【全国百强校】四川省雅安中学2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题

【全国百强校】四川省雅安中学【最新】高一上学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．给出下列四个关系式：R ；（2）Z Q ∈；（3）0∈∅；（4）{}0∅⊆，其中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．已知集合{}0,1,2,3A =，{}=02,B x x x R ≤≤∈，则A B 的子集个数为（ ）A ．2B ．4C ．7D ．83．已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时, ()21f x x x=+,则()1f -= ( ) A ．-2 B ．0 C ．1D ．24．下列函数中，是偶函数，且在区间()0,+∞上为增函数的是（ ）A ． y x =B ．3y x =-C ．1y x=D ．24y x =-+5．函数()()2ln 1f x x 的图像大致是=+（ ）A ．B ．C ．D ．6．设 1.1 2.13log 7,2,0.5a b c ===，则（ ）A ．b a c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．c a b <<7．集合{|,P x y == {|,Q y y == U R =，则()U C P Q ⋂是（ ）A ．[)1,+∞B ．φC ．[)0,1D ．[)1,1- 8．已知()f x 是R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递减，则不等式()()ln 1f x f >的解集为（ ）A ．1(,1)e -B ．1(,)e e -C ． (0,1)(,)e ⋃+∞D ．1(0,)(1,)e -⋃+∞9．若一个点是一个指数函数和一个对数函数的图像的交点，那么称这个点为“好点”．下列四个点P 1(1,1),P 2(1,2),P 3(12,12),P 4(2,2)中，“好点”有（ ）个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．410．若函数234y x x =-+的定义域为[]0,m ，值域为7,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则m 的取值范围是（ ）A ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(]0,4 D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭11．已知函数3()201820187x x f x x x -=-++，若2()(2)0f a f a +-<，则实数a 的取值范围是( ) A ．(),1-∞B ．(),3-∞C ．()1,2-D ．()2,1-12．设函数22,()6,x x x af x ax x a⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是定义在R 上的增函数，则实数a 取值范围（ ）A ．[)2,+∞B ．[]0,3C ．[]2,3D ．[]2,4二、填空题13．1398log 3()27-+=______．14．函数log (1)2a y x =-+的图象恒过定点P ,点P 在指数函数()f x 的图象上，则(1)f -=_________________．15．方程组240x y x +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合为_________. 16．①在同一坐标系中，2log y x =与12log y x =的图象关于x 轴对称；②21log 1xy x -=+是奇函数； ③12x y x +=+的图象关于()2,1-成中心对称；④2112x y -+⎛⎫=⎪⎝⎭的最大值为12；⑤4y x x=+的单调增区间：()(),22,-∞-⋃+∞。

以上五个判断正确有____________________（写上所有正确判断的序号）。

三、解答题17．已知集合1211|2128,|log ,,3248x A x B y y x x -⎧⎫⎧⎫⎡⎤=≤≤==∈⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦⎩⎭．（1）求集合,A B ；（2）若{}()|121,C x m x m C A B =+≤≤-⊆⋂，，求实数m 的取值范围． 18．已知函数()f x x x m=-()x R ∈，且(1)0f =．（1）求m 的值，并用分段函数的形式来表示()f x ；（2）在如图给定的直角坐标系内作出函数()f x 的草图（不用列表描点）； （3）由图象指出函数()f x 的单调区间．19．设函数()y f x =是定义在()0,∞+上减函数，满足()()(),f xy f x f y =+1()13f =． （1）求(1)f 的值；（2）若存在实数m ，使得()2f m =，求m 的值； （3）若(2)2f x ->，求x 的取值范围．20．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0，且a ≠1. （1）求f (x )的定义域；（2）判断f (x )的奇偶性，并予以证明； （3）当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的取值范围. 21．函数()21ax bf x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求a ，b 的值；（2）利用定义证明()f x 在()1,1-上是增函数；（3）求满足()()10f t f t -+<的t 的取值范围. 22．已知函数()e e x x f x a -=+⋅，x ∈R ． （1）当1a =时，证明：()f x 为偶函数；（2）若()f x 在[0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）若1a =，求实数m 的取值范围，使[(2)2]()1m f x f x +≥+在R 上恒成立．参考答案1．B 【分析】对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得结论． 【详解】（1）R（2）Z 、Q 分别为两个集合，集合间不能用属于符号，所以错误； （3）空集中没有任何元素，所以错误； （4）空集为任何集合的子集，所以正确． 综上可得正确的个数为2． 故选B ． 【点睛】本题考查集合的基本概念和元素与集合、集合与集合间的关系，考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题，解题时根据相关知识逐一判断即可． 2．D 【分析】先求出A B ⋂集合元素的个数，再根据求子集的公式求得子集个数． 【详解】因为集合{}0,1,2,3A =，{}=02,B x x x R ≤≤∈ 所以{}0,1,2A B ⋂= 所以子集个数为328= 个 所以选D 【点睛】本题考查了集合交集的运算，集合子集个数的求解，属于基础题． 3．A 【解析】因为()f x 是奇函数，所以(1)(1)(11)2f f -=-=-+=-，故选A. 4．A对给出的四个选项分别进行分析、判断即可． 【详解】选项A 中，函数y=|x|为偶函数，且在区间（0,1）上为增函数，故A 正确．选项B 中，函数y=3﹣x 为非奇非偶函数，且在区间（0,1）上为减函数，故B 不正确． 选项C 中，函数y=1x为奇函数，且在区间（0,1）上为增函数，故C 不正确． 选项D 中，函数y=﹣x 2+4为偶函数，且在区间（0,1）上为减函数，故D 不正确． 故选A ． 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断，解题的关键是熟记一些常见函数的性质，属于简单题． 5．A 【详解】由于函数为偶函数又过（0，0）,排除Ｂ，Ｃ，Ｄ，所以直接选A. 【考点定位】对图像的考查其实是对性质的考查，注意函数的特征即可，属于简单题. 6．D 【解析】1.12.13a log 712b 22c 0.51=∈=>=<，，，,故c a b <<，故选D.7．C 【分析】根据函数的定义域及值域分别求出集合P 和集合Q ，求出集合P 的补集，即可求得()U C P Q ⋂.【详解】∵集合{|P x y ==∴(,1][1,)P =-∞-⋃+∞∵集合{|Q y y ==∴[0,)Q =+∞∴(1,1)U C P =- ∴()[0,1)U C P Q ⋂= 故选C. 【点睛】本题考查函数的定义域与函数的值域的求法，集合的交、并、补的运算，考查计算能力． 8．B 【分析】由函数的单调性与奇偶性可转化条件为ln 1x <，结合对数函数的性质即可得解. 【详解】因为()f x 是R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递减， 所以不等式(ln )(1)f x f >等价于ln 1x <即1ln 1x -<<， 所以1e x e -<<，所以不等式(ln )(1)f x f >的解集为1(,)e e -.故选：B. 【点睛】本题考查了函数单调性与奇偶性的综合应用，考查了对数不等式的求解，属于基础题. 9．B 【解析】设指数函数和对数函数分别为y ＝a x (a ＞0，a≠1)，y ＝log b x(b ＞0，b≠1)．若为“好点”，则P 1(1,1)在y ＝a x 的图象上，得a ＝1与a ＞0，a≠1矛盾；P 2(1,2)显然不在y ＝log b x 的图象上；P 3(12,12)在y ＝a x ，y ＝log b x 的图象上时，a ＝14，b ＝14；易得P 4(2,2)也为“好点”．10．A 【分析】根据二次函数的值域，并结合函数的图象可得所求范围． 【详解】由题意得函数223734=()24y x x x =-+-+， 所以函数图象的对称轴3=2x ，在3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递减，在3,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭单调递增，所以最小值为74， []0,x m ∈时值域为7,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴ 32x =必在定义域内，即32m ≥； 又有=0x 或=3x 时=4y∴ 3m ≤，综上可得3,32m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的取值范围为．故选A ． 【点睛】本题考查根据二次函数的值域判断定义域，考查二次函数的性质和分析问题的能力，解题的关键是结合函数的图象进行求解． 11．D 【解析】 【分析】先由条件得到函数()f x 为递增的奇函数，然后将不等式化为()()22f a f a <-的形式，得到不等式22a a <-，解不等式可得所求． 【详解】由题意得函数()f x 为奇函数，且在R 上单调递增， 因为()()220f af a +-<，所以()()()222f af a f a <--=-，所以22a a <-，整理得220a a +-<，解得21a -<<．所以实数a 的取值范围是()2,1-． 故选D ． 【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，考查转化和应用能力，解题的关键是得到函数的奇偶性和单调性，并将不等式转化为()()12f x f x <的形式，然后去掉函数符号后转化为一般不等式求解． 12．D 【分析】画出函数22y x x =--的图象，结合图象及题意分析可得所求范围． 【详解】画出函数22y x x =--的图象如下图所示，结合图象可得，要使函数()22,,6,,x x x a x ax x a ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是在R 上的增函数，需满足22226a a a a ≥⎧⎨--≥-⎩，解得24x ≤≤． 所以实数a 取值范围是[]2,4． 故选D ． 【点睛】解答本题的关键有两个：（1）画出函数的图象，结合图象求解，增强了解题的直观性和形象性；（2）讨论函数在实数集上的单调性时，除了考虑每个段上的单调性之外，还要考虑在分界点处的函数值的大小关系．13．2 【分析】根据对数、指数幂的运算性质求解即可． 【详解】由指数的运算法则可知：91log 32=， 由对数的运算法则可知：113338232732--⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以1398327log -⎛⎫+= ⎪⎝⎭13222+=． 故答案为2． 【点睛】本题考查对数、指数幂的运算，考查计算能力，属于基础题． 14．2【解析】 【分析】先求出函数的图象过定点()2,2P ，根据此结论求出指数函数的解析式，然后求出()1f -． 【详解】令11x -=，得2x =，此时2y =，所以函数()log 12a y x =-+的图象恒过定点()2,2P ． 设指数函数为()(0,1),xf x a a a =>≠且因为点()2,2P 在函数的图象上， 所以22a =，解得a =故()xf x =，所以()11f --==故答案为2． 【点睛】求对数型函数()()log (0,1)a f x g x b a a =+>≠且的图象过的定点时，可令()1g x =，求得定点的横坐标，然后可得定点的纵坐标为b ．本题考查对对数函数性质的理解和应用，属于基础题． 15．()(){}2,2,2,2--【分析】首先求出方程组的解，再用列举法表示集合； 【详解】解：由240x -=，解得2x =或2x =-，代入0x y +=，解得22x y =⎧⎨=-⎩或22x y =-⎧⎨=⎩，所以方程组240x y x +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合为()(){}2,2,2,2--， 故答案为：()(){}2,2,2,2--.【点睛】本题考查集合的表示，属于基础题. 16．()()()123 【解析】 【分析】结合相关知识对给出的每个选项分别进行分析、判断可得正确的结论． 【详解】对于①，由于122y log x log x ==-，则在同一坐标系中，2y log x =与12y log x =的图象关于x 轴对称，故①正确；对于② ，函数21log 1x y x -=+的定义域为{|11}x x -＜＜ ，又()()211xf x log f x x--=-=-+，所以函数是奇函数，故②正确；对于③，因为1y x =-的对称中心()0,0，将函数1y x=-的图象向左平移2单位，再向上平移1单位，可得到11122x y x x +==-++的图象的对称中心为()2,1-，所以③正确； 对于④，211 2x y -+⎛⎫=⎪⎝⎭，因为211x -+≤，所以211122x -+⎛⎫≥⎪⎝⎭，所以当x=0时函数取得的最小值为12，故④不正确； ⑤ 函数4y x x=+的单调增区间为()(),2,2,-∞-+∞，故⑤不正确．综上可得①②③正确． 故答案为：①②③． 【点睛】本题综合考查函数的性质，解题的关键是熟练掌握相关函数的性质，同时对于一些基本初等函数（如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等）的性质、图象等要熟练掌握．17．（1）][1,8,3,5A B ⎡⎤=-=-⎣⎦；（2）3m ≤ 【分析】（1）解指数不等式可得集合A ，根据对数函数的单调性可得集合B ；（2）将集合间的的包含关系转化为不等式组求解可得所求范围． 【详解】 （1）不等式1121284x -≤≤即为217222x --≤≤， 所以217x -≤-≤， 解得18x -≤≤，所以{}|18A x x =-≤≤．因为对数函数2log y x = 在1,328⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以2221log log log 328x ≤≤，即23log 5x -≤≤， 所以{}|3y 5B y =-≤≤．（2）由（1）得{}|15A B x x ⋂=-≤≤．①当C =∅时，满足()C A B ⊆⋂，此时121m m +>-， 解得2m <．② 当C ≠∅时，由()C A B ⊆⋂得121{11215m m m m +≤-+≥--≤ ，解得23m ≤≤，综上3m ≤．所以实数m 的取值范围是(],3-∞． 【点睛】（1）集合的运算常与不等式的解法结合在一起考查，体现知识间的综合．（2）根据集合间的包含关系求参数的取值范围时，一般要借助于数轴将其转化为不等式（组）求解，解题时一定要注意不等式中的等号是否能成立，解题的关键是正确理解集合包含关系的定义．18．(1)f （x ）=()()2211x x x x x x ⎧-≥⎪⎨-+<⎪⎩(2)见解析（3）递增区间：[)1,,1,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ ，递减区间：1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【分析】（1）根据()10f =可求得1m =；（2）结合（1）中的解析式画出函数的图象即可；（3）结合图象可得函数的单调区间． 【详解】（1）由题意得()110f m =-=，解得1m =，∴()()()22111x x x f x x x x x x ⎧-≥⎪=-=⎨-+<⎪⎩． （2）由（1）中的解析式画出函数的图象如下图，（3）结合图象可得函数的单调递增区间为[)1,,1,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦，单调递减递减区间为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查函数的图象的画法和图象的应用，体现了数形结合在解题中的应用，属于基础题． 19．（1）0；（2）19；（3）1929x <<【解析】试题分析：（1）令==1可得到；（2）因为1()13f =，所以有11()()11233f f +=+=，而11111()().33339f f f f ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得到；（3）根据（2）可得()1229f x f ⎛⎫->= ⎪⎝⎭，又因为函数在()0,+∞上是减函数，所以20{129x x ->-<即可得到试题解析：（1）令==1则=+∴="0"（2）∵=1 ∴==+=2∴m=（3）∵()1229f x f ⎛⎫->= ⎪⎝⎭∴20{129x x ->-<则1929x <<考点：1．抽象函数求值；2．利用函数的单调性求x 的范围20．（1）{x |－1＜x ＜1}；（2）f (x )为奇函数；证明见解析；（3）(0，1). 【分析】（1）根据真数大于零，列出不等式，即可求得函数定义域；（2）计算()f x -，根据其与()f x 关系，结合函数定义域，即可判断和证明； （3）利用对数函数的单调性，求解分式不等式，即可求得结果. 【详解】（1）因为f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，所以1010x x +>⎧⎨->⎩解得－1＜x ＜1.故所求函数的定义域为{x |－1＜x ＜1}. （2）f (x )为奇函数.证明如下：由（1）知f (x )的定义域为{x |－1＜x ＜1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x ). 故f (x )为奇函数.（3）因为当a ＞1时，f (x )在定义域{x |－1＜x ＜1}上是增函数， 由f (x )＞0，得11x x+-＞1，解得0＜x ＜1. 所以x 的取值范围是(0，1). 【点睛】本题考查对数型复合函数单调性、奇偶性以及利用函数性质解不等式，属综合中档题. 21．(1) 1a =,0b =；(2)证明见解析；(3) 102t << 【分析】 (1)由函数()21ax bf x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数可知(0)0f =,再根据1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭联立求解即可得,a b .(2)设1211x x -<<<,再计算化简证明()()120f x f x -<即可.(3)化简成()()1f t f t -<-再利用函数的奇偶性与单调性,结合函数定义域求解即可. 【详解】(1)由题意函数()21ax bf x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数可知(0)0f =,即0,01b b ==, 又1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭故()2225112af x ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭,即1a =. 故1a =,0b =.()21xf x x =+ (2)由(1)有()21xf x x =+,设1211x x -<<<, 则()()()()()()()()221221121221211222222212121211()()111111x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+----=-==++++++ ()()()()12212212111x x x x x x --=++,因为210x x ->,1210x x -<,()()2212110x x ++>,故()()()()122122121011x x x x x x --<++.即()()120f x f x -<,()()12f x f x <. 故()f x 在()1,1-上是增函数(3)由()f x 为奇函数可得,()()1()f t f t f t -<-=-.又()f x 在()1,1-上是增函数.故111021111112t t t t t t t ⎧⎪-<-<<<⎧⎪⎪-<<⇒-<<⎨⎨⎪⎪-<-⎩⎪<⎩ .故102t <<【点睛】本题主要考查了利用奇函数求解函数解析式的方法以及单调性的证明与奇偶性单调性求解不等式的问题等,属于中等题型.22．（1）证明见解析；（2）1a ≤；（3）34m ≥. 【解析】试题分析：（1）当1a =时，()f x 的定义域(),-∞+∞关于原点对称，而()()e e x x f x f x --=+=，说明()f x 为偶函数；（2）在[)0,+∞上任取1x 、2x ，且12x x <，则()()()()12121212e e e0ex x x x x x a af x f x +++--=>恒成立，等价于12e0x x a +->恒成立，可求得a 的取值范围；（3）先证明不等式()()221m f x f x ⎡⎤⋅+≥+⎣⎦恒成立，等价于21m t t ⋅≥+，即21t m t +≥恒成立，利用配方法求得21t t +的最大值，即可得结果. 试题解析：（1）当1a =时，()e e xxf x -=+，定义域(),-∞+∞关于原点对称， 而()()ee xx f x f x --=+=，说明()f x 为偶函数．（2）在[)0,+∞上任取1x 、2x ，且12x x <， 则()()()()()121211221212e e ee e e e e x x x x x x x x x x a af x f x a a +--++--=+-+=，因为12x x <，函数e xy =为增函数，得12e e x x <，12e e 0x x -<，而()f x 在[)0,+∞上调递增，得()()12f x f x <，()()120f x f x -<， 于是必须12e 0x x a +->恒成立，即12e x x a +<对任意的120x x ≤<恒成立， ∴1a ≤．（3）由（1）、（2）知函数()f x 在(],0-∞上递减， 在[)0,+∞上递增，其最小值()02f =， 且()()2222e e e e 2x x x xf x --=+=+-，设e e x x t -=+，则[)2,t ∈+∞，110,2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，于是不等式()()221m f x f x ⎡⎤⋅+≥+⎣⎦恒成立，等价于21m t t ⋅≥+，即21t m t+≥恒成立， 而22211111124t t t t t +⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，仅当112t =，即2t =时取最大值34，故34m ≥．。