6 均匀设计
均匀设计法
第六章 均匀设计法
▪例如用U11(1110)的1，7 和1，2列分别画图，得到下面的图 (a)和图 (b)。我们看到，(a)的点散布比较均匀，而(b)的点散 布并不均匀。均匀设计表的这一性质和正交表有很大的不同， 因此，每个均匀设计表必须有一个附加的使用表。
11 10
9 8 7 6 5 4 3 2 1
第六章 均匀设计法
▪1978年，七机部由于导弹设计的要求，提出了一个 五因素的试验，希望每个因素的水平数要多于10， 而试验总数又不超过50，显然优选法和正交设计都 不能用，方开泰与王元经过几个月的共同研究，提 出了一个新的试验设计，即所谓“均匀设计”，将 这一方法用于导弹设计，取得了成效。
▪均匀设计法与正交设计法的不同：
两种设计的均匀性比较
很难找到正交设计和均匀设计具有相同的试验数和相同的水平数。我们从 如下三个角度来比较：
v 1.试验数相同时的偏差的比较
v 当因素s=2时，若用L8(27)安排试验，其偏差为0.4375；
若用均匀设计表
U
* 8
(88
)
，则偏差最好时要达0.1445。
显然试验数相同时均匀设计的均匀性要好得多。值得
U6(64)的使用表
s列
号
213
312 3
412 3 4
偏差值越小，表示均匀度越好
D
0.1875 0.2656 0.2990
第六章 均匀设计法
均匀设计和正交设计的比较
将目前最常用正交设计和均匀设计作一下比较，讨论两种试验设计方法的特 点。
➢1.试验次数的比较 ➢正交设计用于水平数不高的试验，因为它的试验数至少为 水平数的平方。例如一项试验，有五个因素，每个因素取31 水平，若用正交设计，至少需要做961次试验，而用均匀设 计只需31次，所以均匀设计适合于多因素多水平试验。
均匀设计
•均匀设计方法•一、均匀试验设计•均匀设计是在正交试验设计的基础上，创造出的一种新适用于多因素、多水平试验的试验设计方法。
•均匀设计特别适合需要考察因素因素变化范围较大，且每个因素有较多水平的试验设计问题。
•二、均匀设计及均匀表的使用•均匀设计的基本思想就是让试验点在所考察的试验范围内尽量均匀地分布，为了达到均匀布点目的，与正交设计类似，可以使用均匀设计表（简称均匀表）安排试验，均匀表的表头形式是：••••4••正交表U6••正交表U6•••三、均匀表的特点• 1.任何一列，各水平仅出现一次；• 2.任何两列同行数码构成的有序数对仅出现一次；• 3.均匀表中任两列组成的试验方案不等价; 因此，每个均匀表都附加了使用表，告诉我们如何挑选相应的列按排试验。
• 4.当因素的水平数增加时，试验次数按水平数增加；• 5.使用表最多可安排的因素数都比均匀表列数少。
只能安排（s/2+1）个因素•四、用均匀表安排试验的步骤• 1.根据试验的目的，确定考察的指标；• 2.选择合适的因素和因素的考察范围；• 3.选择合适该项试验的均匀表，然后根据该表的使用表从中选出列号，将因素分别安排到相应的列号上；• 4.确定各因素的水平，并将这些因素的水平按所在列的指示分别对号号入座。
最后进行试验。
• 5.对实验结果进行分析，确定最佳的试验方案。
•例1．在阿魏酸的合成工艺考察中，选取原料配比，吡啶量，反应时间三个因素进行考察，试验的考察指标是阿魏酸的收率。
因素的变化范围如下：•原料配比A：1.0~3.4•吡啶量B：10~28(ml)•反应时间C：0.5~3.5(hr)•试用均匀设计安排试验。
•解:对于三个因素，s/2+1=3，求出s=4或5，考虑试验的承受程度，选用U7（76）均匀表安排试验，根据各因素的变化范围，划分因素水平表如下：••由U7（76）均匀表的配套使用表可知，应选1，2，3列，因而得下面的试验设计表:••将各因素所对应的水平值填入表中，得试验表如下，按试验表中每个试验的条件安排试验，将所得结果填入表最右列。
均匀设计法的基本原理和应用范围
农业试验设计
总结词
在农业研究中，均匀设计法可用于优化种植密度、施肥量等农业措施，提高作物产量和 品质。
详细描述
在农业试验中，需要研究多种因素对作物生长的影响，如种植密度、施肥量、灌溉方式 等。通过均匀设计法，可以有效地安排试验条件，以最少的试验次数获得最佳的试验效
果。
产品制造工艺优化
总结词
在产品制造过程中，均匀设计法可用于优化工艺参数，提高产品质量和生产效率。
均匀设计法的基本原理和应用范围
目录
• 均匀设计法的基本概念 • 均匀设计法的基本原理 • 均匀设计法的应用范围 • 均匀设计法的优势与局限性 • 均匀设计法的实际应用案例
01 均匀设计法的基本概念
定义与特点
定义
均匀设计法是一种实验设计方法，旨在通 过合理地选择实验点和实验次数，最大限 度地获取所需的信息，并减少实验误差。
确定试验点数量
根据试验因素和水平，确定试 验点数量，以确保试验结果的 准确性和可靠性。
进行试验
按照生成的试验点进行试验， 收集数据。
确定试验因素和水平
根据研究目的和问题，确定试 验因素和水平，为后续的试验 设计提供基础。
生成试验点
根据均匀性准则和试验点分布 方法，生成试验点，确保每个 试验点具有代表性。
有限制条件
在满足一定限制条件下选择实验点。
均匀分散
在实验范围内，实验点均匀分散，避免集 中在某些区域。
高效性
通过合理设计，用较少的实验次数获取更 多信息。
与其他设计方法的比较
与正交设计法比较
均匀设计法的实验点分布更均匀，适 用于探索性实验和多因素多水平实验 。
与拉丁方设计法比较
拉丁方设计法适用于两因素实验，而 均匀设计法可应用于多因素实验。
第6讲 均匀设计
x1 2.2 L11 4.48
_
x2 19 L12 16.8
_
x3 2.0 L12 1.4 L33 7.0
_
y 0.3683 L1 y 0.2404 L2 y 0.5640 L3 y 0.5245
_
L22 252.0 L23 10.5
由于Lij L ji，故不必全部列出，将它们代入方程组中 可以解得 b1 0.037, b2 0.00343, b3 0.077 从而 a 0.3683 0.037 2.2 0.00343 19 0.077 2.0 0.201
将一个新变量引进回归模型，这时相应的F统计量必须大 于Fin 将一个变量从回归模型中剔除，这时相应的F统计量必须 小于Fout 将回归模型内的一个变量和回归模型外的一个变量交换位 置。
设先用后退法来选变量.所谓后退法，就是开始将 所有的变量全部采用，然后逐步剔除对方程没有 显著贡献的变量，直到方程中所有的变量都有显 著贡献为止。 仍考虑线性模型，开始三个因素全部进入方程， 得(6.12).统计软件包通常还会提供每个变量的t值， t值越大（按绝对值计）表示该因素越重要.对本 例有
第 6章
均匀设计
均匀设计（uniform design） ： 一种只考虑试验点在试验范围内均匀散布的试验设 计方法 通过均匀表来安排试验 应用：试验因素变化范围较大，需要取较多水平时 例如：5因素31水平的试验： 正交设计试验次数≥312＝961
均匀设计试验次数：31
6.1 均匀设计表
U7(76)使用表
因素数 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 3 2 2 2 2 3 3 3 3
均匀设计
7.1 均匀设计表
7.1.1 等水平均匀设计表
（1）记号： ）记号： Un(rl)或 Un*(rl) 或 U——均匀表代号； 均匀表代号； 均匀表代号 n——均匀表横行数（需要做的试验次数）； 均匀表横行数（需要做的试验次数）； 均匀表横行数 r——因素水平数，与n相等； 因素水平数， 相等； 因素水平数 相等 l——均匀表纵列数； 均匀表纵列数； 均匀表纵列数 *——均匀性更好的表，优先选用Un*表 均匀性更好的表，优先选用 均匀性更好的表 表
试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A (1)1 (2)1 (3)2 (4)2 (5)3 (6)3 (7)4 (8)4 (9)5 (10)5
B (2)1 (4)2 (6)3 (8)4 (10)5 (1)1 (3)2 (5)3 (7)4 (9)5
C (5)1 (10)2 (4)1 (9)2 (3)1 (8)2 (2)1 (7)2 (1)1 (6)2
均匀设计（ design） 均匀设计（uniform design） ： 一种只考虑试验点在试验范围内均匀散布的 试验设计方法 通过均匀表来安排试验 应用：试验因素变化范围较大，需要取较多 应用：试验因素变化范围较大， 水平时 例如： 因素31水平的试验： 31水平的试验 例如：5因素31水平的试验： 正交设计试验次数≥ 正交设计试验次数≥312＝961 均匀设计试验次数： 均匀设计试验次数：31
7.2 均匀Biblioteka 计基本步骤（1）明确试验目的，确定试验指标 ）明确试验目的， （2）选因素 ） （3）确定因素的水平 ） 可以随机排列因素的水平序号 （4）选择均匀设计表 ） 根据试验的因素数和水平数来选择 参考使用表 首选U 表 首选 n*表
7.2
均匀设计基本步骤
均匀设计法
2
1.4(2) 19(4) 3.0(6) 0.336
3பைடு நூலகம்
1.8(3) 25(6) 1.0(2) 0.294
4
2.2(4) 10(1) 2.5(5) 0.476
5
2.6(5) 16(3) 0.5(1) 0.209
6
3.0(6) 22(5) 2.0(4) 0.451
7
3.4(7) 28(7) 3.5(7) 0.482
xik
_
xi
xik
_
xj
Liy
N K 1
xik
_
xi
yk
_
y
Lyy
N i1
yk
_
y
2
_
N
xi xi
i1
i 1, 2, m
i, j 1, 2, , m i 1, 2, , m
(8 2) (8 3) (8 4) (8 5)
_ 1 N
y N i1 yk 回归方程组系数由下列正规方程组决定：
^
2mT
方程(8 9)化为 y b0 bl xl (T Cm2 ) (8 11)
l 1
在这种情况下，为了求得二次项和交互作用项，就不能
选用试验次数等于因素数的均匀设计表，二必须选用试
验次数大于或等于回归方程系数总数的U表了
§9－2 应用举例
▪ 利用均匀设计表来安排试验的步骤：
• （1）根据试验的目的，选择合适的因素和相应的水平。 • （2）选择适合该试验的均匀设计表，然后根据该表的使
§6－1 基本原理
• 一、引言
• 正交试验设计利用：
▪ 均衡分散：试验点在试验范围内排列规律整齐
▪ 整齐可比：试验点在试验范围内散布均匀
均匀设计的基本步骤
均匀设计的基本步骤
均匀设计是一种实验设计方法，用于在有限次试验中寻找最佳的试验条件。
以下是均匀设计的基本步骤：
1.确定实验目的和响应变量：首先需要明确实验的目的，确定要研究的响应变量，以便于确定实验的主要内容和目标。
2.确定实验因素和水平：根据专业知识和实际经验，选择对响应变量影响较大的因素作为实验因素。
根据实际情况和历史数据，为每个实验因素选择适当的水平。
3.制定均匀设计表：根据实验因素和水平的数量，选择合适的均匀设计表进行实验。
均匀设计表是一种特殊的矩阵，用于安排实验并确保各因素水平在实验中均匀分布。
4.安排实验：根据均匀设计表，安排实验的具体实施方案。
确保每个实验条件只被试验一次或多次，以确保结果的准确性。
5.收集数据：按照实验方案进行实验，并记录各实验条件下的响应变量值。
6.分析数据：对收集到的数据进行分析，探索各因素与响应变量之间的关系。
可以采用回归分析、方差分析等方法进行数据分析。
7.优化条件：根据数据分析结果，选择最优的实验条件进行进一步优化。
这可能涉及对实验方案进行调整或重复试验。
8.验证和确认：对优化后的条件进行验证和确认，以证明其在实践中具有可行性和有效性。
9.总结和报告：整理实验过程和结果，编写详细的实验报告，总
结实验的经验和教训，并提出改进意见和建议。
以上步骤是一个典型的均匀设计过程的基本流程。
具体的实施过程中，可以根据实际需求和条件进行调整和优化。
单因素6水平均匀设计
单因素6水平均匀设计
单因素6水平均匀设计是一种实验设计方法，用于研究一个因素对结果变量的影响。
在该设计中，将一个因素分为6个水平，每个水平都有相同数量的观测值。
以下是单因素6水平均匀设计的步骤：
确定因素和水平：首先确定要研究的因素，并将其分为6个水平。
确保每个水平的差异程度相对均匀，并且能够涵盖因素的全部范围。
确定观测值数量：确定每个水平的观测值数量，这些观测值数量应该相等。
通常情况下，观测值的数量越多，实验结果的可靠性越高。
随机化实验次序：为了消除实验中其他可能的干扰因素，需要随机化实验次序。
这样可以减小实验结果的偏差，并增加实验结果的可靠性。
进行实验并记录数据：按照随机化的实验次序，进行实验并记录结果变量的数据。
确保在每个水平上的观测值都得到准确记录。
数据分析：
对实验结果进行数据分析，可以使用统计方法，如方差分析。
通过分析结果，可以确定因素对结果变量的影响是否显著。
结果解释和推论：
根据数据分析的结果，解释因素对结果变量的影响，并进行推论。
根据推论，可以对因素的不同水平进行比较，并得出结论。
单因素6水平均匀设计的优点是简单易行，容易分析和解释结果。
然而，它也
有一些限制，如无法分析因素与其他因素的交互作用。
因此，在实际应用中，需要根据具体的研究目的和需求来选择合适的实验设计方法。
均匀设计和均匀设计软件
均匀设计表U9*(94)和它的使用表
均匀设计表 U9*(94) U 9*(94)的使用表
均匀设计表的使用表的产生方法
均匀设计表U13 *(134 ) 和它的使用表及3 因素时各次试验2 7 12
3
4
S 2 3 4 试验次数序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 1 1 3 3 2 因素 1选用水平 1 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
o § § § §
正交试验设计利用： 均衡分散：试验点在试验范围内排列规律整齐 整齐可比：试验点在试验范围内散布均匀 可以进行部分试验而得到基本上反映全面情 况的试验结果 但是， 当试验中 因素数或水平数比 较大时，正交试验的次数也 会很大。如 5因素 5水平， 用正交表需要安 排 5× 5＝ 25次试验。这时，可以选用均匀设计法，仅用 5次试验 就可能 得到能满足需要 的结果
9 9 3 10 10 8 11 11 13 12 12 13 13 4 9
y = b0 + b1 x1 + b2 x2 + L + bm xm
试验结果分析
^
(8 − 1)
令 xik 代表因素xi 在第 k次 试验时取的 值，y k 表 示响 应值 y在第k次 试验的结果。
n _ _ Lij = ∑ xik − x i xik − x j i , j = 1,2,L , m k =1
列 号
D 0.0962 4 3 4 0.1442 0.2076 因素3选用水平 11 8 5 2 13 10 7 4 1 12 9 6 3
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
8. 均匀试验设计表
二、均匀设计试验结果的分析
1、直观分析 2、回归分析
实例：某酒厂在生产啤酒过程中，选择 底水（X1）和吸氨时间（X2）进行一比 较试验，两因素均选9个水平，试验考核 的指标为吸氨量（Y）。
试验因素水平为：
因素
水平
底水（X1） 136.5 （g）
吸氨时间（X2） 170
（min）
137.0
说明：王元、方开泰的研究表明，由于均匀 设计表列间的相关性，用Un（mk）最多可 以安排（k/2）+1个因素。这里（k/2）取 整，如(5.8)则取5。
U5（54）最多可安排3个因素，最大4个因素。 U6（66）最多可安排4个因素，最大6个因素。 U7（76）最多可安排4个因素，最大6个因素。 U8（86）最多可安排4个因素，最大6个因素。 U9（96）最多可安排4个因素，最大6个因素。 U10（1010）最多可安排6个因素，最大10个因素。
180
137.5
190
138.0
200
138.5
210
139.0
220
139.5
230
140.0
240
140.5
250
选择U9（96）均匀设计表 同时根据U9（96）设计使用表可将两因
素分别安排在第一列、第三列。试验方 案及结果见下表：
因素 列号 试验号
1 2 3 4 5 6 7 8 9
X1（底水）
3
3 6 9 1 4 7 10 2 5 8
4
4 8 1 5 9 2 6 10 3 7
5
5 10 4 9 3 8 2 7 1 6
6
6 1 7 2 8 3 9 4 10 5
7
7 3 10 6 2 9 5 1 8 4
均匀实验设计
均匀试验设计均匀设计均匀设计(uniform design)是中国数学家方开泰和王元于1978年首先提出来的，它是一种只考虑试验点在试验范围内均匀散布的一种试验设计方法。
与正交试验设计类似、均匀设计也是通过一套精心设计的均匀表来安排试验的。
由于均匀设计只考虑试验点的“均匀散布”，而不考虑“整齐可比”，因而可以大大减少试验次数，这是它与正交设计的最大不同之处。
例如，在因素数为5，各因素水平数为31的试验中，若采用正交设计来安排试验，则至少要作312 =961次试验，这将令人望而生畏，难以实施，但是若采用均匀设计，则只需作31次试验。
可见，均匀设计在试验因素变化范围较大，需要取较多水平时，可以极大地减少试验次数。
经过20多年的发展和推广，均匀设计法已广泛应用于化工、医药、生物、食品、军事工程、电子、社会经济等诸多领域，并取得了显著的经济和社会效益。
1. 均匀设计表1.1 等水平均匀设计表均匀设计表，简称均匀表，是均匀设计的基础，与正交表类似，每一个均匀设计表都有一个代号，等水平均匀设计表可用U n ( r l)或U n* (r l)表示，其中，U为均匀表代号；n为均匀表横行数(需要做的试验次数)；r为因素水平数，与n相等；l为均匀表纵列数。
代号U右上角加“*”和不加“*”代表两种不同的均匀设计表，通常加“*”的均匀设计表有更好的均匀性，应优先选用。
表1-1、表1-3分别为均匀表U7 (74)与U7* (74)，可以看出，U7 ( 74)和U7*(74)都有7行4列，每个因素都有7个水平，但在选用时应首选U7*(74 )。
表1-1 U7 (74)表1-2 U7 (74)的使用表表1-3 U7* (74)表1-4 U7* (74)的使用表每个均匀设计表都附有一个使用表，根据使用表可将因素安排在适当的列中。
例如，表1-2是U7 ( 74)的使用表，由该表可知，两个因素时，应选用1，3两列来安排试验；当有三个因素时，应选用1,2,3三列，……。
《均匀设计法》课件
均匀设计法的应用领域
化学与制药
用于寻找最佳反应条件 和优化化学合成路径。
生物与医学
用于研究生物体内各种 因素之间的相互作用和
最佳条件。
工程与制造
用于优化产品设计、工 艺参数和制造流程。
经济与社会
用于研究市场、消费者 行为和社会现象等复杂 系统的最佳策略和条件
。
均匀设计法的优势与局限性
高效性
通过减少实验次数提高效率，降 低实验成本。
代表性
选择的实验点应具有代表 性，能够反映实验范围内 的各种情况和变化趋势。
可行性
实验设计方案应具有实际 可行性，考虑到实验条件 、资源、时间等因素的限 制。
均匀设计法的实施步骤
确定因素和水平
选择影响实验结果的主要因素 ，并确定每个因素的取值范围 和水平。
实施实验
按照实验设计表进行实验，记 录实验数据和结果。
需要保证实验条件的一致性和稳定性 ，以确保实验结果的准确性和可靠性 。
需要建立准确的数学模型来描述实验 结果，并对模型精度有较高要求。
02
均匀设计法的基本原理
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
均匀设计法的数学基础
线性代数
均匀设计法涉及到线性代数中的 矩阵和向量运算，用于描述实验 设计中的各种关系和约束条件。
均匀设计法与拉丁方设计的比较
拉丁方设计是一种用于排列试验的方阵，而均匀设计法更注重试验点在参数空间中的均匀分布。
均匀设计法在交叉学科领域的应用探索
均匀设计法在生物医学领域的应用
在生物医学研究中，通过均匀设计法可以更有效地设计和实施实验，以探究不同因素对 生物系统的影响。
均匀设计法在环境科学领域的应用
均匀设计
4
均匀设计表 U*7（74） 实验号 1 2 3 4 5 6 7 1 1 2 3 4 5 6 7 2 3 6 1 4 7 2 5 3 5 2 7 4 1 6 3 4 7 6 5 4 3 2 1
均匀设计表 U*7（74）的使用表 因素个数 2 3 列号 1，3 2，3，4 D 0.1582 0.2132
希望实验次数尽可能的少，问如何安排实验？
根据因素和水平，选取均匀设计表U*7(74)或 U7(74) 由它们的使用表中可以查到，当因素数为3时， 两个表的偏差分别为0.2132和0.3721，故应当选 用U*7(74)来安排该试验 根据U*7(74)表的使用表，将A、B、C三个因素 分别安排在该表的2、3、4列
Y3
18.33 22.62 32.87 37.87 33.75 31.18 40.80 43.79 25.05 50.54 59.69 67.12 33.70 30.66 67.04 56.52 78.48
某实验考察四个因素对农作物产量的影响， 四个因素中包含两个定量因素X1、X2和两 个定性因素A、B，希望尽可能的较少实验 次数，问如何安排实验
适用于原因变量取值范围大，水平多（一般不少 于5）的场合 主要用于全部因素为定量因素的实验研究场合
通常是对所研究的问题中诸因素及其交互作用的 重要性一概不知的大规模（或每做一次实验，费 用十分昂贵的）实验研究的场合，通过此设计进 行因素筛选 当因素和水平的数目缩小后，再改用正交设计或 析因设计，作详细研究
今欲考虑这些金属含量（包括它们的交互作用） 对老鼠寿命的影响，观测指标为老鼠身上某种细 胞的死亡率
由于U*17(175)只有5列，最多能安排五个因素，故 选择U17(178)均匀表
均匀设计方法简介
均匀设计方法简介在工农业生产和科学研究中，常须做试验，以获得予期目的：改进生产工艺，提高产品收率或质量，合成出某化合物等等。
怎样做试验，是大有学问的。
本世纪30年代，费歇（R.A.Fisher）在试验设计和统计分析方面做了一系列先驱工作，使试验设计成为统计科学的一个分支。
今天，试验设计理论更完善，试验设计应用更广泛。
本节着重介绍均匀设计方法。
一、试验设计对于一项试验，例如用微波加热法通过离子交换制备Cu13X分子筛。
我们可以13X分子筛、CuCl2为原料来制备，为寻找最佳条件，应如何设计这个试验呢？若我们已确定了微波加热功率（A）、交换时间（B）、交换液摩尔浓度（C）为三个影响因素，每个因素取五个不同值（即水平：A1，…，A5，B1，…，B5，C1，…，C5）。
有两种方法最易想到：1．全面试验：将每个因素的不同水平组合做同样数目的试验。
对上述示例，不计重复试验，共需做5×5×5=125次试验。
2．多次单因素试验：依次考查各因素（考查某因素时，其它因素固定）取最佳值。
容易知道，对上示例（不计重复试验）共需做3×5=15次试验。
该法在工程和科学试验中常被人们采用，可当考查的因素间有交互作用时，该法所得结论一般不真。
3．正交设计法：利用正交表来安排试验。
本世纪60年代，日本统计学家田口玄一将试验设计中应用最广的正交设计表格化，使正交试验设计得到更广泛的使用。
70年代以来，我国许多统计学家深入工厂、科研单位，与广大工程技术人员、工人一起，广泛开展正交设计的研究、应用，取得了大批成果。
该法是目前最流行，效果相当好的方法。
正交表记为：L n(q m)，这里“L”表示正交表，“n”表总共要做的试验次数，“q”表每个因素都有q个水平，“m”表该表有4列，最多可安排m个因素。
常用的二水平正交表为L4(23)，L8(27)，L16(215)，L32(231)；三水平正交表有L9(34)，L27(313)；四水平正交表L16(45)及五水平正交表L25(56)等。
均匀设计
7.2.3 使用均匀设计表
* 偏差D可对任一均匀设计表 U n 或 U n 中任意二列、任 意三列、…进行计算，从中选出使D达到最小的列作为使 用列，从而形成使用表。
如下表就是 U 7 (76 ) 的使用表，s表示因子数。 均匀设计表 U 7 (76 ) 的使用表
若从中选出5列使用，就会使偏差D过大，故建议不使 用，把使用表中不出现的列剔去，并重新编号，可以得到 U 7 (7 4 ) 及其使用表。
i 2n ，i 1,2, , n
Un(n m)中n个试验点变换成C m=[0，1]m中的n个点。 考虑Un(n m)中n个试验点的均匀性等价于考虑在 [0，1]m中 的均匀性。
2019/1/11 10
（3）设
是[0，1]m中任一点，则
为多维矩形的体积，且 0 V ( x) 1 。 （4）记 nx 为n个点 x1 , x2 ,, xn 落在多维矩形的个数， 则 n x / n 表示有多少比例的点落在矩形中。 若此n个点在[0，1]m中均匀散布，则 n x / n 与该多维 矩形的体积 相差不大。 （5）设 x1 , x2 ,, xn 是[0，1]m中的n个点，则称
2019/1/11 1
王元
方开泰
中国科学院数学研究所 中国科学院院士
中国科学院应用数学研究所 北京师范大学－ 香港浸会大学联合国际学院 美国数理统计科学院终身院士 美国统计学会终身院士
2
2019/1/11
§7.1 均匀设计表
7.1.1 均匀设计概述
例7.1 为了研究环境污染对人体的危害，考察六种重
金属Cd、Cu、Zn、Ni、Cr、Pb对老鼠寿命的影响，考察 老鼠体内某种细胞的死亡率。将每一种重金属看成一个
均匀设计
组成员：
主要内容
均匀设计的概念、特点、原理
均匀设计的具体应用方法
1 什么是均匀设计
1.1 均匀设计的概念
均匀设计(Uniform Design)是一种试验设计
方法(Experimental Design Method),称为均 匀设计(Uniform Design)或均匀设计试验法 (Uniform Design Experimentation)。它可 以用较少的试验次数，安排多因素、多水平 的析因试 验，是在均匀性的度量下最好的析 因试验设计方法。
3.3.2 设计表的选择 选择均匀设计表需要注意以下几点： (1) 要满足试验次数的要求：即确定Un表n的 问题；
(2) 表的列数要满足试验因素数的要求；即确
定Un表s的问题；
3.3.3 回归模型建立
回归模型可分为线性回归模型和非线性模型 等。 3.3.3.1 线性回归模型 分为一元线性回归模型和多元线性回归模型。 (1) 一元线性回归模型 模型为 y=a+bx,线性相关的程度常用相关系 数来衡量，在某一显著性水平α下，当相关系数 的绝对值大于相关系数临界值时才可以认为x和y 有线性相关关系。
3.3 具体问题的解决方法
试验次型优化
试验参数优化 使用均匀设计时需要注意的其它问题
例1 某猪场研究30-
50kg育肥猪的饲料配方 时，研究蛋白质、消化 能和粗纤维三个因素的 不同水平对该阶段猪增 重的影响，具体因素与 水平如表：
3.1 试验设计的共性问题（续1）
（1） 因素的含义：在一个试验过程中，影响试验指 标的因素通常是很多的，通常固定的试验因素在试验 方案中并不称为因素，只有变化的因素才称为因素； （2） 关于因素数量：在一项试验中，因素不宜选得 太多(如超过10个)，那样可能会造成主次不分；相反 地，因素也不宜选得太少（如只选定一、二个因素）， 这样可能会遗漏重要的因素，或遗漏因素间的交互作 用，使试验的结果达不到预期的目的；
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(4) 用试验的指标值和取得该指标值的 各因素水平值，建立试验指标与各因素 水平关系的回归模型；
(5) 利用回归模型寻找最佳的各因素水 平组合，并进行该组合的验证试验； (6) 从步骤２开始重复进行各因素水平 范围缩小试验，进一步寻找最优试验条 件组合。
均匀设计表任两列组成的试验方案一般并不 等价。
如用U6(64)的1，3 和1，4列分别画图，得到下面 的图(a)和图(b)。可以看到(a)的点散布比较均匀， 而(b)的点散布并不均匀。 均匀设计表的这一性质和正交表有很大的不同. 因此，每个均匀设计表必须有一个附加的使用表, 根据U6(64)的使用表,2因素的试验应排1，3 列。
1.2 均匀设计的特点
1）均匀设计具有试验设计方法的共性及本质
内容，从少量试验结果中获取带规律性的结 果,也可进行回归分析。
2）试验点具有充分均衡分散的特点 正交设计是根据正交性来挑选代表点的， 为了估计各因素的主效应和部分交互效应， 试验点的数目较多。
如用正交表安排每因素为q个水平数的多因素 试验,试验的次数为rq2,r为自然数。
15
2.3 混合型水平的均匀设计
• 试验中各因素的水平数不同，
• 比如，其水平数分别为q1，…，qk。这时 应使用混合型的均匀设计表。
“方开泰,均匀设计与均匀设计表,科学出版(1994).”
16
混合水平表的代号，含义为：
均匀设计
定量因素 的最大数
Un(q ×
1
… × q )
k
试验次数
各定量因素 之水平数
U11(116)的使用表
6
S 列 号 D
2
2 4 6 8 10 1 3 5 7 9 11
3
3 6 9 1 4 7 10 2 5 8 11
4
5 10 4 9 3 8 2 7 1 6 11
5
7 3 10 6 2 9 5 1 8 4 11
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 11
2
3 4 5 6
1
1 1 1 1
用方程的离回归标准误判断模型的好坏，另外， 还要根据专业知识判断。
以上是对均匀设计原理和应用方法等 的简单介绍，只要按着这样的一条线索记 忆就可以了：表的含义→安排试验→回归 建模→参数寻优→继续试验→最优条件。 利用均匀设计方法进行回归模型建立 及其参数寻优还需要专门的计算机软件支 持，有关的内容不作介绍了。
下表是一个混合水平均匀设计表:
17
它的试验数 ｎ为 12。
可以安排水 平数为６、 ４、３的因 素各一个。
U12(624)
它的试验数 ｎ为 12。 可以安排一 个6水平因素 和二个4水平 因素的设计。
18
3 均匀设计的基本步骤
均匀设计一般分以下6个步骤：
(1) 确定试验指标、因素、水平数和水平范围；
U6(64)
试验号 1 2 3 4 5 6
列号 1 1 2 3 4 5 6 2 2 4 6 1 3 5 3 3 6 2 5 1 4 4 6 5 4 3 2 1
每个均匀设计表都附有一个使用表，指 示我们如何从设计表中选用适当的列。 下表是U6(64)的使用表。它告诉我们， 若有两个因素，应选用1，3两列来安 排试验。
2 均匀设计表
2.1 均匀设计表和使用表各部分的含义 2.2 等水平均匀设计表 2.3 混合水平均匀设计表
2.1 均匀设计表及各部分含义
均匀设计是通过均匀设计表来进行设计的。其表的含义:
均匀设计
因素的最大数(列数)
Un
试验次数
s) (q
水平数
7
如U6(64)表示要做6次试验，每个因素有6个 水平，该表有4列。
4.2 模型好坏的判断标准问题
Ｆ检验给出的显著性与否是判断回归模型是否有 效的重要依据，如在复相关系数或相关系数上，R2 数 值越大越好, 但模型的好坏，在数理统计中还有误差自由度 和离回归标准误进行判断。 模型一般应保持误差自由度≥5，前面有 “试 验次数选为因素数的３倍左右为宜” 观点就在于此。
5
4 3 2 2 5 4 3 3 5 4 4 5 5 6
0.16942
2.2 等水平均匀设计表
均匀设计有其独特的试验布点方式：
每个因素的每个水平做一次且仅做一次试验 任两个因素的试验点在平面的格子点上，每 行每列有且仅有一个试验点
以上两个性质反映了均匀设计试验安排的“均 衡性”，即对各因素的每个水平一视同仁。
s
U9*(94)的使用表
列 号 D
2
3
1
2
2
3 4
0.1574
0.1980
• 有时出现加“*”与不加 “*”的同类型均匀设计表， 通常优先使用加“*”的均 匀设计表。
均匀设计表U11(116)和它的使用表
均匀设计表 U11(116)
1
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11
第六章 均匀设计
Uniform Design
1 均匀设计的概念与特点 2 均匀设计表 3 均匀设计的基本步骤
4 均匀设计应注意的问题
1 均匀设计的概念和特点
1.1 均匀设计的概念
均匀设计是由中国数学家方开泰教授和王元教授 在1978年共同提出，是数论方法中的“维蒙特卡罗 方法”的一个应用，已得到国际上广泛承认。 只考虑试验点在试验范围内均匀分布的一种试验 设计方法。 它适用于多因素、多水平的试验设计，是部分实 施的试验设计。 试验次数等于因素的水平数,比正交设计更能减少 试验次数。
3）只考虑试验点在试验范围内充分 “均匀分布”，而不考虑“均衡可比” 或“正交性”。
其试验点的均匀性比正交设计的均匀 性更好，更具有代表性。 由于该法不再考虑 “均衡可比”而设 置处理，因而大大减少了试验次数。 这是它与正交试验设计法的最大不同
4）每个因素的各个水平仅做一次试验。
当水平数增加时，试验数随水平数增加而 增加。若采用正交设计，试验数则随水平数的 平方数而增加。 如5因素31水平的试验，用正交设计需做 961次，采用均匀设计只需做31次试验。 均匀设计也可采用线性回归或多项式回归 分析。根据因素偏回归平方和的大小确定该因 素对回归的重要性。
• 思考题：
• 正交设计和均匀设计各有什么特点？正 交试验设计的基本步骤有哪些？
• 有一组实验数据，用最小二乘法原理可 配置成一元线性回归方程和一元指数回 归方程，如何判断哪个方程更拟合实验 数据？
4 需要注意的问题
• • • • • 试验次数问题 设计表的选择 回归模型建立 回归模型优化 试验参数优化
4.1 试验次数问题
均匀设计的最大特点是试验次数等于 因素的最大水平数 试验次数与被考察的因素的个数有关， 建议试验次数选为因素数的３倍左右为 宜， 这样选择的均匀设计表的均匀性好， 也有利于以后的建模和优化。
最后1列D 表示刻划均匀度的偏差 (discrepancy)，偏差值越小，表示均 匀度越好。
U6(64)的使用表
因素数 2 3 4 1 1 1 列 3 2 2 号 3 3 D 0.1875 0.2656 0.2990
4
均匀设计表U9*(94)和它的使用表
均匀设计表U9*(94)
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 9 2 5 8 1 4 7 3 7 6 1 8 5 2 9 6 3 4 9 8 7 6 5 4 3 2 1