随机信号处理教程 第2章 随机过程
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F2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) P{X (t1 ) x2 , X (t 2 ) x2 }
称F2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 )为随机过程 X (t ) 的二维分布函数 同样，如果存在非负函数 f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) ，使 x x F2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) f 2 (u1 , u 2 ; t1 , t 2 )du1du2 成立，则称 f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) 为随机过程X(t)的二维概率密度函 数。且
B X
8
对于随机过 0 程 X (t )，当 X t时， 我们称随机过程 X (t ) 含有直流分 X t 量 。当随 X (t ) 机过程 含有 直流分量时，它 X (t ) 的自相关函数 B 也会有一常数 X t 项 ，它是直 流成分所包含的 平均功率。
X
依概率1成立，则称随机过程 如果
X t
的均值具有各态历经性；
x(t ) x(t ) X (t ) X (t ) BX ( )
依概率1成立，则称随机过程 X t 的自相关函数具有各态 历经性。 若平稳随机过程 X t 的均值和白相关函数均具有各态历经 性，则称该随机过程是宽各态历经过程或广义各态历经过 程。
BX 0 BX
如果平稳随机 过程X (t ) 满足 T) 条件X (t ) X (t ， 则称它为周期 平稳随机过程， 其中T为随机 过程的周期。
BX BX T
2.5 平稳随机过程自相关函数的性质
平稳随机过程自相关函数的性质
5
X t
6
7
M X (u; t ) E[e juX (t ) ]
e jux f1 ( x; t )dx
(2.2.16)
M X (u; t ) 称为随机过程 X (t ) 的一维特征函数，它是 和 的 函数。 f1 ( x; t ) 为随机过程X (t ) 的一维概率密度函数，它与M X (u; t )
e ju1x1 ju2 x2 jun xn f n ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t 2 ,, t n )dx1dx2 dxn
M X (u1 , u2 ; t1 , t 2 ) E[e ju1X (t1 ) ju2 X (t2 ) ]
M X (u; t ) E[e
u t
构成一对傅立叶变换，有
1 f1 ( x; t ) 2
Fra Baidu bibliotek
M X (u; t )e jux dx
(2.2.17)
将式(2.1.16)的两端对变量u求n阶偏导数，得
n M X (u; t ) u n jn
x n e jux f 1 ( x; t )dx
(2.2.18)
1 2
2 F2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) x1x2
2.2随机过程的统计描述
随机过程的数字特征
E[ X (t )] xf1 ( x; t )dx
数学期望 均方值
E[ X (t )] x 2 f1 ( x; t )dx
juX (t )
]
e jux f1 ( x; t )dx
e
ju1 x1 ju2 x2
f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 )dx1dx2
一维特征函数
二维特征函数
n维特征函数
2.2随机过程的统计描述
对于某一固定时刻t，随机变量 X (t ) 的特征函数为
2.4随机过程的各态历经性
工程上通常只是在相关理论的范围内考虑各态历经过程， 称之为宽各态历经过程或广义各态历经过程。 设是 x(t ) 随机过程 X t 的任意一条样本函数，x(t ) 沿整个时 间轴的时间平均运算 称为随机过程 间平均运算
X t
x(t ) x(t ) 沿整个时间轴的时 的时间均值。
电子信息技术导论
——献给进入信息领域学习的你！
随机信号处理教程
第1章 概率论基础 第2章 随机过程 第3章 随机过程的功率谱密度 第4章 随机信号通过线性系统 第5章 窄带系统和窄带随机信号 第6章 随机信号通过非线性系统 第7章 马尔可夫过程
第2章 随机过程
1 随机过程的概念 2 随机过程的统计描述 3 平稳随机过程 4 随机过程的各态历经性
如果存在非负二元 函数 f1 ( x; t ) ，使
F1 ( x; t ) f1 (u; t )du 成立，则称f1 ( x; t ) 为 随机过程 X (t ) 的一 维概率密度函数。
x
2.2随机过程的统计描述
为了描述随机过程X (t )在任意两个时刻 t 2 和 t1 的状态之间的 内在联系，可以引入二维随机变量 X (t1 ), X (t 2 ) 的分布函 数 F2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) ，它是二随机事件 X (t1 ) x1 和 X (t 2 ) x2 同时 出现的概率，即
间内过程平稳就行了。
2.4随机过程的各态历经性
在具备一定的补充条件下，对平稳随机过程的一个样本函 数取时间均值，在观察时间足够长时，从概率意义上趋近 于该随机过程的集合均值。对于这样的随机过程，我们说 它具有各态历经性或遍历性。
按照严格的意义，如果一个平稳随机过程的各种时间平均 (时间足够长)依概率l收敛于相应的集合平均，则称该随 机过程具有严各态历经性或狭义各态历经性，并称该随机 过程为严各态历经过程或狭义各态历经过程。
X (ti ) 都是随机变 定义2 如果对于每一固定的时刻ti T ， 量，那么，则称 X (t ) 是随机过程。
2.1随机过程的概念
随机过程 X (t )的四种含义
T和x都 是变量 T是固定值 X是变量
T是变量 X是固定值
T和x都 是固定值
按 照 时 间 和 状 态 是 连 续 还 是 离 散 来 分 类
x1 x2 f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 )dx1dx2
2.2随机过程的统计描述
M X (u1 , u2 , , un ; t1 , t 2 ,, t n ) E[e ju1X (t1 ) ju2 X (t2 ) jun X (tn ) ]
2
自协方差函数
CovX (t1 , t 2 ) E{[ X (t1 ) X (t1 )][X (t 2 ) X (t 2 )]}
方差
BX (t1 , t 2 ) E[ X (t1 ) X (t 2 )] 自相关函数
D[ X (t )] E{[ X (t ) X (t )]2 }
1 x(t ) lim T 2T
T
T
x(t )dt
1 x(t ) x(t ) lim T 2T
T
T
x(t ) x(t )dt
称为随机过程 X t 时间自相关函数。
2.4随机过程的各态历经性
设是 X t 一个平稳随机过程，如果
x(t ) X (t ) 常数
2.1随机过程的概念
1 2
连续型随机过程
连续随机序列
3
4
离散型随机过程
离散随机序列
2.2随机过程的统计描述
一维分布函数和 概率密度函数
对于某一个固定时 刻t T ，随机过程在t时 刻的状态X (t )是一个随机 变量，随机事件X (t ) x 的概率为 F1 ( x; t ) P{X (t ) x} 它是t和x的二元函数，记 为 P{ X (t ) x} 称 X (t )为随机过程F1 ( x; t ) 的一维分布函数。
所以，随机过程
X (t )
n
的n阶原点
n M X (u; t ) E[ X (t )] x f1 ( x; t )dx ( j ) u n u 0
n
n
(2.2.19)
因此，利用式(2.2.19)可以方便地求得随机过程的数学期望 和均方值。
2.3平稳随机过程
如果对于任意n个时刻t1，、t2，…，tn和任意实数ε， 随机过程 X (t )的n维分布函数(或概率密度函数)满足关系
若平稳随机过 程X (t ) 含有一 个周期分量， 则 B 也含有 一个同周期的 周期分量。
X
对任何不含周 期分量的非周 期平稳随机过 程均有
2
平稳随机过程 的自相关函数 的傅立叶变换 是非负函数
BX () X (t )
BX ( )e j d 0
2
2.6随机过程的联合概率分布和互相关函数 如果两个随机过程和的概率密度函数分别为 f n ( x1, x2 ,, xn ; t1, t2 ,, tn ) ,, tm ) ，定义此两个随机过程的n+m维联 和 f m ( y1, y2 ,, ym ; t1, t2 , t2 ,, tm ) 合分布函数为 Fnm ( x1, x2 ,, xn ; y1, y2 ,, ym ; t1, t2 ,, tn ; t1 ) y1, Y (t2 ) y2 ,, Y (tm ) ym PX (t1 ) x1, X (t2 ) x2 ,, X (tn ) xn ; Y (t1 ,, tm ) 如果存在非负函数 f nm ( x1, x2 ,, xn ; y1, y2 ,, ym ; t1, t2 ,, tn ; t1, t2 ，使 , t2 ,, tm ) Fnm ( x1 , x2 ,, xn ; y1 , y2 ,, ym ; t1, t2 ,, tn ; t1
5
平稳随机过程自相关函数的性质
6 随机过程的联合概率分布和互相关函数 7 正态随机过程
2.1随机过程的概念
定义1 设随机试验E的样本空间为S={x}，如果对于每一个 样本，总可以依某种规则确定一时间t的函数
x(t ) t T (T是时间t的变化范围)
与之对应。于是，对于所有 x S 的来说，就得到一族 时间t的函数，我们称此族时间t的函数为随机过程。
2.3平稳随机过程
—般来说，若产生随机过程的主要物理条件在时间进程中 不变化，那么此过程就可以认为是平稳的。在电子信息技 术的实际应用中所遇到的随机过程，差不多都可以认为是 平稳随机过程。例如，一个工作在稳定状态下的接收机， 其输出噪声就可以认为是平稳的。但当刚接上电源，该接 收机还工作在过渡过程状态下时，此时的输出噪声是非平 稳的。另外，有些非平稳过程，在一定的时间范围内可以 作为平稳过程来处理。实际上，在很多问题的研究中往往 也并不需要在所在时间都平稳，只要在我们观测的有限时
2.5 平稳随机过程自相关函数的性质
平稳随机过程自相关函数的性质
1 2 3 4
平稳随机过程 的自相关函数 是偶函数
BX BX
平稳随机过程 的自相关函数 在零点处的值 为随机过程的 均方值，且为 非负值
BX 0 E X 2 (t ) 0
平稳随机过程 的自相关函数 在时有极大值
F n( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t 2 ,, t n ) Fn ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t 2 ,, t n ) f n ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t 2 ,, t n ) f n ( x1 , x2 ,, x n ; t1 , t 2 ,, t n )
特征上具有的性质
严平稳随机 过程的二维 概率密度函 数只与t1，t2 的时间间隔 有关，而与 时间起点无 关。
ext
2.3平稳随机过程
若随机过程X(t)满足如下条件：
EX (t ) m（常数） X
E X 2 (t )
X(t)为宽平稳 过程或广义平 稳过程
BX (t1 , t 2 ) BX ( )
或
则称随机过程 X (t ) 为严平稳过程，或称窄平稳过程或狭义 平稳过程。也就是说，如果随机过程的n维分布函数(或n 维概率密度函数)不随时间起点选择不同而改变，则这种 随机过程称为严平稳过程，
2.3平稳随机过程
严平稳随机过程
严平稳随机 过程的一维 概率密度函 数与时间无 关。
严平稳过程的n维 概率密度不随时间 平移而变化的特性 ，反映在其一、二 维概率密度及数字
称F2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 )为随机过程 X (t ) 的二维分布函数 同样，如果存在非负函数 f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) ，使 x x F2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) f 2 (u1 , u 2 ; t1 , t 2 )du1du2 成立，则称 f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) 为随机过程X(t)的二维概率密度函 数。且
B X
8
对于随机过 0 程 X (t )，当 X t时， 我们称随机过程 X (t ) 含有直流分 X t 量 。当随 X (t ) 机过程 含有 直流分量时，它 X (t ) 的自相关函数 B 也会有一常数 X t 项 ，它是直 流成分所包含的 平均功率。
X
依概率1成立，则称随机过程 如果
X t
的均值具有各态历经性；
x(t ) x(t ) X (t ) X (t ) BX ( )
依概率1成立，则称随机过程 X t 的自相关函数具有各态 历经性。 若平稳随机过程 X t 的均值和白相关函数均具有各态历经 性，则称该随机过程是宽各态历经过程或广义各态历经过 程。
BX 0 BX
如果平稳随机 过程X (t ) 满足 T) 条件X (t ) X (t ， 则称它为周期 平稳随机过程， 其中T为随机 过程的周期。
BX BX T
2.5 平稳随机过程自相关函数的性质
平稳随机过程自相关函数的性质
5
X t
6
7
M X (u; t ) E[e juX (t ) ]
e jux f1 ( x; t )dx
(2.2.16)
M X (u; t ) 称为随机过程 X (t ) 的一维特征函数，它是 和 的 函数。 f1 ( x; t ) 为随机过程X (t ) 的一维概率密度函数，它与M X (u; t )
e ju1x1 ju2 x2 jun xn f n ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t 2 ,, t n )dx1dx2 dxn
M X (u1 , u2 ; t1 , t 2 ) E[e ju1X (t1 ) ju2 X (t2 ) ]
M X (u; t ) E[e
u t
构成一对傅立叶变换，有
1 f1 ( x; t ) 2
Fra Baidu bibliotek
M X (u; t )e jux dx
(2.2.17)
将式(2.1.16)的两端对变量u求n阶偏导数，得
n M X (u; t ) u n jn
x n e jux f 1 ( x; t )dx
(2.2.18)
1 2
2 F2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) x1x2
2.2随机过程的统计描述
随机过程的数字特征
E[ X (t )] xf1 ( x; t )dx
数学期望 均方值
E[ X (t )] x 2 f1 ( x; t )dx
juX (t )
]
e jux f1 ( x; t )dx
e
ju1 x1 ju2 x2
f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 )dx1dx2
一维特征函数
二维特征函数
n维特征函数
2.2随机过程的统计描述
对于某一固定时刻t，随机变量 X (t ) 的特征函数为
2.4随机过程的各态历经性
工程上通常只是在相关理论的范围内考虑各态历经过程， 称之为宽各态历经过程或广义各态历经过程。 设是 x(t ) 随机过程 X t 的任意一条样本函数，x(t ) 沿整个时 间轴的时间平均运算 称为随机过程 间平均运算
X t
x(t ) x(t ) 沿整个时间轴的时 的时间均值。
电子信息技术导论
——献给进入信息领域学习的你！
随机信号处理教程
第1章 概率论基础 第2章 随机过程 第3章 随机过程的功率谱密度 第4章 随机信号通过线性系统 第5章 窄带系统和窄带随机信号 第6章 随机信号通过非线性系统 第7章 马尔可夫过程
第2章 随机过程
1 随机过程的概念 2 随机过程的统计描述 3 平稳随机过程 4 随机过程的各态历经性
如果存在非负二元 函数 f1 ( x; t ) ，使
F1 ( x; t ) f1 (u; t )du 成立，则称f1 ( x; t ) 为 随机过程 X (t ) 的一 维概率密度函数。
x
2.2随机过程的统计描述
为了描述随机过程X (t )在任意两个时刻 t 2 和 t1 的状态之间的 内在联系，可以引入二维随机变量 X (t1 ), X (t 2 ) 的分布函 数 F2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) ，它是二随机事件 X (t1 ) x1 和 X (t 2 ) x2 同时 出现的概率，即
间内过程平稳就行了。
2.4随机过程的各态历经性
在具备一定的补充条件下，对平稳随机过程的一个样本函 数取时间均值，在观察时间足够长时，从概率意义上趋近 于该随机过程的集合均值。对于这样的随机过程，我们说 它具有各态历经性或遍历性。
按照严格的意义，如果一个平稳随机过程的各种时间平均 (时间足够长)依概率l收敛于相应的集合平均，则称该随 机过程具有严各态历经性或狭义各态历经性，并称该随机 过程为严各态历经过程或狭义各态历经过程。
X (ti ) 都是随机变 定义2 如果对于每一固定的时刻ti T ， 量，那么，则称 X (t ) 是随机过程。
2.1随机过程的概念
随机过程 X (t )的四种含义
T和x都 是变量 T是固定值 X是变量
T是变量 X是固定值
T和x都 是固定值
按 照 时 间 和 状 态 是 连 续 还 是 离 散 来 分 类
x1 x2 f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 )dx1dx2
2.2随机过程的统计描述
M X (u1 , u2 , , un ; t1 , t 2 ,, t n ) E[e ju1X (t1 ) ju2 X (t2 ) jun X (tn ) ]
2
自协方差函数
CovX (t1 , t 2 ) E{[ X (t1 ) X (t1 )][X (t 2 ) X (t 2 )]}
方差
BX (t1 , t 2 ) E[ X (t1 ) X (t 2 )] 自相关函数
D[ X (t )] E{[ X (t ) X (t )]2 }
1 x(t ) lim T 2T
T
T
x(t )dt
1 x(t ) x(t ) lim T 2T
T
T
x(t ) x(t )dt
称为随机过程 X t 时间自相关函数。
2.4随机过程的各态历经性
设是 X t 一个平稳随机过程，如果
x(t ) X (t ) 常数
2.1随机过程的概念
1 2
连续型随机过程
连续随机序列
3
4
离散型随机过程
离散随机序列
2.2随机过程的统计描述
一维分布函数和 概率密度函数
对于某一个固定时 刻t T ，随机过程在t时 刻的状态X (t )是一个随机 变量，随机事件X (t ) x 的概率为 F1 ( x; t ) P{X (t ) x} 它是t和x的二元函数，记 为 P{ X (t ) x} 称 X (t )为随机过程F1 ( x; t ) 的一维分布函数。
所以，随机过程
X (t )
n
的n阶原点
n M X (u; t ) E[ X (t )] x f1 ( x; t )dx ( j ) u n u 0
n
n
(2.2.19)
因此，利用式(2.2.19)可以方便地求得随机过程的数学期望 和均方值。
2.3平稳随机过程
如果对于任意n个时刻t1，、t2，…，tn和任意实数ε， 随机过程 X (t )的n维分布函数(或概率密度函数)满足关系
若平稳随机过 程X (t ) 含有一 个周期分量， 则 B 也含有 一个同周期的 周期分量。
X
对任何不含周 期分量的非周 期平稳随机过 程均有
2
平稳随机过程 的自相关函数 的傅立叶变换 是非负函数
BX () X (t )
BX ( )e j d 0
2
2.6随机过程的联合概率分布和互相关函数 如果两个随机过程和的概率密度函数分别为 f n ( x1, x2 ,, xn ; t1, t2 ,, tn ) ,, tm ) ，定义此两个随机过程的n+m维联 和 f m ( y1, y2 ,, ym ; t1, t2 , t2 ,, tm ) 合分布函数为 Fnm ( x1, x2 ,, xn ; y1, y2 ,, ym ; t1, t2 ,, tn ; t1 ) y1, Y (t2 ) y2 ,, Y (tm ) ym PX (t1 ) x1, X (t2 ) x2 ,, X (tn ) xn ; Y (t1 ,, tm ) 如果存在非负函数 f nm ( x1, x2 ,, xn ; y1, y2 ,, ym ; t1, t2 ,, tn ; t1, t2 ，使 , t2 ,, tm ) Fnm ( x1 , x2 ,, xn ; y1 , y2 ,, ym ; t1, t2 ,, tn ; t1
5
平稳随机过程自相关函数的性质
6 随机过程的联合概率分布和互相关函数 7 正态随机过程
2.1随机过程的概念
定义1 设随机试验E的样本空间为S={x}，如果对于每一个 样本，总可以依某种规则确定一时间t的函数
x(t ) t T (T是时间t的变化范围)
与之对应。于是，对于所有 x S 的来说，就得到一族 时间t的函数，我们称此族时间t的函数为随机过程。
2.3平稳随机过程
—般来说，若产生随机过程的主要物理条件在时间进程中 不变化，那么此过程就可以认为是平稳的。在电子信息技 术的实际应用中所遇到的随机过程，差不多都可以认为是 平稳随机过程。例如，一个工作在稳定状态下的接收机， 其输出噪声就可以认为是平稳的。但当刚接上电源，该接 收机还工作在过渡过程状态下时，此时的输出噪声是非平 稳的。另外，有些非平稳过程，在一定的时间范围内可以 作为平稳过程来处理。实际上，在很多问题的研究中往往 也并不需要在所在时间都平稳，只要在我们观测的有限时
2.5 平稳随机过程自相关函数的性质
平稳随机过程自相关函数的性质
1 2 3 4
平稳随机过程 的自相关函数 是偶函数
BX BX
平稳随机过程 的自相关函数 在零点处的值 为随机过程的 均方值，且为 非负值
BX 0 E X 2 (t ) 0
平稳随机过程 的自相关函数 在时有极大值
F n( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t 2 ,, t n ) Fn ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t 2 ,, t n ) f n ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t 2 ,, t n ) f n ( x1 , x2 ,, x n ; t1 , t 2 ,, t n )
特征上具有的性质
严平稳随机 过程的二维 概率密度函 数只与t1，t2 的时间间隔 有关，而与 时间起点无 关。
ext
2.3平稳随机过程
若随机过程X(t)满足如下条件：
EX (t ) m（常数） X
E X 2 (t )
X(t)为宽平稳 过程或广义平 稳过程
BX (t1 , t 2 ) BX ( )
或
则称随机过程 X (t ) 为严平稳过程，或称窄平稳过程或狭义 平稳过程。也就是说，如果随机过程的n维分布函数(或n 维概率密度函数)不随时间起点选择不同而改变，则这种 随机过程称为严平稳过程，
2.3平稳随机过程
严平稳随机过程
严平稳随机 过程的一维 概率密度函 数与时间无 关。
严平稳过程的n维 概率密度不随时间 平移而变化的特性 ，反映在其一、二 维概率密度及数字