高中数学复习专题讲座运用向量法解题的思路及方法

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高中向量方法和解题技巧

高中向量方法和解题技巧向量的定义和表示方法向量是有方向和大小的量。

在数学中，通常用箭头表示一个向量，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

向量通常用两个点表示，一个点表示向量的起点，另一个点表示向量的终点。

向量的起点通常都是原点，所以我们可以用终点的坐标来表示一个向量。

以二维平面为例，一个向量可以表示为 (x, y)，其中 x 和 y 分别表示向量在 x 轴和 y 轴上的分量。

同样地，在三维空间中，一个向量可以表示为 (x, y, z)。

向量的运算向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。

具体来说，对于两个向量 A 和 B，其加法运算的结果是一个新的向量 C，表示为 C = A + B。

向量加法的运算规则如下：- 如果两个向量的方向相同，那么它们的加法结果是两个向量大小的和，并且方向与原来的向量相同。

- 如果两个向量的方向相反，那么它们的加法结果是两个向量大小的差，并且方向与绝对值较大的向量相同。

向量的数量乘法向量的数量乘法是指将一个向量乘以一个标量得到一个新的向量。

具体来说，对于一个向量 A 和一个标量 k，它们的数量乘法运算的结果是一个新的向量 B，表示为 B = kA。

向量数量乘法的运算规则如下：- 如果标量 k 大于 1，那么新向量 B 的大小是向量 A 大小的 k 倍，方向与原向量相同。

- 如果标量 k 等于 1，那么新向量 B 与原向量 A 相等。

- 如果标量 k 在 0 和 1 之间，那么新向量 B 的大小是原向量 A大小的 k 倍，方向与原向量相反。

- 如果标量 k 等于 0，那么新向量 B 的大小为 0，方向没有定义。

向量的解题技巧利用向量相等解方程在解方程的过程中，我们可以利用向量的性质来简化计算。

具体来说，如果两个向量相等，那么它们的分量也相等。

因此，我们可以将方程表示为两个向量相等的形式，然后比较各个分量，从而求解方程。

利用向量平行解问题在解决一些几何问题时，我们可以利用向量的平行性质。

2025届高考数学二轮复习提升微专题几何篇第06讲怎样用向量法解三角函数问题含解析

第06讲怎样用向量法解三角函数问题一、学问与方法本讲主要探究平面对量与三角函数以及解三角形的综合问题的命题形式与解题思路,主要体现在以下 3 个方面。

（1）题设给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解.（2）给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量表达式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,探求值域或最值或参数的取值范围等.（3) 运用向量法解三角形主要是向量的垂直与夹角问题,一对向量垂直与向量所在直线的垂直是一样的,向量的线性运算与向量的坐标运算是求解两向量关系问题的两大途径,关于夹角问题,可以把两个向量的夹角放在三角形中,利用正余弦定理. 三角形的面积公式求解.二、典型例题【例1】(1) .在锐角ABC 中,若137,8,,cos ,sin ,22a b m A n A ⎛⎫⎛⎫====- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 且m ⊥n , 则ABC 的面积为().A.C. D.(2) .平面直角坐标系中,角θ满意()34sin,cos ,0,12525OA θθ=-==-,设点B 是角θ终边上一动点,则| OA OB -∣的取值范围为【分析】第(1)问,要求三角形的面积,只需求出B ∠的正弦值,而这就要借助已知条件两个向量的垂直关系,先求出A ∠, 进而再运用正弦定理求(B ∠或其三角函数值),最终利用三角形的内角定理,找到问题的解. 第(2)问是三角函数定义、二倍角公式与用坐标运算). 两个视角各具特色,作为填空题, 从“形”的角度处理相对简捷.【解析】(1) 1,sin 02m n A A ⊥∴=, 又090,cos 0A A ∠<<∴≠则有tan A =因此60A ∠=.由正弦定理知sin sin a b A B=, 又7,8,60a b A ∠===, 843sin sin6077B ∴==又ABC 为锐角三角形,1cos 7B ∴=.()11sin sin sin cos cos sin 272714C A B A B A B =+=+=+⨯=1sin 2ABCSab C ∴==故选C . （2）【解法1】由2247sin 2sincos,cos 2cos 12225225θθθθθ==-=-= 可得 θ 为第四象限的角,且 sin 24tan cos 7θθθ==-. ∴ 点 B 在射线 ()2407y x x =-, 即 ()24700x y x += 上运动.又 OA OB BA -=, 而点 A 到射线的距离为 725d ==, 故所求取值范围为 7,25∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭. 【解法2】设OB t =, 由2247sin 2sincos,cos 2cos 12225225θθθθθ==-=-=, 可得θ为第四象限的角, 324cos<,cos sin 225OA OB πθθ⎛⎫∴=-=-= ⎝⎭>⎪. 由2222248||212cos<,125OA OB OA OB OA OB t t OA OB t t -=+-⋅=+-=+>-224494925625625t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（当且仅当2425t =时等号成立），故OA OB -的取值范围为7,25∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.【解法3】由 2247sin 2sincos,cos 2cos 12225225θθθθθ==-=-=设 (0)OB t t =>, 则依据三角函数定义可得点 B 坐标为 724,2525t t ⎛⎫-⎪⎝⎭.由此可得 2222227242477||012525252525OA OB t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(当且仅当 2425t = 时等号成立).故 OA OB - 的取值范围为 7,25∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.【例2】（1）已知,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 且()3cos cos cos 2αβαβ+-+=, 求α和β的值; (2) 求246cos cos cos 777πππ++的值. 【解析】(1) 原条件可化为()3sin sin 1cos cos cos 2αβαβα+-=-. 构造向量()()sin ,1cos ,sin ,cos m n ααββ=-=由m nm n ⋅得23cos sin 2αα-+解得211 cos 0,cos ,0,222πααα⎛⎫⎛⎫-=∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭3πα∴=.3παββ=根据和的对称性可知(2) 如图129-所示,将边长为 1 的正七边形ABCDEFO 放人直角坐标系中,则()224466 1,0,cos ,sin ,cos ,sin ,cos ,sin 777777OA AB BC CD ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭8810101212cos ,sin,cos ,sin ,cos ,sin .777777DE EF FO ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0OA AB BC CD DE EF FO ++++++=故2468101224 1coscos cos cos cos cos ,0sin sin 77777777ππππππππ⎛+++++++++ ⎝()681012sinsin sin sin 0,07777ππππ⎫+++=⎪⎭即246810121coscos cos cos cos cos 0777777ππππππ++++++=，① 86104122 coscos ,cos cos ,cos cos 777777ππππππ===由三角函数诱导公式可得 ∴①式可化为24612cos cos cos 0.777πππ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭2461coscos cos 7772πππ∴++=-【例3】已知()()() cos ,sin ,cos ,sin ,sin 2sin ,cos 2cos a b x x c x x αααα===++，其中0x απ<<<。

数学解决向量问题的常用方法和技巧

数学解决向量问题的常用方法和技巧向量在数学中起着重要的作用，广泛应用于物理、计算机科学等领域。

解决向量问题是数学学习中的重要内容之一。

本文将介绍解决向量问题的常用方法和技巧，帮助读者更好地理解和运用向量。

一、向量的基本概念和表示方法向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。

在解决向量问题时，首先需要了解向量的基本概念和表示方法。

1. 向量的表示方法向量可以用各种方法来表示，最常见的有以下两种方式：（1）以一个带箭头的小写字母表示，如a、a、a等；（2）以一个有向线段上的两个点表示，箭头指向的点为起点，另一个点为终点，如a AB表示以点A为起点，点B为终点的向量。

2. 向量的基本运算在解决向量问题时，常常需要进行向量的基本运算，包括加法、减法、数乘等。

（1）向量的加法向量的加法满足以下规律：对于任意两个向量a和a，a+a=a+a。

即向量的加法满足交换律。

（2）向量的减法向量的减法满足以下规律：对于任意两个向量a和a，a-a=a+(-a)，其中-a称为向量a的负向量。

（3）数乘数乘指的是一个向量与一个数的乘法，即将向量的每个分量乘以该数。

二、解决向量问题的常用方法对于向量问题的解决，具体方法因题而异，但仍然存在一些常用的方法和技巧。

1. 向量的数量积向量的数量积也称为内积或点积，表示为a·a，其计算方法为a·a=|a||a|cos a，其中a为a和a之间的夹角。

通过计算数量积，可以获得向量的夹角、判断向量的垂直性等。

2. 向量的向量积向量的向量积也称为叉积或外积，表示为a×a，其计算方法为a×a=|a||a|sin aa，其中a为a和a之间的夹角，a为垂直于a和a的单位法向量。

向量的向量积常用于求解平面的面积、判断向量的平行性等。

3. 向量的投影向量的投影指的是将一个向量在另一个向量上的投影，通过投影可以得到向量在某个方向上的分量。

在解决向量问题时，有时需要将一个向量分解为两个相互垂直的向量，这时就可以利用向量的投影来实现。

向量解题四个思路

向量解题四个思路嘿呀，朋友们！今天来唠唠向量解题的四个思路呀，这向量题有时候挺让人头疼的，但掌握了思路就好对付多了呢，听我给你们讲讲我同学做题那事儿，你们就能更明白了。

我同学小李呀，数学还行，可一碰到向量题就犯愁。

有次考试里有好几道向量的大题呢，把他给急得呀，抓耳挠腮的。

第一个思路就是利用向量的几何意义去解题啦。

就好比给了两个向量，让求它们相加后的模长啥的，这时候你就可以把向量画出来呀，按照向量相加的平行四边形法则或者三角形法则，把它们在图上表示出来，然后通过几何图形里的边长呀、角度这些关系去算。

小李那次遇到个题，是已知两个向量的夹角和模长，求它们和向量的模长，他一开始没思路，后来试着画图，把那两个向量按照法则一组合，再看着图里的直角三角形，用勾股定理就慢慢算出答案了，当时他那眼睛都亮了，嘴里嘟囔着：“哎呀，原来这么一画，就好弄多了呀。

”第二个思路呢，是坐标法。

把向量放在坐标系里，用坐标来表示向量，这样向量的运算就变成坐标的运算了，多简单呀。

像有回作业里有个题，要判断几个向量是不是平行，小李就给那些向量都标上坐标，然后根据向量平行的坐标判定条件，看看横坐标和纵坐标的比例关系，一下子就判断出来了，还挺得意地跟我说：“嘿，这坐标法用着可太顺手了呢。

”还有就是利用向量的数量积公式啦。

要是求两个向量的夹角，或者证明一些垂直关系啥的，数量积公式就派上用场了。

小李在做一道证明两向量垂直的题时，把相关向量的数量积一算，结果是零，那就说明它们垂直呀，他可高兴了，觉得这思路真巧妙呢。

最后一个思路就是基底法，选好一组基底向量，把其他向量用这组基底表示出来，再去运算解题。

小李刚开始用这个不太熟练，后来多练了练，发现有些复杂的向量关系用基底法一梳理，也能轻松搞定了呢。

从小李做向量题这事儿就能看出来呀，这向量解题的四个思路各有各的妙处，多练练，遇到题的时候找准思路，那向量题就能轻松拿下啦，哈哈，大家要是做向量题也可以试试哦。

高考数学难点突破_难点03__运用向量法解题

高考数学难点突破_难点03__运用向量法解题运用向量法解题是高考数学中的一个难点，需要掌握向量的性质和运算规则，并能够灵活运用向量的概念和方法解决问题。

下面将结合具体例题，深入探讨如何突破这一难点。

例题一：已知点A(2,1)，B(4,5)，C(6,3)，求点D使得ABCD为平行四边形。

解析：首先，我们可以使用向量的方法来解决这一问题。

设向量AB 为a，向量AD为b，则向量AC为a+b。

根据平行四边形的性质，向量BD 与向量AC平行且等长，即向量BD与向量AC共线且大小相等。

由向量的定义可知，向量BD=向量AC=(6-2,3-1)=(4,2)。

所以点D的坐标为B的坐标加上向量BD的坐标，即D(4,5)+(4,2)=(8,7)。

通常情况下，解这类问题时可以设A、B、C三点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)，向量AB为a=(x2-x1,y2-y1)，向量AC为a+b。

然后，我们可以用(x1,y1)+b=(x4,y4)代表点D的坐标。

再将向量BD与AC进行运算，找到满足平行四边形的点D坐标。

例题二：已知直线l的方程为x-2y+3=0，点A(1,2)，求点P使得AP 垂直于直线l。

解析：根据题意，点P在直线l上，假设点P的坐标为(x,y)。

则向量AP=(-1,2)+(x-1,y-2)=(x-2,y)。

由垂直向量的性质可知，向量AP与直线l的法向量垂直。

直线l的法向量为(1,-2)。

因此，AP与(1,-2)的点乘为0，即(x-2,y)•(1,-2)=0。

将点乘展开计算，得到x-2y=2、由此可得到点P的坐标为(x,y)=(2,-1)。

综上所述，使用向量法解题可以使解题过程更加简洁明了。

但是在运用向量法解题时，需要掌握向量的性质，并能够运用垂直、平行、共线和点乘等相关概念来解决不同类型的问题。

同时，我们还需要注意合理地选取坐标系和使用向量的运算规则。

合理地选取坐标系可以简化计算，使问题更具可行性。

高考数学如何利用向量解决几何问题

高考数学如何利用向量解决几何问题高考数学是中国高中生的重要一课，其中几何问题一直是考试的重点之一。

在解决几何问题时，向量是一种常用的工具和方法。

本文将介绍如何利用向量来解决高考数学中的几何问题，并提供几个实例来加深理解。

一、向量简介向量是指有大小和方向的量，常用箭头表示，如A B⃗。

向量可以表示位移、速度、力等概念。

向量的加法、减法和数乘运算与数的运算类似。

在几何中，常用向量表示线段。

例如，A B⃗表示从点A到点B的位移向量。

二、向量的基本性质1. 平行向量：若两个向量的方向相同或者相反，则它们是平行向量。

2. 相等向量：若两个向量的大小相等且方向相同，则它们是相等向量。

3. 垂直向量：若两个向量的数量乘积为0，则它们是垂直向量。

三、向量解决几何问题的应用1. 判断线段垂直、平行关系利用向量的垂直性质可以判断两个线段是否垂直。

设A B⃗和C D⃗是两个线段的位移向量，若A B⃗·C D⃗ = 0，则可以得出线段A B⃗和C D⃗垂直。

利用向量的平行性质可以判断两个线段是否平行。

设A B⃗和C D⃗是两个线段的位移向量，若存在λ，使得A B⃗ = λC D⃗，则可以得出线段A B⃗和C D⃗平行。

2. 求线段的中点坐标设A B⃗是线段AB的位移向量，点M是线段AB的中点，则A M⃗= M B⃗ = 1/2A B⃗。

利用向量的数乘运算可以求得线段中点的坐标。

3. 判断三角形的形状利用向量可以判断三角形的形状，包括等腰三角形、等边三角形和直角三角形。

对于等腰三角形，可以利用向量A B⃗和A C⃗的相等性质来判断，若A B⃗ = A C⃗或者A B⃗ = -A C⃗，则可以得出三角形ABC是等腰三角形。

对于等边三角形，可以利用向量A B⃗、B C⃗和C A⃗相等性质来判断，若A B⃗= B C⃗= C A⃗，则可以得出三角形ABC是等边三角形。

对于直角三角形，可以利用向量的内积来判断，若A B⃗·B C⃗ = 0或者B C⃗·C A⃗ = 0或者C A⃗·A B⃗ = 0，其中·表示两个向量的数量乘积，则可以得出三角形ABC是直角三角形。

高中数学向量题型详解和解答技巧

高中数学向量题型详解和解答技巧在高中数学中，向量是一个重要的概念，它不仅在几何中有着广泛的应用，而且在物理等其他学科中也具有重要的作用。

掌握好向量的性质和运算规则，对于解答数学题目至关重要。

本文将详细解析高中数学中的向量题型，并给出解答技巧，帮助读者更好地理解和掌握相关知识。

一、向量的基本概念和性质在开始解答向量题目之前，我们首先需要了解向量的基本概念和性质。

向量是有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。

向量的大小叫做向量的模，通常用|AB| 或 ||AB|| 表示。

向量的方向可以用有向线段的方向来表示，也可以用角度来表示。

在向量的运算中，我们常常会用到向量的加法、减法和数量乘法。

向量的加法满足交换律和结合律，即 A+B=B+A，(A+B)+C=A+(B+C)；向量的减法可以看作是加上一个相反向量，即 A-B=A+(-B)；向量的数量乘法满足分配律，即k(A+B)=kA+kB，(k+l)A=kA+lA。

二、向量的坐标表示和运算在解答向量题目时，我们通常会用坐标表示向量。

对于平面上的向量，我们可以用两个有序实数表示，称为向量的坐标。

例如，向量 AB 的坐标可以表示为 (x2-x1, y2-y1)。

在进行向量的运算时，我们可以利用向量的坐标表示进行计算。

向量的加法和减法可以直接对应坐标的加法和减法，即 (x1, y1)+(x2, y2)=(x1+x2, y1+y2)，(x1,y1)-(x2, y2)=(x1-x2, y1-y2)。

向量的数量乘法也可以直接对应坐标的数量乘法，即k(x, y)=(kx, ky)。

三、向量的共线和垂直性质在解答向量题目时，我们经常会遇到判断向量共线和垂直的情况。

两个向量共线的条件是它们的方向相同或相反，即向量 A=kB 或 A=-kB。

两个向量垂直的条件是它们的数量积为零，即 A·B=0。

根据共线和垂直的性质，我们可以解决一些与共线和垂直相关的题目。

例如，已知向量 A 和向量 B 的坐标分别为 (2, 3) 和 (-1, 2)，求证向量 A 和向量 B 垂直。

高中数学平面向量及其应用的解题技巧

高中数学平面向量及其应用的解题技巧高中数学中，平面向量是一个重要的概念，它在各个数学分支中都有广泛的应用。

掌握平面向量的解题技巧，不仅能够帮助我们更好地理解数学知识，还能够提高解题的效率和准确性。

本文将从基本概念、解题方法和应用举例三个方面，介绍高中数学平面向量的解题技巧。

一、基本概念平面向量是空间中的一个有向线段，可以用有序数对表示。

在平面直角坐标系中，向量可以表示为(a, b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的投影。

向量的模表示向量的长度，记作|AB|或||AB||。

向量的方向可以用与x轴正方向的夹角表示。

二、解题方法1. 向量的表示与运算在解题过程中，我们需要掌握向量的表示与运算方法。

例如，已知向量A(3,4)和向量B(-2,1)，求向量A与向量B的和、差以及数量积。

解答：向量A与向量B的和为A+B=(3+(-2),4+1)=(1,5)；向量A与向量B的差为A-B=(3-(-2),4-1)=(5,3)；向量A与向量B的数量积为A·B=3×(-2)+4×1=-6+4=-2。

2. 向量的模和方向在解题过程中，我们需要计算向量的模和方向。

例如，已知向量A(3,4)，求向量A的模和方向。

解答：向量A的模为|A|=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5；向量A的方向可以用与x轴正方向的夹角表示，tanθ=4/3，所以θ=arctan(4/3)≈53.13°。

3. 向量的共线与垂直在解题过程中，我们需要判断向量的共线与垂直关系。

例如，已知向量A(3,4)和向量B(6,8)，判断向量A与向量B是否共线或垂直。

解答：向量A与向量B的方向相同，且比值相等，即3/6=4/8=1/2，所以向量A与向量B共线。

三、应用举例1. 平面向量的线性运算已知向量A(2,3)和向量B(1,2)，求2A-3B的模和方向。

解答：2A-3B=2(2,3)-3(1,2)=(4,6)-(3,6)=(1,0)；2A-3B的模为|2A-3B|=√(1²+0²)=√1=1；2A-3B的方向与x轴正方向平行，即与x轴的夹角为0°。

向量证明题的解题思路与方法备课教案

向量证明题的解题思路与方法备课教案引言：向量证明题在高中数学中是一个重要的内容，它既考察了学生对向量的理解与运用，又培养了学生的逻辑思维能力和证明能力。

本教案旨在帮助学生掌握解决向量证明题的思路和方法。

一、认识向量：1. 向量的定义和计算方法。

2. 向量的加法、减法、数乘运算规则。

3. 向量的模、方向角和坐标表示。

二、向量的基本性质：1. 平行向量和共线向量的判定条件。

2. 直角向量和垂直向量的判定条件。

3. 零向量和单位向量的性质。

三、向量证明题的解题思路：1. 从已知条件出发，分析所求结论与已知条件之间的关系。

2. 利用向量的性质和运算规则，推导出结论所需要的等式或不等式。

3. 结合数学推理和几何直观，进行具体的证明过程。

4. 注意过程中的每一步都要有严密的逻辑推理，符合数学证明的规范。

四、向量证明题的常见类型：1. 平行四边形性质的证明。

2. 中点定理和角平分线性质的证明。

3. 向量共线定理和向量垂直定理的证明。

4. 三角形的几何性质与向量的等价关系证明。

五、解题方法的实践演练：1. 给出若干向量证明题的实例，引导学生按照解题思路进行推导证明。

2. 鼓励学生在实践中灵活运用向量的性质，寻找适当的角度解决问题。

3. 指导学生在纸上画图，辅助推理过程，增强几何直观感。

六、巩固与拓展：1. 提供一些参考资料和习题，供学生自主练习。

2. 鼓励学生参加数学竞赛，拓宽解题思路和应用能力。

结语：通过本教案的学习，相信学生们对向量证明题的解题思路和方法有了更深入的了解。

在今后的学习中，他们将能够熟练运用向量知识解决各类证明题，提升数学学科素养和解题能力。

高考数学中的平面向量与空间向量几何问题解析技巧

高考数学中的平面向量与空间向量几何问题解析技巧在高考数学中，平面向量与空间向量是一个重要而且常见的考点。

理解和掌握平面向量与空间向量的几何问题解析技巧对于解题非常关键。

本文将通过实例和分析，介绍高考数学中平面向量与空间向量几何问题解析的技巧和方法。

一、平面向量的几何问题解析技巧1. 问题转化为向量求解在解决平面向量的几何问题时，可以将问题转化为向量求解的问题。

通过将图形和线段等几何信息表示成向量形式，可以简化问题的复杂度，从而更容易求解。

例如，给定平面中的三角形ABC，若已知点A、B、C的坐标，要求证明三角形ABC是等腰三角形。

我们可以将AB和BC两个向量相等，即AB = BC，然后通过向量的运算和坐标的计算来证明等腰性质。

2. 平面向量的投影问题在解决平面向量的投影问题时，我们可以运用向量的投影公式来求解。

向量的投影是一个较为常见的考点，多表现为线段或者阴影的长度。

例如，给定平面中的点P和直线L，要求求点P到直线L的距离。

我们可以先求点P到直线L的方向向量以及直线L上的点B坐标，然后使用向量的投影公式计算出点P到直线L的距离。

3. 平面向量的共线问题解决平面向量的共线问题时，我们可以运用向量共线的判断方法。

共线的判断一般通过向量的线性组合关系来实现。

例如，给定平面中的三个点A、B、C，要求判断三个点是否共线。

我们可以将AB和BC两个向量进行线性组合，若存在实数k使得AB+ kBC = 0，则可以判定三个点共线。

二、空间向量的几何问题解析技巧1. 空间向量的平行问题在解决空间向量的平行问题时，我们可以通过向量的夹角关系来判断。

例如，给定空间中的向量a和向量b，要求判断向量a和向量b是否平行。

我们可以计算向量a和向量b的夹角，若夹角为0度或180度，则可以判定向量a和向量b平行。

2. 空间向量的垂直问题在解决空间向量的垂直问题时，我们可以通过向量的数量积关系来判断。

例如，给定空间中的向量a和向量b，要求判断向量a和向量b是否垂直。

高中数学向量运算题解题技巧

高中数学向量运算题解题技巧在高中数学中，向量运算是一个重要的知识点，也是考试中常常出现的题型之一。

掌握好向量运算的解题技巧，可以帮助我们更好地解答相关问题。

本文将介绍一些高中数学向量运算题解题技巧，希望对广大高中学生及其父母有所帮助。

一、向量的加法和减法向量的加法和减法是向量运算中最基本的操作。

在解题过程中，我们需要注意以下几点：1. 向量的加法满足交换律和结合律，即A + B = B + A，(A + B) + C = A + (B +C)。

这样的性质可以帮助我们在计算过程中进行合理的变换，简化计算步骤。

2. 在计算向量的加法和减法时，我们需要保持向量的方向和大小不变。

可以通过画图的方式来帮助理解和计算。

举例说明：题目：已知向量A = 3i + 2j，向量B = 4i - 5j，求向量A + B和向量A - B。

解析：根据向量的加法和减法定义，我们可以直接对向量的i和j分量进行运算。

计算得到向量A + B = (3 + 4)i + (2 - 5)j = 7i - 3j，向量A - B = (3 - 4)i + (2 + 5)j= -1i + 7j。

二、向量的数量积向量的数量积是向量运算中的另一个重要概念。

在解题过程中，我们需要注意以下几点：1. 向量的数量积满足交换律和结合律，即A·B = B·A，(kA)·B = k(A·B)，其中k为常数。

这样的性质可以帮助我们在计算过程中进行合理的变换，简化计算步骤。

2. 在计算向量的数量积时，我们需要注意向量的方向和大小。

向量的数量积等于向量的模长乘积与夹角的余弦值的乘积。

举例说明：题目：已知向量A = 3i + 2j，向量B = 4i - 5j，求向量A·B的值。

解析：根据向量的数量积定义，我们可以直接对向量的i和j分量进行运算。

计算得到向量A·B = (3)(4) + (2)(-5) = 12 - 10 = 2。

高中数学向量与平面解析几何的应用及解题技巧

高中数学向量与平面解析几何的应用及解题技巧数学中的向量与平面解析几何是高中数学中的重要内容，也是学生们常常感到困惑的部分。

在本文中，我将重点介绍向量与平面解析几何的应用及解题技巧，帮助高中学生更好地理解和掌握这一知识点。

一、向量的应用1. 向量的加法与减法向量的加法与减法是向量的基本运算，也是解决向量问题的基础。

在解题过程中，我们常常需要将问题转化为向量问题，并利用向量的加法与减法进行求解。

例如，已知向量a = 3i + 4j，向量b = 2i - 5j，求向量c = 2a - 3b的分量表示。

解题思路：首先，根据向量的加法与减法，我们可以得到c = 2a - 3b = 2(3i + 4j) - 3(2i - 5j) = (6i + 8j) - (6i - 15j) = 21j。

因此，向量c的分量表示为0i + 21j。

2. 向量的数量积与向量的夹角向量的数量积与向量的夹角是向量的重要性质，也是解决向量问题的关键。

在解题过程中，我们常常需要利用向量的数量积与向量的夹角进行计算。

例如，已知向量a = 3i + 4j，向量b = 2i - 5j，求向量a与向量b的数量积及夹角。

解题思路：首先，根据向量的数量积的定义，我们可以得到a·b = 3*2 + 4*(-5)= -14。

然后，根据向量的数量积与向量的夹角的关系，我们可以得到cosθ = (a·b)/(|a|*|b|) = -14/(√(3^2+4^2)*√(2^2+(-5)^2)) = -14/(√25*√29) = -14/(5*√29)。

因此，向量a与向量b的数量积为-14，夹角θ的cos值为-14/(5*√29)。

二、平面解析几何的应用1. 平面直线的方程平面直线的方程是平面解析几何的基本内容，也是解决平面直线问题的关键。

在解题过程中，我们常常需要根据已知条件建立平面直线的方程，并利用方程进行求解。

例如，已知平面直线l过点A(1, 2, 3)且与向量a = i + 2j + 3k垂直，求平面直线l的方程。

高考数学中的向量运算及其应用技巧

高考数学中的向量运算及其应用技巧向量是高中数学中非常重要的一部分，它不仅有着广泛的应用，而且在高考中也是不可或缺的一部分。

在高考数学中，向量作为基础知识，被广泛应用于解析几何、平面几何、三角函数等领域。

本文将为大家介绍高考数学中的向量运算及其应用技巧，帮助同学们更好地掌握这一知识点。

一、向量运算1. 向量的加减法向量的加减法是向量运算中的基本操作。

向量的减法要用到相反向量。

向量的相反向量是指与其大小相等，方向相反的向量。

设向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$，则它们的加法与减法运算如下：$$\vec{a}+\vec{b}=\vec{c}$$$$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})=\vec{d}$$其中 $\vec{c}$ 为向量的和， $\vec{d}$ 为向量的差。

2. 向量的数量乘法向量的数量乘法是指向量与一个实数的积，用来改变向量的大小和方向。

设向量$\vec{a}$，实数$k$，则它们的数量乘法如下：$$k\vec{a}=\vec{b}$$其中 $\vec{b}$ 的大小是 $\vec{a}$ 的大小的 $|k|$ 倍，如果$k$ 是正数，方向与 $\vec{a}$ 方向相同；如果 $k$ 是负数，方向与 $\vec{a}$ 方向相反。

3. 向量的数量积向量的数量积是指两个向量相乘，得到的是一个实数。

设向量$\vec{a}$，$\vec{b}$，则它们的数量积如下：$$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta $$其中 $\theta$ 是 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角。

由于 $\cos\theta$ 的范围是 $[-1,1]$，如果 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角小于$90^{\circ}$，那么它们的数量积是正数；如果夹角是$90^{\circ}$，那么数量积是 $0$；如果 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角大于$90^{\circ}$，那么数量积是负数。

高中数学平面向量的运用策略与技巧

高中数学平面向量的运用策略与技巧引言：数学中的向量概念在高中阶段被引入，平面向量作为其中的一种重要形式，具有广泛的应用。

掌握平面向量的运用策略与技巧，不仅可以帮助我们解决各类向量题目，还能提高我们的数学思维能力。

本文将从平面向量的基本概念出发，通过具体题目的举例，介绍平面向量的运用策略与技巧，帮助高中学生更好地掌握这一知识点。

一、平面向量的基本概念平面向量是由大小和方向共同确定的有向线段，通常用字母加箭头表示，如向量AB用→AB表示。

平面向量的运算包括加法、减法、数乘等，其中加法满足平行四边形法则。

在解决平面向量的问题时，首先要理解向量的基本概念，并能够准确地表示和运算。

例题1：已知向量→AB = 3→a + 2→b，→AC = →a - →b，求向量→BC的表达式。

解析：根据题意，可以得到→BC = →AC - →AB = (→a - →b) - (3→a + 2→b) = -2→a - 3→b。

因此，向量→BC的表达式为-2→a - 3→b。

二、平面向量的共线与共面在平面向量的运用中，共线与共面是常见的考点。

共线指的是两个或多个向量的方向相同或相反，即它们的向量积为零；共面指的是三个或多个向量在同一个平面上，即它们的混合积为零。

掌握共线与共面的判断方法，可以帮助我们更好地解决相关问题。

例题2：已知→AB = 2→a - →b，→AC = →a + →b，若→AB与→AC共线，求向量→a与→b的关系。

解析：由于→AB与→AC共线，所以它们的向量积为零，即(2→a - →b) × (→a + →b) = 0。

展开计算可得2→a × →a +2→a × →b - →b × →a - →b × →b = 0。

由于向量的交叉乘积满足反交换律，即→a × →b = -→b × →a，所以上式可以简化为2→a × →b - →b × →b = 0。

题目高中数学复习专题讲座运用向量法解题【精品资料】.doc

题目：高中数学复习专题讲座f 运用向量法解题高考要求：平面向量是新教材改革增加的内容Z —，近几年的全国使用新教材的高考试题逐渐加大了对这部分内容的考查力度，本节内容主要是帮助考牛运用向量法來分析，解决一些相关问题.重难点归纳：1. 解决关于向量问题吋，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识.二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想.2. 向量的数量积常用于有关向量相等,两向量垂直、射影、夹角等问题小•常用向虽的直介坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条肓线的夹角和两点间距离的问题.3. 用空间向量解决立体儿何问题一般可按以下过程进行思考：⑴耍解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？(2) 所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？(3) 所需耍的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别授易川哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量冇何关系？(4) 怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？典型题例示范讲解：例1如图，已知平行六面体ABCD —A }BiC }D }的底面 ABCQ 是菱形,.R. Z Ci CB= Z Ci CD= Z BCD. ⑴求证：C]C 丄BDCD (2)^ —的值为多少时, CC } 给岀证明・命题意图：本题主要考查考牛应川向量法解决向量垂直，夹角等问题以及对立体儿何图形的解读能办知识依托：解答木题的闪光点是以向虽来论证立体儿何中的垂直问题,这就使几何问题代数化，使繁琐的论证变得简单.错解分析：本题难点是考牛•理不清题目中的线血位置关系和数量关系的相互转化，再就是要清楚已知条件中提供的角与向量夹角的区别与联系.技巧与方法：利用万丄h <=>a b =0来证明两氏线垂宜，只要证明两首线对应的向量的数量积为零即叭能使AC 丄平面C\BD?请B(1)证明：设CD=a,不=5,疋=0,依题意，I刁1=厉1, CD. CB >CC X中两两所成夹角为〃，于是「 5——1c厂一口 / / //'BD = CD-~DB=a-h , /B -X a古-------CCj BD = c (a —b )=c • a —c • b =1? I *15Icos ^—\c I *\b Icos ^=0, ・•・C】C丄BD⑵解：若使A]C丄平面CiBD,只须证A|C丄3D, A]C丄DC lf由两• QD =(C4 +A4^)(C5-CC^)=(a+b +c ) • (a — c )=1512+5 • b —b ・c — Ic I2=I5I2—I? I2+I^ I • I a Icos 0—\b!•!?!• cos 〃=(),得当l5=lclR'J', A】C丄DC】，同理可证当I万1=10 I时，丄B£>,•晋1时, A]C丄平面C、BD・例2如图，直三棱柱ABC—A|B]C],底面AABC中,CA=CB=l f ZBCA=90°, AA|=2, M、N 分別是人向、AS的中点.(1)求丽的长；(2)求cosv两，画 >的值；⑶求证丄GM・命题意图：本题主耍考查考卞运用向量法中的坐标运算的方法来解决立体儿何问题.知识依托：解答本题的闪光点是建立恰当的空间直角坐标系0—xyz, 进而找到点的坐标和求出向最的坐标.错解分析：本题的难点是建系后，考牛•不能正确找到点的朋技巧与方法：可以先找到底面坐标面兀Oy内的4、B、C点坐标，然后利用向量的模及方向来找出其他的点的朋标.⑴解：如图，以C为原点建立空间直角坐标系0—厂込依题意得：3(0, 1, 0), N(l, 0, 1)⑶证明：依题意得：C](0, 0, 2), M(-,-,2)2 2 ----- 1 1 ------------・・・丽・^7 = (-1)><丄+ lx 丄+ (_2)x0 = 0,.・・^ 丄^?, 4^ 2:.A }B 丄 CM例 3 三角形中,水5, —1)、3(—1, 7)、r(l, 2),求： ⑴BC 边上的中线仙的长；⑵乙CAB 的平分线初的长；(3)cosMC 的值.一 1 +1 7 + 79 9解⑴点M 的坐标为妒丁7九—= -,.*.M(0,-)(2) I A^B 1= J(5 + l)2+(_[_7)2 = 10,1 元 I = J(5_l)2+(_]_2)2 = 5D 点分3C 的比为2・. -1 + 2x1 1 7 + 2x2 11• -X D = ------- = —,¥/)= ------- =— 1 + 2 3 D * 3.•.IBA? I=7(1-O)2+(O-1)2 +(l-0)2 = V3.(2) 解：依题意得：旳(1, 0, 2), C(0, 0, 0),创(0, 1, 2).・・・BA]=(l,-l,2),CB|=(0, 1, 2)两•西=1 X()+(—l)X 1+2X2=3I 两 1= 7(l-0)2+(0-l)2+(2-0)2 = V6I 两 1= 7(0-0)2+(l-0)2+(2-0)2 = V5/.cos < >= BA 】・Cd 3 _ V30~ V6-V5 ~ 10.J AM 1=』(5一0)2+(_1_舟)2I 丽 I 彳(5 —护+(-1一¥)2 =yV2.⑶ZABC是亦与荒的夹角，而BA=(6, 8), BC=(2, —5) •“门BABC6x2 + (-8)x(-5) 52 2629 …’ 一I 鬲I • I 庞丨一届 + (-8)2 •血2 + (—5)2 一10购一145学生巩固练习:1.设A、B、C、Q四点坐标依次是(一1, 0), (0, 2), (4, 3), (3, 1),则四边形ABCD为( )A・正方形B・矩形 C •菱形D・平行四边形r152.已知△A3C 中，AB = a f AC — b ,a ■ b vO, S HABC=—l=3J4b 1=5,则aUb的夹角是()A.30°B-150° C.150°De30°或150°3.将二次函数)=/的图象按向量7平移后得到的图象与--次函数y=2x —5的图象只有一个公共点(3, 1),贝炯量Q二_________ .4.等腰AABC和等腰RtAABP有公共的底边AB,它们所在的两个平面成60°角，若AB=16 cm4C=17 cm,则CD= ________ .5.如图，在ZVIBC 屮，设AB = a f AC =b , AP =c , AD= A a ,(0<A<\\AE =P b (Ovmvl),试用向量万，方表示乙・6.正三棱柱ABC—Ai5G的底面边长为a,侧棱长为V2⑴建立适当的处标系，并写出4、B、儿、G的坐标；⑵求4G与侧面ABBA所成的角.7.已知两点M(-l, 0), N(l, 0),且点P使丽關，丽•莎，而•丽成公差小于零的等差数列.(1)点P的轨迹是什么曲线?⑵若点P坐标为g),yo),Q为PM与PN的夹角，求伽比&已知E、F、G、//分别是空间四边形A BCD的边AB、BC、CD、DA 的中点.(1)用向量法证明E、F、G、H四点共而；(2)用向量法证明：〃平面EFGH；(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点0,有OM =T(OA+OB+OC+OD)・参考答案：1・解析：AB =(1, 2), DC =(1, 2),・ \AB = DC , :.AB //DC f又线段AB与线段DC无公共点，・・・AB〃DC且L4BI=IDCI,:.AB CD是平行四边形，XIABI=V5 , AC =(5, 3), IACI=V34,・•・I AB IHI AC },・•・ABCD不是菱形，更不是正方形;又^C=(4, 1),・・.1・4+2・1 =6工0,・••方不垂直于死，:.ABCD也不是矩形，故选D・答案：D2 解析：•.*- = -・3 ・ 5sin a得sin 心丄，则。