201654三角形的证明练习题
三角形的证明测试题1(有答案)
A. 72∘ 树在折断前的高度为 (
B. 36∘ )
C. 60∘
D. 82∘
3. 如图，一棵大树在一次强台风中于离地面 5 米处折断倒下，倒下部分与地面成 30∘ 夹角，这棵大
A. 10 米
B. 15 米
C. 25 米
D. 30 米
ห้องสมุดไป่ตู้
4. 如图所示，已知 ������������ 是 △ ������������������ 的高，������������ = 10，������������ = 8，������������ = 12，则 △ ������������������ 为
Ⅰ 求证 ∠������ + ∠������������������ = 180∘ ； Ⅱ 如果 ∠������ + 2∠������������������ = 180∘ ，探究线段 ������������，������������，������������ 之间满足的等量关系，并证明．
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8. 如图，已知直角三角形的两直角边分别为 5 和 12，则斜边上的高是
A.
12 5
B. 13 )．
60
C. 5
D.
13 5
9. 如图，△ ������������������ 中边 ������������ 的垂直平分线分别交 ������������ ，������������ 于点 ������ ，������ ，������������ = 3 cm，△ ������������������ 的周长为 9 cm，则 △ ������������������ 的周长是 (
B. ������������ 与 ������������ 的中垂线的交点 D. ������������ 与 ∠������������������ 的平分线的交点
(完整版)初中数学三角形证明题练习及答案
三角形证明题练习1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB与D，交BC于E，连接AE，若CE=5，AC=12，则BE的长是（）A．13 B．10 C．12 D．52．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（）A．5个B．4个C．3个D．2个3．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=8cm，AC=6cm，则 S△ABD：S△ACD=（）A．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：164．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（）A．70°B．80°C．40°D．30°5．如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（）A．30°B．36°C．40°D．45°6．如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠AOD，若∠AOC=35°，则∠BOD等于（）A．145°B．110°C．70°D．35°7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BA的垂直平分线交BC边于D，若AB=10，AC=5，则图中等于60°的角的个数是（）A．2B．3C．4D．58．如图，已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD的周长的差是（）A．2B．3C．6D．不能确定9．在Rt△ABC中，如图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=3.8cm，则BC等于（）10．△ABC 中，点O 是△ABC 内一点，且点O 到△ABC 三边的距离相等；∠A=40°，则∠BOC=（ ）11．如图，已知点P 在∠AOB 的平分线OC 上，PF ⊥OA ，PE ⊥OB ，若PE=6，则PF 的长为（ ）12．如图，△ABC 中，DE 是AB 的垂直平分线，交BC 于点D ，交AB 于点E ，已知AE=1cm ，△ACD 的周长为12cm ，则△ABC 的周长是（ ）13．如图，∠BAC=130°，若MP 和QN 分别垂直平分AB 和AC ，则∠PAQ 等于（ ）14．如图，要用“HL ”判定Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′全等的条件是（ ）15．如图，MN 是线段AB 的垂直平分线，C 在MN 外，且与A 点在MN 的同一侧，BC 交MN 于P 点，则（ ）16．如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 上一点，BF=CD ，CE=BD ，那么∠EDF 等于（ ）17．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 平分∠BAC ，那么下列结论不一定成立的是（ ）A ． 110°B ． 120°C ． 130°D ． 140° A ． 2 B ． 4 C ． 6 D ． 8A ． 13cmB ． 14cmC ． 15cmD ． 16cmA ． 50°B ． 75°C ． 80°D ． 105°A ． AC=A ′C ′，BC=B ′C ′ B ． ∠A=∠A ′，AB=A ′B ′ C ． AC=A ′C ′，AB=A ′B ′D ． ∠B=∠B ′，BC=B ′C ′ A ． B C ＞PC+AP B ． B C ＜PC+AP C ． B C=PC+AP D ． B C ≥PC+APA ． 90°﹣∠AB ．90°﹣∠AC ． 180°﹣∠AD ．45°﹣∠AA ． △ABD ≌△ACDB ． AD 是△ABC 的高线 C ． AD 是△ABC 的角平分线 D ． △ABC 是等边三角形三角形证明中经典题21.如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．（1）求证：OE是CD的垂直平分线．（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．2.如图，点D是△ABC中BC边上的一点，且AB=AC=CD，AD=BD，求∠BAC的度数．3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：（1）∠B=∠C．（2）△ABC是等腰三角形．4如图，AB=AC，∠C=67°，AB的垂直平分线EF交AC于点D，求∠DBC的度数．5.如图，△ABC中，AB=AD=AE，DE=EC，∠DAB=30°，求∠C的度数．6.阅读理解：“在一个三角形中，如果角相等，那么它们所对的边也相等．”简称“等角对等边”，如图，在△ABC 中，已知∠ABC和∠ACB的平分线上交于点F，过点F作BC的平行线分别交AB、AC于点D、E，请你用“等角对等边”的知识说明DE=BD+CE．7.如图，AD是△ABC的平分线，DE，DF分别垂直AB、AC于E、F，连接EF，求证：△AEF是等腰三角形．2015年05月03日初中数学三角形证明组卷参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．（2015•涉县模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB与D，交BC于E，连接AE，若CE=5，AC=12，则BE的长是（）A ．13 B．10 C．12 D．5考点：线段垂直平分线的性质．分析：先根据勾股定理求出AE=13，再由DE是线段AB的垂直平分线，得出BE=AE=13．解答：解：∵∠C=90°，∴AE=，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴BE=AE=13；故选：A．点评：本题考查了勾股定理和线段垂直平分线的性质；利用勾股定理求出AE是解题的关键．2．（2015•淄博模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（）A ．5个B．4个C．3个D．2个考点：等腰三角形的判定；三角形内角和定理．专题：证明题．分根据已知条件和等腰三角形的判定定理，对图中的三角形进行分析，即可得出答案．解答：解：共有5个．（1）∵AB=AC∴△ABC是等腰三角形；（2）∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠BCD，∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC=∠ECB，∴△BCE是等腰三角形；（3）∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣36°）=72°，又BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A，∴△ABD是等腰三角形；同理可证△CDE和△BCD是等腰三角形．故选：A．点评：此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题．3．（2014秋•西城区校级期中）如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=8cm，AC=6cm，则 S△ABD：S△ACD=（）A ．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：16考点：角平分线的性质；三角形的面积．专题：计算题．分析：首先过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，由AD是它的角平分线，根据角平分线的性质，即可求得DE=DF，由△ABD的面积为12，可求得DE与DF的长，又由AC=6，则可求得△ACD的面积．解答：解：过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F…（1分）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，…（3分）∴S△ABD=•DE•AB=12，∴DE=DF=3…（5分）∴S△ADC=•DF•AC=×3×6=9…（6分）故选A．点评：此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，解题的关键是熟记角平分线的性质定理的应用，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．4．（2014•丹东）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（）A ．70°B．80°C．40°D．30°考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．专题：几何图形问题．分析：由等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，即可求得∠ABC的度数，又由线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，可得AE=BE，继而求得∠ABE的度数，则可求得答案．解答：解：∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C==70°，∵线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=40°，∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°．故选：D．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．5．（2014•南充）如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（）A ．30°B．36°C．40°D．45°考点：等腰三角形的性质．分析：求出∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C的关系，利用三角形的内角和是180°，求∠B，解答：解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵AB=BD，∴∠BAD=∠BDA，∵CD=AD，∴∠C=∠CAD，∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°故选：B．点评：本题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是运用等腰三角形的性质得出∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C关系．6．（2014•山西模拟）如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠AOD，若∠AOC=35°，则∠BOD等于（）A ．145°B．110°C．70°D．35°考点：角平分线的定义．分析：首先根据角平分线定义可得∠AOD=2∠AOC=70°，再根据邻补角的性质可得∠BOD 的度数．解答：解：∵射线OC平分∠DOA．∴∠AOD=2∠AOC，∵∠COA=35°，∴∠DOA=70°，∴∠BOD=180°﹣70°=110°，故选：B．点评：此题主要考查了角平分线定义，关键是掌握角平分线把角分成相等的两部分．7．（2014•雁塔区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BA的垂直平分线交BC边于D，若AB=10，AC=5，则图中等于60°的角的个数是（）．．．．考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据已知条件易得∠B=30°，∠BAC=60°．根据线段垂直平分线的性质进一步求解．解答：解：∵∠ACB=90°，AB=10，AC=5，∴∠B=30°．∴∠BAC=90°﹣30°=60°∵DE垂直平分BC，∴∠BAC=∠ADE=∠BDE=∠CDA=90°﹣30°=60°．∴∠BDE对顶角=60°，∴图中等于60°的角的个数是4．故选C．点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．由易到难逐个寻找，做到不重不漏．8．（2014秋•腾冲县校级期末）如图，已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD的周长的差是（）A ．2 B．3 C．6 D．不能确定考点：三角形的角平分线、中线和高．专题：计算题．分析：根据三角形的中线得出AD=CD，根据三角形的周长求出即可．解答：解：∵BD是△ABC的中线，∴AD=CD，∴△ABD和△BCD的周长的差是：（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）=AB﹣BC=5﹣3=2．故选A．点评：本题主要考查对三角形的中线的理解和掌握，能正确地进行计算是解此题的关键．9．（2014春•栖霞市期末）在Rt△ABC中，如图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=3.8cm，则BC等于（）A ．3.8cm B．7.6cm C．11.4cm D．11.2cm考点：角平分线的性质．分析：由∠C=90°，∠CAB=60°，可得∠B的度数，故BD=2DE=7.6，又AD平分∠CAB，故DC=DE=3.8，由BC=BD+DC求解．解答：解：∵∠C=90°，∠CAB=60°，∴∠B=30°，在Rt△BDE中，BD=2DE=7.6，又∵AD平分∠CAB，∴DC=DE=3.8，∴BC=BD+DC=7.6+3.8=11.4．故选C．点评：本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到D到AB的距离DE即为CD长，是解题的关键．10．（2014秋•博野县期末）△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；∠A=40°，则∠BOC=（）A ．110°B．120°C．130°D．140°考点：角平分线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．专题：计算题．分析：由已知，O到三角形三边距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．解答：解：由已知，O到三角形三边距离相等，所以O是内心，即三条角平分线交点，AO，BO，CO都是角平分线，所以有∠CBO=∠ABO=∠ABC，∠BCO=∠ACO=∠ACB，∠ABC+∠ACB=180﹣40=140∠OBC+∠OCB=70∠BOC=180﹣70=110°故选A．点评：此题主要考查学生对角平分线性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．11．（2013秋•潮阳区期末）如图，已知点P在∠AOB的平分线OC上，PF⊥OA，PE⊥OB，若PE=6，则PF的长为（）A ．2 B．4 C．6 D．8考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：利用角平分线性质得出∠POF=∠POE，然后利用AAS定理求证△POE≌△POF，即可求出PF的长．解答：解：∵OC平分∠AOB，∴∠POF=∠POE，∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO，PO为公共边，∴△POE≌△POF，∴PF=PE=6．故选C．点评：此题考查学生对角平分线性质和全等三角形的判定与性质的理解和掌握，解答此题的关键是求证△POE≌△POF．12．（2013秋•马尾区校级期末）如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，已知AE=1cm，△ACD的周长为12cm，则△ABC的周长是（）A ．13cm B．14cm C．15cm D．16cm考点：线段垂直平分线的性质．分析：要求△ABC的周长，先有AE可求出AB，只要求出AC+BC即可，根据线段垂直平分线的性质可知，AD=BD，于是AC+BC=AC+CD+AD等于△ACD的周长，答案可得．解答：解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，AB=2AE=2又∵△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=12 ∴△ABC的周长是12+2=14cm．故选B点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；进行线段的等效转移，把已知与未知联系起来是正确解答本题的关键．13．（2013秋•西城区期末）如图，∠BAC=130°，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于（）A ．50°B．75°C．80°D．105°考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线性质得出BP=AP，CQ=AQ，推出∠B=∠BAP，∠C=∠QAC，求出∠B+∠C，即可求出∠BAP+∠QAC，即可求出答案．解答：解：∵MP和QN分别垂直平分AB和AC，∴BP=AP，CQ=AQ，∴∠B=∠PAB，∠C=∠QAC，∵∠BAC=130°，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=50°，∴∠BAP+∠CAQ=50°，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠PAB+∠QAC）=130°﹣50°=80°，故选：C．点评：本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形的内角和定理，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，等边对等角．14．（2014秋•东莞市校级期中）如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（）A ．AC=A′C′，BC=B′C′B．∠A=∠A′，AB=A′B′C ．AC=A′C′，AB=A′B′D．∠B=∠B′，BC=B′C′考点：直角三角形全等的判定．分析：根据直角三角形全等的判定方法（HL）即可直接得出答案．解答：解：∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，如果AC=A′C′，AB=A′B′，那么BC一定等于B′C′，Rt△ABC和Rt△A′B′C′一定全等，故选C．点评：此题主要考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．15．（2014秋•淄川区校级期中）如图，MN是线段AB的垂直平分线，C在MN外，且与A点在MN的同一侧，BC交MN 于P点，则（）A ．BC＞PC+AP B．BC＜PC+AP C．BC=PC+AP D．BC≥PC+AP考点：线段垂直平分线的性质．分析：从已知条件进行思考，根据垂直平分线的性质可得PA=PB，结合图形知BC=PB+PC，通过等量代换得到答案．解答：解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=PB．∵BC=PC+BP，∴BC=PC+AP．故选C．点评：本题考查了垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；结合图形，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．16．（2014秋•万州区校级期中）如图，已知在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，BF=CD，CE=BD，那么∠EDF等于（）A ．90°﹣∠A B．90°﹣∠AC．180°﹣∠A D．45°﹣∠A考点：等腰三角形的性质．分析：由AB=AC，利用等边对等角得到一对角相等，再由BF=CD，BD=CE，利用SAS得到三角形FBD与三角形DEC全等，利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，即可表示出∠EDF．解答：解：∵AB=AC，∴∠B=∠C°，在△BDF和△CED中，，∴△BDF≌△CED（SAS），∴∠BFD=∠CDE，∴∠FDB+∠EDC=∠FDB+∠BFD=180°﹣∠B=180°﹣=90°+∠A，则∠EDF=180°﹣（∠FDB+∠EDC）=90°﹣∠A．故选B．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．17．（2014秋•泰山区校级期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，那么下列结论不一定成立的是（）A ．△ABD≌△ACDB．AD是△ABC的高线C ．AD是△ABC的角平分线D．△ABC是等边三角形考点：等腰三角形的性质．分析：利用等腰三角形的性质逐项判断即可．解答：解：A、在△ABD和△ACD 中，，所以△ABD≌△ACD，所以A正确；B、因为AB=AC，AD平分∠BAC，所以AD是BC边上的高，所以B正确；C、由条件可知AD为△ABC的角平分线；D、由条件无法得出AB=AC=BC，所以△ABC不一定是等边三角形，所以D不正确；故选D．点评：本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．18．（2014秋•晋江市校级月考）如图，点P是△ABC内的一点，若PB=PC，则（）A ．点P在∠ABC的平分线上B．点P在∠ACB的平分线上C ．点P在边AB的垂直平分线上D．点P在边BC的垂直平分线上考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上由PC=PB即可得出P在线段BC的垂直平分线上．解答：解：∵PB=PC，∴P在线段BC的垂直平分线上，故选D．点评：本题考查了角平分线的性质和线段垂直平分线定理，注意：到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，角平分线上的点到角的两边的距离相等．19．（2013•河西区二模）如图，在∠ECF的两边上有点B，A，D，BC=BD=DA，且∠ADF=75°，则∠ECF的度数为（）A ．15°B．20°C．25°D．30°考等腰三角形的性质．点：分析：根据等腰三角形的性质以及三角形外角和内角的关系，逐步推出∠ECF的度数．解答：解：∵BC=BD=DA，∴∠C=∠BDC，∠ABD=∠BAD，∵∠ABD=∠C+∠BDC，∠ADF=75°，∴3∠ECF=75°，∴∠ECF=25°．故选：C．点评：考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，三角形外角和内角的运用．20．（2013秋•盱眙县校级期中）如图，P为∠AOB的平分线OC上任意一点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，连接MN交OP于点D．则①PM=PN，②MO=NO，③OP⊥MN，④MD=ND．其中正确的有（）A ．1个B．2个C．3个D．4个考点：角平分线的性质．分析：由已知很易得到△OPM≌△OPN，从而得角相等，边相等，进而得△OMP≌△ONP，△PMD≌△PND，可得MD=ND，∠ODN=∠ODM=9O°，答案可得．解答：解：P为∠AOB的平分线OC上任意一点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N 连接MN交OP于点D，∴∠MOP=∠NOP，∠OMP=∠ONP，OP=OP，∴△OPM≌△OPN，∴MP=NP，OM=ON，又OD=OD∴△OMD≌△OND，∴MD=ND，∠ODN=∠ODM=9O°，∴OP⊥MN∴①PM=PN，②MO=NO，③OP⊥MN，④MD=ND都正确．故选D．点评：本题主要考查了角平分线的性质，即角平分线上的一点到两边的距离相等；发现并利用△OMD≌△OND是解决本题的关键，证明两线垂直时常常通过证两角相等且互补来解决．二．解答题（共10小题）21．（2014秋•黄浦区期末）如图，已知ON是∠AOB的平分线，OM、OC是∠AOB外的射线．（1）如果∠AOC=α，∠BOC=β，请用含有α，β的式子表示∠NOC．（2）如果∠BOC=90°，OM平分∠AOC，那么∠MON的度数是多少？考点：角平分线的定义．分析：（1）先求出∠AOB=α﹣β，再利用角平分线求出∠AON，即可得出∠NOC；（2）先利用角平分线求出∠AOM=∠AOC，∠AON=∠AOB，即可得出∠MON=∠BOC．解答：解：（1）∵∠AOC=α，∠BOC=β，∴∠AOB=α﹣β，∵ON是∠AOB的平分线，∴∠AON=（α﹣β），∠NOC=α﹣（α﹣β）=（α+β）；（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠AOB，∴∠AOM=∠AOC，∠AON=∠AOB，∴∠MON=∠AOM﹣∠AON=（∠AOC﹣∠AOB）=∠BOC=×90°=45°．点评：本题考查了角平分线的定义和角的计算；弄清各个角之间的数量关系是解决问题的关键．22．（2014秋•阿坝州期末）如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．（1）求证：OE是CD的垂直平分线．（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．考点：线段垂直平分线的性质．专题：探究型．分析：（1）先根据E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA得出△ODE≌△OCE，可得出OD=OC，DE=CE，OE=OE，可得出△DOC是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出OE是CD的垂直平分线；（2）先根据E是∠AOB的平分线，∠AOB=60°可得出∠AOE=∠BOE=30°，由直角三角形的性质可得出OE=2DE，同理可得出DE=2EF即可得出结论．解答：解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，∴DE=CE，OE=OE，∴Rt△ODE≌Rt△OCE，∴OD=OC，∴△DOC是等腰三角形，∵OE是∠AOB的平分线，∴OE是CD的垂直平分线；（2）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB=60°，∴∠AOE=∠BOE=30°，∵EC⊥OB，ED⊥OA，∴OE=2DE，∠ODF=∠OED=60°，∴∠EDF=30°，∴DE=2EF，∴OE=4EF．点评：本题考查的是角平分线的性质及直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解答此题的关键．23．（2014秋•花垣县期末）如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，DE⊥AB（E在AB之间），DF⊥BC，已知BD=5，DE=3，CF=4，试求△DFC的周长．考点：角平分线的性质．分析：根据角平分线的性质可证∠ABD=∠CBD，即可求得∠CBD=∠C，即BD=CD，再根据角平分线上的点到角两边距离相等即可求得DE=DF，即可解题．解答：解：∵∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠C，∴BD=CD，∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，∴△DFC的周长=DF+CD+CF=DE+BD+CF=3+5+4=12．点评：本题考查了角平分线上点到角两边距离相等的性质，考查了角平分线平分角的性质，考查了三角形周长的计算，本题中求证DE=DF是解题的关键．24．（2014秋•大石桥市期末）如图，点D是△ABC中BC边上的一点，且AB=AC=CD，AD=BD，求∠BAC的度数．考点：等腰三角形的性质．分析：由AD=BD得∠BAD=∠DBA，由AB=AC=CD得∠CAD=∠CDA=2∠DBA，∠DBA=∠C，从而可推出∠BAC=3∠DBA，根据三角形的内角和定理即可求得∠DBA的度数，从而不难求得∠BAC的度数．解答：解：∵AD=BD∴设∠BAD=∠DBA=x°，∵AB=AC=CD∴∠CAD=∠CDA=∠BAD+∠DBA=2x°，∠DBA=∠C=x°，∴∠BAC=3∠DBA=3x°，∵∠ABC+∠BAC+∠C=180°∴5x=180°，∴∠DBA=36°∴∠BAC=3∠DBA=108°．点评：此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用能力；求得角之间的关系利用内角和求解是正确解答本题的关键．25．（2014秋•安溪县期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=α．（1）直接写出∠ABC的大小（用含α的式子表示）；（2）以点B为圆心、BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE．若=30°，求∠BDE的度数．考点：等腰三角形的性质．分析：（1）根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可求得∠ABC的大小；（2）根据等腰三角形两底角相等求出∠BCD=∠BDC，再求出∠CBD，然后根据∠ABD=∠ABC﹣∠CBD，求得∠ABD，再根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质计算即可得解．解答：解：（1）∠ABC的大小为×（180°﹣α）=90°﹣α；（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=90°﹣α=90°﹣×30°=75°，由题意得：BC=BD=BE，由BC=BD得∠BDC=∠C=75°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣75°=30°，∴∠ABD=∠ABC﹣∠CBD=75°﹣30°=45°，由BD=BE得．故∠BDE的度数是 67.5°．点评：本题考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键．26．（2014秋•静宁县校级期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：（1）∠B=∠C．（2）△ABC是等腰三角形．考点：等腰三角形的判定．分析：由条件可得出DE=DF，可证明△BDE≌△CDF，可得出∠B=∠C，再由等腰三角形的判定可得出结论．解答：证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE=DF，在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HF），∴∠B=∠C；（2）由（1）可得∠B=∠C，∴△ABC为等腰三角形．点评：本题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定和性质，利用角平分线的性质得出DE=DF是解题的关键．27．（2012秋•天津期末）如图，AB=AC，∠C=67°，AB的垂直平分线EF交AC于点D，求∠DBC的度数．考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．分析：求出∠ABC，根据三角形内角和定理求出∠A，根据线段垂直平分线得出AD=BD，求出∠ABD，即可求出答案．解答：解：∵AB=AC，∠C=67°，∴∠ABC=∠C=67°，∴∠A=180°﹣67°﹣67°=46°，∵EF是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=46°，∴∠DBC=67°﹣46°=21°．点评：本题考查了线段垂直平分线，三角形的能或定理，等腰三角形的性质和判定等知识点，关键是求出∠ABC和∠ABD的度数，题目比较好．28．（2013秋•高坪区校级期中）如图，△ABC中，AB=AD=AE，DE=EC，∠DAB=30°，求∠C的度数．考点：等腰三角形的性质．分析：首先根据AB=AD=AE，DE=EC，得到∠B=∠ADB，∠ADE=∠AED，∠C=∠EDC，从而得到∠ADE=∠AED=∠C+∠EDC=2∠C，根据∠DAB=30°，求得∠B=∠ADB=75°，利用∠ADC=∠ADE+∠EDC=3∠C=105°，求得∠C即可．解答：解：∵AB=AD=AE，DE=EC，∴∠B=∠ADB，∠ADE=∠AED，∠C=∠EDC，∴∠ADE=∠AED=∠C+∠EDC=2∠C，∵∠DAB=30°，∴∠B=∠ADB=75°，∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=3∠C=105°，∴∠C=35°．点评：本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质求得有关角的度数．29．（2012春•扶沟县校级期中）阅读理解：“在一个三角形中，如果角相等，那么它们所对的边也相等．”简称“等角对等边”，如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线上交于点F，过点F作BC的平行线分别交AB、AC于点D、E，请你用“等角对等边”的知识说明DE=BD+CE．等腰三角形的性质．考点：专证明题．题：由DE∥BC，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB可知，DB=DF，CE=EF．便可得出结论．分析：解答：证明：∵BF平分∠ABC（已知），CF平分∠ACB（已知），∴∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠FCB；又∵DE平行BC（已知）∴∠DFB=∠FBC（两直线平行，内错角相等），∠EFC=∠FCB（两直线平行，内错角相等），∴∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF（等量代换）∴DF=DB，EF=EC（等角对等边）∴DE=BD+CE．点评：此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线的性质的理解和掌握，主要利用等腰三角形两边相等．稍微有点难度是一道中档题．30．（2011•龙岩质检）如图，AD是△ABC的平分线，DE，DF分别垂直AB、AC于E、F，连接EF，求证：△AEF是等腰三角形．考点：等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：根据角平分线的性质知∠BAD=∠CAD；然后根据已知条件“DE，DF分别垂直AB、AC于E、F”得到∠DEA=∠DFA=90°；再加上公共边AD=AD，从而证明，△ADE≌△ADF；最后根据全等三角形的对应边相等证明△AEF的两边相等，所以△AEF是等腰三角形．解答：证明：∵AD是△ABC的平分线，∴∠BAD=∠CAD，（3分）又∵DE，DF分别垂直AB、AC于E，F∴∠DEA=∠DFA=90°（6分）又∵AD=AD，∴△ADE≌△ADF．（8分）∴AE=AF，即△AEF是等腰三角形（10分）点评：本题综合考查了等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质．解答此题时，根据全等三角形的判定定理ASA判定△ADE≌△ADF．。
三角形的证明复习题-精品.pdf
一．选择题（共27小题）1．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S=15，则CD的长为（）△ABDA．3 B．4 C．5 D．62．到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（）的交点．A．三个内角平分线B．三边垂直平分线C．三条中线D．三条高3．下列说法错误的是（）A．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合B．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等C．等腰三角形的两个底角相等D．等腰三角形顶角的外角是底角的二倍4．已知如图：△ABC中，AB=AC，BE=CD，BD=CF，则∠EDF=（）A．2∠A B．90°﹣2∠A C．90°﹣∠A D．5．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED=90°②∠ADE=∠CDE ③DE=BE ④AD=AB+CD，四个结论中成立的是（）A．①②④B．①②③C．②③④D．①③6．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=10，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．9 B．8 C．7 D．67．如图，△ABC的两边AC和BC的垂直平分线分别交AB于D、E两点，若AB边的长为10cm，则△CDE的周长为（）A．10cm B．20cm C．5cm D．不能确定8．如图，BP为∠ABC的平分线，过点D作BC、BA的垂线，垂足分别为E、F，则下列结论中错误的是（）A．∠DBE=∠DBF B．DE=DF C．2DF=DB D．∠BDE=∠BDF9．如图，∠A=80°，点O是AB，AC垂直平分线的交点，则∠BCO的度数是（）A．40°B．30°C．20°D．10°10．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．5条B．6条C．7条D．8条11．如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA=OB=OC，∠ABC=∠ADC=70°，则∠DAO+∠DCO的大小是（）A．70°B．110°C．140°D．150°12．如图，在射线OA，OB上分别截取OA1=OB1，连接A1B1，在B1A1，B1B 上分别截取B1A2=B1B2，连接A2B2，…按此规律作下去，若∠A1B1O=α，则∠A10B10O=（）A．B．C．D．13．如图，O是△ABC的角平分线的交点，△ABC的面积为2，周长为4，则点O到BC的距离为（）A．1 B．2 C．3 D．无法确定14．若（a﹣2）2+|b﹣3|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（）A．6 B．7 C．8 D．7或815．在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），B（0，2），若点C在x轴上方，CO=CB，且△AOC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．616．如图，在底边BC为2，腰AB为2的等腰三角形ABC中，DE垂直平分AB于点D，交BC于点E，则△ACE的周长为（）A．2+B．2+2C．4 D．317．如图，△ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE．若∠A=30°，AB=AC，则∠BDE的度数为（）A．67.5°B．52.5°C．45°D．75°．18．在△ABC中，∠BAC=115°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，则∠EAG的度数为（）A．50°B．40°C．30°D．25°19．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D在BC上，E是AB的中点，AD、CE 相交于F，且AD=DB．若∠B=20°，则∠DFE等于（）A．30°B．40°C．50°D．60°20．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD ⊥BC于，且OD=4，△ABC的面积是（）A．25 B．84 C．42 D．2121．如果一等腰三角形的周长为27，且两边的差为12，则这个等腰三角形的腰长为（）A．13 B．5 C．5或13 D．122．若（a﹣4）2+|b﹣6|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（）A．14 B．16 C．13 D．14或1623．如图，△ABC的三边AB、BC、CA分别长为20、30、40，AO、BO、CO 分别是三个内角平分线，则S△AOB：S△BOC：S△AOC等于（）A．1：111 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：524．如图，∠ACB的外角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P．则下列结论正确的是（）A．PA平分∠CPB B．AP平分BC C．AP⊥BC D．AP平分∠CAB25．如图，在△ABC中，AB=10cm，AC=18cm，点M从点A出发以每秒2cm 的速度向点B运动，点N从点C出发以每秒3cm的速度向点A运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△AMN是以MN为底边的等腰三角形时，运动的时间是（）A．1.6秒B．2秒C．2.4秒D．3.6秒26．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0）点M的坐标为（0，4），过M点作直线MN⊥y轴，在直线MN上找一点B，使△OAB是等腰三角形，此时，点B的坐标不可能是（）A．（0，4）B．（2，4）C．（4，4）D．（4，2）27．等腰三角形的三边长分别为3x﹣2，4x﹣3，6﹣2x，则该三角形的周长为（）A．6 B．6或9或8.5C．9或8.5 D．与x的取值有关二．选择题（共7小题）28．如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、M在BC上，则∠EAN=．29．如图，在△ABC中，∠BAC=50°，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF ⊥AC，则∠DEF=．30．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=90°﹣∠B，④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（填序号）31．如图，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于D，PC∥OB交OA于C，若PC=6，则PD=．32．如图，AD是△ABC的角平分线，AB：AC=3：2，△ABD的面积为15，则△ACD的面积为．33．在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，∠BAC的平分线交BC于D，且BD：DC=5：3，则D到AB的距离为cm．34．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BC边上的高AD=6cm，腰AB上的高CE=8cm，则BC=cm三．选择题（共2小题）35．如图：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于．36．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=∠B，AB=2cm，点P从点B开始以1cm/s的速度向点C移动，当△ABP要以AB为腰的等腰三角形时，则运动的时间为．四．选择题（共3小题）37．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥于点D，AM是△ABC的外角∠CAE 的平分线．（1）求证：AM∥BC；（2）若DN平分∠ADC交AM于点N，判断△ADN的形状并说明理由．38．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．39．如图，△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．（1）若BC=10，则△ADE周长是多少？为什么？（2）若∠BAC=128°，则∠DAE的度数是多少？为什么？五．解答题（共1小题）40．（1）如图1，点P是等腰三角形ABC的底边BC上的一个动点，过点P作BC的垂线，交直线AB于点Q，交CA的延长线于点R，请观察AR与AQ，它们有何数量关系？并证明你的猜想．（2）如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，（1）中所得的结论还成立吗？请你在图2中完成图形，并直接写出结论．2018年03月21日158****8301的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共27小题）1．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S=15，则CD的长为（）△ABDA．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴DE=CD，∴S△ABD=AB?DE=×10?DE=15，解得DE=3．故选A．2．到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（）的交点．A．三个内角平分线B．三边垂直平分线C．三条中线D．三条高【解答】解：到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点．故选B．3．下列说法错误的是（）A．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合B．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等C．等腰三角形的两个底角相等D．等腰三角形顶角的外角是底角的二倍【解答】解：A、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，故A错误；B、三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故B正确；C、等腰三角形的两个底角相等，故C正确；D、等腰三角形顶角的外角是底角的二倍，故D正确，故选：A．4．已知如图：△ABC中，AB=AC，BE=CD，BD=CF，则∠EDF=（）A．2∠A B．90°﹣2∠A C．90°﹣∠A D．【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵BD=CF，BE=CD∴△BDE≌△CFD，∴∠BDE=∠CFD，∠EDF=180°﹣（∠BDE+∠CDF）=180°﹣（∠CFD+∠CDF）=180°﹣（180°﹣∠C）=∠C，∵∠A+∠B+∠C=180°．∴∠A+2∠EDF=180°，∴∠EDF=．故选D．5．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED=90°②∠ADE=∠CDE ③DE=BE ④AD=AB+CD，四个结论中成立的是（）A．①②④B．①②③C．②③④D．①③【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，∴Rt△AEF≌Rt△AEB∴BE=EF，AB=AF，∠AEF=∠AEB；而点E是BC的中点，∴EC=EF=BE，所以③错误；∴Rt△EFD≌Rt△ECD，∴DC=DF，∠FDE=∠CDE，所以②正确；∴AD=AF+FD=AB+DC，所以④正确；∴∠AED=∠AEF+∠FED=∠BEC=90°，所以①正确．故选A．6．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=10，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．9 B．8 C．7 D．6【解答】解：过D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF=2，∵S△ADB=AB×DE=×4×2=4，∵△ABC的面积为10，∴△ADC的面积为10﹣4=6，∴AC×DF=6，∴AC×2=6，∴AC=6故选D7．如图，△ABC的两边AC和BC的垂直平分线分别交AB于D、E两点，若AB边的长为10cm，则△CDE的周长为（）A．10cm B．20cm C．5cm D．不能确定【解答】解：∵△ABC的两边BC和AC的垂直平分线分别交AB于D、E，∵边AB长为10cm，∴△CDE的周长为：CD+DE+CE=AD+DE+BE=AB=10cm．故选A8．如图，BP为∠ABC的平分线，过点D作BC、BA的垂线，垂足分别为E、F，则下列结论中错误的是（）A．∠DBE=∠DBF B．DE=DF C．2DF=DB D．∠BDE=∠BDF【解答】解：∵BP为∠ABC的平分线，DE⊥AC，DF⊥AB，∴DE=DF，B正确，不符合题意；在Rt△DBE和Rt△DBF中，，∴Rt△DBE≌Rt△DBF，∴∠DBE=∠DBF，∠BDE=∠BDF，A、D正确，不符合题意，2DF不一定等于DB，C错误，符合题意，故选：C．9．如图，∠A=80°，点O是AB，AC垂直平分线的交点，则∠BCO的度数是（）A．40°B．30°C．20°D．10°【解答】解：连接OA、OB，∵∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=100°，∵O是AB，AC垂直平分线的交点，∴∠OAB=∠OBA，∠OCA=∠OAC，OB=OC，∴∠OBA+∠OCA=80°，∴∠OBC+∠OCB=100°﹣80°=20°，∵OB=OC，∴∠BCO=∠CBO=10°，故选：D．10．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．5条B．6条C．7条D．8条【解答】解：如图所示：当BC1=AC1，AC=CC2，AB=BC3，AC4=CC4，AB=AC5，AB=AC时，都能得到符合题意的等腰三角形．故选C11．如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA=OB=OC，∠ABC=∠ADC=70°，则∠DAO+∠DCO的大小是（）A．70°B．110°C．140°D．150°【解答】解：如图，∵OA=OB=OC，∠ABC=∠ADC=70°∴∠ABO=∠BAO，∠OBC=∠OCB，∴∠AOB+∠BOC=360°﹣2（∠ABO+∠OBC）=220°∴∠AOC=360°﹣220°=140°，∵∠OAD+∠ADC+∠OCD+∠AOC=360°，∴∠DAO+∠DCO=150°．故选D．12．如图，在射线OA，OB上分别截取OA1=OB1，连接A1B1，在B1A1，B1B 上分别截取B1A2=B1B2，连接A2B2，…按此规律作下去，若∠A1B1O=α，则∠A10B10O=（）A．B．C．D．【解答】解：∵B1A2=B1B2，∠A1B1O=α，∴∠A2B2O=α，同理∠A3B3O==α，∠A4B4O=α，∴∠A n B n O=α，∴∠A10B10O=，故选B．13．如图，O是△ABC的角平分线的交点，△ABC的面积为2，周长为4，则点O到BC的距离为（）A．1 B．2 C．3 D．无法确定【解答】解：设点O到BC的距离为x，∵O是△ABC的角平分线的交点，△ABC的面积为2，周长为4，∴×4x=2，解得：x=1．∴点O到BC的距离为1．故选A．14．若（a﹣2）2+|b﹣3|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（）A．6 B．7 C．8 D．7或8【解答】解：∵（a﹣2）2+|b﹣3|=0，∴a﹣2=0，b﹣3=0，解得a=2，b=3，①当腰是2，底边是3时，三边长是2，2，3，此时符合三角形的三边关系定理，即等腰三角形的周长是2+2+3=7；②当腰是3，底边是2时，三边长是3，3，2，此时符合三角形的三边关系定理，即等腰三角形的周长是3+3+2=8．故选：D．15．在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），B（0，2），若点C在x轴上方，CO=CB，且△AOC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：如图所示，符合条件的点C的个数有6个．故选：D．16．如图，在底边BC为2，腰AB为2的等腰三角形ABC中，DE垂直平分AB于点D，交BC于点E，则△ACE的周长为（）A．2+B．2+2C．4 D．3【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴BE=AE，∴AE+CE=BC=2，∴△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=2+2 ，故选B．17．如图，△ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE．若∠A=30°，AB=AC，则∠BDE的度数为（）A．67.5°B．52.5°C．45°D．75°．【解答】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣30°）=75°，∵以B为圆心，BC长为半径画弧，∴BE=BD=BC，∴∠BDC=∠ACB=75°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣75°=30°，∴∠DBE=75°﹣30°=45°，∴∠BED=∠BDE=（180°﹣45°）=67.5°．故选：A．18．在△ABC中，∠BAC=115°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，则∠EAG的度数为（）A．50°B．40°C．30°D．25°【解答】解：∵∠BAC=115°，∴∠B+∠C=65°，∵DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，∴EA=EB，GA=GC，∴∠EAB=∠B，∠GAC=∠C，∴∠EAG=∠BAC﹣（∠EAB+∠GAC）=∠BAC﹣（∠B+∠C）=50°，故选：A．19．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D在BC上，E是AB的中点，AD、CE 相交于F，且AD=DB．若∠B=20°，则∠DFE等于（）A．30°B．40°C．50°D．60°【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，E是AB的中点，∴BE=CE，∵∠B=20°∴∠ECB=∠B=20°，∵AD=BD，∠B=20°，∴∠DAB=∠B=20°，∴∠ADC=∠B+∠DAB=20°+20°=40°，∴∠DFE=∠ADC+∠ECB=40°+20°=60°，故选D．20．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD ⊥BC于，且OD=4，△ABC的面积是（）A．25 B．84 C．42 D．21【解答】解：连接OA，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，如图，∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴OD=OE=4，OD=OF=4，∴△ABC的面积=S△AOB+S△BOC+S△AOC=?OE?AB+?OD?BC+?OF?AC=×4×（AB+BC+AC）=×4×21=42．故选C．21．如果一等腰三角形的周长为27，且两边的差为12，则这个等腰三角形的腰长为（）A．13 B．5 C．5或13 D．1【解答】解：设等腰三角形的腰长为x，则底边长为x﹣12或x+12，当底边长为x﹣12时，根据题意，2x+x﹣12=27，解得x=13，∴腰长为13；当底边长为x+12时，根据题意，2x+x+12=27，解得x=5，因为5+5＜17，所以构不成三角形，故这个等腰三角形的腰的长为13，故选A．22．若（a﹣4）2+|b﹣6|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（）A．14 B．16 C．13 D．14或16【解答】解：∵（a﹣4）2+|b﹣6|=0，∴a﹣4=0，b﹣6=0，∴a=4，b=6，①当腰是4，底边是3时，三边长是4，4，6，此时符合三角形的三边关系定理，即等腰三角形的周长是4+4+6=14；②当腰是6，底边是4时，三边长是6，6，4，此时符合三角形的三边关系定理，即等腰三角形的周长是6+6+4=16．故选D．23．如图，△ABC的三边AB、BC、CA分别长为20、30、40，AO、BO、CO 分别是三个内角平分线，则S△AOB：S△BOC：S△AOC等于（）A．1：111 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5【解答】解：作OD⊥AB于D，OE⊥CB于E，OF⊥AC于F，∵AO、BO、CO分别是三个内角平分线，OD⊥AB于D，OE⊥CB于E，OF⊥AC于F，∴OD=OE=OF，∴S△AOB：S△BOC：S△AOC=AB：BC：CA=2：3：4，故选：C．24．如图，∠ACB的外角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P．则下列结论正确的是（）A．PA平分∠CPB B．AP平分BC C．AP⊥BC D．AP平分∠CAB【解答】解：过P点分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为E、G、D，∵∠ABC、∠ACB外角的平分线相交于点P，∴EP=GP，GP=DP，∴EP=DP，∴AP平分∠BAC．故选：D．25．如图，在△ABC中，AB=10cm，AC=18cm，点M从点A出发以每秒2cm 的速度向点B运动，点N从点C出发以每秒3cm的速度向点A运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△AMN是以MN为底边的等腰三角形时，运动的时间是（）A．1.6秒B．2秒C．2.4秒D．3.6秒【解答】解：设运动的时间为x，在△ABC中，AB=10cm，AC=18cm，点M从点A出发以每秒2cm的速度向点B运动，点N从点C出发以每秒3cm 的速度向点A运动，当△AMN是等腰三角形时，AM=AN，AN=18﹣3x，AM=2x即18﹣3x=2x，解得x=3.6．故选D26．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0）点M的坐标为（0，4），过M点作直线MN⊥y轴，在直线MN上找一点B，使△OAB是等腰三角形，此时，点B的坐标不可能是（）A．（0，4）B．（2，4）C．（4，4）D．（4，2）【解答】解：A、如图1，若点B（0，4），则OB=OA=4，△OAB是等腰三角形，B、如图2，若点B（2，4），则OB=BA==2，△OAB是等腰三角形，C、如图3，若点B（4，4），则AB=OA=4，△OAB是等腰三角形，D、如图4，若点B（4，2），则OB≠OA≠AB，△OAB不是等腰三角形，故选D．27．等腰三角形的三边长分别为3x﹣2，4x﹣3，6﹣2x，则该三角形的周长为（）A．6 B．6或9或8.5C．9或8.5 D．与x的取值有关【解答】解：①当3x﹣2是底边时，则腰长为：4x﹣3，6﹣2x∵三角形为等腰三角形∴4x﹣3=6﹣2x，∴x=1.5，∴4x﹣3=3，6﹣2x=3，∴3x﹣2=2.5∴等腰三角形的周长=3+3+2.5=8.5②当4x﹣3是底边时，则腰长为：3x﹣2，6﹣2x∵三角形为等腰三角形∴3x﹣2=6﹣2x，∴x=1.6，∴3x﹣2=2.8，6﹣2x=2.8，∴4x﹣3=3.4∴等腰三角形的周长=2.8+2.8+3.4=9③当6﹣2x是底边时，则腰长为：3x﹣2，4x﹣3∵三角形为等腰三角形∴3x﹣2=4x﹣3，∴x=1，∴3x﹣2=1，4x﹣3=1，∵1=1∴6﹣2x=4∵1+1＜4∴不能构成三角形故答案为：8.5或9．二．选择题（共7小题）28．如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、M在BC上，则∠EAN=32°．【解答】解：∵△ABC中，∠BAC=106°，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=180°﹣106°=74°，∵EF、MN分别是AB、AC的中垂线，∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAN，即∠B+∠C=∠BAE+∠CAN=74°，∴∠EAN=∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）=106°﹣74°=32°．故答案为32°．29．如图，在△ABC中，∠BAC=50°，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF ⊥AC，则∠DEF=25°．【解答】解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∠BAC=50°，∴∠EDF=360°﹣50°﹣90°×2=130°，∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∴∠DEF=（180°﹣130°）=25°．故答案为：25°．30．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=90°﹣∠B，④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③（填序号）【解答】解：①∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠C=180°，∠C=90°，则该三角形是直角三角形；②∠A：∠B：∠C=1：2：3，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=90°，则该三角形是直角三角形；③∠A=90°﹣∠B，则∠A+∠B=90°，∠C=90°．则该三角形是直角三角形；④∠A=∠B=∠C，则该三角形是等边三角形．故能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③．31．如图，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于D，PC∥OB交OA于C，若PC=6，则PD=3．【解答】解：如图，过点P作PE⊥OA于E，∵∠AOB=30°，OP平分∠AOB，∴∠AOP=∠BOP=15°．∵PC∥OB，∴∠BOP=∠OPC=15°，∴∠PCE=∠AOP+∠OPC=15°+15°=30°，又∵PC=6，∴PE=PC=3，∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OB于D，PE⊥OA于E，∴PD=PE=3，故答案为3．32．如图，AD是△ABC的角平分线，AB：AC=3：2，△ABD的面积为15，则△ACD的面积为10．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，∴DE=DF，又∵AB：AC=3：2，∴AB=AC，∵△ABD的面积为15∴S△ABD=AB×DE=×AC×DF=15，∴AC×DF=10∴S△ACD=AC×DF=10故答案为：10．33．在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，∠BAC的平分线交BC于D，且BD：DC=5：3，则D到AB的距离为6cm．【解答】解：∵∠C=90°，BC=16cm，∠BAC的平分线交BC于D，∴CD就是D到AB的距离，∵BD：DC=5：3，BC=16cm，∴CD=6，即D到AB的距离为6cm．故填6．34．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BC边上的高AD=6cm，腰AB上的高CE=8cm，则BC=cm【解答】解：∵AD是BC边上的高，CE是AB边上的高，∴AB?CE=BC?AD，∵AD=6，CE=8，∴=，∴=，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC=BC，∵AB2﹣BD2=AD2，∴AB2=BC2+36，即BC2=BC2+36，解得：BC=．故答案为：．三．选择题（共2小题）35．如图：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于4．【解答】解：作DG⊥AC，垂足为G．∵DE∥AB，∴∠BAD=∠ADE，∵∠DAE=∠ADE=15°，∴∠DAE=∠ADE=∠BAD=15°，∴∠DEG=15°×2=30°，∴ED=AE=8，∴在Rt△DEG中，DG=DE=4，∴DF=DG=4．故答案为：4．36．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=∠B，AB=2cm，点P从点B开始以1cm/s的速度向点C移动，当△ABP要以AB为腰的等腰三角形时，则运动的时间为2s或6s．【解答】解：当AB=AP时，点P与点C重合，如图1所示，过点A作AD⊥BC于点D，∵∠B=30°，AB=2cm，∴BD=AB?cos30°=2×=3cm，∴BC=6cm，即运动的时间6s；当AB=BP时，∵AB=2cm，∴BP=2cm，∴运动的时间2s．故答案为：2s或6s．四．选择题（共3小题）37．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥于点D，AM是△ABC的外角∠CAE 的平分线．（1）求证：AM∥BC；（2）若DN平分∠ADC交AM于点N，判断△ADN的形状并说明理由．【解答】证明：（1）∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD=．∵AM平分∠EAC，∴∠EAM=∠MAC=．∴∠MAD=∠MAC+∠DAC==．∵AD⊥BC∴∠ADC=90°∴∠MAD+∠ADC=180°∴AM∥BC．（2）△ADN是等腰直角三角形，理由是：∵AM∥AD，∴∠AND=∠NDC，∵DN平分∠ADC，∴∠ADN=∠NDC=∠AND．∴AD=AN，∴△ADN是等腰直角三角形．38．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．【解答】证明：∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB，∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN．39．如图，△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．（1）若BC=10，则△ADE周长是多少？为什么？（2）若∠BAC=128°，则∠DAE的度数是多少？为什么？【解答】解：（1）∵DM、EN是AB、AC的垂直平分线，∴DA=DB，EA=EC，∴△ADE周长为：AD+AE+DE=DB+EC+DE=BC=10；（2）∵∠BAC=128°，∴∠B+∠C=52°，∵DA=DB，EA=EC，∴∠BAD=∠B，∠EAC=∠C，∴∠BAD+∠EAC=52°，∴∠DAE=128°﹣52°=76°．五．解答题（共1小题）40．（1）如图1，点P是等腰三角形ABC的底边BC上的一个动点，过点P作BC的垂线，交直线AB于点Q，交CA的延长线于点R，请观察AR与AQ，它们有何数量关系？并证明你的猜想．（2）如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，（1）中所得的结论还成立吗？请你在图2中完成图形，并直接写出结论．【解答】（1）AR=AQ，证明如下：∵△ABC是等腰三角形∴AB=AC，∠B=∠C又∵PR⊥BC∴∠RPC=90°∴∠C+∠R=90°，∠B+∠BQP=90°∵∠BQP=∠AQR∴∠AQR=∠R∴AR=AQ（2）AR=AQ仍然成立：∵△ABC是等腰三角形∴AB=AC，∠ABC=∠C又∵PR⊥BC∴∠RPC=90°∴∠C+∠R=90°，∠PBQ+∠BQP=90°∵∠ABC=∠PBQ∴∠AQR=∠R∴AR=AQ．。
关于三角形的证明题
1、在三角形ABC中，若AB = AC，且∠B = 70°，则∠A的大小为：A. 40°B. 55°C. 70°D. 20°（答案）A2、三角形DEF中，DE = EF，若∠D = 50°，则∠E的大小为：A. 65°B. 80°C. 50°D. 130°（答案）A3、在三角形GHI中，若∠G = ∠H，且∠I = 90°，则三角形GHI是：A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形（答案）D4、三角形JKL中，若JK = JL，且∠K = 85°，则∠J的大小为：A. 5°B. 85°C. 95°D. 170°（答案）B5、三角形MNO中，MN = NO，且∠MNO = 45°，则∠N的大小为：A. 45°B. 67.5°C. 90°D. 135°（答案）C6、三角形PQR中，若PQ = QR，且∠PQR = 60°，则三角形PQR为：A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰三角形（答案）C7、三角形STU中，ST = TU，若∠S = 72°，则∠T的大小为：A. 72°B. 54°C. 108°D. 36°（答案）A8、三角形VWX中，VW = WX，且∠VWX = ∠WVX，则∠X的大小为：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°（答案）C9、三角形YZA中，若YZ = ZA，且∠YZA = 50°，则∠Y的大小为：A. 65°B. 50°C. 80°D. 130°（答案）A10、三角形BCD中，BC = BD，且∠BCD = ∠BDC，若∠D = 75°，则∠C的大小为：A. 75°B. 55°C. 105°D. 30°（答案）A。
三角形的证明试题
三角形的证明1.下列命题中正确的是 ( )A ．有两条边相等的两个等腰三角形全等B ．两腰对应相等的两个等腰三角形全等C ．两角对应相等的两个等腰三角形全等D ．一边对应相等的两个等边三角形全等2.已知△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线交AC 于D ，△ABC 和△DBC 的周长分别是60 cm 和38 cm ，则△ABC 的腰和底边长分别为 ( )A ．24 cm 和12 cmB ．16 cm 和22 cmC ．20 cm 和16 cmD ．22 cm 和16 cm3.到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（ ）的交点.A. 三个内角平分线B. 三边垂直平分线C. 三条中线D. 三条高4.已知△ABC 的三边长分别是6cm 、8cm 、10cm ，则△ABC 的面积 是（ ）A.24cm 2B.30cm 2C.40cm 2D.48cm 25.“等边对等角”的逆命题是。
6．已知⊿ABC 中，∠A = 090，角平分线BE 、CF 交于点O ，则∠BOC = 。
7.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300，腰长为6，则其底边上的高是。
8.如图，ABC ∆中，DE A AC AB ，， 50=∠=是腰AB 的垂直平分线，求DBC ∠。
9.如图，△ABC 中，∠B=90°，AB=BC ，AD 是△ABC 的角平分线，若BD=1，求DC 的长。
10.如图△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°,EF 是AB 的垂直平分线，BF=3，求CF 的长。
11.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．12.在△ABC中，AB=AC, BC=12,∠BAC =120°,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.(1) 求△AEN的周长；(2)求∠EAN的度数；(3) 判断△AEN的形状13.如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上．求证：BD=CE。
三角形证明50题
1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD2.已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB3.已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠24.已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC5.已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠CADBCBA CDF2 1 ECDB A6.已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE7.已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD8.已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB9.已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2ADBC10.已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC11.已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C12.已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE13. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。
求证：BC=AB+DC 。
BA CDF2 1 ECDB A14.已知： AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C15.已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C16.P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB<AC-AB17.已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BE18.已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DCDCBAFEP DACBFA ED C B19.（5分）如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ．20.（5分）如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ．求证：∠OAB =∠OBA 21．（5分）如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．22．（6分）如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠BP EDCBA DC B A23．（6分）如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ． （1）求证：MB =MD ，ME =MF（2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．24．（7分）已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点， （1）求证：△AED ≌△EBC ．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：O ED C B A25．（7分）如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ． 求证：BD =2CE ．26、（10分）如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。
八年级数学下册《三角形的证明》练习题及答案(北师大版)
八年级数学下册《三角形的证明》练习题及答案(北师大版)班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是( )A.55°，55°B.70°，40°或70°，55°C.70°，40°D.55°，55°或70°，40°2.到三角形三边的距离相等的点是( )A.三角形三条高的交点B.三角形三条中线的交点C.三角形三条角平分线的交点D.不存在这个点3.下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误．．的是( )A.①B.②C.③D.④4.如图，过等边△ABC的顶点A作射线，若∠1＝20°，则∠2的度数是( )A.100°B.80°C.60°D.40°5.在△ABC中,∠A=90°,∠B=2∠C,则∠C的度数为 ( )A.30°B.45°C.60°D.30°或60°6.如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，那么在下列各条件中，不能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是( )A.AB=A′B′=5，BC=B′C′=3B.AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°C.AC=A′C′=5，BC=B′C′=3D.AC=A′C′=5，∠A=∠A′=40°7.如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是( )A.3.5B.4.2C.5.8D.78.以下叙述中不正确的是( )A.等边三角形的每条高线都是角平分线和中线B.有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形C.等腰三角形一定是锐角三角形D.在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等；反之，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等9.如图，已知△ABC，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，连接AO并延长交BC于D，OH⊥BC 于H，若∠BAC＝60°，OH＝3cm，OA长为( )cm.A.6B.5C.4D.310.如图，已知AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线MN交AB于D，AC于M.以下结论：①△BCD是等腰三角形；②射线CD是△ACB的角平分线；③△BCD的周长C＝AB＋BC；△BCD④△ADM≌△BCD.正确的有( )A.①②B.①③C.②③D.③④二、填空题11.如图，在Rt△ABC中，∠B的度数是________度．12.如图，已知∠C=∠D=90°，请你添加一个适当的条件：____________，使得△ACB≌△BDA.＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长13.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC是 .14.如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，∠1＝20°，则∠2的度数为.15.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABD的周长为13，△ABC的周长为19，则AE＝____________16.将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中△ABC为含有45°角的三角板，直线AD是等腰直角三角板的对称轴，且斜边上的点D为另一块三角板DMN的直角顶点，DM、DN分别交AB、AC于点E、F.则下列四个结论：①BD＝AD＝CD；②△AED≌△CFD；③BE＋CF＝EF；④BC2＝4S.四边形AEDF其中正确结论是(填序号).三、作图题17.如图，已知∠ABC，射线BC上一点D.求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等.四、解答题18.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=∠BCD,判断△ACD的形状,并说明理由.19.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CA平分∠BCD，AE⊥BC于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F.求证：△ABE≌△ADF.20.如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF(1)求证：AD平分∠BAC；(2)已知AC＝20， BE＝4，求AB的长.21.如图，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延长线于F，连接AF.求证：∠B＝∠CAF.22.如图，已知点D是等边三角形ABC的边BC延长线上的一点，∠EBC＝∠DAC，CE∥AB. 求证：△CDE是等边三角形.23.已知，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B.(1)如图1，求证：CD⊥AB；(2)将△ADC沿CD所在直线翻折，A点落在BD边所在直线上，记为A′点．①如图2，若∠B＝34°，求∠A′CB的度数；②若∠B＝n°，请直接写出∠A′CB的度数(用含n的代数式表示)．24.如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动(D不与B、C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E.(1)当∠BDA＝115°时，∠EDC＝°，∠DEC＝°；点D从B向C运动时，∠BDA 逐渐变(填“大”或“小”)；(2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数.若不可以，请说明理由.参考答案1.D2.C.3.C．4.A5.A6.B.7.D8.C.9.A.10.B11.答案为：25.12.答案为：AD=CD；(答案不唯一).13.答案为：3.14.答案为：40°15.答案为：316.答案为：①②④.17.解：∵点P到∠ABC两边的距离相等∴点P在∠ABC的平分线上；∵线段BD为等腰△PBD的底边∴PB＝PD∴点P在线段BD的垂直平分线上∴点P是∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线的交点，如图所示：18.解:△ACD 是直角三角形.理由:∵∠ACB=90°∴∠ACD+∠BCD=90°.又∵∠A=∠BCD∴∠ACD+∠A=90°∴△ACD 是直角三角形.19.证明：∵CA 平分∠BCD ，AE ⊥BC ，AF ⊥CD∴AE=AF.在Rt △ABE 和Rt △ADF 中∵⎩⎨⎧AB ＝AD ，AE ＝AF ，∴△ABE ≌△ADF(HL).20.证明：(1)∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC∴∠E ＝∠DFC ＝90°∴在Rt △BED 和Rt △CFD 中BD ＝CD ，BE ＝CF.∴Rt △BED ≌Rt △CFD(HL)∴DE ＝DF∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC∴AD 平分∠BAC ；(2)解：∵Rt △BED ≌Rt △CFD∴AE ＝AF ，CF ＝BE ＝4∵AC ＝20∴AE＝AF＝20﹣4＝16∴AB＝AE﹣BE＝16﹣4＝12.21.证明：∵EF垂直平分AD∴AF＝DF，∠ADF＝∠DAF∵∠ADF＝∠B＋∠BAD，∠DAF＝∠CAF＋∠CAD又∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠CAD∴∠B＝∠CAF.22.证明：∵∠ABE＋∠CBE＝60°，∠CAD＋∠ADC＝60°，∠EBC＝∠DAC ∴∠ABE＝∠ADC.又CE∥AB∴∠BEC＝∠ABE.∴∠BEC＝∠ADC.又BC＝AC，∠EBC＝∠DAC∴△BCE≌△ACD.∴CE＝CD，∠BCE＝∠ACD，即∠ECD＝∠ACB＝60°.∴△CDE是等边三角形.23.(1)证明：∵∠ACB＝90°∴∠ACD＋∠BCD＝90°.∵∠ACD＝∠B，∴∠B＋∠BCD＝90°∴∠BDC＝90°，∴CD⊥AB.(2)解：①当∠B＝34°时，∵∠ACD＝∠B∴∠ACD＝34°.由(1)知，∠BCD＋∠B＝90°∴∠BCD＝56°.由折叠知∠A′CD＝∠ACD＝34°∴∠A′CB＝∠BCD－∠A′CD＝56°－34°＝22°.②当∠B＝n°时，同①的方法得∠A′CD＝n°∠BCD＝90°－n°∴∠A′CB＝∠BCD－∠A′CD＝90°－n°－n°＝90°－2n°.24.解：(1)∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣115°﹣40°＝25°∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝180°﹣40°﹣25°＝115°，∠BDA逐渐变小；故答案为：25°，115°，小；(2)当DC＝2时，△ABD≌△DCE理由：∵∠C＝40°∴∠DEC＋∠EDC＝140°又∵∠ADE＝40°∴∠ADB＋∠EDC＝140°∴∠ADB＝∠DEC又∵AB＝DC＝2∴△ABD≌△DCE(AAS)(3)当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形理由：∵∠BDA＝110°时∴∠ADC＝70°∵∠C＝40°∴∠DAC＝70°，∠AED＝∠C＋∠EDC＝30°＋40°＝70°∴∠DAC＝∠AED∴△ADE的形状是等腰三角形；∵当∠BDA的度数为80°时∴∠ADC＝100°∵∠C＝40°∴∠DAC＝40°∴∠DAC＝∠ADE∴△ADE的形状是等腰三角形.。
三角形全等证明题(含答案).doc
如何做几何证明题【知识精读】1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。
几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。
这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。
2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。
3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。
在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。
【分类解析】1、证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。
很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。
证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。
例1. 已知：如图 1 所示， A B C 中， C 9 0 ，A C B C ， A D D B ，A E C F 。
求证：DE＝DF- 1 -AEDC F B图 1分析：由 A B C 是等腰直角三角形可知， A B 4 5 ，由D 是AB 中点，可考虑连结CD，易得 C D A D ， D C F 4 5 。
从而不难发现 D C F D A E 证明：连结CDA CB CA BA CB 9 0 ，A D D BC D B D A D D C B B A，A E C F A D CB A DC D，，A D E C D FD E D F说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。
三角形全等证明题(含答案)
如何做几何证明题【知识精读】1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。
几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。
这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。
2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。
3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。
在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。
【分类解析】1、证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。
很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。
证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。
例1. 已知：如图 1 所示， A B C 中， C 9 0 ，A C B C ， A D D B ，A E C F 。
求证：DE＝DF- 1 -AEDC F B图 1分析：由 A B C 是等腰直角三角形可知， A B 4 5 ，由D 是AB 中点，可考虑连结CD，易得 C D A D ， D C F 4 5 。
从而不难发现 D C F D A E 证明：连结CDA CB CA BA CB 9 0 ，A D D BC D B D A D D C B B A，A E C F A D CB A DC D，，A D E C D FD E D F说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。
三角形的证明详细知识点例题习题1
第一章 三角形的证明一, 全等三角形（1）定义: 能够完全相等的三角形是全等三角形。
（2）性质: 全等三角形的对应边, 对应角相等。
（3）判定: SAS, SSS, ASA, AAS, HL注：SSA,AAA 不能作为判定三角形全等的方法, 判定两个三角形全等时, 必需有边的参及, 若有两边一角相等时, 角必需是两边的夹角 证题的思路:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS例题解析:二, 等腰三角形1. 性质: 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.2. 判定: 有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）.3. 推论：等腰三角形顶角的平分线, 底边上的中线, 底边上的高相互重合（即“三线合一”）.4. 等边三角形的性质及判定定理性质定理: 等边三角形的三个角都相等, 并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形, 有3条对称轴.判定定理: 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.5. 含30°的直角三角形的边的性质定理: 在直角三角形中, 假如一个锐角等于30°, 则它所对的直角边等于斜边的一半.例题解析 :三, .直角三角形1. 勾股定理及其逆定理定理: 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理：假如三角形两边的平方和等于第三边的平方, 则这个三角形是直角三角形．2. 命题及逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；3. 直角三角形全等的判定定理①定理: 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等要点诠释: 勾股定理的逆定理在语言叙述的时候肯定要留意, 不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”, 应当说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”例题解析四, 线段的垂直平分线1. 线段垂直平分线的性质及判定性质: 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定: 到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点, 并且这一点到三个顶点的距离相等3. 如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A, B为圆心, 以大于1/2AB的长为半径作弧, 两弧交于点M, N；作直线MN, 则直线MN就是线段AB的垂直平分线.①要点诠释:②留意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,留意二者的应用范围；③利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.例题解析五, .角平分线1. 角平分线的性质及判定定理性质: 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部, 且到角的两边的距离相等的点, 在这个角的平分线上2. 三角形三条角平分线的性质定理性质: 三角形的三条角平分线相交于一点, 并且这一点到三条边的距离相等.3. 如何用尺规作图法作出角平分线要点诠释:①留意区分角平分线性质定理和判定定理,留意二者的应用范围；几何语言的表述, 这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时, 要构造全等三角形例题解析:【课堂练习】1, △ABC中, ∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3, 最小边BC=4 cm, 最长边AB的长是（）A.5 cmB.6 cmC.5cmD.8 cm2, 如图, 已知∠1＝∠2, 则不肯定能使△ABD≌△ACD的条件是（）A. AB＝ACB. BD＝CDC. ∠B＝∠CD. ∠BDA＝∠CDA3, 如上图, 点在同始终线上,,,（填“是”或“不是”）的对顶角, 要使, 还需添加一个条件, 这个条件可以是（只需写出一个）.4, 已知实数x, y满意, 则以x, y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A. 20或16B. 20C. 16D. 以上答案均不对5, 如图所示的正方形网格中, 网格线的交点称为格点．已知, 是两格点, 假如也是图中的格点, 且使得为等腰三角形, 则点的个数是A. 6B. 7C. 8D. 96, 一个等腰三角形静的两边长分别为5或6, 则这个等腰三角形的周长是. 7, 等腰三角形的周长为16, 其一边长为6, 则另两边为_______________。
第一章《三角形的证明》单元练习(含答案)
第一章三角形的证明单元练习一、单选题1.如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）A. 线段CD的中点B. OA与OB的中垂线的交点C. OA与CD的中垂线的交点D. CD与∠AOB的平分线的交点2.如图,在△ABC中,AB=5,AC=6,BC=4,边AB的垂直平分线交AC于点D,则△BDC的周长是( )A. 8B. 9C. 10D. 113.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，若AB=8,则CD的长为（）A. 6B. 5C. 4D. 34.如图，已知直线MN∥AB，把△ABC剪成三部分，点C在直线AB上，点O在直线MN上，则点O是△ABC 的（）A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心5.如图，C、D是线段AB上两点，分别以点A和点B为圆心，AD、BC长为半径作弧，两弧相交于点M，连接AM、BM，测量∠AMB的度数，结果为（）A. 100°B. 110°C. 120°D. 130°6.如图，C、D是线段AB上两点，分别以点A和点B为圆心，AD、BC长为半径作弧，两弧相交于点M，连接AM、BM，测量∠AMB的度数，结果为（）A. 100°B. 110°C. 120°D. 130°7.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC 的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为( )A. 4cmB. 3cmC. 2cmD. 1cm8.如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点，，，则的面积等于（）．A. B. C. D.9.如图，等腰△ABC的周长为19，底边BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC 的周长为（）A. 9B. 10C. 11D. 1210.如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（）A. AE=DFB. ∠A=∠DC. ∠B=∠CD. AB=DC11.如图，在△BAC中，∠B和∠C的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，若BD=5，CE=4，则线段DE的长为（）A. 9B. 6C. 5D. 412.在联欢晚会上,有A，B，C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上,他们在玩抢凳子游戏,要求在他们中间放一个木凳,谁先抢到凳子谁获胜,为使游戏公平,则凳子应放的最适当的位置在△ABC的( )A. 三边中线的交点B. 三边中垂线的交点C. 三边上高的交点D. 三条角平分线的交点13.在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（）A. 75°B. 60°C. 45°D. 30°二、填空题14.如图，∠C=90°，∠1=∠2，若BC=10，BD=6，则点D到AB的距离为________ .15.如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠CBD=∠ABD，DE⊥BC，BC=10，则△DEC的周长=________ ．16.如图，已知四边形ABCD中，CB=CD，∠ABC=∠ADC=90°，那么Rt△ABC≌Rt△ADC，根据是 ________17.一个等腰三角形的一个角为80°，则它的顶角的度数是________．18.下列语句：①有一边对应相等的两个直角三角形全等；②一般三角形具有的性质，直角三角形都具有；③有两边相等的两直角三角形全等；④两直角三角形的斜边为5cm，一条直角边都为3cm，则这两个直角三角形必全等．其中正确的有 ________个．三、解答题19.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，求∠C的度数？20.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，DE⊥AB于E，求EB：EA的值．四、综合题21.证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．（1）已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，________求证：________．请你补全已知和求证（2）并写出证明过程．22.如图，中，，垂直平分，交于点，交于点．（1）若，，求的周长；（2）若，求的度数．答案解析部分一、单选题1.【答案】D【解析】【解答】解：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知CD与∠AOB的平分线的交于点P．故答案为：D．【分析】点P到角的两边的距离相等知点P在∠AOB平分线上，由点P在CD上，故点P在CD与∠AOB 的平分线的交点。
三角形的证明试题
三角形的证明?（本试卷满分：150分，时间：120分钟）一、选择题（每小题4分，共48分）1.?具备下列条件的两个三角形可以判定它们全等的是（）A．一边和这边上的高对应相等B．两边和第三边上的高对应相等C．两边和其中一边的对角对应相等??D．两个直角三角形中的一条直角边、斜边对应相等2.已知MN是线段AB的垂直平分线，C，D是MN上任意两点，则∠CAD和∠CBD之间的大小关系是（?????）A．∠CAD＜∠CBDB．∠CAD=∠CBDC．∠CAD＞∠CBDD．无法判断3.?如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A等于（）A4.A.1个5.A.8或6.①A.1个7.?在△A.5cm??C.cm8.A.?∠E=9.BC，连接DEA.2个10.????）11.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，如果AC=5cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（????）A.6cmB.7cm????C.8cmD.9cm12.如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）A．PA=PB????B．PO平分∠APB C．OA=OB?????D．AB垂直平分OP二、填空题（每小题4分，共24分）13.如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC,?∠BAC=50°,?∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点?C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC的度数是??????.?14.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形是___??___三角形.15.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE=40°，则∠DBC=________°.16.如图，在△ABC中，∠C=90°，AM平分∠CAB，CM=20cm，则点M到AB的距离是_______.17.如图，在等边△ABC中，F是AB的中点，?FE⊥AC于E，若△ABC的边长为10，则AE=________ _，AE:EC=_________.18.在△ABC中，AB=4,AC=3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是??????.三、解答题（共78分）19.如图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合），MD⊥BC，且交∠BAC的平分线于点D，求证：MA=MD.20?已知：如图，AB=AC，D是AB上一点，DE⊥BC于点E，ED的延长线交CA的延长线于点F.求证：△ADF是等腰三角形．21.?如图，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE 相交于点E.求证：AD=CE.22.?如图所示，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD，连接DC，以DC为边作等边△DCE，B，求23.?BE和E C24.?（1（225.?(1)APB的度数.(2). 26.?；（2）27.△BE=EO．（1（2）若13.100°；14.直角；15，15°；16.20cm；17.；1:3；18.4:3；三．解答题19.?证明：∵MD⊥BC，∠B=90°，∴AD∥MD，∴∠BAD=∠D?.又∵AD为∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠MAD，∴∠D=∠MAD?，∴MA=MD?.20.?∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵DE⊥BC于点E，∴?∠FEB=∠FEC=90°．∴?∠B+∠EBD=∠C+∠EFC=90°．∴?∠EFC=∠EDB．∵?∠EDB=∠ADF，∴∠EFC=∠ADF．∴△ADF是等腰三角形.21.∵?AE∥BD，∴?∠EAC=∠ACB.∵?AB=AC，∴?∠B=∠ACB.∴?∠EAC=∠B.又∵?∠BAD=∠ACE=90°，∴?△ABD≌△CAE（ASA）.∴?AD=CE.22.?因为△ABD和△CDE都是等边三角形，所以AD=BD,CD=DE，∠ADB=∠CDE=60°.所以∠ADB-∠CDB=∠CDE-∠CDB，即∠ADC=∠BDE.在△ADC和△BDE中，因为AD=BD,CD=DE,?∠ADC=∠BDE所以△ADC≌△BDE，所以AC=BE.又AC=BC，所以BE=BC.在等腰直角△ABC中，AB=,所以AC=BC=1，故BE=1.23.?，BE⊥EC.证明：∵?，点D是AC的中点，∴?.∵?∠∠45°，∴?∠∠135°.∵?，∴∴?∠∠∴?24.(略)25.?∵?CD∴?∠∴∴与已知若PA=PC若PA=PB PD=AB若PA=PC若PA=PB，由图（2）知，在Rt△PAB中，这种情况不可能.故PA=2或.26.?证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=DC，∵在Rt△DCF和Rt△DEB中，?，∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL）．∴CF=EB；?（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD=DE．在△ADC与△ADE中，∵∴△ADC≌△ADE（HL），∴AC=AE，∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．27.?（1）OF=CF．理由：∵BE=EO，∴∠EBO=∠EOB，∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，∴∠∴∠∴EF∥∴OF=CF（2∵△ABC∴=×12×4=24（∴S△OBC。
三角形的证明试题
三角形的证明试题(总8页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除三角形的证明（本试卷满分：150分，时间：120分钟）一、选择题（每小题4分，共48分）1. 具备下列条件的两个三角形可以判定它们全等的是（）A．一边和这边上的高对应相等B．两边和第三边上的高对应相等C．两边和其中一边的对角对应相等D．两个直角三角形中的一条直角边、斜边对应相等2.已知MN是线段AB的垂直平分线，C，D是MN上任意两点，则∠CAD和∠CBD 之间的大小关系是（）A．∠CAD＜∠CBDB．∠CAD=∠CBDC．∠CAD＞∠CBDD．无法判断3. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A等于（）A．30°B．40°C．45°D．36°4.下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形的最短边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形.其中正确的有（）个个个个5.已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（）或10或126.如图，已知∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF，下列结论：①EM=FN ②CD=DN ③∠FAN=∠EAM ④△ACN≌△ABM其中正确的有（）个个个个7. 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最短边BC=4cm，则最长边AB的长是（）8.如图，已知∠BAC=∠DAE=90°，AB=AD，下列条件能使△ABC≌△ADE的是（）A. ∠E=∠C =AC =DE 三个答案都是9.如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB 上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）个个个个10.已知一个直角三角形的周长是，斜边上的中线长为2，则这个三角形的面积为（）如图，在△ABC 中，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，如果AC=5cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（）如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）A．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP二、填空题（每小题4分，共24分）13.如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC, ∠BAC=50°,∠BAC的平分线与AB 的垂直平分线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC的度数是.14.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形是__ _ ___三角形.15.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE=40°，则∠DBC=________°.16.如图，在△ABC中，∠C=90°，AM平分∠CAB，CM=20cm，则点M到AB的距离是_______.17.如图，在等边△ABC中，F是AB的中点，FE⊥AC于E，若△ABC的边长为10，则AE=_________，AE:EC=_________.18.在△ABC中，AB=4,AC=3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是.三、解答题（共78分）19.如图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合），MD⊥BC，且交∠BAC的平分线于点D，求证：MA=MD.20 已知：如图，AB=AC，D是AB上一点，DE⊥BC于点E，ED的延长线交CA的延长线于点F.求证：△ADF是等腰三角形．21. 如图，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥B D，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E.求证：AD=CE.22. 如图所示，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD，连接D C，以DC为边作等边△DCE，B，E在C，D的同侧，若AB=，求BE的长.23. 如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A，D 重合，连接BE，EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．24. 如图，在△ABC中，AB=AC，DE是边AB垂直平分线交AB于E，交AC于D，连结BD．（1）若∠A=40°，求∠DBC的度数．（2）若△BCD的周长为12cm，△ABC的周长为18cm，求BE的长．25. 联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念.定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心.举例：如图（1），若PA=PB，则点P为△ABC的准外心.(1)应用：如图（2），CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD= AB，求∠APB的度数.(2)探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探PA的长.26. 如图：在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；说明：（1）CF=EB．（2）AB=AF+2EB．27.△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作一直线交AB、AC于E、F．且BE=EO．（1）说明OF与CF的大小关系；（2）若BC=12cm，点O到AB的距离为4cm，求△OBC的面积．参考答案一、选择题．二、填空题°；14.直角；15，15°；；17.；1:3；:3；三．解答题19. 证明：∵MD⊥BC，∠B=90°，∴AD∥MD，∴∠BAD=∠D .又∵AD为∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠MAD，∴∠D=∠MAD ，∴MA=MD .20. ∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵DE⊥BC于点E，∴∠FEB=∠FEC=90°．∴∠B+∠EBD=∠C+∠EFC=90°．∴∠EFC=∠EDB．∵∠EDB=∠ADF，∴∠EFC=∠ADF．∴△ADF是等腰三角形.21.∵AE∥BD，∴∠EAC=∠ACB.∵AB=AC，∴∠B=∠ACB.∴∠EAC=∠B.又∵∠BAD=∠ACE=90°，∴△ABD≌△CAE（ASA）.∴AD=CE.22. 因为△ABD和△CDE都是等边三角形，所以AD=BD,CD=DE，∠ADB=∠CDE=60°.所以∠ADB-∠CDB=∠CDE-∠CDB，即∠ADC=∠BDE.在△ADC和△BDE中，因为AD=BD,CD=DE, ∠ADC=∠BDE所以△ADC≌△BDE，所以AC=BE.又AC=BC，所以BE=BC.在等腰直角△ABC中，AB=,所以AC=BC=1，故BE=1.23. ，BE⊥EC.证明：∵，点D是AC的中点，∴.∵∠∠45°，∴∠∠135°.∵，∴△EAB≌△EDC.∴∠∠.∴∠∠90°.∴⊥.24.(略)25. 应用：若PB=PC，连接PB，则∠PCB=∠PBC.∵CD为等边三角形的高，∴AD=BD，∠PCB=30°，∴∠PBD=∠PBC=30°，∴PBN=2PD∴∴与已知PD=AB矛盾，∴PB≠PC.若PA=PC，连接PA，同理，可得PA≠PC.若PA=PB，由PD=AB，得PD=BD，∴∠BPD=45°，∴∠APB=90°.探究：若PB=PC，设PA=x，则x2+32=(4-x)2，∴x =，即PA=.若PA=PC，则PA=2.若PA=PB，由图（2）知，在Rt△PAB中，这种情况不可能.故PA=2或.26. 证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=DC，∵在Rt△DCF和Rt△DEB中，，∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL）．∴CF=EB；（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD=DE．在△ADC与△ADE中，∵∴△ADC≌△ADE（HL），∴AC=AE，∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．27. （1）OF=CF．理由：∵BE=EO，∴∠EBO=∠EOB，∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，∴∠EBO=∠OBC，∴∠EOB=∠OBC，∴EF∥BC，∴∠FOC=∠OCB=∠OCF，∴OF=CF；（2）过点O作OM⊥BC于M，作ON⊥AB于N，∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，点O到AB的距离为4cm，∴ON=OM=4cm，=BC•OM=×12×4=24（cm2）．∴S△OBC。
三角形几何证明题
三角形几何证明题1．已知在△ABC 中，∠A=Rt ∠，AB=AC ，BD 是角平分线，求证：AB+AD=BC 。
2．已知：如图，△ABC 中，∠C=2∠B ，∠1=∠2，求证：AB=AC+CD 。
3．已知：在△ABC 中，AB=AC ，延长AB 到D ，使BD=AB ，E 为AB 的中点，求证CD=2CE 。
4．已知：E 是正方形ABCD 的边长AD 上一点，BF 平分EBC ，交CD 于F ，求证BE=AE+CF 。
5．已知：如图，△ABC 中，M 是BC 边上的一点，CE ∥BF ，CE=BF ，求证：AM 是BC 边上的中线。
6．如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 平分线，DE ∥AC 交AB 于点E ，EF ⊥AD ，垂足为G ，交BC 的延长线于点F 。
求证：∠CAF=∠B 。
ABC M E F CD B A A B C D 1 2A CB E A D E FF ED C BAC 7．已知：如图，BE 、CF 是△ABC 的高，分别在射线BE 与CF 上取点P 与Q ， 使BP=AC ，CQ=AB 。
求证：（1）AQ=AP （2）AP ⊥AQ8．如图，AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，点E 为AD 中点，且BC=AB+CD ，求证：CE 平分∠BCD 。
9．三角形ABC 中，AB=AC ，在AB 上取一点D ，在AC 的延长线上取一点E ，使CE=BD ，连结DE 交BC 于G 。
求证：DG=GE 。
10．已知如图：在△ABC 中, ∠ABC=45度，H 是高AD 和BE 的交点。
求证：BH=AC 。
11．如图在ΔABC 中,AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 交BE 于F ，若BF=AC ，求∠ABC 的度数。
12. 如图，在ABC ∆中，AB AC >，12∠=∠，P 为AD 上任意一点。
求证：AB AC PB PC ->-。
A CB Ｅ Ｄ H。
初中数学三角形证明题经典题型训练
2016 年初中数学三角形证明练习题一．选择题（共20 小题）1．（2015? 涉县模拟）如图，在△ ABC中，∠ C=90°，AB的垂直均分线交 AB与 D，交 BC于 E，连结 AE，若 CE=5，AC=12，则 BE的长是（）A 13B 10C 12D 5．．．．2 ．（2015? 淄博模拟）如图，在△ ABC中， AB=AC，∠ A=36°， BD、CE分别是∠ ABC、∠ BCD的角均分线，则图中的等腰三角形有（）A 5 个B 4 个C 3 个D 2 个．．．．3．（2014 秋?西城区校级期中）如图，在△ABC中， AD是它的角平分线， AB=8cm，AC=6cm，则S △ABD：S△ACD=（）A 4：3B 3：4C 16：9D 9：16．．．．4．（2014? 丹东）如图，在△ ABC中， AB=AC，∠ A=40°， AB的垂直均分线交 AB于点 D，交 AC于点 E，连结 BE，则∠ CBE的度数为（）A 70°B 80°C 40°D 30°．．．．5．（2014? 南充）如图，在△ ABC中，AB=AC，且 D为 BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（）A 30°B 36°C 40°D 45°．．．．6．（2014? 山西模拟）如图，点O在直线AB上，射线OC均分∠ AOD，若∠ AOC=35°，则∠ BOD等于（）A 145°B 110°C 70°D 35°．．．．7 ．（2014? 雁塔区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ ACB=90°， BA 的垂直均分线交BC边于 D，若 AB=10，AC=5，则图中等于 60°的角的个数是（）A 2B 3C 4D 5．．．．8．（2014 秋? 腾冲县校级期末）如图，已知 BD是△ ABC的中线，AB=5，BC=3，△ ABD和△ BCD的周长的差是（）A 2B 3C 6D 不可以确立．．．．9．（2014 春?栖霞市期末）在Rt△ABC中，以以下图，∠C=90°，∠CAB=60°，AD均分∠ CAB，点D到AB的距离DE=，则BC等于（）A B C D．．．．10 ．（2014 秋? 博野县期末）△ ABC中，点 O是△ ABC内一点，且点O到△ ABC三边的距离相等；∠ A=40°，则∠ BOC=（）A 110°B 120°C 130°D 140°．．．．11 ．（2013 秋? 潮阳区期末）如图，已知点P 在∠ AOB的均分线 OC 上， PF⊥OA，PE⊥OB，若 PE=6，则 PF 的长为（）A 2B 4C 6D 8．．．．12 ．（2013 秋? 马尾区校级期末）如图，△ ABC中， DE是 AB的垂直均分线，交 BC于点 D，交 AB于点 E，已知 AE=1cm，△ACD的周长为 12cm，则△ ABC的周长是（）A 13cmB 14cmC 15cmD 16cm．．．．13．（2013 秋? 西城区期末）如图，∠ BAC=130°，若 MP和 QN分别垂直均分 AB和 AC，则∠ PAQ等于（）A 50°B 75°C 80°D 105°．．．．14．（2014 秋? 东莞市校级期中）如图，要用“HL”判断 Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（）A．AC=A′C′， BC=B′C′B．∠A=∠A′，AB=A′B′C．AC=A′C′， AB=A′B′D．∠B=∠B′，BC=B′C′15．（2014 秋? 淄川区校级期中）如图， MN是线段 AB的垂直均分线，C在 MN外，且与 A 点在 MN的同一侧， BC交 MN于 P点，则（）A BC＞B BC＜C BC=PC+APD BC≥PC+A． PC+AP． PC+AP．． P16．（2014 秋?为BC上一点，万州区校级期中）如图，已知在△BF=CD，CE=BD，那么∠ EDF等于（ABC中， AB=AC，D）A 90°﹣B 90°﹣C 180°﹣D 45°﹣．∠A．∠A．∠A．∠A17．（2014 秋? 泰山区校级期中）如图，在△ABC中， AB=AC，AD平分∠ BAC，那么以下结论不用然建立的是（）A．△ABD≌△ ACD B．AD是△ ABC的高线C．AD是△ ABC的角均分线 D．△ABC是等边三角形18．（2014 秋? 晋江市校级月考）如图，点P是△ ABC内的一点，若PB=PC，则（）A．点P在∠ ABC的均分线B．点P在∠ ACB的均分线上上C．点P在边AB的垂直均分D．点P在边BC的垂直均分线上线上19．（2013? 河西区二模）如图，在∠ECF的两边上有点 B，A，D，BC=BD=DA，且∠ ADF=75°，则∠ ECF的度数为（）A 15°B 20°C 25°D 30°．．．．20 ．（2013 秋? 盱眙县校级期中）如图， P 为∠ AOB的均分线 OC上随意一点，PM⊥OA于 M，PN⊥OB于 N，连结 MN交 OP于点 D．则① PM=PN，②MO=NO，③ OP⊥MN，④ MD=ND．此中正确的有（）A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个．．．．二．解答题（共10 小题）21 ．（2014 秋? 黄浦区期末）如图，已知ON是∠ AOB的均分线， OM、OC是∠ AOB外的射线．（1）假如∠ AOC=α，∠ BOC=β，请用含有α，β的式子表示∠ NOC．（2）假如∠ BOC=90°， OM均分∠ AOC，那么∠ MON的度数是多少22．（2014 秋? 阿坝州期末）如图，已知： E 是∠ AOB的均分线上一点， EC⊥OB，ED⊥OA， C、D是垂足，连结 CD，且交 OE于点 F．（1）求证： OE是 CD的垂直均分线．（2）若∠ AOB=60°，请你研究 OE，EF 之间有什么数目关系并证明你的结论．23．（2014 秋? 花垣县期末）如图，在△ABC中，∠ ABC=2∠C，BD平分∠ ABC，DE⊥AB（E在 AB之间），DF⊥BC，已知 BD=5，DE=3，CF=4，试求△ DFC的周长．24 ．（2014 秋? 大石桥市期末）如图，点 D是△ ABC中 BC边上的一点，且 AB=AC=CD，AD=BD，求∠ BAC的度数．25．（2014 秋? 安溪县期末）如图，在△ABC中， AB=AC，∠ A=α．（1）直接写出∠ ABC的大小（用含α的式子表示）；（2）以点 B 为圆心、BC长为半径画弧，分别交 AC、AB于 D、E两点，并连结 BD、DE．若=30°，求∠ BDE的度数．26．（2014 秋? 静宁县校级期中）如图，在△ABC中， AD均分∠ BAC，点D是 BC的中点， DE⊥AB于点 E，DF⊥AC于点 F．求证：（1）∠ B=∠C．（2）△ ABC是等腰三角形．27．（2012 秋? 天津期末）如图， AB=AC，∠ C=67°， AB的垂直均分线 EF交 AC于点 D，求∠ DBC的度数．28 ．（2013 秋? 高坪区校级期中）如图，△ABC中，AB=AD=AE，DE=EC，∠DAB=30°，求∠C的度数．29．（2012 春? 扶沟县校级期中）阅读理解：“在一个三角形中，如果角相等，那么它们所对的边也相等．”简称“等角同样边”，如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的均分线上交于点F，过点F 作BC 的平行线分别交AB、AC于点D、E，请你用“等角同样边”的知识说明DE=BD+CE．30．（2011? 龙岩质检）如图， AD是△ ABC的均分线， DE，DF分别垂直 AB、AC于 E、F，连结 EF，求证：△ AEF是等腰三角形．2015 年 05 月 03 日初中数学三角形证明组卷参照答案与试题分析一．选择题（共20 小题）1．（2015? 涉县模拟）如图，在△ ABC中，∠ C=90°，AB的垂直均分线交 AB与 D，交 BC于 E，连结 AE，若 CE=5，AC=12，则 BE的长是（）A 13B 10C 12D 5．．．．考线段垂直均分线的性质．点：分先依据勾股定理求出 AE=13，再由 DE是线段 AB的垂直均分线，析：得出 BE=AE=13．解解：∵∠ C=90°，答：∴AE=，∵DE 是线段 AB 的垂直均分线，∴BE=AE=13；应选： A ．点 本题察看了勾股定理和线段垂直均分线的性质；利用勾股定理评：求出 AE 是解题的重点．2．（2015? CE 分别是∠淄博模拟）如图，在△ ABC 中， AB=AC ，∠ A=36°， BD 、ABC 、∠ BCD 的角均分线，则图中的等腰三角形有（ ）A 5 个B 4 个C 3 个D 2 个．．．．考等腰三角形的判断；三角形内角和定理．点：专证明题．题：分依据已知条件和等腰三角形的判判断理，对图中的三角形进行析：分析，即可得出答案．解解：共有 5 个．答：（1）∵ AB=AC∴△ ABC是等腰三角形；（2）∵ BD、CE分别是∠ ABC、∠ BCD的角均分线∴∠ EBC=∠ABC，∠ ECB= ∠BCD，∵△ ABC是等腰三角形，∴∠ EBC=∠ECB，∴△ BCE是等腰三角形；（3）∵∠ A=36°， AB=AC，∴∠ ABC=∠ACB=（180°﹣ 36°） =72°，又BD是∠ ABC的角均分线，∴∠ ABD=∠ABC=36°=∠A，∴△ ABD是等腰三角形；同理可证△ CDE和△ BCD是等腰三角形．应选： A．点本题主要察看学生同样腰三角形判断和三角形内角和定理的评：理解和掌握，属于中档题．3．（2014 秋?西城区校级期中）如图，在△ABC中， AD是它的角平分线， AB=8cm，AC=6cm，则S △ABD：S△ACD=（）A 4：3B 3：4C 16：9D 9：16．．．．考角均分的性；三角形的面．点：算．：分第一点 D作 DE⊥AB，DF⊥AC，由 AD是它的角均分，根析：据角均分的性，即可求得 DE=DF，由△ ABD的面 12，可求得 DE与 DF的，又由 AC=6，可求得△ ACD的面．解解：点 D作 DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分E、F⋯（ 1 分）答：∵AD是∠ BAC的均分， DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，⋯（ 3 分）∴S△ABD= ? DE? AB=12，∴DE=DF=3⋯（ 5 分）∴S△ADC=? DF? AC= ×3×6=9⋯（ 6 分）∴S△ABD：S△ACD=12：9=4：3．故 A．点本题察看了角均分线的性质．本题难度不大，解题的重点是评：熟记角均分线的性质定理的应用，注意数形联合思想的应用，注意协助线的作法．4．（2014? 丹东）如图，在△ ABC中， AB=AC，∠ A=40°， AB的垂直均分线交 AB于点 D，交 AC于点 E，连结 BE，则∠ CBE的度数为（）A 70°B 80°C 40°D 30°．．．．考线段垂直均分线的性质；等腰三角形的性质．点：专几何图形问题．题：分由等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，即可求得∠ABC的度数，析：又由线段AB的垂直均分线交AB于D，交AC于E，可得AE=BE，既而求得∠ ABE的度数，则可求得答案．解解：∵等腰△ ABC中， AB=AC，∠ A=40°，答：∴∠ ABC=∠C==70°，∵线段 AB的垂直均分线交AB于 D，交 AC于 E，∴AE=BE，∴∠ ABE=∠A=40°，∴∠ CBE=∠ABC﹣∠ ABE=30°．应选： D．点本题察看了线段垂直均分线的性质以及等腰三角形的性评：质．本题难度不大，注意掌握数形联合思想的应用．5．（2014? 南充）如图，在△ ABC中，AB=AC，且 D为 BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（）A 30°B 36°C 40°D 45°．．．．考等腰三角形的性质．点：分求出∠ BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C的关系，利用三角形的内角和是析： 180°，求∠ B，解解：∵ AB=AC，答：∴∠ B=∠C，∵AB=BD，∴∠ BAD=∠BDA，∵CD=AD，∴∠ C=∠CAD，∵∠ BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠ B=36°应选： B．点本题主要察看等腰三角形的性质，解题的重点是运用等腰三角形评：的性质得出∠ BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C关系．6．（2014? 山西模拟）如图，点O在直线 AB上，射线 OC均分∠ AOD，若∠ AOC=35°，则∠ BOD等于（）A 145°B 110°C 70°D 35°．．．．考角均分线的定义．点：分第一依据角均分线定义可得∠ AOD=2∠AOC=70°，再依据邻补析：角的性质可得∠ BOD的度数．解解：∵射线 OC均分∠ DOA．答：∴∠ AOD=2∠AOC，∵∠ COA=35°，∴∠ DOA=70°，∴∠ BOD=180°﹣ 70°=110°，应选： B．点本题主要察看了角均分线定义，重点是掌握角均分线把角分红评：相等的两部分．7．（2014? 雁塔区校级模拟）如图，在△ ABC中，∠ ACB=90°，BA 的垂直均分线交 BC边于 D，若 AB=10，AC=5，则图中等于 60°的角的个数是（）A 2B 3C 4D 5．．．．考线段垂直均分线的性质．点：分依据已知条件易得∠ B=30°，∠ BAC=60°．依据线段垂直平析：分线的性质进一步求解．解解：∵∠ ACB=90°， AB=10，AC=5，答：∴∠ B=30°．∴∠ BAC=90°﹣ 30°=60°∵DE垂直均分 BC，∴∠ BAC=∠ADE=∠BDE=∠CDA=90°﹣ 30°=60°．∴∠ BDE对顶角 =60°，∴图中等于 60°的角的个数是4．应选 C．点本题主要察看线段的垂直均分线的性质等几何知识．线段的评：垂直均分线上的点到线段的两个端点的距离相等．由易到难逐一找寻，做到不重不漏．8．（2014 秋? 腾冲县校级期末）如图，已知 BD是△ ABC的中线，AB=5，BC=3，△ ABD和△ BCD的周长的差是（）A 2B 3C 6D 不可以确立．．．．考三角形的角均分线、中线和高．点：专计算题．题：分依据三角形的中线得出AD=CD，依据三角形的周长求出即可．析：解解：∵ BD是△ ABC的中线，答：∴AD=CD，∴△ ABD和△ BCD的周长的差是：（ AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）=AB﹣BC=5﹣3=2．应选 A．点本题主要察看对三角形的中线的理解和掌握，能正确地进行评：计算是解本题的重点．9．（2014 春?栖霞市期末）在Rt△ABC中，以以下图，∠C=90°，∠CAB=60°，AD均分∠ CAB，点D到AB的距离DE=，则BC等于（）A B C D．．．．考角均分线的性质．点：分由∠ C=90°，∠ CAB=60°，可得∠B的度数，故 BD=2DE=，又析： AD均分∠ CAB，故 DC=DE=，由 BC=BD+DC求解．解解：∵∠ C=90°，∠ CAB=60°，答：∴∠ B=30°，在 Rt△BDE中， BD=2DE=，又∵ AD均分∠ CAB，∴DC=DE=，∴BC=BD+DC=+=．应选 C．AB的距点本题主要察看均分线的性质，由已知可以注意到D到评：离 DE即为 CD长，是解题的重点．10．（2014 秋 ? 博野县期末）△ ABC中，点 O是△ ABC内一点，且点 O 到△ ABC三边的距离相等；∠ A=40°，则∠ BOC=（）A 110°B 120°C 130°D 140°．．．．考角均分线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．点：专计算题．题：分由已知，O到三角形三边距离相等，得O是心里，再利用三角析：形内角和定理即可求出∠ BOC的度数．解解：由已知， O到三角形三边距离相等，因此O是心里，答：即三条角均分线交点， AO，BO，CO都是角均分线，因此有∠ CBO=∠ABO=∠ABC，∠ BCO=∠ACO= ∠ACB，∠ABC+∠ACB=180﹣ 40=140∠OBC+∠OCB=70∠BOC=180﹣70=110°应选 A．点本题主要察看学生对角均分线性质，三角形内角和定理，三角评：形的外角性质等知识点的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．11．（2013 秋 ? 潮阳区期末）如图，已知点 P 在∠ AOB的均分线 OC上，PF⊥OA，PE⊥OB，若 PE=6，则 PF的长为（）A 2B 4C 6D 8．．．．考角均分线的性质；全等三角形的判断与性质．点：专计算题．题：分利用角均分线性质得出∠ POF=∠POE，此后利用 AAS定理求证析：△POE≌△ POF，即可求出 PF的长．解解：∵ OC均分∠ AOB，∴∠ POF=∠POE，答：∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠ PFO=∠PEO，PO为公共边，∴△ POE≌△ POF，∴PF=PE=6．应选 C．点本题察看学生对角均分线性质和全等三角形的判断与性质的评：理解和掌握，解答本题的重点是求证△ POE≌△ POF．12．（2013 秋? 马尾区校级期末）如图，△ ABC中， DE是 AB的垂直均分线，交 BC于点 D，交 AB于点 E，已知 AE=1cm，△ACD的周长为 12cm，则△ ABC的周长是（）A 13cmB 14cmC 15cmD 16cm．．．．考线段垂直均分线的性质．点：分要求△ ABC的周长，先有 AE可求出 AB，只需求出 AC+BC即可，析：依据线段垂直均分线的性质可知， AD=BD，于是AC+BC=AC+CD+AD 等于△ ACD的周长，答案可得．解解：∵ DE是 AB的垂直均分线，答：∴AD=BD，AB=2AE=2又∵△ ACD的周长 =AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=12∴△ ABC的周长是 12+2=14cm．应选 B点本题主要察看线段的垂直均分线的性质：线段的垂直均分线上的点到线段的两个端点的距离相等；进行线段的等效转移，把评：已知与未知联系起来是正确解答本题的重点．13．（2013 秋? 西城区期末）如图，∠ BAC=130°，若 MP和 QN分别垂直均分 AB和 AC，则∠ PAQ等于（）A 50°B 75°C 80°D 105°．．．．考线段垂直均分线的性质．点：分依据线段垂直均分线性质得出 BP=AP，CQ=AQ，推出∠ B=∠BAP，析：∠C=∠QAC，求出∠ B+∠C，即可求出∠ BAP+∠QAC，即可求出答案．解解：∵ MP和 QN分别垂直均分 AB和 AC，答：∴BP=AP，CQ=AQ，∴∠ B=∠PAB，∠ C=∠QAC，∵∠ BAC=130°，∴∠ B+∠C=180°﹣∠ BAC=50°，∴∠ BAP+∠CAQ=50°，∴∠ PAQ=∠BAC﹣（∠ PAB+∠QAC）=130°﹣ 50°=80°，应选： C．点本题察看了等腰三角形的性质，线段垂直均分线性质，三角评：形的内角和定理，注意：线段垂直均分线上的点到线段两个端点的距离相等，等边同样角．14．（2014 秋? 东莞市校级期中）如图，要用“HL”判断 Rt △ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（）A AC=A′CB ∠A=∠A．′，．′，BC=B′C AB=A′B′′C AC=A′CD ∠B=∠B．′，．′，AB=A′B BC=B′C′′考直角三角形全等的判断．点：分依据直角三角形全等的判断方法（HL）即可直接得出答案．析：解解：∵在 Rt△ABC和 Rt△A′B′C′中，答：假如 AC=A′C′， AB=A′B′，那么 BC必定等于 B′C′，Rt△ABC和 Rt△A′B′C′必定全等，应选 C．点本题主要察看学生对直角三角形全等的判断的理解和掌握，评：难度不大，是一道基础题．15．（2014 秋? 淄川区校级期中）如图， MN是线段 AB的垂直均分线，C在 MN外，且与 A 点在 MN的同一侧， BC交 MN于 P点，则（）A BC＞B BC＜C BC=PC+APD BC≥PC+A． PC+AP．PC+AP．．P考线段垂直均分线的性质．点：分从已知条件进行思虑，依据垂直均分线的性质可得 PA=PB，结析：合图形知 BC=PB+PC，经过等量代换获得答案．解解：∵点 P 在线段 AB的垂直均分线上，答：∴PA=PB．∵BC=PC+BP，∴BC=PC+AP．应选 C．点本题察看了垂直均分线的性质：线段的垂直均分线上的点到线评：段的两个端点的距离相等；联合图形，进行线段的等量代换是正确解答本题的重点．16．（2014 秋?万州区校级期中）如图，已知在△ABC中， AB=AC，D为BC上一点，BF=CD，CE=BD，那么∠EDF等于（）A 90°﹣B 90°﹣C 180°﹣D 45°﹣．∠A．∠A．∠A．∠A考等腰三角形的性质．点：分由 AB=AC，利用等边同样角获得一对角相等，再由 BF=CD，BD=CE，析：利用 SAS获得三角形 FBD与三角形 DEC全等，利用全等三角形对应角相等获得一对角相等，即可表示出∠EDF．解解：∵ AB=AC，答：∴∠ B=∠C°，在△ BDF和△ CED中，，∴△ BDF≌△ CED（ SAS），∴∠ BFD=∠CDE，∴∠ FDB+∠EDC=∠FDB+∠BFD=180°﹣∠ B=180°﹣=90°+ ∠A，则∠ EDF=180°﹣（∠ FDB+∠EDC）=90°﹣∠A．应选 B．点本题察看了全等三角形的判断与性质，娴熟掌握全等三角形的判评：定与性质是解本题的重点．17．（2014 秋? 泰山区校级期中）如图，在△ABC中， AB=AC，AD平分∠ BAC，那么以下结论不用然建立的是（）A △ABD≌B AD是．△ACD．△ABC的高线C AD是D △ABC是．△ABC的．等边三角角均分线形考等腰三角形的性质．点：分利用等腰三角形的性质逐项判断即可．析：解解：答：A、在△ ABD和△ ACD中，，因此△ ABD≌△ ACD，因此 A正确；B、由于 AB=AC，AD均分∠ BAC，因此 AD是 BC边上的高，所以 B正确；C、由条件可知AD为△ ABC的角均分线；D、由条件没法得出AB=AC=BC，因此△ ABC不用然是等边三角形，因此 D不正确；应选 D．点本题主要察看等腰三角形的性质，掌握等腰三角形“三线合评：一”的性质是解题的重点．18．（2014 秋? 晋江市校级月考）如图，点P是△ ABC内的一点，若PB=PC，则（）A 点P 在B 点P 在．∠ACB的．∠ABC的均分线上均分线上C 点 P 在边D 点 P 在边．AB的垂直． BC的垂直均分线上均分线上考线段垂直均分线的性质．点：分依据到线段两头点的距离相等的点在这条线段的垂直均分线上析：由 PC=PB即可得出 P在线段 BC的垂直均分线上．解解：∵ PB=PC，答：∴P在线段 BC的垂直均分线上，应选 D．点本题察看了角均分线的性质和线段垂直均分线定理，注意：到线评：段两头点的距离相等的点在这条线段的垂直均分线上，角均分线上的点到角的两边的距离相等．19．（2013? 河西区二模）如图，在∠ECF的两边上有点 B，A，D，BC=BD=DA，且∠ ADF=75°，则∠ ECF的度数为（）A 15°B 20°C 25°D 30°．．．．考等腰三角形的性质．点：分依据等腰三角形的性质以及三角形外角和内角的关系，逐渐析：推出∠ ECF的度数．解解：∵ BC=BD=DA，答：∴∠ C=∠BDC，∠ ABD=∠BAD，∵∠ ABD=∠C+∠BDC，∠ ADF=75°，∴3∠ECF=75°，∴∠ ECF=25°．应选： C．点察看了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，三评：角形外角和内角的运用．20．（2013 秋? 盱眙县校级期中）如图， P为∠ AOB的均分线 OC上随意一点，PM⊥OA于 M，PN⊥OB于 N，连结 MN交 OP于点 D．则①PM=PN，②MO=NO，③ OP⊥MN，④ MD=ND．此中正确的有（）A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个．．．．考角均分线的性质．点：分由已知很易获得△ OPM≌△ OPN，从而得角相等，边相等，从而析：得△ OMP≌△ ONP，△ PMD≌△ PND，可得 MD=ND，∠ODN=∠ODM=9O°，答案可得．解解： P 为∠ AOB的均分线 OC上随意一点， PM⊥OA于 M，PN⊥OB 答：于N连结 MN交 OP于点 D，∴∠ MOP=∠NOP，∠ OMP=∠ONP， OP=OP，∴△ OPM≌△ OPN，∴MP=NP，OM=ON，又OD=OD∴△ OMD≌△ OND，∴MD=ND，∠ ODN=∠ODM=9O°，∴OP⊥MN∴① PM=PN，② MO=NO，③ OP⊥MN，④ MD=ND都正确．应选 D．点本题主要察看了角均分线的性质，即角均分线上的一点到两边评：的距离相等；发现并利用△ OMD≌△ OND是解决本题的重点，证明两线垂直时经常经过证两角相等且互补来解决．二．解答题（共10 小题）21．（2014 秋? 黄浦区期末）如图，已知ON是∠ AOB的均分线， OM、OC是∠ AOB外的射线．（1）假如∠ AOC=α，∠ BOC=β，请用含有α，β的式子表示∠ NOC．（2）假如∠ BOC=90°， OM均分∠ AOC，那么∠ MON的度数是多少考角均分线的定义．点：分（1）先求出∠ AOB=α﹣β，再利用角均分线求出∠AON，即析：可得出∠ NOC；（2）先利用角均分线求出∠ AOM=∠AOC，∠ AON=∠AOB，即可得出∠ MON=∠BOC．解解：（1）∵∠ AOC=α，∠ BOC=β，答：∴∠ AOB=α﹣β，∵ON是∠ AOB的均分线，∴∠ AON=（α﹣β），∠NOC=α﹣（α﹣β）=（α +β）；（2）∵ OM均分∠ AOC， ON均分∠ AOB，∴∠ AOM=∠AOC，∠ AON=∠AOB，∴∠ MON=∠AOM﹣∠ AON=（∠ AOC﹣∠ AOB）=∠BOC=×90°=45°．点本题察看了角均分线的定义和角的计算；弄清各个角之间的评：数目关系是解决问题的重点．22．（2014 秋? 阿坝州期末）如图，已知： E 是∠ AOB的均分线上一点， EC⊥OB，ED⊥OA， C、D是垂足，连结 CD，且交 OE于点 F．（1）求证： OE是 CD的垂直均分线．（2）若∠ AOB=60°，请你研究 OE，EF 之间有什么数目关系并证明你的结论．考线段垂直均分线的性质．点：专研究型．题：分（1）先依据E 是∠AOB的均分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA析：得出△ ODE≌△ OCE，可得出 OD=OC，DE=CE，OE=OE，可得出△DOC是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出OE是CD的垂直均分线；（2）先依据 E 是∠ AOB的均分线，∠ AOB=60°可得出∠AOE=∠BOE=30°，由直角三角形的性质可得出OE=2DE，同理可得出 DE=2EF即可得出结论．解解：（1）∵E是∠ AOB的均分线上一点， EC⊥OB，ED⊥OA，答：∴DE=CE， OE=OE，∴Rt△ODE≌Rt△OCE，∴OD=OC，∴△ DOC是等腰三角形，∵OE是∠ AOB的均分线，∴OE是 CD的垂直均分线；（2）∵ OE是∠ AOB的均分线，∠AOB=60°，∴∠ AOE=∠BOE=30°，∵EC⊥OB，ED⊥OA，∴OE=2DE，∠ ODF=∠OED=60°，∴∠ EDF=30°，∴DE=2EF，∴OE=4EF．点本题察看的是角均分线的性质及直角三角形的性质、等腰三评：角形的判断与性质，熟知以上知识是解答本题的重点．23．（2014 秋? 花垣县期末）如图，在△ ABC中，∠ ABC=2∠C，BD均分∠ABC，DE⊥AB（E在AB之间），DF⊥BC，已知BD=5，DE=3，CF=4，试求△ DFC的周长．考角均分线的性质．点：分依据角均分线的性质可证∠ ABD=∠CBD，即可求得∠ CBD=∠C，析：即 BD=CD，再依据角均分线上的点到角两边距离相等即可求得 DE=DF，即可解题．解解：∵∠ ABC=2∠C， BD均分∠A BC，答：∴∠ CBD=∠C，。
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E
D A B A
D E E D A B
C
垂直平分线 1、如图，在△ABC 中，∠C = 90°，DE 是AB 的垂直平分线。
1）则BD = ；
2）若∠B = 40°，则∠BAC = °，∠DAB = °， ∠DAC = °，∠CDA = °； 3）若AC= 4， BC = 5，则DA + DC = __ ，△ACD 的周长为 __ 。
2、如图，DE 为△ABC 的AB 边的垂直平分线，D 为垂足，DE 交BC 于E ， AC = 5，BC = 8，求：△AEC 的周长。
3、在△ABC 中，AB = AC ，AB 的垂直平分线交AC 于D ，△ABC 和△DBC 的周长分别是60cm 和38cm ，求AB 、BC 。
4、已知：△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，AB 的垂直平分线交AD 于O 。
求证：OA=OB=OC ．
角平分线
1、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°,BE 平分∠ABC
，DE ⊥AB 于D ，如果AC=3 cm ，那么AE+DE 等于（ ） A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm
7、（1）如图4，点P 为△ABC 三条角平分线交点，PD ⊥AB ，PE ⊥BC ，PF ⊥AC ，则PD______PE______PF.
（2）如图5，P 是∠AOB 平分线上任意一点，且PD=2cm ，若使PE=2cm ，则PE 与OB 的关系是__________.
图4 图5 2、如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，BE 、CD 相交于O ，∠1 =∠2,求证：OB = OC 。
3、如图，E 是线段AC 上的一点，AB ⊥EB 于B ，AD ⊥ED 于D ，且∠1 =∠2，CB = CD 。
求证：∠3 =∠4。
4、如图，在△ABC 中，AC = BC ，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E 。
（1）已知CD = 4cm ，求AC 的长；（2）求证：AB = AC + CD 。
5、 如右图，已知BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE 、CF 相交于点D ，若BD=CD 。
求证：AD 平分∠BAC 。
6、如图，在△ABC 中，BE ⊥AC ，AD ⊥BC ，AD 、BE 相交于点P ，AE = BD 。
求证：P 在∠ACB 的角平分线上。
21O
E D A B C E D A B
C P C
B A D E 2
3
1E D A B C 4
第一章三角形的证明
回顾与思考
【学习目标】
1、在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等。
2、发展学生的初步的演绎推理能力，进一步掌握综合法的证明方法，提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力。
【学习方法】自主探究与合作交流相结合。
【学习重难点】重点：通过例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固
难点：本章知识的综合性应用。
【学习过程】
模块一复习反馈
1、等腰三角形的性质：（边）；（角）；“三线合一”的内容。
2、等边三角形的性质：（边）；（角）。
3、判定等腰三角形的方法有：（边）；（角）。
4、判定等边三角形的方法有：（边）；（角）。
5、线段垂直平分线的性质定理：。
逆定理：。
三角形的垂直平分线性质：。
6、角的性质定理：。
逆定理：。
三角形的角平分线性质：。
7、三角形全等的判定方法有：。
8、30°锐角的直角三角形的性质：。
9、方法总结：
（1）证明线段相等的方法：1）可证明它们所在的两个三角形全等；2）角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；3）等角对等边；4）等腰三角形三线合一的性质；5）中垂线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
（2）证明两角相等的方法：1）同角的余角相等；2）平行线性质；3）对顶角相等；4）全等三角形对应角相等；5）等边对等角；6）角平分线的性质定理和逆定理。
（3）证明垂直的方法：1）证邻补角相等；2）证和已知直角三角形全等；3）利用等腰三角形的三线合一性质；4）勾股定理的逆定理。
（4）等腰三角形的证明：主要用等腰三角形的两腰相等，两底角相等和三线合一性质解题。
模块二合作探究
1、填空：（1）△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最小边BC=4 cm，最长边AB= 。
（2）直角三角形两直角边分别是5 cm、12 cm，其斜边上的高是。
（3）若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形是三角形。
（4）三角形三边分别为a、b、c，且a2－bc=a(b－c)，则这个三角形（按边分类）一定是________ 2、已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且DE=DF。
求证：△ABC是等腰三角形。
B C
A E
D 图1 3、如图，在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于点
E ，已知△BCE 的周长为8，AC －BC=2. 求AB 与BC 的长.
4、已知，在△ABC 中，AD 垂直平分BC ，且CA = CE ，点B 、D 、C 、E 在同一条直线上。
求证： AB + DB = DE
模块三 形成提升
1、等腰三角形的底角为15°,腰上的高为16,那么腰长为_____ _____
2、如图1，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，则BC 的长为 。
3、如图2，在△ABC 中，∠ACB=90°,BE 平分∠ABC ，ED ⊥AB 于D ，如果AC=3 cm ，那么AE+DE 等于 。
图2
4、 命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,其逆命题是_______________________.它是一个__________命题。
等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是___________________________________________________，这个逆命题是_________命题.
5、如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，CF ⊥AF ，E 、F 是垂足，且BC = CD 。
求证：（1）△BCE ≌△DCF ； （2）DF = EB 。
模块四 小结反思
一、本课知识：
二、本课典例：
三、我的困惑：（你一定要认真思考哦！把它写在下面，好吗？） C A D
E F
E D A B C。