二次函数图像与系数关系含答案
二次函数中各项系数abc与图像的关系
二次函数中各项系数a ，b ，c 与图像的关系一、首先就y=ax 2+bx+c （a≠0）中的a ，b ，c 对图像的作用归纳如下：1 a 的作用：决定开口方向：a > 0开口向上；a < 0开口向下；决定张口的大小：∣a ∣越大，抛物线的张口越小．2 b 的作用：b 和a 与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关．b 与a 同号，说明02<-a b ，则对称轴在y 轴的左边； b 与a 异号，说明−b 2a >0，则对称轴在y 轴的右边；特别的，b = 0，对称轴为y 轴．3 c 的作用：c 决定了抛物线与y 轴的交点纵坐标．抛物线与y 轴的交点（0，c ）c > 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴；c < 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴；特别的，c = 0，抛物线过原点．4 a,b,c 共同决定判别式?=b 2−4ac 的符号进而决定图象与x 轴的交点b 2−4ac >0 与x 轴两个交点b 2−4ac =0 与x 轴一个交点b 2−4ac <0 与x 轴没有交点5 几种特殊情况：x=1时，y=a + b + c ；x= -1时，y=a - b + c ．当x = 1时，① 若y > 0，则a + b + c >0；② 若y < 时0，则a + b + c < 0当x = -1时，① 若y > 0，则a - b + c >0；② 若y < 0，则a - b + c < 0．扩：x=2, y=4a + 2b + c ；x= -2, y=4a -2b + c ； x=3, y=9a +3 b + c ；x= -3, y=9a -3b + c 。
一．选择题（共8小题）1．已知二次函数y=ax 2+bx +c 的图象大致如图所示，则下列关系式中成立的是（ ）A ．a ＞0B ．b ＜0C ．c ＜0D ．b +2a ＞02．如果二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是（ ）A ．a ＞0B ．b ＜0C ．ac ＜0D ．bc ＜0．3．已知二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc ＞0；②b ＜a +c ；③4a +2b +c ＞0；④b 2﹣4ac ＞0；其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，对于下列结论：①a ＜0；②b ＜0；③c ＞0；④2a +b=0；⑤a ﹣b +c ＜0，其中正确的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个第3题图 第4题图 第5题图 第6题图5．二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，给出下列四个结论：：①a ＜0；②b ＞0；③b 2﹣4ac ＞0；④a +b +c ＜0；其中结论正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图所示，抛物线y=ax 2+bx +c 的顶点为（﹣1，3），以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；②4a ﹣2b +c ＜0；③2c﹣b=3；④a+3=c，其中正确的个数（）A．1 B．2 C．3 D．47．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，下列给出四个结论中，正确结论的个数是（）个①c＞0；②若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2；③2a﹣b=0；④＜0；⑤4a﹣2b+c＞0．A．2 B．3 C．4 D．58．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④当x＜时，y随x的增大而减小；⑤a+b+c＞0．其中正确的有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个二．填空题（共4小题）9．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大；其中结论正确有．10．一抛物线和抛物线y=﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为．11．抛物线y=ax2+12x﹣19顶点横坐标是3，则a=．12．将二次函数y=x2+6x+5化为y=a（x﹣h）2+k的形式为．三．解答题（共7小题）13．已知：抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果此抛物线沿y轴平移一次后过点（﹣2，1），试确定这次平移的方向和距离．14．函数y=（m+2）是关于x的二次函数，求：（1）满足条件的m值；（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．这时，当x为何值时，y随x的增大而增大？（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时，当x为何值时，y随x的增大而减小．15．已知二次函数的图象经过（0，0）（﹣1，﹣1），（1，9）三点．（1）求这个函数的解析式；（2）求这个函数图象的顶点坐标．16．已知抛物线的顶点坐标是（1，﹣4），且经过点（0，﹣3），求与该抛物线相应的二次函数表达式．17．已知二次函数y=x2﹣4x+5．（1）将y=x2﹣4x+5化成y=a （x﹣h）2+k的形式；（2）指出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；（3）当x取何值时，y随x的增大而增大？18．如图，二次函数的图象的顶点坐标为（1，），现将等腰直角三角板直角顶点放在原点O，一个锐角顶点A在此二次函数的图象上，而另一个锐角顶点B在第二象限，且点A的坐标为（2，1）．（1）求该二次函数的表达式；（2）判断点B是否在此二次函数的图象上，并说明理由．19．已知二次函数y=a（x﹣h）2，当x=4时有最大值，且此函数的图象经过点（1，﹣3）．（1）求此二次函数的解析式；（2）当x为何值时，y随x的增大而增大？。
二次函数图象与字母系数的关系判定方法
二次函数图象与字母系数的关系判定方法(含例题讲解) 二次函数是初中数学的重点内容之一，它的图像是由字母系数a、b、c的符号确定的，反之在给定抛物线的条件下如何确定字母系数的范围呢?现将二次函数的图像与字母系数的关系归纳如下：
二次函数图象与字母系数的关系判定方法(含例题讲解)
（1）抛物线开口向上；
抛物线开口向下．
（2）抛物线开口大小，越大开口越小
（3）、同号对称轴在轴左侧；
、异号对称轴在轴右侧；
=0对称轴为轴．
（4）抛物线与轴的交点在轴上方；
抛物线与轴的交点在轴下方；
抛物线必过原点．
（5）抛物线与轴有两个交点；
抛物线与轴有唯一交点；
抛物线与轴没有交点．
（6）的符号由点( 1，)的位置来确定；
的符号由点( -1，)的位置来确定；
的符号由点(2，)的位置来确定。
例1：
如图1是抛物线的图像，则① 0；② 0；③ 0；④ 0；⑤ 0；⑥ 0；
⑦ 0。
解析：由图知：抛物线开口向下，；对称轴在轴左侧，、同号，故；抛物线与轴的交点在轴上方，；点( 1，)、点( -1，)分别在第四象限和第二象限，得<0, >0；抛物线与轴有两个交点，得；由对称轴得=0．
例2
如图2，已知二次函数的图像与轴相交于(，0 )，(，0)两点，且，与轴相交于(O，-2)，下列结论：①；②；③；④；⑤。
．其
中正确结论的个数为( )
A．1个个个D．4个
解析：由图知：.当时，，所以，故③错误；因为抛物线与轴有两个交点，所以即，所以④正确；当时，由图像得，即
，所以，故①错误；因为，又，所以，故②错；当时，，即，所以故⑤错误．所以答案选A．。
中考数学总复习《二次函数图像与系数的关系》练习题及答案
中考数学总复习《二次函数图像与系数的关系》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a-b+c＞1；③abc＞0；④4a-2b+c＜0；⑤c-a＞1其中所有正确结论的序号是()A．①②B．①③④C．①②③⑤D．①②③④⑤2．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（）A．ac＞0B．b＞0C．a+c＜0D．a+b+c＝03．如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(﹣1，0)，其部分图象如图所示．下列结论：①abc＜0；②3a+c=0；③当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；④方程ax2+bx+c﹣3=0有两个不相等的实数根；⑤点(﹣2，y1)，(2，y2)都在抛物线上，则有y1＜0＜y2．其中结论正确的个数是()．A．1个B．2个C．3个D．4个4．在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y＝ax2＋bx＋c的一部分图象如图所示，它与x轴交于A(1，0)，与y轴交于点B(0，3)，则a的取值范围是（）A．a＜0B．－3＜a＜0C．a<−32D．−92<a<−325．在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是A．B．C．D．6．已知b＜0时，二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象如下列四个图之一所示．根据图象分析，a的值等于()A．－2B．－1C．1D．27．对于二次函数y=﹣（x+1）2﹣3，下列结论正确的是（）A．函数图象的顶点坐标是（﹣1，﹣3）B．当x＞﹣1时，y随x的增大而增大C．当x=﹣1时，y有最小值为﹣3D．图象的对称轴是直线x=18．二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：x…-5-4-3-2-10…y…40-2-204…A．抛物线的开口向下B．当时，y随x的增大而增大C．二次函数的最小值是D．抛物线的对称轴是直线9．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0B．当x≥1时，y随x的增大而增大C．c＜0D．当﹣1＜x＜3时，y＞010．如图，在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+2(a≠0)与y=−ax2−2x(a≠0)的图象可能是（）．A．B．C．D．11．已知二次函数y=﹣（x+k）2+h，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，则函数中k的取值范围是（）A．k≥﹣2B．k≤﹣2C．k≥2D．k≤212．已知：二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，则下列答案正确的是（）A．a＞0，b＞0，c＞0，△＜0B．a＜0，b＞0，c＜0，△＞0C．a＞0，b＜0，c＜0，△＞0D．a＜0，b＜0，c＞0，△＜0二、填空题13．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图（虚线部分为对称轴），给出以下6个结论：①abc＞0；②a﹣b+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2a＜3b；⑤x＜1时，y随x的增大而增大；⑥a+b＜m（am+b）（m为实数且m≠1）其中正确的结论有（填上所有正确结论的序号）14．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则由此可得a0，b0，c 0.（填“<”或“>”）15．老师给出一个二次函数，甲，乙，丙三位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数的图象经过第一、二、四象限；乙：当x＜2时，y随x的增大而减小．丙：函数的图象与坐标轴只有两个交点．已知这三位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数．16．如果抛物线y＝（m﹣1）x2有最低点，那么m的取值范围为．17．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0）．对于下列命题：①b-2a=0；②abc＜0；③a-2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有。
二次函数系数a、b、c与图像的关系
二次函数系数a、b、c与图象的关系知识归纳：1.a的作用：决定开口方向和开口大小2.a与b的作用：左同右异（对称轴的位置）3.c的作用：与y轴交点的位置。
4.b2-4ac的作用：与x轴交点的个数。
5.几个特殊点：顶点，与x轴交点，与y轴交点，（1，a+b+c), (-1,a-b+c) （2，4a+2b+c), （-2，4a-2b+c)。
针对训练：1.判断下列各图中的a、b、c及△的符号。
(1)a___0； b___0； c___0；△__0.(2)a___0； b___0； c___0；△__0.(3)a___0； b___0； c___0；△__0.(4)a___0； b___0； c___0；△__0.(5)a___0； b___0； c___0；△__0.2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，用（＞，＜，=）填空：a___0； b___0； c___0； a+b+c__0； a-b+c__0.3.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图1所示，则下列关于a 、b 、c 间的关系判断正确的是（ ）A.ab<0B.bc<0C.a+b+c>0D.a －b+c<04.二次函数y=ax 2+bx+c 图象如图，则点 A （b 2-4ac ，-ba ）在第 象限．5．已知 a ＜0，b ＞0，c ＞0，那么抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示，判断下列各式的符号：(1)a ； (2)b ； (3)c ； (4)a+b+c ； (5)a-b+c ；(6)b 2-4ac ；(7)4ac-b 2； (8)2a+b ； (9)2a-b7.练习：填空（1）函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的函数值恒为正的条件： ，恒为负的条件： .（2）已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象在x 轴的下方，则方程ax 2+bx+c=0的解得情况为：.3题图 4题图 6题图（3）二次函数y=ax 2+bx+c 中，ac ＜0，则抛物线与x 轴有 交点。
初中数学《二次函数图像与系数的六种关系》含解析
二次函数图像与系数的六种关系题型01a与图像的关系【典例分析】1(23-24九年级上·河北保定·期末)二次函数y=ax2的图象如图所示，则a的值可能为()A.2B.0C.-1D.-2【答案】A【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象的开口方向求解即可．【详解】解：由图象知，二次函数y=ax2的图象开口向上，则a>0，故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意，故选：A2(2024九年级·全国·专题练习)在同一个平面直角坐标系中，二次函数y1=a1x2，y2=a2x2，y3=a3x2的图象如图所示，则a1，a2，a3的大小关系为．【答案】a3>a2>a1#a1<a2<a3【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线的开口方向和开口大小由a的值决定的，a 越大，开口越小，掌握抛物线的开口方向和开口大小由a的值决定是解题的关键．【详解】解：由抛物线开口方向可知，a1、a2、a3为正数，又由开口大小可得，a3>a2>a1，故答案为：a3>a2>a13(23-24九年级上·福建厦门·阶段练习)已知y=k+2x k2+k-4是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大．求k的值，并画出它的图象；【答案】k=-3【分析】根据二次函数定义以及当x<0时，y随x的增大而增大．可得出函数解析式，再描点画图即可；【详解】解：由y=k+2x k2+k-4是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大，得k2+k-4=2，k+2<0解得：k=-3或k=2(舍去)；二次函数的解析式为y=-x2，如图所示：【变式演练】1(23-24九年级上·山东青岛·阶段练习)图中与抛物线y=13x2，y=2x2，y=-13x2，y=-2x2，的图象对应的是()A.①②④③B.②①④③C.①②③④D.②①③④【答案】B【分析】本题考查了二次函数的图象．抛物线的形状与a和a 有关，根据a 的大小即可确定抛物线的开口的宽窄．【详解】解：∵①②开口向上，则a>0，∵②的开口最宽，∴y=13x2是②，y=2x2是①，∵③④开口向下，则a<0，∵④的开口最宽，∴y=-13x2是④，y=-2x2是③，综上，依次②①④③，故选：B2(23-24九年级上·吉林松原·阶段练习)二次函数y=k+2x2的图象如图所示，则k的取值范围是．【答案】k>-2【分析】由图示知，该抛物线的开口方向向上，则系数k+2>0，据此易求k的取值范围．【详解】解：如图，抛物线的开口方向向上，则k+2>0，解得k>-2．故答案为：k>-2．【点睛】本题考查了二次函数的图象．二次函数y=ax2的系数a为正数时，抛物线开口向上；a为负数时，抛物线开口向下；a的绝对值越大，抛物线开口越小3(24-25九年级上·全国·假期作业)已知函数y=(m+3)x m2+3m-2是关于x的二次函数．(1)求m的值；(2)当m为何值时，该函数图像的开口向下？(3)当m为何值时，该函数有最小值？(4)试说明函数的增减性．【答案】(1)m=-4或m=1(2)当m=-4时，该函数图像的开口向下(3)当m=1时，原函数有最小值(4)见解析【分析】(1)由二次函数的定义可得m2+3m-2=2m+3≠0故可求m的值．(2)图像的开口向下，则m+3<0，结合(1)中的结果，即可得m的值；(3)函数有最小值，则m+3>0，结合(1)中的结果，即可得m的值；；(4)根据(1)中求得的m的值，先求出抛物线的解析式，函数的增减性由函数的开口方向及对称轴来确定．【详解】(1)根据题意，得m2+3m-2=2 m+3≠0，解得m1=-4,m2=1 m≠-3，∴当m=-4或m=1时，原函数为二次函数．(2)∵图像开口向下，∴m+3<0，∴m<-3，∴m=-4，∴当m=-4时，该函数图像的开口向下．(3)∵函数有最小值，∴m+3>0，则m>-3，∴m=1，∴当m=1时，原函数有最小值．(4)当m=-4时，此函数为y=-x2，开口向下，对称轴为y轴，当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小；当m=1时，此函数为y=4x2，开口向上，对称轴为y轴，当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数的增减性．二次函数的最值是顶点的纵坐标，当a>0时，开口向上，顶点最低，此时纵坐标为最小值；当a<0时，开口向下，顶点最高，此时纵坐标为最大值．考虑二次函数的增减性要考虑开口方向和对称轴两方面的因素，因此最好画图观察．题型02b与图像的关系【典例分析】1(21-22九年级上·安徽合肥·开学考试)已知二次函数y=-x2+2m-1x-3，当x>1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是()A.m<32B.m≤32C.m≤12D.m<-12【答案】B【分析】本题主要考查二次函数图象对称轴，增减性，解一元一次不等式的问题，根据题意可得二次函数图象的对称轴为x=2m-22，结合函数图象的增减性可得2m-12≤1，由此即可求解，掌握二次函数图象的性质，解不等式的方法是解题的关键．【详解】解：二次函数y=-x2+2m-3x-3中，a=-1<0，b=2m-1，c=-3，∴图象开口向下，对称轴为x=-2m-12×-1=2m-12，∵当x>1时，y随x的增大而减小，∴2m-12≤1，解得，m≤3 2，故选：B2(2023·九年级上·西藏日喀则·)已知抛物线γ=x²+mx的对称轴为直线x=2．则m的值是() A.-4 B.1 C.4 D.-1【答案】A【分析】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质，对于二次函数y=ax2+bx+c，其对称轴为直线x=-b2a，据此即可求解．【详解】解：由题意得：抛物线γ=x²+mx的对称轴为直线：x=-b2a=-m2×1=-m2，∴-m2=2解得：m=-4故选：A3(23-24九年级上·安徽淮北·阶段练习)抛物线y=-x2+2ax+3的对称轴位于y轴的右侧，与x轴交于点A，B(点B在点A的右边)，且AB=4．(1)此抛物线的顶点坐标为．(2)当-1≤x≤m时，-5≤y≤4，则m的值为．【答案】1,44【分析】(1)令y=0，则x2-2ax-3=0．设A x1,0，B x2,0，则x1+x2=2a，x1x2=-3．根据AB=4，得出x2-x1=4，结合完全平方公式得出x2-x12=x1+x22-4x1x2=16，求出a的值，即可求解；(2)根据二次函数的性质可得当x=1时，y取得最大值4．求出当x=-1时，y=0>-5，且-5≤y≤4，得出m>1，则当x=m时，y=-5，即可求解．【详解】解：(1)令y=0，则-x2+2ax+3=0，即x2-2ax-3=0．设A x1,0，B x2,0，则x1+x2=2a，x1x2=-3．∵AB=4，∴x2-x1=4，∴x2-x12=x1+x22-4x1x2=16，∴4a2+12=16，∴a=±1．∵抛物线的对称轴位于y轴的右侧，即a=1，∴y=-x2+2x+3=-x-12+4，∴抛物线的顶点坐标为1,4．(2)∵y=-x2+2x+3=-x-12+4，∴当x=1时，y取得最大值4．∵当x=-1时，y=0>-5，且-5≤y≤4，∴m>1，∴当x=m时，y=-5，∴-m2+2m+3=-5，∴m=4或m=2(舍去)．故答案为：1,4，4．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数与x轴交点坐标的求法，将二次函数表达式化为顶点式的方法和步骤，以及二次函数的增减性【变式演练】1(22-23九年级上·福建厦门·期中)已知抛物线y=-x2+6-2mx-3的对称轴在y轴的右侧，当x >2时，y的值随着x值的增大而减小，则m的取值范围是()A.m≥1B.m<3C.-3<m≤1D.1≤m<3【答案】D【分析】先得出抛物线对称轴为直线x=3-m，根据抛物线y=-x2+6-2mx-3的对称轴在y轴的右侧，可得m<3，根据当x>2时，y的值随着x值的增大而减小，得出m≥1，即可求解．【详解】解：∵抛物线y=-x2+6-2mx-3的对称轴在y轴的右侧，∴x=-b2a =6-2m2=3-m>0，解得：m<3，又∵a=1<0，抛物线开口向下，当x>2时，y的值随着x值的增大而减小，则3-m≤2，解得：m≥1，综上所述，1≤m<3，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键2(23-24九年级上·重庆合川·期末)关于x的二次函数y=x2+a-1x-1在y轴的右侧，y随x的增大而增大，且使得关于y的分式方程a-12-y+1y-2=2有非负数解的所有整数a的值之和．【答案】19【分析】本题主要考查了二次函数的性质、分式方程的解以及解一元一次不等式，依据题意，解分式方程可先确定出a的取值范围，再由二次函数的性质可确定出a的范围，从而可确定出a的取值，可求得答案．【详解】解分式方程a-12-y+1y-2=2可得y=6-a2，∵关于y的分式方程a-12-y +1y-2=2有非负数解，∴y=6-a2≥0且y=6-a2≠2，∴a≤6且a≠2，∵y=x2+a-1x-1，∴抛物线开口向上，对称轴为x=1-a2，∴当x>1-a2，时，y随x的增大而增大．∵在x>0时，y随x的增大而增大，≤0，解得a≥1．∴1-a2综上1≤a≤6且a≠2，∴满足条件的整数a的值为1，3，4，5，6．∴所有满足条件的整数a的值之和是1+3+4+5+6=19．故答案为：19．3(23-24九年级上·浙江宁波·期末)如图，已知二次函数y=x2+ax+2的图象经过点E1,5．(1)求a的值和图象的顶点坐标．(2)若点F m,n在该二次函数图象上．①当m=-2时，求n的值．②若n≤2，请根据图象直接写出m的取值范围．【答案】(1)a=2；-1,1(2)①n=2；②-2≤m≤0【分析】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键．(1)把点E(1,5)代入y=x2+ax+2中，即可求出a；(2)①把m=-2代入解析式即可求n的值；②由n≤2，在此范围内求m即可．【详解】(1)把点E(1,5)代入y=x2+ax+2中，∴a=2，∴y=x2+2x+2=(x+1)2+1，∴顶点坐标为(-1,1)；(2)①把m=-2代入n=m2+2m+2=(m+1)2+1，可得：n=2，②∵n≤2，对称轴为x=-1，∴-2≤m≤0．【典例分析】1(23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习)关于二次函数y=x2-6x+5下列说法中错误的是()A.用配方法可化成y=x-32-4 B.将它的图象向下平移5个单位，会经过原点C.函数有最小值，最小值为5D.当x<3时，y随x的增大而减小【答案】C【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象和几何变换，掌握二次函数的图象与坐标轴交点的求法是解题的关键．运用配方法把一般式化为顶点式，由二次函数的顶点式可判断其开口方向、对称轴、顶点坐标；令x=0可求得与y轴的交点坐标；则可得出答案．【详解】解：y=x2-6x+5=x-32-4，故A正确，不符合题意；2-9+5=x-3∴其对称轴为直线x=3，开口向上，顶点坐标为3，-4，∴函数有最小值，最小值为-4，当x<3时，y随x的增大而减小，故C错误，符合题意，D正确，不符合题意；令x=0可得y=5，∴与y轴的交点坐标为0，5，∴将它的图象向下平移5个单位，会经过原点，故B正确，不符合题意；故选：C2(2023·九年级上·上海杨浦·)将抛物线y=x2-2x+3向下平移m个单位后，它的顶点恰好落在x轴上，那么m=．【答案】2【分析】将抛物线解析式改为顶点式，即可求出平移后的解析式，进而可求出平移后的顶点坐标，最后根据它的顶点恰好落在x轴上，即顶点的纵坐标为0，可求出答案．【详解】解：∵y=x2-2x+3=(x-1)2+2，∴该抛物线向下平移m个单位后的解析式为y=(x-1)2+2-m，∴此时顶点坐标为(1，2-m)．∵此时它的顶点恰好落在x轴上，∴2-m=0，解得：m=2．故答案为：2．【点睛】本题考查二次函数图象的平移，二次函数的图象和性质．掌握二次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”是解题关键3(23-24九年级上·四川泸州·期中)写出抛物线y=-2x2-4x+5的开口方向、对称轴及顶点坐标，并指出抛物线y=-2x2-4x+5可由抛物线y=-2x2怎样平移得到．【答案】抛物线y=-2x2-4x+5开口向下，对称轴为x=-1，顶点坐标为-1,7，抛物线y=-2x2-4x+5可由y=-2x2向上平移7个单位长度，向左平移1个单位长度得到．【分析】本题考查的知识点是二次函数的图像与性质、二次函数图像的平移，解题关键是理解抛物线y=ax2+bx+c的性质及掌握抛物线平移规律．先将抛物线y=-2x2-4x+5经配方转换为y=-2x+12+7，即可直接根据表达式判断抛物线开口方向、对称轴和顶点坐标；另根据抛物线平移规律“上加下减，左加右减”即可得出y=-2x2到y=-2x2-4x+5=-2x+12+7的平移过程．【详解】解：依题得抛物线y=-2x2-4x+5=-2x+12+7，则可根据抛物线性质得：抛物线y=-2x2-4x+5开口向下，对称轴为x=-1，顶点坐标为-1,7，∵根据抛物线平移规律“上加下减，左加右减”，∴y=-2x2-4x+5=-2x+12+7可由y=-2x2向上平移7个单位长度，向左平移1个单位长度得到【变式演练】1(23-24九年级上·安徽合肥·期末)若将抛物线y=ax2(a>0)向右平移h(h>0)个单位，得到抛物线y=ax2+bx+c，则函数y=bx+c的图象可能是()A. B.C. D.【答案】C【分析】本题主要考查了二次函数及一次函数的图象，熟练掌握图象与系数的关系是关键．先根据题意判断 b<0,c>0，再判断经过的象限．【详解】∵将抛物线y=ax2(a>0)向右平移h(h>0)个单位，得到抛物线y=ax2+bx+c，∴y=ax2+bx+c对称轴在y轴的右侧，且交于y轴的正半轴，∴b<0,c>0，∴y=bx+c的图象过第一、二、四象限．故选：C2(22-23九年级上·浙江宁波·期末)将抛物线y=x2+3x-6向上平移m个单位后，得到的图象不经过第四象限，则m的值可能是()A.1B.3C.5D.7【答案】D【分析】根据将抛物线y=x2+3x-6向上平移m个单位后，得到的图象不经过第四象限可知-6+m≥0，即可得出结果．【详解】解：∵将抛物线y=x2+3x-6向上平移m个单位后，得到的图象不经过第四象限，∴-6+m≥0，∴m≥6，∴m的值可能是7，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键3(21-22九年级上·广东中山·阶段练习)已知二次函数y=x2-2x-3．(1)请写出函数图象顶点坐标和对称轴∶(2)当函数值y为正数时，自变量x的取值范围∶(3)将该函数图象向右平移1个单位，再向上平移4个单位后，求所得图象的函数表达式．【答案】(1)1,-4，直线x=1(2)x<-1或x>3(3)y=x-22【分析】本题考查了二次函数的顶点式，对称轴，平移，不等式解集的确定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．(1)化成顶点式，确定对称轴和顶点坐标即可．(2)求得x2-2x-3=0的两个根，进而即可求解．(3)根据右减上加的平移规律，即可求解．【详解】(1)∵y=x2-2x-3=x-12-4．∴对称轴为直线x=1，顶点为1,-4．(2)根据题意，得x2-2x-3=0，解得x1=-1,x2=3，∵y=x2-2x-3=x-12-4开口向上，故当x<-1或x>3时，y>0．(3)∵y=x2-2x-3=x-12-4．平移后的解析式为y=x-1-122-4+4即y=x-2题型04a，b与图像的关系【典例分析】1(23-24九年级上·浙江金华·期末)已知二次函数y=-mx2+2mx+4m>0，点经过点A-2,y1 B1,y2，那么y1，y2，y3的大小关系为()，点C3,y3A.y1<y2<y3B.y1<y3<y2C.y2<y3<y1D.y3<y1<y2【答案】B【分析】本题考查利用二次函数性质比较函数值大小，涉及二次函数图像与性质、比较二次函数值大小等知识，根据二次函数图像与性质，利用图像上点到对称轴距离比较函数值大小即可得到答案，熟练掌握利用距离比较二次函数值大小的方法是解决问题的关键．【详解】解：由二次函数y=-mx2+2mx+4m>0可知抛物线开口向下，对称轴为x=-2m-2m=1，∴抛物线上点到对称轴距离越近，函数值y越大，∵二次函数y=-mx2+2mx+4m>0经过点A-2,y1，点B1,y2，点C3,y3，∴三个点A、B、C到对称轴的距离为3、0、2，∴y1<y3<y2，故选：B．2(23-24九年级上·广东广州·期中)若点A-134,y1B-1,y2，C53,y3为二次函数y=-ax2-4ax+5a<0图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是．【答案】y3>y1>y2【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据题意得抛物线开口向上，对称轴为直线x=-2，则点A-134,y1关于直线x=-2的对称点54,y1在抛物线y=-ax2-4ax+5a<0上，根据二次函数的性质即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．【详解】解：∵y=-ax2-4ax+5a<0，∴-a>0，对称轴为直线x=--4a2×-a=-2，∴抛物线开口向上，∴点A-134,y1关于直线x=-2的对称点54,y1在抛物线y=-ax2-4ax+5a<0上，∵-2<-1<54<53，∴y3>y1>y2，故答案为：y3>y1>y23(23-24九年级上·云南昆明·阶段练习)已知关于x的二次函数y=mx2+3m+1x+3．(1)求证：不论m为任何实数，方程mx2+3m+1x+3=0总有实数根；(2)若抛物线与x轴交于两个不同的整数点，m为正整数，点P x1,y1与Q x1+n,y2在抛物线上(点P, Q不重合)，且y1=y2，求代数式4x21+12x1n+5n2+16n+8的值．【答案】(1)证明见解析；(2)24【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的图象与性质等知识；(1)用根的判别式可以直接证明；(2)令y=0，方程可以化为mx+1x+3=0，解得x=-3或x=-1m，又m为正整数，可以求解m的值，进而可求出函数解析式；点P、Q在抛物线上，且y1=y2，可将x1、x1+n代入解析式联立方程，用含n的式子表示出x1，然后带入代数式化简求解即可．【详解】(1)解：由题意可知m≠0，∵Δ=b2-4ac=(3m+1)2-4m×3=(3m-1)2≥0∴此方程总有实数根；综上，不论m为任何实数时，方程总有实数根．(2)解：令y=0，则有mx+1x+3=0解得：x1=-3，x2=-1 m，因为抛物线与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，所以m=1，所以抛物线为y=x2+4x+3．∵点P、Q在抛物线上，且y1=y2，∴x12+4x1+3=(x1+n)2+2(x1+n)+3∴2x1n+n2+4n=0即：n(2x1+n+4)=0，∵P、Q不重合，∴n≠0，∴2x1=-n-4∴4x12+12x1n+5n2+16n+8=(2x1)2+2x1∙6n+5n2+16n+8=(n+4)2+6n(-n-4)+5n2+16n+8=24所以代数式 4x21+12x1n+5n2+16n+8的值为24【变式演练】1(23-24九年级上·浙江杭州·期末)已知关于x的二次函数y=ax2-4ax a>0．若P m,n和Q5,b是抛物线上的两点，且n>b，则m的取值范围为()A.m<-1B.m>5C.m<-1或m>5D.-1<m<5【答案】C【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，由抛物线的解析式可知开口方向和对称轴为直线x=2，根据函数的对称性和增减性即可求解；熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题的关键．【详解】解：∵二次函数y=ax2-4ax a>0．∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=--4a2a=2，∵P m,n和Q5,b是抛物线上的两点，∴当n=b时，m=-1，∵抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大，∴n>b时，m的取值范围为m<-1或m>5；故选：C．2(23-24九年级上·浙江杭州·期末)已知二次函数y=ax2-4ax+2(a为常数，且a≠0) (1)若函数图象过点1,0，求a的值；(2)当2≤x≤5时，函数的最大值为M，最小值为N，若M-N=18，求a的值．【答案】(1)a=2 3(2)a=±2【分析】本题考查了求二次函数的表达式、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．(1)将点1,0的坐标代入表达式求解即可；(2)分类讨论a的正负，结合对称轴和图象的增减性即可得出答案．【详解】(1)解：函数图象过点1,0得a-4a+2=0解得：a=2 3(2)由y=ax2-4ax+2可知对称轴为直线x=2①当a>0时，开口方向向上，当2≤x≤5时当x=2时取最小值，当x=5时取最大值∴M=5a+2，N=-4a+2∵M-N=5a+2--4a+2=9a=18解得a=2，满足题意．②当a<0时，开口方向向下，当2≤x≤5时当x=2时取最大值，当x=5时取最小值∴M=-4a+2，N=5a+2∴M-N=-4a+2-5a+2=-9a=18解得a=-2 满足题意．综上所述：a=±2．3(23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习)如图所示，抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)经过点A(-1，0)，点B(4，0)，与y轴交于点C，连接AC，BC．点M是线段OB上不与点O、B重合的点，过点M作DM⊥x 轴，交抛物线于点D，交BC于点E．(1)求抛物线的表达式；(2)过点D作DF⊥BC，垂足为点F．设M点的坐标为M(m，0)，请用含m的代数式表示线段DF的长，并求出当m为何值时DF有最大值，最大值是多少？【答案】(1)抛物线的表达式为：y=-x2+3x+4(2)当m=2时，DF有最大值为22【分析】(1)利用待定系数法求函数解析式．(2)先求出B,C所在直线解析式可得∠OBC=∠OCB=45°，通过DF=22DE可表示DF长度的代数式，再配方求解即可．【详解】(1)把点A(-1，0)，点B(4，0)分别代入y=ax2+bx+4a≠0中，得：a-b+4=016a+4b+4=0解得：a=-1 b=3∴抛物线的表达式为：y=-x2+3x+4．(2)把x=0代入y=-x2+3x+4中，得：y=4∴C0,4设BC所在直线解析式为y=kx+b,把B4,0,C0,4代入y=kx+b中，得：0=4k+b 4=b解得k=-1 b=4∴y=-x+4设M m,0,则D(m,-m2+3m+4)，E m,-m+4∴DE=-m2+3m+4+m-4=-m2+4m ∵OB=OC=4,OC⊥OB∴∠OBC=∠OCB=45°∵DM⊥x轴∴∠DEF=∠BEM=45°又∵DF⊥BC∴DF=22DE=22-m2+4m=-22(m-2)2+22∵-22<0∴当m=2时，DF有最大值为22．【点睛】本题考查二次函数与图形的结合，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握配方法求代数式的最值题型05a，c与图像的关系【典例分析】1(23-24九年级上·广东梅州·期末)如图所示是二次函数y=ax2-x+a2-1的图象，则a的值是()A.a=-1B.a=12C.a=1D.a=1或a=-1【答案】C【分析】此题考查了二次函数的图象．由图象得，此二次函数过原点0,0，把点0,0代入函数解析式得a2 -1=0，解得a的值．【详解】解：由图象得，此二次函数过原点0,0，把点0,0代入函数解析式得a2-1=0，解得a=±1；又因为此二次函数的开口向上，所以a>0；所以a=1．故选：C．2(23-24九年级上·浙江丽水·期末)已知二次函数y=ax²+2x+c a≠0的图象如图所示．(1)写出c的值；(2)求出函数的表达式．【答案】(1)3(2)y=-x²+2x+3【分析】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式，综合利用已知条件求出抛物线的解析式是解题的关键．(1)将点0,3即可求出c；代入y=ax²+2x+c a≠0(2)把点A3,0即可求出函数表达式．代入y=ax²+2x+3a≠0【详解】(1)解：∵二次函数y=ax²+2x+c a≠0；的图象经过点0,3∴将点0,3得；代入y=ax²+2x+c a≠0c=3．(2)解：设函数的表达式为y=ax²+2x+3a≠0；∵函数图象经过点A3,0；∴把点A3,0得；代入y=ax²+2x+3a≠0a=-1；∴函数的表达式为：y=-x²+2x+33(23-24九年级上·广东广州·阶段练习)如图，二次函数y=ax2-2x+c的图象与x轴交于点A-3,0和点B，点y轴交于点C0,3．(1)求二次函数的解析式；(2)求B点坐标，并结合图象写出y<0时，x的取值范围；【答案】(1)y=-x2-2x+3；(2)B1,0，x<-3或x>1．【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．(1)利用待定系数解答，即可求解；(2)根据当y=0时，-x2-2x+3=0，求出点B1,0，进而根据图象可得出答案．【详解】(1)解：∵二次函数y=ax2-2x+c的图象经过点A-3,0，C0,3，∴9a+6+c=0 c=3，解得：a=-1 c=3，∴该二次函数的解析式为y=-x2-2x+3；(2)解：由(1)可知，二次函数的解析式为y=-x2-2x+3，当y=0时，-x2-2x+3=0，解得x1=1，x2=-3，∴B1,0，根据图象可知，当y<0时，x的取值范围为x<-3或x>1【变式演练】1(23-24九年级上·广西崇左·期末)已知二次函数y=m+2x2+m2-9有最大值，且图象经过原点，则m的值为()A.±3B.3C.-3D.±4.5【答案】C【分析】本题考查二次函数的基本性质，根据二次函数有最大值得出m<-2，根据二次函数图象经过原点得出m=±3，即可得出答案，掌握二次函数的性质是解题的关键．【详解】解：∵二次函数的解析式为：y=m+2x2+m2-9有最大值，∴m+2<0，∴m<-2，∵二次函数y=m+2x2+m2-9的图象经过原点，∴m2-9=0，∴m=-3或m=3，∵m<-2，∴m=-3．故选：C2(20-21九年级上·全国·单元测试)如图所示，抛物线y=ax2-x+c的图象经过A-1,0、B0,-2两点．1 求此抛物线的解析式；2 求此抛物线的顶点坐标和对称轴；3 观察图象，求出当x取何值时，y>0？【答案】1 y=x2-x-2；2 抛物线的对称轴是直线x=12；顶点坐标是12,-94；3当x取x<-1或x>2时，y>0．【分析】(1)把A点和B点坐标代入y=ax2-x+c得到关于a、c的方程组，然后解方程组求出a、c即可得到抛物线解析式；(2)把一般式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解；(3)先通过解方程x2-x-2=0 得到抛物线y=x2-x-2与x轴的另一个交点的坐标为2,0．然后写出函数图象在x轴上方所对应的自变量的取值范围即可．【详解】1 ∵二次函数y=ax2-x+c的图象经过A-1,0、B0,-2，∴a+1+c=0c=-2，解得a=1c=-2∴此二次函数的解析式是y=x2-x-2；2 ∵y=x2-x-2=x-122-94，∴抛物线的对称轴是直线x=12；顶点坐标是12,-94 ；3 当y=0时，x2-x-2=0，解得x1=-1，x2=2，即抛物线y=x2-x-2与x轴的另一个交点的坐标为2,0．所以当x取x<-1或x>2时，y>0．【点睛】待定系数法求二次函数解析式, 二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系等，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键3(23-24九年级上·江苏扬州·期末)如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A1，0，B-2，3(1)求a+b的值；(2)用无刻度直尺画出抛物线的对称轴l；(用虚线表示画图过程，实线表示画图结果)(3)结合图象，直接写出当y≤3时，x的取值范围是．【答案】(1)a+b=-3(2)见解析(3)x≤-2或x≥0【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键．(1)利用待定系数法求解即可；(2)根据二次函数图象的对称性可得出抛物线的对称轴；(3)观察函数图象，结合方程，即可得出结论．【详解】(1)解：将A1，0，B-2，3代入二次函数y=ax2+bx+3得：a+b+3=0 4a-2b+3=3，解得：a=-1 b=-2，∴a+b=-1+-2=-3；(2)解：如图，直线l为所求对称轴，，由(1)得二次函数的解析式为y=-x2-2x+3=-x+12+4，∴可以得出顶点坐标为-1，4，对称轴为直线x=-1；(3)解：令y=3，则-x2-2x+3=3，解得：x=0或x=-2，结合图象得：x≤-2或x≥0时，y≤3，故答案为：x≤-2或x≥0题型06a，b，c与图像的关系【典例分析】1(23-24九年级上·山东济南·期末)二次函数y=ax2+bx+c a≠0的图像如图所示，则下列结论中：①abc<0；②2a-b=0；③当-2<x<3时，y<0；④当x≥1时，y随x的增大而减小，正确的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】A【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，二次函数的性质．根据开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，确定a、b、c的符号，根据对称轴和图像确定y<0时，x的范围，根据二次函数的性质确定增减性．掌握二次函数的图像和性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．【详解】解：①∵二次函数的图像开口向上，∴a>0，∵二次函数图像的对称轴在y轴的右侧，∴-b>0，2a∴b<0，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c<0，∴abc>0，故结论①不正确；②∵a>0，b<0，∴2a-b>0，故结论②不正确；③∵二次函数的图像开口向上，对称轴为：x=1，该图像与x轴的位于对称轴左边的交点的坐标为-2,0，∴该图像与x轴的位于对称轴右边的交点的坐标为4,0，∴当-2<x<4时，y<0，∴当-2<x<3时，y<0，故结论③正确；④∵二次函数的图像开口向上，对称轴为：x=1，∴当x≥1时，y随x的增大而增大，故结论④不正确，∴正确的个数是1个．故选：A2(23-24九年级上·湖北随州·期末)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示抛物线的顶点坐标是1,1在该抛物线上，则am2+bm ，有下列结论①a>0；②b2-4ac>0；③4a+b=1；④若点A m,n+c≥a+b+c．其中正确的结论是．【答案】①③④【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，开口方向判断①，与x轴的交点个数，判断②，特殊点判断③，最值判断④．【详解】解：∵抛物线的开口向上，∴a>0；故①正确；∵抛物线与x轴没有交点，∴b2-4ac<0；故②错误；∵顶点坐标为1,1，，图象过3,3∴a+b+c=1,9a+3b+c=3，两式相减，得：8a+2b=2，∴4a+b=1；故③正确；∵当x=1时y=a+b+c=1值最小，∴am2+bm+c≥a+b+c，故④正确；故答案为：①③④3(23-24九年级上·河南洛阳·期末)已知二次函数y=ax2+2ax-m．(1)当a=1时，二次函数y=ax2+2ax-m的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；(2)若二次函数y=ax2+2ax-m的部分图象如图所示，①求二次函数y=ax2+2ax-m图象的对称轴；②求关于x的一元二次方程ax2+2ax-m=0的解．【答案】(1)m>-1(2)①直线x=-1；②x1=1，x2=-3【分析】(1)将a=1代入二次函数y=ax2+2ax-m中，然后根据当a=1时，二次函数y=ax2+2ax-m的图象与x轴有两个交点，可知 22-4×1×-m>0，然后即可求得m的取值范围；(2)①将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的对称轴；②根据图象与x轴的一个交点和二次函数的性质，可以写出该函数图象与x轴的另一个交点，然后即可写出关于x的一元二次方程ax2+2ax-m=0的解；本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合熟练掌握以上知识的应用．【详解】(1)当 a=1时，y=ax2+2ax-m，∵当a=1时，二次函数y=ax²+2ax-m的图象与x轴有两个交点，∴22-4×1×-m>0，解得m>-1；(2)①∵y=ax2+2ax-m=a x+12-a-m，∴二次函数y=ax2+2ax-m的图象的对称轴是直线x=-1；②由图象可知：二次函数y=ax2+2ax-m的图象与x轴交于点(1,0),由①知，该函数的对称轴为直线x=-1，∴该函数与x轴的另一个交点为-3,0，∴关于x的一元二次方程ax2+2ax-m=0的解是x1=1，x2=-3【变式演练】1(23-24九年级上·云南昭通·阶段练习)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中正确的是()A.b<0B.当x>0时，y>0C.a-3=cD.2a+b=0【答案】D【分析】本题考查抛物线与坐标轴的交点、二次函数的性质．解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据函数图象的开口方向，对称轴，与y轴的交点位置，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：由图象可得，A．该函数图象的开口向下，∴a<0，∵对称轴位于y轴右侧，∴-b>0，2a∴b>0，故此选项不符合题意；B．由图象可得：当x>0时，y不一定大于0，故此选项不符合题意；C．该函数图象与y轴交于正半轴，∴c>0，而a<0，∴a-c<0，∴a-c=3错误，即a-3=c错误；故此选项不符合题意；D．该函数的对称轴为直线x=1，=1，∴x=-b2a∴b=-2a，即2a+b=0，故选项符合题意．故选：D2(23-24九年级上·宁夏吴忠·阶段练习)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①ac<0；②a+b=0；③a+b+c>0；④b2-4ac<0．其中正确的是．(填序号)。
二次函数图像与系数的关系
二次函数图像与系数间的关系一 知识梳理1，二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像与系数a 、b 、c 、ac b 42-的关系 ：注 ①a 的正否决定抛物线的开口方向和大小 ②a,b 决定对称轴的位置，左同右异。
③c 决定抛物线与Y 轴的交点的位置。
④取特值：如当x=1,y=a+b+c ，当x=2是，y=4a+2b+c 等。
2、二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：（1） 一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 题型一、二次函数、一次函数及反比例函数图像确定例1、在同一坐标系内，一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax 2+8x+b 的图像可能是（ ）A．B．C．D．例2、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数与一次函数y=cx+a在同一平面直角坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．例3、一次函数y＝ax＋b和二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一直角坐标系内的图象位置大致是( )课堂练习：1、二次函数y=ax2+bx的图像如图所示，那么一次函数y=ax+b的图像大致是（）A．B．C．D．2、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，则函数y=ax与y=bx+c在同一直角坐标系内的大致图像是（）A．B．C．D．3、在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（）A．B．C｡D．题型二、二次函数图像与系数之间的关系基础题型例1、二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＜0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＜0C．a＜0，b＞0，c＜0，b2﹣4ac＞0 D．a＜0，b＞0，c＞0，b2﹣4ac＞0例2、已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像如图所示，下列说法错误的是（ ）A ．图像关于直线x=1对称B ．函数()20y ax bx c a =++≠的最小值是﹣4C ．﹣1和3是方程()200ax bx c a ++=≠的两个根D ．当x ＜1时，y 随x 的增大而增大例3、如图所示，二次函数y=ax 2+bx+c 的图像中，王刚同学观察得出了下面四条信息：（1）b 2-4ac ＞0；（2）c ＞1；（3）2a ﹣b ＜0；（4）a+b+c ＜0，其中错误的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个课堂练习：1、（2011•重庆）已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）A 、a ＞0B 、b ＜0C 、c ＜0D 、a+b+c ＞02、二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，则点P （b 2﹣4ac ，a+b+c ）所在的象限是（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3、（2011•雅安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0，则正确的结论是（）A、①②③④B、②④⑤C、②③④D、①④⑤题型三、二次函数图像与系数之间的关系能力题型例1、已知二次函数的y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b ＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的实数），其中正确结论的番号有．例2、如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列说法中：①abc<0；②方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=3；③a+b+c>0；④当x>1时，y随x的增大而增大；⑤9a﹣3b>16a+4b正确的说法有．（把正确的答案的序号都填在横线上）例3、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，与y轴相交一点C，与x轴负半轴相交一点A，且OA=OC，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2a+b=0；⑤c+=﹣2，其中正确的结论有 ．（请填序号）课堂练习1、已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像如图所示，给出以下结论：①24b ac >；②0abc >；③20a b -=；④80a c +<；⑤930a b c ++<，其中结论正确的是 ．（填正确结论的序号）2、.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，以下结论：①a+b+c=0；②4a+b=0；③abc ＜0；④4ac-b 2＜0；⑤当x≠2时，总有4a+2b ＞ax 2+bx 其中正确的有 （填写正确结论的序号）．3、已知二次函数的图象与轴交于点、，且，与轴的正半轴的交点在的下方．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是 个．课堂测试：1、如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为（ 12，1），下列结论：①ac ＜0；②a+b=0；③4ac-b 2=4a ；④a+b+c ＜0．其中正确结论的个数是（ ）2y ax bx c =++x (20)-，1(0)x ，112x <<y (02)，420a b c -+=0a b <<20a c +>210a b -+>A、1B、2C、3D、42、（2011•山西）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（）A、ac＞0B、方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3C、2a-b=0D、当x＞0时，y随x的增大而减小3、（2011•泸州）已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0，②b2-4ac＜0，③a-b+c＞0，④4a-2b+c＜0，其中正确结论的个数是（）A、1B、2C、3D、44、（2011•兰州）如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）b2-4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a-b＜0；（4）a+b+c＜0．你认为其中错误的有（）A、2个B、3个C、4个D、1个5、.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论正确序号是（只填序号）．①abc＞0，②c=-3a，③b2-4ac＞0，④a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）．6、如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（x 1，0），-3＜x1＜-2，对称轴为x=-1．给出四个结论：①abc＞0；②2a+b=0；③b2＞4ac；④a-b＞m（ma+b）（m≠-1的实数）；⑤3b+2c＞0．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个课后作业：1、已知二次函数y=ax2的图象开口向上，则直线y=ax-1经过的象限是（）A、第一、二、三象限B、第二、三、四象限C、第一、二、四象限D、第一、三、四象限2、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A、a＜0，b＜0，c＞0，b2-4ac＞0B、a＞0，b＜0，c＞0，b2-4ac＜0C、a＜0，b＞0，c＜0，b2-4ac＞0D、a＜0，b＞0，c＞0，b2-4ac＞03、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（）A、ac＜0B、a-b+c＞0C、b=-4aD、关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=54、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a，b，c满足（）A、a＜0，b＜0，c＞0，b2-4ac＞0B、a＜0，b＜0，c＜0，b2-4ac＞0C、a＜0，b＞0，c＞0，b2-4ac＜0D、a＞0，b＜0，c＞0，b2-4ac＞05、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论，其中正确的结论是（）A、abc＞0B、b＞a+cC、2a-b=0D、b2-4ac＜06、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①ac＞0；②a-b+c＜0；③当x＜0时，y＜0；④方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于-1的实数根．其中错误的结论有（）A、②③B、②④C、①③D、①④7、如图所示为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，在下列选项中错误的是（）A、ac＜0B、x＞1时，y随x的增大而增大C、a+b+c＞0D、方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=38、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论错误的是（）A、ab＜0B、ac＜0C、当x＜2时，函数值随x增大而增大；当x＞2时，函数值随x增大而减小D、二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根9、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A、a＞0B、c＜0C、b2-4ac＜0D、a+b+c＞010、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论①a，b异号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=4时，x的取值只能为0，结论正确的个数有（）个．A、1B、2C、3D、411．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0 B．当﹣1＜x＜3时，y＞0C．c＜0 D．当x≥1时，y随x的增大而增大12．函数y=x2+bx+c与y=x的图像如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．413．如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图像与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且对称轴为x=1，点B 坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论： ①2a+b=0；②4a﹣2b+c ＜0；③ac＞0；④当y ＜0时，x ＜﹣1或x ＞2． 其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．414、如图，矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，3OA =，2AB =.抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）经过点A 和点B ，与x 轴分别交于点D 、E （点D 在点E 左侧），且1OE =，则下列结论：①0>a ；②3c >；③20a b -=；④423a b c -+=；⑤连接AE 、BD ，则=9ABDE S 梯形，其中正确结论的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15、如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a>0）图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点为A ､B ，对称轴为直线x=1，与y 轴负半轴交于点C ，且OB=OC>2，下面五个结论：①bc<0；②4a+2b+c>0；③2a+b=0；④一元二次方程ax 2+bx+c=﹣2必有两个不相等的实数根；⑤1c 2a+=-． 那么，其中正确的结论是_____。
二次函数中各项系数a,b,c与图像的关系
二次函数中各项系数 a ，b, c 与图像的关系 一、首先就y=ax 2 +bx+c （a 工0）中的a ，b ，c 对图像的作用归纳如下: a 的作用：决定开口方向：a > 0开口向上；a < 0开口向下; 决定张口的大小：l a I 越大，抛物线的张口越小. b 的作用：b 和a 与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关. b 与a 同号，说明 _L .. o ，则对称轴在y 轴的左边; 2a b 与a 异号，说明 b -> 0 '口 ，则对称轴在y 轴的右边; 特别的，b = 0,对称轴为y 轴.c 的作用：c 决定了抛物线与y 轴的交点纵坐标.抛物线与y 轴的交点（0，c ） c > 0抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴；c < 0抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴； 特别的，c = 0 ,抛物线过原点. ■ . 2 a,b,c 共同决定判别式 b 2 - 4ac > 0 b 2 - 4ac = 0 b 2 - 4ac < 0 * = b ~4ac 的符号进而决定图象与X 轴的交点 与X 轴两个交点 与X 轴一个交点 与X 轴没有交点 x=1 时，y=a + b + c ； x= -1 时，y=a - b + c .当 x = 1 时，①若 y > 0，贝U a + b + c >0 ； ® 若 y < 时 0，贝Ua +b +c < 0 当 x = -1 时，①若 y > 0，贝U a - b + c >0 ;②若 y < 0，贝U a - b + 扩：x=2, y=4a + 2b + c ; x= -2, y=4a -2b + c ; x=3, y=9a +3 b + c 一.选择题（共8小题） 1 .已知二次函数y=ax +bx+c 的图象大致如图所示，贝U 下列关系式中成立的是 A. a >0 B . b v 0 C. c v 0D . b+2a >0 2.如果二次函数y=a£+bx+c （a ^ 0）的图象如图所示，那么下列不等式成立 几种特殊情况: c < 0 . ;x= -3, y=9a -3b + c 。
二次函数图像与系数关系含答案
二次函数图像与系数关系一.选择题（共9小题）1.（2013?义乌市）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A （-1, 0）,顶点坐标为（1, n）,与y 轴的交点在（0, 2）、（0, 3）之间（包含端点），则下列结论：①当x>3 时，y<0;② 3a+b>0;③—1QW—_|；④ 3许<4 中，正确的是（）考点：二次函数图象与系数的关系.专题：计算题；压轴题.分析：①由抛物线的对称轴为直线x=1, 一个交点A （ - 1, 0）,得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项①作出判断；②根据抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴方程求得b与a的关系是b=- 2a,将其代入（3a+b）,并判定其符号；③ 根据两根之积—=-3,得到a二-二，然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a的取值a 3范围；…，…，，一，，、一， 4 一E ，，什—一，，…，，什—④把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=—c,利用c的取值氾围可以求得n的取值氾围.解答：解：①•••抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A （-1, 0）,对称轴直线是x=1,，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3, 0）,丁•根据图示知，当x> 3时，y<0.故①正确；②根据图示知，抛物线开口方向向下，则对称轴x=一b= - 2a,3a+b=3a - 2a=a< 0,即3a+bv0. 故②错误；③二.抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（-- 1X3=- 3,「.£=-3,贝U a=一三.3 31 0), (3, 0),•.•抛物线与y轴的交点在（0, 2）、（0, 3）之间（包含端点）2W<3, …工2即一故③正确;1QW—点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系.二次函数 y=ax 2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点抛物线与 x 轴交点的个数确定.2. （2013?烟台）如图是二次函数 y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为x= - 1,且过点（-3, 0）.下 列说法：①abcv 0;②2a-b=0;③4a+2b+cv0;④若（-5, yi ）,噂，y2）是抛物线上两点，则y1>y2.其中说法正确的是（ ）二次函数图象与系数的关系. 压轴题.根据图象得出a>0, b=2a>0, c<0,即可判断 ①②；把x=2代入抛物线的解析式即可判断③，求出点（-5, yi ）关于对称轴的对称点的坐标是（ 3, yi ）,根据当x>- 1时，y 随x 的 增大而增大即可判断④.解：,•,二次函数的图象的开口向上，a> 0,•••二次函数的图象y 轴的交点在y 轴的负半轴上，c< 0,二次函数图象的对称轴是直线x= - 1, b=2a>0,④根据题意知，a=-丹,b= — 2a=±^,S , 4• - n=a+b+c=—c. 3• -- 2« <3, • ••— v^c 冈即生由[3 33故④错误.综上所述，正确的说法有 故选D.①③B.②③C.①②④D.②③④考点： 专题： 分析： 解答: JC=1abcv 0, ① 正确；2a - b=2a - 2a=0,「•② 正确；••・二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为 x= - 1,且过点（-3, 0）.•••与x 轴的另一个交点的坐标是（1,0）,把 x=2 代入 y=ax 2+bx+c 得：y=4a+2b+c >0,③ 错误； 二次函数y=ax 2+bx+c 图象的对称轴为 x= - 1,.•・点（-5, yi ）关于对称轴的对称点的坐标是（ 3, yi ）, 根据当x> - 1时，y 随x 的增大而增大， 号.• 一v 3,2y2V y1 ,④ 正确；故选C.点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用，题目比较典型，主要考查学生的理解能力和 辨析能力.3. （2013?十堰）如图，二次函数 y=ax 2+bx+c （a 加）的图象的顶点在第一象限，且过点 （0, 1）和（- 1,0）.下列结论： ① ab<0,② b 2>4a,③ 0va+b+cv2,④ 0v bv 1,⑤当 x> - 1 时，y>0,其 中正确结论的个数是（）考点：二次函数图象与系数的关系. 专题：压轴题.分析：由抛物线的对称轴在 y 轴右侧，可以判定 a 、b 异号，由此确定 ① 正确；由抛物线与x 轴有两个交点得到 b 2- 4ac>0,又抛物线过点（0, 1）,得出c=1 ,由此判定 ② 正确； 由抛物线过点（-1,0）,得出a - b+c=0,即a=b - 1,由av 0得出bv 1;由a< 0,及abv 0, 得出b>0,由此判定④正确；由 a- b+c=0,及 b>0 得出 a+b+c=2b>0;由 bv1, c=1, a<0,得出 a+b+c< a+1+1 <2,由此 判定③正确；由图象可知，当自变量 x 的取值范围在一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个根之间时，函数值 y>0,由此判定⑤错误.解答：解：••・二次函数 y=ax 2+bx+c （a 加）过点（0, 1）和（—1,0）, c=1, a- b+c=0 .①二•抛物线的对称轴在 y 轴右侧，，x=-占>0,2aa 与b 异号，abv 0,正确；②二•抛物线与x 轴有两个不同的交点，.. b 2- 4ac>0,c=1, b 2- 4a>0, b 2>4a,正确；④;抛物线开口向下，，a<0,•, ab< 0, b>0.. a — b+c=0, c=1 , a=b- 1, av 0, . . b - 1< 0, b< 1, 0< b< 1,正确；B. 4个C. 3个 D, 2个A . 5个③.1 a - b+c=0, a+c=b, a+b+c=2b>0. b< 1, c=1, a< 0,a+b+c=a+b+1 < a+1+1=a+2 < 0+2=2 , 0V a+b+cv 2,正确；⑤ 抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的一个交点为（-1,0）,设另一个交点为（xo, 0）,则xQ> 0, 由图可知，当x0>x> - 1时，y>0,错误； 综上所述，正确的结论有 ①②③④ . 故选B.点评：本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，不等式的性质，难度适中.二次函数y=ax 2+bx+c（a 为），a 的符号由抛物线开口方向决定； b 的符号由对称轴的位置及a 的符号决定；c 的符号由抛物线与y 轴交点的位置决定；抛物线与 x 轴的交点个数，决定了 b 2-4ac 的符号，此外还要注意二次函数与方程之间的转换.4. （2012?沙坪坝区模拟）二次函数y=ax 2+bx+c （a 沟）的图象如图所示, A. abc<0 B. a+cvb C. b>2a考点：二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组） 专题：压轴题.分析：由抛物线的开口方向判断 a 与0的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据 对称轴及图象经过的点的情况进行推理，进而对所得结论进行判断.斛答：解：A 、•••图象开口向下，，av0,二•与y 轴交于正半轴，. .o0,二•对称轴在y 轴左侧，-上2a<0,b<0,abc>0,故本选项错误；B 、=当x= - 1时，对应的函数值 y>0,即a- b+c>0, . .a+c>b,故本选项错误；C 、二.抛物线的对称轴为直线 x=-1匕>-1,又av 0,，b>2a,故本选项正确；2aD 、•・•当x=-2时，对应的函数值 y<0,即4a- 2b+c<0, .1.4a<2b- c,故本选项错误. 故选C.点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与不等式的关系，难度中等.5. （2013?鄂州）小轩从如图所示的二次函数 y=ax 2+bx+c （a 为）的图象中，观察得出了下面五条信息:3① ab>0;② a+b+cv 0;③ b+2c >0;④ a- 2b+4c> 0;⑤你认为其中正确信息的个数有（）则下列结论中，正确的是（D. 4a>2b- cC.4个D.5个考点：二次函数图象与系数的关系.专题：压轴题.分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.解答：解：①如图，二•抛物线开口方向向下，a<0.对称轴x=-匕=—b=-a< 0,2a 3 1ab>0.故①正确；②如图，当x=1时，y<0,即a+b+cv0. 故②正确；③如图，当x= — 1 时，y=a - b+c>0,••• 2a- 2b+2c>0,即3b- 2b+2c>0, b+2c>0.故③正确；④如图，当x=一工■时，y>0,即一a ——b+c>0.2 4 [2a- 2b+4c>0,故④正确；⑤如图，又^称轴x=—2=---,则己故⑤ 正确.2a 3 2综上所述，正确的结论是①②③④⑤，共5个.点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系.二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定.6.(2013?德州)函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：① b2—4c> 0;② b+c+1=0;③ 3b+c+6=0;④当1vxv3 时，x2+ (bi) x+c<0.其中正确的个数为（)C. 3D. 4考点：二次函数图象与系数的关系.专题：压轴题.分析：由函数y=x2+bx+c 与x 轴无交点，可得b2- 4cv 0;当x=1 时，y=1+b+c=1 ;当x=3 时，y=9+3b+c=3 ;当1vxv3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+cvx,继而可求得答案.解答：解：函数y=x2+bx+c与x轴无交点，b2 - 4c< 0；故①错误；当x=1 时，y=1+b+c=1 ,故②错误；当x=3 时，y=9+3b+c=3 ,3b+c+6=0;③正确；,•,当1 vxv3时，二次函数值小于一次函数值，x2+bx+c vx,x2+ （b - 1） x+c v 0.故④正确.故选B.点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.7.（2012?天门）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（-1,0）, （3, 0）.对于下列命题：①b- 2a=0;②abcv 0;③a-2b+4cv0;④8a+c>0.其中正确的有（）C.1个D.0个考点：二次函数图象与系数的关系.专题：压轴题.分析：首先根据二次函数图象开口方向可得a>0,根据图象与y轴交点可得c< 0,再根据二次函数的对称轴x=-耳，结合图象与x轴的交点可得对称轴为x=1 ,结合对称轴公式可判断出①的正误；根据对称轴公式结合a的取值可判定出b<0,根据a、b、c的正负即可判断出②的正误; 禾用a - b+c=0,求出a —2b+4cv0,再利用当x=4 时，y>0,贝U 16a+4b+c>0,由①知，b=-2a,得出 8a+c> 0.解答：解：根据图象可得：对称轴：x=--L>o, 2a①二.它与x 轴的两个交点分别为（-1, 0）, （3, 0）, 对称轴是x=1 ,— -=1 , 2ab+2a=0, 故①错误； ②a>0, b<0, ••• c< 0, abc> 0,故② 错误； ③.1 a - b+c=0, c=b — a,• ・a-2b+4c=a - 2b+4 （b-a ） =2b - 3a,又由①得b= - 2a, a- 2b+4c= — 7a< 0, 故此选项正确； ④根据图示知，当 x=4时，y>0, 16a+4b+c>0, 由①知，b= - 2a, 8a+c>0; 故④正确；故正确为：③④两个. 故选：B.点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握 ① 二次项系数a 决定抛物线的开口方向，当a>0时，抛物线向上开口；当 a< 0时，抛物线向下开口；②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当 a 与b 同号时（即ab>0）,对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即abv 0）,对称轴在y 轴右.（简称：左同右异） ③ 常数项c 决定抛物线与y 轴交点， 抛物线与y 轴交于（0, c ）.8.已知：二次函数y=ax2+bx+c （a 沟）的图象如图所示， 下列结论中：①abc>0;②2a+bv0;③a+b^m（am+b ） （m 月 的实数）；④（a+c ） 2vb 2;⑤a> 1,其中正确的是（ ）考点：二次函数图象与系数的关系.分析：由抛物线的开口方向判断 a 的符号，由抛物线与 y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及a>0, c< 0,C. 4个D. 1个3个抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断. 解答：解：①•.•抛物线的开口向上，a>0,•••与y 轴的交点为在y 轴的负半轴上，. .c<0, 对称轴为x= -->0,2aa 、b 异号，即 b< 0,又,「cv 0, abc>0, 故本选项正确；—< 1,2a-b< 2a, 2a+b>0;故本选项错误;③ 当 x=1 时，yi=a+b+c;当 x=m 时，y2=m (am+b) +c,当 m>1, y2>yi;当 m< 1, y2<yi,所以不能确定; 故本选项错误； ④当 x=1 时，a+b+c=0; 当 x= - 1 时，a- b+c>0;(a+b+c) (a —b+c) =0,即(a+c) 2—b 2=0, (a+c) 2=b2故本选项错误；⑤当 x= — 1 时，a- b+c=2; 当 x=1 时，a+b+c=0,a+c=1,a=1+ ( - c) > 1,即 a> 1;故本选项正确；综上所述，正确的是①⑤有2个. 故选：A.点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换；二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号的确定：(1) a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则 a>0;否则av 0; (2) b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式x=-上判断符号；2a(3) c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在 y 轴正半轴，则c>0;否则cv 0;(4) b 2-4ac 由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，b 2- 4ac> 0; 1个交点，b 2- 4ac=0, 没有交点，b 2- 4ac< 0.9. (2013?莒南县二模)已知二次函数y=ax 2+bx+c (a 沟)的图象如图所示，有下列 5个结论:① abc>0;② bva+c;③ 4a+2b+c>0;④ 2cv3b;⑤ a+b>m (am+b) (m 月的实数).其中正确的结论有()②二•对称轴为 x=一 —>0, a>0,2a考点：二次函数图象与系数的关系. 专题：压轴题；数形结合. y 有最大值 a+b+c,彳导至U a+b+c>am2+bm+c,即 a+b>m (am+b)解：开口向下，a< 0;对称轴在y 轴的右侧，a 、b 异号，则b>0;抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，c>0,则abcv0,所以①不正确；当x= - 1时图象在x 轴下方，则y=a - b+cv 0,即a+cv b,所以② 不正确； 对称轴为直线 x=1,则x=2时图象在x 轴上方，则y=4a+2b+c >0,所以③正确；,贝U a= 一 [b,而 a- b+cv 0,贝U — -jLb- b+cv 0, 2cv 3b,所以 ④ 正确; £ 乙 开口向下， 当 x=1 , y 有最大值 a+b+c;当 x=m (mF)时，y=am 2+bm+c,贝U a+b+c>am 2+bm+c, 即a+b>m (am+b) (m 力)，所以⑤ 正确.故选B.点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a 为）的图象，当a> 0,开口向上，函数有最小值， a<0,开口向下，函数有最大值；对称轴为直线x=-上，a 与b 同2a号，对称轴在y 轴的左侧，a 与b 异号，对称轴在 y 轴的右侧；当c>0,抛物线与y 轴的交点 在x 轴的上方；当△=b 2-4ac>0,抛物线与x 轴有两个交点.二.填空题（共1小题）10. （2013?柳林县一模）二次函数 y=ax 2+bx+c （a, b, c 是常数，a 沟）图象的对称轴是直线 x=1 ,其 图象的一部分如图所示.对于下列说法： ①abcv0;②当-1vxv3时，y>0;③3a+cv0;④a- b+c<0,其中正确的是 ①③④（把正确的序号都填上）.考点：二次函数图象与系数的关系.分析：由抛物线的开口方向判断 a 与0的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据 对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.解答：解：根据图象可得：av 0, b>0, c>0.则abcv 0,故① 正确；当-1vxv3时图象在x 轴的上方，且有的点在 x 轴的下方，故 ② 错误； 根据图示知，该抛物线的对称轴直线是x=1 ,即-_L_=1,则b= - 2a.那么当x=-1时，y=a-C. 4个D. 5个分析: 观察图象：开口向下得到的交点在x 轴的上方得到 即a+cvb;对称轴为直线a<0;对称轴在y 轴的右侧得到a 、b 异号，则b>0;抛物线与y 轴 c>0,所以abcv0;当x= - 1时图象在 x=1,可得x=2时图象在x 轴上方，则x 轴下方得到y=a-b+cv0, y=4a+2b+c>0;利用对称轴xT1得至U a=一亍b,而 a- b+cv0,贝U — ：；b — b+cv 0,所以 2cv3b;开口向下，当 x=1, （m 力）.解答:xT1了=12ab+c=a+2a+c=3a+c v 0,故③ 正确；当x= - 1时，y=a-b+c一定在x轴的下方，因而a - b+c< 0,故④ 正确.故答案是：①③④.点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用.（2013?绵阳）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：① 2a+b>0;② b>a>c;③若—1 v mv nv 1,贝U m+n v ——；④ 3|a|+|c|v2|b|.a其中正确的结论是①③④（写出你认为正确的所有结论序号）.考点：二次函数图象与系数的关系.专题：压轴题.分析：分别根据二次函数开口方向以及对称轴位置和图象与y轴交点得出a, b, c的符号，再利用特殊值法分析得出各选项.解答：解：:抛物线开口向下，a<0, 2a<0,对称轴x=-A> 1, - b<2a, .,.2a+b>0,故选项① 正确；2a- b< 2a, b> - 2a>0>a,令抛物线解析式为y=- -x2+bx ,此时a=c,欲使抛物线与x轴交点的横坐标分别为一和2,2亍+2 b则--= ----------- ;一,2 2X （-1）解得：b=4「•抛物线y= -^2+^--,符合开口向下，与x轴的一个交点的横坐标在0与1之间，对称轴在直线x=1右侧”的特点，而此时a=c,（其实a> c, a< c, a=c都有可能），故②选项错误；. Tvmvnv 1, — 2vm+nv2,，抛物线对称轴为：x= - - >1, ------- >2, m+n<------ ,故选项③ 正确；2a a a当x=1 时，a+b+c>0, 2a+b>0, 3a+2b+c>0,3a+c>- 2b, - 3a- cv 2b,.• a< 0, b>0, c<0 （图象与y轴交于负半轴），3|a|+|c|=- 3a—cv 2b=2|b|,故④ 选项正确.故答案为：①③④.点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，利用特殊值法求出m+n的取值范围是解题关键.。
二次函数的各项系数与图象的位置关系
二次函数的各项系数与图象的位置关系一、知识点1．a的正负决定抛物线开口方向，a＞0，开口向上；a＜0，开口向下．2．a的绝对值决定抛物线开口大小，|a|越大，抛物线开口越小．3．a、b同号，对称轴在y轴左侧；a、b在异号，对称轴在y轴右侧；b=0时，对称轴为y轴．4．c＞0时，抛物线与y轴交点在轴上方；c=0时，抛物线过坐标原点；c﹤0时，抛物线与y轴交点在轴下方．5．b2-4ac﹥0，抛物线与轴有两个交点；b2-4ac=0，抛物线与轴有一个交点；b2-4ac﹤0，抛物线与轴无交点．二、例题【例1】二次函数y=a2bc的图象如图26-1所示，则下列结论正确的是（）A．a＞0，b﹤0，c＞0 B．a﹤0，b﹤0，c＞0 C．a﹤0，b＞0，c﹤0 D．a﹤0，b＞0，c＞0【例2】二次函数y=a2bc的图象如图26-2所示，则下列5个代数式：ab，ac，a-bc，b2-4ac，2ab中，值大于0的个数有（）A．5B．4 C．3D．2三、强化练习1．满足a﹤0，b＞0，c=0的函数y=a2bc的图象是图26-3中的（）2．在二次函数y=2bc中，若bc=0，则它的图象一定经过点（）A．（-1，-1）B．（1，-1）C．（-1，1）D．（1，1）3．若ac﹤0，则二次函数y=a2bc的图象与轴交点个数为（）A．2个B．l个C．0个D．无法确定4．已知，图26-4为二次函数y=a2bc的图象，则一次函数y=abc的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．已知抛物线y=a2bc的图象如图26-5所示，则关于的方程a2bc-3=0的根的情况是（）A．有两个不相等的正实根B．有两个异号实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根6．已知二次函数y=a2bc的图象如图26-6所示，下列结论中：①abc﹥0；②b=2a；③abc＜0；④a-bc＞0．正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．l 个7．已知一次函数y=ac与二次函数y=a2bc，它们在同一坐标系内的大致图象是图26-7中的（）8．已知反k的图象如图26-8所示，则二次函数y=22-2的图象比例函数y=x大致为图26-9中的（）9c（a﹤c）的图象可能是图．在同一坐标系中，函数y=a2c与y=x26-10中的（）10．在同一坐标系中，函数y=a2与y=a-1（a≠0）的图象可能是图26-11中的（）11．如图26-12，已知二次函数y=a2bc的图象的对称轴是直线=1．下面给出了4个结论：①a﹤0，b＞0；②2ab=0；③abc＞0；④4a2bc=0．正确结论的序号是．四、解答【例1】二次函数y=a2bc的图象如图26-1所示，则下列结论正确的是（）A．a＞0，b﹤0，c＞0 B．a﹤0，b﹤0，c＞0 C．a﹤0，b＞0，c﹤0 D．a﹤0，b＞0，c＞0思维入门指导：由抛物线开口方向，对称轴位置，与y轴交点位置来判断．解：∵抛物线开口向下，∴a﹤0．∵对称轴在y 轴右侧，∴-a b 2＞0．又a ﹤0，∴b＞0． ∵抛物线与y 轴交点在轴上方，∴c＞0．∴选D ．点拨：直接推导a 、b 、c 符号即可．【例2】二次函数y=a 2bc 的图象如图26-2所示，则下列5个代数式：ab ，ac ，a-bc ，b 2-4ac ，2ab 中，值大于0的个数有（）A ．5B ．4C ．3D ．2思维入门指导：当=-1时，y=a-bc ．解：∵抛物线开口向上，∴a＞0．∵对称轴在y 轴左侧，∴a，b 同号．又a ＞0，∴b＞0．∵抛物线与y 轴的交点在轴下方，∴c﹤0．∴ab＞0，ac ﹤0．∵抛物线与轴有两个交点，∴b 2-4ac ＞0．∵对称轴=-a b 2=-1，∴b=2a．∴2ab﹥0 当=-1时，y=a-bc ﹤0．∴选C ．点拨：abc ，a-bc 分别是=l ，=-1时，函数y=a 2bc （a≠0）的函数值．参考答案1．C 点拨：∵a﹤0，b ﹥0，∴对称轴在y 轴右侧．∵c=0，∴抛物线过坐标原点．2．D 点拨：∵bc=0，∴b=-c ，y=a 2-cc ．当=-1时，y=1cc=2c1；当=1时，y=1bc=1．∴过（1，1）点．3．A 点拨：ac ﹤0，∴a≠0，b 2-4ac ﹥0，∴抛物线与轴有两个交点．4．B 点拨：∵抛物线开口向上，∴a﹥0．∵对称轴在y 轴左侧，∴b﹥0．∵与y 轴交点在轴下方，∴c﹤0．∴一次函数y=abc 的图象过一、三、四象限．5．C 点拨：由图象知，抛物线顶点纵坐标为3，∴原图象向下平移3个单位得到y=a 2bc-3．∴方程a 2bc-3=0有两个相等的实数根．6．A 点拨：由图象知，a ﹤0，b ﹤0，c ﹥0．当=1时，y=abc ﹤0；当=-1时，y=a-bc ﹥0．对称轴-a b 2=-1，∴b=2a． 7．C 点拨：由y=ac 过一、二、四象限得a ﹤0，c ﹥0；抛物线y=a 2bc 开口向下，与y 轴交点（0，c ）在轴上方，得a ﹤0，c ﹥0；抛物线与直线交于同一点（0，c ）．8．D 点拨：由y=x k 的图象知，﹤0，∴y=22-2的图象开口向下，对称轴在y 轴左侧，与y 轴交于正半轴．9．A点拨：若抛物线开口向上，即a﹥0，则c﹥0．∴C、D 均错．若抛物线开口向下，即a﹤0．由A、B可知c﹥0，则双曲线只可能在第一、三象限．10．B点拨：若y=a2开口向上，则a﹥0．∴y=a-1过一、三、四象限．若y=a2开口向下，则a﹤0，∴y=a-1过二、三、四象限．11．①②③④。
二次函数的图像与系数a,b,c之间的关系(解析版)
专题03 二次函数图像与系数之间关系类型一、判断图像位置关系例1.如图，一次函数1y x =与二次函数22y x bx c =++的图像相交于P 、Q 两点，则函数()21y x b x c =+-+的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【详解】解： 由2y =x 2+bx +c 图象可知，对称轴x =2b -＞0，0c <， 0b ∴<，抛物线21y x b x c =+-+（）与y 轴的交点在x 轴下方，故选项B ，C 错误， 抛物线21y x b x c =+-+（）的对称轴为1122b b x --=-=，∴102b -＞， ∴抛物线y =x 2+（b -1）x +c 的对称轴在y 轴的右侧，故选项D 错误，故选：A ．【变式训练1】二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数y ax b =-+的图象大致是( )．A ．B ．C ．D ．【答案】C【详解】解：观察二次函数2y ax bx c =++的图象得：0,02b a a<-<， ∴0b <，0a ->，∴一次函数y ax b =-+的图象经过第一、三、四象限．故选：C【变式训练2】在同一平面直角坐标系中，函数()20y ax bx a =+≠与y ax b =+的图象可能是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【详解】解：函数()20y ax bx a =+≠经过原点（0，0），则B 错误；当a <0时，y ax b =+经过二、四象限，则D 错误；当02b a->时，b >0， y ax b =+经过一、二、四象限，则C 错误； 当a >0，02b a ->时，b <0， y ax b =+经过一、三、四象限，则A 符合题意． 故选：A ．【变式训练3】在同一平面直角坐标系中，函数2y ax bx =+与y ＝ax ＋b 的图象不可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】解：当a >0，b >0时，y =ax 2+bx 的开口上，与x 轴的一个交点在x 轴的负半轴，y =ax +b 经过第一、二、三象限，且两函数图象交于x 的负半轴，无选项符合； 当a >0，b <0时，y =ax 2+bx 的开口向上，与x 轴的一个交点在x 轴的正半轴，y =ax +b 经过第一、三、四象限，且两函数图象交于x 的正半轴，故选项A 正确，不符合题意题意； 当a <0，b >0时，y =ax 2+bx 的开口向下，与x 轴的一个交点在x 轴的正半轴，y =ax +b经过第一、二、四象限，且两函数图象交于x 的正半轴，C 选项正确，不符合题意；当a <0，b <0时，y =ax 2+bx 的开口向下，与x 轴的一个交点在x 轴的负半轴，y =ax +b 经过第二、三、四象限，B 选项正确，不符合题意；只有选项D 的两图象的交点不经过x 轴， 故选D.【变式训练4】如图，一次函数1y x =与二次函数22y ax bx c =++的图像相交于P ，Q 两点，则函数()21y ax b x c =+-+的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】∴一次函数1y x =与二次函数22y ax bx c =++的图像相交于P ，Q 两点， ∴一元二次方程()210ax b x c +-+=有两个不相等的实数根，∴函数()21y ax b x c =+-+与x 轴有两个交点， 由题意可知：02b a ->，0a >，∴110222b b a a a --=-+>， ∴函数()21y ax b x c =+-+的对称轴102b x a -=->，∴选项D 符合条件． 故选D ．类型二、根据图像判断a ，b ，c 之间关系例1．二次函数()20y ax bx c a =-+≠的图象如图所示，下列选项错误的是（ ）A ．0ac <B ．1x >时，y 随x 的增大而增大C ．0a b c ++>D ．方程20ax bx c ++=的根是11x =-，23x =【答案】C 【详解】A.由二次函数的图象开口向上可得a >0，由抛物线与y 轴交于x 轴下方可得c <0，所以ac <0，正确；B.由a >0，对称轴为x =1，可知x >1时，y 随x 的增大而增大，正确；C.把x =1代入()20y ax bx c a =-+≠得，y =a +b +c ，由函数图象可以看出x =1时二次函数的值为负，错误；D.由二次函数的图象与x 轴交点的横坐标是-1或3，可知方程20ax bx c ++=的根是121,3x x =-=，正确． 故选：C ．例2．如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）经过点()2,0，且对称轴为直线12x =，有下列结论：①0abc >；②0a b +>；③4330a b c ++<；④无论a ，b ，c 取何值，抛物线一定经过,02c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；⑤2440am bm b +-≥；⑥一元二次方程21ax bx c ++=有两个不相等的实数根，其中正确结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】D 【详解】解：①∴抛物线图象开口朝上，0a > ，∴抛物线对称轴为直线12x =，∴122b a -=， ∴0b a =-<，即0a b +=，故②错误；∴抛物线图象与y 轴交点位于x 轴下方，∴c <0，0abc ∴>，故①正确；③2y ax bx c =++经过()2,0，420a b c ∴++=又由①得c <0，0b <，4330a b c ∴++<，故③正确；④根据抛物线的对称性，得到2x =与1x =-时的函数值相等，∴当1x =-时0y =，即0a b c -+= a b =-，20a c ∴+=即12c a =-，∴2y ax bx c =++经过,02c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即经过(1,0)-，故④正确； ⑤当12x =时，1142y a b c =++，当x m =时，2y am bm c =++， 0a >，∴函数有最小值1142a b c ++，∴21142am bm c a b c ++≥++， ∴2442am bm a b +≥+，∴2440am bm b +-≥，故⑤正确；⑥方程21ax bx c ++=的解即为抛物线2y ax bx c =++与直线1y =的交点的横坐标，结合函数图象可知，抛物线2y ax bx c =++与直线1y =有两个不同的交点，即方程21ax bx c ++=有两个不相等的实数根，故⑥正确；综上所述：①③④⑤⑥正确．故选D ．【变式训练1】如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分与x 轴的一个交点坐标为()1,0，对称轴为1x =-，结合图象给出下列结论：①0a b c ++=；②20a b c -+<；③关于x 的一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两根分别为-3和1；④若点()14,y -，()22,y -，()33,y 均在二次函数图象上，则123y y y <<；⑤()a b m am b -<+（m 为任意实数）．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】∴二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分与x 轴的一个交点坐标为()1,0， ∴当x =1时，0a b c ++=，故结论①正确；根据函数图像可知，当10x y =-<，，即0a b c -+<，对称轴为1x =-，即12b a-=-， 根据抛物线开口向上，得0a ＞，∴20b a =＞，∴0a b c b -+-<，即20a b c -+<，故结论②正确； 根据抛物线与x 轴的一个交点为()1,0，对称轴为1x =-可知：抛物线与x 轴的另一个交点为(-3，0)， ∴关于x 的一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两根分别为-3和1，故结论③正确；根据函数图像可知：213y y y <<，故结论④错误；当x m =时，2()y am bm c m am b c =++=++，∴当1m =-时，()a b c m am b c -+=++，即()a b m am b -=+，故结论⑤错误，综上：①②③正确，故选：C ．【变式训练2】二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，有以下结论：①3a －b ＝0；②240b ac ->；③520a b c -+>；④430b c +>，其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【详解】解：由图象可知a ＜0，c ＞0，对称轴为32x =-，∴322b x a=-=-，∴3b a =，①正确； ∴函数图象与x 轴有两个不同的交点，∴240b ac ∆=-＞，②正确；当1x =-时，0a b c -+＞，当3x =-时，930a b c -+＞，∴10420a b c -+＞，∴520a b c -+＞，③正确；由对称性可知1x =时对应的y 值与4x =-时对应的y 值相等，∴当1x =时，0a b c ++＜，∴3b a =，∴433333330b c b b c b a c a b c +=++=++=++（）＜，∴430b c +＜，④错误；故选：C ．【变式训练3】抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）如图所示，下列结论中：①20a b +=；②0a b c -+>；③当1x ≠时，2a b ax bx +>+；④24ac b <．正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【详解】解：从图象上可以看出二次函数的对称轴是直线x =1．∴12b a -=．∴2a b =-．∴20a b +=．故①符合题意．从图象上可以看出当x =-1时，二次函数的图象在x 轴下方．∴当x =-1时，y <0即()()2110a b c a b c ⨯-+⨯-+=-+<．故②不符合题意．从图象上可以看出当x =1时，二次函数取得最大值．∴当1x ≠时，2211ax bx c a b c a b c ++<⨯+⨯+=++．∴2ax bx a b +<+．故③符合题意．从图象上可以看出二次函数图象与x 轴有两个交点．∴240b ac ->．∴24b ac >．故④符合题意．故①③④共3个符合题意．故选：C ．【变式训练4】已知二次函数y =ax 2−4ax −5a +1(a >0)下列结论正确的是（ ）①已知点M (4，y 1)，点N (−2，y 2)在二次函数的图象上，则y 1>y 2；②该图象一定过定点（5，1）和（－1，1）；③直线y =x −1与抛物线y =ax 2−4ax −5a +1一定存在两个交点；④当−3≤x ≤1时，y 的最小值是a ，则a =110 A ．①④B ．②③C ．②④D ．①②③④ 【答案】B【详解】解：二次函数y =ax 2−4ax −5a +1(a >0)，开口向上，且对称轴为x =-42a a-=2， ①点N (−2，y 2)关于对称轴对称的点为(6，y 2) ，∴a >0，∴y 随x 的增加而增加，∴4<6，∴y 1<y 2；故①错误；②当y =1时，ax 2−4ax −5a +1=1，即x 2−4x −5=0，解得：x =5或x =-1，该图象一定过定点（5，1）和（-1，1）；故②正确；③由题意得方程：ax 2−4ax −5a +1= x −1，整理得：ax 2−(4a +1)x −5a +2=0，()()241452a a a =+--+=16a 2+8a +1+20a 2-8a =36a 2+1>0， 直线y =x −1与抛物线y =ax 2−4ax −5a +1一定存在两个交点；故③正确；④当−3≤x ≤1时，y 随x 的增加而减少，∴当x =1时，y 有最小值为a ，即a −4a −5a +1=a ，解得：a =19，故④错误；综上，正确的有②③，故选：B ．【变式训练5】抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线2x =-．抛物线与x 轴的一个交点在点()4,0-和点(3,0)-之间，其部分图象如图所示，下列结论：①40a b -=；②3c a ≤；③关于x 的方程22ax bx c ++=有两个不相等实数根；④若()15,y -，()22,y 是抛物线上的两点，则12y y <；⑤224b b ac +>．正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【详解】解：∴抛物线的对称轴为直线x =-2b a =-2， ∴4a -b =0，所以①正确；∴与x 轴的一个交点在（-3，0）和（-4，0）之间，∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（-1，0）和（0，0）之间，∴x =-1时，y ＞0，且b =4a ，即a -b +c =a -4a +c =-3a +c ＞0，∴c ＞3a ，所以②错误；∴抛物线与x 轴有两个交点，且顶点为（-2，3），∴抛物线与直线y =2有两个交点，∴关于x 的方程ax 2+bx +c =2有两个不相等实数根，所以③正确；∴抛物线的对称轴为直线x =-2b a =-2，∴22(5)2-----＜， ∴a ＜0，∴12y y ＞所以④错误；∴抛物线的顶点坐标为（-2，3），∴2434ac b a-=，∴b 2+12a =4ac ， ∴4a -b =0，∴b =4a ，∴b 2+3b =4ac ，∴a ＜0，∴b =4a ＜0，∴b 2+2b ＞4ac ，所以⑤正确；∴正确的为①③⑤．故选：C【变式训练6】如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =，与x 轴的一个交点坐标为()1,0-，其部分图象如图所示，下列结论：①24ac b <，②30a c ->，③方程20ax bx c ++=的两个根是11x =-，23x =，④当0y >时，x 的取值范围是13x ，其中正确的有（ ）A ．①②B ．①②③C ．①③④D ．①②④【答案】C 【详解】解：∴抛物线的对称轴为直线1x =，，与x 轴的一个交点坐标为()1,0-，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()3,0，12b a-=， ∴2b a =-，2=40b ac ∆->，即24ac b <，故①正确；∴抛物线开口向下，与y 轴交于y 轴正半轴，∴00a c <>，，∴30a <，∴30a c -<，故②错误；∴抛物线与x 轴的交点坐标为（-1，0），（3，0），∴方程20ax bx c ++=的两个根是11x =-，23x =，故③正确；由函数图象可知当0y >时，x 的取值范围是13x ，故④正确； 故选C ．11。
二次函数图象与系数的关系(压轴题专项讲练)(解析版)—2024-2025学年九年级数学上册(浙教版)
二次函数图象与系数的关系数形结合思想：所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
一、二次函数图象与系数的关系对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a 与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置．【典例1】如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点B (4,0)，则下列结论中：①abc>0②4a+b>0；③M(x1,y1)与N(x2,y2)是抛物线上两点，若0<x1<x2，则y1>y2；④若抛物线的对称轴是直线x=3，m为任意实数，则a(m―3)(m+3)<b(3―m)；⑤AB≥3，则4b+3c>0，正确的个数是（）A．5B．4C．3D．2本题考查了二次函数的图象和性质．根据图象可知，a<0，c<0，b>0，即可判断①结论；根据图象可得对称轴在直线x=2右侧，即―b2a>2，即可判断②结论；根据二次函数的增减性，即可判断③结论；根据对称轴，得出b=―6a，再利用作差法，即可判断④结论；根据抛物线与x轴的交点B(4,0)，整理得出a =―4b+c 16，再根据AB ≥3，得到y =a +b +c ≥0，进而得出4b +5c ≥0，再结合c <0，即可判断⑤结论．根据图象得出二次函数表达式各系数符号是解题关键．解：∵抛物线开口线下，与y 轴交于负半轴，∴a <0，c <0，∵对称轴在x 轴正半轴，∴a 、b 异号，∴b >0，∴abc >0，①结论正确；∵抛物线与x 轴正半轴交于A 、B 两点，且点B (4,0)，∴对称轴在直线x =2右侧，即―b 2a >2，∴2―<0，∴4a+b2a <0，∵a <0，∴4a +b >0，②结论正确；M (x 1,y 1)与N (x 2,y 2)是抛物线上两点，且0<x 1<x 2，∵0<x <―b 2a 时，y 随x 的增大而增大；x >―b2a 时，y 随x 的增大而减小；∴无法判断y 1和y 2的大小，③结论错误；∵抛物线的对称轴是直线x =3，∴―b 2a =3，即b =―6a ，∴ a (m ―3)(m +3)―b (3―m )=a (m ―3)(m +3)+6a (3―m )=a (m ―3)(m +3―6)=a (m ―3)2，∵a <0，(m ―3)≥0，∴a (m ―3)2≤0，∴ a (m ―3)(m +3)≤b (3―m )，④结论正确；∵抛物线与x 轴正半轴交于A 、B 两点，且点B (4,0)，∴当x =4时，y =16a +4b +c =0，∴a =―4b+c 16，∵AB ≥3，∴点A 的横坐标0<x A ≤1，∴当x =1时，y =a +b +c ≥0；∴―4b+c 16+b +c ≥0，整理得：4b +5c ≥0，∴4b +3c ≥―2c ，∵c <0，∴2c >0，∴4b +3c >0，⑤结论正确；∴正确的结论有①②④⑤，共4个，故选：B ．1．（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图，已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象关于直线x =―1对称，与x 轴的一个交点在原点和(1,0)之间，下列结论错误的是（ ）A ．abc <0B ．b =2aC ．4a ―2b +c >0D ．a ―b ≤m (am +b )（m 为任意实数）【思路点拨】本题考查二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．根据抛物线开口向上，对称轴，与y 轴交点位置，即可判断选项A ；根据抛物线对称轴即可判断选项B ；根据“对称轴为直线x =―1，0<x 1<1”可判断选项C ； 当x =―1时，y =ax 2+bx +c =a ―b +c 为最小值，据此可判断选项D．【解题过程】解：A．∵抛物线开口向上，∴a>0，∵对称轴为直线x=―1，=―1，∴―b2a∴b=2a>0，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c<0，∴abc<0，原题结论正确，故此选项不符合题意；B．∵对称轴为直线x=―1，=―1，∴―b2a∴b=2a，故选项正确，不符合题意；C．∵对称轴为直线x=―1，0<x2<1，∴―3<x1<―2，∴当x=―2时，y=4a―2b+c<0原题结论错误，故此选项符合题意；D．当x=―1时，y=ax2+bx+c=a―b+c为最小值，∴a―b+c≤am2+bm+c，∴a―b≤am2+bm，∴a―b≤m(am+b)，原题结论正确，故此选项不符合题意．故选：C．2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，对称轴为直线x=―1，则下列结论中：>0②am2+bm≤a―b（m为任意实数）③3a+c<1①bc④若M(x1,y)、N(x2,y)是抛物线上不同的两个点，则x1+x2≤―3．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向，对称轴可得a<0，b=2a<0即可判断①，x=―1时，函数值最大，即可判断②，根据x=1时，y<0，即可判断③，根据对称性可得x1+x2=―2即可判段④，即可求解．【解题过程】解：∵二次函数图象开口向下∴a<0∵对称轴为直线x=―1，=―1∴x=―b2a∴b=2a<0∵抛物线与y轴交于正半轴，则c>0<0，故①错误，∴bc∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=―1,∴当x=―1时，y取得最大值，最大值为a―b+c∴am2+bm+c≤a―b+c（m为任意实数）即am2+bm≤a―b，故②正确；∵x=1时，y<0即a+b+c<0∵b=2a∴a+2a+c<0即3a+c<0∴3a+c<1，故③正确；∵M(x1,y)、N(x2,y)是抛物线上不同的两个点，∴M,N关于x=―1对称，∴x1+x22=―1即x1+x2=―2故④不正确正确的有②③故选：B3．（2024·四川眉山·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(3,0)，与y轴交于点B，对称轴为直线x=1，下列四个结论：①bc<0；②3a+2c<0；③ax2+bx≥a+b；④若―2<c<―1，则―83<a+b+c<―43，其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4【思路点拨】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对称轴的位置即可判断①，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②，利用二次函数的最值即可判断③，求出c=―3a，进一步得到1 3<a<23，又根据b=―2a得到a+b+c=a―2a―3a=―4a，即可判断④.【解题过程】解：①∵函数图象开口方向向上，∴a>0；∵对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴b<0，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c<0，∴bc>0，故①错误；②∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(3,0)，与y轴交于点B，对称轴为直线x=1，∴―b2a=1，∵b=―2a，∴x=―1时，y=0，∴a―b+c=0，∴3a+c=0，∴3a+2c<0，故②正确；③∵对称轴为直线x=1，a>0，∴y=a+b+c最小值，ax2+bx+c≥a+b+c，∴ax2+bx≥a+b，故③正确；④∵―2<c<―1，∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得x1x2=(―1)×3=―3=ca，∴c=―3a，∴―2<―3a<―1，∴13<a<23，∵b=―2a，∴a+b+c=a―2a―3a=―4a，∴―83<a+b+c<―43，故④正确；综上所述，正确的有②③④，故选：C4．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点1，1，m，0，3，0，若c<0，则下列结论中错误的是（）A．ab<0B．4ac―b2<4aC．3a+b<0D．点2+m，1必在该抛物线上【思路点拨】根据抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右边，可得a<0，c<0，b>0，即可判断A；将抛物线化为顶点式，由顶点在第一象限得到4ac―b24a>1，结合a<0即可判断B；由点3，0在抛物线上得到3a+b=―c3，再由c<0即可判断C；由抛物线的对称性即可判断D．【解题过程】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右边，∴a<0，c<0，―b2a>0，∴b>0，∴ab<0，故A正确，不符合题意；∵y=ax2+bx+c=a x++4ac―b24a ，抛物线的顶点在第一象限，经过点1，1，对称轴为直线x=m+32>1，∴4ac―b24a>1，∵a<0，∴4ac―b2<4a，故B正确，不符合题意；∵抛物线y=ax2+bx+c经过点3，0，∴9a+3b+c=0，∴3a+b=―c3，∵c<0，∴―c3>0，∴3a+b=―c3>0，故C错误，符合题意；∵抛物线y=ax2+bx+c经过点1，1，m，0，3，0，∴对称轴为直线x=m+32，∵1+2+m2=m+32，∴1，1和2+m，1关于对称轴对称，∴点2+m，1必在该抛物线上，故D正确，不符合题意；故选：C．5．（23-24九年级上·河南周口·期末）抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为(4,0)，抛物线的对称轴是直线x=1．下列结论：①abc>0；②2a+b=0；③4a―2b+c=0；④方程ax²+bx+c=2有两个不相等的实数根；⑤若点A(m,n)在该抛物线上，则am²+bm+c≤a+b+c．其中正确的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【思路点拨】由开口方向及与y轴的交点可判断，a<0，c>0，再根据“左同右异”的方法可判断b的符号，从而可判断可判断②；由图象得x2=4和对称轴可求x1=―2，可得抛物线与x的另一个交点为①；由对称轴x=―b2a(―2,0)，代入即可判断③；设y1=2，则图象为过(0,2)且垂直于y轴的一条直线，并且与抛物线有两个交点，=a+b+c，即可判断⑤．可判断④；当x=1时，y最大【解题过程】解：由图得：a<0，c>0，∵对称轴在y轴右侧，∴b>0，∴abc<0，故①错误；∵抛物线的对称轴是直线x=1，∴―b=1，2a∴2a+b=0，故②正确；由图象得x 2=4，∴1―x 1=4―1解得：x 1=―2，∴抛物线与x 的另一个交点为(―2,0)，∴a ×(―2)2+(―2)b +c =0，即：4a ―2b +c =0，故③正确；设y 1=2，则图象为过(0,2)且垂直于y 轴的一条直线，与抛物线有两个交点，∴方程ax²+bx +c =2有两个不相等的实数根；故④正确；∵抛物线的对称轴是直线x =1，且a <0，∴当x =1时，y 最大=a +b +c ，∴ am²+bm +c ≤a +b +c ，故⑤正确；综上所述：正确的有②③④⑤，共4个；故选：C ．6．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）如图是二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)图象的一部分，对称轴为x =12，且经过点(2,0)．下列说法：①abc <0；②―2b +c =0；③4a +2b +c <0；④若―52,y 1y 2是抛物线上的两点，则y 1<y 2；⑤14b >m (am +b )（其中m ≠12），其中说法正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①②④⑤D ．②③④⑤【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，图象与系数的关系，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．利用抛物线的开口方向、对称轴和与y轴的交点位置来判定①，利用抛物线与x轴的两个交点的坐标、结合一元二次方程根与系数的关系来判定②，把点(2,0)代入二次函数的解析式来判定③，观察图象可得：距离对称轴越近的点的纵坐标越大，据此判定④，根据二次函数的最大值判定⑤．【解题过程】解：∵抛物线开口向下，∴a<0，抛物线对称轴为x=―b2a =12，∴b=―a>0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c>0，∴abc<0，所以①正确；对称轴为x=12，且经过点(2,0)，抛物线与x轴的另一个交点为(―1,0)，∴一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为2和―1，∴2×(―1)=ca，整理，得c=―2a，∴―2b+c=2a+(―2a)=0，所以②正确；抛物线经过(2,0)，∴当x=2时，y=0，∴4a+2b+c=0，所以③错误；∵a<0，∴距离对称轴越近的点的纵坐标越大，∵1 2―(―52)>52―12，∴y1<y2所以④正确；∵对称轴为x =12，∴当x =12时，y 有最大值，y 的最大值=14a +12b +c ，∴当x =m ≠12时，14a +12b +c >am 2+bm +c ，整理，得14a +12b >am 2+bm =m(am +b)，∵b =―a ，即a =―b ，∴14a +12b =―14b +12b =14b ，即14b >m (am +b )，所以⑤正确．其中说法正确的是①②④⑤．故选：C ．7．（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于两点(x 1,0)、(2,0)，其中0＜x 1＜1．下列四个结论：①abc <0；②a +b +c >0；③2a ―c >0；④点(―2,y 1)，(4,y 2)都在抛物线上，则有y 1>y 2；⑤不等式ax 2+bx +c <―c x 1x +c 的解集为0＜x ＜x 1．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【思路点拨】本题考查了抛物线图像综合，根据抛物线开口向上，a ＞0；对称轴在原点的右边，―b 2a ＞0，得到b ＜0，c ＞0，判断abc <0；结合图像，a +b +c ＜0；根据对称轴，增减性，数形结合思想计算判断即可．【解题过程】解：∵抛物线开口向上，∴a ＞0；∵对称轴在原点的右边，―b 2a ＞0，∴b ＜0，∵抛物线与y 轴交点位于坐标轴上，∴c ＞0，∴abc <0；故①正确；结合图像，a +b +c ＜0；故②错误；∵抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于两点(x 1,0)、(2,0)，其中0＜x 1＜1．∴1＜x 1+22＜32，4a +2b +c =0，∴1＜―b 2a ＜32，2b =―c ―4a ，∴―3a ＜b ＜―2a ，2b =―c ―4a ，∴2b ＞―6a ，b +2a ＜0，∴―4a ―c ＞―6a ，∴2a ―c >0，故③正确；∵点(―2,y 1)，(4,y 2)∴y 1=4a ―2b +c,y 2=16a +4b +c ，∴y 1―y 2=4a ―2b +c ―(16a +4b +c )=―6(2a +b )，∵b +2a ＜0，∴―6(2a +b )＞0∴y 1>y 2；故④正确；设直线y =―cx 1x +c ，根据题意，直线经过点(x 1,0)和(0,c )，故直线y =―c x 1x +c 与y =ax 2+bx +c 的交点为点(x 1,0)和(0,c )，画草图如下，x+c的解集为0＜x＜x1．故不等式ax2+bx+c<―c x1故⑤正确；故选D．8．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图像的一部分如图所示，该函数图像经过点(5，0)，对称轴为直线x=2．对于下列结论：①b>0；②a+c<b；③多项式ax2+bx+c 可因式分解为(x+1)(x―5)；④无论m为何值时，代数式am2+bm―4a―2b的值一定不大于0．其中正确个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】=2可得抛物线与x轴的另一个交先根据图像的开口方向和对称轴可判断①；由抛物线的对称轴为x=x1+x22点为(―1,0)，由此可判断②；根据抛物线与x轴的两个交点坐标可判断③；根据函数的对称轴为x=2可知x=2时y有最大值，由此可判断④．本题主要考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图像和系数的关系．【解题过程】解：∵抛物线开口向下，∴a<0，>0，∵对称轴为直线x=―b2a∴b>0，∴结论①正确；∵抛物线与x轴的一个交点为(5，0)，且对称轴为直线x=2，由5+x 22=2，得x 2=―1，∴抛物线与x 轴的另一个交点为(―1,0)，即当x =―1时，y =0，∴a ―b +c =0，∴a +c =b ，∴结论②错误；∵抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴的两个交点为(―1,0)，(5，0)，∴多项式ax 2+bx +c 可因式分解为a(x +1)(x ―5)，∴结论③错误；∵对称轴为直线x =2，且函数开口向下，∴当x =2时，y 有最大值，由y =ax 2+bx +c 得，x =2时，y =4a +2b +c ，x =m 时，y =am 2+bm +c ，∴无论m 为何值时，am 2+bm +c ≤4a +2b +c ，∴am 2+bm ―4a ―2b ≤0∴结论④正确；综上：正确的有①④．故选：B9．（23-24九年级上·四川德阳·阶段练习）如图，抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于点A (―1,0)，顶点坐标为(1,n )，与y 轴的交点在(0,2)、(0,3)之间（包含端点）．正确结论的个数是（ ）①当x >3时，y <0；②3a +b >0；③―1≤a ≤―23；④83≤n ≤4．A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的图象与系数的关系；二次函数与一元二次方程的关系；熟练掌握二次函数的图象与系数之间的关系是解题的关键．①根据题意可得抛物线的对称轴为直线x=1，得到另一个交点坐标，结合函数图象即可对于①作出判断；②根据抛物线开口方向得出a<0，由对称轴x=―b求得b与a的关系，代入3a+b，即可判定3a+b的符2a，号；③根据二次函数与x轴的交点坐标即为对应一元二次方程的解，结合一元二次方程两根之积x1⋅x2=ca 得到c与a的关系，然后根据c的取值范围，利用不等式的性质来求a的取值范围；④把顶点坐标代入函数解c，根据c的取值范围，利用不等式的性质来求得n的取值范围．析式得到n=a+b+c=43【解题过程】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(1,n)，∴对称轴直线是x=1，∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(―1,0)，∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(3,0)，∴根据图象可得，当x>3时，y<0；故①正确；②a<0；=1，∵对称轴x=―b2a∴b=―2a；∴3a+b=3a―2a=a<0，即3a+b<0；故②错误；③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是(―1,0)，(3,0)，即方程ax2+bx+c=0的解是x1=―1和x2=3，∴x1⋅x2=―1×3=―3，=―3，即ca；则a=―c3∵抛物线与y轴的交点在(0,2)、(0,3)之间（包含端点），∴2≤c≤3，∴―1≤―c3≤―23；即―1≤a≤―23；故③正确；④∵a=―c3；b=―2a∴b=―2a=23c，∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(1,n)，即n=a+b+c=43c∵2≤c≤3，∴8 3≤43c≤4，即83≤n≤4；故④正确；综上所述，正确的说法有①③④．故选：C．10．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与x轴负半轴交于―12,0，对称轴为直线x=1．有以下结论∶①abc<0；②3a+c>0；③若点(―3,y1)，(3,y2)，(0,y3)均在函数图象上，则y1>y3>y2；④若方程a(2x+1)(2x―5)=1的两根为x1、x2，且x1<x2则x1<―1 2<52<x2；⑤点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得，则a的范围为a≥23．其中结论正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】本题考查二次函数的图象及性质，由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键．【解题过程】解：∵对称轴为直线x =1，函数图象与x 轴负半轴交于 ―12,0，∴x =―b 2a =1，∴b =―2a ，由图象可知 a >0，c <0，∴b =―2a <0，∴abc >0，故①错误；由图可知，当x =―1时，y =a ―b +c >0 ，∴a +2a +c >0，即3a +c >0，故②正确；∵点(―3,y 1)，(3,y 2)，(0,y 3)均在函数图象上，对称轴为直线x =1，开口向上，∴|―3―1|>|3―1|>|0―1|，则 y 1>y 2>y 3，故③错误；由抛物线对称性可知，抛物线与x ,0，∴抛物线解析式为：y =a x令a x ―=14，则a (2x +1)(2x ―5)=1，如图，作y =14，由图形可知x 1<―12<52<x 2 ，故④正确；由题意可知：M ，N 到对称轴的距离为32，当抛物线的顶点到x 轴的距离不小于 32时，在x 轴下方的抛物线上存在点P ，使得PM ⊥PN ，即4ac―b 24a ≤―32，∵y =a x =ax 2―2ax ―54a ，∴c =―54a ，b =―2a ，≤―32，解得：a ≥23，故⑤正确，综上可知②④⑤正确，共3个，故选：C ．11．（23-24九年级下·山东烟台·期中）已知二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点(―2,0)，顶点坐标为―12,m ．对于下列结论：①abc <0；②a +b +c =0；③若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ―3=0无实数根，则m <3；④am 2+bm <14(a ―2b )）（其中m ≠―12）﹔⑤若A (x 1,y 1)和B (x 2,y 2)均在该函数图象上，且x 1>x 2>1，则y 1>y 2．其中正确结论有（ ）A ．②③④B ．②③⑤C ．②③D ．④⑤【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象与直线交点问题，掌握二次函数图象与系数关系，二次根据抛物线与x 轴的一个交点(―2,0)以及其对称轴，求出抛物线与x 轴的另一个交点(1,0)，利用待定系数法求函数解析式，再根据抛物线开口朝下，可得a <0，进而可得b <0，c >0，再结合二次函数的图象和性质逐条判断即可．【解题过程】解：∵抛物线开口方向向下，∴a <0，∵抛物线的对称轴为直线x =―12，∴―b 2a =―12∴b =a <0∵抛物线与抛物线与轴交点在正半轴上，∴c >0，∴abc >0，故①错误；∵抛物线的对称轴为直线x =―12，且抛物线与x 轴的一个交点坐标为(―2,0)，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(1,0)，把(1,0)代入y =ax 2+bx +c(a ≠0)，可得：a +b +c =0，故②正确；∵关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ―3=0无实数根，∴二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)的图象与直线y =3无交点，∵抛物线的顶点坐标为―12,m ，抛物线开口方向向下，∴m <3，故③正确；∵am 2+bm =am 2+am =a m +―14a ，14(a ―2b)=14(a ―2a)=―14a ，∴am 2+bm ―14(a ―2b)=a(m +12)2，又∵a <0，m ≠―12，∴a m <0，即am 2+bm <14(a ―2b)（其中m ≠―12)，故④正确；∵抛物线的对称轴为直线x =―12，且抛物线开口朝下，∴可知二次函数，在x >―12时，y 随x 的增大而减小，∵x 1>x 2>1>―12，∴y 1<y 2，故⑤错误，正确的有②③④，故选：A ．12．（2024·四川达州·三模）如图，函数y =ax 2+bx +c 的图象过点(―1,0)和(m,0)，请思考下列判断：①abc <0；②4a +c <2b ；③b c +1m =1；④am 2+(2a +b )m +b +c <0；⑤|am +a |=确的结论有（ ）个．A ．2B ．3C ．4D ．5【思路点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系①利用图象信息即可判断；②根据x =―2时，y <0即可判断；③根据m 是方程ax 2+bx +c =0的根，结合两根之积―m = c a ，即可判断；④根据两根之和―1+m =― b a ，可得ma =a ―b ，可得am 2+(2a +b)m +b +c =2a ―b <0；⑤根据抛物线与x 轴的两个交点之间的距离，列出关系式即可判断．【解题过程】解：∵抛物线开口向下，∴a <0，∵抛物线交y 轴于正半轴，∴c >0，∵― b 2a >0，∴b >0，∴abc <0，故①正确，∵x =―2时，y <0，∴4a ―2b +c <0，即4a +c <2b ，故②正确，∵ y =ax 2+bx +c 的图象过点(―1,0)和(m,0)，∴―1×m = c a ，am 2+bm +c =0，则am c =―1，∴ b c =0，∴ b c +1m =1，故③正确，∵―1+m =― ba ，∴―a +am =―b ，∵am2+(2a+b)m+b+c=am2+bm+c+2am+b=2a―2b+b=2a―b∵a<0，b>0∴2a―b<0，故④正确，对于ax2+bx+c=0，可得：x=由函数图象交点可知x=m或x=―1，∴m+1=，∴m+1=，∴|am+a|=⑤正确，故选：D．13．（23-24八年级下·云南·期末）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图，图象过点(―1,0)下列结论：①b2>4ac；②4a+b=0；③4a+c>2b；④―3b+c=0；⑤若顶点坐标为(2,4)，则方程ax2 +bx+c=5没有实数根．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【思路点拨】本题主要考查二次函数与系数a，b，c相关代数式的判断问题，会利用对称轴求b与a的关系，以及二次函数与方程之间的转换，掌握根的判别式的熟练运用，是解题的关键．由抛物线的开口方向判断a<0，将点(―1,0)代入y=ax2+bx+c(a≠0)，得a―b+c=0，由图象可得对称轴为x=2，可得b=―4a，代入上式可得c=―5a，再将五个结论分别分析即可由得到答案．【解题过程】解：将点(―1,0)代入y=ax2+bx+c(a≠0)，∵图象可得二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=2，开口向下，=2，a<0，∴―b2a即b=―4a>0，将b=―4a代入a―b+c=0，可得c=―5a>0．①∵b=―4a、c=―5a，∴b2=(―4a)2=16a2，4ac=4a×(―5a)=―20a2，∴16a2>―20a2，∴b2>4ac，故①正确．②∵b=―4a，∴4a+b=4a―4a=0，故②正确．③∵b=―4a、c=―5a，∴4a+c=4a―5a=―a，2b=―8a，∵a<0，∴―a<―8a，∴4a+c<2b，故③错误．④∵b=―4a、c=―5a，故―3b+c=―3×(―4a)―5a=12a―5a=7a，∵a<0，∴7a≠0，∴―3b+c≠0，故④错误．⑤将(2,4)代入y=ax2+bx+c(a≠0)，即4a+2b+c=4，再将b=―4a、c=―5a代入上式，化简可得a=―2，∴b=―4a=8，c=―5a=10，将a=―2，b=8，c=10，代入则方程ax2+bx+c=5中，即―2x2+8x+5=0，根据根的判别式Δ=82―4×(―2)×5=104>0，可得方程ax2+bx+c=5没有两个不相同的实数根，故⑤错误．综上作述，正确的结论有两个，故选A．14．（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）抛物线y=ax2+bx+c经过点(―1,0)，与y轴的交点在(0,―2)与(0,―3)之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：①a+b+c<0；②若点M(0.5,y1)、N(2.5,y2)在图象上，则y1<y2；③若m为任意实数，则a(m2―4)+b(m―2)≥0；④―24≤5 (a+b+c)<―16．其中正确结论的序号为．【思路点拨】本题考查二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征逐一判断即可，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质．【解题过程】解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴相交于点A(―1,0)，对称轴为直线x=2，∴二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)x轴相交于点A(―1,0),(5,0)，∵二次函数与y轴的交点B(0,―2)与(0,―3)之间（不包括这两点），大致图象如图：当x=1时，y=a+b+c<0，故结论①正确；∵二次函数的对称轴为直线x=2，且a>0,2―0.5=1.5,2.5―2=0.5，∴y1>y2，故结论②不正确；∵x=2时，函数有最小值，∴am2+bm+c≥4a+2b+c（m为任意实数），∴a(m2―4)+b(m―2)≥0，故结论③正确；∵―b2a=2，∴b=―4a，∵一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为―1和5，∴―1×5=ca，∴c=―5a，∵―3<c<―2，∴2 5<a<35，∴当x=1时，y=a+b+c=―8a，―245<―8a<―165，∴―24<5(a+b+c)<―16，故结论④正确；故答案为：①③④．15．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点A(―2023,n)，B(2024,n)，M(―1,0)，且交y轴的正半轴于点N，下列结论：①abc<0；②4a+2b+c=0；③若直线y=ax+d与抛物线只有一个公共点T(x T,y T)，则x T=1；④抛物线上的两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，P在Q的左边，若x1+x2>2，则y1<y2；⑤b2―4ac<―4a，请将所有正确的序号填在横线上．【思路点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系及二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，抛物线的对称性等知识点，根据二次函数的图象进行逐项分析即可，灵活运用有关知识来分析是解题的关键．【解题过程】解：∵图象过点A(―2023,n)，B(2024,n)，M(―1,0)，∴抛物线对称轴为直线x=12，a―b+c=0，∴与x轴交于点(2,0)，即有4a+2b+c=0，故②正确；∵交y轴的正半轴于点N，∴抛物线开口向下，∴a<0，c>0，b>0，则abc<0，故①正确；由抛物线对称轴为直线x=12，∴―b2a =12，则b=―a，∴代入a―b+c=0得：c=―2a，∴抛物线y=ax2―ax―2a，直线y=ax+d与抛物线只有一个公共点T(x T,y T)，∴ax2―ax―2a=ax+d，整理得：ax2―2ax―2a―d=0∴(―2a)2―4a(―2a―d)=0，解得：d=―3a，∴直线y=ax―3a，代入得：x=1，∴x T=1，故③正确；∵抛物线上的两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，∴y1=ax12―ax1―2a，y2=ax22―ax2―2a，∴y1―y2=a(x1+x2)(x1―x2)―a(x1―x2)=a(x1―x2)(x1+x2―1)，∵x1<x2，a<0，x1+x2>2，即y1―y2>0，∴y1>y2，故④错误；∵b2―4ac=(―a)2―4a×(―2a)=a2+8a2=9a2>0，∴b2―4ac<―4a错误，∴①②③正确；故答案为：①②③．16．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图像与x轴交于不同两点，与y轴的交点在y轴正半轴，它的对称轴为直线x=1．有以下结论：①abc<0，②a+c>0，③抛物线上有两点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，若x1<1<x2，且x1+x2>2，则y1>y2，④设x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两根，若am2+bm+c=p，则p(m―x1)(m―x2)≤0．其中正确的结论是（填入正确结论的序号）．【思路点拨】由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判断b与0的关系，可判断①；通过取特殊值可判断②；根据抛物线的增减性可判断③；根据抛物线与x轴交点情况分三种情况进行讨论，可判断④．【解题过程】解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图像与y轴的交点在y轴正半轴，∴c>0，∵对称轴为直线x=1，=1，即b=―2a，∴―b2a∵a<0，∴b>0，∴abc<0，故结论①正确；当x=1+y=a(12―2a(1++c=a+c，即当x=1(a+c)与0的大小关系，故结论②错误；∵a<0，∴二次函数y=ax2+bx+c的图像开口向下，∴抛物线上的点离对称轴越远其函数值就越小，∵点P(x1,y1)和Q(x2,y2)在抛物线上，且x1<1<x2，x1+x2>2，∴x2―1>1―x1，即x2到1的距离大于x1到1的距离，∴y1>y2，故结论③正确；∵二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图像与x轴交于不同两点，设左边交点的横坐标为x1，右边交点的横坐标为x2，即x1<x2，如图所示，若m<x1，则p<0，m―x1<0，m―x2<0，∴p(m―x1)(m―x2)<0，若x1≤m<x2，则p≥0，m―x1≥0，m―x2<0，∴p(m―x1)(m―x2)≤0，若m≥x2，则p≤0，m―x1>0，m―x2≥0，∴p(m―x1)(m―x2)≤0，综上所述，p(m―x1)(m―x2)≤0，故结论④正确，∴正确的结论是①③④．故答案为：①③④．17．（23-24九年级上·山东威海·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc>0；②9a+6b+c=0，③(4a+c)2<4b2；④方程cx2+bx+a=0的解为x1=1,x2=―1；3⑤a+b>m(am+b)(m≠1)．其中正确的结论有（填序号）．【思路点拨】本题考查的是二次函数的图象与性质，各项系数的符号与解析式的关系，根据图象先判断a<0，c>0，b>0，再结合函数的对称轴，最值，与坐标轴的交点，逐一分析判断即可．【解题过程】解：由图象可知：a<0，c>0，>0，∵―b2a∴b>0，∴abc<0，故①错误；=1，∵对称轴为x=―b2a∴b=―2a，∵a<0，c>0，∴9a+6b+c=9a―12a+c=c―3a>0，故②错误，∵抛物线与x轴的交点在―1与0之间，对称轴为x=1，另一个交点在2与3之间，∴当x=―2时，y=4a―2b+c<0，当x=2时，y=4a+2b+c>0，∴(4a―2b+c)(4a+2b+c)<0，∴(4a+c)2―4b2<0，∴(4a +c )2<4b 2，故③符合题意；∵二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)当x =1时，有最大值，∴a +b +c >0，若方程cx 2+bx +a =0的解为x 1=1，则a +b +c =0，∴④错误；当x =1时，y 的值最大．此时，y =a +b +c ，而当x =m (m ≠1)时，y =am 2+bm +c ，∴a +b +c >am 2+bm +c ，∴a +b >am 2+bm ，即a +b >m (am +b )，故⑤正确；综上：正确的有③⑤，故答案为：③⑤．18．（23-24九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点(―2,0)，对称轴为直线x =―12．对于下列结论：①abc <0；②b 2―4ac >0；③a +b +c =0；④am 2+bm <14(a ―2b)（其中m ≠―12）；⑤若A (x 1,y 1)和B (x 2,y 2)均在该函数图象上，且x 1>x 2>1，则y 1>y 2．其中正确结论有 ．（填写序号）【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质．根据抛物线与x 轴的一个交点(―2,0)以及其对称轴，求出抛物线与x 轴的另一个交点(1,0)，利用待定系数法得到b =a,c =―2a ，再根据抛物线开口朝下，可得a <0，进而可得b <0，c >0，即可得到③正确，①错误，根据抛物线与与x 轴两个交点可以判断出②正确，根据am 2+bm =a (m +12)2―14a ，14(a ―2b)=―14a ，a <0，m ≠―12，可以得到a(m +12)2<0，从而得到④正确；根据抛物线的对称性和增减性可以判断出⑤错误，问题得解．【解题过程】解：∵抛物线的对称轴为直线x =―12，且抛物线与x 轴的一个交点坐标为(―2,0)，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(1,0)，把(―2，0)，(1，0)代入y =ax 2+bx +c(a ≠0)，可得：4a ―2b +c =0a +b +c =0 ，解得b =a c =―2a ，∴a +b +c =a +a ―2a =0，故③正确；∵抛物线开口方向向下，∴a <0，∴b =a <0，c =―2a >0，∴abc >0，故①错误；∵抛物线与x 轴两个交点，∴当y =0时，方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根，∴b 2―4ac >0，故②正确；∵am 2+bm =am 2+am =a(m +12)2―14a ，14(a ―2b)=14(a ―2a)=―14a ，∴am 2+bm ―14(a ―2b)=a(m +12)2，又∵a <0，m ≠―12，∴a(m +12)2<0，即am 2+bm <14(a ―2b)（其中m ≠―12)，故④正确；∵抛物线的对称轴为直线x =―12，且抛物线开口朝下，∴可知二次函数，在x >―12时，y 随x 的增大而减小，∵x 1>x 2>1>―12，∴y 1<y 2，故⑤错误，正确的有②③④，共3个，故答案为：②③④．19．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点A 的坐标为―13,n ，与x 轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①abc>0；②5b+2c<0；③若抛物线经过点(―6,y1),(5,y2)，则y1> y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=4无实数根，则n<4．其中正确结论是（请填写序号）．【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．①利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断；②利用抛物线的对称轴求出a=32b，根据图象可得当x=1时，y=a+b+c<0，即可判断；③利用抛物线的对称轴，设(―6,y1),(5,y2)两点横坐标与对称轴的距离为d1，d2，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，即可判断；④根据图象即可判断．【解题过程】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点A的坐标为―13,n，∴―b2a =―13，∴b 2a =13>0，即ab>0，由图可知，抛物线开口方向向下，即a<0，∴b<0，当x=0时，y=c>0，∴abc>0，故①正确，符合题意；②∵直线x=―13是抛物线的对称轴，∴―b2a =―13，∴b 2a =13>0，∴a=32b由图象可得：当x=1时，y=a+b+c<0，b+c<0，即5b+2c<0，故②正确，符合题意；∴52是抛物线的对称轴，③∵直线x=―13设(―6,y1),(5,y2)两点横坐标与对称轴的距离为d1，d2，则d1=|―6―=173，d2=|5――=163，∴d2<d1，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，∴y1<y2，故③错误，不符合题意；④如图，∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=4无实数根，∴n<4，故④正确，符合题意．故答案为：①②④20．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，c<0)经过(1,1)，(m,0)，>1；③当n=3时，若点(2,t)在该抛物线上，则(n,0)三点，且n≥3．下列四个结论：①b<0；②4ac―b24at>1；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=x有两个相等的实数根，则0<m≤1，其中正确的是3(填序号即可)．【思路点拨】①根据图象经过1，1，c<0，且抛物线与x轴的一个交点一定在3，0或3，0的右侧，判断出抛物线的开口向下，即a<0，再把1，1代入y=ax2+bx+c得a+b+c=1，即可判断①错误；>1，根②先得出抛物线的对称轴在直线x=1.5的右侧，得出抛物线的顶点在点1，1的右侧，得出4ac―b24a据4a<0，利用不等式的性质即可得出4ac―b2<4a,即可判断②正确；③先得出抛物线对称轴在直线x=1.5的右侧，得出1，1到对称轴的距离大于2，t到对称轴的距离，根据a<0，抛物线开口向下，距离抛物线的对称轴越近的函数值越大，即可得出③正确；④根据方程有两个相等的实数解，得出Δ=(b―1)2―4ac=0，把1，1代入y=ax2+bx+c得a+b+c=1，即1―b=a+c，求出a=c，根据根与系数的关系得出mn=ca =1，即n=1m，根据n≥3，得出1m≥3，求出m的取值范围，即可判断④正确．【解题过程】解：①图象经过1，1，c<0，即抛物线与y轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与x 轴的交点都在1，0的左侧，∵(n,0)中n≥3，∴抛物线与x轴的一个交点一定在(3,0)或(3,0)的右侧，∴抛物线的开口一定向下，即a<0，把1，1代入y=ax2+bx+c得：a+b+c=1，即b=1―a―c=1―(a+c),∵a<0，c<0，∴a+c<0,∴b>0，故①错误；②∵a<0，b>0，c<0，ca>0，∴方程ax2+bx+c=0的两个根的积大于0，即mn>0，∵n≥3，∴m>0，∴m+n2>1.5，即抛物线的对称轴在直线x=1.5的右侧，∴抛物线的顶点在点1，1的上方或者右上方，。
二次函数——系数与图像的关系(含答案)
系数与图像的关系
1.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，其对称轴x=﹣1，给出下列结果①b 2＞4ac；②abc ＞0；③2a +b=0；④a+b+c＞0；⑤a﹣b+c＜0，则正确的结论是
A、①②③④
B、②④⑤
C、②③④
D、①④⑤
2.已知二次函数y=ax 2+bx+c（a，b，c 为常数，a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc ＞0，②b 2﹣4ac＜0，③a﹣b+c＞0，④4a﹣2b+c＜0，其中正确结论的个数是
A、1
B、2
C、3
D、4
3.抛物线y=ax 2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法正确的是
A、b 2﹣4ac＜0
B、abc＜0
C、
D、a﹣b+c＜0
12b a -<
-
4.已知：二次函数的图象如图所示，下列结论中：①；② ；③（的实数）；④；⑤.其中正确的项是 A．①⑤ B．①②⑤ C．②⑤ D．①③④
5.（黑龙江省绥化、齐齐哈尔、黑河、大兴安岭、鸡西3分）已知二次函数）的图象如图所示，现有下列结论：
①2－4＞0 ②＞0 ③＞0 ④＞0 ⑤9+3+＜0，则其中结论正确的个数是 A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
()20y ax bx c a =++≠0abc ＞20a b +＜()a bm m am b ++＜1m ≠()2
2a c <b +1a ＞()20y ax bx c a =++≠b a c a b c a b c。
中考数学二次函数的图像与系数的关系(含答案)
二次函数的图像与系数的关系1. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论：①2a+b<0;②abc>0;③4a−2b+c>0;④a+c>0,其中正确结论的个数为( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 小明从如图所示的二次函数y = ax2＋bx＋c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab > 0②a ＋b＋c < 0 ③b＋2c > 0 ④a－2b＋4c > 0 ⑤ .你认为其中正确信息的个数有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个3. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＞0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0，其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 抛物线的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是下列结论中：；；方程有两个不相等的实数根；抛物线与x轴的另一个交点坐标为；若点在该抛物线上，则．其中正确的有A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，OA=OC，则由抛物线的特征写出如下含有a、b、c三个字母的等式或不等式：① =﹣1；②ac+b+1=0；③abc＞0；④a﹣b+c＞0．其中正确的个数是（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个6. 抛物线C1：y1=mx2﹣4mx+2n﹣1与平行于x轴的直线交于A、B两点，且A点坐标为（﹣1，2），请结合图象分析以下结论：①对称轴为直线x=2；②抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣1）；③m＞；④若抛物线C2：y2=ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，则a的取值范围是≤a＜2；⑤不等式mx2﹣4mx+2n ＞0的解作为函数C1的自变量的取值时，对应的函数值均为正数，其中正确结论的个数有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个7. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（，y1），点N（，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④﹣＜a＜﹣．其中正确结论有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8. 如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 49. 二次函数（）的图像如图所示，下列结论：① ；②当时，y随x 的增大而减小；③ ；④ ；⑤ ，其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 410. 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣2，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①4a﹣b=0；②c＜0；③﹣3a+c＞0；④4a﹣2b＞at2+bt（t为实数）；⑤点（﹣，y1），（﹣，y2），（﹣，y3）是该抛物线上的点，则y1＜y2＜y3，正确的个数有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个11. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①b2﹣4ac＞0 ②a＞0 ③b＞0 ④c＞0 ⑤9a+3b+c＜0，则其中结论正确的个数是（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个12. 二次函数（a≠0）图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③当m≠1时，a+b＞；④a-b+c＞0；⑤若，且，则．其中正确的有（）.A. ①②③B. ②④C. ②⑤D. ②③⑤13. 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个14. 已知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b＜0；③a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）；④（a+c）2＜b2；⑤a＞1.其中正确的项是（）A. ①⑤B. ①②⑤C. ②⑤D. ①③④15. 如图，是二次函数y=ax2+bx+c的图象，对下列结论①ab＞0，②abc＞0，③ ＜1，其中错误的个数是（）A. 3B. 2C. 1D. 016. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+2c＜0；④3a+c＜0．其中正确的是（）A. ①④B. ②④C. ①②③D. ①②③④17. 如图抛物线y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣2，0）和点B，交y轴负半轴于点C，且OB=OC，下列结论：①2b﹣c=2；②a= ；③ac=b﹣1；④ ＞0其中正确的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个18. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为x=1，交x轴的一个交点为（x1，0），且﹣1＜x1＜0，有下列5个结论：①abc＞0；②9a﹣3b+c＜0；③2c＜3b；④（a+c）2＜b2；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）其中正确的结论有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个19. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=﹣1，有以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b=0；④a﹣b+c＞2．其中正确的结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 420. 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论：①b2=4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个21. 已知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b＜0；③a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）；④（a+c）2＜b2；⑤a＞1.其中正确的项是（）A. ①⑤B. ①②⑤C. ②⑤D. ①③④22. 如图所示，二次函数的图象经过点和，下列结论中：①；②；③④；⑤；其中正确的结论有（）个A. 2B. 3C. 4D. 523. 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：（1）ac＜0；（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的个数为（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个24. 已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(－3，－6)，有以下结论：①当a＞0时，b2＞4ac；②当a＞0时，ax2+bx+c≥-6；③若点(－2，m) ，(-5,n) 在抛物线上，则m＜n；④若关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=-4的一根为－5，则另一根为－1．其中正确的是( )A. ①②B. ①③C. ②③④D. ①②④25. 如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，其中正确结论是（）A. ②④B. ①④C. ①③D. ②③答案解析部分一、单选题1.【答案】B【解析】【解答】①∵抛物线开口向下，∴a<0，∵−<1，∴2a+b<0，①正确；②抛物线与y轴交于正半轴，∴c>0，∵−>0，a<0，∴b>0，∴abc<0，②错误；③当x=−2时，y<0，∴4a−2b+c<0，③错误；x=±1时，y>0，∴a−b+c>0，a+b+c>0，∴a+c>0，④正确，故答案为：B【分析】根据抛物线的开口方向向下，得出a<0，由其对称轴直线小于1，得出不等式，根据不等式的性质变形不等式即可得出2a+b<0；抛物线与y轴交于正半轴，故c>0，根据抛物线的对称轴位于y轴的右侧可知a,b异号，从而得出b>0，故abc<0；由抛物线与x轴的交点坐标，可知：当x=−2时，y<0，即4a−2b+c<0；x=±1时，y>0，即a−b+c>0，a+b+c>0，将两式相加即可得出a+c>0。
二次函数系数a、b、c与图像的关系
二次函数系数a 、b 、c 与图像的关系若抛物线与 x 轴交于（1，0），则a + b + c = 0；若抛物线与 x 轴交于（-1，0），则a - b + c = 0． （1） 当x = 1时，①若y > 0，则a + b + c >0；②若y < 0，则a + b + c < 0 （2） 当x = -1时，①若y > 0，则a - b + c >0；②若y < 0，则a - b + c < 0．5 例1（重庆2004年）二次函数()02≠++=a c b a χχγ的图像如图，则点M （b ，ac ）在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 分析：∵开口向下，∴a < 0；∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴，∴c > 0∵顶点在y 轴的右边，∴b 与a 异号，即b > 0；∴ac < 0；∴点M 在第四象限选D例2、（2004陕西）二次函数()02≠++=a c b a χχγ的图像如图，则下列关系判断正确的是（ ）A ．ab < 0B ．bc < 0C ．a + b + c > 0D ．a - b + c < 0分析：∵开口向下，∴a < 0； ∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴，∴c < 0∵顶点在y 轴的左边，∴b 与a 同号，即b < 0； ∴ab > 0， bc > 0 故A 、B 均错 ∵x = 1时，y < 0，∴a + b + c < 0，故C 错 ∵x = -1时，y < 0，∴a - b + c < 0．故选D例3（2004呼和浩特）如图，四个二次函数的图像中分别对应的是：①2χγa =②2χγb =③2χγc =④2χγd =，则a ， b ， c ， d 的大小关系是 ． A ．a > b > c > d B ．a > b > d > c C ．b > a > c > dD ．b > a > d > c分析：∵③、④的图像开口向下，∴c < 0，d < 0； ∵④的张口比③的张口小，∴∣d ∣ > ∣c ∣， ∴c > d ； ∵①、②的图像开口向上，∴a > 0，b > 0；∵①的张口比②的张口小，∴∣a ∣ > ∣b ∣， ∴a > b例4、已知二次函数()02≠++=a c b aχχγ的图像如图，则a 、b 、c 满足（ ）A ．a < 0，b < 0，c > 0 ；B ．a < 0，b < 0，c < 0 ；C ．a < 0，b > 0，c > 0 ；D ．a > 0，b < 0，c > 0 ；分析：∵开口向下，∴a < 0；∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴，∴c > 0∵顶点在y 轴的左边，∴b 与a 同号，即b < 0； ∴选A 例5 二次函数()02≠++=a c b a χχγ的图像如图，13χ=为该函数图像的对称轴，根据这个函数图像，你能得到关于该函数的那些性质和结论呢?(写4个即可)． 解： ①∵开口向上，∴a > 0；②∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴，∴c < 0； ③∵顶点在y 轴的右边，∴b 与a 异号，即b < 0； ④∵x = 1时，y < 0，∴a + b + c < 0；⑤∵x = -1时，y > 0，∴a - b + c > 0．例１、已知y=ax 2+bx+c 图象如图1，则下列关系中成立的是( )120.<-<a bA 220.<-<abB 221.<-<a bC12.=abD 剖析 特别位置判定法，若抛物过O(0，0)(2，0)则x=12=-a b 这里221<-<ab ，所以选C ．求值判定法，设抛物线过(α，0)(0<α<2)，(2，0)，则α2a+αb+c=0①，4a+2b+c=0②，①②(α2-4)a+(α-2)b=0∵α-2≠0∴(α+2)a+b=0b=-(α+2)a.121222)2(2>+=+=+=-∴αααa a a b 221<-<∴ab求中点坐标判定法，设抛物线与x 轴交于点A(α，0)(0<α<2)，B(2，0)， 则A 、B 中点坐标是12122>+=+αα 221<-<∴ab所以选 C ． 注意：若题目为“已知抛物线y=ax 2+bx+c 过A(1，5)，B(4，5)，求对称轴直线”应怎样求？例２为了备战世界杯，中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12米处挑射，正好射中了2．4米高的球门横梁，若足球运动路线是抛物线y=ax 2+bx+c 如图2，则下列结论： ①601-<a ，②0601<<-a ，③a-b+c>0，④a<b<-12aA ．①③ B． ①④ C ． ②③ D ． ②④剖析 排除法判定，易知c=2．4把(12，0)代入y=ax 2+bx+c 中得： 144a+12b+2．4=0，11205a b ++=，由图象知a<0，对称轴2b x a-=11120560a a ∴+<<-，， 即①成立， ②不成立，故不可能选C 与D ． 111201201255a b a b b a++=∴+-<<- ，，，000022b ba b a a<->∴<> ，，，．,12a b a -<<∴④正确，故在A ，B 中只能选B ．例3、已知抛物线y=ax 2+bx+c(a<0)经过点(-1，0)且满足4a+2b+c>0以下结论：①a+b>0，②a+c>0，③-a+b+c>0，④b 2-2ac>5a 2其中正确的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个剖析： 特殊值判定法，∵抛物线过(-1，0)点，∴a-b+c=0， c=b-a 代入4a+2b+c>0中得．a+b>0，①正确．∵a<0，a+b>0，∴b>0，∵a-b+c=0，∴a+c=b>0，a+c>0，②正确．∵a<0，b>0，∴c=b-a>0，-a>0，∴-a+b+c>0，③正确．∵a-b+c=0，∴a+c=b ，2a+c=a+b>0，2a+c>0，∵a<0，c>0，∴c-2a>0， ∴(c-2a)(c+2a)>0，c 2-4a 2>0，c 2>4a 2，∵b=a+c ，∴b 2=c 2+a 2+2ac ，c 2=b 2-a 2-2ac ，b 2-a 2-2ac>4a 2，b 2-2ac>5a 2， ④正确． 所以选D ．注意 ：有时利用x=±1时，y=a±b+c ，x=±2时，y=4a±2b+c 中，y 符号判定a±b+c 和4a±2b+c 的符号．例4、已知二次函数y=ax 2+bx+c 图象与x 轴交于(-2，0)(x ，0)且1<x 1<2，与y 轴正半轴交点在(0，2)下方，下列结论，①a<b<0，②2a+c>0，③4a+c<0，④2a-b+1>0其中正确个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个剖析： 数形判定法，根据题意可画草图3， 1122b b x a a=->-∴< 对称轴，， 00022b ba a a<-<∴> ，， ∴a<b<0 ①正确． ∵抛物线过(-2，0)，∴4a-2b+c=0， 2a+c=-2a+2b=-2(a-b)>0∴2a+c>0，②正确． ∵4a-2b+c=0，4a+c=2b<0∴4a+c<0，③正确． ∵4a-2b+c=0，2cb a 2-=-∴ ∵0<c<2，12c->-∴，2a-b>-1，即2a-b+1>0 ④正确． 所以选D ．补充练习：1、二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠０）的图象如图2所示，则点c M b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 2、如图，若a ＜0，b ＞0，c ＜0，则抛物线y=ax 2＋bx ＋c 的大致图象为（ ）3、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A 、240b ac ->B 、0a >C 、0c >D 、02ba-< 4、二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图3所示，则下列关于a ，b ，c 间关系的判断正确的是（ ） A 、ab ＜0B 、bc ＜0C 、a +b +c ＞0D 、a -b +c ＜05、 二次函数c bx ax y ++=2，图象如图所示，则反比例函数xab y =的图象的两个分支分别在第 象限。
二次函数系数与图像的关系
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二次函数和一次函数
二次函数和一次函数
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y=ax+c在 同一坐标系内的大致图象是（C ）
y
y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
x
(A)
(B)
(C)
(D)
二次函数和一次函数
在同一平面直角坐 标系中，一次函数 y=ax+b和二次函数 的图象可能为 ()
c决定抛物线与y轴的交点：c＞０时抛物线交于y轴的正半轴
c
c＝０时抛物线过原点
c＜０时抛物线交于y轴的负半轴
△决定抛物线与x轴的交点：△＞０时抛物线与x轴有两个交点
△
△＝０时抛物线与x轴有一个交点
△＜０时抛物线于x轴没有交点
1.如图，若a＜
0，b＞0，c＜0，
则抛物线y=ax2
＋bx＋c的大致
图象为
△＜０时抛物线于x轴没有交点
对称是一种数学美，
它展示出整体的和谐与平衡之 A
B
美，抛物线是轴对称图形，解
题中应积极捕捉，创造对称关
系，以便从整体上把握问题，
由抛物线捕捉对称信息的方式 0
有：
1.从抛物线上两点的纵坐
标相等获得对称信息; A
B
2.从抛物线上两点之间的
0
线段被抛物线的对称轴垂
直平分获得对称信息.
y
2、当x=-1时， y=a-b+c
3、当x=2时， y=4a+2b+c
●
x
4、当x=-2时， y=4a-2b+c
-2 -1 o 1 2
2023学年浙江九年级数学上学期章节重难点知识讲义第02讲 二次函数图象与系数的关系(解析版)
第2讲 二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 图象与系数的关系考点：由二次函数图象中符号判断类问题总结【知识点睛】❖ 一般式中a 、b 、c 的作用❖ 其他常见形式1.只含有a 、b 两个字母时，想对称轴；如：2a+b 与0的大小→找对称轴ab 2-与1的左右关系；2a-b 与0的大小→找对称轴ab 2-与-1的左右关系；a+b 与0的大小→找对称轴a b 2-与21的左右关系；a-b 与0的大小→找对称轴a b 2-与21-的左右关系； 2.含有a 、b 、c 三个字母，且a 和b 系数是平方关系时，给x 取值，结合图像上下判断;如∶二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0），①a+b+c 与0的大小： ∵当x=1时，y=a+b+c ，∴看x=1时，对应抛物线上的点在x 轴上方还是下方， 上方则a+b+c ＞0，下方则a+b+c ＜0；②a-b+c 与0的大小：找x=-1时对应抛物线上的点在x 轴上方还是下方，具体方法同上③4a+2b+c 与0的大小：找x=2时对应抛物线上的点在x 轴上方还是下方，具体方法同上④4a-2b+c 与0的大小：找x=-2时对应抛物线上的点在x 轴上方还是下方，具体方法同上3.含有b 2和4ac 时，想顶点纵坐标，或用图象与图象的交点个数想△.4.只含有a 、c 或者只含有b 、c 时，通常对称轴已知，常需要将一部分的a 或b 转化成b 或a ，最后转化成a+b+c 或a-b+c 结论判断.5.其他类型，可考虑给x 取特殊值，联立方程进行判断;也可结合函数最值，图像增减性进行判断.【类题训练】——作业建议：第4、5、6、10、12、13、14、19、24、26题1．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图，其中b，c的值可能是（）A．b＝﹣3，c＝3B．b＝3，c＝﹣3C．b＝3，c＝3D．b＝﹣3，c＝﹣3【分析】由抛物线开口方向得到a＜0，根据抛物线的对称轴在y轴的右侧得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，据此选择即可．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＞0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，故选：C．2．已知，在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象，即可得出a＜0，b＞0，c＞0，由此即可得出：二次函数y＝ax﹣+bx+c的图象开口向上，对称轴x＝﹣＞0，与y轴的交点在y轴正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．【解答】解：观察函数图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴x＝﹣＞0，与y轴的交点在y轴正半轴．故选：B．3．一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b ＞0，故本选项错误；B、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；C、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；故选：D．4．在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝﹣（k≠0）与二次函数y＝x2﹣kx﹣k的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】根据k的取值范围分当k＞0时和当k＜0时两种情况进行讨论，根据反比例函数图象与性质以及二次函数图象与性质，结合图形进行判断即可．【解答】解：当k＞0时，反比例函数y＝﹣（k≠0）的图象经过二、四象限，二次函数y＝x2﹣kx﹣k图象的对称轴x＝在y轴右侧，并与y轴交于负半轴，则C选项不符合题意，D选项符合题意；当k＜0时，反比例函数y＝﹣（k≠0）的图象经过一、三象限，二次函数y＝x2﹣kx﹣k图象的对称轴x＝在y轴左侧，并与y轴交于正半轴，则A、B选项都不符合题意；故选：D．5．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是a1＞a2＞a3＞a4．（请用“＞”连接排序）【分析】直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案．【解答】解：如图所示：①y＝a1x2的开口小于②y＝a2x2的开口，则a1＞a2＞0，③y＝a3x2的开口大于④y＝a4x2的开口，开口向下，则a4＜a3＜0，故a1＞a2＞a3＞a4．故答案为：a1＞a2＞a3＞a46．小明同学在用描点法画二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）图象时，列出了下面表格：x…﹣10123…y…m3236…则m的值是6．【分析】根据题目提供的满足二次函数解析式的x、y的值，确定二次函数的对称轴，利用对称轴找到一个点的对称点的纵坐标即可．【解答】解：由上表可知函数图象经过点（0，3）和点（2，3），∴对称轴为x＝1，∴当x＝﹣1时的函数值等于当x＝3时的函数值，∵当x＝3时，y＝6，∴当x＝﹣1时，m＝6．故答案为：6．7．若直线y＝m（m为常数）与函数y＝的图象恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是0＜m＜2．【分析】根据已知解析式画出函数图象，进而得出常数m的取值范围．【解答】解：如图所示：当x＝2时，y＝2，故直线y＝m（m为常数）与函数y＝的图象恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是：0＜m＜2．故答案为：0＜m＜2．8．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴的负半轴交于点C，且OB＝2OC，则下列结论：①＞0；②2b﹣4ac＝1；③a＝；④c＝2b﹣1．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①，由OB＝2OC可得抛物线经过（﹣2c，0），将（﹣2c，0）代入解析式可判断②，由抛物线经过（﹣2，0），（﹣2c，0）可得x1＝2，x2＝2c为方程ax2+bx+c＝0的两根，根据一元二次方程根与系数的关系可判断③，由a的值及4a﹣2b+c＝0可判断④．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵﹣＞0，∴b＜0，∵抛物线与y轴交点在x轴下方，∴c＜0，∴＜0，①错误．∵OB＝2OC，∴抛物线经过（﹣2c，0），∴4ac2﹣2bc+c＝0，∴4ac﹣2b+1＝0，∴2b﹣4ac＝1，②正确．∵抛物线经过（﹣2，0），（﹣2c，0），∴x1＝2，x2＝2c为方程ax2+bx+c＝0的两根，∴x1•x2＝＝4c，∴a＝．③正确．∵抛物线经过（﹣2，0），∴4a﹣2b+c＝0，∴1﹣2b+c＝0，∴c＝2b﹣1，④正确．故选：C．9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象经过（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1且x＜0时，y的值随x值的增大而增大．其中，正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】由抛物线对称轴为直线x＝2可判断①，由图象可得x＝﹣3时，y＜0，从而判断②，由抛物线经过（﹣1，0）可得c与a的关系，即可判断③，由图象可得﹣1＜x＜2时，y随x增大而增大，可判断④．【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，∴b＝﹣4a，即4a+b＝0，①正确．由图象可得x＝﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，∴9a+c＜3b，②错误．∵抛物线经过（﹣1，0），∴a﹣b+c＝5a+c＝0，∴c＝﹣5a，∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴8a+7b+2c＝8a﹣28a﹣10a＝﹣30a＞0，③正确．由图象可得﹣1＜x＜2时，y随x增大而增大，∴当x＞﹣1且x＜0时，y的值随x值的增大而增大，④正确．故选：C．10．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象交x轴负半轴交于点A，交y轴正半轴于点B，如图所示，则下列结论：①b2﹣4ac＞0；②2a﹣b＝0；③m（am+b）≤a﹣b（m为任意实数）；④点是该抛物线上的点，且y1＜y2＜y3．其中正确的有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④【分析】由抛物线与x轴的交点个数可判断①，由抛物线对称轴为直线x＝﹣1可判断②，由抛物线开口向下及对称轴为直线x＝﹣1可得a﹣b+c≥am2+bm+c，从而判断③，根据各点与对称轴的距离大小可判断④．【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，①正确．∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，∴2a﹣b＝0，②正确．∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，∴x＝﹣1时y取最大值，∴a﹣b+c≥am2+bm+c，∴m（am+b）≤a﹣b，③正确．∵﹣1﹣（﹣）＜﹣（﹣1）＜﹣1﹣（﹣），∴y2＞y3＞y1，④错误．故选：A．11．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴负半轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＜0；②c﹣a＞0；③当x ＝﹣k2﹣2（k为任意实数）时，y≥c；④若x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝0的两根，则方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0的两根m，n（m＜n）满足m＜x1且n＞x2；其中，正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由抛物线对称轴及抛物线与y轴交于正半轴可得b，c的符号，从而判断①，由x＝﹣1时y＜0及b与a的关系可判断②，由抛物线的对称性可得抛物线经过（﹣2，c），由x＜﹣1时，y随x增大而减小可判断③，将方程的解的问题转化为图象交点问题，根据抛物线开口向上可判断④．【解答】解：∵抛物线与y轴交与正半轴，∴c＞0，∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＞0，∴abc＞0，①错误．∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，∴a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，即a+c＜2a，∴c＜a，∴c﹣a＜0，②错误．∵抛物线经过（0，c），对称轴为直线x＝﹣1，∴抛物线经过（﹣2，c），∵x＜﹣1时，y随x增大而减小，﹣k2﹣2≤﹣2，∴x＝﹣k2﹣2时，y≥c．③正确．∵x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝0的两根，∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交点横坐标为x1，x2，∵抛物线开口向上，∴抛物线与直线y＝1的交点在x轴上方，∴m＜x1＜x2＜n，④正确．故选：B．12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，下列结论：①abc＜0；②（9a+c）2＜（3b）2；③若顶点坐标为（﹣2，﹣7a），则5a﹣2b﹣c＝0；④若（x1，y1）和（x2，y2）是抛物线上的两点，则当|x1+2|＞|x2+2|时，y1＜y2；其中正确的结论有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①，由抛物线经过（﹣5，0）及抛物线对称轴为直线x＝﹣2可得抛物线与x轴另一交点坐标，从而可得x＝﹣3及x＝3时y的符号，从而判断②，将b＝4a及顶点坐标代入解析式可得c与a 的关系，从而判断③，根据|x1+2|＞|x2+2|可得点到对称轴的距离大小关系，结合图象可判断④．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，∴b＝4a＞0，∵抛物线与y轴交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，①正确．由图象可得x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0，∵抛物线经过（﹣5，0），对称轴为直线x＝﹣2，∴抛物线经过（1，0），∴x＝3时，y＝9a+3b+c＞0，∴（9a+c）2﹣（3b）2＝（9a+3b+c）（9a﹣3b+c）＜0，即（9a+c）2＜（3b）2，②正确．∵b＝4a，∴y＝ax2+4ax+c，将（﹣2，﹣7a）代入y＝ax2+4ax+c得﹣7a＝4a﹣8a+c，解得c＝﹣3a，∴5a﹣2b﹣c＝5a﹣8a+3a＝0，③正确．∵|x1+2|＞|x2+2|，∴点（x1，y1）到对称轴距离大于点（x2，y2）到对称轴的距离，∴y1＞y2.④错误．故选：C．13．如图是抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象，图象过点（3，0）对称轴为直线x＝1，有下列四个结论：①abc＞0；②a﹣b+c＝0；③y的最大值为3；④方程ax2+bx+c+1＝0有实数根；⑤4a+c＜0．其中，正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据二次函数的图象和性质依次判断即可．【解答】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴a＜0，c＞0，∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝1，且过点（3，0），∴b＝﹣2a＞0，抛物线过点（﹣1.0）．∴abc＜0，a﹣b+c＝0．∴①错误，②正确．∵抛物线开口向下，对称轴是直线x＝1，∴当x＝1时，y有最大值＝a+b+c＝﹣2a+（﹣3a）＝﹣5a，其值与a有关，∴③错误．∵方程ax2+bx+c+1＝0的根即是y＝ax2+bx+c的图象与y＝﹣1的交点，由图象知，y＝ax2+bx+c的图象与y＝﹣1的图象有两个交点．∴④正确．∵抛物线过点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴a+2a+c＝0，∴3a+c＝0，∴4a+c＝a＜0，∴⑤正确．故选：C．14．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其顶点为（，1），有下列结论：①ac＜0；②函数最大值为1；③b2﹣4ac＜0；④2a+b＝0．其中，正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】由抛物线开口方向，与y轴交点位置可判断①，由抛物线开口方向及顶点坐标可判断②，由抛物线与x轴交点个数可判断③，由抛物线对称轴为直线x＝可判断④．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴ac＜0，①正确．∵抛物线开口向下，顶点为（，1），∴函数最大值为y＝1，②正确．∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，③错误．∵﹣＝，∴b＝﹣a，∴a+b＝0，④错误．故选：B．15．已知二次函数y＝ax2+2ax+a﹣1的图象只经过三个象限，下列说法正确的是（）A．开口向下B．顶点在第一象限C．a≥1D．当x＞1时，y的最小值为﹣1【分析】由抛物线的解析式化成顶点式，即可求得顶点为（﹣1，﹣1），得到顶点在第三象限，由二次函数y＝ax2+2ax+a﹣1的图象只经过三个象限可知抛物线开口向上，a﹣1≥0，即可得到a≥1，根据二次的性质即可得到x≥﹣1时，y的最小值为﹣1．【解答】解：∵y＝ax2+2ax+a﹣1＝a（x+1）2﹣1，∴顶点为（﹣1，﹣1），∴顶点在第三象限，∵二次函数y＝ax2+2ax+a﹣1的图象只经过三个象限，∴抛物线开口向上，a﹣1≥0，∴a≥1，∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，∴x≥﹣1时，y的最小值为﹣1，故A、B、D错误，C正确；故选：C．16．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA＝2OC，点B的坐标为（﹣1，0），顶点为D，对称轴与x轴交于点E，则下列结论：①abc＞0，②a+c＜0，③a＝，④当c＜﹣1时，在线段DE上一定存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，其中正确的结论的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由OA＝2OC，点B坐标为（1，0）可得x＝﹣1和x＝﹣2c为方程ax2+bx+c＝0的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系可得2c＝，从而判断①，由抛物线开口方向，对称轴的位置及抛物线与y轴交点位置可判断②，由c＜﹣1可得OC＞OB，即∠ABC＞45°，从而可得判断③．【解答】解：∵y＝ax2+bx+c，∴抛物线与y轴交点坐标为（0，c），c＜0，∴点A坐标为（﹣2c，0），∵点B坐标为（﹣1，0），∴x＝﹣1和x＝﹣2c为方程ax2+bx+c＝0的两个根，∴﹣1×（﹣2c）＝2c＝，∴a＝，③正确，∵抛物线对称轴在y轴右侧，a＞0，∴b＜0，∴abc＞0，①正确．∵抛物线经过（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，即a+c＝b＜0，②正确．当c＝﹣1时，OB＝OC，∠ABC＝45°，∵c＜﹣1，∴OC＞OB，∴∠ABC＞45°，∴线段DE上一定存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，③正确．故选：C．17．二次函数y＝ax2﹣6ax﹣5（a≠0），当5≤x≤6时，对应的y的整数值有4个，则a的取值范围是（）A．B．C．或D．或【分析】根据二次函数的性质求出y的范围，再求a的范围．【解答】解：原函数化为：y＝a（x﹣3）2﹣9a﹣5，当a＞0时，抛物线开口向上，对称轴是直线x＝3，∴当5≤x≤6时，y随x的增大而增大，∴﹣5a﹣5≤y≤﹣5，∵y的整数值只有4个，∴﹣9＜﹣5a﹣5≤﹣8，∴≤a＜，当a＜0时，抛物线开口向下，对称轴是直线x＝3，∴当5≤x≤6时，y随x的增大而减小，∴﹣5≤y≤﹣5a﹣5，∵y的整数值只有4个，∴﹣2≤﹣5a﹣5＜﹣1，∴﹣＜a≤﹣．综上：﹣＜a≤﹣或≤a＜，故选：D．18．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的顶点为（1，n），抛物线与x轴交于点A（3，0），则下列结论：①abc＞0；②若方程ax2+bx+c﹣1＝0的解是x1，x2，且满足x1＜x2，则x1＜﹣1，x2＞3；③关于x的方程ax2+bx+c﹣n+1＝0有两个不等的实数根；④2c﹣a＜2n．其中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用待定系数法求得抛物线的系数之间的关系式，利用数形结合的方法得到a，b，c的符号，再利用二次函数的性质对每个结论进行逐一判断即可．【解答】解：由题意得：﹣＝1，∴b＝﹣2a．∵抛物线的开口方向向上，∴a＞0．∴b＜0．∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，∴c＜0．∴abc＞0．∴①的结论正确；∵方程ax2+bx+c﹣1＝0的解是x1，x2，∴抛物线与直线y＝1的交点的横坐标为x1，x2，∵对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴交于点A（3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∵抛物线开口向上，∴x1＜﹣1，x2＞3，∴②的结论正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的顶点坐标是（1，n），∴二次函数有最小值n．∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1没有公共点．∴方程ax2+bx+c＝n﹣1无解．即方程ax2+bx+c﹣n+1＝0没有实数根．∴③的结论错误；∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的顶点坐标是（1，n），∴n＝a+b+c．∵b＝﹣2a，∴n＝﹣a+c，∴2n＝﹣2a+2c，∴2n﹣（﹣a+2c）＝﹣a＜0，∴2c﹣a＞2n，∴④的结论错误．综上，正确的结论为：①②，故选：B．19．如图．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象给出下列结论：①a+b+c＝0；②a﹣2b+c＜0；③若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝5（a≠0）的一根是3，则另一根是﹣5；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3．其中正确的结论的序号为①②③．【分析】由抛物线经过（1，0）可判断①，由抛物线对称轴可得b＝2a，由抛物线与y轴交点位置可得c＜0，从而判断②，由抛物线的对称性及二次函数与方程的关系可判断③，根据各点与抛物线对称轴的距离大小可判断④．【解答】解：∵抛物线经过（1，0），∴a+b+c＝0，①正确．∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，∵抛物线与y轴交点在x轴下方，∴c＜0，∵抛物线开口向上，∴a＞0，∴a﹣2b+c＝﹣3a+c＜0，②正确．∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，∴抛物线上的点（3，5）关于对称轴的对称点坐标为（﹣5，5），∴方程ax2+bx+c＝5的另一个根是﹣5，③正确．∵﹣1﹣（﹣2）＜﹣1﹣（﹣4）＜3﹣（﹣1），抛物线开口向上，∴y2＜y1＜y3．④错误．故答案为：①②③．20．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m＝a﹣b+c，则m的取值范围是﹣4＜m＜0．【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置及抛物线经过（1，0）可得a，b，c的等量关系，然后将x＝﹣1代入解析式求解．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴在y轴左侧，∴﹣＜0，∴b＞0，∵抛物线经过（0，﹣2），∴c＝﹣2，∵抛物线经过（1，0），∴a+b+c＝0，∴a+b＝2，b＝2﹣a，∴y＝ax2+（2﹣a）x﹣2，当x＝﹣1时，y＝a+a﹣2﹣2＝2a﹣4，∵b＝2﹣a＞0，∴0＜a＜2，∴﹣4＜2a﹣4＜0，故答案为：﹣4＜m＜0．21．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的部分图象如图所示，则下列结论正确的有②④.（填序号）①abc＜0；②b﹣4a＝0；③（a+c）2＜b2；④若当x＝0时，y＝2.5，则有．【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①②，由图象可得x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，x＝1时，y＝a+b+c＞0，从而判断③，由x＝0时，y＝2.5，可得c＝，再由x＝2时y＞0，x＝3时，y＜0，列不等式求解可判断④．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，∴b＝4a＜0，b﹣4a＝0，②正确．∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＞0，①错误．由图象可得x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，x＝1时，y＝a+b+c＞0，∴（a﹣b+c）（a+b+c）＝（a+c）2﹣b2＞0，∴（a+c）2＞b2，③错误．∵当x＝0时，y＝2.5，∴c＝，∵x＝2时y＞0，x＝3时，y＜0，∴，即，解得．∴④正确．故答案为：②④．22．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：x…﹣1012…y＝ax2+bx+c…m﹣1﹣1n t…且当x＝﹣时，与其对应的函数值y＞0，有下列结论：①abc＞0；②当x＞1时，y随x 的增大而减小；③关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根是和1﹣；④m+n＞．其中，正确的结论是①③④．【分析】由抛物线经过（0，﹣1），（1，﹣1）可得抛物线对称轴为﹣＝，c＝﹣1，再根据x＝﹣时，y＞0可判断a与b的符号，进而判断①②，由抛物线的对称性可得抛③物线经过点（1﹣，t），从而判断③，由x＝﹣时，y＞0可判断a的取值范围，进而判断④．【解答】解：∵抛物线经过（0，﹣1），（1，﹣1），∴抛物线对称轴为直线x＝，c＝﹣1∵x＝0时，y＜0，x＝﹣时y＞0，∴x＜时，y随x增大而减小，即图象开口向上，∴a＞0，∵﹣＝，∴b＝﹣a＜0，∴abc＞0，①正确．∵x＞时，y随x增大而增大，∴x＞1时，y随x增大而增大，∴②错误．∵抛物线经过（，t），抛物线的对称轴为直线x＝，∴抛物线经过点（1﹣，t），∴关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根是和1﹣，③正确．∵b＝﹣a，c＝﹣1，∴y＝ax2﹣ax﹣1，当x＝﹣时，y＝a+a﹣1＞0，∴a＞．当x＝﹣1时，m＝2a﹣1，当x＝2时，n＝2a﹣1，∴m+n＝4a﹣2＞，④正确．故答案为：①③④．23．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC，抛物线的对称轴为x＝1，下列结论：①abc＜0；②ac+b+1＝0；③2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根；④a（m2﹣1）+b（m﹣1）≥0，其中正确结论的序号有②④．【分析】由开口方向得a＞0，由对称轴得b＝﹣2a＜0，由与y 轴的交点得c＜0，然后得abc的正负，由OA＝OC，得函数图象经过点（c，0），从而得ac+b+1的值，进而判断2+c是否是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，最后由开口方向和对称轴得到函数的最小值判断④．【解答】解：∵开口向上，∴a＞0，∵对称轴为直线x＝1，∴b＝﹣2a＜0，∵抛物线与y轴的交点在y轴负半轴上，∴c＜0，点（0，c）在抛物线上，∴abc＞0，故①错误，不符合题意；∵OA＝OC，∴函数图象经过点（c，0），∴ac2+bc+c＝0，∴ac+b+1＝0，故②正确，符合题意；∵对称轴为直线x＝1，∴函数图象与x轴的交点B的坐标为（2﹣c，0），∴2+c不是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，故③错误，不符合题意；∵开口向上，对称轴为直线x＝1，∴当x＝1时，y的最小值为a+b+c，∴am2+bm+c≥a+b+c，∴a（m2﹣1）+b（m﹣1）≥0，故④正确，符合题意；∴正确的序号有②④，故答案为：②④．24．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1（m为常数）的图象与x轴交于A，B两点，顶点为C．（1）若把二次函数图象向下平移3个单位恰好过原点，求m的值．（2）①若P（m﹣3，y1），Q（m+2，y2）在已知的二次函数图象上，比较y1，y2的大小；②求△ABC的面积．【分析】（1）求出平移后抛物线解析式，由抛物线经过原点求解．（2）①由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据P，Q到对称轴的距离大小求解．②由抛物线解析式可得抛物线与x轴交点坐标及顶点坐标，进而求解．【解答】解：（1）二次函数图象向下平移3个单位后解析式为y＝x2﹣2mx+m2﹣4，由题意得m2﹣4＝0，解得m＝±2．（2）①∵y＝x2﹣2mx+m2﹣1，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝m，∵m﹣（m﹣3）＞m+2﹣m，∴y1＞y2．②令x2﹣2mx+m2﹣1＝0，则（x﹣m）2＝1，解得x1＝m﹣1，x2＝m+1，∴AB＝2，点C坐标为欸（m，﹣1），∴S△ABC＝AB•|y C|＝×2×1＝1．25．已知抛物线y＝﹣x2+（b+1）x+c经过点P（﹣1，﹣2b）．（1）若b＝﹣3，求这条抛物线的顶点坐标；（2）若b＜﹣3，过点P作直线P A⊥y轴，交y轴于点A，交抛物线于另一点B，且BP ＝3AP，求这条抛物线所对应的二次函数关系式．【分析】（1）将b＝﹣3代入抛物线解析式及点P坐标，通过待定系数法求出函数解析式，将解析式化为顶点式求解．（2）由抛物线对称轴为直线x＝及b＜﹣3，可得抛物线对称轴与点P的位置关系，从而可得点P，点A，点B的横坐标，即可求出抛物线对称轴，进而求解．【解答】解：（1）∵b＝﹣3，∴y＝﹣x2﹣2x+c，点P坐标为（﹣1，6），将（﹣1，6）代入y＝﹣x2﹣2x+c得6＝﹣1+2+c，解得c＝5，∴y＝﹣x2﹣2x+5＝﹣（x+1）2+6，∴抛物线顶点坐标为（﹣1，6）．（2）∵y＝﹣x2+（b+1）x+c，∴抛物线对称轴为直线x＝，∵b＜﹣3，∴＜﹣1，∴抛物线对称轴在点P左侧，∴AP＝1，∵BP＝3AP＝3，∴AB＝AP+BP＝4，∴点B横坐标为x＝﹣4，∴抛物线对称轴为直线x＝＝＝﹣，∴b＝﹣6，y＝﹣x2﹣5x+c，点P坐标为（﹣1，12），将（﹣1，12）代入y＝﹣x2﹣5x+c得12＝﹣1+5+c，解得c＝8，∴y＝﹣x2﹣5x+8．26．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0）．（1）若函数图象的对称轴为直线x＝1，且顶点在x轴上，求a的值；（2）若a＝1，b＝2，点（m，n）为该二次函数图象在第三象限内的点，请分别求出m，n的取值范围；（3）若点P（a，a﹣3）始终是函数图象上的点，求证：a2+b2≥．【分析】（1）利用待定系数法解得即可；（2）求得抛物线与xzhou负半轴的交点坐标与抛物线的顶点坐标，根据第三象限点的坐标的特征解答即可；（3）利用待定系数法将点P坐标代入整理得到b与a的关系式，计算a2+b2的值，再利用配方法解答即可．【解答】（1）解：∵函数图象的对称轴为直线x＝1，∴＝1，∴b＝﹣2a．∵二次函数y＝ax2+bx﹣3的顶点在x轴上，∴b2﹣4a×（﹣3）＝0，∴4a2+12a＝0，∵a≠0，∴a＝﹣3；（2）解：若a＝1，b＝2，则y＝x2+2x﹣3，∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴抛物线y＝x2+2x﹣3的顶点坐标为（﹣1，﹣4），∵a＝1＞0，∴抛物线y＝x2+2x﹣3的的开口方向向上，令y＝0，则x2+2x﹣3＝0，解得：x＝﹣3或1．∴抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于点（﹣3，0）和（1，0）．∵点（m，n）为该二次函数图象在第三象限内的点，∴﹣3＜m＜0，﹣4≤n＜0；（3）证明：∵点P（a，a﹣3）始终是函数图象上的点，∴a•a2+b•a﹣3＝a﹣3．∴a3+ab＝a．∵a≠0，∴a2+b＝1．∴b＝1﹣a2．∴a2+b2＝a2+（1﹣a2）2＝a4﹣a2+1＝，∵≥0，∴a2+b2有最小值，∴a2+b2≥．27．在直角坐标系中，设函数y1＝ax2+bx﹣a（a，b是常数，a≠0）．（1）已知函数y1的图象经过点（1，2）和（﹣2，﹣1），求函数y1的表达式．（2）若函数y1图象的顶点在函数y2＝2ax的图象上，求证：b＝2a．（3）已知点A（﹣2，0），B（1，k2﹣a）在函数y1的图象上，且k≠0．当y1＞0时，求自变量x的取值范围．【分析】（1）将已知点代入函数表达式即可．（2）先不是函数顶点坐标，代入y2表达式即可．（3）根据二次函数性质求解．【解答】解：（1）函数y1的图象经过点（1，2）和（﹣2，﹣1），∴．∴a＝1，b＝2．∴y1＝x2+2x﹣1．（2）y1＝ax2+bx﹣a＝a﹣．∴顶点坐标为（﹣，﹣）．∵抛物线的顶点在y2＝2ax的图象上，∴﹣＝﹣2a×，∴b2+4a2＝4ab．∴（b﹣2a）2＝0．∴b＝2a．（3）∵点A（﹣2，0），B（1，k2﹣a）在函数y1的图象上，∴．∴a＝k2，b＝k2，∴y1＝k2x2+k2x﹣k2＝（2x﹣1）（x+2）．∴当y1＝0时，x＝或x＝﹣2．∵k≠0，∴＞0，抛物线开口向上．∴y1＞0时，x＜﹣2或x＞．28．抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，4）和B（2，0）两点．（1）求c的值及a，b满足的关系式；（2）抛物线同时经过两个不同的点M（k，m）和N（﹣2﹣k，m），求b的值；（3）若抛物线在A和B两点间y随x的增大而减少，求a的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法解答即可；（2）利用两点是纵坐标相同，可求得抛物线的对称轴，再利用（1）的结论即可求解；（3）利用分类讨论的方法分a＞0和a＜0两种情况，结合图象列出不等式，解不等式即可求解．【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，4），∴c＝4；∵抛物线y＝ax2+bx+c经过B（2，0），∴4a+2b+c＝0．∴4a+2b＝﹣4．∴a，b满足的关系式为：2a+b＝﹣2；（2）∵抛物线同时经过两个不同的点M（k，m）和N（﹣2﹣k，m），∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1．∴﹣＝﹣1．∴b＝2a．∴b+b＝﹣2．∴b＝﹣1．（3）∵2a+b＝﹣2，c＝4，∴抛物线解析式为y＝ax2+（﹣2﹣2a）x+4＝0．∴抛物线的对称轴为：x＝﹣＝．当a＞0时，∵抛物线在A和B两点间y随x的增大而减少，∴抛物线的对称轴经过点B或在点B的右侧．∴≥2．∴0＜a≤1．当a＜0时，∵抛物线在A和B两点间y随x的增大而减少，∴抛物线的对称轴经过点A或在点A的左侧．∴≤0．∴﹣1≤a＜0．综上，若抛物线在A和B两点间y随x的增大而减少，a的取值范围为0＜a≤1或﹣1≤a ＜0．。
九年级上数学专题复习二：二次函数图象与系数的关系(含答案)
专题复习二 二次函数图象与系数的关系(1)系数a 决定抛物线的开口方向和大小，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下.(2)对称轴在y 轴的左侧，a ，b 同号；对称轴在y 轴的右侧，a ，b 异号.(3)c>0时，图象与y 轴交点在x 轴上方；c=0时，图象过原点；c<0时，图象与y 轴交点在x 轴下方.(4)b 2-4ac 的符号决定抛物线与坐标轴的交点个数.1.已知二次函数y=ax 2+bx 的图象如图所示，那么a ，b 的符号为(C ).A.a ＞0，b ＞0B.a ＜0，b ＞0C.a ＞0，b ＜0D.a ＜0，b ＜0(第1题) (第2题) (第5题)2.如图所示为二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，对称轴是直线x=1，则下列结论错误的是(D ).A.c ＞0B.2a+b=0C.b 2-4ac ＞0D.a-b+c ＞03.二次函数y=ax 2-a 与反比例函数y=xa (a ≠0)在同一平面直角坐标系中可能的图象为(A ).A. B. C. D.4.二次函数y=x 2+bx+c ，若b+c=0，则它的图象一定过点(D ).A.(-1，-1)B.(1，-1)C.(-1，1)D.(1，1)5.抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为D(-1，2)，与x 轴的一个交点A 在(-3，0)和(-2，0)之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①b 2-4ac ＜0；②a+b+c ＜0；③c-a=2；④方程ax 2+bx+c-2=0有两个相等的实数根．其中正确的结论有(C ).A.1个B.2个C.3个D.4个6.已知抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴的交点都在原点的右侧，则点M(a ，c)在第 三 象限.7.如图所示为二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，图象过点A(-3，0)，对称轴为直线x=-1，给出以下结论：（第7题）①abc ＜0；②b 2-4ac ＞0；③4b+c ＜0；④若B （-25，y 1），C （-21，y 2）为函数图象上的两点，则y 1＞y 2； ⑤当-3≤x ≤1时，y ≥0.其中正确的结论有 ②③⑤ (填序号).8.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向下，顶点落在第二象限．(1)试确定a ，b ，b 2-4ac 的符号，并简述理由．(2)若此二次函数的图象经过原点，且顶点在直线x+y=0上，顶点与原点的距离为32，求抛物线的二次函数的表达式．【答案】(1)∵抛物线开口向下，∴a ＜0.∵顶点在第二象限，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-044022ab ac a b ，∴b ＜0，b 2-4ac ＞0.(2)由题意可得c=0，此时顶点坐标为（-a b 2，-a b 42）.∵顶点在直线x+y=0上，∴-a b 2-a b 42=0. ∴b=-2.此时顶点坐标为（a 1，-a 1）.∴21a +21a =(32)2.∴a=-31或a=31 (舍去).∴抛物线的函数表达式为y=-31x 2-2x. 9.已知函数y=x 2-2mx 的顶点为点D.(1)求点D 的坐标(用含m 的代数式表示).(2)求函数y=x 2-2mx 的图象与x 轴的交点坐标.(3)若函数y=x 2-2mx 的图象在直线y=m 的上方，求m 的取值范围.【答案】(1)y=x 2-2mx=(x-m)2-m 2，∴顶点D(m ，-m 2).(2)令y=0，得x 2-2mx=0，解得x 1=0，x 2=2m.∴函数的图象与x 轴的交点坐标为(0，0)，(2m ，0).(3)∵函数y=x 2-2mx 的图象在直线y=m 的上方，∴顶点D 在直线y=m 的上方.∴-m 2＞m ，即m 2+m ＜0.∴m 的取值范围是-1＜m ＜0.10.已知抛物线y=ax 2+3x+(a-2)，a 是常数且a ＜0，下列选项中，可能是它大致图象的是(B).A.B.C.D.11.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，则下列结论：①4ac-b 2＜0；②4a+c ＜2b ；③3b+2c ＜0；④m(am+b)+b ＜a(m ≠-1).其中正确的结论有(B ).A.4个B.3个C.2个D.1个(第11题) (第12题) （第14题）(第15题)12.函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图所示，则下列结论：①b 2-4c ＜0；②c-b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x ＜3时，x 2+(b-1)x+c ＜0．其中正确结论的个数为(C ).A.1B.2C.3D.413.二次函数y=ax 2+bx+1(a ≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点(-1，0).设t=a+b+1，则t 的取值范围是 0＜t ＜2 ．14.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，则a b 的值为 -2 ，a c 的取值范围是 -8＜ac ＜-3 . 【解析】∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴x=-a b 2=1，即a b =-2.由图象知当x=-2时，y ＞0，即4a-2b+c ＞0①，当x=-1时，y ＜0，即a-b+c ＜0②，将b=-2a 代入①②，得c ＞-8a ，c ＜-3a. 又∵a ＞0，∴-8＜ca ＜-3.15.如图所示为抛物线y=ax 2+bx+c 的图象，A ，B ，C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则a ，b 之间满足的关系式为 a-b+1=0 ．(第16题)16.如图所示为二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象.(1)判断a ，b ，c 及b 2-4ac 的符号．(2)若OA=OB ，求证：ac+b+1=0．【答案】(1)a>0,b<0,c<0,b 2-4ac>0.(2)∵OA=OB ，且OB=|c|=-c ，∴ax 2+bx+c=0有一根为x=c.∴ac 2+bc+c=0.∴ac+b+1=0.17.对于二次函数y=ax 2+bx+c ，如果当x 取任意整数时，函数值y 都是整数，那么我们把该函数的图象叫做整点抛物线(例如：y=x 2+2x+2)．(1)请你写出一个二次项系数的绝对值小于1的整点抛物线的函数表达式： y=21x 2+21x .(不必证明) (2)请探索：是否存在二次项系数的绝对值小于21的整点抛物线？若存在，请写出其中一条抛物线的表达式；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=21x 2+21x (2)假设存在符合条件的抛物线，则对于抛物线y=ax 2+bx+c ，当x=0时，y=c;当x=1时,y=a+b+c. 由整点抛物线定义知：c 为整数，a+b+c 为整数，∴a+b 必为整数.又当x=2时，y=4a+2b+c=2a+2（a+b ）+c 是整数，∴2a 必为整数.∴|a|≥21.∴不存在二次项系数的绝对值小于21的整点抛物线.（第18题）18.【攀枝花】二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，则下列命题中，正确的是(D ).A.a ＞b ＞cB.一次函数y=ax+c 的图象不经过第四象限C.m(am+b)+b ＜a(m 是任意实数)D.3b+2c ＞0【解析】由二次函数的图象可知a ＞0，c ＜0；由x=-1得-ab 2=-1，故b ＞0，b=2a ，则b ＞a ＞c ，故A 错误.∵a ＞0，c ＜0，∴一次函数y=ax+c 的图象经过第一、三、四象限，故B 错误.当x=-1时，y 最小，即a-b+c 最小，故a-b+c ＜am 2+bm+c ，即m(am+b)+b ＞a ，故C 错误. 由图象可知当x=1时y ＞0,即a+b+c ＞0，∵b=2a ，∴a=21b.∴21b+b+c ＞0.∴3b+2c ＞0，故D 正确.故选D.19.【杭州】在平面直角坐标系中，设二次函数y 1=(x+a)(x-a-1)，其中a ≠0.(1)若函数y 1的图象经过点(1，-2)，求函数y 1的表达式.(2)若一次函数y 2=ax+b 的图象与y 1的图象经过x 轴上同一点，探究实数a ，b 满足的表达式.(3)已知点P(x 0，m)和点Q(1，n)在函数y 1的图象上，若m ＜n ，求x 0的取值范围.【答案】(1)函数y 1的图象经过点(1，-2)，得(a+1)(-a)=-2，解得a 1=-2，a 2=1.当a1=-2时，y1=(x-2)(x+2-1)=x 2-x-2；当a2=1时，y1=(x+1)(x-2)=x 2-x-2.综上所述，函数y1的表达式为y=x 2-x-2.(2)当y=0时，(x+a)(x-a-1)=0，解得x 1=-a ，x 2=a+1.∴y 1的图象与x 轴的交点是(-a ，0)，(a+1，0).当y2=ax+b 经过(-a ，0)时，-a 2+b=0，即b=a 2；当y2=ax+b 经过(a+1，0)时，a 2+a+b=0，即b=-a 2-a.(3)由题意知，函数y 1的对称轴为直线x=21.当点P 在对称轴的左侧(含顶点)时，y 随x 的增大而减小，(1，n)与(0，n)关于对称轴对称，由m ＜n ，得0＜x 0≤21；当点P 在对称轴的右侧时，y 随x 的增大而增大，由m ＜n ，得21＜x 0＜1.综上所述，m ＜n ，所求x 0的取值范围0＜x 0＜1.20.如图所示，二次函数y=ax 2+2ax-3a(a ≠0)图象的顶点为H ，与x 轴交于A ，B 两点(点B 在点A 右侧)，点H ，B 关于直线l:y=33x+3对称．(1)求A ，B 两点坐标，并证明点A 在直线l 上.(2)求二次函数的表达式.(3)过点B 作直线BK ∥AH 交直线l 于点K,M,N 分别为直线AH 和直线l 上的两个动点，连结HN,NM,MK ，求HN+NM+MK 的最小值．(第20题)图1图2（第20题答图）【答案】(1)由题意得ax 2+2ax-3a=0(a ≠0)，解得x 1=-3,x 2=1.∴点A 的坐标为(-3,0),点B 的坐标为(1,0).∵直线y=33x+3,当x=-3时,y=33×(-3)+ 3=0,∴点A 在直线l 上.(2)∵点H ，B 关于过点A 的直线y=33x+3对称,∴AH=AB=4.∵AH=BH ，∴△ABH 为正三角形.如答图1所示，过顶点H 作HC ⊥AB 于点C ，则AC=21AB=2,HC=23,∴顶点H(-1,23)，代入二次函数表达式,解得a=-23.∴二次函数表达式为y=-23x 2-3x+233. (3)易求得直线AH 的函数表达式为y=3x+33，直线BK 的函数表达式为y=3x-3.由⎪⎩⎪⎨⎧-=+=33333x y x y ,解得⎩⎨⎧==323y x ,即K(3,23).∴BK=4.∵点H ，B 关于直线AK 对称,∴HN+MN 的最小值是MB.如答图2所示，过点K 作直线AH 的对称点Q,连结QK,交直线AH 于点E ，则QM=MK,QE=EK=KD=23,则QK=43,AE ⊥QK.∴BM+MK 的最小值是BQ,即BQ 的长是HN+NM+MK 的最小值.∵BK ∥AH,∴∠BKQ=∠HEQ=90°.由勾股定理可求得QB=8.∴HN+NM+MK 和的最小值为8.。
二次函数系数a、b、c与图像的关系
二次函数系数 a 、b 、 c 与图像的关系知识要点二次函数 y=ax 2+bx+c 系数符号的确定：（ 1） a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a ＞ 0；否则 a ＜ 0．（ 2） b 由对称轴和 a 的符号确定：由 对称轴公式 x=判断符号 ． （ 3） c 由抛物线与 y 轴的交点确定： 交点在 y 轴正半轴，则 c ＞ 0；否则 c ＜0．（ 4）b 2-4ac 的符号由抛物线与 x 轴交点的个数确定： 2 个交点， b 2-4ac ＞ 0；1 个交点， b2-4ac=0；没有交点， b 2-4ac ＜ 0．（ 5）当 x=1 时，可确定 a+b+c 的符号，当 x=-1 时，可确定 a-b+c 的符号．（ 6）由对称轴公式 x=，可确定 2a+b 的符号．一．选择题（共 9 小题）21．（ 2014?威海）已知二次函数+bx+c （ a ≠0）的图象如图，则下列说法：y=ax ① c=0； ② 该抛物线的对称轴是直线 2x= ﹣1； ③ 当 x=1 时， y=2a ；④ am +bm+a ＞ 0（ m ≠﹣ 1）．其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．（ 2014?仙游县二模）已知二次函数 2y=ax +bx+c （ a ≠0）的图象如图所示，给出以下 结论： ① a+b+c ＜ 0； ② a ﹣b+c ＜ 0； ③ b+2a ＜ 0；④ abc ＞ 0．其中所有正确结论的序号是（ ）A ．③ ④B ．② ③C ．① ④D ．① ②③23．（ 2014?南阳二模） 二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图所示， 那么关于此二次函数的下 列四个结论： ① a ＜ 0； ② c ＞0； ③ b 2﹣ 4ac ＞ 0； ④＜ 0 中，正确的结论有（ ）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个2与 y=x 的图象如图，有以下结论：4．（ 2014?襄城区模拟）函数 y=x +bx+c 2； ③ 3b+c+6=0 2① b ﹣ 4c ＜ 0；② c ﹣ b+1=0 ； ④ 当 1＜ x ＜ 3 时， x +（ b ﹣ 1） x+c ＜0． 其中正确结论的个数为（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 45．（ 2014?宜城市模拟）如图是二次函数 2x= ﹣ 1，y=ax +bx+c 图象的一部分，其对称轴为 且过点（﹣ 3， 0）下列说法：① abc ＜ 0；② 2a ﹣b=0 ；③ 4a+2b+c ＜ 0；④ 若（﹣ 5，y 1 ），（2，y 2）是抛物线上的两点，则 y 1＞ y 2 ．其中说法正确的是（）A ．① ②B ．② ③C ．② ③④D ．① ②④6．（ 2014?莆田质检）如图，二次函数 2的图象交 y 轴于负半轴，对称轴在 y y=x +（ 2﹣ m ）x+m ﹣ 3 轴的右侧，则 m 的取值范围是（）A ． m ＞ 2B ． m ＜ 3C ． m ＞ 3D ． 2＜ m ＜ 37．（ 2014?玉林一模）如图是二次函数 2A （﹣ 3， 0），y=ax +bx+c 图象的一部分，图象过点 对称轴为 x=﹣ 1．给出四个结论： ① b 2＞ 4ac ； ② 2a+b=0； ③ 3a+c=0 ；④ a+b+c=0 ． 其中正确结论的个数是（ ）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个28．（ 2014?乐山市中区模拟）如图，抛物线 y=ax +bx+c 与 x 轴交于点 A （﹣ 1， 0），顶点坐标为（ 1， n ），与y 轴的交点在（ 0， 2）、（ 0，3）之间（包含端点） ．有下列结论：① 当 x ＞ 3 时， y ＜ 0；② 3a+b ＞ 0；③ ﹣ 1≤a ≤﹣ ；④≤n ≤4．其中正确的是（）A ．① ②B ．③ ④C ．① ③9．（ 2014?齐齐哈尔二模）已知二次函数 2y=ax +bx+c （ a ＞ 0）的图象与＜ x 1＜ 2，下列结论正确的个数为（ ） ① b ＜ 0； ② c ＜0； ③ a+c ＜ 0； ④ 4a ﹣ 2b+c ＞ 0． A ．1 个 B ．2 个C ．3 个D ．① ③④x 轴交于点（﹣ 1， 0），（x 1， 0），且1 D ．4 个210、（2011?重庆）已知抛物线 y=ax +bx+c （ a ≠ 0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的 是（ ）A 、a ＞ 0B 、 b ＜ 0C 、c ＜ 0D 、 a+b+c ＞ 011、（ 2011?雅安）已知二次函数 2x=-1，给出下列结果 y=ax +bx+c 的图象如图，其对称轴 ① b 2＞ 4ac ；② abc ＞ 0；③ 2a+b=0；④ a+b+c ＞ 0；⑤ a-b+c ＜0 ，则正确的结论是（ ）A 、①②③④B 、②④⑤C 、②③④D 、①④⑤12、（ 2011?孝感）如图，二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象与 y 轴正半轴相交，其顶点坐标为（ 12， 1 ），下列结论：① ac ＜ 0；② a+b=0；③ 4ac-b 2=4a ；④ a+b+c ＜ 0．其中正确结论的个数是（）A 、1B 、 2C 、 3D 、4答案一．选择题（共9 小题）21．（ 2014?威海）已知二次函数y=ax +bx+c （ a≠0）的图象如图，则下列说法：2① c=0；②该抛物线的对称轴是直线x= ﹣ 1；③当 x=1 时， y=2a ；④ am +bm+a＞ 0（ m≠﹣ 1）．其中正确的个数是（）A ． 1B． 2C． 3 D ． 4考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：抛物线与y 轴交于原点，c=0，（故①正确）；该抛物线的对称轴是：，直线 x=﹣ 1，（故②正确）；当x=1 时， y=a+b+c∵对称轴是直线 x= ﹣ 1，∴﹣ b/2a=﹣1， b=2a，又∵ c=0，∴ y=3a，（故③错误）；x=m 对应的函数值为2y=am +bm+c ，x= ﹣1 对应的函数值为y=a﹣ b+c，又∵ x= ﹣ 1 时函数取得最小值，22∴ a﹣ b+c＜ am +bm+c ，即 a﹣b＜ am +bm，∵ b=2a，2∴ am +bm+a＞ 0（m≠﹣ 1）．（故④正确）．故选： C．2点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数 y=ax对称+bx+c（ a≠0）系数符号由抛物线开口方向、轴、抛物线与 y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定．2．（ 2014?仙游县二模）已知二次函数2① a+b+c＜0；② a y=ax+bx+c （ a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：﹣ b+c＜ 0；③ b+2a＜ 0；④ abc＞ 0．其中所有正确结论的序号是（）A ．③ ④B ．② ③C ．① ④D ．① ②③考点 ： 二次函数图象与系数的关系． 专题 ： 数形结合．分析： 由抛物线的开口方向判断 a 的符号， 由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 解答： 解： ① 当 x=1 时， y=a+b+c=0 ，故 ① 错误；② 当 x=﹣ 1 时，图象与 x 轴交点负半轴明显大于﹣ 1，∴ y=a ﹣ b+c ＜ 0， 故② 正确； ③ 由抛物线的开口向下知 a ＜ 0， ∵对称轴为 0＜x= ﹣ ＜ 1，∴ 2a+b ＜ 0， 故③ 正确；④ 对称轴为 x= ﹣＞0， a ＜ 0∴ a 、b 异号，即 b ＞ 0，由图知抛物线与 y 轴交于正半轴，∴ c ＞ 0∴ abc ＜0，故④ 错误；∴正确结论的序号为 ②③ ．故选： B ．点评： 2二次函数 y=ax +bx+c 系数符号的确定：（ 1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则 a ＞0；否则 a ＜ 0； （ 2）b 由对称轴和 a 的符号确定：由对称轴公式x= ﹣ 判断符号；（ 3）c 由抛物线与 y 轴的交点确定：交点在 y 轴正半轴，则 c ＞ 0；否则 c ＜0；（ 4）当 x=1 时，可以确定 y=a+b+c 的值；当 x= ﹣ 1 时，可以确定 y=a ﹣ b+c 的值．23．（ 2014?南阳二模）二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① a ＜ 0； ② c ＞0； ③ b 2﹣ 4ac ＞ 0； ④ ＜ 0 中，正确的结论有（ ）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个考点 ： 二次函数图象与系数的关系．专题 ： 数形结合．分析： 由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断c 与 0 的关系，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 解答： 解： ① ∵图象开口向下，∴ a ＜ 0；故本选项正确；② ∵该二次函数的图象与 y 轴交于正半轴，∴ c ＞ 0；故本选项正确；22③ ∵二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴有两个不相同交点，∴根的判别式 △=b ﹣ 4ac ＞0；故本选项正确； ④ ∵对称轴 x= ﹣ ＞0，∴ ＜ 0；故本选项正确；综上所述，正确的结论有 4 个．故选 D ．2点评： 本题主要考查了二次函数的图象和性质， 解答本题关键是掌握二次函数y=ax +bx+c 系数符号的确定， 做题时要注意数形结合思想的运用，同学们加强训练即可掌握，属于基础题．4．（ 2014?襄城区模拟）函数2y=x +bx+c 与 y=x 的图象如图，有以下结论：22① b ﹣ 4c ＜ 0；② c ﹣ b+1=0 ； ③ 3b+c+6=0 ； ④ 当 1＜ x ＜ 3 时， x +（ b ﹣ 1） x+c ＜0． 其中正确结论的个数为（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4考点 ： 二次函数图象与系数的关系．分析： 由函数 y=x 22﹣ 4c ＜ 0；当 x=﹣ 1 时，y=1 ﹣b+c ＞ 0；当 x=3 时，y=9+3b+c=3 ； +bx+c 与 x 轴无交点， 可得 b当 1＜x ＜ 3 时，二次函数值小于一次函数值，可得 x 2 +bx+c ＜ x ，继而可求得答案． 解答： 解：∵函数 2y=x +bx+c 与 x 轴无交点，∴ b 2﹣4ac ＜ 0；故① 正确；当 x= ﹣ 1 时， y=1﹣ b+c ＞0，故② 错误；∵当 x=3 时， y=9+3b+c=3 ， ∴ 3b+c+6=0 ；③ 正确；∵当 1＜ x ＜ 3 时，二次函数值小于一次函数值， 2∴ x +bx+c ＜ x ，2∴ x +（ b ﹣ 1） x+c ＜ 0． 故④ 正确．故选 C ．点评： 主要考查图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．5．（ 2014?宜城市模拟）如图是二次函数 2x= ﹣ 1，且过点（﹣ 3，0）下列y=ax +bx+c 图象的一部分，其对称轴为说法：① abc ＜ 0； ② 2a ﹣b=0 ；③ 4a+2b+c ＜ 0；④ 若（﹣ 5， y 1），（2， y 2）是抛物线上的两点，则 y 1＞ y 2． 其中说法正确的是（ ）A ．① ②B ．② ③C ．② ③④D ．① ②④考点 ： 二次函数图象与系数的关系．分析： 根据抛物线开口方向得到 a ＞ 0，根据抛物线的对称轴得 b=2a ＞0，则 2a ﹣ b=0 ，则可对 ② 进行判断；根 据抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方得到 c ＜0，则 abc ＜ 0，于是可对 ① 进行判断；由于 x= ﹣2 时， y ＜ 0，则得到 4a ﹣ 2b+c ＜ 0，则可对 ③ 进行判断；通过点（﹣ 5， y 1）和点（ 2， y 2）离对称轴的远近对 ④ 进行判断．解答： 解：∵抛物线开口向上，∴ a ＞ 0，∵抛物线对称轴为直线x=﹣ =﹣ 1，∴ b=2a ＞ 0，则 2a ﹣ b=0 ，所以 ② 正确；∵抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方， ∴ c ＜ 0，∴ abc ＜0，所以 ① 正确； ∵ x=2 时， y ＞ 0，∴ 4a+2b+c ＞ 0，所以 ③ 错误； ∵点（﹣ 5， y 1）离对称轴要比点（ 2， y 2）离对称轴要远，∴ y 1＞ y 2，所以 ④ 正确．故选 D ．点评： 本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数 2a 决定抛物线的开口y=ax +bx+c （a ≠0），二次项系数 方向和大小，当 a ＞ 0 时，抛物线向上开口；当 a ＜ 0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即 ab ＞ 0），对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab ＜ 0）， 对称轴在 y 轴右．（简称：左同右异） ．抛物线与 y 轴交于（ 0，c ）．抛物线与 x 轴交点个数： △=b 2﹣ 4ac＞ 0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点； △ =b 2﹣ 4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点； △ =b 2﹣ 4ac ＜ 0 时，抛物线与 x 轴没有交点．6．（ 2014?莆田质检）如图，二次函数 2y 轴的右侧，y=x +（ 2﹣m ） x+m ﹣ 3 的图象交 y 轴于负半轴，对称轴在 则 m 的取值范围是（ ）A ． m ＞ 2B ． m ＜ 3C ． m ＞ 3D ． 2＜ m ＜ 3考点 ： 二次函数图象与系数的关系．分析： 由于二次函数的对称轴在 y 轴右侧，根据对称轴的公式即可得到关于m 的不等式，由图象交y 轴于负半轴也可得到关于 m 的不等式，再求两个不等式的公共部分即可得解．解答： 解：∵二次函数 y=x 2+（2﹣ m ） x+m ﹣ 3 的图象交 y 轴于负半轴，∴ m ﹣ 3＜0，解得 m ＜3，∵对称轴在 y 轴的右侧，∴ x= ，解得 m ＞2，∴ 2＜m ＜3．故选： D ．点评： 此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是利用对称轴的公式以及图象与y 轴的交点解决问题．7．（ 2014?玉林一模）如图是二次函数 2A （﹣ 3， 0），对称轴为 x=﹣ 1．给y=ax +bx+c 图象的一部分，图象过点 出四个结论：2① b ＞ 4ac ； ② 2a+b=0； ③ 3a+c=0； ④ a+b+c=0． 其中正确结论的个数是（ ）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对解答：解：∵抛物线的开口方向向下，∴a＜ 0；∵抛物线与x 轴有两个交点，∴ b 2﹣4ac＞ 0，即 b2＞ 4ac，①正确；由图象可知：对称轴x==﹣ 1，∴2a=b， 2a+b=4a，∵ a≠0，∴2a+b≠0，②错误；∵图象过点 A （﹣ 3， 0），∴9a﹣3b+c=0 ， 2a=b，所以 9a﹣ 6a+c=0， c= ﹣ 3a，③正确；∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，∴ c＞ 0由图象可知：当x=1 时 y=0，∴ a+b+c=0，④正确．故选 C．点评：考查了二次函数图象与系数的关系，解答本题关键是掌握二次函数2y=ax +bx+c（ a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点、抛物线与 x 轴交点的个数确定．8．（ 2014?乐山市中区模拟）如图，抛物线21， n），与y=ax +bx+c 与 x 轴交于点 A （﹣ 1， 0），顶点坐标为（y轴的交点在（ 0， 2）、（ 0，3）之间（包含端点）．有下列结论：①当 x＞ 3 时， y＜ 0；② 3a+b＞ 0；③﹣ 1≤a≤﹣；④≤n≤4．其中正确的是（）A．① ②B．③ ④C．① ③D．① ③④考点：二次函数图象与系数的关系．分析：① 由抛物线的对称轴为直线x=1 ，一个交点 A（﹣ 1，0），得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项①作出判断；② 根据抛物线开口方向判定 a 的符号，由对称轴方程求得 b 与 a 的关系是 b=﹣ 2a，将其代入（ 3a+b），并判定其符号；③ 根据两根之积=﹣3，得到 a=，然后根据 c 的取值范围利用不等式的性质来求 a 的取值范围；④ 把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c= c，利用 c 的取值范围可以求得n 的取值范围．解答：解：① ∵抛物线2y=ax +bx+c 与 x 轴交于点 A （﹣ 1，0），对称轴直线是 x=1 ，∴该抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标是（3， 0），∴根据图示知，当x＞ 3 时， y＜ 0．故① 正确；② 根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．∵对称轴 x==1，∴b=﹣ 2a，∴3a+b=3a﹣ 2a=a＜0，即 3a+b＜ 0．故② 错误；③ ∵抛物线与 x 轴的两个交点坐标分别是（﹣1， 0），（ 3， 0），∴﹣ 1×3= ﹣ 3，=﹣ 3，则 a=．∵抛物线与y 轴的交点在（0， 2）、（ 0， 3）之间（包含端点），∴ 2≤c≤3，∴﹣ 1≤≤，即﹣1≤a≤．故③ 正确；④根据题意知， a=，=1，∴ b=﹣ 2a=，∴n=a+b+c= c．∵2≤c≤3，≤≤4，≤n≤4．故④ 正确．综上所述，正确的说法有①③④．故选 D．2点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数 y=ax +bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与 x 轴交点的个数确定．9．（ 2014?齐齐哈尔二模）已知二次函数21，0），（ x1，0），且 1＜y=ax +bx+c （ a＞ 0）的图象与 x 轴交于点（﹣x1＜ 2，下列结论正确的个数为（）①b＜ 0；② c＜0；③ a+c＜ 0；④ 4a﹣ 2b+c＞ 0．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：① ∵ y=ax 2+bx+c （ a＞ 0）的图象与 x 轴交于点（﹣1， 0），（ x1， 0），且 1＜ x1＜ 2，∴对称轴在 y 轴的右侧，即：﹣＞0，∵a＞ 0∴ b＜0，故①正确；②显然函数图象与y 轴交于负半轴，∴ c＜0 正确；2③ ∵二次函数y=ax +bx+c （ a＞0）的图象与x 轴交于点（﹣ 1， 0），∴a﹣ b+c=0，即a+c=b，∵ b＜0，∴ a+c＜0 正确；2④ ∵二次函数y=ax +bx+c （ a＞0）的图象与x 轴交于点（﹣ 1， 0），且 a＞ 0，∴当 x=﹣ 2 时， y=4a﹣ 2b+c＞ 0，故④ 正确，故选 D．点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与 b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．。
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二次函数图像与系数关系一．选择题（共9小题）1．（2013•义乌市）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y 轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④3≤n≤4中，正确的是（）A．①②B．③④C．①④D．①③考点：二次函数图象与系数的关系．专题：计算题；压轴题．分析：①由抛物线的对称轴为直线x=1，一个交点A（﹣1，0），得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项①作出判断；②根据抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴方程求得b与a的关系是b=﹣2a，将其代入（3a+b），并判定其符号；③根据两根之积=﹣3，得到a=﹣，然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a的取值范围；④把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=c，利用c的取值范围可以求得n的取值范围．解答：解：①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴直线是x=1，∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），∴根据图示知，当x＞3时，y＜0．故①正确；②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．∵对称轴x=﹣=1，∴b=﹣2a，∴3a+b=3a﹣2a=a＜0，即3a+b＜0．故②错误；③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（﹣1，0），（3，0），∴﹣1×3=﹣3，∴=﹣3，则a=﹣．∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），∴2≤c≤3，∴﹣1≤﹣≤﹣，即﹣1≤a≤﹣．故③正确；④根据题意知，a=﹣，﹣=1，∴b=﹣2a=，∴n=a+b+c=c．∵2≤c≤3，∴≤c≤4，即≤n≤4．故④错误．综上所述，正确的说法有①③．故选D．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．2．（2013•烟台）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（）A．①②B．②③C．①②④D．②③④考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：根据图象得出a＞0，b=2a＞0，c＜0，即可判断①②；把x=2代入抛物线的解析式即可判断③，求出点（﹣5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），根据当x＞﹣1时，y随x的增大而增大即可判断④．解答：解：∵二次函数的图象的开口向上，∴a＞0，∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，∵二次函数图象的对称轴是直线x=﹣1，∴﹣=﹣1，∴b=2a＞0，∴abc＜0，∴①正确；2a﹣b=2a﹣2a=0，∴②正确；∵二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．∴与x轴的另一个交点的坐标是（1，0），∴把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c＞0，∴③错误；∵二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=﹣1，∴点（﹣5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），根据当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，∵＜3，∴y2＜y1，∴④正确；故选C．点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用，题目比较典型，主要考查学生的理解能力和辨析能力．3．（2013•十堰）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．下列结论：①ab＜0，②b2＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞﹣1时，y＞0，其中正确结论的个数是（）A．5个B．4个C．3个D．2个考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：由抛物线的对称轴在y轴右侧，可以判定a、b异号，由此确定①正确；由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0，又抛物线过点（0，1），得出c=1，由此判定②正确；由抛物线过点（﹣1，0），得出a﹣b+c=0，即a=b﹣1，由a＜0得出b＜1；由a＜0，及ab＜0，得出b＞0，由此判定④正确；由a﹣b+c=0，及b＞0得出a+b+c=2b＞0；由b＜1，c=1，a＜0，得出a+b+c＜a+1+1＜2，由此判定③正确；由图象可知，当自变量x的取值范围在一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根之间时，函数值y ＞0，由此判定⑤错误．解答：解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）过点（0，1）和（﹣1，0），∴c=1，a﹣b+c=0．①∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴x=﹣＞0，∴a与b异号，∴ab＜0，正确；②∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴b2﹣4ac＞0，∵c=1，∴b2﹣4a＞0，b2＞4a，正确；④∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵ab＜0，∴b＞0．∵a﹣b+c=0，c=1，∴a=b﹣1，∵a＜0，∴b﹣1＜0，b＜1，∴0＜b＜1，正确；③∵a﹣b+c=0，∴a+c=b，∴a+b+c=2b＞0．∵b＜1，c=1，a＜0，∴a+b+c=a+b+1＜a+1+1=a+2＜0+2=2，∴0＜a+b+c＜2，正确；⑤抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为（﹣1，0），设另一个交点为（x0，0），则x0＞0，由图可知，当x0＞x＞﹣1时，y＞0，错误；综上所述，正确的结论有①②③④．故选B．点评：本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，不等式的性质，难度适中．二次函数y=ax2+bx+c （a≠0），a的符号由抛物线开口方向决定；b的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定；抛物线与x轴的交点个数，决定了b2﹣4ac的符号，此外还要注意二次函数与方程之间的转换．4．（2012•沙坪坝区模拟）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（）A．a bc＜0 B．a+c＜b C．b＞2a D．4a＞2b﹣c考点：二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）．专题：压轴题．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及图象经过的点的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：A、∵图象开口向下，∴a＜0，∵与y轴交于正半轴，∴c＞0，∵对称轴在y轴左侧，﹣＜0，∴b＜0，∴abc＞0，故本选项错误；B、∵当x=﹣1时，对应的函数值y＞0，即a﹣b+c＞0，∴a+c＞b，故本选项错误；C、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣＞﹣1，又a＜0，∴b＞2a，故本选项正确；D、∵当x=﹣2时，对应的函数值y＜0，即4a﹣2b+c＜0，∴4a＜2b﹣c，故本选项错误．故选C．点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与不等式的关系，难度中等．5．（2013•鄂州）小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤．你认为其中正确信息的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：①如图，∵抛物线开口方向向下，∴a＜0．∵对称轴x=﹣=﹣，∴b=a＜0，∴ab＞0．故①正确；②如图，当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0．故②正确；③如图，当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，∴2a﹣2b+2c＞0，即3b﹣2b+2c＞0，∴b+2c＞0．故③正确；④如图，当x=﹣时，y＞0，即a﹣b+c＞0．∴a﹣2b+4c＞0，故④正确；⑤如图，对称轴x=﹣=﹣，则．故⑤正确．综上所述，正确的结论是①②③④⑤，共5个．故选D．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．6．（2013•德州）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：由函数y=x2+bx+c与x轴无交点，可得b2﹣4c＜0；当x=1时，y=1+b+c=1；当x=3时，y=9+3b+c=3；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，继而可求得答案．解答：解：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4c＜0；故①错误；当x=1时，y=1+b+c=1，故②错误；∵当x=3时，y=9+3b+c=3，∴3b+c+6=0；③正确；∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确．故选B．点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．7．（2012•天门）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：首先根据二次函数图象开口方向可得a＞0，根据图象与y轴交点可得c＜0，再根据二次函数的对称轴x=﹣，结合图象与x轴的交点可得对称轴为x=1，结合对称轴公式可判断出①的正误；根据对称轴公式结合a的取值可判定出b＜0，根据a、b、c的正负即可判断出②的正误；利用a﹣b+c=0，求出a﹣2b+4c＜0，再利用当x=4时，y＞0，则16a+4b+c＞0，由①知，b=﹣2a，得出8a+c＞0．解答：解：根据图象可得：a＞0，c＜0，对称轴：x=﹣＞0，①∵它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），∴对称轴是x=1，∴﹣=1，∴b+2a=0，故①错误；②∵a＞0，∴b＜0，∵c＜0，∴abc＞0，故②错误；③∵a﹣b+c=0，∴c=b﹣a，∴a﹣2b+4c=a﹣2b+4（b﹣a）=2b﹣3a，又由①得b=﹣2a，∴a﹣2b+4c=﹣7a＜0，故此选项正确；④根据图示知，当x=4时，y＞0，∴16a+4b+c＞0，由①知，b=﹣2a，∴8a+c＞0；故④正确；故正确为：③④两个．故选：B．点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b 异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．8．已知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b＜0；③a+b≠m （am+b）（m≠1的实数）；④（a+c）2＜b2；⑤a＞1，其中正确的是（）A．2个B．3个C．4个D．1个考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，∵对称轴为x=﹣＞0，∴a、b异号，即b＜0，又∵c＜0，∴abc＞0，故本选项正确；②∵对称轴为x=﹣＞0，a＞0，﹣＜1，∴﹣b＜2a，∴2a+b＞0；故本选项错误；③当x=1时，y1=a+b+c；当x=m时，y2=m（am+b）+c，当m＞1，y2＞y1；当m＜1，y2＜y1，所以不能确定；故本选项错误；④当x=1时，a+b+c=0；当x=﹣1时，a﹣b+c＞0；∴（a+b+c）（a﹣b+c）=0，即（a+c）2﹣b2=0，∴（a+c）2=b2故本选项错误；⑤当x=﹣1时，a﹣b+c=2；当x=1时，a+b+c=0，∴a+c=1，∴a=1+（﹣c）＞1，即a＞1；故本选项正确；综上所述，正确的是①⑤有2个．故选：A．点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换；二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=﹣判断符号；（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；（4）b2﹣4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2﹣4ac＞0；1个交点，b2﹣4ac=0，没有交点，b2﹣4ac＜0．9．（2013•莒南县二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题；数形结合．分析：观察图象：开口向下得到a＜0；对称轴在y轴的右侧得到a、b异号，则b＞0；抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到c＞0，所以abc＜0；当x=﹣1时图象在x轴下方得到y=a﹣b+c＜0，即a+c＜b；对称轴为直线x=1，可得x=2时图象在x轴上方，则y=4a+2b+c＞0；利用对称轴x=﹣=1得到a=﹣b，而a﹣b+c＜0，则﹣b﹣b+c＜0，所以2c＜3b；开口向下，当x=1，y有最大值a+b+c，得到a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞m（am+b）（m≠1）．解答：解：开口向下，a＜0；对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b＞0；抛物线与y轴的交点在x 轴的上方，c＞0，则abc＜0，所以①不正确；当x=﹣1时图象在x轴下方，则y=a﹣b+c＜0，即a+c＜b，所以②不正确；对称轴为直线x=1，则x=2时图象在x轴上方，则y=4a+2b+c＞0，所以③正确；x=﹣=1，则a=﹣b，而a﹣b+c＜0，则﹣b﹣b+c＜0，2c＜3b，所以④正确；开口向下，当x=1，y有最大值a+b+c；当x=m（m≠1）时，y=am2+bm+c，则a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞m（am+b）（m≠1），所以⑤正确．故选B．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，当a＞0，开口向上，函数有最小值，a＜0，开口向下，函数有最大值；对称轴为直线x=﹣，a与b同号，对称轴在y轴的左侧，a与b异号，对称轴在y轴的右侧；当c＞0，抛物线与y轴的交点在x轴的上方；当△=b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点．二．填空题（共1小题）10．（2013•柳林县一模）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x=1，其图象的一部分如图所示．对于下列说法：①abc＜0；②当﹣1＜x＜3时，y＞0；③3a+c＜0；④a﹣b+c＜0，其中正确的是①③④（把正确的序号都填上）．考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：根据图象可得：a＜0，b＞0，c＞0．则abc＜0，故①正确；当﹣1＜x＜3时图象在x轴的上方，且有的点在x轴的下方，故②错误；根据图示知，该抛物线的对称轴直线是x=1，即﹣=1，则b=﹣2a．那么当x=﹣1时，y=a﹣b+c=a+2a+c=3a+c＜0，故③正确；当x=﹣1时，y=a﹣b+c一定在x轴的下方，因而a﹣b+c＜0，故④正确．故答案是：①③④．点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．（2013•绵阳）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①2a+b＞0；②b＞a＞c；③若﹣1＜m＜n＜1，则m+n＜﹣；④3|a|+|c|＜2|b|．其中正确的结论是①③④（写出你认为正确的所有结论序号）．考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：分别根据二次函数开口方向以及对称轴位置和图象与y轴交点得出a，b，c的符号，再利用特殊值法分析得出各选项．解答：解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴2a＜0，对称轴x=﹣＞1，﹣b＜2a，∴2a+b＞0，故选项①正确；∵﹣b＜2a，∴b＞﹣2a＞0＞a，令抛物线解析式为y=﹣x2+bx﹣，此时a=c，欲使抛物线与x轴交点的横坐标分别为和2，则=﹣，解得：b=，∴抛物线y=﹣x2+x﹣，符合“开口向下，与x轴的一个交点的横坐标在0与1之间，对称轴在直线x=1右侧”的特点，而此时a=c，（其实a＞c，a＜c，a=c都有可能），故②选项错误；∵﹣1＜m＜n＜1，﹣2＜m+n＜2，∴抛物线对称轴为：x=﹣＞1，＞2，m+n，故选项③正确；当x=1时，a+b+c＞0，2a+b＞0，3a+2b+c＞0，∴3a+c＞﹣2b，∴﹣3a﹣c＜2b，∵a＜0，b＞0，c＜0（图象与y轴交于负半轴），∴3|a|+|c|=﹣3a﹣c＜2b=2|b|，故④选项正确．故答案为：①③④．点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，利用特殊值法求出m+n的取值范围是解题关键．11 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