利用an与sn的关系解题

利用n a 与n S 的关系解题

例1.（1994全国文，25）设数列{a n }的前n 项和为S n ，若对于所有的正整数n ，都有S n =

2

)

(1n a a n +.证明：{a n }是等差数列.

解：证法一：令d =a 2－a 1，下面用数学归纳法证明a n =a 1+（n －1）d （n ∈N *） ①当n =1时，上述等式为恒等式a 1=a 1，

当n =2时，a 1+（2－1）d =a 1+（a 2－a 1）=a 2，等式成立.

②假设当n =k （k ∈N ，k ≥2）时命题成立，即a k =a 1+（k －1）d

由题设，有2

)

)(1(,2)(1111++++=+=

k k k k

a a k S a a k S ， 又S k +1=S k +a k +1，所以2

)

(2))(1(111k k a a k a a k +=++++a k +1

将a k =a 1+（k －1）d 代入上式，

得（k +1）（a 1+a k +1）=2ka 1+k （k －1）d +2a k +1 整理得（k －1）a k +1=（k －1）a 1+k （k －1）d ∵k ≥2，∴a k +1=a 1+［（k +1）－1］d . 即n =k +1时等式成立.

由①和②，等式对所有的自然数n 成立，从而{a n }是等差数列.

证法二：当n ≥2时，由题设，2

)

(,2))(1(1111

n n n n a a n S a a n S +=+-=

--

所以2

)

)(1(2)(11211--+--+=-=n n n n a a n a a n S S a

同理有2)

(2))(1(1111n n n a a n a a n a +-++=++

从而2

)

)(1()(2))(1(111111-+++-++-++=-n n n n n a a n a a n a a n a a

整理得：a n +1－a n =a n －a n －1，对任意n ≥2成立.

从而{a n }是等差数列.

评述：本题考查等差数列的基础知识，数学归纳法及推理论证能力，教材中是由等差数列的通项公式推出数列的求和公式，本题逆向思维，由数列的求和公式去推数列的通项公式，有一定的难度.考生失误的主要原因是知道用数学归纳法证，却不知用数学归纳法证什么，这里需要把数列成等差数列这一文字语言，转化为数列通项公式是a n =a 1+（n －1）d 这一数学符号语言.证法二需要一定的技巧.

例2.（2010年高考安徽卷理科20）设数列12,,,,n a a a 中的每一项都不为0. 证明：{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ，都有

1223

111

111n n n n

a a a a a a a a +++++

=

. 证：先证必要性.

设数列{}n a 的公差为d .若0d =，则所述等式显然成立. 若0d ≠，则

12231111n n a a a a a a ++++

2132

11223

1

1()n n

n n a a a a a a d a a a a a a ++---=+++

12231

1111111

[()()(

)]n n d a a a a a a +=

-+-++-11111()n d a a +=-

11n n a a +=.

再证充分性. 证法1：（数学归纳法）设所述的等式对一切n ∈+N 都成立. 首先，在等式

122313

112

a a a a a a +=

， ① 两端同乘123a a a ，即得1322a a a +=，所以123,,a a a 成等差数列. 记公差为d ，则21a a d =+.

假设1(1)k a a k d =+-，当1n k =+时，观察如下二等式

1223111111

k k k

k a a a a a a a a --+++=

， ② 1223

1111

1111k k k k k k

a a a a a a a a a a -+++++

+=

， ③ 将②代入③，得

1111

11k k k k k k

a a a a a a ++-+=

. 在该式两端同乘11k k a a a +，得11(1)k k k a a ka +-+=.

将1(1)k a a k d =+-代入其中，整理后，得11k a a kd +=+.

由数学归纳法原理知，对一切，都有1(1)n a a n d =+-. 所以{}n a 是公差为d 的等差数列. 证法2：（直接法）

1223

111

11

1n n n n

a a a a a a a a +++++

=

， ① 1223

11212

11111

n n n n n n a a a a a a a a a a ++++++++

+=

，② ②-①得

121211

11n n n n n n

a a a a a a +++++=-

， 在上式两端同乘112n n a a a ++，得112(1)n n a n a na ++=+-， ③

同理可得11(1)n n a na n a +=--， ④

③- ④得122()n n n na n a a ++=+，即211n n n n a a a a +++-=-，所以{}n a 是等差数列. 例3.（1997全国文，21）设S n 是等差数列｛a n ｝前n 项的和，已知3

1S 3与41

S 4的等比

中项为

4354

1

31,51S S S 与的等差中项为1，求等差数列｛a n ｝的通项a n . 解：设等差数列｛a n ｝的首项为a ，公差为d ，则a n =a +（n －1）d ，

前n 项和为S n =na +2)1(d

n n -， 由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=⋅,

2413

1,)5

1(4131432543S S S S S 其中S 5≠0.

于是得