高中数学空间中的平行关系考点及例题讲解
考点22 空间几何平行问题(讲解)(解析版)
考点22 空间几何平行问题【思维导图】【常见考法】考法一 平行传递性证线线平行1．四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,01,90.2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= 证明：直线//BC 平面PAD ;【答案】见解析 【解析】 在平面内，因为,所以又平面平面故平面考法二 三角形中位线证线线平行1．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，E 为侧棱P A 的中点，求证：PC // 平面BDE ；【答案】见解析【解析】证明: 连结AC ,交BD 于O ,连结OE .因为ABCD 是平行四边形,所以OA OC =. 因为E 为侧棱PA 的中点所以OE ∥PC .因为PC ⊄平面BDE ,OE ⊂平面BDE 所以PC ∥平面BDE .2．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ABCD ⊥平面，E 为PD 的中点，证明：//E PB A C 平面；【答案】见解析【解析】连结BD 交AC 于点O,连结EO 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点 又E 为的PD 的中点，所以EO//PBEO ⊂平面AEC,PB ⊄平面AEC ，所以PB//平面AEC考法三 构造平行四边形证线线平行1．如图，在四棱锥P−ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，E ，F 分别为AD ，PB 的中点，求证：EF ∥平面PCD .【答案】详见解析【解析】如图，取PC 中点G ，连接,FG GD .∵,F G 分别为PB 和PC 的中点，∴FG BC ，且12FG BC =. ∵四边形ABCD 为平行四边形，且E 为AD 的中点， ∴1,2ED BC DE BC =， ∴ED FG ，且ED FG =，∴四边形EFGD 为平行四边形，∴EF GD . 又EF ⊄平面PCD ，GD ⊂平面PCD ，∴EF 平面PCD .2．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，60BAD ∠=，1CD =，2AD =，4AB =，点G 在线段AB 上，3AG GB =，11AA =，证明：1//D G 平面11BB C C【答案】证明见解析【解析】证明：连接1C B ，因为底面ABCD 为梯形，//AB CD ，44AB CD ==，3AG GB =， 则11////GB CD D C ，且111GB D C ==， 所以四边形11GBC D 为平行四边形，则11//D G C B . 又1C B ⊂平面11BB C C ，1D G ⊄平面11BB C C ， 所以1//D G 平面11BB C C .考法四 线面垂直的性质证线线平行1．如图，BCD 与MCD △都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，2AB =，证明：直线//AB 平面MCD ；【答案】见解析【解析】证明：取CD 中点O ，连接MO ，MCD 是正三角形，MO CD ∴⊥∵平面MCD ⊥平面BCD ，MO ∴⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，∴//MO AB ，又MO ⊂面MCD ，AB ⊄面MCD ，//AB ∴面MCD .2如图，菱形ABCD 与正三角形BCE 的边长均为2，且平面ABCD ⊥平面BCE ，FD ⊥平面ABCD ，FD =//EF 平面ABCD证明：如图，过点E 作EH BC ⊥于H ，连接HD ，∴EH =D ∵平面ABCD ⊥平面BCE ，EH ⊂平面BCE ， 平面ABCD ⋂平面BCE BC =， ∴EH ⊥平面ABCD ，又∵FD ⊥平面ABCD ，FD =∴//FD EH ，FD EH =. ∴四边形EHDF 为平行四边形． ∴//EF HD .∵EF ⊄平面ABCD ，HD ⊂平面ABCD ， ∴//EF 平面ABCD ．考法五 三角形相似比证线线平行1．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA =//AB CD ，1AD DC ==，2AB =，E 为侧棱P A 上一点，若13PE PA =，求证：//PC 平面EBD【答案】证明见解析【解析】设AC BD G ⋂=，连结EG ， 由已知//AB CD ，1DC =，2AB =，得2AG ABGC DC==. 由13PE PA =，得2AEEP =. 在PAC ∆中，由AE AG EP GC=，得//EG PC . 因为EG ⊂平面EBD ，PC ⊄平面EBD ，所以//PC 平面EBD.2．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是菱形，160BAA ∠=︒，E 是棱1BB 的中点，CA CB =，F 在线段AC 上，且2AF FC .证明：1//CB 面1A EF【答案】详见解析【解析】连接1AB 交1A E 于点G ，连接FG ． 因为11AGA B GE ∆∆，所以1112AA AG GB EB ==，又因为2AF FC=，所以1AF AG FC GB =，所以1//FG CB ，又1CB ⊄面1A EF ，FG ⊂面1A EF ，所以1//CB 面1A EF .考法六 线面平行性质证明线线平行1．如图，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 为AD 上一点，且13AE ED =，F 为PC 上一点，当//PA 平面EBF 时，PFFC= .【答案】14【解析】连接AC 交BE 于点M ，连接FM ． //PA 平面EBF ，PA ⊂平面PAC ，平面PAC 平面EBF FM =，//PA FM ∴，∴14PF AM AE FC MC BC ===，2．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过点G 和AP 作平面，交平面BDM 于GH ，点H 在线段BD 上.求证：//AP GH .【答案】证明见解析【解析】证明：如图，连接AC ，设AC 交BD 于点O ，连接MO ．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴O 是AC 的中点又M 是PC 的中点，∴//MO PA . 又MO ⊂平面BDM ，PA ⊄平面BDM ， ∴//PA 平面BDM又PA ⊂平面PAHG ，平面PAHG ⋂平面BDM GH =，∴//AP GH ．3．如图所示，在多面体111A B D DCBA -中，四边形11AA B B ，11ADD A ，ABCD 均为正方形，E 为11B D 的中点，过1,,A D E 的平面交1CD 于F .证明：1//EF B C . 【答案】见解析 【解析】证明：11B C A D =且11A B CD =，∴四边形11A B CD 为平行四边形，11//B C A D ∴，又1B C ⊂/平面1A EFD ，1A D ⊂平面1A EFD1//B C ∴平面1A EFD ，又因为平面1A EFD平面11B CD EF =，1B C ⊂平面11B CD ，1//EF B C ∴；考法七 面面平行的性质证线面平行1．如图①所示，在直角梯形ABCP 中，APBC ，12AP AB AB BC AP ⊥==，，D 为AP 的中点，E F G ，，分别为PC PD CB ，，的中点，将PCD 沿CD 折起，得到四棱锥P ABCD -，如图②所示.求证：在四棱锥P ABCD -中，AP ∥平面EFG . 【答案】见解析【解析】∵G 为BC 的中点，E 为PC 的中点，∴GE ∥BP ∵GE ⊄平面PAB ，BP ⊂平面PAB ，∴GE ∥平面PAB ， 由F 为PD 的中点，得EF ∥DC ，∵AB ∥DC ，∴EF ∥AB∵EF ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴EF ∥平面PAB ，∵EF∩GE ＝E ∴平面EFG ∥平面PAB ，∵PA ⊂平面PAB ，∴AP ∥平面EFG ．2如图，三棱锥P ABC -中， D 是PA 的中点， E 是CD 的中点，点F 在PB 上且14BF PB =，证明：//EF 平面ABC ；证明：如图，取AD 中点G ，连接GE ，GF ，如图C 则GE//AC ，GF//AB ， 因为GE∩GF=G ，AC∩AB=A ，所以平面GEF//平面ABC ，所以EF//平面ABC考法八：面面平行1．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，点M ，N ，Q 分别在PA ，BD ，PD 上（不与端点重合），且:::PM MA BN ND PQ QD ==.求证：平面//MNQ 平面PBC .【答案】证明见解析【解析】证明 :::,==PM MA BN ND PQ QD .//,//∴MQ AD NQ BPBP ⊂平面,PBC NQ ⊄平面PBC ，//NQ ∴平面PBC .∵底面ABCD 为平行四边形，//,//BC AD MQ BC ∴∴.BC ⊂平面,PBC MQ ⊂/平面PBC ，//MQ ∴平面PBC .又MQ NQ Q =，根据平面与平面平行的判定定理，所以面//MNQ 平面PBC2．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，E F G H ，，，分别是1111AB AC A B A C ，，，的中点，求证：（1）B C H G ，，，四点共面；（2）平面1EFA //平面BCHG ．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】(1)G H ，分别是1111A B A C ，的中点，GH ∴是111A B C △的中位线，则11//GH B C ，又11////B C BC GH BC ∴，，B C H G ∴，，，四点共面． (2)E F ，分别为AB AC ，的中点，//EF BC ∴，EF ⊄平面BCHG BC ⊂，平面BCHG ，EF ∴平面BCHG ，又G E ，分别是11A B AB ，的中点，11A B AB ⊥，1A G EB ∴⊥，∴四边形1A EBG 是平行四边形，1//A E GB ∴，1A E ⊄平面BCHG GB ⊂，平面BCHG ，1//A E ∴平面BCHG ，又1A E EF E ⋂＝，∴平面1EFA //平面BCHG ，考法九：动点问题1．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为边长为2的菱形，点F 为棱PD 的中点，在棱AB 上是否存在一点E ，使得AF ∥面PCE ，并说明理由；【答案】见解析；【解析】在棱AB 上存在点E ，使得AF ∥面PCE ，点E 为棱AB 的中点．理由如下：取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，由题意，FQ ∥DC 且1FQ CD 2=，AE ∥CD 且1AE CD 2=，故AE ∥FQ 且AE ＝FQ ．所以，四边形AEQF 为平行四边形．所以，AF ∥EQ ，又EQ ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ，所以，AF ∥平面PEC ．2．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，点,E F 分别是棱11,CC BB 上的点，点M 是线段AC 上的动点，22EC FB ==.若MB 平面AEF ，试判断点M 的位置.【答案】M 是AC 的中点【解析】由题意知//MB 平面AEF ，过,,F B M 作平面FBMN 交AE 于N ，连接,MN NF .因为//BF 平面11,AAC C BF ⊂平面FBMN ，平面FBMN ⋂平面11AAC C MN =，所以BF MN .因为//MB 平面,AEF MB ⊂平面FBMN ，平面FBMN ⋂平面AEF FN =，所以//MB FN ，所以四边形BFNM 是平行四边形，所以1MN BF ==.而//,22EC FB EC FB ==，所以1//,12MN EC MN EC==，故MN是ACE的中位线.所以M是AC的中点时，//MB平面AEF.。
空间中的平行与垂直例题和知识点总结
空间中的平行与垂直例题和知识点总结在立体几何的学习中，空间中的平行与垂直关系是非常重要的内容。
理解和掌握这些关系，对于解决相关的几何问题具有关键作用。
下面我们通过一些例题来深入探讨，并对相关知识点进行总结。
一、平行关系（一）线线平行1、定义：如果两条直线在同一平面内没有公共点，则这两条直线平行。
2、判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
例 1：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：EF∥A₁C₁。
证明：连接 AC，因为 E，F 分别是 AB，BC 的中点，所以 EF∥AC。
又因为正方体中，AC∥A₁C₁，所以 EF∥A₁C₁。
（二）线面平行1、定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，则称这条直线与这个平面平行。
2、判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
例 2：已知四棱锥 P ABCD 的底面是平行四边形，M 是 PC 的中点，求证：PA∥平面 MBD。
证明：连接 AC 交 BD 于 O，连接 MO。
因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 O 是 AC 的中点。
又因为 M 是 PC 的中点，所以MO∥PA。
因为 MO⊂平面 MBD，PA⊄平面 MBD，所以 PA∥平面MBD。
（三）面面平行1、定义：如果两个平面没有公共点，则称这两个平面平行。
2、判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
例 3：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，求证：平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
证明：因为 A₁B∥D₁C，A₁D∥B₁C，且 A₁B 和 A₁D 是平面A₁BD 内的两条相交直线，D₁C 和 B₁C 是平面 B₁D₁C 内的两条相交直线，所以平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
二、垂直关系（一）线线垂直1、定义：如果两条直线所成的角为 90°，则这两条直线垂直。
人教高中数学B版必修2 空间中的平行关系 精讲精析
1·2·2. 空间中的平行关系1.直线与直线平行的判定方法(1)利用定义：在同一个平面内，不相交的两条直线互相平行；(2)利用平行公理：空间中平行于同一条直线的两条直线互相平行；(3)利用直线与平面平行的性质定理：直线和平面平行，经过该直线的平面与已知平面相交，则该直线和交线平行；(4)利用平面和平面平行的性质定理：两个平面互相平行，和第三个平面相交，它们的交线互相平行；(5)利用直线和平面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线互相平行；(6)利用直线和平面平行的性质：一直线和两相交平面平行，则该直线和这两个平面的交线平行.2.直线与平面平行的判定方法(1)利用定义：直线与平面无公共点，则该直线和该平面平行；(2)利用直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线和平面内一条直线平行，则该直线和该平面平行（线线平行，则线面平行）.(3)利用平面和平面平行的性质：两个平面互相平行，则一个平面内任意一条直线都平行于第二个平面.3.平面和平面平行的判定方法(1)利用定义：两个平面没有公共点，则这两个平面平行；(2)利用平面与平面平行的判定定理：一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内两条相交直线平行，则这两个平面平行；(3)利用平面与平面平行的判定：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行；(4)利用平面与平面平行的传递性：平行于同一个平面的两个平面互相平行．(5)利用直线与平面垂直的性质：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；4.直线与平面平行的性质(1)性质定理：直线和平面平行，经过该直线的平面与已知平面相交，则该直线和交线平行；(2)直线和平面平行的性质：一直线和两相交平面平行，则该直线和这两个平面的交线平行.5.平面与平面平行的性质(1)平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.(2)平面与平面平行的性质：两个平面互相平行，则一个平面内任意一条直线均平行于第二个平面.(3)平面与平面平行的性质：两个平面互相平行，那么夹在这两个平面之间的平行线段相等.(4)平面与平面平行的性质：平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面.1. 求证：过两条平行直线有且只有一个平面. 已知：直线a ∥b.求证：过a ，b 有且只有一个平面. 【解析】证明：①存在性：由平行线的定义可知，过平行直线a ，b 有一个平面.②唯一性（反证法）：假设过a ，b 有两个平面.在直线上任取两点A 、B ，在直线b 上任取一点C ，则A 、B 、C 三点不共线.由于这两个平面都过直线a ，b ，因此由公理1可知：都过点A 、B 、C.由平面的基本性质公理2，过不共线三点的平面唯一存在，因此重合，与假设矛盾.矛盾表明：过平行直线a ，b 只有一个平面. 综上所述：过a ，b 有且只有一个平面.,αβa ,αβ,αβ,αβ2. 已知平面α∩β=m，直线a//α，a//β，求证：a//m.【解析】证明：过a 作一平面与α交于直线b，由线面平行的性质可知：a//b；过a作另一平面与β交于直线c，则：a//c.由平行公理可知：b//c，故b//β.由线面平行的性质可知：b//m.由平行公理，a//m.【说明】判定空间关系的主要思路有三种，一是利用判定定理和相关结论，二是反证法（常利用定义），三是同一法，并且凡是用反证法可以证明的都可以用同一法证明.而且一般地，每个这样的题目都可以同时使用这三种方法.同一法的主要过程是：欲证某几何图形M具备某性质，可以先作一个图形M′具备这种性质，然后证明所作图形M′与待证图形M是同一个图形，因M′具备这种性质，故M也具备该性质.如本题可用同一法证明如下：证明：在m上取一点A，过a、A作一平面分别交α、β于e、f，则e//a，f//a，即过直线外一点有两条直线与之平行，因此e、f重合，记为l；又e在α上，f在β上，且e、f重合于l，故l是α、β的交线，故l与m重合.因l//a，故m//a.3. 平面α外的两条直线a//b，且a//α，求证：b//α.【解析】证明：因a//α，过a作一平面与α交于直线m，则由直线与平面平行的性质可知：a//m. 又因a//b，a//m，故b//m，由线面平行的判定定理可知：b//α.4. 如图，ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP//GH.【解析】证明：连接AC交BD于O，连接MO.因为ABCD是平行四边形，故O是AC中点.又M是PC中点，故AP//OM.又AP在平面BDM外，OM在平面BDM上，故AP//平面BDM.因为平面PAGH∩平面BDM=GH，根据线面平行的性质定理，得PA//GH.5. 如图，三棱柱ABC－A′B′C′，D是BC上一点，且A′B//平面AC′D，D′是B′C′的中点，求证：平面A′BD′//平面AC′D.【解析】证明：连接A′C交AC′于点E，则E是A′C中点．连接ED，因为A′B//平面AC′D，平面A′BC∩平面AC′D＝ED，所以A′B∥ED，因为E是A′C中点，所以D是BC中点．又D′是B′C′中点，所以BD′∥C′D，A′D′∥AD．又A′D′∩BD′＝D′，所以平面A′BD′∥平面AC′D．6. 已知平面α//γ，γ//β，求证：α//β.【解析】作两个相交平面分别交α、β、γ于a、b、c和a′、b′、c′.因为α//γ，故a//c，a′//c′.因为γ//β，故b//c，b′//c′.从而a//b，a′//b′，即平面α、β内分别有两条相交直线平行，故α//β.。
高考数学总复习---空间中的平行与垂直关系知识点总结及真题训练.doc
空间中的平行与垂直关系知识点总结及真题训练【知识图解】【知识梳理】一、平行1、平行公理2、构造三角形：3、构造平行四边形:4、线面平行性质：5、面面平行性质:6、线面平行判定:7、面面平行的性质：8、面面平行的判定1：9、面面平行的判定2：【典型例题】例1、正方体ABCD_A、B\GD\屮，E,F分别是的屮点，求ffi: EF〃面ABCD.变式:如图，两个全等的正方形ABCD和M3EF所在的平面相交于AB, M eAC, Nw FB 且AM = FN，求证：MN〃平面BCE.例2、如图，以垂直于矩形ABCD所在的平面，PA=AD f E、F分别是AB、PD 的中点。
(1)求证：AF〃平面PCE；*(2)求证：平面PCE丄平面PCD。
/ \\(1) 求证:BC 】//平面CAD(2) 求证：平面CAJ)丄平面AAiBiBo例3、浙江理20.(本题满分15分)如图，平面PAC 丄平面ABC, \ABCPB, AC 的中点，AC = 16, PA = PC = 10.(I) 设G 是0C 的中点，证明：FG//平面BOE ；(II) 证明：在AABO 内存在一点M ，使FM 丄平面BOE, 并求点M 到Q4, 03的距离.练习：1、(浙江卷文)(本题满分14分)如图，DC 丄平面ABC , EB//DCAC = BC = EB = 2DC = 2 , ZACB = 120 ,只Q 分别为AE.AB 的中点.（I ）证明：PQII 平面ACD ； （II ）求AD 与平面ABE Wr 成角的.正弦值.2、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1屮，AC=BC,点D 是AB 的屮点。
是以4C 为斜边的等腰直角三角形，匕£0分别为必,（第20（2） 求二面角B-FC!-C 的余眩值。
. Ei D L-.-.♦ E / ■<C 3、如图，在四面体ABCD 中，截而EFGH 是平行四边形•求证：AB 〃平面EFGH.安徽理（19）如图，圆锥定点为P,底面圆心为O,其母线与底而所成的角为22.5°, AB 和 CD 是底面圆0上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60°-（1） 证明：平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面;（2） 求 cosZCOD4、点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，E,F 分别是PA,BD 上的点，且 PE:EA=BF ・・FD,求证：EF//面PBC.5、（山东卷理）（本小题满分12分）如图，在直四棱柱ABCD ・A]B]C]D]中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD, AB=4, BC=CD=2, AA ）=2, E 、E“ F 分别是棱 AD 、AA 【、AB 的中点。
考点22 空间几何平行问题(讲解)(解析版)
考点22 空间几何平行问题【思维导图】【常见考法】考法一平行传递性证线线平行1．四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,01,90.2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= 证明：直线//BC 平面PAD ;【答案】见解析【解析】 在平面内，因为,所以又平面平面故平面考法二 三角形中位线证线线平行1．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，E 为侧棱P A 的中点，求证：PC // 平面BDE ；【答案】见解析【解析】证明: 连结AC ,交BD 于O ,连结OE .因为ABCD 是平行四边形,所以OA OC =.因为E 为侧棱PA 的中点所以OE ∥PC .因为PC ⊄平面BDE ,OE ⊂平面BDE 所以PC ∥平面BDE .2．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ABCD ⊥平面，E 为PD 的中点，证明：//E PB A C 平面；【答案】见解析【解析】连结BD 交AC 于点O,连结EO 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点又E 为的PD 的中点，所以EO//PBEO ⊂平面AEC,PB ⊄平面AEC ，所以PB//平面AEC考法三 构造平行四边形证线线平行1．如图，在四棱锥P−ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，E ，F 分别为AD ，PB 的中点，求证：EF ∥平面PCD .【答案】详见解析【解析】如图，取PC 中点G ，连接,FG GD .∵,F G 分别为PB 和PC 的中点，∴FG BC ，且12FG BC =. ∵四边形ABCD 为平行四边形，且E 为AD 的中点， ∴1,2ED BC DE BC =， ∴ED FG ，且ED FG =，∴四边形EFGD 为平行四边形，∴EF GD .又EF ⊄平面PCD ，GD ⊂平面PCD ，∴EF 平面PCD .2．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，60BAD ∠=，1CD =，2AD =，4AB =，点G 在线段AB 上，3AG GB =，11AA =，证明：1//D G 平面11BB C C【答案】证明见解析【解析】证明：连接1C B ，因为底面ABCD 为梯形，//AB CD ，44AB CD ==，3AG GB =， 则11////GB CD D C ，且111GB D C ==，所以四边形11GBC D 为平行四边形，则11//D G C B .又1C B ⊂平面11BB C C ，1D G ⊄平面11BB C C ，所以1//D G 平面11BB C C .考法四 线面垂直的性质证线线平行1．如图，BCD 与MCD △都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，2AB =，证明：直线//AB 平面MCD ；【答案】见解析【解析】证明：取CD 中点O ，连接MO ， MCD 是正三角形，MO CD ∴⊥∵平面MCD ⊥平面BCD ，MO ∴⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，∴//MO AB ，又MO ⊂面MCD ，AB ⊄面MCD ，//AB ∴面MCD .2如图，菱形ABCD 与正三角形BCE 的边长均为2，且平面ABCD ⊥平面BCE ，FD ⊥平面ABCD ，FD =//EF 平面ABCD证明：如图，过点E 作EH BC ⊥于H ，连接HD ，∴EH =D∵平面ABCD ⊥平面BCE ，EH ⊂平面BCE ，平面ABCD ⋂平面BCE BC =，∴EH ⊥平面ABCD ，又∵FD ⊥平面ABCD ，FD =∴//FD EH ，FD EH =.∴四边形EHDF 为平行四边形．∴//EF HD .∵EF ⊄平面ABCD ，HD ⊂平面ABCD ，∴//EF 平面ABCD ．考法五 三角形相似比证线线平行1．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA =//AB CD ，1AD DC ==，2AB =，E 为侧棱P A 上一点，若13PE PA =，求证：//PC 平面EBD【答案】证明见解析【解析】设AC BD G ⋂=，连结EG ，由已知//AB CD ，1DC =，2AB =，得2AG AB GC DC ==. 由13PE PA =，得2AE EP =. 在PAC ∆中，由AE AG EP GC =，得//EG PC . 因为EG ⊂平面EBD ，PC ⊄平面EBD ，所以//PC 平面EBD.2．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是菱形，160BAA ∠=︒，E 是棱1BB 的中点，CA CB =，F 在线段AC 上，且2AF FC .证明：1//CB 面1A EF【答案】详见解析【解析】连接1AB 交1A E 于点G ，连接FG ．因为11AGA B GE ∆∆，所以1112AA AG GB EB ==，又因为2AF FC =，所以1AF AG FC GB =，所以1//FG CB ， 又1CB ⊄面1A EF ，FG ⊂面1A EF ，所以1//CB 面1A EF .考法六线面平行性质证明线线平行1．如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD上一点，且13AEED=，F为PC上一点，当//PA平面EBF时，PFFC=.【答案】1 4【解析】连接AC交BE于点M，连接FM．//PA平面EBF，PA⊂平面PAC，平面PAC平面EBF FM=，//PA FM ∴，∴14 PF AM AEFC MC BC===，2．如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面，交平面BDM于GH，点H在线段BD上.求证：//AP GH.【答案】证明见解析【解析】证明：如图，连接AC，设AC交BD于点O，连接MO．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 的中点又M 是PC 的中点，∴//MO PA .又MO ⊂平面BDM ，PA ⊄平面BDM ，∴//PA 平面BDM又PA ⊂平面PAHG ，平面PAHG ⋂平面BDM GH =，∴//AP GH ．3．如图所示，在多面体111A B D DCBA -中，四边形11AA B B ，11ADD A ，ABCD 均为正方形，E 为11B D 的中点，过1,,A D E 的平面交1CD 于F .证明：1//EF B C .【答案】见解析【解析】证明： 11B C A D =且11A B CD =，∴四边形11A B CD 为平行四边形，11//B C A D ∴，又1B C ⊂/平面1A EFD ，1A D ⊂平面1A EFD1//B C ∴平面1A EFD ，又因为平面1A EFD 平面11B CD EF =，1B C ⊂平面11B CD ，1//EF B C ∴；考法七 面面平行的性质证线面平行1．如图①所示，在直角梯形ABCP 中，AP BC ，12AP AB AB BC AP ⊥==，，D 为AP 的中点，E F G ，，分别为PC PD CB ，，的中点，将PCD 沿CD 折起，得到四棱锥P ABCD -，如图②所示.求证：在四棱锥P ABCD -中，AP ∥平面EFG .【答案】见解析【解析】∵G 为BC 的中点，E 为PC 的中点，∴GE ∥BP∵GE ⊄平面PAB ，BP ⊂平面PAB ，∴GE ∥平面PAB ，由F 为PD 的中点，得EF ∥DC ，∵AB ∥DC ，∴EF ∥AB∵EF ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴EF ∥平面PAB ，∵EF∩GE ＝E∴平面EFG ∥平面PAB ，∵PA ⊂平面PAB ，∴AP ∥平面EFG ．2如图，三棱锥P ABC -中， D 是PA 的中点， E 是CD 的中点，点F 在PB 上且14BF PB =，证明： //EF 平面ABC ；证明：如图，取AD 中点G ，连接GE ，GF ，如图C 则GE//AC ，GF//AB ， 因为GE∩GF=G ，AC∩AB=A ，所以平面GEF//平面ABC ，所以EF//平面ABC考法八：面面平行1．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，点M ，N ，Q 分别在PA ，BD ，PD 上（不与端点重合），且:::PM MA BN ND PQ QD ==.求证：平面//MNQ 平面PBC .【答案】证明见解析【解析】证明 :::,==PM MA BN ND PQ QD .//,//∴MQ AD NQ BPBP ⊂平面,PBC NQ ⊄平面PBC ，//NQ ∴平面PBC .∵底面ABCD 为平行四边形，//,//BC AD MQ BC ∴∴.BC ⊂平面,PBC MQ ⊂/平面PBC ，//MQ ∴平面PBC .又MQ NQ Q =，根据平面与平面平行的判定定理，所以面//MNQ 平面PBC2．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，E F G H ，，，分别是1111AB AC A B A C ，，，的中点，求证：（1）B C H G ，，，四点共面；（2）平面1EFA //平面BCHG ．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】(1)G H ，分别是1111A B A C ，的中点，GH ∴是111A B C △的中位线，则11//GH B C ，又11////B C BC GH BC ∴，，B C H G ∴，，，四点共面． (2)E F ，分别为AB AC ，的中点，//EF BC ∴，EF ⊄平面BCHG BC ⊂，平面BCHG ，EF ∴平面BCHG ，又G E ，分别是11A B AB ，的中点，11A B AB ⊥，1A G EB ∴⊥，∴四边形1A EBG 是平行四边形，1//A E GB ∴，1A E ⊄平面BCHG GB ⊂，平面BCHG ，1//A E ∴平面BCHG ，又1A E EF E ⋂＝，∴平面1EFA //平面BCHG ，考法九：动点问题1．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为边长为2的菱形，点F 为棱PD 的中点，在棱AB 上是否存在一点E ，使得AF ∥面PCE ，并说明理由；【答案】见解析；【解析】在棱AB 上存在点E ，使得AF ∥面PCE ，点E 为棱AB 的中点．理由如下：取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，由题意，FQ ∥DC 且1FQ CD 2=，AE ∥CD 且1AE CD 2=，故AE ∥FQ 且AE ＝FQ ．所以，四边形AEQF 为平行四边形．所以，AF ∥EQ ，又EQ ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ，所以，AF ∥平面PEC ．2．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，点,E F 分别是棱11,CC BB 上的点，点M 是线段AC 上的动点，22EC FB ==.若MB 平面AEF ，试判断点M 的位置.【答案】M 是AC 的中点【解析】由题意知//MB 平面AEF ，过,,F B M 作平面FBMN 交AE 于N ，连接,MN NF .因为//BF 平面11,AAC C BF ⊂平面FBMN ，平面FBMN ⋂平面11AAC C MN =，所以BF MN .因为//MB 平面,AEF MB ⊂平面FBMN ，平面FBMN ⋂平面AEF FN =，所以//MB FN ，所以四边形BFNM 是平行四边形，所以1MN BF ==.而//,22EC FB EC FB ==， 所以1//,12MN EC MN EC ==， 故MN 是ACE 的中位线.MB平面AEF.所以M是AC的中点时，//。
空间直线、平面的平行 高中数学例题课后习题详解
8.5空间直线、平面的平行8.5.1直线与直线平行例1如图8.5-3，空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点.求证：四边形EFGH 是平行四边形.分析：要证明四边形EFGH 是平行四边形，只需证明它的一组对边平行且相等.而EH ，FG 分别是ABD △和CBD 的中位线，从而它们都与BD 平行且等于BD 的一半.应用基本事实4，即可证明EH FG .证明：连接BD .∵EH 是ABD △的中位线，∴//EH BD ，且12EH BD =.同理//FG BD ，且12FG BD =.∴EH FG ∴四边形EFGH 为平行四边形.练习1.如图，把一张矩形纸片对折几次，然后打开，得到的折痕互相平行吗？为什么？【答案】互相平行，理由见解析【解析】【分析】根据对折可知：每对折一次，把矩形纸片分成的部分翻倍，形状还是全等的矩形，即可得到结论.【详解】互相平行，因为根据对折可知：每对折一次，把矩形纸片分成的部分翻倍，形状还是全等的矩形，所有的折痕都与矩形的边平行，故打开后所有折痕是互相平行.【点睛】本题考查了图形的变化，解题的关键是：根据对折把矩形纸片分成的部分翻倍，形状还是矩形，属于基础题.2.如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中，与棱AA '平行的棱共有几条？分别是什么？【答案】共3条，分别是,,BB CC DD '''.【解析】【分析】根据图形，AA '是长方体的高的棱，找出其它的表示高的棱即可.【详解】如图，与棱AA '平行的棱有,,BB CC DD '''，共3条.【点睛】本题考查了对长方体的认识，明确表示长的棱，表示宽的棱，表示高的棱是解题的关键，属于基础题.3.如图，,,AA BB CC '''不共面，且//AA BB ''，//BB CC ''，求证：'ABC A B C ''≅ .【答案】证明见解析【解析】【分析】由已知条件推导出四边形ABB A ''是平行四边形，四边形ACC A ''为平行四边形，由此能证明ABC A B C '''∆≅∆.【详解】//AA '' ，∴四边形ABB A ''是平行四边形，AB A B ''∴=.同理'BC B C '=.'//,//AA BB BB CC ''' .//AA CC ''∴.,AA BB BB CC ''''== .AA CC ''∴=.∴四边形ACC A ''是平行四边形，AC A C ''∴=，ABC A B C '''∴∆≅∆.【点睛】本题考查三角形全等的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于基础题.4.如图，在四面体A BCD -中，E F G ，，分别为AB AC AD ，，上的点.若//EF BC ，//FG CD ，则EFG 和BCD △有什么关系？为什么？【答案】EFG BCD ∽，证明见解析【解析】【分析】利用线线平行，再利用等角定理即可得到EFG BCD ∆∆∽.【详解】EFG BCD ∽，证明如下：//EF BC ，AE AF EF AB AC BC∴==.//FG CD ，AF AG FG AC AD CD ∴==，AE AG AB AD∴=，//EG BD ∴.由等角定理可得,,EFG BCD FGE CDB GEF DBC ∠=∠∠=∠∠=∠，EFG BCD ∴ ∽.【点睛】本题考查线线平行，平行线分线段成比例，属于基础题.8.5.2直线与平面平行例2求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面.已知：如图8.5-7，空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点.求证：//EF 平面BCD .证明：连接BD .∵AE EB =，AFFD =，∴//EF BD .又EF ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，∴//EF 平面BCD .例3如图8.5-10（1）所示的一块木料中，棱BC 平行于面A C ''.（1）要经过面A C ''内的一点P 和棱BC 将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？（2）所画的线与平面AC 是什么位置关系？分析：要经过面A C ''内的一点P 和棱BC 将木料锯开，实际上是经过BC 及BC 外一点P 作截面，也就需要找出所作的截面与相关平面的交线.我们可以依据直线与平面平行的性质定理、基本事实4和推论1画出所需要的线段.解：（1）如图8.5-10（2），在平面A C ''内，过点P 作直线EF ，使//EF B C ''，并分别交棱A B ''，DC '于点E ，F ，连接BE ，CF ，则EF ，BE ，CF 就是应画的线.（2）因为棱BC 平行于平面A C ''，平面BC '与平面A C ''相交于B C ''，所以//BC B C '''.由（1）知，//EF B C ''，所以//EF BC .而BC 在平面AC 内，EF 在平面AC 外，所以//EF 平面AC .显然，BE ，CF 都与平面AC 相交.练习5.如图，在长方体ABCD A B C D ''''-的六个面所在的平面中，（1）与AB 平行的平面是______；（2）与AA '平行的平面是______；（3）与AD 平行的平面是______.【答案】①.平面A B C D ''''，平面DCC D ''②.平面BCC B ''，平面DCC D ''③.平面A B C D ''''，平面BCC B ''【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理填写出正确结论.（2）根据线面平行的判定定理填写出正确结论.（3）根据线面平行的判定定理填写出正确结论.【详解】（1）由于''//AB A B ，AB ⊂/平面''''A B C D ，''A B ⊂平面''''A B C D ，所以//AB 平面''''A B C D .同理证得//AB 平面''DCC D .（2）由于''//AA BB ，'AA ⊂平面''BCC B ，'BB ⊂平面''BCC B ，所以'//AA 平面''BCC B .同理证得'//AA 平面''DCC D .（3）由于''//AD A D ，AD ⊂平面''''A B C D ，''A D ⊂平面''''A B C D ，所以//AD 平面''''A B C D .同理证得//AD 平面''BCC B .故答案为：(1).平面A B C D ''''，平面DCC D ''；(2).平面BCC B ''，平面DCC D ''；(3).平面A B C D ''''，平面BCC B ''.【点睛】本小题主要考查线面平行的判定定理，属于基础题.6.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点，判断1BD 与平面AEC 的位置关系，并说明理由.【答案】1//BD 平面AEC .见解析【解析】【分析】通过三角形的中位线以及线面平行的判定定理，证得1//BD 平面AEC .【详解】1//BD 平面AEC 理由如下：如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，连接BD 交AC 于点F ，则F 为BD 中点.连接EF ，又∵E 为1DD 的中点，∴EF 是1B D D ∆的中位线，1//EF BD ∴.1BD ⊄ 平面AEC ，EF ⊂平面AEC ，1//BD ∴平面AEC .【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.7.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.（1）如果直线//a b ，那么a 平行于经过b 的任何平面.（）（2）如果直线a 与平面α满足//a α，那么a 与α内的任何直线平行.（）（3）如果直线a b ，和平面α满足//a α，//b α，那么//a b .（）（4）如果直线a b ，和平面α满足//a b ，//a α，b α⊄，那么//b α.（）【答案】①.×②.×③.×④.√【解析】【分析】（1）根据“a 在以,a b 确定的平面内”，由此判断（1）错误.（2）根据a 与α内直线可能异面，判断（2）错误.（3）根据,a b 可能平行、相交或异面，判断（3）错误.（4）根据线面平行的性质定理和判定定理，以及平行公理，证得//b α，由此判断（4）正确.【详解】（1）α不平行于同时过a b ，这两条直线的平面.（2）a 与α内的直线有平行和异面两种位置关系.（3）a 与b 可能出现三种位置关系：平行、相交、异面.（4）已知//a α，//a b ，b α⊄，过a 作平面β交α于直线c ，则//a c ，所以//b c ，所以//b a .故答案为：（1）×（2）×（3）×（4）√【点睛】本小题主要考查线线、线面平行的有关命题真假性的判断，属于基础题.8.如图，a αβ⋂=，b α⊂，c β⊂，//b c ，求证////a b c .【答案】见解析【解析】【分析】首先根据线面平行的判定定理，证得b β//；再根据线面平行的性质定理证得//b a ，由平行公理证得//a c ，从而证得////a b c .【详解】,b a ααβ⊂⋂= ，b β∴⊄.//,,//b c c b ββ⊂∴ ，,b a ααβ⊂⋂=，//,//b a a c ∴∴，////a b c ∴.【点睛】本小题主要考查线面平行的判定定理和性质定理，考查平行公理，属于基础题.8.5.3平面与平面平行例4已知正方体1111ABCD A B C D -（图8.5-16），求证：平面11//AB D 平面1BC D .证明：∵1111ABCD A B C D -为正方体，∴1111D C A B ，11AB A B .∴11D C AB .∴四边形11D C BA 为平行四边形.∴11//D A C B .又1D A ⊄平面1BC D ，1C B ⊂平面1BC D ，∴1//D A 平面1BC D .同理11//D B 平面1BC D .又1111D A D B D ⋂=，∴平面11//AB D 平面1BC D .例5求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等.如图8.5-19，//αβ，//AB CD ，且A α∈，C α∈，B β∈，D β∈，求证AB CD =.证明：过平行线AB ，CD 作平面γ，与平面α和β分别相交于AC 和BD .∵//αβ，∴//BD AC .又//AB CD ，∴四边形ABDC 是平行四边形.∴AB CD =.练习9.判断下列命题是否正确.若正确，则说明理由；若错误，则举出反例.（1）已知平面,αβ和直线m n ，，若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β则//αβ.（2）若一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一个平面β，则//αβ.（3）平行于同一条直线的两个平面平行.（4）平行于同一个平面的两个平面平行.（5）一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交.【答案】（1）×（2）√（3）×（4）√（5）√.【解析】【分析】（1）缺少条件：m n P = ；（2）符合判定定理；（3）两个平面也可以相交；（4）（5）均符合.【详解】解：（1）已知平面,αβ和直线m n ，，若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β则//αβ，缺少条件：m n P = ，故错误；（2）若一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一个平面β，则//αβ，符合平面与平面平行的判定定理，故正确；（3）平行于同一条直线的两个平面平行，次两个平面也可以相交，故错误；（4）平行于同一个平面的两个平面平行，正确；（5）一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交；正确.【点睛】本题主要考查直线与平面平行的判定与性质、平面与平面平行的判定与性质，注意灵活运用定理进行判断.10.平面α与平面β平行的充分条件可以是（）A.α内有无穷多条直线都与β平行B.直线//a α，//a β，且直线a 不在α内，也不在β内C.直线a α⊂，直线b β⊂，且//a β，//b αD.α内的任何一条直线都与β平行【答案】D【解析】【分析】利用平面与平面平行的判定定理一一进行判断，可得正确答案.【详解】解：A 选项，α内有无穷多条直线都与β平行，并不能保证平面α内有两条相交直线与平面β平行，这无穷多条直线可以是一组平行线，故A 错误；B 选项,直线//a α，//a β，且直线a 不在α内，也不在β内,直线a 可以是平行平面α与平面β的相交直线，故不能保证平面α与平面β平行，故B 错误；C 选项,直线a α⊂，直线b β⊂，且//a β，//b α,当直线a b ∥，同样不能保证平面α与平面β平行，故C 错误；D 选项,α内的任何一条直线都与β平行,则α内至少有两条相交直线与平面β平行，故平面α与平面β平行;故选:D.【点睛】本题主要考查平面与平面平行的判断，解题时要认真审题，熟练掌握面与平面平行的判定定理，注意空间思维能力的培养.11.如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、E 、F 分别是棱11A B 、11A D 、11B C 、11C D 的中点.求证：平面//AMN 平面EFDB .【答案】证明见解析.【解析】【分析】连接MF ，由线面平行的判定可得//AM 平面EFDB ，同理可得//AN 平面EFDB ，再由面面平行的判定即可得证.【详解】证明：连接MF ，如图，∵M 、F 是11A B 、11C D 的中点，四边形1111D C B A 为正方形，∴11//MF A D 且11MF A D =，又11//A D AD 且11A D AD =，∴//MF AD 且MF AD =，∴四边形AMFD 是平行四边形.∴//AM DF .∵DF ⊂平面EFDB ，AM ⊄平面EFDB ，∴//AM 平面EFDB ，同理//AN 平面EFDB ，又AM ⊂平面ANM ，AN ⊂平面ANM ，AM AN A = ，∴平面//AMN 平面EFDB .12.如图，平面//,,,,//a b c c b αβγαγββ⋂=⋂=⊂.判断c 与a ，c 与α的位置关系，并说明理由.【答案】见解析.【解析】【分析】由题意//,,,,a b c αβγαγββ⋂=⋂=⊂，由平面与平面平行的性质定理可得//a b ，由//c b 可得//c a ，由直线与平面平行的判定定理可得//c α.【详解】解：//,//c a c α.理由如下：∵平面//,,,//a b a b αβγαγβ⋂=⋂=∴.又//,//c b c a ∴.又,,//a c c ααα⊂⊄∴.【点睛】本题主要考查平面与平面平行的性质定理及直线与平面平行的判定定理，需注意定理的灵活运用.习题8.5复习巩固选择题13.若直线a 不平行于平面,则下列结论成立的是A.内的所有直线都与直线a 异面 B.内不存在与a 平行的直线C.内的直线都与a 相交D.直线a 与平面有公共点【答案】D【解析】【详解】试题分析：直线不平行于，包括两种情况：或，当时，内的所有直线都与直线共面，A 错；当时，内必然有直线与直线平行，B 错；从而C 也错；当，直线和平面有无数个公共点，当，直线与平面有唯一公共点，D 正确.考点：直线和平面的位置关系.14.已知直线l 和平面α，若l ∥α，P ∈α，则过点P 且平行于l 的直线（）A.只有一条，不在平面α内B.只有一条，且在平面α内C.有无数条，一定在平面α内D.有无数条，不一定在平面α内【答案】B【解析】【分析】通过假设过点P 且平行于l 的直线有两条m 与n ，由平行公理可得//m n ，这与m n P = 矛盾.【详解】假设过点P 且平行于l 的直线有两条m 与n ，∴//m l 且//n l ，由平行公理得//m n ，这与两条直线m 与n 相交与点P 相矛盾.故选：B .15.已知平面,αβ和直线a ，b ,c ，////,,,a b c a b c αββ⊂⊂⊂，则α与β的位置关系是________.【答案】平行或相交【解析】【分析】可通过对两平面α，β位置关系分类讨论，研究符合题意的位置关系.【详解】若α//β,可以保证存在直线a ,b ,c ,且a //b //c ，a ⊂α，b ，c ⊂β，故平行关系有可能；若α∩β=l ,且a //b //c //l ,此种情况下也能保证存在直线a ,b ,c ,且a //b //c ，a ⊂α，b ，c ⊂β，故两面相交也有可能，由上讨论知，在题设条件下，α与β的关系是平行或相交，故答案为：平行或相交.【点睛】本题主要考查平面与平面的位置关系的判断，考查了分类讨论思想与空间想象能力，属于基础题.16.如图，在长方体木块1111ABCD A B C D -中，面11A C 上有一点P ，怎样过点P 画一条直线与棱CD 平行？【答案】见解析【解析】【分析】根据平行公理，只需在面11A C 内，过点P 作直线11//EF C D 即可.【详解】在面11A C 内，过点P 作直线EF ，使11//EF C D ，分别交棱1111,A D B C 于点E ，F ，因为11//CD C D ，所以//CD EF ，即EF 就是过点P 与棱CD 平行的直线.【点睛】本题主要考查平行公理的应用，考查了空间想象能力，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.17.如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证//''EF A C .【答案】见解析【解析】【分析】根据平行四边形的性质证明//A C AC ''，根据三角形中位线证明//,EF AC 再由平行公理可得结论.【详解】连接AC .∵在长方体ABCD A B C D ''''-中，//AA CC ''.∴四边形ACC A ''为平行四边形.//A C AC ''∴.又∵E ，F 分别是AB ，BC 的中点，//,//EF AC EF A C ''∴∴.【点睛】本题主要考查长方体的性质，考查了平行公理的应用，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.18.如图，在四面体D -ABC 中，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，CD 的中点，求证：(1)//BD 平面EFG ；(2)//AC 平面EFG .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由三角形中位线的性质可得//FG BD ，再由线面平行的判定定理可得结论；（2）由三角形中位线的性质可得//EF AC ，再由线面平行的判定定理可得结论.【详解】（1）F ，G 分别是BC ，CD 的中点，//FG BD ∴.BD ⊄ 平面EFG ，FG ⊂平面EFG ，//BD ∴平面EFG .（2）E .F 分别是AB ，BC 的中点，//EF AC ∴,AC ⊄ 在平面EFG ，EF ⊂平面EFG ，//AC ∴平面EFG .【点睛】证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.19.如图，a ，b 是异面直线，画出平面α，使a α⊂，且//b α，并说明理由.【答案】见解析【解析】【分析】在直线a 上取一点O ,过点O 作'//b b ，则由a 与'b 确定的平面α即为所求，利用线面平行的判定定理可证明结论.【详解】在直线a 上取一点O ,过点O 作'//b b ，则由a 与b '确定的平面α即为所求.理由：如答图，,,//a b b b αα''⊂⊂且b α⊄，所以//b α.【点睛】本题主要考查作图能力，考查了线面平行的判定定理，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.20.如图，,,,//CD EF AB AB αβαγβγα⋂=⋂=⋂=，求证//CD EF .【答案】证明见解析【解析】【分析】直接利用线面平行的性质定理证明//AB CD ，//AB EF ，再利用平行公理可得结论.【详解】证明：,AB AB βγβ⋂=∴⊂ .//,,//AB CD AB CD αβα⋂=∴ .同理//AB EF ，于是//CD EF .【点睛】本题主要考查线面平行的性质定理以及平行公理的应用，意在考查对基本定理掌握的熟练程度，属于中档题.21.如图，直线,,AA BB CC '''相交于点O ，',,AO AOBO B O CO C O ''===，求证：平面ABC //平面A B C '''.【答案】证明见解析【解析】【分析】利用全等三角形的性质以及平行线的判定定理可得//''AC A C ，从而由线面平行的判定定理可得//AC 平面'''A B C ，同理可证AB //平面'''A B C ，进而由面面平行的判定定理可得结论.【详解】AA ' 与'CC 相于点O ,''AOC AOC ∴∠=∠.又'',,AO AO CO C O OAC OAC ''==∴≅ .'''',//CAO C AO AC AC ∴∠=∠∴.又AC ⊄平面'''A B C ，''AC ⊂平面'''A B C .//AC ∴平面'''A B C .同理可证AB //平面'''A B C .又AB Ì平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，AB AC A ⋂=，∴平面//ABC 平面'''A B C .【点睛】本题主要考查线面平行的判断、面面平行的判断，解答过程中一定要注意线面平行的判定定理与面面平行的判定定理的应用条件，本题属于中档题.综合运用22.如图，,'E E 分别为长方体ABCD A B C D ''''-的棱AD ，A D ''的中点，求证BEC B E C '''∠=∠.【答案】证明见解析【解析】【分析】分别利用平行四边形的性质可证明''//,//BE B E CE C E '，结合BEC B E C '''∠=∠方向相同，从而可得结论.【详解】证明：连接'EE ',E E ∵分别是,AD A D ''的中点，''//EE AA ∴.又在长方体''''ABCD A B C D -中，////AA BB CC '''.'//,//EE BB EE CC '''∴.∴四边形BEE B ''与''CEE C 都是平行四边形.'''//,//BE B E CE C E '∴.又因为BEC B E C '''∠=∠方向相同，'BEC B E C ''∴∠=∠.【点睛】本题主要考查长方体的结构特征，考查了等角定理的应用，同时考查了空间想象能力，属于基础题.23.如图//,//,,AB AC BD C D ααα∈∈，求证AC BD =.【答案】证明见解析【解析】【分析】连接CD ，则平面ABDC CD α⋂=，由线面平行的性质定理可得//AB CD ，从而得四边形ABDC 是平行四边形，进而可得结果.【详解】如图，连接CD .//,,,,AC BD A B C D ∴ 共面，C ∴∈面ABDC ，D ∈平面ABDC ，CD ⊂平面ABDC .,,C D CD ααα∈∈∴⊂ ，∴平面ABDC CD α⋂=.//,//AB AB CD α∴ ，∴四边形ABDC 是平行四边形.AC BD∴=【点睛】本题主要考查线面平行的性质定理的应用，属于基础题.应用线面平行的性质定理时，一定要注意线面平行与线线平行的转换.24.如果平面外的两条平行直线中的一条直线平行于这个平面，那么另一条直线也平行于这个平面．【答案】详见解析【解析】【分析】根据题意，利用线面平行的性质，得到线线平行，再利用线面平行的判定，可得线面平行．【详解】过两条平行直线中的一条直线a 作平面β，与平面α交于直线c ．//a α ，//a c ∴．//a b ，//b c ∴．b α⊄ ，c α⊂，//b α∴【点睛】本题考查了线面平行的性质定理和判定定理，解决相关问题时，我们常利用辅助平面把空间问题转化为平面问题．25.一木块如图所示，点P 在平面VAC 内，过点P 将木块锯开，使截面平行于直线VB 和AC ，应该怎样画线？【答案】画线见解析．【解析】【详解】试题分析：利用线面平行的判定定理去确定．试题解析：过平面内一点作直线，交于，交于；过平面内一点作直线，交于，则，所确定的截面为所求．考点：棱锥的结构特征，线面平行的判定和实际应用．26.如图，////αβγ，直线a 与b 分别交,,αβγ于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，求证AB DEBC EF=.【答案】见解析【解析】【分析】连接AF 交β于点M ，连接MB ，CF ，ME ，AD ，由面面平行的性质定理可得BM CF //，所以AB AM BC MF =，同理可得AM DEMF EF=，从而可得结果.【详解】证明：如图，连接AF 交β于点M ，连接MB ，CF ，ME ，AD .因为//,βγβ⋂平面ACF BM =，γI 平面ACF CF =，所以BM CF //，所以AB AMBC MF=.同理//ME AD ,且AM DEMF EF=，所以AB DEBC EF=.【点睛】本题主要考查面面平行的性质定理的应用，考查了空间想象能力，证明过程要注意线面平行的性质定理应用的条件，本题属于中档题.拓广探索27.如图，a b ，是异面直线，,//,,//a a b b αββα⊂⊂，求证：//αβ.【答案】证明见解析【解析】【分析】如图，过直线b 作平面γ，平面γ与α相交于直线c ，c 与a 交于点P .先证明//c β，又//a β且,a c P ⋂=所以//αβ得证.【详解】如图，过直线b 作平面γ，平面γ与α相交于直线c ，c 与a 交于点P .,,//,//c b b b c αγβγα⋂=⋂=∴ .又b ⊂平面,c β⊄平面β，//c β∴.又//a β且,//a c P αβ⋂=∴.【点睛】本题主要考查空间直线平面平行位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.28.如图，透明塑料制成的长方体ABCD﹣A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于水平地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度不同，有下面五个命题：①有水的部分始终呈棱柱形；②没有水的部分始终呈棱柱形；③水面EFGH 所在四边形的面积为定值；④棱A1D1始终与水面所在平面平行；⑤当容器倾斜如图(3)所示时，BE•BF是定值．其中所有正确命题的序号是____．【答案】①②④⑤【解析】【分析】根据题意，结合棱柱的特征进行判断，观察即可得到答案.【详解】根据棱柱的定义知，有两个面是互相平行且是全等的多边形，其余每相邻两个面的交线也互相平行，而这些面都是平行四边形，所以①②正确；因为水面EFGH所在四边形，从图2，图3可以看出，有两条对边边长不变而另外两条对边边长随倾斜度变化而变化，所以水面四边形EFGH的面积是变化的，③不对；因为棱11A D始终与BC平行，BC与水面始终平行，所以④正确；因为水的体积是不变的，高始终是BC也不变，所以底面积也不会变，即BE•BF是定值，所以⑤正确；综上知①②④⑤正确，故填①②④⑤.【点睛】本题主要考查了棱柱，棱柱的几何特征，线面平行，棱柱体积，属于中档题.变式练习题29.如图，E，F分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF为平行四边形．【答案】证明见解析【解析】【分析】结合线线平行以及平行四边形的知识来证得结论成立.【详解】由于,E F 分别是长方体1111ABCD A B C D -的中点，设G 是1DD 的中点，连接1C G ，根据长方体的性质可知1B E DF ==且11////B E C G DF ，所以四边形1B EDF 是平行四边形.30.如图所示，OA ，OB ，OC 为不共面的三条线段，点1A ，1B ，1C 分别是OA ，OB ，OC 上的点，且111OA OB OC OA OB OC==成立.求证：111~A B C ABC .【答案】见解析【解析】【分析】根据111OA OB OC OA OB OC==,可得11A B AB ∥,11A C AC ∥,11B C BC ∥进而通过平行线得两个角111C A B CAB ∠=∠和111A B C ABC ∠=∠对应相等,即可证明111~A B C ABC ∆∆.【详解】证明；在OAB 中,因为111OA OB OA OB =,所以11A B AB ∥.同理可证11A C AC ∥,11B C BC ∥.所以111C A B CAB ∠=∠,111A B C ABC ∠=∠.所以111~A B C ABC ∆∆.【点睛】本题考查了通过线段成比例,证明线线平行,根据空间中角的两边分别平行判断两个角的关系,属于基础题.31.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是BC ，CC 1，BB 1的中点，求证：EF ∥平面AD 1G.【答案】证明见解析.【解析】【分析】连接BC 1，由四边形ABC 1D 1是平行四边形，可得BC 1∥AD 1，进而EF ∥BC 1，利用线面平行的判定定理证得命题成立.【详解】连接BC 1，则由E ，F 分别是BC ，CC 1的中点，知EF ∥BC 1.又AB //A 1B 1//D 1C 1，所以四边形ABC 1D 1是平行四边形，所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1.又EF⊄平面AD1G，AD1⊂平面AD1G，所以EF∥平面AD1G.【点睛】本题考查线面平行的判定定理,考查学生的直观想象能力与逻辑思维能力,属于基础题.32.如图所示，ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，AP GH.在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：//【答案】见解析【解析】【分析】连接AC交BD与O，可证PA//平面BDM，再利用线面平行的性质定理即可GH AP.证得//【详解】证明：如图，连接AC交BD于点O，连接MO.在△APC 中，MO 是△APC 的中位线，∴MO ∥PA又 PA ⊄平面MBD ，MO ⊂平面MBD，∴PA//平面MBD又 平面GAP∩平面BDM ＝GH ，PA ⊂平面GAP∴PA//GH33.如图所示，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1.(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C .(2)若E ，F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD .【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【详解】试题分析：（1）由11//BB DD ，得11//B D BD ，进而证得平面1//A BD 平面1B CD .（2）由1//AE B G ，得1//B E AG ，再由//AG DF ，则1//B E DF ，进而证得//DF 平EB D，即可得到结论.面11试题解析：BB//DD，所以四边形BB1D1D是平行四边形，(1)因为11所以B1D1∥BD，又BD⊄平面B1D1C，B1D1⊂平面B1D1C，所以BD∥平面B1D1C.同理A1D∥平面B1D1C，又A1D∩BD＝D，所以平面A1BD∥平面B1D1C.(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1，取BB1的中点G，连接AG，GF，易得AE∥B1G，又因为AE＝B1G，所以四边形AEB1G是平行四边形，所以B1E∥AG.易得GF∥AD.又因为GF＝AD，所以四边形ADFG是平行四边形，所以AG∥DF，所以B1E∥DF，DF⊄平面EB1D1，B1E⊂平面EB1D1，所以DF∥平面EB1D1.又因为BD∩DF＝D，所以平面EB1D1∥平面FBD.点睛：本题主要考查了平面与平面平行的判定与证明问题，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定定理，平面与平面平行的判定定理的综合应用，此类问题的解答中要证“面面平行”只要证明“线面平行”，只要证“线线平行”，把问题最终转化为线与线的平行问题，着重考查了学生的转化思想的应用.34.如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面α，β分别交于点B，A和D，MN平面αC，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：//【答案】证明见解析【解析】【分析】过点A 作//AE CD 交α于点E ，取AE 的中点P ，连接MP ，PN ，BE ，ED ，BD ，AC ，根据面面平行的性质得到//PN α，MP//α，即可得到平面//MPN α，再利用面面平行的性质即可得到//MN 平面α。
原创1：1.2.2 空间中的平行关系（三）（讲授式）
C'
观察：观察右边的长方体，平面B′D′与平面BD
平行，平面ABCD内的直线BD与平面B′D′内的直线
有哪些位置关系呢？它们满足什么条件时平行？
D'
A'
B'
C
B
D
A
观察猜想：平面B′D′与平面BD内的直线只有两种位置关系：平行或异面.
平面B′D′∩平面CD′ = C′D′ ，平面BD∩平面CD′=CD，由长方体的性质可知，
平面相交.
④夹在两个平行平面间的所有平行线段相等.
第
一
章
立
体
几
何
初
步
例2 如图,在长方体 − ′′′′中,
求证:平面′//平面’’.
分析：只要证明一个平面内有两条相交直线
和另一个平面平行即可．
− ′ ′ ′ ′ 是正方体，
证明： ∵
∴AB//DC//D’C’且AB=DC=D’C’.
⟹ 是平行四边形.
⟹ BC′//AD′.
线平行的转化策略.
课堂练习
一．判断下列命题的真假；
1．如果两个平面不相交，那么它们就没有共公点；
2．如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
3．如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
4．已知两个平行平面中的一个平面内有一条直线，
则在另一个平面内有且只有一条直线与已知直线平行；
面面平行⇌线线平行
典例精讲
平面与平面平行判定定理的应用
例5 已知三个平行平面α、β、γ与两条异面直线l,m分别交于
A、B、C 和D、E、F.求证：
高中数学《空间的平行关系》复习和习题课件PPT
巩固练习
过关练习
ห้องสมุดไป่ตู้固练习
过关练习
同学们！再见！
课后一定要多练习哦！
(2)直线与平面平行的判定定理：平面α外的一条直线l与平面α内的一条直线m
平行，则直线l与平面α平行.(线线平行 线面平行)
(3)直线与平面平行的性质定理：已知直线l与平面α平行，且经过直线l的平面β
与平面α相交于直线m，则直线l与直线m平行.(线面平行 线线平行)
知识清单
知识点四 平面与平面的平行
典例精析
例
变式训练
变式训练3
下列说法正确的是（）. A．经过平面外一点有且仅有一条直线平行于这个平面 B．经过平面外一点有且仅有一条直线垂直于这个平面 C．经过直线外一点有且仅有一个平面平行于这条直线 D．经过直线外一点有且仅有一条直线垂直于这条直线
巩固练习
过关练习
巩固练习
过关练习
巩固练习
知识清单
知识点二 直线与平面的位置关系
直线与平面的三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平 行.
(1)直线在平面内：直线上的所有点都在平面内. (2)直线与平面相交：直线与平面只有唯一一个公共点. (3)直线与平面平行：直线与平面没有公共点.
知识清单
知识点三 直线与平面的平行
(1)直线与平面平行的定义：若直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平 行.
线都与另一个平面平行.(面面平行 线面平行)
典例精析
例
变式训练
变式训练1
如图92所示，AB、CD是夹在两个平行平面α、β之间的 线段，M、N分别为AB、CD的中点. 求证：MN∥平面α．
典例精析
例
变式训练
2023年高考数学考点复习——空间几何中的平行证明(解析版)
2023年高考数学考点复习——空间几何中的平行证明考点一、线线平行例1、如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别为DC ，AC 的中点，过EF 的平面与BD ，AB 分别交于点G ，H .求证：//EF GH证明：因为E ，F 分别为DC ，AC 的中点，所以//AD EF ，因为AD ⊄平面EFHG ，EF ⊂平面EFHG所以//AD 平面EFHG又平面EFHG ⋂平面ABD HG =，AD ⊂平面ABD所以//AD GH ，所以//EF GH .例2、如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，SAB ∆为等边三角形，G 是线段SB 上的一点，且SD //平面GAC .求证：G 为SB 的中点证明：证明：如图，连接BD 交AC 于点E ，则E 为BD 的中点，连接GE ，∵//SD 平面GAC ，平面SDB 平面=GAC GE ，SD ⊂平面SBD ，∵//SD GE ，而E 为BD 的中点，∵G 为SB 的中点.例3、在正四棱锥P ABCD -中，,E F 分别是,AB AD 的中点，过直线EF 的平面α分别与侧棱,PB PD 交于点,M N ，求证：//MN BD证明：证明：在ABD △中，因为E ，F 分别是,AB AD 的中点，所以EF BD ∕∕且12EF BD =， 又因为EF ⊄平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，所以//EF 平面PBD因为EF ⊂平面,αα⋂平面PBD MN =，所以//EF MN ，所以//MN BD ．跟踪练习 1、如图，四边形ABCD 和三角形ADE 所在平面互相垂直，//AB CD ，AB BC ⊥，60DAB ∠=︒，4AB AD ==，AE DE ⊥，AE DE =，平面ABE 与平面CDE 交于EF ，求证：//CD EF证明：证明：因为//AB CD ，AB平面ABE ，CD ⊄平面ABE ，所以//CD 平面ABE ， 因为平面ABE 平面CDE EF =，CD ⊂平面CDE ，所以//CD EF .2、在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形E ，F 分别为BC ，AD 的中点，过EF 的平面与平面PCD 交于M ，N 两点，求证：//AB MN答案：证明见解析证明：∵底面ABCD 为平行四边形，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，∵EF //CD ，∵EF //AB .EF ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以//EF 平面PCD ，过EF 的平面与平面PCD 交于M ，N 两点，∵MN //EF ，∵AB //MN .3、如图，三棱锥P ABC -中，∵ABC 为正三角形，点1A 在棱PA 上，1B 、1C 分别是棱PB 、PC 的中点，直线11A B 与直线AB 交于点D ，直线11A C 与直线AC 交于点E ，求证：//DE BC证明：∵1B 、1C 分别是棱PB 、PC 的中点，∵11//B C BC ，∵11B C ⊄平面BCDE ，BC ⊂平面BCDE ，∵11//B C 平面BCDE ，∵11B C ⊂平面11B C DE ，平面BCDE ⋂平面11B C DE DE =，∵11//B C DE ，则//DE BC ；4、如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为8的正方形，点G.E.F .H 分别是棱PB ．AB ．DC ．PC 上共面的四点，//BC 平面GEFH.证明：//GH EF证明：∵//BC 平面GEFH ，又∵BC ⊂平面PBC 且平面PBC平面GEFH GH =，∵//BC GH .又∵//BC 平面GEFH ，又∵BC ⊂平面ABCD 且平面ABCD平面GEFH EF =，∵//BC EF ，∵//EF GH .5、如图，AE ⊥平面ABCD ，//BF 平面ADE ，//CF AE ，求证：//AD BC证明：依题意//CF AE ，CF ⊄平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，∵//CF 平面ADE ，又//BF 平面ADE ，BF CF F ⋂=，∵平面//BCF 平面ADE ，∵平面BCF ⋂平面ABCD AD =，平面ADE平面ABCD BC =，∵//AD BC ；考点二、 线面平行例1、如图，正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中D 是AC 的中点，求证：B 1C ∵平面A 1BD证明：设AB 1与A 1B 相交于点P ，连接PD ，则P 为AB 1中点，∵D 为AC 中点，∵PD ∵B 1C ，又∵PD ∵平面A 1BD ，B 1C ⊄平面A 1BD ，∵B 1C ∵平面A 1BD例2、如图，在四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，M 为CD 中点，连接,BM CE 交于点,F G 为ABE △的重心，证明：//GF 平面ABC证明：延长EG 交AB 于N ，连接CN ，因为G 为ABE △的重心，则N 为AB 的中点，且2EG GN =， 因为//CM BE ，所以2EF BE FC CM ==，所以2EF EG FC GN==，因此//GF NC ， 又因为GF ⊄平面ABC ，NC ⊂平面ABC ，所以//GF 平面ABC ；例3、如图，四棱锥C ABED -中，四边形ABED 是正方形，若G ，F 分别是线段EC ，BD 的中点.（1）求证：//GF 平面ABC .证明：由四边形ABED 为正方形可知，连接AE 必与BD 相交于中点F ，又G 是线段EC 的中点，故//GF AC ，GF ⊄面ABC ，AC ⊂面ABC ，//GF ∴面ABC ；跟踪练习1、如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点，证明：1//AB 平面1BC D证明：直三棱柱111ABC A B C -中，设1B C 与1BC 交于点E ，连接DE ，四边形11BCC B 是矩形，则E 为1B C 的中点，因D 是AC 的中点，所以1//DE AB ，又1AB ⊄平面1BC D ，DE ⊂平面1BC D ，所以1//AB 平面1BC D . 2、《九章算术》是我国古代的数学著作，是“算经十书”中最重要的一部，它对几何学的研究比西方要早1000多年.在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.如图，在堑堵111ABC A B C -中，，11AA AB AC ===，M ，N 分别是1CC ，BC 的中点，点P 在线段11A B 上，若P 为11A B 的中点，求证：//PN 平面11AAC C证明：证明：取11A C 的中点H ，连接PH ，HC .在堑堵111ABC A B C -中，四边形11BCC B 为平行四边形，所以11//B C BC 且11B C BC =.在111A B C △中，P ，H 分别为11A B ，11A C 的中点，所以11//PH B C 且1112PH B C =.因为N 为BC 的中点，所以12NC BC =， 从而NC PH =且//NC PH ， 所以四边形PHCN 为平行四边形，于是//PN CH .因为CH ⊂平面11AC CA ，PN ⊄平面11AC CA ，所以//PN 平面11AACC .3、如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，12AA =，1AB =，E ，M ，N 分别是BC ，1BB ，1A D 的中点，证明：//MN 平面ABCD证明：连接1,ME B C ，,E M 分别为1,BC BB 中点，11//2ME B C ∴； 由直四棱柱特点知：11//A D B C ，11//2ME A D ∴，又N 为1A D 中点，//ME ND ∴， ∴四边形MNDE 为平行四边形，//MN DE ∴，又DE ⊂平面ABCD ，MN ⊄平面ABCD ，//MN ∴平面ABCD ；4、如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为2的菱形，M 是AB 的中点，N 是PD 的中点，PA AB =，求证：//MN 平面PBC证明：如图∵，取PC 的中点Q ，连接BQ ，NQ ，因为N 是PD 的中点，所以//NQ CD 且12NQ CD =.因为四边形ABCD 是菱形，M 是AB 的中点，所以//BM CD 且12BM CD =， 从而//BM NQ 且BM NQ =，所以四边形BMNQ 是平行四边形，从而//MN BQ .又MN ⊄平面PBC ，BQ ⊂平面PBC ，所以//MN 平面PBC . 5、如图，已知四边形ABCD 和BCEG 均为直角梯形，//AD BC ，//CE BG ，且2BCD BCE π∠=∠=，222BC CD CE AD BG =====，）求证：//AG 平面BDE答案：证明见解析证明：证明：过G 作GN CE ⊥于N ，交BE 于M ，连接DM ，如图所示：因为BC CE ⊥，且2CE BG =，所以N 为CE 中点，所以MG MN =，MNBC DA ，12MN AD BC ==， 所以MG AD ，MG AD =，所以四边形ADMG 为平行四边形，所以AG DM ，又DM ⊂平面BDE ，AG ⊄平面BDE ，所以AG 平面BDE .6、在四棱锥P —ABCD 中，AB //CD ，过CD 的平面分别交线段P A ，PB 于M ，N ，E 在线段DP 上(M ，N ，E 不同于端点)求证：CD //平面MNE证明：证明：∵//AB CD ，AB ⊂平面ABP ，CD ⊄平面ABP ∵//CD 平面ABP又∵CD ⊂平面CDMN ，平面CDMN 平面ABP MN =∵//CD MN又∵MN ⊂平面MNE ，CD ⊄平面MNE ∵//CD 平面MNE7、如图，在多面体ABCDEF 中，矩形BDEF 所在平面与正方形ABCD 所在平面垂直，1AB =，点M 为AE 的中点，求证：//BM 平面EFC证明：连接AC 交BD 于点N .连接MN .因为四边形ABCD 是正方形，所以N 为AC 的中点，由于M 为AE 的中点，所以//MN CE ， 又因为MN ⊄平面CEF ，CE ⊂平面CEF ，所以//MN 平面CEF ，易知//BN EF ，BN ⊄平面CEF ，EF ⊂平面CEF ，所以//BN 平面CEF ，因为MN BN N ⋂=，BN ⊂平面BMN ，MN ⊂平面BMN ，所以平面//BMN 平面CEF .又因为BM ⊂平面BMN ，所以//BM平面EFC ；8、在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，22AB CD ==，若Q 为AB 的中点，求证：//DQ 平面PBC证明：∵在梯形ABCD 中，//AB CD ，22AB CD ==，Q 为AB 的中点，所以//BQ CD 且BQ CD =，∵四边形BCDQ 为平行四边形，所以//DQ BC ，∵BC ⊂平面PBC ，DQ ⊄平面PBC ，所以//DQ 平面PBC ．9、如图所示，四面体P ABC 中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，过EF 作四面体的截面EFGH 交PC 于点G ，交PB 于点H ，证明：GH /平面ABC证明：∵E ，F 分别为AB ，AC 的中点,∵EF ∵BC ,又∵EF ∵平面PBC ,BC ∵平面PBC ,∵EF ∵平面PBC ,∵EF ∵平面EFGH ,平面EFGH ∩平面PBC =GH ,∵EF ∵GH ,又∵GH ∵平面ABC ,EF ∵平面ABC ,∵GH ∵平面ABC ;10、如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，D 为AC 的中点，求证：1//AB 平面1BC D证明：证明：如图，连接1B C 交1BC 于O ，连接OD ，∵四边形11BCC B 是平行四边形．∵点O 为1B C 的中点．∵D 为AC 的中点，∵OD 为1AB C 的中位线，∵1//OD AB ．∵OD ⊂平面1BC D ，1AB ⊄平面1BC D ，∵1//AB 平面1BC D ．11、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PAB △为正三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD ，M 为PD 的中点，求证：//PB 平面ACM答案：证明见解析证明：证明：连接BD ，与AC 交于O ，在PBD △中，,O M 分别为,BD PD 的中点，//BP OM ∴,BP ⊄平面,ADE OM ⊂平面CAM ，//BP ∴平面CAM ；12、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是菱形，E 是棱1BB 的中点，CA CB =，F 在线段AC 上，且2AF FC =，证明：1//CB 平面1A EF答案：证明见解析证明：连接1AB 交1A E 于点G ，连接FG ，因为四边形11ABB A 为菱形，则11//AA BB 且11AA BB =， E 为1BB 的中点，则11//B E AA 且1112B E AA =，故11112B G B E AG AA ==， 所以，1B G CF AG AF=，1//CB FG ∴， 1CB ⊄平面1A EF ，FG ⊂平面1A EF ，因此，1//CB 平面1A EF ；考点三、 面面平行例1、如图所示，四棱柱1111ABCD A B C D -的侧棱与底面垂直，12,,AC AA AD DC AC BD ====交于点E ，且,E F 分别为1,AC CC的中点，2BE =，求证：平面11//B CD 平面1A BD证明：如图，连接1AD ，设11AD A D H ⋂=，则H 为1AD 的中点，而E 为AC 的中点，连接EH ，则EH为1ACD △的中位线，所以1//EH CD ，又EH ⊄平面11B CD ，1CD ⊂平面11B CD ，所以//EH 平面11B CD ，又因为侧棱与底面垂直，所以1111//,=BB DD BB DD ，所以四边形11BB D D 为平行四边形，所以11//B D BD ，BD ⊄平面11B CD ，11B D ⊂平面11B CD ，所以//BD 平面11B CD ，又BD EH E ⋂=，,BD EH ⊂平面1A BD ，所以平面11//B CD 平面1A BD .例2、如图，在三棱锥P ABC -中，PAB △是正三角形，G 是PAB △的重心，D ，E ，H 分别是PA ，BC ，PC 的中点，点F 在BC 上，且3BF FC =，求证：平面//DFH 平面PGE证明：连结BG ，因为PAB △是正三角形，G 是PAB △的重心，D 为PA 的中点，所以BG 与GD 共线，且2BG GD =，因为E 为BC 的中点，3BF FC =，所以F 是CE 的中点， 所以2BG BE CD EF==，所以//GE DF ， 又GE平面PGE ，DF ⊄平面PGE ，所以//DF 平面PGE ， 因为H 是PC 的中点，所以FH //PE ，因为FH ⊄平面PGE ，PE ⊂平面PGE ，所以//FH 平面PGE ，因为FH DF F ⋂=，,FH DF ⊂平面DFH ，所以平面//DFH 平面PGE ；例3、如图，在多面体ABCDEF 中，ABCD 是正方形，2//AB DE BF BF DE ==，，，M 为棱AE 的中点，求证：平面//BMD 平面EFC证明：如图，连接AC ，交BD 于点N ，∵N 为AC 的中点，连接MN ，由M 为棱AE 的中点，则//MN EC ．∵MN ⊄面EFC ，EC ⊂面EFC ，∵//MN 平面EFC ．∵//BF DE BF DE =，，∵四边形BDEF 为平行四边形，∵//BD EF ．又BD ⊄平面EFC ，EF ⊂平面EFC ，∵//BD 平面EFC ，又MNBD N =， ∵平面//BMD 平面EFC ．跟踪练习1、如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，2AB BE EC ===，G ，F ，M 分别是线段BE ，DC ，AB 的中点，求证：平面//GMF 平面ADE证明：如图，因为AB中点为M，连接MG，∥，又G是BE的中点，可知GM AE又AE⊆平面ADE，GM⊄平面ADE，所以GM平面ADE．在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点得MF AD．又AD⊆平面ADE，MF⊄平面ADE，所以MF平面ADE．⋂=，GM⊆平面GMF，MF⊆平面GMF，又因为GM MF M所以平面GMF平面ADE2、如图，四边形ABCD是边长为BB1＝DD1＝2，E，F分别是AD1，AB1的中点，证明：平面BDEF∵平面CB1D1证明：证明：连接AC ，交BD 于点O ，连接OE ，则O 为AC 的中点，∵E 是1AD 的中点，1//OE CD ∴OE ⊂平面BDEF ,1CD ⊄平面BDEF ,所以1//CD 平面BDEF又F 是1AB 的中点11//EF B D ∴EF ⊂平面BDEF ,11B D ⊄平面BDEF ,所以11//B D 平面BDEF又111,CD B D ⊂平面11CB D ,1111B D CD D ⋂=, 所以平面//BDEF 平面11CB D ．3、如图，已知矩形ABCD 所在的平面垂直于直角梯形ABPE 所在的平面，且EP =2BP =，1AD AE ==，AE EP ⊥，//AE BP ，F ，G 分别是BC ，BP 的中点，求证：平面//AFG 平面PEC证明：∵F ，G 分别是BC ，BP 的中点，∵FG CP ，且FG ⊄平面CPE ，则FG ∥平面CPE ，1BG PG AE ===，且//AE BP ，AE EP ⊥∵四边形AEPG 是矩形，则EP AG ∥，且AG ⊄平面CPE ，则AG平面CPE又GA GF G ⋂=，故平面//AFG 平面PEC4、如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD //BC ，P ，Q 是AB ，CD 的中，点M ，N 分别是SB ，CB 的中点，求证∵平面AMN //平面SCD答案：证明见解析证明：因为M 、N 分别是SB ，CB 的中点，所以//MN SC ，MN ⊄面SCD ，SC ⊂面SCD ，所以//MN 面SCD ，又//AD CN 且AD CN =，所以ADCN 为平行四边形，所以//AN DC ，AN ⊄面SCD ，DC ⊂面SCD ，所以//AN 面SCD ，又AN MN N =，,AN MN ⊂面AMN ，所以面//AMN 面SCD ；5、如图，在三棱锥P ABC -中，PAB △是正三角形，G 是PAB △的重心，,,D E H 分别是,,PA BC PC 的中点，点F 在BC 上，且3BF FC =，求证：平面//DFH 平面PGE证明：证明：连结BG ，由题意可得BG 与GD 共线，且2BG GD =，∵E 是BC 的中点，3BF FC =，∵F 是CE 的中点，∵2BG BE GD EF==，∵//GE DF ，GE 平面PGE ；DF ⊄平面PGE ；∵//DF 平面PGE ， ∵H 是PC 的中点，∵//FH PE ，PE ⊂平面PGE ，FH ⊄平面PGE ；∵//FH 平面PGE ， ∵DF FH F =，DF ⊂平面DEF ，FH ⊂平面DEF ，∵平面//DFH 平面PGE ； 考点四 平行中的动点例1、直三棱柱111ABC A B C -所有棱长都为2，在AB 边上是否存在一点E ，使1//AC 平面1CEB ，若存在给出证明，若不存在，说明理由证明：存在，E 是AB 的中点，直三棱柱111ABC A B C -中，连接1BC 交1B C 于点O ，如图：则O 为1BC 中点，连接OE ，而E 为AB 的中点，则1//OE AC ，又1AC ⊄平面1CEB ，OE ⊂平面1CEB ，所以1//AC 平面1CEB ；例2、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，CA CB ==，1AA =D 是棱11A B 的中点，E 在棱1BB 上，且1AD EC ⊥，在棱BC 上是否存在点F ，满足//EF 平面1ADC ，若存在，求出BF 的值答案：存在，BF =证明：因为1AA ⊥面ABC ，故三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱.故1AA ⊥面111A B C ，而1C D ⊂面111A B C ，故11AA C D ⊥，因为CA CB ==，故1111C A C B ==112B A =，因为D 是棱11A B 的中点，故111C D A B ⊥，因为1111AA A B A =， ∵直线1C D ⊥平面ADE ，而AD ⊂平面ADE ， ∵1C D AD ⊥，又1AD EC ⊥，111C D C E C ⋂=，∵AD ⊥平面1DEC ，而DE ⊂平面1DEC ，∵AD DE ⊥，在矩形11ABB A 中，11ADA DEB ∠=∠，11AA D DB E ∠=∠，故11ADA DEB ∠，故1111AA A D DB EB =11EB =即1=3EB ，故12BE EB =. 过E 作EG DE ⊥，交AB 于G ，取AB 的中点为L ，连接,DL CL ，则1DEB EGB ∠=∠，而190DB E EBG ∠=∠=︒，故1EBG DB E ， 所以11BG EB B E B D =31=，所以23BG =.在矩形11ABB A 中，因为11ADA DEB ∠=∠，故1ADA EGB ∠=∠，而1ADA DAL ∠=∠，所以EGB DAL ∠=∠，所以//AD EG ，而AD ⊂平面1ADC ，EG ⊄平面1ADC ，所以//EG 平面1ADC .在BC 上取点F ，使233BF BC ==，连GF ， 因为1BL =，故23BG BL =，故//GF CL . 在矩形11ABB A 中，因为,D L 为所在棱的中点，故11//,,DL AA DL AA =而1111//,,CC AA CC AA =故11//,CC DL CC DL =，故四边形1C DLC 为平行四边形，故1//DC CL ，故1//GF DC ，而1C D ⊂平面1ADC ，FG ⊄平面1ADC ，所以//FG 平面1ADC .因为GF EG G ⋂=，故平面以//EGF 平面1ADC ，因为EF ⊂平面EGF ，故//EF 平面1ADC .例3、如图，已知AD ⊥平面ABC ，EC ⊥平面ABC ，12AB AC AD BC ===，设P 是直线BE 上的点，当点P 在何位置时，直线//DP 平面ABC ？请说明理由证明：当点P 是BE 的中点时，//DP 平面ABC .理由如下：如下图，取BC 的中点O ，连接AO 、OP 、PD ，则//OP EC 且12OP EC =，因为AD ⊥平面ABC ，EC ⊥平面ABC ，所以//AD EC . 又12AD EC =，所以//OP AD 且OP AD =， 所以四边形AOPD 是平行四边形，所以//DP AO .因为AO ⊂平面ABC ，DP ⊄平面ABC ，所以//DP 平面ABC ；跟踪练习1、在三棱锥S ABC -中，AB ⊥平面SAC ，AS SC ⊥，1AB =，AC =，E 为AB 的中点，M 为CE 的中点，在线段SB 上是否存在一点N ，使//MN 平面SAC ？若存在，指出点N 的位置并给出证明，若不存在，说明理由证明：存在点N 为SB 上的靠近S 的四等分点即14SN SB =，//MN 平面SAC ， 证明如下：取AE 的中点F ，连接FN ，FM ，则//MF AC ，因为AC ⊂平面SAC ，MF ⊄平面SAC ，所以//MF 平面SAC ， 因为1124AF AE AB ==，14SN SB =， 所以FN //SA ，又SA ⊂平面SAC ，FN ⊄平面SAC ，所以//FN 平面SAC ，又MF FN F =，,MF FN ⊂平面MNF ，所以平面//MNF 平面SAC ，又MN ⊂平面MNF ，所以//MN 平面SAC ．2、在如图所示的五面体ABCDEF 中，∵ADF 是正三角形，四边形ABCD 为菱形，23ABC π∠=，EF //平面ABCD ，AB =2EF =2，点M 为BC 中点，在直线CD 上是否存在一点G ，使得平面EMG //平面BDF ，请说明理由证明：连接AC 交BD 于点O ，连接OM ，OF ，取CD 的中点G ，连接GM ，GE因为EF //平面ABCD ，EF ⊂平面ABEF ，平面ABEF ∩平面ABCD =AB ，所以EF //AB因为OM //AB //EF ，12OM AB EF ==，所以四边形OMEF 是平行四边形，所以OF //EM 因为EM ⊄平面BDF ，OF ⊂平面BDF ，所以EM //平面BDF因为点G 与点M 分别为CD 与BC 的中点，所以GM //BD因为GM ⊄平面BDF ，BD ⊂平面BDF ，所以GM //平面BDF而GM ∩EM =M ，平面EMG //平面BDF3、在长方体1111ABCD A B C D -中，已知AB AD =，E 为AD 的中点，）在线段11B C 上是否存在点F ，使得平面1//A AF 平面1ECC ？若存在，请加以证明，若不存在，请说明理由证明：存在，当点F 为线段11B C 的中点时，平面1//A AF 平面1ECC .证明：在长方体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，11//AD B C .又因为1CC ⊂平面1ECC ，1AA ⊄平面1ECC ，所以1//AA 平面1ECC .又E 为AD 的中点，F 为11B C 的中点，所以1//AE FC ，且1AE FC =.故四边形1AEC F 为平行四边形，所以1//AF EC ，又因为1EC ⊂平面1ECC ，AF ⊄平面1ECC ，所以//AF 平面1ECC .又因为1AF AA A =，1AA ⊂平面1A AF ，AF ⊂平面1A AF ，所以平面1//A AF 平面1ECC .4、如图所示，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，平面ACC 1A 1∵平面ABC ，AA 1∵AC ，D ，D 1分别为AC ，A 1C 1的中点且AD =AA 1，在棱AA 1上找一点M ，使得1//D M 平面1DBC ，并说明理由答案：M 与A 重合时，1//D M 面1DBC ，理由见解析证明：当M 与A 重合时，D 1M ∵面DBC 1，理由如下：∵D 1C 1∵AD ，且D 1C 1=AD ，∵四边形D 1C 1DA 为平行四边形，∵D 1A ∵C 1D ，因为C 1D ∵面BDC 1，∵D 1M ∵面DBC 1.5、如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，ABC 是正三角形，E 是棱AB 的中点，如1AE =，在平面PAC 内寻找一点F 使得//BF 平面PEC ，并说明理由答案：答案见解析.证明：延长AC 至点G ，使得AC CG =，延长AP 至点H ，使得AP PH =，连接GH ，在直线GH 上任取一点F ，则点F 满足BF ∥平面PEC .理由如下： E 是线段AB 的中点，C 是线段AG 的中点，CE ∴是ABG 的中位线，∴BG CE ∥，BG ∴∥平面PEC .同理HG平面PEC ， 又BG HG G =，∴平面BHG平面PEC ， BF ⊂平面BHG ，BF ∴∥平面PEC .(注：若此题点F 直接取H 或G ，理由充分，给6分)6、已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的菱形，且BC BD =，1DD ⊥平面ABCD ，11AA =，BE CD ⊥于点E ，试问在线段11A B 上是否存在一点F ，使得//AF 平面1BEC ？若存在，求出点F 的位置；若不存在，请说明理由；证明：当F 为线段11A B 的中点时，//AF 平面1BEC .下面给出证明：取AB 的中点G ，连接EG ，1B G ，则1//FB AG ，且1FB AG =，所以四边形1AGB F 为平行四边形，所以1//AF B G .因为BC BD =，BE CD ⊥，所以E 为CD 的中点，又G 为AB 的中点，//AB CD ，AB CD =，所以//BG CE ，且BG CE =， 所以四边形BCEG 为平行四边形，所以//EG BC ，且EG BC =，又11//BC B C ，11BC B C =， 所以11//EG B C ，且11EG B C =，所以四边形11EGB C 为平行四边形， 所以11//B G C E ，所以1//AF C E ，又AF ⊄平面1BEC ，1C E ⊂平面1BEC ，所以//AF 平面1BEC ，7、在正三棱柱111ABC A B C -中，已知12,3AB AA ==，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，P 为线段1CC 上一点．平面1ABC 与平面ANP 的交线为l ，是否存在点P 使得1//C M 平面ANP ？若存在，请指出点P 的位置并证明；若不存在，请说明理由证明：当2CP =时，1//C P 平面ANP证明如下：连接CM 交AN 于点G ，连接GP ，因为12CG CP GM PC ==，所以1//C M GP 又∵GP ⊂平面ANP ，1C M ⊄平面ANP ∵1C M 平面ANP。
第50讲 空间中的平行关系
第八单元
立体几何
第50讲
空间中ห้องสมุดไป่ตู้平行关系
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
1．了解空间直线与平面平行、平面与平面平行的定 义． 2．掌握判断空间直线与平面平行、平面与平面平行 的方法，能正确判断空间直线与平面平行 、平面与平面 平行． 3．能正确运用“空间直线与平面平行” “平面与平 面平行”进行逻辑推理．
复习目标 课前预习 高频考点 课时小结
解： (1)点 F， G， H 的位置如图所示． (2)平面 BEG∥平面 ACH.证明如下： 因为 ABCDEFGH 为正方体， 所以 BC∥FG，BC＝FG. 又 FG∥EH，FG＝EH，所以 BC∥EH，BC＝EH， 于是四边形 BCHE 为平行四边形，所以 BE∥CH. 又 CH⊂平面 ACH，BE⊄平面 ACH， 所以 BE∥平面 ACH. 同理 BG∥平面 ACH. 又 BE∩BG＝B，所以平面 BEG∥平面 ACH.
答案：C
复习目标 课前预习 高频考点 课时小结
4．下列命题中不正确的是(
)
A. 两个平面平行， 其中一个平面内的直线必平行于另一个 平面 B. 两个平行平面同时和第三个平面相交， 其交线一定平行 C. 一直线与两平行平面中的一个相交， 这条直线必与另一 个相交 D．一直线与两平行平面中的一个平行 ，这条直线必与另 一个平行
答案：D
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
3．下列命题错误的是( 面，则这两个平面平行
)
A ．若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平 B. 垂直于同一直线的两平面平行 C. 平行于同一直线的两平面平行 D. 平行于同一平面的两平面平行
8.4空间中的平行关系
1.平行直线平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.基本性质4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等.2.直线与平面平行判定性质定义定理图形条件a∩α＝∅a⊂α，b⊄α，a∥b a∥αa∥α，a⊂β，α∩β＝b结论a∥αb∥αa∩α＝∅a∥b3.平面与平面平行判定性质定义定理图形条件α∩β＝∅a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b α∥β，a⊂β结论α∥βα∥βa∥b a∥α【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.(×)(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线.(×)(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(×)(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.(√)(5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(×)(6)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.(×)1.一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是()A.l∥αB.l⊥αC.l与α相交但不垂直D.l∥α或l⊂α答案 D解析当距离不为零时，l∥α，当距离为零时，l⊂α.2.设α，β，γ为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题.①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.可以填入的条件有()A.①或②B.②或③C.①或③D.①或②或③答案 C解析由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确.故选C.3.(教材改编)下列命题中正确的是()A.若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B.若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C.平行于同一条直线的两个平面平行D.若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α答案 D解析A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线可能异面；C中，两平面可相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知，b∥α，正确.4.(教材改编)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________.答案平行解析连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，O为BD的中点，所以EO为△BDD1的中位线，则BD 1∥EO ，而BD 1⊄平面ACE ，EO ⊂平面ACE ， 所以BD 1∥平面ACE .5.过三棱柱ABC －A 1B 1C 1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有________条. 答案 6解析 各中点连线如图，只有面EFGH 与面ABB 1A 1平行，在四边形EFGH 中有6条符合题意.题型一 直线与平面平行的判定与性质 命题点1 直线与平面平行的判定例1 如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F ，H 分别为线段AD ，PC ，CD 的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点. (1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：GH ∥平面P AD . 证明 (1)连接EC ， ∵AD ∥BC ，BC ＝12AD ，∴BC 綊AE ，∴四边形ABCE 是平行四边形， ∴O 为AC 的中点.又∵F 是PC 的中点，∴FO ∥AP ， FO ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ， ∴AP ∥平面BEF . (2)连接FH ，OH ，∵F ，H 分别是PC ，CD 的中点， ∴FH ∥PD ，∴FH ∥平面P AD .又∵O 是BE 的中点，H 是CD 的中点， ∴OH ∥AD ，∴OH ∥平面P AD .又FH ∩OH ＝H ，∴平面OHF ∥平面P AD .又∵GH ⊂平面OHF ，∴GH ∥平面P AD . 命题点2 直线与平面平行性质定理的应用例2 (2014·安徽)如图，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH . (1)证明：GH ∥EF ；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积.(1)证明 因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ， 且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ， 所以GH ∥BC .同理可证EF ∥BC ，因此GH ∥EF .(2)解 如图，连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK . 因为P A ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ， 同理可得PO ⊥BD .又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在底面内， 所以PO ⊥底面ABCD .又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ， 且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH . 因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ，所以PO ∥GK ，且GK ⊥底面ABCD ，从而GK ⊥EF . 所以GK 是梯形GEFH 的高.由AB ＝8，EB ＝2得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4， 从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 为OB 的中点.再由PO ∥GK 得GK ＝12PO ，即G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6， 所以GK ＝3.故四边形GEFH 的面积 S ＝GH ＋EF 2·GK ＝4＋82×3＝18.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC＝∠CAD ＝60°，E 为PD 的中点，AB ＝1，求证：CE ∥平面P AB .证明由已知条件有AC＝2AB＝2，AD＝2AC＝4，CD＝2 3.如图所示，延长DC，AB，设其交于点N，连接PN，因为∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，所以C为ND的中点，又因为E为PD的中点，所以EC∥PN，因为EC⊄平面P AB，PN⊂平面P AB，所以CE∥平面P AB.思维升华判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β).题型二平面与平面平行的判定与性质例3如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.证明(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面.(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.引申探究1.在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.证明如图所示，连接HD，A1B，∵D为BC1的中点，H为A1C1的中点，∴HD∥A1B，又HD⊄平面A1B1BA，A1B⊂平面A1B1BA，∴HD∥平面A1B1BA.2.在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明如图所示，连接A1C交AC1于点M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.思维升华证明面面平行的方法：(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.证明(1)如图，连接SB，∵E，G分别是BC，SC的中点，∴EG∥SB.又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1.(2)连接SD，∵F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD.又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1，又EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.题型三平行关系的综合应用例4在正方体ABCD—A1B1C1D1中，如图.(1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD；(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明A1E＝EF＝FC.(1)证明因为在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AD綊B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D.又因为C1D⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD，所以AB1∥平面C1BD.同理，B1D1∥平面C1BD.又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD.(2)解如图，连接A1C1交B1D1于点O1，连接AO1，与A1C交于点E.因为AO1⊂平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点.连接AC交BD于点O，连接C1O，与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点.下面证明A1E＝EF＝FC.因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO 1∥C 1F ，在△A 1C 1F 中，O 1是A 1C 1的中点， 所以E 是A 1F 的中点，即A 1E ＝EF .同理可证OF ∥AE ，所以F 是CE 的中点，即FC ＝EF ， 所以A 1E ＝EF ＝FC .思维升华 (1)线面平行和面面平行的性质都体现了转化思想.(2)对较复杂的综合结论问题往往需要反复运用线面平行的判定定理和性质定理来进行证明，有如下方法： 线线平行―――――→在平面内找或作一直线线面平行 ―――――――――→经过直线找或作平面与已知平面的交线线线平行 如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，在侧面PBC 内，有BE ⊥PC 于E ，且BE ＝63a ，试在AB 上找一点F ，使EF ∥平面P AD .解 如图所示，在平面PCD 内，过E 作EG ∥CD 交PD 于G ， 连接AG ，在AB 上取点F ，使AF ＝EG ， ∵EG ∥CD ∥AF ，EG ＝AF ， ∴四边形FEGA 为平行四边形， ∴FE ∥AG .又AG ⊂平面P AD ，FE ⊄平面P AD ， ∴EF ∥平面P AD . ∴F 即为所求的点.又P A ⊥面ABCD ，∴P A ⊥BC ， 又BC ⊥AB ，∴BC ⊥面P AB . ∴PB ⊥BC .∴PC 2＝BC 2＋PB 2＝BC 2＋AB 2＋P A 2. 设P A ＝x 则PC ＝2a 2＋x 2， 由PB ·BC ＝BE ·PC 得： a 2＋x 2·a ＝2a 2＋x 2·63a ，∴x ＝a ，即P A ＝a ，∴PC ＝3a . 又CE ＝a 2－(63a )2＝33a ，∴PE PC ＝23，∴GE CD ＝PE PC ＝23， 即GE ＝23CD ＝23a ，∴AF ＝23a .即AF ＝23AB .故点F 是AB 上靠近B 点的一个三等分点.5.立体几何中的探索性问题典例 (12分)如图，在四棱锥S －ABCD 中，已知底面ABCD 为直角梯形，其中AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝2.tan ∠SDA ＝23.(1)求四棱锥S －ABCD 的体积；(2)在棱SD 上找一点E ，使CE ∥平面SAB ，并证明. 规范解答解 (1)∵SA ⊥底面ABCD ，tan ∠SDA ＝23，SA ＝2，∴AD ＝3.[2分]由题意知四棱锥S －ABCD 的底面为直角梯形，且SA ＝AB ＝BC ＝2，[4分] V S －ABCD ＝13×SA ×12×(BC ＋AD )×AB＝13×2×12×(2＋3)×2＝103.[6分] (2)当点E 位于棱SD 上靠近D 的三等分点处时，可使CE ∥平面SAB .[8分] 证明如下：取SD 上靠近D 的三等分点为E ，取SA 上靠近A 的三等分点为F ，连接CE ，EF ，BF ， 则EF 綊23AD ，BC 綊23AD ，∴BC 綊EF ，∴CE ∥BF .[10分] 又∵BF ⊂平面SAB ，CE ⊄平面SAB ， ∴CE ∥平面SAB .[12分]解决立体几何中的探索性问题的步骤 第一步：写出探求的最后结论. 第二步：证明探求结论的正确性. 第三步：给出明确答案.第四步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.温馨提醒(1)立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾的结论就否定假设.(2)这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使……成立”，“只需使……成立”.[方法与技巧]1.平行问题的转化关系2.直线与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质.3.平面与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.[失误与防范]1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误.2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.3.解题中注意符号语言的规范应用.A组专项基础训练(时间：35分钟)1.平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是()A.AB∥CDB.AD∥CBC.AB与CD相交D.A，B，C，D四点共面答案 D解析充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立.2.(2015·安徽)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是()A.若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B.若m，n平行于同一平面，则m与n平行C.若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D.若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面解析 对于A ，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，故A 错；对于B ，m ，n 平行于同一平面，m ，n 关系不确定，可平行、相交、异面，故B 错；对于C ，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C 错；对于D ，若假设m ，n 垂直于同一平面，则m ∥n ，其逆否命题即为D 选项，故D 正确.3.设l 为直线，α，β是两个不同的平面.下列命题中正确的是( )A.若l ∥α，l ∥β，则α∥βB.若l ⊥α，l ⊥β，则α∥βC.若l ⊥α，l ∥β，则α∥βD.若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β答案 B解析 l ∥α，l ∥β，则α与β可能平行，也可能相交，故A 项错；由“同垂直于一条直线的两个平面平行”可知B 项正确；由l ⊥α，l ∥β可知α⊥β，故C 项错；由α⊥β，l ∥α可知l 与β可能平行，也可能l ⊂β，也可能相交，故D 项错.故选B.4.给出下列关于互不相同的直线l 、m 、n 和平面α、β、γ的三个命题：①若l 与m 为异面直线，l ⊂α，m ⊂β，则α∥β；②若α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n .其中真命题的个数为( )A.3B.2C.1D.0答案 C解析 ①中当α与β不平行时，也可能存在符合题意的l 、m ；②中l 与m 也可能异面；③中⎩⎪⎨⎪⎧ l ∥γl ⊂αα∩γ＝n⇒l ∥n ，同理，l ∥m ，则m ∥n ，正确.5.下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是( )A.①③B.①④C.②③D.②④解析①中易知NP∥AA′，MN∥A′B，∴平面MNP∥平面AA′B可得出AB∥平面MNP(如图).④中，NP∥AB，能得出AB∥平面MNP.6.在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________. 答案平面ABD与平面ABC解析如图，取CD的中点E，连接AE，BE.则EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，所以MN∥AB.所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.7.将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”.给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行.其中是“可换命题”的是________.(填命题的序号)答案①③解析由线面垂直的性质定理可知①是真命题，且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题，故①是“可换命题”；因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交，所以②是假命题，不是“可换命题”；由基本性质4可知③是真命题，且平行于同一平面的两平面平行也是真命题，故③是“可换命题”；因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故④是假命题，故④不是“可换命题”.8.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，动点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.答案M∈线段FH解析因为HN∥BD，HF∥DD1，所以平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意点M与N相连，都有MN∥平面B1BDD1.(答案不唯一)9.如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点. 求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M为AB中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.10.如图，E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点.求证：(1)EG∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H.证明(1)取B1D1的中点O，连接GO，OB，易证四边形BEGO为平行四边形，故OB∥GE，由线面平行的判定定理即可证EG∥平面BB1D1D.(2)由题意可知BD∥B1D1.如图，连接HB、D1F，易证四边形HBFD1是平行四边形，故HD1∥BF.又B1D1∩HD1＝D1，BD∩BF＝B，所以平面BDF∥平面B1D1H.B组专项能力提升(时间：20分钟)11.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A.若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB.若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC.若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD.若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β答案 D解析A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中m与n可平行、可异面；C中若α∥β，仍然满足m⊥n，m⊂α，n⊂β，故C错误；故D正确.12.空间四边形ABCD的两条对棱AC、BD的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中，周长的取值范围是________.答案(8,10)解析 设DH DA ＝GH AC ＝k ，∴AH DA ＝EH BD＝1－k ， ∴GH ＝5k ，EH ＝4(1－k )，∴周长＝8＋2k .又∵0<k <1，∴周长的范围为(8,10).13.在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝15，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于D ，E ，F ，H .D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB ∥平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为________.答案 452解析 取AC 的中点G ，连接SG ，BG .易知SG ⊥AC ，BG ⊥AC ，SG ∩BG ＝G ，故AC ⊥平面SGB ，所以AC ⊥SB .因为SB ∥平面DEFH ，SB ⊂平面SAB ，平面SAB ∩平面DEFH ＝HD ，则SB ∥HD .同理SB ∥FE .又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，则H ，F 也为AS ，SC 的中点，从而得HF 綊12AC 綊DE ，所以四边形DEFH 为平行四边形.又AC ⊥SB ，SB ∥HD ，DE ∥AC ，所以DE ⊥HD ，所以四边形DEFH 为矩形，其面积S ＝HF ·HD ＝(12AC )·(12SB )＝452.14.(2015·四川改编)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系.并证明你的结论.解 (1)点F ，G ，H 的位置如图所示.(2)平面BEG ∥平面ACH ，证明如下：因为ABCD-EFGH 为正方体，所以BC ∥FG ，BC ＝FG ，又FG ∥EH ，FG ＝EH ，所以BC ∥EH ，BC ＝EH ，于是BCHE 为平行四边形，所以BE ∥CH ，又CH ⊂平面ACH ，BE ⊄平面ACH ，所以BE ∥平面ACH ，同理BG ∥平面ACH ，又BE ∩BG ＝B ，所以平面BEG ∥平面ACH .15.如图，已知正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，AE ＝AF＝4，现将△AEF 沿线段EF 折起到△A ′EF 位置，使得A ′C ＝2 6. (1)求五棱锥A ′－BCDFE 的体积； (2)在线段A ′C 上是否存在一点M ，使得BM ∥平面A ′EF ？若存在，求A ′M 的长；若不存在，请说明理由.解 (1)如图所示，连接AC ，设AC ∩EF ＝H ，连接A ′H .因为四边形ABCD 是正方形，AE ＝AF ＝4，所以H 是EF 的中点，且EF ⊥AH ，EF ⊥CH ，从而有A ′H ⊥EF ，CH ⊥EF ，又A ′H ∩CH ＝H ，所以EF ⊥平面A ′HC ，且EF ⊂平面ABCD ，从而平面A ′HC ⊥平面ABCD ，过点A ′作A ′O 垂直HC 且与HC 相交于点O ，则A ′O ⊥平面ABCD ，因为正方形ABCD 的边长为6，AE ＝AF ＝4，故A ′H ＝22，CH ＝42，所以cos ∠A ′HC ＝A ′H 2＋CH 2－A ′C 22A ′H ·CH ＝8＋32－242×22×42＝12， 所以HO ＝A ′H ·cos ∠A ′HC ＝2，则A ′O ＝6，所以五棱锥A ′－BCDFE 的体积V ＝13×(62－12×4×4)×6＝2863.(2)线段A′C上存在点M，使得BM∥平面A′EF，此时A′M＝6 2.证明如下：连接OM，BD，BM，DM，且易知BD过O点.A′M＝62＝14A′C，HO＝14HC，所以OM∥A′H，又OM⊄平面A′EF，A′H⊂平面A′EF，所以OM∥平面A′EF，又BD∥EF，BD⊄平面A′EF，EF⊂平面A′EF，所以BD∥平面A′EF，又BD∩OM＝O，所以平面MBD∥平面A′EF，因为BM⊂平面MBD，所以BM∥平面A′EF.。
空间中的平行关系(复习带有详细答案)
空间中的平行关系1．设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是A、若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γB、若α//β，m⊄β，m//α，则m//βC、若α⊥β，m⊥α，则m//βD、若m//α，n//β，α⊥β，则m⊥n 【答案】B【解析】解：利用平面的线面的位置关系，可知，两个平行平面，如果不在平面内的一条直线平行于其中一个平面，必定平行与另一个平面。
选项A还可能平行。
选项C，线可能在面内。
选项D中，线线的位置关系不定。
2．若直线a与平面α相交与一点Ａ，则下列结论正确的是（）A.α内的所有直线与a异面Ｂ.α内不存在与a平行的直线Ｃ.α内存在唯一的直线与a平行Ｄ.α内的直线与a都相交【答案】B【解析】略3．已知直线l、m 、n 与平面α、β给出下列四个命题：①若m∥l，n∥l，则m∥n；②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若m⊥β，α⊥β，则m∥α其中，假命题的个数是（）A、1B、2C、3D、4【答案】B【解析】略4．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则下列结论正确的是A、//⊂lαB、lαC、lα⊄D、lα与不相交【答案】D【解析】略5．下列命题中lα①若直线l上有无数点不在平面α内，则//②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内任意一条直线平行③若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点 ④若直线l 平行于α内无数条直线，则//l α⑤如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 其中正确的个数是 （ ）A 、0B 、1C 、2D 、3 【答案】B 【解析】略6．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是( )A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④ 【答案】D 【解析】略7．α、β是两个不重合的平面，a 、b 是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是( )A ．α、β都平行于直线a 、bB ．α内有三个不共线点A 、B 、C 到β的距离相等 C ．a 、b 是α内两条直线，且a ∥β，b ∥βD ．a 、b 是两条异面直线且a ∥α，b ∥α，a ∥β，b ∥β 【答案】A 【解析】略8．已知直线平面，则“平面平面”是“”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】略9．空间可以确定一个平面的是（ ）A.两条直线B.一点和一条直线C.一个三角形D.三个点m ⊂α//αβ//m β【解析】略10．已知直线a//平面α,则a 与平面α内的直线的位置关系（ ） A ．相交 B. 异面 C. 平行 D. 异面或平行 【答案】C 【解析】略11．已知a 、b 为直线，γβα、、为平面，有下列四个命题： ①b a b a //////，则，αα ②βαγβγα//，则，⊥⊥ ③βαβα//////，则，a a ④αα////a b b a ，则，⊂其中正确命题的个数有（ ）Ａ.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】A 【解析】略12．已知,αβ为互不重合的平面，,m n 为互不重合的直线，给出下列四个命题：①,,m n n m αα⊂若则；②,,,,m n m n m n ααββ⊂⊂若则 ； ③,,,m n m n αβαβ⊂⊂若则；④,,,,m n m n n αβαβαβ⊥=⊂⊥⊥若则. 其中正确命题的序号是____ ▲ __ __． 【答案】④ 【解析】略13．设,m n 是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，有下列四个命题: ①若n m n m //,//,则αα⊂ ②βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,n m n m ③若,//,n m n αβ=则m ∥,α且m ∥β④若βαβα//,,则⊥⊥m m其中正确的命题是 ▲ ．（写出所有真命题的序号）． 【答案】②④14．设,l m 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，下列命题中正确的是 ．（填序号）①若,//,,l m αβαβ⊥⊥则l m ⊥；②若//,,,l m m l αβ⊥⊥则//αβ； ③若//,//,//,l m αβαβ则//l m ；④若,,,,m l l m αβαββ⊥=⊂⊥则l α⊥．【答案】②④ 【解析】略15．．如图是正方体的表面展开图，在这个正方体中有如下命题：①；②与是异面直线；③与成角；④与成角。
第33讲 空间中的平行关系(讲义版)
第33讲空间中的平行关系一、考情分析1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.二、知识梳理1.平行直线(1)平行公理过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.(2)基本性质4(空间平行线的传递性)平行于同一条直线的两条直线互相平行.(3)定理如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等.2.直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α性质定理一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b3.(1)平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β性质定理两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面α∥β，a⊂α⇒a∥β如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b[平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.(3)两个平面平行，则其中任意一个平面内的直线与另一个平面平行.三、经典例题考点一与线、面平行相关命题的判定【例1】(1)在空间中，a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是()A.若a⊥c，b⊥c，则a∥bB.若a⊂α，b⊂β，α⊥β，则a⊥bC.若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bD.若α∥β，a⊂α，则a∥β(2)下列四个正方体中，A，B，C为所在棱的中点，则能得出平面ABC∥平面DEF的是()【答案】(1)D(2)B【解析】(1)对于A，若a⊥c，b⊥c，则a与b可能平行、异面、相交，故A是假命题；对于B，设α∩β＝m，若a，b均与m平行，则a∥b，故B是假命题；对于C，a，b可能平行、异面、相交，故C是假命题；对于D，若α∥β，a⊂α，则a与β没有公共点，则a∥β，故D是真命题.(2)在B中，如图，连接MN，PN，∵A，B，C为正方体所在棱的中点，∴AB∥MN，AC∥PN，∵MN∥DE，PN∥EF，∴AB∥DE，AC∥EF，∵AB∩AC＝A，DE∩EF＝E，AB，AC⊂平面ABC，DE，EF⊂平面DEF，∴平面ABC∥平面DEF.规律方法 1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项.2.(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.(2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.考点二直线与平面平行的判定与性质多维探究角度1直线与平面平行的判定【例2－1】在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，P A⊥平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，P A＝AB＝1.(1)证明：EF∥平面PDC；(2)求点F到平面PDC的距离.(1)证明取PC的中点M，连接DM，MF，∵M，F分别是PC，PB的中点，∴MF∥CB，MF＝12CB，∵E为DA的中点，四边形ABCD为正方形，∴DE∥CB，DE＝12CB，∴MF∥DE，MF＝DE，∴四边形DEFM为平行四边形，∴EF∥DM，∵EF⊄平面PDC，DM⊂平面PDC，∴EF∥平面PDC.(2)解∵EF∥平面PDC，∴点F到平面PDC的距离等于点E到平面PDC的距离.∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥DA，在Rt△P AD中，P A＝AD＝1，∴DP＝ 2.∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥CB，∵CB⊥AB，P A∩AB＝A，∴CB⊥平面P AB，∴CB⊥PB，则PC＝3，∴PD2＋DC2＝PC2，∴△PDC为直角三角形，∴S△PDC ＝12×1×2＝22.连接EP，EC，易知V E－PDC＝V C－PDE，设E到平面PDC的距离为h，∵CD⊥AD，CD⊥P A，AD∩P A＝A，∴CD⊥平面P AD，则13×h×22＝13×1×12×12×1，∴h＝24，∴点F到平面PDC的距离为2 4.角度2直线与平面平行性质定理的应用【例2－2】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为2，E，F分别是棱DD1，C1D1的中点.(1)求三棱锥B1－A1BE的体积；(2)试判断直线B1F与平面A1BE是否平行，如果平行，请在平面A1BE上作出与B1F平行的直线，并说明理由.(2)B1F∥平面A1BE.延长A1E交AD延长线于点H，连BH交CD于点G，则BG就是所求直线.证明如下：因为BA1∥平面CDD1C1，平面A1BH∩平面CDD1C1＝GE，所以A1B∥GE.又A1B∥CD1，所以GE∥CD1.又E为DD1的中点，则G为CD的中点.故BG∥B1F，BG就是所求直线.规律方法 1.利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反.考点三面面平行的判定与性质【例3】如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.证明(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，则GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面.(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，∴A1G綉EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.规律方法 1.判定面面平行的主要方法(1)利用面面平行的判定定理.(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).2.面面平行条件的应用(1)两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行.(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.提醒利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线.[方法技巧]1.转化思想：三种平行关系之间的转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化.2.直线与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)面面平行的性质.3.平面与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.4.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.5.面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件.6.如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交.7.运用性质定理，要遵从由“高维”到“低维”，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.四、 课时作业A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α内有无数个点到β的距离相等D ．,αβ垂直于同一平面A ．恰能作一个B ．至多作一个C ．至少作一个D ．不存在A ．线段1C FB ．线段CFC ．线段CF 和一点1CD ．线段1C F 和一点C ．A ．若b α⊂，//a b ，则//a αB ．若a α⊥，b α⊥，则//a bC ．若//a α，b αβ=，则//a bD ．若a α⊂，b α⊂，l a ⊥，l b ⊥，则l α⊥A ．α内有无穷多条直线都与β平行B ．α与β同时平行于同一条直线C ．α与β同时垂直于同一条直线D ．α与β同时垂直于同一个平面A ．α内有无数条直线与β平行B ．α、β垂直于同一平面C ．α、β平行于同一条直线D ．α内有两条相交直线与β平行A ．1B ．32C ．3D ．2∥C．MN AD D．以上均有可能A．MN PD B．MN PAA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件BD GHA．1B．BD EFC．平面EFGH平面ABCDA BCDD．平面EFGH平面11A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④①αββγαγ⎫⇒⎬⎭；②m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭；③m m ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⎭；④m n m n αα⎫⇒⎬⎭． 其中正确的命题是（ ）． A ．①② B ．①③C ．②④D ．③④A ．若//αβ，//βγ，则//αγB ．若//αβ，a αγ⋂=，b βγ=，则//a bC ．若//αβ，βγ⊥，则αγ⊥D ．若αβ⊥，βγ⊥，则αγ⊥A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A ．“m n ⊥”是“n α⊥”的充分条件B ．“//m n ”是“//m β”的既不充分又不必要条件C ．“//αβ”是“//m n ”的充要条件D ．“m n ⊥”是“αβ⊥”的必要条件A ．有一个B ．有无数多个C ．至多一个D ．不存在A ．若m ，n ⊂α，//m β，βn//，则//αβB ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nC ．若//αβ，//m α，则//m βD ．m ，n 是异面直线，若//m α，//m β，//n α，βn//，则//αβ①//m n m n αα⊥⎧⇒⎨⊥⎩；②//m m n n ββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩；③//m m ααββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩；④////m n m n αβαβ⊂⎧⎪⊂⇒⎨⎪⎩． 其中的正确命题序号是（ ）A ．②③B ．①②③C ．②④D ．①②④A ．2πB ．3πC ．4πD ．7πA ．22B ．6C ．5D ．7 A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④A ．l α⊂，m β⊂，//l mB ．l m ⊥，//l α，m β⊥C ．l α⊂，m α⊂，l β//，//m βD ．//l m ，l α⊥，m β⊥①直线1//AD 平面MNP ；②1HD CQ ⊥；③P ，Q ，H ，R 四点共面；④1A C ⊥平面11AB D .其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④A ．有一条B ．有二条C ．有无数条D ．不存在①AP 与CM 是异面直线；②1,,AP CM DD 相交于一点；③1//MN BD ；④//MN 平面11BB D D .A ．①④B ．②④C ．①④D ．②③④A ．线段B ．三角形，且其所在平面平行于平面11AAC CC ．梯形，且其所在平面平行于平面11BB C CD ．平行四边形，且其所在平面平行于平面11AA B BA ．aB ．2aC ．2aD ．22aA ．22 B ．6 C ．2 D ．6（Ⅰ）求证：//BM 平面PCD（Ⅱ）若平面ABCD ⊥平面PAD ，异面直线BC 与PD 所成角为60°，且PAD △是钝角三角形，求二面角B PC D --的正弦值（1）求证：//MN 平面11BCC B ；（2）求证：MN ⊥平面11A B C ．（1）证明：1//B C 平面1BA D ；（2）求二面角1B A D C --的余弦值.（1）证明：直线//PB 平面ACE ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．(1)求证：EF ||平面11ABC D ；(2)四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球的表面积为16π，求异面直线EF 与BC 所成的角的大小.。
5高一数学文第五讲空间平行关系
高二数学（文）讲义（64期）第五讲空间平行关系一、要点分析1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线，则该直线与此平面平行。
判定直线和平面平行的主要依据是判定定理，它是通过线线平行来判定线面平行，这里所a⊆/α，a//b，b⊂α，则a//α，在应用该定理证线面平行时，这三个条件缺一不可。
2、两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
定理中的条件缺一不可，用符号语言表示为、a⊂β，b⊂β，a//α，b//α，a⋂b=P，则β//α，，两个平面平行问题的判定或证明，是将其转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题，即“线面平行，则面面平行”，必须注意这里的“线面”是指一个平面内的两条相交直线和另一个平面。
3、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与已知平面的与该直线。
应用线面平行的性质定理解题的关键是利用已知条件作辅平面，然后把已知中的线面平行转化为直线和交线平行。
4、两个平面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面，那么它们的①两个平面平行，其中一个平面内的直线必于另一个平面，但这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线。
②两个平面平行的性质定理指出两个平行平面所具有的性质、如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线。
5、两平面平行问题常常转化为线面平行，而线面平行又可转化为线线平行，所以注意转化思想的应用，两平面平行的性质定理是证明空间两直线平行的重要依据，故应切实掌握好。
一般地，线线关系或面面关系都转化为线面关系来分析解决，关系如下表所示、二、学法指导1、把复杂的立体图形中的某个平面“抽出来”画成平面图形，转化成平面图形中的几何问题。
2、平行是核心，也是考试的重点，可将有关定义、定理包括习题中的一些结论，按照三种语言（文字语言、图形语言、符号语言）归纳整理成表格形式，便于理解记忆。
空间平行关系课件-2025届高三数学一轮复习
兹能
基础知识1：直线与平面平行的判定和性质
基础知识2：平面与平面平行的判定和性质
答案解析
【创新方案选题】如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1， A1C1 的中点，求证： （1）B，C，H，G 四点共面； （2）平面 EFA1∥平面 BCHG. 证明：（1）∵G，H 分别是 A1B1，A1C1 的中点，∴GH 是△A1B1C1 的中位线，∴GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G 四点共面． （2）∵E，F 分别是 AB，AC 的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面 BCHG，BC⊂平面 BCHG，
02 答案解析
(2014·安徽)如图，四棱锥 P－ABCD 的底面是边长为 8 的正方形，四条侧棱长均 为 2 7.点 G，E，F，H 分别是棱 PB，AB，CD，PC 上共面的四点，平面 GEFH⊥ 平面 ABCD，BC∥平面 GEFH.证明：GH∥EF； 证明：因为 BC∥平面 GEFH，BC 平面 PBC，且平面 PBC∩平面 GEFH＝GH， 所以 GH∥BC.同理可证：EF∥BC，因此 GH∥EF.
AP
03 答案解析
(2016·北京)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，平面 PAD⊥平面 ABCD，PA⊥PD，
PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝ 5.在棱 PA 上是否存在点 M；
使得 BM∥平面 PCD？若存在，求AM的值；若不存在，说明理由. AP
解：设 M 是棱 PA 上一点，则存在λ∈[0，1]使得A→M＝λA→P，因此点 M(0，1－λ，
接 EH.
∵H 为 AB1 的中点，且 B1H＝1C1D，B1H∥C1D，而 EF＝1C1D，
高三数学总复习《空间中的平行关系》课件
3.直线与平面平行的性质 定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与 此平面的交线与该直线平行. 符号表示:a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b.
图形:
说明:注意定理中有三个条件:直线a∥平面α,α∩β=b,a⊂β,这 三个条件缺一不可.
4.平面与平面平行的性质
(1)定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们 的交线平行. 符号表示:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b. 图形:
解析:①②显然正确,命题③,直线b有可能在平面M内,对于命
题④,直线b可能与平面M平行或斜交,图所示,在四棱锥P—ABCD 中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面 ABCD,E为PD的中点,PA=2AB=2.
(1)若F为PC的中点,求证:PC⊥平面AEF;
④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的
直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是( )
A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④ 解析:①错,应该为一个平面内的两条相交直线与另一个平面 平行,那么这两个平面相互平行.
③错,两直线可能相交,也可能异面.
故②④正确,选D. 答案:D
回归教材
1.直线与平面平行的判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此 平面平行. 符号表示:a⊄α,b⊂α,且a∥b⇒a∥α. 图形:
说明:(1)直线与平面平行的判定定理具备三个条件:
平面外的一条直线、平面内的一条直线、两直线平行,三个
条件缺一不可. (2)定理充分体现了转化的思想,它将线面平行问题转化为线
解法二:如图所示,延长DC,AB,设它们交于点N,连接PN. ∵∠NAC=∠DAC=60°,
空间中的平行关系(基础+复习+习题+练习)
如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，∥，且，在棱上是否存在一 点，使平面∥平面？若存在，求点 的位置；若不存在，请说明理由．
走向高考：
（北京）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中， ，平面，且 ，点是的中点. 略； 求证：∥平面；略.
（山东文）如图，在直四棱柱中， B C D A
已知，． 求证：；设是上一点，试确定 的位置，使平面，并说明理由．
（北京文）如图，在中，，，分别为，的中点，点为线段上的一点，将 沿折起到的位置，使，如图.求证： ∥平面；略.略.
(安徽) 如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，,，，都是 正三角形；
证明直线∥；求棱锥的体积.
（届高三福建师大附中期中文）如图,在直角梯形中,,,.将 沿折起,使 平面平面,得到几何体,如图所示.（Ⅰ）若为的中点，试在线段上找一 点，使 ∥平面，并加以证明；（Ⅱ）略；（Ⅲ）略. A B C D 图2 B A C D 图1
（届高三福建师大附中期中文）在如图所示的多面体中，已知正方形和 直角梯形所在的平面互相垂直，，∥，， 求证：平面；略；略；略.
典例分析：
考点一 线线平行
问题1．(山东) 如图所示，在三棱锥中，平面，，分别是的中点，，
与交于点，与交于点，连接.求证：∥；略.
考点二 线面平行
问题2．( 新课标Ⅱ) 如图，直棱柱
中， 分别是
的中点， ．证明： 平面 ;略．
问题3．(海南高考改编) 如图，在底面是菱形的四棱锥中，，，，
点在上，且，在棱上是否存在一点，使∥平面？证明你的结论．
与此
的
么过该直线的任意一个平
一条直线平行，则该直线 面与已知平面的
与此平面平行.
与该直线
符号语
高三数学下册空间中的平行知识点
高三数学下册空间中的平行知识点
一、直线与平面平行的判定及其性质
线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。
二、线线平行线面平行
线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。
线面平行线线平行
三、平面与平面平行的判定及其性质
①如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
(线面平行面面平行)，
②如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。
(线线平行面面平行)，
③垂直于同一条直线的两个平面平行，
四、两个平面平行的性质定理
①如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。
(面面平行线面平行)
②如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
(面面平行线线平行)
练习题：
1．已知m、n、l1、l2表示直线，α、β表示平面．若m α，n α，l1 β，l2 β，l1 l2＝M，则α∥β的一个充分条件是( )．
A．m∥β且l1∥α
B．m∥β且n∥β
C．m∥β且n∥l2
D．m∥l1且n∥l2
2．平面α∥平面β，AB、CD是夹在α和β间的两条线段，E、F分别为AB、CD的中点，则EF与α( )． A．平行
B．相交
C．垂直
D．不能确定
3．若不共线的三点到平面α的距离相等，则这三点确定的平面β与α之间的关系为( )．
A．平行
B．相交
C．平行或相交
D．无法确定
以上就是我们给同学们整理的空间中的平行知识点啦！想要了解更多精彩的内容，大家可点击原创专栏来看~~。
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空间中的平行关系考纲解读 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，判定常见几何体中的平行关系；2.以常见几何体为模型，进行空间平行关系的转化．[基础梳理]1．直线与平面平行的判定定理和性质定理[三基自测]1．下列命题中正确的是()A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α答案：D2．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是()A．①③B．②③C．①④D．②④答案：C3．(必修2·2.2练习改编)在正方体ABCD A1B1C1D1中，点E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．答案：平行4．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)如图，正方体ABCD A1B1C1D1中，M、N、E、F分别为棱的中点，则面AMN与面DBEF的关系为________．答案：平行考点一直线与平面平行的判定与性质|方法突破[例1](1)如图，在三棱台DEF ABC中，AB＝2DE，点G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH.(2)正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.[证明] 如图，连接DG ，CD ，设CD ∩FG ＝O ，连接OH .在三棱台DEF ABC 中，AB ＝2DE ，点G 为AC 的中点，可得DF ∥GC ，DF ＝GC ， 所以四边形DFCG 为平行四边形，所以点O 为CD 的中点．又因为点H 为BC 的中点，所以OH ∥BD .又因为OH ⊂平面FGH ，BD ⊄平面FGH ， 所以BD ∥平面FGH .(2)法一：(判定定理法)如图所示．作PM ∥AB 交BE 于点M ，作QN ∥AB 交BC 于点N ，连接MN .∵正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ，∴AE ＝BD . 又AP ＝DQ ，∴PE ＝QB .又PM ∥AB ∥QN ，∴PM AB ＝PE AE ＝QB BD ，QN DC ＝BQBD .∴PM AB ＝QNDC.∴PM 綊QN ，即四边形PMNQ 为平行四边形．∴PQ ∥MN . 又MN ⊂平面BCE ，PQ ⊄平面BCE ， ∴PQ ∥平面BCE .法二：(判定定理法)如图，连接AQ 并延长交BC 的延长线于点K ，连接EK ，∵AE ＝BD ，AP ＝DQ ， ∴PE ＝BQ .∴AP PE ＝DQBQ .又AD ∥BK ，∴DQ BQ ＝AQQK .∴AP PE ＝AQQK.∴PQ ∥EK . 又PQ ⊄平面BCE ，EK ⊂平面BCE ， ∴PQ ∥平面BCE .法三：(性质定理法)如图，在平面ABEF 内，过点P 作PM ∥BE ，交AB 于点M ，连接QM .∵PM ⊄平面BCE ，∴PM ∥平面BCE ，且AP PE ＝AM MB ，又AE ＝BD ，AP ＝DQ ，PE ＝BQ ， ∴AP PE ＝DQ BQ .∴AM MB ＝DQ QB.∴MQ∥AD.又AD∥BC，∴MQ∥BC.又MQ⊄平面BCE，∴MQ∥平面BCE.又PM∩MQ＝M，∴平面PMQ∥平面BCE.又PQ⊂平面PMQ，∴PQ∥平面BCE.[方法提升]方法关键适用题型利用线面平行的判定定理证线面平行在该平面内找或作一直线，证明其与已知直线平行平行线易作出利用面面平行的性质证线面平行过该线找或作一平面，证明其与已知平面平行面面平行较明显利用线面平行性质证线线平行过线作平面，产生交线已知线面平行[跟踪训练]如图，四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，∠ABC＝60°.P A⊥平面ABCD，且P A＝3.F在棱P A上，(1)若F为P A的中点，求证PC∥平面BDF；(2)若AF＝1，E在棱PD上，且CE∥平面BDF，求PE∶ED的值．解析：(1)证明：连接AC、AC∩BD＝O，由ABCD为菱形知O为AC的中点，F为P A的中点，∴OF∥PC.OF⊂平面BDF，PC⊄平面BDF.∴PC∥平面BDF.(2)过E 作EG∥FD交AP于G，连接CG，FO.∵EG∥FD，EG⊄平面BDF，FD⊂平面BDF，∴EG∥平面BDF，又EG∩CE＝E，CE∥平面BDF，EG，CE⊂平面CGE，∴平面CGE∥平面BDF，又CG⊂平面CGE，∴CG∥平面BDF，又平面BDF∩平面P AC＝FO，CG⊂平面P AC，∴FO∥CG.又O为AC的中点，∴F 为AG 中点，∴FG ＝GP ＝1， ∴E 为PD 的中点，PE ∶ED ＝1∶1.考点二 平面平行的判定与性质|方法突破[例2] (1)如图所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点P 是棱AD 上一点，且AP ＝a3，过B 1、D 1、P 的平面交平面ABCD 于PQ ，Q 在直线CD 上，则PQ ＝________.(2)在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是C 1C ，B 1C 1，C 1D 1的中点，求证：平面PMN ∥平面A 1BD .[证明] (1)∵平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ，而平面B 1D 1P ∩平面ABCD ＝PQ ，平面B 1D 1P ∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，∴B 1D 1∥PQ .又∵B 1D 1∥BD ，∴BD ∥PQ .设PQ ∩AB ＝M ，∵AB ∥CD ，∴△APM ∽△DPQ . ∴PQ PM ＝PDAP＝2，即PQ ＝2PM . 又知△APM ∽△ADB ，∴PM BD ＝AP AD ＝13，∴PM ＝13BD ，又BD ＝2a ，∴PQ ＝223a .(2)法一：(判定定理法)如图，连接B 1D 1，B 1C .∵P ，N 分别是D 1C 1，B 1C 1的中点， ∴PN ∥B 1D 1.又B 1D 1∥BD ，∴PN ∥BD .又PN ⊄平面A 1BD ，∴PN ∥平面A 1BD . 同理MN ∥平面A 1BD ，又PN ∩MN ＝N ，∴平面PMN ∥平面A 1BD .法二：(性质定理法)如图，连接AC 1，AC . ∵ABCD A 1B 1C 1D 1为正方体， ∴AC ⊥BD .又CC 1⊥平面ABCD ，∴AC 为AC 1在平面ABCD 上的射影． ∴AC 1⊥BD .同理可证AC 1⊥A 1B ，∴AC 1⊥平面A 1BD .同理可证AC 1⊥平面PMN ， ∴平面PMN ∥平面A 1BD . [答案] (1)223a[方法提升]方法关键适合题型 判定定理证明面面平行 证出面内的两条相交线平行平面 线面平行关系明显 线面垂直性质证面面平行 证出两个面垂直于同一条直线 线面垂直关系明显 面面平行性质得线面平行、线线平行 作辅助面得出面的交线已知面面平行[跟踪训练]如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，若Q 是CC 1的中点．证明：平面D 1BQ ∥平面P AO .证明：∵Q 为CC 1的中点，P 为DD 1的中点，∴QB ∥P A . ∵P ，O 分别为DD 1，DB 的中点， ∴D 1B ∥PO .又∵D 1B ⊄平面P AO ，PO ⊂平面P AO ，QB ⊄平面P AO ，P A ⊂平面P AO ， ∴D 1B ∥平面P AO ，QB ∥平面P AO ， 又D 1B ∩QB ＝B ，D 1B ，QB ⊂平面D 1BQ ， ∴平面D 1BQ ∥平面P AO .考点三 平行关系的探索问题|思维突破[例3] 如图所示，在斜三棱柱ABC A 1B 1C 1中，D ，D 1分别是AC ，A 1C 1上的点，当AD DC ，A 1D 1D 1C 1分别为何值时，平面BC 1D ∥平面AB 1D 1.[解析] 如图所示，连接A 1B 与AB 1交于点O ，连接OD 1.因为平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面A 1BC 1∩平面BDC 1＝BC 1，平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝OD 1，所以BC 1∥OD 1.同理AD 1∥DC 1.由BC 1∥OD 1，得A 1D 1D 1C 1＝A 1OOB ＝1，即A 1D 1＝D 1C 1.由AD 1∥DC 1，AD ∥D 1C 1， 得四边形ADC 1D 1是平行四边形， 所以AD ＝D 1C 1，所以A 1D 1＝DC . 所以DC AD ＝A 1D 1D 1C 1＝1，即当AD DC ＝A 1D 1D 1C 1＝1时，平面BC 1D ∥平面AB 1D 1.[思维升华]对于此类问题往往采取逆向思维(1)对命题条件的探索常采用以下三种方法： ①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性； ③把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件． (2)对命题结论的探索常采用以下方法：首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论，就肯定假设，如果得到了矛盾的结论，就否定假设．[跟踪训练]在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，设D ，E 分别是线段BC ，CC 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线DE ∥ 平面A 1MC ？请证明你的结论．解析：存在一点M ∈AB ，使DE ∥平面A 1MC . 证明如下：取AB 的中点M ，A 1C 的中点N ， 连接EN ，DM ，MN (图略)．∴DM 綊12AC ，NE 綊12A 1C 1，∴NE 綊DM .∴四边形DENM 为平行四边形，∴MN ∥DE ， 又DE ⊄平面A 1MC ，MN ⊂平面A 1MC ， ∴DE ∥平面A 1MC .故存在点M 为AB 的中点，使DE ∥平面A 1MC .1.[考点一](2017·高考全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )解析：对于选项B ，如图所示，连接CD ，因为AB ∥CD ，M ，Q 分别是所在棱的中点，所以MQ ∥CD ，所以AB ∥MQ ，又AB ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ，所以AB ∥平面MNQ .同理可证选项C ，D 中均有AB ∥平面MNQ .故选A.答案：A2.[考点一](2017·高考全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC＝90°.(1)证明：直线BC ∥平面P AD ；(2)若△PCD 的面积为27，求四棱锥P ABCD 的体积． 解析：(1)证明：在平面ABCD 内，因为∠BAD ＝∠ABC ＝90°，所以BC ∥AD .又BC ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，故BC ∥平面P AD .(2)如图，取AD 的中点M ，连接PM ，CM .由AB ＝BC ＝12AD 及BC ∥AD ，∠ABC ＝90°得四边形ABCM 为正方形，则CM ⊥AD .因为侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以PM ⊥AD ，PM ⊥底面ABCD .因为CM ⊂底面ABCD ，所以PM ⊥CM .设BC ＝x ，则CM ＝x ，CD ＝2x ，PM ＝3x ，PC ＝PD ＝2x . 如图，取CD 的中点N ，连接PN ，则PN ⊥CD ，所以PN ＝142x . 因为△PCD 的面积为27， 所以12×2x ×142x ＝27，解得x ＝－2(舍去)或x ＝2.于是AB ＝BC ＝2，AD ＝4，PM ＝2 3.所以四棱锥P ABCD 的体积V ＝13×2×(2＋4)2×23＝4 3.3.[考点二](2013·高考陕西卷)如图，四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 是底面中心，A 1O ⊥底面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2.(1)证明：平面A 1BD ∥平面CD 1B 1； (2)求三棱柱ABD A 1B 1D 1的体积．解析：(1)由题设知BB 1綊DD 1，∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形，∴BD ∥B 1D 1. 又BD ⃘平面CD 1B 1，∴BD ∥平面CD 1B 1. ∵A 1D 1綊B 1C 1綊BC ，∴四边形A 1BCD 1是平行四边形，∴A 1B ∥D 1C . 又A 1B ⃘平面CD 1B 1，∴A 1B ∥平面CD 1B 1. 又BD ∩A 1B ＝B ，∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1. (2)∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O 是三棱柱ABD A 1B 1D 1的高．∵AO ＝12AC ＝1，AA 1＝2，∴A 1O ＝AA 21－OA 2＝1. ∵S △ABD ＝12×2×2＝1，∴VABD A 1B 1D 1＝S △ABD ×A 1O ＝1.。