高考数学：复数

2021年新高考数学总复习第五章《平面向量与复数》

复数

1．复数的有关概念

(1)定义：形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)．

(2)分类：

满足条件(a，b为实数)

复数的分类

a＋b i为实数⇔b＝0

a＋b i为虚数⇔b≠0

a＋b i为纯虚数⇔a＝0且b≠0

(3)复数相等：a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．

(4)共轭复数：a＋b i与c＋d i共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．

(5)模：向量OZ

→

的模叫做复数z＝a＋b i的模，记作|a＋b i|或|z|，即|z|＝|a＋b i|＝a2＋b2(a，b∈R)．2．复数的几何意义

复数z＝a＋b i与复平面内的点Z(a，b)及平面向量OZ

→

＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．3．复数的运算

(1)运算法则：设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，a，b，c，d∈R.

(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．

如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ

→

＝OZ1

→

＋OZ2

→

，Z1Z2

→

＝OZ2

→

－OZ1

→

.

概念方法微思考

1．复数a ＋b i 的实部为a ，虚部为b 吗？

提示 不一定．只有当a ，b ∈R 时，a 才是实部，b 才是虚部．

2．如何理解复数的加法、减法的几何意义？

提示 复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则．

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解．( × )

(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( × )

(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × )

(4)原点是实轴与虚轴的交点．( √ )

(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．

( √ )

题组二 教材改编

2．设z ＝1－i 1＋i

＋2i ，则|z |等于( ) A ．0 B.12

C ．1 D. 2 答案 C

解析 ∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )

＋2i ＝－2i 2＋2i ＝i ， ∴|z |＝1.故选C.

3．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应

的复数是( )

A ．1－2i

B ．－1＋2i

C ．3＋4i

D ．－3－4i

答案 D

解析 CA →＝CB →＋BA →＝－1－3i ＋(－2－i)＝－3－4i.

4．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( )

A ．－1

B ．0