江苏省南京师范大学附属中学2020-2021学年度第一学期期中高一数学试题及答案
江苏省南京师大附中2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题(含解析)
江苏省南京师大附中2020-2021学年高一第一学期期中考试数学试题一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,请把答案直接填写在答题卡相应位置上1.已知全集{}1,0,1,2U =−, {} 1,1A =−,则集合U A =( ) A .{0,2} B .{}1,0− C .{0,1}D .{1,2} 2.“1x =”是“2540x x −+=”的( )A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件 3.命题“x ∃∈R ,210x x −−>”的否定是( ).A .x ∃∈R , 210x x −−<B .x ∃∈R ,210x x −−≤C .x ∀∈R ,210x x −−≤D .x ∀∈R ,2 10x x −−>4.已知223x x −+=,则1x x −+的值为( ).AB .1 C. D .1±5.函数22),0,03(1x x x f x x x⎧−≤≤⎪=⎨<⎪⎩的值域为( ). A .[]3,1− B .(0),−∞ C .(1),−∞ D . (1],−∞6.下列四组函数中,()f x 与 ()g x (或 ()g t )表示同一个函数的是( )A.()f x = ()g x x = B.()f x =2()g t = C .22()1x x f x x +−=− ()2g x x =+ D . ()f x x =()g t =7.已知实数0a >,0b >,且1111a b +=+,则2a b +的最小值为( ) A.3+ B.1 C .4 D.32 8.函数32()1x f x x =−的图像大致为( )A .B .C .D .二、多项选择题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.设集合{}220A x x x =−=,则下列表述不正确的是( ).A .{}0A ∈B .2A ∉C .{}2A ∈D . 0A ∈ 10.下列四个条件中,能成为 x y >的充分不必要条件的是( )A .22xt yt >B .xt yt >C .x y >D .110x y<< 11.下列命题中是真命题的有( ).A .若函数()f x 在(0],−∞和(0,)+∞上都单调递增,则()f x 在R 上单调递增;B .狄利克雷函数1,()0,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数在任意一个区间都不单调; C .若函数 ()f x 是奇函数,则一定有 (0)0f =;D .若函数 ()f x 是偶函数,则可能有 (0)0f =; 12.已知 1a >, 1b >,且()1ab a b −+=,那么下列结论正确的有( ).A .a b +有最大值2B .a b +有最小值2 C .ab1 D .ab有最小值3三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把答案直接填写在答题卡相应位置上13.已知0,0()1,032,0x f x x x x >⎧⎪=−=⎨⎪−<⎩,则 ()()()6f f f = .14.已知函数53()7c f x ax bx x=+++, 3( 5)f −= ,则 ()3f = . 15.某水果店申报网上销售水果价格如下:梨子60元/盒,桔子65元/盒,水蜜桃80元/盒,荔枝90元/盒,为增加销量,店主对这四种水果进行促销:一次性购买水果总价达到120元,顾客就少付x 元, 每笔订单顾客网上支付成功后,店主会得到支付的80%.①10x =时,顾客一次性购买梨子、水蜜桃各一盒,需要支付 .元;②在促销活动中,为保证店主每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折(即70%),则x 的最大值是 .16.()f x 为定义在R 上的偶函数,2()()2g x f x x =−在区间[0,)+∞上是增函数,则不等式() 1246()f x f x x +−+>−−的解集为 .三、解答题:本大题共6小题,共70分,请把答案填写在答题卡相应位置上.17.已知a ,b 均为正数,证明:22a b a b b a+≥+. 18.计算:(1)12ln 249e −⎛⎫++ ⎪⎝⎭(2)()223lg2lg5lg20log 3log 4+⋅+⋅.19.已知二次函数 ()f x 的值域为[)4,−+∞,且不等式0( )f x <的解集为()1,3−.(1)求()f x 的解析式;(2)若对于任意的[2,2]x ∈−,都有 2() f x x m >+恒成立,求实数m 的取值范围.20.某小区为了扩大绿化面积,规划沿着围墙(足够长)边画出一块面积为100平方米的矩形区域ABCD 修建花圃,规定ABCD 的每条边长不超过20米.如图所示,要求矩形区域 EFGH 用来种花,且点A ,B ,E ,F 四点共线,阴影部分为1米宽的种草区域.设AB x =米,种花区域EFGH 的面积为 S 平方米. (1)将S 表示为x 的函数;(2)求 S 的最大值.21.已知集合{A y y ==,集合{}220B x x x a a =−+−<. (1)若A B A ⋃=,求a 的取值范围;(2)在A B ⋂中有且仅有两个整数,求a 的取值范围.22.设()a f x x x=+(0x >,a 为大于0的常数) (1)若 ()f x 的最小值为4,求a 的值;(2)用定义证明:()f x 在)+∞上是增函数; (3)在(1)的条件下,当1x >时,都有恒成立,求实数m 的取值范围.江苏省南京师大附中2020-2021学年高一第一学期期中考试数学试题参考答案1.【答案】A ;【解析】由补集定义知选A .2.【答案】B ;【解析】因为{}1是{}2540x x x −+=的真子集,所以“1x =”是“2540x x −+=”的充分不必要条件.3.【答案】C ;【解析】存在量词命题的否定,需要把存在量词改成全称量词,并否定后面的结论,故选C .4.【答案】C ;【解析】由()212225x xx x −−+=++=,知1x x −+=,故选C .5.【答案】D ; 【解析】当 0x <时,1()f x x=单调递减,范围为(0),−∞,当03x ≤≤时,2()2f x x x =−在[0,1]上单调递增,在[1,3]上单调递减,范围是[]3,1−,所以函数值域为(1],−∞,故选D .6.【答案】D ;【解析】A 选项,() f x x =,故错误;B 选项,定义域不同,故错误;C 选项,定义域不同,故错误;D 选项,是同一函数,故选D .7.【答案】B ;【解析】22(1)2a b a b +=++−=()112121a b a b ⎛⎫+++−=⎡⎤ ⎪⎣⎦+⎝⎭()21311b a a b +++≥+,当且仅当1a =且2b =时等号成立,故选B . 8.【答案】A ; 【解析】 ()f x 定义域为(,1)(1,1)(1,)−∞−⋃−⋃+∞,是奇函数,当x →+∞时,()f x →+∞,故选A .9.【答案】ABC ;【解析】{}0,2A =,故选 ABC . 10.【答案】ACD ;【解析】A 选项,若22xt yt >,则20t ≠∣,则x y >,反之不成立,A 正确; B 选项,当0t <时,x y <,B 错误;C 选项,若x y >,由y y ≥,则x y >,反之不成立,C 正确;D 选项,1()f x x =在(0,)+∞单调递减,若110x y<<,则x y >,反之不成立,D 正确; 故选ACD .11.【答案】BD ; 【解析】A 选项,若(),0ln ,0x x f x x x ≤⎧=⎨>⎩是一个反例,A 错误; B 选项,在任意区间I 上总可以取1x ,2x Q ∈,使()()12f x f x =,则 ()f x 在I 上不单调,B 正确; C 选项,1()f x x=是一个反例,C 错误; D 选项,2()f x x =符合要求,D 正确;故选BD .12.【答案】BD ;【解析】法一:令a b s +=,ab t =,由题意可得2s >,1t >,1t s −=,由基本不等式s ≥,则1t −≥1t >可得2214t t t −+≥,则3t ≥+1a b ==取等;s ≥,由2s >可得2440s s −−≥,则2s ≥+,1a b ==取等; 故选BD ;法二:由()1ab a b −+=可得(1)(1)2a b −−=,令10m a =−>,10n b =−>,则222a b m n +=++≥+=+m n ==(1)(1)133ab m n mn m n m n =++=+++=++≥+,m n == 故选BD .13.【答案】-5【解析】()()()()()60(1)5f f f f f f ==−=−.14.【答案】9;【解析】(3)(3)7714f f +−=+=,所以(3)1459f =−=.15.【答案】130;15.【解析】①608010130+−=;②由题意可知,购买总价刚好为120元时,折扣比例最高,此时有0.8(120)0.7120x ⨯−≥⨯,解得15x ≤.16.【答案】3,2⎛⎫−∞− ⎪⎝⎭; 【解析】由()f x 为偶函数,可知()g x 也为偶函数,且在R 上先减再增, 由(1)(2)46f x f x x +−+>−−,可知22(1)2(1)(2)2(2)f x x f x x +−+>+−+,即(1)(2)g x g x +>+, 可知12x x +>+,解得32x <−. 17.【答案】详见解析. 【解析】法一:由基本不等式可得,222()a b b a a b b a +++≥=+ 当且仅当22a b b b a a==⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩,即a b =时取等, 则原式得证.法二:223322()a b a b a b a b b a b a ⎛⎫++=+− ⎪⎝⎭ 由0a >,0b >,可得0a b +>,30b a >,30a b>,0ab >,则2222222()2()a b a b a b a b ab a b b a ⎛⎫++≥++=++=+ ⎪⎝⎭, 由0a b +>可得22a b a b b a+≥+. 法三:()()()()()222222222a b a b a b a b a b a b b a a b b a b a ab ab−−−+−−+−+=+==, 由0a >,0b >可得()220a b a b b a +−+≥即22a b a b b a+≥+. 18.【答案】(1)32;(2)3. 【解析】(1)12l 2n 43322922e −⎛⎫++=+−= ⎪⎝⎭, (2)2223(lg2)lg5lg20log 3log 4(lg2lg5)23+⋅+⋅=++=.19.【答案】(1)2()23f x x x =−−;(2)7m <−【解析】(1)设2()f x ax bx c =++,由题意可知:(1)0(3)930(1)4f a b c f a b c f a b c −=−+==++==++=−⎧⎪⎨⎪⎩,解得123a b c ==−=−⎧⎪⎨⎪⎩,即2()23f x x x =−−;(2)243m x x <−−对[2,2]x ∈−恒成立,令2()43g x x x =−−,当[2,2]x ∈−,可知()[7,9]g x ∈−,故7m <−.20.【答案】(1)200102(520)S x x x=−−≤≤;(2)S的最大值为102− 【解析】(1)因为AB x =, 所以100AD x =,2EF x =−,1001FG x=−; 所以()10020021102S x x x x ⎛⎫=−−=−− ⎪⎝⎭因为020x <≤,100020x <≤,解得520x ≤≤,所以200102(520)S x x x =−−≤≤;(2)102102S ≤−=−x =所以S 的最大值为102−21.【答案】(1)01a ≤≤;(2)[1,0)(1,2]−⋃;【解析】(1)因为A B A ⋃=,所以B A ⊆,因为244x x −≤,所以[0,2]A =;集合B 的不等式可化为(1)()0x a x a +−−<,①B =∅,即0∆≤,解得12a =,符合; ②B ≠∅时,即12a ≠时,此时02a ≤≤,012a ≤−≤,解得01a ≤≤且12a ≠; 综上01a ≤≤;(2)集合A 中有三个整数0,1,2,{}()(1)0B x x a x a =−+−<; 由A B ⋂中有且仅有两个整数,可得B 中有0,1,2中的两个整数; 1a a <−即12a <时,(,1)B a a =−, 则B 中整数仅有有0,1或仅有1,2,若仅有0,1,则10a −≤<,112a <−≤,解得10a −≤<; 若仅有1,2,则01a ≤<,213a <−≤,无解;1a a =−即12a =时,B =∅,不满足题意; 1a a >−即12a >时,(1,)B a a =−, 则B 中整数仅有有0,1或仅有1,2,若仅有0,1,则110a −≤−<,12a <≤,解得12a <≤;若仅有1,2,则011a ≤−<,23a <≤,无解;综上,实数a 的取值范围是[1,0)(1,2]−⋃.。
江苏省南京师范大学附属中学2021届高三上学期期中考试数学试题(含解析)
南京师范大学附属中学2020-2021学年度第一学期高三期中考试数学试题注意事项∶1.考试时间∶120分钟,试卷满分150分。
2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置上。
3.请用0.5毫术黑色墨水的签字笔按题号在答题纸上指定区域内作答∶在其它位置作答一律无效;考试结束后,请将答题纸、卡交回。
一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共计40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的1.已知集合(){}{}214,,2,1,0,1,2A x x x B =-<∈=--R ,则A B =( )A. {}1,0,1,2-B. {}0,1,2C. {}0,1-D. {}1,22.设2i1iz +=-,则z 的虚部为( ) A.21 B. 21-C.23 D. 23-3.设,m n ∈R ,则“0mn <”是“抛物线20mx ny +=的焦点在y 轴正半轴上”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件4.设λ为实数,已知向量()()1,2,1,m n λ=-=.若m n ⊥,则向量2m n +与m 之间的夹角为( ) A.4πB.3π C.23π D.34π 5.春夏时期《管子·地缘篇》记载了著名的“三分损益法”:以“宫”为基本音,“宫”经过一次“损”,频率变为原来的32,得到“徵”;“徵”经过一次“益”,频率变为原来的34,得到“商”;…….依次损益交替变化,获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶.据此可推得( ) A. “宫、商、羽”的频率成等比数列 B. “宫、徵、商”的频率成等比数列 C. “商、羽、角”的频率成等比数列 D. “宫、商、角”的频率成等比数列6.若函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图像如图所示,则函数()f x 图像的一条对称轴是( ) A. 56x π=-B. 1112x π=-C. 1112x π=D. 116x π=7.函数()()2e 2x f x x x x =--∈R 的图像大致为( )8.设实数k ,已知函数()e ,01,1,1x x f x x x ⎧≤<=⎨-≥⎩若函数()f x k -在区间()0,+∞上有两个零点()1212,x x x x <,则()()211x x f x -的取值范围是( ).A. 21,e ⎡⎤⎣⎦B. )21,e ⎡⎣ C. )2e,e ⎡⎣ D. )22,e ⎡⎣二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分,部分选对得3分,不选或有错选的得0分.9.某人退休前后各类支出情况如下,已知退休前工资收入为8000元/月,退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少1500元,则下面说法正确的是( )A. 此人退休前每月储蓄支出2400元B. 此人退休后的旅行支出是退休前旅行支出的3倍C. 此人退休工资收入为6000元/月D. 此人退休后的其他支出比退休前的其他支出少10.在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点在圆22:20O x y +=上,圆O 与双曲线C 的渐近线在第一、二象限分别交于M 、N 两点,若点()0,3E 满足ME ON ⊥(O 为坐标原点),下列说法正确的有( )A. 双曲线C 的虚轴长为4B. 双曲线CC. 双曲线C 的一条渐近线方程为32y x =D. △OMN 的面积为811.在正方体1111ABCD A B C D -中,2AB =,E 、F 分别为1BB 、CD 中点,P 是棱1BC 上的动点,则下列说法正确的有( ) A. 1A F AE ⊥B. 三棱锥1P AED -的体积与点P 位置有关C. 平面1AED 截正方体1111ABCD A B C D -的截面面积为92D. 点1A 到平面1AED 的距离为212.已知函数()()2cos 4x f x x x ππ=+-∈R ,则下列说法正确的有( )A. 直线0y =为曲线()y f x =的一条切线;B. ()f x 的极值点个数为3;C. ()f x 的零点个数为4;D. 若()()()1212f x f x x x =≠,则120x x +=. 三、填空题13.二项式62x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为________. 14.已知α、β均为锐角,且()225sin ,cos 105ααβ=+=,则cos 2β=________. 15.设,a b 为实数,对于任意的2a ≥,关于x 的不等式e ax b x +≤(e 为自然对数的底数)在实数域R 上恒成立,则b 的取值范围为________.16.农历五月初五是端午节,民间有吃粽子的习惯,粽子又称粽籺,俗称“粽子”,古称“角黍”,是端午节大家都会品尝的食品,传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如的正三角形构成的,将它沿虚线折起来,可以得到如图所示粽子形状的六面体,则该六面体的体积为____;若该六面体内有一球,则该球表面积的最大值为____.四、简答题.17.在ABC △中,设内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知cos cos 4cos ,2b C c B A a +=-=. (1)求角A 的值;(2)若三角形ABC 的面积为3,求ABC △的周长. 18.已知函数()x f x a =(a 为常数,0a >且1a ≠)(1)在下列条件中选择一个条件____(仅填序号),使得依次条件可以推出数列{}n a 为等差数列,并说明理由;①数列(){}n f a 是首项为4,公比为2的等比数列; ①数列(){}n f a 是首项为4,公差为2的等差数列;①数列(){}n f a 是首项为4,公比为2的等比数列的前n 项和构成的数列;(2)在(1)的选择下,若()*12,2na b n ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭N ,求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n S .19.如图,在四棱锥1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 是菱形,111112AA A B AB ===,60ABC ∠=︒,1AA ⊥平面ABCD ,点E 是棱BC 上一点.(1)若E 时BC 中点,求证:平面1A DE ⊥平面11CC D D ;(2)即二面角1E AD D --的平面角为θ,且1cos 3θ=,求线段CE 的长.20.第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行,共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球MIKSA-V200W ,已知这种球的质量指标ξ(单位:g )服从正态分布()2270,5N .比赛赛制采取单循环方式,即每支球队进行11场比赛(采取5局3胜制),最后靠积分选出最后冠军.积分规则如下:比赛中以3①0或3①1取胜的球队积3分,负队积0分;而在比赛中以3①2取胜的球队积2分,负队积1分.已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队,设每局比赛中国队取胜的概率为()01p p <<.(1)如果比赛准备了1000个排球,估计质量指标在(260,265]内的排球个数(计算结果取整数).(2)第10轮比赛中,记中国队3①1取胜的概率为()f p . (①)求出()f p 的最大值点0p ;(①)若以0p 作为p 的值记第10轮比赛中,中国队所得积分为X ,求X 的分布列. 参考数据:()2~,N u ζσ,则()()0.6826,220.9644p X p X μσμσμσμσ-<<+≈-<<+≈. 21.设a 为实数,已知函数()()e e 12x x f x a a x -=++--. (1)当2a =时,求()f x 的单调区间;(2)当1a ≥时,若()f x 有两个不同的零点,求a 的取值范围.22.在平面直角坐标系xoy 中,已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12,以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大值为 (1)求,a b 的值;(2)当过点()6,0P 的动直线l 与椭圆C 交于不同的点,A B 时,在线段AB 上取点Q ,使得AP BQ AQ BP ⋅=⋅,问:点Q 是否总在某条定直线上?若是,求出该直线方程,若不是,说明理由.一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共计40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的1.已知集合(){}{}214,,2,1,0,1,2A x x x B =-<∈=--R ,则A B =( )A. {}1,0,1,2-B. {}0,1,2C. {}0,1-D. {}1,2【答案】B【考点】集合的交集运算【解析】由题意可知{}31|<<-=x x A ,所以A B ={}210,,,故答案选B. 2.设2i1iz +=-,则z 的虚部为( ) A.21B. 21-C.23 D. 23-【答案】C【考点】复数的运算【解析】由题意()()()()231111212i i i i i i i z +=+-++=-+=,则z 的虚部为为23,故答案选C. 3.设,m n ∈R ,则“0mn <”是“抛物线20mx ny +=的焦点在y 轴正半轴上”的( ) A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【考点】抛物线的方程、逻辑用语【解析】由题意抛物线20mx ny +=可化为y m n x -=2,由焦点在y 轴正半轴上,则0>-mn,即mn <0,所以“0mn <”是“抛物线20mx ny +=的焦点在y 轴正半轴上”的充分必要条件, 故答案选C.4.设λ为实数,已知向量()()1,2,1,m n λ=-=.若m n ⊥,则向量2m n +与m 之间的夹角为( ) A.4πB.3π C.23π D.34π 【答案】A【考点】平面向量的数量积坐标公式、数量积定义、垂直的坐标计算【解析】由题意由m n ⊥,可得021=+-λ,解得21=λ,所以⎪⎭⎫ ⎝⎛=211,n ,则()312,=+n m,所以()225103211222cos =⋅⨯+⨯-=⋅+⋅+>=+<m n m m n m m n m,,因为[]π,,02>∈+<m n m,所以向量2m n +与m 之间的夹角为4π,故答案选A. 5.春夏时期《管子·地缘篇》记载了著名的“三分损益法”:以“宫”为基本音,“宫”经过一次“损”,频率变为原来的32,得到“徵”;“徵”经过一次“益”,频率变为原来的34,得到“商”;…….依次损益交替变化,获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶.据此可推得( ) A. “宫、商、羽”的频率成等比数列 B. “宫、徵、商”的频率成等比数列 C. “商、羽、角”的频率成等比数列 D. “宫、商、角”的频率成等比数列 【答案】D【考点】文化题:等比数列的概念【解析】由题意可设“宫”的频率为a ,则经过一次“损”,可得“徵”的频率为23a ;“徵”经过一次“益”,可得“商”的频率为4323⨯a ,即89a ,“商”经过一次“损”,可得“羽”的频率为2389⨯a ;即1627a ;最后“羽”经过一次“益”,可得“角”的频率为431627⨯a ,即6481a ,则a ,89a ,6481a 成公比为89的等比数列,所以“宫、商、角”的频率成等比数列,故答案选D. 6.若函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图像如图所示,则函数()f x 图像的一条对称轴是( ) E. 56x π=-F. 1112x π=-G. 1112x π=H. 116x π=【答案】B【考点】三角函数的图象与性质应用【解析】由函数()f x 的图象可知一个对称中心为⎪⎭⎫ ⎝⎛03,π,而06=⎪⎭⎫⎝⎛-πf ,即另一个对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛-06,π,且为相邻的对称中心,故函数()f x 的一条对称轴为12236πππ=+-=x ,则2632πππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=T ,即π=T ,所以函数()f x 的对称轴为直线()Z k k x ∈+=212ππ,令2-=k ,解得1211π-=x ,故答案选B. 7.函数()()2e 2x f x x x x =--∈R 的图像大致为( )【答案】B【考点】函数的图象与性质【解析】法一:由题意可作出函数x e y =与函数x x y 22+=的图象,得到有3个交点,即函数()x f 有3个零点,则故答案选B.法二:因为()0211<--=e f ,可排除选项A 、D ;且当-∞→x ,()()-∞→+-=2x x e x f x ,排除选项C ,故答案选B.法三:因为()22--='x e x f x ,设()()22--='=x e x f x g x ,则()2-='x e x g ,令()0='x g ,可得2ln =x ,所以当2ln <x 时,()0<'x g ,则()x g ,在()2ln ,∞-上单调递减;当2ln >x 时,()0>'x g ,则()x g ,在()∞+,2ln 上单调递增,又()()02ln 222ln 222ln 2ln <-=--='=f g ,即函数()x f 有两个极值点,排除选项C 、D ;而()0211<--=e f ,所以排除选项A ,故答案选B.8.设实数k ,已知函数()e ,01,1,1x x f x x x ⎧≤<=⎨-≥⎩若函数()f x k -在区间()0,+∞上有两个零点()1212,x x x x <,则()()211x x f x -的取值范围是( ).A. 21,e ⎡⎤⎣⎦B. )21,e ⎡⎣ C. )2e,e ⎡⎣ D. )22,e ⎡⎣【答案】D【考点】分段函数的零点、数形结合思想【解析】如图()f x k -有两个零点,12,x x ,则[)1,e k ∈ 则1e x k =,1ln x k =,21x k -=,21x k =+, 解得()()()22111ln ln x x f x k k k k k k k -=+-=+-,令()2ln g k k k k k =+-,()()21ln 12ln g k k k k k '=--+=-, 而()12120k g k k k-''=-=>,所以()g k '在()e ,1上单调递增,则()()120g k g ''>=>, ()g k ∴在()e ,1上单调递增,且()21=g ,()2e e g =,())22,e g k ⎡∴∈⎣,故答案选D.二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分,部分选对得3分,不选或有错选的得0分.9.某人退休前后各类支出情况如下,已知退休前工资收入为8000元/月,退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少1500元,则下面说法正确的是( )A. 此人退休前每月储蓄支出2400元B. 此人退休后的旅行支出是退休前旅行支出的3倍C. 此人退休工资收入为6000元/月D. 此人退休后的其他支出比退休前的其他支出少【答案】ACD【考点】数据的分析与整理【解析】由图可知此人退休前储蓄为8000×0.30=2400(元),故选项A 正确;此人退休前的旅行支出为8000×0.05=400(元),退休后的收入为600015.015002400=-(元),退休后的旅行支出为6000×0.15=900(元),则选项B 错误,选项C 正确;退休后的其他支出为6000×0.25=1500(元),退休前的其他支出为8000×0.2=1600(元),则选项D 正确;所以答案选ACD.10.在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点在圆22:20O x y +=上,圆O 与双曲线C 的渐近线在第一、二象限分别交于M 、N 两点,若点()0,3E 满足ME ON ⊥(O 为坐标原点),下列说法正确的有( )A. 双曲线C 的虚轴长为4B. 双曲线CC. 双曲线C 的一条渐近线方程为32y x = D. △OMN 的面积为8 【答案】BD【考点】圆锥曲线的几何性质、双曲线与圆的位置关系【解析】由题意在圆22:20O x y +=,可令y =0,可解得202=x ,即52=c ,由双曲线的渐近线方程为x aby ±=,且222c y x =+,与圆22:20O x y +=联立可得()b a M ,,所以()b a N ,-,又由ME ON ⊥,则()()03=-⋅--=⋅→→b a b a ON ME ,,,即0322=--b b a ,联立20222==+c b a ,解得b =4,a =2,所以双曲线C 的虚轴长为8x y 2±=,△OMN的面积为842221=⨯=⨯⨯=b a S ,所以答案选BD.11.在正方体1111ABCD A B C D -中,2AB =,E 、F 分别为1BB 、CD 中点,P 是棱1BC 上的动点,则下列说法正确的有( ) A. 1A F AE ⊥B. 三棱锥1P AED -的体积与点P 位置有关C. 平面1AED 截正方体1111ABCD A B C D -的截面面积为92D. 点1A 到平面1AED 的距离为2 【答案】AC【考点】立体几何的位置关系、几何体的体积、表面积、截面面积等【解析】由题意在正方体1111ABCD A B C D -中,可取AB 的中点为点M ,连结A 1M ,可得A 1M ⊥AE ,又因为A 1F 在平面ABB 1A 1的射影为A 1M ,所以A 1F ⊥AE ,故选项A 正确;在正方体1111ABCD A B C D -中,可得BC 1∥AD 1,则可得到BC 1∥平面AED 1,又因点P 在BC 1上,则点P 到平面AED 1的距离为定值,故选项B 错误;取B 1C 1的中点为点N ,则平面1AED 截正方体1111ABCD A B C D -的截面为梯形AD 1NE ,因为AE =D 1N =5,AD 1=22,NE =2,所以可得等腰梯形AD 1NE 的面积为()()292232321222252222122=⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯+⨯=S ,故选项C 正确;在正方体1111ABCD A B C D -中,可设点1A 到平面1AED 的距离为h ,且在△AD 1E 中,D 1E =3,AE =5,AD 1=22,由余弦定理可得,()()101052223522cos 2221=⋅⋅-+=∠AE D ,所以31010352221sin 5222111=⨯⨯⨯=∠⨯⨯=∆AE D S AED ,则由1111D AA E AED A V V --=,可得到 23131111⋅=⋅∆∆D AA AED S h S ,即222213⋅⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅=⋅h ,解得h =34,故选项D 错误;综上答案选AC.12.已知函数()()2cos 4x f x x x ππ=+-∈R ,则下列说法正确的有( )A. 直线0y =为曲线()y f x =的一条切线;B. ()f x 的极值点个数为3;C. ()f x 的零点个数为4;D. 若()()()1212f x f x x x =≠,则120x x +=. 【答案】ABD【考点】函数的切线方程、导数的几何意义、函数的零点、极值点问题综合 【解析】由题意()2sin xf x x π'=-,则022f f ππ⎛⎫⎛⎫'== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即曲线()y f x =的一条切线为y =0,故A 选项正确;令()2sin 00xf x x x π'=-=⇒=,解得x =0、2π、2π-,即为3个极值点,故B 选项正确;由B 选项可作出()f x 图像大致如右图所示,结合图像可知函数图象有3个零点,故C 选项错误;因为()()()()x f x x x x x f =-+=--+-=-4cos 4cos 22ππππ,所以函数()x f 为偶函数,则D 选项正确;综上,答案选ABD.三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13.二项式62x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为________. 【答案】240【考点】二项展开式项的系数【解析】由题意展开式通式为()()()2312662666661121212rr rr rr r r r rrrr x C x x C x x C T ------+-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,令32312=-r ,解得r =2,则展开式中3x 的系数为()240122426=-C ,故答案为240.14.已知α、β均为锐角,且()sin ααβ=+=cos 2β=________. 【答案】45【考点】三角函数中二倍角公式与变角应用【解析】由题意因为α、β均为锐角,且()0552cos 102sin >=+=βαα,,所以()πβα,0∈+,则()55sin 1027cos =+=βαα,,所以()[]()()=+-+=-+=αβααβααβαβsin cos cos sin sin sin 011050105102552102755==⨯-⨯,则54011021sin 212cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=ββ,故答案为45. 15.设,a b 为实数,对于任意的2a ≥,关于x 的不等式e ax b x +≤(e 为自然对数的底数)在实数域R 上恒成立,则b 的取值范围为________. 【答案】[)1ln 2,--+∞【考点】函数的恒成立问题综合应用【解析】由题意①当0x ≤时,e 0,e ax b ax b x ++≥∴≤恒成立,此时b ∈R ;②当0x ≤时,b ax e x +≤,取对数得,b ax x +≤ln ,即ax x b -≥ln ,因为2a ≥,则可得到ln ln 2x ax x x -≤-,①()max ln 2b x x ≥-,令()x x x f 2ln -=,则()21-='x x f ,可得()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛210,上单调递增,在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+,21上单调递减,所以()2ln 121221ln 21max --=⨯-=⎪⎭⎫⎝⎛=f x f ,则b ≥ 2ln 1--,所以b 的取值范围为[)∞+--,2ln 1. 16.农历五月初五是端午节,民间有吃粽子的习惯,粽子又称粽籺,俗称“粽子”,古称“角黍”,是端午节大家都会品尝的食品,传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图,平行四边形形状的纸片是由六个边长为2的正三角形构成的,将它沿虚线折起来,可以得到如图所示粽子形状的六面体,则该六面体的体积为____;若该六面体内有一球,则该球表面积的最大值为____.【答案】32;1627π【考点】文化题:空间几何体的的体积与表面积、内切球问题【解析】由题意可知,一个正三角形面积为132222⨯⨯⨯,该六面体是由六个边长为2的正三角形构成的,所以该六面体可看成是由两个全等的正四面体组合而成,且全等的正四面体的棱长为2,如图,在棱长为2的正四面体S ABC-中,取BC中点为D,连结SD,AD,可作SO⊥平面ABC,垂足O在AD上,则2261623,,2363AD SD OD AD SO SD OD=====-=,则该正四面体的体积为111323133233ABCV S SO=⋅⋅=⋅⋅=△,所以该六面体的体积为两个正四面体的体积之和21223V V==,当该六面体内有一球,如上图,且该球体积取最大值时,球心为O,且该球与SD 相切,过球心作OE SD⊥,则OE就是球半径,因为SO OD SD OE⨯=⨯,所以球半径236233696SO ODR OESD⨯⨯====,所以该球表面积的最大值为22316427Sππ⎛⎫=⨯⨯=⎪⎪⎝⎭,所以答案为32;1627π. 四、解答题:本大题共6小题,共70分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.17.在ABC △中,设内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知cos cos 4cos ,2b C c B A a +=-=. (1)求角A 的值;(2)若三角形ABC 3,求ABC △的周长. 【考点】利用正余弦定理解三角形及面积公式的应用【解析】(1) A B c C b cos 4cos cos -=+,且2=a ,∴A a B c C b cos 2cos cos -=+, 由正弦定理CcB b A a sin sin sin ==得A A B C C B cos sin 2cos sin cos sin -=+,即A A C B cos sin 2)sin(-=+, 在ABC ∆中,π=++C B A ,∴)sin(sin C B A +=,∴A A A cos sin 2sin -=,在ABC ∆中,),0(π∈A ,∴0sin ≠A ,∴21cos -=A ,则32π=A .(2)334332sin21sin 21====∆bc bc A bc S ABC π,则34=bc , 由余弦定理得:bcabc c b bc a c b A 22)(2cos 22222--+=-+=,则3422342)(2122⨯-⨯-+=-c b ,∴316)(2=+c b , 在ABC ∆中,0,0>>c b ,∴334=+c b ,∴周长为3342+=++c b a .18.已知函数()x f x a =(a 为常数,0a >且1a ≠)(1)在下列条件中选择一个条件____(仅填序号),使得依次条件可以推出数列{}n a 为等差数列,并说明理由;①数列(){}n f a 是首项为4,公比为2的等比数列;①数列(){}n f a 是首项为4,公差为2的等差数列;①数列(){}n f a 是首项为4,公比为2的等比数列的前n 项和构成的数列;(2)在(1)的选择下,若()*12,2na b n ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭N ,求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n S .【考点】开放性试题:等差数列的证明、错位相减法求和 【解析】(1) 选条件①x a x f =)(,∴n a n a a f =)(, )}({n a f 是首项为4,公比为2的等比数列,则11224+-=⨯=n n a n a ,则2log )1(2log 1a n a n n a +==+;2log 2log )1(2log )2(1a a a n n n n a a =+-+=-+,则}{n a 为等差数列. (2)当2=a 时,12log )1(2+=+=n n a n ,又 n n b )21(=,∴n n n n b a )21)(1(+=⋅∴n n n S )21)(1(...)21(5)21(4)21(3)21(24321+++⨯+⨯+⨯+⨯=----------(*)1432)21)(1()21(...)21(4)21(3)21(221+++++⨯+⨯+⨯=n n n n n S ----------(**) ∴(*)减去(**)得:1432)21)(1()21(...)21()21()21(121++-+++++=n n n n S 11112)21)(3(23)21)(1()21(211)21)(1(211])21(1[)21(1+++-+-=+--+=+---+=n n n n n n n n∴n n n S 233+-=.19.如图,在四棱锥1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 是菱形,111112AA A B AB ===,60ABC ∠=︒,1AA ⊥平面ABCD ,点E 是棱BC 上一点.(1)若E 时BC 中点,求证:平面1A DE ⊥平面11CC D D ;(2)即二面角1E AD D --的平面角为θ,且1cos 3θ=,求线段CE 的长.【考点】立体几何的位置关系证明、利用空间向量表示二面角 【解析】(1)证明:如图建立空间直角坐标系11=AA ,2=AB ,BC AE ⊥∴,3=AE ,111=D A ,()0,0,0A ()1,0,01A ∴,()0,0,3E ,()1,1,01D ,()0,1,3C ,()0,2,0D()1,1,01=AD ,()0,0,3=AE ,()1,1,01-=D D ,()0,1,3-=CD设平面E AD 1的法向量为()1111,,z y x n =,平面11C CDD 的一个法向量为()2222,,z y x n =()1,1,0030001111111-=⇒⎩⎨⎧==+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴n x z y AE n AD n ()3,3,1331030022*********=⇒⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎩⎨⎧=+-=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅n z y x y x z y CD n D D n 021=⋅n n .∴平面1A DE ⊥平面11CC D D . 由(1)可设()0,,3m E ,11≤≤-m ,()0,,3m AE =∴,()1,1,01=AD设平面1EAD 的一个法向量为()0003,,z y x n =⎩⎨⎧=+=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴003000000133z y my x AD n AE n令m x =0,30-=∴y ,30=z ,()3,3,3-=∴m n 平面1ADD 的法向量()0,0,1=n ,设3n ,4n 所成角为ϕ23316cos cos 2±=⇒=+==∴m m m ϕθ 而()0,1,3C ,2311±=-=∴m CE .20.第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行,共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球MIKSA-V200W ,已知这种球的质量指标ξ(单位:g )服从正态分布()2270,5N .比赛赛制采取单循环方式,即每支球队进行11场比赛(采取5局3胜制),最后靠积分选出最后冠军.积分规则如下:比赛中以3①0或3①1取胜的球队积3分,负队积0分;而在比赛中以3①2取胜的球队积2分,负队积1分.已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队,设每局比赛中国队取胜的概率为()01p p <<.(1)如果比赛准备了1000个排球,估计质量指标在(260,265]内的排球个数(计算结果取整数).(2)第10轮比赛中,记中国队3①1取胜的概率为()f p . (①)求出()f p 的最大值点0p ;(①)若以0p 作为p 的值记第10轮比赛中,中国队所得积分为X ,求X 的分布列. 参考数据:()2~,N u ζσ,则()()0.6826,220.9644p X p X μσμσμσμσ-<<+≈-<<+≈. 【考点】正态分布的应用、随机变量的概率与分布列 【解析】(1)()(]()()2260,280265,2750.96440.6826~270,5,260,2650.135922p p N p ζ--∴===所以质量指标在(]260,265内的排球个数约10000.1359136⨯≈个.(2)前三场赢两场,第四场必赢()()()()()3342313334f p p p p p f p p p ⇒=⨯⨯-=-⇒'=-()304f p p '⇒=⇒=,满足最大值点要求. (3)X 可能取的值为0、1、2、3①3X =⇒前三场全赢,或者前三场赢两场,第四场必赢.()33233311893444256p X C ⎛⎫⎛⎫==+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①2X =⇒前四场赢两场,第五场必赢.()32243181244512p X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ①1X =⇒前四场赢两场,第五场必输.()23243127144512p X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①0X =⇒前三场全输,或者前三场赢一场.()3313131130444256p X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ①X 的分布列为:21.设a 为实数,已知函数()()e e 12x x f x a a x -=++--. (1)当2a =时,求()f x 的单调区间;(2)当1a ≥时,若()f x 有两个不同的零点,求a 的取值范围.【考点】函数的单调性(不含参)的求解、函数零点问题 【解析】(1)当2a =时,()e 2e 2x x f x x -=+--,()()()2e 2e 1e e 2e 2e 1e e x x x x x x x xf x --+--'=--==令()0f x '=是ln 2x =,()f x 的单调递减区间为(),ln 2-∞,单调递增区间为()ln 2,+∞(2)()()()()2e 1e e 1e e e 1e ex x x xx x x xa a a f x a a -+-+--'=-+-== 令()0f x '=得ln x a =且当ln x a <时,()0f x '<,()x f 单调递减;当ln x a >时,()0>'x f ,()x f 单调递增,()()()min ln 1ln 21f x f a a a a ∴==+--要使()f x 有两个不同的零点, 则首先()()()11ln 01ln 01ln 10a a a a a a ⇒--<⇒-+-<<-,e a > 当0x >时,()()()()2e e 12e 1212x x x f x a a x a x x a x -=++-->+-->+-- 此时()()()()21111220f a a a a a +>++-+-=>当0x <时,()()e e 12e 2x x x x f x a a x a --=++-->-,令0e 2ln 2x aa x -≥<--⇒取00x <且02ln x a <-知()00f x >或取02x a=-知22202e 2af a a a a ⎛⎫->->⋅⎝⎭-⎪=故e a >时满足()f x 在()0,ln x a ()ln ,1a a +上各有一个零点, 综上:a 的取值范围为()e,+∞.22.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12,以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大值为23. (1)求,a b 的值;(2)当过点()6,0P 的动直线l 与椭圆C 交于不同的点,A B 时,在线段AB 上取点Q ,使得AP BQ AQ BP ⋅=⋅,问:点Q 是否总在某条定直线上?若是,求出该直线方程,若不是,说明理由.【考点】圆锥曲线中椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系求定直线【解析】(1)由题意知222323122b c a ab a b ca =⎧⎪⇒⎨=⎪⎧=⎪⎪⎨=⎪⎪=⎩⎩+(2)由P A BQ A P Q B ⋅=⋅得AP AB BP BQ =,设AP ABBP BQλ==,()()()1221,,,,,A x y B x y Q x y AP PBAQ QBλλ⎧=-⎪∴⎨=⎪⎩ 1212611x x x x x λλλλ-⎧=⎪⎪-∴⎨+⎪=⎪+⎩①②且210y y λ-=①×①得22122261x x x λλ-=-由,A B 均在圆上得22122222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②①-①22222222121221441x x x x λλλλλ-+-⇒=-⇒=-264,3x x ∴==即Q 在直线23x =上运动.。
江苏省南京师范大学附属中学2020-2021学年高一上学期10月月考数学试题
20.若 , .
(1)求 的取值范围;
(2)求 的取值范围.
【答案】(1) ;(2) .
21.某种商品原来每件售价为25元,年销售量8万件.
(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元?
(2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到 元.公司拟投入 万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入 万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.
【答案】 , .
三、解答题(本大题共6小题)
17.已知集合 , 或 .
(1)当 时,求 ;
(2)若 ,求实数 的取值范围.
【答案】(1) 或 ;(2) .
18.求下列不等式的解集:
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1) ;(2) ;(3) ;(4)
19.设p:实数x满足 或 ,q:实数x满足 ,且q是p的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
【答案】A
7.已知 且 ,则 的最小值为()
A.3B.4C.5D.6
【答案】A
8.已知命题 , ;命题 , .若 , 都是假命题,则实数 的取值范围为()
A. B. C. 或 D.
【答案】B
9 设 , , ,且 ,则()
A. B. C. D.
【答案】D
10.不等式 成立的必要不充分条件有()
A. B. C. D.
【答案】
14.设集合 , ,若 ,则实数 的取值范围是___________.
2021-2022学年江苏省南京师大附中高一(上)期中数学试卷【答案版】
2021-2022学年江苏省南京师大附中高一(上)期中数学试卷一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集U =R ,若集合A ={x |(x +2)(x ﹣1)>0},则集合∁U A =( )A .{x |﹣2<x <1}B .{x |﹣2≤x ≤1}C .{x |x <﹣2}∪{x |x >1}D .{x |x ≤﹣2}∪{x |x ≥1}2.“a =1”是“ab +1=a +b ”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件3.函数f (x )=x x−1的图象大致为( ) A .B .C .D .4.下列四组函数中,f (x )与g (x )表示同一个函数的是( )A .f (x )=√x 33,g (x )=|x |B .f (x )=√x 2,g (x )=(√x )2C .f (x )=x 2+x x ,g (x )=x +1 D .f (x )=|x |,g (x )=√x 25.若a log 25=3,则5a =( )A .125B .9C .8D .66.若命题p :∀x ∈R ,x 2﹣2x +m ≠0是真命题,则实数m 的取值范围是( )A .m ≥1B .m >1C .m <1D .m ≤17.已知x ,y 均为正数,且x +y =2,1x+1+1y 的最小值为( ) A .4B .32C .43D .18.已知3a=6b=10,则2,ab,a+b的大小关系是()A.ab<a+b<2B.ab<2<a+b C.2<a+b<ab D.2<ab<a+b二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,不止一项是符合题目要求的,每题全选对者得5分,部分选对得2分,其他情况不得分.9.下列四个选项中,能推出1a <1b的有()A.b>0>a B.a>0>b C.a>b>0D.0>b>a10.设集合M={x|(x﹣a)(x﹣1)=0},N={1,4},则M∪N的子集个数可能为()A.2B.4C.8D.1611.若函数f(x)与g(x)的值域相同,但定义域不同,则称f(x)和g(x)是“同象函数”,已知函数f(x)=x2,x∈[0,1],则下列函数中,与f(x)是“同象函数”的有()A.g(x)=x2,x∈[﹣1,0]B.g(x)=1x+2,x∈[﹣1,+∞)C.g(x)=|x|,x∈[−12,1]D.g(x)=﹣4x2+4|x|,x∈[﹣1,1]12.一水池有2个进水口,1个出水口,每个进水口的进水速度如图甲所示,出水口的出水速度如图乙所示.已知某天0点到6点,该水池至少打开一个水口,且水池的蓄水量如图丙所示,则下列判断正确的有()A.0点到3点只打开了两个进水口B.3点到4点三个水口都打开C.4点到6点只打开了一个出水口D.0点到6点至少打开了一个进水口三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13.命题“∃n ∈N ,2n <n 2”的否定是 .14.函数f (x )=√4−x x−1的定义域为 .15.地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的,一般采用里式震级标准,里式震级M 计算公式为M =lg A kA 0(0≤k ≤10),其中A k 是地震仪接收到的k 级地震的地震波的最大振幅(单位:米),A 0=10﹣6(单位:米),则8级地震的最大振幅是4级地震的最大振幅的 倍.16.设x ,y 为实数,若对于满足4x 2+y 2+xy =10的全体x ,y ,不等式2x +y ≤m 2﹣3m 恒成立,则实数m 的取值范围是 .四、解答题:本大题共6小题,共计70分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)计算:(1)(13)﹣2﹣(338)13+√(−2)44;(2)(lg 2)2+lg 5•lg 20+log√39.18.(12分)设a 为实数,已知集合A ={x |x−3x−6<0},B =(a ,5).(1)若a =﹣1,求A ∪B ; (2)若A ∩B =(3,5),求a 的取值范围.19.(12分)设a,b为实数,已知关于x的不等式ax2﹣3x+2<0的解集A=(1,b).(1)求a,b的值;(2)若B={x|x2﹣(m+1)x+m<0},且A∩B=B,求实数m的取值范围.20.(12分)已知函数f (x )={kx +1,x ≤0−3x +1,x >0,且f (﹣1)=﹣1. (1)求f (f (2))的值;(2)当x ∈[﹣2,3]时,求f (x )的值域;(3)解不等式:f (x )+f (x ﹣2)<﹣10.21.(12分)如图,某社团需要在一张矩形白纸(记为矩形ABCD)上刊登两篇招新文章.这两篇文章所占版面是两个形状、大小完全相同的直角梯形,每个直角梯形的面积为150cm2.这两个梯形上下对齐,且中心对称放置,梯形与纸张的顶部、底部和两边都留有5cm的空白,且这两个梯形之间也留有5cm的空白.为了美观,要求纸张所在矩形ABCD的边AB的长度大于边BC的长度.设直角梯形的高为xcm.(1)求x的取值范围;(2)如何选择纸张的尺寸,才能使纸的用量最少?22.(12分)设a为实数,已知函数f(x)=x2﹣4x+4a﹣a2.(1)若x1,x2是方程f(x)=0的两个不等实根,求x12+x22的取值范围;(2)设集合A={x|f(x)≤0}.①若A中恰有一个整数,求a的取值范围;②设集合B={x|f(f(x)+2)≤0},若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求a的取值范围.2021-2022学年江苏省南京师大附中高一(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集U=R,若集合A={x|(x+2)(x﹣1)>0},则集合∁U A=()A.{x|﹣2<x<1}B.{x|﹣2≤x≤1}C.{x|x<﹣2}∪{x|x>1}D.{x|x≤﹣2}∪{x|x≥1}解:A={x|(x+2)(x﹣1)>0}={x|x>1或x<﹣2},则集合∁U A={x|﹣2≤x≤1}.故选:B.2.“a=1”是“ab+1=a+b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解:⇒∵a=1,∴ab+1=b+1=1+b,∴充分性满足.⇐∵ab+1=a+b,a(b﹣1)=b﹣1,∴a=1或b=1,∴必要性不满足,故选:A.3.函数f(x)=xx−1的图象大致为()A.B.C.D.解:∵f(x)=x=1+1,∴f (x )的图象是将y =1x 的图象向右平移一个单位,再向上平移一个单位得到的,故选:A .4.下列四组函数中,f (x )与g (x )表示同一个函数的是( )A .f (x )=√x 33,g (x )=|x |B .f (x )=√x 2,g (x )=(√x )2C .f (x )=x 2+x x ,g (x )=x +1D .f (x )=|x |,g (x )=√x 2 解:对于A :f (x )=x ,g (x )=|x |,不是同一函数,对于B :f (x )=|x |,g (x )=x (x ≥0),定义域不同,不是同一函数,对于C :f (x )的定义域是{x |x ≠0},g (x )的定义域是R ,不是同一函数,对于D :f (x )=g (x )=|x |,是同一函数,故选:D .5.若a log 25=3,则5a =( )A .125B .9C .8D .6解:∵a log 25=3,∴log 25a =3,∴5a =23=8,故选:C .6.若命题p :∀x ∈R ,x 2﹣2x +m ≠0是真命题,则实数m 的取值范围是( )A .m ≥1B .m >1C .m <1D .m ≤1解:命题p :∀x ∈R ,x 2﹣2x +m ≠0是真命题,则m ≠﹣(x 2﹣2x ),∵﹣(x 2﹣2x )=﹣(x ﹣1)2+1≤1,∴m >1.∴实数m 的取值范围是(1,+∞).故选:B .7.已知x ,y 均为正数,且x +y =2,1x+1+1y 的最小值为( ) A .4B .32C .43D .1 解:x +y =2,即13(x +1+y)=1, 所以1x+1+1y =13(1x+1+1y )(x +1+y ) =13(2+x+1y +y x+1)≥13(2+2√x+1y ⋅y x+1)=43,当且仅当x =12,y =32时取等号.故选:C .8.已知3a =6b =10,则2,ab ,a +b 的大小关系是( )A .ab <a +b <2B .ab <2<a +bC .2<a +b <abD .2<ab <a +b 解:∵3a =6b =10,∴a =log 310>2,b =log 610>1,∴ab >2,a +b >2,∴1a +1b =lg 3+lg 6=lg 18>1,∴a +b >ab ,故a +b >ab >2,故选:D .二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,不止一项是符合题目要求的,每题全选对者得5分,部分选对得2分,其他情况不得分.9.下列四个选项中,能推出1a <1b 的有( ) A .b >0>aB .a >0>bC .a >b >0D .0>b >a 解:1a <1b ⇔b−a ab <0,由b >0>a ,可得b ﹣a >0,ab <0,即有b−a ab<0,故A 能推出; 由a >0>b ,可得b ﹣a <0,ab <0,即有b−a ab>0,故B 不能推出; 由a >b >0,可得b ﹣a <0,ab >0,即有b−a ab<0,故C 能推出; 由0>b >a ,可得b ﹣a >0,ab >0,即有b−a ab >0,故D 不能推出.故选:AC . 10.设集合M ={x |(x ﹣a )(x ﹣1)=0},N ={1,4},则M ∪N 的子集个数可能为( )A .2B .4C .8D .16解:∵集合M ={x |(x ﹣a )(x ﹣1)=0},N ={1,4},当a =1时,M ∪N ={1,4},M ∪N 的子集个数为22=4,当a =4时,M ∪N ={1,4},M ∪N 的子集个数为22=4,当a ≠1,且a ≠4时,M ∪N ={a ,1,4},M ∪N 的子集个数为23=8,故选:BC .11.若函数f (x )与g (x )的值域相同,但定义域不同,则称f (x )和g (x )是“同象函数”,已知函数f (x )=x 2,x ∈[0,1],则下列函数中,与f (x )是“同象函数”的有( )A.g(x)=x2,x∈[﹣1,0]B.g(x)=1x+2,x∈[﹣1,+∞)C.g(x)=|x|,x∈[−12,1]D.g(x)=﹣4x2+4|x|,x∈[﹣1,1]解:函数f(x)=x2,x∈[0,1],值域是[0,1],对于A:g(x)的值域是[0,1],是同象函数,对于B:g(x)≠0,值域不同,不是同象函数,对于C:g(x)的值域是[0,1],是同象函数,对于D:g(x)的值域是[0,1],是同象函数,故选:ACD.12.一水池有2个进水口,1个出水口,每个进水口的进水速度如图甲所示,出水口的出水速度如图乙所示.已知某天0点到6点,该水池至少打开一个水口,且水池的蓄水量如图丙所示,则下列判断正确的有()A.0点到3点只打开了两个进水口B.3点到4点三个水口都打开C.4点到6点只打开了一个出水口D.0点到6点至少打开了一个进水口解:设一个进水口的进水量为y1,出水量为y2,时间为t,由图可知,y1=t,y2=2t,从0~3时蓄水量由0变为6,说明0~3时2个进水口均打开,出水口关闭,故A正确,3~4时蓄水量为水平线,说明水量不发生变化,又由于水池至少打开一个水口,故3~4时所有水口均打开,故B正确,4~6时蓄水量随时间增加而减少且每小时减少一个单位,故该时段应为同时打开一个出水口,一个进水口,故C错误,0~3时2个进水口均打开,3~4时所有水口均打开,4~6时同时打开一个出水口,一个进水口,故D 正确.故选:ABD .三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13.命题“∃n ∈N ,2n <n 2”的否定是 ∀n ∈N ,2n ≥n 2 .解:根据存在量词命题的否定是全称量词命题知,命题“∃n ∈N ,2n <n 2“的否定是:“∀n ∈N ,2n ≥n 2”.故答案为:“∀n ∈N ,2n ≥n 2”.14.函数f (x )=√4−x x−1的定义域为 {x |x ≤4且x ≠1} .解:∵f(x)=√4−x x−1∴{4−x ≥0x −1≠0解得x ≤4且x ≠1 即函数f(x)=√4−x x−1的定义域为{x |x ≤4且x ≠1}故答案为:{x |x ≤4且x ≠1}15.地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的,一般采用里式震级标准,里式震级M 计算公式为M =lgA k A 0(0≤k ≤10),其中A k 是地震仪接收到的k 级地震的地震波的最大振幅(单位:米),A 0=10﹣6(单位:米),则8级地震的最大振幅是4级地震的最大振幅的 10000 倍.解:∵M =lgA kA 0(0≤k ≤10), ∴A k A 0=10M ,即A k =10−6⋅10M =10M−6, ∴A 8A 4=108−6104−6=10000.故答案为:10000.16.设x ,y 为实数,若对于满足4x 2+y 2+xy =10的全体x ,y ,不等式2x +y ≤m 2﹣3m 恒成立,则实数m 的取值范围是 {m |m ≤﹣1或m ≥4} .解:∵4x 2+y 2+xy =10,∴(2x +y )2﹣3xy =10,即(2x +y )2﹣10=3xy ,∵2xy ≤(2x+y 2)2,∴8xy ≤(2x +y )2, ∴(2x +y )2﹣10≤38(2x +y )2,解得,(2x +y )2≤16,故﹣4≤2x +y ≤4,当且仅当x =1,y =2或x =﹣1,y =﹣2时,等号成立,故不等式2x +y ≤m 2﹣3m 恒成立化为4≤m 2﹣3m ,解得,m ≤﹣1或m ≥4;故实数m 的取值范围是{m |m ≤﹣1或m ≥4},故答案为:{m |m ≤﹣1或m ≥4}.四、解答题:本大题共6小题,共计70分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)计算:(1)(13)﹣2﹣(338)13+√(−2)44;(2)(lg 2)2+lg 5•lg 20+log√39. 解:(1)(13)﹣2﹣(338)13+√(−2)44=9−32+2=192; (2)(lg 2)2+lg 5•lg 20+log√39 =(lg 2)2+lg 5•(1+lg 2)+4=lg 2(lg 2+lg 5)+lg 5+4=lg 2+lg 5+4=5.18.(12分)设a 为实数,已知集合A ={x |x−3x−6<0},B =(a ,5).(1)若a =﹣1,求A ∪B ; (2)若A ∩B =(3,5),求a 的取值范围.解:(1)A ={x |x−3x−6<0}={x |(x ﹣3)(x ﹣6)<0}={x |3<x <6},因为a =﹣1,所以B =(﹣1,5),所以A ∪B =(﹣1,6).(2)因为A ∩B =(3,5),所以a ≤3,故a 的取值范围为(﹣∞,3].19.(12分)设a ,b 为实数,已知关于x 的不等式ax 2﹣3x +2<0的解集A =(1,b ).(1)求a ,b 的值;(2)若B ={x |x 2﹣(m +1)x +m <0},且A ∩B =B ,求实数m 的取值范围.解:(1)由题意知,1和b 是方程ax 2﹣3x +2=0的两根,所以{1+b =3a 1×b =2a ,解得a =1,b =2. (2)由(1)知,A =(1,2),B ={x |x 2﹣(m +1)x +m <0}={x |(x ﹣1)(x ﹣m )<0},因为A ∩B =B ,所以A ⊇B ,当B =∅时,m =1,当B ≠∅时,B ={x |1<x <m },且1<m ≤2,综上所述,实数m 的取值范围为[1,2].20.(12分)已知函数f (x )={kx +1,x ≤0−3x +1,x >0,且f (﹣1)=﹣1. (1)求f (f (2))的值;(2)当x ∈[﹣2,3]时,求f (x )的值域;(3)解不等式:f (x )+f (x ﹣2)<﹣10.解:(1)∵函数f (x )={kx +1,x ≤0−3x +1,x >0,且f (﹣1)=﹣k +1=﹣1,∴k =2, ∴f (2)=﹣6+1=﹣5,∴f (f (2))=f (﹣5)=﹣5k +1=﹣9.(2)当x ∈[﹣2,3]时,根据f (x )={2x +1,x ≤0−3x +1,x >0, 可得当x ∈[﹣2,0]时,f (x )=2x +1,f (x )∈[﹣3,1];当x ∈(0,3]时,f (x )=﹣3x +1,f (x )∈[﹣8,1 ).综上可得,f (x )∈[﹣8,1].(3)由不等式f (x )+f (x ﹣2)<﹣10,可得{x −2<x ≤02x +1+2(x −2)+1<−10①,或{x −2≤0<x −3x +1+2(x −2)+1<−10②,或 {x −2>0−3x +1+[−3(x −2)+1]<−10③, 解①求得 x <﹣2,解②求得x ∈∅,解③求得x >3.综上,不等式的解集为{x |x <﹣2 或x >3}.21.(12分)如图,某社团需要在一张矩形白纸(记为矩形ABCD )上刊登两篇招新文章.这两篇文章所占版面是两个形状、大小完全相同的直角梯形,每个直角梯形的面积为150cm 2.这两个梯形上下对齐,且中心对称放置,梯形与纸张的顶部、底部和两边都留有5cm 的空白,且这两个梯形之间也留有5cm 的空白.为了美观,要求纸张所在矩形ABCD 的边AB 的长度大于边BC 的长度.设直角梯形的高为xcm .(1)求x 的取值范围;(2)如何选择纸张的尺寸,才能使纸的用量最少?解:(1)设AB =a ,AD =b (a >b ),梯形上底和下底的和为a ﹣3×5=a ﹣15,所以直角梯形的面积为S =12×(a −15)x =150,解得a =300x +15,又因为b ﹣5×2=x ,所以b =10+x ,因为a >b ,则300x +15>10+x ,即(x ﹣20)(x +15)<0,解得﹣15<x <20,又x >0,所以x 的取值范围为(0,20);(2)矩形ABCD 的面积为S ′=ab =(300x +15)(10+x)=3000x +15x +450≥2√3000x ⋅15x +450=450+300√2,当且仅当3000x =15x ,即x =10√2时取等号,所以当矩形ABCD 的长为5√2+15cm ,宽为10√2+10cm 时,纸的用量最少.22.(12分)设a 为实数,已知函数f (x )=x 2﹣4x +4a ﹣a 2.(1)若x 1,x 2是方程f (x )=0的两个不等实根,求x 12+x 22的取值范围;(2)设集合A ={x |f (x )≤0}.①若A 中恰有一个整数,求a 的取值范围;②设集合B ={x |f (f (x )+2)≤0},若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件,求a 的取值范围.解:(1)由题意f (x )=x 2﹣4x +4a ﹣a 2,则{x 1+x 2=4x 1x 2=4a −a 2, 且Δ=4(a ﹣2)2>0,∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2=2(a 2−4a +8)=2(a −2)2+8>8,所以x 12+x 22>8;(2)①由f (x )的开口向上,对称轴为x =2,且判别式恒大于等于0,∴要使f (x )≤0的解集A 中恰有一个整数,则{f(1)=−3+4a −a 2>0f(2)=−(a −2)2≤0, 解得1<a <3;②由题意A ⊆B ,又A =|x |2﹣|a ﹣2|≤x ≤2+|a ﹣2|,∴B ={x |﹣|a ﹣2|≤f (x )≤|a ﹣2|},f(x)min =f(2)=−4+4a −a 2=−(a −2)2≥−|a −2|,则|a ﹣2|(|a ﹣2|﹣1)≤0,∴1≤a ≤3.。
2020-2021学年江苏省南京师大附中高一(上)月考数学试卷(10月份)及答案
2020-2021学年江苏省南京师大附中高一(上)月考数学试卷(10月份)一、单项选择题1.(3分)不等式x2﹣3x﹣4<0的解集为()A.(﹣1,4)B.(﹣4,1)C.(﹣∞,﹣1)∪(4,+∞)D.[﹣1,4]2.(3分)命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”的否定是()A.存在x∈Z使x2+2x+m>0B.不存在x∈Z使x2+2x+m>0C.对任意x∈Z使x2+2x+m≤0D.对任意x∈Z使x2+2x+m>03.(3分)已知M={x|﹣1<x≤2},N={x|x≤3},则(∁R M)∩N=()A.[2,3]B.(2,3]C.(﹣∞,﹣1]∪[2,3]D.(﹣∞,﹣1]∪(2,3]4.(3分)“|a﹣b|=|a|+|b|”是“ab<0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5.(3分)已知命题“∃x∈R,2x2+(a﹣1)x+≤0是假命题,则实数a的取值范围是()A.(﹣∞,﹣1)B.(﹣1,3)C.(﹣3,+∞)D.(﹣3,1)6.(3分)已知不等式ax2﹣3x+2>0的解集为(﹣∞,1)∪(b,+∞),则a,b的取值分别为()A.1,2B.2,1C.﹣1,3D.﹣1,47.(3分)已知a>b>1且b=,则a+的最小值为()A.3B.4C.5D.68.(3分)已知命题p:∃x0∈R,mx02+1≤0,命题q:∀x∈R,x2+mx+1>0,若p,q为假命题,则实数m的取值范围是()A.﹣2≤m≤2B.m≤﹣2或m≥2C.m≤﹣2D.m≥29.(3分)设a,b,c∈R,且a>b,则()A.ac>bc B.C.a2>b2D.a3>b310.(3分)不等式x(x﹣2)<0成立的必要不充分条件有()A.x∈(0,2)B.x∈[1,+∞)C.x∈(0,3)D.x∈(1,3)11.(3分)下列说法中正确的是()A.当x>0时,+≥2B.当x>2时,x+的最小值是2C.当x<时,y=4x﹣2+的最小值是5D.若a>0,则a3+的最小值为212.(3分)函数f(x)=x2﹣2ax+1有两个零点,且分别在(0,1)与(1,2)内,则实数a的取值范围是()A.﹣1<a<1B.a<﹣1或a>1C.D.三、填空题13.(3分)已知p:x≥k,q:<1,若p是q的充分不必要条件,则k的取值范围是.14.(3分)设集合A={x||2x﹣3|≤7},B={x|m+1≤x≤2m﹣1},若A∪B=A,则实数m的取值范围是.15.(3分)设题p:x2﹣4x+a2≥0恒成立:命题q:∀m∈[﹣1,1],不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立,如果命题p和q一个为真命题,一个为假命题,则实数a的取值范围是.16.(3分)设A={x|(x2+x﹣2)(x+1)>0},B={x|x2+ax+b≤0},A∪B={x|x+2>0},A ∩B={x|1<x≤3},则实数a,b的值为.四、解答题17.已知集合A={x|2﹣a≤x≤2+a},B={x|x≤1或x≥4}.(1)当a=3时,求A∩B;(2)若A∪B=R,求实数a的取值范围.18.求下列不等式的解集:(1)2x2+5x﹣3<0;(2)﹣3x2+6x≤2;(3)4x2+4x+1>0;(4)﹣x2+6x﹣10>0.19.设p:实数x满足A={x|x≤3a,或x≥a(a<0)}.q:实数x满足B={x|﹣4≤x<﹣2}.且q是p的充分不必要条件,求实数a的取值范围.20.若x,y∈(0,+∞),x+2y+xy=30.(1)求xy的取值范围;(2)求x+y的取值范围.21.某种商品原来每件售价为25元,年销售量8万件.(Ⅰ)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元?(Ⅱ)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到x元.公司拟投入(x2﹣600)万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入x万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.22.已知f(x)=﹣3x2+a(6﹣a)x+b.(1)解关于a的不等式f(1)>0;(2)若不等式f(x)≥b+4对于x∈[1,2]恒成立,求实数a的取值范围.2020-2021学年江苏省南京师大附中高一(上)月考数学试卷(10月份)参考答案与试题解析一、单项选择题1.(3分)不等式x2﹣3x﹣4<0的解集为()A.(﹣1,4)B.(﹣4,1)C.(﹣∞,﹣1)∪(4,+∞)D.[﹣1,4]【分析】把不等式化为(x﹣4)(x+1)<0,求出解集即可.【解答】解:不等式x2﹣3x﹣4<0可化为(x﹣4)(x+1)<0,解得﹣1<x<4,所以不等式的解集为(﹣1,4).故选:A.【点评】本题主要考查了一元二次不等式的求解问题,是基础题.2.(3分)命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”的否定是()A.存在x∈Z使x2+2x+m>0B.不存在x∈Z使x2+2x+m>0C.对任意x∈Z使x2+2x+m≤0D.对任意x∈Z使x2+2x+m>0【分析】根据命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题,其否定命题是全称命题,将“存在”改为“任意的”,“≤“改为“>”可得答案.【解答】解:∵命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题∴否定命题为:对任意x∈Z使x2+2x+m>0故选:D.【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的转化.注意:全称命题的否定是特称命题.3.(3分)已知M={x|﹣1<x≤2},N={x|x≤3},则(∁R M)∩N=()A.[2,3]B.(2,3]C.(﹣∞,﹣1]∪[2,3]D.(﹣∞,﹣1]∪(2,3]【分析】进行补集和交集的运算即可.【解答】解:∵M={x|﹣1<x≤2},N={x|x≤3},∴∁R M={x|x≤﹣1或x>2},(∁R M)∩N=(﹣∞,﹣1]∪(2,3].故选:D.【点评】本题考查了描述法、区间的定义,交集和补集的定义及运算,考查了计算能力,属于基础题.4.(3分)“|a﹣b|=|a|+|b|”是“ab<0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【分析】根据绝对值的意义,以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【解答】解:∵“|a﹣b|=|a|+|b|”,∴平方得a2﹣2ab+b2=a2+2|ab|+b2,即|ab|=﹣ab,∴ab≤0,即“|a﹣b|=|a|+|b|”是“ab<0”的必要不充分条件.故选:B.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据绝对值的意义是解决本题的关键,比较基础.5.(3分)已知命题“∃x∈R,2x2+(a﹣1)x+≤0是假命题,则实数a的取值范围是()A.(﹣∞,﹣1)B.(﹣1,3)C.(﹣3,+∞)D.(﹣3,1)【分析】写出原命题的否命题,据命题p与¬p真假相反,得到2x2+(a﹣1)x+>0恒成立,令判别式小于0,求出a的范围.【解答】解:∵“∃x∈R,2x2+(a﹣1)x+≤0”的否定为“∀x∈R,2x2+(a﹣1)x+>0“∵“∃x∈R,2x2+(a﹣1)x+≤0”为假命题∴“∀x∈R,2x2+(a﹣1)x+>0“为真命题即2x2+(a﹣1)x+>0恒成立∴(a﹣1)2﹣4×2×<0解得﹣1<a<3故选:B.【点评】本题考查含量词的命题的否定形式:将量词”∀”与“∃”互换,同时结论否定、考查命题与其否定真假相反、考查二次不等式恒成立从开口方向及判别式两方面考虑.6.(3分)已知不等式ax2﹣3x+2>0的解集为(﹣∞,1)∪(b,+∞),则a,b的取值分别为()A.1,2B.2,1C.﹣1,3D.﹣1,4【分析】解法一、利用不等式的解集得出对应方程的实数根,由根与系数的关系求出a、b的值.解法二、利用不等式的解集得出对应方程的实数根,把根代入方程求出a的值,再解不等式求出b的值.【解答】解:解法一、不等式ax2﹣3x+2>0的解集为(﹣∞,1)∪(b,+∞),所以不等式对应的方程ax2﹣3x+2=0的实数解为1和b,由根与系数的关系知,,解得a=1,b=2.解法二、因为不等式ax2﹣3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b},所以1和b是方程ax2﹣3x+2=0的两个实数根且a>0,把x=1代入方程ax2﹣3x+2=0中,得a﹣3+2=0,解得a=1;将a=1代入ax2﹣3x+2>0,得x2﹣3x+2>0,解得x<1或x>2,所以b=2.故选:A.【点评】本题考查了二次函数和二次不等式的关系应用问题,也考查了解不等式的问题,是基础题.7.(3分)已知a>b>1且b=,则a+的最小值为()A.3B.4C.5D.6【分析】由已知结合a,b的关系代入后利用基本不等式即可直接求解.【解答】解:因为a>b>1且b=,所以a+=a+=a﹣1+=3,当且仅当a﹣1=即a=2时取等号,此时取得最小值3.故选:A.【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值,属于基础试题.8.(3分)已知命题p:∃x0∈R,mx02+1≤0,命题q:∀x∈R,x2+mx+1>0,若p,q为假命题,则实数m的取值范围是()A.﹣2≤m≤2B.m≤﹣2或m≥2C.m≤﹣2D.m≥2【分析】直接利用存在性问题和恒成立问题的应用及真值表的应用求出结果.【解答】解:命题p:∃x0∈R,mx02+1≤0为假命题,所以m≥0,命题q:∀x∈R,x2+mx+1>0,所以△=m2﹣4<0,解得﹣2<m<2,由于该命题为假命题,所以m≥2或m≤﹣2.当p,q为假命题时,故,整理得m≥2.故选:D.【点评】本题考查的知识要点:恒成立问题和存在性问题,真值表,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题.9.(3分)设a,b,c∈R,且a>b,则()A.ac>bc B.C.a2>b2D.a3>b3【分析】对于A、B、C可举出反例,对于D利用不等式的基本性质即可判断出.【解答】解:A、3>2,但是3×(﹣1)<2×(﹣1),故A不正确;B、1>﹣2,但是,故B不正确;C、﹣1>﹣2,但是(﹣1)2<(﹣2)2,故C不正确;D、∵a>b,∴a3>b3,成立,故D正确.故选:D.【点评】熟练掌握不等式的基本性质以及反例的应用是解题的关键.10.(3分)不等式x(x﹣2)<0成立的必要不充分条件有()A.x∈(0,2)B.x∈[1,+∞)C.x∈(0,3)D.x∈(1,3)【分析】不等式x(x﹣2)<0⇔0<x<2.即可判断出结论.【解答】解:不等式x(x﹣2)<0⇔0<x<2.∵{x|0<x<2}⫋{x|0<x<3},∴不等式x(x﹣2)<0成立的必要不充分条件是C.故选:C.【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法,属于基础题.11.(3分)下列说法中正确的是()A.当x>0时,+≥2B.当x>2时,x+的最小值是2C.当x<时,y=4x﹣2+的最小值是5D.若a>0,则a3+的最小值为2【分析】由已知结合基本不等式的应用条件分别检验各选项即可判断.【解答】解:x>0时,≥2,当且仅当即x=1时取等号,A正确;当x>2时,y=x+单调递增,故y>,没有最小值,B错误;x<可得4x﹣5<0,y=4x﹣2+=4x﹣5++3=﹣(5﹣4x+)+3≤1,即最大值1,没有最小值,C错误;=2a,不是定值,D不正确.故选:A.【点评】本题主要考查了基本不等式的应用条件的判断,要注意一正,二定三相等条件的检验.12.(3分)函数f(x)=x2﹣2ax+1有两个零点,且分别在(0,1)与(1,2)内,则实数a的取值范围是()A.﹣1<a<1B.a<﹣1或a>1C.D.【分析】由题意可得f(0)f(1)<0,f(1)f(2)<0,解得实数a的取值范围,可得答案.【解答】解:由题意可得:f(0)f(1)<0,且f(1)f(2)<0,即:解得,故选:C.【点评】本题考查函数的零点与方程的根的关系,得到f(0)f(1)<0,f(1)f(2)<0,是解题的关键.三、填空题13.(3分)已知p:x≥k,q:<1,若p是q的充分不必要条件,则k的取值范围是k>2.【分析】由题意可得集合{x|x≥k}是{x|<1}的真子集,结合数轴可得答案.【解答】解:∵p:x≥k,q:<1,若p是q的充分不必要条件,∴集合{x|x≥k}是{x|<1}={x|x<﹣1,或x>2}的真子集,∴k>2,故答案为:k>2【点评】判断充要条件的方法是:①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题,则命题p是命题q的充分不必要条件;②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题,则命题p是命题q的必要不充分条件;③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题,则命题p是命题q的充要条件;④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题,则命题p是命题q的即不充分也不必要条件.⑤判断命题p与命题q所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题p与命题q的关系.14.(3分)设集合A={x||2x﹣3|≤7},B={x|m+1≤x≤2m﹣1},若A∪B=A,则实数m的取值范围是(﹣∞,3].【分析】求出A中不等式的解集确定出A,根据A与B并集为A,分B为空集与B不为空集两种情况考虑,求出m的范围即可.【解答】解:由A中的不等式解得:﹣7≤2x﹣3≤7,解得:﹣2≤x≤5,即A=[﹣2,5];当B=∅时,m+1>2m﹣1,即m<2,当B≠∅时,∵B=[m+1,2m﹣1],A∪B=A,∴,解得:﹣3≤m≤3,综上,m的取值范围是(﹣∞,3].故答案为:(﹣∞,3]【点评】此题考查了并集及其运算,熟练掌握并集的定义是解本题的关键.15.(3分)设题p:x2﹣4x+a2≥0恒成立:命题q:∀m∈[﹣1,1],不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立,如果命题p和q一个为真命题,一个为假命题,则实数a的取值范围是﹣2<a≤﹣1或2≤a<6.【分析】分别求出命题p,q都为真命题时a的取值范围,再分别讨论p真q假,p假q 真的情况,从而求出a的范围.【解答】解:x2﹣4x+a2≥0恒成立,则△=16﹣4a2≤0,解得a≤﹣2或a≥2,对m∈[﹣1,1],不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立,得a2﹣5a﹣3≥()max=3,解得a≥6或a≤﹣1.若p真q假,则,解得2≤a<6;若p假q真,则,解得﹣2<a≤﹣1.综上,实数a的取值范围为﹣2<a≤﹣1或2≤a<6.故答案为:﹣2<a≤﹣1或2≤a<6.【点评】本题考查了命题的真假,不等式恒成立问题,考查了分类讨论与转化思想,是一道中档题.16.(3分)设A={x|(x2+x﹣2)(x+1)>0},B={x|x2+ax+b≤0},A∪B={x|x+2>0},A ∩B={x|1<x≤3},则实数a,b的值为﹣2;﹣3.【分析】由A,B,以及A与B的交集,得到3属于B,即可求出a的值.【解答】解:A={x|(x2+x﹣2)(x+1)>0}={x|﹣2<x<﹣1或x>1};A∪B={x|x+2>0}={x|x>﹣2},A∩B={x|1<x≤3},∴x2+ax+b=0的解有一个是x=3,另一个解x=﹣1,即,解得a=﹣2,b=﹣3故答案为:﹣2,﹣3.【点评】此题考查了交集、并集及其运算,熟练掌握交集,并集的定义是解本题的关键.四、解答题17.已知集合A={x|2﹣a≤x≤2+a},B={x|x≤1或x≥4}.(1)当a=3时,求A∩B;(2)若A∪B=R,求实数a的取值范围.【分析】(1)当a=3时,求出集合A,由此能求出A∩B.(2)推导出,由此能求出实数a的取值范围是[2,+∞).【解答】解:(1)当a=3时,集合A={x|﹣1≤x≤5},B={x|x≤1或x≥4}.∴A∩B={x|﹣1≤x≤1或4≤x≤5}.(2)∵集合A={x|2﹣a≤x≤2+a},B={x|x≤1或x≥4}.A∪B=R,∴,解得a≥2.∴实数a的取值范围是[2,+∞).【点评】本题考查并集、实数的取值范围的求法,考查交集、并集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.18.求下列不等式的解集:(1)2x2+5x﹣3<0;(2)﹣3x2+6x≤2;(3)4x2+4x+1>0;(4)﹣x2+6x﹣10>0.【分析】(1)方法一(因式分解法),把不等式可化为(2x﹣1)(x+3)<0,求出解集即可.方法二(配方法),把不等式化为,求出解集即可.(2)不等式化为,求出解集即可.(3)不等式可化为(2x+1)2>0,写出不等式的解集即可.(4)不等式可化为(x﹣3)2+1<0,写出不等式的解集.【解答】解:(1)方法一(因式分解法)因为2x2+5x﹣3=(2x﹣1)(x+3),所以原不等式可化为(2x﹣1)(x+3)<0,解得,所以原不等式的解集为.方法二(配方法)原不等式化为,因为,所以原不等式可化为,即,两边开平方,得,即,所以.所以原不等式的解集为.(2)原不等式化为,因为,所以原不等式可化为,即.两边开平方,得,即或.所以或,所以原不等式的解集为.(3)原不等式可化为(2x+1)2>0,所以原不等式的解集为.(4)原不等式可化为x2﹣6x+10<0,即(x﹣3)2+1<0,即(x﹣3)2<﹣1,原不等式的解集为∅.【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题,是基础题.19.设p:实数x满足A={x|x≤3a,或x≥a(a<0)}.q:实数x满足B={x|﹣4≤x<﹣2}.且q是p的充分不必要条件,求实数a的取值范围.【分析】根据q是p的充分不必要条件,建立条件关系即可求实数a的取值范围.【解答】解:若q是p的充分不必要条件,则B⫋A,∴﹣2≤3a或﹣4≥a,解得a≥﹣,或a≤﹣4,∵a<0,∴a的取值范围是[﹣,0)∪(﹣∞,﹣4].【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的应用,属于基础题.20.若x,y∈(0,+∞),x+2y+xy=30.(1)求xy的取值范围;(2)求x+y的取值范围.【分析】(1)由已知可得30﹣xy=x+2y,从而可求;(2)由已知可得30=x+2y+xy=x+y+y(x+1)≤x+y+()2,解不等式可求.【解答】解:(1)因为x,y∈(0,+∞),x+2y+xy=30,所以30﹣xy=x+2y,当且仅当x=2y时取等号,解可得,0<xy≤18,(2)因为x,y∈(0,+∞),30=x+2y+xy=x+y+y(x+1)≤x+y+()2,当且仅当x+1=y时取等号,所以(x+1+y)2+4(x+1+y)﹣124≥0,解可得,x+y+1或x+y+1(舍),故x+y≥8﹣3【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用,应用条件的配凑是求解问题的关键.21.某种商品原来每件售价为25元,年销售量8万件.(Ⅰ)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元?(Ⅱ)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到x元.公司拟投入(x2﹣600)万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入x万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.【分析】(Ⅰ)设每件定价为x元,则提高价格后的销售量为,根据销售的总收入不低于原收入,建立不等式,解不等式可得每件最高定价;(Ⅱ)依题意,x>25时,不等式有解,等价于x>25时,有解,利用基本不等式,我们可以求得结论.【解答】解:(Ⅰ)设每件定价为x元,则提高价格后的销售量为,根据销售的总收入不低于原收入,有,(3分)整理得x2﹣65x+1000≤0,解得25≤x≤40.(5分)∴要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元.(6分)(Ⅱ)依题意,x>25时,不等式有解,(8分)等价于x>25时,有解,(9分)∵(当且仅当x=30时,等号成立),(11分)∴a≥10.2.此时该商品的每件定价为30元(12分)∴当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.(13分)【点评】解决实际问题的关键是读懂题意,建立函数模型,同时应注意变量的取值应使实际问题有意义.22.已知f(x)=﹣3x2+a(6﹣a)x+b.(1)解关于a的不等式f(1)>0;(2)若不等式f(x)≥b+4对于x∈[1,2]恒成立,求实数a的取值范围.【分析】(1)将f(1)带入可得﹣a2+6a+b﹣3>0,把b看成参数讨论关于a的不等式即可;(2)分离参数,利用对勾函数的性质求解最大值,即可求实数a的取值范围.【解答】解:(1)由f(1)>0,可得﹣a2+6a+b﹣3>0,即b﹣3>a2﹣6a,那么(a﹣3)2<6+b当b≤﹣6时,此时a无解;当b>﹣6时,,∴所以不等式的解集为(3,3+).(2)由f(x)≥b+4,即﹣3x2+a(6﹣a)x≥4.∵x∈[1,2],∴a(6﹣a)≥=,又x∈[1,2],∴函数y=的最大值8,此时x=2.∴a(6﹣a)≥8,即a2﹣6a+8≤0,解得2≤a≤4;故得实数a的取值范围[2,4].【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法以及不等式恒成立问题,利用对勾函数求最值是解决本题的关键.。
南京师范大学附属实验学校2023-2024学年度第一学期高一年级期中考试数学试卷
南京师范大学附属实验学校2023-2024学年度第一学期高一年级期中考试数学试卷分值:150 分 时间:120 分钟一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={−1,0,1},B ={1,2,5},则A⋂B = ( )A .{1}B .{−1,0,1,5}C .{−1,0,1,2,5}D .{−1,0,2,5}2.不等式(x−3)(x +1)<0的解集是 ( )A .(−∞,−3)∪(1,+∞)B .(−∞,−1)∪(3,+∞)C .(−3,1)D .(−1,3)3.已知函数f (x )由下表给出,则f [f (1)]等于 ( )x1234f (x )2341A .4B .3C .2D .14.已知2x 2−kx +m <0的解集为(−1,t )(t >−1),则k +m 的值为 ( )A .−1B .−2C .1D .25. 已知a,b ∈R ,则“”是“a b >1”的 ( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件6.若2x =5,lg 2≈0.3010,则x 的值约为 ( )A .2.301B .2.322C .2.507D .2.6997.已知函数f (x )=ax 5+bx 3+2,若f (m )=7,则f (−m )=( )A.—7B.—3C.3D.78.函数y =x 4-2x 2的大致图象是 ( )A .B .a bC.D.二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中有多项是符合题目要求的,全部选对得5分,部分选对但不全的得2分,错选或不选得0分,请把答案填写在答题卡相应位置上.9.满足{1,3}∪A={1,3,5}的集合A可能是()A.{5}B.{1,5}C.{1,3}D.{1,3,5}10. 下面命题为假命题的是()A.若a>b>c,ac<0,则b−a>0cB.函数y=1的单调减区间是(-∞,0)∪(0,+∞)xC.y=x+1的最小值是2xD.y=x2与s=(t)2是同一函数11.已知f(2x+1)=x2,则下列结论正确的是()A.f(-3)=4B.f(x)=x2−2x+1C.f(x)=x2D.f(3)=9412. 已知函数f(x)={x+2,x≤−1x2,−1<x<2,关于函数f(x)的结论正确的是()A.f(x)的定义域为RB. f(x)的值域为(-∞,4)C. f(1)=3D.若f(x)=3,则x的值是3三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
江苏省南京师大附中2020-2021学年高一上学期期中数学试题 (1)
江苏省南京师大附中【最新】高一上学期期中数学试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.设集合{2,4,6,8,10}A =,{4,8}B =,则A C B =( ). A .{4,8}B .{2,6}C .{2,6,10}D .{2,4,6,8,10}2.若21{0,,}x x ∈,则x =( ). A .1 B .1-C .0或1D .0或1-3.函数ln(1)y x =+-的定义域为( ).A .(1,2)B .(1,2]C .(2,1)-D .[2,1)-4.下列各组的函数,()f x 与()g x 是同一个函数的是( ).A .(),()f x x g x ==B .0()1,()f x g x x ==C .2(),()f x x g x ==D .()1,()x f x g x x==5.已知函数2,10() ,01x x f x x x --≤≤⎧=⎨<≤⎩,则下列图象错误的是( ).A .(1)=-y f x 的图象B .()y f x =的图象C .()y f x =-的图象D .()y f x =的图象6.已知2log 0x >,那么x 的取值范围是( ). A .(0,)+∞B .(1,)+∞C .(0,1)D .(,1)-∞7.若集合{}2|(2)210A x k x kx =+++=有且仅有1个元素,则实数k 的值是( ) A .±2或-1B .-2或-1C .2或-1D .-28.若函数2()(3)21f x k x kx =-++在(,0]-∞上为增函数,则k 的取值范围是( ).A .[0,3)B .[0,3]C .(0,3]D .[3,)+∞9.已知函数21()x ax f x x++=,若对任意(1,)x ∈+∞,不等式()1f x >恒成立,则实数a 的取值范围是( ).A .(,1)-∞-B .(,1]-∞-C .(1,)-+∞D .[1,)-+∞10.若函数224,1()42,1x a x f x x ax a x ⎧+≤=⎨-+>⎩在R 上单调递增,则实数a 的取值范围是( ). A .(1,4] B .[3,4]C .(1,3]D .[4,)+∞二、多选题11.若指数函数x y a =在区间[1,1]-上的最大值和最小值的和为52,则a 的值可能是( ). A .2B .12C .3D .1312.在一次社会实践活动中,某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画出了某种产品的总产量y (单位:千克)与时间x (单位:小时)的函数图像,则以下关于该产品生产状况的正确判断是( ).A .在前三小时内,每小时的产量逐步增加B .在前三小时内,每小时的产量逐步减少C .最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同D .最后两小时内,该车间没有生产该产品 13.下列四个说法中,错误的选项有( ).A .若函数()f x 在(,0]-∞上是单调增函数,在(0,)+∞上也是单调增函数,则函数()f x 在R 上是单调增函数B .已知函数的解析式为2yx ,它的值域为[1,4],这样的函数有无数个C .把函数22x y =的图像向右平移2个单位长度,就得到了函数222x y -=的图像D .若函数()f x 为奇函数,则一定有(0)0f =三、填空题14.若22,1()log ,1x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,则((0))f f =_____15.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,当0x <时,()(21)x f x x =+.则当0x >时,函数()f x =_____16.某新能源汽车公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入. 若该公司【最新】全年投入研发资金100万元,在此基础上,以后每年投入的研发资金比上一年增长8%,则该公司全年投入的研发资金开始超过1000万元的年份是_____年.(参考数据:lg1.080.033≈)四、双空题17.已知关于x 的方程1()202xt --=有两个不等的实数根1x 和2x ,且12x x <.①实数t 的取值范围是_____; ②212x x -的取值范围是_____五、解答题18.求下列各式的值: (1)02(2)π-+-+ (2)9log 423(lg5)lg 2lg50++⨯.19.解关于x 的不等式()(1)0()x a x a R --≤∈. 20.已知集合{}{}2280,0,121xA x x xB xC x a x a x ⎧⎫=--<=>=+≤≤⎨⎬+⎩⎭.(1)求AB ;(2)若A C A ⋃=,求实数a 的取值范围.21.暑假期间,某旅行社为吸引游客去某风景区旅游,推出如下收费标准:若旅行团人数不超过30,则每位游客需交费用600元;若旅行团人数超过30,则游客每多1人,每人交费额减少10元,直到达到70人为止.(1)写出旅行团每人需交费用y (单位:元)与旅行团人数x 之间的函数关系式; (2)旅行团人数为多少时,旅行社可以从该旅行团获得最大收入?最大收入是多少?22.已知函数()131x mf x =++为奇函数. (1)求实数m 的值;(2)判断函数()f x 的单调性;(3)求不等式21(1)02f x x --+<的解集. 23.已知函数21()log [4(1)2]2x x f x k k k =⋅--++.(1)当0k =时,求函数的值域;(2)若函数()f x 的最大值是1-,求k 的值;(3)已知01k <<,若存在两个不同的正数,a b ,当函数()f x 的定义域为[,]a b 时,()f x 的值域为[1,1]a b ++,求实数k 的取值范围.参考答案1.C 【解析】 【分析】A CB 表示A 中不包含B 的集合,容易选出答案。
江苏省南京师范大学附属中学2020-2021学年第一学期高一10月考数学试题.(解析版)
2020-2021学年江苏省南京师大附中高一(上)月考数学试卷(10月份)一、单项选择题1.(3分)不等式x2﹣3x﹣4<0的解集为()A.(﹣1,4)B.(﹣4,1)C.(﹣∞,﹣1)∪(4,+∞)D.[﹣1,4]2.(3分)命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”的否定是()A.存在x∈Z使x2+2x+m>0B.不存在x∈Z使x2+2x+m>0C.对任意x∈Z使x2+2x+m≤0D.对任意x∈Z使x2+2x+m>03.(3分)已知M={x|﹣1<x≤2},N={x|x≤3},则(∁R M)∩N=()A.[2,3]B.(2,3]C.(﹣∞,﹣1]∪[2,3]D.(﹣∞,﹣1]∪(2,3]4.(3分)“|a﹣b|=|a|+|b|”是“ab<0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5.(3分)已知命题“∃x∈R,2x2+(a﹣1)x+≤0是假命题,则实数a的取值范围是()A.(﹣∞,﹣1)B.(﹣1,3)C.(﹣3,+∞)D.(﹣3,1)6.(3分)已知不等式ax2﹣3x+2>0的解集为(﹣∞,1)∪(b,+∞),则a,b的取值分别为()A.1,2B.2,1C.﹣1,3D.﹣1,47.(3分)已知a>b>1且b=,则a+的最小值为()A.3B.4C.5D.68.(3分)已知命题p:∃x0∈R,mx02+1≤0,命题q:∀x∈R,x2+mx+1>0,若p,q为假命题,则实数m的取值范围是()A.﹣2≤m≤2B.m≤﹣2或m≥2C.m≤﹣2D.m≥29.(3分)设a,b,c∈R,且a>b,则()A.ac>bc B.C.a2>b2D.a3>b310.(3分)系统找不到该试题11.(3分)下列说法中正确的是()A.当x>0时,+≥2B.当x>2时,x+的最小值是2C.当x<时,y=4x﹣2+的最小值是5D.若a>0,则a3+的最小值为212.(3分)函数f(x)=x2﹣2ax+1有两个零点,且分别在(0,1)与(1,2)内,则实数a的取值范围是()A.﹣1<a<1B.a<﹣1或a>1C.D.三、填空题13.(3分)已知p:x≥k,q:<1,若p是q的充分不必要条件,则k的取值范围是.14.(3分)设集合A={x||2x﹣3|≤7},B={x|m+1≤x≤2m﹣1},若A∪B=A,则实数m的取值范围是.15.(3分)设题p:x2﹣4x+a2≥0恒成立:命题q:∀m∈[﹣1,1],不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立,如果命题p和q一个为真命题,一个为假命题,则实数a的取值范围是.16.(3分)设A={x|(x2+x﹣2)(x+1)>0},B={x|x2+ax+b≤0},A∪B={x|x+2>0},A ∩B={x|1<x≤3},则实数a,b的值为.四、解答题17.已知集合A={x|2﹣a≤x≤2+a},B={x|x≤1或x≥4}.(1)当a=3时,求A∩B;(2)若A∪B=R,求实数a的取值范围.18.求下列不等式的解集:(1)2x2+5x﹣3<0;(2)﹣3x2+6x≤2;(3)4x2+4x+1>0;(4)﹣x2+6x﹣10>0.19.设p:实数x满足A={x|x≤3a,或x≥a(a<0)}.q:实数x满足B={x|﹣4≤x<﹣2}.且q是p的充分不必要条件,求实数a的取值范围.20.若x,y∈(0,+∞),x+2y+xy=30.(1)求xy的取值范围;(2)求x+y的取值范围.21.某种商品原来每件售价为25元,年销售量8万件.(Ⅰ)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元?(Ⅱ)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到x元.公司拟投入(x2﹣600)万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入x万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.22.已知f(x)=﹣3x2+a(6﹣a)x+b.(1)解关于a的不等式f(1)>0;(2)若不等式f(x)≥b+4对于x∈[1,2]恒成立,求实数a的取值范围.2020-2021学年江苏省南京师大附中高一(上)月考数学试卷(10月份)参考答案与试题解析一、单项选择题1.【分析】把不等式化为(x﹣4)(x+1)<0,求出解集即可.【解答】解:不等式x2﹣3x﹣4<0可化为(x﹣4)(x+1)<0,解得﹣1<x<4,所以不等式的解集为(﹣1,4).故选:A.2.【分析】根据命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题,其否定命题是全称命题,将“存在”改为“任意的”,“≤“改为“>”可得答案.【解答】解:∵命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题∴否定命题为:对任意x∈Z使x2+2x+m>0故选:D.3.【分析】进行补集和交集的运算即可.【解答】解:∵M={x|﹣1<x≤2},N={x|x≤3},∴∁R M={x|x≤﹣1或x>2},(∁R M)∩N=(﹣∞,﹣1]∪(2,3].故选:D.4.【分析】根据绝对值的意义,以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【解答】解:∵“|a﹣b|=|a|+|b|”,∴平方得a2﹣2ab+b2=a2+2|ab|+b2,即|ab|=﹣ab,∴ab≤0,即“|a﹣b|=|a|+|b|”是“ab<0”的必要不充分条件.故选:B.5.【分析】写出原命题的否命题,据命题p与¬p真假相反,得到2x2+(a﹣1)x+>0恒成立,令判别式小于0,求出a的范围.【解答】解:∵“∃x∈R,2x2+(a﹣1)x+≤0”的否定为“∀x∈R,2x2+(a﹣1)x+>0“∵“∃x∈R,2x2+(a﹣1)x+≤0”为假命题∴“∀x∈R,2x2+(a﹣1)x+>0“为真命题即2x2+(a﹣1)x+>0恒成立∴(a﹣1)2﹣4×2×<0解得﹣1<a<3故选:B.6.【分析】解法一、利用不等式的解集得出对应方程的实数根,由根与系数的关系求出a、b的值.解法二、利用不等式的解集得出对应方程的实数根,把根代入方程求出a的值,再解不等式求出b的值.【解答】解:解法一、不等式ax2﹣3x+2>0的解集为(﹣∞,1)∪(b,+∞),所以不等式对应的方程ax2﹣3x+2=0的实数解为1和b,由根与系数的关系知,,解得a=1,b=2.解法二、因为不等式ax2﹣3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b},所以1和b是方程ax2﹣3x+2=0的两个实数根且a>0,把x=1代入方程ax2﹣3x+2=0中,得a﹣3+2=0,解得a=1;将a=1代入ax2﹣3x+2>0,得x2﹣3x+2>0,解得x<1或x>2,所以b=2.故选:A.7.【分析】由已知结合a,b的关系代入后利用基本不等式即可直接求解.【解答】解:因为a>b>1且b=,所以a+=a+=a﹣1+=3,当且仅当a﹣1=即a=2时取等号,此时取得最小值3.故选:A.8.【分析】直接利用存在性问题和恒成立问题的应用及真值表的应用求出结果.【解答】解:命题p:∃x0∈R,mx02+1≤0为假命题,所以m≥0,命题q:∀x∈R,x2+mx+1>0,所以△=m2﹣4<0,解得﹣2<m<2,由于该命题为假命题,所以m≥2或m≤﹣2.当p,q为假命题时,故,整理得m≥2.故选:D.9.【分析】对于A、B、C可举出反例,对于D利用不等式的基本性质即可判断出.【解答】解:A、3>2,但是3×(﹣1)<2×(﹣1),故A不正确;B、1>﹣2,但是,故B不正确;C、﹣1>﹣2,但是(﹣1)2<(﹣2)2,故C不正确;D、∵a>b,∴a3>b3,成立,故D正确.故选:D.10.11.【分析】由已知结合基本不等式的应用条件分别检验各选项即可判断.【解答】解:x>0时,≥2,当且仅当即x=1时取等号,A正确;当x>2时,y=x+单调递增,故y>,没有最小值,B错误;x<可得4x﹣5<0,y=4x﹣2+=4x﹣5++3=﹣(5﹣4x+)+3≤1,即最大值1,没有最小值,C错误;=2a,当且仅当即a=1时取等号,D正确.故选:AD.12.【分析】由题意可得f(0)×f(1)<0,f(1)×f(2)<0,解得实数a的取值范围,可得答案.【解答】解:由题意可得:f(0)×f(1)<0,且f(1)×f(2)<0,即:解得,故选:C.三、填空题13.【分析】由题意可得集合{x|x≥k}是{x|<1}的真子集,结合数轴可得答案.【解答】解:∵p:x≥k,q:<1,若p是q的充分不必要条件,∴集合{x|x≥k}是{x|<1}={x|x<﹣1,或x>2}的真子集,∴k>2,故答案为:k>214.【分析】求出A中不等式的解集确定出A,根据A与B并集为A,分B为空集与B不为空集两种情况考虑,求出m的范围即可.【解答】解:由A中的不等式解得:﹣7≤2x﹣3≤7,解得:﹣2≤x≤5,即A=[﹣2,5];当B=∅时,m+1>2m﹣1,即m<2,当B≠∅时,∵B=[m+1,2m﹣1],A∪B=A,∴,解得:﹣3≤x≤3,综上,m的取值范围是(﹣∞,3].故答案为:(﹣∞,3]15.【分析】分别求出命题p,q都为真命题时a的取值范围,再分别讨论p真q假,p假q 真的情况,从而求出a的范围.【解答】解:x2﹣4x+a2≥0恒成立,则△=16﹣4a2≤0,解得a≤﹣2或a≥2,对m∈[﹣1,1],不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立,得a2﹣5a﹣3≥()max=3,解得a≥6或a≤﹣1.若p真q假,则,解得2≤a<6;若p假q真,则,解得﹣2<a≤﹣1.综上,实数a的取值范围为﹣2<a≤﹣1或2≤a<6.故答案为:﹣2<a≤﹣1或2≤a<6.16.【分析】由A,B,以及A与B的交集,得到3属于B,即可求出a的值.【解答】解:A={x|(x2+x﹣2)(x+1)>0}={x|﹣2<x<﹣1或x>1};A∪B={x|x+2>0}={x|x>﹣2},A∩B={x|1<x≤3},∴x2+ax+b=0的解有一个是x=3,另一个解x=﹣1,即,解得a=﹣2,b=﹣3故答案为:﹣2,﹣3.四、解答题17.【分析】(1)当a=3时,求出集合A,由此能求出A∩B.(2)推导出,由此能求出实数a的取值范围是[2,+∞).【解答】解:(1)当a=3时,集合A={x|﹣1≤x≤5},B={x|x≤1或x≥4}.∴A∩B={x|﹣1≤x≤1或4≤x≤5}.(2)∵集合A={x|2﹣a≤x≤2+a},B={x|x≤1或x≥4}.A∪B=R,∴,解得a≥2.∴实数a的取值范围是[2,+∞).18.【分析】(1)方法一(因式分解法),把不等式可化为(2x﹣1)(x+3)<0,求出解集即可.方法二(配方法),把不等式化为,求出解集即可.(2)不等式化为,求出解集即可.(3)不等式可化为(2x+1)2>0,写出不等式的解集即可.(4)不等式可化为(x﹣3)2+1<0,写出不等式的解集.【解答】解:(1)方法一(因式分解法)因为2x2+5x﹣3=(2x﹣1)(x+3),所以原不等式可化为(2x﹣1)(x+3)<0,解得,所以原不等式的解集为.方法二(配方法)原不等式化为,因为,所以原不等式可化为,即,两边开平方,得,即,所以.所以原不等式的解集为.(2)原不等式化为,因为,所以原不等式可化为,即.两边开平方,得,即或.所以或,所以原不等式的解集为.(3)原不等式可化为(2x+1)2>0,所以原不等式的解集为.(4)原不等式可化为x2﹣6x+10<0,即(x﹣3)2+1<0,即(x﹣3)2<﹣1,原不等式的解集为∅.19.【分析】根据q是p的充分不必要条件,建立条件关系即可求实数a的取值范围.【解答】解:若q是p的充分不必要条件,则B⫋A,∴﹣2≤3a或﹣4≥a,解得a≥﹣,或a≤﹣4,∵a<0,∴a的取值范围是[﹣,0)∪(﹣∞,﹣4].20.【分析】(1)由已知可得30﹣xy=x+2y,从而可求;(2)由已知可得30=x+2y+xy=x+y+y(x+1)≤x+y+()2,解不等式可求.【解答】解:(1)因为x,y∈(0,+∞),x+2y+xy=30,所以30﹣xy=x+2y,当且仅当x=2y时取等号,解可得,0<xy≤18,(2)因为x,y∈(0,+∞),30=x+2y+xy=x+y+y(x+1)≤x+y+()2,当且仅当x+1=y时取等号,所以(x+1+y)2+4(x+1+y)﹣124≥0,解可得,x+y+1或x+y+1(舍),故x+y≥8﹣321.【分析】(Ⅰ)设每件定价为x元,则提高价格后的销售量为,根据销售的总收入不低于原收入,建立不等式,解不等式可得每件最高定价;(Ⅱ)依题意,x>25时,不等式有解,等价于x>25时,有解,利用基本不等式,我们可以求得结论.【解答】解:(Ⅰ)设每件定价为x元,则提高价格后的销售量为,根据销售的总收入不低于原收入,有,(3分)整理得x2﹣65x+1000≤0,解得25≤x≤40.(5分)∴要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元.(6分)(Ⅱ)依题意,x>25时,不等式有解,(8分)等价于x>25时,有解,(9分)∵(当且仅当x=30时,等号成立),(11分)∴a≥10.2.此时该商品的每件定价为30元(12分)∴当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.(13分)22.【分析】(1)将f(1)带入可得﹣a2+6a+b﹣3>0,把b看成参数讨论关于a的不等式即可;(2)分离参数,利用对勾函数的性质求解最大值,即可求实数a的取值范围.【解答】解:(1)由f(1)>0,可得﹣a2+6a+b﹣3>0,即b﹣3>a2﹣6a,那么(a﹣3)2<6+b当b≤﹣6时,此时a无解;当b>﹣6时,,∴所以不等式的解集为(3,3+).(2)由f(x)≥b+4,即﹣3x2+a(6﹣a)x≥4.∵x∈[1,2],∴a(6﹣a)≥=,又x∈[1,2],∴函数y=的最大值8,此时x=2.∴a(6﹣a)≥8,即a2﹣6a+8≤0,解得2≤a≤4;故得实数a的取值范围[2,4]。
2020-2021苏州南京师范大学苏州实验学校高一数学上期中一模试题带答案
f x f 13x 0 f x f 13x
x 3x 1
f x f 3x 1 1 x 1 ,
1 3x 1 1
解可得:
1 2
x
2 3
,即不等式的解集为
1 2,2 3 Nhomakorabea;
故选:D.
【点睛】
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,解题时不要忽略函数的定义域,属于中档
题.
4.A
,
1 3
代入函数
y
ax
,即
1 3
1
a3
,解得
a
1 27
,
3
把
N
2 3
,
2 3
代入函数
y
logb
x ,即 2 3
logb
2 3
,即得
b
2 2 3
26 9
,所以 a b 1.
故选 A.
【点睛】
本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用,其中解答熟练应用指数函数和
对数函数的解析式求得 a, b 的值是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
a
3,
1 3
因此选 B.
【点睛】
本题考查幂函数奇偶性与单调性,考查基本判断选择能力.
10.B
解析:B
【解析】
试题分析:因为函数 f(x)=2 x +3x 在其定义域内是递增的,那么根据 f(-1)= 1 3 5 0 ,f
3.D
解析:D 【解析】 【分析】
根据题意可得函数 f x 的奇偶性以及单调性,据此原不等式转化为 f x f 3x 1 ,
求解可得 x 的取值范围,即可得出结论. 【详解】
2023-2024学年江苏省南京师大附中高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省南京师大附中高一(上)期中数学试卷一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把答案直接填写在答题卡相应位置上1.已知集合A ={﹣2,﹣1,0,1,2},B ={x |x =3k +1,k ∈Z },则集合A ∩B =( ) A .{0,2}B .{﹣1,2}C .{﹣2,0,2}D .{1,﹣2}2.函数f(x)=√x 2+2x 的增区间是( ) A .[0,+∞)B .[﹣1,+∞)C .(﹣∞,﹣2]D .(﹣∞,﹣1]3.若命题“∃x ∈R ,使得x 2﹣2x +m =0”是真命题,则实数m 的取值范围是( ) A .(1,+∞)B .[1,+∞)C .(﹣∞,1)D .(﹣∞,1]4.已知幂函数f(x)=x −m2+2m的定义域为R ,且m ∈Z ,则m 的值为( )A .﹣1B .0C .1D .25.已知二次函数y =x 2+bx +c 的图象与x 轴交于(﹣1,0),(2,0)两点,则关于x 的不等式cx 2+x ﹣b >0的解集为( ) A .(−12,1) B .(−∞,−12)∪(1,+∞) C .(−1,12)D .(−∞,−1)∪(12,+∞)6.设n 为正整数,f(n)=1+12+13+⋯+1n,人们对于f (n )的研究已经持续了几百年,迄今为止仍没有得到求和公式,只是得到了它的近似公式:当n 很大时,f (n )≈lnn +γ,其中γ称为欧拉﹣马歇罗尼常数,γ≈0.5772,至今还不确定γ是有理数还是无理数.由于上式在n 很大时才成立,故当n 较小时计算出的结果与实际值之间存在一定的误差,已知ln 2≈0.6931,用上式估算出的ln 4与实际的ln 4的误差绝对值近似为( ) A .0.03B .0.12C .0.17D .0.217.函数f(x)=1+x 21−x 2的图象大致为( )A .B .C .D .8.已知互不相同的实数x ,y ,z ,满足3x=4y=6z,则2z x 3−z2y 的值为()A .12B .1C .2D .3二、多项选择题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分。
江苏省南京师范大学附属实验学校2020-2021学年高一上学期期中数学试题(解析版)
江苏省南京师范大学附属实验学校2020-2021学年高一第一学期期中考试数学试卷一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 有下列陈述句:①247+= ;②两个全等三角形的面积相等;③ 1.x >上述语句是命题的个数为( ) A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】C【解析】【分析】根据命题的定义,即可得答案;【详解】对①②,都是可以判断真假的陈述句,故①②是命题,对③,1x >不能判断真假,故③不是命题,故选:C.【点睛】本题考查命题的概念,考查对概念的理解,属于基础题.2. 已知集合{}2,1,0,1,2,3U =--,{}1,0,1A =-,{}1,2B =,则()U A B ⋃=( ) A. {}2,3-B. {}2,2,3-C. {}2,1,0,3--D. {}2,1,0,2,3-- 【答案】A【解析】【分析】根据集合的交并补公式,直接代入求解即可.【详解】先求{}1,0,1,2A B ⋃=-,{}()-2,3U A B ⋃=.故选:A.【点睛】本题考查了集合的交并补运算,在高考中属于送分题,属于简单题.3. 函数2y x x 2=--的零点是( )A. ()1,0-B. ()2,0C. ()1,0-或()2,0D. 1-和2【答案】D【解析】【分析】函数2y x x 2=--的零点即方程220x x --=的根,解一元二次方程可得答案.【详解】函数2y x x 2=--的零点即方程220x x --=的根 ()()210x x -+=解得2x =或1x =-则函数2y x x 2=--的零点是1-和2故选:D4. 已知集合{}2,1A =-,{}2,1B m m =--,且A B =,则实数m 等于( ) A. 2 B. 1- C. 2或1- D. 1-和2【答案】C【解析】【分析】令22m m -=,解出实数m 即可.【详解】令22m m -=,解得2m =或1-故选:C5. 已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<,,则M N ⋂= A. }{43x x -<< B. }{42x x -<<- C. }{22x x -<< D. }{23x x <<【答案】C【解析】【分析】 本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法,渗透了数学运算素养.采取数轴法,利用数形结合的思想解题. 【详解】由题意得,{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<,则 {}22M N x x ⋂=-<<.故选C .【点睛】不能领会交集的含义易致误,区分交集与并集的不同,交集取公共部分,并集包括二者部分.6. 函数()1f x x =-的定义域是( ) A. 4x ≤且1x ≠B. [)4,+∞C. ()(),11,4-∞⋃D. ()(],11,4-∞ 【答案】D【解析】【分析】由4010x x -≥⎧⎨-≠⎩,解不等式可得函数的定义域. 【详解】由4010x x -≥⎧⎨-≠⎩,解得4x ≤且1x ≠ 故选:D7. 函数2()23f x x x =-+-,()0,3x ∈的值域为( ) A. ()6,2--B. ()6,3--C. (]6,2--D. []6,2-- 【答案】C【解析】【分析】 利用配方法化简二次函数,求出对称轴以及端点对应的函数值,可得函数值域.【详解】()22()2312f x x x x =-+-=---开口向下,对称轴为1x =,且12f ,()36f =- 则函数的值域为(]6,2--故选:C8. 函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减,且为奇函数.若(1)1f =-,则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是( ). A. []22-,B. []1,1-C. []0,4D. []1,3【答案】D【解析】【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性,可将不等式1(2)1f x --化为121x --,解得答案.【详解】解:由函数()f x 为奇函数,得(1)(1)1f f -=-=,不等式1(2)1f x -≤-≤即为(1)(2)(1)f f x f ≤-≤-,又()f x 在(,)-∞+∞单调递减,所以得121x ≥-≥-,即13x ≤≤,故选:D.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9. 已知下列命题中,真命题的是( )A. 2,10x x ∀∈+>RB. 2,1x x ∀∈≥NC. 3,1x x ∃∈<ZD. 2,3x x ∃∈=Q【答案】AC【解析】【分析】对四个选项逐个分析,可得出答案.【详解】对于A ,因为20x ≥,所以2110x +≥>,故A 是真命题;对于B ,取0x =,则01<,不满足21x ≥,故B假命题;对于C ,取0x =,满足01<,故C 是真命题;对于D ,令23x =,解得x =Q ,故D 是假命题.故选:AC.【点睛】本题考查命题真假的判断,考查学生的推理能力,属于基础题.10. 下列运算结果中,一定正确的是( )A. 347·a a a =B. 236()a a -=C.a = D. π=-【答案】AD【解析】【分析】根据有理数指数幂的运算法则计算.【详解】解:A 选项34347a a a a +==,正确;B 选项236()a a -=-,错误;C 选项当0aa =,当0a <a =-,错误;Dπ=-,正确.故选:AD .【点睛】本题考查了有理数指数幂的运算,属于基础题.11. 下列命题为真命题的是( )A. 若a b >,则22ac bc >B. 若23,12a b -<<<<,则42a b -<-<C. 若0,0b a m <<<,则m m a b > D. 若,a b c d >>,则ac bd > 【答案】BC【解析】【分析】 由不等式的性质对合选项一一进行判断可得答案.【详解】解:A 项,若a b >,取0c,可得22ac bc =,故A 不正确; B 项, 若23,12a b -<<<<,可得:21b -<-<-,故42a b -<-<,故B 正确;C 项,若0,b a <<可得011b a>>,由0m <可得:m m a b >,故C 正确; C 项,举反例,虽然52,12>->-,但是5-<-4,故D 不正确;故选:BC.【点睛】本题主要考查利用不等式的性质比较大小,属于基础题型. 12. 设正实数mn 、满足2m n +=,则下列说法正确的是( ) A. 12m n +B. 的最大值为12C. +的最小值为2D. 22m n +的最小值为2【答案】ABD【解析】【分析】利用基本不等式性质和“乘1法”逐项排除,注意等号成立的条件.【详解】A 选项,正实数mn 、满足2m n += 1211212()()(3)22n m m n m n m n m n ∴+=++=++13(322+≥+=,2n m m n = 当且仅当2n m m n =时,等号成立,故A 正确;B 选项,由2m n +=且0,0m n >>12m n +≤=,当且仅当1m n ==12≤,故B 正确;C 选项,由2m n +=且0,0m n >>得,222+=222]4∴≤+=2≤,故C 错误;D 选项,222()22m n m n ++≥=,故D 正确. 故选:ABD .【点睛】本题注意考查基本不等式0,0)a b a b +≥>>的性质、“乘1法”.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 已知命题p :“2230x x x ∀∈+->R ,”,请写出命题p 的否定:_____________【答案】2000230x x x ∃∈+-≤R ,【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题,改变量词,否定结论,即可得出答案.【详解】命题p 为全称命题,其否定为:2000230x x x ∃∈+-≤R ,.故答案为:2000230x x x ∃∈+-≤R ,.【点睛】本题考查命题的否定,注意命题的否定是否定命题的结论,同时把全称量词与存在量词互换. 14. 设x ∈R ,则“2x x =”是“1x =”的_________条件(从“充要条件”“充分不必要条件”“必要不充分条件”“既不充分也不必要条件”选一个填空).【答案】必要不充分【解析】【分析】利用必要不充分条件的定义可得答案.【详解】2x x =等价于1x =或0x =则2x x =不能推出1x =,而1x =可以推出2x x =即“2x x =”是“1x =”的必要不充分条件故答案为:必要不充分15. 已知函数224,02()log ,2x x x f x x x ⎧-≤≤=⎨>⎩则()4=f f ⎡⎤⎣⎦_________. 【答案】4-【解析】【分析】先求出()4f ,代入()4f f ⎡⎤⎣⎦可得答案.【详解】()24log 42f ==()()2422424f f f ∴==-⨯=-⎡⎤⎣⎦故答案为:4-16. 方程243x x m -+-=有四个互不相等的实数根,则实数m 的取值范围为_________.【答案】()3,1-【解析】【分析】 方程243x x m -+-=有四个互不相等实数根即243y x x =-+与y m =-的图象有四个不同的交点,作出函数图象可得实数m 的取值范围. 【详解】方程243x x m -+-=有四个互不相等的实数根 即243y x x =-+与y m =-的图象有四个不同的交点 作出22243,04343,0x x x y x x x x x ⎧-+>=-+=⎨++≤⎩的函数图象如图所示:当2x =时,1y =-;0x =时,3y =,∴13m -<-<,()3,1m ∈-故答案为:()3,1-四、解答题:本题共6小题,共70分.答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17. 计算、化简下列各式的值:(1)()()1620434162320204349π-⎛⎫+--⨯+- ⎪⎝⎭;(2)23425log 3log 4log 5log 4⨯⨯⨯.【答案】(1)99π+;(2)1.【解析】【分析】(1)利用指数幂的性质化简求值即可;(2)利用对数换底公式求值即可.【详解】(1)60323(2020)+--1244164(3)49π-⎛⎫⨯+- ⎪⎝⎭10817399ππ=+-+-=+. (2)原式()232512log 32log 2log 5log 222⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭lg 3lg 2lg 5lg 2lg 2lg 3lg 2lg 5= 1=.18. (1)已知2(1)23f x x x +=-+,求()f x .(2)已知()49f f x x =+⎡⎤⎣⎦,且()f x 为一次函数,求()f x .(3)已知函数()f x 满足12()f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,求()f x . 【答案】(1)()2256f x x x =-+;(2)()23f x x =+或()29f x x =--;(3)21()33f x x x=-. 【解析】【分析】(1)用换元法,设1x t 求出x ,表示出()f t ,可得出()f x 的解析式.(2)通过()f x 为一次函数可设()f x kx b =+,然后再通过()f f x ⎡⎤⎣⎦的解析式,可求出,k b 的值.(3)由12()f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭可得出112()f f x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,将两个方程联立可得出()f x 的解析式. 【详解】(1)令1t x =+则1x t =-. 2()2(1)(1)3f t t t ∴=---+224213t t t =-+-++2256t t =-+.()2256f x x x ∴=-+(2)()f x 为一次函数∴设()(0)f x kx b k =+≠.()()()f f x f kx b k kx b b ∴=+=++⎡⎤⎣⎦249k x kb b x =++=+.249k kb b ⎧=∴⎨+=⎩23k b =⎧∴⎨=⎩或29k b =-⎧⎨=-⎩ ()23f x x ∴=+或()29f x x =--.(3)12()f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭①112()f f x x x ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭②. 联立①式,②式 则21()33f x x x=-. 19. 已知函数()f x mx x x =-,且(2)0f =.(1)求实数m 的值,并判断()f x 的奇偶性;(2)作出函数()f x 的图象,并指出()f x 的单调减区间;(3)求[)2,3x ∈-时函数的值域.【答案】(1)2m =,奇函数;(2)图见解析,减区间为(,1)-∞-,(1,)+∞;(3)(]3,1-.【解析】【分析】(1)根据(2)0f =可求出m 的值,再根据x ∈R 分析()f x -与()f x 的关系,可判断()f x 的奇偶性. (2)将()f x 写成分段函数的形式,分别画出两段函数图像,再根据图像可得函数的单调减区间. (3)结合图像可得出函数的值域范围.【详解】(1)由函数()f x mx x x =-,且(2)0f =,可得240m -=, 2m ∴=.∴函数()2f x x x x =-,()f x 的定义域为R ,且()2()()f x x x x -=----2()x x x f x =-+=-,()f x ∴为奇函数. (2)222,0()22,0x x x f x x x x x x x ⎧-+≥=-=⎨+<⎩. 它的图像如图所示:结合图像可得()f x 的单调减区间为(),1-∞-和()1,+∞(3)当[)2,3x ∈-时,结合函数的图像可得,()f x 的最大值为(1)1f =由于(1)1f -=-,(3)3f =-,可知[)2,3x ∈-时,函数的值域为(]3,1-.20. 关于x 的不等式1x a -<的解集为A ,关于x 的不等式102x x -≤-的解集为B ,若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.【答案】12a ≤<.【解析】【分析】由x A ∈是x B ∈的必要不充分条件,则集合B 是集合A 的真子集,解不等式化简集合A ,B ,列出不等式组可得实数a 的取值范围.【详解】因为x A ∈是x B ∈的必要不充分条件,所以集合B 是集合A 的真子集, 解不等式1x a -<,得11a x a -+<<+, 所以{}11A x a x a =-+<<+,解不等式102x x -≤-,得12x ≤<,所以{}12B x x =≤<. 因为集合B 是集合A 的真子集,所以112121a a a a -<⇒<⎧⎨+≥⇒≥⎩ 12a ∴≤<.21. 某工厂要建造一个长方体无盖蓄水池,其容积为48003m ,深为3m ,如果池底每21m 的造价为150元,池壁每21m 的造价为120元,问怎样设计水池才能使总造价最低?最低总造价是多少元?【答案】一边长50,另一边长32时造价最低为297600.【解析】试题分析:设水池底面一边的长度为x m ,则另一边的长度为48003xm ,又设水池总造价为y 元,总造价等于每单位造价乘以面积,所以48004800150120(2323)33y x =⨯+⨯⨯+⨯⨯,利用基本不等式求得最小值为297600,此时40x =.试题解析:设水池底面一边的长度为x m ,则另一边的长度为48003xm ,又设水池总造价为y 元, 根据题意,得 48004800150120(2323)33y x =⨯+⨯⨯+⨯⨯ 1600240000720()x x =+⨯+16002400007202297600x x ≥+⨯⋅=(元), 当且仅当1600x x=,即40x =时,y 取得最小值297600. 答:水池底面为正方形且边长为40m 时总造价最低,最低总造价为297600元.考点:应用问题,基本不等式.【方法点晴】在运用时,注意条件a 、b 均为正数,结合不等式的性质,进行变形. 三个式子必须都为非负且能同时取得等号时,三个式子才能相乘,最后答案才能取得等号. 在利用基本不等式证明的过程中,常常要把数、式合理的拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式,以便于利用基本不等式.实际应用问题先根据题意将函数解析式求出来,再用基本不等式求解.22. 已知2()4x f x x =+,(2,2)x ∈-. (1)用定义判断并证明函数()f x 在(2,2)-上的单调性;(2)若(2)(21)f a f a +>-,求实数a 的取值范围.【答案】(1)增函数,证明见解析;(2)1,02⎛⎫-⎪⎝⎭. 【解析】【分析】(1)()f x 在(2,2)-上为增函数,任取1x ,2(2,2)x ∈-,且12x x <,化简()()12f x f x -并判断与零的大小关系,得出结论;(2)利用函数的定义域和单调性,列出不等式组,解出实数a 的取值范围.【详解】(1)()f x 在(2,2)-上为增函数.证明:任取1x ,2(2,2)x ∈-,且12x x <, 所以()()1212221244x x f x f x x x -=-++()()()()21122212444x x x x x x --=++. 因为1222x x -<<<,所以210x x ->,1240x x -<则()()120f x f x -<,即()()12f x f x <,所以函数()f x 在(2,2)-上为增函数.(2)解:由(1)知,()f x 在(2,2)-上单调递增,又(2)(21)f a f a +>-,所以222,2212,221,a a a a -<+<⎧⎪-<-<⎨⎪+>-⎩解得40,13,223,a a a -<<⎧⎪⎪-<<⎨⎪<⎪⎩ 即102a -<<, 所以a 的取值范围是1,02⎛⎫-⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛:本题考查定义法判断函数的单调性,考查利用函数的单调性解不等式,考查学生计算能力,定义法证明单调性的步骤:1.取值,在定义域或者给定区间上任意取任取12,x x ,不妨设12x x <;2.作差,变形,对()()21f x f x -化简,通过因式分解或者配方法等,判断出差值的符号;3.定号,确定差值的符号,当符号不确定时,可以分类讨论;4.判断,根据定义得出结论.。
江苏省南京师范大学附属实验学校2020-2021学年高一上学期期中数学试题
江苏省南京师范大学附属实验学校2020-2021学年高一第一学期期中考试数学试卷一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.有下列陈述句:①247+=;②两个全等三角形的面积相等;③1x >.上述语句是命题的个数为( )A .0B .1C .2D .32.已知集合{}2,1,0,1,2,3U =--,{}1,0,1A =-,{}1,2B =,则()U A B ⋃=( ) A .{}2,3-B .{}2,2,3-C .{}2,1,0,3--D .{}2,1,0,2,3-- 3.函数22y x x =--的零点是( )A .()1,0-B .()2,0C .()1,0-或()2,0D .1-和24.已知集合{}2,1A =-,{}2,1m B m =--,且A B =,则实数m 等于( )A .2B .1-C .2或1-D .1-和2 5.已知集合{}42M x x =-<<,{}260N x x x =--<,则M N ⋂=( )A .{}43x x -<<B .{}42x x -<<-C .{}22x x -<<D .{}23x x <<6.函数()f x =的定义域是( ) A .4x ≤且1x ≠ B .[)4,+∞C .()(),11,4-∞⋃D .()(],11,4-∞⋃ 7.函数2()23f x x x =-+-,()0,3x ∈的值域为( )A .()6,2--B .()6,3--C .(]6,2--D .[]6,2--8.函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递减,且为奇函数.若(1)1f =-,则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是( )A .[]2,2-B .[]1,1C .[]0,4D .[]1,3二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.已知下列命题中,真命题的是( )A .x ∀∈R ,210x +>;B .x ∀∈N ,21x ≥;C .x ∃∈Z ,31x <;D .x ∃∈Q ,23x =;10.下列运算结果中,一定正确的是( )A .347a a a ⋅=B .()326a a -= Ca = Dπ=-11.下列命题为真命题的是( )A .若a b >,则22ac bc >B .若23a -<<,12b <<,则42a b -<-<C .若0b a <<,0m <,则m m a b> D .若a b >,c d >,则ac bd >. 12.设正实数m ,n 满足2m n +=,则下列说法正确的是( )A .12m n+B12 C的最小值为2 D .22m n +的最小值为2三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知命题P :“x R ∀∈,2230x x +->”,请写出命题P 的否定: .14.设x R ∈,则“2x x =”是“1x =”的 条件(从“充要条件”“充分不必要条件”“必要不充分条件”“既不充分也不必要条件”选一个填空).15.已知函数224,02()log ,2x x x f x x x ⎧-≤≤=⎨>⎩则/()4=f f ⎡⎤⎣⎦ . 16.方程243x x m -+-=有四个互不相等的实数根,则实数m 的取值范围为 . 四、解答题:本题共6小题,共70分.答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.计算、化简下列各式的值:(1)162016(2020)449⎛⎫+--⨯+ ⎪⎝⎭ (2)23425log 3log 4log 5log 4⨯⨯⨯.18.(1)已知2(1)23f x x x +=-+,求()f x .(2)已知()49f f x x =+⎡⎤⎣⎦,且()f x 为一次函数,求()f x .(3)已知函数()f x 满足12()f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,求()f x . 19.已知函数()f x mx x x =-,且(2)0f =.(1)求实数m 的值,并判断()f x 的奇偶性;(2)作出函数()f x 的图象,并指出()f x 的单调减区间;(3)求[)2,3x ∈-时函数的值域.20.关于x 的不等式1x a -<的解集为A ,关于x 的不等式102x x -≤-的解集为B ,若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.21.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为34800m ,深为3m ,如果池底每21m 的造价为150元,池壁每21m 的造价为120元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元?22.已知2()4x f x x =+,(2,2)x ∈-. (1)用定义判断并证明函数()f x 在(2,2)-上的单调性;(2)若(2)(21)f a f a +>-,求实数a 的取值范围.江苏省南京师范大学附属实验学校2020-2021学年高一第一学期期中考试数学试卷参考答案一、1-5 CADCC 6-8 DCD二、9.AC 10.AD 11.BC 12.ABD三、13.x R ∃∈,2230x x +-≤ 14.必要不充分 15.-4 16.()3,1-四、解答题17.【答案】解:(1)60(2020)+--1216449-⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭ 10817399ππ=+-+-=+.(2)原式()232512log 32log 2log 5log 222⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ lg 3lg 2lg 5lg 2lg 2lg 3lg 2lg 5= 1=.18.答案:(1)令1t x =+则1x t =-.2()2(1)(1)3f t t t ∴=---+224213t t t =-+-++2256t t =-+.(2)()f x 为一次函数∴设()(0)f x kx b k =+≠.()()()f f x f kx b k kx b b ∴=+=++⎡⎤⎣⎦249k x kb b x =++=+. 249k kb b ⎧=∴⎨+=⎩23k b =⎧∴⎨=⎩或29k b =-⎧⎨=-⎩ ()23f x x ∴=+或()29f x x =--.(3)12()f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭112()f f x x x ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭. 21()33f x x x∴=-. 19.答案解:(1)由函数()f x mx x x =-,且(2)0f =,可得240m -=,2m ∴=.∴函数()2f x x x x =-,()f x 的定义域为R ,且()2()()f x x x x -=⋅---⋅-2()x x x f x =-+=-,()f x ∴为奇函数.(2)222,0()22,0x x x f x x x x x x x ⎧-+≥⎪=-=⎨+<⎪⎩. 它的图象如图所示:结合图象可得()f x 的单调减区间为(,1)-∞-,(1,)+∞.(3)当[)2,3x ∈-时,结合函数的图象可得,(1)1f -=-,(1)1f =,(3)3f =-,可知[)2,3x ∈-时,函数的值域为(]3,1-.20.【答案】解:因为x A ∈是x B ∈的必要不充分条件,所以集合B 是集合A 的真子集, 解不等式1x a -<,得11a x a -+<<+, 所以{}11A x a x a =-+<<+, 解不等式102x x -≤-,得12x ≤<,所以{}12B x x =≤<. 因为集合B 是集合A 的真子集,所以112121a a a a -<⇒<⎧⎨+≥⇒≥⎩12a ∴≤<.21.【答案】解:容积为4800,深为3∴底面积为480016003=,设水池底面一边的长为x 米,则另一边的长为1600x米,又设总造价为y 元. 16001501600120233y x x ⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯ ⎪⎝⎭1600240000720x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 0x >240000720297600y ∴≥+⨯= 当且仅当1600x x=,即40x =时,y 有最小值297600元. 答:当水池的底面为边长为40米的正方形时总造价最低,最低总造价是297600元.22.答案(1)()f x 在(2,2)-上为增函数.证明:任取1x ,2(2,2)x ∈-,且12x x <,所以()()1212221244x x f x f x x x -=-++()()()()21122212444x x x x x x --=++. 因为1222x x -<<<,所以210x x ->,1240x x -<则()()120f x f x -<,即()()12f x f x <,所以函数()f x 在(2,2)-上为增函数.(2)解:;由(1)知,()f x 在(2,2)-上单调递增,又(2)(21)f a f a +>-,所以222,2212,221,a a a a -<+<⎧⎪-<-<⎨⎪+>-⎩解得40,13,223,a a a -<<⎧⎪⎪-<<⎨⎪<⎪⎩ 即102a -<<, 所以a 的取值范围是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.。
2020-2021南京师范大学附中树人学校高三数学上期中一模试卷附答案
2020-2021南京师范大学附中树人学校高三数学上期中一模试卷附答案一、选择题1.已知等差数列{}n a 中,10103a =,20172017S =,则2018S =( ) A .2018B .2018-C .4036-D .40362.定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,若(){}nf a 仍是比数列,则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞⋃+∞上的如下函数: ①()3f x x =;②()xf x e =;③()f x x =;④()ln f x x =则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为( ) A .①②B .③④C .①③D .②④3.已知实数x ,y 满足521802030x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩,若直线10kx y -+=经过该可行域,则实数k的最大值是( ) A .1B .32C .2D .34.设{}n a 是首项为1a ,公差为-1的等差数列,n S 为其前n 项和,若124,,S S S 成等比数列,则1a =( ) A .2B .-2C .12D .12-5.关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中,恰有3个整数,则a 的取值范围是( )A .[)(]3,24,5--⋃B .()()3,24,5--⋃C .(]4,5D .(4,5)6.已知等比数列{}n a 中,31174a a a =,数列{}n b 是等差数列,且77b a =,则59b b +=( ) A .2 B .4C .16D .8 7.设函数是定义在上的单调函数,且对于任意正数有,已知,若一个各项均为正数的数列满足,其中是数列的前项和,则数列中第18项( )A .B .9C .18D .368.设{}n a 是公差不为0的等差数列,12a =且136,,a a a 成等比数列,则{}n a 的前n 项和n S =( )A .2744n n +B .2533n n+C .2324n n+D .2n n +9.已知:0x >,0y >,且211x y+=,若222x y m m +>+恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A .()4,2- B .(][),42,-∞-+∞U C .()2,4-D .(][),24,-∞-⋃+∞10.若a ,b ,c ,d∈R,则下列说法正确的是( ) A .若a >b ,c >d ,则ac >bd B .若a >b ,c >d ,则a+c >b+d C .若a >b >0,c >d >0,则c d a b> D .若a >b ,c >d ,则a ﹣c >b ﹣d11.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知(a 4-1)3+2 016(a 4-1)=1,(a 2 013-1)3+2 016·(a 2 013-1)=-1,则下列结论正确的是( ) A .S 2 016=-2 016,a 2 013>a 4 B .S 2 016=2 016,a 2 013>a 4 C .S 2 016=-2 016,a 2 013<a 4 D .S 2 016=2 016,a 2 013<a 412.数列{}n a 中,()1121nn n a a n ++-=-,则数列{}n a 的前8项和等于( )A .32B .36C .38D .40二、填空题13.若数列{}n a 满足11a =,()()11132nn n n a a -+-+=⋅ ()*n N ∈,数列{}n b 的通项公式()()112121n n n n a b ++=-- ,则数列{}n b 的前10项和10S =___________14.在ABC V 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,tan tan 2tan b B b A c B +=-,且8a =,73b c +=ABC V 的面积为______.15.已知数列{}n a 、{}n b 均为等差数列,且前n 项和分别为n S 和n T ,若321n n S n T n +=+,则44a b =_____. 16.已知数列{}n a 是递增的等比数列,14239,8a a a a +==,则数列{}n a 的前n 项和等于 .17.已知等比数列{}n a 的首项为2,公比为2,则112n na a a a a aa a +=⋅⋅⋅L _______________. 18.在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,5cos23C =,且cos cos 2a B b A +=,则ABC ∆面积的最大值为 .19.如图所示,在平面四边形ABCD 中,2AB =,3BC =,AB AD ⊥,AC CD ⊥,3AD AC =,则AC =__________.20.如图在平面四边形ABCD 中,∠A =∠B =∠C =75°,BC =2,则AB 的取值范围是___________.三、解答题21.已知等差数列{}n a 满足12231()()()2(1)n n a a a a a a n n +++++++=+L (*n N ∈). (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)求数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . 22.在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,且asin B =-bsin 3A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭. (1)求A ;(2)若△ABC 的面积S =3c 2,求sin C 的值. 23.如图,在平面四边形ABCD 中,42AB =,22BC =,4AC =.(1)求cos BAC ∠;(2)若45D ∠=︒,90BAD ∠=︒,求CD .24.在△ABC 中,角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c ,已知cos2A ﹣3cos (B+C )=1.(1)求角A 的大小; (2)若△ABC 的面积S=5,b=5,求sinBsinC 的值.25.各项均为整数的等差数列{}n a ,其前n 项和为n S ,11a =-,2a ,3a ,41S +成等比数列.(1)求{}n a 的通项公式;(2)求数列{(1)}nn a -•的前2n 项和2n T .26.在ABC V 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ()3cos 23cos a C b c A =(Ⅰ)求角A 的大小;(Ⅱ)若2a =,求ABC V 面积的最大值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.D 解析:D 【解析】分析:由题意首先求得10091a =,然后结合等差数列前n 项和公式求解前n 项和即可求得最终结果.详解:由等差数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得:120171009201710092201720172017201722a a aS a +=⨯=⨯==, 则10091a =,据此可得:()12018201710091010201810091009440362a a S a a +=⨯=+=⨯=. 本题选择D 选项. 点睛:本题主要考查等差数列的性质,等差数列的前n 项和公式等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.C解析:C 【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ,验证()()1n n f a f a +是否为非零常数,由此可得出正确选项. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ,则1n na q a +=. 对于①中的函数()3f x x =,()()3313112n n n n n n f a a a q f a a a +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭,该函数为“保等比数列函数”;对于②中的函数()xf x e =,()()111n n n n a a a n a n f a e e f a e++-+==不是非零常数,该函数不是“保等比数列函数”; 对于③中的函数()f x =()()1n n f a f a +===,该函数为“保等比数列函数”;对于④中的函数()ln f x x =,()()11ln ln n n n na f a f a a ++=不是常数,该函数不是“保等比数列函数”.故选:C. 【点睛】本题考查等比数列的定义,着重考查对题中定义的理解,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.3.B解析:B 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用直线20kx y -+=过定点()0,1,再利用k 的几何意义,只需求出直线10kx y -+=过点()2,4B 时,k 值即可. 【详解】直线20kx y -+=过定点()0,1, 作可行域如图所示,,由5218020x y x y +-=⎧⎨-=⎩,得()2,4B .当定点()0,1和B 点连接时,斜率最大,此时413202k -==-, 则k 的最大值为:32故选:B . 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题.4.D解析:D 【解析】 【分析】把已知2214S S S =用数列的首项1a 和公差d 表示出来后就可解得1a .,【详解】因为124S S S ,,成等比数列,所以2214S S S =,即211111(21)(46).2a a a a -=-=-,故选D. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和,考查等比数列的性质,解题方法是基本量法.本题属于基础题.5.A解析:A 【解析】 【分析】不等式等价转化为(1)()0x x a --<,当1a >时,得1x a <<,当1a <时,得1<<a x ,由此根据解集中恰有3个整数解,能求出a 的取值范围。
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南师附中2020-2021学年度第一学期期中高一数学一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,请把答案直接填写在答题卡相应位置上 1. 已知全集{}1,0,1,2U =-,{}1,1A =-,则集合UA =( ). A. {}0,2B. {}1,0-C. {}0,1D. {}1,22. “1x =”是“2540x x -+=”的( )A. 充要条件B. 充分不必要条件C.必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件3. 命题“2,10R x x x ∃∈-->”的否定是( ).A. 2,10R x x x ∃∈--<B. 2,10R x x x ∃∈--≤C. 2,10R x x x ∀∈--≤D. 2,10R x x x ∀∈-->4. 已知223x x -+=,则1x x -+的值为( ).A.B. 1C.D. 1±5. 函数()22,031,0x x x f x x x⎧-≤≤⎪=⎨<⎪⎩的值域为( ).A. []3,1-B. (),0-∞C. (),1-∞D. (],1-∞6. 下列四组函数中,()f x 与()g x (或()g t )表示同一个函数的是( )A. ()f x =()g x x = B. ()f x()2g t =C. ()221x x f x x +-=- ()2g x x =+ D. ()f x x=()g t =7. 已知实数0,0a b >>,且1111a b +=+,则2a b +的最小值为( ).A.3+B.1 C.4D.328. 函数()321x f x x =-的图像大致为( ).ABCD.二、多项选择题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分) 9. 设集合{}220A x x x =-=,则下列表述不正确的是( ).A.{}0A ∈B. 2A ∉C. {}2A ∈D. 0A ∈10. 下列四个条件中,能成为x y >的充分不必要条件的是( )A. 22xt yt >B. xt yt >C. x y >D. 110x y<<11. 下列命题中是真命题的有( ).A.若函数()f x 在(],0-∞和()0,+∞上都单调递增,则()f x 在R 上单调递增;B. 狄利克雷函数()1,0,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数在任意一个区间都不单调;C. 若函数()f x 是奇函数,则一定有()00f =;D. 若函数()f x 是偶函数,则可能有()00f =;12. 已知1a >,1b >,且()1ab a b -+=,那么下列结论正确的有( ).A. a b +有最大值2 B. a b +有最小值2 C. ab1D. ab有最小值3三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把答案直接填写在答题卡相应位置上 13. 已知()0,01,032,0x f x x x x >⎧⎪=-=⎨⎪-<⎩,则()()()6f f f = .14. 已知函数()537cf x ax bx x=+++,()35f -=,则()3f = . 15. 某水果店申报网上销售水果价格如下:梨子60元/盒,桔子65元/盒,水蜜桃80元/盒,荔枝90元/盒,为增加销量,店主对这四种水果进行促销:一次性购买水果总价达到120元,顾客就少付x 元,每笔订单顾客网上支付成功后,店主会得到支付的80%.① 10x =时,顾客一次性购买梨子、水蜜桃各一盒,需要支付 元;② 在促销活动中,为保证店主每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折(即70%),则x 的最大值是 .16. ()f x 为定义在R 上的偶函数,()()22g x f x x =-在区间[)0,+∞上是增函数,则不等式()()1246f x f x x +-+>--的解集为 .三、解答题:本大题共6小题,共70分,请把答案填写在答题卡相应位置上 17. (本小题满分10分)已知,a b 均为正数,证明:22a b a b b a+≥+.18. (本小题满分12分)计算:⑴ 12ln 249e -⎛⎫+ ⎪⎝⎭⑵ ()223lg 2lg5lg 20log 3log 4+⋅+⋅.19. (本小题满分12分)已知二次函数()f x 的值域为[)4,-+∞,且不等式()0f x <的解集为()1,3-. ⑴ 求()f x 的解析式;⑵ 若对于任意的[]2,2x ∈-,都有()2f x x m >+恒成立,求实数m 的取值范围.20. (本小题满分12分)某小区为了扩大绿化面积,规划沿着围墙(足够长)边画出一块面积为100平方米的矩形区域ABCD 修建花圃,规定ABCD 的每条边长不超过20米.如图所示,要求矩形区域EFGH 用来种花,且点,,,A B E F 四点共线,阴影部分为1米宽的种草区域.设AB x =米,种花区域EFGH 的面积为S 平方米. ⑴ 将S 表示为x 的函数; ⑵ 求S 的最大值.21. (本小题满分12分)已知集合{|A y y =,集合{}22|0B x x x a a =-+-<. ⑴ 若A B A =,求a 的取值范围;⑵ 在A B 中有且仅有两个整数,求a 的取值范围.22. (本小题满分12分)设()af x x x=+(0x >,a 为大于0的常数) ⑴ 若()f x 的最小值为4,求a 的值;⑵ 用定义证明:()f x在)+∞上是增函数; ⑶ 在⑴的条件下,当1x >时,都有()1m f x m x+>-恒成立,求实数m 的取值范围.【答案】A ;【解析】由补集定义知选A . 2. 【答案】B ;【解析】因为{}1是{}2540x x x -+=的真子集,所以“1x =”是“2540x x -+=”的充分不必要条件. 3. 【答案】C ;【解析】存在量词命题的否定,需要把存在量词改成全称量词,并否定后面的结论,故选C . 4. 【答案】C ;【解析】由()212225x x x x --+=++=,知1x x -+=C .5. 【答案】D ;【解析】当0x <时,()1f x x=单调递减,范围为(),0-∞,当03x ≤≤时,()22f x x x =-在[]0,1上单调递增,在[]1,3上单调递减,范围是[]3,1-,所以函数值域为(],1-∞,故选D .6. 【答案】D ;【解析】A 选项,()f x x =,故错误;B 选项,定义域不同,故错误;C 选项,定义域不同,故错误;D 选项,是同一函数,故选D .7. 【答案】B ;【解析】()()()2111221221232111b a a b a b a b a b a b +⎛⎫+=++-=+++-=++-≥⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭,当且仅当1a =b =B . 8. 【答案】A ;【解析】()f x 定义域为()()(),11,11,-∞--+∞,是奇函数,当x →+∞时,()f x →+∞,故选A .【答案】ABC ;【解析】{}0,2A =,故选ABC . 10.【答案】ACD ;【解析】A 选项,若22xt yt >,则20t ≠,则x y >,反之不成立,A 正确;B 选项,当0t <时,x y <,B 错误;C 选项,若x y >,由y y ≥,则x y >,反之不成立,C 正确;D 选项,()1f x x=在()0,+∞单调递减,若110x y <<,则x y >,反之不成立,D 正确;故选ACD .11.【答案】BD ;【解析】A 选项,若(),0ln ,0x x f x x x ≤⎧=⎨>⎩是一个反例,A 错误;B 选项,在任意区间I 上总可以取12,x x Q ∈,使()()12f x f x =,则()f x 在I 上不单调,B 正确;C 选项,()1f x x=是一个反例,C 错误; D 选项,()2f x x =符合要求,D 正确; 故选BD .12.【答案】BD ; 【解析】法一:令,a b s ab t +==,由题意可得2,1s t >>,1t s -=,由基本不等式s ≥则1t -≥1t >可得2214t t t -+≥,则3t ≥+1a b ==取等;s ≥2s >可得2440s s --≥,则2s ≥+,1a b =取等; 故选BD ; 法二:由()1ab a b -+=可得()()112a b --=,令10,10m a n b =->=->,则222a b m n +=++≥+=+m n ==()()11133ab m n mn m n m n =++=+++=++≥+m n = 故选BD .【答案】5-;【解析】()()()()()()6015f f f f f f ==-=-. 14. 【答案】9;【解析】()()337714f f +-=+=,所以()31459f =-=.15.【答案】130;15.【解析】①608010130+-=;②由题意可知,购买总价刚好为120元时,折扣比例最高, 此时有()0.81200.7120x ⨯-≥⨯, 解得15x ≤.16.【答案】3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭;【解析】由()f x 为偶函数,可知()g x 也为偶函数,且在R 上先减再增,由()()1246f x f x x +-+>--,可知()()()()22121222f x x f x x +-+>+-+,即()()12g x g x +>+,可知12x x +>+,解得32x <-.17.【答案】详见解析.【解析】法一:由基本不等式可得,()222a b b a a b b a +++≥+, 当且仅当22a b bb a a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即a b =时取等,则原式得证.法二:()223322a b a b a b a b ba b a ⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭,由0,0a b >>,可得0a b +>,330,0b a a b>>,0ab >,则()()22222222a b a b a b a b ab a b ba ⎛⎫++≥++=++=+ ⎪⎝⎭,由0a b +>可得22a b a b b a+≥+.法三:()()()()()222222222a b a b a b a b a b a b b a a b b a b a ab ab---+--+-+=+==, 由0,0a b >>可得()220a b a b b a +-+≥即22a b a b b a+≥+.18. 【答案】⑴32;⑵ 3. 【解析】⑴12ln 243322922e -⎛⎫++=+-= ⎪⎝⎭; ⑵ ()()2223lg2lg5lg20log 3log 4lg2lg523+⋅+⋅=++=.19.【答案】⑴ ()223f x x x =--;⑵ 7m <-. 【解析】⑴ 设()2f x ax bx c =++,由题意可知:()()()10393014f a b c f a b c f a b c -=-+=⎧⎪=++=⎨⎪=++=-⎩,解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩,即()223f x x x =--; ⑵ 243m x x <--对[]2,2x ∈-恒成立, 令()243g x x x =--,当[]2,2x ∈-,可知()[]7,9g x ∈-, 故7m <-.20.【答案】⑴ ()200102520S x x x=--≤≤;⑵ S的最大值为102- 【解析】⑴ 因为AB x =,所以100AD x =,2EF x =-,1001FG x=-; 所以()10020021102S x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭因为100020,020x x <≤<≤,解得520x ≤≤,所以()200102520S x x x=--≤≤;⑵ 102102S ≤-=-x =所以S 的最大值为102-21.【答案】⑴ 01a ≤≤;⑵ [)(]1,01,2-;【解析】⑴ 因为AB A =所以B A ⊆, 因为244x x -≤, 所以[]0,2A =;集合B 的不等式可化为()()10x a x a +--<, ①B =∅,即0∆≤,解得12a =,符合; ②B ≠∅,即12a ≠时,此时02,012a a ≤≤≤-≤,解得01a ≤≤且12a ≠; 综上01a ≤≤;⑵ 集合A 中有三个整数0,1,2,()(){}|10B x x a x a =-+-<; 由AB 中有且仅有两个整数,可得B 中有0,1,2中的两个整数;1a a <-即12a <时,(),1B a a =-, 则B 中整数仅有有0,1或仅有1,2,若仅有0,1,则10,112a a -≤<<-≤,解得10a -≤<; 若仅有1,2,则01a ≤<,213a <-≤,无解; 1a a =-即12a =时,B =∅,不满足题意; 1a a >-即12a >时,()1,B a a =-, 则B 中整数仅有有0,1或仅有1,2,若仅有0,1,则110,12a a -≤-<<≤,解得12a <≤, 若仅有1,2,则011a ≤-<,23a <≤,无解; 综上,实数a 的取值范围是[)(]1,01,2-.22.【答案】⑴4;⑵证明见解析;⑶2m<+.【解析】⑴由基本不等式()f x≥当且仅当x=4 =解得4a=;⑵任取)12,x x∈+∞,设12x x<,()()()()()12 121221121212x x aaf x f x x x x x x xx x x x--=-+-=-,12x x≤<;所以1212,0x x a x x a>->,又因为12x x-<所以()()12f x f x-<所以()()12f x f x<所以()f x在)+∞上是增函数得证;⑶原不等式可化为241x mx m+>--即256111xm xx x+<=++--恒成立因为66112211x xx x++=-++≥--,当且仅当1x-=1 x=所以2m<.。