几何元素间的相对位置及综合问题解题方法

b k a
X
●
m
空间及投影分析:
直线MN为铅垂线，其 水平投影积聚成一个点， 故交点K的水平投影也积聚 在该点上。
●
c
n b
1(2)
k● 2 m(n ) ●
●
c
① 求交点 ② 判别可见性
点Ⅰ位于平面上，在 前，点Ⅱ位于MN上，在 后，故k1为不可见。
a
1
例2 求铅垂线EF与一般位置平面△ABC的交点并判别
V
f A
C E B D d d X a c a b
n
k
f
c b
k
O
n
定理2：若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线 （逆） 的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则 直线必垂直于该平面。
例6 平面由 BDF给定，试过定点M作平面的垂线。 n f
c a
d f a d m b m
求解综合问题主要包括： 空间几何元素的定位问题（交点、交线） 空间几何元素的度量问题（如距离、角度）。 综合问题解题的一般步骤：
1. 分析题意
2. 明确所求结果，找出解题方法 3. 拟定解题步骤
直线与特殊位置平面平行
C A B a(b) c d D F e(f) h(g) G a(b) E H X c e(f) d h(g) a' d' b' f' g' O c' e' h'
当平面为投影面的垂直面时，只要平面有积聚性的投影和直 线的同面投影平行，或直线也为该投影面的垂线，则直线与平面 必定平行。
2
k
示意图
1
以正垂面为辅助平面求线面交点
示意图
A
Ⅱ
F
C
Ⅰ
B
E
过EF作正垂面Q
以铅垂面为辅助平面求直线EF与ΔABC平面的交点
2
k 步骤： 1．过EF作铅 垂平面P。 2．求P平面与 ΔABC的交线 ⅠⅡ。 3．求交线 ⅠⅡ与EF的交 点K。 k
1
PH
1
2
示意图
以铅垂面为辅助平面求线面交点
c
b n
例7 试过定点K作特殊位置平面的法线。
h
PV k SV k h h
k
k
k h QH h k
h
例8 平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN 是否垂直于定平面。
a
e b X m d f c m
n O
b
e d
a
c f
n
4.3.2 两平面垂直
A
P
B
几何条件：若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所 有平面都垂直于该平面。
•两一般位置平面相交求交线 •判别可见性
例4 求两平面的交线
2
k
PV n l 两一般位置平 面相交，求交 线步骤： 1．用求直线 与平面交点的 方法，作出两 平面的两个共 有点K、E。 2．连接两个 共有点，画出 交线KE。
1
m m
QV
e
2
e k l
1
示意图
n
两一般位置平面相交求交线的方法 示意图
a
n● d(e) m
●
2 ● h(f)
●
作图 ① 求交线 ② 判别可见性
c
b
1
点Ⅰ在MC上，点Ⅱ在 FH上，点Ⅰ在前，点Ⅱ在 后，故mc 可见。
⑶
f a f m● a d m d ●
b k● n'
●
投影分析
ΔDEF的正面投影积聚
e
作图
① 求交线
c b
●
k
●
n
c
N点的水平投影n位于 Δdef 的外面，说明点N位 于ΔDEF所确定的平面内 e ，但不位于ΔDEF这个图 形内。 所以ΔABC和ΔDEF的 交线应为MK。
4.3.1 直线与平面垂直
V
A
C E B D
几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面 的一切直线。
n
V
A C E a
k d
e
c
b
X
B
a k n d e
O
D
c
b
定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属 于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直 于属于该平面的正平线的正面投影。
⒉ 两平面平行
几何条件： 若一个平面内的相交二直线与另一个 平面内的相交二直线对应平行，则此两平 面平行。这是两平面平行的作图依据。 两平面平行的作图问题有： 判别两已知平面是否相互平行； 过一点作一平面与已知平面平行； 已知两平面平行，完成其中一平面的 所缺投影。
两平面平行
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
AB∥ⅠⅡ；AC∥ⅠⅢ； 则：P∥Q
P
几何条件：
D
若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行， 则该直线与该平面平行。这是解决直线与平面平行作 图问题的依据。 有关线、面平行的作图问题有： 判别已知线面是否平行； 作直线与已知平面平行； 包含已知直线作平面与另一已知直线平行。
[例1]
试判断直线AB是否平行于定平面
g
f
f
g
结论：直线AB不平行于定平面
b
n
a
X
1(2)
●
k ●
m
m a
2
●
c
c n
● ●
k 1 b
还可通过重影 点判别可见性。
平面ABC是一铅垂 面，其水平投影积聚成 一条直线，该直线与 mn的交点即为K点的水 平投影。 ① 求交点 ② 判别可见性 由水平投影可知， KN段在平面前，故正 面投影上kn为可见。
⑵ 直线为特殊位置
A E
示意图
K E Ⅰ
Ⅱ F
C
B
F
过EF作铅垂面P
直线EF与平面 ABC相交，判别可见性。
f
( 2 )
1 k
4
3
e
2
利 用 重 影 点 判 别 可 见 性
k 1
(3) （ ） 4
示意图 e
4.2.4 两一般位置平面相交
求两平面交线的问题可以看作是求 两个共有点的问题 , 因而可利用求一般 位置线面交点的方法找出交线上的两个 点，将其连线即为两平面的交线。
b c d
X
e
f a
X
b c d
f
d
e g
a c a b d e f
a
c
b
f e
g
两一般位置平面平行
两特殊位置平面平行
[例1] 判断平面ABDC与平面EFHM是否平行， 已知AB∥CD∥EF∥MH
a c m e k f
h
O
X
b b
d
d
f k m
h
a
c
e
A A
Ⅰ Ⅱ
B
Ⅰ
B
Ⅱ
两平面垂直 两平面不垂直
反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一 点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。
例9平面由 BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面
h
f c g k b O g b h
a
X d f
k c
a
d
例10 试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面 是否垂直。
其可见性。
k' 1' (2' )
2
k1
4.2.2
一般位置平面与特殊位置 平面相交
求两平面交线的问题可以看作是求两个 共有点的问题，由于特殊位置平面的某个投 影有积聚性，交线可直接求出。 1.求交线
2.判断平面的可见性
1. 求交线
m
M B K F m C c PH P
b
f n k l
c
a k b
a l
A L
N b n k a l
m
f c
n
f
2. 判断平面的可见性
2. 判断平面的可见性
例3 求两平面的交线 空间及投影分析： MN并判别可见性。
⑴ a
d a
●
b m(n) e ●
f c
e n c f
平面ABC与DEF都为 正垂面，它们的交线为一 条正垂线，两平面正面投 影的交点即为交线的正面 投影，交线的水平投影垂 直于OX轴。
② 判别可见性
4.2.3 直线与一般位置平面相交
以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图
以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图 判别可见性 示意图
以正垂面为辅助平面求直线EF与ΔABC平面的交点
QV
1
k
步骤： 1．过EF作正 垂平面Q。
2
2．求Q平面与 ΔABC的交线 ⅠⅡ。 3．求交线 ⅠⅡ与EF的交 点K。
B M 利用求一般位置 线面交点的方法找出 交线上的两个点，将 其连线即为两平面的 交线。
K
A
F
N
L
C
两平面相交，判别可见性
3 4 1
(2 )
2
3
4) (
利 用 重 影 点 判 别 可 见 性
1
4.2.5 综合性问题解法
例5 试过K点作一直线平行于已知平面ΔABC，并与
直线EF相交 。
综合性问题解法
第4章 几何元素间的相对位置 及综合问题解题方法
4. 1 平行问题
4. 2 相交问题
4. 3 垂直问题
4. 4 综合问题分析及解法
基本要求
（一）平行问题
1．熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件； 2．熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及作图方法。
（二）相交问题
1．熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚 性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。 2．熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、 面相交求交线的作图方法。 3．掌握利用重影点判别投影可见性的方法。