2020高考文数数学文化

第5讲数学文化

一、选择题

1.我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载:一年有二十四个节气,每个节气晷(ɡuǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器,晷长即为所测量影子的长度).二十四个节气及晷长变化如图所示,相邻两个节气晷长的变化量相同,周而复始.若冬至晷长一丈三尺五寸,夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺,一尺等于十寸),则夏至之后的那个节气(小暑)晷长是()

A.五寸

B.二尺五寸

C.三尺五寸

D.四尺五寸

答案B设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列{a n},公差为d,a1=15,a13=135,则

15+12d=135,解得d=10.所以a2=15+10=25,所以小暑的晷长是25寸,即二尺五寸,故选B.

2.秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入的n,x的值分别为3,3,则输出的v的值为()

A.15

B.16

C.47

D.48

答案 D 执行程序框

图,n=3,x=3,v=1,i=2≥0,v=1×3+2=5,i=1≥0,v=5×3+1=16,i=0≥0,v=16×3+0=48,i=-1<0,退出循环,输出v 的值为48.故选D.

3.刘徽是一个伟大的数学家,他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的数学遗产,他所提出的割圆术可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积.若在圆内随机取一点,则此点取自该圆内接正六边形的概率是( ) A.

3√3

4π

B.

3√3

2π

C.1

2π

D.1

4π

答案 B 如图,在单位圆中作其内接正六边形,则所求概率

P=S 正六边形S 圆

=√34×12×6π×12=3√32π.

4.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212

.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为( ) A.√23

f B.√223

f C.√2512

f D.√2712

f

答案 D 从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212

,第一个单音的频率为f,由等比数列的概念可知,这十三个单音的频率构成一个首项为f,公比为

√212

的等比数列,记为{a n },则第八个单音频率为a 8=f(√212)8-1=√2712

f,故选D.

5.我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边长求三角形的面积的“三斜求积”公式:

设△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,则△ABC 的面积S=√1

4[c 2a 2-(c 2+a 2-b 22)2].

若a 2sin C=4sin A,(a+c)2=12+b 2,则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为( ) A.√3 B.2 C.3 D.√6

答案 A 根据正弦定理及a 2sin C=4sin A,得ac=4.

再结合(a+c)2=12+b2,得a2+c2-b2=4,

则S=√1

4[c2a2-(c2+a2-b2

2

)

2

]=√16-4

4

=√3,故选A.

6.《周易》历来被人们视作儒家群经之首,它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识,是中华人文文化的基础,它反映出中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为:把阳爻“”当作数字“1”,把阴爻“”当作数字“0”,则八卦所代表的数表示如下:

卦名符号表示的二进制

数

表示的十进制数

坤0000

艮0011

坎0102

巽0113

依次类推,则六十四卦中的“屯”卦,符号为“”,其表示的十进制数是()

A.33

B.34

C.36

D.35

答案B由题意类推,可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100 010,转化为十进制数为0×20+1×21+0×22+0×23+0×24+1×25=34.故选B.

7.我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目:“一百馒头一百僧,大僧三个更无争.小僧三人分一个,大小和尚各几丁?”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法,执行程序框图,则输出的n的值为()

A.20

B.25

C.30

D.35

答案 B 解法一:执行程序框

图,n=20,m=80,S=60+80

3≠100;n=21,m=79,S=63+79

3≠100;……;n=25,m=75,S=75+25=100,退出循环.输出n=25.故选B.

解法二:由题意,得{m +n =100,

3n +m 3

=100,且m,n 都是整数,解得n=25,m=75,故选B.

8.(2018河北保定一模)2002年国际数学家大会在北京召开,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计而成的.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的边长为2,大正方形的边长为10,直角三角形中较小的锐角为θ,则sin (θ+π

2)-cos (θ+π3)=( )

A.4+3√310

B.4-3√3

10 C.

-4+3√3

10

D.

-4-3√310

答案 A 设直角三角形中较短的直角边长为a,则a 2+(a+2)2=102,解得a=6,∴sin θ=6

10=3

5, cos θ=8

10=4

5,sin (θ+π

2)-cos (θ+π

3)=cos θ-1

2cos θ+√3

2sin θ=1

2cos θ+√3

2sin θ=12×45+√32×35

=

4+3√3

10

. 9.如图所示的程序框图来源于中国古代数学著作《孙子算经》,其中定义[x]表示不超过x 的最大整数,例如[0.6]=0,[2]=2,[3.6]=3.执行该程序框图,则输出的a=( )