二次函数图像与系数关系含答案

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二次函数图像与系数关系

一.选择题(共9小题)

1.(2013•义乌市)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),顶点坐标为(1,n),与y 轴的交点在(0,2)、(0,3)之间(包含端点),则下列结论:

①当x>3时,y<0;②3a+b>0;③﹣1≤a≤﹣;④3≤n≤4中,

正确的是()

A.①②B.③④C.①④D.①③

考点:二次函数图象与系数的关系.

专题:计算题;压轴题.

分析:①由抛物线的对称轴为直线x=1,一个交点A(﹣1,0),得到另一个交点坐标,利用图象即可对于选项①作出判断;

②根据抛物线开口方向判定a的符号,由对称轴方程求得b与a的关系是b=﹣2a,将其代入

(3a+b),并判定其符号;

③根据两根之积=﹣3,得到a=﹣,然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a的取值

范围;

④把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=c,利用c的取值范围可以求得n的取值范围.解答:解:①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),对称轴直线是x=1,∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(3,0),

∴根据图示知,当x>3时,y<0.

故①正确;

②根据图示知,抛物线开口方向向下,则a<0.

∵对称轴x=﹣=1,

∴b=﹣2a,

∴3a+b=3a﹣2a=a<0,即3a+b<0.

故②错误;

③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是(﹣1,0),(3,0),

∴﹣1×3=﹣3,

∴=﹣3,则a=﹣.

∵抛物线与y轴的交点在(0,2)、(0,3)之间(包含端点),

∴2≤c≤3,

∴﹣1≤﹣≤﹣,即﹣1≤a≤﹣.

故③正确;

④根据题意知,a=﹣,﹣=1,

∴b=﹣2a=,

∴n=a+b+c=c.

∵2≤c≤3,

∴≤c≤4,即≤n≤4.

故④错误.

综上所述,正确的说法有①③.

故选D.

点评:本题考查了二次函数图象与系数的关系.二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定.

2.(2013•烟台)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,其对称轴为x=﹣1,且过点(﹣3,0).下列说法:①abc<0;②2a﹣b=0;③4a+2b+c<0;④若(﹣5,y1),(,y2)是抛物线上两点,则y1>y2.其中说法正确的是()

A.①②B.②③C.①②④D.②③④

考点:二次函数图象与系数的关系.

专题:压轴题.

分析:根据图象得出a>0,b=2a>0,c<0,即可判断①②;把x=2代入抛物线的解析式即可判断

③,求出点(﹣5,y1)关于对称轴的对称点的坐标是(3,y1),根据当x>﹣1时,y随x的

增大而增大即可判断④.

解答:解:∵二次函数的图象的开口向上,

∴a>0,

∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的负半轴上,

∴c<0,

∵二次函数图象的对称轴是直线x=﹣1,

∴﹣=﹣1,

∴b=2a>0,

∴abc<0,∴①正确;

2a﹣b=2a﹣2a=0,∴②正确;

∵二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,其对称轴为x=﹣1,且过点(﹣3,0).

∴与x轴的另一个交点的坐标是(1,0),

∴把x=2代入y=ax2+bx+c得:y=4a+2b+c>0,∴③错误;

∵二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=﹣1,

∴点(﹣5,y1)关于对称轴的对称点的坐标是(3,y1),

根据当x>﹣1时,y随x的增大而增大,

∵<3,

∴y2<y1,∴④正确;

故选C.

点评:本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用,题目比较典型,主要考查学生的理解能力和辨析能力.

3.(2013•十堰)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(0,1)和(﹣1,0).下列结论:①ab<0,②b2>4a,③0<a+b+c<2,④0<b<1,⑤当x>﹣1时,y>0,其中正确结论的个数是()

A.5个B.4个C.3个D.2个

考点:二次函数图象与系数的关系.

专题:压轴题.

分析:由抛物线的对称轴在y轴右侧,可以判定a、b异号,由此确定①正确;

由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac>0,又抛物线过点(0,1),得出c=1,由此判定②正确;

由抛物线过点(﹣1,0),得出a﹣b+c=0,即a=b﹣1,由a<0得出b<1;由a<0,及ab<0,得出b>0,由此判定④正确;

由a﹣b+c=0,及b>0得出a+b+c=2b>0;由b<1,c=1,a<0,得出a+b+c<a+1+1<2,由此判定③正确;

由图象可知,当自变量x的取值范围在一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根之间时,函数值y >0,由此判定⑤错误.

解答:解:∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)过点(0,1)和(﹣1,0),

∴c=1,a﹣b+c=0.

①∵抛物线的对称轴在y轴右侧,∴x=﹣>0,

∴a与b异号,∴ab<0,正确;

②∵抛物线与x轴有两个不同的交点,∴b2﹣4ac>0,

∵c=1,∴b2﹣4a>0,b2>4a,正确;

④∵抛物线开口向下,∴a<0,

∵ab<0,∴b>0.

∵a﹣b+c=0,c=1,∴a=b﹣1,

∵a<0,∴b﹣1<0,b<1,

∴0<b<1,正确;

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