函数与导数问题归纳总结

教学过程

一、课程导入

从近两年高考试题看，导数与方程、函数零点、不等式的交汇综合，以及利用导数研究生活中的优化问题，是考查的热点，并且常考常新．题型以解答题为主，综合考查学生分析问题、解决问题的能力．

二、复习预习

利用导数研究函数的单调性、求极(最)值，题型全面，小题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值，大题考查导数与函数单调性、极值与最值的关系，多与方程、一元二次不等式等知识交汇，体现转化思想、分类讨论思想的应用，在求解过程中应注意答题的规范化．

三、知识讲解

考点1

类型1 利用导数研究函数的单调性

利用导数研究函数的单调性是高考的热点，多与一元二次不等式相联系，根据导数与函数单调性的关系，研究函数的单调性，实际上就是讨论导函数f′(x)的函数值正负的问题．

类型2 利用导数求函数的极值或最值

利用导数研究函数的极值或最值是近两年高考的热点，通过f′(x)＝0的根与函数极值点的联系，求函数的极值或求参数的值(范围)，通过函数极值和函数在相应区间端点函数值的比较确定函数的最值．

类型3 利用导数研究函数的零点问题

利用导数研究函数的零点问题是近两年高考命题的亮点，求解时应把函数的零点存在性定理、函数的单调性、极值点等综合起来考虑，最后数形结合求得结果．

类型4 利用导数研究与不等式有关的问题

常见题型及转化方法：

(1)不等式恒成立问题，转化为函数的最值问题；

(2)证明不等式，转化为证明函数的单调性问题；

(3)证明不等式，转化为函数的最小值大于最大值问题．

四、例题精析

类型1 利用导数研究函数的单调性

【例题1】

【题干】(2014·石家庄模拟)已知函数f(x)＝ln x＋mx2(m∈R)．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若A、B是函数f(x)图象上不同的两点，且直线AB的斜率恒大于1，求实数m的取值范围．

【解析】 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x

＋2mx ＝

1＋2mx 2

x

.

当m ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 当m <0时，由f ′(x )＝0得x ＝ －12m

. 当x ∈⎝ ⎛

⎭⎪⎫

0，

－12m 时，f ′(x )>0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫

0， －12m 上单调递增； 当x ∈⎝

⎛⎭⎪⎫

－1

2m ，＋∞时，f ′(x )<0，f (x )在⎝

⎛⎭

⎪⎫ －1

2m ，＋∞上单调递减． 综上所述，当m ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当m <0时，f (x )在⎝ ⎛

⎭

⎪⎫

0，

－

12m 上单调递增， 在⎝

⎛⎭

⎪⎫－1

2m ，＋∞上单调递减． (2)依题意，设A (a ，f (a ))，B (b ，f (b ))，不妨设a >b >0，

则k AB ＝f a －f b

a －

b >1恒成立，

即f (a )－f (b )>a －b 恒成立，

即f (a )－a >f (b )－b 恒成立， 令g (x )＝f (x )－x ＝ln x ＋mx 2

－x ， 则g (x )在(0，＋∞)上为增函数， 所以g ′(x )＝1

x ＋2mx －1＝

2mx 2－x ＋1

x

≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立，

所以2mx 2－x ＋1≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立，

即2m ≥－1

x 2＋1

x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋1

4

对x ∈(0，＋∞)恒成立，

因此m ≥1

8

.

即实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭

⎪⎫

18，＋∞.

【总结与反思】

1.本题(2)中把直线AB 的斜率恒大于1转化为函数g (x )＝f (x )－x 在(0，＋∞)上是增函数是解题的关键． 2．判断函数的单调性，求函数的单调区间、极值等问题，最终归结到判断f ′(x )的符号问题上，而f ′(x )＞0或

f ′(x )＜0，最终可转化为一个一元一次或一元二次不等式问题．

类型2 利用导数求函数的极值或最值

【例题2】

【题干】

(2013·重庆高考)设f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中x∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．

(1)确定a的值；

(2)求函数f(x)的单调区间与极值．

【解析】(1)因为f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，

故f′(x)＝2a(x－5)＋6 x .

令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)．

由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故a＝1 2 .

(2)由(1)知，f(x)＝1

2

(x－5)2＋6ln x(x>0)，

f′(x)＝x－5＋6

x

＝

x－2 x－3

x

.

令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.

当03时，f′(x)>0，故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2

由此可知，f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝9

2

＋6ln 2，

在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln 3.【总结与反思】