同济流体力学第三章流体运动学基础

等物理量的场就可以圆满解决这些问题，所以，欧拉法在
流体力学研究中得到广泛的应用。
§1
描述流体运动方法
3）物理量的质点导数（物质导数）
运动中的流体质点所具有的物理量 （例如速度、压强、密度、温度、质量、 动量、动能等）对时间的变化率为物理量的质点导数（随体导数或物质导数）。
d lim dt t 0 t
§1
描述流体运动方法
来确定质点
1）拉格朗日法
拉格朗日法是利用质点在任意时刻 t 的坐标位置 x、 y、 z 合所有流体质点的运动后便可得到整个流体的运动规律。 拉格朗日法选取初始时刻 t ，以每一个质点的初始坐标
0
的运动轨迹流。要研究整个流体流动就必须着眼于每一个流体质点的研究，综
a、 b、 c
作为标记，用 (a、b、c) 的不同值区分不同的质点。
§1
描述流体运动方法
s 这种空间的变化量即与质点的位移有关，也与 t 时间有关，故流体质点 M
所具有的物理量 是
的质点导数：
t
的复合函数，必须按多元复合函数求导法求物理量
d dx dy dz dt t x dt y dt z dt
§1
§2
流场的几何描述
4、流线与迹线的性质
a、 流线与迹线的共同点是，它们都是与速度相切的曲线。但流线是同一瞬时、 不同质点所形成的曲线；迹线是同一质点在不同瞬时所经过的位置的轨迹。 b、在给定瞬时空间一个点只能作一条流线，因为在同一点上不可能同 时有几个流动方向，所以流线不能相交、也不能突然折转。
第三章
第三章 作业
流体运动学
3-1，3-2，3-3，3-6；
3-7，3-8，3-13，3-16；
第八周交第三章作业
目
绪论 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章
录
流体及其主要物理性质 2、对流体运动进行分类； 流体静力学 3、流体微团的运动和变形。 流体运动学基础 不涉及运动变化的原 流体动力学基础 因，即力的作用，只研究 其运动过程 相似原理和量纲分析 理想流体不可压缩流体的定常流动 粘性流体流动 定常一元可压缩气流 计算流体力学
i j k x y z
§1
描述流体运动方法
D u v w Dt t x y z
D 有两部分组成。 Dt
讨论：
1、物理量的质点导数
2、 项为当地导数、局部导数或时变导数。它代表质点在没有空间变位时，物 t
具有质量、密度、温度、压强、还具有速度、加速度、动量、动能等等
d) 流体质点的形状可以任意划定。
对这些量的描述就着眼于质点和质点通过的空间点
两种描述流体运动的观点和方法
§1 描述流体运动方法
描述流体流动的方法有两种： 1）拉格朗日法 2）欧拉法
随体法 描述方法 当地法 欧拉法 拉格朗日法 质点轨迹：r r (a,b,c,t ) 参数分布：B = B（x, y, z, t）
p px, y, z, t
u ux, y, z, t
v vx, y, z, t
x, y, z, t
w wx, y, z, t
T T x, y, z, t
x, y, z, t
为欧拉变数
§1
描述流体运动方法
欧拉法描述速度、密度、温度等物理量时，这些物理量 都是空间和时间的函数，和空间区域有关，可以用场论的 知识进行分析，所以，可以将这些物理量在空间的分布用 场的概念进行描述，就形成速度场、密度场、温度场等。 在解决工程实际问题时，通常只要知道速度场、压力场
§1
描述流体运动方法
y ya, b, c, t
流体质点的坐标：
x xa, b, c, t
流体质点的速度：
z za, b, c, t
d 2 x 2 xa, b, c, t ax 2 ax a, b, c, t dt t 2
流体质点的加速度：
1、迹线 — 流体质点的运动轨迹称为迹线。这 在拉格朗日研究法中运用。
迹线方程:
dx dy dz dt u v w
2、流线 — 在欧拉法中流线是流场中的瞬时光 滑曲线，曲线上各点的切线方向与 各该点的瞬时速度方向一致。
§2
流场的几何描述
V ui vj wk
3、流线微分方程
D 0 Dt
不可压缩流体 均匀密度场
0 0
D 0 Dt
t
0
0 t
随时间变化的均匀密度场 定常均匀密度场，密度不随空间坐标变 化，也不是时间的函数，密度为常数
§1
描述方法
描述流体运动方法
随体法 当地法 拉格朗日法 欧拉法 质点轨迹：
r r (a,b,c,t )
空间点上速度随时间的变化率
§1
描述流体运动方法
P45
欧拉法中的描述方法：
流体质点 M 在瞬时 t 从某一空间点 Ax, y, z 以瞬时速 度 v x u(t )i vt j wt k 携带某个物理量 x, y, z, t 在流场中流动，经过 t 时间，质点到达 Bx x, y y, z z 点，由于流场的非定常性和非均匀性，质点 M所具有 的物理量 在运动中不仅经历了 t 时间的变化， 而且也经历了空间 s xi yj zk 的变化。
描述流体运动方法
D dx dy dz Dt t x dt y dt z dt
dx u dt
dy v dt
dz w dt
D u v w Dt t x y z
D v Dt t
设某一点上的质点瞬时速度为：
流线上的微元段矢量为：
dl dxi dyj dzk
根据流线定义，速度矢量与流线相切，即速度矢量与流线上的微 元段矢量方向一致，它们的矢性积为零：
V dl 0
写成投影式，则
dx dy dz u ( x, y, z, t ) v( x, y, z, t ) w( x, y, z, t )
dx xa, b, c, t u u a, b, c, t dt t dy y a, b, c, t v va, b, c, t dt t
w dz z a, b, c, t wa, b, c, t dt t
d 2 y 2 ya, b, c, t ay 2 a y a, b, c, t dt t 2
v y t
(a)
求解一阶常微分方程（a）可得
x et c1 tet dt et c1 (t 1)e t c1et t 1 y et c2 tet dt et c2 (t 1)e t c2et t 1
理量
在某一空间点上对时间的变化率，反映流场的非定常性。
u v w 3、 x y 项为位变导数、对流导数或迁移导数。它代表质点经过 z dt 时间处于不同位置时，物理量 对时间的变化率，反映流场的非均匀性。
§1
描述流体运动方法
压强变化：
4、各物理量的随体导数
DV V V V V 加速度： a u v w Dt t x y z
d 2 z 2 z a, b, c, t az 2 az a, b, c, t dt t 2
流体质点的其它物理量：
p pa, b, c, t
a, b, c, t
T T a, b, c, t
§1
描述流体运动方法
2）欧拉法
欧拉法着眼于研究空间固定点的流动情况，即研究流体质点经过某一空间点的 速度、压强、密度等变化的规律， 将许多空间点在不同时刻的流体质点的运动情况 记录下来，就可以知道整个流体的运动规律。显然，欧拉法不研究个别流体质点的 运动规律，对于流体质点从哪里来，又流到何处去，并不加以研究。因此，欧拉法 不能直接给定流体质点的运动轨迹，但很容易测出不同时刻经过该点的质点速度， 所以，欧拉法用速度矢量描述空间点上流体运动的变化。
参数分布：B = B（x, y, z, t）
3）两种描述流动的方法之比较
拉格朗日法 分别描述有限质点的轨迹 表达式复杂 不能直接反映参数的空间分布 不适合描述流体微元的运动变形特性 拉格朗日观点是重要的 欧拉法 同时描述所有质点的瞬时参数 表达式简单 直接反映参数的空间分布 适合描述流体微元的运动变形特性 流体力学最常用的解析方法
按照该公式，拉格朗日法和欧拉法描述的结果是不同的。P45
r r (a, b, c, t)
拉格朗日法:
欧拉法 位移
v ( x, y,z, t ) a t
r 速度 v (a, b, c, t ) t a v (a, b, c, t ) t 加速度
§1
描述流体运动方法
r r (a, b, c, t)
流体质点的坐标可以表示为时间 t 及初始位置 a、b、c的函数，即： 用位置矢量描述: 用直角坐标描述:
x xa, b, c, t
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y ya, b, c, t
z za, b, c, t
a、 b、 c
t
叫拉格朗日变数



(b)
xa 上式中c1 ，c2 为积分常数，由t = 0时刻流体质点位于 ,可确 y b c1 a 1 定 ，代入(b)式，可得参数形式的流体质点轨迹方程为
c 2 b 1
x (a 1)et t 1 y (b 1)et t 1
Dp p p p p u v w Dt t x y z
密度变化：
D u v w Dt t x y z
DV V a V V Dt t
ax
Du u u u u u v w Dt t x y z Dv v v v v ay u v w Dt t x y z
讨论： 本例说明虽然给出的是速度分布式（欧拉法），即各空间点上速 度分量随时间的变化规律，仍然可由此求出－指定流体质点在不 同时刻经历的空间位置，即运动轨迹（拉格朗日法）。
第三章
§1
§2
流体运动学
描述流体运动方法
流场的几何描述
§3
§4
流动的分类
流体微团的运动分析
§2
流场的几何描述
一、迹线、流线与染色线
跟踪
跟踪追击
布哨
守株待兔
[例1] 由速度分布求质点轨迹
已知: 求： 解：
u xt 已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为
在t = 0时刻位于点（a,b）的流体质点的运动轨迹。 对某时刻t位于坐标点上(x,y)的质点
u dx x t dt dy v y t dt
1、流体运动的数学描述方法 和几何描述方法；
第三章
§1
§2
流体运动学
描述流体运动方法
流场的几何描述
§3
§4
流动的分类
流体微团的运动分析
§1
描述流体运动方法
在第一章中已定义了连续介质模型：
组成流体的最小物理实体是流体质点而不是流体分子，即：流 体是由无穷多个、无穷小的、紧密毗邻、连绵不断的流体质点所组 成的一种绝无间隙的连续介质。 流体质点的四个特点： a) 流体质点的宏观尺寸非常小。 b) 流体质点的微观尺寸足够大。 c) 流体质点是包含有足够多分子在内的一个物理实体，具有一定的 宏观物理量。如：
az Dw w w w w u v w Dt t x y z
温度变化：
DT T T T T u v w Dt t x y z
§1
描述流体运动方法
不可压缩流体的数学表示： D u v w Dt t x y z