关于周期函数的最小正周期的存在性

f( x) =
0 1
- 1[ x< 0[ x< 1
0. 此函数具有连续区
间, 由定理 2 一定存在最小正周期.
定理 2 也只是周期函数存在最小正周期的一
个充分 条件, 而非 必要 条件. 如 例 2、例 3 中的
g ( x ) 与 h( x ) 都具有最小正周期, 但处处不连续,
当然也不具有连续区间.
当 n 为奇数, 有 k1 a1- k2 a2+ ,- ( kn- 1) an
< A [ k1 a1 - k2 a2 + ,+ knan,
取 An = A1a1 + A2 a2 + ,+ Anan, 其中 Ai =
(- 1) i- 1 ki , i = 1, 2, ,, n.
由此得{ an} 的整数线性组合数列{ An } , 由 An
由下确界的定义: 存在数列{ T n} A T , 使得
lim
nv ]
T
n
=
0. 现在我们来证明 f ( x ) 恒等于某一常
数. 只需证对任意的 x 有f ( x ) = f ( 0) .
由引理 1, 一定存在由{ T n} 的整数线性组合
构成的数列{
Bn}
,
使l n
im
v]
B
n
=
x , 由于{ Bn } 是{ T n}
通过上面的讨论, 我们得出连续性只能是最
小正周期存在的充分条件, 而非必要条件. 即存在 最小正周期的函数可能连续、部分连续或处处不 连续.
致谢 对成都师专数学系胡明老师和陈广 贵老师在本文成文中给予指导表示感谢.
参考文献 1 刘玉链, 傅沛仁. 数学分析讲义. 北京: 高等教育出版社.
的构造, 我们有 A n - A [ an .
又lim ny ]
an
=
0,
故 lim nv]
An
=
A . 证毕.
定理 1 非常值连续周期函数一定存在最小
正周期.
定理 1 等价于 定理 1c 无最小正周期的连续周期函数一定
为常值函数.
证明 设 T 为f 的所有正周期构成的集合,
由条件知, T 一定有下确界, 且下确界必为零.
常数, 故不能直接去求, 需要按 a , b 的取值范围
分别讨论, 这样做太繁琐, 不可取!
注意到极限值- b 是与a 无关的常数, 且欲求
的是 a, b 间的关系, 故设法将 a, b 结合在一起,
视为一个整体去解, 是本题的关键. 因此有
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ny ]
an + an+ 1 -
bn bn-
1
=
lim
因此, 先将 Qcos( H- P3 ) = 2 及点( m, P3 ) 转化为
1 2
x
+
23 y
=
2 和(
1 2
m,
23m) , 再利用点到直线的
距离公式即可求出距离为 | m - 2 | .
再如,
若 lim ny ]
an an+ 1
+ -
bn bn-
1
=
-
b, 试确定数 a, b
的关系.
有关极限的问题, 大部分是利用极限的运算
数学解题过程时时会碰到一些障碍, 这些障 碍有的是来自于题目本身设置的障碍, 有的则是 来自于大脑思维上的障碍, 进而又产生了心理上 的障碍. 这些障碍使你畏缩不前, 精神恐慌, 问题 得不到解决. 排除障碍最好的办法是: 尽量使你的 头脑冷静下来, 认真地分析产生障碍的原因, 积极 地采用创意识的思考, 或许你的问题就可以得到 解决, 出现反败为胜的局面.
期的函数不一定连续.
例 1 f ( x ) 为定义在 R 上的周期函数, 在周
期[ - 1, 1) 为 f ( x ) =
0 1
-1[ x< 0[ x< 1
0.
f ( x ) 存在最小正周期 2, 但显然 f ( x ) 不连续.
例2
设 g(x) =
1+ { x} 0
x 为有理数 x 为无理数
( 其中{ x } 表示 x 的小数部分) . g ( x ) 存在最小正
A < k 1 a1 - ( k 2 - 1) a2,
取 A 2 = A1a1 - A2 a2, 其中 A1 = k2, A2 =
- k2, 归纳地, 对于 an, 一定存在正整数 kn , 使 当 n 为偶数, k1 a1 - k 2a2 + ,+ kn- 1 an- 1 -
knan [ A < k 1a1 - k2 a2 + ,- ( kn - 1) an
的连续区间为 I , I 的长度记为 d , 则存在正周期
T , 使 T < d, 由此得, 函数在整个 R 上连续. 由定
理 1, 函数存在最小正周期. 这与假设矛盾. 证毕.
定理 2 确是定理 1 的推广, 如 f ( x ) 为一个周 期为 2 的函数, 在[ - 1, 1) 内,
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2001 年 第 7 期 数学通报
浅谈数学解题中的逆境突破
房之华 ( 苏州大学附中 215006)
解数学题不可避免地会遇到一些难题, 使学 生陷入解题中的逆境. 疑难问题带来的巨大压力, 容易导致学生的意志消沉, 从而放弃数学的学习. 本文结合教学实践, 谈谈教师在解题教学中如何 指导学生突破解题中的逆境, 寻找成功的途径.
1 创意思考 反败为胜
法则去求极限的类型, 而本题是已知极限的值反
过来要确定参数 a , b 间的关系. 学生面对形式复
杂而抽象的极限问题, 一时不知从何入手.
[ 创意思考] 通过对条件的观察, 可以使我们
联想到基本类型的极限: lim qn = 0( | q | < 1) . 但 ny]
式子中这样的形式较多, 而且 a, b 又是不定的正
+
,+
Anan( ai 为整数, i =
1,
2
,,
n)
,
使得 lim nv ]
An
= A.
证 不妨设 A > 0, 对于 a1 一定存在整数 k1, 使
( k1 - 1) a1 < A [ k1 a1,
取 A 1 = A1a1, 其中 A1 = k 1,
对于 a2, 一定存在整数 k2, 使 k1 a1 - k2 a2 [
ny ]
a(
a b
)
n- 1
+
a2(
a b
)
n-
1
-
b 显而易见, 当
1
且仅当 0<
a b
<
1, 即 0<
a<
b 时, 其极限值为-b.
创意思考的前提是来自于对题设的观察和联
想. 从而产生创新意识和创新思维, 利用创新的手
段, 去摆脱困境, 达到反败为胜的目的.
2 寻根求源 反朴归真
在解题过程中, 学生常常会碰到一些难以判 断、模糊不清的问题, 从而陷于困境. 此时突破困
这样的函数也一定存在最小正周期. 为此, 我们引
入下面的定义.
定义 1 设 f ( x ) 为 R 上的函数, 若存在区间
I , 使f ( x ) 在 I 上连续, 则称f ( x ) 为有连续区间的
函数.
定理 2 有连续区间的非常值周期函数一定
存在最小正周期.
证明 ( 反证) . 假设无最小正周期, 设函数
呢?笔者至今未见有结果. 本文利用极限和函数连
续的性质, 给出了周期函数存在最小正周期的充
分条件.
引理 1
设{ an} 为数列, 且 an >
0,
lim
nv ]
an
=
0. 则对任意实数 A , 存在由{ an} 的前 n 项构成的
整系数线性组合数列{ A n} , 其中 A n = A1 a1+ A2 a2
周期, 但在 R 上处处不连续.
例3
设 h(x) =
2 + sinx x 为有理数
0
x 为无理数
h { x } 存在最小正周期, 但也在 R 上处处不连续.
上面的例 1 中 f ( x ) 最多只有可数个不连续
点, 且存在最小正周期. 其实我们的定理 1 中的条
件可以进一步地减弱, 从而可论证例 1 中的 f ( x )
2001 年 第 7 期 数学通报
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关于周期函数的最小正周期的存在性
袁建忠 严顺清 ( 成都师专数学系 四川彭州 611930)
我知道一些周期函数在定义域上存在最小
正周期, 如 sinx , cosx , t anx , cotx 等. 但有些周期函
数如常值函数、狄利克莱函数等均没有最小正周
期. 那么, 什么样的周期函数一定存在最小正周期
例如: 在极坐标系中, 求点( m , P3 ) ( m > 0) 到直线 Qcos( H- 3P) = 2 的距离.
在一次测验中, 本题的错误率很高, 原因何在 呢?大部分考生力图在极坐标系中直接来解决, 结 果无从入手. 又因题型别致, 故产生了恐惧心理, 使问题不得其解.
[ 创意思考] 直角坐标系中点到直线的距离 求法考生是熟悉的, 若能够把极坐标系中的问题 转化为直角坐标系中的问题不就突破逆境了吗?
的整系数线性组合, 故{ Bn} 的每一项必为 f ( x )
的周期, 再由 f ( x ) 的连续性有, f ( x ) =
limf
nv]
(
B
n)
=
limf ( 0 +
nv ]
Bn) =
f ( 0) . 故 f ( x ) 为常值函数. 证
毕.
注 定理 1只给出周期函数存在最小正周期
的一个充分条件而非必要条件. 即: 存在最小正周