(完整版)2.3n维向量的概念

第三章 第一讲
1 n维向量的概念 2 n维向量空间 3 线性相关性
回顾
解析几何 既有大小又有方向的量
几何形象： 可随意 平行移动的有向线段
向量
(n 3)
线性代数
坐 有次序的实数组成的数组
标 代数形象：向量的坐标表示式
(x, y) (x, y, z)
系
一、 n维向量的概念
定义1 n个有次序的数 a1, a2 , , an 所组成的数组称为 n维向量,这n个 数称为该向量的n个分量，第 i 个数称为第 i 个分量。
式 11 2，2 称为向m量m
的线性1 ,组合2 ,。 ,m
若 11 22 mm，则称 能由向量组 1,2, ,m 线性表示。
向量1,2 ,L
,m的所有线性组合11 22 L
m
所组成的
m
集合V是一个向量空间.我们称这个空间为由向量1,2 ,L
,
生成的
m
向量空间,记为 L(1,2 ,L ,m )
解 因为对于V1的任意两个元素 0, a2 ,L , an , 0,b2 ,L ,bn V1, 所以有 0, a2 b2 ,L , an bn V1 且 0, a2 ,L , an V1.
所以 V1是向量空间 . V2不是向量空间 .
因为若 1, a2 ,L , an V2 , 则2 2, 2a2 ,L , 2an V2 ,所以V2 不是向量空间.
三、 线性相关性
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．
定义6 给定向量组A : 1,2 ,L ,m ,如果存在不全为零的数k1, k2 ,L , km 使k11 k22 L kmm 0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．
注意
1.若 1,2 ,L
,
线性无关
n
,
2
2
机翼的转角
( )
机身的水平转角 (0 2 )
所以，确定飞机的状态，需用6维向量
a ( x, y, z, , , )
设
如果 和 对应的分量都相等，即 ai bi , i 1,2, , n 就称这两个向量相等，
记为
。
定义2 向量 (a1b1,a2b2 , ,an bn ) 为 与 的和，记为
3
3
1试证1, 2 ,
线性无关.
3
证 设有x1, x2 , x3使x11 x22 x33 0 即 x（1 1 2） x2 (2 3 ) x3 (3 1) 0,
亦即 （ x1 x3 )1 (x1 x2 )2 (x2 x3 )3 0,
因 1，2，3线性无关，故有
101
x1 x3 0, x1 x2 0, x2 x3 0.
例2 判断向量组
的线性相关性。
解 假设存在一组常数k1 ,k2 ,…,kn 使得
因 k11 k22 L knn (k1, k2 ,L , kn )
所以(k1, k2 ,..., kn ) 0 即k1 k2 kn 0
因此1,2 ,L
线性无关.
n
1
,
2
,L
n 称为基本单位向量。
例3 已知向量组 1,2 , 3线性无关, 1 1 2 , 2 2 3 ,
。
称向量（ka1,ka2,…,kan）为 与 k 的数量乘积，简称数乘，记为 k 。
与 1的乘积称为的负向量,记为
向量的减法定义为
向量加法和数乘统称为向量的线性运算。
线性运算满足以下运算率： (1) α β β α
(2) (α β) ( ) (3) α 0 α (4) α () 0 (5)1α α (6) (α) ()α (7) (α β) (8) ( )α α
比如 3 维向量的全体R3 ,是一个3维向量空间. 因为任意两个3维向量之和仍然是3维向量, 数 乘3维向量仍然是3维向量，它们都属于R3 .
类似地，n 维向量的全体Rn，也是一个向量空间.
例1 判别下列集合是否为向量空间.
V1 x 0, x2 ,L , xn | x2 ,L , xn R V2 x 1, x2 ,L , xn | x2 ,L , xn R
其系数行列式1 1 0 2 0 故方程组只有零解。
011
所以1, 2 , 3 线性无关。
线性相关性的判定 定理1 向量组 1,2 ,L ,m（当 m 2 时）线性相关的充分必要条件 是 1,2 ,L ,m 中至少有一个向量可由其余 m 1 个向量线性表示．
二、n维向量空间
定义3 设 V 为 n 维向量的集合，如果集合V 非空，且集合V 对于加法及数乘 两种运算封闭，那么就称集合 V 为向量空间． 说明 1．集合V 对于加法及数乘两种运算 V.
2．n维向量的集合是一个向量空间,记作R n.
则只有当1
L
n 0时, 才有
11 22 L nn 0 成立 .
2. 对于任一向量组,不是线性无关就是线性相关 .
3. 向量组只包含一个向量 时,若 0则说 线性相关, 若 0,则说 线性无关 .
4.包含零向量的任何向量 组是线性相关的.
5.对于含有两个向量的向量组, 它线性相关的充要条件是 两向量的分量对应成比例.
定义4 设有向量空间V1，V2，若 V1 ，V2则称 V1是 V2 的子空间。
实例 设V 是由n维向量所组成的向量空间，
显然V Rn 所以V总是Rn的子空间.
对于任意向量空间V ,V 和0都是它的子空间,称为平凡子空间,
其他的子空间就称为非平凡子空间.
定义5 设 1,2, ,m 都是 n维向量，1, 2,是, 任m 意实数，那么表示
(a1, a2 , an ) 来表示。
a1
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，通常用
a2 来表示。
注意：行向量和列向量总被看作是不同的向量。
an
n维向量的实际意义：
确定飞机的状态
确定飞机的状态，需要以下6个参数：
飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)
机身的仰角
( )
分量全为实数的向量称为实向量，
分量全为复数的向量称为复向量.
例如 (1,2,3, ,n)
n维实向量
(1 2i,2 3i, ,n (n 1)i)
n维复向量
第2个分量 第1个分量
第n个分量
分量全为0的向量（0，0，…，0）称为零向量，记为0.
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，通常用