随机信号处理教程 第2章 随机过程
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随机信号分析与处理(第2版)
随机信号分析与处理（第2版）概述本文档介绍了随机信号分析与处理（第2版）的主要内容。
随机信号是一种在时间上或空间上具有随机性质的信号，在诸多领域中都有广泛的应用，如通信、图像处理、控制系统等。
随机信号的分析和处理对于了解其性质、提取有用信息以及设计有效的处理算法都是必不可少的。
主要内容第一章：随机信号的基本概念本章介绍了随机信号的基本概念和特性，包括随机信号的定义、概率密度函数、均值、方差等。
通过对随机信号的特性分析，可以为后续的分析和处理提供基础。
第二章：随机过程本章讨论了随机过程的定义和性质。
随机过程是一类具有随机性质的信号集合，其在时间上的取值不确定，但具有统计规律性。
通过对随机过程的分析，可以了解其演化规律和统计性质。
本章介绍了随机信号的表示与分解方法。
随机信号可以通过不同的数学模型进行表示，如傅里叶级数、傅里叶变换、小波变换等。
通过将随机信号进行分解，可以提取出其中的有用信息。
第四章：随机信号的功率谱密度本章研究了随机信号的功率谱密度。
功率谱密度描述了随机信号在频率域上的分布，通过分析功率谱密度可以获得随机信号的频率特性和频谱信息。
第五章：随机信号的相关与协方差本章讨论了随机信号的相关与协方差。
相关是用来描述随机信号之间的依赖关系，协方差是用来描述随机信号之间的线性关系。
通过分析随机信号的相关与协方差，可以研究信号之间的相关性和相关结构。
本章介绍了随机信号的滤波和平均处理方法。
滤波是用来抑制或增强随机信号中的某些频率分量，平均则是通过对多次采样的随机信号进行求平均来减小随机性。
第七章：随机信号的参数估计本章研究了随机信号的参数估计方法。
参数估计是通过对随机信号进行采样和分析，通过估计参数来了解信号的统计性质和特征。
第八章：随机信号的检测和估计本章讨论了随机信号的检测和估计方法。
检测是用来判断随机信号的存在或不存在，估计是通过对随机信号的采样和分析来估计信号的参数。
第九章：随机信号的最优滤波本章研究了随机信号的最优滤波方法，最优滤波是通过优化设计滤波器来最小化系统误差或最大化输出信噪比。
随机过程讲义（第二章）（PDF）
第二章 随机过程的一般概念2.1 随机过程的基本概念和例子定义2.1.1：设(P ,,F )Ω为概率空间，T 是某参数集，若对每一个，是该概率空间上的随机变量，则称为随机过程(Stochastic Process)。
T t ∈),(w t X ),w t (X 随机过程就是定义在同一概率空间上的一族随机变量。
随机过程可以看成定义在),(w t X Ω×T 上的二元函数，固定Ω∈0w ，即对于一个特定的随机试验，称为样本路径(Sample Path)，或实现(realization)，这是通常所观测到的过程；另一方面，固定，是一个随机变量，按某个概率分布随机取值。
),(0w t X T t ∈0),(0w t X抽象一点：令，即∏∈=Tt T R R T R 中的元素为),(T t x X t t ∈=,为其Borel域(插乘)(T R B σ域)，随机过程实质上是()F ,Ω到())(,T T R R B 上的一个可测映射，在())(,T TR RB 上诱导出一个概率测度：T P ()B X P B P R B T T T ∈=∈∀)(),(B 。
一般代表的是时间。
根据参数集T 的性质，随机过程可以分为两大类： t 1)为可数集，如T {}L ,2,1,0=T 或{}L L ,1,0,1,−=T ，称为离散参数随机过程，也称为随机序列；2)为不可数集，如T {}0≥=t t T 或{}∞<<∞−=t t T ，称为连续参数随机过程。
随机过程的取值称为过程所处的状态(State)，所有状态的全体称为状态空间(State Space)。
通常以表示随机过程的状态空间。
根据状态空间的特征，一般把随机过程分为两大类：T t t X ∈),(S 1) 离散状态，即取一些离散的值； )(t X 2)连续状态，即的取值范围是连续的。
)(t X离散参数离散状态随机过程： Markov 链 连续参数离散状态随机过程： Poisson 过程 离散参数连续状态随机过程： *Markov 序列连续参数连续状态随机过程： Gauss 过程，Brown 运动例2.1.1：一醉汉在路上行走，以的概率向前迈一步，以q 的概率向后迈一步，以p r 的概率在原地不动，1=++r q p ，选定某个初始时刻，若以记它在时刻的位置，则就是直线上的随机游动(Random Walk)。
第二章 随机信号与随机过程
2.2 随机信号的统计描述
随机信号是样本和时间的函数。当t固定时，随机信号 简化为随机变量。
分布函数
F[ X (t j ), t j ] p{x(t j ) x j}
分布密度
f
[ x(t j ), t j ]
F x
t tj
选择N个时刻的值，则有联合分布函数
Fn[x(t1), t1; x(t2 ), t2; x(tn ), tn ]
（3）功率谱函数的性质
Sx (w) 0
Sx (w) Sx (w) 对于实平稳随机过程
Rx (0)
1
2
Sx (w)dw
E[x2 ]
(1)随机常数 （2）随机斜坡
2.7 常用的随机信号
.
x(t) 0
.
x(t) a, a为随机常数
（3）随机正弦 x(t) Asin(wt ), A，w, 中至少有两个随机变量
如果x(t)有一个周期性的分量，则Rn ( )也有一个周期性分量，且周期相同。 即x(t) x(t ),则Rx (t) Rx (t )
（2）互相关函数的性质
Rxy (0) Ryx(0)
Rxy ( ) Ryx ( )
1
Rxy (0) Rx (0)Ry (0) 2
设x.y相互独立 Rxy ( ) Ryx ( ) mxmy
总集：DX (t) E[ X (t) E(X )]2
1T
2
时间：E[(x
x)]t
lim
T
2T
(x
T
x)
dt
（4）自相关函数（在不同时刻的相关性）
Rx (t1,t2 ) E[x(t1), x(t2 )] dx1 x(t1)x(t2 ) f [x(t1),t1; x(t2 ),t2 ]dx2
随机过程PPT课件
xk (t), k 1, 2,....., m ; 即 x (t) { xk (t); k 1, 2,....., m } 对 随 机 变 量 x (t )的 各 样 本 函 数 进 行 采 样 ， 对 应 于 时 刻 t t1 , t2 , ...., tn 可 设 几 个 离 散 型随机变量：
§2.1 随机过程的概念及其统计特性
1、 随机过程的概念 例子：热噪声电压。（有电子元器件内部微观粒子 （如电子）的随机热运动所引起的端电压。用一 台高灵敏无线电接收机，观测“热噪声电压” （无信号输入），n次观测结果分别 为，X 1 ( t ) ，X 2 ( t ) ，….，X n ( t ) 。 如图所示。可以看出，每次观测到热噪声电压都是 不同的，且在观测之前是不可预测的，即每次的 观测结果是随机的。
只取V0(或t ) 12两个值。
• 3 0 连续型随机序列
• 时间是离散的，状态是连续的。在任一离散 时刻的状态是连续型随机变量。对连续型随
机过程进行等时间间隔采样，即设到连续随 机序列。
• { ， ……， }。 X(nt) X (t) X (2t)
X (nt)
• 4 0 离散随机序列
• 状态和时间均是离散的。
• 将连续型随机信号经过数模转换等间隔采 样后，即为离散随机序列。简称为随机序 列或随机数字信号。
• 若采样间隔为 t ：X (t) ，X (2t) ……，X (nt)。或记 为： ， X (1 ) X ( 2 ) ……，X ( n ) 。
• 以为时间按间隔增长，故常称离散随机序 列为时间序列。这类随机信号是本课程讨 论的主要对象。
• 按随机过程的分布函数（或概率密度）的 不同特性分：
• （1）平稳随机过程； • （2）马儿可夫（Markov）过程； • （3）独立增量过程； • （4）独立随机过程； • 等等
§2.1 随机过程的概念及其统计特性
1、 随机过程的概念 例子：热噪声电压。（有电子元器件内部微观粒子 （如电子）的随机热运动所引起的端电压。用一 台高灵敏无线电接收机，观测“热噪声电压” （无信号输入），n次观测结果分别 为，X 1 ( t ) ，X 2 ( t ) ，….，X n ( t ) 。 如图所示。可以看出，每次观测到热噪声电压都是 不同的，且在观测之前是不可预测的，即每次的 观测结果是随机的。
只取V0(或t ) 12两个值。
• 3 0 连续型随机序列
• 时间是离散的，状态是连续的。在任一离散 时刻的状态是连续型随机变量。对连续型随
机过程进行等时间间隔采样，即设到连续随 机序列。
• { ， ……， }。 X(nt) X (t) X (2t)
X (nt)
• 4 0 离散随机序列
• 状态和时间均是离散的。
• 将连续型随机信号经过数模转换等间隔采 样后，即为离散随机序列。简称为随机序 列或随机数字信号。
• 若采样间隔为 t ：X (t) ，X (2t) ……，X (nt)。或记 为： ， X (1 ) X ( 2 ) ……，X ( n ) 。
• 以为时间按间隔增长，故常称离散随机序 列为时间序列。这类随机信号是本课程讨 论的主要对象。
• 按随机过程的分布函数（或概率密度）的 不同特性分：
• （1）平稳随机过程； • （2）马儿可夫（Markov）过程； • （3）独立增量过程； • （4）独立随机过程； • 等等
随机信号分析课件第2章
2.4 平稳过程的各态历经性
集合平均
mX E[ X (t )]
mX是随机过程的均值，即任意时刻的过程取值的统计 平均。
1 X (t ) l.i. m T 2T
T
时间平均
T
X (t )dt
<X(t)> 是随机过程的样本函数按不同时刻取平均，
它随样本不同而不同，是个随机变量。
时间平均
h 0
则称 X(t) 在 t 点均方连续，记作 l.i.m X (t h) X (t )
若T中一切点都均方连续，则称 X(t) 在T上均方连续。
均方导数 定义6.7
设 {X(t),t∈T} 为二阶矩过程，若存在另一个随机过
程X’(t)，满足
X (t h ) X (t ) lim E[ X (t )]2 0 h 0 h
E|
X (t )dt | R
a a a
b b
X
(t1 , t 2 )dt1dt2
结论：数学期望和积分运算可以交换顺序。
定理6.9
设{X(t),t∈T}为二阶矩过程在区间[a,b]上均方连续， 则
Y (t ) X ( )d
a
t
在均方意义下存在，且随机过程 {Y(t), t∈T} 在区间[a,b] 上均方可微，且有 Y’(t)=X(t)。
称为随机分析。
处处收敛
对于概率空间 (Ω,F,P) 上的随机序列 {Xn} 每个试验
结果 e 都对应一序列，如果该序列对每个 e 都收敛，则称 随机序列 {Xn} 处处收敛，即满足：
n
lim X n X
其中，x为随机变量。
以概率1收敛
二阶矩随机序列 { Xn(e) }，二阶矩随机变量X(e)，若
随机信号分析与应用第二章精品PPT课件
u 2T
u 2T
《随机信号分析》教学组
16
则 S X () T l i2 1 m T { 0 2 T d 2 2 T T 1 2 R X ()e jd u
0 d 2T
22 T T 1 2R X()ejd}u
T l i { m 2 1 T 2 2 T Td 2 2 T T 1 2R X ()ejd}u
29.11.2020
《随机信号分析》教学组
7
令T，再取极限，交换求数学期望和积分的次序
存在
非负
T l i2 1 T m T T E [X 2 (t)d ] 2 t1 T l iE m [X X 2 ( T T , )2 ]d
功率Q
SX()
Q T l i2 1 m T T T E [X 2 (t)d ] t 2 1 S X ()d
一 预备知识
1 付氏变换 设x(t)是时间t的非周期实函数，且x(t) 满足
• x (t )在(,)范围内满足狄利赫利条件 有限个极值
• x (t )绝对可积，即
x(t)dt
有限个断点
• x (t )信号的总能量有限，即
x(t)
2
断点为有限
dt 值
29.11.2020
《随机信号分析》教学组
3
则x (t ) 的傅里叶变换为：
T l i 2 m 1 T T T T TR X (t2 t1 )e j(t2 t1)d1 d t2t
《随机信号分析》教学组
15
设 则 所以：
t2 T
t2t1 ut2t1
t1
u
2
t2
2
u
11
J
(t1,
(,
t2) u)
02第二讲随机过程概念及数字特征精品PPT课件
'
dt
'
E
1 T
T
2 T
2
T
2 T
2
(t)
(t
'
)e
j
(t t '
)dtdt
'
1 T
T
2 T
2
T
2 T
R(t
t ' )e
j(tt' )dtdt '
2
E[ FT () 2 ] 1
2
R(0)R()Fra bibliotek0二、功率谱密度
付氏变换（能量谱密度）F () f (t)e jtdt 沟通了确定信号时域和频
域的关系，随机过程在频率域中要讨论功率谱密度 ，主要原因有二 ：
1. 对于随机过程来说，它由许许多多个样本函数来构成, 所以无法求其付氏 变换，可以说,随机过程不存在付氏变换。 2. 随机过程属于功率信号而不属于能量信号，所以讨论功率谱密度。
自相关遍历
R( )
遍历过程即指宽遍历过程.
四、严遍历过程或窄义遍历过程
的所有统计平均特性和其样函数所有相应的时间平 均特性以概率为一相等 1.遍历过程必定是平稳过程,但平稳过程不一定是遍历过程。
2.若 是平稳高斯过程, 且
；
:
则 是遍历过程
3.对于遍历过程,只要根据其一个样函数,便可得到其数字特征。
x1x2
10 x1 100
x2
dx1dx2
5
5 x2
5 5
x1
10
x1 100
x2
dx1dx2
5
5 x2
320500dx2
0
CX (t1,t2 ) E{[ X (t1) E[ X (t1)]][X (t1) E[ X (t1)]]} E[ X (t1) X (t1)] 0
第二章随机过程的基本概念1随机过程的基本概念及其统计描述_随机信号分析与处理
m X (t ) E{ X (t )} E{ A cos( 0 t )} A cos( 0 t )
1 d 0 2
RX (t1 , t2 ) E{ X (t1 ) X (t2 )} E{ A cos(0t1 ) A cos(0t2 )} 1 2 A E{cos 0 (t1 t2 ) cos[0 (t1 t2 ) 2]} 2 1 2 1 2 2 1 A cos 0 (t1 t2 ) A cos[0 (t1 t2 ) 2]d 0 2 2 2 1 2 A cos 0 (t1 t2 ) 2
RX (t1 , t 2 ) E{X (t1 ) X (t 2 )}
x1 x2 f ( x1 , x2 , t1 , t 2 )dx1dx2
相似均值和方差的随机过程
自相关函数可正可负，其绝对值越大，表示相关性越 强。一般说来，时间相隔越远，相关性越弱，自相关 函数的绝对值也越弱，当两个时刻重合时，其相关性 应是最强的，所以RX(t,t)最大。
怎样来研究随机过程呢？下面用掷骰子的例子
加以说明。
首先观察掷骰子这一事件，它可能有六种结果， 即出现一个点的面，出现两个点的面，……。在投 掷前不能确定其结果，这种现象称为随机现象。观 察随机现象的实验称为随机实验。
第二章 随机过程的基本概念
பைடு நூலகம்
e1
e2 随机现象 随机实验 E
en
实验结果
第二章 随机过程的基本概念
0
50
100
150
200
伪随机序列
2.2 随机过程的统计描述
1、随机过程的概率分布 一维概率分布 对于连续随机过程：
第二章随机过程的基本概念3随机过程的联合分布和互相关函数_随机信号分析与处理
' 1
' m
2.4 随机过程的联合分布和互相关函数
平稳相依：如果X(t)与Y(t)的联合统计特性不随时间 起点的平移而变化，则称X(t)与Y(t)是严 格联合平稳的(joint stict sense stationary)。即
' f XY ( x1,, xn , t1 , tn , y1,, ym , t1' ,, tm )
互相关函数不是 偶函数
2 RXY ( ) RX (0) RY (0)
2 K XY ( ) K X (0) KY (0)
若X(t)与Y(t)是联合平稳的，则 Z(t)= X(t)+Y(t)是平稳过程，且
RZ ( ) RX ( ) RY ( ) RXY ( ) RYX ( )
Y (t ) cos(0t )
其中0 为常数， 在(0，2)上均匀分布，求互协方差函数。
1 解、 E{ X (t )} E{sin(0t )} sin(0t )d 0 2 1 E{Y (t )} E{cos(0t )} cos(0t )d 0 2
K XY (t1 , t 2 ) RXY (t1 , t 2 ) mX mY
1 E{sin( 0 t1 0 t 2 2 ) sin 0 (t1 t 2 )} 2
1 sin 0 2
t1 t 2
xyfXY ( x, y, t1 , t2 )dxdy
互协方差函数(cross covariance function)：
K XY (t1 , t2 ) E{[ X (t1 ) mX (t1 )][Y (t2 ) mY (t2 )]}
随机信号分析_第二章_随机过程
如果定义：
dX (t ) X (t h) X (t ) X (t ) lim h 0 dt h
则称X(t)为X(t)在t点的导数。
如果Y(t)是随机过程X(t)的导数，则
dX (t ) d E[ ] E[ X (t )] dt dt
2 R X ( s, t ) RY ( s, t ) st
• 从数学上看，随机过程{X(t,e)， t T } 是定义在T上的二元函数。 • 对固定的t，X(t,e) 是(, £ ,P)上的随机 变量； • 对固定的e，X(t,e) 是定义在T上的普通 函数，称为随机过程的一个样本函数或 样本轨道。
按参数T和状态空间I分类 （1）T和I都是离散的 （2）T是连续的，I是离散的 （3）T是离散的，I是连续的 （4）T和I都是连续的
第二章
随机过程
内容： 一、概念 二、随机过程的特性 三、几种重要的随机过程
2. 1 随机过程的基本知识
2.1.1 随机过程的定义
设(, £ ,P)为概率空间，T是参数集。 若对任意 t T ，有随机变量X(t,e)与之对 应(e )，则称随机变量族{X(t,e)， t T } 是(, £ ,P)上的随机过程。 简记为{X(t)，t T }或{Xt，t T } X(t)的所有可能的取值的集合称为状态 空间或相空间，记为I
密度函数为
n FX ( x1 ,..., xn ; t1 ,..., t n ) f X ( x1 ,..., xn ; t1 ,..., t n ) x1...xn
随机过程的数字特征 设{X(t)，t T }是随机过程 • 均值函数 mX (t ) E[ X (t )] , t T • 协方差函数 BX ( s, t ) E[( X ( s) E[ X ( s)])( X (t ) E[ X (t )])]
第02章 随机信号分析 67页 1.4M PPT版
主要内容
第二章 随机信号分析
• 2.1、引言 • 2.2、随机过程的一般表述 • 2.3、平稳随机过程 • 2.4、平稳随机过程的相关函数与概率谱密度 • 2.5、高斯过程 • 2.6、窄带随机过程 • 2.7、正弦波加窄带高斯过程 • 2.8、随机过程通过线性系统
•2.1 引言
•通信过程是有用信号通过通信系统的过程, 在这一过程中常伴有噪声的传输. 分析与研 究通信系统,离不开对信号和噪声的分析.通 信系统中的信号通常具有某种随机性.他们 的某个或几个参数不能预知或不能完全预 知.如果能预知,通信就失去了意义
• 随机过程§(t)的定义:
• 设随机试验E的可能结果为§(t),试验的样本空 间S为｛ x1(t) ,x2(t), … xi(t)… ｝
• xi(t): 第i个样本函数 (实现) • 每次试验后, §(t)取空间S中的某一样本函数
• 称此§(t)为随机函数
• 当t 代表时间量时,称此§(t)为随机过程
一维分布函数： F1(x1,t1) P (t1) x1
x
F(x)
1
2
exp
(z )2 2 2
dz
概率积分函数：
(x)
1
• 随机过程的统计特性的表述 • 概率分布 （分布函数、概率密度函数） • 数字特征 • （数学期望、方差、相关函数）
• 一维分布函数：
•
设§(t)表示一个随机过程 §(t1)是一个随机变量，
，则在任一时刻t1
上
• 称分布F1函（数x1,t1)=P｛ §(t1) ≤ x1 ｝为§(t)的一维
• 即§(随t1)机的过分程布§函(t数)在t1时刻所对应的随机变量 • 如果存在ə F1（ x1,t1)/ ə x1 = f1（ x1,t1) • 则称f1（ x1,t1)为§(t)的一维概率密度函数
第二章 随机信号分析
• 2.1、引言 • 2.2、随机过程的一般表述 • 2.3、平稳随机过程 • 2.4、平稳随机过程的相关函数与概率谱密度 • 2.5、高斯过程 • 2.6、窄带随机过程 • 2.7、正弦波加窄带高斯过程 • 2.8、随机过程通过线性系统
•2.1 引言
•通信过程是有用信号通过通信系统的过程, 在这一过程中常伴有噪声的传输. 分析与研 究通信系统,离不开对信号和噪声的分析.通 信系统中的信号通常具有某种随机性.他们 的某个或几个参数不能预知或不能完全预 知.如果能预知,通信就失去了意义
• 随机过程§(t)的定义:
• 设随机试验E的可能结果为§(t),试验的样本空 间S为｛ x1(t) ,x2(t), … xi(t)… ｝
• xi(t): 第i个样本函数 (实现) • 每次试验后, §(t)取空间S中的某一样本函数
• 称此§(t)为随机函数
• 当t 代表时间量时,称此§(t)为随机过程
一维分布函数： F1(x1,t1) P (t1) x1
x
F(x)
1
2
exp
(z )2 2 2
dz
概率积分函数：
(x)
1
• 随机过程的统计特性的表述 • 概率分布 （分布函数、概率密度函数） • 数字特征 • （数学期望、方差、相关函数）
• 一维分布函数：
•
设§(t)表示一个随机过程 §(t1)是一个随机变量，
，则在任一时刻t1
上
• 称分布F1函（数x1,t1)=P｛ §(t1) ≤ x1 ｝为§(t)的一维
• 即§(随t1)机的过分程布§函(t数)在t1时刻所对应的随机变量 • 如果存在ə F1（ x1,t1)/ ə x1 = f1（ x1,t1) • 则称f1（ x1,t1)为§(t)的一维概率密度函数
二章节随机信号分析-
v 0 () H () v i()
线性系统是物理可实现的，则
v 0 ( t) t v i() h ( t ) d或 当输入v 0 是( t随) 机 过0 h 程( i ) (tv )时i( t ， 输出) d 为 0(t)
0 ( t) 0 h ()i( t ) d
33
假定输入i (t)是平稳随机过程，考察
s( t) a ( t) si( n t) 正交分量
(t) 为零均值，平稳高斯窄带，确定 a (t )
(t)
c
(t
)
(t) s
统计特性
21
结论1：
E [( t) ] E [( t) ] 0
c
s
推导： E [ ( t ) E ] [ ( t ) c ] t o E [ ( t ) s s ] t i
二章节随机信号分析-
LOGO
2.1 随机过程的基本概念
随机过程是时间t的函数 在任意时刻观察，它是一个随机变量 随机过程是全部可能实现的总体
2
3
分布函数与概率密度：
设 (t)表示一个随机过程，
个随机变量。
(t 1
)（t1为任意时刻）是一
F1（x1，t1）=P{
(t 1
)≤x1}
(t) 的一维分布函数
2 R ( 0 ) 2 R () 0
R (0)R () 11
（4）R ( )E 2 [(t)] (t)的直流功率
（5）R (Biblioteka 0 ) R ( )2 (t)的交流功率
任意确定功率信号f（t），功率谱密度
P() S
P S(
)lim F T( )2
T
T
FT() 是fT（t）（f（t）截短函数）的频谱函数
线性系统是物理可实现的，则
v 0 ( t) t v i() h ( t ) d或 当输入v 0 是( t随) 机 过0 h 程( i ) (tv )时i( t ， 输出) d 为 0(t)
0 ( t) 0 h ()i( t ) d
33
假定输入i (t)是平稳随机过程，考察
s( t) a ( t) si( n t) 正交分量
(t) 为零均值，平稳高斯窄带，确定 a (t )
(t)
c
(t
)
(t) s
统计特性
21
结论1：
E [( t) ] E [( t) ] 0
c
s
推导： E [ ( t ) E ] [ ( t ) c ] t o E [ ( t ) s s ] t i
二章节随机信号分析-
LOGO
2.1 随机过程的基本概念
随机过程是时间t的函数 在任意时刻观察，它是一个随机变量 随机过程是全部可能实现的总体
2
3
分布函数与概率密度：
设 (t)表示一个随机过程，
个随机变量。
(t 1
)（t1为任意时刻）是一
F1（x1，t1）=P{
(t 1
)≤x1}
(t) 的一维分布函数
2 R ( 0 ) 2 R () 0
R (0)R () 11
（4）R ( )E 2 [(t)] (t)的直流功率
（5）R (Biblioteka 0 ) R ( )2 (t)的交流功率
任意确定功率信号f（t），功率谱密度
P() S
P S(
)lim F T( )2
T
T
FT() 是fT（t）（f（t）截短函数）的频谱函数
随机信号分析与处理简明教程 第二章习题答案
K = σ 2 [1 − cos 2 ω (t2 − t1 )] = σ 2 sin 2 ω (t2 − t1 ) ， t1 ≠ t2 1 − cos ω (t2 − t1 ) ⎤ ⎡ σ2 K = ⎢ ⎥ 1 sin 2 ω (t2 − t1 ) ⎣ − cos ω (t2 − t1 ) ⎦
−1
令 x = [ x1 , x2 ] ，则二维概率密度为：
A
x1
x2
x3
x4
t
T 2T 图2.26 样本函数示意图 3T
解: P[Y (t1 ) = A] = P[ x1 ≥ t1 ] =
∫
T
t1
f X ( x)dx = ∫
T
t1
t 1 dx = 1 − 1 T T
P[Y (t1 ) = 0] = 1 − P[Y (t1 ) = A] =
所以 fY ( y ) =
π 时，求 X (ti ) 的概率密度。 2ω
解： （1）当 V=0.5 的样本函数
当 V=0.8 的样本函数
（2）已知 X (t ) = V cos ωt ，求 X (t ) 的概率密度，此时可以把 cos ωt 看作常数。而 V 是均 匀分布于区间[0,1]的随机变量，故 X 是均匀分布于区间[0, cos ωt ]的随机变量。 当 cos ωt > 0 时， f X ( x, t ) = ⎨
t1 T
t1 ⎛ t ⎞ δ ( y ) + ⎜1 − 1 ⎟δ ( y − A) ， 0 ≤ t ≤ T T ⎝ T⎠ t − (n − 1)T nT − t δ ( y) + δ ( y − A) T T
推广到其它间隔， f Y ( y ) =
已知 b 为常量， N 为正态随机变量， 其均值为 m， 方差为 σ 。 2.4 设随机过程 X (t ) = b + Nt ，
第2章 随机过程
第2章
随机过程
随机信号分析
3 随机过程的定义：
定义1：设随机试验E的样本空间 S { } ，若对于 每个元素 S ，总有一个确知的时间函数 X (t , ) 与它对应，这样，对于所有的 S，就可以得 到一簇时间t的函数，称它为随机过程。簇中的 每一个函数称为样本函数。 定义2：若对于每个特定的时间 ti (i 1,2,) X (ti , ) ， 都是随机变量，则称 X (t , ) 为随机过程.X (ti , ) 称为随机过程 X (t ) 在t t i 时刻的状态。
第2章 随机过程
随机信号分析
2 二维概率分布 二维随机变量[X(t1),X(t2)]的分布函数FX(x1,x2;t1,t2)为
FX(x1,x2;t1,t2)=P{ X(t1)≤x1,X(t2)≤x2}
若FX(x1,x2;t1,t2)对x1，x2的二阶混合偏导存在，则
2 FX ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) f X ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) x1x2
为随机过程X(t)的二维概率密度
第2章 随机过程
随机信号分析
3 n维概率分布 随机过程 X (t )在任意n个时刻 t1 , t2 ,, tn 的取值 X (t1 ), X (t2 ),, X (tn ) 构成n维随机变量 [ X (t1 ), X (t2 ),, X (tn )], 定义随机过程X (t ) 的n维分布函数和n维概率密 度函数为
n重
4 f X ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t 2 ,, t n )dx1dx2 dxn 1
5
n－m重
随机信号分析第二章
2
显然，n取得愈大，随机过程的n维分布律描述随机 过程的特性也愈趋完善。
两个随机过程X(t)和Y(t)的联合分布函数与 联合概率密度函数的定义：
' FX ,Y ( x1 ,..., x n , y1 ,..., y m ; t1 ,...,t n , t1' ,...,t m ) ' P{ X (t1 ) x1 ,..., X (t n ) x n , Y (t1' ) y1 ,...,Y (t m ) y m }
2 X 2
它的平方根称为随机过程的标准离差或标准差，即
2 X (t ) X (t ) D[ X (t )]
它表示随机过程在t 时刻对于均值mX(t)的偏离程度。
方差描述了随机过程诸样本函数围绕数学期望 mX(t)的分散程度。若X(t)表示噪声电压，那么均方 值就表示消耗在单位电阻上的瞬时功率的统计平均 值，而方差σ X2(t)则表示瞬时交流功率的统计平均值。
随机过程的分类
对某一台确定的接收机而言， 其接收的信号幅度ai 和相位Φi 是 确定的； 但对不同的接收机，接收的信号幅度与相位是随机的。因此， 在不同的时间里对所有的接收机来讲，它们所接收的信号的总体 就是随机过程，用解析式表示为：
X (t ) A cos(0t )
对于某个样本（某接收机收到的信号），其未来值可由过 去观测值准确预测。
3．自相关函数
数学期望和方差是描述随机过程在各个孤立时刻的重要数 字特征。它们反映不出整个随机过程不同时间的内在联系
它们具有大致相同的数学期望和方差，但两者的内部结构 却有着非常明显的差别。引入自相关函数来描述随机过程 任意两个不同时刻状态之间联系 。
自相关函数
显然，n取得愈大，随机过程的n维分布律描述随机 过程的特性也愈趋完善。
两个随机过程X(t)和Y(t)的联合分布函数与 联合概率密度函数的定义：
' FX ,Y ( x1 ,..., x n , y1 ,..., y m ; t1 ,...,t n , t1' ,...,t m ) ' P{ X (t1 ) x1 ,..., X (t n ) x n , Y (t1' ) y1 ,...,Y (t m ) y m }
2 X 2
它的平方根称为随机过程的标准离差或标准差，即
2 X (t ) X (t ) D[ X (t )]
它表示随机过程在t 时刻对于均值mX(t)的偏离程度。
方差描述了随机过程诸样本函数围绕数学期望 mX(t)的分散程度。若X(t)表示噪声电压，那么均方 值就表示消耗在单位电阻上的瞬时功率的统计平均 值，而方差σ X2(t)则表示瞬时交流功率的统计平均值。
随机过程的分类
对某一台确定的接收机而言， 其接收的信号幅度ai 和相位Φi 是 确定的； 但对不同的接收机，接收的信号幅度与相位是随机的。因此， 在不同的时间里对所有的接收机来讲，它们所接收的信号的总体 就是随机过程，用解析式表示为：
X (t ) A cos(0t )
对于某个样本（某接收机收到的信号），其未来值可由过 去观测值准确预测。
3．自相关函数
数学期望和方差是描述随机过程在各个孤立时刻的重要数 字特征。它们反映不出整个随机过程不同时间的内在联系
它们具有大致相同的数学期望和方差，但两者的内部结构 却有着非常明显的差别。引入自相关函数来描述随机过程 任意两个不同时刻状态之间联系 。
自相关函数
随机信号处理教程 第2章 随机过程
若平稳随机过 程X (t ) 含有一 个周期分量， 则 B 也含有 一个同周期的 周期分量。
X
对任何不含周 期分量的非周 期平稳随机过 程均有
2
平稳随机过程 的自相关函数 的傅立叶变换 是非负函数
BX () X (t )
BX ( )e j d 0
2
2.6随机过程的联合概率分布和互相关函数 如果两个随机过程和的概率密度函数分别为 f n ( x1, x2 ,, xn ; t1, t2 ,, tn ) ,, tm ) ，定义此两个随机过程的n+m维联 和 f m ( y1, y2 ,, ym ; t1, t2 , t2 ,, tm ) 合分布函数为 Fnm ( x1, x2 ,, xn ; y1, y2 ,, ym ; t1, t2 ,, tn ; t1 ) y1, Y (t2 ) y2 ,, Y (tm ) ym PX (t1 ) x1, X (t2 ) x2 ,, X (tn ) xn ; Y (t1 ,, tm ) 如果存在非负函数 f nm ( x1, x2 ,, xn ; y1, y2 ,, ym ; t1, t2 ,, tn ; t1, t2 ，使 , t2 ,, tm ) Fnm ( x1 , x2 ,, xn ; y1 , y2 ,, ym ; t1, t2 ,, tn ; t1
M X (u; t ) E[e juX (t ) ]
e jux f1 ( x; t )dx
(2.2.16)
M X (u; t ) 称为随机过程 X (t ) 的一维特征函数，它是 和 的 函数。 f1 ( x; t ) 为随机过程X (t ) 的一维概率密度函数，它与M X (u; t )
第二章 随机过程
• 方差描述在该时刻对其数学期望的偏离程度。 • 数学期望、均方值和均方差只能描述随机过
程孤 立的时间点上的统计特性。 • 随机过程孤立的时间点上的统计特性不能反
映随机过程的起伏程度, 故采用两时刻或更多 时刻状态的相关性去描述起伏程度。
4.自相关函数
设和
分别是随机过程 在时刻
和的状态，称它们的二阶原点混合矩
统计特性也可分为：
1、幅值域描述: 数学期望、均方值、方差 等； 2、时间域描述: 自相关函数、互相关函数 ； 3.频率域描述: 功率谱密度函数、互功率谱 密度函数；
2.2.1.随机过程的概率分布
随机过程 , 在任意固定时刻 , 都 是随机变量。 随机事件:
发生概率:
1.一维分布函数
与 和 都有直接的关系，是 二元函数，记为：
7、当平稳随机过程含有均值 , 那它的自相 关函数也将会含有一个常数项 。
8、平稳随机过程的自相关函数的傅里叶变换在 整个频率轴上是非负的，即
且对于所有 都成立。 注: 即不含有阶跃函数的因子，如: 平顶、垂
直边或幅度上的任何不连续。
用平稳过程的自相关函数表示数字特征: (1).数学期望
(2) 均方值 (3) 方差 (4).协方差
• 随机过程 具有以下四种含义：
1.若 和 在发生变 一族时间函数，或化一，族则随随机机变过量程，是构成 了随机过程的完整概念； 2.若和 都固定，则随机过程是一个 确定值；
3.若 取固定值，则随机过程是一个确定 的时间函数，即样本函数,对应于某次试 验的结果；
4.若 取固定值，则随机过程是一个随 机变量；
图 随机过程数字特征
例2-14.设随机过程 的自相关函数为
求它的均值、均方值、方差和自协函数方差。 解:
程孤 立的时间点上的统计特性。 • 随机过程孤立的时间点上的统计特性不能反
映随机过程的起伏程度, 故采用两时刻或更多 时刻状态的相关性去描述起伏程度。
4.自相关函数
设和
分别是随机过程 在时刻
和的状态，称它们的二阶原点混合矩
统计特性也可分为：
1、幅值域描述: 数学期望、均方值、方差 等； 2、时间域描述: 自相关函数、互相关函数 ； 3.频率域描述: 功率谱密度函数、互功率谱 密度函数；
2.2.1.随机过程的概率分布
随机过程 , 在任意固定时刻 , 都 是随机变量。 随机事件:
发生概率:
1.一维分布函数
与 和 都有直接的关系，是 二元函数，记为：
7、当平稳随机过程含有均值 , 那它的自相 关函数也将会含有一个常数项 。
8、平稳随机过程的自相关函数的傅里叶变换在 整个频率轴上是非负的，即
且对于所有 都成立。 注: 即不含有阶跃函数的因子，如: 平顶、垂
直边或幅度上的任何不连续。
用平稳过程的自相关函数表示数字特征: (1).数学期望
(2) 均方值 (3) 方差 (4).协方差
• 随机过程 具有以下四种含义：
1.若 和 在发生变 一族时间函数，或化一，族则随随机机变过量程，是构成 了随机过程的完整概念； 2.若和 都固定，则随机过程是一个 确定值；
3.若 取固定值，则随机过程是一个确定 的时间函数，即样本函数,对应于某次试 验的结果；
4.若 取固定值，则随机过程是一个随 机变量；
图 随机过程数字特征
例2-14.设随机过程 的自相关函数为
求它的均值、均方值、方差和自协函数方差。 解:
随机信号分析(2-4章)
求： 解：
1 1 F ( , x ), F (1, x ), F ( ,1, x1 , x2 ) 2 2
1 0 cos , 1 2 2 t 时，X ( 1 ) 2 1 2 1 2 , 1 2 2
1 - 1 cos( t ), 2 t 1时，X（ 1 ） 2 2 1, 1 2
例3 求随机二进制信号的均值和自相关函数
半随机独立二进制（观察信号的起始时刻为每个时 隙的起点）
随机二进制信号（观察信号的起始时刻在一个时隙 均匀分布）
解：
E[ X (t0 )] 0 q 1 p p R X (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )] E[ X (t1 ) X (t2 )] E ( R半随机 (t1 , t2 )) E E X [ X (t1 ) X (t2 ) / ]
一维分布函数
FX ( x1, n1 ) P{ X ( n1 ) x} 0, x 0 q,1 x 0 1, x 1
一维密度函数
f x ( x1, n1 ) q ( x) p ( x 1)
例2 利用投掷硬币的实验 定义R.S
cost X (t ) 2t 1 2 1 硬币出现反面而且概率 为 2 硬币出现正面而且概率 为
2 密度函数
F ( x, t ) x F ( x1 , x 2 ; t1 , t 2 ) f X ( x1 , x 2 ; t1 , t 2 ) x1x 2 f X ( x, t ) F ( x, t )
2.1.3 随机过程的数字特征
随机信号分析 第二章随机信号概论
C XY (t1 , t 2 ) E[{X (t1 ) m X (t1 )}{Y (t 2 ) mY (t 2 )}]
[x m
X
(t1)][ y mY (t 2 )] p XY ( x, y; t1 , t 2 )dxdy
且有 C
XY (t1 , t 2 )
（2）如果X(t)和Y(t)的互协方差函数CXY(t1,t2)=0,我们称 他们互不相关的.并有 RXY (t1 , t2 ) mX (t1 )mY (t2 ) （3）若两个过程X(t)和Y(t)之间的互相关函数等于零，即 对任意t1,t2有RXY(t1,t2)=E[X(t1)Y(t2)]=0, 则称两个过程正交。
2 X (t ) D[ X (t )] D[V sin w0t ] sin 2 w0tD[V ] sin 2 w0t
RX (t1 , t 2 ) E[ X (t1 ) X (t 2 )] E[V sin w0t1 V sin w0t 2 ]
.
sin w0t1. sin w0t 2 E[V 2 ] sin w0t1. sin w0t 2 C X (t1 , t 2 ) E[( X (t1 ) m X (t1 ))(X (t 2 ) m X (t 2 ))] E[ X (t1 ) X (t 2 )] RX (t1 , t 2 ) sin w0t1. sin w0t 2
FX ( x1 , t1 ) p X ( x1 , t1 ) x1
为随机过程的概率密度函数.
二维分布律:随机过程X(t)在任意时刻t1,t2, 是一个二 维随机变量{X(t1),X(t2)},定义t=t1时X(t1) ≤x1和 t=t2时 X(t2) ≤x2的概率为随机过程X(t)的二维概率分布函 数
[x m
X
(t1)][ y mY (t 2 )] p XY ( x, y; t1 , t 2 )dxdy
且有 C
XY (t1 , t 2 )
（2）如果X(t)和Y(t)的互协方差函数CXY(t1,t2)=0,我们称 他们互不相关的.并有 RXY (t1 , t2 ) mX (t1 )mY (t2 ) （3）若两个过程X(t)和Y(t)之间的互相关函数等于零，即 对任意t1,t2有RXY(t1,t2)=E[X(t1)Y(t2)]=0, 则称两个过程正交。
2 X (t ) D[ X (t )] D[V sin w0t ] sin 2 w0tD[V ] sin 2 w0t
RX (t1 , t 2 ) E[ X (t1 ) X (t 2 )] E[V sin w0t1 V sin w0t 2 ]
.
sin w0t1. sin w0t 2 E[V 2 ] sin w0t1. sin w0t 2 C X (t1 , t 2 ) E[( X (t1 ) m X (t1 ))(X (t 2 ) m X (t 2 ))] E[ X (t1 ) X (t 2 )] RX (t1 , t 2 ) sin w0t1. sin w0t 2
FX ( x1 , t1 ) p X ( x1 , t1 ) x1
为随机过程的概率密度函数.
二维分布律:随机过程X(t)在任意时刻t1,t2, 是一个二 维随机变量{X(t1),X(t2)},定义t=t1时X(t1) ≤x1和 t=t2时 X(t2) ≤x2的概率为随机过程X(t)的二维概率分布函 数
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e ju1x1 ju2 x2 jun xn f n ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t 2 ,, t n )dx1dx2 dxn
M X (u1 , u2 ; t1 , t 2 ) E[e ju1X (t1 ) ju2 X (t2 ) ]
M X (u; t ) E[e
1 x(t ) lim T 2T
T
T
x(t )dt
1 x(t ) x(t ) lim T 2T
T
T
x(t ) x(t )dt
称为随机过程 X t 时间自相关函数。
2.4随机过程的各态历经性
设是 X t 一个平稳随机过程，如果
x(t ) X (t ) 常数
x1 x2 f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 )dx1dx2
2.2随机过程的统计描述
M X (u1 , u2 , , un ; t1 , t 2 ,, t n ) E[e ju1X (t1 ) ju2 X (t2 ) jun X (tn ) ]
2.4随机过程的各态历经性
工程上通常只是在相关理论的范围内考虑各态历经过程， 称之为宽各态历经过程或广义各态历经过程。 设是 x(t ) 随机过程 X t 的任意一条样本函数，x(t ) 沿整个时 间轴的时间平均运算 称为随机过程 间平均运算
X t
x(t ) x(t ) 沿整个时间轴的时 的时间均值。
F n( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t 2 ,, t n ) Fn ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t 2 ,, t n ) f n ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t 2 ,, t n ) f n ( x1 , x2 ,, x n ; t1 , t 2 ,, t n )
M X (u; t ) E[e juX (t ) ]
e jux f1 ( x; t )dx
(2.2.16)
M X (u; t ) 称为随机过程 X (t ) 的一维特征函数，它是 和 的 函数。 f1 ( x; t ) 为随机过程X (t ) 的一维概率密度函数，它与M X (u; t )
5
平稳随机过程自相关函数的性质
6 随机过程的联合概率分布和互相关函数 7 正态随机过程
2.1随机过程的概念
定义1 设随机试验E的样本空间为S={x}，如果对于每一个 样本，总可以依某种规则确定一时间t的函数
x(t ) t T (T是时间t的变化范围)
与之对应。于是，对于所有 x S 的来说，就得到一族 时间t的函数，我们称此族时间t的函数为随机过程。
juX (t )
]
e jux f1 ( x; t )dx
e
ju1 x1 ju2 x2
f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 )dx1dx2
一维特征函数
二维特征函数
n维特征函数
2.2随机过程的统计描述
对于某一固定时刻t，随机变量 X (t ) 的特征函数为
BX 0 BX
如果平稳随机 过程X (t ) 满足 T) 条件X (t ) X (t ， 则称它为周期 平稳随机过程， 其中T为随机 过程的周期。
BX BX T
2.5 平稳随机过程自相关函数的性质
平稳随机过程自相关函数的性质
5
X t
6
7
2.3平稳随机过程
—般来说，若产生随机过程的主要物理条件在时间进程中 不变化，那么此过程就可以认为是平稳的。在电子信息技 术的实际应用中所遇到的随机过程，差不多都可以认为是 平稳随机过程。例如，一个工作在稳定状态下的接收机， 其输出噪声就可以认为是平稳的。但当刚接上电源，该接 收机还工作在过渡过程状态下时，此时的输出噪声是非平 稳的。另外，有些非平稳过程，在一定的时间范围内可以 作为平稳过程来处理。实际上，在很多问题的研究中往往 也并不需要在所在时间都平稳，只要在我们观测的有限时
X (ti ) 都是随机变 定义2 如果对于每一固定的时刻ti T ， 量，那么，则称 X (t ) 是随机过程。
2.1随机过程的概念
随机过程 X (t )的四种含义
T和x都 是变量 T是固定值 X是变量
T是变量 X是固定值
T和x都 是固定值
按 照 时 间 和 状 态 是 连 续 还 是 离 散 来 分 类
2
自协方差函数
CovX (t1 , t 2 ) E{[ X (t1 ) X (t1 )][X (t 2 ) X (t 2 )]}
方差
BX (t1 , t 2 ) E[ X (t1 ) X (t 2 )] 自相关函数
D[ X (t )] E{[ X (t ) X (t )]2 }
2.相关函数的性质
1 2 3 4
平稳随机过程 的自相关函数 是偶函数
BX BX
平稳随机过程 的自相关函数 在零点处的值 为随机过程的 均方值，且为 非负值
BX 0 E X 2 (t ) 0
平稳随机过程 的自相关函数 在时有极大值
或
则称随机过程 X (t ) 为严平稳过程，或称窄平稳过程或狭义 平稳过程。也就是说，如果随机过程的n维分布函数(或n 维概率密度函数)不随时间起点选择不同而改变，则这种 随机过程称为严平稳过程，
2.3平稳随机过程
严平稳随机过程
严平稳随机 过程的一维 概率密度函 数与时间无 关。
严平稳过程的n维 概率密度不随时间 平移而变化的特性 ，反映在其一、二 维概率密度及数字
如果存在非负二元 函数 f1 ( x; t ) ，使
F1 ( x; t ) f1 (u; t )du 成立，则称f1 ( x; t ) 为 随机过程 X (t ) 的一 维概率密度函数。
x
2.2随机过程的统计描述
为了描述随机过程X (t )在任意两个时刻 t 2 和 t1 的状态之间的 内在联系，可以引入二维随机变量 X (t1 ), X (t 2 ) 的分布函 数 F2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) ，它是二随机事件 X (t1 ) x1 和 X (t 2 ) x2 同时 出现的概率，即
电子信息技术导论
——献给进入信息领域学习的你！
随机信号处理教程
第1章 概率论基础 第2章 随机过程 第3章 随机过程的功率谱密度 第4章 随机信号通过线性系统 第5章 窄带系统和窄带随机信号 第6章 随机信号通过非线性系统 第7章 马尔可夫过程
第2章 随机过程
1 随机过程的概念 2 随机过程的统计描述 3 平稳随机过程 4 随机过程的各态历经性
B X
8
对于随机过 0 程 X (t )，当 X t时， 我们称随机过程 X (t ) 含有直流分 X t 量 。当随 X (t ) 机过程 含有 直流分量时，它 X (t ) 的自相关函数 B 也会有一常数 X t 项 ，它是直 流成分所包含的 平均功率。
X
若平稳随机过 程X (t ) 含有一 个周期分量， 则 B 也含有 一个同周期的 周期分量。
X
对任何不含周 期分量的非周 期平稳随机过 程均有
2
平稳随机过程 的自相关函数 的傅立叶变换 是非负函数
BX () X (t )
BX ( )e j d 0
2
2.6随机过程的联合概率分布和互相关函数 如果两个随机过程和的概率密度函数分别为 f n ( x1, x2 ,, xn ; t1, t2 ,, tn ) ,, tm ) ，定义此两个随机过程的n+m维联 和 f m ( y1, y2 ,, ym ; t1, t2 , t2 ,, tm ) 合分布函数为 Fnm ( x1, x2 ,, xn ; y1, y2 ,, ym ; t1, t2 ,, tn ; t1 ) y1, Y (t2 ) y2 ,, Y (tm ) ym PX (t1 ) x1, X (t2 ) x2 ,, X (tn ) xn ; Y (t1 ,, tm ) 如果存在非负函数 f nm ( x1, x2 ,, xn ; y1, y2 ,, ym ; t1, t2 ,, tn ; t1, t2 ，使 , t2 ,, tm ) Fnm ( x1 , x2 ,, xn ; y1 , y2 ,, ym ; t1, t2 ,, tn ; t1
1 2
2 F2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) x1x2
2.2随机过程的统计描述
随机过程的数字特征
E[ X (t )] xf1 ( x; t )dx
数学期望 均方值
E[ X (t )] x 2 f1 ( x; t )dx
依概率1成立，则称随机过程 如果
X t
的均值具有各态历经性；
x(t ) x(t ) X (t ) X (t ) BX ( )
依概率1成立，则称随机过程 X t 的自相关函数具有各态 历经性。 若平稳随机过程 X t 的均值和白相关函数均具有各态历经 性，则称该随机过程是宽各态历经过程或广义各态历经过 程。
F2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) P{X (t1 ) x2 , X (t 2 ) x2 }
称F2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 )为随机过程 X (t ) 的二维分布函数 同样，如果存在非负函数 f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) ，使 x x F2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) f 2 (u1 , u 2 ; t1 , t 2 )du1du2 成立，则称 f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) 为随机过程X(t)的二维概率密度函 数。且