关于周期函数的最小正周期的存在性
周期函数性质
定义通俗定义周期函数对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。
严格定义设f(x)是定义在数集M上的函数，如果存在非零常数T具有性质；（1）对有（X±T）；（2）对有f（X+T）=f（X）则称f（X）是数集M上的周期函数，常数T称为f（X）的一个周期。
如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（X）的最小正周期。
由定义可得：周期函数f（X）的周期T是与X无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。
编辑本段周期函数性质（1）若T（≠0）是f(X)的周期，则-T也是f(X)的周期。
（2）若T（≠0）是f(X)的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X)的周期。
（3）若T1与T2都是f(X)的周期，则T1±T2也是f(X)的周期。
（4）若f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。
（5）T*是f(X)的最小正周期，且T1、T2分别是f(X)的两个周期，则（Q是有理数集）（6）若T1、T2是f(X)的两个周期，且T1/T2是无理数，则f(X)不存在最小正周期。
（7）周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合。
编辑本段周期函数的判定定理1若f(X)是在集M上以T*为最小正周期的周期函数则K f(X)+C（K≠0）和1/ f(X)分别是集M和集｛X/ f(X) ≠0，X ｝上的以T*为最小正周期的周期函数。
[1]证：∵T*是f(X)的周期，∴对有X±T* 且f(X+T*)= f(X)，∴K f(X)+C=K f(X+T*)+C，∴K f(X)+C也是M上以T*为周期的周期函数。
假设T* 不是Kf(X)+C的最小正周期，则必存在T’（ 0＜T’＜T*）是K f(X)+C的周期，则对，有K f(X+T’)+C=K f(X) +C K[f(X+T’)- f(X)]=0，∵K≠0，∴f(X+T’)- f(X)=0，∴f(X+T’)= f(X)，∴T’是f(X)的周期，与T*是f(X)的最小正周期矛盾，∴T*也是Kf(X)+C的最小正周期。
关于周期函数存在最小正周期的证明
关键 调 ・ 期 Ｉ 期 函效 Ｉ 小正周 期 周 周 最
中囝 分类号 ｌ ７ 文献 标识 码 。 ０１ ４ Ａ
文章绾号 。 ０ ７ ４ ６ （ ０ ２ ０ － ０ １ —０ １０ － ２０ ２０ ）２ ０ ６ １
众 所 周 知 ， 期 函数 不 一 定 有 最 小 正 周 期 ， 周 最
典 型 的 例 子 是 Ｄｉ ｃ ｌｔ函 数 ： ｒ ｈｅ ｉ
以 从 一 个 周 期 内 得 到 反 映 ， 然 有 Ｍ ｒ Ｍ ．， 显 — 。 于
是 ， 方 面 由 于 假 设 Ｍ 疋 ｃ） ｒ Ｍ ， 一 。＜ — 。
， ｚ 一
。 。
（） １
另 一 方 面 由 于 振 幅 性 质 ， 然 有 （ Ｐ。 ） 显 因 ≤
， ｚ ≤ ｓ ｐ ｆ（ ｕ ｚ）一
即 ｆ（ 三三 ｚｑ Ｔ ）， ｚ） 三 ｆ（ － Ｔ＞ ０
ｒ ０ Ｏ ＋
ｓ ｐ ｆ（ ｕ ｚ）一
ｒ《璋 ０ Ｏ ＋Ｊ
ｉｆ ｆ（ ≤ ｎ ｚ）
ｒ －Ｐ ０｝ ｏ －
Ｏ ≤
ｉ ｆ ｆ（ 一 Ｊ ｚ０ ｎ ｚ） （ ）
即 Ｍ Ｊｚｏ ≥ ｏ （ ）
Байду номын сангаас
（） ２
（ ） （ ） 然 矛 盾 ， ｆ （ 周 期 Ｐ０不 可 能 １与 ２显 故 ｚ）
Ｏ Ｏ ＋
高等数学易错知识点
1 ) n−2 n
=
+∞
．
即无限多个无穷小量的积是一个发散的数列．
有限个无穷小量的积是无穷小量，这性质同样不能推广到无限多个无穷小量的乘积上
去．这是因为每个无穷小量只是在变化的某个时刻后才任意小，而在这时刻之前变量可以有
较大的值．如果在构造这无穷多个无穷小量时，让其进入任意小的时刻构成一个趋于无穷大
例 ： f (x) = x −[x], g(x) = cos x. f (x)以1为周期，g(x)以2π为周期，而f (x) +
g(x) = x −[x] + cos x 却不是周期函数。
3. 有界函数与无界函数之积未必无界。
例 1：f (x) = 0, g(x) = x ，在区间 (−∞, +∞) 内 f (x) 有界，g(x) 无界，而 f (x)g(x) = 0 却在区间 (−∞, +∞) 内有界。 例 2： f (x) = e−x , g(x) = x ，在区间 (0, +∞) 内 f (x) < 1, 而 g(x) 是无界的， f (x)g(x) = xe−x ，因为 lim xe−x = 0 ，从而易见 f (x)g(x) 在区间 (0, +∞) 内是有界的。
因为对任给 ε > 0, 存在δ = ε , 对 a = 0 的δ 邻域内的任何一点 x,
若 x 为无理数,则 ϕ(x) − 0 = 0 − 0 = 0 < ε ; 若 x 为有理数 p , 其中 p,q 为互质整数,且 q>0, q
则 ϕ(x) − 0 = 1 ≤ p = x − 0 < δ = ε , 所以 limϕ(x) = 0 .
= n −1 + 1 =1 . nn
周期函数及其最小正周期
证明 设 T 1, T 2 为函数 f ( x ) 的两个周期, 它
们不可公度. 不妨设 T 1> T 2 > 0, 取 t 1= T 1, t 2 = T 2, 更设
t 1= t 2 q1+ t 3 ( q1 为整数, 0 t 3< t 2) ,
显然 t 3 0, 并且 t 2, t 3 不可公度( 否则, t 1, t 2 可公
于是周期函数的充要条件为x1sinx1xbsinx2为非零常数x1x2sinx1最小正周期为mpsinx2x的最小正周期为npm1n1这时x12pmp2pnpx1x2n1m1的最小正周期为n1x12pmn1复合函数的非周期性这个问题是由研究sin是不恒等于常数的周期函数而且至少在一个点连续函数的一个一一映射这里的中的任何一个或两个都可为v0则复合函数必不是周期函数
关键词: 周期; 最小正周期; 公度; 连续
中图分类号: O171
文献标识码: A
本文分为三部分: 第一部分研究周期函数及其 最小正周期的一般理论; 第二部分探求两个周期函 数之和的最小正周期; 第三部分讨论有关复合函数 的非周期性问题.
为行文方便, 本文中所说的周期函数都是定义 在全体实数范围内, 但各结果不难推广到定义域不 是全体实数的情形.
第 25 卷 第 1 期
侯文超: 周期函数及其最小正周期
69
的 m = 8, n = 12, d = 4, 于是 T 0 =
dD =
4 3
f ( x ) 的正周期.
也是
由本例可以看出, 定理 1 中的 T 0= dD 不一定
是期. 例如, 设 A = { m + n 2| m , n 皆为整
f
(
x
周期函数
浅谈周期函数石狮市石光华侨联合中学数学组 马雪波周期性是三角函数最重要的性质之一，虽然教科书中给出了周期函数的定义，但我们对周期函数的有关问题确实是知之甚少，本文对有关周期函数的有关问题进行简要的概述。
一个周期函数不一定存在正周期.比如大家熟知的y ＝sin x ，x ∈（－∞，0），既便是存在正周期也不见得存在最小正周期，比如常数函数f (x ) = a ，狄立克莱(Dirichlet)函数f (x ) = ⎩⎨⎧为无理数为有理数x x ,0,1 等，一个周期是否是函数的最小正周期，一般要用反证法进行严格的证明。
.比如2π是y ＝sin x ，x ∈R ；y ＝cos x ，x ∈R 的最小正周期，π是y ＝tan x ，x ∈R ，x ≠2π＋ｋπ，ｋ∈Z 的最小正周期，2π是y ＝｜sin x ｜＋｜cos x ｜的最小正周期等.当然，有很多与三角函数有关的函数也不一 定是周期函数，例如y ＝sin x ，x ∈［－100π，100π］，y ＝sin x 1，y ＝sin ｜x ｜，y ＝sin x 2，y ＝sin x 等等.两个周期函数的和一定是周期函数吗?结论是否定的.比如y ＝sin x ＋cos 2x 就不是周期函数.而两个周期函数的和如果是周期函数，这个周期函数也不一定存在最小正周期，像y ＝sin 2x ＋cos 2x.又如两个周期相同的周期函数相加得到的理应是周期函数，但它的最小正周期却有可能发生变化，比如y ＝cot x 与y ＝tan x 的周期是π，而y ＝cot x －tan x ＝2cot2x 的周期是2π. 对于确定函数的最小正周期的确是比较困难，教科书也只要求能化为y ＝A sin （ωx ＋φ）形式的函数，或者根据函数的图象直观地求出它们的最小正周期.二、有关最小正周期和非周期函数问题的证明本文将对上文涉及到的问题给以严格的证明1、 证明f (x )=sin x ，x ∈R 的最小正周期是2π证明：（1）f （x ＋2π）＝sin （x ＋2π）＝sin x ＝f （x ）(2)假设存在0＜Ｔ＜2π使ｆ（x ＋Ｔ）＝f （x ）即sin （x ＋Ｔ）＝sin x ，x ∈R令x ＝0则sin Ｔ＝0又0＜Ｔ＜2π则Ｔ＝π令x ＝4π，sin （4π＋Ｔ）＝sin 4π 即sin 45π＝sin 45π此为矛盾 由(1)(2)两步可知2π为f (x )=sin x 的最小正周期2、 证明f （x ）＝｜sin x ｜＋｜cos x ｜的最小正周期为2π 证明：（1）f （x ＋2π）＝｜sin （x ＋2π）｜＋｜cos （x ＋2π）｜ ＝｜cos x ｜＋｜sin x ｜＝f （x ）(2)假设存在0＜Ｔ＜2π使f （x ＋Ｔ）＝f （x ） 即｜sin （x ＋Ｔ）｜＋｜cos （x ＋Ｔ）｜＝｜sin x ｜＋｜cos x ｜令x ＝0得sin Ｔ＋cos Ｔ＝1即sin （Ｔ＋4π）＝22 又0＜Ｔ＜2π，4π＜Ｔ＋4π＜43π ∴sin （Ｔ＋4π）＞22此为矛盾 由(1)(2)两步可知2π为f （x ）＝｜sin x ｜＋｜cos x ｜的最小正周期. 3、证明f （x ）＝sin x 不是周期函数.证明：假设f (x )=sin x 是周期函数则存在Ｔ≠0使f （x ＋Ｔ）＝f （x ） 即sin x T x sin =+令x ＝0则sin T ＝0 则T ＝ｋπ，ｋ∈Z ①令x ＝Ｔ则sin 0sin 2==T T ∴T 2＝ｎπ，ｎ∈Z ②②÷①得22=k n （ｎ∈Z ，ｋ∈Z ）此为矛盾 ∴f （x ）＝sin x 不是周期函数.4、 证明f (x )=sin x ＋cos 2x 不是周期函数.证明：假设f （x ）＝sin x ＋cos 2x 是周期函数，则存在Ｔ≠0使f （x ＋Ｔ）＝f （x ），即sin （x ＋Ｔ）＋cos 2（x ＋Ｔ）＝sin x ＋cos 2x令x ＝0，cos 2Ｔ＝1，则2Ｔ＝2ｋπ，ｋ∈Z ①令x ＝－Ｔ，sin （－Ｔ）＋cos 2Ｔ＝1即sin Ｔ＝0，则Ｔ＝ｎπ，ｎ∈Z ②①÷②得 n k22=此为矛盾.因此f （x ）＝sin x ＋cos 2x 不是周期函数.上述有关最小正周期和非周期函数的证明都是采用了反证法.。
函数的周期性
(2)由f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数与f(x+2)=-f(x)得f(x+2)=f(-x)， 故知函数y=f(x)的图像关于x=1对称， 又x∈［0,1］时，f(x)=x，且f(x)的图像关于原点对称，则f(x)的图像如图所示
当x∈［-4,4］时，f(x)的图像与x轴所围成的图形的面积为： S=4S△OAB=4×( ×2×1)=4.
f(x)பைடு நூலகம்
存在一个最小
考点一、求函数的周期 例1、函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+1)=-f(x),则f(x)的最小正周期为________.
【解析】∵f(x+1)=-f(x), ∴f(x+2)=f((x+1)+1)=-f(x+1)=-［-f(x)］=f(x). ∴最小正周期为2.
考点二、利用函数的周期求函数值 例2、已知函数f(x),对任意x∈R，都有f(x+4)=f(x), 且x∈(0,2)时，f(x)=2012x2,则f(2013)=________.
一、函数周期性的定义 1．周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝ ，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． 2．最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中 的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 3.周期不唯一：若T是函数y=f(x)(x∈R)的一个周期，则 nT(n∈Z,且n≠0)也是f(x)的周期.
周期函数最小正周期存在性及其应用论文
中学代数研究期末论文周期函数最小正周期存在性及其应用学生姓名：陈益梅学号： 105012011053学院：数学与计算机科学学院专业：数学与应用数学年级： 2011班级：双师一班指导老师：潘飚周期函数最小正周期存在性及其应用陈益梅（2011级双师一班）摘要：对周期函数的最小正周期存在的条件及性质进行了探讨，也给出了说明结果的一些例子，并总结了些求最小正周期的方法。
关键词：周期函数；最小正周期；狄利克雷函数；最小正周期的求法一、引言我们都知道一些周期函数在定义域上存在最小正周期，如sinx，cosx，tanx 等。
但也有些周期函数并无最小正周期，例如常值函数、狄利克雷函数等。
那么，什么样的周期函数一定存在最小正周期？二、基本概念定义：若函数f(x)为M上的周期函数，T称为函数f(x)的一个周期，如果在所有周期中存在一个最小正数T’，那么T’叫做f(x)的最小正周期或基本周期。
三、最小正周期存在的条件定理1定义域上的非常值的连续周期函数一定有最小正周期。
(反证法)假定f(x)为连续周期函数，若f(x)不存在最小正周期，则f(x)为常数函数。
记u=imfS,若u属于周期集合S,则与假设相反。
若u S∉,则存在Tn S∈,使得limn Tn u→∞=,所以f(x+u)=f(x+limnTn→∞).又f(x)连续，所以f(x+limn Tn→∞)=f(limn→∞(x+Tn))=f(x) = f(x+u).综上所述，u=0。
对定义域上任意的x1,x2，f(x)在x2处连续，即∀a>0,σ∃>0,使得当|x-x2|<σ时，有|f(x)-f(x2)|<a.取函数f小于σ的一个周期r,当n=[21x xr-]时，|x1+nr-x2|<σ,此时有|f(x1)-f(x2)|=|f(x1+nr)-f(x2)|<a.即对定义域上任意的x1,x2，有|f(x1)-f(x2)|<a,由此可知f(x)为常数函数。
数学(1.4.2-1函数的周期性)
周期函数的傅里叶级数展开式
傅里叶级数展开式
将周期函数表示为无穷级数的方 法，其中每个项都是正弦或余弦 函数的线性组合。
傅里叶级数的应用
傅里叶级数在信号处理、振动分 析、电磁波分析等领域有广泛应 用，通过傅里叶级数可以分析信 号的成分和频率特性。
周期函数的微积分性质
连续性
周期函数在其定义域内是连续的，这是由于函数值的重复性导致 的。
数学(1.4.2-1函数的周期性)
目录
• 函数的周期性定义 • 常见周期函数 • 周期函数的图像 • 周期函数的应用 • 周期函数的扩展知识
01
函数的周期性定义
周期函数的定义
周期函数的定义
如果存在一个非零常数$T$，使 得对于定义域内的每一个$x$，
都有$f(x+T) = f(x)$，则称 $f(x)$为周期函数，$T$称为这
个函数的一个周期。
周期函数的性质
周期函数具有周期性，即对于任 意整数$k$，函数$f(x)$的图像 总是重复出现，且每重复一次所
需要的时间为$T$。
周期函数的分类
根据周期的不同，可以将周期函 数分为最小正周期函数、有界周
期函数、无界周期函数等。
周期函数的性质
最小正周期
对于一个周期函数，存在一个最小的 正数$T$，使得对于定义域内的每一 个$x$，都有$f(x+T) = f(x)$，则称 $T$为该函数的最小正周期。
形状
正弦函数的图像是一个波浪线，形状类似于英文处达到最大值和最小值，这些点是函数周 期性变化的标志。
余弦函数的图像
周期性
余弦函数也是周期函数，其图像同样呈现规律性的重复。
形状
余弦函数的图像是一个起伏的曲线，形状类似于英文字母 "c"。
第10课时 第二章 函数——函数的周期性
1第10课时 第二章 函数——函数的周期性（授课者：陈江林 时间： 2015年 月 日星期 ）一、课标要求：了解周期函数与最小正周期的意义 二、教学背景分析 1、教学内容分析：1）函数()x f 对于定义域中的任意x ,都有()()()为常数T T x f x f += ，则()x f 是以T 为周期的周期函数； 2）函数()x f 对于定义域中的任意x ,都有()()()为常数T x f T x f -=+，则()x f 是以T 2为周期的周期函数； 3）函数()x f 对于定义域中的任意x ,都有()()()为常数T x f T x f 1=+ ，则()x f 是以2T 为周期的周期函数； 4）函数()x f 对于定义域中的任意x ,都有()()f x T f x T +=-，则()x f 是以2T 为周期的周期函数；2、学情分析：解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值。
三、教学目标：掌握周期函数的定义及最小正周期的意义。
四、重难点分析：1、理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期。
2、了解常见的具有周期性的抽象函数。
五、教学策略分析：讲练结合，以导辅练 六、教学媒体选择：黑板、多媒体、自编复习纲要 七、教学过程与手段（一）知识点扫描1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期.2、几种特殊抽象函数的周期：1）f x f x T ()()=+型： f x ()的周期为T 。
释义：对x 取定义域内的每一个值时，都有f x T f x ()()+=，则f x ()为周期函数，T 叫函数)(x f 的周期。
关于周期函数和最小正周期的探讨
论文┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊关于周期函数和最小正周期的探讨龙冬梅（伊犁师范学院数学系新疆伊宁 835000）摘要：针对目前对于周期函数认识的不足，首先探讨了周期函数与周期的定义与性质。
了解并掌握了周期函数的定义和性质，如何去判定一个函数是否为周期函数这是全文的重点，因此介绍了周期函数的有关判定方法。
如何求一个周期函数的最小正周期是最终目的，同样首先要掌握最小正周期的定义，并不是每一个函数都有最小正周期，所以有必要讨论最小正周期的存在性，引入了最小正周期存在的充要条件，并给了详细的证明。
函数f(x)±g(x)最小正周期的求法，分多种求法求解，其实每一种求法都反应了周期函数的一种性质。
本文例举了求最小正周期的几个例题，便于读者进一步的掌握周期函数并能应用。
最后讨论了周期函数的和、差、积、商函数的周期性，从而得出了周期函数的和、差、积、商函数的周期性定理，并说明了定理的应用。
这是对周期函数的拓展，先认识简单的周期函数还不够，周期函数的和、差、积、商函数的周期性就变成了比较复杂的周期函数，而这类正是我们经常遇到的周期函数，所以我把这类型的周期性总结归纳得出定理，便于以后直接拿来用，最后归纳了求这类周期函数周期的步骤。
关键词：周期函数；周期性；最小正周期.第一章周期函数的定义和性质⒈定义函数f(x)定义在数集A上．如果存在正数l，对任意x∈A有x±l∈A，且f(x±l)=f(x)，称函数f(x)是周期函数，l称为函数f(x)的一个周期．如果l是函数f(x)的周期，则2l也是它的周期．事实上，f(x +2l)= f(x+l＋l)= f(x)=f(x－l)＝f(x l l--)=f(2x l-)．显然，如果l是函数f(x)的周期，则n l(n是整数)也是它的周期．如果函数()f x有最小的正周期，通常将这个最小正周期称为函数()f x的周期．⒉周期函数的性质性质1 若T是()y f x=，x∈A的周期，则一T也是()y f x=的周期．证明因为T是()y f x=,x∈A的周期，所以()(),.f x T f x x T A+=+∈．令,x x T A'=+∈则x x T A'=-∈，代入上式得：()()f x f x T''=-，即：()(),,f x T f x x A x T A''''-=∈-∈.所以T-也是()y f x=的周期．性质2 若T是()y f x=,x∈ A的周期，且()x nT A n Z+∈∈，则nT也是()y f x=的周期．证明 (1)证明当n∈N时,x nT+∈ A，则nT是()y f x=的周期(运用数学归纳法)．①当n=1时,T是()y f x=的周期．② 假定当n k =时，kT 是()y f x =的周期，则()()f x kT f x +=，那么当1n k =+时，有[(1)]()()()f x k T f x kT T f x kT f x ++=++=+=。
周期函数运算(加,减,乘除,复合)结果分析
周期函数运算（加、减、乘、除、复合）结果分析摘要 探讨了周期函数与周期的定义、周期函数的周期的性质及最小正周期的定义.进一步讨论了周期函数的和、差、积、商函数的周期性,从而得出了周期函数的和、差、积、商函数的周期性定理,并说明了定理的应用.关键词 周期函数 周期 周期性 最小正周期1周期函数与周期1.1 周期函数与周期的定义设函数(),y f x x A =∈,如果存在一个数T ,对任意x A ∈,有x T A +∈,且()()f x T f x +=,则函数()y f x =叫做周期函数,数T 叫做函数()y f x =一个周期.函数具有周期的性质叫做函数的周期性.1.2 周期函数的周期的性质性质1 若T 是(),y f x x A =∈的周期,则T -也是()y f x =的周期.证明 因为T 是(),y f x x A =∈的周期,所以()(),f x T f x x T A +=+∈.令'x x T A =+∈,则'x x T A =-∈,代入上式得: (')(')f x f x T =-,即: (')('),f x T f x x T A -=-∈.所以T -也是()y f x =的周期.性质2 若T 是(),y f x x A =∈的周期,且()x nT A n Z +∈∈,则nT 也是()y f x =的周期. 证明 (1)证明当n N ∈时, x nT A +∈,则nT 是()y f x =的周期(运用数学归纳法). ② 当1n =时, T 是()y f x =的周期.②假定当n k =时, kT 是()y f x =的周期,则()()f x kT f x +=,那么当1n k =+时,有[(1)]()()()f x k T f x kT T f x kT f x ++=++=+=.所以(1)k T +是()y f x =的周期.由①、②可知:对于所有的自然数,n x nT A +∈,则nT 是()y f x =的周期.(2)当0n =时, ,0x nT x A nT +=∈=,显然, nT 是()y f x =的周期(特殊周期).(3)证明当n Z -∈时, x nT A +∈,则nT 是()y f x =的周期.因为T 是(),y f x x A =∈的周期,所以由性质1可得: T -也是()y f x =的周期.又因为,()()n N x n T x nT A -∈+-⋅-=+∈即: ()()x n T A +--∈,所以由以上(1)的结论可得: ()n T --是()y f x =的周期.即: nT 是()y f x =的周期.综合以上(1)、(2)、(3)三点可得:若T 是(),y f x x A =∈的周期, ()x nT A n Z +∈∈,则nT 也是()y f x =的周期.由性质1和性质2可得出如下结论:结论1 一个周期函数至少有两个符号相反的周期. 结论2 一个周期函数必有一个以上正周期.1.3 最小正周期的定义由结论1可得:一个周期函数的周期的个数至少是两个,或者是多个直至无限多个.由结论2可得:一个周期函数必定存在正周期.因此,可作出如下定义:设周期函数()y f x =,把()y f x =的所有正周期中的最小的一个叫做函数()y f x =的最小正周期.显然,一个函数的最小正周期是唯一的,故最小正周期具有特殊的意义.因此,一个函数的周期通常是指最小正周期.2 周期函数的和、差、积、商函数2.1周期函数的和、差、积、商函数的周期性周期函数的和、差、积、商函数的周期性有何特点?下面的定理可给出明确的回答.定理1 设函数1()y f x =与2()y f x =都是定义在A 上的周期函数,周期分别为1T 与2T ,且12T pa T q==（a 为正有理数, ,p Z q Z ++∈∈,且p 与q 互为质数),若12,M qT pT x M A ==+∈,则M 为函数12()()f x f x +、12()()f x f x -、12()()f x f x ⋅、12()()f x f x2()0)f x x A ≠∈（，的周期.证明 因为12(,T pp Z q Z T q++=∈∈,且p 与q 互为质数),所以12qT pT M ==,即: M 为1T 与2T 的最小公倍数.又因为1T 与2T 分别为1()y f x =与2()y f x =的周期,所以根据性质2可得: M 为1()y f x =与2()y f x =的周期.所以 1122()(),()().f x M f x f x M f x +=+= 1212()()()().f x M f x M f x f x +++=+ 所以M 为函数12()()f x f x +的周期.同理可证明: M 为函数1121222()()()()()()0)()f x f x f x f x f x f x x A f x -⋅≠∈、、（，的周期. 这个定理叫做周期函数的和、差、积、商函数的周期性定理.2.2周期函数的和、差、积、商函数周期性定理的应用周期函数的和、差、积、商函数的周期性定理为求两个周期函数的和、差、积、商函数的周期提供了一般的求解方法.具体的求解步骤如下:第一步:求出两个周期函数1()y f x =与2()y f x =的周期.设周期分别为1T 与2T .第二步:求出两个周期函数的周期之比并表示为两个互质正整数之比.即12T pa T q== (a 为正有理数, ,p Z q Z ++∈∈,且p 与q 互为质数).第三步:求出两个周期函数的周期的最小公倍数,即求出12M qT pT ==.那么最小公倍数M 即为两个周期函数的和、差、积、商函数的周期.显然,对于有限个周期函数的和、差、积函数,重复运用周期函数的和、差、积、商函数的周期性定理即可3 复合函数周期性3.1复合函数周期性的判定定理2 设()u f x =是周期函数,函数()y g u =与()u f x =满足复合函数的条件,则复合函数[()]y g f x =是周期函数,且()u f x =的周期也是复合函数[()]y g f x =的周期.证明 记()[()]F x g f x =,设l 为函数()f x 的一个周期.任何()x D f ∈,则()()f x l f x +=,()[()][()]()F x l g f x l g f x F x +=+==. 同理()u f x =()()F x l F x -=,因此,()[()]F x g f x =为周期函数,()f x 的周期也是[()]g f x 的周期. 必须指出, ()u f x =的最小周期未必是[()]y g f x =的最小正周期.例1 2()y g u u ==,()sin u f x x ==.复合函数21cos 2sin 2x y x -==,()sin f x x =的最小正周期是2π,2[()]sin g f x x =的最小正周期是π,所以()f x 的最小正周期2π是[()]g f x 的周期,但不是它的最小正周期.定理1可以推广到有限个函数复合的情形. 推论 设11()y f x =是周期函数,11()y f x =,221()y f y =,,1()n n n y f y -=,这n 个函数满足复合的条件,记 121()[(())]n n F x f f f f x -=,则()F x 是周期函数,且1()f x 的周期是复合函数()F x 的周期.例2 讨论函数y 的周期性. 解 函数y 的定义域{()}42D x R n x n n Z ππππ=∈+≤<+∈,函数y 12y u =,ln u v =,tan v x =的复合函数,容易验证tan x 在D 上是周期函数,具有最小正周期π,有定理1的推论, y .π的周期.函数y 的零值集0{()}4D x x n n Z ππ==+∈有最小正周期π,因此, π的最小正周期.在定理1中,如果()y g u =是周期函数,()u f x =是一般的函数,特别()u f x =不是周期函数时,复合函数[()]y g f x =未必是周期函数.如sin y u =,2u x =的复合函数2sin()y x =不是周期函数.而sin y u =,u ax b =+的复合函数sin()y ax b =+是周期函数.有下面一般性的结论.定理3 设()y g u =是周期函数,l 是()g u 的一个周期,u ax b =+(,,0)a b R a ∈≠,则复合函数()y g ax b =+是周期函数,且la时函数()g ax b +的周期. 证明 设()y g u =的定义域为D ,记()()G x g ax b =+,则()()y G x g ax b ==+的定义域1{}D x R ax b D =∈+∈.任意1x D ∈,则ax b D +∈,由l 为()g u 的周期,有ax b l D +±∈,即()la xb D a±+∈,所以1lx D a±∈. 又()[()]l l G x g a x b aa+=++[()]g ax b l =++ ()()g ax b G x =+=,因此,()()G x g ax b =+为周期函数,la为()G x 的周期. 也要指出,两个非周期函数的复合,可能是周期函数.例32y u x ==,这两个函数都不是周期函数,但它们的复合函数cos cos y x x ===是周期函数,且有最小正周期.3.2几类复合周期函数的最小正周期问题3.2.1 1()f x 的最小正周期定理4 函数()f x 是定义在D 上的不恒为零的周期函数,则其倒数函数1()()F x f x =是集合{()0}x D f x ∈≠上的周期函数,且函数()f x 的周期都是1()f x 的周期. 必须指出,函数()f x 与1()f x 的周期未必是一致的. 例4 函数0,()1,.x f x x R Z ⎧=⎨∈-⎩为偶数,显然, ()f x 是以2为最小正周期的周期函数.11()()x R Z f x ≡∈- 易见1()f x 是以1为最小正周期的周期函数.定理5 若函数()f x 是R 上的不恒为零的周期函数,则函数()f x 与1()f x 的周期一致. 证明 由定理1,函数()f x 的周期都是函数()F x 的周期. (){()0}D F x R f x =∈≠,设0l 为函数()F x 的任意一个正周期.任意()x D F ∈,则0()x l D F ±∈,且0()()F x l F x ±=,从而0()()f x l f x += (1) 任意()R D F -,则()0f x =,因此0()0f x l +=.从而,0()()0f x l f x +== (2)由(1),(2)两步证明,0l 为函数()f x 的周期,所以函数()F x 的每个周期都是()f x 的周期.由定理5,立即有:推论 函数()f x 是R 上的不恒为零的具有最小正周期的周期函数,则函数1()f x 与()f x 具有相同的最小正周期.3.2.2 ()f x 的最小正周期定理6 函数()f x 是周期函数,则()f x 是周期函数,且函数()f x 的周期都是()f x 的周期. 证明 因为()f x 是周期函数, T 是它的周期所以()()f x T f x += (x x T +、都是在定义域内) , 由绝对值的性质得()()f x T f x += , 所以()f x 也是周期函数, T 是它的周期.必须指出,函数()f x 的周期未必是函数()f x 的周期,甚至可能()f x 有最小正周期,但()f x 未必有最小正周期.例 1: 证明函数()sin cos f x x x =+是周期函数,并求出它的一个周期.证明 因为sin x 和cos x 都是周期函数, 2π是它们的周期, 所以由上面定理 6得sin x 和cos x 都是周期函数, 并且2π是它们的周期, 由上面定理 得sin cos x x +也 是 周 期 函 数 ,又 因 为sin()cos()cos sin sin cos 22x x x x x x ππ+++=+-=+, 所以2π是()sin cos f x x x =+的一个周期.例5 函数()f x sin x =,函数()f x =sin x 有周期x ,但π不是sin x 的周期. 还要指出,定理6的逆不成立,即函数()f x 为周期函数时,函数()f x 未必是周期函数. 例6 函数()f x =sin x 不是周期函数,但函数()f x sin sin x x ==是周期函数.3.2.3 [()]nf x (,0)n Z n ∈≠的最小正周期定理7 函数()f x 是周期函数,若n 为正奇数,则函数[()]nf x 是周期函数,且函数()f x 与[()]nf x 的周期一致.定理8 函数()f x 是周期函数,若n 为正偶数, 则函数[()]n f x 是周期函数,且函数[()]nf x 与()f x 的周期一致.定理9函数()f x 是不恒为零的周期函数, 若n 为负奇数,则函数[()]nf x 是周期函数,且[()]nf x 与1()f x 的周期一致. 定理10函数()f x 是不恒为零的周期函数, 若n 为负偶数,则函数[()]nf x 是周期函数,且[()]n f x 与1()f x 的周期一致.3.2.4 1[()]nf x (,0)n Z n ∈≠的最小正周期3.2.4.1 n 为正奇数时,函数1[()]nf x 的定义域与()f x 的定义域相同,且1(){[()]}n nf x f x =,因此,由定理7可得定理7＇函数()f x 是周期函数,若n 为正奇数,则函数1[()]nf x 是周期函数,且函数()f x 与1[()]nf x 的周期一致.3.2.4.2 n 为正偶数时,函数()f x 是非负的周期函数,则函数1[()]nf x 的定义域1{()0}()D x R f x D f =∈≥=.1{[()]}()n nf x f x =.因此,由定理8,有定理8＇函数()f x 是非负的周期函数,若n 为正偶数, 则函数1[()]nf x 是周期函数,且函数1[()]nf x 与()f x 的周期一致.3.2.4.3 n 为负奇数时,函数1[()]nf x 的定义域与1()f x 的定义域相同,且11{[()]}()n n f x f x -=.因此,由定理9,有定理9＇函数()f x 是不恒为零的周期函数,若n 为负奇数，则函数1[()]nf x 是周期函数,且函数1[()]nf x 与1()f x 的周期一致. 3.2.4.4 n 为负偶数时,函数()f x 是不恒为零的非负的周期函数, 函数1[()]nf x 的定义域与1()f x 的定义域相同,且11{[()]}()n n f x f x -=. 因此,由定理10,有定理10＇函数()f x 是不恒为零的非负的周期函数,若n 为负偶数，则函数1[()]nf x 是周期函数,且函数1()f x 与1[()]n f x 的周期一致.参考文献[1]王清印,吴和琴.函数周期性初论[M].北京:煤炭工业出版社,1987.[2]梁力平.对周期函数及其和、差、积、商函数周期性的探讨[J]. 韶关学院学报,2006,(27). [3]杨曼英.关于周期函数及最小正周期的探讨[J]. 娄底师专学报,2001,(2). [4]费强.周期函数性质初探[J].数学学习与研究,2014,(13). [5]宣立新,马明.周期函数初论[M].合肥:安徽教育出版社,1989.[6]潘劲松.关于周期函数定义的研究[J]. 湖南师范大学自然科学学报,2012,(35).英文摘要Probed into cycle function and cycle properties of the sum, the difference, the product and the quotient of itAbstract The paper probes into the definition of cycle function and cycle,cycle properties of cycle function and the definition of least positive cycle, and furthermore probes into cycle properties of the sum ,the difference ,the product ,the quotient of cycle function ,thus coming to its theorem ,and illustrates its application.Key words cycle function; cycle; cycle properties; least positive cycle。
周期函数
周期函数的判断与应用一．周期函数定义：对于函数D x T D x x f ∈∈，使得常数，若存在一个不为零的))((的每一个值，都有()()()f x T f x f x +=成立，则函数称为周期函数，常数T 叫做)(x f 的周期。
若所有的周期中存在一个最小的周期，则这个最小的正数称为这个函数的最小正周期。
特点：1.其定义域一定为无限集，可以有间断点。
2.周期不止一个，如果T 为周期，则)0,(≠∈k Z k kT 也是周期，最小正周期也不一定有。
一般我 们说周期就是指最小正周期。
3.周期函数的图像特征是：整个函数的图像是其中任意一个周期内图像不断向左、右两边平移拓展 的结果。
二．周期函数分类1.常值函数a y =是周期函数，无最小正周期。
当0a ≠时是偶函数，当0=a 时是既奇又偶函数。
2.三角函数：（1）)cos()sin(ϕωϕω+=+=x A y x A y 、的最小正周期||2ωπ=T 。
（2）||)cot()tan(ωπϕωϕω=+=+=T x A y x A y 的最小正周期、。
3.三角函数的变换函数：如|sin ||cos |y x y x π==、，最小正周期为；如|tan ||cot |2y x y x π==、，最小正周期为。
4.自定义周期函数：如||[1,1]2y x x =∈-，，周期为三．根据图像的对称性判断设.0,,,),()(≠≠+∞-∞T b a T b a x f 为常数，且上，定义在函数1． 两线对称型：若函数都对称，与图像关于直线b a x x f ==x )(则函数)(x f 是周期函数，2b - 2a 是它的一个周期。
证明：由题意⇒)()2()22(x f x a f a b x f =-=-+，022≠-a b 且的一个周期是)(22x f a b -⇒. 【举一反三】若周期函数)(x f 图像关于直线a x =对称，a b 22-是它的一个周期，则该函数图像是否关于直线b x =对称？ 答：是的证明：由题意⇒)()2()222()2(x f x a f b a x b f x b f =-=-+-=-对称图像关于直线b x x f =⇒)(22TT b a T b a -==+若周期为，令2，则，问能否推广到无数条对称轴呢？ 【推广】()()2kTT f x x a x a k Z ==+∈若是函数的一个周期，且图像关于直线对称，则是函数 ()f x 的对称轴。
高中数学第一章三角函数1正弦函数例题与探究(含解析)
1。
5 正弦函数典题精讲1.周期函数一定都有最小正周期吗？剖析:并不是所有周期函数都存在最小正周期.很多同学对此产生质疑，其突破的方法是：通过经验的积累,考虑特殊的周期函数.例如：常数函数f(x)=C（C为常数）,x∈R.当x取定义域内的任意值时，函数值都是C，即对于函数f（x）的定义域内的每一个值x都有f（x+T）＝C，因此f（x)是周期函数，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以f（x）没有最小正周期. 2。
正弦函数线有何作用?剖析：有的同学学习了正弦线后，感到正弦线没有什么用处.其突破的路径是准确理解正弦线的定义和平时经验的积累。
正弦线是当点P为终边与单位圆交点时，正弦函数值的直观表现形式.正弦线的方向和长度直观反映了正弦值的符号和绝对值.由正弦线的方向判断正弦值的正负，由正弦线的长度确定正弦值的绝对值大小。
由此可见，用正弦线表示正弦函数值,反映了变换与转化、数形的结合与分离的思想方法。
正弦函数在各象限的符号除从各象限点的坐标的符号结合正弦函数的定义来记忆之外，也可以根据画出的正弦线的方向记忆.正弦线的主要作用是解三角不等式、证明三角不等式、求函数定义域及比较三角函数式的大小,同时它也是以后学习正弦函数的图像与性质的基础.例如：求函数y=log2(sinx)的定义域。
思路分析：转化为解三角不等式sinx＞0.图1—4—5解：要使函数有意义，x 的取值需满足sinx ＞0。
如图1—4—5所示，MP 是角x 的正弦线,则有sinx=MP ＞0， ∴MP 的方向向上.∴角x 的终边在x 轴的上方。
∴2kπ＜x ＜2kπ+π(k ∈Z ）.∴函数y=log 2（sinx)的定义域是(2kπ,2kπ+π)k ∈Z 。
由以上可看出，利用三角函数线，数形结合，能使问题得以简化.三角函数线是利用数形结合思想解决有关三角函数问题的重要工具,通过平时经验的积累,掌握三角函数线的应用。
3。
在推广了的三角函数定义中，为什么三角函数值与点P 在角α终边上的位置无关，只依赖于角α的大小?剖析：联系相似三角形的知识来分析.设P 0（x 0，y 0)是角α终边上的另一点，｜OP 0｜=r 0,由相似三角形的知识可知,只要点P 0在α终边上,总有r y =0r y .因此所得的比值都对应相等.所以角α的正弦函数值只依赖于终边的位置即α的大小，与点P 在角α终边上的位置无关.典题精讲例1(经典回放）sin 600°的值是（ )A 。
周期函数性质的证明
推论3：由定理3.2及定理3.3，如果 是实数集上一非常数连续周期函数，且有连续的导函数，则 是 的周期当且仅当 是 的周期．
例2：证明 不是周期函数．
证明：令 ，显然它在 上连续可导，且不为常数函数．如果 是周期函数，则 也是周期函数．取 ， ，这与实数集上连续周期函数有界矛盾．
第二章 预备知识
定义2.1如果有一实数 ，使对任意 （指函数的定义域），均有 ，则称 为以T为周期的周期函数．
定义 设 是周期函数 的周期，那么对于一切正整数 ， 都是 的周期．从而可知周期函数 必有正周期；周期函数的所有周期的集合是一个上，下方均无界且对称于数轴原点的无穷集合．
定义 若 ， 为 的周期，且 ，则 也是 的周期．
证明：设 ，则E非空有下界， 存在，设为 ，
下面证明：（1） ， ；(2) ．由此可得 是函数 的最小正周期．
若 ，则显然有 ；
若 ，那么存在 ，有 ，于是 ，由于 的连续知 = = = =
所以 也是 的周期．
（2）由确界的性质知 ，假设 ，可推出 为常值函数，为此，只要证明对任意实数 ， 及 ，均有
证明：根据题意 ，知 有两个周期，分别为 和 ，他们之比为无理数，由推论2知 为一常数函数．
定理3.3：设 是实数集上一非常数函数，且有连续的导函数，则 的最小
正周期为 ,当且仅当 的最小正周期为 ．
证明：
充分性： ，使得 ，又 存在导函数，
也是一个周期函数且周期为 ．
根据定理3.2，假设 存在最小正周期 ,
，关于连分数的一些结果．
命 表一正实数， 是它的整数部分，又命 ，则 也是正实数，而且大于 ，在命 是 的整数部分及 ，如此下去，命 为 的整数分，而 ，如此就就得到一个分数：
函数的周期性
数学必修1——函数的周期性一. 教学内容：函数的周期性（一）概念对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，则把函数叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，这个最小的正数叫最小正周期。
注：（1）周期函数的周期T未必是正数未必有正周期如：，显然是函数的一个周期，故，是周期函数，假设有一个正周期，当时，，故无意义，所以不存在正周期。
（2）若T是周期函数的周期，未必是函数的一个周期，但若是定义在R上的周期函数，则成立。
如，是函数的一个周期，而不是周期。
（3）有正周期的周期函数，未必有最小正周期如任一有理数是的一个周期，因有理数不存在最小正数，故所给函数不存在最小正周期。
（4）周期函数的周期不止一个事实上，如果T是周期函数的周期，用数学归纳法易证（）也是的周期，换言之，一个周期函数必有其周期集合，且此集合是一个至少一方无界的无穷点集。
（5）周期函数的定义域至少是一方无界因函数的周期集合是定义域的子集，由（4）知周期集合至少一方无界，故定义域至少一方无界。
（6）周期函数的定义域内的点不一定是连续的，可能是有间断的，如函数是周期函数，定义域是整数集。
（7）两个周期函数的和未必是周期函数如，假设是以T为周期的周期函数则，对任恒成立令代入上式，有∵∴于是矛盾，故非周期函数（二）性质1. 设是以T为周期的函数，证明（1）对任意正整数，也是的周期（2）有最小正周期T，则的所有周期都是T的整数倍注：若是定义在R上的周期函数，则（1）中证：（1）（2）设是的任意一个周期，且，则存在，使（）若，则，即也是正周期，而与T 的最小性矛盾，故2.（1）若是数集A上的周期函数，则是数集上的周期函数（2）若有最小正周期T，则T也是函数的最小正周期证：（1）设T为周期，则任，，且有从而，即T是的周期。
（2）由（1）知T也是的正周期，假设T不是的最小正周期，则存在是的周期，即即也是的周期，且为正数，这与T是的最小正周期矛盾，所以T也是的最小正周期3. 函数以T为最小正周期函数以为最小正周期证（充分性）设是的最小正周期，令，则∴∴假设T不是的最小正周期，若存在是的周期，则即是函数的周期与已知是最小正周期矛盾，得证（必要性）仿充分性证明，略。
函数的周期性
第三节函数的周期性【最新考纲】．了解函数奇偶性的含义；会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性【知识梳理】1.对于函数y ＝f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数y ＝f(x)为周期函数，称T 为这个函数的周期．2.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个 就叫做f(x)的最小正周期．【自主学习】1.已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x)＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋52，且f(1)＝2，则f(2 016)＝________． 2. 函数f(x)＝lg|sin x|是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为2π的偶函数3. 设f(x)是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2，1)时，f(x)＝⎩⎨⎧4x 2－2，－2≤x ≤0x ，0＜x ＜1，则f(52)＝( ) A ．0 B ．1 C.12D ．－1 【合作探究】题型一 函数周期性的应用例1 设f(x)是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x ≤0时，f(x)＝－x.(1)判定f(x)的奇偶性；(2)试求出函数f(x)在区间[－1，2]上的表达式．变式练习：已知偶函数f(x)，当x ∈[0，2)时，f(x)＝2sin x ，当x ∈[2，＋∞)时，f(x)＝log 2x ，则f(－π3)＋f(4)＝( ) A ．－3＋2 B 1 C ．3 D.3＋2题型二 函数性质综合应用例2. 设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x ＋2)＝－f(x)，当0≤x ≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f(x)的图象与x 轴所围成图形的面积．【课堂小结】1．若f(x ＋a)＝－f(x)或f(x ＋a)＝1f （x ）或f(x ＋a)＝－1f （x ）(a 是常数，且a ≠0)，则_________为函数f(x)的一个周期．2．周期函数不一定有最小正周期。
最小正周期是什么
最小正周期是什么
对于一个函数f（x），如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f（x）的最小正周期。
对于正弦函数y=sinx，自变量x只要并且至少增加到x+2π时，函数值才能重复取得。
所以正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π。
（说明：如果以后无特殊说明，周期指的就是最小正周期。
）
在函数图象上，最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离。
这类题目是通过三角函数的恒等变形，转化为一个角的一种函数的形式，用公式去求，其中正余弦函数求最小正周期的公式为T=2π/|ω|，正余切函数T=π/|ω|。
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这样的函数也一定存在最小正周期. 为此, 我们引
入下面的定义.
定义 1 设 f ( x ) 为 R 上的函数, 若存在区间
I , 使f ( x ) 在 I 上连续, 则称f ( x ) 为有连续区间的
函数.
定理 2 有连续区间的非常值周期函数一定
存在最小正周期.
证明 ( 反证) . 假设无最小正周期, 设函数
数学解题过程时时会碰到一些障碍, 这些障 碍有的是来自于题目本身设置的障碍, 有的则是 来自于大脑思维上的障碍, 进而又产生了心理上 的障碍. 这些障碍使你畏缩不前, 精神恐慌, 问题 得不到解决. 排除障碍最好的办法是: 尽量使你的 头脑冷静下来, 认真地分析产生障碍的原因, 积极 地采用创意识的思考, 或许你的问题就可以得到 解决, 出现反败为胜的局面.
A < k 1 a1 - ( k 2 - 1) a2,
取 A 2 = A1a1 - A2 a2, 其中 A1 = k2, A2 =
- k2, 归纳地, 对于 an, 一定存在正整数 kn , 使 当 n 为偶数, k1 a1 - k 2a2 + ,+ kn- 1 an- 1 -
knan [ A < k 1a1 - k2 a2 + ,- ( kn - 1) an
2001 年 第 7 期 数学通报
21
关于周期函数的最小正周期的存在性
袁建忠 严顺清 ( 成都师专数学系 四川彭州 611930)
我知道一些周期函数在定义域上存在最小
正周期, 如 sinx , cosx , t anx , cotx 等. 但有些周期函
数如常值函数、狄利克莱函数等均没有最小正周
期. 那么, 什么样的周期函数一定存在最小正周期
的构造, 我们有 A n - A [ an .
又lim ny ]
an
=
0,
故 lim nv]
An
=
A . 证毕.
定理 1 非常值连续周期函数一定存在最小
正周期.
定理 1 等价于 定理 1c 无最小正周期的连续周期函数一定
为常值函数.
证明 设 T 为f 的所有正周期构成的集合,
由条件知, T 一定有下确界, 且下确界必为零.
f( x) =
0 1
- 1[ x<具有连续区
间, 由定理 2 一定存在最小正周期.
定理 2 也只是周期函数存在最小正周期的一
个充分 条件, 而非 必要 条件. 如 例 2、例 3 中的
g ( x ) 与 h( x ) 都具有最小正周期, 但处处不连续,
当然也不具有连续区间.
当 n 为奇数, 有 k1 a1- k2 a2+ ,- ( kn- 1) an
< A [ k1 a1 - k2 a2 + ,+ knan,
取 An = A1a1 + A2 a2 + ,+ Anan, 其中 Ai =
(- 1) i- 1 ki , i = 1, 2, ,, n.
由此得{ an} 的整数线性组合数列{ An } , 由 An
期的函数不一定连续.
例 1 f ( x ) 为定义在 R 上的周期函数, 在周
期[ - 1, 1) 为 f ( x ) =
0 1
-1[ x< 0[ x< 1
0.
f ( x ) 存在最小正周期 2, 但显然 f ( x ) 不连续.
例2
设 g(x) =
1+ { x} 0
x 为有理数 x 为无理数
( 其中{ x } 表示 x 的小数部分) . g ( x ) 存在最小正
常数, 故不能直接去求, 需要按 a , b 的取值范围
分别讨论, 这样做太繁琐, 不可取!
注意到极限值- b 是与a 无关的常数, 且欲求
的是 a, b 间的关系, 故设法将 a, b 结合在一起,
视为一个整体去解, 是本题的关键. 因此有
lim
ny ]
an + an+ 1 -
bn bn-
1
=
lim
的整系数线性组合, 故{ Bn} 的每一项必为 f ( x )
的周期, 再由 f ( x ) 的连续性有, f ( x ) =
limf
nv]
(
B
n)
=
limf ( 0 +
nv ]
Bn) =
f ( 0) . 故 f ( x ) 为常值函数. 证
毕.
注 定理 1只给出周期函数存在最小正周期
的一个充分条件而非必要条件. 即: 存在最小正周
呢?笔者至今未见有结果. 本文利用极限和函数连
续的性质, 给出了周期函数存在最小正周期的充
分条件.
引理 1
设{ an} 为数列, 且 an >
0,
lim
nv ]
an
=
0. 则对任意实数 A , 存在由{ an} 的前 n 项构成的
整系数线性组合数列{ A n} , 其中 A n = A1 a1+ A2 a2
通过上面的讨论, 我们得出连续性只能是最
小正周期存在的充分条件, 而非必要条件. 即存在 最小正周期的函数可能连续、部分连续或处处不 连续.
致谢 对成都师专数学系胡明老师和陈广 贵老师在本文成文中给予指导表示感谢.
参考文献 1 刘玉链, 傅沛仁. 数学分析讲义. 北京: 高等教育出版社.
周期, 但在 R 上处处不连续.
例3
设 h(x) =
2 + sinx x 为有理数
0
x 为无理数
h { x } 存在最小正周期, 但也在 R 上处处不连续.
上面的例 1 中 f ( x ) 最多只有可数个不连续
点, 且存在最小正周期. 其实我们的定理 1 中的条
件可以进一步地减弱, 从而可论证例 1 中的 f ( x )
由下确界的定义: 存在数列{ T n} A T , 使得
lim
nv ]
T
n
=
0. 现在我们来证明 f ( x ) 恒等于某一常
数. 只需证对任意的 x 有f ( x ) = f ( 0) .
由引理 1, 一定存在由{ T n} 的整数线性组合
构成的数列{
Bn}
,
使l n
im
v]
B
n
=
x , 由于{ Bn } 是{ T n}
+
,+
Anan( ai 为整数, i =
1,
2
,,
n)
,
使得 lim nv ]
An
= A.
证 不妨设 A > 0, 对于 a1 一定存在整数 k1, 使
( k1 - 1) a1 < A [ k1 a1,
取 A 1 = A1a1, 其中 A1 = k 1,
对于 a2, 一定存在整数 k2, 使 k1 a1 - k2 a2 [
法则去求极限的类型, 而本题是已知极限的值反
过来要确定参数 a , b 间的关系. 学生面对形式复
杂而抽象的极限问题, 一时不知从何入手.
[ 创意思考] 通过对条件的观察, 可以使我们
联想到基本类型的极限: lim qn = 0( | q | < 1) . 但 ny]
式子中这样的形式较多, 而且 a, b 又是不定的正
例如: 在极坐标系中, 求点( m , P3 ) ( m > 0) 到直线 Qcos( H- 3P) = 2 的距离.
在一次测验中, 本题的错误率很高, 原因何在 呢?大部分考生力图在极坐标系中直接来解决, 结 果无从入手. 又因题型别致, 故产生了恐惧心理, 使问题不得其解.
[ 创意思考] 直角坐标系中点到直线的距离 求法考生是熟悉的, 若能够把极坐标系中的问题 转化为直角坐标系中的问题不就突破逆境了吗?
浅谈数学解题中的逆境突破
房之华 ( 苏州大学附中 215006)
解数学题不可避免地会遇到一些难题, 使学 生陷入解题中的逆境. 疑难问题带来的巨大压力, 容易导致学生的意志消沉, 从而放弃数学的学习. 本文结合教学实践, 谈谈教师在解题教学中如何 指导学生突破解题中的逆境, 寻找成功的途径.
1 创意思考 反败为胜
ny ]
a(
a b
)
n- 1
+
a2(
a b
)
n-
1
-
b 显而易见, 当
1
且仅当 0<
a b
<
1, 即 0<
a<
b 时, 其极限值为-b.
创意思考的前提是来自于对题设的观察和联
想. 从而产生创新意识和创新思维, 利用创新的手
段, 去摆脱困境, 达到反败为胜的目的.
2 寻根求源 反朴归真
在解题过程中, 学生常常会碰到一些难以判 断、模糊不清的问题, 从而陷于困境. 此时突破困
的连续区间为 I , I 的长度记为 d , 则存在正周期
T , 使 T < d, 由此得, 函数在整个 R 上连续. 由定
理 1, 函数存在最小正周期. 这与假设矛盾. 证毕.
定理 2 确是定理 1 的推广, 如 f ( x ) 为一个周 期为 2 的函数, 在[ - 1, 1) 内,
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2001 年 第 7 期 数学通报
因此, 先将 Qcos( H- P3 ) = 2 及点( m, P3 ) 转化为
1 2
x
+
23 y
=
2 和(
1 2
m,
23m) , 再利用点到直线的
距离公式即可求出距离为 | m - 2 | .
再如,
若 lim ny ]
an an+ 1