“Abc猜想”简捷证明(完整版)

证明：对于等式 a+b＝c，a 和 b 以及 c 均为正整数，且 a 和 b 互质。 （i）我们假设 c=2v·pk，a=qh，p 和 q 均为奇素数（p≠q），且 2v·pk＞qh， 其中 k≥1，h≥1，v≥1，那么 b=2v·pk-qh。显然 a 和 b 互质。
我们假定 b 为奇素数，也就是 2v·pk-qh 为奇素数，又假定对于任何ε＞0, 存在常数 kε＞0，有 kεrad[qh·（2v·pk-qh）·2v·pk]1+ε＞2v·pk 成立。即就是 k ε·[q·（2v·pk-qh）·2·p]1+ε＞2v·pk 成立。
由此可知，在满足（2v·pk-qh）＞0 的前提下，不管（2v·pk·n-qh）为奇素
数还是奇合数，我们都把它看作奇素数来分析探讨，说明按照这样拓展开来的情 形下，对于等式 a+bi＝cj，a 和 bi 以及 cj 均为正整数，且 a 和 bi 互质，cj=2v·pk·n， a=qh，bi=（2v·pk·n-qh）。确实存在常数 kε＞0，对于任何ε＞0,有不等式 kε rad[qh·（2v·pk·n-qh）·2v·pk·n]1+ε＞2v·pk·n 成立。
在常数 kε＞0，并对于任何三个满足 a+b＝c 以及 a 和 b 互质的正整数 a，b，c。 有：c＜kεrad(abc)1+ε,rad(abc)表示(abc)中质因数的积。[1]如：rad(36)=rad(2 ×2×3×3)=2×3=6。
“abc 猜想”证明
定理 1:任何三个满足 a+b＝c 以及 a 和 b 互质的正整数 a，b，c。对于任何 ε＞0,存在常数 kε＞0，有：c＜kεrad(abc)1+ε。
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以 d1·rad（n）＞g1=n。所以不等式 kε·[q·（2v·pk·n-qh）·2·p·rad（n）]1+ ε＞2v·pk·n 仍成立。即不等式 kεrad[qh·（2v·pk·n-qh）·2v·pk·n]1+ε＞2v·pk·n 成立。
即或是奇数（2v·pk·n-qh）为奇合数，在奇数（2v·pk·n-qh）为奇合数的 情形下，即或有[q·rad（2v·pk·n-qh）·2·p·rad（n）]＜[q·（2v·pk·n-qh）·2·p·rad （n） ]，因为[q·（2v·pk·n-qh）·2·p·rad（n） ]为有限正整数，所以我 们总可以把[q·rad（2v·pk·n-qh）·2·p·rad（n） ]乘以某个有限的正整数 M，对于任何ε＞0,使得 M·[q·rad（2v·pk·n-qh）·2·p·rad（n） ]1+ε≧ [q·（2v·pk·n-qh）·2·p·rad（n）]。因为不等式 kε[q·（2v·pk·n-qh）·2·p·rad （n） ]＞2v·pk·n 仍然成立，说明在奇数（2v·pk·n-qh）为奇合数的情形下， 不等式 kε·M·[q·rad（2v·pk·n-qh）·2·p·rad（n） ]1+ε＞2v·pk·n 也成 立。
下面我们就以 kεrad[qh·（2v·pk-qh）·2v·pk]1+ε＞2v·pk 成立为基础，拓 展开来进行分析讨论：
（1）对于不等式 kεrad[qh·（2v·pk-qh）·2v·pk]1+ε＞2v·pk，我们令 c1=2v·pk·n， n 为奇数，数值 a=qh 不变，那么 b1=2v·pk·n-qh；因为要求 a 和 b1 互质，所以 n 中不能含有奇素数因子 q。那么我们总可以创设这样的情形，也就是奇数 n 为这 样的奇数，使得（2v·pk·n-qh）总为奇素数。因为不等式 kε·[q·（2v·pk-qh）·2·p]1+ ε＞2v·pk 中左边数值[q·2·p]不变，右边数值 2v·pk 不变。我们令 d1=（2v·pk·n-qh） ÷（（2v·pk-qh），g1=（2v·pk·n）÷（2v·pk），然而（2v·pk·n-qh）÷（2v·pk-qh） ＞ （ 2v · pk · n ） ÷ （ 2v · pk ） ， 那 么 d1 ＞ g1=n ， 其 实 这 就 相 当 于 不 等 式 k ε·[q·（2v·pk-qh）·2·p]1+ε＞2v·pk 的左边乘上数值 d1·rad（n），不等式 kε·[q·（2v·pk-qh）·2·p]1+ε＞2v·pk 的右边乘上数值 g1；因为 d1＞g1=n，所
“abc 猜想”简捷证明
王若仲 （王洪）
Байду номын сангаас贵州省务川自治县实验学校
贵州 564300
摘要：“abc 猜想”最先由英国数学家大卫·马瑟（DavidMasser)和法国数学家乔瑟夫·奥 斯达利（JosephOesterlé）于 1985 年彼此独立提出。它说明对于任何ε＞0,存在常数 kε ＞0，并对于任何三个满足 a+b＝c 以及 a 和 b 互质的正整数 a，b，c。有：c＜kεrad(abc)1+ ε,rad(abc)表示(a·b·c)中无重复质因数的积。“abc 猜想”有一种更为简捷的证明方法， 这种证明方法很直接，易懂明了。
关键词：abc 猜想；奇数；奇质数；质因数 中图分类号：0156
引言
“abc 猜想”最先由英国数学家大卫·马瑟（David Masser）及法国数学家
乔瑟夫·奥斯达利（Joseph Oesterlé）在 1985 年提出，一直未能被证明。其名
字来自把猜想中涉及的三个数字称为 a，b，c 的做法。它说明对于任何ε＞0,存
（2）对于不等式 kεrad[qh·（2v·pk-qh）·2v·pk]1+ε＞2v·pk，我们令 c2=2v·pk·n， a2=qh·m，n 和 m 均为奇数，那么 b2=2v·pk·n-qh·m；因为要求 a2 和 b2 互质，所 以 n 和 m 互质。
当 n＞m 时，我们总可以创设这样的情形，也就是奇数 n 和奇数 m 为这样的 奇数，使得（2v·pk·n-qh·m）总为奇素数。因为不等式 kε·[q·（2v·pk-qh）·2·p]1+ ε＞2v·pk 中左边数值[q·2·p]不变，右边数值 2v·pk 不变。我们令 d2=（2v·pk·n-qh·m） ÷（（2v·pk-qh），g2=（2v·pk·n）÷（2v·pk），然而（2v·pk·n-qh·m）÷ （2v·pk-qh）＞（2v·pk·n）÷（2v·pk），那么 d2＞g2=n，其实这就相当于不等 式 kε·[q·（2v·pk-qh）·2·p]1+ε＞2v·pk 的左边乘上数值 d2·rad（nm），不 等式 kε·[q·（2v·pk-qh）·2·p]1+ε＞2v·pk 的右边乘上数值 g2；因为 d2＞g2=n， 所以 d2·rad（nm）＞g2=n。所以不等式 kε·[q·rad（m）·（2v·pk·n-qh·m）·2·p·rad （n）]1+ε＞2v·pk·n 仍成立。即不等式 kεrad[qh·m·（2v·pk·n-qh·m）·2v·pk·n]1+ ε＞2v·pk·n 成立。