第七章微分方程详解
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高等数学-第七章-微分方程
工程应用
在工程领域中，微分方程组被广泛应用于控制论、信号处理、流体力学等方面。通过求解微分方程组，可以优化工程 设计、提高系统性能等。
经济应用
在经济学中，微分方程组被用来描述经济系统的动态行为，如经济增长模型、金融市场模型等。通过求 解这些微分方程组，可以分析经济现象的发展趋势和内在机制。
05 微分方程的数值解法
常数变易法
对于某些特殊形式的高阶微分方程组，可以通过常 数变易的方法，将其转化为易于求解的方程或方程 组。
幂级数解法
对于某些高阶线性微分方程组，可以通过幂 级数展开的方法，将其转化为无穷级数进行 求解。
微分方程组的应用
物理应用
在物理学中，许多现象可以用微分方程组来描述，如力学中的运动方程、电磁学中的麦克斯韦方程等。通过求解这些 微分方程组，可以揭示物理现象的本质和规律。
非线性微分方程
不满足线性条件的微分方程，称为非线性微分方 程。
微分方程解的性质
唯一性定理 在一定条件下，微分方程的解是 唯一的。
边值问题 给定边界条件的微分方程求解问 题，称为边值问题。边值问题的 解可能不唯一，也可能不存在。
叠加原理
对于线性微分方程，若$y_1$和 $y_2$分别是方程的两个解，则 它们的线性组合 $c_1y_1+c_2y_2$（其中$c_1$ 和$c_2$是任意常数）也是方程 的解。
首次积分法
利用首次积分的方法，将一阶微 分方程组转化为可分离变量的方 程或可降阶的方程，然后求解得 到原方程组的解。
特征线法
对于一阶偏微分方程组，可以通 过引入特征线的概念，将偏微分 方程转化为常微分方程进行求解 。
高阶微分方程组法
变量代换法
通过适当的变量代换，将高阶微分方程组转 化为一阶微分方程组或可降阶的方程，然后 求解得到原方程组的解。
在工程领域中，微分方程组被广泛应用于控制论、信号处理、流体力学等方面。通过求解微分方程组，可以优化工程 设计、提高系统性能等。
经济应用
在经济学中，微分方程组被用来描述经济系统的动态行为，如经济增长模型、金融市场模型等。通过求 解这些微分方程组，可以分析经济现象的发展趋势和内在机制。
05 微分方程的数值解法
常数变易法
对于某些特殊形式的高阶微分方程组，可以通过常 数变易的方法，将其转化为易于求解的方程或方程 组。
幂级数解法
对于某些高阶线性微分方程组，可以通过幂 级数展开的方法，将其转化为无穷级数进行 求解。
微分方程组的应用
物理应用
在物理学中，许多现象可以用微分方程组来描述，如力学中的运动方程、电磁学中的麦克斯韦方程等。通过求解这些 微分方程组，可以揭示物理现象的本质和规律。
非线性微分方程
不满足线性条件的微分方程，称为非线性微分方 程。
微分方程解的性质
唯一性定理 在一定条件下，微分方程的解是 唯一的。
边值问题 给定边界条件的微分方程求解问 题，称为边值问题。边值问题的 解可能不唯一，也可能不存在。
叠加原理
对于线性微分方程，若$y_1$和 $y_2$分别是方程的两个解，则 它们的线性组合 $c_1y_1+c_2y_2$（其中$c_1$ 和$c_2$是任意常数）也是方程 的解。
首次积分法
利用首次积分的方法，将一阶微 分方程组转化为可分离变量的方 程或可降阶的方程，然后求解得 到原方程组的解。
特征线法
对于一阶偏微分方程组，可以通 过引入特征线的概念，将偏微分 方程转化为常微分方程进行求解 。
高阶微分方程组法
变量代换法
通过适当的变量代换，将高阶微分方程组转 化为一阶微分方程组或可降阶的方程，然后 求解得到原方程组的解。
7.1微分方程的概念
例1. 曲线过(0,1),且曲线上每个点处的切线斜率 等于该点的横坐标,求此曲线方程.
初始条件 设曲线方程为 y = y(x), 则 y x,
x2 y xdx c 2
c 1
y | x 0 1
一阶线性 微分方程
x y 1 2
2
通解
特解
一 、 微 分 方 程 的 概 念
如： y
x 1
2 可以确定 y x C 中的C
2
一阶常微方程的初始条件为 y ( x 0 ) y 0 ,其中
x 0 ， y 0 是两个已知数.
y ( x0 ) y0 , 二阶微分方程的初始条件为 . y ( x 0 ) y 0
一 、 微 分 方 程 的 概 念
x 2x y C e C e , y ( 0 ) 0 由初始条件 代入 1 2
得 C1 C2 0 x 2x y C e 2 C e , y ( 0 ) 1 由初始条件 代入 1 2 得 C1 2C2 1.
C1 1 C2 1 于是，满足所给初始条件的特解为
常微分方程. 偏微分方程.
z x y x
y x
dy xy dx
本章内容
一 、 微 分 方 程 的 概 念
例1：下列方程中，哪些是微分方程？哪些不是？
(1) y 4 y 3 y 1
(2) y
d y (4) 2 1 x dx
一 、 微 分 如：以下方程1，2，4是二阶，3是一阶。 方 程 (1) y 4 y 3 y 1 的 概 念 (2) y 2 4 y 3 0
(3)dy cos xdx
d y (4) 2 1 x dx
高等数学 上册 第7章 微分方程
形如
dny dxn
a1
(
x)
d n1 y dxn1
an1
(
x)
dy dx
an (x) y
f (x)
的微分方程称为n阶线性微分方程．否则，就称为 n阶非线性微分方程.
例如，xy 2 y x2 y 0 是三阶线性微分方程．
dy dx
2
x
dy dx
y
cos
x
是一阶非线性微分方程．
y 2 y( y)2 2x 1 是二阶非线性微分方程.
可分离变量的微分方程 dy f (x)g( y) 的解法总结如下：
dx
① 分离变量： 1 dy f (x)dx
g( y)
②
两边积分：
1 g( y)
dy
f
(x)dx
二、可分离变量的微分方程
例1. 求微分方程
的通解.
解: 分离变量，得 d y 4x3 d x 说明: 在求解过程中
y
每一步不一定是同解
dx x
；
5、回代变量：将u回代成 .
一、齐次方程
例1. 求微分方程 x2 dy y2 xy 满足初值条件 y |x1 1 的特解 x2
①
假定方程①中的f(x),g(y)是连续的,且 g( y) 0，
设y＝(x)是方程①的解, 则有恒等式
1 (x) d x f (x) d x g( (x))
两边积分, 得
f (x)dx
设函数G(y)和F(x)依次为 则有
和f(x)的原函数, ② 这说明方程①的解满足等式②
二、可分离变量的微分方程
①
dx
y x1 3
②
由①得
( C为任意常数)
第七章一阶线性偏微分方程
Ψ ϕ1(x1, · · · , xn), · · · , ϕn−1(x1, · · · , xn)
= 常数
xj =ψj (xn)
(2) µ0dx + µ1dy1 + · · · + µndyn是某个函数ϕ的全微分，则ϕ = c就是方程的一个首次积 分。
【例1】 求方程组
的通积分。 【例2】 解方程组
dx xz
=
dy yz
=
dz xy
dx x
=
dy y
=
z
+
dz x2 + y2 + z2
7.2.4 一阶齐次线性偏微分方程的求解
7.2 一阶线性偏微分方程的求解
7.2.1 首次积分
定义 7.1 含有n个未知函数的一阶常微分方程组
dy1 dx
dy2 dx
= f1(x, y1, y2, · · · , yn), = f2(x, y1, y2, · · · , yn),
x2,
·
·
·
,
xn)
∂u ∂xi
=
0
(7.3)
则称其为一阶线性齐次偏微分方程。 4. 非线性偏微分方程 不是线性的偏微分方程为非线性偏微分方程。 5. 拟线性偏微分方程 若非线性偏微分方程关于其最高阶偏导数是线性的，则称它是拟线性偏微分方程。 本章讨论如下的一阶拟线性偏微分方程
n j=1
bj
(x1,பைடு நூலகம்
7.2 一阶线性偏微分方程的求解
5
7.2.3 利用首次积分求解常微分方程组
定义 7.2 称 方 程 组(7.5)的n个 互 相 独 立 的 首 次 积 分 全 体ϕj(x, y1, · · · , yn) = cj，j = 1, 2, · · · , n为方程组(7.5)的通积分。
高数第七章微分方程知识点
高数第七章微分方程知识点
高数第七章微分方程的知识点主要包括：
1. 微分方程的基本概念：微分方程是包含导数或微分的方程，一般形式为
f(x, y', ..., y^{(n)}) = 0。
微分方程的阶数是指微分方程中所含导数或微分的最高阶数。
微分方程的解是指使微分方程成立的函数，不含任意常数的解称为特解，若微分方程的解中所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相等，称这个解为通解。
2. 高阶微分方程：高阶微分方程是阶数大于一的微分方程。
例如，二阶常系数齐次线性微分方程，形如 y'' + py' + q = 0 (p, q为常数)的方程。
3. 齐次方程：齐次方程是一种特殊的微分方程，可以通过变量代换化为另一种形式的一阶微分方程。
一阶齐次方程的形式为dydx=φ(yx)，或者可化为这种形式的方程。
4. 一阶线性微分方程：一阶线性微分方程是包含一个未知函数及其导数的一次幂的方程，形式为 dydx+P(x)y=Q(x)。
如果Q(x)=0，则方程为齐次的，反之为非齐次的。
以上内容仅供参考，建议查阅高数教材或咨询专业人士以获取更准确的信息。
高等数学第七章第一节微分方程的基本概念课件.ppt
解: 如图所示, 点 P(x, y) 处的法线方程为
令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标
即 yy 2x 0
y P
Qo xx
引例1 通解:
dy dx
2x
y x1 2
引例2
y x2 C
d2y dx2
0.4
s t0 0 ,
ds dt
t0 20
s 0.2t 2 C1t C2
特解: y x2 1
s 0.2t 2 20t
例1. 验证函数 是微分方程
(C1 , C2为常数 )
的解, 并求满足初始条件
x
t0
A, dx
dt
t00
的特解 .
解:
k 2 (C1 sin kt C2 cos kt ) 这说明 x C1 cos kt C2 sin kt 是方程的解 .
是两个独立的任意常数, 故它是方程的通解.
利用初始条件易得:
故所求特解为
x Acos k t
例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q 且线段 PQ 被 y 轴平分, 求所满足的微分方程 .
微分方程的基本概念
含未内容)
分类 偏微分方程
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 的阶.
一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F (x, y, y,, y(n) ) 0
或 y(n) f (x, y, y,, y(n1) ) ( n 阶显式微分方程)
微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数.
通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同.
特解 — 不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线.
定解条件 — 确定通解中任意常数的条件.
令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标
即 yy 2x 0
y P
Qo xx
引例1 通解:
dy dx
2x
y x1 2
引例2
y x2 C
d2y dx2
0.4
s t0 0 ,
ds dt
t0 20
s 0.2t 2 C1t C2
特解: y x2 1
s 0.2t 2 20t
例1. 验证函数 是微分方程
(C1 , C2为常数 )
的解, 并求满足初始条件
x
t0
A, dx
dt
t00
的特解 .
解:
k 2 (C1 sin kt C2 cos kt ) 这说明 x C1 cos kt C2 sin kt 是方程的解 .
是两个独立的任意常数, 故它是方程的通解.
利用初始条件易得:
故所求特解为
x Acos k t
例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q 且线段 PQ 被 y 轴平分, 求所满足的微分方程 .
微分方程的基本概念
含未内容)
分类 偏微分方程
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 的阶.
一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F (x, y, y,, y(n) ) 0
或 y(n) f (x, y, y,, y(n1) ) ( n 阶显式微分方程)
微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数.
通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同.
特解 — 不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线.
定解条件 — 确定通解中任意常数的条件.
第七章 第4节 一阶线性微分方程
y x ,
2
y,
2
dz dx
4 x
z x ,
2
4 x x 解得 z x C , 即 y x C . 2 2
2
17
例3
1.
用适当的变量代换解下列微分方程:
2 yy 2 xy xe
2 x
2
;
解
y xy
1 ( 1 )
a 2 x C ( ln x) 2
将 z y 1 代入 , 得原方程通解:
a 2 y x C ( ln x) 1 2
16
例 2 求方程
dy dx
1 2
4 x
y x
2
y 的通解.
4 x
2
解 两端除以 y ，得
令 z
1 dy y dx
Q (x) y
dx 为 v ( x ), ln y v ( x )
P ( x ) dx ,
.
4
即 y e
v( x)
e
P ( x ) dx
.
P ( x ) dx
非齐方程通解形式 y u ( x ) e
与齐方程通解相比: C u ( x )
常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 实质: 未知函数的变量代换.
2
13
二、伯努利方程
伯努利(Bernoulli)方程的标准形式
dy dx P ( x ) y Q( x ) y
n
( n 0,1)
当n 0,1时， 方程为线性微分方程. 当n 0,1时， 方程为非线性微分方程.
微分方程与差分方程详解与例题
第七章 常微分方程与差分方程常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。
微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到。
特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。
【数学一大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli ）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler ）方程；微分方程的简单应用。
【数学二大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。
【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。
理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。
了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。
会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。
【考点分析】本章包括三个重点内容：1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。
求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。
2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。
利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。
若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。
高等数学上册第七章课件.ppt
y C2 ex ,再利用 y (0) = 1 得 C2 1, 故所求曲线方程为
第四节 可降阶的二阶微分方程
小结 可降阶微分方程的解法 —— 降阶法
逐次积分
令 y p(x) ,
令 y p(y) ,
第五节 二阶线性微分方程解的结构
•n 阶线性微分方程的一般形式为
y(n) a1(x) y(n1) an1(x) y an (x) y f (x) f (x) 0 时, 称为非齐次方程 ; f (x) 0 时, 称为齐次方程.
第四节 可降阶的二阶微分方程
例 求解 解
代入方程得
则 y d p d p dy p d p dx dy dx dy
两端积分得 ln p ln y ln C1 , 即 p C1y,
(一阶线性齐次方程)
故所求通解为
第四节 可降阶的二阶微分方程
例
解初值问题
y e2y 0 y x 0 0 ,
y p(x) y q(x) y f (x), 为二阶线性微分方程.
复习: 一阶线性方程 y P(x) y Q(x)
通解:
y
C
e
P(x)d
x
eP(x)d x
Q(x) eP(x)d x dx
齐次方程通解Y 非齐次方程特解 y
第五节 二阶线性微分方程解的结构
•线性齐次方程解的结构
定理 若函数 y1(x), y2 (x) 是二阶线性齐次方程 y P(x) y Q(x) y 0
的两个解, 则 y C1y1(x) C2 y2 (x)
也是该方程的解. (叠加原理)
证 将 y C1y1(x) C2 y2 (x) 代入方程左边, 得 [C1y1 C2 y2 ] P(x)[C1y1 C2 y2 ]
第7章 线性常微分方程的级数解法
1 x 1 x
y x ck x k
k 0
比较xk项的系数： k 2 k 1 ck 2 k k 1 ck 2kck ck 0,
5
ck 2
k k 1 2k
k 2 k 1
2k
（19.1.7）
式中
l , l [ ] 2 2 l 1 , 2
l 2n ( n 0,1, 2, ) l 2n 1
上式具有多项式的形式，故称 Pl ( x ) 为
l
阶勒让德多项式．勒让德多项式也称为第一类勒让德函数．
若z0点是p (z)、q (z)的常点（解析点），解可表成泰勒级数：
y x ck x xo
k 0 k
若z0点是p (z)、q (z)的奇点，解可表成罗朗级数： §7.1 常点邻域的级数解法
" 例1、在x0 = 0邻域上求解 y y 0.
解：p x 0, q x 1, x 0 z 0 是方程的解析点.
2 1
4 3
k
c0
22 3 1 4!
c0 ,
21 3 3 1 1 c6 c4 2 c0 , 65 6!
3 1 1 3 2k 5 c2 k 2 c0 , 2k !
ck
k 2 k 1
k k 1
ck
y1 c2 k x ,
k 0
y2 c2 k 1 x 2 k 1
k 0
y x y1 x y2 x .
可以证明y1(x)、y2(x)在x = 1时，级数发散. （证明从略） 对于本征值问题：
y x ck x k
k 0
比较xk项的系数： k 2 k 1 ck 2 k k 1 ck 2kck ck 0,
5
ck 2
k k 1 2k
k 2 k 1
2k
（19.1.7）
式中
l , l [ ] 2 2 l 1 , 2
l 2n ( n 0,1, 2, ) l 2n 1
上式具有多项式的形式，故称 Pl ( x ) 为
l
阶勒让德多项式．勒让德多项式也称为第一类勒让德函数．
若z0点是p (z)、q (z)的常点（解析点），解可表成泰勒级数：
y x ck x xo
k 0 k
若z0点是p (z)、q (z)的奇点，解可表成罗朗级数： §7.1 常点邻域的级数解法
" 例1、在x0 = 0邻域上求解 y y 0.
解：p x 0, q x 1, x 0 z 0 是方程的解析点.
2 1
4 3
k
c0
22 3 1 4!
c0 ,
21 3 3 1 1 c6 c4 2 c0 , 65 6!
3 1 1 3 2k 5 c2 k 2 c0 , 2k !
ck
k 2 k 1
k k 1
ck
y1 c2 k x ,
k 0
y2 c2 k 1 x 2 k 1
k 0
y x y1 x y2 x .
可以证明y1(x)、y2(x)在x = 1时，级数发散. （证明从略） 对于本征值问题：
第七章 常微分方程数值解法.
12
7.1.1 欧拉法及其截断误差
4、欧拉公式的截断误差是O(h2)，公式是1 阶的。
因为 yi+1 ? yi h f (xi , yi ) = y(xi ) + h y¢(xi )
y(x)
yy((xxi )i
1
)y
(yxi()xi
)1y
2
y
(()x(i x) h
xi
) 12 2
2、欧拉公式几何意义: ——用折线代替曲线计算解函数的近似值。
yi1 yi y0 y( x0 )
h
f
(
xi
,
yi )
,
i
0,1,2,
yi1 yi f y0 y(x0 )
(xi
,
yi
)
(
xi1
xi
)
,
i 0,1, 2,
11
7.1.1 欧拉法及其截断误差
（1） f(x,y)在R上连续, （2）在R上关于y满足Lipschitz(李普希兹)条件 即存在常数L，对R上任意点均有以下不等式成立：
|f(x,y1 )–f(x,y2 )|≤L|y1–y2|, x∈[a,b], y1,y2∈R 则上述初值问题存在唯一的连续可微的解函数 y = y(x)。拉法及其截断误差
初值问题：
y f (x, y)
y(
x0
)
y0
1、欧拉公式的构造思想：用差商代替导数
设 x0, x1, x2,鬃?, xn 等距，步长为xi+1 - xi = h, i = 0,1,鬃?,n 1
yⅱ(x) ? y(x + h)- y(x) , y(x h)? y(x) h y (x)= y(x)+ h f (x, y)
7.1.1 欧拉法及其截断误差
4、欧拉公式的截断误差是O(h2)，公式是1 阶的。
因为 yi+1 ? yi h f (xi , yi ) = y(xi ) + h y¢(xi )
y(x)
yy((xxi )i
1
)y
(yxi()xi
)1y
2
y
(()x(i x) h
xi
) 12 2
2、欧拉公式几何意义: ——用折线代替曲线计算解函数的近似值。
yi1 yi y0 y( x0 )
h
f
(
xi
,
yi )
,
i
0,1,2,
yi1 yi f y0 y(x0 )
(xi
,
yi
)
(
xi1
xi
)
,
i 0,1, 2,
11
7.1.1 欧拉法及其截断误差
（1） f(x,y)在R上连续, （2）在R上关于y满足Lipschitz(李普希兹)条件 即存在常数L，对R上任意点均有以下不等式成立：
|f(x,y1 )–f(x,y2 )|≤L|y1–y2|, x∈[a,b], y1,y2∈R 则上述初值问题存在唯一的连续可微的解函数 y = y(x)。拉法及其截断误差
初值问题：
y f (x, y)
y(
x0
)
y0
1、欧拉公式的构造思想：用差商代替导数
设 x0, x1, x2,鬃?, xn 等距，步长为xi+1 - xi = h, i = 0,1,鬃?,n 1
yⅱ(x) ? y(x + h)- y(x) , y(x h)? y(x) h y (x)= y(x)+ h f (x, y)
《高等数学》 第七章
C
；
第三步，求积分的通解： G( y) F(x) C ．
其中 G( y) ， F (x) 分别是 1 ， f (x) 一个原函数． g ( y)
第二节 一阶微分方程
例 1 求微分方程 dy y sin x 0 的通解． dx
解 将方程分离变量，得到 dy sin xdx ， y
两边积分，即得
（*）
例如，以上六个方程中，（1）、（2）、（5）、（6）是一阶常微分方程，（3）是二阶
常微分方程，（4）是二阶偏微分方程．
定义 3 如果微分方程中含的未知函数及其所有导数都是一次多项式，则称该方
程为线性方程，否则称为非线性方程．
一般说来，n 阶线性方程具有如下形状：
a0(x) y(n) a1(x) y(n1) an1(x) y an (x) y (x) ．
第二节 一阶微分方程
例 3 求方程 dy y 1 的解． dx x 1
为方便起见，以后在解微分方程的过程中，如果积分后出现对数，理应都需作
类似下述的处理，其结果是一样的．以例 3 为例叙述如下：
分离变量后得
1 dy 1 dx ， y 1 x 1
两边积分得
ln | y 1| ln | x 1| ln C ，
再分离变量，得 du 1 dx ； f (u) u x
第三步，两端分别积分后得
du f (u) u
ln | x | C1
．
求出积分后，再用 y 代替 u ，便可得到方程关于 x 的通解． x
第二节 一阶微分方程
例 4 求微分方程 xy y(1 ln y ln x) 的通解．
解
将方程化为齐次方程的形式
dy dx
y x
1
高数第七章(8)常系数非齐次线性微分方程讲解
例5.
解: 特征方程为 r 2 9 0, 其根为
对应齐次方程的通解为
的通解.
为特征方程的单根 , 因此设非齐次方程特解为
代入方程: 6b cos3x 6a sin 3x
比较系数, 得
因此特解为 y* x (5cos3x 3sin 3x )
所求通解为
x (5cos3x 3sin 3x )
分析思路: 第一步 将 f (x) 转化为
f (x) Pm (x) e(i) x Pm (x) e(i) x
第二步 求出如下两个方程的特解
y py qy Pm (x) e(i) x y py qy Pm (x) e(i) x
第三步 利用叠加原理求出原方程的特解 第四步 分析原方程特解的特点
b0
1 ,
b1
1 3
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例2.
的通解.
解: 本题 2, 特征方程为 r 2 5 r 6 0 , 其根为
对应齐次方程的通解为
设非齐次方程特解为 y* x (b0 x b1) e2 x
代入方程得 2b0 x b1 2b0 x
3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
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思考与练习
1 . (填空) 设 时可设特解为
y* x(ax b) cos x (cx d )sin x
2
A
p
ex , q
不是特征方程的根
y
A xex
2 p
是特征方程的单根 ,
A x 2ex 2
是特征方程的重根
第7章5-8节二阶微分方程
故 y Y ( x) y * ( x) 是非齐次方程的解, 又Y 中含有
两个独立任意常数, 因而 ② 也是通解 . 证毕
例如, 方程 对应齐次方程
有特解
有通解
Y C1 cos x C2 sin x
因此该方程的通解为
定理 4.
分别是方程
y P( x) y Q( x) y f k ( x) (k 1, 2 ,, n )
1、 型的微分方程
对此类方程只需通过连续两次积分就可得到通解．
" 例1 求方程 y cos x 的通解． " y cos x ，所以 解 因为
y ' cos xdx sin x C1
y (sin x C1 )dx cos x C1 x C2
例2.
2
化为关于 uc 的方程:
故有
i E~
q q K
例1
例2 方程的共性 — 可归结为同一形式:
y p( x) y q( x) y f ( x) , 为二阶线性微分方程.
n 阶线性微分方程的一般形式为
y
( n)
a1 ( x) y
( n 1)
an 1 ( x) y an ( x) y f ( x)
重点与难点
理解线性方程解的结构
一、二阶线性微分方程举例
例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 若用手向 下拉物体使它离开平衡位置后放开, 物体在弹性力与阻 力作用下作往复运动, 阻力的大小与运动速度
成正比, 方向相反. 建立位移满足的微分方程.
解:
代入方程得
(1 x 2 ) p 2x p 分离变量
高等数学第七章第九节常系数非齐次线性微分方程课件.ppt
这说明 y1 为方程 ③ 的特解 .
第三步 求原方程的特解 原方程
y py qy e x Pl (x) cos x P~n (x)sin x
利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :
y* y1 y1
xk e x Qm ei x Qm ei x xke x Qm (cos x i sin x)
b0
1 ,
b1
1 3
例2.
的通解.
解: 本题 2, 特征方程为 r 2 5 r 6 0 , 其根为
对应齐次方程的通解为
设非齐次方程特解为 y* x (b0 x b1) e2 x
代入方程得 2b0 x b1 2b0 x
比较系数, 得
b0
1 2
,
b1
1
因此特解为
y*
x
(
1 2
Qm (cos x i sin x) xke x Rm cos x R~m sin x
其中 R m , R~m 均为 m 次多项式 .
第四步 分析 y的特点
y y1 y1
xke x Rm cos x R~m sin x
因
y y1 y1 y1 y1
y1 y1
y*
所以 y本质上为实函数 , 因此 Rm , R~m 均为 m 次实
③
设 i 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则 ② 有
特解:
y1 xkQm (x) e(i) x (Qm (x)为m次多项式)
故 ( y1) p ( y1) q y1 Pm (x) e(i) x
等式两边取共轭 :
y1 p y1 q y1 Pm (x) e(i) x
形式e为xPym*(x)e xQm (x) .
《高等数学》第七章 微分方程
2.计算三重积分(直角坐标,柱面坐标),
曲线积分
1.两类曲线积分的基本计算法 2.格林公式及其应用 3.平面曲线积分与路径无关的条件,二元函数的全微 分求积
曲面积分
1.两类曲面积分的基本计算方法 2.高斯 ( Gauss )公式(p229定理1,p231例1,2 P236.1.作业题.p247.4(2)(3))
2.应用 (几何应用:空间曲线的切线与法平面(p94例4), 曲面的切平面与法线(p99例6).
多元函数的极值:无条件极值(p110定理1.2例4), 条件极值(p115.拉格朗日乘数法,p116例8))
第十,十一章.多元函数积分学(40)%
重积分
1.计算二重积分( 直角坐标, 极坐标),交换积分次序
(2) 求出特征方程的两个根 r1 与 r2；
(3) 根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列规 则写出微分方程的通解
特征方程的两个根r1 ，r2
微分方程的通解
两个不相等的实根 r1，r2
y C1er1x C2er2x
两个相等的实根 r1 r2
y (C1 C2 x)er1x
一对共轭复根 r1,2 i y ex (C1 cos x C2 sin x)
y(x0 ) y0 , y(x0 ) y0 , , y(n1) (x0 ) y0(n1)
引例1 通解:
dy dx
2x
y x1 2
引例2
y x2 C
d2y dx2
0.4
s t0 0 ,
ds dt
t0 20
s 0.2t 2 C1t C2
特解: y x2 1
s 0.2t 2 20t
小结 y py qy f ( x)
通解 y Y y* c1 y1 c2 y2 y*
曲线积分
1.两类曲线积分的基本计算法 2.格林公式及其应用 3.平面曲线积分与路径无关的条件,二元函数的全微 分求积
曲面积分
1.两类曲面积分的基本计算方法 2.高斯 ( Gauss )公式(p229定理1,p231例1,2 P236.1.作业题.p247.4(2)(3))
2.应用 (几何应用:空间曲线的切线与法平面(p94例4), 曲面的切平面与法线(p99例6).
多元函数的极值:无条件极值(p110定理1.2例4), 条件极值(p115.拉格朗日乘数法,p116例8))
第十,十一章.多元函数积分学(40)%
重积分
1.计算二重积分( 直角坐标, 极坐标),交换积分次序
(2) 求出特征方程的两个根 r1 与 r2；
(3) 根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列规 则写出微分方程的通解
特征方程的两个根r1 ，r2
微分方程的通解
两个不相等的实根 r1，r2
y C1er1x C2er2x
两个相等的实根 r1 r2
y (C1 C2 x)er1x
一对共轭复根 r1,2 i y ex (C1 cos x C2 sin x)
y(x0 ) y0 , y(x0 ) y0 , , y(n1) (x0 ) y0(n1)
引例1 通解:
dy dx
2x
y x1 2
引例2
y x2 C
d2y dx2
0.4
s t0 0 ,
ds dt
t0 20
s 0.2t 2 C1t C2
特解: y x2 1
s 0.2t 2 20t
小结 y py qy f ( x)
通解 y Y y* c1 y1 c2 y2 y*
高数下册第七章微分方程一、二、三节
变形处理方法
通过适当的变量代换，将伯努利方程化为可分离变量或一阶线性微分方程进行求解。例如，当 $n > 0$ 时，可作变换 $z = y^{1-n}$，将方程化为关于 $z$ 的一阶线性微分方程。
03 二阶常系数线性微分方程 求解
二阶常系数齐次线性微分方程通解结构
方程形式
$y'' + py' + qy = 0$，其中$p, q$为常数。
注意事项
在求解共振情况下的特解时，需要 注意避免与齐次方程的通解形式重 复，否则会导致求解错误。
应用举例：弹簧振子模型分析
01
02
03
04
弹簧振子模型
弹簧振子是一个经典的 物理模型，其运动方程 可以表示为二阶常系数 线性微分方程。
求解方法
通过求解弹簧振子的运 动方程，可以得到其运 动规律，如振幅、周期
、频率等。
应用场景
弹簧振子模型在机械振 动、电磁振荡等领域有 广泛的应用，是工程技 术和科学研究中不可或
缺的重要工具。
注意事项
在分析弹簧振子模型时 ，需要注意选择合适的 坐标系和初始条件，以 确保求解结果的正确性 和有效性。同时，还需 要考虑阻尼、外力等因 素对振子运动的影响。
04 高阶微分方程及降阶法简 介
缺x型降阶法
对于形如$y''=f(y,y')$的方程，同样令$y'=p$，则$y''=frac{dp}{dy}p'$，将原方程化为关于 p的一阶微分方程。注意此时自变量为y。
y*型降阶法
对于形如$y''=f(y',y/x)$的方程，令$y'=p$，则$y''=pfrac{dp}{dy}$，将原方程化为关于p 的一阶微分方程。注意此时自变量为y/x。
通过适当的变量代换，将伯努利方程化为可分离变量或一阶线性微分方程进行求解。例如，当 $n > 0$ 时，可作变换 $z = y^{1-n}$，将方程化为关于 $z$ 的一阶线性微分方程。
03 二阶常系数线性微分方程 求解
二阶常系数齐次线性微分方程通解结构
方程形式
$y'' + py' + qy = 0$，其中$p, q$为常数。
注意事项
在求解共振情况下的特解时，需要 注意避免与齐次方程的通解形式重 复，否则会导致求解错误。
应用举例：弹簧振子模型分析
01
02
03
04
弹簧振子模型
弹簧振子是一个经典的 物理模型，其运动方程 可以表示为二阶常系数 线性微分方程。
求解方法
通过求解弹簧振子的运 动方程，可以得到其运 动规律，如振幅、周期
、频率等。
应用场景
弹簧振子模型在机械振 动、电磁振荡等领域有 广泛的应用，是工程技 术和科学研究中不可或
缺的重要工具。
注意事项
在分析弹簧振子模型时 ，需要注意选择合适的 坐标系和初始条件，以 确保求解结果的正确性 和有效性。同时，还需 要考虑阻尼、外力等因 素对振子运动的影响。
04 高阶微分方程及降阶法简 介
缺x型降阶法
对于形如$y''=f(y,y')$的方程，同样令$y'=p$，则$y''=frac{dp}{dy}p'$，将原方程化为关于 p的一阶微分方程。注意此时自变量为y。
y*型降阶法
对于形如$y''=f(y',y/x)$的方程，令$y'=p$，则$y''=pfrac{dp}{dy}$，将原方程化为关于p 的一阶微分方程。注意此时自变量为y/x。
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( c为任意常数 )
( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
三、齐次方程
一阶常微分方程
dy
dx
f
y x
(1)
称为齐次方程. 这里 f 是一元函数.
齐 次 方 程 的 求 解:
设 u y( x) u( x) x
则 y u x
dy dx
u
x
du dx
代 入(1) 式 得 :
u
x
du dx
y2x
2xy
c 可取任意实数,
包括负数和零.
例2 y y ln y x
解
dy dx
y ln y x
dy y ln y
dx x
积 分 得:
lnln y ln x lnc
ln y c x
y e cx . ( 通解)
结论 : 如果一个一阶常微分方程能化成
g( y) dy f (x) dx
(隐 式 通 解)
四、一阶线性微分方程
dy P( x) y Q( x)
(1)
dx
(1) 叫做一阶线性常微分方程;
dy P( x) y 0
(2)
dx
(2) 叫做齐次线性方程;
dy dx
P(x)
y
Q( x)
Q( x)/ 0
(3)
(3) 叫做非齐次线性方程;
(2) 叫做对应于(3) 的齐次线性方程.
的通解. 例如:
y x2 c 为 y 2x 的 通 解. y 4.9x2 c1 x c2 为 y 9.8 的 通 解.
y 4.9x2 c1 c2 不 是 y 9.8 的 通 解.
5. 用 来 确 定 任 意 常 数 的件条称 为 定 解 条 件.
定 解 条 件 按 物 理 意 义 可分 为 初 始 条 件 和 边 界 条件 .
例如自由落体的路程函数 s s(t) 适合:
s 9.8
(6)
s(0) h, s(0) 0 (7)
(6) 的 通 解 为 s(t ) 4.9t 2 c1t c2
s 9.8
(6)
s(0) h, s(0) 0 (7)
(6) 的通解为 s(t) 4.9t 2 c1t c2
s(0) h c2 h ,
解
dy
x2
3y2
1
3
y xLeabharlann 2dx 2xy令
u
y x
,
2
y x
则
y xu,
dy dx
u
x
du dx
积 分 得:
ln(1 u2 ) ln x ln c
1 u2 cx
所以
u
x
du dx
1
3u2 2u
x
du dx
1
u 2u
2
2udu 1 u2
dx x
1
y2 x2
c
x
x2 y2 c x3.
我 们 已 经 会 解 能 直 接 积分 的 微 分 方 程.
例1 y sin x e x
解 y (sin x e x )dx cos x e x c1,
y sin x e x c1 x c2 .
例2
y ln x
y(1)
e
解 y ln xdx x ln x x c.
(1)
的形式, 则称这个方程是可分离变量的.
解这个方程只需将(1) 两边积分即可.
例3. 求微分方程
的通解.
解: 分离变量得 d y 3x2 dx y
两边积分
得
ln y x3 c1 或
说明: 在求解过程中 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 减解.
即
令c ec1
ln y x3 ln c
f (u)
x
du dx
f (u) u
f
du (u)
u
dx x
变 量 已 经 分 离,
可求出 u u( x), 进而 y x u( x).
例1. 解微分方程 y y tan y .
解:
令u
y,
则y
u
x
x u,
x
代入原方程得
x
u x u u tan u
分离变量 cos u d u dx
第七章 微分方程
已知 y f (x), 求 y — 积分问题 推广
已知含 y 及其若干阶导数的方程 , 求 y — 微分方程问题
一、 微分方程的基本概念
1. 含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程 .
例如:
y 2x
(1)
y 9.8
(2)
x3 y x2 y 4xy 3x2
(3)
y(4) 4 y 10 y 12 y 5 y sin 2x (4)
dy P( x) y 0
(2)
dx
求解(2), 可用分离变量法:
dy dx
P(x)
y
1 y
dy
P(
x ) dx
ln y P( x)dx ln C y Ce P( x)dx
此为(2) 的通解, 可作公式使用. 例1 dy 2 y 0
s(0) 0 9.8t c1 t0 0 c1 0 .
s s(t) 4.9t 2 h
是 (6), (7) 的解 . (7) 为(6) 的 定解 条件,初始条件. (初位移, 初速度.)
6. 满 足 定 解 条 件 的 解 称微为分 方 程 的 特 解.
前面, s s(t) 4.9t 2 h 为方程(6) 满足条件(7)的特解.
(2) y 9.8 , y 9.8x c1, y 4.9x2 c1x c2 .
y 4.9x2 c1 x c2 为 y 9.8 的解 .
4. 如 果 微 分 方 程 的 解 中有含任 意 常 数, 且 任 意 常 数 的
个数(相互独立)与微分方程的阶相同, 此解叫做微分方程
y(1) 1 c e c e 1
(通 解)
(通 解)
y x ln x x e 1.
(特 解)
二、可分离变量的微分方程
先 举 几 个 例 子:
例1 y 2 xy
解
d d
y x
2
xy
1 y
d
y
2x
dx
1 y
d
y
2
x
d
x
ln y x2 ln c
y cex2
( 通解)
验证:
y ce x2 y ce x2 2x
都 是 微 分 方 程.
2. 方 程 中 未 知 函 数 的 导的数最 高 阶 称 为 微 分 方的程阶.
3. 函 数 y y( x) , 代 入 微 分 方 程 能 使 方成程为 恒 等 式,
则 y y( x) 称为该方程的解.
例如:
(1) y 2x , y x2 c 为 y 2x 的 解.
sin u
x
两边积分
cos u sin u
d
u
dx x
得 ln (sin u) ln x ln c , 即 sin u c x
故原方程的通解为sin y c x ( c 为任意常数 ) x
( 当 c = 0 时, y = 0 也是方程的解)
例 2 (x2 3 y2 )dx 2xydy 0