实数的概念与性质 初中数学培优专题汇编
初中实数性质知识点总结
初中实数性质知识点总结一、实数的基本性质1. 实数的定义：实数是有理数和无理数的统称。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，无理数是不能表示为有理数的数。
2. 实数的分类：实数可以分为有理数和无理数两类。
有理数包括整数、分数以及可以表示为分数的小数，无理数包括无穷不循环小数和无穷循环小数。
3. 实数的有序性：实数集合中的任意两个数都可以进行大小比较，即两个实数之间存在大小关系，这就是实数的有序性。
4. 实数的稠密性：实数集合中任意两个不相等的实数之间一定存在一个实数，这就是实数的稠密性。
5. 实数的无后继性和无穷性：任意一个实数都有比它大的实数，实数集合是无穷的。
6. 实数的运算封闭性：实数集合中任意两个实数进行加、减、乘、除运算的结果仍然是一个实数。
7. 实数的运算性质：实数集合中的运算满足交换律、结合律、分配律等。
二、实数的代数性质1. 实数的加法性质：（1）交换律：对于任意实数a和b，有a+b=b+a；（2）结合律：对于任意实数a、b和c，有(a+b)+c=a+(b+c)；（3）加法单位元：对于任意实数a，有a+0=a；（4）加法逆元：对于任意实数a，有a+(-a)=0。
2. 实数的减法性质：减法可以看成加上一个数的相反数，所以减法的性质和加法的性质相同。
3. 实数的乘法性质：（1）交换律：对于任意实数a和b，有a×b=b×a；（2）结合律：对于任意实数a、b和c，有(a×b)×c=a×(b×c)；（3）乘法单位元：对于任意实数a，有a×1=a；（4）乘法逆元：对于任意非零实数a，有a×(1/a)=1。
4. 实数的除法性质：（1）除法分配律：对于任意实数a、b和c，有a÷(b+c)=a÷b+a÷c；（2）除法与乘法结合：对于任意实数a、b和c，有a÷(b×c)=a÷b÷c。
九年级数学知识点归纳总结实数
九年级数学知识点归纳总结实数在九年级数学学习中，实数是一个非常重要的知识点。
实数是数学中的基本概念，对于理解和应用其他数学知识都起到了至关重要的作用。
本文将对九年级数学中与实数相关的知识进行归纳总结，帮助同学们更好地理解和掌握实数的性质和运算规则。
一、实数的基本性质实数是包含有理数和无理数的数集。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，可以是整数、分数或有限小数，而无理数则是不能表示为有理数的数。
实数具有以下几个基本性质：1. 实数可以按照大小进行比较。
对于任意两个实数a和b，有且只有以下三种情况之一：a>b，a=b或者a<b。
2. 实数具有传递性，即如果a>b，b>c，那么a>c。
3. 实数满足加法和乘法的封闭性，即两个实数的和或积仍然是一个实数。
二、实数的运算规则实数的运算规则包括加法、减法、乘法和除法。
以下是实数运算的几个重要规则：1. 加法和乘法满足交换律和结合律。
即对于任意实数a、b和c，有a+b=b+a，a*b=b*a，(a+b)+c=a+(b+c)和(a*b)*c=a*(b*c)。
2. 加法和乘法满足分配律。
即对于任意实数a、b和c，有a*(b+c)=a*b+a*c。
3. 减法可以视为加法的逆运算。
即a-b=a+(-b)，其中- b表示b的相反数。
4. 除法可以视为乘法的逆运算。
即a÷b=a*(1/b)，其中1/b表示b的倒数，即 b的倒数是 1/b。
三、实数的分类实数可以进一步分类为有理数和无理数。
有理数包含整数、分数和有限小数，可以写成一个分数的形式。
而无理数则包含所有不能写成分数形式的实数，它们的小数部分是无限不循环的。
四、实数的近似表示由于无理数的小数部分是无限不循环的，无法精确表示出来，因此我们通常使用近似值来表示无理数。
对于根号2这样的无理数，我们可以使用2的近似值1.414来表示。
五、实数的应用实数在数学以及其他学科中有着广泛的应用。
九年级实数知识点归纳整理
九年级实数知识点归纳整理实数是数学中的一种数的集合，包括整数、有理数和无理数。
在九年级的数学学习中，实数是一个重要的概念。
本文将对九年级实数知识点进行归纳整理，以帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。
一、整数整数是正整数、0和负整数的集合，用符号“Z”表示，如：-3，-2，-1，0，1，2，3等。
对于整数，有以下几个重要的概念和性质：1.1 相反数对于任意的整数a，都存在一个整数-b，使得a + (-b) = 0，称-b为a的相反数，-a也是a的相反数。
1.2 绝对值对于任意的整数a，a的绝对值表示a与0之间的距离，用符号“|a|”表示。
当a大于等于0时，|a|等于a；当a小于0时，|a|等于-a。
1.3 整数的四则运算整数之间可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
在运算过程中，需要注意正负数之间的运算规则以及除法运算中的余数等问题。
二、有理数有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数和分数，用符号“Q”表示。
有理数的性质如下：2.1 分数分数是有理数的一种常见形式，由分子和分母组成，分母不能为0。
分数可以化简为最简形式，也可以相互比较大小。
2.2 有理数的四则运算有理数之间可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
运算过程中需要注意有理数的相同/不同符号与大小关系，以及除法运算中的约分和倒数等问题。
三、无理数无理数是无法表示为两个整数的比值的数，其中最著名的无理数是π和开方号2。
无理数的性质如下：3.1 无理数的近似值由于无理数无法精确表示，因此可以使用无理数的近似值进行计算。
一般情况下，可以保留小数点后一定位数的近似值。
3.2 无理数与有理数的关系无理数与有理数可以通过对无理数进行逼近来进行简单的运算。
有理数的运算结果可能是无理数，而两个无理数的算术运算结果通常还是无理数。
四、实数的数轴表示实数可以通过数轴来进行图示表示，数轴上任意一点对应着一个实数。
整数和有理数可以准确地在数轴上表示，而无理数只能进行近似表示。
实数知识点及例题
实数知识点及例题一、实数的概念实数是有理数和无理数的总称。
有理数包括整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）；无理数是无限不循环小数。
例如，π（圆周率）、根号 2 等都是无理数。
而像 3、－5、025 等则是有理数。
二、实数的分类1、按定义分类：有理数：整数和分数。
无理数：无限不循环小数。
2、按性质分类：正实数：大于 0 的实数，包括正有理数和正无理数。
负实数：小于 0 的实数，包括负有理数和负无理数。
三、实数的基本性质1、实数的有序性：任意两个实数 a 和 b，必定有 a ＞ b、a ＝ b 或a ＜b 三种关系之一成立。
2、实数的稠密性：两个不相等的实数之间总有另一个实数存在。
3、实数的四则运算：实数的加、减、乘、除（除数不为 0）运算满足相应的运算律。
四、数轴数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。
实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
例如，在数轴上表示 2 的点在原点右侧距离原点 2 个单位长度。
五、绝对值实数 a 的绝对值记作｜a|，定义为：当a ≥ 0 时，｜a| ＝ a；当 a ＜ 0 时，｜a| ＝ a。
绝对值的性质：1、｜a| ≥ 0，即绝对值是非负的。
2、若｜a| ＝｜b|，则 a ＝ ±b。
例如，｜3| ＝ 3，｜－5| ＝ 5。
六、相反数实数 a 的相反数是 a，它们的和为 0，即 a ＋（a) ＝ 0。
例如，5 的相反数是－5，它们的和为 0。
若两个实数的乘积为 1，则这两个数互为倒数。
非零实数 a 的倒数是 1/a。
例如，2 的倒数是 1/2，－3 的倒数是－1/3。
八、实数的运算1、加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
2、减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
3、乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
七年级数学下册第六单元《实数》经典练习(课后培优)
一、选择题1．有下列四种说法：①数轴上有无数多个表示无理数的点；②带根号的数不一定是无理数；③平方根等于它本身的数为0和1；④没有最大的正整数，但有最小的正整数；其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4C 解析：C【分析】根据实数的定义，实数与数轴上的点一一对应，平方根的定义可得答案．【详解】①数轴上有无数多个表示无理数的点是正确的；②2=；③平方根等于它本身的数只有0，故本小题是错误的；④没有最大的正整数，但有最小的正整数，是正确的．综上，正确的个数有3个，故选：C ．【点睛】本题主要考查了实数的有关概念，正确把握相关定义是解题关键．2．有下列说法：①在1和2②实数与数轴上的点一一对应；③两个无理数的积一定是无理数；④2π是分数．其中正确的为（ ） A ．①②③④B ．①②④C ．②④D ．②D解析：D【分析】根据无理数的定义与运算、实数与数轴逐个判断即可得．【详解】①在1和2之间的无理数有无限个，此说法错误；②实数与数轴上的点一一对应，此说法正确；③两个无理数的积不一定是无理数，如2=-，此说法错误； ④2π是无理数，不是分数，此说法错误； 综上，说法正确的为②，故选：D ．【点睛】 本题考查了无理数的定义与运算、实数与数轴，熟练掌握运算法则和定义是解题关键．3．下列各数中，无理数有（ ）3.14125127，0.321，π，2.32232223（相邻两个3之间的2的个数逐次增加1）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个D解析：D【分析】 直接根据无理数的定义直接判断得出即可．【详解】π，2.32232223共3个．故选D ．【点睛】本题考查了无理数的定义，正确把握无理数的定义：无限不循环小数是无理数进而得出是解题关键．4．下列命题中，①81的平方根是9；±2；③−0.003没有立方根；④−64的立方根为±4； ）A ．1B ．2C ．3D ．4A 解析：A【分析】根据平方根的定义对①②进行判断；根据立方根的定义对③④进行判断；根据命题的定义对⑤进行判断．【详解】解：81的平方根是±9，所以①错误；±2，所以②正确；-0.003有立方根，所以③错误；−64的立方根为-4，所以④错误；⑤正错误．故选：A ．【点睛】本题考查了立方根和平方根的应用，主要考查学生的辨析能力，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．5．若a =b =-，c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．c b a >> D解析：D【分析】 根据乘方运算，可得平方根、立方根，根据绝对值，可得绝对值表示的数，根据正数大于负数，可得答案．【详解】解：∵3a ==-，b =，()22c ==--=，∴c b a >>，故选：D ．【点睛】本题考查了实数比较大小，先化简，再比较，解题的关键是掌握乘方运算，绝对值的化简．6．对任意两个正实数a ，b ，定义新运算a ★b 为：若a b ≥，则a ★a b b ；若a b <，则a ★b b a．则下列说法中正确的有（ ） ①=a b b a ★★；②()()1a b b a =★★；③a ★b 12a b +<★ A ．①B ．②C ．①②D ．①②③A 解析：A【分析】 ①根据新运算a b ★的运算方法，分类讨论：a b ≥，a b <，判断出a b ★是否等于b a ★即可；②由①，推得=a b b a ★★，所以()()1a b b a =★★不一定成立；③应用放缩法，判断出1a b a b+★★与2的关系即可． 【详解】解：①a b ≥时， a a bb ★， b a a b ★， ∴=a b b a ★★；a b <时， a b ba ★，b b a a★， ∴=a b b a ★★；∴①符合题意．②由①，可得：=a b b a ★★，当a b ≥时，∴()()()()22a b b a a b a a a a b b b b a b ====★★★★， ∴()()a b b a ★★不一定等于1，当a b <时，∴()()()()22a b b a a b bb b b aa a aa b ====★★★★， ∴()()a b b a ★★不一定等于1，∴()()1a b b a =★★不一定成立，∴②不符合题意．③当a b ≥时，0a >，0b >， ∴1a b≥， ∴()1122a b ab a a b ab ab ab ab a b a b b b a b a ab ab a b+⨯+=+=+=+=≥≥★★， 当a b <时，∴()1122a b ab b b a ab ab ab ab a b a b a a b a b ab ab b a+⨯+=+=+=+=≥≥★★， ∴12a b a b +<★★不成立， ∴③不符合题意，∴说法中正确的有1个：①．故选：A ．【点评】此题主要考查了定义新运算，以及实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．7．数轴上表示下列各数的点，能落在A ，B 两个点之间的是（ ）A ．3B 7C D解析：B【分析】首先确定A，B对应的数，再分别估算四个选项的数值进行判断即可．【详解】解：由数轴得，A点对应的数是1，B点对应的数是3，A.-2＜＜-1，不符合题意；B.2＜3，符合题意；C、34，不符合题意；D. 34，不符合题意；故选：B【点睛】本题主要考查了对无理数的估算．8．8）A．4 B．5 C．6 D．7B解析：B【分析】<<，进而得出答案．直接利用估算无理数的大小的方法得出23【详解】<<，解：459<<，<<23∴-<<-，83882586∴<，∴5．8故选：B．【点睛】9）A．8B．8-C．D．± D 解析：D【分析】=，再根据平方根的定义，即可解答．8【详解】=，8的平方根是±8故选：D．【点睛】=．本题考查了平方根，解决本题的关键是先化简64810．若将2-，7，11分别表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是（）A．2-B．7C．11D．无法确定B解析：B【分析】首先利用估算的方法分别得到2-，7，11前后的整数（即它们分别在那两个整数之间），从而可判断出被覆盖的数．【详解】∵221，273<<，3114<<而墨迹覆盖的范围是1-3∴能被墨迹覆盖的数是7故选B.【点睛】本题考查了实数与数轴的对应关系，以及估算无理数大小的能力．二、填空题11．如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一个长方形纸板的面积为162平方厘米．（提示：182＝324）（1）求正方形纸板的边长；（2）若将该正方形纸板进行裁剪，然后拼成一个体积为343立方厘米的正方体，求剩余的正方形纸板的面积．（1）正方形纸板的边长为18厘米；（2）剩余的正方形纸板的面积为30平方厘米【分析】（1）根据正方形的面积公式进行解答；（2）由正方体的体积公式求得正方体的边长然后由正方形的面积公式进行解答【详解】解析：（1）正方形纸板的边长为18厘米；（2）剩余的正方形纸板的面积为30平方厘米【分析】（1）根据正方形的面积公式进行解答；（2）由正方体的体积公式求得正方体的边长，然后由正方形的面积公式进行解答．【详解】解：（1=18（cm ），答：正方形纸板的边长为18厘米；（2=7（cm ），则剪切纸板的面积＝7×7×6＝294（cm 2），剩余纸板的面积＝324﹣294＝30（cm 2）答：剩余的正方形纸板的面积为30平方厘米．【点睛】本题考查了立方根，算术平方根，解题的关键是熟悉正方形的面积公式和立方体的体积公式，属于基础题．12．求下列x 的值．（1） 27x 3＝－8 （2） （3x －1）2＝9（1）x ＝；（2）x ＝或x ＝【分析】（1）利用立方根的定义求解；（2）利用平方根的定义求解【详解】（1）解：；（2）解：或或【点睛】本题考查解方程熟练掌握立方根平方根的定义是关键解析：（1）x ＝23-；（2）x ＝43或x ＝23- 【分析】（1）利用立方根的定义求解；（2）利用平方根的定义求解．【详解】（1）解：3827x =， 23x =； （2）解：313x -=±，34x =或32x =-，43x =或23x =-． 【点睛】本题考查解方程，熟练掌握立方根、平方根的定义是关键．13．求满足条件的x 值：（1）()23112x -=（2）235x -=（1）；（2）【分析】（1）方程两边同除以3再运用直接开平方法求解即可；（2）方程移项后再运用直接开平方法求解即可【详解】解：（1）解得；（2）∴∴【点睛】本题考查了平方根的应用解决本题的关键是熟记解析：（1）13x =，21x =-；（2）1x =2x =-【分析】（1）方程两边同除以3，再运用直接开平方法求解即可；（2）方程移项后，再运用直接开平方法求解即可．【详解】解：（1）()23112x -= ()214x -=12x -=±解得，13x =，21x =-；（2）235x -=28x = ∴x =±∴1x =2x =-【点睛】本题考查了平方根的应用，解决本题的关键是熟记平方根的定义．14．计算：（1）225--(2)1+（１）－４；（２）１【分析】（1）根据乘方开方绝对值的意义化简再计算即可；（2）先根据绝对值的意义脱去绝对值再计算即可求解【详解】解：（1）＝－４＋６－１－５＝－４；(2)＝－１＋２＝１【点睛】本题解析：（１）－４；（２）１．【分析】（1）根据乘方、开方、绝对值的意义化简，再计算即可；（2）先根据绝对值的意义脱去绝对值，再计算即可求解．【详解】解：（1）225--＝－４＋６－１－５＝－４；(2)1)1=++1=+1=-+＝－１＋２＝１．【点睛】本题考查了实数的性质与运算，熟知实数的运算法则和性质是解题关键．15．1=，31a b +-的平方根是±2，C 的整数部分，求-+b a c 的平方根．±3【分析】结合平方根的定义以及估算无理数大小的方法得出abc 的值进而得出答案【详解】解：：由题意得：2a−1=1解得：a=13a+b−1=4解得：b=2因为＜＜所以c=8所以b ﹣a ＋c ＝2﹣1＋8解析：±3【分析】结合平方根的定义以及估算无理数大小的方法得出a ，b ，c 的值，进而得出答案．【详解】解：：由题意，得： 2a−1=1，解得：a=1，3a+b−1=4，解得：b=2，c=8，所以b ﹣a ＋c ＝2﹣1＋8＝9∴9的平方根是±3故答案为：±3【点睛】本题考查了算术平方根的意义，平方根的意义，无理数的估算，熟练掌握算术平方根的意义、平方根的意义、夹逼法估算无理数的值是解答本题的关键．16．把下列各数填在相应的横线上1.4，2020，，32-，0.31，0π-，1.3030030003…（每相邻两个3之间0的个数依次加1）（1）整数：______（2）分数：______（3）无理数：______（1）20200；（2）14；（3）130********…（每相邻两个3之间0的个数依次加1）【分析】根据实数的分类进行填空即可【详解】解：=-2（1）整数：20200（2）分数：14（3）无理数解析：（1）2020，02）1.4，32-，0.31；（3），π-，1.3030030003…（每相邻两个3之间0的个数依次加1）【分析】根据实数的分类进行填空即可．【详解】，（1）整数：2020，0（2）分数：1.4，32-，0.31（3）无理数：π-，1.3030030003…（每相邻两个3之间0的个数依次加1）故答案为：2020，0，38-；1.4，32-，0.31；2-，π-，1.3030030003…（每相邻两个3之间0的个数依次加1）【点睛】 本题考查了实数的分类，掌握实数的分类是解题的关键．17．将1、2、3、6按如图方式排列．若规定（m ，n ）表示第m 排从左向右第n 个数，则（15，7）表示的数是____．【分析】所给的一系列数是4个数一循环（157）表示第15排从左往右数的第7个数根据奇数排最中间数的规律可得出最终结果【详解】（157）表示第15排从左往右数的第7个数由图可得：1四个数一循环并且每个6【分析】所给的一系列数是4个数一循环，（15，7）表示第15排从左往右数的第7个数，根据奇数排最中间数的规律可得出最终结果．【详解】（15，7）表示第15排从左往右数的第7个数， 由图可得：1236四个数一循环，并且每个奇数排最中间的一个数为1， 15为奇数排，最中间的数为这一排的第8个数，故可知，第76，则（15，76．6．【点睛】本题主要考查规律探索的数字变化类，还有实数，弄清题中的规律是解题的关键． 18．3331.5115.10.1510.5325===31510的值是______________________．【分析】根据立方根的性质即可求解【详解】已知故答案为:【点睛】此题主要考查立方根的求解解题的关键是熟知实数的性质变形求解解析：11.47【分析】根据立方根的性质即可求解．【详解】1.147=，1.1471011.47===⨯=故答案为: 11.47．【点睛】此题主要考查立方根的求解，解题的关键是熟知实数的性质变形求解．19．（12； （2）求 (x －1)2－36＝0中x 的值．（1）；（2）x 的值为7或﹣5【分析】（1）分别进行算术平方根运算立方根运算算术平方根的定义即可解答；（2）利用平方根解方程的方法求解即可【详解】解：（1）=4﹣﹣3=1﹣=；（2）(x －1)2－3解析：（1）12；（2）x 的值为7或﹣5 【分析】（1）分别进行算术平方根运算、立方根运算、算术平方根的定义即可解答；（2）利用平方根解方程的方法求解即可．【详解】解：（12 =4﹣12﹣3 =1﹣12 =12； （2）(x －1)2－36＝0，移项得：(x －1)2=36，开平方得：x －1＝±6，解得：x 1=7，x 2=﹣5，即(x －1)2－36＝0中的x 值为7或﹣5．【点睛】本题考查算术平方根、立方根、利用平方根解方程，熟练掌握运算法则，会运用平方根解方程是解答的关键．20．10b +=，则20132014a b +=___________．2【分析】先根据算术平方根的非负性绝对值的非负性求出ab 的值再代入计算有理数的乘方运算即可得【详解】由算术平方根的非负性绝对值的非负性得：解得则故答案为：2【点睛】本题考查了算术平方根的非负性绝对值解析：2【分析】先根据算术平方根的非负性、绝对值的非负性求出a 、b 的值，再代入计算有理数的乘方运算即可得．【详解】由算术平方根的非负性、绝对值的非负性得：10a -=，10b +=，解得1a =，1b =-，则()201420132014201311112a b +=+-=+=，故答案为：2．【点睛】本题考查了算术平方根的非负性、绝对值的非负性、有理数的乘方，熟练掌握算术平方根和绝对值的非负性是解题关键． 三、解答题21．已知(25|50x y -++-=．（1）求x ，y 的值；（2）求xy 的算术平方根．解析：（1）5x =-5y =2【分析】（1）根据非负数的性质求解即可；（2）先求出xy 的值，再根据算术平方根的定义求解．【详解】解：（1）(250x -+≥，50y -≥，(2550x y -++--=，50x ∴-=，50y --=，解得：5x =5y =+（2）(5525322xy =-=-=， xy ∴．【点睛】本题考查了非负数的性质，以及算术平方根的定义，根据非负数的性质求出x ，y 的值是解答本题的关键．22．小燕在测量铅球的半径时，先将铅球完全浸没在一个带刻度的圆柱形小水桶中，拿出铅球时，小燕发现小水桶中的水面下降了1cm ，小燕量得小水桶的直径为12cm ，于是她就算出了铅球的半径．你知道她是如何计算的吗？请求出铅球的半径．（球的体积公式343V r π=，r 为球的半径．） 解析：3cm ．【分析】设球的半径为r ，求出下降的水的体积，即圆柱形小水桶中下降的水的体积，最后根据球的体积公式列式求解即可．【详解】解：设球的半径为r ，小水桶的直径为12cm ，水面下降了1cm ，∴小水桶的半径为6cm ，∴下降的水的体积是π×62×1=36π(cm 3)， 即34363r ππ=，解得：327r =，3r =，答：铅球的半径是3cm ．【点睛】本题考查了立方根的应用，涉及圆柱的体积求解，解此题的关键是得出关于r 的方程． 23．如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一个长方形纸板的面积为162平方厘米．（提示：182＝324）（1）求正方形纸板的边长；（2）若将该正方形纸板进行裁剪，然后拼成一个体积为343立方厘米的正方体，求剩余的正方形纸板的面积．解析：（1）正方形纸板的边长为18厘米；（2）剩余的正方形纸板的面积为30平方厘米【分析】（1）根据正方形的面积公式进行解答；（2）由正方体的体积公式求得正方体的边长，然后由正方形的面积公式进行解答．【详解】解：（11622⨯=18（cm ），答：正方形纸板的边长为18厘米；（23343=7（cm ），则剪切纸板的面积＝7×7×6＝294（cm 2），剩余纸板的面积＝324﹣294＝30（cm 2）答：剩余的正方形纸板的面积为30平方厘米．【点睛】本题考查了立方根，算术平方根，解题的关键是熟悉正方形的面积公式和立方体的体积公式，属于基础题．24．对于结论：当a +b ＝0时，a 3+b 3＝0也成立．若将a 看成a 3的立方根，b 看成是b 3的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两数也互为相反数”．（1）试举一个例子来判断上述结论的猜测是否成立？（21-的值．解析：（1）见解析；（2）13=-【分析】（10=，则2与﹣2互为相反数进行说明.（2）利用（1）的结论，列出方程（3﹣2x ）+（x +5）＝0，从而解出x 的值，代入可得出答案．【详解】解：（10=，则2与﹣2互为相反数；（2）由已知，得（3﹣2x ）+（x +5）＝0，解得x ＝8，∴1=1=1﹣4＝﹣3．【点睛】本题考查立方根的知识，难度一般，注意一个数的立方根有一个，它和这个数正负一致，本题的结论同学们可以记住，以后可直接运用．25．求下列各式中x 的值（1）()328x -=（2）21(3)753x -=解析：（1）4x =；（2）18x =或12x =-．【分析】（1）利用立方根的定义得到22x -=，然后解一次方程即可；（2）先变形为()23225x -=，然后利用平方根的定义得到x 的值．【详解】（1）∵()328x -=，∴22x -=，∴4x =；（2）21(3)753x -=，整理得：()23225x -=，∴315x -=或315x -=-，∴18x =或12x =-．【点睛】本题考查了解一元一次方程，平方根和立方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．26．把下列各数表示在数轴上，并把这些数按从大到小的顺序用“＞”连接起来． 0，327-，()2--，1--，9，22-解析：画图见解析，()239201272>-->>-->->- 【分析】先把各数化简，在数轴上表示出各数，再根据“在数轴上，右边的数总比左边的数大”把这些数按从大到小的顺序用“＞”连接起来．【详解】 解：3273-=-，()22--=，11--=-，93=，224-=-，在数轴上表示为：按从大到小的顺序用>()239201272>-->>-->->-． 【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，解题的关键是准确在数轴上表示实数，并利用数轴对实数的大小进行比较．27．211a -=，31a b +-的平方根是±2，C 70的整数部分，求-+b a c 的平方根．解析：±3【分析】结合平方根的定义以及估算无理数大小的方法得出a ，b ，c 的值，进而得出答案．【详解】解：：由题意，得： 2a−1=1，解得：a=1，3a+b−1=4，解得：b=2，647081c=8，所以b ﹣a ＋c ＝2﹣1＋8＝9∴9的平方根是±3故答案为：±3【点睛】本题考查了算术平方根的意义，平方根的意义，无理数的估算，熟练掌握算术平方根的意义、平方根的意义、夹逼法估算无理数的值是解答本题的关键．28．已知52a +的立方根是3，31a b +-的算术平方根是4，c 11的整数部分． （1）求a ，b ，c 的值；（2）求3a b c -+的平方根．解析：（1）5a =，2b =，3c =；（3）4±【分析】(1)利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a 、b 、c 的值.(2)将a 、b 、c 的值代数式求出值后，进一步求得平方根即可．【详解】解：（1）∵52a +的立方根是3，31a b +-的算术平方根是4，∴5227a +=，3116a b +-=，∴5a =，2b =； ∵34<<，c 的整数部分，∴3c =；（2）当5a =，2b =，3c =时，3152316a b c -+=-+=，16的平方根是4±∴3a b c -+的平方根是4±．【点睛】本题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可．。
初三数学复习实数知识点梳理
初三数学复习实数知识点梳理实数是数系中的一种数，包括整数、有理数和无理数。
在初三数学中，实数是一个重要的考点。
为了帮助同学们复习实数知识点，下面对实数相关的概念、性质和运算进行了梳理和总结。
一、实数的分类实数可以分为有理数和无理数两类。
有理数指的是可以表示为两个整数的比值（分数）的数，而无理数指的是无法表示为两个整数的比值的数。
二、实数的表示方法1. 小数表示法有限小数：有限位数的小数，例如0.5、0.25等。
无限循环小数：有一段数字循环出现的小数，例如0.3333...、0.6666...等。
无限不循环小数：没有一段数字循环出现的小数，例如π、√2等。
2. 分数表示法分数表示法是将一个数表示为两个整数的比值。
例如，3/4表示三除以四的结果。
3. 开方表示法开方表示法是用根号√来表示一个数的平方根。
例如，√9表示9的平方根，结果为3。
三、实数的性质1. 有理数的性质：（1）有理数可以进行四则运算，包括加法、减法、乘法和除法。
（2）有理数的乘积仍然是有理数。
（3）有理数的和、差、积和商都是有理数，除非被除数为零。
2. 无理数的性质：（1）无理数与有理数相加、相减、相乘、相除的结果通常是无理数。
（2）无理数与无理数相加、相减、相乘、相除的结果通常是无理数。
3. 实数的比较：实数之间可以进行大小的比较，可以使用大小符号来表示。
例如，对于任意的两个实数a和b，如果a大于b，则记作a > b；如果a小于b，则记作a < b；如果a等于b，则记作a = b。
四、实数的运算1. 实数的加法：实数的加法满足交换律和结合律，即对于任意的实数a、b、c，有：（1）交换律：a + b = b + a（2）结合律：(a + b) + c = a + (b + c)2. 实数的减法：实数的减法可以看作是加法的逆运算，即a - b = a + (-b)，其中- b表示b的相反数。
3. 实数的乘法：实数的乘法满足交换律和结合律，即对于任意的实数a、b、c，有：（1）交换律：a × b = b × a（2）结合律：(a × b) × c = a × (b × c)4. 实数的除法：实数的除法可以看作是乘法的逆运算，即a ÷ b = a × (1/b)，其中1/b 表示b的倒数。
完整版)实数培优专题
完整版)实数培优专题实数培优拓展1、利用概念解题：例1.已知：$M=b^{-1}a+8$是$a+8$的算术数平方根，$N=2a-b+4b-3$是$b-3$的立方根，求$M+N$的平方根。
练：1.若一个数的立方根等于它的算术平方根，则这个数是多少？34x-3y=-2，求$x+y$的算术平方根与立方根。
2.已知$x+2y=3$，求$(x+y)x$的值。
3．若$2a+1$的平方根为$\pm3$，$a-b+5$的平方根为$\pm2$，求$a+3b$的算术平方根。
例2、解方程$(x+1)^2=36$.练：（1）$(x-1)^2=9$（2）$(x+1)^2=25$2、利用性质解题：例1已知一个数的平方根是$2a-1$和$a-11$，求这个数．变式：①已知$2a-1$和$a-11$是一个数的平方根，则这个数是多少；②若$2m-4$与$3m-1$是同一个数的两个平方根，则$m$为多少。
例2．若$y=3-x+x-3+1$，求$(x+y)x$的值。
例3．$x$取何值时，下列各式在实数范围内有意义：⑴⑵⑶⑷例4．已知$31-2x$与$33y-2$互为相反数，求$\frac{1+2x}{y}$的值。
例5.若$(a+3)^2=3+a$，则$a$的取值范围是多少？例6.对于每个非零有理数$a,b,c$，式子$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$的所有可能的值是什么？练：1.若一个正数$a$的两个平方根分别为$x+1$和$x+3$，求$a$。
2.若$(x-3)^2+\frac{2005abcabc}{abcabc}$的值为$y-1=0$，求$x+y$的平方根。
3.已知$y=1-2x+4x^{-2}+2$，求$x$的值。
4.当$x$满足下列条件时，求$x$的范围：①$(2-x)^2=x-2$；②$3-x=x-3$；③$x=x^7$。
5.若$-3a=3y+2$，求$a$与$y$的大小关系。
3、利用取值范围解题：例1.已知$2\leq x\leq 5$，$3\leq y\leq 6$，求$\frac{(x+y)^3-20}{7}$的取值范围。
中考实数知识点总结归纳
中考实数知识点总结归纳一、实数的概念1. 实数的定义实数是指可以用在数轴上表示的数，包括有理数和无理数。
有理数是指可以表示为两个整数的比值的数，包括整数和分数。
无理数是指不能表示为两个整数的比值的数，如π和√2等。
2. 实数的性质（1）实数具有传递性，即若a>b，b>c，则a>c。
（2）实数具有传递性，即若a>b，则a+c>b+c。
（3）实数具有传递性，即若a>b且c>0，则ac>bc。
3. 实数的分类（1）有理数：可以表示为有限或无限循环小数的数。
（2）无理数：不能表示为有限或无限循环小数的数。
（3）整数：包括正整数、负整数和0。
（4）分数：可以表示为两个整数的比值的数。
二、实数的运算1. 实数的加法（1）同号实数相加，绝对值加起来，符号不变。
（2）异号实数相加，绝对值差，正负号取绝对值大的数的符号。
2. 实数的减法（1）a-b = a+(-b)（2）减负得正，减正得负。
3. 实数的乘法（1）同号实数相乘，绝对值相乘，结果为正。
（2）异号实数相乘，绝对值相乘，结果为负。
4. 实数的除法（1）a÷b = a×(1/b)5. 实数的乘方（1）乘方运算：a的n次方 = a × a × ... × a (n个a相乘)（2）指数规律：a的m次方 × a的n次方 = a的m+n次方6. 实数的开方（1）开方运算：√a表示使得x²=a的数x。
（2）开方的性质：非负数的平方根是已知的，即√a²=|a|。
三、实数的表示1. 小数的表示（1）有限小数：十进制小数表示法中，小数部分有限位数的小数。
（2）无限循环小数：十进制小数表示法中，小数部分有限位数，但有循环节的小数。
2. 分数和百分数的表示（1）分数：a/b = a÷b（2）百分数：表示数或者分数乘以100后的结果。
3. 实数的化简（1）约分：将一个分数的分子和分母同时除以一个正整数。
九年级数学专题复习 专题一 实数
九年级数学专题复习专题一实数九年级数学专题复习专题一实数主题一实数（一）实数的有关概念1.概念：（1）有理数：和统称为有理数。
（2）相反数：只有不同的两个数互为相反数。
若a、b互为相反数，则。
（3）数字轴：指定的直线，称为数字轴。
（4）倒数：乘积的两个数互为倒数。
若a（a≠0）的倒数为（5）绝对值：1a。
然后代数定义：a（a＞0）oao＝0（a＝0）-a（a＜0）几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。
（6）无理数：小数叫做无理数。
（7）实数：和统称为实数。
（8）实数对应于时间点。
2.实数的分类:正整数0整数(有限或无限循环性数)负整数有理数正分数负分数实数无理数（无限非循环小数）正无理数负无理数整数有理数正数无理数真正的0有理数负数无理数注：“分类”原则：1）比例性（无重量、无泄漏）分数整数分数2）有标准3.科学记数法、近似数和有效数字N（1）科学记数法：把一个数记成±a×10的形式（其中1≤a<10，n是整数）（2）近似数是指根据精度接近精确数的值。
取近似数的原则是“四舍五入”。
（3）有效数字：从左边第一个不是0的数字到精确数字，所有数字都有效叫做这个数字的有效数字。
（二）实数的运算：1.有理数加、减、乘、除、幂及其混合运算的算法（1）有理数加算法：①同号两数相加，取____的符号，并把____② 将两个绝对值不相等的数字相加，取__________________。
将两个相对的数字相加得到u。
③ 一个数字被加到0上。
(2)有理数减法法则：减去一个数，等于加上___。
(3)有理数乘法法则：① 将两个数字相乘，相同的符号，不同的符号，然后放入。
任何数字乘以0，都得____。
② 将不等于0的数相乘，乘积的符号为________________。
当_。
③ 当几个数相乘时，一个因子为0，乘积为4）有理除法规则：①除以一个数，等于______.____不能作除数。
最新中考数学知识点复习大全专题：实数的有关概念及运算
基本方法归纳： 判断一个数是不是有理数， 关键是看它是不是有限小数或无限循环小数； 判 断一个数是不是无理数，关键在于看它是不是无限不循环小数． 注意问题归纳：在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如
7 , 3 2 等；
（2）有特定意义的数，如圆周率
π π，或化简后含有 π的数，如 3 +8 等；
? 解读考点 知识点
专题 01 实数的有关概念及运算
名师点晴
实 数的 分类
1.有理数 2.无理数
实 数的 有 关概 念
1.相反数、倒数、绝对值 2.科学计数法、近似数 3.实数的非负性
实 数的 运 算和 大 小比 较
1.实数的估算 2.实数的大小比较 3.实数的运算
会根据有限小数和无限循环小数判定一个数是有理数
）
1 x x2
x x2 1
A． x
B．
x
【答案】 C． 【解析】
x2 x 1
C．
x
1 x2 x D． x
1 x
x2 1
1 4
x2 x 1
试题分析：∵ 0 x 1，令 2 ，那么
4 ， x ，∴
x ．故选 C．
考点：实数大小比较．
2015
6．（ 2015 绵阳）若 a b 5 2a b 1 0 ，则 b a
）
A ．﹣ 3
B．0
C．5
D．3
【答案】 A ．
2 3，则
考点：实数大小比较．
8．（ 2015 荆门） 64 的立方根是（
）
A ． 4 B ．±4 【答案】 A ．
C． 8
D ．±8
【解析】
试题分析：∵ 4 的立方等于 64，∴ 64 的立方根等于 4．故选 A ．
实数知识点总结大全
一、实数的概念及性质1. 实数的定义：实数是指可以用在数轴上表示的数，包括有理数和无理数。
2. 实数的性质：实数具有以下性质：（1）实数集合是一个实数域，它包含了所有实数。
（2）实数是可比较的，即任意两个实数之间可以进行大小比较。
（3）实数是封闭的，对任意两个实数进行加减乘除得到的结果还是实数。
（4）实数满足传递性，即如果a>b，b>c，则a>c。
3. 实数的稠密性：实数的一个重要性质是稠密性，即在任意两个不相等的实数之间，都存在着无穷多个实数。
这意味着实数在数轴上是密密麻麻地分布着的，没有空隙。
4. 实数的有限性：实数作为一种数学对象，是有限的，也就是说，对于任意一个实数，它都可以用有限个操作从某个给定的实数得到。
5. 实数的无限性：实数也具有无限性，例如无理数的小数部分是无限不循环的，这使得实数具有无限性。
二、实数的运算1. 实数的加法：实数的加法满足结合律、交换律和分配律，即对于任意实数a、b、c，有a+(b+c)=(a+b)+c，a+b=b+a，a(b+c)=ab+ac。
2. 实数的减法：实数的减法可以看作加上一个相反数，即a-b=a+(-b)。
3. 实数的乘法：实数的乘法满足结合律、交换律和分配律，即对于任意实数a、b、c，有a(bc)=(ab)c，ab=ba，a(b+c)=ab+ac。
4. 实数的除法：实数的除法满足除法运算的性质，即分子与分母都不为零。
5. 实数的乘方：实数的乘方运算是幂运算的一种特殊形式，即对于实数a和自然数n，有a^n=a*a*...*a（共n个a）。
6. 实数的开方：实数的开方是乘方运算的逆运算，即给定一个实数a，求出另一个实数b，使得b^2=a。
7. 实数的绝对值：实数的绝对值是一个非负的实数，它表示了这个实数到原点的距离，通常用|a|表示。
8. 实数的倒数：对于一个非零实数a，它的倒数是1/a。
1. 实数的大小比较：实数之间可以进行大小比较，对于任意两个实数a和b，有以下比较关系：（1）a>b：表示a大于b。
著名机构初中数学培优讲义实数.第01讲(A).教师版
内容 基本要求略高要求较高要求平方根、算数平方根了解开方与乘方互为你运算，了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示非负数的平方根及算术平方根会用平方运算的方法，求某些非负数的平方根立方根 了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根 会用立方运算的方法，求某些数的立方根能运用圆的性质解决有关问题 实数 了解实数的概念会进行简单的实数运算1.平方根、立方根的有关概念以及其区别和联系；2.会求一个数的平方根和立方根并了解其限定条件3.能进行实数的运算无 理 数 的 发 现 ── 第 一 次 数 学 危 机大约公元前5世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论．当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为"四艺"，在其中追求宇宙的和谐规律性．他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三角形就是如此．这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的"危机"，从而产生了第一次数学危机．到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了．他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第5卷中．欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致．今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些中考要求重难点课前预习实 数困难和微妙之处． 第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击．这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了．危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！模块一 平方根、算术平方根平方根:如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根． 也就是说，若2x a =，则x 就叫做a 的平方根． 一个非负数a 的平方根可用符号表示为“a ±”． 算术平方根：一个正数a 有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做a 的算术平方根，可用符号表示为“a ”；0有一个平方根，就是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根，当然也没有算术平方根．（负数的平方根在实数域内不存在，具体内容高中将进学习研究）一个非负数的平方根不一定是非负数，但它的算术平方根一定是非负数，即若0a ≥，则0a ≥． 平方根的计算：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根．对定义和性质的考察【例1】 判断题：（1）a 一定是正数． ( ) （2）2a 的算术平方根是a ． ( ) （3）若2()6a -=，则6a =-．( )（4）若264x =，则648x =±=±． ( ) （5）64的平方根是8±． ( ) （6）若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等． ( ) （7）如果一个数的平方根存在，那么必有两个，且互为相反数． ( ) （8）2a -没有平方根． ( ) （9）如果两个非负数相等，那么他们各自的算术平方根也相等． ( )【难度】1星 【解析】略【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）√；（5）×；（6）×；（7）×；（8）×；（9）√．【巩固】若()4216A a=+，则A 的算术平方根是_________．例题精讲【难度】2星【解析】A 22(16)a +，故A 的算术平方根为216a +．【答案】216a +【巩固】设a a 的值是________． 【难度】2星【解析】a 48a 必须是完全平方数， 因为24843=⨯整数的整数a 为3．【答案】3【例2】 x 为何值时，下列各式有意义？（1； （2 （3（4） ； （5）； （6；【难度】1星 【解析】略【答案】（1）0x ≥；（2）x =0；（3）2x ≤；（4）x 为任意数；（5）x >1；（6）112x -≤≤．对计算的考察【例3】 求下列等式中的x ：（1）若x 2＝1．21，则x ＝______； （2）x 2＝169，则x ＝______；（3）若294x =，则x ＝______； （4）若x 2＝2(2)-，则x ＝______．【难度】1星【解析】一个正数的平方根有两个，且互为相反数．【答案】（1） 1.1x =±；（2）x =±13；（3）32x =±；（4）x 2=±．【例4】 求下列各式的值（1） （2（3 （4（5 （6【难度】1星（1）2612⨯=； （27512=+=；（30.30.80.5-=-； （4290.91365=⨯=；（520===； （6110.8250.25 5.245=⨯+⨯=+=；【答案】（1）12； （2）12； （3）0.5-； （4）965； （5）20； （6）5.2．【巩固】求下列各式中x 的值．（1）29x =； （2）22500x -=（3）21(51)303x --= （4）2(100.2)0.64x -=【难度】1星【解析】本题考察的是平方根，正数的平方根有两个，且互为相反数．（1）3x =±； （2）225,5x x ==±；（3）221(51)3,(51)9,513,5133x x x x -=-=-=±=+；或513x =-，解得45x =或25x =-．（4）100.20.8,0.2100.8,0.210.8x x x -=±=±=或0.29.2x =解得54x =或x =46．【答案】（1）3x =±； （2）5x =±；（3）45x =或25x =-； （4）54x =或x =46．对非负性的考察【例5】 如果3a b -+【难度】2星【解析】由绝对值和算术平方根的非负性及相反数的定义解题．有题可知30220a b a b -+=⎧⎨+-=⎩解得4353a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3==．【答案】3【例6】已知2b =，求11a b+的平方根． 【难度】2星【解析】由题可知940490a a -≥⎧⎨-≥⎩，49a ∴=，b =2，=【答案】【巩固】已知x ，y ，z满足21441()02x y z -+-=，求()x z y -的值． 【难度】2星 【解析】由题可知441020102x y y z z ⎧⎪-+=⎪+=⎨⎪⎪-=⎩，解得121412x y z ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩，()x z y -1111()()22416=--⨯-=．【答案】116总结： （1）当被开方数扩大(或缩小)2n 倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)n 倍(0n ≥)．（2）平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：①若0a ≥，则2a =；②不管a(0)||(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩注意二者之间的区别及联系．（3）若一个非负数a 介于另外两个非负数1a 、2a 之间，即120a a a ≤<<时，它的算术平方根也之间，即：0≤<的算术平方根的大致范围．模块二 立方根如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也就是说，若3,x a =则x 就叫做a 的立方根， 一个数a 的立方根可用符号表，其中“3”叫做根指数，不能省略． 前面学习的其实省略了根指数“2”“三次根号a ”“二次根号a ”“根号a ”．任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0．立方根的计算：求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根．对立方根定义和性质的考察【例7】 （1）下列说法中，不正确的是 （ ）A ． 8的立方根是2B ． 8-的立方根是2-C ． 0的立方根是0D ．a（2）61164-的立方根是（ ）A ．- B ．114± C ． 114 D ．114-（3）某数的立方根是它本身，这样的数有（ ） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 （4）下列说法正确的是（ ）① 正数都有平方根；② 负数都有平方根， ③ 正数都有立方根；④ 负数都有立方根；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（5）若a 立方比a 大，则a 满足（ ）A ． a <0B ． 0< a <1C ． a >1D ． 以上都不对 （6）下列运算中不正确的是（ ）A ．= B ．3C 1-D ．4【难度】1星 【解析】略【答案】（1）D ；（2）D ；（3）C ；（4）C ；（5）D ；（6）B ．【巩固】（1）若x 的立方根是4，则x 的平方根是______．（2）3311-+-x x 中的x 的取值范围是______，11-+-x x 中的x 的取值范围是______．（3）－27______．（40=则x 与y 的关系是______．（54那么(66)2a -⋅的值是______．（6则x ＝______．（7）若m ＜0，则m ．（8）若59x +的立方根是4，则34x +的平方根是______．【难度】2星 【解析】略【答案】 （1）8±；（2）任意数； x =1；（3）1-或5-；（4）互为相反数；（5）-12；（6）x =1； （7）0； （8）对计算的考察【例8】 求下列等式中的x ：（1）若x 3＝0．729，则x ＝______； （2）x 3＝6427-，则x ＝______；（3）若52，则x ＝______； （4）若x 3＝3(2)--，则x ＝______． 【难度】1星 【解析】略【答案】（1）0.9；（2）43-；（3）1258；（4）2．【例9】 求下列各式的值（1 （2（3） （4）3（5 （6（7【难度】1星 【解析】略【答案】（1）0.4；（2）2-；（3）25-；（4）64；（5）43；（6）9；（7）6．【巩固】（1）填表：（2（3） 根据你发现的规律填空：① 1.442== ，= ；② 7.696=，= ．【难度】2星 【解析】略【答案】（1）0.01； 0.1； 1； 10； 100．（2）当被开方数(大于0)扩大(或缩小)3n 倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)n 倍（3） ①14.42； 0.01442； ②0.7696．总结 ：（1） 当被开方数(大于0)扩大(或缩小)3n 倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)n 倍．（2）a =，3a =（3） 若一个数a 介于另外两个数1a 、2a 之间，即12a a a <<<综合应用【例10】 2(27)b +的立方根． 【难度】2星【解析】由题可知80270a b +=⎧⎨+=⎩，解得827a b =-⎧⎨=-⎩，235,+=．【答案】1【例11】 已知2x -的平方根是±2，27x y ++的立方根是3，求22x y +的平方根． 【难度】2星【解析】Q2(2)=±，6x ∴=；Q 3=，8y ∴=，10==±．【答案】10±总结：平方根与立方根的区别与联系： 区别：（1）根指数不同：平方根的根指数是2，通常省略不写；立方根的根指数是3，却不能省略． （2）被开方数取值范围不同：平方根中被开方数必须是非负数；而立方根中被开方数可以为任何数． （3）平方的结果不同：平方根的结果除0之外，还有两个互为相反数的结果；而立方根的结果只有一个．（4）平方根等于本身的数是0，算术平方根等于它本身的数是0，1，立方根等于它本身的数是0，1，1-；联系：（5）平方根与立方根相等的数是0．（6）平方根与立方根都是与乘方运算互为逆运算．模块三 实数1 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数． 注意：（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，不是所有带根号的数都是无理数． （2）圆周率π及一些含π的数是无理数． （3）不循环的无限小数是无理数．（4）有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数． 2 无理数的性质：设a 为有理数，b 为无理数，则a+b ，a-b 是无理数； 3 实数的概念：有理数和无理数统称为实数． 实数的分类：0⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 ４实数的性质：（1）任何实数a ，都有一个相反数-a ．（2）任何非0实数a ，都有倒数1a．（3）正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．（4）正实数大于0，负实数小于0；两个正实数，绝对值大的数大，两个负实数，绝对值大的反而小． ５ 实数与数轴上的点一一对应：即数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示，反过来，每个实数都可以在数轴上找到表示它的点．对实数定义的考察【例12】 判断正误．（1）实数是由正实数和负实数组成．（ ） （2）0属于正实数．（ ）（3）数轴上的点和实数是一一对应的．（ ）（4）如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是±1．（ ） （5）若x =则x =（ ） 【难度】2星 【解析】略【答案】（1）×；（2）×；（3）√；（4）×；（5）√．【例13】 下列说法错误的是（ ）A ．实数都可以表示在数轴上B ．数轴上的点不全是有理数C ．坐标系中的点的坐标都是实数对 D【难度】1星 【解析】略【答案】D【例14】 下列说法正确的是（ ）A ．无理数都是无限不循环小数B ．无限小数都是无理数C ．有理数都是有限小数D ．带根号的数都是无理数【难度】1星 【解析】略 【答案】A对实数性质的考察【例15】的相反数是________；的倒数是________；35-的绝对值是________．【难度】1星 【解析】略【答案】【例16】 3.141π-＝______；=-|2332|______． 【难度】1星 【解析】略【答案】-3.141π；【例17】 若||x =x ＝______；若||1x =，则x ＝______． 【难度】1星 【解析】略【答案】1或1-实数的分类【例18】 把下列各数填入相应的集合：－1、π、 3.14-、127.0&、0（1）有理数集合｛ ｝； （2）无理数集合｛ ｝； （3）整数集合｛ ｝； （4）正实数集合｛ ｝； （5）负实数集合｛ ｝． 【难度】1星 【解析】略【答案】（1）－1 3.14-、1、7.0&、0；（2、π（3）－10（4π、1、7.0&；（5）－1、 3.14-、比较大小【例19】 估 ）A ．7～8之间B ．8.0～8.5之间C ．8.5～9.0之间D ．9～10之间【难度】1星【解析】略 【答案】C【例20】 实数2.6 （ ）A ．2.6<<B ．2.6C 2.6<D 2.6< 【难度】２星【解析】略【答案】B【例21】 一个正方体水晶砖，体积为1002cm ，它的棱长大约在 （ ）A ．4～5cm 之间B ．5～6cm 之间C ．6～7cm 之间D ．7～8cm 之间【难度】1星【解析】略【答案】A【巩固】把下列各数按照由大到小的顺序，用不等号连接起来．4，4-，153-，1．414，π，0.6， 34-， 【难度】1星【解析】略 【答案】314 1.4140.64543π>>>>>>->-．对计算的考察【例22】 计算题（1）32716949+- （2）233)32(1000216-++ 【难度】1星【解析】（1）32716949+-71333=-+=-；（2）233)32(1000216-++226101633=++=． 【答案】（1）3-；（2）2163．综合应用【例23】 写出符合条件的数． （1）小于25的所有正整数； （2）绝对值小于22的所有整数．【难度】2星【解析】略【答案】（1）1，2，3，4；（2）1-，2-，0，1，2．【例24】 一个底为正方形的水池的容积是3150m 3，池深14m ，求这个水底的底边长．【难度】1星【解析】设这个水底的底边长为x ，则有2143150x =，解得15x =．【答案】15【例25】 已知a 是11的整数部分，b 是它的小数部分，求32()(3)a b -++的值．【难度】2星【解析】91116<<Q ，∴3114<<，11∴的整数部分为3，小数部分为113-，3,113a b ∴==-，32()(3)a b -++32(3)(1133)271116=-+-+=-+=-．【答案】16-总结：没有最小的实数，0是绝对值最小的实数；带根号的数不一定是无理数；一个实数的立方根只有一个；负数没有平方根．无理数大小的比较方法：（1）比较两个数的平方的大小：a ＞0，b ＞0，若2()a ＞2()b ，则a b >；若2()a ＜2()b ，则a b <； 若2()a ＝2()b ＞，则a b =．（2）比较被开方数的大小：a ＞0，b ＞0， 若a ＞b ，则a b >； 若a ＜b ， 则a b <；若a ＝b ，则a b =．（3）作差法：若a-b ＞0，则a ＞b ；若a-b ＝0，则a ＝b ；若a-b ＜0，则a ＜b ．（4）作商法：a ＞0，b ＞0，若a b ＞1，则a ＞b ；若a b ＝1，则a ＝b ；若a b＜1，则a ＜b ．【练习1】下列说法正确是（ ）A ．有理数都是实数B ．实数都是有理数C ．带根号的数都是无理数D ．无理数包含0【难度】1星课堂检测【解析】略【答案】A【练习2】下列命题中，真命题是（ ）A ．22011的平方根是2011B ．64-的平方根是8±C6=± D ．若22a b =【难度】1星【解析】略【答案】D【练习3】有一个数值转换器原理如图所示，则当输入x 为36时，输出的y 是（ ）输出y输入xA ．6 BCD．【难度】２星【解析】略【答案】B【练习4】数轴上，有一个半径为1个单位长度的圆上的一点A 与原点重合，该圆从原点向正方向滚动一周，这时点A 与数轴上一点重合，这点表示的实数是 ．【难度】1星【解析】略【答案】2π【练习5】计算：（1（2【难度】1星【解析】（1585355245420+=-+=-； （2340.60.4-+=-． 【答案】（1）3220-；（2）0.4-．【练习6】已知()0328322=+-+-+y x y x ，求yx xy +3的值． 【难度】2星【解析】利用非负性建立二元一次方程组，解出x ，y 的值，代入即可解决问题．【答案】21.通过本堂课你学会了 ．2.通过本节课，你复习的知识点 ．3.掌握的不太好的部分 ．4.老师点评：① ．② ．③ ．1. 下列命题中，错误的命题个数是（ ）（1）2a -没有平方根； （2）100的算术平方根是10，记作10100=±（3）数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数； （4）2是最小的无理数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【难度】1星【解析】错误的有（1），（2），（4）．【答案】C2. 若22b a =，则下列等式成立的是（ ）A ．33b a =B ．b a =C ．b a =D ． ||||b a =【难度】1星【解析】略【答案】D3. 已知坐标平面内一点A(2-，3)，将点A 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到，则A′的坐标为 ．【难度】2星【解析】在坐标平面内点的平移是左减右加，上加下减．【答案】(22,33)-+-4.已知10<<x ，则21x x x x 、、、的大小关系是__________________________（用“>”连接）．【难度】1星 课后作业 总结复习【解析】可以采用特殊值法解题，如14x =． 【答案】21x x x>>>5.计算:（1 （2）2(2)-【难度】1星【解析】（111213333=-=- ；（2）2(2)-11433231423=⨯+-⨯=+-=． 【答案】（1） 13- ； （2）4．6.已知一个长方体封闭水箱的容积是1620立方分米，它的长、宽、高的比试5:4:3，则水箱的长、宽、高 各是多少分米？做这个水箱要用多少平方分米的板材？【难度】1星【解析】在列方程解应用题时，要注意见比设k 的应用．【答案】长、宽、高各是15分米，12分米，9分米；846平方分米．7.已知实数a ，满足0a +，求11a a -++的值．【难度】2星【解析】Q 0a +，0a a a ∴++=，20a a +=，0a ∴=，112a a -++=【答案】28.先阅读理解，再回答下列问题：=，且12<的整数部分为1；=23<2；34<3；n 为正整数）的整数部分为＿＿＿＿＿＿，请说明理由．【难度】2星【解析】nQ 2(1)n n n n +=+，又22(1)(1)n n n n <+<+Q ，1n n ∴<<+（n 为正整数），∴整数部分为n ．【答案】n9. 计算下列各组算式，观察各组之间有什么关系，请你把这个规律总结出来，然后完成后面的填空．（1；（2（3（4（5= ；（6= (0,0)a b ≥≥．【难度】2星【解析】（5=（6=【答案】（5；（610.若a 为217-的整数部分，1-b 是9的平方根，且a b b a -=-||，求b a +的算术平方根．【难度】3星 【解析】161725,45,223,2a <<∴<∴<<∴=Q ，14b b -==或2b =-．又a b b a -=-Q ，b a ∴≥，2,4a b ∴==，==。
八年级培优第一讲·实数的概念及性质
八年级培优第一讲 实数的概念及性质班级 姓名例题讲解【例1】 设a 是一个无理数，且a 、b 满足ab －a －b+1=0，则b 是一个( ) (武汉市选拔赛试题)A ．小于0的有理数B ．大于0的有理数C ．小于0的无理数D ．大于0的无理数 思路点拨 对等式进行恰当的变形，建立a 或b 的关系式．练习1：设a 是一个无理数，且a 、b 满足ab+a －b ＝1，则b= ．(四川省竞赛题)【例2】已知a 、b 是有理数，且032091412)121341()2331(=---++b a ，求a 、b 的值． 思路点拔 把原等式整理成有理数与无理数两部分，运用实数的性质建立关于a 、b 的方程组．练习2．设x 、y 都是有理数，且满足方程04)231()321(=--+++πππy x ，那么x －y 的值是 ． ( “希望杯’邀请赛试题)【例3】已知a 、b 为有理数，x ，y 分别表示75-的整数部分和小数部分，且满足axy+by 2＝1，求a+b 的值． (南昌市竞赛题)思路点拨 运用估算的方法，先确定x ，y 的值，再代入xy+by 2＝1中求出a 、b 的值．课堂练习1．已知x 、y 是实数，096432=+-++y y x ，若y x axy =-3，则a= ．2.一个数的平方根是22b a +和1364+-b a ，那么这个数是 ．3．方程0185=++-+y y x 的解是 ．4．已知实数 a 、b 、c 满足0412212=+-+++-c c c b b a ，则a(b+c)= ． 5．请你观察思考下列计算过程：∵112＝121，∴11121=；同样∵1112=12321，∴11112321=；…由此猜想=76543211234567898．(济南市中考题)6．如图，数轴上表示1、2的对应点分别为A 、B ，点B关于点A的对称点为C ，则点C 所表示的数是( ) (江西省中考题)A ．12-B ．21-C ．22-D ．22-7．已知x 是实数， 则πππ1-+-+-x x x 的值是( ) ( “希望杯”邀请赛试题)A ．π11-B ．π11+ C ．11-π D ．无法确定的8．代数式21-+-+x x x 的最小值是( ) ( “希望杯”邀请赛试题)A ．0B ．21+C ．1D ．不存在的9．若实数a 、b 满足032)2(2=+-+-+a b b a ，求2b+a －1的值．(山西省中考题)10．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题． 21)1(2=+，211=S ；31)2(2=+，222=S ；41)3(2=+，233=S ；… (1)请用含有n(n 是正整数)的等式表示上述变化规律；(2)推算出OA 10的长；(3)求出S l 2+S 22+S 32+…+S 210的值． (烟台市中考题)11．阅读下面材料，并解答下列问题：在形如a b =N 的式于中，我们已经研究过两种情况：①已知a 和b ，求N ，这是乘方运算，②已知b 和N ，求a ，这是开方运算． 现在我们研究第三种情况；已知a 和N ，求b ，我们把这种运算叫做对数运算． 定义：如果a b =N (a>0，a ≠1，N>0)，则b 叫做以a 为底的N 的对数，记作b=log a N ．例如：因为23=8，所以log 28=3；因为2-3=81，所以log 281=－3． (1)根据定义计算:①log 3 81= ；②log 33= ；③log 3l= ；④如果log x 16=4，那么x= ．(2)设a x =M ，a y ＝N ，则log a M=x ；log a N ＝y(a>0，a ≠1，N>0，M ，N 均为正数)． 用log A M ，log A N 的代数式分别表示log a MN 及log a NM ，并说明理由． (泰州市中考题)。
八年级上实数复习专题讲义
实数复习专题知识回顾一、实数1、概念：有理数和无理数统称为实数。
2、实数的分类：（1）按定义分：有理数实数无理数（2）按性质分：正数实数0负数二、数轴1、概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线，叫做数轴。
（数轴“三要素”）2、数轴上的点与实数的关系：所有的实数都可以用数轴上的点表示，0用原点表示，正数用原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示。
小结：数轴上，右边的数比左边的数大。
三、相反数1、概念：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，特别地，0的相反数是0。
字母表示： a > 0时，-a < 0，a > -aa = 0时，-a = 0，a = -aa < 0时，-a > 0，a < -a2、几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点两侧，并且与原点的距离相等。
字母表示：如果a、b互为相反数，那么a+b=0。
四、绝对值1、概念：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
2、绝对值的求法：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
用字母表示： a （a>0）|a| = 0 (a=0）-a （a<0）小结：绝对值具有非负性；0的绝对值是0。
五、倒数概念：乘积为1的两个实数互为倒数；字母表示：a·b = 1。
0没有倒数。
六、实数的运算法则1、（1）加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0，绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数。
（2）加法运算律：①交换律：a + b = b + a；②结合律：（a + b）+ c = a + (b + c)。
2、（1）减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
（2）字母表示：a - b = a +(-b)。
七年级下册实数基础知识总结及常见练习
七年级下册实数基础知识总结及常见练习一、实数的概念和性质1. 实数的定义实数是包括有理数和无理数在内的数的集合。
2. 实数的分类实数可以分为有理数和无理数两类。
有理数是可以表示为两个整数之比的数，无理数是不能表示为两个整数之比的数。
3. 实数的性质- 实数满足传递性，即若a < b且b < c，则a < c。
- 实数满足加法和乘法的结合律、交换律和分配律。
- 实数满足相反数存在性，即对于任意实数a，都存在一个实数-b，使得a + (-b) = 0。
- 实数满足乘法逆元存在性，即对于任意非零实数a，都存在一个实数1/a，使得a × (1/a) = 1。
二、实数的运算1. 实数的加法和减法实数的加法满足交换律和结合律。
两个实数相加得到的实数称为它们的和。
减法可以看作是加法的逆运算。
2. 实数的乘法和除法实数的乘法满足交换律和结合律。
两个实数相乘得到的实数称为它们的积。
除法可以看作是乘法的逆运算。
三、实数的比较与排序1. 实数的大小比较实数可以通过比较大小来确定它们的相对大小关系。
常用的比较符号有小于号（<）、大于号（>）、小于等于号（≤）和大于等于号（≥）。
2. 实数的排序实数可以通过大小比较来进行排序。
从小到大排列实数可以用升序表示，从大到小排列实数可以用降序表示。
四、实数的常见练1. 给出下列实数的有理数和无理数表示形式：π，√5，-3，0.25。
2. 计算下列实数的和：-2.5 +3.7。
3. 计算下列实数的差：4.2 - (-1.8)。
4. 计算下列实数的积：0.6 × (-2.5)。
5. 计算下列实数的商：-1.5 ÷ 0.5。
五、总结本文总结了七年级下册实数基础知识，包括实数的定义和分类、实数的性质、实数的运算、实数的比较与排序，并提供了常见练习题供练习。
掌握实数的基础知识对于数学的学习和应用具有重要意义。
八年级数学实数知识点梳理
八年级数学实数知识点梳理数学是一门需要理性思考与逻辑推理的学科，而实数是数学中最重要的基础知识之一，因此在学习数学的过程中，对实数的掌握至关重要。
随着学年的推进，八年级的数学课程中实数部分的知识点也愈加深入，本文将对八年级数学实数知识点进行梳理。
一、实数的概念实数是数学中最基本的数系之一，包括有理数和无理数。
实数的大小可以比较，可以进行基本的算术运算，是所有数学分支的基础。
在实数的集合中，有理数是可以表示为两个整数的比值，而无理数则不能表示为这种比值。
实数集合通常表示为R。
二、实数的分类实数可以按照大小和性质进行分类，如下：1. 正数：大于0的实数，如1/2、3、5.8等。
2. 负数：小于0的实数，如-1/3、-5、-2.6等。
3. 零：等于0的实数。
4. 整数：包括正整数、负整数和零。
5. 有理数：可以表示为两个整数的比值，如2、1/3、-5/6等。
6. 无理数：不能表示为两个整数的比值，如√2、π等。
三、实数的运算实数的运算包括加减乘除四个基本运算，其中乘法和除法还包括正负号的影响。
1. 加法：实数的加法符合交换律、结合律、偏移律。
2. 减法：实数的减法是加法的逆运算，可以转化为加法运算。
3. 乘法：实数的乘法符合交换律、结合律，非零实数相乘的结果符号为正。
4. 除法：实数的除法包括有理数的除法和无理数的除法两种情况。
四、实数的比较实数的大小可以进行比较，有以下三种情况：1. 相等：两个实数相等当且仅当它们的差等于0。
2. 大于：如果一个实数a减去另一个实数b的值大于0，那么a 大于b。
3. 小于：如果一个实数a减去另一个实数b的值小于0，那么a 小于b。
五、实数的绝对值实数的绝对值是一个非负实数，它表示实数a与0之间的距离，记作|a|。
六、实数的平方实数的平方是指实数a自乘后的结果，记作a²。
其中，正数的平方是正数，负数的平方是正数，零的平方还是零。
七、实数的开方实数的开方是指实数a的n次方为b时，n为整数，b为非负实数，a称为b的n次方根，记作√b或b^(1/n)。
6、实数的概念及性质-培优 数学张老师
6、实数的概念及性质数是随着客观实际与社会实践的需要而不断扩充的．从有理数(rational number)到无理数(irrational number)，经历过漫长曲折的过程，是一个巨大的飞跃，由于引入无理数后，数域就由有理数域扩充到实数域，这样，实数(real number)与数轴上的点就建立了一一对应的关系．由于引入开方运算，完善了代数的运算．平方根、立方根的概念和性质，是学习二次根式、一元二次方程等知识的基础．平方根、立方根是最简单的方根，建立概念的方法，以及它们的性质是进一步学习偶次方根、奇次方根的基础． ．有理数和无理数统称为实数，实数有下列重要性质：1．有理数都可以写成有限小数或循环小数的形式，都可以表示成分数姜的形式；无理数是无限不循环小数，不能写成分数姜的形式，这里，P 、q 是互质的整数，且p≠0． 、2．有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数．【例l 】若 a 、b 满足,7||53=+b a 则||32b a S -=的取值范围是(全国初中数学联赛试题)思路点拨运用||b a 、的非负性，建立关于S 的不等式组．【例2】[z]表示不大于z 的最大整数，如[3．15] = 3，[-2．7]=--3，[4]=4；则().1002]2004003[]32[]21[=⨯++⨯+⨯⋅kA ．1001B ．2003C ．2004D ．1002(第15届“希望杯”邀请赛试题)思路点拨从估算)1(+⋅n n 人手．【例3】已知a 、b 是有理数，且,032091412)12341()2331(=---++b a 求a 、b 的值． 思路点拨把原等式整理成有理数与无理数两部分，运用实数的性质建立关a 、b 的方程组．【例4】(1)已知a 、b 为有理数，x ，y 分别表示75-的整数部分和小数部分，且满足,12=+by axy 求a+b 的值．(南昌市竞赛题) (2)设x 为一实数，[X]表示不大于x 的最大整数，求满足[一77．66x]=[一77．66]x+1的整数x 的值．(江苏省竞赛题)思路点拨(1)运用估算的方法，先确定x ．y 的值，再代入axy+ by =1中求出a 、b 的值；(2)运用[x]的性质，简化方程．【例5】 已知在等式s dcx bax =++中，a 、b 、C 、d 都是有理数，x 是无理数，解答：(1)当a 、b 、C 、d 满足什么条件时，S 是有理数； (2)当a 、b 、C 、d 满足什么条件时，s 是无理数．(第13届“希望杯”邀请赛试题)思路点拨 (1)把s 用只含a 、b 、C 、d 的代数式表示；(2)从以下基本性质思考：设a 是有理数，r 是无理数，那么①a+r 是无理数；②若a≠0，则ar 也是无理数；③r 的倒数土也是无理数，解本例的关键之一还需运用分式的性质，对a 、b 、c 、d 取值进行详细讨论．1．已知x 、y 是实数，,096432=+--±+y y x 若axy 一3x=y ，则 a=2．一个数的平方根是a 2+b2和4a 一6b+13，那么这个数是 ．3．一个自然数的算术平方根为a(a>1)，则与这个自然数相邻的两个自然数的算术平方根为 ．4．请你观察思考下列计算过程：;11121,121112=∴= 同样：.123211112= 11112321=∴…由此猜想：=76543211234567898(济南市中考题)5．如图，数轴上表示12、的对应点分别为A 、B ，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数是( )．12.-A 21.-B 22.-C 22.-D6．已知x 是实数，则πππ1-+-+-x x x 的值是( )．π11.-A π11.+B 11.-πC D ．无法确定的(第14届“希望杯”邀请赛试题)7．已知,3,5||2==b a 且ab>0，则a+b 的值为( )．A ．8B ．--2C ．8或一8D ．2或一2 ．(2005年镇江市中考题) 8．若实数a 、b 满足,032{)2(2=+--⋅-+a b b a 求2b+a 一l 的值．(山西省中考题)9．细心观察图形。
初三数学实数知识点总结
初三数学实数知识点总结数学是被很多人称之拦路虎的一门科目，同学们在掌握数学知识点方面还很欠缺，为此小编为大家整理了初三数学实数知识点总结,希望能够帮助到大家。
★重点★ 实数的有关概念及性质，实数的运算☆内容提要☆一、重要概念1.数的分类及概念数系表：说明：分类的原则：1)相称(不重、不漏)2)有标准2.非负数：正实数与零的统称。
(表为：x0)常见的非负数有：性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。
3.倒数：①定义及表示法②性质：A.a1/a(a1);B.1/a中，aa1时，1/aD.积为1。
4.相反数：①定义及表示法②性质：A.a0时，aB.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。
5.数轴：①定义(三要素)②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。
6.奇数、偶数、质数、合数(正整数自然数)定义及表示：奇数：2n-1偶数：2n(n为自然数)7.绝对值：①定义(两种)：代数定义：几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。
②│a│0,符号││是非负数的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有││出现，其关键一步是去掉││符号。
二、实数的运算1. 运算法则(加、减、乘、除、乘方、开方)2. 运算定律(五个加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的]分配律)3. 运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.(同级运算)从左到右(如5 C.(有括号时)由小到中到大。
三、应用举例(略)附：典型例题1. 已知：a、b、x在数轴上的位置如下图，求证：│x-a│+│x-b│=b-a.2.已知：a-b=-2且ab0，(a0，b0)，判断a、b的符号。
以上内容由独家专供，希望这篇初三数学实数知识点总结能够帮助到大家。
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专题12 实数的概念与性质阅读与思考人类对数的认识是在生活中不断加深和发展的。
数系的每一次扩张都源于实际生活的需要，在非负有理数知识的基础上引进负数，数系发展到有理数，这是数系的第一次扩张；但随着人类对数的认识不断加深和发展，人们发现现实世界中确实存在不同于有理数的数——无理数。
在引人无理数的概念后，数系发展到实数，这是数系的第二次扩张.理篇无理数是学好实数的关键，为此应注意：1. 把握无理数的定义：无理数是无限不循环小数，不能写成分数pq的形式（这里p ，q 是互质的整数，且p ≠0）；2．掌握无理数的表现形式：无限不循环小数，与π相关的数，开方开不尽得到的数等；3. 有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数；4．明确无理数的真实性. 克菜因认为：“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作，音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切.”想一想：下列说法是否正确？ ①带根号的数是无理数；②两个无理数的和、差、积、商一定还是无理数； ③一个无理数乘以一个有理数，一定得无理数； ④一个无理数的平方一定是有理数.例题与求解【例1】 已知02)4(22=-++++-c b a b a ．则bac )(的平方根是________.（湖南省长沙市“学用杯”竞赛试题）解题思路：运用式子的非负性，求出a ，b ，c 的值．【例2】若a ，b 是实数，且42212+-+-=b b a ．则b a +的值是( ).A ．3或－3B ．3或－1C ．－3或－1D ．3或1（湖北省黄冈市竞赛试题）解题思路：由算术根的双非负性，可得1-b ≥0，b 22-≥0，求出b ＝1．代入原式中可得a ＝±2．由算术平方根的定义可得到算术平方根的双非负性：①a 中a ≥0； ②a ≥0.运用算术平方根的双非负性是挖掘隐含条件的常用方法.【例3】 已知实数m ，n ，p 满足等式=--⋅+-n m n m 199199p n m p n m -++--+32253，求p 的值．（北京市竞赛试题）解题思路：观察发现）（n m +-199，）（n m --199互为相反数，由算术平方根定义、性质探寻解题的切入点．【例4】已知a ，b 是有理数，且032091412)12341()2331(=---++b a ，求a ，b 的值． 解题思路：把原等式整理成有理数与无理数两部分，运用实数的性质建立关于a ，b 的方程组.实数有以下常用性质：①若a ，b 都是有理数，c 为无理数，且0c b a =+，则a ＝b ＝0;②若a ，b ，c ，d 都是有理数，c ，d 为无理数，且“d b +=+c a ，则a ＝b ，d c =． 要证一个数是有理数，常证这个数能表示成几个有理数的和、差、积、商的形式；要证一个数是无理数，常用反证法，即假设这个数为有理数，设法推出矛盾. 想一想怎样证明2是无理数？【例5】一个问题的探究问题：设实数x ，y ，z 满足xyz ≠0．且0=++z y x .求证：zy x z y x 111111222++=++ 在上述问题的基础上，通过特殊化、一般化，我们可编拟出下面两个问题： (1)设a ，b ，c 为两两不相等的有理数，求证：222)(1)(1)(1a c c b b a -+-+-为 有理数． （2）设222222200912008113121121111+++⋅⋅⋅++++++=S ，求S 的整数部分. 解题思路：从公式)(2)(2222ac bc ab c b a c b a +++++=++入手．【例6】设22121111++=S ，22231211++=S ，22341311++=S ，…，22)1(111+++=n n S n ， 求n S S S +⋅⋅⋅++21的值（用含n 的代数式表示，其中n 为正整数）．（四川省成都市中考试题）解题思路：解答此题的关键是将n S 变形为一个代数式的平台。
能 力 训 练A 级1．在实数－4，23，0，12-，64，327，271中，共有_______个无理数． （贵州省贵阳市中考试题）2．设33=a ，b 是2a 的小数部分，则3)2(+b 的值为____ .(2013年全国初中数学竞赛试题)3．已知094=-+-b a ，则22222b a aba b ab a --⋅+的值为_______． （山东省济南市中考试题）4．观察下列各式：1131432112+⨯+=⨯⨯⨯+， 1232543212+⨯+=⨯⨯⨯+，1333654312+⨯+=⨯⨯⨯+，)(:)2():)(y x y x B A B A -+=-+（猜测：=⨯⨯⨯+20082007200620051________ .（辽宁省大连市中考试题）5．已知有理数A ，B ，x ，y 满足0≠+B A ，)(:)2():)(y x y x B A B A -+=-+（，那么):B A A +（＝________.A. )2:3y x x +（B. )24:3y x x +（C. ):y x x +（D. )2:2y x x +（（2013年“实中杯”数学竞赛试题）6．若x ，y 为实数，且022=-++y x ，则2009)(yx的值为( )．A. 1B ．－1C ．2D ．－2（天津市中考试题）7．一个自然数的算术平方根为a ，则和这个自然数相邻的下一个自然数是( )． A. aB ．12+aC ．12+aD ．1+a（山东省潍坊市中考试题）8．若2)(11y x x x +=---，则y x -的值为( )．A ．－1B ．1C ．2D ．3（湖北省荆门市中考试题）9．已知b a m x +=是m 的立方根，而36-=b y 是x 的相反数，且73-=a m ，求x 与y 的平方和的立方根．10.计算：2122221111个个n n ⋅⋅⋅-⋅⋅⋅． （广西竞赛试题） 11.若a ，b 满足753=+b a ，求b a S 32-=的取值范围．（全国初中数学联赛试题）B 级1．x 与y 互为相反数，且3=-y x ．那么122++xy x 的值为____．（全国初中数学竞赛试题）2．若128421=⋅+x x ，则x 的值为_______ ．（海南省竞赛试题）3．已知实数a 满足a a a =-+-20052004，则22004-a ＝_______ . 4．5的整数部分为a ，小数部分为b ，则b a ⋅+)5(的值为____．（广东省竞赛试题）5．已知非零实数a ，b 满足a b a b a 24)3(2422=+-+++-，则b a +等于( )． A ．－1B ．0C ．1D ．2（“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）6．已知12-=a ，23-=b ，26-=c ．则a ，b ，c 的大小关系是( )．A. c b a ＜＜B. b c a ＜＜C. c a b ＜＜D. a c b ＜＜7．已知：11=-a a，那么代数式a a +1的值为( )．A ．25B ．25-C ．5-D. 5（重庆市竞赛试题）8．下面有3个结论：①存在两个不同的无理数，它们的差是整数； ②存在两个不同的无理数，它们的积是整数；③存在两个不同的非整数的有理数，它们的和与商都是整数. 其中，正确的结论有( )个．A.0 B ．1 C ．2 D ．3（江苏省竞赛试题）9．已知20052+a 是整数，求所有满足条件的正整数a 的和．（“CASIO 杯”武汉市竞赛试题）10.设dcx bax y ++=，a ，b ，c ，d 都是有理数，x 是无理数. 求证：(1) 当ad bc =时，y 是有理数； (2) 当ad bc ≠时，y 是无理数．11.已知非零实数a ，b 满足a b a b a 24)3(2422=+-++++.求b a +值．（“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）专题12实数的概念与性质例1 土14提示：由条件得a －2＝0,b ＋4＝0,a ＋b －2c ＝0，则a ＝2，b ＝－4，c ＝－1．故（ac ）b＝[2×（一1）]－4＝116，116的平方根为土14．； 例2 B例3 由⎩⎨⎧m －199＋n ≥0199－m －n ≥0,得⎩⎨⎧m ＋n ≥199m ＋n ≤199．∴m ＋n ＝199. ∴032253=-++--+p n m p n m ，由非负数性质，得⎩⎨⎧=-+=--+0320253n m p n m解得p =201。
例4 已知等式整理，得032091121214124131=⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+b a b a 因为a ，b 是有理数，所以04124131=-+b a 且0209112121=--b a ， 解得⎪⎩⎪⎨⎧==514533b a 例5 xyz zy x z y x xz yz xy z y x z y x ++⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++211111*********2222 =2111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++z y x故z y x z y x 111111222++=++，进一步 y x y x y x y x +-+=+++111111222）（. （1）可证明 2222111)(1)(11⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-=-+-+-a c c b b a a c c b b a ）（ （2）令x =1，y =n ，得1111)1(11122+-+=+++n n n nS =20091-200920091-20081141-31131-21121-111=⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 故S 的整数部分为2008.例6 ∵222)1(11)1(12)1(11)1(121111⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=n n n n n n n n n n S n∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=1111)1(11)1(112n n n n n n S n ∴原式=12111111131-21121-112++=+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n n n n n nA 级1. 22. 9 提示：(),933232==a 327982333=<<=，则b =2-93, b +2=39故 ()()992333==+b3.8116 4. 12005320052+⨯+ 5. B 提示：由题知yx yx B A B A +-=+-2， 则,2)2()()(y x y x y x B A B A B A +++-=+++-）（即y x xB A A +=+232，故yx x B A A 243+=+ 6. B 7. B 8. C 9. 210. 原式=个个个n n n n 111211110111⨯-+⨯=个个n n n 111-10111⨯ =）（个1-10111n n ⨯ = 个个n n 999111⨯= 个n 333 11. 由题中条件⎪⎩⎪⎨⎧=-=+Sb a b a 32753①×3 + ②×5 得 S a 52119+= ①×2 - ②×3 得 S b 31419-=。