地下水动力学(第三章_地下水向完整井的稳定运动-1-专)
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dh 2 d r dr 0 dr h rR H 0 h r r hW
w
2 求解模型： dh dh d r C1 r dr 0 对微分方程 dr 进行积分，得： dr 通过任一断面的流量相等，并等于抽水量Q，所以
2
d dH r 0 dr dr H H
rR r rw
H0 hW
dH 求解模型： d dH r C1 r 0 对微分方程 dr dr 进行积分，得： dr 通过任一断面的流量相等，并等于抽水量Q，所以
Q K ( 2 rM ) dH dr
第三章 地下水向完整井的稳定运动 §3-1 概 述
一、水井的类型 根据水井井径的大小和开凿方法，分为管井和筒井 两类。 管井：直径通常小于0.5m，深度大，常用钻机开凿。 筒井：直径大于1m，深度浅，通常用人工开挖。 根据水井揭露的地下水类型，水井分为潜水井和承 压水井两类。 根据揭露含水层的程度和进水条件不同，可分为完 整井和不完整井两类。
H hW
Q 2 KM
ln
r rW
ln r rw R rw
(2)/(1) 解得：
H hw H 0 hw ln
此式为稳定井流井附近的承压水水头分布方程。 与流量和渗透系数无关。
二、潜水井的Dupuit公式 1. 假设条件： 在第一节假设条件的基础上，再做如下假设： (1) 流向井的潜水流是近似水平的； (2) 通过不同过水断面的流量处处相等，并等于井 的流量。 2. 数学模型及其解
2 KM r1
联立求得： s1 s 2 潜水井： Q R s 2 H s ln K r 一个观测孔： Q r H s H s ln 两个观测孔： K r
1 0 1 w
lg R
s1 lg r2 s 2 lg r1
2
2
2
0
2
0
1
1
联立求得： lg R
5. 假设条件 本章以后几节中共有的假设条件： (1) 含水层均质、各向同性，产状水平，厚度不变， 分布面积很大，可视为无限延伸； (2) 抽水前的地下水面是水平的，并视为稳定的； (3) 含水层中的水流服从Darcy定律，并在水头下 降的瞬间水就释放出来。如有弱透水层，则忽略其 弹性释水量。
§3-2 地下水向承压水井和潜水井的稳定运动 一、承压井的Dupuit公式 在上假设条件的基础上，将含水层视为半径为R 的圆形岛状含水层，在R处为定水头H0。 这时，水流有如下特征： ① 水流为水平径向流，即流线为指向井轴的径向 直线，等水头面为以井为共轴的圆柱面，并和过水 断面一致； ② 通过各过水断面的流量处处相等，并等于井的 流量。 上述条件下，给出的数学模型为：
3. 抽水井附近观测孔的水位 水平的承压含水层： 完整井：水流基本上水平，同一地点不同深度上 的观测孔内的水位也一致。 不完整井：水流不再水平，等势线呈弯曲状，同 一地点不同深度上的观测孔内的水位不同，降深也 不同。 潜水含水层： 无论是完整井还是非完整井，有无均匀入渗，其 等势线非铅直线，在同一铅直面上，不同深度上的 观测孔的水位是不一致的。
H hW Q 2 KM ln r rW
sw s ln 或 2 KM rW 同理得，有两个观测孔时
H 2 H1 Q 2 KM ln r2 r1
Q
r
或
s1 s 2
Q 2 KM
ln
r2 r1
此式为Thiem公式。
水头方程： 联立方程
H 0 hW Q 2 KM ln R rW
KMs w Q 2 . 73 R lg rw
式中：sw——井中水位降深； Q——抽水井流量； M——含水层厚度； K——渗透系数； rw——井的半径； R——影响半径。 上二式为Dupuit公式。
对于无限含水层，可以当作似稳定处理，R取从抽 水井到明显观测不出水位降深处的径向距离。 但是，对于无限含水层，难以确定R。当有一个观 测孔时，可用一个观测孔的水位或降深。
M
2
hw
2
Q
K
ln
a rw
H0 M Q ln R a
在承压区用承压水Dupuit公式： 2 KM 从二式中消去lna，得承压—潜水井流量公式：
K 2H 0M M Q 1 . 366 R lg rw
2
hw
2
水头预报：无压区用潜水公式，承压区用承压水公式。
(3) 注水井和补给井 承压水井：
M s1 s 2 r1
潜水井：
K 0 . 732
Q
2 H 0 s1 s 2 s1 s 2
lg
r2 r1
(2) 预报流量或降深 利用Dupuit公式.
(3) 影响半径R的确定 承压井： Q R s1 ln 2 KM r1 一个观测孔： 两个观测孔： s1 s 2 Q ln r2
2. 渗出面（水跃）及其对Dupuit公式计算结果的影响 渗出面：在潜水的出口处，潜水位高于地表水位，高出的 面为渗出面。 渗出面的作用： (1) 为井壁和井中提供水头差，使井附近（阴影部分）的 水进入井内。 (2) 保持了适当高度的过水断面，以保证含水层内的水流 入井内。 说明：Dupuit公式中 未考虑渗出面。那么利 用Dupuit公式算出的q与 实际的相符；算出的h 在r≥H0时与实际相符， 在r≤H0时比与实际的低。
并得出如下认识； ① 当降深sw相同时，井 径增加同样的幅度，强透 水岩层中井的流量增加得 比弱透水层中的井多； ② 对于同一岩层，井 径增加同样的幅度，大降 深抽水的流量增加得多， 小降深抽水时流量增加得 少； ③ 对于同样的岩层和 降深，小井径时，由井径 增加所引起的流量增长率 大；中等井径时，增长率 减小；大井径时，流量随 井径的增加就不明显了。
s1 2 H 0 s1 lg r2 s 2 2 H 0 s 2 lg r1
2 H 0 s1 s 2 s1 s 2
四、Dupuit公式的讨论 1. 井径和流量的关系 按Dupuit公式，流量与井径呈半对数关系，井 径对流量的影响不太大。如井径增大一倍，流量 约增加10％，井径增大10倍，流量仅增加40％左 右。 但实际上，井径对流量的影响比Dupuit公式反 映的关系要大得多。如冶金工业部勘察总公司在 北京南苑试验场进行了井径和流量关系的对比试 验，三种井径100mm、150mm、200mm的Q-sw 关 系曲线如图。
H 0 hw Q
K H 0 hw
Q 2 KH
ln
R rw
当井中降深H0－hw = sw＜＜H0时，可视H0≈hw 上式变为：
H 0 hw ln
0
R rw
表明：当含水层很厚而降深相对较小时，潜水含水层可近 似地按承压含水层处理。
(2) 承压—潜水井 在承压含水层中，进行大 降深抽水可能产生无压区。 应分段计算。 在无压区用潜水Dupuit公式：
得： r
dH dr
Q 2 KM
即，
C1
Q 2 KM
将上式分离变量，得： 2 KM 按给出的定解条件取定积分： H dH h 积分得： Q R
0 W
dH
Q
1 r
dr
Q 2 KM
R
1 r
dr
rW
H 0 hW
2 KM
ln
rW
整理，得
或
sw
Q 2 KM
ln
R rW
KM h w H 0 Q 2 . 73 R lg rw
潜水井：
K hw H 0 Q 1 . 366 R lg rw
2
2
三、Dupuit公式的应用 (1) 求含水层参数 无观测孔时，需已知Q、sw、R 承压井： K 0 .366 Q lg R
Ms w rw
潜水井：
K 0 . 732
或
Q 1 . 366 K R rw
Q
2 H 0 s w s w
lg
K
ln
R rw
上二式为潜水井的Dupuit公式。 当有一个观测孔时： h 2 h 2 Q ln r w
K
rw
当有两个观测孔时：
h h
2 2 2 1
பைடு நூலகம்
Q
K
ln
r2 r1
此式为潜水井的Thiem公式。
水头方程： 联立方程
其他条件下，Dupuit公式的推广： (1) 巨厚含水层中的潜水井
这时井的降深仅是含水层厚度的一小部分，将Dupuit公 Q R 式改为：
H 0 h w H 0 h w
K
ln
rw
由于含水层比较厚，所以hw的微小变化（即Δ hw）相对于 H0+hw 很小，可忽略不计，H0+hw = 常数
完整井：水井贯穿整个含水层，在全部含水层厚度 上都安装有过滤器，并能全面进水的井。 不完整井：水井没有贯穿整个含水层，只有井底和 含水层的部分厚度上能进水的井。如图。
二、井附近的水位降深 1. 水位降深 水位降深：初始水头减去抽水t时间后的水头，也 简称降深。用s表示。 降落漏斗：抽水时，井中心降深最大，离井越远， 降深越小，总体上形成的漏斗状水头下降区。 对于潜水含水层，抽水量主要来自含水层的疏干 量；对于承压水，抽水量主要靠含水层的弹性释水量 来供给。所以，在没有其它补给源时，地下水向井的 运动始终处于非稳定状态。
4. 井径和水井内外的水位降深 一般抽水井有三种类型：未下过滤器、下过滤器 和下过滤器并在过滤器外填砾。如图。
(1) 未下过滤器的井：井的半径就是钻孔的半径， 井壁和井中的水位降深一致。 (2) 下过滤器的井：井的直径为过滤器的直径，井 内水位比井壁水位低。 井损：水流流经过滤器的水头损失和在井内部水 向上运动至水泵吸水口时的水头损失统称为井损。 (3) 过滤器周围填砾的井：井周围的渗透性增大， 水力坡度变小，所以降深变小。但是，井损还存在。 这种条件下，井的半径应用有效井半径。 有效井半径：是由井轴到井管外壁某一点的水平 距离。在该点，按稳定流计算的理论降深正好等于 过滤器外壁的实际降深。
Q K ( 2 rh )
dh dr
rK
dh dr
2
得：
r
dh dr
2
Q
K
即，
C1
2
Q
K
将上式分离变量，得： K r H 按给出的定解条件取定积分： h dh 2 积分得： Q R 2 2
0 w
dh
Q 1
dr
Q
K
R
1 r
dr
rw
H 0 hw
K
ln
rw
整理，得： 2 H 0 s w s w
H h
2 0 2 w
Q
K
Q
ln
R rw
h h
2 2 w
K
ln
r rw
r rw R rw
(2)/(1) 解得：
h h H h
2 2 w 2 0
2 w
ln ln
此式为潜水位的分布方程。与流量和渗透系数无关。 说明：由上式计算的浸润曲线，在r＜H0区，低于 实际浸润曲线。这是因为实际存在渗出面，和采用 了Dupuit假设造成的。
Q
2 H 0 s w s w
lg
R rw
有一个观测孔时，需已知Q、sw、s1、r1 Q r 承压井： K 0 . 366 lg M s w s rw 潜水井：
K 0 . 732 Q
2 H 0 s s w s w
lg
r rw
有两个观测孔时，需已知Q、s1、s2、r1 、r2 Q r2 承压井： K 0 .366 lg
2. 抽水时，地下水能达到稳定运动的水文地质条 件 (1) 在有侧向补给的有限含水层中，当降落漏斗扩 展到补给边界后，侧向补给量和抽水量平衡时，地 下水向井的运动便可达到稳定状态。 (2) 在有垂向补给的无限含水层中，随着降落漏斗 的扩大，垂向补给量不断增大。当它增大到与抽水 量相等时，将形成稳定的降落漏斗，地下水向井的 运动也进入稳是状态。 (3) 在没有补给的无限含水层中，随着抽水时间的 延长，水位降深的速率会越来越小，降落漏斗的扩 展越来越慢，在短时间内观测不到明显的水位下降， 这种情况称为似稳定状态，也称似稳定。
造成上述原因的两种观点： (1) 由于井周围的紊流和三维流的影响。 (2) 流量Q的大小，受两方面因素的影响，一方 面在含水层内流动，另一方面在井管内向上运动 至吸水口。水从含水层流入井内时，流量不但与 K和J有关，而且与过水断面有关，当井径小时， 由于过水断面小，限制了含水层中的水向井管内 流动；同时，也限制了井管内水向上流动。所以， 小井径时，这种限制明显，流量随井径的变化明 显；大井径时，这种限制不明显，流量随井径的 变化不明显。
w
2 求解模型： dh dh d r C1 r dr 0 对微分方程 dr 进行积分，得： dr 通过任一断面的流量相等，并等于抽水量Q，所以
2
d dH r 0 dr dr H H
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H0 hW
dH 求解模型： d dH r C1 r 0 对微分方程 dr dr 进行积分，得： dr 通过任一断面的流量相等，并等于抽水量Q，所以
Q K ( 2 rM ) dH dr
第三章 地下水向完整井的稳定运动 §3-1 概 述
一、水井的类型 根据水井井径的大小和开凿方法，分为管井和筒井 两类。 管井：直径通常小于0.5m，深度大，常用钻机开凿。 筒井：直径大于1m，深度浅，通常用人工开挖。 根据水井揭露的地下水类型，水井分为潜水井和承 压水井两类。 根据揭露含水层的程度和进水条件不同，可分为完 整井和不完整井两类。
H hW
Q 2 KM
ln
r rW
ln r rw R rw
(2)/(1) 解得：
H hw H 0 hw ln
此式为稳定井流井附近的承压水水头分布方程。 与流量和渗透系数无关。
二、潜水井的Dupuit公式 1. 假设条件： 在第一节假设条件的基础上，再做如下假设： (1) 流向井的潜水流是近似水平的； (2) 通过不同过水断面的流量处处相等，并等于井 的流量。 2. 数学模型及其解
2 KM r1
联立求得： s1 s 2 潜水井： Q R s 2 H s ln K r 一个观测孔： Q r H s H s ln 两个观测孔： K r
1 0 1 w
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5. 假设条件 本章以后几节中共有的假设条件： (1) 含水层均质、各向同性，产状水平，厚度不变， 分布面积很大，可视为无限延伸； (2) 抽水前的地下水面是水平的，并视为稳定的； (3) 含水层中的水流服从Darcy定律，并在水头下 降的瞬间水就释放出来。如有弱透水层，则忽略其 弹性释水量。
§3-2 地下水向承压水井和潜水井的稳定运动 一、承压井的Dupuit公式 在上假设条件的基础上，将含水层视为半径为R 的圆形岛状含水层，在R处为定水头H0。 这时，水流有如下特征： ① 水流为水平径向流，即流线为指向井轴的径向 直线，等水头面为以井为共轴的圆柱面，并和过水 断面一致； ② 通过各过水断面的流量处处相等，并等于井的 流量。 上述条件下，给出的数学模型为：
3. 抽水井附近观测孔的水位 水平的承压含水层： 完整井：水流基本上水平，同一地点不同深度上 的观测孔内的水位也一致。 不完整井：水流不再水平，等势线呈弯曲状，同 一地点不同深度上的观测孔内的水位不同，降深也 不同。 潜水含水层： 无论是完整井还是非完整井，有无均匀入渗，其 等势线非铅直线，在同一铅直面上，不同深度上的 观测孔的水位是不一致的。
H hW Q 2 KM ln r rW
sw s ln 或 2 KM rW 同理得，有两个观测孔时
H 2 H1 Q 2 KM ln r2 r1
Q
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或
s1 s 2
Q 2 KM
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r2 r1
此式为Thiem公式。
水头方程： 联立方程
H 0 hW Q 2 KM ln R rW
KMs w Q 2 . 73 R lg rw
式中：sw——井中水位降深； Q——抽水井流量； M——含水层厚度； K——渗透系数； rw——井的半径； R——影响半径。 上二式为Dupuit公式。
对于无限含水层，可以当作似稳定处理，R取从抽 水井到明显观测不出水位降深处的径向距离。 但是，对于无限含水层，难以确定R。当有一个观 测孔时，可用一个观测孔的水位或降深。
M
2
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2
Q
K
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H0 M Q ln R a
在承压区用承压水Dupuit公式： 2 KM 从二式中消去lna，得承压—潜水井流量公式：
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2
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2
水头预报：无压区用潜水公式，承压区用承压水公式。
(3) 注水井和补给井 承压水井：
M s1 s 2 r1
潜水井：
K 0 . 732
Q
2 H 0 s1 s 2 s1 s 2
lg
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(2) 预报流量或降深 利用Dupuit公式.
(3) 影响半径R的确定 承压井： Q R s1 ln 2 KM r1 一个观测孔： 两个观测孔： s1 s 2 Q ln r2
2. 渗出面（水跃）及其对Dupuit公式计算结果的影响 渗出面：在潜水的出口处，潜水位高于地表水位，高出的 面为渗出面。 渗出面的作用： (1) 为井壁和井中提供水头差，使井附近（阴影部分）的 水进入井内。 (2) 保持了适当高度的过水断面，以保证含水层内的水流 入井内。 说明：Dupuit公式中 未考虑渗出面。那么利 用Dupuit公式算出的q与 实际的相符；算出的h 在r≥H0时与实际相符， 在r≤H0时比与实际的低。
并得出如下认识； ① 当降深sw相同时，井 径增加同样的幅度，强透 水岩层中井的流量增加得 比弱透水层中的井多； ② 对于同一岩层，井 径增加同样的幅度，大降 深抽水的流量增加得多， 小降深抽水时流量增加得 少； ③ 对于同样的岩层和 降深，小井径时，由井径 增加所引起的流量增长率 大；中等井径时，增长率 减小；大井径时，流量随 井径的增加就不明显了。
s1 2 H 0 s1 lg r2 s 2 2 H 0 s 2 lg r1
2 H 0 s1 s 2 s1 s 2
四、Dupuit公式的讨论 1. 井径和流量的关系 按Dupuit公式，流量与井径呈半对数关系，井 径对流量的影响不太大。如井径增大一倍，流量 约增加10％，井径增大10倍，流量仅增加40％左 右。 但实际上，井径对流量的影响比Dupuit公式反 映的关系要大得多。如冶金工业部勘察总公司在 北京南苑试验场进行了井径和流量关系的对比试 验，三种井径100mm、150mm、200mm的Q-sw 关 系曲线如图。
H 0 hw Q
K H 0 hw
Q 2 KH
ln
R rw
当井中降深H0－hw = sw＜＜H0时，可视H0≈hw 上式变为：
H 0 hw ln
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R rw
表明：当含水层很厚而降深相对较小时，潜水含水层可近 似地按承压含水层处理。
(2) 承压—潜水井 在承压含水层中，进行大 降深抽水可能产生无压区。 应分段计算。 在无压区用潜水Dupuit公式：
得： r
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Q 2 KM
即，
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将上式分离变量，得： 2 KM 按给出的定解条件取定积分： H dH h 积分得： Q R
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潜水井：
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三、Dupuit公式的应用 (1) 求含水层参数 无观测孔时，需已知Q、sw、R 承压井： K 0 .366 Q lg R
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潜水井：
K 0 . 732
或
Q 1 . 366 K R rw
Q
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上二式为潜水井的Dupuit公式。 当有一个观测孔时： h 2 h 2 Q ln r w
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h h
2 2 2 1
பைடு நூலகம்
Q
K
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此式为潜水井的Thiem公式。
水头方程： 联立方程
其他条件下，Dupuit公式的推广： (1) 巨厚含水层中的潜水井
这时井的降深仅是含水层厚度的一小部分，将Dupuit公 Q R 式改为：
H 0 h w H 0 h w
K
ln
rw
由于含水层比较厚，所以hw的微小变化（即Δ hw）相对于 H0+hw 很小，可忽略不计，H0+hw = 常数
完整井：水井贯穿整个含水层，在全部含水层厚度 上都安装有过滤器，并能全面进水的井。 不完整井：水井没有贯穿整个含水层，只有井底和 含水层的部分厚度上能进水的井。如图。
二、井附近的水位降深 1. 水位降深 水位降深：初始水头减去抽水t时间后的水头，也 简称降深。用s表示。 降落漏斗：抽水时，井中心降深最大，离井越远， 降深越小，总体上形成的漏斗状水头下降区。 对于潜水含水层，抽水量主要来自含水层的疏干 量；对于承压水，抽水量主要靠含水层的弹性释水量 来供给。所以，在没有其它补给源时，地下水向井的 运动始终处于非稳定状态。
4. 井径和水井内外的水位降深 一般抽水井有三种类型：未下过滤器、下过滤器 和下过滤器并在过滤器外填砾。如图。
(1) 未下过滤器的井：井的半径就是钻孔的半径， 井壁和井中的水位降深一致。 (2) 下过滤器的井：井的直径为过滤器的直径，井 内水位比井壁水位低。 井损：水流流经过滤器的水头损失和在井内部水 向上运动至水泵吸水口时的水头损失统称为井损。 (3) 过滤器周围填砾的井：井周围的渗透性增大， 水力坡度变小，所以降深变小。但是，井损还存在。 这种条件下，井的半径应用有效井半径。 有效井半径：是由井轴到井管外壁某一点的水平 距离。在该点，按稳定流计算的理论降深正好等于 过滤器外壁的实际降深。
Q K ( 2 rh )
dh dr
rK
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2
得：
r
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2
Q
K
即，
C1
2
Q
K
将上式分离变量，得： K r H 按给出的定解条件取定积分： h dh 2 积分得： Q R 2 2
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Q 1
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Q
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1 r
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整理，得： 2 H 0 s w s w
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2 0 2 w
Q
K
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K
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(2)/(1) 解得：
h h H h
2 2 w 2 0
2 w
ln ln
此式为潜水位的分布方程。与流量和渗透系数无关。 说明：由上式计算的浸润曲线，在r＜H0区，低于 实际浸润曲线。这是因为实际存在渗出面，和采用 了Dupuit假设造成的。
Q
2 H 0 s w s w
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有一个观测孔时，需已知Q、sw、s1、r1 Q r 承压井： K 0 . 366 lg M s w s rw 潜水井：
K 0 . 732 Q
2 H 0 s s w s w
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有两个观测孔时，需已知Q、s1、s2、r1 、r2 Q r2 承压井： K 0 .366 lg
2. 抽水时，地下水能达到稳定运动的水文地质条 件 (1) 在有侧向补给的有限含水层中，当降落漏斗扩 展到补给边界后，侧向补给量和抽水量平衡时，地 下水向井的运动便可达到稳定状态。 (2) 在有垂向补给的无限含水层中，随着降落漏斗 的扩大，垂向补给量不断增大。当它增大到与抽水 量相等时，将形成稳定的降落漏斗，地下水向井的 运动也进入稳是状态。 (3) 在没有补给的无限含水层中，随着抽水时间的 延长，水位降深的速率会越来越小，降落漏斗的扩 展越来越慢，在短时间内观测不到明显的水位下降， 这种情况称为似稳定状态，也称似稳定。
造成上述原因的两种观点： (1) 由于井周围的紊流和三维流的影响。 (2) 流量Q的大小，受两方面因素的影响，一方 面在含水层内流动，另一方面在井管内向上运动 至吸水口。水从含水层流入井内时，流量不但与 K和J有关，而且与过水断面有关，当井径小时， 由于过水断面小，限制了含水层中的水向井管内 流动；同时，也限制了井管内水向上流动。所以， 小井径时，这种限制明显，流量随井径的变化明 显；大井径时，这种限制不明显，流量随井径的 变化不明显。