黄金30题系列高二年级数学江苏版大题好拿分【基础版】
高考数学 黄金30题 专题02 大题好拿分(基础版)理
专题02 大题好拿分（基础版）理1．已知ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，其中a =，()cos cos cos 2sin cos b B A C a B C +=（1）若4c =，求sin A 的值； （2）若AB，求ABC ∆的面积. 【答案】(1) sin 2A =(2) 4S = 【解析】试题分析： ()1利用题意将所给的三角恒等式利用正弦定理进行整理变形，求得sinC =，由正弦定理可得2sinA = ()2利用向量关系首先求得CA→=，然后利用面积公式求出ABC ∆的面积即sin sin 2sin cos A C A C =，因为sin 0A ≠，所以tan 2C =，故sin 5C =，可得sin 5sin 42a CA c===； （2）记AB 边上的中线为CD ，故2CA CB CD +=， 所以()22224=++2CD CA CBCA CB CA CB =+⋅，结合（1）可知cos C =，解得22CA =，所以ABC ∆的面积12542S ==.2．如图，在ABC ∆中， 3B π∠=， D 为边BC 上的点， E 为AD 上的点，且8AE =， AC =4CED π∠=．（1）求CE 的长；（2）若5CD =，求cos DAB ∠的值．【答案】（1）CE =21试题解析：（1）由题意可得344AEC πππ∠=-=， 在AEC ∆中，由余弦定理得2222cos AC AE CE AE CE AEC =+-⋅∠，所以216064CE =++，整理得2960CE +-=，解得： CE =故CE 的长为。
（2）在CDE ∆中，由正弦定理得sin sin CE CDCDE CED=∠∠，5sin 4π=所以5sin 442CDE π∠===， 所以4sin 5CDE ∠=．所以cos cos cos cos sin sin 333DAB CDE CDE CDE πππ⎛⎫∠=∠-=∠+∠ ⎪⎝⎭3143525210=-⨯+⨯=．3．设{}n a 是公比大于1的等比数列, n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知37S =， 且123,,1a a a - 成等差数列. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若421log ,1,2,3......n n b a n +== ，求和:12233411111......n nb b b b b b b b -++++ . 【答案】(1) 12n n a -= (2)1n n- 【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用等比数列的通项公式等知识求解；(2)依据题设运用列项相消求和法探求. 试题解析：（2）由（1）得22124n n n a +==，由于421log n n b a +=， 1n =， 2， ⋯， 4log 4nn b n ∴==． (7)分()1223341111111112231n n b b b b b b b b n n -∴++++=+++⨯⨯-1111111111223341n n n=-+-+-++-=--………………………………………10分 考点：等比数列的通项公式及前项和公式列项相消求和法等有关知识和方法的综合运用． 4．已知各项均不相等的等差数列{}n a 满足11a =，且125,,a a a 成等比数列． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若()()*111nn n n n n a a b n N a a +++=-∈，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（Ⅰ）21n a n =-;（Ⅱ）当n 为偶数时， 221n n S n =-+.当n 为奇数时， 2221n n S n +=-+. 【解析】试题分析: (1)设等差数列的公差为()0d d ≠,由2215a a a = 展开求出公差d ,再写出数列{}n a的通项公式; (2)将n b 化简,分n 为奇偶,利用裂项相消求出数列{}n b 的前n 项和.试题解析:（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得2215a a a =，即()2114d d +=+，解得2d =或0d =（舍），所以21n a n =-. （Ⅱ）由21n a n =-，可得()()()()()1141111121212121nn n n n n n n a a n b a a n n n n +++⎛⎫=-=-=-+ ⎪-+-+⎝⎭，当n 为偶数时，111111112113355721212121n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++--+++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 当n 为奇数时， 1n +为偶数，于是1111111122113355721212121n n S n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++--+-+=--=- ⎪ ⎪⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 5．如图所示，为的直径，点在上（不与重合)，平面，点分别为线段的中点.为线段上(除点外）的一个动点.（1）求证：平面；（2）求证：.【答案】（1）见解析；（2）见解析（2）证明：∵平面,平面,∴, 又∵是的直径，∴,又,平面,∵平面,∴.6．有一个侧面是正三角形的四棱锥P ABCD -如图（1），它的三视图如图（2）． （Ⅰ）证明： AC ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求平面PAB 与正三角形侧面所成二面角的余弦值．【答案】试题解析：（Ⅰ）由三视图可知，四棱锥P ABCD -中PA ⊥平面ABCD ， 同时， 222BC AD CD ===，四边形ABCD 为直角梯形． 过点A 作AG BC ⊥于G ，则1AG CD ==, 1GC AD ==．∴AC ==AB ===∴222AC AB BC +=，故AC AB ⊥．∵PA ⊥平面ABCD , AC ⊂平面ABCD ,∴PA AC ⊥ ∵PA AB A ⋂=，∴AC ⊥平面PAB ．（Ⅱ）由三视图可知，四棱锥P ABCD -的正三角形侧面为面PBC ．PBC ∆为正三角形，∴2PB BC ==．在Rt PAB ∆中， PA ==以A 为原点， ,,AG AD AP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，有(()(),1,1,0,1,1,0P B C -．7．如图，五面体ABCDE 中，四边形ABDE 是菱形， ABC ∆是边长为2的正三角形， 60DBA ∠=︒，CD =（1）证明： DC AB ⊥；（2）若点C 在平面ABDE 内的射影H ，求CH 与平面BCD 所成的角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）13【解析】试题分析：（1）要证DC AB ⊥，可由AB ⊥平面DOC 证得，只需证明AB OD ⊥和AB OC ⊥即可；（2）分析条件可得点C 在平面ABDE 内的射影H 必在OD 上， H 是OD 的中点，建立空间直角坐标系O xyz -，求出平面BDC 的法向量即可.（2）由（1）知OC CD =，平面DOC ⊥平面ABD 因为平面DOC 与平面ABD 的交线为OD ， 所以点C 在平面ABDE 内的射影H 必在OD 上， 所以H 是OD 的中点如图所示建立空间直角坐标系O xyz -，()()1,0,0,B C ，33,24D H ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以30,4CH ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，()BC =-，32BD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭设平面BDC 的法向量为(),,n x y z =，则{322n BC x n BD x y z ⋅=-=⋅=-++=，取y =3x =， 1z =， 即平面BCD的一个法向量为()所以CH 与平面BCD 所成的角的正弦值为31213CH n CH n⋅-+=⋅⋅ =点睛：求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.8．甲乙两家快递公司其“快递小哥”的日工资方案如下：甲公司规定底薪70元，每单抽成1元；乙公司规定底薪100元，每日前45单无抽成，超过45单的部分每单抽成6元（1）设甲乙快递公司的“快递小哥”一日工资y （单位：元）与送货单数n 的函数关系式为()(),f n g n ，求()(),f n g n ；（2）假设同一公司的“快递小哥”一日送货单数相同，现从两家公司各随机抽取一名“快递小哥”，并记录其100天的送货单数，得到如下条形图: 若将频率视为概率，回答下列问题：①记乙快递公司的“快递小哥”日工资为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望；②小赵拟到两家公司中的一家应聘“快递小哥”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由.【答案】（1）甲： 70,y n n N +=+∈，乙： ()100,45,{ 6170,(45,)n n N y n n n N ++≤∈=->∈（2）①见解析②推荐小赵去乙快递公式应聘.试题解析：（1）甲快递公式的“快递小哥”一日工资y （单位：元）与送单数n 的函数关系式为：70,y n n N +=+∈乙快递公式的“快递小哥”一日工资y （单位：元）与送单数n 的函数关系式为： ()100,45,{6170,(45,)n n N y n n n N ++≤∈=->∈ . （2）①记乙快递公司的“快递小哥”日工资为X （单位：元），由条形图得X 的可能取值为100,106,118,13， ()()()101030401000.2,1060.3,1180.4,100100100P X P X P X +========= ()101300.1100P X ===，所以X 的分布列为：②乙快递公司的“快递小哥”日平均送单数为： 420.2440.4460.2480.1500.145⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 所以乙快递公司的“快递小哥”日平均工资为70451115+⨯=（元）， 由①知，甲快递公司的“快递小哥”日平均工资为112元. 故推荐小赵去乙快递公式应聘.9．为推行“新课堂”教学法，某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验.为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”.（1）由以下统计数据填写下面列联表，并判断能否在犯错误的额概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？附：，其中.临界值表（2）现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核.在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为，求的分布列及数学期望.【答案】（1）列联表见解析，在犯错误的概率不超过的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”；（2）分布列见解析，．试题解析：（1）……………2分根据列联表中的数据，得的观测值为，∴能在犯错概率不超过的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.………………5分（2）由表可知在8人中成绩不优良的人数为，则的可能取值为.…………6分；；………………8分；.……………………10分∴的分布列为：………………………11分∴.……………………12分考点：独立性检验；离散型随机变量的期望与方差.【方法点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离 散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.10．如图是某市2017年3月1日至16日的空气质量指数趋势图，空气质量指数()AQI 小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月14日中的某一天到达该市.（1）若该人到达后停留2天（到达当日算1天)，求此人停留期间空气质量都是重度污染的概率； （2）若该人到达后停留3天(到达当日算1天〉，设X 是此人停留期间空气重度污染的天数，求X 的分布列与数学期望. 【答案】（1）514（2）107【解析】试题分析：（1）根据互斥事件的性质可得等式求结论（2）首先得X 的所有可能取值为0,1,2,3，然后一一计算对应概率即可，最后列表写出分布列求期望 试题解析：解：设i A 表示事件“此人于3月i 日到达该市” ()1,2,...,14i =.依题意知， ()114i P A =，且()i j A A i j ⋂=∅≠.(2) 由题意可知， X 的所有可能取值为0,1,2,3，且()()()()()4894893014P X P A A A P A P A P A ==⋃⋃=++=， ()()()()()21114211143214P X P A A A P A P A P A ==⋃⋃=++=，()()()()()11213112133314P X P A A A P A P A P A ==⋃⋃=++=，()()()()333511023114141414P X P X P X P X ==-=-=-==---=，(或()()()()()()()3567103567105114P X P A A A A A P A P A P A P A P A ==⋃⋃⋃⋃=++++=)， 所以X 的分布列为故X 的期望()3533100123141414147E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 点睛：掌握互斥事件间的概率计算性质， 12121314B A A A A A =⋃⋃⋃⋃，所以()()()()()()12121314P B P A P A P A P A P A =⋃⋃⋃⋃然后根据分布列写法，一一列出概率求解即可11．已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴于点，且+，过、、三点的圆的半径为，过定点的直线与椭圆交于、两点（在之间）.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线的斜率为，在轴上是否存在点，使得以、为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出的取值范围；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）; （2）.试题解析：（1）,是的中点，..过三点的圆的圆心为，半径为,，椭圆的标准方程为.（2）直线的方程为.设则，联立，消去整理得，，由，解得，且…7分又 .点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法，基本思路设“设而不求”：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．12．已知,P Q 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>上关于原点O 对称的任意两点，且点,P Q 都不在x 轴上.（1）若(),0D a ，求证: 直线PD 和QD 的斜率之积为定值；（2）若椭圆长轴长为4，点()0,1A 在椭圆E 上，设,M N 是椭圆上异于点A 的任意两点，且AM AN ⊥.问直线MN 是否过一个定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）直线MN 恒定过点30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】试题分析：（1）设(),P m n ，则(),Q m n --， 222··PD QD n n n k k m a m a m a==-+-将坐标带入椭圆化简即可；（2）设直线():0MN y kx t k =+≠，与椭圆联立得()222148440k x ktx t +++-=，设()()1122,,,M x y N x y ，由()()1212,?110AM AN AM AN x x y y ⊥=+--=,韦达定理代入得35t =-，直线MN 恒定过点30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭，当直线MN 斜率0k =，易得成立.(2) 直线MN 过点30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭，理由如下: ① 当直线MN 斜率0k =，易得8383,,,5555M N ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,直线MN 的方程为35y =-. 直线MN 过点30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭.②由已知，椭圆E 方程为2214x y +=，设直线 ():0MN y kx t k =+≠，则()22222{14844041y kx t k x ktx t x y =+⇒+++-=+=，设()()1122,,,M x y N x y ，则()()12212122122814{,,?1104414ktx x k AM AN AM AN x x y y t x x k -+=+⊥∴=+--=-=+,，()()()()2212121110kx x k t x x t ∴++-++-=， ()()()222224481?1?101414t kt k k t t k k -+--+-=++， 2352305t t t ∴--=⇒=-或1t = (舍去), MN ∴方程为35y kx =-，则直线MN 恒定过点30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭，综上所述，直线MN 恒定过点30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.13．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>短轴长为2，线段AB 是圆2220x y x y m +--+=的一条直径也是椭圆C 的一条弦，已知直线AB 斜率为-1． （1）求椭圆C 的方程；（2）设,M P 是椭圆C 上两点，点M 关于x 轴的对称点为N ，当直线,MP NP 分别交x 轴于点11,M N ，求证：11OM ON 为定值．【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）由B A ,在椭圆上,中点11,2⎛⎫⎪⎝⎭,且斜率为1-,设出B A ,的坐标,由点差法求得椭圆方程；（2）直线MP 与椭圆交于两点,联立方程写出韦达定理,从而得到NP 的直线方程,进而求得1M 点的坐标．（2）设()()3344,,,M x y P x y ，直线MP 方程为x ny m =+，代入2212x y +=得 ()2222220n y mny m +++-=，∴234342222,22mn m y y y y n n -+=-=++，直线NP 的方程为：()433343y y y y x x x x ++=--，令0y =，得()134343434343422N ny y m y y y x x y y y y y y m+++===++，∵()1,0M m ，∴112OM ON =考点：1．直线与椭圆的位置关系；2．点差法．【方法点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线共有三种位置关系:相交、相切和相离,高中阶段以相交与相切为主要考查内容．第一问利用点B A ,在椭圆上,且知道过两点直线的斜率与中点坐标,因此可以用点差法求得椭圆方程．第二问根据直线的斜截式方程与椭圆联立,设而不求,用韦达定理写出交点MP 的坐标关系,进而写出直线NP 的方程,分别找到两直线的横截距,得到乘积为定值,与m 无关．14．已知函数()ln f x x =， ()()2g x f x ax bx =++，其中函数()y g x =的图象在点()()1,1g 处的切线平行于x 轴．（1）确定a 与b 的关系；若0a ≥，并试讨论函数()g x 的单调性；（2）设斜率为k 的直线与函数()y f x =的图象交于两点()()1122,,,A x y B x y 12()x x <，求证：2111k x x <<． 【答案】(1) 21b a =-- ，单调性见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)求导，利用导数的几何意义确定a 与b 的关系，再利用导函数的符号变换和分类讨论思想确定函数的单调性；(2)先利用直线的斜率公式确定不等关系，再构造函数，利用导数求函数的最值即可求解.①当0a =时， ()()1(0)x g x x x'--=>，当1x >时， ()0g x '<， ∴函数()g x 在()1,+∞单调减； 当01x <<时， ()0g x '>， ∴函数()g x 在()0,1单调增；②当102a <<时，即112a>， ()()1212(0)a x x a g x x x ⎛⎫-- ⎪⎭'⎝=>，∴函数()g x 在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调减；函数()g x 在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭和()0,1单调增；③当12a =时，即21a =， ()()210(0)x g x x x≥'-=>， ∴函数()g x 在()0,+∞单调增；④当12a >时．即112a<， ()()1212(0)a x x a g x x x ⎛⎫-- ⎪⎭'⎝=>， ∴函数()g x 在1,12a ⎛⎫⎪⎝⎭单调减区间；函数()g x 在()1,+∞和10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调增；令()ln 1(1)h x x x x =-+>，则()111(1)xh x x x x-'=-=>， 1x ∴>时， ()0h x '<， ∴函数()g x 在()1,+∞是减函数，而()10h =， 1x ∴>时， ()()10h x h <=210x x >>， 211x x ∴>， 222111ln 10x x x h x x x ⎛⎫∴=-+< ⎪⎝⎭，即2211ln 1x xx x <-， ② 令()1ln 1(1)H x x x x =+->，则()22111(1)x H x x x x x-=-=>'， 1x ∴>时， ()0H x '>， ∴ ()H x 在()1,+∞是增函数，1x ∴>时， ()()10H x H >=， 2221111ln 10x x H x x x x ⎛⎫∴=+-> ⎪⎝⎭，即221111ln x x x x -< ③由①②③得2111k x x <<． 15．已知 ()()(),1,R xf x bx bg x bx e b =-=-∈. （1）若0b ≥，讨论()g x 的单调性；（2）若不等式()()f x g x >有且仅有两个整数解，求b 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）22121e a e ≤<-.试题解析： (1) ()()'1xg x ebx b =+- ，当0b =时， ()'0g x <在R 上恒成立，即()g x 在(),-∞+∞上单调递减，当0b >时， ()'0g x >的解集为11x x b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，即()g x 在11,b ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,1b ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减.(2) 由不等式()()f x g x >有且仅有两个整数解得， ()1x x b xe x e -+<有两个整数解.当0x >时，()10,110xxe x e ->-+>；当0x <时， ()10,110xxe x e --+，所以， 1xxe a xe x <-+有两个整数解.设()1x x e x xe x ϕ=-+，则()()()22'1x x x e x e x xe x ϕ--=-+，令()2x h x x e =--，则()'10xh x e =--<，又 ()()010,110h h e =>=-<，所以()00,1x ∃∈，使得()00h x =， ()x ϕ∴在()0,x -∞为增函数，在()0,x +∞为减函数， 1xx e a xe x ∴<-+有两个整数解的充要条件是()()()()2201111{121221a a a e e a e ϕϕϕϕ<=<=≥-=-≥=-，解得22121e a e ≤<-. 点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 16．设k R ∈，函数()ln f x x kx =-．（1）若2k =，求曲线()y f x =在(1,2)P -处的切线方程； （2）若()f x 无零点，求实数k 的取值范围；（3）若()f x 有两个相异零点1x ，2x ，求证：12ln ln 2x x +>． 【答案】（1）10x y ++=；（2）1(,)e+∞；（3）见解析.(3) 设()f x 的两个相异零点为1x ，2x ，设120x x >>，则11ln 0x kx -=，22ln 0x kx -=，两式作差可得，1212ln ln ()x x k x x -=-即1212ln ln ()x x k x x +=+，由212x x e >可得12ln ln 2x x +>即 12()2k x x +>，121212ln ln 2x x x x x x ->⇔-+1122122()ln x x x x x x ->+，设121x t x =>上式转化为2(1)ln 1t t t ->+（1t >），构造函数2(1)()ln 1t g t t t -=-+，证()(1)0g t g >=即可.②若0k =，()ln f x x =有唯一零点1x =； ③若0k >，令'()0f x =，得1x k=， 在区间1(0,)k上，'()0f x >，函数()f x 是增函数； 在区间1(,)k+∞上，'()0f x <，函数()f x 是减函数；故在区间(0,)+∞上，()f x 的极大值为11()ln 1ln 1f k kk=-=--， 由于()f x 无零点，须使1()ln 10f k k =--<，解得1k e >，故所求实数k 的取值范围是1(,)e+∞．（3）设()f x 的两个相异零点为1x ，2x ，设120x x >>， ∵1()0f x =，2()0f x =，∴11ln 0x kx -=，22ln 0x kx -=， ∴1212ln ln ()x x k x x -=-，1212ln ln ()x x k x x +=+， ∵212x x e >，故12ln ln 2x x +>，故12()2k x x +>， 即121212ln ln 2x x x x x x ->-+，即1122122()ln x x x x x x ->+，设121x t x =>上式转化为2(1)ln 1t t t ->+（1t >）， 设2(1)()ln 1t g t t t -=-+，∴22(1)'()0(1)t g t t t -=>+， ∴()g t 在(1,)+∞上单调递增， ∴()(1)0g t g >=，∴2(1)ln 1t t t ->+， ∴12ln ln 2x x +>．考点：1.导数的几何意义；2.导数与函数的单调性、极值、最值；3.函数与方程、不等式. 17．选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线 的参数方程为（为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为=2.（Ⅰ）分别写出的普通方程， 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知M ，N 分别为曲线 的上、下顶点，点P 为曲线 上任意一点，求的最大值．【答案】（Ⅰ）曲线的普通方程为 ；曲线的普通方程为；（II ）的最大值为法二：设点坐标为，则，求出点的坐标，利用两点间的距离公式求出并简化，再化简，再求出的最值，即可求出的最大值。
高二数学上学期期末复习备考黄金30题 专题06 大题易丢
专题06 大题易丢分（20题）1.已知0c >，且1c ≠，设命题p ：函数xy c =在(),-∞+∞上单调递减；命题q ：函数()221f x x cx =-+在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，（1）若“p 且q ”为真，求实数c 的取值范围（2）若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，求实数c 的取值范围． 【答案】（1）102c <≤；（2）1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）∵c>0且c≠1，∴⌝ p: c>1, ⌝q ： 12c >且c≠1. 又∵“p 或q”为真，“p 且q”为假，∴p 真q 假或p 假q 真． 当p 真，q 假时，{c|0<c<1}∩{c | 12c > ，且c≠1}＝{c|12<c<1}． 当p 假，q 真时，{c|c>1}∩{c|0<c≤12}＝∅. 综上所述，实数c 的取值范围是{c|12<c<1}． 2．已知集合A 是函数()2lg 208y x x =--的定义域，集合B 是不等式22210x x a -+-≥（0a >）的解集， p ： x A ∈， q ： x B ∈. （1）若A B ⋂=Φ，求实数a 的取值范围；（2）若p ⌝是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 【答案】(1) 11a ≥；(2) 01a <≤.（2）易得： p ⌝： 2x ≥或10x ≤-， ∵p ⌝是q 的充分不必要条件，∴{|210}x x x ≥≤-或是{|11}B x x a x a =≥+≤-或的真子集则12{110 0a a a +≤-≥->，解得： 01a <≤∴a 的取值范围为： 01a <≤点睛：本题考查了函数定义域的求法，考查了一元二次不等式的解法，考查了数学转化思想方法，解答的关键是对区间端点值的比较，是中档题．3.已知0m ≠，向量(,3)a m m =，向量(1,6)b m =+，集合{}2|()(2)0A x x m x m =-+-=． （1）判断“//a b ”是“||10a =”的什么条件；（2）设命题p ：若a b ⊥，则19m =-．命题q ：若集合A 的子集个数为2，则1m =．判断p q ∨，p q ∧，q ⌝的真假，并说明理由．【答案】（1）充分不必要条件.（2）p q ∨为真命题p q ∧为假命题q ⌝为真命题.4．如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱OB ⊥底面ABCD ，且侧棱OB 的长是2，点,,E F G 分别是,,AB OD BC 的中点.（Ⅰ）证明： OD ⊥平面EFG ； （Ⅱ）求三棱锥O EFG -的体积. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） 12. 【解析】试题分析：（Ⅰ）连结，通过勾股定理计算可知，由三线合一得出平面；（Ⅱ）根据中位线定理计算得出是（Ⅱ）侧棱OB ⊥底面ABCD , BD ⊂面ABCD ∴ OB ⊥ BD2,OB DB ==∴ OD = 由（Ⅱ）知： OD ⊥平面EFG ,是三棱锥O 到平面EFG 的距离F 分别是OD 的中点, OF =， DE OE == EF OD ⊥,∴ EF =DG DG == FH OD ⊥ ∴ FG =四边形ABCD 是边长为2的正方形， ,E G 是,AB BC 的中点∴ EG = ∴三角形EFG 是等边三角形∴ 2EFGS=01132G EOF EFG V V Sh --===5．如图所示，直三棱柱111ABC A B C -中， AB BC =， 90ABC ∠=︒， D 为棱11A B 的中点. （Ⅰ）探究直线1B C 与平面1C AD 的位置关系，并说明理由； （Ⅱ）若1112BB A B ==，求三棱锥1C ADC -的体积.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）23.因为1B C ⊄平面1C AD ， DG ⊂平面1C AD ，所以1B C 平面1C AD .（Ⅱ）易知11B C ⊥平面11AA B B ，由（Ⅰ）可知， 1B C 平面1C AD . 所以点C 到平面1ADC 的距离等于点1B 到平面1ADC 的距离，所以111C ADC B C AD V V --=.因为1112BB A B ==， 所以1111111111111212232323C ADC B C AD C B AD V V V B D BB B C o ---===⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=， 故三棱锥1C ADC -的体积为23.6．如图，在三棱锥P ACD -中， 3AB BD =， PB ⊥底面ACD ， ,BC AD AC PC ⊥==且cos 10ACP ∠=.（1）若E 为AC 上一点，且BE AC ⊥，证明:平面PBE ⊥平面PAC . （2）若Q 为棱PD 上一点，且//BQ 平面PAC ，求三棱锥Q ACD -的体积. 【答案】（1）见解析；（2）137．如图，在三棱柱111ABC A B C -中， 1CC ⊥底面ABC ， 2AC BC ==， AB = 14CC =，M 是棱1CC 上一点．（I ）求证： BC AM ⊥．（II ）若M ， N 分别是1CC ， AB 的中点，求证： CN ∥平面1AB M ．（III ）若二面角1A MB C --的大小为π4，求线段1C M 的长 【答案】（I ）见解析（II ）见解析（III ）132C M =（II ）连接1A B 交1AB 于点P ． ∵四边形11AA B B 是平行四边形， ∴P 是1A B 的中点．又∵M ， N 分别是1CC ， AB 的中点， ∴NP CM ，且NP CM =， ∴四边形MCNP 是平行四边形， ∴CNMP ．又CN ⊄平面1AB M ， MP ⊂平面1AB M ， ∴CN 平面1AB M ．（III ）∵BC AC ⊥，且1CC ⊥平面ABC ， ∴CA ， CB ， 1CC 两两垂直。
高二数学(理)备考黄金30题：专题01 小题好拿分(基础版)
上学期期末考试备考黄金30题之小题好拿分【基础版】1．下列几何体各自的三视图中，只有两个视图相同的是()A．①③B．②③C．②④D．③④2．如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是()3．已知球的表面积为20π，球面上有A、B、C三点，如果AB＝AC＝BC＝23，则球心到平面ABC的距离为________．4．已知α，β，γ是平面，a，b，c是直线，α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，若a∩b＝P，则()A．P∈c B．P∉cC．c∩a＝∅D．c∩β＝∅5．已知两条相交直线a、b，a∥平面α，则b与α的位置关系是()A．b⊂平面αB．b与平面α相交C．b∥平面αD．b与平面α相交或b∥平面α6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AA1与BC1所成的角为()A．60°B．45°C．30°D．90°7．若三条直线2x －y ＋4＝0，x －2y ＋5＝0，mx －3y ＋12＝0围成直角三角形，则m ＝________．8．经过两条直线2x －y －3＝0和4x －3y －5＝0的交点，并且与直线2x ＋3y ＋5＝0平行的直线方程一般式为________．9．直线x －y ＋1＝0与圆(x ＋1)2＋y 2＝1的位置关系是( ) A ．相切 B ．直线过圆心C ．直线不过圆心但与圆相交D ．相离10．圆x 2＋y 2－8x ＋6y ＋16＝0与圆x 2＋y 2＝16的位置关系是( ) A ．相交 B ．相离 C ．内切 D ．外切11．若过点A (4，0)的直线l 与圆(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为( )A ．[－3，3]B ．(－3，3) C.⎣⎡⎦⎤－33，33D.⎝⎛⎭⎫－33，33 12．命题“若x 2＜1，则－1＜x ＜1”的逆否命题是( ) A ．若x 2≥1，则x ≥1，或x ≤－1 B ．若－1＜x ＜1，则x 2＜1 C ．若x ＞1，或x ＜－1，则x 2＞1 D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥113．命题p ：x ＋y ≠3，命题q ：x ≠1或y ≠2，则命题p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．“关于x 的不等式f (x )＞0有解”等价于( ) A ．∃x 0∈R ，使得f (x 0)＞0成立 B ．∃x 0∈R ，使得f (x 0)≤0成立 C ．∀x ∈R ，使得f (x )＞0成立 D ．∀x ∈R ，f (x )≤0成立15．已知p ：点P 在直线y ＝2x －3上；q ：点P 在直线y ＝－3x ＋2上，则使p ∧q 为真命题的点P 的坐标是( ) A ．(0，－3)B ．(1，2)C ．(1，－1)D ．(－1，1)16．已知点F ，A 分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点、右顶点，点B (0，b )满足FB →²AB →＝0，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.1＋32D.1＋5217.如图1，已知F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，P 是椭圆上的一点，PF ⊥x 轴，OP ∥AB (O 为原点)，则该椭圆的离心率是( )A.22B.24C.12D.3218．已知定点A ，B 满足|AB |＝4，动点P 满足|P A |－|PB |＝3，则|P A |的最小值是( ) A.12 B.32 C.72D ．519．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2n ＝1的离心率为12，则n ＝( )A. 3B.32C.23D.8320．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________．21.如图2所示，已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线C 上，且在x 轴的上方，过点A 作AB ⊥l 于B ，|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为________.22．若直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两个不同的点，抛物线的焦点为F ，且|AF |，4，|BF |成等差数列，则k ＝( ) A ．2或－1 B ．－1 C ．2D ．1± 523．已知空间向量a ＝(t ，1，t )，b ＝(t －2，t ，1)，则|a －b |的最小值为( ) A. 2 B. 3 C ．2D ．424．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，A 1E →＝14A 1C 1→，AE →＝xAA 1→＋y (AB →＋AD →)，则( )A ．x ＝1，y ＝12B ．x ＝1，y ＝13C ．x ＝12，y ＝1D ．x ＝1，y ＝1425．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列结论不正确的是( ) A.AB →＝－C 1D 1→ B.AB →²BC →＝0 C.AA 1→²B 1D 1→＝0D.AC 1→²A 1C →＝026．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝AA 1＝1，则二面角C 1AB C 为( ) A.π3 B.2π3 C.3π4D.π427.如图1，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角的正弦值为( )图1A.63B.255C.155D.10528.如图，空间正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CD ，CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成角的大小是( )A.π6B.π4C.π3D.π229．若a ＝(2x ，1，3)，b ＝(1，－2y ，9)，且a 与b 为共线向量，则x ＝________，y ＝________.30．四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且PD ＝AB ＝1，G 为△ABC 的重心，则PG 与底面ABCD 所成的角θ的正弦值为________．。
-2017-2018学年下学期期末复习备考高二数学(理)黄金30题(江苏版) Word版含解析
1．已知()2120121n x a a x a x ++=+++ (21)21n n a x+++， *n N ∈．记()021nn n kk T k a-==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意的*n N ∈， n T 都能被42n +整除． 【答案】(1)30；(2)证明见解析.试题解析：由二项式定理，得21C i i n a +=（i =0，1，2，…，2n +1）．（1）210221055535C 3C 5C 30T a a a =++=++=；（2）∵()()()()()()()()()()121221!212!1C 121C 1!!!!n k n k n nn n n n k n k n n k n k n k n k ++++++⋅++=++⋅==+++-+-∴()()()12121002121C21C nnnn k n kn n kn n k k k T k ak k -++-++====+=+=+∑∑∑ ()()()()11121212102121C21C21C nnnn kn kn kn n n k k k n k n n k n +++++++++===⎡⎤=++-+=++-+⎣⎦∑∑∑()()()()()()122122122011221C21C 2212C 21221C 22nnn kn k n nn n nn n n k k n n n n n +++++===+-+=+⋅⋅+-+⋅⋅=+∑∑．∴()()()()1221212121C 21C C 221C n n n nn n n n n T n n n ----=+=++=+．∵*21C n n N -∈∴n T 能被42n +整除． 2．某班级共派出个男生和个女生参加学校运动会的入场仪式，其中男生倪某为领队.入场时，领队男生倪某必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有种排法；入场后，又需从男生（含男生倪某）和女生中各选一名代表到主席台服务，共有种选法.（1）试求和；（2）判断和的大小（），并用数学归纳法证明.【答案】（1），；（2）见解析.【解析】分析：(1)根据队里男生甲必须排第一个，然后女生整体排在男生的前面，排成一路纵队入场，可得，根据从男生和女生中各选一名代表到主席台服务，可得；(2)根据，猜想，再用数学归纳法证明，第二步的证明利用分析法证明.①时，该不等式显然成立.②假设当时，不等式成立，即，.则当时，，要证当时不等式成立.只要证：，只要证：..令，因为，所以在上单调递减，从而，而，所以成立.则当时，不等式也成立.综合①、②得原不等式对任意的均成立.点睛：该题考查的是有关含有限制条件的排列组合数的问题，在解题的过程中，需要对相应的公式熟练掌握，再者就是对猜想的结论利用数学归纳法证明时，在推导成立时必须要用到对的假设.3．某单位安排位员工在春节期间大年初一到初七值班，每人值班天，若位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在初一，丁不排在初七，则不同的安排方案共有_______【答案】1008详解：分两类：第一类：甲乙相邻排初一、初二或初六、初七，这时先安排甲和乙，有种，然后排丙或丁，有种，剩下的四人全排有种，因此共有种方法；第二类：甲乙相邻排中间，有种，当丙排在初七，则剩下的四人有种排法，若丙排在中间，则甲有种，初七就从剩下的三人中选一个，有种，剩下三人有种，所以共有种，故共有种安排方案，故答案为.点睛：该题考查的是由多个限制条件的排列问题，在解题的过程中，注意相邻问题捆绑法，特殊元素优先考虑的原则，利用分类加法计数原理求得结果.4．已知在n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56：3． （1）求展开式中的所有有理项； （2）求展开式中系数绝对值最大的项．（3）求231981...9n nn n nn c c c -++++的值. 【答案】（1）T1=x5和T7=13400 ,（2）,（3）101019-.【解析】试题分析：（1）求二项展开式中特定项，关键在从通项出发，找寻对应等量关系. 由()()42422:256:3nnCC--=解得n=10,因为通项：()510561102rrrr r r r n T CC x--+⎛==- ⎝,当5﹣为整数，r 可取0，6,于是有理项为T1=x5和T7=13400,（2）求展开式中系数绝对值最大的项，通过列不等式解决. 设第r+1项系数绝对值最大，则11101011101022{22r r r r r r r r C C C C --++≥≥,解得，于是r 只能为7,所以系数绝对值最大的项为,（3）本题是二项式定理的逆向应用,关键将式子转化符合二项展开式的特征.231011010101010981 (9)C C C-++++12233101010101010999 (99)C C C C ++++=01223310101010101010999 (91)9C C C C C +++++-= ()101019110199+--==（2）设第r+1项系数绝对值最大，则11101011101022{22r r r r r r r r C C C C --++≥≥（8分） 注：等号不写扣（1分）解得，于是r 只能为7 （10分）所以系数绝对值最大的项为（11分）（3）231011010101010981...9C C C -++++ 12233101010101010999 (99)C C C C ++++=01223310101010101010999 (919)C C C C C +++++-=13分()101019110199+--==.16分 考点：二项展开式定理5．某高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取了50名学生的笔试成绩，按成绩分组得到频率分布表如下：（1）写出表中①②位置的数据；（2）为了选拨出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，然后在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率.【答案】（1）12、0.3；（2）3 5【解析】试题分析：（1）先由频数和为50得①位置的数据为12；再由频数与频率关系得②位置的数据为0.3（2）由分层抽样得第四组抽两人，再利用枚举法确定从6人中任取2人的所有情形及2人中至少有一名是第四组所含的基本事件的种数，最后根据古典概型概率计算方法求概率考点：分层抽样，古典概型概率6．（本小题15分）已知从“神七”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为13，某植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，每次实验结果相互独立．假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的．若该研究所共进行四次实验，设 表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值．（1）求随机变量ξ的分布列及ξ的数学期望()E ξ；（2）记“不等式210x x ξξ-+>的解集是实数集R ”为事件A ，求事件A 发生的概率()P A ．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）独立重复试验概率一要注意次数选择，二要明确成功与失败皆为可能事件．先确定随机变量的取法，再逐一求其概率，最后利用公式求数学期望（2）由不等式210x x ξξ-+>的解集是实数集R ，得的可能取值为0，2，因此．试题解析：（1）四次实验结束时，实验成功的次数可能为， 相应地，实验失败的次数可能为，所以的可能取值为．所以的分布列为期望．（2）的可能取值为0，2，4． 当时，不等式为对恒成立，解集为，当时，不等式为，解集为，时， 不等式为，解集为，不为，所以．考点：数学期望，独立重复试验概率7．（本小题满分14分）将四个编号为1,2,3,4的相同小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，（1）若每个盒子放一个小球，求有多少种放法;（2）若每个盒子放一球，求恰有1个盒子的号码与小球的号码相同的放法种数；（3）求恰有一个空盒子的放法种数。
高二数学上学期期末复习备考黄金30题 专题02 大题好拿分(基础版,20题)理
大题好拿分【基础版】1．【题文】设条件P: 22310x x -+≤,条件q :()()22110x a x a a -+++≤,若P ⌝是q ⌝的必要不充分条件,求实数a 的取值范围. 【答案】102a ≤≤【解析】试题分析：利用不等式的解法求解出命题p ，q 中的不等式范围问题，结合二者的关系得出关于字母a 的不等式，从而求解出a 的取值范围． 试题解析：()()21:2310211012p x x x x x -+≤⇒--≤⇒≤≤, ()():101q x a x a a x a ⎡⎤--+≤⇒≤≤+⎣⎦ 则1:,2p x ⌝<或1x > :q x a ⌝<或1x a >+,由p ⌝是q ⌝成立的必要不充分条件,即只能q p ⌝⇒⌝,故必须满足11{ 02211a a a ≤⇒≤≤≤+. 2．【题文】已知2:,21p x R m x x ∃∈≤--+； :q 方程221x my +=表示焦点在x 轴上的椭圆.若p q ∧为真，求m 的取值范围. 【答案】(]1,2.【解析】 试题分析：因为(]221,2x x --+∈-∞，可命题p 为真时2m ≤，又由命题q 为时()1,m ∈+∞，即可求解实数m 的取值范围. 试题解析：因为()(]222112,2x x x --+=-++∈-∞， 所以若命题p 为真，则2m ≤. 若命题q 为真，则101m<<，即()1,m ∈+∞. 因为p q ∧为真，所以(]1,2m ∈.3．【题文】已知命题P ：函数()()25xf x a =-是R 上的减函数；命题Q ： x R ∈时，不等式220-+>恒成立.若命题“P Qx ax∨”是真命题，求实数a的取值范围.-【答案】()∨为真命题，则命题P和Q中至少有一【解析】试题分析：分别求出命题,P Q下的a的取值，根据P Q个真命题，分成三种情况讨论，即可求解实数a的取值范围．4．【题文】如果一个几何体的主视图与左视图是全等的长方形，边长分别是4,2，如图所示，俯视图是一个边长为4的正方形．(1)求该几何体的表面积；(2)求该几何体的外接球的体积．【答案】（1）64；（2）36π.【解析】试题分析：（1）该几何体是长方体，其底面是边长为4的正方形，高为2，求其3对面积之和；（2）由长方体与球的性质，可得长方体的体对角线是其外接球的直径，求出其面积.试题解析：(1)由题意可知，该几何体是长方体，其底面是边长为4的正方形，高为2，因此该几何体的表面积是2×4×4＋4×4×2＝64.(2)由长方体与球的性质，可得长方体的体对角线是其外接球的直径，则外接球的半径r3=，因此外接球的体积V＝43πr3＝43×27π＝36π，所以该几何体的外接球的体积是36π.5．【题文】某几何体的三视图如图所示,P是正方形ABCD对角线的交点,G是PB的中点.(1)根据三视图,画出该几何体的直观图.(2)在直观图中,①证明:PD∥平面AGC;②证明:平面PBD⊥平面AGC.【答案】（1）见解析；（2）见解析试题解析：(1)该几何体的直观图如图所示.(2)如图,①连接AC,BD交于点O,连接OG,因为G 为PB 的中点,O 为BD 的中点,所以OG∥PD，又OG ⊂平面AGC,PD ⊄平面AGC,所以PD∥平面AGC. ②连接PO,由三视图,PO⊥平面ABCD,所以AO⊥PO.又AO⊥BO,BO∩PO=O,所以AO⊥平面PBD ，因为AO ⊂平面AGC,所以平面PBD⊥平面AGC.6．【题文】如图所示，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形， PAD ∆为等腰三角形，90APD ∠=，平面PAD ⊥平面ABCD ，且1AB =， 2AD =， ,E F 分别为,PC BD 的中点.（1）证明： //EF 平面PAD ； （2）证明：平面PDC ⊥平面PAD ； （3）求四棱锥P ABCD -的体积. 【答案】（1）见解析；（2）2V 3=. 【解析】试题分析：（1）EF ∥平面PAD ，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF 与平面PAD 内一直线平行，连AC ，根据中位线可知EF∥PA，EF ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，满足定理所需条件； （2平面PAD ⊥平面ABCD ，根据面面垂直的判定定理可知在平面ABCD 内一直线与平面PAD 垂直，根据面面垂直的性质定理可知CD ⊥平面PAD ，又CD ⊂平面ABCD ，满足定理所需条件；（3）过P 作PO⊥AD 于O ，从而PO ⊥平面ABCD ，即为四棱锥的高，最后根据棱锥的体积公式求出所求即可．解：(1)如图所示，连接AC . ∵四边形ABCD 为矩形，且F 为BD 的中点, ∴F 也是AC 的中点. 又E 是PC 的中点， //EF AP , ∵EF ⊄平面PAD ， AP ⊂平面PAD .//EF ∴平面PAD(2) 证明：∵平面PAD ⊥平面ABCD ， CD AD ⊥，平面PAD ⋂平面ABCD AD =， ∴CD ⊥平面PAD . ∵CD ⊂平面PDC ，∴平面PDC ⊥平面PAD .(3)取AD 的中点O ，连接PO . ∵平面PAD ⊥平面ABCD ， PAD ∆为等腰三角形， ∴PO ⊥平面ABCD ，即PO 为四棱锥P ABCD -的高. ∵2AD =，∴1PO =. 又1AB =， ∴四棱锥P ABCD -的体积1233V PO AB AD =⋅⋅=. 7．【题文】已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标为()()()14,21,23A B C ---，，，. （Ⅰ）在ABC ∆中，求边AC 中线所在直线方程 （Ⅱ） 求ABC ∆的面积.【答案】(I) 95130x y -+=；(II)8.【解析】试题分析：（I ）由中点坐标公式得AC 边的中点17,22M ⎛⎫⎪⎝⎭，由斜率公式得直线BM 斜率，进而可得点斜式方程，化为一般式即可；（II ）由两点间距离公式可得可得BC 的值，由两点式可得直线BC的方程为10x y -+=，由点到直线距离公式可得点A 到直线BC 的距离d =由三角形的面积公式可得结果.试题解析：(I)设AC 边中点为M ，则M 点坐标为1722（，）∴直线71921522BMk +==+. ∴直线BM 方程为： ()()9125y x --=+ 即： 95130x y -+=∴AC 边中线所在直线的方程为： 95130x y -+=8．【题文】如图所示，在四棱锥P ABCD -中， AB ⊥平面,//,PAD AB CD E 是PB 的中点， F 是DC 上的点且1,2DF AB PH =为PAD ∆中AD 边上的高.（1）证明： //EF 平面PAD ； （2）若3,1PH AD FC ===，求三棱锥E BCF -的体积.【答案】（1）见解析；（2【解析】试题分析：（1）利用平行四边形得到线线平行，从而可证线面平行；（2）求棱锥髙时，利用E 是中点，转化为求P 到底面距离的一半，而易证PH ⊥平面ABCD ，高即为PH. 试题解析：（1）取PA 中点G ，连接,.GE DG∵E 为PB 中点，∴ //EG AB ， 12EG AB =,∵1//,2DF AB DF AB =，∴ //EG DF ， ∴四边形DGEF 是平行四边形，∴ //EF DG ，∵ DG ⊂平面PAD ， EF ⊄平面PAD ∴//EF 平面PAD（2）∵AB ⊥平面PAD ， PH ⊂平面PAD ，∴AB PH ⊥，∵,PH AD AB AD A ⊥⋂=，∴ PH ⊥平面ABCD ，∵ E 为PB 中点，∴E 到平面ABCD 的距离13=22h PH =，又111222BCF S CF AD ∆=⋅⋅=⨯=，11333224E BCF BCF V S h -∆=⋅=⨯=9．【题文】在直四棱柱中，，.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．【解析】试题分析：(1)先根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,得两直线方向向量,利用向量数量积得两向量垂直(2)先利用方程组得平面法向量,根据向量数量积求得两向量夹角余弦值,最后根据线面角正弦值与两向量夹角余弦值绝对值相等,得结果试题解析：以方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.则10．【题文】已知229x y +=的内接三角形ABC 中， A 点的坐标是()3,0-，重心G 的坐标是1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，求（1）直线BC 的方程； （2）弦BC 的长度.【答案】（1）48150x y --=；（2 【解析】试题分析：（1）设()()1122,,,B x y C x y ,，根据重心的性质，我们不难求出BC 边上中点D 的坐标，及BC 所在直线的斜率，代入直线的点斜式方程即可求出答案． （2）求出圆心到BC 所在直线的距离，即可求出弦BC 的长度．11．【题文】已知⊙C 经过点()2,4A 、()3,5B 两点，且圆心C 在直线220x y --=上. （1）求⊙C 的方程；（2）若直线3y kx =+与⊙C 总有公共点，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）2268240x y x y +--+=（2）304k ≤≤ 【解析】试题分析：(1)解法1：由题意利用待定系数法可得⊙C 方程为2268240x y x y +--+=.解法2：由题意结合几何关系确定圆心坐标和半径的长度可得⊙C 的方程为()()22341x y -+-=. (2)解法1：利用圆心到直线的距离与圆的半径的关系得到关系k 的不等式，求解不等式可得304k ≤≤. 解法2：联立直线与圆的方程，结合()()22623610k k ∆=+-+≥可得304k ≤≤. 试题解析：（1）解法1：设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则2222242406{35350 {8 2422022D E F D D E F E F D E ++++==-++++=⇒=-=⎛⎫⎛⎫----= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以⊙C 方程为2268240x y x y +--+=. 解法2：由于AB 的中点为59,22D ⎛⎫⎪⎝⎭， 1AB k =， 则线段AB 的垂直平分线方程为7y x =-+而圆心C 必为直线7y x =-+与直线220x y --=的交点，由7{220y x x y =-+--=解得3{ 4x y ==，即圆心()3,4C ，又半径为1CA ==，故⊙C 的方程为()()22341x y -+-=.点睛：判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．12．【题文】已知直线:l x m =（2m <-）与x 轴交于A 点，动圆M 与直线l 相切，并且与圆22:4O x y +=相外切，（1）求动圆的圆心M 的轨迹C 的方程； （2）若过原点且倾斜角为3π的直线与曲线C 交于,M N 两点，问是否存在以MN 为直径的圆经过点A ？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）()()22222y m x m =-+-（2m <-）（2）故不存在以MN 为直径的圆恰好过点A 【解析】试题分析：（1）设出动圆圆心坐标，由动圆圆心到切线的距离等于动圆与定圆的圆心距减定圆的半径列式求解动圆圆心的轨迹方程； （2）求出过原点且倾斜角为3π的直线方程，和曲线C 联立后利用根与系数关系得到M ，N 的横纵坐标的和与积，由AM AN ⊥，得0AM AN ⋅=列式求解m 的值，结合m 的范围说明不存在以MN 为直径的圆过点A ． 试题解析：（1）设动圆圆心为(),M x y ，则()2OM x m =+-，化简得()()22222y m x m =-+-（2m <-），这就是动圆圆心的轨迹C 的方程.（2）直线MN 的方程为y x =，代入曲线C 的方程得()()2232220x m x m ----= 显然()21620m ∆=->.设()11,M x y ， ()22,N x y ，则12x x += 423m- ， 12x x = ()223m --，而121212•3y y x x x x ==若以MN 为直径的圆过点A ，则AM AN ⊥，∴0AM AN ⋅= 由此得()2121240x x m x x m -++=∴()22442m 2?033m m m ----+=，即2121603m m -+=.解得16m =±故不存在以MN 为直径的圆过点A点睛：本题考查了轨迹方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了利用数量积判断两个向量的垂直关系，考查了学生的计算能力.13．【题文】已知1F 、2F 为椭圆C ： 22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点，点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭为椭圆上一点，且124PF PF +=．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若圆O 是以12F F 为直径的圆，直线l ： y kx m =-与圆O 相切，并与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，且32OA OB ⋅=-，求k 的值．【答案】（1）22143x y +=；（2）2k =±．【解析】试题分析：（1）根据椭圆定义得24a =，再代入点P坐标得b =2）由直线与圆相切得221m k =+，由32OA OB ⋅=-，利用向量数量积得121232x x y y +=-，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理代入化简得k 的值．试题解析：（1）由题意得： 22191,{ 424,a ba +==解得2,{ a b == 则椭圆方程为22143x y +=． （2）由直线l 与圆O 相切，得21m k+， 221m k =+，设()11,A x y ， ()22,B x y ，由221,{ 43,x y y kx m +==+消去y ，整理得()2223484120k x kmx m +++-=， ()()()()2222844123416960km m k k ∆=--⋅+=+>恒成立，所以122834kmx x k +=-+， 212241234m x x k -=+， ()()221212231234m k y y kx m kx m k -=++=+，∵221m k =+， 212122553342k x x y y k --+==-+，解得2k =±．14．【题文】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，左顶点为A ， 122F F =，椭圆的离心率12e =. （1）求椭圆的标准方程；（2）若P 是椭圆上任意一点，求1PF PA ⋅的取值范围.【答案】（1）22143x y +=；（2）[]0,12.【解析】试题分析：（1）由题意可得到： 2,1a c ==， b =（2）设()00,P x y ，利用向量的数量积即可得21001354PF PA x x ⋅=++，结合022x -≤≤，利用二次函数求最值即可. 试题解析：（1）由已知可得122,2c c e a === 所以2,1a c == 因为222a b c =+所以b =所以椭圆的标准方程为： 22143x y += （2）设()00,P x y ，又 ()()12,0,1,0A F -- 所以()()2100012PF PA x x y ⋅=----+，因为P 点在椭圆22143x y +=上， 所以2200143x y +=，即2200334y x =-，且022x -≤≤，所以21001354PF PA x x ⋅=++， 函数()20001354f x x x =++在[]2,2-单调递增， 当02x =-时， ()0f x 取最小值为0；当02x =时， ()0f x 取最大值为12. 所以1PF PA ⋅的取值范围是[]0,12.15．【题文】在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2C x py =的焦点为()0,1F ，过O 作斜率为k 的直线l 交抛物线于A （异于O 点），已知()0,5D ，直线AD 交抛物线于另一点B .（1）求抛物线C 的方程； （2）OA BF ⊥，求k 的值.【答案】(1) 2:4C x y =;(2) k =【解析】试题分析：（1）由抛物线22x py =的焦点为0,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，结合题意得抛物线方程； （2）已知直线:OA y kx =代入抛物线方程： 24x y =，消去y ， 240x kx -=，得()24,4A k k ，直线AB 与直线BF 联立得得222164154141k k B k k ⎛⎫-+ ⎪--⎝⎭，，由B 在抛物线C 上可解得k .试题解析： （1）由题意，12P=，所以2p =，所以抛物线2:4C x y = （2）已知直线:OA y kx =代入抛物线方程： 24x y =，消去y ， 240x kx -=，得()24,4A k k ；245,k 04ADk k k-=≠.直线245:54k AB y x k -=+，代入抛物线方程： 24x y =， 22452004k x x k ---=，得2525,4B k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭. ()225254,4,,14OA k k BF kk ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.由OA BF ⊥得2204250OA BF k =+-=，解得2k =±.16．【题文】已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左右焦点分别为1F 、2F ，离心率e =过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，三角形2ABF 的周长为8. （1）求椭圆的方程；（2）若弦3AB =，求直线AB 的方程.【答案】（1）2214x y +=;（2）(:4AB y x =±+. 【解析】试题分析：（1）利用椭圆的离心率以及2ABF 的周长为8，求出a ，c ，b ，即可得到椭圆的方程， （2）求出直线方程与椭圆方程联立，点A 的坐标为()11x y ，, B 的坐标为()22,x y ，求出A ，B 坐标，然后求解三角形的面积即可． 试题解析：（1）三角形2ABF 的周长48a =，所以2a =.离心率2c e a ==，所以c =1b =. 椭圆的方程为： 2214x y +=点睛: 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．17．【题文】已知抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点C F ,上一点),3(m 到焦点的距离为5. （1）求C 的方程；（2）过F 作直线l ，交C 于B A ,两点，若直线AB 中点的纵坐标为1-，求直线l 的方程. 【答案】（1）x y 82=（2）084=-+y x 【解析】试题分析：（1）利用抛物线的定义，求出p ，即可求C 的方程；（2）利用点差法求出直线l 的斜率，即可求直线l 的方程试题解析：（1）法一：抛物线C : )0(22>=p px y 的焦点F 的坐标为)0,2(p，2分 解得4=p 或16-=p ∵0>p ，∴4=p∴C 的方程为x y 82=.……4分法二：抛物线C : )0(22>=p px y 的准线方程为,2p x -= 由抛物线的定义可知3()52p--= 解得4=p …………………3分∴C 的方程为x y 82=.……………4分￥法二：由（1）得抛物线C 的方程为x y 82=，焦点)0,2(F 设直线l 的方程为2+=my x由282y x x my ⎧=⎨=+⎩ 消去x ，得28160y my --=设B A ,两点的坐标分别为),(),,(2211y x B y x A ，∵线段AB 中点的纵坐标为1-∴12(8)122y y m +--==- 解得41-=m ……………………………………10分直线l 的方程为241+-=y x 即084=-+y x ……………………………………12分18．【题文】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，其长轴为4，短轴为2.（1）求椭圆C 的方程及离心率.（2）直线l 经过定点()0,2，且与椭圆C 交于,A B 两点，求OAB ∆面积的最大值.【答案】（1）2214x y +=， e =（2）1【解析】试题分析：（1）根据条件可得2a =， 1b =，即得椭圆C 的方程，及离心率．（2）先设直线方程为： 2y kx =+，与椭圆联立方程组，利用韦达定理，结合弦长公式求得底边边长AB ，再根据点到直线距离得高，根据三角形面积公式表示OAB 面积，最后根据基本不等式求最大值试题解析：解：（Ⅰ） 2a =， 1b =， c =∴椭圆C 的方程为： 2214x y +=，离心率： c e a ==．（Ⅱ）依题意知直线的斜率存在，设直线的斜率为k ，则直线方程为： 2y kx =+，由2244{ 2x y y kx +==+，得()224116120k x kx +++=，()()()22216441121643k k k ∆=-+⨯=-，由0∆>得： 2430k ->， 设()11,A x y ， ()22,B x y ，则1221641k x x k -+=+， 1221241x x k =+，AB ==又∵原点O到直线的距离d =，∴12OABSAB d =⨯==41=≤=． 当且仅当22164343k k -=-，即2434k -=时，等号成立， 此时OAB 面积的最大值为1．点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决. 19．【题文】正方体的棱长为，是与的交点，为的中点．（I ）求证：直线平面． （II ）求证：平面． （III ）二面角的余弦值．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】试题分析:（1）先根据三角形中位线性质得，再根据线面平行判定定理得结论（2）由侧棱垂直底面得，由正方形性质得，因此可由线面垂直判定定理得平面，同理可得，从而有面．（3）利于空间向量求二面角：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，通过解方程组得各面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据法向量夹角与二面角关系确定所求值（I）连接，在中，∵为的中点，为的中点，∴，又∵面，∴直线平面．（III）以为原点，建立空间坐标系，则，，，．易知面的一法向量为，设面的一法向量为中，∵，，，，，， ∴， 设二面角为， 则， 故二面角的余弦值为．20．【题文】已知过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于()()112212,,,()A x y B x y x x <两点，且6AB =.（1）求该抛物线C 的方程；（2）已知抛物线上一点(),4M t ，过点M 作抛物线的两条弦MD 和ME ，且M D M E ⊥，判断直线DE 是否过定点？并说明理由.【答案】（1）24y x =；（2）定点()8,4- 【解析】试题分析：（1）利用点斜式设直线直线AB 的方程,与抛物线联立方程组,结合韦达定理与弦长公式求AB ,再根据6AB =解得2p =.（2）先设直线DE 方程x my t =+, 与抛物线联立方程组,结合韦达定理化简MD ME ⊥，得48t m =+或44t m =-+,代入DE 方程可得直线DE 过定点()8,4-（2）由（1）可得点()4,4M ，可得直线DE 的斜率不为0，设直线DE 的方程为： x my t =+，联立2{ 4x my t y x=+=，得2440y my t --=， 则216160m t ∆=+>①.设()()1122,,,D x y E x y ，则12124,4y y m y y t +==-.∵()()11224,44,4MD ME x y x y ⋅=--⋅--()()12121212416416x x x x y y y y =-+++-++()2222121212124164164444y y y y y y y y ⎛⎫=⋅-+++-++ ⎪⎝⎭ ()()()2212121212343216y y y y y y y y =-++-++ 22161232160t m t m =--+-=即2212321616t t m m -+=+，得： ()()226421t m -=+， ∴()6221t m -=±+，即48t m =+或44t m =-+，代人①式检验均满足0∆>，∴直线DE 的方程为： ()4848x my m m y =++=++或()44x m y =-+.∴直线过定点()8,4-（定点()4,4不满足题意，故舍去）.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.。
高二数学上学期期末复习备考黄金30题 专题01 小题好拿分(基础版,30题)苏教版
专题01 小题好拿分（基础版，30题）一、填空题1．棱长均为1的正四棱锥的全面积为_________. 【答案】31+【解析】由题意得23413,14S S ⎛⎫=⨯⨯==⎪ ⎪⎝⎭侧底，所以正四棱锥的全面积为=31S S S +=+侧底。
答案： 31+2．若直线ax+2y+6=0与直线x+（a ﹣1）y+2=0垂直，则实数a 的值为_____． 【答案】233．命题“若α是钝角，则sin α＞0”的逆否命题为_____． 【答案】“若，则不是钝角”【解析】命题“若是钝角，则”的逆否命题为“若，则 不是钝角”．故答案为“若，则 不是钝角”．4．抛物线的准线方程是_____．【答案】【解析】抛物线的方程为 故其准线方程为故答案为5．已知双曲线上一点到一个焦点的距离等于2，则点到另一个焦点距离为______．【答案】10【解析】设双曲线的焦点分别为，由题意，得，所以；故填10.【技巧点睛】本题考查双曲线的定义；处理涉及椭圆或双曲线的点与两焦点间的距离问题时，往往利用椭圆或双曲线的定义进行求解；但要有时需要判定该点在双曲线上的哪一支上，以免出现增解.6．在平面直角坐标系中，已知抛物线上一点到焦点的距离为3，则点的横坐标是____．【答案】27．函数的图象在点处的切线方程为__________________．【答案】【解析】因为，所以，则，即函数的图象在点处的切线方程为，即.8．若椭圆短轴一端点到椭圆一个焦点的距离是该焦点到同侧长轴端点距离的倍，则该椭圆的离心率为___________．【答案】【解析】不妨设椭圆的标准方程为，则椭圆短轴一端点到椭圆一个焦点的距离是该焦点到同侧长轴端点的距离的倍，则，即，即该椭圆的离心率为.9．函数的单调减区间为___________________．【答案】（0,1） 【解析】函数的定义域为，且，令，得，即函数 的单调减区间为；故填.10．已知，，则以为直径的圆的方程为___________．【答案】【解析】因为，，所以以为直径的圆的圆心为，半径为，即该圆的方程为；故填.11．函数在区间[ －2,3 ]上的最小值为 ________．【答案】0 【解析】因为，所以，所以函数在区间单调递减，在区间单调递增，即当时，函数取得最小值为0；故填0.12．抛物线的准线方程为________．【答案】【解析】抛物线的准线方程为；故填.13．方程22115x y k k +=+-表示双曲线的充要条件是k ∈_________. 【答案】（－1,5）【解析】若曲线表示双曲线，则需满足()()150k k +-<， 所以实数k 的取值范围为()1,5-。
高三数学上学期期末复习备考黄金30题专题01小题好拿分(基础版,30题)苏教版(2021年整理)
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专题01 小题好拿分（基础版,30题)一、填空题1．某学校共有师生2400人，现用分层抽样方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是 。
【答案】150【解析】试题分析：该校教师人数为2400×160150150160-= (人）． 考点：分层抽样方法.2．已知一组数据4.7，4.8，5。
1，5.4,5。
5，则该组数据的方差是 。
【答案】0。
1视频3．函数()212log f x x =-的定义域为___________ 【答案】(0,e ⎤⎦ 【解析】由已知可得212log 0{020x x x -≥⇒<≤>,故答案为(0,2⎤⎦4．设命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1>0，则⌝p 为______． 【答案】∃x ∈R ，x 2＋1≤0【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题:p “2,10x R x x ∀∈-+>”,则p ⌝ 为：2,10x R x x ∃∈-+≤ ，故答案为2,10x R x x ∃∈-+≤。
5．(2015秋•扬州期末）已知集合A={x|x 2﹣2x ＜0}，B={0，1，2},则A ∩B= ．【答案】{1｝考点:交集及其运算．6．已知数列{}n a 中,a a =1（20≤a ＜），⎩⎨⎧≤+--=+)2(3)2(21n nn n n a a a a a ＞（*N n ∈）,记n n a a a S +++= 21，若2015=n S ，则=n 。
黄金30题系列 高二年级数学(理) 大题好拿分【基础版】
黄金30题系列高二年级数学（理）大题好拿分【基础版】学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、解答题1. 设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.2. 已知；方程表示焦点在轴上的椭圆.若为真，求的取值范围.3. 已知命题：函数是上的减函数；命题：时，不等式恒成立.若命题“”是真命题，求实数的取值范围.4. 如果一个几何体的主视图与左视图是全等的长方形，边长分别是，如图所示，俯视图是一个边长为的正方形．(1)求该几何体的表面积；(2)求该几何体的外接球的体积．5. 某几何体的三视图如图所示，P是正方形ABCD对角线的交点，G是PB的中点．(1)根据三视图，画出该几何体的直观图；(2)在直观图中，①证明：PD∥面AGC；②证明：面PBD⊥面AGC．6. 如图所示，在四棱锥中，四边形为矩形，为等腰三角形，，平面平面，且分别为的中点．（1）证明：平面；（2）证明：平面平面；（3）求三棱锥的体积．7. 已知平行四边形的三个顶点的坐标为.（Ⅰ）在中，求边中线所在直线方程（Ⅱ）求的面积.8. 如图所示，在四棱锥中，平面是的中点，是上的点且为中边上的高.（1）证明：平面；（2）若，求三棱锥的体积.9. 在直四棱柱中，，.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.10. 已知的内接三角形中，点的坐标是，重心的坐标是，求（1）直线的方程；（2）弦的长度.11. 已知⊙C经过点、两点，且圆心C在直线上. （1）求⊙C的方程；（2）若直线与⊙C总有公共点，求实数的取值范围.12. 已知直线l：与x轴交于A点，动圆M与直线l相切，并且和圆O：相外切．求动圆圆心M的轨迹C的方程．若过原点且倾斜角为的直线与曲线C交于M、N两点，问是否存在以MN 为直径的圆过点A？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．13. 已知为椭圆的左右焦点，点为其上一点，且有.（1）求椭圆的标准方程；（2）圆是以，为直径的圆，直线与圆相切，并与椭圆交于不同的两点，若，求的值.14. 已知椭圆的左右焦点分别为、，左顶点为A，若，椭圆的离心率为．（1）求椭圆的标准方程．（2）若P是椭圆上的任意一点，求的取值范围．15. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过作斜率为的直线交抛物线于（异于点），已知，直线交抛物线于另一点.（1）求抛物线的方程；（2），求的值.16. 已知椭圆（）的左右焦点分别为、，离心率.过的直线交椭圆于、两点，三角形的周长为.（1）求椭圆的方程；（2）若弦，求直线的方程.17. 已知抛物线：的焦点，上一点到焦点的距离为5．（1）求的方程；（2）过作直线，交于，两点，若直线中点的纵坐标为-1，求直线的方程．18. 已知椭圆，其长轴为，短轴为.（1）求椭圆的方程及离心率.（2）直线经过定点，且与椭圆交于两点，求面积的最大值.19. 正方体的棱长为，是与的交点，为的中点．（I）求证：直线平面．（II）求证：平面．（III）二面角的余弦值．20. 已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点，且.（1）求该抛物线的方程；（2）已知抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦和，且，判断直线是否过定点？并说明理由.。
黄金30题系列 高二年级数学江苏版 大题好拿分【基础版】
黄金30题系列高二年级数学江苏版大题好拿分【基础版】学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________ 一、解答题1. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是CD、A1D1中点．(1)求证：AB1⊥BF；（2）若正方体的棱长为1，求2. 设复数（，，是虚数单位），且复数满足，复数在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上. ⑴求复数；(2)若为纯虚数(其中）,求实数的值.3. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为，且点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）若点P在椭圆上，∠F2PF1＝60°，求△PF1F2的面积．4. 某校举行“青少年禁毒”知识竞赛网上答题，高二年级共有500名学生参加了这次竞赛. 为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了100名学生的成绩进行统计．请你解答下列问题：（1）根据下面的频率分布表和频率分布直方图，求出和的值；（2）若成绩不低于90分的学生就能获奖，问所有参赛学生中获奖的学生约为多少人？5. 如图，某市有一条东西走向的公路l，现欲经过公路l上的O处铺设一条南北走向的公路m，在施工过程中发现O处的正北方向1百米的A处有一汉代古迹，为了保护古迹，该市委决定以A为圆心，1百米为半径设立一个圆形保护区，为了连通公路l，m，欲再新建一条公路PQ，点P，Q分别在公路l，m上（点P，Q分别在点O的正东、正北方向），且要求PQ与圆A相切.（1）当点P距O处2百米时，求OQ的长；（2）当公路PQ的长最短时，求OQ的长.6. 已知两圆，的圆心分别为c1，c2，，P为一个动点，且.（1）求动点P的轨迹方程；（2）是否存在过点A（2，0）的直线l与轨迹M交于不同的两点C，D，使得C 1C＝C1D?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.7. 已知复数,（其中为虚数单位）（1）求复数；（2）若复数所对应的点在第四象限，求实数的取值范围．8. 已知，.（1）若，命题“或”为真，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.9. 已知一个圆经过直线与圆的两个交点，并且面积有最小值，求此圆的方程．10. 如图，直三棱柱中，、分别是棱、的中点，点在棱上，已知，，．（1）求证：平面；（2）设点在棱上，当为何值时，平面平面？11. 如图，表示神风摩托车厂一天的销售收入与摩托车销售量的关系；表示摩托车厂一天的销售成本与销售量的关系．（1）写出销售收入与销售量之间的函数关系式；（2）写出销售成本与销售量之间的函数关系式；（3）当一天的销售量为多少辆时，销售收入等于销售成本；（4）当一天的销售超过多少辆时，工厂才能获利？（利润=收入-成本）12. 设命题p：函数的定义域为R；命题q：不等式对任意恒成立．（Ⅰ）如果p是真命题，求实数的取值范围；（Ⅱ）如果命题“p或q”为真命题且“p且q”为假命题，求实数的取值范围．13. 已知函数（1）若对任意的恒成立，求实数的最小值.（2）若且关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；（3）设各项为正的数列满足：求证：14. 已知函数的图像在点处的切线方程为.(Ⅰ)求实数的值；(Ⅱ)设是[)上的增函数, 求实数的最大值.15. 已知复数，其中，，为虚数单位，且是方程的一个根．（1）求与的值；（2）若（为实数），求满足的点表示的图形的面积．16. 已知函数(1)求函数在点处的切线方程；(2)求函数单调增区间；(3)若存在，使得是自然对数的底数），求实数的取值范围.17. 如图，某几何体的下部分是长为8，宽为6，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求：（1）该几何体的体积；（2）该几何体的表面积．18. 如图，在四棱锥中，⊥平面，为的中点，为的中点，底面是菱形，对角线，交于点．求证：（1）平面平面；（2）平面⊥平面．19. 已知直线：（1）求证：不论实数取何值，直线总经过一定点.（2）为使直线不经过第二象限，求实数的取值范围.（3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程.20. 在平面直角坐标系中，已知点A（－2，1），直线．（1）若直线过点A，且与直线垂直，求直线的方程；（2）若直线与直线平行，且在轴、轴上的截距之和为3，求直线的方程．。
2023-2024学年苏教版二年级上册数学暑假必刷基础题提分版
2023-2024学年苏教版二年级上册数学暑假必刷基础题提分版一、选择题 (共10题)第(1)题小老鼠从上面观察下面四个物体，是从（ ）号物体看到的。
A ．B ．C ．D ．第(2)题根据“女生比男生多3人”这句话，下面关系成立的是（ ）。
A ．男生人数－女生人数＝3B ．女生人数＋3＝男生人数C ．女生人数－男生人数＝3D ．男生人数＋女生人数＝3第(3)题数学书长28（ ）。
A ．米B ．分米C ．厘米第(4)题妈妈8：00去上班，下班回家前要去超市买菜，大约11：55到家。
妈妈买菜的时间可能是（ ）。
A ．8：40B ．9：00C ．11：35第(5)题下面4个算式都有数字看不清，请你估计一下，得数一定比50大的算式是（ ）。
（都是两位数相减）A ．80－3B ．33＋2C ．2＋1D ．－26第(6)题一张长方形纸有四个角，用剪刀沿直线剪去一个角后，还剩（ ）个角。
A ．3B ．4C ．5D ．3个、4个、5个都有可能第(7)题2□＋□3＝78，两个□中的数相同，这个数是（ ）。
A ．3B ．4C ．5第(8)题量课桌边的长度，选择（ ）这种“身体尺”比较合适。
A ．拃B ．步C ．庹第(9)题在口算56＋37时，下面算法正确的是（ ）。
A ．56＋7＝53，53＋30＝83B ．6＋7＝13，50＋30＋13＝93C ．6＋7＝13，50＋30＋3＝83第(10)题下面这个模型，从上面看到的是（ ）。
A ．B ．C ．二、填空题 (共10题)第(1)题看钟面写出相应的时间。
( )：( ) ( )：( )第(2)题3个2相加，和是( )；两个乘数都是4，积是( )。
第(3)题小明口算76-42时，采用下图的方法，他是先算________，再算________。
第(4)题在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。
35( )3＋5 3＋3＋3( )9 55厘米( )5米24( )4 2 355( )10 1米( )10厘米第(5)题在括号里填上合适的单位。
高考数学走出题海之黄金30题系列：专题04 名校模拟精华30题(江苏版)(含答案解析)
2016年高考数学走出题海之黄金30题系列专题04 名校模拟精华30题1．【南京市、盐城市2016二模】已知函数f(x)＝ax 2＋x －b(a ，b 均为正数)，不等式f(x)＞0的解集记为P ，集合Q ＝{x|－2－t ＜x ＜－2＋t}．若对于任意正数t ，P ∩Q ≠，则11a b-的最大值是▲________． 【答案】1.2【解析】由题意得b a f ≥-⇒≥-240)2(，241111--≤-a a b a ，令111,()422y a a a =->-，则221401(42)y a a a '=-+=⇒=-，当1a >时，0y '<；当112a <<时，0y '>；因此当1a =时，y取最大值12；即11a b -的最大值是1.2【考点】一元二次不等式解集，利用导数求函数最值2．【泰州2016届一模】已知函数π()sin()cos cos()262x x f x A x θ=+--（其中A 为常数，(π,0)θ∈-），若实数123,,x x x 满足：①123x x x <<，②31x x -<2π，③123()()()f x f x f x ==，则θ的值为 ▲ ．【答案】23π- 【解析】 试题分析：因为π1()sin()cos cos()sin()sin()26223x x f x A x A x x πθθ=+--=+-+-，所以当1sin()sin()023A x x πθ+-+≠时，()y f x =周期为2π，由123x x x <<及123()()()f x f x f x ==得312x x π-≥，与②31x x -<2π矛盾，因此1sin()sin()023A x x πθ+-+=，由于(π,0)θ∈-，所以23πθ=- 考点：三角函数图像与性质3．【苏锡常镇2016调研】在平面直角坐标系xOy 中，已知过原点O 的动直线l 与圆C:22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ，若点A 恰为线段OB 的中点，则圆心C 到直线l 的距离为.联立组成方程组，解得54a k ==，，15(,8D ，CD = 【命题立意】本题旨在考查直线与圆的位置关系，点到直线距离．考查学生的计算能力，灵活运用有关知识解决问题的能力．难度中等.4．【2015届江苏省南通市通州区高三重点热点专项检测】已知集合{0}A x x =>，{1012}B =-，，，，则AB 等于 ．【答案】{}1,2 【解析】{0}{1012}{12}AB x x =>-=，，，，5．【2015届江苏省南京市、盐城市高三第二次模拟考试】已知复数(2)(13)z i i =-+，其中i 是虚数单位，则复数z 在复平面上对应的点位于第 象限．【答案】一【解析】(2)(13)55z i i i =-+=+，则复数z 在复平面上对应的点为(5,5)，该点在第一象限； 6．【2015届江苏省南通市高三第二次调研测试】命题“x ∃∈R ，20x >”的否定是“ ”． 【答案】x ∀∈R ，20x ≤【解析】写存在性命题的否定时，注意将存在性量词变为全称量词，所以该命题的否定是“x ∀∈R ，20x ≤”；7．【镇江市2016届一模】如图：四棱锥PABCD 中，PD ＝PC ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥BC ，AB ∥CD ，CD ＝2AB ，点M 是CD 的中点．(1) 求证：AM ∥平面PBC ； (2) 求证：CD ⊥PA.(第15题图)【答案】（1）略；（2）略．【命题立意】本题旨在考查空间线面平行的判定、线线垂直的判定；考查空间想象能力和识图能力，规范化书写表达能力，难度较小.【解析】证明：(1) 在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝2AB ，点M 是CD 的中点， 由AB ∥CM ，且AB ＝CM ，所以四边形ABCM 是平行四边形，且是矩形(3分)⎭⎪⎬⎪⎫所以AM ∥BC ，（4分）又因为BC ⊆平面PBC ，（5分）AM 是平面PBC 外一条直线，（6分）⇒故AM ∥平面PBC ， (2) 连接PM ，因为PD ＝PC ，点M 是CD 的中点，所以CD ⊥PM ，(8分) 又因为四边形ABCM 是矩形，CD ⊥AM ，(9分)⎭⎪⎬⎪⎫CD ⊥AM ，CD ⊥PM ，PM ⊆平面PAM ，AM ⊆平面PAM ，（10分）PM∩MA ＝M ，（11分）⇒CD ⊥平面PAM.(12分)又因为AP ⊆平面PAM ，(13分)所以CD ⊥PA.(14分)8．【苏州市2016届调研】（本小题满分16分）如图，已知椭圆O ：x 24＋y 2＝1的右焦点为F ，点B ，C 分别是椭圆O 的上、下顶点，点P 是直线l ：y ＝－2上的一个动点（与y 轴交点除外），直线PC 交椭圆于另一点M ． （1）当直线PM 过椭圆的右焦点F 时，求△FBM 的面积； （2）①记直线BM ，BP 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值； ②求PB PM ⋅的取值范围．【答案】（1（2）①详见解析，②(9,)+∞ 【解析】试题解析：（1）由题意(0,1),(0,1)B C -，焦点F ，当直线PM 过椭圆的右焦点F 时，则直线PM11y=-，即1y =-，联立，221,41,x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得1,7x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0,1x y =⎧⎨=-⎩（舍），即1)7M ． ………………2分连BF ，则直线BF11y=，即0x =， 而2BF a ==，172d -===． ………………………4分故11222MBFSBF d =⋅⋅=⋅=………………………5分 （2）解法一：①设(,2)P m -，且0m ≠，则直线PM 的斜率为1(2)10k m m---==--，则直线PM 的方程为11y x m=--， 联立2211,1,4y x m x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩化简得2248(1)0x x m m ++=，解得22284(,)44m m M m m --++， ………8分所以8874794PB PM t t ⋅=-+>-+=，即PB PM ⋅的取值范围为(9,)+∞．………16分 解法二：①设点()000(,)0M x y x ≠，则直线PM 的方程为0011y y x x +=-， 令2y =-，得00(,2)1x P y --+. …………………7分 所以0101y k x -=，()020*******y k x x y +--==-+， 所以()()()()2200001222000031313113441y y y y k k x x x y --+-=⋅===--（定值）. …………………10分 ②由①知，00(,3)1x PB y =+，0000(,2)1xPM x y y =+++， 所以()()()()20000000200023212311x y x x PB PM x y y y y y +⎛⎫⋅=+++=++ ⎪+++⎝⎭ =()()()()()()200000200412723211y y y y y y y -+-+++=++． …………………13分令()010,2t y =+∈，则()()8187t t PB PM t tt-+⋅==-++，因为87y t t=-++在(0,2)t ∈上单调递减， 所以8872792PB PM t t ⋅=-++>-++=，即PB PM ⋅的取值范围为(9,)+∞． ……16分考点：直线与椭圆位置关系9．【淮宿连徐2016届二调】已知函数]42)4(231[)(23--++-=a x a x x e x f x ，其中R a ∈，e 为自然对数的底数（1）若函数)(x f 的图像在0=x 处的切线与直线0=+y x 垂直，求a 的值．（2）关于x 的不等式xe xf 34)(-<在)2,(-∞上恒成立，求a 的取值范围．（3）讨论)(x f 极值点的个数．【答案】（1）1a =-（2）[0)+∞，（3）当0a ≥时，()f x 有且仅有一个极值点，当0a <时，()f x 有三个极值点．【解析】试题分析：（1）利用导数几何意义得(0)=1f '，而321()e 3x f x x x ax a ⎛⎫'=-+- ⎪⎝⎭，因此1a =-（2）不等式恒成立问题，一般利用变量分离，转化为对应函数最值：()()()3222max max 612811()[2203233x x x a x x x -++>=----<--]，，因此0a ≥（3）先求函数导数：321()e 3x f x x x ax a ⎛⎫'=-+- ⎪⎝⎭，这是一个三次函数与指数函数的乘积，因此导函数的零点为一个或三个，即()f x 只有一个极值点或有三个极值点.再分类讨论：当321()3g x x x ax a =-+-与x 轴有且仅有一个交点时，分两种情形，一是()g x 为单调递增函数（无极值），二是()g x 极值同号．当321()3g x x x ax a =-+-与x 轴有且仅有三个交点时，()g x 极值异号．试题解析：(1) 由题意，321()e 3x f x x x ax a ⎛⎫'=-+- ⎪⎝⎭， …………………………………………2分因为()f x 的图象在0x =处的切线与直线0x y +=垂直，所以0a ≥，即a 的取值范围是[0)+∞，． ………………………………………10分 法二：由4()e 3x f x <-，得3214e 2(4)24e 33x x x x a x a ⎡⎤-++--<-⎢⎥⎣⎦，即326(312)680x x a x a -++--<在(2)-∞，上恒成立，……………………………6分 因为326(312)680x x a x a -++--<等价于2(2)(434)0x x x a --++<，①当0a ≥时，22434(2)30x x a x a -++=-+≥恒成立，所以原不等式的解集为(2)-∞，，满足题意． …………………………………………8分 ②当0a <时，记2()434g x x x a =-++，有(2)30g a =<， 所以方程24340x x a -++=必有两个根12,x x ，且122x x <<， 原不等式等价于12(2)()()0x x x x x ---<，解集为12()(2)x x -∞，，，与题设矛盾，所以0a <不符合题意．综合①②可知，所求a 的取值范围是[0)+∞，．…………………………………………10分 (3) 因为由题意，可得321()e 3x f'x x x ax a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，所以()f x 只有一个极值点或有三个极值点. ………………………………………11分 令321()3g x x x ax a =-+-，①若()f x 有且只有一个极值点，所以函数()g x 的图象必穿过x 轴且只穿过一次，即()g x 为单调递增函数或者()g x 极值同号．ⅰ）当()g x 为单调递增函数时，2()20g'x x x a =-+≥在R 上恒成立，得1a ≥…12分 ⅱ）当()g x 极值同号时，设12,x x 为极值点，则12()()0g x g x ⋅≥，由2()20g'x x x a =-+=有解，得1a <，且21120,x x a -+=22220x x a -+=， 所以12122,x x x x a +==，所以3211111()3g x x x ax a =-+-211111(2)3x x a x ax a =--+-11111(2)33x a ax ax a =---+-[]12(1)3a x a =--，同理，[]222()(1)3g x a x a =--，所以()()[][]121222(1)(1)033g x g x a x a a x a =--⋅--≥，化简得221212(1)(1)()0a x x a a x x a ---++≥，所以22(1)2(1)0a a a a a ---+≥，即0a ≥，所以01a <≤．所以，当0a ≥时，()f x 有且仅有一个极值点； …………………14分 ②若()f x 有三个极值点，所以函数()g x 的图象必穿过x 轴且穿过三次，同理可得0a <； 综上，当0a ≥时，()f x 有且仅有一个极值点，当0a <时，()f x 有三个极值点． …………………16分 考点：利用导数求函数最值，利用导数研究函数极值10. 【2015届北京市石景山区高三3月统一测试（一模）理科】设数列{}n a 满足： ①11a =；②所有项*N a n ∈；③1211......n n a a a a +=<<<<<．设集合{},*m n A n|a m m N =≤∈，将集合m A 中的元素的最大值记为m b ，即m b 是数列{}n a 中满足不等式n a m ≤的所有项的项数的最大值．我们称数列{}n b 为数{}n a 的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．（Ⅰ）若数列{}n a 的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列{}n a ； （Ⅱ）设13n n a -=，求数列{}n a 的伴随数列{}n b 的前30项之和；（Ⅲ）若数列{}n a 的前n 项和2n S n c =+（其中c 常数），求数列{}n a 的伴随数列{}m b 的前m 项和m T ． 【答案】（Ⅰ）1,4,7； （Ⅱ）84；（Ⅲ）*12342121,2,,()t t b b b b b b t t N -====⋅⋅⋅==∈,2**(1)(21,)4(2)(2,)4m m m t t N T m m m t t N ⎧+=-∈⎪⎪=⎨+⎪=∈⎪⎩.当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=- ∴ *21()n a n n N =-∈ ， 由21n a n m =-≤得：*1()2m n m N +≤∈ 因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，所以*12342121,2,,()t t b b b b b b t t N -====⋅⋅⋅==∈当*21()m t t N =-∈时： 221(1)12(1)(1)24m t T t t t m +-=⋅⋅-+==+， 当*2()m t t N =∈时： 2112(2)24m t T t t t m m +=⋅⋅=+=+， 所以2**(1)(21,)4(2)(2,)4m m m t t N T m m m t t N ⎧+=-∈⎪⎪=⎨+⎪=∈⎪⎩.11．【镇江市2016届一模】一个圆锥的侧面积等于底面面积的2倍，若圆锥底面半径为 3 cm ，则圆锥的体积是________cm 3.【答案】3π．【命题立意】本题旨在考查圆锥的几何性质，考查概念的理解和运算能力，难度较小．【解析】设圆锥的母线长为R ，高为h 。
专题01+经典母题30题-2018年高考数学走出题海之黄金30题系列(江苏版)
2018年高考数学走出题海之黄金30题系列专题一 经典母题母题1【集合运算】【2017年江苏，理1】已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B =，则实数a 的值为 ▲ ． 【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1母题2【复数概念与运算】【2017江苏，理2】已知复数(1i)(12i)z =++，其中i 是虚数单位，则z 的模是 ▲ ．【解析】(1i)(12i)1i 12i z =++=++=母题3【函数的性质】【2016年高考江苏卷】设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,1-)上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中.a ∈R 若59()()22f f -= ，则(5)f a 的值是 ▲.母题4【函数的性质】【2014江苏，理10】已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数m 的取值范围为 .【答案】(【解析】据题意222()10,(1)(1)(1)10,f m m m f m m m m ⎧=+-<⎪⎨+=+++-<⎪⎩解得02m -<<． 【2017江苏，理11】已知函数31()2e e xxf x x x =-+-，其中e 是自然对数的底数．若2(1)(2)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】1[1,]2-母题5【三角形函数的图象和性质】【2014江苏，理5】已知函数cos y x =与函数sin(2)(0)y x φφπ=+≤<，它们的图像有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 . 【答案】6π． 【解析】由题意cossin(2)33ππϕ=⨯+，即21sin()32πϕ+=，2(1)36k k ππϕπ+=+-⋅，()k Z ∈，因为0ϕπ≤<，所以6πϕ=．母题6【平面向量的数量积】【2016年高考江苏卷】如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅的值是 ▲ .【答案】78【解析】因为222211436=42244AD BC FD BCBA CA BC AD BC AD --⋅=-⋅--==（）（），2211114123234FD BCBF CF BC AD BC AD -⋅=-⋅--==-（）（），因此22513,82FD BC ==，2222114167.22448ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED --⋅=-⋅--===（）（）母题7【几何体的体积】【2017江苏，理6】如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12V V 的值是 ▲ ．【答案】32【解析】设球半径为r ，则213223423V r r V r π⨯==π．故答案为32． 母题8 【统计】【2016年高考江苏卷】已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是 ▲ . 【答案】0.1【考点】方差【名师点睛】本题考查的是总体特征数的估计，重点考查了方差的计算，本题有一定的计算量，属于简单题.认真梳理统计学的基础理论，特别是系统抽样和分层抽样、频率分布直方图、方差等，针对训练近几年的江苏高考类似考题，直观了解本考点的考查方式，强化相关计算能力.【2017江苏，理3】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 ▲ 件． 【答案】18【解析】应从丙种型号的产品中抽取30060181000⨯=件，故答案为18． 母题9【双曲线的性质】【2017江苏，理8】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213xy -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是12,F F ，则四边形12F PF Q 的面积是 ▲ ．【答案】母题10 【椭圆的性质】【2016年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b +=＞＞0 的右焦点，直线2by = 与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠= ，则该椭圆的离心率是 .母题11【程序框图】【2016年高考江苏卷】右图是一个算法的流程图，则输出的a的值是▲ .母题12 【平面向量与三角函数】【2015江苏高考，14】设向量a k (cos ,sin cos )(0,1,2,,12)666k k k k πππ=+=，则11k =∑(a k a k+1)的值为5.母题13 【古典概型】【2015江苏高考，5】袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.【几何概型】【2017江苏高考，7】记函数()f x D ．在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是 ▲ ． 【答案】59母题14【三角函数与不等式】【2016年高考江苏卷】在锐角三角形ABC 中，若sin A =2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是 ▲ . 【答案】8【解析】sin sin()2sin sin tan tan 2tan tan A B+C B C B C B C ==⇒+=，又tan tan tan tan tan 1B+CA=B C -，因此tan tan tan tan tan tan tan 2tan tan tan tan tan 8,A B C A B C A B C A B C =++=+≥≥即最小值为8.【考点】三角恒等变换，切的性质应用【名师点睛】消元与降次是高中数学中的主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形ABC 中恒有tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++，这类同于正、余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时应多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识．此类问题的求解有两种思路：一是边化角，二是角化边． 母题15【导数的几何意义】【2014江苏，理11】在平面直角坐标系xoy 中，若曲线2by ax x=+（,a b 为常数）过点(2,5)P -，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b += .【答案】3-．【解析】曲线2b y ax x =+过点(2,5)P -，则452b a +=-①，又2'2by ax x=-，所以7442b a -=-②，由①②解得1,2,a b =-⎧⎨=-⎩所以3a b +=-． 母题16【直线与圆的位置关系】【2015江苏高考，10】在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为母题17【直线和圆】【2017江苏，理13】在平面直角坐标系xOy 中，(12,0),(0,6),A B -点P 在圆22:50O x y +=上，若20,PA PB ⋅≤则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ ．【答案】[-母题18【线性规划】【2016年高考江苏卷】已知实数,x y 满足240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，，， 则22x y +的取值范围是 ▲ . 【答案】4[,13]5【解析】画出不等式组表示的平面区域（图略），由图可知原点到直线220x y +-=距离的平方为22x y +的母题19【平面向量坐标运算】【2017江苏高考，12】如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7，OB 与OC 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R ，则m n += ▲ ．【答案】3【解析】由tan 7α=可得sin 10α=，cos 10α=，根据向量的分解，易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩0210n m +=⎪-=⎪⎩，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=．母题20【数列通项公式与求和】【2015江苏高考，11】数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为 【答案】2011【解析】由题意得：112211(1)()()()1212n n n n n n n a a a a a a a a n n ---+=-+-++-+=+-+++=所以1011112202(),2(1),11111n n n S S a n n n n =-=-==+++. 【考点定位】数列通项，裂项求和【数列基本量运算】【2017江苏高考，9】等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知3676344S S ==,，则8a = ▲ ．【答案】32母题21【立体几何】【2015江苏高考，16】如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，已知BC AC ⊥，1CC BC =，设1AB 的中点为D ，E BC C B =11 .求证：（1）C C AA DE 11//平面；（2）11AB BC ⊥.母题22【解三角形与三角函数恒等变换】（【2016年高考江苏卷】在ABC △中，AC =6，4πcos .54B C ==， （1）求AB 的长； （2）求πcos(6A -)的值.【答案】（1） 【解析】试题分析：（1）利用同角三角函数的基本关系求sin B ， 再利用正弦定理求AB 的长；(2)利用诱导公式及两角和与差正余弦公式分别求sin ,cos A A ，然后求cos().6A π-试题解析：解（1）因为4cos 5B=，0B <<π，所以3sin ,5B =由正弦定理知sin sin AC ABB C=，所以6sin 23sin 5AC C AB B ⋅===母题23【等差数列与等比数列的综合应用】【2015江苏高考，20】（本小题满分16分） 设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列 （1）证明：31242,2,2,2aaaa依次成等比数列；（2）是否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次成等比数列，并说明理由；（3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得k n k n k n n a a a a 342321,,,+++依次成等比数列，并说明理由.试题解析：（1）证明：因为112222n n n na a a d a ++-==（1n =，2，3）是同一个常数，所以12a ，22a ，32a ，42a 依次构成等比数列．（2）令1a d a +=，则1a ，2a ，3a ，4a 分别为a d -，a ，a d +，2a d +（a d >，2a d >-，0d ≠）．假设存在1a ，d ，使得1a ，22a ，33a ，44a 依次构成等比数列，且()()()()3ln 13ln 13ln 1ln 13k t t n t t +-+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．再将这两式相除，化简得()()()()()()ln 13ln 123ln 12ln 14ln 13ln 1t t t t t t +++++=++（**）．令()()()()()()()4ln 13ln 1ln 13ln 123ln 12ln 1g t t t t t t t =++-++-++，则()()()()()()()()()()222213ln 13312ln 1231ln 111213t t t t t t g t t t t ⎡⎤++-+++++⎣⎦'=+++． 令()()()()()()()22213ln 13312ln 1231ln 1t t t t t t t ϕ=++-+++++，则()()()()()()()613ln 13212ln 121ln 1t t t t t t t ϕ'=++-+++++⎡⎤⎣⎦．令()()1t t ϕϕ'=，则()()()()163ln 134ln 12ln 1t t t t ϕ'=+-+++⎡⎤⎣⎦．令()()21t t ϕϕ'=，则()()()()212011213t t t t ϕ'=>+++．由()()()()1200000g ϕϕϕ====，()20t ϕ'>， 知()2t ϕ，()1t ϕ，()t ϕ，()g t 在1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭和()0,+∞上均单调．故()g t 只有唯一零点0t =，即方程（**）只有唯一解0t =，故假设不成立． 所以不存在1a ，d 及正整数n ，k ，使得1na ，2n ka +，23n ka +，34n ka +依次构成等比数列．【考点定位】等差、等比数列的定义及性质，函数与方程【新定义数列】【2017江苏高考，理19】对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足：1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”．（1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列． 【解析】（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-， 从而，当4n ≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =所以n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++6， 因此等差数列{}n a 是“(3)P 数列”．n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥， 所以345,,,a a a 是等差数列，设其公差为d'．在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以132a a d'=-， 所以数列{}n a 是等差数列．母题24【等比数列通项公式和数列求和】【2016年高考江苏卷】（本小题满分16分） 记{}1,2,100U =,.对数列{}()*n a n ∈N 和U 的子集T ，若T =∅，定义0T S =；若{}12,,k T t t t =,，定义12k T t t t S a a a =+++.例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+.现设{}()*n a n ∈N 是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T S .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,,T k ⊆，求证：1T k S a +<；（3）设,,C D C U D U S S ⊆⊆≥，求证：2C CDD S S S +≥.由（2）得22()2A B C CDD CDC CDD S S S S S S S S S ≥⇒-≥-⇒+≥.试题解析：（1）由已知得1*13,n n a a n -=⋅∈N .于是当{2,4}T =时，2411132730r S a a a a a =+=+=. 又30r S =，故13030a =，即11a =. 所以数列{}n a 的通项公式为1*3,n n a n -=∈N . （2）因为{1,2,,}T k ⊆，1*30,n n a n -=>∈N ， 所以1121133(31)32k kk r k S a a a -≤+++=+++=-<. 因此，1r k S a +<.故21E F S S ≥+，所以2()1C C DD CDS S S S -≥-+，即21C CDD S S S +≥+.综合①②③得，2C CDD S S S +≥.【考点】等比数列的通项公式、求和【名师点睛】本题有三个难点：一是数列新定义，利用新定义确定等比数列的首项，再代入等比数列通项公式求解；二是利用放缩法求证不等式，放缩的目的是将非特殊数列转化为特殊数列，从而可利用特殊数列的性质，以算代征；三是结论含义的应用，实质又是一个新定义，只不过是新定义的性质应用.母题25【应用题之三角】【2017年江苏，理18】 如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计） （1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．【解析】（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥．记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处．因为40AC AM ==，所以30MC ==，从而3sin 4MAC =∠， 记AM 与水面的交点为1P ，过1P 作P 1Q 1⊥AC ，Q 1为垂足，则P 1Q 1⊥平面ABCD ，故P 1Q 1=12，从而AP 1=1116sin P MACQ =∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)过G 作GK ⊥E 1G 1，K 为垂足，则GK =OO 1=32． 因为EG = 14，E 1G 1= 62，所以KG 1=6214242-=，从而140GG ===． 设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25KGG KGG απ=+==∠∠．因为2απ<<π，所以3cos 5α=-．在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=． 因为02βπ<<，所以24cos 25β=． 于是4s i 3s555NE α=π∠．记EN 与水面的交点为P 2，过P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则P 2Q 2⊥平面EFGH ， 故P 2Q 2=12，从而EP 2=2220sin P NEGQ =∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)母题26【应用题之函数】【2016江苏】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A BC D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A BC D -(如图所示)，并要求正四棱柱的高1OO 是正四棱锥的高1PO 的4倍. （1）若16m,2m,AB PO ==则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m ，则当1PO 为多少时，仓库的容积最大？【答案】（1）312（2）1PO =【解析】试题分析：（1）明确柱体与锥体积公式的区别，分别代入对应公式求解；（2）先根据体积关系建立函数解析式，()()32636063V V V h h h =+=-<<锥柱，然后利用导数求其最值. 试题解析：解：（1）由PO 1=2知OO 1=4PO 1=8. 因为A 1B 1=AB =6，所以正四棱锥P -A 1B 1C 1D 1的体积()22311111=6224m ;33V A B PO ⋅⋅=⨯⨯=锥 正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积()2231=68288m .V AB OO ⋅=⨯=柱 所以仓库的容积V =V 锥+V 柱=24+288=312（m 3）.(2)设A 1B 1=a (m)，PO 1=h (m)，则0<h <6，OO 1=4h .连结O 1B 1. 因为在Rt △11PO B 中，2221111O B PO PB +=，所以22362h +=（），即()22236.a h =- 于是仓库的容积()()22231132643606333V V V a h a h a h h h h =+=⋅+⋅==-<<柱锥，从而()()2226'36326123V h h =-=-.令'0V =，得h =或h =-.当0h <<0V'> ，V 是单调增函数；当6h <<时，0V'<，V 是单调减函数.故h =V 取得极大值，也是最大值.因此，当1PO =m 时，仓库的容积最大.【考点】函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积【名师点睛】对应用题的训练，一般从读题、审题、剖析题目、寻找切入点等方面进行强化，注重培养将文字语言转化为数学语言的能力，强化构建数学模型的几种方法.而江苏高考的应用题往往需结合导数知识解决相应的最值问题，因此掌握利用导数求最值方法是一项基本要求，需熟练掌握.母题27【直线和椭圆位置关系】【2012江苏，理19】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．已知点(1，e )和(e )都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率．(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线AF 1与直线BF 2平行，AF 2与BF 1交于点P .①若AF 1－BF 2AF 1的斜率； ②求证：PF 1＋PF 2是定值．=.同理，2221)2mBFm+-=+①由以上两式可得AF1－BF2＝222m+，解2222m=+得m2＝2，注意到m＞0，故m=.所以直线AF1的斜率为12m=.②证明：因为直线AF1与BF2平行，所以211BFPBPF AF=，于是12111PB PF BF AFPF AF++=，故11112AFPF BFAF BF=+.由B点在椭圆上知BF1＋BF2＝从而()11212AFPF BFAF BF=+．同理()12112BFPF AFAF BF=+．因此，()()1212211212AF BFPF PF BF AFAF BF AF BF+=+++＝12122AF BF AF BF ⋅+.又AF 1＋BF 2＝221)2m m ++，AF 1·BF 2＝2212m m ++，所以PF 1＋PF 2＝22.因此，PF 1＋PF 2是定值． 母题28【导数的综合运用】【2015高考江苏，19】（本小题满分16分） 已知函数),()(23R b a b ax x x f ∈++=. （1）试讨论)(x f 的单调性；（2）若a c b -=（实数c 是a 与无关的常数），当函数)(x f 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是),23()23,1()3,(+∞--∞ ，求c 的值. 【答案】（1）当0a =时， ()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >时， ()f x 在2,3a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()0,+∞上单调递增，在2,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减； 当0a <时， ()f x 在(),0-∞，2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减．（2） 1.c =又b c a =-，所以当0a >时，34027a a c -+>或当0a <时，34027a a c -+<． 设()3427g a a a c =-+，因为函数()f x 有三个零点时，a 的取值范围恰好是 ()33,31,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则在(),3-∞-上()0g a <，且在331,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上()0g a >均恒成立，从而()310g c -=-≤，且3102g c ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭，因此1c =．此时，()()()3221111f x x ax a x x a x a ⎡⎤=++-=++-+-⎣⎦，因函数有三个零点，则()2110x a x a +-+-=有两个异于1-的不等实根，所以()()22141230a a a a ∆=---=+->，且()()21110a a ---+-≠，解得()33,31,,22a ⎛⎫⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 综上1c =．【考点定位】利用导数求函数单调性、极值、函数零点 母题29【直线与圆】【2016年高考江苏卷】（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M :221214600x y x y +--+=及其上一点A (2，4).(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x =6上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC=OA ，求直线l 的方程； （3）设点T （t ，0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得,TA TP TQ +=，求实数t 的取值范围.（第18题）【答案】（1）22(6)(1)1x y -+-=（2）:25215l y x y x =+=-或（3）22t -≤+d ==因为BC OA ===而222,2BC MC d =+（） 所以()252555m +=+，解得m =5或m =-15.故直线l 的方程为2x -y +5=0或2x -y -15=0. (3)设()()1122,,,.P x y Q x y因为()()2,4,,0,A T t TA TP TQ +=，所以212124x x ty y =+-⎧⎨=+⎩ ……①因为点Q 在圆M 上，所以()()22226725.x y -+-= …….② 将①代入②，得()()22114325x t y --+-=.于是点()11,P x y 既在圆M 上，又在圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦上， 从而圆()()226725x y -+-=与圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦没有公共点，所以5555,-≤≤+ 解得22t -≤≤+.因此，实数t 的取值范围是22⎡-+⎣.母题30【圆锥曲线中的定值】【2012江苏，理19】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．已知点(1，e )和(e 2)都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率．(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线AF 1与直线BF 2平行，AF 2与BF 1交于点P .①若AF 1－BF 2AF 1的斜率； ②求证：PF 1＋PF 2是定值．=.同理，2BF =①由以上两式可得AF 1－BF 2＝222m +，解2222m =+得m 2＝2，注意到m ＞0，故m =.所以直线AF 1的斜率为12m =.所以PF 1＋PF 2＝22.因此，PF 1＋PF 2是定值。
专题02 大题好拿分(基础版)-2017-2018学年下学期期末复习备考高二数学(文)黄金30题
2017-2018学年度下学期高二数学期末备考总动员大题好拿分【基础版】1．噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明， 声音强度D （分贝）由公式lg D a I b =+ (a b 、为非零常数)给出，其中()2/I W cm 为声音能量.（1）当声音强度123,,D D D 满足12323D D D +=时，求对应的声音能量123,,I I I 满足的等量关系式；（2）当人们低声说话，声音能量为13210/W cm -时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为12210/W cm -时，声音强度为40分贝.当声音能量大于60分贝时属于噪音，一般人在100分贝~120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪.问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪.2．求曲线33y x x =-上过点()2,2A -的切线方程．3()m R ∈. （1）若函数()f x 的图象与直线240x y +-=相切，求m 的值； （2）求()f x 在区间[]1,2上的最小值； （3）若函数()f x 有两个不同的零点1x ， 2x ，试求实数m 的取值范围．4．在一个半径为1的半球材料中截取两个高度均为h 的圆柱，其轴截面如图所示．设两个圆柱体积之和为()V f h =．(1)求()f h 的表达式，并写出h 的取值范围；(2）求两个圆柱体积之和V 的最大值．5．已知函数()2f x x ax a =--， a R ∈， ()xg x e =（其中e 是自然对数的底数）． （1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线垂直，求实数a 的值； （2）记函数()()()F x f x g x =⋅，其中0a >，若函数()F x 在()3,3-内存在两个极值点，求实数a 的取值范围；（3）若对任意1x ， []20,3x ∈，且12x x >，均有成立，求实数a 的取值范围． 6．某公司引进一条价值30万元的产品生产线，经过预测和计算，得到生产成本降低y 万元与技术改造投入x 万元之间满足：①y 与()30x -和2x 的乘积成正比；②当15x =时， 27000y =，并且技术改造投入t 为常数且(]0,2t ∈． （1）求()y f x =的解析式及其定义域；（2）求y 的最大值及相应的x 值．7．某工厂建造一间地面面积为212m 的背面靠墙的长方体仓库，其顶部总造价为5800元，正面造价为1200元/2m ，侧面造价为800元/2m ，如果墙高为3m ，且不计背面及底面的费用，设正面底部边长为x 米，则正面底部边长为多少米时，建造此仓库的总造价最低，最低造价是多少元？8．某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p （万元）和宿舍与工厂的距离()x km的关系为： 里成本为5万元，工厂一次性补贴职工交通费.设()f x 为建造宿舍、修路费用与给职工的补贴之和．⑴求()f x 的表达式；⑵宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用()f x 最小，并求最小值．9．已知函数()()322f x ax a x =-+（a 为实数）. （1） 若函数()f x 在1x =处的切线与直线60x y ++=平行，求实数a 的值；（2） 若1a =，求函数()f x 在区间[]1,3上的值域；（3） 若函数()f x 在区间[]1,3上是增函数，求a 的取值范围．10（1（2（3上有两个不同的实根，求实数.11的图象，后一段.81620米.（1的解析式；（2，问：梯形的高为多少米时，该社区活动中心的占地面积最大，并求出最大面积.12．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P（单位：万元）乙城市收益Q（单位：万元）．（1）当甲城市投资50万元时，求此时公司总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？13为常量且(1)的值；(2)若不等式时恒成立，求实数.14．已知函数）求函数为偶函数，求实数15．计算：（1;（2 16． （1）证明：函数在(－2，＋∞)上为增函数；（2 17．日前，扬州下达了2018年城市建设和环境提升重点工程项目计划，其中将对一块以O 为圆心，R （R 为常数，单位：米）为半径的半圆形荒地进行治理改造，如图所示，△OBD 区域用于儿童乐园出租，弓形BCD 区域（阴影部分）种植草坪，其余区域用于种植观赏植物．已知种植草坪和观赏植物的成本分别是每平方米5元和55元，儿童乐园出租的利润是每平方米95元．（1）设∠BOD=θ（单位：弧度），用θ表示弓形BCD 的面积S 弓=f （θ）；（2）如果市规划局邀请你规划这块土地，如何设计∠BOD 的大小才能使总利润最大？并求出该最大值．18．已知定义域为R 的函数f (x)有一个零点为1， f (x)，其中a R ∈． （1）求函数f (x)的解析式；（2）求()g x 的单调区间；（3）若()g x 在[)0,+∞上存在最大值和最小值，求a 的取值范围．19 （1）若,m k 是常数，问当,m k 满足什么条件时，函数()F x 有最大值，并求出()F x 取最大值时x 的值；（2）是否存在实数对(),m k 同时满足条件：①()F x 取最大值时x 的值与()G x 取最小值的x 值相同，②k Z ∈？20．（1）g(x)＝3x，h(x)＝9x.解方程h(x)－8g(x)－h(1)＝0；（2）定义：在R上的函数f(x)满足：若任意x1, x2∈R，都有f f(x)是R上的凹函数。
专题06 大题易丢分-2017-2018学年下学期期末复习备考高二数学(理)黄金30题(江苏版) Word版含解析
1．观察以下3个等式：1（1）照以上式子规律，猜想第n个等式（n∈N*）；（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第n个等式成立（n∈N*）．【答案】（1）第n2）见解析②假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时等式成立，即有＋＋…＋＝，则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋＝＝＝＝，所以当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对一切n∈N*等式都成立．点睛：数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.2．已知函数()f x 满足()()233log log .f x x x =-(1).求函数()f x 的解析式；(2).当*n N ∈时，试比较()f n 与3n 的大小，并用数学归纳法证明你的结论. 【答案】(1) ()32xf x x =-;(2)详见解析.（2）当1n =时， ()11f =， 31n =，此时 ()31f n =；当2n =时， ()25f =， 31n =，此时 ()31f n <；当3n =时， ()321f =， 327n =，此时 ()33f n <；当4n =时， ()473f =， 364n =，此时 ()34f n >；猜想：当4n ≥， *n R ∈，都有()3f n n >． 要证明：当4n ≥， *n R ∈，都有()3f n n >，即要证：当4n ≥， *n R ∈， 332n n n ->，即要证：当4n ≥， *n R ∈， 332n n n >+．证明：①当4n =时， 381n =， 3272n n +=，显然， 332n n n >+成立；②假设当n k =时， 332k k k >+成立，那么，当1n k =+时， ()1333333236k k k k k k +=⨯>⨯+=+，又当4k ≥时，()()()33322236121233233kk k k k k k k k k k ⎡⎤+-+++=-+-=⋅-+-⎣⎦2224233530k k k k k ≥⋅-+-=+->，故()()3336121k k k k +>+++，所以1n k =+时， ()()313336121k k k k k +>+>+++结论成立，由①②，根据数学归纳法可知，当4n ≥， *n R ∈，都有()3f n n >．3．在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列{n ∈N ＋}． 求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论； 【答案】a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25.证明见解析. 猜测a n ＝n(n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2，n ∈N *.②假设当n ＝k(k≥2且k ∈N *)时，结论成立，即 a k ＝k(k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2， 那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k(k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)，b k ＋1(k ＋2)2. 解：由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1， 21n a +＝b n b n ＋1，由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25. 猜测a n ＝n(n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2，n ∈N *. 4分 用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由已知a 1＝2，b 1＝4可得结论成立． ②假设当n ＝k(k≥2且k ∈N *)时，结论成立，即 a k ＝k(k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2， 那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k(k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)，b k ＋1(k ＋2)2. 所以当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②可知，a n ＝n(n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切n ∈N *都成立． 10分4．已知n S 是数列1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，是否存在关于正整数n 的函数()f n ，使得()()1211n n S S S f n S ++++=-对于大于1的正整数n 都成立？证明你的结论．【答案】()f n n =猜测： ()f n n =，使得()()()1211,2n n S S S f n S n N n -+++=-∈≥成立.下面用数学归纳法证明：①＝2,3时，上面已证，猜测正确.②假设＝( 2,k k N ≥∈)时， ()f k k =，使得即()1211k k S S S k S -++⋅⋅⋅+=-成立，则 当1n k =+时， ()11f k k +=+，由()1211k k k k S S S S k S S -++⋅⋅⋅++=-+ ()1k k S k =+-()1111k k S k ⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭ ()()()()111111k k k S f k S ++=+-=+-.即＝1k +时，猜测也正确. 综上所述，存在＝，使得()()1211n n S S S f n S -+++=-对于大于1的正整数都成立.5．用数学归纳法证明： ()3171nn +⋅-（*n N ∈）能被9整除.【答案】详见解析. 【解析】试题分析：利用数学归纳法的步骤首先验证n=1时成立，然后假设n k = 命题成立，验证1n k =+ 等式成立即可. 试题解析：（1）当1n =时， ()317127+⨯-=能被9整除，所以命题成立由归纳假设()3171kk +⋅-（n N +∈）能被9整除及()18277kk +⋅是9的倍数所以()()317118277k kk k ⎡⎤+⋅-++⋅⎣⎦能被9整除即1n k =+时，命题成立由（1）（2）知命题对任意的n N +∈均成立点睛：数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n ＝n 0的n 0不一定为1，而是根据题目要求选择合适的起始值，．第(2)步，证明n ＝k ＋1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法.6．甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立. （1）分别求甲队以3：0，3：1，3：2获胜的概率；（2）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3:2，则胜利方得2分、对方得1分.求甲队得分X 的分布列及数学期望.【答案】（1）827，827，427；（2）详见解析；【解析】试题分析：（1）甲队获胜有三种情形：3:0，3:1，3:2，其每种情形的最后一局肯定是甲队获胜，粉笔求出相应的概率，即可得到结果；（2）X的取值可能为0,1,2,3，然后利用相互独立事件的概率乘法公式求解相应的概率，列出分布列，最后根据期望的公式即可求解数学期望．试题解析：（1）记“甲队以3∶0胜利”为事件A1，“甲队以3∶1胜利”为事件A2，“甲队以3∶2胜利”为事件A3，所以甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为827，以3∶2胜利的概率为427.（2）设“乙队以3∶2胜利”为事件A4，由题意知，各局比赛结果相互独立，所以P(A4)＝22242214 C1133227⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由题意知，随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3，根据事件的互斥性得P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝16 27.又P(X＝1)＝P(A3)＝4 27，P(X＝2)＝P(A4)＝4 27，P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝3 27，故X 的分布列为所以E(X)＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×327＝79. 考点：相互独立事件的概率；离散型随机变量的分布列．【方法点晴】本题主要考查了相互独立事件的概率的乘法公式，以及离散型随机变量的分布列、数学期望的求解，其中正确理解赛制的最后一局的比赛情况是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的的能力、分类讨论的思想数学思想方法的应用，应该认真试题、仔细解答，试题比较基础，属于基础题． 7．袋中有4个红球,3个黑球,从袋中随机地抽取4个球,设取到一个红球得2分,取到一个黑球得1分. (1)求得分不大于的概率; (2)求得分的数学期望.【答案】（1（2【解析】试题分析：（1）取到一个红球得（2.试题解析：(1),,(2)得分的所有可能值为:5,6,7,8,,,,得分的分布列为8．从参加数学竞赛的学生中抽出20名学生，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图所示．观察图形，回答下列问题：（1（2）估计该次数学竞赛的及格率（60分及以上为及格）；（3）若从第一组和第三组的所有学生中随机抽取两人，求他们的成绩相差不超过10分的概率．【答案】（1（2（3（2（3人，第三组有学生从5人中随机抽取2人共有10种情况，记抽取的2人成绩相差不超过10分为事件A，共包含4即抽取的2人成绩相差不超过109．在某次问卷调查中，有a,b两题为选做题，规定每位被调查者必须且只需在其中选做一题，其中包括甲乙在内的4名调查者选做a b（1）求甲、乙两位被调查者选做同一道题的概率；（2）设这4名受访者中选做b.【答案】（12）见解析（20,1,2,3,4所以变量的分布表为：点睛：判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：一是是否为n次独立重复试验．在每次试验中事件A发生的概率是否均为p.二是随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数．且P(X＝k)p k(1－p)n－k表示在独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率.10（1（2的二项式系数和大992，若（3【答案】（1）T4＝=，（2）242（3）见解析【解析】试题分析：(1)由杨辉三角的性质可得展开式中二项式系数最大的项为T4(2)有题意可得m=2；(3)利用题意结合二项式展开式的性质即可证得题中的结论.则由，又，且，所以，则；(3)(1＋m)n＝m n(1＋)n＝(m＋)n，则1＋m＝m＋，所以m＝，(1＋)2 017＝(1＋)2 0171＋＋()2()＋2＋2＋1＝6，(1＋)－2 017<1，11．为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；请根据上面的数据分析该地区的老年人需要志愿者提供帮助与性别有关吗？0.10【答案】（12）有关【解析】试题分析：(1)(2)99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关.试题解析：点睛：独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．12M,二项式系数之和为N,若M-N=240.（1（2）求展开式中所有.【答案】（1）4（2【解析】试题分析：(1)利用题意得到关于实数n；(2)试题解析：解：（1）令二项系数之和为所以得（2）所以当r=0时当r=2时当r=4时所以展开式有理项为，，13．在6⎛⎝6的展开式中，求：(1)第3项的二项式系数及系数；(2)含x2的项．【答案】（1）第3项的系数为2426C＝240.（2）含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.所以第3项的系数为24C＝240.(2)T k＋1＝C(2)6－k k＝(－1)k26－k C x3－k，令3－k＝2，得k＝1.所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.14．喜羊羊家族的四位成员与灰太狼、红太狼进行谈判，通过谈判他们握手言和，准备一起照合影像(排成一排)．(1)要求喜羊羊家族的四位成员必须相邻，有多少种排法？(2)要求灰太狼、红太狼不相邻，有多少种排法？(3)记灰太狼和红太狼之间的喜羊羊家族的成员个数为ξ，求ξ的概率分布.【答案】（1）144（2）见解析试题解析：(1)把喜羊羊家族的四位成员看成一个元素，排法为A.又因为四位成员交换顺序产生不同排列，所以共有A·A＝144种排法．(2)第一步，将喜羊羊家族的四位成员排好，有A种排法；第二步，让灰太狼、红太狼插入四人形成的空(包括两端)，有A种排法，共有A·A＝480种排法．(3)ξ的概率分布表如下：15．如图，四边形ABCD 的两条对角线,AC BD 相交于O ，现用五种颜色（其中一种为红色）对图中四个三角形,,ABO BCO CDO ADO ，进行染色，且每个三角形用一种颜色图染.（1）若必须使用红色，求四个三角形,,ABO BCO CDO ADO ，中有且只有一组相邻三角形同色的染色方法的种数；（2）若不使用红色，求四个三角形,,ABO BCO CDO ADO ，中所有相邻三角形都不同色的染色方法的种数.【答案】（1）144（2）84种②若,ABO BCO ∆∆同时染的不是红色，则它们的染色有4种，另外两个三角形一个必须染红色，所以这两个三角形共有326⨯=，因此这种情况共有4624⨯=种染色方法．综上可知有且只有一组相邻三角形同色的染色方法的种数为()41224144⨯+=种； （2）因为不用红色，则只有四种颜色．若一共使用了四种颜色，则共有4424A =种染色方法；若只使用了三种颜色，则必有一种颜色使用了两次，且染在对顶的区域，所以一共有312432248C C A ⨯⨯⨯=种染色方法；若只使用了两种颜色，则两种颜色都使用了两次，且各自染在一组对顶区域，所以共有24212C ⨯=种染色方法．综上可知所有相邻三角形都不同色的染色方法的种数为84种．【方法点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.16．某房屋开发公司根据市场调查，计划在2017年开发的楼盘中设计“特大套”、“大套”、“经济适用房”三类商品房,每类房型中均有舒适和标准两种型号.某年产量如下表:若按分层抽样的方法在这一年生产的套房中抽取50套进行检测,则必须抽取“特大套”套房10套, “大套”15套.(1)求,的值;(2)在年终促销活动中,奖给了某优秀销售公司2套舒适型和3套标准型“经济适用型”套房，该销售公司又从中随机抽取了2套作为奖品回馈消费者.求至少有一套是舒适型套房的概率;(3)今从“大套”类套房中抽取6套,进行各项指标综合评价,并打分如下:现从上面6个分值中随机的一个一个地不放回抽取,规定抽到数9.6或9.7,抽取工作即停止.记在抽取到数9.6或9.7所进行抽取的次数为,求的分布列及数学期望.【答案】（123【解析】【试题分析】（1）借助频率分布中数据与频率计算公式求解；（2）运用古典概型的计算公式计算；（3）先运用古典概型的计算公式求出概率，再写出随机变量的概率分布：(1)由题设有(2)1,2,3,4,5所以的分布列为:17．已知函数()()()()()21,ln xf x x e kxkR g x a x a R =--∈=∈.（1）当1a =时，求()y xg x =的单调区间；（2）若对[]1,x e ∀∈，都有()()22g x x a x ≥-++成立，求a 的取值范围；（3时，求()f x 在[]0,k 上的最大值. 【答案】（12）a 1≤- (3) ()()3max1k f x k e k ⎡⎤=--⎣⎦ 【解析】试题分析：（1）将a=1代入求出函数的表达式，通过求导令导函数大于0，从而求出函数的单调递增区间；（21≤x ≤e 恒成立．记h （x ）h （x ）的单调性，从而求出a 的范围；（3）先求出函数的导数，通过讨论当0＜x ＜ln2k 时，当ln2k ＜x ＜k 时的情况，从而得到函数f （x ）的最大值． 试题解析：⑴1a =时， ln y x x =， ln 1y x '=+，令0y '>，得ln 1x >- 所以函数ln y x x =的单调增区间为⑵由题意 ()2ln 2a x x a x ≥-++对1x e ≤≤恒成立，因为1x e ≤≤时， ln 0x x ->， 1x e ≤≤对1x e ≤≤恒成立，当且仅当1x =时()0h x '=，所以()h x 在[]1,e 上是增函数，所以()()min11h x h ⎡⎤==-⎣⎦，因此1a ≤-．所以()()(){}(){}3max max 0,max 1,1k f x f f k k e k ⎡⎤==---⎣⎦，记()()311x p x x e x =--+， 01x ≤≤，以下证明当01x ≤≤时， ()0p x ≥．()()233x x p x xe x x e x '=-=-，记()3x r x e x =-， ()30x r x e ='-<对01x <<恒成立，所以()r x 在[]0,1上单调减函数， ()010r =>， ()120r =-<，所以()00,1x ∃∈，使0030x e x -=， 当00x x <<时， ()0p x '>， ()p x 在()00,x 上是单调增函数；当01x x <<时， ()0p x '<， ()p x 在()0,1x 上是单调减函数．又()()010p p ==，所以()0p x ≥对01x <≤恒成立，即()311x x e x --≥-对01x <≤恒成立，所以()()3max 1k f x k e k ⎡⎤=--⎣⎦．点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为()min 0f x >，若()0f x <恒成立，转化为()max 0f x <;（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为()()min max f x g x >.18，其中k R ∈. （1）当3k =时，求函数()f x 在[]0,5上的值域；（2）若函数()f x 在[]1,2上的最小值为3，求实数k 的取值范围. 【答案】(1) []1,21 ；(2) 2k ≥ . 【解析】试题分析：(1)由导函数讨论函数的单调性，然后可得函数的值域为[]1,21；(2)由题意得到关于实数k 的不等式组，求解不等式组可得实数k 的取值范围是2k ≥ . 试题解析：（1）3k = 时， ()32691f x x x x =-++ 则()()()23129313f x x x x x =-+=--'令()0f x '=得121,3x x ==列表由上表知函数()f x 的值域为[]1,21 （2）方法一： ()()()()2331331f x x k x k x x k =-++=--'①当1k ≤时， []()1,2,'0x f x ∀∈≥，函数()f x 在区间[]1,2单调递增②当2k ≥时， []()1,2,'0x f x ∀∈≤，函数()f x 在区间[]1,2单调递减 所以()()()min 28613213f x f k k ==-++⋅+= 符合题意即()()2120k k +-= 所以1k =-或2k =（舍） 注：也可令()3234g k k k =-+则()()23632g k k k k k =='--对()()1,2,0k g k ∀∈'≤()3234g k k k =-+在()1,2k ∈单调递减所以()02g k <<不符合题意综上所述：实数k 取值范围为2k ≥ 方法二： ()()()()2331331f x x k x k x x k =-++=--'①当2k ≥时， []()1,2,'0x f x ∀∈≤，函数()f x 在区间[]1,2单调递减 所以()()()min 28613213f x f k k ==-++⋅+= 符合题意②当1k ≤时， []()1,2,'0x f x ∀∈≥，函数()f x 在区间[]1,2单调递增 所以()()min 23f x f <= 不符合题意 ③当12k <<时,当[)1,x k ∈时， ()'0f x < ()f x 区间在[)1,k 单调递减 当(],2x k ∈时， ()'0f x > ()f x 区间在(],2k 单调递增所以()()()min 23f x f k f =<= 不符合题意 综上所述：实数k 取值范围为2k ≥ 19．已知函数()2ln f x x ax ax =+- ，其中a R ∈ .（1）当1a = 时，求函数()f x 在1x = 处的切线方程；（2）若函数()f x 在定义域上有且仅有一个极值点，求实数a 的取值范围. 【答案】(1) 1y x =- ；(2) 0a < .（2）()2ln f x x ax ax =+-， 0x >，则令()221t x ax ax =-+，①若0a =，则()22110t x a x a x =-+=>，故()'0f x >，函数()f x 在()0+∞，上单调递增，所以函数()f x 在()0+∞，上无极值点，故0a =不符题意，舍去；②若0a <， ，该二次函数开口向下，对称轴，所以()0t x =在()0+∞，上有且仅有一根，故()0'0f x =，且当00x x <<时， ()0t x >， ()'0f x >，函数()f x 在()00x ，上单调递增； 当0x x >时， ()0t x <， ()'0f x <，函数()f x 在()0x +∞，上单调递减； 所以0a <时，函数()f x 在定义域上有且仅有一个极值点③若0a >， ，即08a <≤，，故()'0f x ≥，函数()f x 在()0+∞，上单调递增，所以函数()f x 在()0+∞，上无极值点，故08a <≤不符题意，舍去；所以函数()f x 在()0+∞，上有两个不同的极值点，故8a >不符题意，舍去， 综上所述，实数a 的取值范围是0a <．点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．20（1）求曲线()y f x =在点 （2）若函数()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围.【答案】（1）5330x y a π-+-=；（2试题解析：（1即5330x y a π-+-=；（2）因为函数()f x 在R 上单调递增，所以()0f x '≥在R 上恒成立，在R 上恒成立， 令[]cos ,1,1x t t =∈-，即24350t at --≤ 对任意的[]1,1t ∈-恒成立， 令()2435g t t at =--，则需()()1310{ 1310g a g a -=-≤=--≤，【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线以及利用导数研究函数的单调性，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P ()()00,x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程()()00•y y f x x x '-=-.。
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黄金30题系列高二年级数学江苏版大题好拿分【基础版】 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E、F 分别是CD、A 1D 1中点．(1)求证：AB 1、BF ；（2）若正方体的棱长为1，求E ABF V -2．设复数z a bi =+（,a b ∈R ，0a >，i 是虚数单位），且复数z 满足10z =，复数()12i z +在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上.⑴求复数z ；(2)若1m i z i-++为纯虚数(其中m R ∈）,求实数m 的值. 3．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为4，且点31,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 在椭圆上，∠F 2PF 1＝60°，求△PF 1F 2的面积．4．某校举行“青少年禁毒”知识竞赛网上答题，高二年级共有500名学生参加了这次竞赛. 为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了100名学生的成绩进行统计．请你解答下列问题：（1）根据下面的频率分布表和频率分布直方图，求出a d +和b c +的值；（2）若成绩不低于90分的学生就能获奖，问所有参赛学生中获奖的学生约为多少人？5．如图，某市有一条东西走向的公路l ，现欲经过公路l 上的O 处铺设一条南北走向的公路m ，在施工过程中发现O 处的正北方向1百米的A 处有一汉代古迹，为了保护古迹，该市委决定以A 为圆心，1百米为半径设立一个圆形保护区，为了连通公路l ，m ，欲再新建一条公路PQ ，点P ，Q 分别在公路l ，m 上（点P ，Q 分别在点O 的正东、正北方向），且要求PQ 与圆A 相切.（1）当点P 距O 处2百米时，求OQ 的长；（2）当公路PQ 的长最短时，求OQ 的长.6．已知两圆221:20c x y x +-=， ()222:14Qc x y ++=的圆心分别为c 1，c 2，，P 为一个动点，且12PC PC +=.（1）求动点P 的轨迹方程；（2）是否存在过点A （2，0）的直线l 与轨迹M 交于不同的两点C ，D ，使得C 1C ＝C 1D?若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.7．已知复数12z i =-+,1255z z i =-+（其中为虚数单位）（1）求复数2z ；（2）若复数()()()2323231z z m m m i ⎡⎤=---+-⎣⎦所对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围．8．已知:12p x +≤， ()():10q x x m +-≤.（1）若4m =，命题“p 或q ”为真，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.9．已知一个圆经过直线:240l x y ++=与圆22:2410C x y x y ++-+=的两个交点，并且面积有最小值，求此圆的方程．10．如图，直三棱柱111ABC A B C -中， D 、E 分别是棱BC 、AB 的中点，点F 在棱1CC 上，已知AB AC =， 13AA =， 2BC CF ==．（1）求证： 1//C E 平面ADF ；（2）设点M 在棱1BB 上，当BM 为何值时，平面CAM ⊥平面ADF ？11．如图，1l 表示神风摩托车厂一天的销售收入与摩托车销售量的关系；2l 表示摩托车厂一天的销售成本与销售量的关系．（1）写出销售收入与销售量之间的函数关系式；（2）写出销售成本与销售量之间的函数关系式；（3）当一天的销售量为多少辆时，销售收入等于销售成本；（4）当一天的销售超过多少辆时，工厂才能获利？（利润=收入-成本）12．设命题p ：函数()21lg 16f x ax x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的定义域为R ；命题q ：不等式39x x a -<对任意x ∈R 恒成立．、Ⅰ）如果p 是真命题，求实数a 的取值范围；、Ⅱ）如果命题“p 或q”为真命题且“p 且q”为假命题，求实数a 的取值范围．13．已知函数()ln 1(0)f x x ax x =-+>（1）若对任意的[)()1,,0x f x ∈+∞≤ 恒成立，求实数a 的最小值.（2）若52a = 且关于x 的方程()212f x x b =-+ 在[]1,4 上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围；（3）设各项为正的数列{}n a 满足： *111,ln 2,n n n a a a a n N +==++∈ 求证：21n n a ≤-14．已知函数()3213f x x x ax b =-++的图像在点()()0,0P f 处的切线方程为32y x =-.(Ⅰ)求实数,a b 的值；(Ⅱ)设()()1m g x f x x =+-是[2,+∞)上的增函数, 求实数m 的最大值. 15．已知复数22(4sin )2(cos 1)z a i θθ=-++，其中a +∈R，(0,)θπ∈，i 为虚数单位，且z 是方程2220x x ++=的一个根．（1）求θ与a 的值；（2）若w x yi =+（,x y 为实数），求满足1z w z i -≤+的点(,)x y 表示的图形的面积． 16．已知函数()2ln (0,1).x f x a x x a a a =+->≠(1)求函数()f x 在点()()0,0f 处的切线方程；(2)求函数()f x 单调增区间；(3)若存在[]12,1,1x x ∈-，使得()()121(f x f x e e -≥-是自然对数的底数），求实数a 的取值范围.17．如图，某几何体的下部分是长为8，宽为6，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求：（1）该几何体的体积；（2）该几何体的表面积．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，E 为PA 的中点，F 为BC 的中点，底面ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ．求证：（1）平面//EFO 平面PCD ；（2）平面PAC ⊥平面PBD ．19．已知直线l ：(2)(31)1a y a x -=--（1）求证：不论实数a 取何值，直线l 总经过一定点.（2）为使直线不经过第二象限，求实数a 的取值范围.（3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l 的方程.20．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （－2，1），直线:230l x y --= ．（1）若直线过点A ，且与直线垂直，求直线的方程；（2）若直线与直线平行，且在轴、轴上的截距之和为3，求直线的方程．参考答案1．（1）见解析；（2）16． 【解析】试题分析：（1）由条件可证得AB 1⊥平面A 1BCD 1，从而可得结论；（2）根据E ABF F ABE V V --=求解即可。
试题解析：(1)证明：连结A 1B ，CD 1，∵AB 1，A 1B 是正方形ABB 1 A 1的对角线，∴AB 1⊥A 1B ，又AB 1⊥BC，A 1B∩BC＝B ，∴AB 1⊥平面A 1BCD 1，∵BF ⊂平面A 1BCD 1，∴AB 1⊥BF.（2）∵点F 到底面的距离即为棱长1， ∴111111326E ABF F ABE V V --==⨯⨯⨯⨯=。
即16E ABF V -=。
2．（1）3z i =-；（2）5m =-.【解析】试题分析：（1、设(,,0)z a bi a b R a =+∈>，由z =2210a b +=，又复数()()()()()121222i z i a bi a b a b i +=++=-++在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，则22a b a b -=+即3a b =-.联立求解即可（2）由3z i =+,可得()()()()()()11513331111222m i i m i i m i m i m m z i i i i i i i i ------+-+=++=++=++=++++-,1m i z i -++为纯虚数，∴502{102m m +=-≠，然后解方程即可 试题解析：⑴设(,,0)z a bi a b R a =+∈>，由z =2210a b +=.①又复数()()()()()121222i z i a bi a b a b i +=++=-++在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，则22a b a b -=+即3a b =-.②.由①②联立方程组2210{3a b a b+==-,解得3a =,1b =-或3a =-，1b =， 0a >，∴3a =-，1b =.∴3z i =-. ⑵由3z i =+,可得()()()()()()11513331111222m i i m i i m i m i m m z i i i i i i i i ------+-+=++=++=++=++++-, 1m i z i -++为纯虚数，∴502{102m m +=-≠， 解得5m =-.3．（1）2214x y +=；（2 【分析】（1）由题意求得a ，设出椭圆方程，代入已知的坐标求得b ，则椭圆方程可求； （2）由（1）求得c 及2a ，在△F 2PF 1中，由余弦定理可得1243PF PF =，然后代入三角形面积公式可得△F 2PF 1的面积．【详解】（1） 因为C 的焦点在x 轴上且长轴为4，故可设椭圆C 的方程为22214x y b+=（0a b >>），因为点1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，所以213144b +=， 解得21b =， 所以，椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）由（1）知，124c PF PF ==+= 在、F 2PF 1中，由余弦定理可得：222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠ 即2212443c a PF PF =-1243PF PF ∴=，则12114sin 60223S PF PF ︒==⨯= 【点睛】 本题考查椭圆的简单性质，考查了焦点三角形中椭圆定义及余弦定理的应用，是中档题．4．（1）39,0.33a d b c +=+=（2）150【解析】试题分析：（1）由频率=频数/样本容量可求得,,,a b c d 的值，从而得到a d +和b c +的值；（2）由成绩在[90,100]之间的频率为0.3可求得参赛学生中获奖的学生人数试题解析：（1）39,0.33a d b c +=+=（2）由（1）知学生成绩在[90,100]之间的频率为0.3，故可估计所有参赛学生中能获奖的人数约为5000.3150⨯=人．考点：频率分布表及频率分布直方图5．（1）83（2【解析】试题分析：（1）根据题意，建立直角坐标系，然后利用直线与圆的相切列出关于关于q 的方程解之即可；（2）利用截距式方程给出直线的方程，然后利用直线与圆相切找到两个待定系数间的关系，再利用勾股定理将PQ表示成关于q的函数，利用函数的单调性求其最值即可试题解析：如图，以O为原点、直线l，m分别为x，y轴建立平面直角坐标系.设P（p, 0），Q（0, q）且PQ与圆A相切于点B，连结AB，以1百米为单位长度，则圆A 的方程为（1）由题意可设直线PQ的方程为，即因为PQ与圆A相切，所以，解得，故当点P与O处2百米时，OQ的长为百米.（2）设直线PQ的方程为，即.因为PQ与圆A相切，所以，化简得在Pt、POQ中，.令则当时，，即f(q)在（上单调递减；当时，，即f(q)在上单调递增.所以f(q)在时取得最小值，故当公路PQ 的长最短时，OQ 的长为百米.答：（1）当点P 距O 处2百米时，OQ 的长为百米；（2）当公路PQ 的长最短时，OQ 的长为百米.考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；直线和圆的方程的应用6．（1）2212x y +=（2）不存在满足题意的直线l ，使得C 1C ＝C 1D.【解析】试题分析：（1）写出两圆的圆心坐标，根据∵| 1PC |+| 2PC |= 2=| 12C C |可知动点P 的轨迹是以1C 和2C 为焦点、长轴长为2a = 即所求轨迹方程；（2）当斜率不存在时容易判断，当存在斜率时，设直线l 的方程为2y k x =-（），联立直线l 方程与椭圆方程消掉y 得x 的二次方程，则有0>，设交点C ()11,x y ，D ()22,x y ，CD 的中点为N ()00,x y ，求出二次方程的两解，从而可得线段CD中点N 的横坐标，代入直线方程可得纵坐标，要使11C C C D =，必须有1C N l ⊥，即11C N k k ⋅=-，解出方程的解k ，再检验是否满足0>即可试题解析：（1）两圆的圆心坐标分别为110C （，）， ()210C -，，因为12122PC PC C C +=>=，所以根据椭圆的定义可知，动点P 的轨迹为以原点为中心、C 1C 2为焦点、长轴长为2a =的椭圆，且a =1c ＝， 1.b ===所以椭圆的方程为2212x y +=，即动点P 的轨迹M 的方程为2212x y +=. （2）当直线l 的斜率不存在时，易知点2,0A （）在椭圆M 的外部，直线l 与椭圆M 无交点，此时直线l 不存在.故直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为()2.y k x =-由()221,{ 22x y y k x +==-得()2222218820.k x k x k +-+-= ①依题意，有()()()22228421820k k k ∆=--+->，解得22k -<<当22k -<<时，设交点C(x 1，y 1)，D （x 2，y 2），CD 的中点为N （x 0，y 0），则212024221x x k x k +==+，所以()2002242222121k k y k x k k k ⎛⎫=-=-=- ⎪++⎝⎭.要使11C C C D =，必须有1C N l ⊥，即11C Nk k ⋅=-，所以222202114121kk k kk --+⋅=--+，即10－＝，矛盾，所以不存在直线l ，使得11C C C D =，综上所述，不存在满足题意的直线l ，使得11C C C D =7．（1）23z i =-；（2）11m -<< 【解析】试题分析：（1）根据复数的四则运算即可求得；（2）将23Z i =-代入得()()23123Z m m m i =--+--，由复数的概念和几何意义得()210230m m m ⎧-->⎨--<⎩，解得11m -<<.试题解析：（1、1255z z i =-+、21555532i iz i z i-+-+===--+ 、2、()()()2323231z z m m m i ⎡⎤=---+-⎣⎦()()2231i m m m i ⎡⎤=--+-⎣⎦()()2123m m m i =--+--由于3z 所对应的点在第四象限、、所以实数m 的取值范围是8．（1）34x -≤≤；（2）31m -≤≤.【解析】试题分析：先化简命题,p q ，求出相应的数集；（1）根据真值表判定,p q 的真假，进行讨论求解；（2）由p 是q 的必要不充分条件推出相应数集之间的包含关系，进而求解. 试题解析：（1）当4m =时， :14q x -≤≤，又:31p x -≤≤.因为命题“p 或q ”为真，则p q 真真或p q 真假或p q 假真，所以14{31x x -≤≤-≤≤或14{31x x x -≤≤-或或14{31x x x --≤≤或，解得34x -≤≤；所以满足“p 或q ”为真的x 的取值范围为34x -≤≤.（2）由题意，得命题p 对应的数集为[]3,1A =-,命题q 对应的数集为B ;因为p 是q 的必要不充分条件，所以B A ≠⊂,则()()230{210m m ---≥-≥，解得31m -≤≤.9．221364555x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【解析】 【分析】设所求圆的方程为()22241240x y x y x y λ++-+++=+，即()2222x y x λ++++()4410y λλ-++=，可得出圆的半径为r =二次函数求出圆的半径的最小值，并求出对应的λ的值，即可得出所求圆的方程. 【详解】设所求圆的方程为()22241240x y x y x y λ++-+++=+，即()()22224410x y x y λλλ++++-++=，则圆的半径为r ==当168255λ-=-=⨯时，圆的半径取最小值， 因此，所求圆的方程为222612370555x y x y ++-+=，即221364555x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查交点系方程的应用，在求过两曲线交点的曲线系方程时，可利用交点系方程求解，本题求解交点圆的方程，需将圆的方程化为一般方程，并根据圆的一般方程得出圆的圆心坐标和半径，考查运算求解能力，属于中等题. 10．（1）详见解析；（2）1BM =【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用线面平行的判定定理；(2)借助题设条件运用面面垂直的判定定理推证. 试题解析：（1）证明：连结CE 交AD 于O ，连结OF .因为,CE AD 为ABC ∆中线，则O 为ABC ∆的重心，故123CF CO CC CE ==,故1//OF C E .…………………………4分因为OF ⊂平面ADF ,1C E ⊄平面ADF ，所以1//C E 平面ADF …………………………6分（2）解：当1BM =时，平面CAM ⊥平面ADF .…………………………7分 因为AB AC =，故.AD BC ⊥…………………………8分在直三棱柱111ABC A B C -中， 1BB ⊥平面ABC , 1BB ⊂平面11B BCC ,故平面11B BCC⊥平面ABC .又平面11B BCC ⋂平面ABC BC =,AD ⊥平面11B BCC ， CM ⊂平面11B BCC ,故AD CM ⊥.又1,2,1,2,BM BC CD FC ====故CBM FCD ∆≅∆.…………………………10分 易证,CM DF ⊥ DF 与AD 相交， 故CM ⊥平面ADF .又CM ⊂平面CAM ，故平面CAM ⊥平面ADF .…………………………12分考点：空间直线与平面之间的位置关系等有关定理的综合运用． 11．（1）y=x （2）y=122x +（3）x=4（4）x ＞4【解析】试题分析：解：（1）设y=kx ，、直线过（4，4）两点，、4=4k ，、k=1，、y=x ； （2）设y=kx+b ，、直线过（0，2）、（4，4）两点，、2=b ，4=4k+2，、k=，、y=（3）由图象知，当x=4时，销售收入等于销售成本，x=、x=4；（4）由图象知：当x ＞4时，工厂才能获利，即（）＞0时，即x ＞4时，才能获利考点：函数的运用点评：主要是考查了待定系数法求解解析式，以及运用函数与不等式来求解范围，属于基础题．12．、Ⅰ）实数a 的取值范围是2a > 、、Ⅱ）实数a 的取值范围是124a <≤、 【解析】试题分析：由二次函数和不等式的性质分别可得p 真和q 真时的a 的取值范围，再由“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，则p 、q 一真一假，分类讨论取并集可得． 试题解析：（1）命题p 是真命题，则有0a >、∆<0、a 的取值范围为2a >、、2）命题q 是真命题，不等式39x x a -<对一切x ∈R 均成立，设39x x y =-，令30x t =>，则2y t t =-、0t >，当12t =时，max 111244y =-=、所以14a >、命题“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，则p 、q 一真一假． 、p 真q 假，2a >，且14a ≤，则得a 不存在；②若p 假q 真，则得124a <≤、 综上，实数a 的取值范围124a <≤、 13．（1）min 1a = ； （2）ln221b -<≤- ； （3）21nn a ≤-【解析】试题分析：（I ）依题意，对任意的[)1,x ∈+∞， ()0f x ≤恒成立，即ln 10x ax -+≤在1x ≥恒成立，则ln 1x a x +≥，而'2ln 1ln 0x x x x +⎛⎫=-≤ ⎪⎝⎭，所以ln 1x y x +=在[)1,+∞是减函数， ln 1x y x+=最大值为1，所以， 1a ≥，实数a 的最小值。