13 双曲线的参数方程(学生版)

13. 双曲线的参数方程 主备： 审核：

学习目标：1. 了解双曲线的参数方程的推导过程及参数的意义；

2. 掌握双曲线的参数方程，并能解决一些简单的问题.

学习重点：双曲线参数方程的应用，

学习难点：双曲线参数方程中参数的意义.

学习过程：

一、课前准备：

阅读教材2931P P -的内容，理解双曲线的参数方程的推导过程，并注意以下问题：

1. 写出椭圆22221y x a b

+=的参数方程.

答： （θ为参数）.

2.将下列参数方程化为普通方程：

（1）11

x a a y a a ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩

（a 为参数）； （2）21x t y t ⎧⎪=±+⎨=⎪⎩t 为参数）.

答：（1） ； （2） .

二、新课导学：

（一）新知：

1.如图，以原点O 为圆心，分别以a ，b

（0,0a b >>）为半径作两个同心圆1C 、

2C . 设A 为圆1C 上的任意一点，作直线OA ，过点 A 作1C 的切线AA '与x 轴交于A '，过圆2C 与x 轴的交点B 作圆2C 的切线BB '与直线OA 交于点

B '，过点A '、B '分别作x 轴、y 轴的垂线A M '、

B M '交于点M .设Ox 轴为始边，OA 为终边的角

为θ点，点M 的坐标为（,x y ），求点M 的轨迹方

程.

【分析】点M 的横坐标与点A '的横坐标相同，点M 的纵坐标与点B '的纵坐标相同. 而A '、B '的坐标可以通过引进参数建立联系.

【解析】由已知xOA θ∠=，(,)M x y ，则(,0)A x '，(,)B b y '，

因为(cos , sin )A a a θθ

所以(cos ,sin )OA a a θθ= ,(cos ,sin )AA x a a θθ'=--

因为OA AA '⊥ ，所以0OA AA '⋅= ，

即22cos (cos )sin 0a x a a θθθ--=，sec cos a x a θθ=

=， 由三角函数的定义得， tan y b

θ=，tan y b θ=，所以点M 的轨迹方程为 M x O B '

A '

B A

sec tan x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）（[0,2)θπ∈，且3,22ππθθ≠≠）. 化为普通方程是22

221x y a b

-=. 2. 双曲线22

221x y b a -+=的参数方程为：tan sec x b y a θθ=⎧⎨=⎩

（θ为参数）（[0,2)θπ∈，且3,22

π

πθθ≠≠）. 3.双曲线22

221x y a b -=的参数方程：sec tan x a y b θθ=⎧⎨=⎩

（θ为参数）（[0,2)θπ∈，且3,22

π

πθθ≠≠）中，θ称为双曲线的离心角，注意离心角的几何意义. 4. 双曲线22

221x y a b

-=上任意点M 的坐标可设为(sec ,tan )a θθ. （二）典型例题

【例1】求点(0,1)P 到双曲线122=-y x 最小距离.

【解析】设双曲线上的点M 的坐标为(sec ,tan )θθ，则 22||sec (tan 1)PM θθ=+-22sec 2tan θθ=-2222sin cos cos cos θθθθ=-2(2sin 2)1cos 2θθ-=+ 令2sin 21cos 2k θθ

-=+，整理得sin 2cos22k k θθ+=-， 所以22sin(2)1k k θϕ-+=

+211k ≤+， 解得34

k ≥，所以6||PM ≥所以点(0,1)P 到双曲线122=-y x 6动动手：已知(,)M x y 在双曲线2sec tan x y θθ=⎧⎨=⎩

上，求M 到点(3,0)N -的距离的最小值. 【解析】

【例2】已知等轴双曲线2222x y a -=上任意一点P ，求证:点P 到两渐近线的距离之积为常数.

【证明】

三、总结提升：

教材对双曲线的参数方程要求较低，能够了解双曲线的参数方程的意义就可以了，会使用双曲线参数方程解决简单问题，知道双曲线上的点的坐标可以设为(sec ,tan )P θθ，在使用过程中，要知道恒等式22sec tan 1θθ-=.

四、反馈练习：

1. 双曲线()2tan 4sec x y θθθ=⎧⎨

=⎩为参数的离心率是 （ ） A 3 B ．2 C 5 D 22. 方程2222

t t

t t x y --⎧=-⎨=+⎩（t 为参数）表示的曲线是 （ ） A . 双曲线 B . 双曲线的上支 C . 双曲线下支

D . 圆 3. 把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是 （ ）

A ．1212x t y t -⎧=⎪⎨⎪=⎩

B ．sin 1sin x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩

C ．cos 1cos x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩

D ．tan 1tan x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩ *4. 曲线⎩⎨

⎧==ααtan sec b y a x （α为参数）与曲线⎩⎨⎧==β

βsec tan b y a x （β为参数）的离心率分别为1e 和2e ，则12e e +的最小值为 ( ) A

． B ．2 C

D

5. 设P 为等轴双曲线122=-y x 上的一点，1F 、2F 为两个焦点，证明 2

21OP P F P F =⋅.

【证明】

五、学后反思：