几何元素间的相对位置及综合问题解题方法

B M 利用求一般位置 线面交点的方法找出 交线上的两个点，将 其连线即为两平面的 交线。
K
A
F
N
L
C
两平面相交，判别可见性
3 4 1
(2 )
2
3
4) (
利 用 重 影 点 判 别 可 见 性
1
4.2.5 综合性问题解法
例5 试过K点作一直线平行于已知平面ΔABC，并与
直线EF相交 。
综合性问题解法
b k a
X
●
m
空间及投影分析:
直线MN为铅垂线，其 水平投影积聚成一个点， 故交点K的水平投影也积聚 在该点上。
●
c
n b
1(2)
k● 2 m(n ) ●
●
c
① 求交点 ② 判别可见性
点Ⅰ位于平面上，在 前，点Ⅱ位于MN上，在 后，故k1为不可见。
a
1
例2 求铅垂线EF与一般位置平面△ABC的交点并判别
由于ek不 平行于ac, 故两平面 不平行。
[例2] 试判断两平面是否平行
s n m r
n m
s
r
结论：两平面平行
[例3] 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过 点K作一平面平行于已知平面 。
s f k
m
n
r r n
e
k
e s
m
f
[例4] 试判断两平面是否平行。
结论：因为PH平行SH，所以两平面平行
•两一般位置平面相交求交线 •判别可见性
例4 求两平面的交线
2
k
PV n l 两一般位置平 面相交，求交 线步骤： 1．用求直线 与平面交点的 方法，作出两 平面的两个共 有点K、E。 2．连接两个 共有点，画出 交线KE。
1
m m
QV
e
2
e k l
1
示意图
n
两一般位置平面相交求交线的方法 示意图
1. 直线与特殊位置平面相交
b a n
k
m
c a
k m 由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交点可直接求出。 n
b
c
2. 判断直线的可见性
b n
a
m
k
c
a k m
特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。
n b
c
例1 求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。 ⑴ 平面为特殊位置 空间及投影分析:
b
n
a
X
1(2)
●
k ●
m
m a
2
●
c
c n
● ●
k 1 b
还可通过重影 点判别可见性。
平面ABC是一铅垂 面，其水平投影积聚成 一条直线，该直线与 mn的交点即为K点的水 平投影。 ① 求交点 ② 判别可见性 由水平投影可知， KN段在平面前，故正 面投影上kn为可见。
⑵ 直线为特殊位置
两平面相交其交线 为直线，交线是两平面 的共有线，同时交线上 的点都是两平面的共有 点。 要讨论的问题： ① 求两平面的交线 方法： ⑴ 确定两平面的两个共有点。 ⑵ 确定一个共有点及交线的方向。 ② 判别两平面之间的相互遮挡关系，即： 判别可见性。
4.2.1 特殊位置线面相交
直线与特殊位置平面相交 判断直线的可见性 特殊位置直线与一般位置平面相交
c
b n
例7 试过定点K作特殊位置平面的法线。
h
PV k SV k h h
k
k
k h QH h k
h
例8 平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN 是否垂直于定平面。
a
e b X m d f c m
n O
b
e d
a
c f
n
4.3.2 两平面垂直
A
P
B
几何条件：若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所 有平面都垂直于该平面。
直线与特殊位置平面平行
C A B a(b) c d D F e(f) h(g) G a(b) E H X c e(f) d h(g) a' d' b' f' g' O c' e' h'
当平面为投影面的垂直面时，只要平面有积聚性的投影和直 线的同面投影平行，或直线也为该投影面的垂线，则直线与平面 必定平行。
h c d b a f k
g
X
g
c
O
f k b
d
结论：两平面不垂直
4. 4 综合问题分析及解法
• 5.4.1 空间几何元素定位问题 • 5.4.2 空间几何元素度量问题 • 5.4.3 综合问题解题举例
平行、相交、及垂直等问题侧重于探求每一个单个 问题的投影特性、作图原理与方法。而实际问题是综合 性的，涉及多项内容，需要多种作图方法才能解决。
a
n● d(e) m
●
2 ● h(f)
●
作图 ① 求交线 ② 判别可见性
c
b
1
点Ⅰ在MC上，点Ⅱ在 FH上，点Ⅰ在前，点Ⅱ在 后，故mc 可见。
⑶
f a f m● a d m d ●
b k● n'
●
投影分析
ΔDEF的正面投影积聚
e
作图
① 求交线
c b
●
k
●
n
c
N点的水平投影n位于 Δdef 的外面，说明点N位 于ΔDEF所确定的平面内 e ，但不位于ΔDEF这个图 形内。 所以ΔABC和ΔDEF的 交线应为MK。
② 判别可见性
4.2.3 直线与一般位置平面相交
以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图
以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图 判别可见性 示意图
以正垂面为辅助平面求直线EF与ΔABC平面的交点
QV
1
k
步骤： 1．过EF作正 垂平面Q。
2
2．求Q平面与 ΔABC的交线 ⅠⅡ。 3．求交线 ⅠⅡ与EF的交 点K。
4.3.1 直线与平面垂直
V
A
C E B D
几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面 的一切直线。
n
V
A C E a
k d
e
c
b
X
B
a k n d e
O
D
c
b
定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属 于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直 于属于该平面的正平线的正面投影。
① 若一平面上的两相交直线分别平行于另一 平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。
两特殊位置平面平行
C B A a c b F e(f) h(g) G E H a' X a c b h(g) c' b' f' e(f) g' O e' h'
② 若两投影面垂直面相互平行，则它们具有 积聚性的那组投影必相互平行。
⒉ 两平面平行
几何条件： 若一个平面内的相交二直线与另一个 平面内的相交二直线对应平行，则此两平 面平行。这是两平面平行的作图依据。 两平面平行的作图问题有： 判别两已知平面是否相互平行； 过一点作一平面与已知平面平行； 已知两平面平Baidu Nhomakorabea，完成其中一平面的 所缺投影。
两平面平行
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
AB∥ⅠⅡ；AC∥ⅠⅢ； 则：P∥Q
第4章 几何元素间的相对位置 及综合问题解题方法
4. 1 平行问题
4. 2 相交问题
4. 3 垂直问题
4. 4 综合问题分析及解法
基本要求
（一）平行问题
1．熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件； 2．熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及作图方法。
（二）相交问题
1．熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚 性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。 2．熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、 面相交求交线的作图方法。 3．掌握利用重影点判别投影可见性的方法。
a k b
a l
A L
N b n k a l
m
f c
n
f
2. 判断平面的可见性
2. 判断平面的可见性
例3 求两平面的交线 空间及投影分析： MN并判别可见性。
⑴ a
d a
●
b m(n) e ●
f c
e n c f
平面ABC与DEF都为 正垂面，它们的交线为一 条正垂线，两平面正面投 影的交点即为交线的正面 投影，交线的水平投影垂 直于OX轴。
A A
Ⅰ Ⅱ
B
Ⅰ
B
Ⅱ
两平面垂直 两平面不垂直
反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一 点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。
例9平面由 BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面
h
f c g k b O g b h
a
X d f
k c
a
d
例10 试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面 是否垂直。
V
f A
C E B D d d X a c a b
n
k
f
c b
k
O
n
定理2：若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线 （逆） 的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则 直线必垂直于该平面。
例6 平面由 BDF给定，试过定点M作平面的垂线。 n f
c a
d f a d m b m
（三）垂直问题
掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。
（四）点、线、面综合题
1．熟练掌握点、线、面的基本作图方法； 2．能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题 步骤和方法。
4. 1 平行问题
• 直线与平面平行
• 两平面平行
⒈ 直线与平面平行
A B
C
若：AB∥CD 则：AB∥P
A E
示意图
K E Ⅰ
Ⅱ F
C
B
F
过EF作铅垂面P
直线EF与平面 ABC相交，判别可见性。
f
( 2 )
1 k
4
3
e
2
利 用 重 影 点 判 别 可 见 性
k 1
(3) （ ） 4
示意图 e
4.2.4 两一般位置平面相交
求两平面交线的问题可以看作是求 两个共有点的问题 , 因而可利用求一般 位置线面交点的方法找出交线上的两个 点，将其连线即为两平面的交线。
b c d
X
e
f a
X
b c d
f
d
e g
a c a b d e f
a
c
b
f e
g
两一般位置平面平行
两特殊位置平面平行
[例1] 判断平面ABDC与平面EFHM是否平行， 已知AB∥CD∥EF∥MH
a c m e k f
h
O
X
b b
d
d
f k m
h
a
c
e
[例2] 过M点作直线MN平行于平面ABC。
b
d c n
a
X
m
●
b d a c
●
n m
有无数解
[例3] 过M点作直线MN平行于V面和 平面 ABC。
b d a
X
正平线
c m
●
n
a b
c d m
●
n
唯一解
[例4] 试过点K作水平线AB平行于ΔCDE平面
f a
b
a
b f
2
k
示意图
1
以正垂面为辅助平面求线面交点
示意图
A
Ⅱ
F
C
Ⅰ
B
E
过EF作正垂面Q
以铅垂面为辅助平面求直线EF与ΔABC平面的交点
2
k 步骤： 1．过EF作铅 垂平面P。 2．求P平面与 ΔABC的交线 ⅠⅡ。 3．求交线 ⅠⅡ与EF的交 点K。 k
1
PH
1
2
示意图
以铅垂面为辅助平面求线面交点
求解综合问题主要包括： 空间几何元素的定位问题（交点、交线） 空间几何元素的度量问题（如距离、角度）。 综合问题解题的一般步骤：
1. 分析题意
2. 明确所求结果，找出解题方法 3. 拟定解题步骤
P
几何条件：
D
若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行， 则该直线与该平面平行。这是解决直线与平面平行作 图问题的依据。 有关线、面平行的作图问题有： 判别已知线面是否平行； 作直线与已知平面平行； 包含已知直线作平面与另一已知直线平行。
[例1]
试判断直线AB是否平行于定平面
g
f
f
g
结论：直线AB不平行于定平面
4. 2 相交问题
• 直线与平面相交
• 两平面相交
1. 直线与平面相交
直线与平面相交，其交点是直线与平面的 共有点。
要讨论的问题：
(1) 求直线与平面的交点。 (2) 判别两者之间的相互遮 挡关系，即判别可见性。
● ●
我们将分别讨论一般位置的直线与平 面或至少有一个处于特殊位置的情况。
2. 两平面相交
d
●
① 求交线 ② 判别可见性
从正面投影上可看出， 在交线左侧，平面ABC在 上，其水平投影可见。
m
b
还可通过重影点 判别可见性
⑵
空间及投影分析：
d′
a′
●
h′
m′
●
b′ e′
X
n′
●
1'(2')
f′
c′
平面DEFH是一铅垂面， 它的水平投影有积聚性，其 与ac、bc的交点m 、n 即为 两个共有点的水平投影，故 mn即为交线MN的水平投影。
分析
过已知点K作平面P平行于 ABC；直线EF与平面P交于H； 连接KH，KH即为所求。 K F H E
作图
PV m 1 2 n
1．过点K作平面 KMN// ABC平面。
2．求直线EF与平面 KMN的交点H 。
h
3．连接KH，KH即 为所求。
h
n
2
m 1
4.3 垂直问题
• 直线与平面垂直 • 两平面互相垂直
其可见性。
k' 1' (2' )
2
k1
4.2.2
一般位置平面与特殊位置 平面相交
求两平面交线的问题可以看作是求两个 共有点的问题，由于特殊位置平面的某个投 影有积聚性，交线可直接求出。 1.求交线
2.判断平面的可见性
1. 求交线
m
M B K F m C c PH P
b
f n k l
c