人教版高中数学高二必修5练习 等差数列的性质

第二章数列

2.2 等差数列

第2课时等差数列的性质

A级基础巩固

一、选择题

1．设数列{a n}，{b n}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么由a n＋b n所组成的数列的第37项值为() A．0 B．37 C．100 D．－37

解析：设c n＝a n＋b n，则c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100，故d＝c2－c1＝0，故c n＝100(n∈N*)，从而c37＝100.

答案：C

2．如果数列{a n}是等差数列，则下列式子一定成立的有() A．a1＋a8＜a4＋a5B．a1＋a8＝a4＋a5

C．a1＋a8＞a4＋a5D．a1a8＝a4a5

解析：由等差数列的性质有a1＋a8＝a4＋a5.

答案：B

3．在等差数列{a n}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9的值为()

A．30 B．27 C．24 D．21

解析：设b1＝39，b2＝33，b3＝a3＋a6＋a9，则b1，b2，b3成等差数列．

所以39＋b 3＝2b 2＝66，b 3＝66－39＝27.

答案：B

4．下面是关于公差d ＞0的等差数列(a n )的四个命题：

p 1：数列{a n }是递增数列；

p 2：数列{na n }是递增数列；

p 3：数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫a n n 是递增数列； p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．

其中的真命题为( )

A. p 1，p 2

B ．p 3，p 4

C ．p 2，p 3

D ．p 1，p 4

解析：因为a n ＝a 1＋(n －1)d ，d ＞0，所以数列{a n }是递增数列，故p 1正确．同理知p 4正确．

命题p 2中，因为na n ＝na 1＋n (n －1)d 是n 的二次函数

所以其增减与a 1，d 的大小有关，故错误．

命题p 3中，因为a n n ＝a 1n ＋（n －1）n

d 其增减性与a 1与d 的大小有关，所以p 3错．

答案：D

5．下列说法中正确的是( )

A ．若a ，b ，c 成等差数列，则a 2，b 2，c 2成等差数列

B ．若a ，b ，c 成等差数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 成等差数列

C ．若a ，b ，c 成等差数列，则a ＋2，b ＋2，c ＋2成等差数列

D ．若a ，b ，c 成等差数列，则2a ，2b ，2c 成等差数列

解析：因为a ，b ，c 成等差数列，则2b ＝a ＋c ，

所以2b ＋4＝a ＋c ＋4，

即2(b ＋2)＝(a ＋2)＋(c ＋2)，

所以a ＋2，b ＋2，c ＋2成等差数列．

答案：C

二、填空题

6．在等差数列{a n }中，a 3，a 10是方程x 2－3x －5＝0的根，则a 5＋a 8＝________．

解析：由已知得a 3＋a 10＝3.

又数列{a n }为等差数列，

所以a 5＋a 8＝a 3＋a 10＝3.

答案：3

7．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝100，则3a 9－a 13的值为________．

解析：由等差数列的性质可知，a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝(a 3＋a 11)＋(a 5＋a 9)＋a 7＝5a 7＝100，

所以a 7＝20.

所以3a 9－a 13＝2a 9＋a 9－a 13＝(a 5＋a 13)＋a 9－a 13＝a 5＋a 9＝2a 7＝40.

答案：40

8．已知数列{a n }满足a 1＝1，若点⎝ ⎛⎭

⎪⎫a n n ，a n ＋1n ＋1在直线x －y ＋1＝0

上，则a n ＝________________．

解析：由题设可得a n n －a n ＋1n ＋1＋1＝0，即a n ＋1n ＋1－a n n

＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式a n n

＝n ，所以a n ＝n 2.

答案：n 2

三、解答题

9．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…＋a 5＝30，a 6＋a 7＋…＋a 10＝80，求a 11＋a 12＋…＋a 15.

解：法一：因为1＋11＝6＋6，2＋12＝7＋7，…，5＋15＝

10＋10，

所以a 1＋a 11＝2a 6，a 2＋a 12＝2a 7，…，a 5＋a 15＝2a 10.

所以(a 1＋a 2＋…＋a 5)＋(a 11＋a 12＋…＋a 15)＝2(a 6＋a 7＋…＋a 10)．

所以a 11＋a 12＋…＋a 15＝2(a 6＋a 7＋…＋a 10)－(a 1＋a 2＋…＋a 5)＝2×80－30＝130.

法二：因为数列{a n }是等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 5，a 6＋a 7＋…＋a 10，a 11＋a 12＋…＋a 15也成等差数列，即30，80，a 11＋a 12＋…＋a 15成等差数列．

所以30＋(a 11＋a 12＋…＋a 15)＝2×80，

所以a 11＋a 12＋…＋a 15＝130.

10．数列{a n }为等差数列，b n ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫12a n ，又已知b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1b 2b 3＝18

，求{a n }的通项公式． 解：因为b 1＋b 2＋b 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 3＝218，b 1b 2b 3＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫12a 1＋a 2＋a 3＝18

， 所以a 1＋a 2＋a 3＝3.

因为a 1，a 2，a 3成等差数列，可设a 1＝a 2－d ，a 3＝a 2＋d ， 所以a 2＝1.

由⎝ ⎛⎭

⎪⎫121－d ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋d ＝218， 得2d ＋2－d ＝174，解得d ＝2或d ＝－2.

当d ＝2时，a 1＝1－d ＝－1，a n ＝－1＋

2(n －1)＝2n －3；

当d ＝－2时，a 1＝1－d ＝3，

a n ＝3－2(n －1)＝－2n ＋5.

B 级 能力提升

1．若方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14

的等差数列，则|m －n |＝( )