡从题目信息角度出发式的做题方法、思维方式，就属于放在哪里都能用上的。
我们提倡同学们这阶段复习的方法和技巧仍旧是基础知识点的理解，而不是简单的记背。
对概念形成应用上的认识。
知道公式定理怎么来、怎么去才是做题的根本。
在解答选择题方面上，虽然讲究的技巧是不择手段，但从根源上说是利用题目的一切信息，尤其是选项比较。
在解答题方面上，常规方法为主，大家常用的有数形结合、判别式、数学归纳法、构造同分母等等。
这些虽然细致，但是用惯了就成。
整体的解题思维希望大家统一为题目让干什么，我们做什么，完全跟着题目走，尽量少用知识点去套用。
当然，一眼看出可以套用的，不用就傻了。
这段时间，我们简单阐述一下数学的考点以及押题的方向，给同学们做个参考。
函数与导数押题方向见上文，通用备考方法和技巧：数形结合、取值范围、极值点概率与统计(偏重文科押题方向，简单、中等题，难题不出)：涉及等可能事件，互斥事件，对立事件，独立事件的概率的求法。
2014高考数学理(真题讲练 规律总结 名师押题)热点专题突破：第八讲 平面向量
第八讲 平面向量1．(向量平行的坐标表示)(2013·陕西高考)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2)，若a ∥b ，则实数m 等于( )A ．－2 B. 2 C ．－2或 2D ．0【解析】 由a ∥b ⇒m 2＝1×2⇒m ＝2或m ＝－ 2. 【答案】 C2．(向量的线性运算)(2013·四川高考)在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________.【解析】 由向量加法的平行四边形法则，得AB →＋AD →＝AC →. 又O 是AC 的中点，∴AC ＝2AO ，∴AC →＝2AO →， ∴AB →＋AD →＝2AO →. 又AB →＋AD →＝λAO →，∴λ＝2. 【答案】 23．(向量的数量积)(2013·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(－1，t )，OB →＝(2,2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．【解析】 ∵∠ABO ＝90°，∴AB →⊥OB →，∴OB →·AB →＝0. 又AB →＝OB →－OA →＝(2,2)－(－1，t )＝(3,2－t )， ∴(2,2)·(3,2－t )＝6＋2(2－t )＝0. ∴t ＝5.【答案】 54．(平面向量的基本定理)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图2－3－1所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.图2－3－1【解析】 以向量a 的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)．由c ＝λa ＋ μb ，即(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，故λ＝－2，μ＝－12，则λμ＝4.【答案】 45．(向量数量积的性质)(2013·安徽高考)若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 夹角的余弦值为________．【解析】 由|a |＝|a ＋2b |，两边平方，得|a |2＝(a ＋2b )2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ，所以a ·b ＝－|b |2.又|a |＝3|b |，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－|b |23|b |2＝－13. 【答案】 －13(1)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若a －2b 与c 共线，则k ＝________.(2)(2013·山东高考)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．【思路点拨】 (1)求向量a －2b 的坐标，再依据向量共线的条件求k .(2)以AB →，AC →为基底，利用向量垂直的充要条件，表示出关于λ的方程，进而确定参数的值．【自主解答】 (1)a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)， ∴a －2b ＝(3，3)．又(a －2b )∥c ，且c ＝(k ，3)． 从而3×3－3k ＝0，∴k ＝1. (2)∵BC →＝AC →－AB →，AP →＝λAB →＋AC →， 又AP →⊥BC →， ∴AP →·BC →＝0.则(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →) ＝(λ－1)AB →·AC →－λAB →2＋AC →2＝(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12－λ×9＋4＝0，∴λ＝712. 【答案】 (1)1 (2)7121．第(1)题主要利用向量共线的坐标表示．第(2)题运用平面向量垂直的条件是解题的关键，本题易出现“BC →＝OB →－OC →”这种错误，解题时要特别注意．2．运用向量加减法解决几何问题时，需要发现或构造三角形或平行四边形．使用三角形加法法则要特别注意“首尾相接”；使用减法法则时，向量一定“共起点”．变式训练1 (1)(2013·湖北高考改编)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为________．(2)△ABC 中，AB 边的高为CD ，若CB →＝a ，CA →＝b ，a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD →＝( ) A.13a －13b B.23a －23b C.35a －35bD.45a －45b 【解析】 (1)AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，∴AB →在CD →方向上的投影是AB →·CD →|CD →|＝2×5＋1×552＋52＝322.(2) 如图，∵a ·b ＝0，∴a ⊥b ， ∴∠ACB ＝90°， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝ 5. 又CD ⊥AB ，∴AC 2＝AD ·AB ，∴AD ＝455.∴AD →＝45AB →＝45(a －b )＝45a －45b .【答案】 (1)322(2)D(1)(2013·湖南高考)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的最大值为( )A.2－1B. 2C.2＋1D.2＋2(2)在平面直角坐标系中，点O (0,0)，P (6,8)，将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转3π4后得向量OQ →，则点Q 的坐标是________．【思路点拨】 (1)由a·b ＝0，求出|a ＋b |的值，利用向量模的性质求|c |的最大值．(2)依据向量的夹角与模的计算公式求解．【自主解答】 (1)∵|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝2， ∴|a ＋b |＝2， 又|c －a －b |＝1，∴|c |－|a ＋b |≤|c －a －b |＝1. 从而|c |≤|a ＋b |＋1＝2＋1.(2)设点Q (x ，y )，由|OP →|＝|OQ →|，得 x 2＋y 2＝100.①∵向量OQ →与OP →的夹角为3π4，且点Q 在第三象限，∴cos 3π4＝OP →·OQ →|OP →|·|OQ →|＝(x ，y )·(6，8)10×10＝6x ＋8y 100＝－22.∴6x ＋8y ＝－50 2.②由①②得⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝－72或⎩⎨⎧x ＝－72，y ＝－ 2.又∵点Q 在第三象限，∴点Q 的坐标为(－72，－2)． 【答案】 (1)C (2)(－72，－2)1．第(1)题求解的关键是利用数量积的性质，求出|a ＋b |＝2，第(2)题主要利用向量模与夹角的性质，转化为代数运算，该题常见的错误是忽视隐含条件(点Q 在第三象限)导致增解．2．向量的坐标表示，可使向量运算代数化；从而用代数方法研究几何问题，有关向量的长度、夹角与垂直问题常运用平面向量的数量积的性质解决．变式训练2 (2013·天津高考)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．【解析】 设AB 的长为a (a >0)，因为AC →＝AB →＋AD →，BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12AB →，于是AC →·BE →＝(AB →＋AD →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →＝12AB →·AD →－12AB →2＋AD →2＝－12a 2＋14a ＋1，由已知可得－12a 2＋14a ＋1＝1.又a >0，∴a ＝12，即AB 的长为12.【答案】 12(2013·连云港质检)已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝(3A cos x ，A2cos 2x )(A >0)，函数f (x )＝m·n 的最大值为6.(1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在[0，5π24]上的值域． 【思路点拨】 (1)利用数量积的意义，求f (x )并化简，由f (x )的最大值求A .(2)依据图象变换求g (x )的解析式，进而确定函数g (x )的值域．【自主解答】 (1)f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A2cos 2x＝A (32sin 2x ＋12cos 2x )＝A sin(2x ＋π6)． 因为A >0，由题意知A ＝6. (2)由(1)得f (x )＝6sin(2x ＋π6)．将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位后得到y ＝6sin[2(x ＋π12)＋π6]＝6sin(2x ＋π3)的图象；再将得到的图象上各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到y ＝6sin(4x ＋π3)的图象．因此g (x )＝6sin(4x ＋π3)．由x ∈[0，5π24]，知π3≤4x ＋π3≤76π，∴－12≤sin(4x ＋π3)≤1，故函数g (x )，x ∈[0，5π24]上的值域为[－3,6]．1．本题以向量的数量积为载体考查三角恒等变换，三角函数的图象与性质，常见的错误主要是第(2)问中混淆平移变换的意义，错求g (x )＝6sin(4x ＋π4)．2．平面向量与三角函数结合的题目的解题思路通常是将向量的数量积与模经过坐标运算后转化为三角问题，然后利用三角函数基本公式求解，常用到向量的数量积、向量的代数运算，以及数形结合思想．变式训练3 (2013·辽宁高考)设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)若|a|＝|b|，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．【解】 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，|b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1， 及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6. (2)f (x )＝a·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12， 当x ＝π3∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6取最大值1. 所以f (x )的最大值为32.向量的数量积运算、向量的垂直是高考考查的热点，属中低档题目．平面向量数量积的计算，向量垂直条件与数量积的性质常以客观题形式命题，重点考查运算能力与数形结合思想．数形结合求解向量数量积问题(2013·郑州模拟)设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a·b ＝－12，<a －c ，b－c >＝60°，则|c |的最大值等于( )A ．2 B.3 C.2 D ．1【解析】 ∵a·b ＝－12，且|a |＝|b |＝1，∴cos<a ，b >＝a·b|a ||b |＝－12.∴<a ，b >＝120°.如图所示，将a ，b ，c 的起点平移至同一点O ，则a －c ＝CA →，b －c ＝CB →，∠ACB ＝60°，于是四点A ，O ，B ，C 共圆．即点C 在△AOB 的外接圆上，故当OC 为直径时，|c |取最大值． 由余弦定理，得AB ＝OA 2＋OB 2－2·OA ·OB ·cos<a ，b >＝3， 由正弦定理，得2R ＝AB sin 120°＝2，即|c |的最大值为2.【答案】 A 【阅卷心语】易错提示 (1)数形结合意识不强，难以入手，不懂运用几何性质，盲目求解，无果而终．(2)在△AOB 的边角计算中，运算能力差，导致计算错误．防范措施 (1)树立数形结合意识，向量是数形结合的载体，解答本题的关键在于将向量a ，b ，c 的起点平移至同一点O ，根据题设条件，得到A ，O ，B ，C 四点共圆．(2)重视平面向量的工具性作用，加强向量与几何、三角交汇问题的训练．1．在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( ) A.5 B ．25 C ．5 D ．10【解析】 ∵AC →·BD →＝(1,2)·(－4,2)＝－4＋4＝0，∴AC →⊥BD →，∴S 四边形ABCD ＝12|AC →|·|BD →|＝12×5×25＝5. 【答案】 C2．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2.设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R .若BQ →·CP →＝－32，则λ＝________.【解析】 在等边△ABC 中，|AB →|＝|AC →|＝2， ∴AB →·AC →＝|AC →|·|AB →|cos 60°＝2.又BQ →＝BA →＋AQ →＝(1－λ)AC →－AB →， CP →＝CA →＋AP →＝λAB →－AC →，∴BQ →·CP →＝[(1－λ)AC →－AB →]·(λAB →－AC →)＝－32，即λ(1－λ)AC →·AB →－λAB →2－(1－λ)AC →2＋AB →·AC →＝－32.化简得4λ2－4λ＋1＝0，所以λ＝12.【答案】 12。
2014高考数学理(真题讲练 规律总结 名师押题)热点专题突破：第二讲 函数的图象与性质
第二讲 函数的图象与性质函数映射定义基本初等函数(Ⅰ)指数函数幂函数对数函数定义、图象、性质定义表示法解析法列表法图象法图象常见函数的图象函数图象变换平移变换伸缩变换对称变换性质最大(小)值单调性周期性对称性奇偶性1．(函数的定义域)若f (x )＝，则f (x )的定义域为__________．【解析】 要使f (x )有意义，需log 12(2x ＋1)>0＝log 121，∴0<2x ＋1<1，∴－12<x <0.【答案】 (－12，0)2．(分段函数求值)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，⎝⎛⎭⎫12x ，x ＜0，则f (f (－4))＝________.【解析】 ∵f (－4)＝⎝⎛⎭⎫12－4＝16， ∴f (f (－4))＝f (16)＝16＝4. 【答案】 43．(函数的奇偶性与周期性)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为3，且x ∈⎝⎛⎭⎫－32，0时，f (x )＝log 2(－3x ＋1)，则f (2 014)＝________. 【解析】 由函数的周期性知，f (2 014)＝f (671×3＋1)＝f (1)， 由－1∈⎝⎛⎭⎫－32，0知f (－1)＝log 24＝2.又函数f (x )是奇函数，从而f (2 014)＝f (1)＝－f (－1)＝－2. 【答案】 －24．(函数的单调性)设a ＝⎝⎛⎭⎫120.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是________． 【解析】 由函数y ＝x 0.5在(0，＋∞)上为增函数知，0.30.5＜⎝⎛⎭⎫120.5＜10.5＝1. 又c ＝log 0.30.2＞log 0.30.3＝1， ∴c ＞a ＞b . 【答案】 c ＞a ＞b5．(函数图象变换)若函数y ＝f (x )的图象关于点(5,0)对称，则把f (x )的图象向________ 才能使函数y ＝f (x )变为奇函数．【解析】 奇函数的图象关于原点(0,0)对称，故需把y ＝f (x )向左平移5个单位． 【答案】 左平移5个单位(1)(2013·山东高考)函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为( ) A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1](2)(2013·无锡模拟)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为 ________．【思路点拨】 (1)根据函数式的特点，转化为关于x 的不等式组求解．(2)欲求f (1－a )与f (1＋a )，关键在于判定1－a 、1＋a 与1的大小关系．因此分a >0和a <0两种情况求解．【自主解答】 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＞－3， ∴－3＜x ≤0.(2)①当1－a <1，即a >0时a ＋1>1， 由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ，∴a ＝－32(舍去)；②当1－a >1，即a <0时， 此时a ＋1<1， 由f (1－a )＝f (1＋a )．得2(1＋a )＋a ＝－(1－a )－2a ，∴a ＝－34，综上所述，a ＝－34.【答案】 (1)A (2)－341．第(2)小题的求解关键在于确定f (1－a )与f (1＋a )的值，应重点讨论1＋a 与1－a 和1的大小关系．2．(1)函数的定义域应使每个含有自变量的式子都有意义．(2)求f (g (x ))类型的函数值时，应遵循先内后外的原则，而对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解，特别地对具有周期性的函数求值要用好其周期性．变式训练1 (2013·辽宁高考)已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋f (lg 12)＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 【解析】 ∵f (lg 2)＝ln(1＋9(lg 2)2－3lg 2)＋1， f (lg 12)＝f (－lg 2)＝ln(1＋9(lg 2)2＋3lg 2)＋1，∴f (lg 2)＋f (lg 12)＝ln(1＋9(lg 2)2－3lg 2)＋ln(1＋9(lg 2)2＋3lg 2)＋2 ＝ln 1＋2＝2. 【答案】 D(1)(2013·课标全国卷Ⅰ)函数f (x )＝(1－cos x )·sin x 在[－π，π]的大致图象为( )(2)(2013·荆州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，(x －1)3，x <2，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．【思路点拨】 (1)利用函数的奇偶性、特殊值及极值点排除． (2)作出函数f (x )的图象简图，数形结合确定实数k 的取值范围． 【自主解答】 (1)在[－π，π]上，∵f (－x )＝[1－cos(－x )]sin(－x )＝－(1－cos x )sin x ＝－f (x )． ∴函数f (x )是奇函数，排除B.又f ⎝⎛⎭⎫π2＝⎝⎛⎭⎫1－cos π2sin π2＝1＞0，排除A. f ′(x )＝sin x ·sin x ＋(1－cos x )cos x ＝－2cos 2x ＋cos x ＋1， 令f ′(x )＝0，则cos x ＝1或cos x ＝－12.则f (x )在(0，π]上的极值点为23π，靠近π，故选C.(2)函数f (x )的图象，如图所示：由图象知，当0<k<1时，函数y＝f(x)的图象与直线y＝k有两个不同的交点，即方程f(x)＝k有两个不同的实根．因此，实数k的取值范围是(0,1)．【答案】(1)C(2)(0,1)1．第(1)题易错选D，原因是忽视了函数极值的位置；第(2)题求解的关键是正确画出f(x)的简图，特别是当x＜2时，f(x)＝(x－1)3的图象．2．在观察、分析图象时，要注意图象的分布及变化趋势，尤其是函数的奇偶性以及极值点、特殊点的函数值等，找准解析式与图象的对应关系．3．函数图象形象地展示了函数的性质(如单调性、奇偶性、最值等)，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，因此常用函数的图象研究函数的性质，求解方程(不等式)中的参数取值等．变式训练2(1)(2013·四川高考)函数y＝x33x－1的图象大致是()(2)(2013·北京高考)函数f (x )的图象向右平移一个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( )A ．e x ＋1B ．e x －1C ．e－x ＋1D ．e－x －1【解析】 (1)由3x－1≠0得x ≠0，∴函数y ＝x 33x －1的定义域为{x |x ≠0}，可排除选项A ；当x ＝－1时，y ＝(－1)313－1＝32>0，可排除选项B ；当x ＝2时，y ＝1，当x ＝4时，y ＝6480，排除D ，故选C.(2)曲线y ＝e x 关于y 轴对称的曲线为y ＝e －x ，将y ＝e －x 的图象向左平移1个单位长度得到y ＝e－(x ＋1)，即f (x )＝e－x －1.【答案】 (1)C (2)D(1)(2013·湖北高考)x 为实数，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数f (x )＝x －[x ]在R 上为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．周期函数(2)设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝(12)1－x ，则①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0. 其中所有正确命题的序号是________．【思路点拨】 (1)把函数f (x )写成分段函数的形式，画出其图象判断．(2)由题设条件f (x ＋1)＝f (x －1)及函数的奇偶性，可知2是函数的周期，根据对称性、周期性，结合f (x )＝(12)1－x ，x ∈[0,1]的图象，进一步判定②③.【自主解答】(1)f (x )＝x －[x ]＝⎩⎪⎨⎪⎧…… …，x ＋1 －1≤x ＜0，x 0≤x ＜1，x －1 1≤x ＜2，…… …图象如图所示：由图象知函数f (x )是周期函数，故选D.(2)在f (x ＋1)＝f (x －1)中，令x －1＝t ，则有f (t ＋2)＝f (t )，因此2是函数f (x )的周期，故①正确， 由于f (x )是偶函数，所以f (x －1)＝f (1－x )， 结合f (x ＋1)＝f (x －1)得f (1＋x )＝f (1－x )， 故f (x )的图象关于x ＝1对称．当x ∈[0,1]时，f (x )＝(12)1－x ＝2x －1单调递增，所以f (x )在(1,2)上单调递减，在(2,3)上是增函数，故②正确．由②知，f (x )在一个周期区间[0,2]上的最大值为f (1)＝1，最小值为f (0)＝f (2)＝12，所以函数f (x )的最大值为1，最小值为12，故③不正确．【答案】 (1)D (2)①②1．解答第(1)题时，无法使用定义，故需画出函数的图象；第(2)题求解的关键是借助恒等式求出函数的周期．2．若函数f (x )满足f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f (x )(a 为常数，且a ≠0)，则2a 为f (x )的一个周期，若满足f (x ＋a )＝f (－x ＋b )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．在解题时，应根据需要，借助函数的奇偶性灵活变形．变式训练3 (1)(2013·天津高考)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1,2] B(0，12]C ．[12，2]D ．(0,2](2)设奇函数y ＝f (x )(x ∈R )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32的值等于________． 【解析】 (1)∵f (log 12a )＝f (－log 2a )＝f (log 2a )，∴原不等式可化为f (log 2a )≤f (1)．又∵f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，且为偶函数， ∴－1≤log 2a ≤1，即12≤a ≤2.(2)由函数f (x )是奇函数且f (t )＝f (1－t )得f (t ＋1)＝－f (t )，从而f (t ＋2)＝f (t )，即函数f (x )的一个周期为2，∴f (3)＝f (1)＝f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－14，∴f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32＝0＋⎝⎛⎭⎫－14＝－14. 【答案】 (1)C (2)－14分段函数近几年频频出现在高考题中，因为它能深层次考查函数的有关性质，以及分类讨论思想，故成为高考的热点，其中分段函数的奇偶性和单调性应引起我们的高度重视．分段函数问题的分类求解策略(12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 【规范解答】 (1)∵函数f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x ).2分当x >0时，－x <0，有(－x )2－mx ＝－(－x 2＋2x )， 即x 2－mx ＝x 2－2x . ∴m ＝2.6分(2)由(1)知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋2x ，x <0，当x >0时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，∴x ∈[1，＋∞)时，f (x )单调递减；x ∈(0,1]时，f (x )单调递增.8分当x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∴当x ∈(－∞，－1]时，f (x )单调递减； x ∈[－1,0)时，f (x )单调递增．综上知：函数f (x )在[－1,1]上单调递增， 10分又函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增．∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，解之得1<a ≤3. 故实数a 的取值范围是(1,3].12分【阅卷心语】易错提示 本题常见的错误有两点：(1)求m 值时，不是通过运算求m ，而是受思维定势的消极影响，想当然认为m ＝－2，从而出现错误．(2)不能由分段函数求得f (x )在R 上的单调递增区间，从而导致求不出a 或出现错误答案． 防范措施 (1)解决本题要抓住分段函数奇偶性的定义，可设x >0或x <0，从而－x <0或－x >0，这样可代入解析式求m .(2)可通过f (x )的图象直观地看出函数f (x )的单调区间．有关分段函数的单调性问题，不但要注意每一段上的单调性，还应注意“接点”处函数值的大小．1．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x )＝x 2＋2x (x ≥0)，若f (3－a 2)＞f (2a )，则实数a 的取值范围是____．第 11 页 共 11 页 【解析】 f (x )＝(x ＋1)2－1在[0，＋∞)上是增函数，又因为f (x )是R 上的奇函数，所以函数f (x )是R 上的增函数，要使f (3－a 2)＞f (2a )只需3－a 2＞2a ，解得－3＜a ＜1.【答案】 (－3,1)2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1， －2≤x ≤0，x －1， 0＜x ≤2，若函数g (x )＝f (x )－ax ，x ∈[－2,2]为偶函数，则实数a 的值为________．【解析】 g (x )＝f (x )－ax ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1－ax ， －2≤x ≤0，(1－a )x －1， 0＜x ≤2. 设0＜x ≤2，则－2≤－x ＜0，由g (－x )＝g (x )得－1－a (－x )＝(1－a )x －1，∴1－a ＝a ，解得a ＝12. 【答案】 12。
2014高考数学理(真题讲练 规律总结 名师押题)热点专题突破：第二十讲 统计、统计案例
第二十讲统计、统计案例1．(抽样方法)(2013·湖南高考)某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是()A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法【解析】由于是调查男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在差异，因此用分层抽样方法．【答案】 D2．(茎叶图)(2013·重庆高考)以下茎叶图6－3－1记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分).已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为() A．2,5B．5,5C．5,8D．8,8【解析】由于甲组数据的中位数为15＝10＋x，∴x＝5.又乙组数据的平均数为9＋15＋(10＋y )＋18＋245＝16.8，∴y ＝8.∴x ，y 的值分别为5,8. 【答案】 C3．(回归分析)(2013·湖北高考)四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423；②y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648；③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493；④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578.其中一定不正确．．．的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④【解析】 由正负相关性的定义知①④一定不正确． 【答案】 D4．(样本估计总体)(2013·辽宁高考)某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )图6－3－2A ．45B ．50C ．55D ．60【解析】 根据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以该班的学生人数是150.3＝50. 【答案】 B5．(独立性检验)为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：已知P (K 2≥3.841)≈根据表中数据，得到k ＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为_____．【解析】 ∵k ≈4.844，这表明小概率事件发生．根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性约为5%.【答案】 5%(1)(2012·山东高考)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为( )A ．7B ．9C ．10D ．15(2)一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人，按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是________．【思路点拨】(1)确定抽样间隔→确定抽样号码→借助等差数列求做问卷B 的人数(2)确定女运动员的人数→按比例抽取【自主解答】 (1)由系统抽样的特点知：抽取号码的间隔为96032＝30，抽取的号码依次为9,39,69， (939)落入区间[451,750]的有459,489，…，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n 项，显然有729＝459＋(n －1)×30，解得n ＝10.所以做问卷B 的有10人．(2)依题意，女运动员有98－56＝42(人)．设应抽取女运动员x 人，根据分层抽样特点，得x 42＝2898，解得x ＝12.【答案】(1)C(2)121．理解三种抽样方法的特征，根据适用范围选择抽样方法进行计算．2．三种抽样方法的异同点变式训练1(1)(2013·陕西高考)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为()A．11B．12C．13D．14(2)(2013·合肥模拟)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图6－3－3)．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，按下图横轴表示的月收入情况分成六层，再从这10 000人中用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则在[2 500,3 000)(元)月收入层中应抽出的人数为________．图6－3－3【解析】 (1)抽样间隔为84042＝20.设在1,2，…，20中抽取号码x 0(x 0∈[1,20])，在[481,720]之间抽取的号码记为20k ＋x 0，则481≤20k ＋x 0≤720，k ∈N *.∴24120≤k ＋x 020≤36.∵x 020∈⎣⎡⎦⎤120，1，∴k ＝24,25,26，…，35， ∴k 值共有35－24＋1＝12(个)，即所求人数为12.(2)由直方图可知月收入在[2 500,3 000)的频率为0.000 5×500＝0.25，再由分层抽样的特征得100人中在[2 500，3 000)中应该抽出25人．【答案】 (1)B (2)25(2013·惠州质检)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图6－3－4所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．图6－3－4(1)求图中a 的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x )与数学成绩相应分数段的人数(y )之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数．点的横坐标之和即为平均分．(3)求出每个分数段上语文成绩的人数，按比例关系得出相应段上数学成绩的人数，求出数学成绩在[50,90)之外的人数．【自主解答】 (1)由频率分布直方图知(2a ＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a ＝0.005. (2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10＋65×0.04×10＋75×0.03×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝73(分)．(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分数段的人数依次为0.005×10×100＝5,0.04×10×100＝40,0.03×10×100＝30,0.02×10×100＝20.由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5,40×12＝20,30×43＝40,20×54＝25.故数学成绩在[50,90)之外的人数为100－(5＋20＋40＋25)＝10.1．本题在求解过程中，常误认为直方图的高是频率而导致计算错误． 2．在频率分布直方图中估计中位数和平均数的方法(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等． (2)平均数：在频率分布直方图中，平均数等于图中每个小矩形面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．3．平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．变式训练2 (2013·安徽高考)为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如图6－3－5.图6－3－5(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为x 1，x 2，估计x 1－x 2的值．【解】 (1)设甲校高三年级学生总人数为n . 由题意知30n＝0.05，解得n ＝600.样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5，据此估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率为1－530＝56.(2)设甲、乙两校样本平均数分别为x ′1，x ′2.根据样本茎叶图可知30(x ′1－x ′2)＝30x ′1－30x ′2＝(7－5)＋(55＋8－14)＋(24－12－65)＋(26－24－79)＋(22－20)＋92＝2＋49－53－77＋2＋92＝15.因此x ′1－x ′2＝0.5.故x 1－x 2的估计值为0.5分．(2013·重庆高考)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑i ＝110x i ＝80，∑i ＝110y i ＝20，∑i ＝110x i y i ＝184，∑i ＝1100x 2i ＝720.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x ，其中x ，y 为样本平均值．【思路点拨】 (1)求x ，y ，代入求b ^，a ^；得回归直线方程；(2)根据回归方程作出判断与预测．【自主解答】 (1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑i ＝1n x i ＝8010＝8，y ＝1n ∑i ＝1n y i ＝2010＝2，又l xx ＝∑i ＝1nx 2i －n x 2＝720－10×82＝80，l xy ＝ i ＝1nx i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24，由此得b ^＝l xyl xx ＝2480＝0.3，a ^＝y －b ^x ＝2－0.3×8＝－0.4.故所求线性回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ^＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．1．正确理解计算b ^、a ^的公式和准确的计算，是求线性回归方程的关键． 2．回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^必过样本点中心(x ，y )．3．在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．变式训练3 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)【解】 (1)由于x ＝16(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，y ＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，又b ^＝－20，所以a ^＝y －b ^x ＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ^＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得 L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250) ＝－20x 2＋330x －1 000 ＝－20(x －8.25)2＋361.25.当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：图6－3－6将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？(2)方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)．附：K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).【思路点拨】 (1)由频率分布直方图分别求“体育迷”的总人数，男“体育迷”的人数，填2×2列联表，计算K 2并作出判断．(2)X 服从二项分布，利用公式求E (X )和D (X )．【自主解答】 (1)由频率分布直方图，“体育迷”的频率是(0.005＋0.020)×10＝0.25. ∴“体育迷”观众共有100×0.25＝25人， 因此，男“体育迷”观众有25－10＝15人． 由此可列2×2的列联表如下：将k ＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝100(30×10－45×15)275×25×45×55 ＝10033≈3.030. ∵3.030＜3.841.∴我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14.由题意知X ～B (3，14)，从而X 的分布列为E (X )＝np ＝3×14＝34，D (X )＝np (1－p )＝3×14×34＝916.1．求解本题的关键是利用频率分布直方图提供的信息列2×2列联表．2．解决独立性检验问题的关键是正确作出2×2列联表，然后利用K 2的计算公式求出其观测值，然后对照临界值，作出结论．3．由于X ～B ⎝⎛⎭⎫3，14，利用二项分布的性质与计算公式简化运算． 变式训练4 (2013·福建高考)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．25周岁以上组25周岁以下组 图6－3－7(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)．∴日平均生产件数不足60件的工人有3＋2＝5人．从5人中任取2人有n＝C25＝10种取法．记“至少抽到一名25周岁以下组”为事件A，则A表示“抽到的2人均是25周岁以上组”．∵P(A)＝C2310＝310＝0.3.故P(A)＝1－P(A)＝1－0.3＝0.7.(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手40×0.375＝15(人)，因此可列2×2的列联表如下：所以得K2＝n(ad－bc)(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＝100×(15×25－15×45)260×40×30×70＝2514≈1.79.因为1.79<2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．从近两年高考命题看，以概率和统计知识为结合点，以生活中的热点问题为背景，较全面的考查了学生用概率统计知识解决实际问题的能力．预测2014年高考仍将以此为载体全面考查学生的应用意识和分析问题的能力．概率与统计交汇问题的求解方法(12分)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图6－3－8所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．图6－3－8(1)求图中x的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2 人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的数学期望．【规范解答】(1)由频率分布直方图知(0.006×3＋0.01＋x＋0.054)×10＝1，解得x＝0.018.3分(2)由频率分布直方图知成绩不低于80分的学生人数为(0.018＋0.006)×10×50＝12，成绩在90分以上(含90分)的人数为0.006×10×50＝3.5分因此ξ可能取0,1,2三个值．P(ξ＝0)＝C29C212＝611，P(ξ＝1)＝C19·C13C212＝922，P(ξ＝2)＝C23C212＝122.9分ξ的分布列为故E(ξ)＝0×611＋1×922＋2×122＝12. 12分【阅卷心语】易错提示(1)不能正确运用频率分布直方图求出x的值及有关数据．(2)计算能力差，求错P(ξ＝k)(k＝0,1,2)的概率，导致错误．(3)解题步骤不规范，没有适当的文字说明．防范措施(1)认真审题，根据题目要求，准确从图表中提取信息．(2)正确找出随机变量ξ的取值，并求出取每一个值的概率，提高计算能力．(3)要注意语言叙述的规范性，解题步骤应清楚、正确、完整，不要漏掉必要说明及避免出现严重跳步现象．1．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，抽取了总成绩介于350分到650分之间的10 000名学生成绩，并根据这10 000名学生的总成绩画了样本的频率分布直方图(如图6－3－9)，则总成绩在[400,500)内共有()图6－3－9A ．5 000人B ．4 500人C ．3 250人D ．2 500人【解析】 由频率分布直方图可求得a ＝0.005，故[400,500)对应的频率为(0.005＋0.004)×50＝0.45，相应的人数为4 500人．【答案】 B图6－3－102．某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图6－3－10所示，其中茎为十位数，叶为个位数．(1)根据茎叶图计算样本均值；(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．【解】 (1)由茎叶图可知，样本数据为17,19,20,21,25,30，则x ＝16(17＋19＋20＋21＋25＋30)＝22，故样本均值为22.(2)日加工零件个数大于样本均值的工人有2名，故优秀工人的频率为26＝13，该车间12名工人中优秀工人大约有12×13＝4(名)，故该车间约有4名优秀工人．(3)记“恰有1名优秀工人”为事件A ，其包含的基本事件总数为C 14C 18＝32，所有基本事件的总数为C 212＝66，由古典概型概率公式，得P (A )＝3266＝1633.16所以恰有1名优秀工人的概率为33.。
2014高考数学理(真题讲练 规律总结 名师押题)热点专题突破：第十九讲 概率、随机变量及其分布列
第十九讲概率、随机变量及其分布列概率、随机变量及其分布列概率几何概型古典概型相互独立事件同时发生的概率独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率条件概率随机变量及分布列离散型随机变量及分布列的概念离散型随机变量的均值、方差1．(古典概型)(2013·课标全国卷Ⅰ)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是()A.12 B.13 C.14 D.16【解析】从1,2,3,4中任取2个不同的数，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共12种情形，而满足条件“2个数之差的绝对值为2”的只有(1,3)，(2,4)，(3,1)，(4,2)，共4种情形，所以取出的2个数之差的绝对值为2的概率为412＝13.【答案】 B2．(数学期望)(2013·广东高考)已知离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望E(X)A.32B．2 C.52D．3【解析】E(X)＝1×35＋2×310＋3×110＝32，选A.【答案】 A3．(几何概型)(2013·陕西高考) 如图6－2－1，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基战，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )图6－2－1A ．1－π4B.π2－1 C ．2－π2D.π4【解析】 取面积为测度，则所求概率为P ＝S 图形DEBFS 矩形ABCD ＝2×1－π×12×14×22×1＝2－π22＝1－π4. 【答案】 A4．(正态分布)已知随机变量ξ～N (u ，σ2)，且P (ξ<1)＝12，P (ξ>2)＝p ，则P (0<ξ<1)＝________.【解析】 由P (ξ<1)＝12可知，此正态分布密度曲线关于直线x ＝1对称，故P (ξ≤0)＝P (ξ≥2)＝P (ξ>2)＝p ，易得P (0<ξ<1)＝P (ξ<1)－P (ξ≤0)＝12－p .【答案】 12－p5．(随机变量的方差)(2013·上海高考)设非零常数d 是等差数列x 1，x 2，x 3，…，x 19的公差，随机变量ξ等可能地取值x 1，x 2，x 3，…，x 19，则方差Dξ＝________.【解析】 由等差数列的性质，x ＝S 1919＝x 1＋x 192＝x 10.∴Dξ＝119[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x 19－x )2]＝219d 2(12＋22＋32＋…＋92)＝30d 2. 【答案】 30d 2(1)(2013·广州质检)从个位数与十位数的数字之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( )A.49B.13C.29D.19(2)(2013·湖南高考)已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12，则ADAB＝( )A.12B.14C.32D.74【思路点拨】 (1)按个位数为偶数或奇数分两类，求基本事件总数，找出个位数为0的基本事件数，利用古典概型求其概率．(2)由几何图形的对称性，要使△P AB 中的边AB 是最大边，则点P 在线段P 1P 3上(其中AB ＝BP 1或AB ＝AP 3)，如图所示，由已知概率定点P 1的位置，进而求ADAB的值．【自主解答】 (1)个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数中必一个奇数一个偶数，所以可以分两类．①当个位为奇数时，有5×4＝20(个)符合条件的两位数． ②当个位为偶数时，有5×5＝25(个)符合条件的两位数．因此共有20＋25＝45(个)符合条件的两位数，其中个位数为0的两位数有5个，所以所求概率为P ＝545＝19.(2)当△P AB 中边AB 最大，则点P 在线段P 1P 3上(其中AB ＝BP 1或AB ＝AP 3)，如图所示．又事件发生的概率P ＝P 1P 3CD ＝12，则P 1P 3＝12CD ，根据对称性知，DP 1＝14CD ，PC 1＝34CD ＝34AB ，此时AB ＝BP 1，则AB 2＝AD 2＋⎝⎛⎭⎫34AB 2， ∴AD 2＝716AB 2，则AD AB ＝74.【答案】 (1)D (2)D1．(1)本题(1)在计数时用了分类讨论的思想，其分类标准是个位数字是否为奇数．(2)有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识．2．(1)第(2)小题求解的关键：①点P 1、P 3位置的探求；②等量关系AB ＝BP 1的确定．(2)几何概型中的基本事件是无限的，但其构成的区域却是有限的，因此可用“比例解法”求概率．在利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的大小确定．变式训练1 (1)(2013·上海高考)盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个小球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是________(结果用最简分数表示)．(2)(2013·四川高考)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )A.14B.12C.34D.78【解析】 (1)从9个小球中任取两个，有n ＝C 29＝36种取法．设“两个球的编号之积为偶数”为事件A ，则A 表示“两球的编号之积为奇数”，且A发生时，从编号为1,3,5,7,9中取出两个不同小球，有m ＝C 25＝10种取法．∴P (A )＝1－P (A )＝1－1036＝1318.(2)设两串彩灯同时通电后，第一次闪亮的时刻分别为x ，y ，则0≤x ≤4,0≤y ≤4，而事件A “它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒”，即|x －y |≤2，可行域如图阴影部分所示．由几何概型概率公式得P (A )＝42－2×⎝⎛⎭⎫12×2×242＝34. 【答案】 (1)1318(2)C某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ，系统A和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值．(2)求系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率． 【思路点拨】 (1)利用对立事件的概率求p 的值；(2)转化为两个互斥事件的概率和：3次检测中仅发生一次故障，3次检测中均没发生故障．【自主解答】 (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ， 那么1－P (C )＝1－110·p ＝4950，解得p ＝15.(2)设“系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D .“系统A 在3次相互独立的检测中发生k 次故障”为事件D k .则D ＝D 0＋D 1，且D 0、D 1互斥．依题意，P (D 0)＝C 03⎝⎛⎭⎫1－1103，P (D 1)＝C 13·110⎝⎛⎭⎫1－1102， 所以P (D )＝P (D 0)＋P (D 1)＝7291 000＋2431 000＝243250.所以系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障次数的概率为243250.1．一个复杂事件若正面情况较多，反面情况较少，则一般利用对立事件进行求解．尤其是涉及到“至多”、“至少”等问题常常用这种方法求解(如本题第(1)问)．2．求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解(如本题第(2)问)．变式训练2 (2013·陕西高考改编)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求P (X ≥2)的值．【解】 (1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P (A )＝C 12C 23＝23，P (B )＝C 24C 35＝35.∵事件A 与B 相互独立，A 与B 相互独立．则A ·B 表示“甲选中3号歌手，且乙没选中3号歌手”． ∴P (A B )＝P (A )·P (B )＝P (A )·[1－P (B )]＝23×25＝415.(2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”， 则P (C )＝C 24C 35＝35，依题意，A ，B ，C 相互独立，A ，B ，C 相互独立． 且AB C ，A B C ，A BC ，ABC 彼此互斥． 又P (X ＝2)＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC ) ＝23×35×25＋23×25×35＋13×35×35＝3375，P (X ＝3)＝P (ABC )＝23×35×35＝1875，∴P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3375＋1875＝1725.(2013·山东高考)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23，假设各局比赛结果相互独立． (1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X 的分布列及数学期望．【思路点拨】 (1)甲队3∶0获胜，相当于成功概率为23的三次独立重复试验三次成功，3∶1获胜，则前三局甲队胜两局且第四局甲队获胜；3∶2获胜，则前四局甲队胜两局且第五局甲队获胜．(2)乙队得分X ＝0,1，根据(1)的结果和对立事件概率之间的关系求出其概率分布，根据数学期望的公式计算其数学期望．【自主解答】 (1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1，“甲队以3∶1胜利”为事件A 2，“甲队以3∶2胜利”为事件A 3，由题意，各局比赛结果相互独立， 故P (A 1)＝⎝⎛⎭⎫233＝827，P (A 2)＝C 23⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫1－23×23＝827， P (A 3)＝C 24⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫1－232×12＝427. 所以甲队以3∶0胜利，以3∶1胜利的概率都为827，以3∶2胜利的概率为427.(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4， 由题意，各局比赛结果相互独立， 所以P (A 4)＝C 24⎝⎛⎭⎫1－232⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－12＝427.由题意，随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3， 根据事件的互斥性得P (X ＝0)＝P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1627.又P (X ＝1)＝P (A 3)＝427，P (X ＝2)＝P (A 4)＝427，P (X ＝3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝327，故X 的分布列为所以E (X )＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×327＝79.1．(1)本题最易出现的错误是不能理解问题的实际意义，弄错事件之间的关系．(2)求解的关键是理解“五局三胜制”的含义，从而理清事件之间的关系．2．解决概率分布，应先明确是哪种类型的分布，然后代入公式，若随机变量X 服从二项分布，可直接代入二项分布的期望公式．变式训练3 (2013·福建高考)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X ≤3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【解】 (1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X ≤3”的事件为A ， 则事件A 的对立事件为“X ＝5”． 因为P (X ＝5)＝23×25＝415，所以P (A )＝1－P (X ＝5)＝1－415＝1115， 即这2人的累计得分X ≤3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X 1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X 2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E (2X 1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E (3X 2)．由已知可得，X 1～B (2，23)，X 2～B (2，25)，所以E (X 1)＝2×23＝43，E (X 2)＝2×25＝45，从而E (2X 1)＝2E (X 1)＝83，E (3X 2)＝3E (X 2)＝125.因为E (2X 1)＞E (3X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大.(2013·辽宁高考)现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立．用X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望．【思路点拨】 (1)先求“张同学所取的3道题都是甲类题”的概率，利用对立事件求解．(2)易知随机变量X 取值为0,1,2,3，由相互独立事件的概率公式求X ＝i (i ＝0,1,2,3)的概率．【自主解答】 (1)设事件A ＝“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A ＝“张同学所取的3道题都是甲类题”．因为P (A )＝C 36C 310＝16，所以P (A )＝1－P (A )＝56.(2)X 所有的可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝C 02·⎝⎛⎭⎫350·⎝⎛⎭⎫252·15＝4125； P (X ＝1)＝C 12·⎝⎛⎭⎫351·⎝⎛⎭⎫251·15＋C 02⎝⎛⎭⎫350·⎝⎛⎭⎫252·45＝28125； P (X ＝2)＝C 22·⎝⎛⎭⎫352·⎝⎛⎭⎫250·15＋C 12⎝⎛⎭⎫351·⎝⎛⎭⎫251·45＝57125； P (X ＝3)＝C 22·⎝⎛⎭⎫352·⎝⎛⎭⎫250·45＝36125.所以X 的分布列为：所以E (X )＝0×4125＋1×28125＋2×57125＋3×36125＝2.1．解题要注意两点：(1)随机变量X 取每一个值表示的具体事件的含义，(2)正确利用独立事件、互斥事件进行概率的正确计算．2．求随机变量的期望和方差的关键是正确求出随机变量的分布列，若随机变量服从二项分布，则可直接使用公式求解．变式训练4 某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列与期望E (X )．【解】 设A i (i ＝0,1,2,3)表示摸到i 个红球，B j (j ＝0,1)表示摸到j 个蓝球，则A i 与B j 相互独立．(1)恰好摸到1个红球的概率为P (A 1)＝C 13C 24C 37＝1835.(2)X 的所有可能值为：0,10,50,200，且 P (X ＝200)＝P (A 3B 1)＝P (A 3)P (B 1)＝C 33C 37·13＝1105，P (X ＝50)＝P (A 3B 0)＝P (A 3)P (B 0)＝C 33C 37·23＝2105，P (X ＝10)＝P (A 2B 1)＝P (A 2)P (B 1)＝C 23C 14C 37·13＝12105＝435，P (X ＝0)＝1－1105－2105－435＝67.综上可知，获奖金额X 的分布列为67＋10×435＋50×2105＋200×1105＝4(元)．从而有E(X)＝0×从近两年的高考试题看，离散型随机变量的分布列、均值与方差是高考的热点，题型齐全，难度中等，不仅考查学生的理解能力与数学计算能力，而且不断创新问题情境，突出学生运用概率、期望与方差解决实际问题的能力．巧用概率公式求解期望问题(12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n .如果n ＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n ＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位：元)，求X 的分布列及数学期望．【规范解答】 (1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝A 1B 1＋A 2B 2，且A 1B 1与A 2B 2互斥.2分∵P (A 1B 1)＝P (A 1)·P (B 1|A 1)＝C 34⎝⎛⎭⎫124·⎝⎛⎭⎫124＝164. P (A 2B 2)＝P (A 2)·P (B 2|A 2)＝⎝⎛⎭⎫124·12＝132， ∴P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝164＋132＝364.6分(2)X 的可能值为400,500,800.且P (X ＝500)＝C 44⎝⎛⎭⎫124＝116，P (X ＝800)＝C 34⎝⎛⎭⎫123×12＝14， ∴P (X ＝400)＝1－⎣⎡⎦⎤C 34(12)3·12＋C 44⎝⎛⎭⎫124＝1116. ∴随机变量X 的分布列为10分E (X )＝400×116＋500×116＋800×14＝506.25.12分【阅卷心语】易错提示 (1)题意不清，不能将事件A 转化为条件概率与互斥事件概率，错求P (A )． (2)忽视X ＝400这一情形，或即使考虑X ＝400，却不能利用对立事件求P (X ＝400)，进而错求X 的分布列与均值．防范措施 (1)求某事件概率，首先理解题意，分清概率模型，恰当选择概率计算公式．本题是条件概率，应利用条件概率公式计算．(2)弄清X 取每一个数值时事件的含义，这是正确求解的关键；活用概率分布的性质，可简化求P (X ＝400)的思维过程．1．(2013·济南模拟)在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.【解析】 由|x |≤m ，知－m ≤x ≤m . ∵P (|x |＜m )＝56，且x ∈[－2,4]，可知，m ＞2，－m ＜－2， 从而P (|x |＜m )＝m －(－2)4－(－2)＝56，∴m ＝3.【答案】 32．假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为0.5.记此时教室里敞开的窗户个数为X .(1)求X 的分布列；(2)若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变．记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为Y ，求Y 的数学期望．【解】 (1)∵X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，X ～B (4,0.5)，∴P (X ＝0)＝C 04(12)4＝116，P (X ＝1)＝C 14(12)4＝14， P (X ＝2)＝C 24(12)4＝38，P (X ＝3)＝C 34(12)4＝14， P (X ＝4)＝C 44(12)4＝116， ∴X 的分布列为(2)Y P (Y ＝3)＝P (X ＝3)＝14，P (Y ＝4)＝1－P (Y ＝3)＝34，∴Y 的期望值E (Y )＝3×14＋4×34＝154.。
2014高考数学理(真题讲练 规律总结 名师押题)热点专题突破：第十三讲 点、直线、平面之间的位置关系
第十三讲点、直线、平面之间的位置关系平面的基本性质公理1公理3公理2空间的平行关系直线与直线平行公理4平面与平面平行面面平行的定义面面平行的性质面面平行的判定直线与平面平行线面平行的定义线面平行的性质线面平行的判定空间的垂直关系直线与直线垂直平面与平面垂直面面垂直的定义面面垂直的性质面面垂直的判定直线与平面垂直线面垂直的定义线面垂直的性质线面垂直的判定1．(线线位置关系)下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点不共面的一个图是()【解析】在选项A、C中，PS∥QR，故四点共面，在选项B中，RS的延长线与QP 的延长线相交于一点，故四点共面，在选项D中，直线PS和QR是异面直线，故四点不共面．【答案】 D2．(平面的性质)空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD上的点，G、H分别是BC、CD上的点，若EG与FH交于点P，则点P在直线________ 上．【解析】如图，∵EG∩FH＝P，∴P∈EG，P∈FH，又EG⊂平面ABC，FH⊂平面ADC，∴P∈平面ABC，P∈平面ADC.∴点P在平面ABC与平面ADC的交线上，即AC上．【答案】AC3．(平行的判定)已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面，给出下列命题：①α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；②若m、n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；④m、n是两条异面直线，若m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β.其中真命题是________．(只填序号)【解析】因两平行平面内任两条直线不一定平行，故①不对．而m、n⊂α，m∥β，n ∥β时，α与β可以相交，故②不对．因为m∥n，m⊥α.所以n⊥α.又因为n⊥β，所以α∥β，③正确．过m、n作平面M、N分别交α、β于m1、m2、n1、n2，由线面平行的性质定理知m1∥m2，n1∥n2且m1与n1相交，所以α∥β，故④对．【答案】③④4．(垂直的判定)已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m、n，有下列四个命题：①若m∥n，m⊥α，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β；④若m∥α，α∩β＝n，则m∥n.其中正确的命题是________．(只填序号)【解析】本题考查空间直线与平面间的位置关系的判断等知识，根据线面垂直的判定和面面平行的判定可知①②正确；类似①得n⊥α，n⊂β，由面面垂直的判定定理得α⊥β，故③正确；④中m与n的位置关系不确定，④错误．【答案】①②③5．(线线、线面位置关系)如图4－2－1所示，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则下列命题中：图4－2－1①AC⊥BD；②AC∥截面PQMN；③AC＝BD；④异面直线PM与BD所成的角为45°.正确的有________．(只填序号)【解析】由已知易得PQ∥AC，QM∥BD，又PQ⊥QM，所以AC⊥BD，故①正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故②正确；异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN 所成的角，故④正确．对于命题③，当AC≠BD时，截面PQMN也可能是正方形，故命题③错误．【答案】①②④【命题要点】①考查平行的判定与性质定理；②考查垂直的判定与性质定理.(1)(2013·潍坊模拟)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，给出四个命题：①α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则α⊥β②m⊥α，m⊥β，则α∥β③m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β④m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β其中正确的命题是()A．①②B．②③C．①④D．②④(2)(2013·课标全国卷Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l【思路点拨】(1)借助线面、面面平行与垂直的判定定理与性质定理判断．(2)画出符合条件的图形，根据图形判断．【自主解答】(1)由面面平行的判定定理知，②正确，③中由m⊥α，m⊥n，知n∥α或n在平面α内，又n⊥β，从而α⊥β，故③正确，①④不正确．故选B.(2)根据所给的已知条件作图，如图所示．由图可知α与β相交，且交线平行于l，故选D.【答案】(1)B(2)D求解空间线面位置关系判断题的两大思路：(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理逐项判断．(2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行判断．变式训练1(2013·杭州模拟)设l是直线，α，β是两个不同的平面()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【解析】对于A：若l∥α，l∥β，则α，β可能相交，故A错；对于B：若l∥α，则平面α内必存在一条直线m与l平行，则m⊥β，又m⊂α，故α⊥β，从而B正确；对于C：若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，故C不正确；对于D：若α⊥β，l∥α，则l与β可能相交或平行或l在β内，故D不正确．【答案】 B(2013·山东高考)如图4－2－2，四棱锥P—ABCD中，AB⊥AC，AB⊥P A，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．(1)求证：CE∥平面P AD；(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.图4－2－2【思路点拨】(1)要证明线面平行，可考虑证明线线平行，也可先证面面平行，进而转化为证线面平行，利用三角形的中位线或平行四边形的性质证明线线平行是证明平行问题首先要考虑到的．(2)要证明平面EFG⊥平面EMN，可考虑先证明平面EMN中的MN垂直于平面EFG，即转化为证明线面垂直，而要证明MN⊥平面EFG，需要证明MN垂直于平面EFG中的两条相交直线．图(1)【自主解答】 法一 如图(1)，取P A 的中点H ，连接EH ，DH . 因为E 为PB 的中点，所以EH ∥AB ，EH ＝12AB .又AB ∥CD ，CD ＝12AB ，所以EH ∥CD ，EH ＝CD .所以四边形DCEH 是平行四边形． 所以CE ∥DH .又DH ⊂平面P AD ，CE ⊄平面P AD ， 所以CE ∥平面P AD .图(2)法二 如图(2)，连接CF . 因为F 为AB 的中点， 所以AF ＝12AB .又CD ＝12AB ，所以AF ＝CD .又AF ∥CD ，所以四边形AFCD 为平行四边形．所以CF ∥AD . 又CF ⊄平面P AD ，所以CF ∥平面P AD .因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点，所以EF ∥P A . 又EF ⊄平面P AD ，所以EF ∥平面P AD . 因为CF ∩EF ＝F ，故平面CEF ∥平面P AD . 又CE ⊂平面CEF ，所以CE ∥平面P AD . (2)因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点， 所以EF ∥P A .又AB ⊥P A ，所以AB ⊥EF . 同理可证AB ⊥FG .又EF ∩FG ＝F ，EF ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG ， 因此AB ⊥平面EFG .又M ，N 分别为PD ，PC 的中点，所以MN ∥DC . 又AB ∥DC ，所以MN ∥AB ，所以MN ⊥平面EFG . 又MN ⊂平面EMN ，所以平面EFG ⊥平面EMN .1．本例中第(1)小题把线面平行问题转化为线线平行或面面平行问题是常用的两种转化方法；第(2)小题中寻找一个平面内垂直于另一个平面的直线是解题的关键．2．正确并熟练掌握空间中平行与垂直的判定定理及性质定理，这是进行判断和证明的基础，在证明空间线面关系时，应注意几何体的结构特征的应用，尤其是一些线面平行与垂直关系，可作为条件直接应用．变式训练2 (2013·天津高考)如图4－2－3，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，且各棱长均相等，D ，E ，F 分别为棱AB ，BC ，A 1C 1的中点．图4－2－3(1)证明EF ∥平面A 1CD ； (2)证明平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1；(3)求直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值．【解】 (1)证明 如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，连接ED ，在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ＝12AC 且DE ∥AC .又因为F为A 1C 1的中点，可得A 1F ＝DE ，且A 1F ∥DE ，即四边形A 1DEF 为平行四边形，所以EF ∥DA 1.又EF ⊄平面A 1CD ，DA 1⊂平面A 1CD ，所以EF ∥平面A 1CD .(2)证明 由于底面ABC 是正三角形，D 为AB 的中点，故CD ⊥AB .又由于侧棱A 1A ⊥底面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以A 1A ⊥CD .又A 1A ∩AB ＝A ，因此CD ⊥平面A 1ABB 1.而CD ⊂平面A 1CD ，所以平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1.(3)在平面A 1ABB 1内，过点B 作BG ⊥A 1D 交直线A 1D 的延长线于点G ，连接CG .由于平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1，而直线A 1D 是平面A 1CD 与平面A 1ABB 1的交线，故BG ⊥平面A 1CD .由此可得∠BCG 为直线BC 与平面A 1CD 所成的角．设棱长为a ，可得A 1D ＝5a 2，由△A 1AD ∽△BGD ，易得BG ＝5a 5.在Rt △BGC 中，sin ∠BCG ＝BG BC ＝55.所以直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值为55.【命题要点】 ①把平面图形折叠成四棱锥；②把平面图形折叠成三棱锥.(2013·广东高考)如图①，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G .将△ABF 沿AF 折起，得到如图②所示的三棱锥A －BCF ，其中BC ＝22.① ②图4－2－4(1)证明：DE ∥平面BCF ； (2)证明：CF ⊥平面ABF ；(3)当AD ＝23时，求三棱锥F －DEG 的体积V F －DEG .【思路点拨】 (1)要证直线和平面平行，可证直线与该平面内的一条直线平行，也可证直线所在的平面与该平面平行．(2)要证直线和平面垂直，需要证明直线和该平面内的两条相交直线垂直．(3)要求三棱锥的体积，需要确定底面面积和高，然后代入棱锥的体积公式计算．【自主解答】 (1)证明 法一：在折叠后的图形中，因为AB ＝AC ，AD ＝AE ，所以ADAB ＝AEAC，所以DE ∥BC . 因为DE ⊄平面BCF ，BC ⊂平面BCF ， 所以DE ∥平面BCF .法二：在折叠前的图形中，因为AB ＝AC ，AD ＝AE ， 所以AD AB ＝AEAC ，所以DE ∥BC ，即DG ∥BF ，EG ∥CF .在折叠后的图形中，仍有DG ∥BF ，EG ∥CF . 又因为DG ⊄平面BCF ，BF ⊂平面BCF ， 所以DG ∥平面BCF ，同理可证EG ∥平面BCF . 又DG ∩EG ＝G ，DG ⊂平面DEG ，EG ⊂平面DEG ， 故平面DEG ∥平面BCF .又DE ⊂平面DEG ，所以DE ∥平面BCF .(2)证明 在折叠前的图形中，因为△ABC 为等边三角形，BF ＝CF ，所以AF ⊥BC ，则在折叠后的图形中，AF ⊥BF ，AF ⊥CF .又BF ＝CF ＝12，BC ＝22，所以BC 2＝BF 2＋CF 2，所以BF ⊥CF .又BF ∩AF ＝F ，BF ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ， 所以CF ⊥平面ABF .(3)由(1)知，平面DEG ∥平面BCF ， 由(2)知AF ⊥BF ，AF ⊥CF ，又BF ∩CF ＝F ，所以AF ⊥平面BCF ， 所以AF ⊥平面DEG ，即GF ⊥平面DEG .在折叠前的图形中，AB ＝1，BF ＝CF ＝12，AF ＝32.由AD ＝23知AD AB ＝23，又DG ∥BF ，所以DG BF ＝AG AF ＝AD AB ＝23，所以DG ＝EG ＝23×12＝13，AG ＝23×32＝33，所以FG ＝AF －AG ＝36. 故三棱锥F －DEG 的体积为V 三棱锥F －DEG ＝13S △DEG ·FG ＝13×12×⎝⎛⎭⎫132×36＝3324.1．解答本例第(2)小题时，根据折叠前的图形得到BF ⊥AF ，利用勾股定理证明BF ⊥CF 是解题的突破口．2．解决与翻折有关的几何问题的关键是搞清翻折前后哪些量改变，哪些量不变，抓住翻折前后不变的量，充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口．3．求解过程中，要综合考虑折叠前后的图形，把平面图形翻折后，经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥，从而把问题转化到我们熟悉的几何体中去解决．变式训练3 (2013·南昌模拟)如图4－2－5所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 、F 是线段AB 上的两点，且DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，AB ＝12，AD ＝5，BC ＝42，DE ＝4.现将△ADE ，△CFB 分别沿DE ，CF 折起，使A ，B 两点重合于点G ，得到多面体CDEFG .(1)求证：平面DEG ⊥平面CFG ； (2)求多面体CDEFG 的体积．图4－2－5【解】 (1)证明 因为CD ∥EF ，DE ⊥EF ，CF ⊥EF ，所以四边形CDEF 为矩形． 由GD ＝5，DE ＝4，得 GE ＝GD 2－DE 2＝3.由GC ＝42，CF ＝4，得FG ＝GC 2－CF 2＝4，所以EF ＝5. 在△EFG 中，有EF 2＝GE 2＋FG 2， 所以EG ⊥GF .又因为CF ⊥EF ，CF ⊥FG ，所以CF ⊥平面EFG . 所以CF ⊥EG ，所以EG ⊥平面CFG .又EG ⊂平面DEG ，所以平面DEG ⊥平面CFG .(2)如图，在平面EGF 中，过点G 作GH ⊥EF 于点H ，则GH ＝EG ·GF EF ＝125.因为平面CDEF ⊥平面EFG ，所以GH ⊥平面CDEF ， 所以V 多面体CDEFG ＝13S 矩形CDEF ·GH ＝16.在空间几何体中考查点、线、面的位置关系是高考的热点内容，而与位置关系有关的探索性问题，能充分考查学生的想象力，考查学生分析问题和解决问题的能力，值得重视．图4－2－6立体几何中探索性问题的求解方法(12分)直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，BC ＝4，P 为平面ABCD 外一点，且P A ＝PB ，PD ＝PC ，N 为CD 的中点．(1)求证：平面PCD ⊥平面ABCD ；(2)在线段PC 上是否存在一点E 使得NE ∥平面ABP ，若存在，说明理由并确定E 点的位置，若不存在请说明理由．【规范解答】 (1)取AB 中点M ，连接PM ，PN ，MN 则PM ⊥AB ，PN ⊥CD ，又ABCD 为直角梯形，AB ⊥BC ， ∴MN ⊥AB .∵PM ∩MN ＝M ， ∴AB ⊥平面PMN .2分又PN ⊂平面PMN ，∴AB ⊥PN .∵AB 与CD 相交， ∴PN ⊥平面ABCD .又PN ⊂平面PCD ，∴平面PCD ⊥平面ABCD .5分(2)假设存在．在PC ，PB 上分别取点E 、F ，使BF ＝14BP ，CE ＝14CP ，连接EF 、MF 、NE ，则EF ∥BC 且可求得EF ＝34BC ＝3.8分∵MN ＝3且MN ∥BC ，∴EF ∥MN 且EF ＝MN . ∴MNEF 为平行四边形，∴EN ∥FM . 又FM ⊂平面P AB ，∴在线段PC 上存在一点E 使得NE ∥平面ABP ，此时CE ＝14PC .12分【阅卷心语】易错提示 (1)在证明平面PCD ⊥平面ABCD 时，没有转化意识使思维受阻，无法求证． (2)在解答本题第(2)题时，对探索性问题没有解题思路，无从下手．防范措施 (1)在证明面面垂直时，往往通过添加辅助线转化为线面垂直解决． (2)解决探索性问题的一般步骤为：首先假设其存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾结论就否定假设．1．设α，β是两个不同的平面，给定下列四个条件：①存在一条直线a ，a ⊥α，a ⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α；④存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α.那么可以是α∥β的充分条件有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【解析】 ①可以；②α，β也有可能相交，所以不正确；③α，β也有可能相交，所以不正确；④根据异面直线的性质可知④可以，所以可以是α∥β的充分条件有2个，选C.【答案】 C2．在如图4－2－7所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，P 为DN 的中点．图4－2－7(1)求证：BD ⊥MC ；(2)线段AB 上是否存在点E ，使得AP ∥平面NEC ，若存在，说明在什么位置，并加以证明；若不存在，说明理由．【解】 (1)证明：连接AC ，因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，又ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，所以AM ⊥平面ABCD . 因为BD ⊂平面ABCD ， 所以AM ⊥BD . 因为AC ∩AM ＝A ， 所以BD ⊥平面MAC . 又MC ⊂平面MAC ， 所以BD ⊥MC .(2)当E 为AB 的中点时，有AP ∥平面NEC .证明如下： 取NC 的中点S ，连接PS ，SE . 因为PS ∥DC ∥AE ，PS ＝AE ＝12DC ，所以四边形APSE 是平行四边形， 所以AP ∥SE .又SE ⊂平面NEC ，AP ⊄平面NEC ， 所以AP ∥平面NEC .。
2014年陕西省高考数学押题卷(理)及答案解析
2014陕西省高考押题卷 数学（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第15考题为三选一，其它题为必考题，考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；选择题答案使用0．5毫米的黑色中性签字笔或碳素笔书写，字体：工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上． 3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效。
一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合M={（x ，y ）|x 2+y 2=1，x ∈R ，y ∈R}，N={（x ，y ）|x 2﹣y 2=0，x ∈R ，y ∈R}，则集合M∩N 中元素的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4 2．复数11iz i+=-的模长为（ ） A.1 B.2C.D.23．若cos2α=，则cos 2α=（ ）A. 13B. 79C. 7-9D. 1-34．设某中学高三的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y=0.85x ﹣85.71，则下列结论中不正确的是（ ） A. y 与x 具有正的线性相关关系 B. 回归直线过样本点的中心(),x yC. 若该中学高三某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD. 若该中学高三某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg 5．下面程序运行后，输出的值是（ ）i=0 DOi=i+1LOOP UNTIL i*i>=2000 i=i-1 输出 iA.42B.43C.44D.45 6．过点（1，1）的直线与圆224640x y x y +--+=相交于A ，B 两点，则|AB|的最小值为（ ）A. B.4C. D.57．已知变量x ，y 满足约束条件20170x y x x y ⎧-+≤⎪≥⎨+-≤⎪⎩，则y x 的取值范围是（ ）A. 9,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. )9-，6，+5⎛⎤⎡∞∞ ⎥⎣⎝⎦ C. ()-，36，+⎤⎡∞∞⎦⎣ D. 3,6⎡⎤⎣⎦8．设向量，，则“12ex dt t=⎰”是“∥”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9．数列{a n }满足：{6(4)n 10,(n 7),(n 7)n n a a a ---≤=>，且{a n }是递增数列，则实数a 的范围是（ ）A. 9,44⎛⎫⎪⎝⎭B. 9,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. ()1,4D. ()2,410．已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数()x R ∈，如：[][][]1.32,0.80, 3.43-=-==．定义{}[]x x x =-，求23201420132013201320132014201420142014⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫++++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭（ ） A. 1006 B.1007 C. 1008 D.2014二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置）11．双曲线22--116x y m=的离心率为53，则m 等于 _________ ． 12．一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：cm ），该几何体的体积为 _________cm 3．13．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行（n≥3）从左向右的第1个数为 _________ ．14．若将函数f （x ）=x 5表示为f （x ）=a 0+a 1（1+x ）+a 2（1+x ）2+…+a 5（1+x ）5，其中a 0，a 1，a 2，…a 5为实数，则a 3= _________ ． 15．（考生注意：请在下列三个小题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分） A.（不等式选做题）函数的最大值是 _________ ． B.（几何证明选讲选做题）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，⊙O 分别切AC 、BC 于M 、N ，圆心O 在AB 上，⊙O 的半径为4，OA=5，则OB 的长为 _________ ．C.（坐标系与参数方程选做题）已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是 _________ ．三．解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a ,b,c,且满足s i n c o s a C c A=，2AB AC ⋅=． （1）求ABC ∆的面积；（2）若1b =，求边c 与a 的值．17．（本小题满分12分）设数列{a n }的前n 项和为S n 满足2S n =a n+1—2n+l +1，n ∈N *，且a 1，a 2+5，a 3成等差数列。
2014高考数学理(真题讲练_规律总结_名师押题)热点专题突破：第十讲_数列求和及数列的综合应用
第十讲数列求和及数列的综合应用与不等式的综合应用与实际生活问题的综合应用1．(等差数列的前n 项和)(2013·上海高考)若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n 项和S n ＝________.【解析】 设S n ＝An 2＋Bn ，则有⎩⎪⎨⎪⎧36A ＋6B ＝23，81A ＋9B ＝57，解得⎩⎨⎧A ＝56，B ＝－76，故S n ＝56n 2－76n .【答案】 56n 2－76n2．(裂项求和)数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数n ＝________.【解析】 由a n ＝n ＋1－n (n ＋n ＋1)(n ＋1－n )＝n ＋1－n ，所以a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝10，即n ＋1－1＝10，即n ＋1＝11，解得n ＋1＝121，n ＝120.【答案】 1203．(错位相减法求和)化简S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n－1的结果是________．【解析】 S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n －1，2S n ＝2n ＋(n －1)×22＋(n －2)×23＋…＋2×2n －1＋2n ， 两式作差S n ＝2n ＋2n －1＋2n －2＋…＋2－n ＝2n ＋1－2－n . 【答案】 2n ＋1－2－n4．(数列的通项公式)如果数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为3的等比数列，则a n ＝________.【解析】 a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1－3n 1－3＝3n －12.【答案】 3n －125．(数列的实际应用)(2013·江西高考)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________．【解析】 每天植树的棵树构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.由2n ＋1－2≥100，得2n ＋1≥102.由于26＝64,27＝128，则n ＋1≥7，即n ≥6.【答案】 6【命题要点】①求和式的值；②已知和式的值，求项数.(2013·潍坊模拟)已知数列{a n}的各项排成如图3－2－1所示的三角形数阵，数阵中每一行的第一个数a1，a2，a4，a7，…构成等差数列{b n}，S n是{b n}的前n项和，且b1＝a1＝1，S5＝15.图3－2－1(1)若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知a 9＝16，求a 50的值．(2)设T n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n ，当m ∈[－1,1]时，对任意n ∈N *，不等式t 2－2mt －83＞T n 恒成立，求t 的取值范围．【思路点拨】 (1)先求b n 及公比q ，再确定a 50在数阵中的位置，再根据等比数列求a 50. (2)先用裂项法求T n ，再利用导数求T n 的最大值，最后把问题转化为关于m 的函数求解． 【自主解答】 (1)因为{b n }为等差数列，设公差为d ，b 1＝1，S 5＝15，所以S 5＝5＋10d ＝15，d ＝1，所以b n ＝1＋(n －1)×1＝n .设从第3行起，每行的公比是q ，且q ＞0，a 9＝b 4q 2,4q 2＝16，q ＝2， 1＋2＋3＋…＋9＝45，故a 50是数阵中第10行第5个数， 则a 50＝b 10q 4＝10×24＝160. (2)因为S n ＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2，所以T n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n＝2(n ＋1)(n ＋2)＋2(n ＋2)(n ＋3)＋…＋22n (2n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＋1n ＋2－1n ＋3＋…＋12n －12n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－12n ＋1＝2n (n ＋1)(2n ＋1). 令f (x )＝2x(x ＋1)(2x ＋1)(x ≥1)，f ′(x )＝2－4x 2(x ＋1)2(2x ＋1)2， 当x ≥1时，f ′(x )＜0，f (x )在[1，＋∞)上为减函数， 所以T n 为递减数列，T n 的最大值为T 1＝13.所以不等式变为t 2－2mt －3＞0恒成立， 设g (m )＝－2tm ＋t 2－3，m ∈[－1,1]，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (－1)＞0，g (1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧2t ＋t 2－3＞0，－2t ＋t 2－3＞0，解得t ＞3或t ＜－3.即t 的取值范围为(－∞，－3)∪(3，＋∞)．1．裂项相消法求和主要应用在数列通项公式为分式结构时，其关键在于裂项后系数的确定．2．裂项求和的几种常见类型：(1)1n (n ＋k )＝1k (1n －1n ＋k)； (2)1n ＋k ＋n＝1k(n ＋k －n )；(3)1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)； (4)若{a n }是公差为d 的等差数列，则1a n a n ＋1＝1d (1a n －1a n ＋1)．变式训练1 等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{1b n }的前n 项和．【解】 (1)设数列{a n }的公比为q . 由a 23＝9a 2a 6，得a 23＝9a 24，所以q 2＝19. 由条件可知q >0，故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1，所以a 1＝13.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n (n ＋1)2.故1b n ＝－2n (n ＋1)＝－2(1n －1n ＋1)，1b 1＋1b 2＋…＋1b n ＝－2[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝－2n n ＋1.所以数列{1b n }的前n 项和为－2nn ＋1.【命题要点】 ①求和式的值；②证明等式成立.(2013·山东高考)设等差数列{a n }的前n项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＋a n ＋12n ＝λ(λ为常数)，令c n ＝b 2n (n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和R n .【思路点拨】 (1)利用等差数列的通项公式，前n 项和公式，建立方程组求解． (2)由已知求T n ，进而求b n ，c n ，用错位相减法求{c n }的前n 项和． 【自主解答】 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . 由S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝8a 1＋4d ，a 1＋(2n －1)d ＝2a 1＋2(n －1)d ＋1. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.因此a n ＝2n －1，n ∈N *.(2)由题意知T n ＝λ－n2n －1，所以当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝－n2n －1＋n －12n －2＝n －22n －1.故c n ＝b 2n ＝2n －222n －1＝(n －1)⎝⎛⎭⎫14n －1，n ∈N *. 所以R n ＝0×⎝⎛⎭⎫140＋1×⎝⎛⎭⎫141＋2×⎝⎛⎭⎫142＋3×⎝⎛⎭⎫143＋…＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫14n －1，则14R n ＝0×⎝⎛⎭⎫141＋1×⎝⎛⎭⎫142＋2×⎝⎛⎭⎫143＋…＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫14n . 两式相减得34R n ＝⎝⎛⎭⎫141＋⎝⎛⎭⎫142＋⎝⎛⎭⎫143＋⎝⎛⎭⎫144＋…＋⎝⎛⎭⎫14n －1－(n －1)×⎝⎛⎭⎫14n ＝14－⎝⎛⎭⎫14n1－14－(n －1)×⎝⎛⎭⎫14n ＝13－1＋3n 3⎝⎛⎭⎫14n ， 整理得R n ＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫4－3n ＋14n －1.所以数列{c n }的前n 项和R n ＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫4－3n ＋14n －1.1．错位相减只是实现求和的途径，其本质是相减后利用等比数列求和公式求和．在构造方程时，S n 的左右两边同乘以等比数列的公比．2．错位相减法的难点在于运算，为力求运算准确，要注意两式相减时幂指数相同的项要对齐，同时注意剩余的项．3．当{a n }为等差数列，{b n }为等比数列时，求数列{a n b n }的前n 项和，可用错位相减法． 变式训练2 (2013·济南模拟)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1－3a n ＝3n (n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝a n3n .(1)证明数列{b n }是等差数列并求数列{b n }的通项公式．(2)求数列{a n }的前n 项和S n .【解】 (1)由b n ＝a n3n ，得b n ＋1＝a n ＋13n ＋1，所以b n ＋1－b n ＝a n ＋13n ＋1－a n 3n ＝13，所以数列{b n }是等差数列，首项b 1＝1，公差为13，所以b n ＝1＋13(n －1)＝n ＋23(n ∈N *)．(2)a n ＝3n b n ＝(n ＋2)×3n －1， 所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝3×1＋4×3＋…＋(n ＋2)×3n －1，① 所以3S n ＝3×3＋4×32＋…＋(n ＋2)×3n .② ①－②得－2S n ＝3×1＋3＋32＋…＋3n －1－(n ＋2)×3n ＝2＋1＋3＋32＋…＋3n －1－(n ＋2)×3n ＝3n ＋32－(n ＋2)×3n ，所以S n ＝－3n ＋34＋(n ＋2)3n2.【命题要点】 ①证明不等式；②比较大小；③数列的单调性.(2013·宁波模拟)设公比大于零的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S 4＝5S 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，满足b 1＝1，T n ＝n 2b n ，n ∈N *.(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)设c n ＝(S n ＋1)(nb n －λ)，若数列c n 是单调递减数列，求实数λ的取值范围．【思路点拨】 (1)求a n 时，先求公比q ；求b n 时，先根据前n 项和求b n 与b n －1的关系，再用累乘法求b n .(2)把数列{c n }是单调递减数列转化为c n ＋1－c n ＜0恒成立问题，再分离λ，转化为求最值问题．【自主解答】 (1)由S 4＝5S 2，a 1＝1得1－q 41－q ＝5(1－q 2)1－q，又q ＞0，所以q ＝2，a n ＝2n－1.由⎩⎪⎨⎪⎧T n ＝n 2b n ，T n －1＝(n －1)2b n －1，得b n b n －1＝n －1n ＋1(n ＞1)，又b 1＝1.则b n b n －1·b n －1b n －2·b n －2b n －3·…·b 2b 1＝n －1n ＋1·n －2n ·n －3n －1·…·24·13＝2n (n ＋1).所以n ＞1时，b n ＝2n (n ＋1)，当n ＝1时，b 1＝1也满足，故b n ＝2n (n ＋1)(n ∈N *)．(2)S n ＝2n－1，所以c n ＝2n⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1－λ，若数列{c n }是单调递减数列，则c n ＋1－c n ＝2n⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋2－2n ＋1－λ＜0对n ∈N *都成立， 即4n ＋2－2n ＋1－λ＜0⇒λ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋2－2n ＋1max ，4n ＋2－2n ＋1＝2n (n ＋1)(n ＋2)＝2n ＋3＋2n， 当n ＝1或2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋2－2n ＋1max ＝13，所以λ＞13. 即系数λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，＋∞1．本例(1)中求数列{b n }的通项公式时利用累乘法，但需注意验证n ＝1时，b 1是否满足通项公式．2．数列与不等式的综合应用问题主要涉及两种题型： (1)比较大小，常采用作差比较法和放缩法；(2)证明不等式及不等式的应用，常采用比较法、分析综合法、基本不等式法、放缩法、最值法、反证法等．变式训练3 (2013·潍坊模拟)各项均为正数的数列{a n }中，前n 项和S n ＝⎝⎛⎭⎫a n ＋122.(1)求数列{a n }的通项公式．(2)若1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＜k 恒成立，求k 的取值范围． 【解】 (1)因为S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋122， 所以S n －1＝⎝⎛⎭⎪⎫a n －1＋122，n ≥2，两式相减得a n ＝⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋122，n ≥2， 整理得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0， 因为数列{a n }的各项均为正数，所以a n －a n －1＝2，n ≥2，所以{a n }是公差为2的等差数列． 又S 1＝⎝⎛⎭⎪⎫a 1＋122，得a 1＝1，所以a n ＝2n －1. (2)由题意得k ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1max ， 因为1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＜12，所以k ≥12.即k 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，＋∞.数列求和是历年高考必考内容之一，同时数列与不等式，数列与函数、方程的综合应用也是课标区高考的热点，这类题目往往涉及面较广，运算比较复杂，方法比较灵活，较好地考查了学生分析问题、解决问题的能力，其中利用函数的思想求数列的最大项与最小项问题应引起高度重视．利用单调性求数列问题的最值(12分)已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．【规范解答】 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，于是q 2＝a 5a 3＝14.3分又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12，故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .6分(2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ＝⎩⎨⎧1＋12n ，n 为奇数，1－12n ，n 为偶数.当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1＜S n ≤S 1＝32，故0＜S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56；9分当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以34＝S 2≤S n ＜1，故0＞S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.11分所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712.12分【阅卷心语】易错提示 (1)不会处理S n 中的(－1)n ，导致思维受阻，无法求解． (2)不能根据S n 的范围，求S n －1S n的范围，解答失误或无法求解．防范措施 (1)当a n 或S n 中含有(－1)n 时，n 的奇偶性影响结果，故应分类讨论． (2)把S n 看作自变量，则S n －1S n 是增函数(或减函数)，故可根据S n 的范围，求S n －1S n的范围．1．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－15B ．－5C ．5 D.15【解析】 由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，得log 3a n ＋1－log 3a n ＝1，即log 3a n ＋1a n＝1，解得a n ＋1a n ＝3，所以数列{a n }是公比为3的等比数列．因为a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)q 3，所以a 5＋a 7＋a 9＝9×33＝35.所以log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 1335＝－log 335＝－5.【答案】 B2．在如图3－2－2的表格中，每格填上一个数字后，使得每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋c 的值为________．【解析】 由题意知2a ＝1，所以a ＝12，第三列和第五列的公比都为12，所以b 右边的数字为3×⎝⎛⎭⎫123＝38，所以2b ＝14＋38＝58，即b ＝516，c ＝3×⎝⎛⎭⎫124＝316，所以a ＋b ＋c ＝12＋516＋316＝1. 【答案】 1。
2014年全国高考理科数学压轴题汇总
是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。 （山东）
2 问是否存在实数 c 使得 a2 n c a2 n1 对 n an 2an 2 1 ，
7. 设数列 an 满足 a1 1, an1
恒成立 （重庆）
8. 已知数列 an 满足 a1 1 ，且 an an 1 3an （1）若数列 an 为公比为 q 的等比数列，定义 Sn
3
p 1 c p ，数列 an a1 c , an 1 ，求证： an an 1 c p （安徽） an a1 n p p
1 p
1
2 1.4143 ， f x e x e x 2 x ， g x f x 8 f x 求 ln 2 的近似值（精确到 0.001）
2 2
，
（1）求 f x 的递增递减区间 （2）若 k 6 ，解不等式 f x f 1 （广东） 11. 设实数 c 0 ，整数 p 1, n 12. 已知 1.4142 （新课标 2） 13. 比较 e3 ,3e , e , e ,3 , 3 的大小（湖北） 14. 已知函数 f x x 3 x a (a R ).
1 3
a
k 1
n
k
，且对于 n
， Sn Sn 1 3Sn ，求 q 的取值范围
1 3
（2）若 a1 , a2……ak 成等差数列，且 Sk 1000 ，求 k 的最大值，并求此时数列的公差（上海） 9. 设函数 （1）若
f ( x) ln(1 x), g ( x) xf '( x), x 0
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预测高考数学二轮复习 高效整合篇专题 选讲部分 理含解析
2014年高考数学（理）二轮复习精品资料-高效整合篇专题12 选讲部分（预测）解析版Word 版含解析（一） 选择题（12*5=60分）1．【改编自2013年陕西高考题】如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF DB ⊥，垂足为F ，若6AB =，1AE =，则DF DB ⋅= （ ）A.3B.5C.25 D.322.【湖北省荆州中学2014届高三年级第一次质量检测数学】直线415315x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（t 为参数）被曲线2cos()4πρθ=+所截的弦长为（ ）A . 710 B. 145 C. 75 D. 573.【湖北孝感高中2014届高三年级九月调研考试】如图，PC 与圆O 相切于点C ，直线PO 交圆O 于,A B 两点，弦CD 垂直AB 于E ． 则下面结论中，错误．．的结论是（ ） A ．BEC ∆∽DEA ∆ B ．ACE ACP ∠=∠ C ．2DE OE EP =⋅D ．2PC PA AB =⋅4. 【改编自2013年天津高考题】己知抛物线的参数方程为2=2,=2,x pt y pt ⎧⎨⎩（t 为参数），其中>0p ，焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点M 作的垂线，垂足为E ，若||=||EF MF ，点M 的横坐标是3，则=p ( )A.2B.1C.2D.325.【湖北省荆州中学2014届高三年级第一次质量检测数学】如图，ABC ∆的外接圆的切线AE 与BC 的延长线相交于点E ，BAC ∠的平分线与BC 相交于点D ，若8EB =，2EC =，则ED = ( )A.2B. 32C.2D. 46.【改编自2013年北京高考题】直线t t y t x (12⎩⎨⎧--=+=为参数)与曲线ααα(sin 3cos 3⎩⎨⎧==y x 为参数)的交点个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 37.【中原名校联盟2013-2014学年高三上期第一次摸底考试理】设函数()212--+=x x x f ，则不等式()2f x ≤的解集为 （ ）A. []1,5-B. []5,1-C. ()1,5-D.()5,1-8.【江苏省南京市2014届高三9月学情调研】在极坐标系中，则圆4sin ρθ=上的点到直线cos 324πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的距离的最大值为 （ ） A. 223- B. 223+ C.22+D. 239.【改编自2013年湖北高考题】如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF DB ⊥，垂足为F ，若6AB =，1AE =，则DF DB ⋅=( )．A. 4B.62 C.6 D. 510．【广东省广州市“十校”2013-2014学年度高三第一次联考理】已知在平面直角坐标系xoy 中圆C的参数方程为：33cos13sinxyθθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，（θ为参数），以OX为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：,0)6cos(=+πθρ则圆C截直线所得弦长为（）A.3B. 32 C.24 D. 411.【改编自2013年上海高考题】如图，在极坐标系中，过点)0,2(M的直线l与极轴的夹角6πα=，若将l的极坐标方程写成)(θρf=的形式，则=)(θf ( )A.)6sin(1θπ-B.)6sin(1πθ-C.)3sin(1θπ-D.)3sin(1πθ-12.【安徽省望江四中2014届高三上学期第一次月考数学（理）】已知a,b均为正数且θθθθ2222sincos,6sincos baba+≤+则的最大值为（）A. 32 B.3 C.6 D. 6（二）填空题（4*5=20分）13.【2014届广东高三六校第一次联考理】在极坐标系中，设曲线1:2sinCρθ=与2:2cosCρθ=的交点分别为A B、，则线段AB的垂直平分线的极坐标方程为．14.【广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三10月三校联考(理）】如图所示，DC DB ,是⊙O 的两条切线，A 是圆上一点，已知︒=∠46D ，则A ∠= .15.【江西师大附中高三年级2013-2014开学考试】已知()1f x x x =-||+||，若()()g x f x a =-的零点个数不为0，则a 的最小值为 ．16．【改编自上海高考题】函数1sin cos 2)(-= x x x f 的值域是 .（三）解答题（10+5*12=70分）17.【江苏省南京市2014届高三9月学情调研】在极坐标系中，求圆4sin ρθ=上的点到直线cos 324πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的距离的最大值．18.【江苏省南京市2014届高三9月学情调研】解不等式211x x +--≤.19. 【江苏省扬州中学2013—2014学年度第一学期月考高三数学】 若点(2,2)A 在矩阵cos sin sin cos M αααα-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应变换的作用下得到的点为(2,2)B -，求矩阵M 的逆矩阵．20.【中原名校联盟2013-2014学年高三上期第一次摸底考试理】如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交于BC于点E，AB＝2AC．（Ⅰ）求证：BE＝2AD；（Ⅱ）当AC＝1,EC＝2时，求AD的长．21.【江苏省涟水中学2014届高三10月质量检测】已知椭圆C：221169x y+=与x正半轴、y正半轴的交点分别为,A B，动点P是椭圆上任一点，求PAB∆面积的最大值。
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第十二讲空间几何体空间几何体简单几何体多面体棱柱棱台直观图三视图结构特征表面积体积棱锥旋转体圆锥圆柱圆台球简单组合体1．(三视图)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图4－1－1所示，则该几何体的侧(左)视图为()图4－1－1【解析】对角线被遮住应为虚线，再根据对角线的位置可知选D.【答案】 D2．(几何体的体积)已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图4－1－2所示，则该三棱锥的体积等于________cm3.图4－1－2【解析】 由三视图可得该三棱锥的直观图如图所示．三棱锥的底面是两直角边长分别为3,1的直角三角形，且高为2，故V ＝13×12×3×1×2＝1(cm 3)．【答案】 13．(几何体的表面积)一个棱锥的三视图如图4－1－3所示(单位：cm)，则该棱锥的表面积为________cm 2.图4－1－3【解析】 由三视图知，棱锥的底面是等腰直角三角形，斜边所在的侧面垂直于底面，从而三棱锥的高为4.其表面积S ＝12×6×6＋12×6×5×2＋12×62×4＝48＋12 2.【答案】 48＋12 24．(直观图)若△ABC 的直观图的面积为2，则△ABC 的面积S △ABC ＝________. 【解析】 根据原图形的面积是直观图面积的22倍知S △ABC ＝4 2. 【答案】 4 25．(球的表面积)球O 与底面边长为3的正三棱柱的各侧面均相切，则球O 的表面积为________．【解析】 设球O 的半径为R ，底面正三角形内切圆半径就是球O 的半径，则R ＝13×332＝32，因此球O 的表面积S ＝4πR 2＝3π. 【答案】 3π【命题要点】①根据几何体确定三视图；②根据三视图中的二个视图确定另一个视图.(1)(2013·四川高考)一个几何体的三视图如图4－1－4所示，则该几何体的直观图可以是()图4－1－4(2)(2013·课标全国卷Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()【思路点拨】(1)从俯视图入手求解．(2)首先在空间直角坐标系中画出该四面体，然后根据投影面得到正视图．【自主解答】(1)根据俯视图是圆环，可排除A、B、C，选D.(2)结合已知条件画出图形，然后按照要求作出正视图．根据已知条件作出图形：四面体C1—A1DB，标出各个点的坐标如图(1)所示，可以看出正视图是正方形，如图(2)所示．故选A.【答案】(1)D(2)A1．解答本例(2)时，可先确定四面体各个顶点在投影面上的射影，再根据射影确定正视图．2．空间几何体的三视图问题的求解关键(1)形状的确定：三视图与空间几何体的相互转化是解决这类问题的常用方法．(2)大小的确定：根据三视图的大小可确定几何体的大小，由几何体的大小也可确定出三视图的大小．变式训练1(2013·齐齐哈尔模拟) 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如图4－1－5所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的面积是()A ．4B ．2 3C ．2 D. 3俯视图 图4－1－5【解析】 设正三棱柱的底面边长为a ，则34a 3＝23， ∴a ＝2，从而侧视图的长为2，宽为32×2＝3，侧视图的面积为2 3. 【答案】 B(1)(2013·临沂模拟)某几何体的三视图如图4－1－6所示，其中侧视图中的图弧是半圆，则该几何体的表面积为( )图4－1－6A．92＋14π B．82＋14πC．92＋24π D．82＋24π(2)(2013·浙江高考)若某几何体的三视图(单位：cm)如图4－1－7所示，则此几何体的体积等于________cm3.图4－1－7【思路点拨】(1)首先判定几何体的形状，然后确定几何体表面积的求法．(2)首先判定几何体的形状，然后确定几何体体积的求法．【自主解答】(1)由几何体的三视图，知该几何体的下半部分是长方体，上半部分是半径为2，高为5的圆柱的一半．长方体的中EH＝4，HG＝4，GK＝5，所以长方体的表面积为(去掉一个上底面)2(4×4＋4×5)＋4×5＝92.半圆柱的两个底面积为π×22＝4π，半圆柱的侧面积为π×2×5＝10π，所以整个组合体的表面积为92＋4π＋10π＝92＋14π，选A.(2) 由三视图可知该几何体为一个直三棱柱被截去了一个小三棱锥，如图所示．三棱柱的底面为直角三角形，且直角边长分别为3和4，三棱柱的高为5，故其体积V 1＝12×3×4×5＝30(cm 3)，小三棱锥的底面与三棱柱的上底面相同，高为3，故其体积V 2＝13×12×3×4×3＝6(cm 3)，所以所求几何体的体积为30－6＝24(cm 3)．【答案】 (1)A (2)241．求解几何体的表面积及体积的技巧：(1)求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解．2．根据几何体的三视图求其表面积与体积的步骤： (1)根据给出的三视图判断该几何体的形状． (2)由三视图中的大小标示确定该几何体的各个度量． (3)套用相应的面积公式与体积公式计算求解．变式训练2 (2013·江西高考)一几何体的三视图如图4－1－8所示，则该几何体的体积为( )A ．200＋9πB ．200＋18πC ．140＋9πD ．140＋18π图4－1－8【解析】 由三视图可知该几何体的下面是一个长方体，上面是半个圆柱组成的组合体．长方体的长、宽、高分别为10、4、5，半圆柱底面圆半径为3，高为2，故组合体体积V ＝10×4×5＋9π＝200＋9π.【答案】 A【命题要点】 ①求球的表面积或体积；②求球心到截面的距离.(1)(2013·大连模拟)已知正三棱锥P —ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的球面上，若P A ，PB ，PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为________． (2)(2013·开封模拟)已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球表面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________．【思路点拨】 (1)设△ABC 的中心为M ，球心为O ，在Rt △OAM 中用勾股定理求解． (2)首先确定球的半径与圆锥底面半径的关系，然后确定圆锥的高，求高的比值． 【自主解答】 (1)由于P A ，PB ，PC 两两垂直，则点P 在底面ABC 上的射影就是正三角形ABC 的中心M ，设正三角形ABC 的边长为a ，则三棱锥的侧棱长为22a ，AM ＝33a ，三棱锥的高为h ，在Rt △P AM 中，由勾股定理得P A 2＝PM 2＋AM 2⇒⎝⎛⎭⎫22a 2＝h 2＋⎝⎛⎭⎫33a 2⇒h ＝66a . 再设球心为O ，则OM ⊥底面ABC ，且OM ＝3－h ，在Rt △OAM 中，由勾股定理得OA 2＝OM 2＋AM 2⇒(3)2＝(3－h )2＋⎝⎛⎭⎫33a 2，又h ＝66a ，则解得a ＝22，故球心到截面ABC 的距离为3－h ＝3－66a ＝3－66×22＝33. (2)设球心为O 1，球半径为r 1，圆锥底面圆圆心为O 2，半径为r 2，则有316×4πr 21＝πr 22，即r 2＝32r 1，所以O 1O 2＝r 21－r 22＝r 12，设两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高分别为h 1，h 2，则h 1h 2＝r 1－r 12r 1＋r 12＝13.【答案】 (1)33 (2)131．涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．2．若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且P A ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，由4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．变式训练3 (2013·辽宁高考)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.3172B ．210 C.132D ．310【解析】 因为直三棱柱中AB ＝3，AC ＝4，AA 1＝12，AB ⊥AC ，所以BC ＝5，且BC 为过底面ABC 的截面圆的直径．取BC 中点D ，则OD ⊥底面ABC ，则O 在侧面BCC 1B 1内，矩形BCC 1B 1的对角线长即为球直径，所以2R ＝122＋52＝13，即R ＝132.【答案】 C空间几何体的三视图能让学生经历由三视图到实物图，再到直观图的过程，能较好地考查学生的空间想象能力，命题涉及几何体的结构特征、表面积和体积问题是课标区高考的热点之一．将三视图还原为直观图求几何体的体积已知一个空间几何体的三视图如图4－1－9所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是________ cm 3.图4－1－9【解析】 由三视图知，该空间几何体为一底面是直角梯形的四棱锥，且四棱锥顶点与底面直角顶点的连线垂直于底面．由三视图的数据可知，底面梯形的两底长分别为4和2，梯形的高和四棱锥的高都是2，因此底面梯形面积为S ＝12(2＋4)×2＝6，四棱锥的体积为V＝13×6×2＝4. 【答案】 4 【阅卷心语】易错提示 (1)搞不清正(主)视图中虚线是怎么来的，想象不出空间几何体的形状，或不能根据三视图确定四棱锥的哪一条侧棱垂直于底面．(2)不能根据三视图的有关数据正确得到空间几何体的相关数据，从而得不到正确答案． 防范措施 (1)根据三视图判断空间几何体的形状，应特别注意三个视图中的实线与虚线，知道为什么是实线或虚线，为什么有这些线或没有某些线，对于正(主)视图、侧(左)视图中的直角，更要弄清楚它们是直角的原因．(2)要弄清三视图的有关数据与空间几何体的哪些数据相当，只需搞清由空间几何体如何得到三视图即可，平时应多加练习，总结规律．1．一个几何体的三视图如图4－1－10所示，则它的体积为( )图4－1－10A.203 B.403C ．20D ．40【解析】 由三视图可知，该几何体是一个放倒的四棱锥，如图所示，其中四棱锥的底面是正(主)视图，为直角梯形，直角梯形的上底为1，下底为4，高为4.棱锥的高为4，所以四棱锥的体积为13×1＋42×4×4＝403，选B.【答案】 B2．有一平行六面体的三视图如图4－1－11所示，其中俯视图和侧(左)视图均为矩形，则这个平行六面体的表面积为( )图4－1－11A ．21 3B ．6＋15 3C ．30＋6 3D．42【解析】由三视图可知该平行六面体的底面是个矩形，两个侧面和底面垂直．其中侧棱AA1＝2，底面边长AD＝3，平行六面体的高为3，BE＝2，又AE＝AA21－A1E2＝22－(3)2＝1，所以AB＝1＋2＝3.所以平行六面体的表面积为2(3×3＋3×3＋3×2)＝30＋63，选C.【答案】 C。