三维血管的重建

血管的三维重建

摘要

对于血管的三维重建，本文研究了血管这一类特殊管道的中轴线及其半径的算法，绘制中轴线在XY 、YZ 、ZX 平面的投影图这些问题，问题分为三部分。

针对第一部分，先将100张切片图片在MATLAB 中导出生成0-1矩阵数据，在计算100张切片的最大内切圆半径及对应圆心坐标，为减小误差求100张切片最大内切圆的平均半径41666.29 d 。中轴线的曲线方程可在MATLAB 中拟合得到。

针对第二部分，得到中轴线曲线方程在MATLAB 中绘制出中轴线方程的空间曲线，之后将其投影在XY 、YZ 、ZX 平面上。

针对第三部分，对100张切片进行叠加重合，得到血管的三维立体图，再通过MATLAB 对血管的三维立体图进行优化完成血管的三维重建。

关键词：MATLAB 软件

管道半径中轴线曲线方程

一、问题重述

1.1基本情况

断面可用于了解生物组织、器官等的形态。如果用切片机连续不断地将样本切成数十、成百的平行切片，可依次逐片观察。根据拍照并采样得到的平行切片数字图象，运用计算机可重建组织、器官等准确的三维形态。

1.2相关信息

假设某些血管可视为一类特殊的管道，该管道的表面是由球心沿着某一曲线（称为中轴线）的球滚动包络而成。

现有某管道的相继100张平行切片图象，记录了管道与切片的交。图象文件名依次为0.bmp、1.bmp、…、99.bmp，格式均为BMP，宽、高均为512个象素（pixel）。

取坐标系的Z轴垂直于切片，第1张切片为平面Z=0，第100张切片为平面Z=99。Z=z切片图象中象素的坐标依它们在文件中出现的前后次序为（-256，-256，z），（-256，-255，z），…（-256，255，z），

（-255，-256，z），（-255，-255，z），…（-255，255，z），

……

（255，-256，z），（255，-255，z），…（255，255，z）。

1.3提出的问题

问题一：计算出管道的中轴线与半径，给出具体的算法。

问题二：绘制中轴线在XY、YZ、ZX平面的投影图。

问题三：绘制血管的三维重建立体图。

二、问题分析

血管可视为一类特殊的管道，该管道的表面是由球心沿着某一曲线（称为中轴线）的球滚动包络而成。那么求管道半径问题可转化为求每张切片最大内切圆半径问题，中轴线曲线方程的模型建立可用问题一中求出的数据在MATLAB中拟合得到，题中所要求绘制的图像可通过MATLAB绘制得到。

针对问题一，因为血管可视为一种特殊的管道，管道的表面是由球心沿某一中轴线的球滚动包络，因此过球心的截圆半径就是血管半径，即为切片中包含的最大内切圆半径，再取100个最大内切圆半径平均值以缩小误差。首先将100张图片通过MATLAB导入将其转化为512×512的二维0-1矩阵，并运用MATLAB 中的edge函数求出边界。在第k张切片中，求出任意内点到边界上所有点的最小距离，在这些最小距离中取最大值，最大值即为最大内切圆半径，对应的内点即为每个切片的最大内切圆的圆心。对于中轴线的求解，上述问题分析可分别求出100张切片最大内切圆的圆心坐标及半径，为简化方程设t为参数变量，通过MATLAB拟合工具箱进行曲线拟合可以的到关于参数t的中轴线曲线方程。

针对问题二，基于问题一的基础上，通过MATLAB中拟合工具画出中轴线在的三维图像[1]，将其投影在XY、YZ、ZX平面上。

针对问题三，在MATLAB中用拟合工具将100张切片图像进行叠加重合，绘制出血管的三维图像，再用拟合工具进行优化还原得到血管的拟合还原图。

三、模型的假设

结合本题实际，为了确保模型求解的准确性和合理性，我们排除了一些因素的干扰，提出以下几点假设：

1.管道中轴线与每张切片有且只有一个交点。

2.球半径固定；切片间距以及图象象素的尺寸均为1。

3.假设某些血管可视为一类特殊的管道，该管道的表面是由球心沿着某一曲线（称为中轴线）的球滚动包络而成。

4.所有数据均是准确的，根据像素能够近似的画出图形。

5.对切片的拍照过程中不存在误差。

6.中轴线上任意两点处的法截面圆不相交。

四、符号说明

符号符号说明

d任意内点到边界点的距离

d100张切片最大内切圆半径平均值

dd最大内切圆半径

d第k张切片

k

X中轴线在X轴的参数方程

)(t

Y中轴线在Y轴的参数方程

)(t

Z中轴线在Z轴的参数方程

T中轴线参数方程

五、模型的建立与求解

通过建立数学模型求解出每张切片的最大内切圆半径，并得出最大内切圆的圆心坐标，借此拟合出血管中轴线的曲线方程，同时可绘制出中轴线在各坐标面上的投影，从而实现血管的三维重建。

5.1问题一

5.1.1血管半径的模型建立

题中将血管通过切片机切成100个平行切片，并给出这100张平行切片的二维平面图，这些平面图是由经过球心的球截面所截而得，其球截面是所有截圆中

半径最大的圆，半径最大圆的半径即为血管半径，再求出这100个最大内切圆半径的平均值以减小误差。

求切片的最大内切圆半径，要先找出切片内任意一点到切片边界距离最小值，在这些最小值中找到最大值，由此建出血管半径的模型。

第k 张切片图像第i 个内点))2,(),1,((i i nd 到第j 个边界点))2,(),1,((j j bjd 的距离：

)1())2,()2,(())1,()1,((2

2j bjd i nd j bjd i nd d -+-=利用MATLAB 软件得到图像的最大内切圆半径：

(2)

)

max(=]1,1[[],2),,min(=dd zb d d dd 为了减小误差，对100张切片的最大内切圆半径求平均值：

)

3(1001100

∑=k

K d d 5.1.2血管半径的求解

（1）首先将切片图像导入到MATLAB 中。

（2）提取切片图像的轮廓，并对图像进行处理，将图像像素点转化为512×512的矩阵[2]。

（3）将矩阵数值导入求切片图像内切圆的程序中。（4）对切片图像内切圆进行筛选，得到最大值。（5）将最大内切圆的半径和圆心的坐标记录下来。

表一：部分切片的最大内切圆的半径和圆心的坐标

X Y Z 半径-1601129.06888-1600228.28427-1602329.01724-1602429.06888-1602529.06888-1602629.06888-160

1

7

29.00000