同济流体力学第三章流体运动学基础
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流体力学-第三章
空间各点只要有一个运动要素随时间变化，流体运动称为非恒 定流。
二 均匀流和非均匀流 渐变流和急变 流
按各点运动要素（主要是速度）是否随位置变化，可将流体 运动分为均匀流和非均匀流。在给定的某一时刻，各点速度 都不随位置而变化的流体运动称均匀流。均匀流各点都没有 迁移加速度，表示为平行流动，流体作匀速直线运动。反之， 则称为非均匀流。
按限制总流的边界情况，可将流体运动分为有压流、无压流和射 流。
边界全为固体的流体运动称为有压流或有压管流。 边界部分为固体、部分为气体，具有自由表面的液体运动称为 无压流或明渠流。 流体经由孔口或管嘴喷射到某一空间，由于运动的流体脱离了 原来限制他的固体边界，在充满流体的空间继续流动的这种流 体运动称为射流。
四 三维流（三元流）、二维流（二元流）、一维流（一元流）
按决定流体的运动要素所需空间坐标的维数或空间坐标变量的 个数，可将流体运动分为三维流、二维流、一维流。
若流体的运动要素是空间三个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为三维流或三元流。
若流体的运动要素是空间两个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为二维流或二元流。
拉格朗日法来研究流体运动，就归结为求出函数x（a, b, c, t）, y (a, b, c, t), z (a, b, c, t)。（1）由于流体运动的复杂，要想求 出这些函数是非常繁复的，常导致数学上的困难。（2）在大多 数实际工程问题中，不需要知道流体质点运动的轨迹及其沿轨迹 速度等的变化。（3）测量流体运动要素，要跟着流体质点移动 测试，测出不同瞬时的数值，这种测量方法较难，不易做到。
3 脉线
脉线又称染色线，在某一段时间内先后流过同一空间点的所 有流体质点，在既定瞬时均位于这条线上。
在恒定流时，流线和流线上流体质点的迹线以及脉线都相互 重合。
二 均匀流和非均匀流 渐变流和急变 流
按各点运动要素（主要是速度）是否随位置变化，可将流体 运动分为均匀流和非均匀流。在给定的某一时刻，各点速度 都不随位置而变化的流体运动称均匀流。均匀流各点都没有 迁移加速度，表示为平行流动，流体作匀速直线运动。反之， 则称为非均匀流。
按限制总流的边界情况，可将流体运动分为有压流、无压流和射 流。
边界全为固体的流体运动称为有压流或有压管流。 边界部分为固体、部分为气体，具有自由表面的液体运动称为 无压流或明渠流。 流体经由孔口或管嘴喷射到某一空间，由于运动的流体脱离了 原来限制他的固体边界，在充满流体的空间继续流动的这种流 体运动称为射流。
四 三维流（三元流）、二维流（二元流）、一维流（一元流）
按决定流体的运动要素所需空间坐标的维数或空间坐标变量的 个数，可将流体运动分为三维流、二维流、一维流。
若流体的运动要素是空间三个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为三维流或三元流。
若流体的运动要素是空间两个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为二维流或二元流。
拉格朗日法来研究流体运动，就归结为求出函数x（a, b, c, t）, y (a, b, c, t), z (a, b, c, t)。（1）由于流体运动的复杂，要想求 出这些函数是非常繁复的，常导致数学上的困难。（2）在大多 数实际工程问题中，不需要知道流体质点运动的轨迹及其沿轨迹 速度等的变化。（3）测量流体运动要素，要跟着流体质点移动 测试，测出不同瞬时的数值，这种测量方法较难，不易做到。
3 脉线
脉线又称染色线，在某一段时间内先后流过同一空间点的所 有流体质点，在既定瞬时均位于这条线上。
在恒定流时，流线和流线上流体质点的迹线以及脉线都相互 重合。
流体力学第三章 流体运动学基础
不可压缩流体
∇ ⋅V = 0
流体力学
速度散度为零
旋转1
存在交叉导数
∂u u + ∂uδyy u+ δ ∂yy B ∂ B ∂u (( ∂uδyyδtt δ ))δ ∂yy ∂ ∂v (( ∂vδx)δtt δx)δ ∂x ∂x
C C
B B
δβ δβ
B’ B’
δyy δ
vv ∂v vv+ ∂vδx + δx ∂x ∂x A A
δyy δ δα δα
A’ A’ O O
δδx x
O O
u u
δx δx
A A
OA边旋转角速度 OB边旋转角速度
流体力学
δα ∂v ωOA = lim = δt → 0 δ t ∂x δβ ∂u ωOB = lim = δt → 0 δ t ∂y
旋转2
流体团绕 z 轴的旋转角速度
1 ⎛ ∂v ∂u ⎞ ωz = ⎜ − ⎟ 2 ⎜ ∂x ∂y ⎟ ⎝ ⎠
V′
奇点
流体力学
A
C
驻点
流线5
流线的走向和疏密反映了某瞬时流场内流 体速度方向和大小：流线密的地方流速大
流体力学
流线、迹线的区别
同一质点，不同时刻位置的连线
迹线
流场中实际存在的线 拉格朗日观点下的概念 同一时刻，不同质点的连线 速度方向与该点切线方向重合
流线
流场中并不存在，假想曲线 欧拉观点下的概念
流体力学
流体微团的运动与变形
t 0 + δt
平动
线变形 +
=
t0
+ 流体团复 合运动
流体力学
+ 旋转 角变形
流体力学与传热：3-1_第三章 流体运动学
（2）任意曲线上的速度环量等于曲线两端点上速度势函数值 之差。而与曲线的形状无关。
B
B
B
AB Vds (udx vdy wdz) d B A
A
A
A
对于任意封闭曲线，若A点和B点重合，速度势函数是单
值且连续的，则流场中沿任一条封闭曲线的速度环量等于零，
即 AB 0 。
（3）在空间无旋流场中，势函数相等的面为等势面；在平面 无旋流动中，势函数相等的线是等势线。
vx
x
vy
y
vz
z
若流动无旋，则存在速度势
n
右手法则
是有向曲面 的
正向边界曲线
证明 如图
设Σ与平行于z 轴的直线
z n
:z f (x, y)
相交不多于一点, 并Σ取
上侧,有向曲线 C 为Σ的正
向边界曲线 在 xoy 的投 影.且所围区域Dxy . x
o
Dxy C
y
定理 设G是空间一维单连域，P,Q, R在G内具有
x
4x
y
0
该流动无旋，存在速度势函数。
（2）由流函数的全微分得：
d
x
dx
y
dy
uydx
uxdy
4
ydx
4xdy
积分
4xy C
由速度势函数的全微分得：
d
x
dx
y
dy
uxdx
uydy
different directions of motion.
• 代入流线微分方程式中，得
dx dy 0
x
y
• 即 d 0
• 所以 C
• 上式说明流函数的等值线与流线重合。
流体力学 第三章
无数微元流束的总和称为总流。自然界和工程中所遇到 的管流或渠流都是总流。根据总流的边界情况，可以把总流 流动分为三类：
（1）有压流动 总流的全部边界受固体边界的约束， 即流体充满流道，如压力水管中的流动。
（2）无压流动 总流边界的一部分受固体边界约束，另 一部分与气体接触，形成自由液面，如明渠中的流动。
图 3-1 流体的出流
一、定常流动和非定常流动
这种运动流体中任一点的流体质点的流动参数(压强和 速度等)均不随时间变化，而只随空间点位置不同而变化的 流动，称为定常流动。
现将阀门A关小，则流入水箱的水量小于从阀门B流出的 水量，水箱中的水位就逐渐下降，于是水箱和管道任一点流 体质点的压强和速度都逐渐减小，水流的形状也逐渐向下弯 曲。
（2）如果流体是定常的，则流出的流体质量必然等于流 入的流体质量。
二、微元流束和总流的连续性方程 在工程上和自然界中，流体流动多数都是在某些周界
所限定的空间内沿某一方向流动，即一维流动的问题。 所谓一维流动是指流动参数仅在一个方向上有显著的
变化，而在其它两个方向上的变化非常微小，可忽略不计。 例如在管道中流动的流体就符合这个条件。在流场中取一 微元流束如图所示。
图 3-6 流场中的微元流束
假定流体的运动是连续、定 常的，则微元流管的形状不随时 间改变。根据流管的特性，流体 质点不能穿过流管表面，因此在 单位时间内通过微元流管的任一 过流断面的流体质量都应相等， 即
ρ1v1dA1=ρ2v2dA2=常数 dA1 、dA2—分别为1、2两个过 图 3-6 流场中的微元流束 流断面的面积，m2；
§ 3-1描述流体运动的两种方法
连续介质模型的引入，使我们可以把流体看作为由无 数个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所 占据的空间。
（1）有压流动 总流的全部边界受固体边界的约束， 即流体充满流道，如压力水管中的流动。
（2）无压流动 总流边界的一部分受固体边界约束，另 一部分与气体接触，形成自由液面，如明渠中的流动。
图 3-1 流体的出流
一、定常流动和非定常流动
这种运动流体中任一点的流体质点的流动参数(压强和 速度等)均不随时间变化，而只随空间点位置不同而变化的 流动，称为定常流动。
现将阀门A关小，则流入水箱的水量小于从阀门B流出的 水量，水箱中的水位就逐渐下降，于是水箱和管道任一点流 体质点的压强和速度都逐渐减小，水流的形状也逐渐向下弯 曲。
（2）如果流体是定常的，则流出的流体质量必然等于流 入的流体质量。
二、微元流束和总流的连续性方程 在工程上和自然界中，流体流动多数都是在某些周界
所限定的空间内沿某一方向流动，即一维流动的问题。 所谓一维流动是指流动参数仅在一个方向上有显著的
变化，而在其它两个方向上的变化非常微小，可忽略不计。 例如在管道中流动的流体就符合这个条件。在流场中取一 微元流束如图所示。
图 3-6 流场中的微元流束
假定流体的运动是连续、定 常的，则微元流管的形状不随时 间改变。根据流管的特性，流体 质点不能穿过流管表面，因此在 单位时间内通过微元流管的任一 过流断面的流体质量都应相等， 即
ρ1v1dA1=ρ2v2dA2=常数 dA1 、dA2—分别为1、2两个过 图 3-6 流场中的微元流束 流断面的面积，m2；
§ 3-1描述流体运动的两种方法
连续介质模型的引入，使我们可以把流体看作为由无 数个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所 占据的空间。
流体力学-第3章
ux
uy
E
u x dx u x dy u x dz ux x 2 y 2 z 2 u x dx u x dy u x dz ux x 2 y 2 z 2 ux u x dx u x dy u x dz x 2 y 2 z 2
v1
v2
s1
s2
v1
折点
v2
s
注1：在非恒定流情况下，流线会随时间变化。在恒定流情况下， 流线不随时间变，流体质点将沿着流线走，迹线与流线重合。故： 恒定流中流线与迹线重合，非恒定流中流线与迹线不重合
流线动画
注2：迹线和流线最基本的差别是：迹线是同一流体质点在 不同时刻的位移曲线，与拉格朗日观点对应，而流线是同 一时刻、不同流体质点速度矢量与之相切的曲线，与欧拉 观点相对应。即使是在恒定流中，迹线与流线重合，两者 仍是完全不同的概念。
恒定流动 质量守恒定律
1v1 A1dt 2 v2 A2 dt 3v3 A3 dt vAdt
1v1 A1 2 v2 A2 3v3 A3 vA
不可压缩流体 1 2 3
v1 A1 v2 A2 v3 A3 vA Q
同理： 任一元流断面：dA1，d A2， …… 对应流速： u1， u2， ……
Qm
例6 如图气流压缩机用直径d1=76.2mm的管子吸入密度 ρ1=4kg/m3的氨气，经压缩后，由直径d2=38.1mm的管子以 v2=10m/s的速度流出 ，此时密度增至ρ2=20kg/m3 。求（1）质 量流量；（2）流入流速。 v
1
解：（1）质量流量为
Qm Q 2 v2 A2 20 10
一、流动的分类
1、恒定流和非恒定流(定常流和非定常流) 恒定流动：流动参量不随时间变化的流动。 u u ( x, y , z )
流体动力学基础
3 流体运动学基础流体运动学主要讨论流体的运动参数（例如速度和加速度）和运动描述等问题。
运动是物体的存在形式，是物体的本质特征。
流体的运动无时不在，百川归海、风起云涌是自然界流体运动的壮丽景色。
而在工程实际中，很多领域都需要对流体运动规律进行分析和研究。
因此，相对于流体静力学，流体运动学的研究具有更加深刻和广泛的意义。
3.1 描述流体运动的二种方法为研究流体运动，首先需要建立描述流体运动的方法。
从理论上说，有二种可行的方法：拉格朗日(Lagrange)方法和欧拉(Euler)方法。
流体运动的各物理量如位移、速度、加速度等等称为流体的流动参数。
对流体运动的描述就是要建立流动参数的数学模型，这个数学模型能反映流动参数随时间和空间的变化情况。
拉格朗日方法是一种“质点跟踪”方法，即通过描述各质点的流动参数来描述整个流体的流动情况。
欧拉方法则是一种“观察点”方法，通过分布于各处的观察点，记录流体质点通过这些观察点时的流动参数，同样可以描述整个流体的流动情况。
下面分别介绍这二种方法。
3.1.1拉格朗日(Lagrange)方法这是一种基于流体质点的描述方法。
通过描述各质点的流动参数变化规律，来确定整个流体的变化规律。
无数的质点运动组成流体运动，那么如何区分每个质点呢？区分各质点方法是根据它们的初始位置来判别。
这是因为在初始时刻（t =t 0）,每个质点所占的初始位置（a,b,c ）各不相同，所以可以据此区别。
这就像长跑运动员一样，在比赛前给他们编上号码，在任何时刻就不至于混淆身份了。
当经过△t 时间后，t = t 0+△t ，初始位置为a,b,c ）的某质点到达了新的位置(x ,y ,z )，因此，拉格朗日方法需要跟踪质点的运动，以确定该质点的流动参数。
拉格朗日方法在直角坐标系中位移的数学描述是：⎪⎭⎪⎬⎫===),,,(),,,(),,,(t c b a z z t c b a y y t c b a x x （3－1）式中，初始坐标（a,b,c ）与时间变量t 无关，（a,b,c,t ）称为拉格朗日变数。
流体力学第三章运动学基础答案
54第三章 流体运动学基础一、 学习导引1、 流体的速度流体的速度是一个矢量，记作V 。
x ，y ，z 方向的速度分量分别记作u ，v ，w ，即 k w j v i u V ++=，流场的速度分布与空间坐标x ，y ，z 以及时间t 有关，即 ),,,(t z y x V V =流体质点的加速度等于质点速度对时间的变化率，即 z V w y V v x V u t V dt dz z V dt dy y V dt dx x V t V dt dV a ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂==投影形式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=z w w y w v x w u t w a z v w y v v x v u t v a z u w y u v x u u t u a z y x2、 流线微分方程在直角坐标中，流线方程为wdz v dy u dx == 在柱坐标中，流线方程为zr v dz v rd v dr ==θθ 对于平面流动，这两种坐标系的速度分量的关系分别为θθθθθθθθθθθcos sin ,sin cos cos sin ,sin cos v u v v u v v v v v v u r r r +-=+=+=-=3、 连续性方程工程上常用的不可压缩流体的一元总流连续性方程为2211A V A V =微分形式的连续性方程为 0)()()(=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂zw y v x u t ρρρρ 对于不可压缩流体，连续性方程为55 0=∂∂+∂∂+∂∂zw y v x u二、习题详解3.1 流体在等截面直圆管内作层流流动，过流断面上的流速分布为2m a x 1r u u R ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦式中R 表示圆管的内半径，max u 和u 分别表示断面上的最大流速和断面上的分布速度，0r R ≤≤。
流体运动学基础(new)
二、一维流动、二维流动和三维流动
1. 定义 流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。 v v ( x) 一维流动 v v ( x, y ) 二维流动 v v ( x, y , z ) 三维流动
2 .实际流体力学问题均为三元流动。工程中一般根据具体情况加以 简化。
一、基本概念
3.1 研究流体运动的方法
运动要素：表征流体运动状态的物理量 运动要素之间的规律 ① 每一运动要素都随空间与时间在变化； ② 各要素之间存在着本质联系。 场的概念：流体的运动是以空间坐标和时间为变量描述的，或者说流体 运动空间的每一点、某时刻都对应着描述流体运动状态的参量的一个确定 的值，即物理的场 场的描述方法：Largrange法和Euler法 场的分类： 矢量场 标量场 稳定场 时变场
第三章 流体运动学基础
• 第1节 研究流体运动的方法 • 第2节 基本概念
• 第3节 连续方程
• 第4节 相邻点运动描述――流体微团运动分析 • 第5节 流体质点的加速度 • 第6节 势流理论
研究内容：流体运动的位移、速度、加速度和转向等随时间和坐标的 变化规律，不涉及力问题，但从中得出结论为流体动力学的研究奠定 基础。
均匀流有如下特征：
（1）均匀流的过水断面（有效截面）是平面，并且有效截面的形状与 尺寸沿流程不变；
（2）均匀流中同一流线上各点的流速相等，各有效截面上的流速分布 相同，平均流速相同； （3）均匀流有效截面上的流体动压强分布规律与流体静力学中流体静 压强分布规律相同，也就是在均匀流有效截面上同样存在各点静水头等于 常数的特征，即
五.流量和平均流速
3.2 基本概念
v dA v cos(v, n)dA vn dA
1. 定义 流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。 v v ( x) 一维流动 v v ( x, y ) 二维流动 v v ( x, y , z ) 三维流动
2 .实际流体力学问题均为三元流动。工程中一般根据具体情况加以 简化。
一、基本概念
3.1 研究流体运动的方法
运动要素：表征流体运动状态的物理量 运动要素之间的规律 ① 每一运动要素都随空间与时间在变化； ② 各要素之间存在着本质联系。 场的概念：流体的运动是以空间坐标和时间为变量描述的，或者说流体 运动空间的每一点、某时刻都对应着描述流体运动状态的参量的一个确定 的值，即物理的场 场的描述方法：Largrange法和Euler法 场的分类： 矢量场 标量场 稳定场 时变场
第三章 流体运动学基础
• 第1节 研究流体运动的方法 • 第2节 基本概念
• 第3节 连续方程
• 第4节 相邻点运动描述――流体微团运动分析 • 第5节 流体质点的加速度 • 第6节 势流理论
研究内容：流体运动的位移、速度、加速度和转向等随时间和坐标的 变化规律，不涉及力问题，但从中得出结论为流体动力学的研究奠定 基础。
均匀流有如下特征：
（1）均匀流的过水断面（有效截面）是平面，并且有效截面的形状与 尺寸沿流程不变；
（2）均匀流中同一流线上各点的流速相等，各有效截面上的流速分布 相同，平均流速相同； （3）均匀流有效截面上的流体动压强分布规律与流体静力学中流体静 压强分布规律相同，也就是在均匀流有效截面上同样存在各点静水头等于 常数的特征，即
五.流量和平均流速
3.2 基本概念
v dA v cos(v, n)dA vn dA
《流体力学》第三章流体动力学基础
A A
q 断面平均流速： v A
令 v v代表真实速度与平均速度的差值 v
q vdA (v v)dA v A vdA v A
A A A
3.2 流体运动中的几个基本概念 五、过流断面上的平均速度与动能、动量修正系数 断面平均流速：
q v A
v
v v v v vx v y vz t x y z ——————— —
3.2 流体运动中的几个基本概念 流体质点物理量的随体导数（或物质导数）
d vx vy vz dt ___ t _______________ x y z ___
A
v ndA
dV t V
A
v ndA
dV V t
— Euler型连续性方程
它反映了控制面上速度分布与控制体内密度变化之间的积分关系。
特例： v ndA
A
V
dV t
t0 流动定常（ t ）：
A
动量修正系数:
4 管中层流时： 3 管中湍流时： 1.02
3.2 流体运动中的几个基本概念 六、流动的分类( 欧拉法) 一元流动、二元流动和三元流动
流动参数的变化与几个空间坐标有关？
1
2
3
x
喷管内粘性流体流动的速度分布 实际流动 u=u(u=u x,= y ,(( z , ,t ) 考虑平均流速 V V t,) t) 三元流动 一元流动 考虑轴对称， rx x 二元流动
aa
..
b .
b c c
..
u 0 ? t
p 0 ? t
第三章 流体动力学基础 §3-2 流体运动中的几个基本概念 一、物理量的质点导数 运动中的流体质点所具有的物理量N（例如速度、 压强、密度、温度、质量、动量、动能等）对时
q 断面平均流速： v A
令 v v代表真实速度与平均速度的差值 v
q vdA (v v)dA v A vdA v A
A A A
3.2 流体运动中的几个基本概念 五、过流断面上的平均速度与动能、动量修正系数 断面平均流速：
q v A
v
v v v v vx v y vz t x y z ——————— —
3.2 流体运动中的几个基本概念 流体质点物理量的随体导数（或物质导数）
d vx vy vz dt ___ t _______________ x y z ___
A
v ndA
dV t V
A
v ndA
dV V t
— Euler型连续性方程
它反映了控制面上速度分布与控制体内密度变化之间的积分关系。
特例： v ndA
A
V
dV t
t0 流动定常（ t ）：
A
动量修正系数:
4 管中层流时： 3 管中湍流时： 1.02
3.2 流体运动中的几个基本概念 六、流动的分类( 欧拉法) 一元流动、二元流动和三元流动
流动参数的变化与几个空间坐标有关？
1
2
3
x
喷管内粘性流体流动的速度分布 实际流动 u=u(u=u x,= y ,(( z , ,t ) 考虑平均流速 V V t,) t) 三元流动 一元流动 考虑轴对称， rx x 二元流动
aa
..
b .
b c c
..
u 0 ? t
p 0 ? t
第三章 流体动力学基础 §3-2 流体运动中的几个基本概念 一、物理量的质点导数 运动中的流体质点所具有的物理量N（例如速度、 压强、密度、温度、质量、动量、动能等）对时
3流体力学基础知识
a, b, c, t
欧拉法与拉格朗日法的比较
拉格朗日法得到的运动方程是二阶偏微分方程 组，欧拉法得到的运动方程是一阶偏微分方程
组。
拉格朗日法得到的是流体质点的运动规律，欧
拉法得到的是整个流场中各个空间点上流体运
动规律。
例
质点沿直线以速度 V 3 x 2 y 2 (m/s)运 动, 求质点在(8,6)点的加速度。 解： x，y方向的速度分量分别为
欧拉加速度
质点的加速度由两部分组成：
时变加速度 Time-changing Acceleration
当地加速度 Local Acceleration
流动过程中流体速度随时间变化而引起的加速度。 位变加速度 Location-changing Acceleration
迁移加速度 Connective Acceleration
u V cos 3 x 2 y 2 v V sin 3 x 2 y 2 x x y
2 2
2 2
3y
x
0
故 x，y方向的加速度分量分别为
ax ay u u u u v 0 3x 3 3 y 0 9 x 72m/s 2 t x y v v v u v 0 3x 0 3 y 3 9 y 36m/s 2 t x y
拉格朗日法表示的 t 时刻质点的空间坐标
x x(a, b, c, t ) y y (a, b, c, t ) z z (a, b, c, t )
若行列式D既不为零也不为无穷大，a,b,c存在单值解
x a x, y , z x D a, b, c b x c y a y b y c z a z b z c
欧拉法与拉格朗日法的比较
拉格朗日法得到的运动方程是二阶偏微分方程 组，欧拉法得到的运动方程是一阶偏微分方程
组。
拉格朗日法得到的是流体质点的运动规律，欧
拉法得到的是整个流场中各个空间点上流体运
动规律。
例
质点沿直线以速度 V 3 x 2 y 2 (m/s)运 动, 求质点在(8,6)点的加速度。 解： x，y方向的速度分量分别为
欧拉加速度
质点的加速度由两部分组成：
时变加速度 Time-changing Acceleration
当地加速度 Local Acceleration
流动过程中流体速度随时间变化而引起的加速度。 位变加速度 Location-changing Acceleration
迁移加速度 Connective Acceleration
u V cos 3 x 2 y 2 v V sin 3 x 2 y 2 x x y
2 2
2 2
3y
x
0
故 x，y方向的加速度分量分别为
ax ay u u u u v 0 3x 3 3 y 0 9 x 72m/s 2 t x y v v v u v 0 3x 0 3 y 3 9 y 36m/s 2 t x y
拉格朗日法表示的 t 时刻质点的空间坐标
x x(a, b, c, t ) y y (a, b, c, t ) z z (a, b, c, t )
若行列式D既不为零也不为无穷大，a,b,c存在单值解
x a x, y , z x D a, b, c b x c y a y b y c z a z b z c
3工程流体力学 第三章流体运动学基础
总流： 由无数元流构成的大的流束，包括整
个流动区域上的所有质点的流动。
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续16）
三、湿周、水力半径
1.湿周x 在总流过流断面上，液体与固体相接触的线
称为湿周。用符号x 表示。
2.水力半径R
总流过流断面的面积A与湿周的比值称为水Βιβλιοθήκη 力半径。R A x
注意：水力半径与几何半径是完全不同的两个概念。
这是两个微分方程，其中 t 是参数。 可求解得到两族曲面，它们的交线就是 流线族。
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续10）
例3-1 已知直角坐标系中的速度场 u=x+t； v= -y+t；w=0,
试求t = 0 时过 M(-1,-1) 点的流线。
解：由流线的微分方程：
dx d y dz u vw
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续5）
因为u不随t变，所以同一点的流线 始终保持不变。即流线与迹线重合。
某点流速的方向是
流线在该点的切线方向 A
B
流速的大小由流 线的疏密程度反映
uA=uB ?
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续6）
迹线与流线方程 采用拉格朗日方法描述流动时，质
点的运动轨迹方程:
试求t = 0 时过 M(-1,-1) 点的迹线。
解：由迹线的微分方程：
dx d y dz dt u vw
u=x+t；v=-y+t；w=0
dx xt dt
d y y t
dt
求解
x C1 et t 1
t = 0 时过 M(-1,-1)：C1 = C2 = 0 y C2 et t 1 x= -t-1 y= t-1 消去t，得迹线方程： x+y = -2
个流动区域上的所有质点的流动。
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续16）
三、湿周、水力半径
1.湿周x 在总流过流断面上，液体与固体相接触的线
称为湿周。用符号x 表示。
2.水力半径R
总流过流断面的面积A与湿周的比值称为水Βιβλιοθήκη 力半径。R A x
注意：水力半径与几何半径是完全不同的两个概念。
这是两个微分方程，其中 t 是参数。 可求解得到两族曲面，它们的交线就是 流线族。
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续10）
例3-1 已知直角坐标系中的速度场 u=x+t； v= -y+t；w=0,
试求t = 0 时过 M(-1,-1) 点的流线。
解：由流线的微分方程：
dx d y dz u vw
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续5）
因为u不随t变，所以同一点的流线 始终保持不变。即流线与迹线重合。
某点流速的方向是
流线在该点的切线方向 A
B
流速的大小由流 线的疏密程度反映
uA=uB ?
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续6）
迹线与流线方程 采用拉格朗日方法描述流动时，质
点的运动轨迹方程:
试求t = 0 时过 M(-1,-1) 点的迹线。
解：由迹线的微分方程：
dx d y dz dt u vw
u=x+t；v=-y+t；w=0
dx xt dt
d y y t
dt
求解
x C1 et t 1
t = 0 时过 M(-1,-1)：C1 = C2 = 0 y C2 et t 1 x= -t-1 y= t-1 消去t，得迹线方程： x+y = -2
流体力学 第3章流体动力学基础
第3章 流体动力学基础教学提示：流体力学是研究流体机械运动的一门学科，与理论力学中分析刚体运动的情况相似。
如研究的范围只限于流体运动的方式和状态，则属于流体运动学的范围。
如研究的范围除了流体运动的方式和状态以外，还联系到流体发生运动的条件，则属于流体动力学的范围。
前者研究流体运动的方式和速度、加速度、位移等随空间与时间的变化，后者研究引起运动的原因和流体作用力、力矩、动量和能量的方法。
如前所述，流体力学的研究方法是基于连续介质体系的，重点研究由流体质点所组成的连续介质体系运动所产生的宏观效果，而不讨论流体分子的运动。
与处于相对平衡状态下的情况不同，处于相对运动状态下的实际流体，粘滞性将发生作用。
由于流体具有易流动性和粘滞性的影响，因此流体力学的研究方法与固体力学有明显的区别。
教学要求：流体运动的形式虽然多种多样的，但从普遍规律来讲，都要服从质量守恒定律、动能定律和动量定律这些基本原理。
在本章中，我们将阐述研究流体流动的一些基本方法，讨论流体运动学方面的一些基本概念，应用质量守恒定律、牛顿第二运动定律、动量定理和动量矩定理等推导出理想流体动力学中的几个重要的基本方程：连续性方程、欧拉方程、伯努利方程、动量方程、动量矩方程等，并举例说明它们的应用。
3.1 流体运动的描述方法要研究流体运动的规律，就要建立描述流体运动的方法。
在流体力学中，表达流体的运动形态和方式有两种不同的基本方法：拉格朗日法和欧拉法。
3.1.1 拉格朗日法拉格朗日法是瑞士科学家欧拉首先提出的，法国科学家J. L.拉格朗日作了独立的、完整的表述和具体运用。
该方法着眼于流体内部各质点的运动情况，描述流体的运动形态。
按照这个方法，在连续的流体运动中，任意流体质点的空间位置，将是质点的起始坐标),,(c b a (即当时间t 等于起始值0t 时的坐标)以及时间t 的单值连续函数。
若以r 代表任意选择的质点在任意时间t 的矢径，则： ),,,(t c b a r r = (3-1) 式中，r 在x 、y 、z 轴上的投影为x 、y 、z ；a 、b 、c 称为拉格朗日变量。
同济 流体力学 第三章2
p1 +
ρv12
2
+ (ρ a − ρ )g ( z 2 − z1 ) = p2 +
2 ρv2
2
+ pw
——用相对压强计算的气体伯努利方程
ρv2 注意：z2-z1——下游断面高度 p1 + + (ρ a − ρ )g ( z 2 − z1 ) = p2 + + pw 2 2 减上游断面高度（±）； ——用相对压强计算的气体伯努利方程 ρa-ρ——外界大气密度减管内
流体动力学
同济大学 航力学院
INDEX • 流体的运动微分方程 • 元流的伯努利方程 • 过流断面的压强分布 • 总流的伯努利方程 • 气体的伯努利方程 • 动量方程 • 动量矩定理
流体的运动微分方程
1.理想流体运动微分方程 （1）平衡微分方程
1 ∂p X− =0 ρ ∂x ∂x 1 ∂p Y− =0 ρ ∂y
πd12 4
仪器常数K
∆h
Q = µK ∆h
µ——流量系数（0.96~0.98）
注意：
ρ '− ρ 水（ρ）-水银（ρ’） ∆h → ∆h ρ ρ' 气（ρ）-液（ρ’） ∆h → ∆h ρ
关于气蚀： 低压区产生汽化，高压区气泡破灭空化，它造成流 量减小，机械壁面造成疲劳破坏，这种有害作用称 气蚀（空蚀） 关于计算气蚀的例子： 大气压强97.3kPa，粗管径
——总流的伯努利方程
总流的伯努利方程与元流的伯努利方程区别 （1）z1、z2——总流过流断面上同一流线上的两个 计算点相对于基准面的高程； （2）p1、p2——对应z1、z2点的压强（同为绝对压 强或同为相对压强）； （3）v1、v2——断面的平均流速
流体力学第三章流体动力学(1)
（2）流线的作法
流线的作法如下：在流速场中任取一点1（如下图），绘出
在某时刻通过该点的质点的流速矢量u1，再在该矢量上取距
点1很近的点2处，标出同一时刻通过该处的另一质点的流速
矢量u2……如此继续下去，得一折线1 2 3 4 5 6……，若
折线上相邻各点的间距无限接近，其极限就是某时刻流速场 中经过点1的流线。
(b)非恒定流
mt1 流线 mt2
迹线 mt3
且与迹线重合。
3. 均匀流和非均匀流 划分依据：按流速的大小和方向是否沿程变化
（1）均匀流
流速沿程不变的流动称为均匀流
在均匀流时不存在迁移加速度，即 auuo s
其流线为彼此平行的直线
例：等直径直管中的液流或者断面形状和水深不变的长直渠道中的水流 都是均匀流。
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
质点的加速度由两部分组成：
auuu t s
欧拉加速度
ax
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
ay
uy t
ux
uy x
uy
uy y
uz
uy z
az
uz t
ux
பைடு நூலகம்
uz x
uy
uz y
uz
uz z
①时变加速度（当地加速度）——流动过程中液体由于速度 随时间变化而引起的加速度； ——等号右边第一项是时变 加速度 ②位变加速度（迁移加速度）——流动过程中液体由于速度 随位置变化而引起的加速度。 ——后三项是位变加速度
（1） （a,b,c）=Const , t为变数，可以得出某个指定质点在任意时刻 所处的位置。 （2） （a,b,c）为变数, t =Const ，可以得出某一瞬间不同质点在空 间的分布情况。
第三章：流体运动学
或：
欧拉型连续方程式的积分形式，物理意义是：单位时间内控制体内流体质量的增减，等于同一时间内进出控制面的流体质量净通量。
使用高斯定理，将其面积分变为体积分：
第一项的微分符号移入积分号内得
所以得：
积分域τ是任取的，必有：
上式即欧拉型连续方程的微分形式。
§３-４流体微团运动的分析
流体微团的运动比较复杂，具有平移，转动，变形运动。微团的运动速度也相应地由平移速度、变形速度和转动角速度所组成。
过水断面：流管的垂直截面，
流量：每秒钟通过过水断面的体积。
微小流管的流量积分：
平均流速：
用实验方法量出体积流量Ｑ，除以σ得平均流速Ｕ。
五、条纹线
举例烟囱的流动来说明。
轨迹线、流线、条纹线这三条线中，流线最为重要。
§３-３连续性方程式
连续性方程式：质量守恒定律在流体力学中的表达式。
一、一元运动的连续性方程式
§３-２几个基本概念
一、定常运动与非定常运动
定常运动：任意固定空间点处所有物理量均不随时间而变化的流动，反之称为非定常运动。
对于定常运动，所有的物理量不随时间而变化，仅是空间坐标（ｘ，y，ｚ）的函数：
ｖｘ＝ｖｘ（ｘ，ｙ，ｚ）
ｖｙ＝ｖｙ（ｘ，ｙ，ｚ）
ｖｚ＝ｖｚ（ｘ，ｙ，ｚ）
ｐ＝ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）
ρ＝ρ（ｘ，ｙ，ｚ）
３）质点的加速度
４）由质点一般运动规律
可求得拉格朗日变数ａ与ｂ的表达式为
代回拉格朗日法表示的速度表达式，得欧拉法表示的速度表达式：
欧拉法表示的加速度：
应用欧拉法研究流体运动，又有两种处理方法。一种是在流场空间取一微元体（如六面体），分析流体通过该微元体时流体微团的运动规律，建立流体运动时各种微分方程式。因此这种方法叫微分法。另一种方法是在流场中取一有限的任意形状的固定控制体（其边界封闭曲面称为控制面），分析流体通过该控制体时的运动规律，建立流体运动时各种整体关系式（即积分方程式），这种方法叫控制体方法，或称积分方法。
欧拉型连续方程式的积分形式，物理意义是：单位时间内控制体内流体质量的增减，等于同一时间内进出控制面的流体质量净通量。
使用高斯定理，将其面积分变为体积分：
第一项的微分符号移入积分号内得
所以得：
积分域τ是任取的，必有：
上式即欧拉型连续方程的微分形式。
§３-４流体微团运动的分析
流体微团的运动比较复杂，具有平移，转动，变形运动。微团的运动速度也相应地由平移速度、变形速度和转动角速度所组成。
过水断面：流管的垂直截面，
流量：每秒钟通过过水断面的体积。
微小流管的流量积分：
平均流速：
用实验方法量出体积流量Ｑ，除以σ得平均流速Ｕ。
五、条纹线
举例烟囱的流动来说明。
轨迹线、流线、条纹线这三条线中，流线最为重要。
§３-３连续性方程式
连续性方程式：质量守恒定律在流体力学中的表达式。
一、一元运动的连续性方程式
§３-２几个基本概念
一、定常运动与非定常运动
定常运动：任意固定空间点处所有物理量均不随时间而变化的流动，反之称为非定常运动。
对于定常运动，所有的物理量不随时间而变化，仅是空间坐标（ｘ，y，ｚ）的函数：
ｖｘ＝ｖｘ（ｘ，ｙ，ｚ）
ｖｙ＝ｖｙ（ｘ，ｙ，ｚ）
ｖｚ＝ｖｚ（ｘ，ｙ，ｚ）
ｐ＝ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）
ρ＝ρ（ｘ，ｙ，ｚ）
３）质点的加速度
４）由质点一般运动规律
可求得拉格朗日变数ａ与ｂ的表达式为
代回拉格朗日法表示的速度表达式，得欧拉法表示的速度表达式：
欧拉法表示的加速度：
应用欧拉法研究流体运动，又有两种处理方法。一种是在流场空间取一微元体（如六面体），分析流体通过该微元体时流体微团的运动规律，建立流体运动时各种微分方程式。因此这种方法叫微分法。另一种方法是在流场中取一有限的任意形状的固定控制体（其边界封闭曲面称为控制面），分析流体通过该控制体时的运动规律，建立流体运动时各种整体关系式（即积分方程式），这种方法叫控制体方法，或称积分方法。
流体力学 3 3 4流体运动学讲解
(2)对于不稳定流，经过同一点的流线其空间方位和形状 是随时间改变的。
(3)由于稳定流动的速度分布与时间无关，所以流线的形 状和位置不随时间变化。同时流体质点只能沿着流线运动， 否则将会有一个与流线相垂直的速度分量。所以 稳定流动 的迹线与流线重合。
2.流线的性质
(4)不稳定流动包含两方面的含义：大小或方向随时间变化。
ay
?
?u y ?t
?
be? t
再将已知条件代入上述表达式，可得速度和加速度的欧拉描述
u x ? ae t ? x , u y ? ? be ? t ? ? y a x ? ae t ? x , a y ? be ? t ? y
二、 流线
用欧拉法形象地对流场进行几何 描述，引进了流线的概念。 1.定义： 是用来描述流场中各点流动方向 的曲线，是速度场的矢量线。
在某一时刻该曲线上任意一点的 速度总是在该点与此曲线相切。 此曲线即为流线。
流线
2.流线的性质
(1)因为在空间每点只能有一个速度方向，所以流线 不能 相交。另外，由于流体是连续介质，各运动要素在空间是 连续的，流线不可能转折，只能是光滑曲线。
G ? gQ m ? ? Q
3、平均速度
实际流体流动的有效断面上各点处的速度大小都是 不一样的，工程上为简化问题，引入有效断面上速
度的平均值，称为平均流速，以 v 表示。
平均流速的物理意义： 就是假想有效断面上各 点的速度相等，而按平 均流速流过流量正好相 等。所以有
? ? Q ? Av ? udA 或 v ? 1 udA ? Q
作流线，由这些流线所围成的管称为流管。
由于流线不能相交，所以各个时刻，
， 流体质点只能在流管内部或沿流体
(3)由于稳定流动的速度分布与时间无关，所以流线的形 状和位置不随时间变化。同时流体质点只能沿着流线运动， 否则将会有一个与流线相垂直的速度分量。所以 稳定流动 的迹线与流线重合。
2.流线的性质
(4)不稳定流动包含两方面的含义：大小或方向随时间变化。
ay
?
?u y ?t
?
be? t
再将已知条件代入上述表达式，可得速度和加速度的欧拉描述
u x ? ae t ? x , u y ? ? be ? t ? ? y a x ? ae t ? x , a y ? be ? t ? y
二、 流线
用欧拉法形象地对流场进行几何 描述，引进了流线的概念。 1.定义： 是用来描述流场中各点流动方向 的曲线，是速度场的矢量线。
在某一时刻该曲线上任意一点的 速度总是在该点与此曲线相切。 此曲线即为流线。
流线
2.流线的性质
(1)因为在空间每点只能有一个速度方向，所以流线 不能 相交。另外，由于流体是连续介质，各运动要素在空间是 连续的，流线不可能转折，只能是光滑曲线。
G ? gQ m ? ? Q
3、平均速度
实际流体流动的有效断面上各点处的速度大小都是 不一样的，工程上为简化问题，引入有效断面上速
度的平均值，称为平均流速，以 v 表示。
平均流速的物理意义： 就是假想有效断面上各 点的速度相等，而按平 均流速流过流量正好相 等。所以有
? ? Q ? Av ? udA 或 v ? 1 udA ? Q
作流线，由这些流线所围成的管称为流管。
由于流线不能相交，所以各个时刻，
， 流体质点只能在流管内部或沿流体
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§1
描述流体运动方法
r r (a, b, c, t)
流体质点的坐标可以表示为时间 t 及初始位置 a、b、c的函数，即： 用位置矢量描述: 用直角坐标描述:
x xa, b, c, t
y ya, b, c, t
z za, b, c, t
a、 b、 c
t
叫拉格朗日变数
v y t
(a)
求解一阶常微分方程（a）可得
x et c1 tet dt et c1 (t 1)e t c1et t 1 y et c2 tet dt et c2 (t 1)e t c2et t 1
(b)
xa 上式中c1 ，c2 为积分常数，由t = 0时刻流体质点位于 ,可确 y b c1 a 1 定 ，代入(b)式，可得参数形式的流体质点轨迹方程为
c 2 b 1
x (a 1)et t 1 y (b 1)et t 1
§1
描述流体运动方法
y ya, b, c, t
流体质点的坐标：
x xa, b, c, t
流体质点的速度：
z za, b, c, t
d 2 x 2 xa, b, c, t ax 2 ax a, b, c, t dt t 2
流体质点的加速度：
D 0 Dt
不可压缩流体 均匀密度场
0 0
D 0 Dt
t
0
0 t
随时间变化的均匀密度场 定常均匀密度场，密度不随空间坐标变 化，也不是时间的函数，密度为常数
§1
描述方法
描述流体运动方法
随体法 当地法 拉格朗日法 欧拉法 质点轨迹：
r r (a,b,c,t )
Dp p p p p u v w Dt t x y z
密度变化：
D u v w Dt t x y z
DV V a V V Dt t
ax
Du u u u u u v w Dt t x y z Dv v v v v ay u v w Dt t x y z
跟踪
跟踪追击
布哨
守株待兔
[例1] 由速度分布求质点轨迹
已知: 求： 解：
u xt 已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为
在t = 0时刻位于点（a,b）的流体质点的运动轨迹。 对某时刻t位于坐标点上(x,y)的质点
u dx x t dt dy v y t dt
1、迹线 — 流体质点的运动轨迹称为迹线。这 在拉格朗日研究法中运用。
迹线方程:
dx dy dz dt u v w
2、流线 — 在欧拉法中流线是流场中的瞬时光 滑曲线，曲线上各点的切线方向与 各该点的瞬时速度方向一致。
§2
流场的几何描述
V ui vj wk
3、流线微分方程
具有质量、密度、温度、压强、还具有速度、加速度、动量、动能等等
d) 流体质点的形状可以任意划定。
对这些量的描述就着眼于质点和质点通过的空间点
两种描述流体运动的观点和方法
§1 描述流体运动方法
描述流体流动的方法有两种： 1）拉格朗日法 2）欧拉法
随体法 描述方法 当地法 欧拉法 拉格朗日法 质点轨迹：r r (a,b,c,t ) 参数分布：B = B（x, y, z, t）
按照该公式，拉格朗日法和欧拉法描述的结果是不同的。P45
r r (a, b, c, t)
拉格朗日法:
欧拉法 位移
v ( x, y,z, t ) a t
r 速度 v (a, b, c, t ) t a v (a, b, c, t ) t 加速度
§1
描述流体运动方法
来确定质点
1）拉格朗日法
拉格朗日法是利用质点在任意时刻 t 的坐标位置 x、 y、 z 合所有流体质点的运动后便可得到整个流体的运动规律。 拉格朗日法选取初始时刻 t ，以每一个质点的初始坐标
0
的运动轨迹流。要研究整个流体流动就必须着眼于每一个流体质点的研究，综
a、 b、 c
作为标记，用 (a、b、c) 的不同值区分不同的质点。
参数分布：B = B（x, y, z, t）
3）两种描述流动的方法之比较
拉格朗日法 分别描述有限质点的轨迹 表达式复杂 不能直接反映参数的空间分布 不适合描述流体微元的运动变形特性 拉格朗日观点是重要的 欧拉法 同时描述所有质点的瞬时参数 表达式简单 直接反映参数的空间分布 适合描述流体微元的运动变形特性 流体力学最常用的解析方法
p px, y, z, t
u ux, y, z, t
v vx, y, z, t
x, y, z, t
w wx, y, z, t
T T x, y, z, t
x, y, z, t
为欧拉变数
§1
描述流体运动方法
欧拉法描述速度、密度、温度等物理量时，这些物理量 都是空间和时间的函数，和空间区域有关，可以用场论的 知识进行分析，所以，可以将这些物理量在空间的分布用 场的概念进行描述，就形成速度场、密度场、温度场等。 在解决工程实际问题时，通常只要知道速度场、压力场
讨论： 本例说明虽然给出的是速度分布式（欧拉法），即各空间点上速 度分量随时间的变化规律，仍然可由此求出－指定流体质点在不 同时刻经历的空间位置，即运动轨迹（拉格朗日法）。
第三章
§1
§2
流体运动学
描述流体运动方法
流场的几何描述
§3
§4
流动的分类
流体微团的运动分析
§2
流场的几何描述
一、迹线、流线与染色线
§2
流场的几何描述
4、流线与迹线的性质
a、 流线与迹线的共同点是，它们都是与速度相切的曲线。但流线是同一瞬时、 不同质点所形成的曲线；迹线是同一质点在不同瞬时所经过的位置的轨迹。 b、在给定瞬时空间一个点只能作一条流线，因为在同一点上不可能同 时有几个流动方向，所以流线不能相交、也不能突然折转。
i j k x y z
§1
描述流体运动方法
D u v w Dt t x y z
D 有两部分组成。 Dt
讨论：
1、物理量的质点导数
2、 项为当地导数、局部导数或时变导数。它代表质点在没有空间变位时，物 t
d 2 z 2 z a, b, c, t az 2 az a, b, c, t dt t 2
流体质点的其它物理量：
p pa, b, c, t
a, b, c, t
T T a, b, c, t
§1
描述流体运动方法
2）欧拉法
欧拉法着眼于研究空间固定点的流动情况，即研究流体质点经过某一空间点的 速度、压强、密度等变化的规律， 将许多空间点在不同时刻的流体质点的运动情况 记录下来，就可以知道整个流体的运动规律。显然，欧拉法不研究个别流体质点的 运动规律，对于流体质点从哪里来，又流到何处去，并不加以研究。因此，欧拉法 不能直接给定流体质点的运动轨迹，但很容易测出不同时刻经过该点的质点速度， 所以，欧拉法用速度矢量描述空间点上流体运动的变化。
1、流体运动的数学描述方法 和几何描述方法；
第三章
§1
§2
流体运动学
描述流体运动方法
流场的几何描述
§3
§4
流动的分类
流体微团的运动分析
§1
描述流体运动方法
在第一章中已定义了连续介质模型：
组成流体的最小物理实体是流体质点而不是流体分子，即：流 体是由无穷多个、无穷小的、紧密毗邻、连绵不断的流体质点所组 成的一种绝无间隙的连续介质。 流体质点的四个特点： a) 流体质点的宏观尺寸非常小。 b) 流体质点的微观尺寸足够大。 c) 流体质点是包含有足够多分子在内的一个物理实体，具有一定的 宏观物理量。如：
az Dw w w w w u v w Dt t x y z
温度变化：
DT T T T T u v w Dt t x y z
§1
描述流体运动方法
不可压缩流体的数学表示： D u v w Dt t x y z
描述流体运动方法
D dx dy dz Dt t x dt y dt z dt
dx u dt
dy v dt
dz w dt
D u v w Dt t x y z
D v Dt t
第三章
第三章 作业
流体运动学
3-1，3-2，3-3，3-6；
3-7，3-8，3-13，3-16；
第八周交第三章作业
目
绪论 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章
录
流体及其主要物理性质 2、对流体运动进行分类； 流体静力学 3、流体微团的运动和变形。 流体运动学基础 不涉及运动变化的原 流体动力学基础 因，即力的作用，只研究 其运动过程 相似原理和量纲分析 理想流体不可压缩流体的定常流动 粘性流体流动 定常一元可压缩气流 计算流体力学
等物理量的场就可以圆满解决这些问题，所以，欧拉法在
流体力学研究中得到广泛的应用。
§1
描述流体运动方法
3）物理量的质点导数（物质导数）
运动中的流体质点所具有的物理量 （例如速度、压强、密度、温度、质量、 动量、动能等）对时间的变化率为物理量的质点导数（随体导数或物质导数）。
d 时间的变化率，反映流场的非定常性。
u v w 3、 x y 项为位变导数、对流导数或迁移导数。它代表质点经过 z dt 时间处于不同位置时，物理量 对时间的变化率，反映流场的非均匀性。