第三章3.3静定梁的内力计算
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建筑力学第三章静定结构内力计算
01
02
03
04
排架是由两个单层刚架组成的 结构，其内力可以通过整体法
和分离法进行计算。
整体法是将两个单层刚架作为 一个整体进行分析，从而求得
整个排架的内力。
分离法是将排架拆分成两个单 层刚架进行分析，然后分别求
得每个单层刚架的内力。
在计算过程中，需要考虑到排 架的自重、外力以及支座反力
的影响。
组合结构的内力计算实例
03 静定结构的内力计算方法
截面法
总结词
通过在指定截面上截取隔离体，然后对隔离体进行受力分析，计算出内力的方法。
详细描述
截面法是静定结构内力计算的基本方法之一。在截面法中，我们首先在结构中选择一个或多个截面， 然后将这些截面处的杆件暂时断开，并分析这些杆件的内力。通过这种方法，我们可以确定每个杆件 的内力大小和方向。
组合结构是由两种或多种结构组成的 结构，其内力可以通过叠加法进行计 算。
在计算过程中，需要考虑到组合结构 是将每种结构的内力分别计算 出来，然后根据结构的特点进行叠加， 从而求得整个组合结构的内力。
05 静定结构内力计算的注意 事项
材料强度的考虑
材料强度
在计算静定结构内力时，必须考虑材 料的强度。不同的材料有不同的抗拉 、抗压、抗剪强度，应确保结构中的 应力不超过材料的容许应力。
节点法
总结词
通过分析节点处的平衡状态，计算出节点所受内力的方法。
详细描述
节点法是一种基于力的平衡原理的计算方法。在节点法中，我们首先确定节点 的位置和数量，然后分析每个节点处的平衡状态。通过这种方法，我们可以计 算出每个节点所受的内力大小和方向。
弯矩图法
总结词
通过绘制弯矩图，直观地表示出结构的弯矩 分布情况，进而计算出结构的内力。
03结构力学 第三章 静定结构的内力计算3.3 静定刚架的内力计算(邓军)
剪力图： 剪力符号规定与直梁中的规定相同；剪力图可画在杆件的任一 侧，但剪力图上要标明正负号。 轴力图：
轴力仍以受拉为正，受压为负；轴力图可画在杆件的任一侧或 与纵坐标对称地画在杆件的两边，但需在轴力图上标明正负号。
§3.3 静定刚架的计算
例1 绘制如图所示门式刚架在半跨均布荷载作用下的内力图。
§3.3 静定刚架的计算
§3.3 静定刚架的计算
§3.3 静定刚架的计算
§3.3 静定刚架的计算
静定刚架的组成及类型
平面刚架是由直杆（梁和柱）组成的平面结构。
刚架中的结点部分或全部是刚节点。
在刚节点处，各杆件连成一个整体，杆件之间不能发生相对 移动和相对转动，刚架变形时各杆之间的夹角保持不变，因 此刚节点能够承受弯矩、剪力和轴力。
解：
1）求支座反力 由整体平衡方程可得
M A 0, 6 3 12FyB 0 M B 0, 6 9 12FyA 0
X 0, FxA FxB 0
取铰C右边部分为隔离体
MC 0, 6.5FxB 6FyB 0
求得
FyB =1.5kN() FyA=4.5kN() FxA =1.384 kN()
§3.3 静定刚架的计算
2）作弯矩图
求出杆端弯矩（设弯矩方正向为使刚架内侧受拉）后，画于受 拉一侧并连以直线，再叠加简支梁的弯矩图。
以DC杆为例
M DC 1.384 4.5 6.23kN m, MCD 0
CD中点弯矩为 1.3845.5 133 1 1 4.5 6 1.388kN m 22
（2）为计算静定刚架位移和分析超静定刚架打下基础。
2）刚架各杆内力的求法
从力学观点看，刚架是梁的组合结构，因此刚架的内力求法 原则上与梁的内力计算相同。 通常是利用刚架的整体或个体的平衡条件求出各支座反力和 铰接点处的约束反力，然后用截面法逐个计算杆件内力。
轴力仍以受拉为正，受压为负；轴力图可画在杆件的任一侧或 与纵坐标对称地画在杆件的两边，但需在轴力图上标明正负号。
§3.3 静定刚架的计算
例1 绘制如图所示门式刚架在半跨均布荷载作用下的内力图。
§3.3 静定刚架的计算
§3.3 静定刚架的计算
§3.3 静定刚架的计算
§3.3 静定刚架的计算
静定刚架的组成及类型
平面刚架是由直杆（梁和柱）组成的平面结构。
刚架中的结点部分或全部是刚节点。
在刚节点处，各杆件连成一个整体，杆件之间不能发生相对 移动和相对转动，刚架变形时各杆之间的夹角保持不变，因 此刚节点能够承受弯矩、剪力和轴力。
解：
1）求支座反力 由整体平衡方程可得
M A 0, 6 3 12FyB 0 M B 0, 6 9 12FyA 0
X 0, FxA FxB 0
取铰C右边部分为隔离体
MC 0, 6.5FxB 6FyB 0
求得
FyB =1.5kN() FyA=4.5kN() FxA =1.384 kN()
§3.3 静定刚架的计算
2）作弯矩图
求出杆端弯矩（设弯矩方正向为使刚架内侧受拉）后，画于受 拉一侧并连以直线，再叠加简支梁的弯矩图。
以DC杆为例
M DC 1.384 4.5 6.23kN m, MCD 0
CD中点弯矩为 1.3845.5 133 1 1 4.5 6 1.388kN m 22
（2）为计算静定刚架位移和分析超静定刚架打下基础。
2）刚架各杆内力的求法
从力学观点看，刚架是梁的组合结构，因此刚架的内力求法 原则上与梁的内力计算相同。 通常是利用刚架的整体或个体的平衡条件求出各支座反力和 铰接点处的约束反力，然后用截面法逐个计算杆件内力。
静定结构的内力计算
§3-5 静定平面刚架
▲ 作内力图
D C 144 E B
M CD 48 KN m （左拉） M DC 0
作M图 CD杆（一段二点）： 48
192
AC杆（一段二点）：
由此作M图如图（b）所示:
1 M CA 48 4 6 4 2 144 KN m 2 M AC 0 （右拉）
M，在数值上等于截面以左所有向上的力对截面形心的矩减 去所有向下的力对截面形心的矩；或截面以右所有向上的 力对截面形心的矩减去所有向下的力对截面形心的矩。
11
§3-2 内力方程· 内力图
2、关于内力图的规律
◆当某梁段除端截面外全段上不受外力作用时，则 有（a）该段上的剪力方程FS(x)=常数，故该段的剪 力图为水平线；（b）该段上的弯矩方程M(x)是x的 一次函数，故该段的弯矩图为斜直线 。
在静定刚架内力分析中，首先是先求支座反力。然后 再求内力。刚架在外力作用下处于平衡状态，其约束反力 可用平衡方程来确定。
2、绘制内力图：
截面法同样适用于刚架。 轴力：杆件受拉为正，受压为负。 剪力：使截离体顺时针方向转动为正，反之为负。 弯矩：不作正负规定。 弯矩图：画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号。 剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画 在刚架的外侧），但须注明正、负号。
受力分析：作用在基本部分上的力不传递给附属部 分,而作用在附属部分上的力传递给基本部分，如 图示 P
P1
2
（a）
P2
B A VC
P1
VB
（b）
因此，计算多跨静定梁时应该是先附属后基本，这样 可简化计算，取每一部分计算时与单跨静定梁无异。22
§3-4 静定多跨梁
第3章 静定梁
ql qx 2 =M° M x2 2 Q q( l - x)cos Qo cos 2 N -q( l - x)sin -Qo sin 2
斜梁与相应的水平梁相比反力相同，对应截面弯矩相同， 斜梁的轴力和剪力是水平梁的剪力的两个投影。
18
斜梁的弯矩图也可用叠加法绘制，但叠加的是相应水平 简支梁的弯矩图，竖标要垂直轴线。
15
RB=7kN
16
9 Q图（kN）
x 26 4 M图（kN.m） 28
H
－
7 7 23
7
30
8 36.1 8 CE段中点D的弯矩MD=28+8= 36kN.m ，并不是梁中最大弯矩，梁中最大 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 8 4 弯矩在H点。Mmax=MH=36.1kN.m。 均布荷载区段的中点弯矩与该段内的 8 最大弯矩,一般相差不大,故常用中点弯矩作为最大弯矩！！
q(l - 2 x) x qx 2 ql 2 代入上式： 2 2 12
MG
1 2 q(l - 2 x) M B - x qx 2 2
ql 2 解得： M B 12 3- 3 6 l
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解得： x
25
MB=ql2/12
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ql M图
l
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ql2/4 qL ql2/8
＋
－ Q图 qL
14
10kN/m
↓↓↓↓↓↓↓
2m 2m
60kN.m
15kN
2m
2m
55
30 20 30 5 m/2 m m/2 M 图 (kN.m) 30
第三章 静定结构的内力计算
FAy
1 3a 4 FP a M q 3a 3a 2 5
第三章
静定结构的内力计算
M
B
0
3a 4 FAy 3a M q 3a FP a 0 2 5 1 3a 4 FAy FP a M q 3a 3a 2 5
第三章
无荷载 平行轴线
Q图
静定结构的内力计算
均布荷载
集中力 发生突变
P
集中力偶
无变化 发生突变
m
斜直线
M图
二次抛物线 凸向即q指向
出现尖点
两直线平行 备 注
Q=0区段M图 Q=0处，M 平行于轴线 达到极值
集中力作用截 集中力偶作用 面剪力无定义 面弯矩无定义
在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截面弯矩 等于零，有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值。
第三章 静定结构的内力计算
第三章
静定结构的内力计算
§3-1单跨静定梁
一、静定结构概述 1．概念：是没有多余约束的几何不变体系。 2．特点：在任意荷载作用下，所有约束反力和内力都 可由静力平衡方程唯一确定。 平衡方程数目 = 未知量数目 3．常见的静定结构 常见的静定结构有：单跨静定梁、多跨静定梁、静 定平面刚架、三铰拱、静定平面桁架、静定组合结构等 (如下图）。
0 FYA FYA 0 FYB FYB
A
x
C
L
斜梁的反力与相应简支 梁的反力相同。
第三章
（2）内力
静定结构的内力计算
求斜梁的任意截面C的内力，取隔离体AC： a FP1 A
FYA x Fp1 FYA
0
MC
3静定结构的内力分析习题解答
第3章 静定结构的内力分析习题解答习题3.1 是非判断题(1) 在使用内力图特征绘制某受弯杆段的弯矩图时，必须先求出该杆段两端的端弯矩。
（ ）(2) 区段叠加法仅适用于弯矩图的绘制，不适用于剪力图的绘制。
（ ） (3) 多跨静定梁在附属部分受竖向荷载作用时，必会引起基本部分的内力。
（ ） (4) 习题3.1(4)图所示多跨静定梁中，CDE 和EF 部分均为附属部分。
（ ）习题3.1(4)图(5) 三铰拱的水平推力不仅与三个铰的位置有关，还与拱轴线的形状有关。
（ ） (6) 所谓合理拱轴线，是指在任意荷载作用下都能使拱处于无弯矩状态的轴线。
（ ） (7) 改变荷载值的大小，三铰拱的合理拱轴线形状也将发生改变。
（ ） (8) 利用结点法求解桁架结构时，可从任意结点开始。
（ ）【解】（1）正确；（2）错误； （3）正确；（4）正确；EF 为第二层次附属部分，CDE 为第一层次附属部分；（5）错误。
从公式0H /C F M f 可知，三铰拱的水平推力与拱轴线的形状无关；（6）错误。
荷载发生改变时，合理拱轴线将发生变化； （7）错误。
合理拱轴线与荷载大小无关；（8）错误。
一般从仅包含两个未知轴力的结点开始。
习题3.2 填空(1)习题3.2(1)图所示受荷的多跨静定梁，其定向联系C 所传递的弯矩M C 的大小为______；截面B 的弯矩大小为______，____侧受拉。
P习题3.2(1)图(2) 习题3.2(2)图所示风载作用下的悬臂刚架，其梁端弯矩M AB =______kN ·m ，____侧受拉；左柱B 截面弯矩M B =______kN ·m ，____侧受拉。
习题3.2(2)图(3) 习题3.2(3)图所示三铰拱的水平推力F H 等于 。
习题3.2(3)图(4) 习题3.2(4)图所示桁架中有 根零杆。
习题3.2(4)图【解】（1）M C = 0；M C = F P l ，上侧受拉。
第三章 静定结构的内力计算(组合结构)
A A A A 0 0 0 0
0 0 0 0
8 8 8 8
HC
3、求梁式杆内力 处理结点A处力
结构力学
第3章静定结构的内力计算
静定结构特性
结构力学
第3章静定结构的内力计算
静定结构特性 静定结构特性 一、结构基本部分和附属部分受力影响
A
F1
B
C
F2
D
E
F3
F
如只有 F1 作用。则Ⅱ、Ⅲ无内力和反力； Ⅰ Ⅱ Ⅲ 如只有 F1 作用。则Ⅱ、Ⅲ无内力和反力； 如只有 F1 作用。则Ⅱ、Ⅲ无内力和反力； 如只有 F3 作用。则Ⅰ、Ⅱ均有内力和反力； 如只有 F3 作用。则Ⅰ、Ⅱ均有内力和反力； 如只有 F3 作用。则Ⅰ、Ⅱ均有内力和反力； 如只有 F2 作用。则Ⅲ无内力和反力，但Ⅰ有内力和反力。 如只有 F2 作用。则Ⅲ无内力和反力，但Ⅰ有内力和反力。 特性一、静定结构基本部分承受荷载作用，只在基本部分上产 如只有 F2 作用。则Ⅲ无内力和反力，但Ⅰ有内力和反力。 生反力和内力；附属部分上承受荷载作用，在附属部分和基本 部分上均产生反力和内力。
第3章静定结构的内力计算
q = 1 kN/m A FR Ax FR Ay FNDA F C FNFD VC
8 8 8 8
M M图 图 （ m M图 （kN· kN· m） ） M 图 （kN· m） （kN· m） F 图 FQ 图 Q （ ） FkN 图 （ kN Q ） FkN 图 （ Q ） （kN） F 图 FN N图 （ ） FkN （ kN ） N图 FkN N图 （ ） （kN）
结构力学
第3章静定结构的内力计算
二、平衡荷载的影响
F C B D
A B q C
建筑力学与结构第三章
M 0 x a V ( x ) R A l AC段 : M ( x) R x Mx 0 x a A l
M /l
V
Mb / l
M
Ma / l
讨论：集中力偶M作用点C处：
M V ( x) RB l a x l CB段 : M ( x) RB l x M l x a x l l
4、判断各段V、M图形状：
3.8 2.2 CA和DB段：
q=0，V图为水平线， M图为斜直线。
AD段：q<0， V 图为向下斜直线，
1.41
M图为下凸抛物线。
按叠加原理作弯矩图(AB=2a，力P作用在梁AB的中点处）。 P A P A V B + M B x
Pa qa2 + 2 2
+ x
= +
V B
V=12KN/m
根据2-2截面右侧的外力计算V2 、 M2 V2 =+(V· 1.5)-RB =12· 1.5-29 =-11KN M2 =-(V· 1.5)· 1.5/2+RB· 1.5 =-(12· 1.5)· 1.5/2+29· 1.5 = +30 KN· m
M2 V2Βιβλιοθήκη RB第三章 静定结构的内力
MDC=30×2=-60KNM(左拉）
NDE=30KN(压力） VDE=40KN MDE= 30×2=-60KNM(上拉）
VBE=30KN
MBE= 0
60
180
30
40
30 80
M图（KNM）
30 40
V图（KN）
80
N图（KN）
三、三铰刚架弯矩图
M /l
V
Mb / l
M
Ma / l
讨论：集中力偶M作用点C处：
M V ( x) RB l a x l CB段 : M ( x) RB l x M l x a x l l
4、判断各段V、M图形状：
3.8 2.2 CA和DB段：
q=0，V图为水平线， M图为斜直线。
AD段：q<0， V 图为向下斜直线，
1.41
M图为下凸抛物线。
按叠加原理作弯矩图(AB=2a，力P作用在梁AB的中点处）。 P A P A V B + M B x
Pa qa2 + 2 2
+ x
= +
V B
V=12KN/m
根据2-2截面右侧的外力计算V2 、 M2 V2 =+(V· 1.5)-RB =12· 1.5-29 =-11KN M2 =-(V· 1.5)· 1.5/2+RB· 1.5 =-(12· 1.5)· 1.5/2+29· 1.5 = +30 KN· m
M2 V2Βιβλιοθήκη RB第三章 静定结构的内力
MDC=30×2=-60KNM(左拉）
NDE=30KN(压力） VDE=40KN MDE= 30×2=-60KNM(上拉）
VBE=30KN
MBE= 0
60
180
30
40
30 80
M图（KNM）
30 40
V图（KN）
80
N图（KN）
三、三铰刚架弯矩图
静定梁与静定刚架
（二）绘内力图：
H A
=0
V
A =130KN
X 0 Y 0 M 0
C
NC 0 QC 130 KN M C 130 KN .M
第3章 例题: 试绘制图示外伸梁的内力图。
解：
10KN/m A HA=0 4m C 2m D B E 30KN.m 20KN
（1）计算支座反力
2m
2kN E
2m F
F
2m
G 2kN
2m
（b）
A
4kN/m B
C
G 2kN
G
B
11kN 4
4kN
4
（d）
8 7
（e） 9
4 M（kN.m） 2 2
Q（kN）
2
第3章 例题2： 图示三跨静定梁，全长承受均布荷载q，试确定铰E、F的位置，使中 间一跨支座的负弯矩与跨中正弯矩数据数值相等。
第3章
3.3 静定平面刚架的内力计算 一、刚架的组成 1、刚架的特征 由若干梁和柱用刚结点联结而成的结构。具有刚结点是 刚架的主要特征。 2、刚架的应用 刚架在工程上有广泛的应用。
（1）斜梁的倾角为常数，而曲梁各截面的的倾角是变量。 （2）计算曲梁的倾角时，可先写出曲梁的轴线方程y=f(x),而后对x求一 阶导数，进而确定倾角：
dy tan ; dx
tan1 (tan )
（3）角以由x轴的正方向逆时针转到切线方向时为正，反时针方向为负。
例题：试求图示曲梁C截面的内力值。已知曲梁轴线方程为：
y 4f 4 4 (l x) x 2 (12 1.5) 1.5 1.75m l2 12
4f 4 4 tan yx 1.5 2 (l 2 x) x1.5 2 (12 2 1.5) 1 l 12 2 450 sin con 0.707 2
第3章静定梁
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§3-2 简支斜梁的计算
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§3-2 简支斜梁的计算
1.斜梁承受竖向均布荷载时的两种表示方法
M B 0,VA
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§3-1 静定单跨梁的计算
2.
作 剪 力 图
-
QAD QDA 18kN QDE 18 8 10 kN
QE QDE 10 kN
QF 6kN
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本章小结
本章基本内容是静定单跨梁和多跨梁 的支座反力、内力的计算及内力图的绘制。
（1）计算步骤。 （2）截面内力有弯矩、剪力、轴力，应注意 其定义及正负号规定。 （3）计算截面内力的基本方法是截面法。 （4）绘制弯矩图的基本方法是分段叠加法。 （5）内力图的纵坐标垂直于杆轴线画。
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§3-1 静定单跨梁的计算
不同教材中内力分量的两种表达形式:
Q
N
Q’
N’
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§3-1 静定单跨梁的计算
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§3-2 简支斜梁的计算
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§3-2 简支斜梁的计算
1.斜梁承受竖向均布荷载时的两种表示方法
M B 0,VA
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作 剪 力 图
-
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QE QDE 10 kN
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本章小结
本章基本内容是静定单跨梁和多跨梁 的支座反力、内力的计算及内力图的绘制。
（1）计算步骤。 （2）截面内力有弯矩、剪力、轴力，应注意 其定义及正负号规定。 （3）计算截面内力的基本方法是截面法。 （4）绘制弯矩图的基本方法是分段叠加法。 （5）内力图的纵坐标垂直于杆轴线画。
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§3-1 静定单跨梁的计算
不同教材中内力分量的两种表达形式:
Q
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Q’
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§3-1 静定单跨梁的计算
04-讲义：3.3 多跨静定梁
第三节多跨静定梁多跨静定梁是由若干根单跨静定梁（简支梁、悬臂梁和外伸梁）用铰相连，用来跨越几个相连跨度的静定结构。
多跨静定梁在公路桥梁和房屋结构中经常采用。
图3-13(a)为常见的屋架木檩条的构造简图，檩条支承在屋架的上弦上，支承处可简化为铰支座。
在檩条接头处采用斜搭接并用螺栓连接，这种结点可看作铰结点，因此它的计算简图如图3-13(b)所示。
它由ABC、CD、DEF三根单跨静定梁通过铰C、D相连形成的多跨梁（图3-13(c)）。
根据几何组成分析，确定其为无多余约束的几何不变体系，故称为多跨静定梁。
又如图3-14(a)所示公路桥使用的多跨梁结构， 3-14（b）为其计算简图。
它由ABC、CDE、EF 三根单跨梁通过铰C、E相连形成的无多余约束几何不变体系，也为多跨静定梁结构。
图3-13 多跨静定梁示例1(a)屋架檩条体系示意图(b)计算简图(c)层次图图3-14 多跨静定梁示例2(a) 公路桥示意图(b) 计算简图(c)层次图一、几何组成特点这里以图3-13(b)及图3-14(b)所示多跨静定梁为例，说明其几何组成的特点。
多跨静定梁从几何组成上来看，组成整个结构的各单跨梁可分为基本部分和附属部分两大类。
基本部分是指本身能独立维持平衡的部分，而需要依靠其他部分的支承才能保持平衡的部分称为附属部分。
因此，多跨静定梁从几何组成上来看见，是先固定基本部分，再固定附属部分。
如图3-13(b)中多跨静定梁，梁段ABC 由三根不平行也不交于一点的三根链杆固定于基础，它不依赖于其他部分就能独立维持自身的几何不变性；梁段DEF 虽然只有两根链杆与基础相连，但在竖向荷载作用下自身也能维持平衡。
因此，梁段ABC 、梁段DEF 均为基本部分。
而梁段CD 支承于前述两个基本部分上，它必须依赖于梁段ABC 、梁段DEF 才能保持几何不变，所以是附属部分。
为了更清楚地表明多跨静定梁中各梁段之间的支承关系，常把基本部分画在附属部分的下方，附属部分画在基本部分的上方，如图3-13(c)所示，称为层次图。
静定结构的内力分析
40
第 三 章80 静定结构的内力计算
D
FNDE FNED
E
30
30
FNDC
FNEB
FQ
40 kN
FN 30 kN
80 kN
练习：
第三章
静定结构的内力计算
解： (1) 求支座反力。
F=qa
C
D
由 X 0
E
FxA q 2a 0
q
a B
得 FAx 2qa
a
由 M A 0
FxA
A
FyB
2qa a F a FyB 2a 0
首先进行定性分析。
由内力图的外观校核。杆上无分布荷载FS图为水 平直线；M图为斜直线。杆上有分布荷载FS图为斜直 线；M图为二次抛物线。 FS图为零的截面M为极值。 杆上集中荷载作用的截面, FS图上有突变；M图上有折 弯。根据这些特征来检查，本题的M图、FS图均无误。
第 三 章 静定结构的内力计算
6
FA=58 kN 26
10
18 FB=12 kN
q ME
FQE
MF
FS 图 ( kN )
FQF
第 三 章 静定结构的内力计算
二、 多跨静定梁 (multi-span statically determinate beam)
附属部分--依赖基本
基本部分--不依赖其它
部分的存在才维持几
部分而能独立地维持其
据
3.外力与杆轴关系(平行,垂直,重合) 4.特殊部分(悬臂部分,简支部分)
5.区段叠加法作弯矩图
第 三 章 静定结构的内力计算
结点平衡条件的应用：
一、铰结点： （集中力偶只能作用于杆端处）
M
第三章静定结构的内力计算(精)
第三章静定结构的内力计算学习目的和要求不少静定结构直接用于工程实际，另外，它还是静定结构位移计算及超静定结构的计算基础。
所以静定结构的内力计算是十分重要的，是结构力学的重点内容之一。
通过本章学习要求达到：1、练掌握截面内力计算和内力图的形状特征。
2、练掌握截绘制弯矩图的叠加法。
3、熟练掌握截面法求解静定梁、刚架及其内力图的绘制和多跨静定梁及刚架的几何组成特点和受力特点。
4、了解桁架的受力特点及按几何组成分类。
熟练运用结点法和截面法及其联合应用，会计算简单桁架、联合桁架既复杂桁架。
5、掌握对称条件的利用；掌握组合结构的计算。
6、熟练掌握截三铰拱的反力和内力计算。
了解三铰拱的内力图绘制的步骤。
掌握三铰拱合理拱轴的形状及其特征学习内容梁的反力计算和截面内力计算的截面法和直接内力算式法；内力图的形状特征；叠加法绘制内力图；多跨静定梁的几何组成特点和受力特点。
静定梁的弯矩图和剪力图绘制。
桁架的特点及分类，结点法、截面法及其联合应用，对称性的利用，几种梁式桁架的受力特点，组合结构的计算。
三铰拱的组成特点及其优缺点；三铰拱的反力和内力计算及内力图的绘制；三铰拱的合理拱轴线。
§3.1梁的内力计算回顾一、截面法1、平面杆件的截面内力分量及正负规定：轴力N (normal force) 截面上应力沿轴线切向的合力以拉力为正。
剪力Q (shearing force)截面上应力沿轴线法向的合力以绕隔离体顺时针转为正。
弯矩M (bending moment) 截面上应力对截面中性轴的力矩。
不规定正负，但弯矩图画在拉侧。
2、截面内力计算的基本方法：截面法：截开、代替、平衡。
内力的直接算式：直接由截面一边的外力求出内力。
1、轴力=截面一边的所有外力沿轴切向投影代数和。
2、剪力=截面一边的所有外力沿轴法向投影代数和，如外力绕截面形心顺时针转动，投影取正否则取负。
3、弯矩=截面一边的所有外力对截面形心的外力矩之和。
弯矩及外力矩产生相同的受拉边。
《结构力学》第三章 静定结构内力计算(1)
技巧：“求谁不管谁”：不考虑待求未知力，而考虑其
它未知力有什么特点，具体分为下面两种情况：
（a）其余未知力平行，在其垂直方向投影。
（b）其余未知力汇交于一点，对该点取矩。
X 0,X A 0;
1
1
MB
0,YA
l ql
l 2
0,YA
ql 2
Y
0,YA
YB
ql
0,YB
1 2
ql
step2：求指定截面内力 （1）取脱离体：从指定c截面截开梁，取左半脱离体为 研究对象，受力如图所示：
轴力、剪力 符号规定
梁、拱的弯 矩符号通常 假定使下侧 受拉为正
2、杆件任一截面上内力的计算---截面法
沿计算截面用一假想截面将构件切开，任取一侧 脱离体为研究对象，利用脱离体的静力平衡条 件，可建立三个平衡方程：
X 0,Y 0,M 0
由此就可求得杆件任一截面上的内力。
注意：
• 脱离体要与周围的约束全部断开，并用相应的约束力 代替。例如，去掉辊轴支座、铰支座、固定支座时应 分别添加一个、二个以及三个支座反力，等等。
（二）简支结构
通过一铰、一链杆或三根链杆与基础相连的结构。
（三）三铰结构
若结构体系（不含基础）有两个刚片，其与基础 的连接满足三刚片法则，则称该体系为三铰结 构。
（四）组合结构
多次运用几何不变体系的简单组成规则构成的结 构。
2、静定结构内力分析（即绘制内力图） 方法
有三种常用的绘制内力图的方法。
（2）熟记几种常见单跨梁的弯矩图，如悬臂梁、简
支梁等。特别记住简支梁在均布荷载、集中力以及集 中力偶作用下的弯矩图。
（1）
（2） （3）
梁长均为L
《结构力学》第三章 静定梁和静定刚架.
返19回
§3—4 少求或不求反力绘制弯矩图
弯矩图的绘制，以后应用很广，它是本课最 重要的基本功之一。
静定刚架常常可少求或不求反力绘制弯矩图。
例如：1. 悬臂部分及简支梁部分，弯矩图可先绘出。
2. 充分利用弯矩图的形状特征(直线、零值)。
3.刚结点处的力矩平衡条件。
4. 用叠加法作弯矩图。
5. 平行于杆轴的力及外力偶产生的弯矩为常数。 6. 与杆轴重合的力不产生弯矩等。
满足投影平衡条件。
0 24kN C 0
22kN
24kN 22kN （返1b8 回）
例题 3—6 作三铰刚架的内力图
→HA VA↑ 26.7 20 6.7
解（：1）求反力
←HB
↑VB
由（∑2Y由）=V刚0A求VH作得架=AA杆=弯整1=30H体端矩0Bk8平4=弯图N6衡↑矩.，66，以，7kV∑D3NMB0C（=kBN杆1=→0o↑为k可←N例得↑）
M图: 通常检查刚结点处是否满足力矩的平衡条件。
例如取结点C为隔离体（图a），有：
∑MC=48－192+144=0 满足这一平衡条件。
48kN·m
C
192kN·m
Q(N)图：可取刚架任何一部分为隔
离体，检查∑X=0 和 ∑Y=0 是否满足。 144kN·m （a）
例如取结点C为隔离体（图b）， 有: ∑X=24－24=0 ∑Y=22－22=0
dQ q(x) dx
dM Q dx
d2M dx2
q(x)
据此，得直梁内力图的形状特征
梁上情况 q=0
q=常数
q↓ q↑
P 作用处
m 铰或
作用处 自由端 (无m）
水平线
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3)杆BE
q
X 0
M BE
QBE
N BE q 4a sin 0 3 N BE 4 qa 2.4 qa 5 Y 0 QBE q 4a cos 0 4 QBE 4 qa 3.2 qa 5 MB 0 M BE q 4a 2a 0 M BE 8 qa 2
B l/2
由整体平衡：
F
FyB ql 8
x
0
3 FxA ql () 8
l/2
M
C
0
FxB
(2) 作M图 AD杆：
MDA＝ql2/16 (右拉) M中＝ql2/16 (右拉)
2/16 ql D
ql2/16
C
q 3ql/8 ql2/16
E
A ql/8
M图
B ql/8
ql/8
(3) 作Q、N图 很容易作出剪力图和轴力图如下图示。
2m
解：(1)支座反力 X A 80kN, YA 20kN, DY 60kN
40 kN B C D
M BA
NBA 160 kN· m QBA B
B
160
20 kN/m
4m
4m
60kN
20 kN/m
40 A M图
80kN
20kN
A 2m
80
A
20
2m
(2)求杆端力并画杆单元弯矩图。
因此，静定多跨梁的内力分析应先“附属”后
“基本”，即先次后主。
多跨静定梁的两种基本组成型式
【例】
先附属，后基本 中间铰处有集中力 处理到基本部分上
例题3－3 用叠加法作弯矩图
结点平衡求 支座反力
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yA
yB
MCB QCB
NCB C
20kN m
B
y B 15 kN
由MC 0 ,
MCB 20 yB 2 0,
得： MCB 10kN m （下侧受拉）
由Y 0, 即 ，QCB yB 0, 得： QCB 15kN
由X 0, 得： NCB 0
3.3 静定梁的内力计算
例 1、求作图示单跨梁的弯矩图
。 ma
q
A
B
解：
=A
=A
q
1 8
ql 2
1 2
ma
l
B + ma A
ma
B
B
1 2
ma
ma
1 ql 2 8
3.3 静定梁的内力计算
例2、求作图示梁的弯矩图。
20kN / m
A
20kN
B
C
D
2m 2m 2m
20kN / m
A C
B A
20kN
MCB QCB
NCB C
yB 20kN
20kN
B
D
yB 20kN
MCB 40kN m M BC 0 （下侧受拉）
3.3 静定梁的内力计算
解：3.绘制弯矩图：
20kN / m
20 kN
1 ql 2 10 8
A 20kN / m C
1 Pl 20 4
20kN
DB
• 区段叠加法：分别求出 各段两端弯矩值（也称 为求控制截面弯矩值）， 并联以虚线，每段再叠 加相应简支梁在荷载作 用下的M图。
例、求作图示结构的内力图。
解：2.截面法求内力
xA 0
（1）取体标力：
AC
q
A
xC
1
yA
ql 2
yA
1 ql 2
q
B
l
yBຫໍສະໝຸດ 1 ql 2截面C上的内力一般有三个：轴力，用N表示；
剪力，用Q表示；
弯矩，用M表示。
3.3 静定梁的内力计算
注意：
1）采用双脚标表示内力：第一个表示内力所在的截面， 第二个表示杆件的另一端。
yF 7kN
得： MCA 26kN m（下侧受拉）
M AC 0
3.3 静定梁的内力计算
解： 2.分段，求控制截面内力：
P 8kN q 4kN / m
A
m 16kN m
EF
BC
D
（2）DF段:
1m 1m 4m 1m 1m
P 8kN q 4kN / m
A
M DC
BC yA 17kN
D
Q DC
N DC
MDC 30kN m （下侧受拉）
yA 17kN
M
Q DF m
DF
16 kN
F
m
N DF D
yF 7kN
由ΣMD 0,
yF 7kN
即 ，MDF 16 yF 2 0, 得：
MDF 30kN m（下侧受拉）
MFD 0
3.3 静定梁的内力计算
梁的工程应用
桥梁挂蓝施工时的悬臂梁
3.3 静定梁的内力计算
梁的工程应用
吊车梁
3.3 静定梁的内力计算
梁的工程应用
3.3 静定梁的内力计算
二、内力计算方法步骤 （一）支反力计算
（二）求指定截面内力 1.基本方法：截开、取体、标力、平衡
3.3 静定梁的内力计算
二、内力计算方法步骤 2. 简便算式
M图（kN m）
4 、A
m1
m1
l
m2
m2
B
M图（kN m）
A
m
B
l2
l2
m
Q图（kNl）
A m1
l
m1 m2
Q图（l kN）
m2
B
3.3 静定梁的内力计算
（三）绘制内力图的方法
1.荷载与内力之间的微分关系
无荷载区段
Q图
平行轴线
均布荷载区段
↓↓↓↓↓↓
＋ －
集中力作用处
发生突变
＋P
－
集中力偶作用处 无变化
3.3 静定梁的内力计算
解：3.内力图绘制：
20
A 20kN / m C A 20kN / m C
20kN m
B
10
15 10
25
M图（kN m）
A
C
B
15
Q图（kN）
A
C
B
y B 15 kN（ ） y A 25 kN（ ） MCB 10kN m （下侧受拉）
QCB 15kN NCB 0
3.3 静定梁的内力计算
解：3.绘制弯矩图：
8 kN
4kN / m
1 Pl 4 4
1 ql 2 8 8
M AC 0 MCA 26kN m（下侧受拉）
MDF 30kN m（下侧受拉） MFD 0
P 8kN q 4kN / m m 16kN m
A
EF
BC
1.支反力计算
20kN
20kN / m
xA A
B
C
D
2m 2m 2m
yA
yB
由 0 ， 得： x A 0
由 M A
0,
即,
1 2
20
22
20 4
yB
6
0,
得：
yB 20kN（ ）
由 Y 0 , 即， yA yB 20 2 20 0 , 得： yA 40kN （ ）
在均布荷载的起点和终点，集中力、集中力偶作用点等。
B
D
3.3 静定梁的内力计算
二、绘制内力图的方法 2.叠加法
（2）分段叠加法：
将梁分为若干段，分别求出各段两端弯矩值
（也称为控制截面弯矩值），并联以虚线；每
段再叠加相应简支梁在该荷载作用下的M图。
注意：这里的“叠加”强调两个弯矩图中同一截面 上对应的弯矩竖标相加
3.3 静定梁的内力计算
例2 解：
NC A Q
CA
由M C 0 , 即 ，
yA
x
q
x
1 2
x
MCA
0,
得：
MCA
1 2
ql
x
1 2
qx2
由 Y
0,
即,
y A q x QCA
0,
得 ：Q CA
1 ql qx 2
由 0 ， 得： N CA 0
3.3 静定梁的内力计算
例、求作图示结构的内力图。
A
CB
3
2m
2m
1.5
D 2m
M图 （kN m）
MBD 6kN m （上侧受拉）
3kN / m A
CB
1 8
ql2
6
3kN / m
B
D
1 8
ql2
1.5
3.3 静定梁的内力计算
例5、作图示简支梁的弯矩图：
P 8kN q 4kN / m m 16kN m
xA A
EF
3.3 静定梁的内力计算
解： 2.分段，求控制截面内力：
分为AC、CD和DF段。
P 8kN q 4kN / m m 16kN m
A
EF
BC
D
1m 1m 4m 1m 1m
（1）AC段:
yA 17kN
P 8kN MCA
A
C
QCA
N CA
yA 17kN
由MC 0, 即 ，yA 2 81 MCA 0,
N图（kN）
3.3 静定梁的内力计算
例4、求作梁的弯矩图。
解： 1.支反力计算：
xA A
3kN / m
CB
D
由 0，得：xA 0
由MA 0,
2m
yA
2m
2m
yB
即,
1 2
3
62
yB 4 0,
得：
yB
13.5kN（
）
由Y 0,
即， yA yB 3 6 0, 得： yA 4.5kN（ ）
A
解：3.内力图绘制：
土建工程上规定： 轴力、剪力图标注正负号； 1 ql
2
弯矩图画在杆件的受拉一侧，
A
不用标注正负号。
M CA
1 qlx 2
1 qx 2 2
Q CA
1 ql 2
qx
A
N CA 0
q
B
M图（l81kqNl 2 m）
q
B
l
Q图（kN）
1 ql 2
q
B
l
N图（kN）
3.3 静定梁的内力计算
3.3 静定梁的内力计算
解：2.分段，求控制截面弯矩： 分为AB和BD段。
3kN / m
A
CB
D
BD段：
2m
yA
M BD
3kN / m
B
D
2m
2m
yB
由MB 0,
即
，MBD
1 2
3
22
0,
得：MBD 6kN m（上侧受拉）