自学学习单：等式的性质
人教版七年级数学上册3.等式的性质课件
3
左边= 1 27 5 9 5 4 =右边.
3
方程的左右两边相等，所以 x 27 是方程 1 x 5 4 的解． 3
课堂小结
本节课内容有：
等式的性质1： 如果 a b，那么a c b c.
如果 a b，那么 ac bc ；
等式两边加上同一个数 （或式子），结果仍相等.
cd
实验探究 学习新知
d d dd
c+d=4d
c+d-d=4d-d
平衡的天平两边减去同样的 物品，天平还保持平衡.
等式两边减去同一个数 （或式子），结果仍相等.
实验探究 学习新知
如果在平衡天平的两边都加（或减）同样的量， 天平还保持平衡. 等式的性质1： 等式两边加（或减）同一个数(或式子)，
(3)如果 x y
(4)如果 x y
如果 x y aa
，那么 3x 3y .
，那么 x y . aa
，那么 x y .
（√ ） （ ×） （√）
应用举例 学以致用
例题 根据等式的性质，请在○内填运算符号，在（ ）内填数.
（1）如果 x 3 2 ，那么 x 3 3 2 ○＋ （ 3 ）;
2. 等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个
数或同一个式子;
3. 等式两边都不能除以0，因为0不能作除数或分母.
简记为：等式两边同加同减同乘同除，结果仍相等，但除数不能为0 .
应用举例 学以致用
例题 判断对错，并说明理由.
(1)如果 x y ，那么 x 5 y 5. （√ ） (2)如果 x y ，那么 x 2 y 2 . （× ）
通常可以用 a b 表示一般的等式.
等式的性质
基 本
等式的性质2
如果a＝b(c≠0)，那么ac
b c
性 质
应用
运用等式的基本性质，把方
程“化归”为最简形式x=a
当堂达标
1.下列各式变形正确的是（ A.由3x-1=2x+1得3x-2x=1+1 C.由2(x+1)=2y+1得x+1=y+1 2.填空
） B. 由5+1=6得5=6+1 D.由2a+3b=c-6得2a=c-18b
学习目标
1、掌握理解等式的两条基本性质。 2、会用等式的基本性质解简单的一元一次程。
自学指导
自研自探（5分钟） 认真看课本81页～82页的内容，看图、看文字并思考
下面的问题： 1、什么是等式的性质1？如何用字母表示？ 2、什么是等式的性质2？如何用字母表示？注意乘、
除的区别. 3、认真看课本82页例2，思考每题是怎样转化为X=a
2
的形式？分别运用等式的哪个性质？
等式的性质1： 等式两边加（或减）同一个 数(或式子)，结果仍相等. 如果a＝b，那么a±c＝b±c
等式的性质2： 等式两边乘同一个数，或除以 同一个不为0的数，结果仍相等 .如果a＝b，那么ac＝bc；如果a＝b(c≠0)，那么 a b
cc
1.等式两边都要参加运算，并且是作同一种运算. 注意： 2.等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个
C. mx－y=my－y
D. amx=amy
问题探究
由 3x 2 4
1、解方程的最
方程两边同时加上2
终目的是什么？ （方程解的形式）
可得 3x 2 2 4
xa
即3x=
等式的性质新人教版
（３）由m=n,得m－2x2=n－2x2
依据：等式性质1：等式两边同时减去2x2.
（４）由2x=x－5，得2x+x=－5
左边加x，右边减去x.运算符号不一致
精品课件
（５）由x=y，y=5.3，得x=5.3 等式的传递性。
（６）由－2=x，得x=－2 等式的对称性。
精品课件
例１：利用等式的性质解下列方程
1 x72;6 25x2;0
3 1 3x54 .
解：（１）两边减7，得 x 7 7 2 7 6
x19
（２）两边同除以－５，得
5x 20
5 5
x4
（３）两边加５，得 1 3x 5 5 4 5
化简，得
13x9
两边同乘－３，精品得课件 x27
小试牛刀
1、利用等式的性质解下列方程并检验
(1x)56
(2)0.3x45
解：两边加5，得 解：两边除以0.3，得
x5565 x 11
0.3x 45 0.3 0.3
检验：把 x11代入方程
x150
左边 1 156
右边=6
所以左边=右边
检验：把x150代入方程
左边 0.3154 05
右边=45 所以左边=右边
所以 x11是方程的解精品课所件 以x150是方程的解
精品课件
等式的性质2：
为０
两边乘同一个数，或除以同一个不
的数，结果仍相等。
即：如果 ab ,那么 a cbc
如果 ab（c≠0） ,那么
a c
b c
精品课件
练习：1.下列方程变形是否正确？如果正确， 说 明变形的根据；如果不正确，说明理由。 （1）由x=y，得x+3=y+3
等式的性质
如果m=n,那么m×d= n( )d
如果a+b=8,那么(a+b)÷4=8÷( )
（2）等式两边乘同一个数，或除以同一个（ ）的数，左右两边仍然相等
合学：
任务三
1、小组内互相交流独学中遇到的疑惑，并把没有解决的疑惑记录下来。
2、从a+2=b+2中能否得到a=b为什么？
从x=y中能否得到x÷12=y÷12依据是什么？
3、根据题意写方程。
（1）五二班有45名学生，开学后又转来X名。现在五二班有多少名学生？
（2）水果店有600千克苹果，卖了3筐，每筐X千克，还剩335千克。
（3）一个数的5倍加上这个数的2倍等于2.8，求这个数？
思学：
——————————————————————————————————————————————————————————————————————等级评价
3、思考：等式的两边为什么要除以同一个不为零的数，左右两边才能相等？等式的两边同时乘零，左右两边相等吗？
4、上面出现的这些等式有什么共同性质？你能总结一下吗？
展学：（组长抽取展示任务，认真思考我们组最棒！）
测学：
1、根据等式的基本性质判断下题是否正确。
(1)因为35+5=40，所以35+5-5=40-6。（ ）
五年级上册数学《等式的性质》导学案
主备
刘爱芳
姓名
班级
课时
第8课时
学习目标
1、我能理解并能用语言表述等式的基本性质。
2、我能用等式的基本性质解决简单问题。
独学：（自学课本64页和65页）
任务一
如果a=b,那么a+（）=b+8
如果x=y,那么x-3=y-( )
(学案)等式性质与不等式性质
等式性质与不等式性质【学习目标】梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质．【学习重难点】等式与不等式的性质。
【学习过程】一、自主学习知识点一：实数大小比较1．文字叙述如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b，反之也成立．2．符号表示a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b．状元随笔比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a－b与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a－b的符号，变形的常用方法有配方、分解因式等．}a>b c>0⇒ac>bc}a>b c<0⇒ac<bca>b c>d⇒a＋c>b＋da>b>0c>d>0⇒ac>bd状元随笔（1）性质3是移项的依据．不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边．即a＋b>c⇒a>c－b．性质3是可逆性的，即a>b⇔a＋c>b＋c．（2）注意不等式的单向性和双向性．性质1和3是双向的，其余的在一般情况下是不可逆的．（3）在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．要克服“想当然”“显然成立”的思维定势．教材解难：教材P40思考等式有下面的基本性质：性质1：如果a＝b，那么b＝a；性质2：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4：如果a＝b，那么ac＝bc；性质5：如果a＝b，c≠0，那么ac＝bc．基础自测：1．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T满足关系（）A．T<40B．T>40C．T≤40D．T≥40解析：“限重40吨”是不超过40吨的意思．答案：C2．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是（）A ．M >NB ．M ＝NC ．M <ND ．与x 有关解析：因为M －N ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0，所以M >N ．答案：A3．已知x <a <0，则一定成立的不等式是（ ） A ．x 2<a 2<0 B ．x 2>ax >a 2 C ．x 2<ax <0 D ．x 2>a 2>ax解析：因为x <a <0，不等号两边同时乘a ，则ax >a 2；不等号两边同时乘x ，则x 2>ax ，故x 2>ax >a 2．答案：B4．若1≤a ≤5，－1≤b ≤2，则a －b 的取值范围为________． 解析：因为－1≤b ≤2，所以－2≤－b ≤1， 又1≤a ≤5，所以－1≤a －b ≤6． 答案：－1≤a －b ≤6 二、素养提升题型一：比较大小（教材P 38例1）例1：比较（x ＋2）（x ＋3）和（x ＋1）（x ＋4）的大小． 解析：因为（x ＋2）（x ＋3）－（x ＋1）（x ＋4） ＝（x 2＋5x ＋6）－（x 2＋5x ＋4） ＝2>0，所以（x ＋2）（x ＋3）>（x ＋1）（x ＋4）．状元随笔通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系． 教材反思用作差法比较两个实数大小的四步曲跟踪训练1：若f （x ）＝3x 2－x ＋1，g （x ）＝2x 2＋x －1，则f （x ）与g （x ）的大小关系是（ ）A ．f （x ）<g （x ）B ．f （x ）＝g （x ）C ．f （x ）>g （x ）D ．随x 值变化而变化解析：f （x ）－g （x ）＝（3x 2－x ＋1）－（2x 2＋x －1） ＝x 2－2x ＋2＝（x －1）2＋1>0， 所以f （x ）>g （x ）．故选C ． 答案：C作差→变形→判断差的符号→结合差的符号判定大小 题型二：不等式的性质[经典例题] 分析条件→利用不等式性质逐一判断 例2：对于实数a 、b 、c ，有下列说法： ①若a >b ，则ac <bc ； ②若ac 2>bc 2，则a >b ； ③若a <b <0，则a 2>ab >b 2；④若c >a >b >0，则a c －a >bc －b；⑤若a >b ，1a >1b ，则a >0，b <0． 其中正确的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：对于①，令c ＝0，则有ac ＝bc ．①错． 对于②，由ac 2>bc 2，知c ≠0， ∴c 2>0⇒a >b ．②对． 对于③，由a <b <0， 两边同乘以a 得a 2>ab ， 两边同乘以b 得ab >b 2， ∴a 2>ab >b 2．③对．对于④，⎭⎬⎫c >a >b >0⇒c －a >0，c －b >0a >b ⇒－a <－b ⇒c －a <c －b ⇒0<c －a <c －b ⇒⎭⎪⎬⎪⎫1c －a >1c －b >0a >b >0⇒a c －a >b c －b ．④对．对于⑤，⎭⎪⎬⎪⎫a >b ⇒a －b >01a >1b ⇒b －a ab >0⇒⎭⎪⎬⎪⎫ab <0a >b ⇒a >0，b <0．⑤对． 故选C ． 答案：C 方法归纳：（1）首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质． （2）解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．跟踪训练2：（1）已知a <b ，那么下列式子中，错误的是（ ） A ．4a <4b B ．－4a <－4b C ．a ＋4<b ＋4 D ．a －4<b －4（2）对于任意实数a ，b ，c ，d ，下列命题中正确的是（ ） A ．若a >b ，c ≠0，则ac >bc B ．若a >b ，则ac 2>bc 2 C ．若ac 2>bc 2，则a >bD．若a>b，则1 a< 1 b解析：（1）根据不等式的性质，a<b，4>0⇒4a<4b，A项正确；a<b，－4<0⇒－4a>－4b，B项错误；a<b⇒a＋4<b＋4，C项正确；a<b⇒a－4<b－4，D项正确．利用不等式的性质，解题关键找准使不等式成立的条件．（2）对于选项A，当c<0时，不正确；对于选项B，当c＝0时，不正确；对于选项C，∵ac2>bc2，∴c≠0，∴c2>0，∴一定有a>b．故选项C正确；对于选项D，当a>0，b<0时，不正确．答案：（1）B；（2）C题型三：利用不等式性质求范围例3：已知－2<a≤3，1≤b<2，试求下列代数式的取值范围：（1）|a|；（2）a＋b；（3）a－b；（4）2a－3b．解析：（1）|a|∈[0，3]；（2）－1<a＋b<5；（3）依题意得－2<a≤3，－2<－b≤－1，相加得－4<a－b≤2；（4）由－2<a≤3得－4<2a≤6①，由1≤b<2得－6<－3b≤－3②，由①②得，－10<2a－3b≤3．状元随笔运用不等式性质研究代数式的取值范围，关键是把握不等号的方向．方法归纳：利用不等式性质求范围的一般思路（1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；（2）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；（3）结合不等式的传递性进行求解．跟踪训练3：已知实数x，y满足：1<x<2<y<3，（1）求xy的取值范围；（2）求x－2y的取值范围．解析：（1）∵1<x<2<y<3，∴1<x<2，2<y<3，则2<xy<6，则xy的取值范围是（2，6）．（2）由（1）知1<x<2，2<y<3，从而－6<－2y<－4，则－5<x－2y<－2，即x－2y的取值范围是（－5，－2）．状元随笔（1）根据不等式的性质6可直接求解；（2）求出－2y的取值范围后，利用不等式的性质5即可求x－2y的取值范围．三、学业达标（一）选择题1．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A 、B 的大小关系是（ ） A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <B 或A >B D ．A >B解析：因为A －B ＝a 2＋3ab －（4ab －b 2）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＋34b 2≥0，所以A ≥B ．答案：B2．已知：a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是（ ） A ．若a >b ，c >b ，则a > c B ．若a >－b ，则c －a <c ＋bC ．若a >b ，c <d ，则a c >bd D ．若a 2>b 2，则－a <－b解析：选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立；选项C 不满足倒数不等式的条件，如a >b >0，c <0<d 时，不成立；选项D 只有a >b >0时才可以．否则如a ＝－1，b ＝0时不成立．答案：B3．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是（ ） A ．－2<α－β<0 B ．－2<α－β<－1 C ．－1<α－β<0 D ．－1<α－β<1解析：∵－1<β<1，∴－1<－β<1． 又－1<α<1，∴－2<α＋（－β）<2，又α<β，∴α－β<0，即－2<α－β<0．故选A ． 答案：A4．有四个不等式：①|a |>|b |；②a <b ；③a ＋b <ab ；④a 3>b 3．若1a <1b <0，则不正确的不等式的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3解析：由1a <1b <0可得b <a <0，从而|a |<|b |，①不正确；a >b ，②不正确；a ＋b <0，ab >0，则a ＋b <ab 成立，③正确；a 3>b 3，④正确．故不正确的不等式的个数为2．答案：C （二）填空题5．已知a ，b 均为实数，则（a ＋3）（a －5）________（a ＋2）（a －4）（填“>”“<”或“＝”）． 解析：因为（a ＋3）（a －5）－（a ＋2）（a －4）＝（a 2－2a －15）－（a 2－2a －8）＝－7<0，所以（a ＋3）（a －5）<（a ＋2）（a －4）．答案：<6．如果a >b ，那么c －2a 与c －2b 中较大的是________． 解析：c －2a －（c －2b ）＝2b －2a ＝2（b －a ）<0． 答案：c －2b 7．给定下列命题：①a >b ⇒a 2>b 2；②a 2>b 2⇒a >b ；③a >b ⇒ba <1；④a >b ，c >d ⇒ac >bd ；⑤a >b ，c >d ⇒a －c >b －d ．其中错误的命题是________（填写相应序号）．解析：由性质7可知，只有当a >b >0时，a 2>b 2才成立，故①②都错误；对于③，只有当a >0且a >b 时，ba <1才成立，故③错误；由性质6可知，只有当a >b >0，c >d >0时，ac >bd 才成立，故④错误；对于⑤，由c >d 得－d >－c ，从而a －d >b －c ，故⑤错误．答案：①②③④⑤ （三）解答题8．已知x <1，比较x 3－1与2x 2－2x 的大小． 解析：x 3－1－（2x 2－2x ）＝x 3－2x 2＋2x －1＝（x 3－x 2）－（x 2－2x ＋1）＝x 2（x －1）－（x －1）2＝（x －1）（x 2－x ＋1）＝（x －1）·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34， 因为x <1，所以x －1<0，又因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，所以（x －1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34<0，所以x 3－1<2x 2－2x ．9．若bc －ad ≥0，bd >0．求证：a ＋b b ≤c ＋dd ． 证明：因为bc －ad ≥0，所以ad ≤bc ，因为bd >0，所以a b ≤cd ，所以a b ＋1≤cd ＋1，所以a ＋b b ≤c ＋d d ． 尖子生题库：10．设f （x ）＝ax 2＋bx ，1≤f （－1）≤2，2≤f （1）≤4，求f （－2）的取值范围． 解析：方法一：设f （－2）＝mf （－1）＋nf （1）（m ，n 为待定系数）， 则4a －2b ＝m （a －b ）＋n （a ＋b ）＝（m ＋n ）a ＋（n －m ）b ， 于是得⎩⎨⎧ m ＋n ＝4n －m ＝－2，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝1∴f （－2）＝3f （－1）＋f （1）． 又∵1≤f （－1）≤2，2≤f （1）≤4． ∴5≤3f （－1）＋f （1）≤10， 故f （－2）的取值范围是[5，10]． 方法二：由⎩⎨⎧f －1＝a －b f1＝a ＋b，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f －1＋f 1]b ＝12[f1－f－1]，∴f （－2）＝4a －2b ＝3f （－1）＋f （1）． 又∵1≤f （－1）≤2，2≤f （1）≤4， ∴5≤3f （－1）＋f （1）≤10， 故f （－2）的取值范围是[5，10]．。
等式的性质(七年级数学)
探究新知
学生活动一 【一起归纳】
等式的性质1： 等式两边加（或减）同一个数(或式子)，结果仍相等.
如果a＝b，那么a±c＝b±c.
探究新知
等式的性质2： 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数， 结果仍相等.
如果a＝b，那么ac＝bc；
如果a＝b，c≠0，那么
a c
＝
b c
．
探究新知
学生活动二 【一起探究】
C．由2x－3＝x－1得2x－x＝－1－3
D．由－
1 4
x＝1得x＝－4
巩固练习
4．由23x＋2＝0得x＝－3可分两步，按步骤完成下列填空：
第第一二步步：：根根据据等等式 式的的性性质质____12__，，等等式式两两边边__减乘____232__得得到到x＝23 x－＝3－. 2；
5．利用等式的性质解方程：
(4)如果
1 2
x＝－4，那么__x__＝－8，根据是_等__式__的__性__质__2_．
巩固练习
2．如果mx＝my，那么下列等式中不一定成立的是 ( D )
A．mx＋1＝my＋1
B．mx－3＝my－3
C．－
1 2
mx＝－
1 2
my
D．x＝y
3．下列方程的变形，符合等式的性质的是 ( D )
A．由2x－3＝7得2x＝7－3 B．由－3x＝5得x＝5＋3
学生活动三 【一起归纳】
解以x为未知数的方程，就是把方程 逐步转化为x=m（常数）的形式，等式 的性质是转化的重要依据.
探究新知
学生活动四 【一起探究】 一般地，从方程解出未知数的值以后，可以代入原方程检验， 看这个值能否使方程的两边相等.例如，
探究新知
2 等式的性质
（B）
B.
若
a c
b c
，则a
=
b
D. 若 1 x 6，则x = －2
3
4、已知mx=my，下列结论错误的是
（A）
A. x=y
B. a+mx=a+my
C. mx－y=my－y
D. amx=amy
5. 利用等式的性质解下列方程并检验.
(1) x+6 = 17
(2) -3x = 15
(3) 2x -1 = -3 (5) 1 1 x 3.
-6
A.若x=3，则3=x.
B.若x=y，y=z，则
x=z.
1
b
D 2C..如若果abm=x1=，m则ya，=那么下列等式D中.若不2一+定a=成b立-3的，是则( )
A4.+m2xa+=12=bm-3y. +1
B.mx－3=my－3
C.-mx=-my
D.x=y m≠0
3. 下列变形，正确的是 A. 若ac = bc，则a = b C. 若a2 = b2，则a = b
解：依题意可得：10x+1-(10+x) = 18， 9x-9 = 18， 9x = 27， x = 3.
等式 的
基本 性质
课堂小结
基本性质1 如果a=b，那么a±c=b±c.
基本性质2
如果a=b，那么ac=bc；
如果a=b（c≠0），那么
a c
b c
.
应用 运用等式的性质把方程“化归”
为最简的形式 x = a
如果a＝b，那么a±c＝b±c.
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个 不为0的数，结果仍相等.
3.1.2 等式的性质教案
3.1.2 等式的性质1.了解等式的两条性质.2.会用等式的性质解简单的一元一次方程.3.培养学生观察、分析、概括及逻辑思维能力.4.渗透“化归”的思想.自学指导看书学习第82、83页的内容，思考下列问题.1.等式的性质有哪几条？用字母怎样表示？字母代表什么？2.解方程的依据是什么？知识探究1.如果a =b ，那么a ±c =b ±c (字母a 、b 、c 可以表示具体的数，也可以表示一个式子).2.如果a =b ，那么ac =bc .3.如果a =b (c ≠0)，那么c a =cb . 自学反馈1.已知a =b ，请用等于号“=”或不等号“≠”填空：（1）3a =3b ；（2）4a =4b ；（3）-5a =-5b . 2.利用等式的性质解下列方程：(1)x +7=26； (2)-5x =20； (3)-2(x +1)=10.解：（1）x =19；（2）x =-4；（3）x =-6.注意用等式性质对方程进行逐步变形，最终可变形为“x =a ”的形式.活动1：小组讨论利用等式的性质解下列方程并检验：(1)x -9=6； (2)-0.2x =10； (3)3-31x =2； (4)-2x +1=0； (5)4(x +1)=-20. 解：（1）x =15；（2）x =-50；（3）x =3；（4）x =21；（5）x =-6.运用等式的性质解方程不能漏掉某一边或某一项.活动2：活学活用利用等式的性质解下列方程并检验：(1)x +5=8； (2)-x -1=0； (3)-2-41x =2； (4)6x -2=0. 解：（1）x =3；（2）x =-1；（3）=-16；（4）x =31.1.等式有哪些性质？2.在用等式的性质解方程时要注意什么？教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.。
解一元一次方程--等式的性质
-10 3.如果-m n 5 m 5，那么n 。 ab b 3 4.如果 4，那么 。 a a
2 2
18
教案
课题：2 .1.2 等式的性质（1）
①了解等式性质 1； 教学目标 ②会用等式的性质 1 解简单的一元一次方程； ③培养学生观察、分析、概括及逻辑思维能力； ④渗透“化归”的思想． 理解和应用等式的性质 1 应用等式性质 1 把简单的一元一次方程化成“x=a”. 教学过程（师生活动） 用估 算的方法 我们可以 求出简单 的一元 一次方程 的解． 你能用这种方法求出下列方程的解吗？ 提出问题 （1） 4x＝24； (2) x+1=3. 第(1) 题要 求学生给 出解答， 第(2)题较 复杂，估 算比较 困难， 此时教师提 出：我们必 须学习解一 元一次方程 的其他 方法． ①实验演示： 教师 先提出实 验的要求 ：请同学 们仔细 观察实验 的过程， 思考能否从中发现规律，再用自己的语言叙述你发现的规律． 教师可以进行两次不同物体的实验． ②归纳： 请几名学生回答前面的问题． 在学生 叙述发现的 规律后，教 师进一步引 导：等式就 像平衡 的天平 ，它具有与 上面的事实 同样的性质 ．比如 “8=8” ，我 们在两 边都加上 6 ，就有“ 8＋6=8＋ 6” ；两边 都减去 11，就 探究新知 有“8－11=8－11” ③表示： 问题 1：你能用文字来叙述等式的这个性质吗？ 在学 生回答的 基础上， 教师必须 说明： 等式两边 加上的 可以是同一个数，也可以是同一个式子． 问题 2： 等式一般可以用 a=b 来表示． 等式的性质 1 怎样 用式子的形式来表示？ 如果 a=b，那么 a ±c =b±c 字母 a、 b、 可以表示具体的数，也可以表示一个 c 式子。 举例的目 的在于 得到初步的应用 . 两种形式 的表示 方法应该 让学生 理解 先观察后 实验的 目的 一是 培养 学 生 的 看 图 能 力，二是 培养学 生读数学 书的能 力 用实验演 示，能 比较直观 地归纳 出等式的性质 设计理念 第 （1） 题是为了 复习，第（2） 题 是 估 算 比 较 困 难，以引 起学生 认知冲突 ，引出 新课
等式的性质(2)
9 9 8 6x 6x 9
当堂检测：
xa ya A、
C、2 x 2 y
2. 已知 x y ，则下面变形错误的是（ D ）
xa ya B、
x y D、 a a
3、利用等式性质解下列方程并检验 （1） 5 x 10 0 （2）5x+4=0
1 x3 (4) 4
2+3
小结：
本课你有什么收获？
当堂检测
1.在下面的括号内填上适当的数或者式子：
（1）若： 则： （2）若： 则：
2x 6 4 2x 6 6 4 6 3x 2 x 8 3x 2 x 2 x 8 2 x
（3）若： 10x 9 8 6 x 则：10x 6 x
强调：一般情况下，先消去等号左边不含未知数的项，再
自学检测 : 1、如果x-3=2，那么x-3+3=
根据（等式性质1，在等式两边同加3 ） 2、如果4x=-12y，那么x= -3y 根据 等式性质2，在等式两边同时除以4 （ ） 3、利用等式性质解下列方程并检验 （1）x-5=9 (2)x+6=8 (3) 5x=10
3.1.2等式的性质（2）
学习目标：
能利用等式的性质问题。
自学指导：
认真阅读教材P82页的例2。思考以下问题： 1.利用等式性质解方程最终要把方程转化成什么形 式？具体每一步怎么做？
消去等号右边含有未知数的项，即使所含未知数的项在等 号左边，常数项在等号右边。 2.说说每一步的依据。（注意解题格式）
1 (3) x 5 4 3
2 4 x 10 （4）
（5）0.5x-6=0.5 （6）4-3x=7
作
人教版七年级数学上册3.1.2等式的性质
【等式性质1如果a b，那么a c b c.
】 【等式性质2如果a b，那么ac bc. 】
如果a bc 0 ,那么a b .
cc
1.等式两边都要参加运算，并且是作同
注 一种运算. 意 2.等式两边加或减,乘或除以的数一定是
同一个数
或同一个式子.
3ａ+ｂ-2 ＝2ａ+ｂ-2
3ａ+ｂ＝2ａ+ｂ
第一步
3ａ＝2ａ
第二步
3＝2
第三步
上述变形是否确？若不正确，请指明
错在哪一步？原因是什么？怎么改正？
解：不正确.错在第三步，两边同除以a时， 不能保证a不等于0. 改正：两边同时减2a,得a=0.
下面两位同学解不等式 的过程存在什么问题？
课堂小结
3.等式两边不能都除以0，即0不能作除
归纳
等式的性质1: 等式两边加（或减）同一个数（或式 子），结果仍相等。
如果a=b，那么a+c=b+c
归纳
等式的性质2: 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
如果a=b，那么ac=bc； 如果a=b（c ≠ 0），那么
a c
b c
学以致用：
已知m+a=n+b，根据等式的性质变形为m=n,
解：给等式两边同时减7，得
（1）如果5+x=4，那么x=____（
）
3ａ+ｂ-2 ＝2ａ+ｂ-2
(6)如果
，那么
.
如果a=b,那么ac=bc.
1. 改正：两边同时减2a,得a=0.
-4x+5x＝-5x+5x-9，
《不等式的基本性质》 学习任务单
《不等式的基本性质》学习任务单一、学习目标1、理解并掌握不等式的基本性质。
2、能够运用不等式的基本性质进行简单的不等式变形和证明。
3、通过对不等式基本性质的探索和应用，培养逻辑推理能力和数学思维。
二、学习重点1、不等式的三个基本性质的内容及证明。
2、运用不等式的基本性质进行不等式的变形和求解。
三、学习难点1、对不等式基本性质 3 的理解和应用。
2、灵活运用不等式的基本性质解决实际问题。
四、知识回顾在学习不等式的基本性质之前，我们先来回顾一下等式的基本性质：1、等式两边同时加上（或减去）同一个数或整式，等式仍然成立。
2、等式两边同时乘以（或除以）同一个不为 0 的数，等式仍然成立。
五、学习过程（一）不等式的基本性质 1如果 a ＞ b，那么 a ＋ c ＞ b ＋ c ；如果 a ＜ b，那么 a ＋ c ＜ b ＋c 。
也就是说，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
例如：若 x ＞ 5，那么 x ＋ 3 ＞ 5 ＋ 3 ，即 x ＋ 3 ＞ 8 。
证明：因为 a ＞ b，所以 a b ＞ 0 。
那么（a ＋ c) （b ＋ c) ＝ a ＋c b c ＝ a b ＞ 0 ，所以 a ＋ c ＞ b ＋ c 。
（二）不等式的基本性质 2如果 a ＞ b，c ＞ 0 ，那么 ac ＞ bc ；如果 a ＜ b，c ＞ 0 ，那么 ac ＜ bc 。
即不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
举例：若 2 ＞ 1 ，且 3 ＞ 0 ，则 2×3 ＞ 1×3 ，即 6 ＞ 3 。
证明：因为 a ＞ b ，c ＞ 0 ，所以 a b ＞ 0 。
ac bc ＝ c(a b) ，因为c ＞ 0 ，a b ＞ 0 ，所以 c(a b) ＞ 0 ，即 ac bc ＞ 0 ，所以 ac ＞ bc 。
（三）不等式的基本性质 3如果 a ＞ b，c ＜ 0 ，那么 ac ＜ bc ；如果 a ＜ b，c ＜ 0 ，那么 ac ＞ bc 。
人教版七年级数学上册：3.1.2等式的性质(教案)
-通过具体的数值例子（如2x = 6），让学生观察并理解等式两边同时除以2后，等式依然成立（x = 3）。
-引导学生从实例中总结出等式的性质，强调这一性质在解题过程中的重要性。
2.教学难点
-理解等式性质中的“同时”概念，即等式两边的操作必须同时进行。
-理解并应用等式的性质解决含有变量的等式问题。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与等式的性质相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用尺子和平衡器来模拟等式的性质。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.培养学生逻辑推理能力：通过探索等式的性质，使学生能够理解并运用等式性质进行简单的逻辑推理，提高解决问题的能力。
2.培养学生数学抽象能力：使学生能够从具体的等式实例中抽象出等式的性质，形成对等式概念的一般性认识。
3.培养学生数学建模能力：让学生在实际问题中运用等式的性质构建数学模型，学会将现实问题转化为数学问题，并解决问题。
人教版七年级数学上册：3.1.2等式的性质。本节课我们将学习以下内容：
1.等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍得等式。
2.等式的性质2：等式两边乘（或除以）同一个数（或式子），结果仍得等式（除数不为0）。
二、核心素养目标
我还注意到，在小组讨论中，有些学生较为内向，不太愿意主动表达自己的观点。为了鼓励这些学生，我尝试在讨论过程中给予他们更多的关注和肯定。在未来，我打算设计一些更包容的讨论形式，让每个学生都有机会发表自己的看法。
此外，通过今天的课堂总结，我发现学生们对等式的性质的应用有了更深的理解。但在回顾环节，也有学生提出了关于等式性质在更复杂问题中如何应用的问题。这提醒我，在未来的课程中，需要逐步增加难度，让学生面对更具挑战性的问题，从而提高他们解决问题的能力。
等式的基本性质
数学
七年级
上册
3.1 从算式到方程（第3课时） 3.1.2 等式的性质
本课时简要说明
本课学习等式的概念和等式的两条性质并能运用这两 条性质解简单的一元一次方程. 等式的性质是解方程的根 据．本节课直接利用等式的两条性质讨论一些简单的一元 一次方程的解法. 这将为后面几节进一步讨论较复杂的一 元一次方程的解法准备理论依据． 学习目标： 1. 了解等式的概念和等式的两条性质并能运用这两条性 质解简单的一元一次方程. 2. 经历等式的两条性质的探究过程，培养观察、归纳的 能力． 3. 在运用等式的性质把简单的一元一次方程化成x＝a的 形式的过程中，渗透化归的数学思想． 学习重点： 了解等式的两条性质并能运用它们解简单的一元一次方程.
把方程化为最简的 式：x = a(常数） 即:方程左边只一个未知数项、且未知 数项的系数是 1,右边只一个常数项.
【总结提升】 利用等式的性质解简单的一元一次方程的方法： 1.用等式的性质1化去方程等号左边的常数.
2.用等式的性质2把方程左边未知数的系数化为1，
最终转化为x=a(常数)的形式.
3.当未知数的系数是分数时，一般两边同乘未知
化简，得 5 x＝－4 .
三、应用举例
学以致用
练习：用等式的性质解下列方程并检验： （1）x－5＝6； （2）0.3x＝45； 1 （3）5x＋4＝0； （4） 2－ x＝3 . 4 1 解：（4）两边减2，得 2－ x－.2＝3－2 4 1 化简，得 － x＝1 . 4 两边乘以－4，得 x＝－4. 1 检验：当x＝－4时，左边＝2－ ×(－4)＝3＝右边， 4 所以x＝－4是原方程的解.
如果a＝b，那么a±c＝b±c
二、实验探究
学习新知
等式的性质
目标及重点
你能用估算的方法求下列方程的解吗？
(1) x 2 5
很简单，就是 x 3
1 (2) x 5 4 3
到底是什么呢？
探究新知 用估算的方法可以求出简单的一元一次方程 的解．你能用估算的方法求出下列方程的解 吗？ （1）3x－5＝22； （2）0.28－0.13y＝0.27y＋1． 用估算的方法解比较复杂的方程是困难的. 因此，我们还要讨论怎样解方程.
①4+x=7， ② 2x, ③ 3>1, ④ a+b=b+a, ⑤ a2+b2≥0 ⑥ c=2πr ⑦ 1+2=3, ⑧ ⑩ 2x-3y
2 3
ab, ⑨ S=
1 2
ah,
上述这组式子中，( ①④⑥⑦⑨)是等式， ( ②③⑤⑧⑩ ) 不是等式，为什么？
实验探究
由它你能发现什么规律？如果在平衡天平的两边 都加（或减）同样的量，天平还保持平衡.
c c
注意： 1. 等式两边都要参加运算，并且是作同一种运算. 2. 等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个 数或同一个式子. 3. 等式两边不能都除以0，即0不能作除数或分母.
练一练：判断对错，对的请说出根据等式的哪 一条性质，错的请说出为什么。
1) 2) 3) 4)
2 2 5) 如果x y ，那么 x y a a x y 6) 如果x y ， a 1 那么 a 1 a 1
像这样用等号“=”表示相等关系的式 子叫等式 在等式中，等号左（右）边的式子叫做 这个等式的左（右）边
判断下列各式是否为等式？
(1) 2 1
(2) a b
(3) x 2x 3x (4) m n n m
等式的性质
幻灯片出示检测题，学生板演，其余学生独立完成，学生自由更正。
五、拓展训练
六、课堂小结
课题：等式的性质
学习目标
掌握等式的性质，能利用他们探究一元一次方程的解法。
学习重点
等式的性质。
学习难点
利用等式的性质探究一元一次方程的解法。
教具准备
教材、课件。
教学过程
教学目标
掌握等式的性质，能利用他们探究一元一次方程的解法。
三、自学指导
自学教材81—82页内容，尝试总结等式的性质，并举例说明。利用等式的性质探究一元一次方程的解法。独立完成教材83页练习。
等式的基本性质
8.3等式的基本性质【学习目标】1、能探索出等式的基本性质1和基本性质22、理解等式的基本性质3、会用等式的基本性质进行等式的变形【学习过程】一、学前准备预习疑难摘要：二、探究活动（一）自主学习阅读课本P163中的3个小问题，并探索下面的问题：等式的基本性质1，等式的两边都加上（或减去）等式的两边仍然相等。
习题：利用等式的基本性质填空：（1）如果12 x+4=6，那么12 x=6+ （2）如果4a+3b=5，那么4a=5― （二）合作交流阅读课本P164中5——7小问题，问答下列各题：等式的基本性质2、等式两边都乘（或除以）等式的两边仍然相等。
习题：利用等式的基本性质填空：（1）如果-2x=2y ，那么x= ，理由（2）如果a 8 =b 4， 那么a= ，理由 （三）挑战自我：体会课本P164中9小题中的天平解释了等式的哪些基本性质？三、小结反思四、当堂测试1、在下列括号内填上适当的数或整式，使所得的结果仍是等式，并说明是根据等式的哪一条基本性质以及怎样变形的？（1）如果x ―1=y ―1，那么( )（2）如果2a=―2b ，那么a=( )（3）如果12x=3，那么x=( ) （4）如果3m=7+2m ，那么3m ―( )=72、下列变性错误的是（ ）A 、若a=b ，则a+c=b+c ，B 、若a+2=b+2，则a=b ，C 、若4=x ―1，则x=4+1，D 、若2+x=3，则x=3+23、若mx=my ，则当m 满足条件 时，x=y 成立4、若3x+7y=4y+5，则x+y=5、已知等式a ―2b=b ―2a ―3成立，试利用等式的基本性质比较a 、b 的大小。
五、布置作业8.4一元一次方程的解法（1）【学习目标】1、掌握一元一次方程的解法；2、理解一元一次方程的解答步骤，并灵活运用；3、在解一元一次方程中，培养推理意识，优化意识和代归意识【学习过程】一、学前准备预习疑难摘要：二、探究活动1、阅读教材P165“交流与发现”从中，你发现了什么？填空：把方程中的某一项．．． 后，从方程的一边 另一边，这种变形，叫做 。
等式的性质
（3）如果10X=50,那么20x=50×（ ）
10
以
什么方式自学
观察学生的情况，作记录
1、独立思考、自主学习，并完成相关问题
2、记录自学过程中，自己的疑问
3、试归纳等式的性质
小组
交流
静静的观察、记录，了解同学们的交流情况
1、组内相互检测，并进行疑问交流
2、组内交流自己的结果，并通过讨论将统一的结果（或疑问）记录下来
3、组内交流自己的结论，讨论加深对等式性质的理解
5
展示
点拨
1、强调先独立观察并完成知识点的学习，从知识点的操练中加深对方程意义的理解。
2、引导学生归纳总结等式的性质
1、小组选代表发言展示本小组的讨论结果
2、其他小组补充
3、学生静静的听老师对疑难点的点拨，并作好课堂笔记
我的问题是：
各抒己见，说出本节课的学习心得
3
板书设计：
等式的性质
等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等；
等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。
教学反思：
教研组长审批签字：审批时间：
学生活动
时间
课前三
分钟
1、下面哪些是等式？哪些是方程？
（1）35-χ =12（2）0.49÷χ =7（3）Y+24（4）35+65=10（5）5 χ+32=47（6）χ-14＞72（7）28＜16+14（8）6(a+2)=42
2、什么叫方程？
3、判断：方程一定是等式，等式一定就是方程
3
导入
明标
展示学习目标
5
训练
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- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（2）释疑解惑（各小组提出任务单上为达成共识的问题，组间互相解决）；
（3）总结反思（巩固学习成果，提出困惑和建议）.
二、学习任务
1．什么是等式？请举例说明；
2.方程是___的等式.
3.等式有的性质：
（1）观察课本81页图3．1-1，由它你能发现什么规律？
3.1.2《等式的性质》自主学习任务单姓名：
一、学习指南
1.课题名称：人教版七年级上册数学3.1.2《等式的性质》
2.达成目标：
阅读教材81-82内容，完成任务单中的规定的任务:
（1）掌握等式的两条性质；
（2）能运用这两条性质解方程.
3.课堂学习形式预告：在3.1.2《等式的性质》课堂上有3个学习环节，请做好准备：
（3）从ab=bc能否得到a=c，为什么？
（4）从 = ，能否得到a=c，为什么？
（5）从xy=1，能否得到x= ，为什么？
2.利用等式的性质解下列方程并检验：
（1）x-5=6 (2)0.3x=45
(3)5x+4=0 (4)2- x=3
四、困惑和建议
等式性质2：
用式子的形式表示这个性质
4.你能利用等式的性质解下列方程吗？试一试，注意表达的格式；
（1）x+7=26；（2）-5x=20；（3）- x-5=4．
5.怎样判断一个值是不是方程的解？举例说明；
三、自学检测：
1.回答下列问题：
（1）从a+b=b+c，能否得到a=c，为什么？
（2）从a-b=c-b，能否得到a=c，为什么？
从左往右看，发现如果在平衡的天平的两边都加上同样的量，天平还_________；
从右往左看，是在平衡的天平的两边都减去同样的量，结果天平还是___________；
等式的性质1：.
用式子的形式表示这个性质
（2）观察课本图3．1-2，由它你能发现什么规律？
可以发现，如果把平衡的பைடு நூலகம்平两边的量都乘以（或除以）同一个量，天平还________；