【奥赛】小学数学竞赛：工程问题(二).教师版解题技巧 培优 易错 难

工程问题（二）

教学目标

1.熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法；

2.工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理；

3.根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的统一和转换；

4.工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用．

知识精讲

工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。

一．工程问题的基本概念

定义：工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。

工作总量：一般抽象成单位“1”

工作效率：单位时间内完成的工作量

三个基本公式：工作总量=工作效率×工作时间，

工作效率=工作总量÷工作时间，

工作时间=工作总量÷工作效率；

二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面：

①具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、公式等广泛应用于分数、百分数应用题；

②在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用；

③学会画线段示意图．线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理；

④学会多角度、多侧面思考问题的方法．分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法．因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法，不断地开拓解题思路．

三、利用常见的数学思想方法：

如代换法、比例法、列表法、方程法等

抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间．

例题精讲

模块一、工程问题——变速问题

【例 1】 甲打一篇文稿，打完一半后吃晚饭，晚饭后每分钟比晚饭前多打32个字．前后共打50分钟，前

25分钟比后25分钟少打640个字．文稿一共（ ）字．

【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答 、 【关键词】走美杯，三年级，初赛，四年级 【解析】 由“前25分钟比后25分钟少打640个字”，可知：多打这640个字需要的时间是：640÷32=20（分钟），

那么就知饭前用了30分钟，饭后用了20分钟，如果这640个字全部用饭前的速度打，则需要10分钟，故可知饭前的速度是64个字每分钟，饭后的速度是96个字每分钟，则文稿一共有：64×30+96×20=3840个字。

【答案】3840

【例 2】 工厂生产一批产品，原计划15天完成，实际生产时改进了生产工艺，每天生产产品的数量比原计

划每天生产产品数量的多10件，结果提前4天完成了生产任务，则这批产品有 件。

【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答 、 【关键词】希望杯，五年级，一试

【解析】 设工厂原计划每天生产产品x 件，则改进生产工艺后每天生产产品的数量为5

1011

x +件。

根据题意有5

15(10)1111

x x =+⨯，解得11x =。所以这批产品共有11×15=165（件）。

【答案】165件

【例 3】 甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配8400元工资．按两队原计划的工作效率，乙队应获5040

元．实际上从第5天开始，甲队的工作效率提高了1倍，这样甲队最终可比原计划多获得960元．那么两队原计划完成修路任务要多少天？

【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 开始时甲队拿到840050403360-=元，甲、乙的工资比等于甲、乙的工效比，即为3360:50402:3=；

甲提高工效后，甲、乙总的工资及工效比为(3360960):(5040960)18:17+-=．设甲开始时的工效为

“2”，那么乙的工效为“3”，设甲在提高工效后还需x 天才能完成任务．有(244):(343)18:17x x ⨯+⨯+=，化简为2165413668x x +=+，解得40

7

x =

．工程总量为40

547607

⨯+⨯

=，所以原计划60(23)12÷+=天完成． 【答案】12天

【例 4】 甲、乙合作一件工程，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高

1

10

，乙的工作效率比单独做时提高15

．甲、乙两人合作6小时，完成全部工作的2

5，第二天乙又单独做了6小时，还留下这件

工作的

13

30

尚未完成，如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时？ 【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】人大附中

【解析】 乙的工作效率是：2131(1)653036--÷=，甲的工作效率是：215111

(6)(1)53651033

+÷-⨯÷+=，所以，

单独由甲做需要：1

13333

÷

=(小时)． 【答案】33小时

【巩固】一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天．如果两人合做，甲的工作效率就要降低，只能完成原

来的4

5

，乙只能完成原来的

9

10

．现在要8天完成这项工程，两人合做天数尽可能少，那么两人要

合做多少天?

【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答

【解析】因为甲比乙的工作效率高，又要求合做的天数尽可能的少，所以除了两人合作之外，其余工程应由

甲单独完成．现设两人合作x天，则甲单独做8-x天，于是得到方程(

1

10

×80％+

1

15

×90％)

×x+

1

10

×(8-x)=l，解出x=5.所以，在满足条件下，两人至少要合作5天．

【答案】5天

【巩固】要发一份资料，单用A传真机发送，要10分钟；单用B传真机发送，要8分钟；若A、B同时发送，由于相互干扰，A、B每分钟共少发0.2页。实际情况是由A、B同时发送，5分钟内传完了资料（对

方可同时接收两份传真），则这份资料有________页。

【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答

【关键词】希望杯，六年级，一试

【解析】没受干扰时传真机的合作工作效率为

119

10840

+=，而实际的工作效率为

1

5

，所以这份资料共有

91

0.2()8

405

÷-=（页）

【答案】5天

【例 5】甲、乙两人合作清理400米环形跑道上的积雪，两人同时从同一地点背向而行各自进行工作，最

初，甲清理的速度比乙快1

3

，中途乙曾用10分钟去换工具，而后工作效率比原来提高了一倍，结

果从开始算起，经过1小时，就完成了清理积雪的工作，并且两人清理的跑道一样长，问乙换了工具后又工作了多少分钟？

【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答

【关键词】四中，入学测试，希望杯，六年级，2试

【解析】法一：直接求

首先求出甲的工作效率，甲1个小时完成了200米的工作量，因此每分钟完成

10

20060

3

÷=（米），

开始的时候甲的速度比乙快1

3

，也就是说乙开始每分钟完成为

101

(1) 2.5

33

÷+=（米），换工具之后，

工作效率提高一倍，因此每分钟完成2.525

⨯=（米），问题就变成了，乙50分钟扫完了200米的雪，前若干分钟每分钟完成2.5米，换工具之后的时间每分钟完成了5米，求换工具之后的时间。这是一个鸡兔同笼类型的问题，我们假设乙一直都是每分钟扫2.5米，那么50分钟应该能扫2.550125

⨯=（米），比实际少了20012575

-=（米），这是因为换工具后每分钟多扫了5 2.5 2.5

-=（米），因此换工具后的工作时间为75 2.530

÷=（分钟）.

法二：其实这个问题当中的400米是一个多余条件，我们只需要根据甲乙两人工作量相同和他们之间的工作效率之比就可以求出这个问题的答案。我们不妨设乙开始每分钟清理的量为3，甲比他快

1 3，甲每分钟可以清理4，60分钟之后，甲一共清理了460240

⨯=份的工作量，乙和他的工作总量

相同，也是240份，但是乙之前的工作效率为3，换工具后的工作效率为6，和（法一）相同的，利用鸡兔同笼的思想，可以得到乙换工具后工作了(240350)(63)30

-⨯÷-=分钟。

【答案】30分钟