2016考研数学：概率统计中的矩估计法分析
D7-1矩法估计
A1 EX A2 E(X 2 ) DX (EX )2
A1 A2
2
2
Aˆ1 ˆ
Aˆ2 ˆ 2 ˆ 2
因为
Aˆ1 x
Aˆ 2
1 n
n i 1
xi 2
因此 ˆ x
ˆ 2
Aˆ2
ˆ 2
1 n
n i 1
xi2
A1
1 n
n i 1
Xi
, 称为一
阶原点矩，即样本均值。
A2
1 n
n i 1
X
2 i
,
称为二 阶原点矩。
当n充分大时， A1 EX , A2 E( X 2 )。
6
在概率论中， 称 EX 为 X 的一阶原点矩。
在数理统计中，称
X
1 n
n k 1
Xk
为一阶样本原点矩。
用 X 估计EX的方法称为EX的矩估计法。
解
x
EX
x θ
e
θ dx
令 yx
y
0
1
(
y
)e
θ dy θ
14
EX
E( X 2 )
e dx x2
μθ
xμ θ
0
1 θ
(
y
)2
e
y θ
dy
2θ2
2
2
2 ( )2
3 n
n i1
(Xi
2016考研数学：概率真题解析
2016考研数学：概率真题解析从真题上可以看出，概率继续延续往年的出题特点：重基础，题型比较固定，解法比较单一，计算技巧要求相对低一些。
例如：数学三的第14题，主要考查二维正态分布的性质，一维正态分布的性质，随机变量的独立性，只要考生能够从已知条件中得到X,Y服从什么样的正态分布，再根据正态分布概率密度的对称性即可得到结果;数学三的两道概率大题仍然是我们近几年真题常考的题型，第22题是考查一维离散型随机变量的概率分布及数学期望，难度并不大;第23题主要考查点估计的两种方法，矩估计和最大似然估计，像这种题型解法比较单一，尤其是矩估计，那么对于最大似然估计，需要我们先写出似然函数，然后求当参数为何值时，似然函数能够取得最大值，所以只要我们按照常规步骤去做，就一定能求解出来，对于这种常考题型，在我们平时的钻卡课程中以及日常的测试中是频繁练习的。
下面中公考研数学名师李擂结合概率论这门学科的考试特点以及考试规律，给各位2016年的考生一些复习指导建议。
一、仔细分析考试大纲，抓住重点考试大纲是最重要的备考资料，一定要将大纲中要求的内容仔细梳理一下，在复习过程中一定要明确重点，对于不太重要的内容，如古典概型，只要求掌握一些简单的概率计算即可，不需要在复杂的题目上投入太多精力。
而对于概率的重点考查对象一定要重视，例如，随机变量函数的分布基本上每年都会以解答题的形式考查，其中离散型随机变量函数的分布是比较简单的，连续型随机变量函数的分布是考试频率最高的，也是较难的一类题目，在利用分布函数法求概率密度函数过程中，如何正确寻找分段点以及确定积分上下限是正确解决这类问题的关键，所以平时复习要加强这类题型的训练，一个离散型一个连续型随机变量函数的分布，求最大值、最小值函数的分布考频也是比较高的。
另外，二维连续型随机变量的边缘分布、条件分布也是考试的重点，大家在复习过程中一定要深刻理解他们的定义和计算方法。
随机变量的分布还经常与数字特征结合出题，所以数字特征也是概率的一大重点，但往往考生对于这部分知识掌握的不好，失分现象严重，所以要求大家复习时要灵活应用数字特征相应的计算公式及性质。
矩估计法的公式
矩估计法的公式摘要：一、矩估计法简介1.矩估计法的概念2.矩估计法在统计学中的应用二、矩估计法公式1.矩的定义2.矩估计法的推导过程3.常见矩估计量及其公式三、矩估计法的性质与特点1.矩估计量的性质2.矩估计法的优点与局限性四、矩估计法在实际问题中的应用1.参数估计问题2.假设检验问题正文：一、矩估计法简介矩估计法是一种常用的参数估计方法，它基于样本数据对未知参数进行估计。
矩估计法的核心思想是通过样本数据的矩（如均值、方差等）来估计总体的矩，从而得到参数的估计值。
矩估计法在统计学中有着广泛的应用，例如在区间估计、假设检验等问题中都有涉及。
二、矩估计法公式1.矩的定义矩是描述数据分布特征的一个量，它反映了数据围绕均值分布的情况。
对于连续型随机变量，其矩的定义如下：μk = E(X^k) = ∫x^kf(x)dx，k∈N其中，E(X^k) 表示随机变量X 的k 阶矩，f(x) 表示X 的概率密度函数，∫表示积分。
2.矩估计法的推导过程设总体分布为F(x)，参数为θ，根据矩的定义，我们有：E(X) = ∫xf(x;θ)dx = μθ其中，μθ表示总体均值，μ表示样本均值，θ表示参数。
根据样本数据，我们可以得到n 个样本观测值x1, x2, ..., xn，对应的样本矩为：S_n = (x1^2 + x2^2 + ...+ xn^2) / n对S_n 求导，可得：dS_n/dθ = 2(x1 + x2 + ...+ xn) / n令dS_n/dθ = 0，解得：θ= μ = (x1 + x2 + ...+ xn) / n因此，我们可以用样本均值μ作为参数θ的估计值。
3.常见矩估计量及其公式除了均值，还有其他一些常见的矩估计量，如方差、协方差等。
这里列举一些常见的矩估计量及其公式：- 样本均值：μ = (x1 + x2 + ...+ xn) / n- 样本方差：s^2 = (Σ(xi - μ)^2) / (n - 1)- 样本标准差：s = √s^2- 样本相关系数：r = Σ(xi - μ)(yi - μ) / (s * s")三、矩估计法的性质与特点1.矩估计量的性质矩估计量具有良好的性质，如无偏性、有效性、一致性等。
考研数学(三)考试大纲解析(概率论与数理统计 第7章 参数估计)【圣才出品】
L(x1, x2,, xn; ) maxL(x1, x2,xn; )
这样得到的
与样本值
x1,
x2
,
,
xn
有关，常记为
( x1 ,
x2
,
,
xn
)
，称为参数
的最大似然
估计值，而相应的统计量 ( X1, X 2,, X n ) 称为参数 的最大似然估计量．
3．最大似然估计值的求法
（1）在很多情形下， p(x; ) 和
(
)
三、最大似然估计法
1．似然函数
（1）离散型
若总体 X 属离散型，其分布律 P{X x} p(x; ), 的形式为已知， 为待估参数， 是 可能取值的范围，设 X1, X2,, Xn 是来自 X 的样本，则 X1, X2,, Xn 的联合分布律为
n
p(xi; )
i 1
又设 x1, x2,, xn 是相应于样本 X1, X2,, Xn 的一个样本值，易知样本 X1, X2,, Xn 取到 观察值 x1, x2,, xn 的概率，亦即事件{X1 x1, X2 x2,, Xn xn} 发生的概率为
为
n
f (xi; )dxi
i 1
n
n
其值随 的取值而变化，取 的估计值 使概率
i 1
f (xi ; )dxi.
取到最大值，但因子
dxi
i 1
n
L( ) L(x1, x2,, xn; ) f (xi; )
不随 而变，故只需考虑函数
i1
的最大
值，这里 L( )称为样本的似然函数．若
L(x1, x2,, xn; ) maxL(x1, x2,, xn; )
xl
概率论与数理统计-点估计-矩法估计
x
dx
2
2
0
故令
1
n
n
i2
i 1
2ˆ2
n
于是解得 的矩估计量为
ˆ
1 2n
i2
i 1
估计量的评价 标准
点估计有多种方法，同一个未知参数用不同的方法可得 到不同的估计量，那一个估计量好呢？必须有个评价标准。 评价标准有多种，用不同方法评价，得到的结论也不一样。
因此，说一个估计量的好坏，必须说明是用那一个评价标准 评价的。否则，是没有意义的。
点估计的求法: (两种) 矩估计法和极大似然估计法.
一、 矩估计法 它是基于一种简单的“替换” 思想建立起来的一种估计方法 . 是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的 . 其基本思想是用样本矩估计总体矩 .
理论依据: 大数定律
由辛钦大数定理知，
可以用
X
1 n
n i 1
Xi去估计EX,
如.求一个战士的射击命中率?
估计量,这个估计量称为矩估计量.
例2.设 : （， 2），求， 2的矩法估计量。
解：p( ,, 2 )
1
e
(
x )2 2 2
2
E x
1
(x )2
e 2 2 dx
2
xR
E 2 x2
1
(x )2
e 2 2 dx 2 2
2
列方程组：
2
1 n
n i1
2 1
n
i
n i 1
点估计问题就是要构造一个适当的统计量
ˆ(1,2 ,L ,n ),用它的观察值ˆ(x1, x2 ,L , xn ) 来估计未知参数 .
ˆ(1,2,L ,n )称为 的估计量. 通称估计,
概率论与数理统计参数估计矩估计法
概率论与数理统计第6章参数估计第1讲矩估计法第一讲矩估计法点估计根据样本构造一个统计量用它估计未知参数称为点估计.称为的估计量;称为的估计值.01矩估计法02 典型例题本 讲 内容用样本 k 阶矩作为总体 k 阶矩的估计量, 建立含有待用相应的样本矩去估计总体矩的估计方法称为矩估计法.理论依据——大数定律——生活经验：Ὅ例X —某品牌手机的待机时间，欲估计其抽取Ὅ 替换原理Ὅ 方法解方程组 , 得 m 个统计量：——含未知参数θ1,θ2, ⋯,θm 的方程组未知参数θ1, ⋯,θm 的矩估计量代入一组样本值得 m 个数:设待估计的参数为设总体的 k 阶矩存在，记为样本X 1, X 2,…, X n 的k 阶矩为Ὅ例1解令Ὅ例2设X的分布列为其中是未知参数.利用总体X的样本值:3,1,3,的矩估计.0,3,1,2,3,求01矩估计法02 典型例题本 讲 内容即令设总体X有数学期望和方差：Ὅ例3X 1,…,X n 是X 的一组样本,求 的矩估计.解解得一般,不论总体服从什么分布,若总体期望 μ 与方差σ2存在,则它们的矩估计量分别为设总体 X ~ U (a,b ) , a,b 未知, 求参数a,b 的矩估由于令Ὅ例4解1计量.解得设某种钛金属制品的技术指标为X ，其概率密度为其中未知参数 ， 为来自总体X 的简单随求 得矩估计量.由于令Ὅ例5机样本，解已知某种金属板的厚度 X 在( a , b)上服从均匀分由于X 在( a , b)上服从均匀分布，故则总体的二阶矩设抽查了n片金属板，厚度分别为Ὅ例6解，试用矩估计法估计a ，b.分布，其中a , b 未知，令解此方程组，得到矩估计量为不同的矩法可得到不同的矩估计，因此矩估计不唯一.设总体X ~U ( 0 ,θ )，θ未知，X 1 ,…, X n 是 X 的样本，法1 上题的特例法2法4 法3Ὅ例7试求 θ 的矩估计量.这一讲我们介绍了点估计的第一种方法——矩估计法. 缺点是：矩估计法的优点是简单易行, 并不需要事先知道总体是什么分布.信息.时,矩估计法会失效.当总体类型已知时,没有充分利用分布提供的一般场合下,矩估计量不具有唯一性.当矩不纯在第1讲 矩估计法学海无涯，祝你成功！概率论与数理统计。
矩估计法的公式(一)
矩估计法的公式(一)矩估计法的公式简介矩估计法是一种参数估计方法，通过求解矩方程组得到参数的估计值。
它基于样本的矩与理论的矩之间的相等关系，是一种常用的统计推断方法。
矩估计法的基本原理矩估计法的基本原理是利用样本的矩以及理论的矩之间的关系来估计参数的值。
对于一般连续型分布或者离散型分布，其概率密度函数为f(x;θ），其中θ是待估参数。
假设我们有n个相互独立同分布的样本观察值x1, x2, …, xn，我们可以根据下面的步骤来进行矩估计：1.计算样本的k阶原点矩：μk’ = 1/n * ∑(xi^k)，其中i从1到n；2.用样本的k阶原点矩估计理论的k阶原点矩：μk’ = E[X^k]，其中E[]表示期望值；3.解方程组μk’ = μk’，得到参数的估计值。
矩估计法的公式下面是一些常用的矩估计法的公式：1. 一阶矩估计对于参数θ，其一阶矩估计为：θ’ = μ1’其中，μ1’为样本的一阶原点矩。
2. 二阶矩估计对于参数θ，其二阶矩估计为：θ’ = (√(μ2’ -μ1’^2))/σ’其中，μ2’为样本的二阶原点矩，μ1’为样本的一阶原点矩，σ’为样本的标准差。
3. 多参数估计对于多个参数的情况，我们可以根据不同的矩关系列出方程组进行求解。
例如，对于参数θ1和θ2，我们可以列出方程组：μ1’ = g1(θ1,θ2) μ2’ = g2(θ1,θ2)其中，g1(θ1,θ2)和g2(θ1,θ2)为关于θ1和θ2的函数。
通过解这个方程组，我们可以得到θ1和θ2的估计值。
例子说明假设我们想要估计某种产品的平均寿命，我们收集了20个产品的寿命观察值。
根据经验，我们知道产品的寿命服从指数分布，概率密度函数为f(x;θ) = θ * e^(-θx)，其中θ为待估参数。
我们可以通过矩估计法来估计参数θ的值。
步骤如下： 1. 计算样本的一阶原点矩：μ1’ = (1/n) *∑(xi) 2. 用样本的一阶原点矩估计理论的一阶原点矩：μ1’ =1/θ 3. 解方程μ1’ = μ1’，得到参数的估计值：θ’ = 1/μ1’例如，我们计算得到样本的一阶原点矩为μ1’ = ，那么根据步骤3，我们可以得到参数θ的估计值为：θ’ = 1/ = 20因此，根据我们的样本数据，我们估计产品的平均寿命为20个单位。
考研数学概率论与数理统计知识点解析（五）
矩估计法和似然估计法在考研数学中经常以解答题形式出现，这类题⽬⼀般不难，解题思路⽐较固定，所以万学海⽂数学考研辅导⽼师们在此主要就矩估计法和似然估计法这两个知识点，为⼴⼤2012年的考⽣们进⾏详细讲解.
1、矩估计法
矩估计法的思想是⽤样本矩来估计相应的总体矩.
解题思路：
(1)若总体分布中只有⼀个未知参数，则令，求出未知参数的矩估计量（值）.
(2)若总体分布中有两个未知参数，则令
，或，求出未知参数的矩估计量（值）.
其中，，.
2、似然估计法
似然估计法的思想是求未知参数使得样本获取样本值的概率.
解题思路：
（1）似然函数：
1）若总体是离散型随机变量，概率分布为则似然函数为;
2)若总体是连续型随机变量，概率密度为，则似然函数为.
（2）取对数：；
（3）求导：；
（4）若驻点存在且，则该值为所求的似然估计值；若驻点不存在，则似然估计值在边界点上找.
以上就是矩估计法和似然估计法的具体解题步骤，下⾯我们通过⼀个例题来看具体应⽤：
例设总体服从上的均匀分布，是取⾃总体的⼀个简单随机样本，试求：（I）未知参数的矩估计量；
（II）未知参数的似然估计量.
【解析】（I）依题意，,
令，即,因此的矩估计量为.
（II）的密度函数为
似然函数为
当时，.显然，是单调减函数，越⼩，就越⼤，但，所以是的似然估计量.
在求似然估计量（值）时，同学们往往不能正确写出似然函数，这⾥⼀定要注意随机变量是离散型的还是连续型的.
若总体是离散型随机变量，概率分布为则似然函数为;
若总体是连续型随机变量，概率密度为，则似然函数为.。
2016考研数学复习之矩估计
2016考研数学复习之矩估计来源：文都教育参数估计是考研数学大纲中概率论与数理统计部分第七章的内容，根据历年真题分析发现，无偏估计、矩估计和极大似然估计是每年考试的重点。
那么对于这几种估计方法，我们该如何有效、高效的学习、掌握呢？文都考研数学老师接下来为大家大致总结一下本章的第一部分内容-矩估计。
一、基本知识点 矩估计一般来说，用样本的各阶矩作为总体分布函数中的未知矩的估计。
含一个参数：设总体(,)X f x θ ，但是参数θ未知，需要对参数θ进行估计。
具体步骤：①取样：12,,,nX X X …；②计算样本均值11n ii X n =∑，根据大数定律1111n n Pi i i i X X EX EX n n ===−−→=∑∑；③令X EX =（在EX 的结果中包含θ），则可求出ˆθ。
含两个参数：若含有两个参数12,θθ， ①取样；②由大数定律2222111111,n n n PP i i i i i i X X EX A X EX EX n n n ====−−→==−−→=∑∑∑；③令X EX=，222211=+()n i i A X EX DX EX n ===∑（或者令211()1ni i X X DX n =-=-∑），则可求出12,θθ的估计量。
所谓矩估计法就是利用样本原点矩去替换总体矩. 矩估计法的计算步骤：（1）计算总体原点矩EX μ=，建立关于参数的有效方程；（2）用样本原点矩11ni i A X n ==∑作为总体原点矩EX μ=的估计，令A μ=即11(1,2,)ni i X EX k n ===∑ ； （3）通过求解有效方程，将未知参数用样本的统计量表示出来，再将未知参数θ用对应的估计量θ∧代替；（4） 若给定一个样本观测值12(,)n x x x ，代入θ∧可得θ的一个矩估计值二、典型例题例1 设总体X 的概率密度为,01(;)1,120,x f x x θθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他，其中θ是未知参数（01θ<<）.12,,,n X X X 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值12,,,n x x x 中小于1的个数.求：（1）θ的矩估计；（2）θ的最大似然估计. 解析：（1）1213()(1)2EX xf x dx xdx xdx θθθ+∞-∞==+-=-⎰⎰⎰， 令EX X =，得矩估计量32X θ=-. （2）似然函数()(1)Nn NL θθθ-=-，ln ()Nln (N)ln(1)L n θθθ=+--，令ln ()01d N n NL d θθθθ-=-=-，得θ的最大似然估计为N n θ= .例罐中有N 个硬币，其中有θ个是普通硬币（掷出正面与反面的概率各为0.5），其余N θ-个硬币两面都是正面，从罐中随机取出一个硬币，把它连掷两次，记下结果，但不去查看它属于哪种硬币，然后放回，如此重复n 次，若掷出0次、1次、2次正面的次数分别为012012,,()n n n n n n n ++=.（1）求θ的矩估计 1θ，最大似然估计 2θ； （2）求 12E E θθ、； （3）求 2D θ. 解析：（1）设X 为连掷两次正面出现的次数，A ：“取出的硬币为普通硬币”，则21(0)()(0|)()(0|)()24P X P A P X A P A P X A N Nθθ===+===，1221(1)()(1|)()(1|)()22P X P A P X A P A P X A C N Nθθ===+===， 2143(2)()(2|)()(2|)()24N N P X P A P X A P A P X A N N Nθθθ--===+==+=， 则X 的分布律为X0 1 2P4Nθ2Nθ434N Nθ- 则12012432(2)(2)(2)22n n N N NEX X N X N n n NN N n nθθθθ+--=+==⇒=-=-=+ 则θ的矩估计 101(2)Nn n nθ=+. 似然函数012143(,,;)424n n n n N L X X N N Nθθθθ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 012ln (ln ln(4))(ln ln(4))(ln(43)ln(4))L n N n N n N N θθθ=-+-+--，012013ln 40()433n n n d L Nn n d N n θθθθθ=+-=⇒=+-， 则θ的最大似然估计 2014()3Nn n nθ=+. （2）01243(,),(,),(,)424N n B n n B n n B n NNNθθθ- ， 则012(43),,424n n n N En En En N N Nθθθ-=== 12(2)22N E EN X N NE X N N Nθθθ-=-=-=-⨯=， 20101444()()()33342N N N n n E E n n En En n n n N N θθθθ=+=+=+=. （3）01(1),(1)4422n n Dn En N N N Nθθθθ=-=-， 则 22201012222241616(4)(2)()()()3991641259N N N n N n N D D n n Dn Dn n n n N N N nθθθθθθθ--=+=+=+-=例总体X 的概率分布为1{},1,2,,P X k k N N=== ，其中N 是未知参数(正整数)，利用总体X 的如下样本值：1,3,2,3,2,1,2,N N -，求N 的矩估计值..【解析】由X 的概率分布知，1111(){}2==+=⋅==⋅=∑∑N Nk k N E X k P X k k N ， 样本均值()131323212824Nx N N =+++++-++=+. 令()=X E X ，得31242N N ++=，解得ˆ4N=，即N 的矩估计值是4. 以上是文都考研数学老师总结的参数估计当中的矩估计法，另外，同学们要牢记常用的参数的距估计值，这样可以节约很多时间。
矩估计法的公式
矩估计法的公式摘要：1.矩估计法的概念与基本思想2.矩估计法的公式推导3.矩估计法的应用与实例4.矩估计法的优缺点分析正文：一、矩估计法的概念与基本思想矩估计法是一种用于求解统计量估计的数学方法，其基本思想是通过样本矩与总体矩之间的关系，构造出样本统计量的矩估计值，从而得到总体参数的估计值。
矩估计法既适用于离散型随机变量，也适用于连续型随机变量。
二、矩估计法的公式推导设随机变量X 具有离散型分布，其概率质量函数为p(x)，n 为样本容量，样本均值和样本方差分别为μ_n 和σ_n^2，总体均值和总体方差分别为μ和σ^2。
根据矩的定义，有：E(X) = Σx * P(X=x) = ∑_{i=1}^{n} x_i * p(x_i)Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = Σx^2 * P(X=x) = ∑_{i=1}^{n} x_i^2 * p(x_i)根据矩估计法的思想，样本均值μ_n 可以作为总体均值μ的矩估计值，样本方差σ_n^2 可以作为总体方差σ^2 的矩估计值。
即：μ_n = Σx * P(X=x) / nσ_n^2 = [Σx^2 * P(X=x)] / (n-1)对于连续型随机变量，样本矩可以表示为：μ_n = ∫xf(x)dxσ_n^2 = ∫[x^2f(x)]dx - [∫xf(x)dx]^2 / (n-1)其中，f(x) 为随机变量X 的概率密度函数。
三、矩估计法的应用与实例矩估计法在实际应用中具有广泛的应用，例如在统计推断、参数估计、假设检验等领域。
下面举一个简单的例子来说明矩估计法的应用：假设有一个箱子中装有若干个红球和白球，现在从箱子中抽取n 个球，记抽取到的红球个数为X，求箱子中红球和白球的比例。
根据矩估计法的公式，可以得到样本红球和白球比例的矩估计值，从而估计出总体红球和白球的比例。
四、矩估计法的优缺点分析1.优点：矩估计法具有较强的理论依据，可以得到较好的估计效果。
概率与统计：矩估计法
矩估计法
1
引言
数理统计学是数学的一个重要分支，它研究 怎样有效地收集、整理和分析带有随机性的数据， 以对所考察的问题作出推断或预测，并为采取一 定的决策和行动提供依据和建议。 几个实际问题： 1. 估计产品寿命问题: 根据用户调查获得某品牌洗衣 机50台的使用寿命为，5，5.5，3.5，6.2，……..。根 据这些数据希望得到如下推断： A．可否认为产品的平均寿命不低于4年？ B．保质期设为多少年，才能保证有95%以上的产品 过关？
9
5.1 点估计
一、参数估计的概念
定义(p120) 设X1， … ， Xn是总体X的一个样本，
其分布函数为F(x; ), 。其中为未知参数, 为 参数空间, 若统计量g(X1， … ， Xn)可作为的一个
ˆ, 估计,则称其为的一个估计量，记为 ˆ g( X , , X ). 即 1 n
13
设总体X的概率密度为
2 x 2e f ( x) 0
x x
其中>0,未知,从总体中抽取简单随机样本 X1,..., X n (1)
提示
14
解（1）E X 2 xe
2 x
二、统计量
定义： (p113)称样本X1， … ，Xn 的函数
g(X1， … ，Xn )是总体X的一个统计量,如果
g(X1， … ，Xn )不含未知参数
几个常用的统计量 ：
1 n 1. 样 本 均 值 X X i , n i 1 n 1 2 2. 样 本 方 差 S 2 ( X X ) i n 1 i 1
样本均方差 ( 标准差 ) S S2 ,
8
3.样本k阶矩
样本原点矩 : 样本中心矩 :
矩估计和极大似然估计分析解析
14
注:
总体均值方差的矩估计量与总体分布无关。
做矩估计时,也可用中心矩建立关于未知参数的 方程组， 因而矩估计不唯一。
例3
解：
λ未知，求参数λ的矩估计。
15
例4 不合格品率 p 的矩法估计 设某车间生产一批产品，为估计该批产品不合格品 率，抽取了n 件产品进行检查. 分析 设总体X 为抽的不合格产品数，相当于抽取了 一组样本X1，X2，… ，Xn , 且
中出现的概率最大。 极大似然估计就是在一次抽样中,若得到观测值
则选取
使得当
作为θ的估计值。 时,样本出现的概率最大。
24
极大似然估计法:
定义7.1 设 是
的一个样本值
形式已知
(如离散型) X的分布列为 的联合分布列为：
事件 为
发生的概率为 的函数，
25
为样本的似然函数。
样本的似然函数
现从中挑选使概率
θ
1 0 ( y )2 e θ dy 2θ 2 2 2
x μ 2 x θ e dx μ θ y
=θ2+(θ+μ)2
注意到 令 θ μ X , 2 θ M 2 . DX = E ( X2 )－( EX )2=θ2
2 1 ˆ M2 (Xi X ) , n i 1 ˆ X M . μ n
(b a ) ( a b) 1 A2 12 4 n
2 2
i 1
n
2 Xi
2 1
即 a b 2 A1 , b a 12( A2 A )
n 3 2 2 ˆ 解得： a A2 3( A2 A1 ) X ( X i X ) 17 n i 1
2016考研数学：概率统计中的矩估计法分析
2016考研数学:概率统计中的矩估计法分析在考研数学概率论与数理统计中，参数估计是其中的一个重要章节，是考研数学中的一个高频考点，是数学一和数学三的考生应该掌握的一个重要知识点。
所谓参数估计，就是在随机变量的总体分布形式已知，但某些分布参数未知的情况下，用抽样的办法去估计总体的未知参数。
参数估计从形式上分为点估计和区间估计，点估计方法主要有两种，一种是矩估计法，另一种是最大似然估计法，下面我们对矩估计法做些分析总结，供各位2016考研考生和其它学习的同学参考。
一、矩估计法分析
概括而言，矩估计法就是用样本矩代替总体矩，从而求出未知参数的估计量和估计值的方法，具体说是：
无偏估计和一致性估计(相合估计)，因此通过样本矩来估计总体分布中的未知参数具有一定的合理性。
以上分析希望对大家理解矩估计法有一定的启发，最后预祝各位在2016考研中能将自己的考研梦变为现实!。
概率与数据统计5.2矩法
1.原理 用相应的样本矩去估计总体矩,用相
应的样本矩的函数去估计总体矩的函数.
总体的k阶原点矩用相应的样本k阶原点 矩来估计,而总体的k阶中心矩用相应的 样本k阶中心矩来估计.
设总体X，(X1,X2,…,Xn)为来自该总体X
的样本.
k E X k, k E(X EX )k,
Ak
例 设总体 X b(m, p), m 已知，p未知. (X1, , Xn )为样本.试求 (1) p的矩估计量 (2) p 的矩估计量 1 p (ˆ21
（ˆ1 A1, B2）------矩估计量 ˆ（2 A1, B2）
或ˆˆ21
ˆˆ（（12 aa11，，aa22））------矩估计值
例1 设总体X~e(λ),(X1，…，Xn)为样本, （x1，…，xn）为样本值，求λ的矩估计。
例2 设总体X ~ U[0, ],(X1, X2, , Xn )为取
1 n
n
i1
X
k i
,
Bk
1n
n
i1
(
X
i
X )k
则ˆk Ak , ˆk Bk
这种求点估计的方法叫做矩法。用矩法确定 的估计量称为矩估计量，相应的估计值称为 矩估计值，矩估计量和矩估计值统称为矩估 计，简记为ME.
2.求矩估计的步骤：
(1)从总体矩入手将待估参数 表示
为总体矩的函数
g(1, ,l ; 2, , s )
自该总体的样本, 求未知参数θ的矩估计量.
解 因为EX 2EX
2
所以 ˆ 2X
参数 θ的矩估计量为 ˆ 2X
例3 总体X的均值μ及方差σ2都存在， （X1，…，Xn）是来自总体X的一个样本， 求μ,σ2的矩估计量。
概率论与数理统计第七章-1矩估计法和极大似然估计法
数理统计
例5
设总体 X ~N( μ , σ 2) , μ , σ 2 未知 . x1 ,
, xn
是来自 X 的样本值 , 试求 μ , σ 2的最大似然估计量 . 解 X 的概率密度为
数理统计
定义 用样本原点矩估计相应的总体原点矩 ,
用样本原点矩的连续函数估计相应的总体原点矩的 连续函数, 这种参数点估计法称为矩估计法 . 矩估计法的具体做法如下 设总体的分布函数中含有k个未知参数 θ1 , θ2 , 那么它的前k阶矩 μ1 , μ2 ,
, θk ,
, μk , 一般
l xi P{ X xi ;1 , 2 , , k } l E ( X l ) l 1 hl (1 , 2 , , k ) x l p ( x; , , , )dx 1 2 k
数理统计
点估计问题的一般提法 设总体 X 的分布函数 F ( x; )的形式为已
知, 是待估参数 . X 1 , X 2 ,, X n 是 X 的一个样 本, x1 , x2 ,, xn 为相应的一个样本值 .
点估计问题就是要构造 一个适当的统计量 ˆ ( X 1 , X 2 ,, X n ), 用它的观察值 ˆ ( x1 , x2 ,, xn ) 来估计未知参数 . ˆ ( X 1 , X 2 ,, X n )称为 的估计量. 通称估计, ˆ. ˆ ( x1 , x2 ,, xn )称为 的估计值. 简记为
先看一个简单例子： 某位同学与一位猎人一起外 出打猎 . 一只野兔从前方窜过 .
数理统计
只听一声枪响，野兔应声倒下 . 如果要你推测，是谁打中的呢？
数理统计
你可能会想，只发一枪便打中, 猎人命中的概 率一般大于这位同学命中的概率 . 看来这一枪是猎 人射中的 . 这个例子所作的推断已经体现了极大似然估计 法的基本思想 .
矩估计原理及方法介绍
解 (1) 矩估计法：
1 X 服从几何分布， E ( X ) p
所以 p 的矩估计量为
1 ˆ p X
7
P{ X x } p(1 p)
解 (2) 最大似然估计法：
x 1
, x 1,2
L( p) p(1 p)
i 1
ln L n ln( 1) ln xi ,
i 1
n 令 d ln L n ln xi 0， d 1 i 1
10
n
n 令 d ln L n ln xi 0， d 1 i 1
解得 的极大似然估计量为
ˆ 1
n
ln X
n
x i 1
p n (1 p) i 1
xi n
n
,
ln L n ln p ( xi n) ln( 1 p) ,
d ln L n i 1 dp p 1 p n xi
i 1 n
n
令
0，
ˆ p n
解得 p 的最大似然估计量为
X
i 1
n
1 . X
2
取自 X 的样本，则 , 的矩法估计量分别为
2
ˆX,
n 1 2 2 ˆ B2 ( X i X ) . n i 1
它们与相应的最大似然估计量相同.
6
例3
设总体 X 的概率密度为
P{ X x } p(1 p)
x 1
, x 1,2
( X 1 ,, X n ) 是取自 X 的样本，其中 0 p 1 是未知参
i 1
n
第16次课——矩估计讲解
因为 X ~ b(m, p), 所以总体X的一阶矩(期望)为
1 E( X ) mp
由
1 A1
即
mp X
故所求矩估计量为：
pˆ X ■ m
概率论与数理统计
15
2014
矩法的优点是简单易行, 并不需要事先知道总体 是什么分布。
缺点是，当总体类型已知时，没有充分利用分布 提供的信息。一般场合下, 矩估计量不具有唯一 性。
概率论与数理统计
13
2014
75 2 2 5772.33
解得参数的矩估计量分别பைடு நூலகம்：
) =75 ) = 5772.33 752
. 12.14
■
概率论与数理统计
14
2014
【练习】求服从二项分布b(m, p)的总体X未知参数p的矩估计量.
〖解〗单参数，离散型.
A1 A2
而
1 E( X ) , 2 E( X 2 ) D( X ) [E( X )]2 2 2
另外又有
A1
1 n
n i 1
Xi
X,
因此有方程组
A2
1 n
n i 1
X
2 i
概率论与数理统计
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2014
X
2
2
22
2014
【定义】 设总体的分布类型已知,但含有未知参数 θ. 设有ˆ ˆ(x1, x2,L , xn ) 使得 )
L( ) max L( )
则称ˆ(x1, x2,, xn ) 为 θ 的极大似然估计值(MLE);
称ˆ(X1, X2,, Xn) 为参数 θ 的极大似然估计量.
概率论与数理统计参数估计矩估计法
概率论与数理统计参数估计矩估计法概率论与数理统计是数学的一个重要分支，它研究了随机现象的规律以及如何利用数据对未知参数进行估计。
参数估计是统计学中的一项基本任务，其目的是通过样本数据来推断出总体的未知参数。
矩估计法是一种常见的参数估计方法，本文将详细介绍矩估计法的原理、步骤和一些重要应用。
矩估计法的基本思想是将总体的矩与样本矩相等化，从而得到参数的估计值。
矩估计法的具体步骤如下：1.确定总体的概率分布函数或密度函数，假设其形式和假设的参数个数。
2.确定估计的参数个数，即确定需要估计的参数的个数。
3.设定样本容量和抽样分布，根据样本的特点选择适当的样本容量和抽样分布。
4.根据总体的矩和样本的矩相等的条件，设置矩方程组。
5.解矩方程组，求得参数的估计值。
矩估计法的原理基于矩的性质，总结起来有两个重要定理：(1)若总体的前n个矩存在，则总体的前n个矩是参数的连续函数；(2)任何阶数的矩都可以用前两阶的矩表示。
这两个定理是矩估计法的理论基础。
矩估计法的优点在于其思路简单直观，计算相对容易，而且在大样本下具有渐近无偏性和一致性。
但是矩估计法也存在一定的局限性，它要求总体的前n个矩存在，并且需要根据总体的矩给出矩方程组。
在一些情况下，总体的矩很难求出，或者求解矩方程组的解不存在，这时候矩估计法就不适用了。
矩估计法在实际应用中有广泛的应用，下面以两个常见的例子进行说明。
例子1：假设企业员工的月薪服从正态分布，现在随机抽取了一部分员工，得到了他们的月薪数据。
现在要估计该企业的平均月薪和方差。
根据矩估计法的步骤，首先可以设定总体的平均月薪和方差为参数，然后选择适当的样本容量和抽样分布，比如选择样本容量为100，假设样本服从正态分布。
接下来，根据总体的矩和样本的矩相等的条件，可以设置矩方程组，如平均月薪的矩方程为：总体平均月薪=样本平均月薪。
方差的矩方程为：总体方差=样本方差。
最后，解矩方程组可以得到平均月薪和方差的估计值。
第55讲 矩估计法(1)
从总体 X 中抽取样本 X1, X2, …, Xn 构造某个统
计量 ˆ( X1,2 X ,...,n X ) 四川四大川学大学
称为 θ 的点估计量。
将相应的样本观察值为 x1, x2, …, xn 代入，
得 θ 的点估计值 ˆ(x1, x2 ,..., xn )
显然，对于不同的样本值 x1, x2, …, xn ，
..........
四川大学
四川大学
k k (1,...,k ) 第55讲 矩估计法(1) 27
四川大学 (,...,) 1 1 1 k
(1) 计算总体 X 的 矩，得方程组
1
~
k
阶
2
2 (1,...,k
)
..........
四川大学 1 kkk ( ,..., )
3
x)
,
四川大学
0 x
四川大学
0,
其他
其中 θ 为未知参数。X1, X2, …, Xn 是来自总
体X的样本。
(1) 求θ 的矩估计量 ˆ ； (2) 求 ˆ 的方差 D(ˆ) ；
(1, 2) 为 1999年 数学一，第十三题
(3) 若3.5, 4.4, 5.3, 4.6, 4.8, 3.7, 5.8, 3.9 为一组
n
X
k i
相应的观察值
aki
1 n
n i 1
xk
k 1, 2,...
四川大学
样本k阶中心矩
Bk
1 n
n i 1
(Xi
X )k
相应的观察值
bk
1 n
n
( xi
i 1
概率_矩估计
例1
设 X 1 , , X n为来自总体 X ~ N ( , 2 ) 的一个样本， 2 其 中 未 知 , 已 知 ， 问下列随机变量中哪些是统计量
Xn
2
1
n
n
Xi
n
1
i 1
n
n
Xi
i 1
S
(X n 1
i 1
n i
1
i
Xn)
2
1 n
X 1
2
例10. 设总体X 的概率密度函数为
2 2 x, f ( x ) 0, 0 x 其他
其中 >0为未知参数
(1) 设 X , X , X 为来自总体的样本，求参 数 的矩估计
1 2
3
(2) 设0.5, 1, 1.5是总体X 的三个样本的观测 值 ，求参数 的矩估计值
i 1
2
无偏估计及相合估计
• 如果 E ˆ ，称 ˆ 是 的无偏估计。
• 如果当样本量 n ，ˆ 依概率收敛到 ， 就称 ˆ 是 的相合估计。 • 如果当样本量n ，ˆ 以概率1收敛到 ， 就称 ˆ 是 的强相合估计。
三 参数估计问题的一般提法 设有一个总体X，总体的分布函数 为 F(x, )，其中 为未知参数 ( 可以是 向量) . 现从该总体抽样，得样本 X1, X2,…, Xn 要依据该样本对参数 作出估计，或估计
的某个函数
g ( )
这类问题称为参数估计.
参数估计
点估计 区间估计
点估计 —— 估计未知参数的值
区间估计—— 根据样本构造出适当的区 间，使他以一定的概率包含未知参数的 真值
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2016考研数学:概率统计中的矩估计法分析在考研数学概率论与数理统计中，参数估计是其中的一个重要章节，是考研数学中的一个高频考点，是数学一和数学三的考生应该掌握的一个重要知识点。
所谓参数估计，就是在随机变量的总体分布形式已知，但某些分布参数未知的情况下，用抽样的办法去估计总体的未知参数。
参数估计从形式上分为点估计和区间估计，点估计方法主要有两种，一种是矩估计法，另一种是最大似然估计法，下面我们对矩估计法做些分析总结，供各位2016考研考生和其它学习的同学参考。
一、矩估计法分析
概括而言，矩估计法就是用样本矩代替总体矩，从而求出未知参数的估计量和估计值的方法，具体说是：
无偏估计和一致性估计(相合估计)，因此通过样本矩来估计总体分布中的未知参数具有一定的合理性。
以上分析希望对大家理解矩估计法有一定的启发，最后预祝各位在2016考研中能将自己的考研梦变为现实!。