七年级数学乘法公式及应用
七年级数学整式的乘除
06 练习题与自测
基础知识巩固练习
整式的乘法运算
通过练习不同类型的整式乘法，如单项式乘单项式、单项 式乘多项式、多项式乘多项式等，巩固乘法分配律和结合 律的应用。
整式的除法运算
通过练习整式的除法，如单项式除以单项式、多项式除以 单项式等，掌握除法的基本法则和运算技巧。
幂的运算性质
通过练习幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法、除法以 及零指数幂和负整数指数幂的运算，加深对幂运算性质的 理解。
负数底数幂运算注意事项
负数底数定义
负数底数幂表示的是负数的乘方运算，如(-2)^3表示-2的三次方。
运算规则
负数底数幂的运算需遵循乘方运算的基本法则，同时需注意负数的 奇次幂和偶次幂的结果符号不同。
注意事项
在计算过程中，需特别注意底数为负数的情况，避免出现计算错误 或遗漏。
复杂根式化简技巧
根式化简基本方法
将多项式拆分为多个单项 式的和或差。
分别相除
将拆分后的每个单项式分 别除以给定的单项式。
合并同类项
将除法运算后的结果进行 合并同类项。
带余除法及应用
带余除法定理
对于多项式f(x)和g(x)，存在唯一的多项式q(x)和r(x)，使得f(x) = g(x)q(x) + r(x)，其中r(x)的次数小于g(x)的次数。
。
求解方程或表达式
利用数学运算和推理，求解出 未知量的值。
检验答案
将求解出的未知量值代入题目 条件进行检验，确保答案正确
。
计算题步骤规范及优化
明确计算目标
确定需要计算的目标和所需使 用的数学公式或方法。
列出计算步骤
按照数学运算的优先级和顺序 ，逐步列出计算步骤。
七年级数学乘法公式及应用
乘法是数学中的一种基本运算方法，用于计算两个或多个数的乘积。
在七年级的数学课程中，学生将学习乘法的基本公式和其在实际中的应用。
本文将介绍七年级数学中的乘法公式及其应用。
一、乘法的基本概念在数学中，乘法是将两个数相乘得到一个新数的运算。
乘法可以表示为"×"或者使用小括号表示两数相乘的关系。
例如，3×4=12，表示3乘以4得到12乘法遵循以下基本性质：1.交换性：两个数相乘的结果与它们的顺序无关。
即a×b=b×a。
2.结合性：多个数相乘的结果与它们的相乘顺序无关。
即(a×b)×c=a×(b×c)。
3.分配性：两个数相乘后再相加的结果等于它们分别相加后再相乘的结果。
即a×(b+c)=a×b+a×c。
二、乘法的应用1.乘法表：乘法表是显示一个数的乘法表达式及其结果的表格。
通过乘法表，学生可以了解并记住一些常用的乘法结果。
乘法表可以通过竖式计算或者更简单的方法来完成。
2. 计算长方形的面积：利用乘法可以计算长方形的面积。
长方形的面积等于底边长乘以高。
例如，一个长方形的底边长为5cm，高为3cm，则它的面积为5cm × 3cm = 15cm²。
3. 计算正方形的面积：正方形是四边相等的图形，可以通过乘法计算其面积。
正方形的面积等于边长的平方。
例如，一个正方形的边长为4cm，则它的面积为4cm × 4cm = 16cm²。
4.计算单位换算：乘法可以用于不同单位之间的换算。
例如，1小时有60分钟，可以用乘法计算出2小时有多少分钟，即2小时×60分钟/小时=120分钟。
5.计算百分比：百分比可以通过乘法来计算。
例如，将一个数乘以0.5，即可得到该数的50%。
同样，将一个数乘以0.25，可以得到该数的25%。
6.解决实际问题：乘法可以应用于解决实际生活中的问题。
七年级数学乘法公式-教案
1欢迎。
下载乘法公式【知识梳理】 （一）平方差公式1．平方差公式： a b a b a 2 b 2 2．平方差公式的特点：（ 1） 左边是两个项式相乘，两项中有一项完全相同，另一项互为相反数 （ 2） 右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方） （3） 公式中的a,b 可以是具体的数，也可是单项式或多项式表达式3． 平方差公式 语言叙述用于计算 逆用公式二）完全平方公式22ab b 22．完全平方公式的特点：号内而像是种每一项的平方，中间一项为左边二项式中两项乘积的 式可由语言表述为：首平方，尾平方，两项乘积在中央 . 3．公式的恒等变形及推广：222（ 1） a b b a a b22( 2)a b a b4．完全平方公式的几种常见变形：2 2 2 2 ( 1) a 2 b 2a b 2ab a b 2ab在公式 a b a 2 2abb 2中, 左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式 . 其中有两项是左边括 应用1．完全平方公式： a2b 22ab b 22 倍，其符号由左边括号内的符号决定 . 本公a b 2 a b a b a b2(2) ab2 2(3) a b 2a b 2 4ab(4) 2 2a b a b 4ab(5) a 2b c 2 a b2c22ab 2ac 2bc5•其他：（拓展内容）a b 3, a b 3 ,a3b3, a3b3完全平方公式的表示完全平方公式的结构特征完全平方公式的应用完全平方公式的变形【典型例题分析】（一）平方差公式题型一：【例1】请根据下图图形的面积关系来说明平方差公式【例2】判断下列各式能否用平方差公式计算，如果不能，应怎样改变才能使平方差公式适用?1 1(1) 2a b a 2b ( 2) 2a 3b 2b 3a ( 3) 3m 2 3m 23 3【分析】应用公式时，应首先判断能不能运用公式，必须是两个二项式相乘；这两个二项式要符合公式特征，公式中的“ a”，“b”与位置、自身的符号无关，观察的要点是“两因式中的两对数是否有一对完全相同，另一对相反” •不能盲目套用公式6.完全平方公式【答案】（1）不能，若改为2b ^a ^a 2b就可以应用公式3 3（2）不能，若改为2a 3b 3b 2a就可以应用公式【例4】类型2： abbab 2 a 2(1) (2xy+1 ) (1-2xy ) (2) (3x-4a ) (4a+3x ) (3) (3 2a)( 32a)(4) (b 2 2a 3)(2a 3 b 2)(3)不能，若改为 3m 2 3m 2就可以应用公式【借题发挥】1 •试判断下列两图阴影部分的面积是否相等【答案】相等2 •下列计算中可以用平方差公式的是()11 (A ) a2 a 2(B )abba 22(C )x y x y(D ) x 2 y x y 2【答案】B题型二：平方差公式的计算及简单应用【例3】类型1: a b a b a 2 b 2 (1)1 2a 1 2a(2) (1 5y)(15y)(3) (3m 2n)(3m2n)1 21 12 1x — x — 2 3 2 3【答案】 (1)原式=1 4a 2； (2)原式=125y 2； 2 2(3)原式=9m 4n ；(4)原式」X 2-4 9(4)【答案】(1)原式=1 4x2y2；(2)原式=9x216a2；(3)原式=4a29 ； (4)原式=4a6b4(1) ( 2x25)( 2x25)(2) ( 2a 3)(2a 3)(3) (-5xy+4z ) (-5xy-4z )(4) 2x2y 3z 2x2y 3z【答案】4 2 2 2 2 2 42 2 (1)原式=4x y 25 ； (2)原式=9 4a ； (3)原式=25x y 16z ； (4)原式=4x y 9z【例6】类型4：ma mb a b m a2 b2(xy+xz) (y-z )【答案】原式=xy2 xz2【方法总结】为了避免错误，初学时，可将结果用“括号”的平方差表示，再往括号内填上这两个数如：(a + b) (a - b)= a2 -b2J计算：(1 + 2x)(1 - 2x)= ( 1 ) 2- ( 2x ) =1-4x【例7】___________ m 2 4 m2.【借题发挥】1. ,括号内应填入下式中的（A.攵―令2 B . 4八拧C .■圧D .須+ 4于【答案】A【例8】运用平方差公式化简：(1) abab a 3b a 3b(2) x2 2 x2 2 x 2 x 2精品文档25欢迎下载(3) 1 x 1 x 1x 2 (4)【例8】用简便方法计算下列各式 2 1 (1) 91 89(2)59.8 60.2(3)-0 39 3 3【答案】(1) 原式= =901 90 1902 128099(2) 原式= =60 0.2 600.2602 0.223599.96【方法总结】 用乘法公式计算，首先要把需要计算的算式写成乘法公式的形式，一般地，给出的算式是可以写成 公式所要求的形式的，利用乘法公式能简化计算。
七年级数学下册2.15 运用乘法公式进行计算(知识讲解)(湘教版)
专题2.15 运用乘法公式进行计算（知识讲解）【学习目标】1. 会运用平方差公式和完全平方公式进行进行运算并解决问题；2. 掌握平方差公式及完全平方公式并进行综合练习；3. 应用平方差公式及完全平方公式的解决问题。
【要点梳理】一.平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.持别说明：1、在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2、平方差公式的拓展22448822222244882244448822888822222244(a b (a b)(a b )(a b )(a b )....(a b )(a b )(a b )(a b )(a b )....(a b )(a b )(a b )(a b )....(a b )(a b )(a b )....(a b )(a b )(a b )a -b n n n n n n n nn n n n n n+-++++=-++++=-+++=-++=-+=）二. 完全平方公式：；两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 持别说明：1、公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.2、完全平方公式的拓展与变形：2224ab ab±±；a b )；22()()a b a b a b +-=-a b ，()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-三. 平方差公式与完全平方公式综合题： 在运算过程程，灵活运用平方差公式及完全平方公式的综合运算尤其重要，主要有以下的一些题型。
[][]=()c ()c 2c)c)+---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦1、（a+b+c ）(a+b-c)a+b a+b 、（a-b+c ）(a+b-c)=a-(b a+(b2244882222242243(a b (a b)(a b )(a b )(a b )....(a -b )a -b =a -2a b +b n n n n n n n n +-+++=、）（）【典型例题】 类型一、平方差公式1、（2020·陕西省西安市育才中学七年级月考）某同学在计算3（4+1）（24+1）时，把3写成(4﹣1)后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：3（4+1）（24+1）=（4﹣1）（4+1）（24+1）=（24﹣1）（24+1）=216﹣1=255． 请借鉴该同学的经验，计算：2481521111111112222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【答案】2.【解析】原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果． 试题解析：原式=24815111111211111222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =1615112122⎛⎫-+⎪⎝⎭ =2．考点：平方差公式． 举一反三：【变式1】（2020·全国七年级专题练习）王红同学在计算（2+1）（22+1）（24+1）时，将积式乘以（2-1）得：解：原式 = （2-1）（2+1）（22+1）（24+1） =（22-1）（22+1）（24+1） =（24-1）（24+1） =28-1根据上题求:（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1的个位数字 【答案】6【分析】首先利用平方差公式求出代数式的值，然后根据的个位数以2、4、8、6这四个数字进行循环得出所求的答案.解 ：原式 = （2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1=2642n 的个位数以2、4、8、6这四个数字进行循环 则64÷4=16则264个位数字是6【点拨】本题考查平方差公式的应用【变式2】（2020·全国八年级课时练习）先阅读下列材料，然后解答问题：某同学在计算()23(41)41++时，把3写成41-后，发现可以连续运用平方差公式计算，即()()()()222223(41)41(41)(41)414141161+⋅+=-++=-+=-．很受启发，后来在求()()()()2482048(21)21212121+++++的值时，又改造此法，在乘积式前面乘1，然后把1写成(21)-的形式，即()()()()2482048(21)21212121+++++()()()()2482048(21)(21)21212121=-+++++()()()()()224820482121212121=-++++()()()()448204821212121=-+++……()()204820484006212121=-+=-．问题：（1）请借鉴该同学的经验，计算：248153111111122222⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （2）借用上面的方法，再逆用平方差公式计算：22222111111111...12345n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----- ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（n 为自然数，且2n ） 【答案】（1）2；（2）12n n+【分析】（1）根据题意将32写成1121122⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，然后连续运用平方差公式计算即可； （2）逆用平方差公式再进行计算即可． 解：（1）原式24815111111211111222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 224815111112111122222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 44815111121112222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭8815111211222⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1615112122⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭151511222=-+2=；（2）22222111111111...12345n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----- ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111111111111111122334455n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-+-+⋅- ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭314253641122334455n n n n+-=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯112n n+=⨯12n n+=． 【点拨】本题考查平方差公式，熟练应用平方差公式，并能根据题意构造出平方差公式是解题的关键．类型二、完全平方公式2（2020·浙江杭州市·七年级期末）数学中有很多等式可以用图形的面积来表示．（1）观察图，直接写出代数式22(),()a b a b +-，ab 之间的等量关系________；（2）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知7,10a b ab -==-．求+a b 的值；①已知13x x +=，求1x x-的值．【答案】（1）（a+b ）2=4ab+（a -b ）2；（2）①±3；①【分析】（1）根据图形可知：大正方形是由四个小长方形和中间阴影的小正方形组成，且小正方形的边长为a -b ，列式即可得出结论； （2）①根据（1）的结论直接计算即可； ①根据（1）的结论直接计算即可．解：（1）由S 大正方形=4S 小长方形+S 阴影得： （a+b ）2=4ab+（a -b ）2．故答案为：（a+b ）2=4ab+（a -b ）2． （2）①∵a -b=7，ab=-10，∴（a+b ）2=（a -b ）2+4ab=72+4×（-10）=9， ∴a+b=±3；②∵13x x +=，22114x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴22134x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，①2145x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，①1x x-= 【点拨】本题考查了对完全平方公式几何意义的理解及完全平方公式在代数式求值中的运用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．举一反三：【变式1】（2021·广东广州市·八年级期末）已知（a+b）2＝25，（a﹣b）2＝9．求a2﹣6ab+b2．【答案】﹣7【分析】根据完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，可得a2﹣6ab+b2＝（a﹣b）2﹣4ab，（a﹣b）解：因为（a+b）2＝25，（a﹣b）2＝9，所以（a﹣b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝16，所以a2﹣6ab+b2＝（a﹣b）2﹣4ab＝9﹣16＝﹣7．【点拨】本题主要考查了完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键．举一反三：【变式2】（2021·山东济宁市·八年级期末）阅读下列文字，并解决问题．已知x2y＝3，求2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）的值．我们知道，满足x2y＝3的x，y的值可能较多，不可能逐一代入求解，而运用整体思想能使问题化繁为简，化难为易，运用整体代入的方法能巧妙地解决一些代数式的求值问题，于是将x2y＝3整体代入．解：2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）＝2x6y3﹣6x4y2﹣8x2y＝2（x2y）3﹣6（x2y）2﹣8x2y＝2×33﹣6×32﹣8×3＝﹣24．请你用上述方法解决问题：（1）已知ab＝4，求（2a3b2﹣3a2b+4a）•（﹣2b）的值；（2）已知x﹣1x＝5，求1xx+的值．【答案】（1）-192；（2）1 xx +=【分析】（1）根据单项式乘多项式的运算法矩形计算，根据积的乘方法则变形，把已知数据代入计算即可；（2）根据完全平方公式把原式变形，把已知数据代入计算即可．解：（1）∵ab＝4，∴（2a3b2﹣3a2b+4a ）•（﹣2b ） ＝﹣4a3b3+6a2b2﹣8ab ＝﹣4（ab ）3+6（ab ）2﹣8ab ＝﹣4×43+6×42﹣8×4 ＝﹣192；（2）∵x ﹣1x ＝5， ∴22211()()45429x x x x +=-+=+=．1x x∴+=【点拨】本题考查的整式的混合运算及完全平方公式，正确理解题意掌握相关运算顺序和计算法则正确计算是解题的关键．3．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）图1是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于______； （2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． ①________________； ①__________________．（3）观察图2你能写出2()m n +，2()m n -，mn 三个代数式之间的等量_____________．（4）运用你所得到的公式，计算若知8,7a b ab +==，求-a b 和22a b -的值．（5）用完全平方公式和非负数的性质求代数式222431832x x y y ++-+的最小值．【答案】（1）m -n ；（2）①（m -n ）2；①（m+n ）2-4mn ；（3）（m -n ）2=（m+n ）2-4mn ；（4）6a b -=±，22a b -=±48；（5）3 【分析】（1）根据阴影部分正方形的边长等于小长方形的长减去宽解答； （2）从整体与局部两个思路考虑解答；（3）根据大正方形的面积减去阴影部分小正方形的面积等于四个长方形的面积解答； （4）根据()()224a b a b ab -=+-，可得a -b 的值，再根据22a b -=()()a b a b +-求出22a b -的值；（5）利用完全平方公式将原式变形为()()2221333x y ++-+，再根据非负数的性质可求出最小值为3．解：（1）由图可知，阴影部分小正方形的边长为：m -n ； （2）根据正方形的面积公式，阴影部分的面积为（m -n ）2， 还可以表示为（m+n ）2-4mn ；（3）根据阴影部分的面积相等，（m -n ）2=（m+n ）2-4mn ； （4）①8,7a b ab +==，①()()224a b a b ab -=+-=2847-⨯=36，①6a b -=±，若6a b -=，则22a b -=()()a b a b +-=86⨯=48， 若6a b -=-，则22a b -=()()a b a b +-=()86⨯-=-48； （5）222431832x x y y ++-+=22242318273x x y y +++-++ =()()2221333x y ++-+ ①()2210x +≥，()2330y -≥，①()()2221333x y ++-+≥3，即最小值为3．【点拨】本题考查了完全平方公式的几何背景，准确识图，根据阴影部分的面积的两种不同表示方法得到的代数式的值相等列式是解题的关键．【变式】（2021·河南新乡市·新乡学院附属中学八年级月考）已知228421x y x y +-++，你能求出它的最小值吗？此时x ，y 分别是多少？ 【答案】最小值1，x=4，y=-2【分析】代数式配方变形后，利用非负数的性质求出最小值，以及此时x 与y 的值．解：∵（x -4）2≥0，（y -2）2≥0，∴x2+y2-8x+4y+21=（x -4）2+（y+2）2+1≥1， 则当x=4，y=-2时，代数式取得最小值1．【点拨】本题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．类型三、平方差公式与完全平方公式综合训练及应用4（2019·安徽安庆市·金拱初中七年级期末）()()3232x y x y --+- 【答案】9x 2-y 2-12x+4【分析】首先应用平方差公式，可得：（3x -y -2）（3x+y -2）=（3x -2）2-y 2；然后再应用完全平方公式，求出算式的值是多少即可． 解：（3x -y -2）（3x+y -2）=（3x -2）2-y 2 =9x 2-y 2-12x+4【点拨】此题主要考查了平方差公式的应用，以及完全平方公式的应用，要熟练掌握． 【点拨】（2019·广东佛山市·七年级月考）利用整式乘法公式计算(要求有运用公式的过程)： （1）108×112 （2）(a ﹣2b +3)(a +2b ﹣3) 【答案】（1）12096 （2）224129a b b -+- 【分析】（1）根据平方差公式计算即可．（2）根据平方差公式和完全平方公式计算即可．解：（1）108112⨯()()11021102=-⨯+221102=-121004=- 12096=．（2） ()()2323a b a b -++-()()2323a b a b =--+-⎡⎤⎣⎦()2223a b=--224129a b b=-+-．【点拨】本题考查了实数和整式的运算问题，掌握平方差公式是解题的关键．5．（2019·全国七年级单元测试）公园长椅上坐着两位白发苍苍的老人，旁边站着两个青年，他们在交谈．老人说：“我俩的年龄的平方差是195…”，不等老人说完，青年人就说：“真巧，我俩年龄的平方差也是195”．这时，一对中年夫妇也凑过来说：“真是巧极了，我俩年龄的平方差也是195”．现在请你想一想，这三对人的年龄各是多少岁？如果你有兴趣，不妨把第四对人的年龄也找出来．【答案】第四对人的年龄是1岁和14岁．【分析】设两人的年龄是x，y，然后把195分解质因数,看有几种情况两数相乘是195,然后再依此列方程求解,就是他们的年龄.解：设两人的年龄是x，y，则x2﹣y2=195即（x+y）（x﹣y）=195把195分解因数可知：1×195=195那么1951x yx y+=⎧⎨-=⎩，解得x=98，y=97，①两位老人年龄97岁，98岁；①5×39=195①395x yx y+=⎧⎨-=⎩，解得x=22，y=17，①两位青年人的年龄是22岁，17岁；①65×3=195①653x yx y+=⎧⎨-=⎩，解得，x=34，y=31①中年夫妇的年龄是31岁，34岁；①15×13=195①1513x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得x=14，y=1①第四对人的年龄是1岁和14岁．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出题目的已知量和未知量，设两个未知数，并找出两个能代表题目数量关系的等量关系，然后列出方程组求解即可.本题的关键是要明白平方差是195，就是两数的积是195，然后依此求解.【变式】（2019·全国七年级单元测试）(1)已知2x ＋2＝a ，用含a 的代数式表示2x ；(2)已知x ＝3m ＋2，y ＝9m ＋3m ，试用含x 的代数式表示y .【答案】（1）4a ；（2）y ＝x 2－3x ＋2. 【分析】（1）因为2x+2=2x •22=a ，由此即可求出答案；（2）因为x=3m +2，所以x -2=3m ，y=9m +3m =（3m ）2+3m ，然后代换即可．解：(1)①22222x x a =⋅=＋， ①2.4x a = (2)①32m x =+，①23m x ，-=①()()()2229333223 2.m m m m y x x x x =+=+=-+-=-+ 【点拨】考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握它们的运算法则是解题的关键.。
初中数学7年级乘法公式
乘法是数学中非常重要的运算之一、在初中数学7年级的课程中，学生会学习到乘法公式，以及如何正确应用乘法公式解决问题。
一、乘法的定义及性质乘法是一种加快计算速度的运算方法。
在数学中，乘法是指把两个数的乘法操作称为乘积。
例如，将3和4相乘，结果为12，我们可以写成3×4=12、乘法操作符号“×”表示乘法。
乘法具有一些特殊的性质。
其中，乘法结合律是指三个数相乘的结果不受先后顺序的影响。
例如，(3×4)×5=3×(4×5)=60。
乘法交换律是指两个数相乘的结果也不受先后顺序的影响。
例如，3×4=4×3=12乘法还有一个特别重要的性质是乘法公式。
二、乘法公式乘法公式是用于展开乘法式子的一个重要工具。
在初中数学7年级的课程中，学生将学习到以下几个常见的乘法公式：1.两个一位数相乘的乘法公式：当两个个位数相乘时，可应用如下乘法公式：ab × cd = ad × 10 + ad × b + bc × 10 + bc × d例如：27×36=20×30+20×6+7×30+7×6=9722.一个两位数与一个一位数相乘的乘法公式：当一个两位数与一个个位数相乘时，可应用如下乘法公式：ab × c = c × 10a + c × b3.两个两位数相乘的乘法公式：当两个两位数相乘时，可应用如下乘法公式：ab × cd = ac × 100 + ad × 10 + bc × 10 + bd例如：27×38=20×100+20×8+7×100+7×8=1026三、应用乘法公式解决问题乘法公式在解决实际问题时非常有用。
下面举几个例子，看看如何应用乘法公式解决问题。
乘法公式-苏科版七年级数学下册课件
C. (a－b)2 = a2－b2
D. (a+b)(a－b)=a2+b2
2. （2014•临沂）请你计算：（1﹣x）（1+x），（1﹣x）
（1+x+x2），…，猜想（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）的结果是
（）
A.1﹣xn+1 B. 1+xn+1
C. 1﹣xn
D. 1+xn
知识梳理
3.（2014•包头）计算：（ x+1）2－（x+2）（x-2）＝ . 4. （2014•厦门）设a＝192×918，b＝8882－302，c＝ 10532－7472，则数a，b，c 按从小到大的顺序排列，结果是
x
x2
D (a 2b)2 a 2 2ab 4b 2
知识梳理
2. 有若干张面积分别为纸片，阳阳从中抽取了1张面积为a2的
正方形纸片，4张面积为ab的长方形纸片，若他想拼成一个大
正方形，则还需要抽取面积为b2的正方形纸片（ B ）
A.2张
B.4张
C.6张
D.8张
3. 计算：（1）(－2a＋1b)2； （2）(－4b－2)2
C．（ab）2＝a2b2
D．(a＋b)2＝a2＋b2
2. 图9.4-2的图①是一个边长为（m+n）的正方形，小颖将图 ①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子 是（ B ）
A.（m+n）2﹣（m﹣n）2=4mn B.（m+n）2﹣（m2+n2）=2mn
C.（m﹣n）2+2mn=m2+n2
D.（m+n）（m﹣n）=m2﹣n2
课堂练习
七年级上册数学乘法运算律
七年级上册数学乘法运算律一、乘法交换律1. 定义- 两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。
- 用字母表示为a× b = b× a。
例如3×5 = 5×3 = 15。
2. 应用举例- 计算4×7×25。
- 按照常规顺序计算：4×7 = 28，28×25 = 700。
- 运用乘法交换律：因为4×25 = 100，所以4×7×25=(4×25)×7 = 100×7 = 700，这样计算更加简便。
二、乘法结合律1. 定义- 三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变。
- 用字母表示为(a× b)× c=a×(b× c)。
例如(2×3)×5 = 2×(3×5)=30。
2. 应用举例- 计算25×12×4。
- 常规计算：25×12 = 300，300×4 = 1200。
- 运用乘法结合律：25×12×4=(25×4)×12 = 100×12 = 1200。
三、乘法分配律1. 定义- 两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加。
- 用字母表示为(a + b)× c=a× c + b× c。
例如(2+3)×4=2×4+3×4 = 8 + 12=20。
2. 应用举例- 计算(10 + 5)×3。
- 根据乘法分配律：(10 + 5)×3=10×3+5×3 = 30+15 = 45。
- 乘法分配律的拓展：a×(b - c)=a× b - a× c。
中山市七中七年级数学下册第2章整式的乘法2.2乘法公式2.2.3运用乘法公式进行计算课件新版湘教版3
学习目标
（1）会利用合并同类项的方法解一元一次方程，体 会等式变形中的化归思想.
（2）能够从实际问题中列出一元一次方程，进一步 体会方程模型思想的作用及应用价值.
推进新课 知识点1 合并同类项
数学小资料
约公元820年 , 中亚细亚数学家阿尔-花拉子米 写了一本代数书 , 重点论述怎样解方程.这本书的 拉丁文译本取名为【対消与还原]. 〞対消”与〞 还原”是什么意思呢 ？
探究新知
〔1〕(x+1)(x2+1)(x-1); 〔2〕(x+y+1)(x+y-1).
你能用简单的方法计算上面的式子吗？
(x + y + 1)(x + y-1) =[(x + y) + 1][(x + y)-1] = (x + y)2-1 = x2 + 2xy + y2-1
把 x+y 看做一个整体
运用乘法公式计算 : ( a + b + c )2 . 解: ( a + b + c )2
= [(a + b) + c]2 = (a + b)2 + 2c(a + b) + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc 遇到多项式的乘法时 , 我们要先观察式子的特征 , 看 能否运用乘法公式 , 以到达简化运算的目的.
第一个数为x , 第二个数为 x
9
方程 x xx1701
3
93
初一数学知识点总结(集合15篇)
初一数学知识点总结(集合15篇)初一数学知识点总结1初一数学：七年级数学公式总结乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|一元二次方程的解根与系数的关系-b+√(b2-4ac)/2a-b-√(b2-4ac)/2aX1+X2=-b/aX1*X2=c/a注：韦达定理判别式b2-4ac=0注：方程有两个相等的实根b2-4ac>0注：方程有两个不等的实根b2-4ac半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+( 2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82 +…+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6 *7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3其他常用数学公式正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是边a和边c的夹角圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c"*h正棱锥侧面积S=1/2c*h"正棱台侧面积S=1/2(c+c")h"圆台侧面积S=1/2(c+c")l=pi(R+r)l球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r>0扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S"L注：其中,S"是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s*h圆柱体V=pi*r2h初一数学知识点总结2知识点、概念总结1.不等式：用符号"<"，">"，"≤"，"≥"表示大小关系的式子叫做不等式。
乘法公式 第一课时-数学七年级下册同步教学课件(冀教版)
(2)(3a－4b)(－4b－3a)＝(－4b)2－(3a)2＝16b 2－9a 2.
(3)
3 4
a
1 3
b
3 4
a
1 3
b
3 4
a
2
1 3
2
b
9 16
a2
1 9
b2 .
(4)
a2
1 2
b2
a2
1 2
b2
a2
2
1 2
b2
2
a4
1 4
b4 .
2 解下列方程：
(1)4x 2＋x－(2x－3)(2x＋3)＝1 ； (2)2(x＋3)(3－x )＋2x＋2x 2＝20. 解：(1)4x 2＋x－(2x－3)(2x＋3)＝1，
(2)你发现了什么规律？请用含有字母的式子表示出来.
解：(2)(2n－1)(2n＋1)＝4n 2－1(n 为正整数)．
4 运用平方差公式计算：(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1).
解：(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1) ＝(22－1)(22＋1)(24＋1) ＝(24－1)(24＋1) ＝28－1 ＝256－1 ＝255.
所以a 2－b 2＝(a－b)(a＋b)＝2×16＝32.
5 已知2a 2＋3a－6＝0，求式子3a (2a＋1)－(2a＋1)(2a－1)的值．
解：原式＝6a 2＋3a－4a 2＋1＝2a 2＋3a＋1， 因为2a 2＋3a－6＝0，所以2a 2＋3a＝6.
所以原式＝7.
6 探究活动： (1)如图①，可以求出阴影
(2)395×405.
解：(1)998×1 002＝(1 000－2)×(1 000＋2)＝1 0002－22
七年级数学下册第2章整式的乘法2.2乘法公式教学课件新版湘教版
3.计算： （1）202×198；
（2）49.8×50.2.
答案：（1）39996；（2）2499.96.
我思 我进步
通过本节课，你有什么收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴 交流。
2.2.2 完全平方公式
思考
计算下列各式，你能发现什么规律： ( a+1 )2=( a+1 )( a+1 )=a2+a+a+12=a2+2·a·1+12， ( a+2 )2=( a+2 )( a+2 )=a2+2a+2a+22=a2+2·a·2+22， ( a+3 )2=( a+3 )( a+3 )=a2+3a+3a+32=a2+2·a·3+32， ( a+4 )2=( a+4 )( a+4 )=a2+4a+4a+42=a2+2·a·4+42. 我们用多项式乘法来推导一般情况： ( a+b )2=( a+b )=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2.
（2）1982.
解：（1）1042=( 100+4 )2 （2）1982=( 200-2 )2
= 1002+2×100×4+42
= 2002-2×200×2+22
= 10000+800+16
= 40000-800+16
= 10816.
= 39204.
练习
1.运用完全平方公式计算： （1）( -2a+3 )2； （3）( -x2-4y )2；
数学解析初中代数中常见的乘法公式及应用
数学解析初中代数中常见的乘法公式及应用乘法在初中代数中是一个常见的运算方式，通过掌握乘法公式和灵活运用，可以更好地解决数学问题。
在本文中，我们将介绍一些常见的乘法公式以及它们的应用。
一、基础乘法公式1. 同底数乘法公式当两个数的底数相等时，指数相加。
例如：aⁿ * aᵐ= a^(ⁿ+ᵐ)2. 平方乘法公式任何数的平方都可以表示为底数相同，指数为2的形式。
例如：(a * b)² = a² * b²3. 一次多项式的乘法公式两个一次多项式相乘的结果可以用分配律展开。
例如：(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd二、常见的乘法公式应用1. 多项式的乘法在解决多项式相乘的问题中，可以运用分配律进行展开，并根据指数相加的规则进行合并。
例如：(2x + 3)(x + 5) = 2x * x + 2x * 5 + 3 * x + 3 * 5 = 2x² + 10x + 3x + 15 = 2x² + 13x + 152. 平方差公式平方差公式可以帮助我们快速求解两个数的平方差的形式。
例如：(a + b)(a - b) = a² - b²3. 立方差公式立方差公式可以帮助我们快速求解两个数的立方差的形式。
例如：(a + b)(a² - ab + b²) = a³ + b³4. 特殊乘法公式有一些特殊的乘法公式，经常出现在代数问题中，例如：- (a + b)² = a² + 2ab + b²- (a - b)² = a² - 2ab + b²- a² - b² = (a + b)(a - b)- a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)这些特殊乘法公式在解答问题时非常有用，通过熟练掌握可以提高解题速度和准确性。
11.2 乘法公式(第1课时 平方差公式)(课件)-七年级数学上册(沪教版2024)
；比较图①，图②阴影部分的面积，可以
得到乘法公式 ( a ＋ b )( a － b )＝ a2－ b2
课堂小结
5 −3 − 2 3 − 2
6 − 2 + 2 + 2 − 2 +
=（-2x-3 ）（-2x+3）
=x²-（2y）²+（2x）²-y²
=（-2x）²-3²
= x²-4y ²+4x²-y²
=4x²-9
=5x²-5 y²
分层练习-基础
1. 下列各式能用平方差公式计算的是( B
= 42 − 92 .
课本例题
例2
计算：
（1） − + 1 − − 1 ;
解（1）（ − + 1 − − 1
= − 2 − 12
= 2 − 1.
2 2 − 3 −2 − 3
2 2 − 3 −2 − 3
= −3 + 2 −3 − 2
=
( − 3)
2
− ( 2)
1. 计算：
（1） 2 + 5 2 − 5 ;
解： 1 2 + 5 2 − 5
= 2 ²- 5²
=4²-25
1 2 1
+
2
3
3
3
1 2 1
+
2
3
1
2
1 4
1
−
4
9
1 2 1
−
;
2
3
1 2 1
−
2
3
1
3
= （ 2 ）²−（ ）²
=
2 1 − 2 1 + 2
七年级数学下册《乘法公式的综合运用》教案、教学设计
5.教师及时批改作业，了解学生的学习情况，为下一步教学提供依据。
d.总结：引导学生总结乘法公式的特点、应用规律和注意事项。
e.作业：布置适量的课后作业，巩固所学知识。
4.教学评价：
a.过程性评价：关注学生在课堂上的参与程度、思考问题和解决问题的能力。
b.终结性评价：通过课后作业和阶段测试，评价学生对乘法公式的掌握程度。
c.个性化评价：针对学生的个体差异，给予有针对性的指导和鼓励。
2.完全平方公式：继续采用具体数字，让学生观察并归纳出完全平方公式：a² + 2ab + b² = (a + b)²。同时，引导学生了解完全平方公式的变式，如a² - 2ab + b² = (a - b)²。
3.公式的推导与应用：通过几何图形、实际例题等方式，讲解乘法公式的推导过程和应用方法，让学生理解乘法公式的实际意义。
2.情境导入：展示一个与学生生活相关的实际问题，如计算一个正方形与一个长方形的面积差，引发学生思考如何简化计算过程，从而引出乘法公式的学习。
（二）讲授新知
1.平方差公式：以具体的数字为例，引导学生观察并发现两个数的平方差与这两个数的和与差之间的关系。通过实际计算，总结出平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b)。
七年级数学下册《乘法公式的综合运用》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握乘法公式的综合运用，包括平方差公式、完全平方公式以及它们的变式。
2.培养学生运用乘法公式进行简便计算的能力，提高运算速度和准确性。
3.通过对乘法公式的运用，使学生能够解决一些实际问题，如面积计算、速度问题等。
2024北师大版数学七年级下册1.6.3《乘法公式综合运用》教案3
2024北师大版数学七年级下册1.6.3《乘法公式综合运用》教案3一. 教材分析《乘法公式综合运用》是北师大版数学七年级下册1.6.3的教学内容。
这部分内容是在学生掌握了平方差公式、完全平方公式等乘法公式的基础上进行学习的。
通过这部分的学习，学生能够灵活运用乘法公式解决实际问题，提高他们的解决问题的能力。
二. 学情分析面对七年级的学生，他们在之前的学习中已经掌握了平方差公式、完全平方公式等乘法公式。
但是，他们在运用这些公式解决实际问题时，往往会存在理解不深、运用不灵活的情况。
因此，在教学这部分内容时，需要引导学生深入理解乘法公式的内涵，提高他们解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握乘法公式的运用方法，能够灵活解决实际问题。
2.过程与方法：通过自主学习、合作交流，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们积极思考、勇于探索的精神。
四. 教学重难点1.重点：乘法公式的运用。
2.难点：灵活运用乘法公式解决实际问题。
五. 教学方法采用自主学习、合作交流、教师引导相结合的教学方法，让学生在探究中掌握知识，提高解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的乘法公式的资料，以便在教学中进行查阅。
2.准备一些实际问题，让学生进行练习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问的方式，引导学生回顾之前学过的平方差公式、完全平方公式等乘法公式，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过展示一些实际问题，让学生尝试运用乘法公式进行解决。
学生在解决问题的过程中，教师给予适当的引导和提示。
3.操练（10分钟）学生分组进行练习，教师给出一些运用乘法公式的问题，学生通过合作交流，共同解决问题。
4.巩固（5分钟）教师挑选一些学生解决的实际问题，让学生上台进行讲解，以此巩固乘法公式的运用。
5.拓展（5分钟）教师提出一些拓展问题，引导学生深入思考，提高他们解决问题的能力。
七年级数学整式复习乘法公式因式分解
乘法公式是数学中非常重要的一部分，也是解决数学问题的基本工具之一、因此，在七年级数学整式的学习中，乘法公式的掌握是非常关键的。
乘法公式的基本形式是：$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$。
其中，$a$、$b$、$c$、$d$都可以是任意的数。
乘法公式的运用可以简化复杂的乘法运算，提高计算速度。
让我们通过以下例子来了解一下乘法公式的应用。
例1：计算$(x+2)(x+3)$。
根据乘法公式，$(x+2)(x+3)=x(x+3)+2(x+3)$。
再继续展开计算，得到$(x+2)(x+3)=x^2+3x+2x+6$。
最后，合并同类项，化简结果为$(x+2)(x+3)=x^2+5x+6$。
类似地，在应用乘法公式时，可以根据具体的题目要求，灵活变形和计算，以得到最简化的结果。
在这里，我们还需要介绍一下因式分解。
因式分解是将代数式按照乘法公式的逆运算进行分解，将复杂的代数式简化为简单的因式乘积的过程。
因式分解的目的是将代数式写成若干个乘法因式相乘的形式。
这样可以简化运算，使问题更易于解决。
接下来，我们通过以下例子来了解一下因式分解的方法。
例2：分解$x^2+5x+6$。
对于这个代数式，我们需要找到两个因式，使得它们的乘积等于$x^2+5x+6$。
根据题目的要求，我们很容易发现$x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$。
因此，$x^2+5x+6$可以分解为$(x+2)(x+3)$。
通过这个例子，我们可以看到，因式分解需要运用乘法公式的逆运算，将复杂的代数式拆解为简单的因式相乘。
因式分解也可以用于解决实际问题。
当我们遇到一些实际问题时，往往需要将问题转化为数学表达式，然后通过因式分解简化计算。
接下来，我们通过一个实际问题来解释一下这个过程。
例3：公司购买了一批文具，共计300支。
其中，铅笔每支售价2元，圆珠笔每支售价4元。
如果该公司总共收入880元，那么圆珠笔和铅笔的数量各是多少？设圆珠笔的数量为$x$，铅笔的数量为$300-x$。
七年级数学下册乘法公式6种解题方法
七年级数学下册乘法公式6种解题方法一、对号a、b，正确运用【例题】计算(-2+3x)(-2-3x)．【分析】两个因式中的-2完全相同，而3x与-3x互为相反数，因而可运用平方差公式计算，-2是公式中的a，3x是公式中的b．解：原式=(-2)2-(3x)2=4-9x2．二、适当变形，灵活运用【例题】计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)．【分析】两个因式中2x和5完全相同，而y和z的符号分别相反，故可适当分组，再用平方差公式计算．解：原式=〔(2x+5)+(y-z)〕·〔(2x+5)-(y-z)〕=(2x+5)2-(y-z)2=4x2+20x+25-y2+2yz-z2．三、分析情况，合理选用【例题】计算(2a+1)(2a-1)(4a2-2a+1)(4a2+2a+1)．【分析】前两个因式与后两个因式可分别运用平方差公式计算它们的积，但若先利用乘法交换律与结合律巧妙结合，就可以用立方和、立方差公式简算．解：原式=〔(2a+1)(4a2-2a+1)〕〔(2a-1)(4a2+2a+1)〕=(8a3+1)(8a3-1)=64a6-1四、创造条件，巧妙应用【例题】计算(5a+3b-2c)(5a-3b+6c)．【分析】从表面上看本题不能使用乘法公式．但注意到两个因式中有一项完全相同，另一项互为相反数，又因-2c=2c-4c,6c=2c+4c，故可先拆项，后仿例2计算．解：原式=(5a+3b+2c-4c)(5a-3b+2c+4c)=〔(5a+2c)+(3b-4c)〕·〔(5a+2c)-(3b-4c)〕=(5a+2c)2-(3b-4c)2=25a2+20ac+4c2-9b2+24bc-16c2=25a2-9b2-12c2+20ac+24bc．五、避繁就简，逆向运用【例题】计算(x+y)2-2(x+y)(x-y)+(x-y)2【分析】若先平方展开后再计算，比较复杂，但把(x+y)看作a，(x-y)看作b，可逆用完全平方公式，迅速得出结果．解：原式=〔(x+y)-(x-y)〕2=4y2．六、明确联系，综合运用乘法公式的主要变式有：①a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab；②(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)；③(a+b)2-(a-b)2=4ab；④a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．熟悉这些变形公式，明确它们间联系，综合运用，常可简化解题过程．【例题】已知：a+b=5，ab=2，求：(a-b)2的值．解：由完全平方公式得(a+b)2-(a-b)2=4ab，则(a-b)2=(a+b)2-4ab．∵a+b=5，ab=2∴(a-b)2=52-4×2=17。
七年级数学上册专题知识讲义-乘法公式、整式的除法(附练习及答案)
乘法公式、整式的除法【考向解读】一、考点突破本讲考点主要包括：平方差公式、完全平方公式，同底数幂的除法、单项式除以单项式、多项式除以单项式。
通过多项式的乘法运算得到乘法公式，再运用公式计算多项式的乘法，培养从一般到特殊，再从特殊到一般的思维能力；通过乘法公式的几何背景，培养运用数形结合思想和整体思想解决问题的能力。
平方差公式是中考命题中比较重要的考点之一，单独命题的题型多为填空题,选择题和简单的计算题，这一知识点也常融入其他知识命题;完全平方公式在中考中占有重要地位，它在数的运算，代数式的化简，方程,函数等方面都有极其广泛的应用。
整式的除法在中考中出现的频率比较高,题型多见选择题与填空题,有时也会出现化简求值题，因此运算必须熟练。
二、重点、难点提示重点：平方差公式、完全平方公式，整式的除法及零指数幂的运算。
难点：乘法公式中字母的广泛含义及整式除法法则的应用。
【重点点拨】知识脉络图【典例精析】能力提升类例1 计算：（1）（－2a－b）（b－2a）；（2）（2x＋y－z）2．一点通：第（1）题中的b－2a＝－2a＋b，把－2a看成平方差公式中的“a”即可；第（2）题有多种解法，可把2x看成完全平方公式中的“a”，把y－z看成公式中的“b”，也可把2x＋y看成公式中“a”，把z看成公式中的“b”。
答案：（1）（－2a－b）（b－2a）＝（－2a－b）（－2a＋b）＝（－2a）2－b2＝4a2－b2；（2）（2x＋y－z）2＝[（2x＋y）－z]2＝（2x＋y）2－2z（2x＋y）＋z2＝4x2＋4xy＋y2－4xz －2yz ＋z 2．点评：这两题都可以运用乘法公式计算，第（1）题先变形，再用平方差公式；第（2）题把三项和看成两项和，两次运用完全平方公式。
例2 计算：（1）[（－3xy ）2·x 3－2x 2·（3xy 2）3·12y ]÷（9x 4y 2）；（2）[（x ＋2y ）（x －2y ）＋4（x －y ）2]÷（6x ）．一点通：本题是整式的混合运算，解题时要注意运算顺序，先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里的。
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乘法公式的应用与拓展
【基础知识概述】
一、 基本公式：平方差公式：(a +b )(a －b )=a 2—b 2
完全平方公式：(a +b )2=a 2+2ab +b 2
(a －b )2=a 2－2ab +b 2
变形公式：（1）()2222a b a b ab +=+-
（2）()2222a b a b ab +=-+
（3） ()()222222a b a b a b ++-=+
（4） ()()224a b a b ab +--=
二、思想方法：
① a 、b 可以是数，可以是某个式子；
② 要有整体观念，即把某一个式子看成a 或b ，再用公式。
③ 注意公式的逆用。
④ 2a ≥0。
⑤ 用公式的变形形式。
三、基础练习：
1.填空：
(1)平方差公式(a +b )(a －b )= ；
(2)完全平方公式(a +b )2= ，(a －b )2= .
2.运用公式计算：
(1) (2x －3)2 (2) (－2x +3y )(－2x －3y ) (3) (1
2m －3)(1
2m +3)
(4) (13x +6y )2 3.判断正误：对的画“√”，错的画“×”.
(1)(a +b )2=a 2+b 2； （ ） (2)(a －b )2=a 2－b 2； （ ）
(3)(a +b )2=(－a －b )2； （ ） (4)(a －b )2=(b －a )2. （ ）
6.运用乘法公式计算：
(1) (a +2b －1)2 (2) )132)(132(++--y x y x
四、典型问题分析：
1、顺用公式：计算下列各题：
① ()()()()()224488a b a b a b a b a b -++++
求：（）（）的值。
112122
44x x x x
+
+② 3(22+1)(24+1)(28+1)(162+1)+1
2、逆用公式： ①1949²－1950²+1951²－1952²+……+2011²－2012²
②⎪⎭⎫ ⎝⎛-2211⎪⎭⎫ ⎝⎛-2311⎪⎭⎫ ⎝⎛-2411……⎪⎭
⎫ ⎝⎛-2201011
③ 1.2345²+0.7655²+2.469×0.7655
【变式练习】
填空题：① 26a a ++＿＿= 2__a ⎛⎫ ⎪⎝⎭+
②241x ++＿＿=（ 2)
○
3x 2+ax +121是一个完全平方式，则a 为（ ） A ．22 B ．－22 C ．±22 D ．0
3、配方法：已知：x ²+y ²+4x －2y +5=0，求x +y 的值。
【变式练习】
①已知x ²+y ²－6x －2y +10=0，求11x y
+的值。
②已知：x ²+y ²+z ²－2x +4y －6z +14=0，求：x +y +z 的值。
（天津市竞赛）
4、变形用公式：. 若()()()2
40x z x y y z ----=，试探求x z +与y 的关系。
拓展练习：1、已知：x 2+y 2+4x －6y +13=0，x 、y 均为有理数，求x y 的值。
2. 已知：x 2+3x +1=0。
3. 已知x ，y ，z 满足条件 x y z xy yz zx ++=++=-⎧⎨⎩310
求：x 2+y 2+z 2
4、已知a 2－3a ＋1＝0．求a a 1+、221a a +和21⎪⎭⎫ ⎝
⎛-a a 的值；
5、已知.,,052422b a b a b a 求=+-++的值。
6、已知5
1,1=
=+xy y x ，求：（1）;22xy y x +（2）)1)(1(22++y x
7、已知()72=+b a ，()42=b a —，求22b a +和ab 的值．。