最大线性无关向量组

A
初等行变换
~
1 0 0 0
0 1 0 1 1 0 0 0 0 0
4 3 1 3 0 0
即得
a 3 = a1 a 2 , a 5 = 4a 1 + 3a 2 3a 4
三、向量组秩的重要结论
定理２ 定理２ 设向量组 B能由向量组 A线性表示，则向 线性表示，
量组B的秩不大于向量组 A的秩. 证 设向量组 B的一个最大无关组为 B0 : b1 , , br，
从而方程组 有非零解（ 有非零解（因 R( K ) ≤ s < r）， ( a1 ,, a s ) Kx = 0 有非零解， 有非零解，即(b,, br ) x = 0有非零解， 有非零解， 这与B0 组
线性无关矛盾， 不能成立， 线性无关矛盾，因此 r > s不能成立，所以 r ≤ s .
推论1 推论1
因C = B A ,由上段证明知 R(C ) ≤ R( B ), 即R(C ) ≤ R( B ).
T T T T T
思考
定理2与推论2有什么异同 ？
的部分组， 推论 3 设向量组 B是向量组 A的部分组，若向量 线性无关， 线性表示， 组B线性无关，且向量组 A能由向量组 B线性表示， 则向量组 B是向量组 A的一个最大无关组 .
们的最大无关组 A0与B0等价 .证法一证明 B0用A0线 性表示的系数矩阵可逆 ; 证法二实质上是证明 A0与 B0都是向量组 ( A, B )的最大无关组 .
例4
已知 3 2 5 4 0 2 , (b , b ) 6 4 , ( a1 , a 2 ) = 1 2 = 5 3 1 1 3 1 9 5
思考题
比较教材例7的证法一、 比较教材例7的证法一、二、三，并总 法一 结这类题的证法． 结这类题的证法．
思考题解答
证法一根据向量组等价的定义，寻找两向量 证法一根据向量组等价的定义， 向量组等价的定义 组相互线性表示的系数矩阵； 组相互线性表示的系数矩阵； 证法二利用“经初等列变换， 证法二利用“经初等列变换，矩阵的列向量 组等价，经初等行变换，矩阵的行向量组等价” 组等价，经初等行变换，矩阵的行向量组等价” 这一特性，验证是否有相同的行最简形矩阵； 这一特性，验证是否有相同的行最简形矩阵； 证法三直接计算向量组的秩，利用了向量组 证法三直接计算向量组的秩，利用了向量组 的最大线性无关组等价这一结论 这一结论． 的最大线性无关组等价这一结论．
个向量都线性相关， 中的任意 n + 1个向量都线性相关， 因此向量组 E 的一个最大无关组， 是R n的一个最大无关组，且 R n的秩等于 n.
例2 设矩阵 2 1 1 1 1 1 2 1 A= 4 6 2 2 3 6 9 7 2 4 4 9
求矩阵A 无关组， 求矩阵 的列向量组的一个最大 无关组，并把不 属最大无关组的列向量 用最大无关组线性表示 .
证明向量组(a1 , a 2 )与(b1 , b2 )等价.
证明 要证存在 2阶方阵 X , Y , 使 (b1 , b2 ) = (a1 , a2 ) X , ( a1 , a 2 ) = (b1 , b2 )Y .
先求X . 类似于线性方程组求解 的方法 , 对增广矩
最简形矩阵： 阵(a1 , a 2 , b1 , b2 )施行初等行变换变为行 最简形矩阵：
即A0 组能由 B0 组线性表示 .
1
从而A组能由 B组线性表示 .
证二
设向量组 A和B的秩都为 r . 因B组能由 A组线性表示 , 故A组和B组合并而 成的向量组 ( A, B )能由A组线性表示 . 而A组是( A, B )组的部分组 , 故A组总能由
( A, B )组线性表示 . 所以( A, B )组与A组等价 ,因此
组线性无关， 因B0 组线性无关，故 R( b1 ,, br ) = r .
根据定理 2推论 2，有 R( K r ) ≥ R(b1 ,, br ) = r
但R( K r ) ≤ r，因此 R( K r ) = r .
可逆， 于是矩阵 K r 可逆，并有 (a1 ,, a r ) = (b1 ,, br ) K r ,
向量组 A的一个最大无关组为 A0 : a1 , , a s , 要证 r ≤ s. 组线性表示， 因B0 组能由 B组线性表示， B组能由 A组线性
表示， 表示， A组能由 A0 组线性表示 . 故B0 组能由 A0 组线性表示 . 即存在系数矩阵 K sr = ( k ij ), 使得
k11 k1r (b1 ,, br ) = (a1 ,, a s ) k k sr s1 x1 如果r > s，则方程组 K sr = 0 (简记为 Kx = 0) x r
事实上
2 1 1 1 （a1 , a 2 , a 4 ) = 1 1 4 6 2 3 6 7
初等行变换
~
1 0 0 0
1 1 0 0
1 1 1 0
知R(a1 , a 2 , a 4 ) = 3，故a1 , a 2 , a 4 线性无关 线性表示， 要把a3 , a5用a1 , a2 , a4线性表示，必须将 A再变 成行最简形矩阵 .
证一 只要证明向量组 A能由向量组 B线性表示 .
设两个向量组的秩都为 r，并设 A组和B组 的最大无关组依次为 A0 : a1 ,, a r 和B0 : b1 ,br ,
组线性表示， 因B组能由 A组线性表示，故 B0 组能由 A0 组线性 表示， 表示，即有 r阶方阵 K r 使
(b1 ,, br ) = (a1 ,, a r ) K r
证
个向量， 设向量组 B含r个向量，则它的秩为 r ,
因A组能由B组线性表示，故 A组的秩 ≤ r， 组线性表示， 个向量线性相关， 从而A组中任意 r + 1个向量线性相关，
所以向量组B 所以向量组 满足定义1所规定的最大无关组的 条件.
例3 设向量组 B能由向量组 A线性表示 , 且它们的 秩相等， 秩相等，证明向量组 A与向量组 B等价.
r1 r3 r3 + 2r1
r4 + 3r1
~
3 5 1 1 6 4 0 2 0 5 15 10 0 2 6 4 1 0 0 0
3 1 2 5 15 10 2 6 4 1 5 3
r2 ÷ ( 2)
~
r2 ÷ ( 2)
~
1 0 0 0
所以列向量组的秩 关组， 的列向量的一个最大无 关组， 的行向量组的秩也等于 等于r . 类似可证 A的行向量组的秩也等于 R( A).
向量组 a1 , a 2 ,, a m的秩也记作R(a1 , a2 ,, am )
结论
若Dr 是矩阵 A的一个最高阶非零子式 ，则Dr 最大无关组， 所在的 r列即是列向量组的一个 最大无关组， Dr 所在的r 所在的 r行即是行向量组的一个 最大无关组 .
( A, B )组的秩也为 r . 又因B组的秩为 r , 故B组的最大无关组 B0 含r 个向量 , 因此B0 组也是( A, B )组的最大无关组 , 从
而( A, B )组与B0 组等价 .
由A组与( A, B )组等价，A, B )与B0等价, 推知A组 组等价， ( 与B组等价 .
注意
本例把证明两向量组 A与B等价, 转换为证明它
说明
（1）最大无关组不唯一; ）
（2）向量组与它的最大无 关组是等价的 .
例1 全体n维向量构成的向量组记 作R n，求 R n的 一个最大无关组及 R n的秩 .
解 因为n维单位坐标向量构成的 向量组 E : e1 , e2 , , en
是线性无关的， 是线性无关的，又根据 4.2定理 3的结论 ( 3) 知R n
无关组） 最大无关组所含向量个数r称为向量组 ; 有最大无关组， 的秩.只含零向量的向量组没 有最大无关组，规定
它的秩为0.
二、矩阵与向量组秩的关系
定理１ 定理１ 矩阵的秩等于它的列向 量组的秩，也等于 量组的秩，
它的行向量组的秩 .
证 设A = (a1 , a 2 , , a m )，R( A) = r , 并设r阶子式 Dr ≠ 0.根据4.2定理 2由Dr ≠ 0知所在的 r列线性无 阶子式均为零， 又由 关； A中所有 r + 1阶子式均为零，知 A中任意 r + 1个列向量都线性相关 . 因此Dr 所在的 r列是A
证 设矩阵 C和A用其列向量表示为
C = (c1 ,, c n ), A = (a1 ,, a s ). 而B = (bij )，
b11 b1n (c1 ,, c n ) = (a1 ,, a s ) 由 b bsn s1 的列向量组线性表示， 知矩阵C的列向量组能由 A的列向量组线性表示， 因此R(C ) ≤ R( A).
1 5 3 2 6 4 3 5 4 1 9 5
r1 r3
~
1 0 r1 r3 ~ 2 3
r3 + 2r1
5 3 2 6 4 3 5 4 1 9 5 1
r4
~3r +
1
5 3 1 1 6 4 0 2 0 5 15 10 0 2 6 4
1 1 3 2 . 0 0 0 0 0 0
~ r1 ÷ ( 1)
r1 r2
0
2
初等行变换
(a1 , a 2 , b1 , b2 )
~
1 0 0 0
0 2 1 1 3 2 0 0 0 0 0 0
即得
2 1 X = 3 2
因 X = 1 ≠ 0, 知X可逆 , 取Y = X 1 ,即为所求 .因 此向量组 a1 , a 2与b1 , b2等价.
3 5 4 2 0 2 6 4 (a1 , a 2 , b1 , b2 ) = 1 1 5 3 3 1 9 5
3 5 4 2 0 2 6 4 (a1 , a 2 , b1 , b2 ) = 1 1 5 3 3 1 9 5 1 0 2 3
等价的向量组的秩相等 .
证 设向量组 A与向量组 B的秩依次为 s和 r .
因两个向量组等价， 因两个向量组等价，即 两个向量组能相互线性 表 故 示， s ≤ r与r ≤ s同时成立 , 所以s = r .
推论2 推论2
设 C m × n = Am × s Bs × n，则 R(C ) ≤ R( A), R(C ) ≤ R( B ).
一、最大线性无关向量组
定义１ 定义１ 设有向量组A，如果在A中能选出r个向量
α 1 ,α 2 ,,α r，满足
线性无关； （1）向量组A0 : α 1 ,α 2 ,,α r 线性无关； 个向量（ （2）向量组A中任意r + 1个向量（如果A中有
那末称向量组A0是 r + 1个向量的话）都线性相关， 个向量的话） 向量组A的一个 最大线性无关向量组 （简称最大
四、小结
１．最大线性无关向量组的概念： 最大线性无关向量组的概念： 最大性、线性无关性． 最大性、线性无关性． 矩阵的秩与向量组的秩的关系： ２． 矩阵的秩与向量组的秩的关系： 矩阵的秩＝ 矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩 ＝矩阵行向量组的秩 关于向量组秩的一些结论： ３． 关于向量组秩的一些结论： 一个定理、三个推论． 一个定理、三个推论． 求向量组的秩以及最大无关组的方法： ４． 求向量组的秩以及最大无关组的方法： 将向量组中的向量作为列向量构成一个矩 然后进行初等行变换． 阵，然后进行初等行变换．
解 对A施行初等行变换变为 行阶梯形矩阵
1 0 0 0 1 2 1 1 1 1 0 0 0 0 4 0 ， 1 3 0 0
A
初等行变换
~
知R( A) = 3，
故列向量组的最大无关 组含 3个向量 . 2 4 三列， 而三个非零行的非零首 元在 1、、三列，
故 a1 , a 2 , a4 , 为列向量组的一个最大 无关组 .
1
3 1 2 5 15 10 2 6 4
5 3
r3 5r2
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r4 2r2
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1 0 0 0
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r4 2r2
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